XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Fase Final (6 de novembro de 2010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

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1 V OLMPÍD PULST D MTMÁTC Prova da Fase Final (6 de novembro de Nível α (6 o e 7 o anos do nsino Fundamental wwwommatbr Folha de Perguntas nstruções: duração da rova é de hmin O temo mínimo de ermanência é de hmin Nesta rova há 5 questões Cada questão vale, ontos Preencha todos os dados solicitados no loco de Resoluções Todas as resostas devem ser justificadas Resostas e justificativas devem ser aresentadas no loco de Resoluções Resoluções a tinta ou a láis É ermitido o uso de calculadora (não é ermitida a de telefones celulares o terminar, entregue aenas o loco de Resoluções e leve esta Folha de Perguntas com você PROLM O que vale mais: toda a água otável do mundo ou todo o ouro do mundo? stimaremos esses valores nos itens abaixo e daremos a resosta OPM ara a ergunta 9 a Segundo a Wikiédia, há 6 km (,6 km de água no mundo, sendo somente % otável Quantos litros de água otável há no mundo? b De acordo com uma reortagem da revista Veja, estima-se que o total de ouro extraído em toda a história da humanidade reenche um cubo de aresta, m Sabe-se ainda que as reservas não exloradas corresondem a 7 toneladas Considerando que a densidade do ouro é 9, kg/l à temeratura de 5 o C, ou seja, que cabem 9, kg de ouro num reciiente de volume litro em um dia quentinho, ermine a massa total, em toneladas, de ouro no laneta c Suonha que um litro de água custe real e um grama de ouro custe 8 reais De acordo com esses dados, o que vale mais: toda a água otável do mundo ou todo o ouro do mundo? Não se esqueça de justificar a sua resosta PROLM Montar a tabela de um torneio em que todas as n equies se enfrentam ao longo de n rodadas (como, or exemlo, em cada turno do rasileirão é um roblema matemático bastante elaborado e que ossui vários métodos de solução Nesta questão vamos conhecer uma dessas abordagens (ara conhecer outras, veja a rova do nível β deois do término da OPM Vamos considerar um torneio com 6 equies ssociaremos os números,,,, 5 e (infinito a cada uma das equies rimeira rodada do torneio é, 5, Para montarmos a rodada i somamos i a cada número envolvido nas artidas da rodada inicial, considerando que quando a soma ultraassa 5, subtraímos 5 do resultado; adicionado a qualquer inteiro ositivo é Por exemlo, a segunda rodada será: ( (, isto é, ( (5, isto é, ( (, isto é, 5 a Determine as rodadas restantes do torneio, seguindo o método descrito acima b artir do rocedimento mostrado, exiba as sete rodadas de um torneio com 8 equies PROLM Dizemos que (a, b, c é uma terna itagórica se a, b, c são inteiros ositivos tais que a b c Se a e b são rimos entre si, temos uma terna itagórica rimitiva a Na figura a seguir quadrados de lados a e b estão no interior de um quadrado de lado c Seja n a medida do lado do quadrado formado ela intersecção dos quadrados menores e sejam l e m as dimensões dos retângulos destacados n a b m Mostre que (a, b, c é uma terna itagórica se, e somente se, n lm b Determine as ternas itagóricas que são obtidas tomando n c xiba uma terna itagórica rimitiva com a e b maiores do que l

2 PROLM s dobraduras são bastante conhecidas e raticadas no mundo todo, mas são esecialmente oulares no Jaão O físico jaonês Jun Maekawa observou um resultado bastante interessante em Dobra montanha dobraduras o se desfazer uma dobradura, as marcas das dobras ficam salientes no ael, e os dois tios de dobra, montanha e vale, ficam evidentes Maekawa ercebeu que a diferença entre as quantidades de dobras de cada tio Dobra vale em cada vértice interior é Na figura abaixo, você ode observar a dobradura de um barquinho (figura com as corresondentes marcas (figura que ficam no ael ao desfazermos o barquinho Figura Se você observar cada vértice no interior da folha, vai notar que a afirmação de Maekawa é verdadeira Por exemlo, no vértice P há dobras do tio montanha e do tio vale Vamos, então, mostrar o chamado teorema de Maekawa PROLM 5 Sudokuto é um jogo insirado no Sudoku le é jogado sobre tabuleiros quadriculados de diversos tamanhos Vamos começar conhecendo a versão mais simles da brincadeira, a qual é jogada sobre um tabuleiro lternadamente, dois jogadores colocam, ou em um quadradinho que ainda esteja vazio Não odem aarecer em linhas (horizontais ou em colunas (verticais dois números iguais Vence quem comletar rimeiro uma fileira horizontal ou vertical ou, caso nenhum movimento ossa ser feito e nenhuma fileira estiver comleta, vence quem fez a última jogada baixo mostramos dois exemlos de artidas Os números menores indicam as jogadas Por exemlo, na artida da esquerda, o º jogador colocou na casa suerior direita; em seguida, o º jogador colocou no centro, e assim or diante Não há jogadas ossíveis; o º jogador vence O º jogador vence na sexta jogada a Qual deve ser a róxima jogada do º jogador ara que ele consiga comletar uma fileira e vencer a artida a seguir, não imortando quais sejam as jogadas do º jogador? ndique a jogada no diagrama da sua folha de resostas P Figura a o fazermos um equeno corte em torno de um vértice, obtemos um olígono, cujos ângulos internos odem ser róximos de º ou róximos de 6º Na figura a seguir, obtémse o olígono CD, cujos ângulos internos em, e C são róximos de º e em D é róximo de 6º Note que, na figura acima, ângulos róximos a º corresondem a dobras do tio montanha e o ângulo róximo a 6º corresonde à dobra do tio vale Se olharmos a mesma dobradura do outro lado do ael, qual é a corresondência entre os tios de ângulo (º e 6º e os tios de dobra (vale e montanha? b sboce o olígono obtido ao fazermos um equeno corte em torno do vértice P da figura c Mostre que, ao considerarmos as dobras em torno de um vértice interior, a quantidade de dobras do tio montanha é igual à quantidade de dobras do tio vale mais ou menos Ou seja, sendo m a quantidade de dobras montanha e v a quantidade de dobras do tio vale, temos m v ou v m Você ode querer utilizar o fato de que a soma dos ângulos internos de um olígono de n vértices é (n 8º b Mostre que o º jogador ossui uma estratégia vencedora ara o tabuleiro Ou seja, diga qual deve ser a sua jogada inicial e, a artir daí, mostre que ele consegue chegar à vitória, não imortando quais sejam as jogadas do segundo jogador c Vamos conhecer agora a versão sobre o tabuleiro gora, os jogadores colocam, alternadamente,,, ou nos quadradinhos ainda vazios lém de não oderem aarecer dois números iguais nas linhas e colunas, também não odem aarecer dois números iguais nas quatro regiões destacadas Vence quem comletar rimeiro uma fileira horizontal ou vertical ou região ou, caso nenhum movimento ossa ser feito e nenhuma fileira ou região esteja comleta, vence quem fez a última jogada Veja a rerodução da final do cameonato mundial, vencida or Sudokaldo D C Tendo como insiração o grande mestre Sudokaldo, mostre que o º jogador ossui uma estratégia vencedora ara o tabuleiro Para mais Sudokuto, além de outros jogos e quebra-cabeças, visite htt://wwwmenneskeno (não se assuste, o site tem versão em nglês

3 V OLMPÍD PULST D MTMÁTC Prova da Fase Final (6 de novembro de Nível β (8 o e 9 o anos do nsino Fundamental wwwommatbr Folha de Perguntas nstruções: duração da rova é de hmin O temo mínimo de ermanência é de hmin Nesta rova há 5 questões Cada questão vale, ontos Preencha todos os dados solicitados no loco de Resoluções Todas as resostas devem ser justificadas Resostas e justificativas devem ser aresentadas no loco de Resoluções Resoluções a tinta ou a láis É ermitido o uso de calculadora (não é ermitida a de telefones celulares o terminar, entregue aenas o loco de Resoluções e leve esta Folha de Perguntas com você PROLM O que vale mais: toda a água otável do mundo ou todo o ouro do mundo? stimaremos esses valores nos itens abaixo e daremos a resosta OPM ara a ergunta 9 a Segundo a Wikiédia, há 6 km (,6 km de água no mundo, sendo somente % otável Quantos litros de água otável há no mundo? b De acordo com uma reortagem da revista Veja, estima-se que o total de ouro extraído em toda a história da humanidade reenche um cubo de aresta, m Sabe-se ainda que as reservas não exloradas corresondem a 7 toneladas Considerando que a densidade do ouro é 9, kg/l à temeratura de 5 o C, ou seja, que cabem 9, kg de ouro num reciiente de volume litro em um dia quentinho, ermine a massa total, em toneladas, de ouro no laneta c Suonha que um litro de água custe real e um grama de ouro custe 8 reais De acordo com esses dados, o que vale mais: toda a água otável do mundo ou todo o ouro do mundo? Não se esqueça de justificar a sua resosta PROLM Seja C um triângulo e o centro da sua circunferência inscrita Traçando os raios que ligam aos ontos de tangência, obtemos três ares de triângulos congruentes, T a, com catetos r e x, T b, com catetos r e y, e T c, com catetos r e z a b c a Sendo a C, b C, c C e s o semierímetro de C, mostre que x s a, y s b e z s c b O retângulo a seguir é a união de triângulos semelhantes aos triângulos T a, T b e T c artir dele, rove que xyz r (x y z, ou seja, que xyz r s α xyz α β γ c Utilizando os resultados anteriores, demonstre a fórmula de Heron ara o cálculo de áreas de triângulos, ou seja, Você ode querer utilizar o fato de que S sr x α α x r y r β β r y S s( s a( s b( s c PROLM Dizemos que (a, b, c é uma terna itagórica se a, b, c são inteiros ositivos tais que a b c Ou seja, a e b são os catetos e c é a hiotenusa de um triângulo retângulo de lados inteiros Se a e b são rimos entre si, temos uma terna itagórica rimitiva Nesta questão rovaremos que existem infinitas ternas itagóricas rimitivas (É verdade! Nem todos os triângulos retângulos são semelhantes ao (,, 5! a Na figura a seguir quadrados de lados a e b estão no interior de um quadrado de lado c Seja n a medida do lado do quadrado formado ela intersecção dos quadrados menores e sejam l e m as dimensões dos retângulos destacados z γ γ z C b m Mostre que (a, b, c é uma terna itagórica se, e somente se, n lm b Determine todas as ternas itagóricas que são obtidas tomando n, rimo ímar, na igualdade acima c Considerando as ternas obtidas em b, rove que existem infinitas ternas itagóricas rimitivas n a l

4 PROLM s figuras a seguir são uma rova sem alavras de que é irracional: Vamos transformar essas figuras em uma rova com alavras m a Na figura, sendo m o lado do quadrado maior e n o lado do quadrado menor, mostre que n b Na figura, há um quadrado cinza escuro e dois quadrados brancos ncontre, em termos de m e n, as medidas dos lados desses quadrados c aseado na rova sem alavras dada, demonstre que é irracional PROLM 5 Montar a tabela de um torneio em que todas as n equies se enfrentam ao longo de n rodadas (como, or exemlo, em cada turno do rasileirão é um roblema matemático bastante elaborado e que ossui vários métodos de solução Nesta questão vamos conhecer duas dessas abordagens (ara conhecer mais uma, veja a rova do nível α deois do término da OPM Considere os vértices do entágono regular a seguir e o seu centro Uma maneira de construir a tabela de um torneio com 6 equies é a seguinte Ligamos O ao vértice e ligamos ares dos demais vértices de modo que as retas corresondentes sejam erendiculares à reta O Uma rodada do torneio é então O ; e C D Para erminar a róxima rodada, ligamos O ao vértice e reetimos o rocedimento de tomar as erendiculares O FGUR FGUR O assim or diante até termos comletado as 5 rodadas Um torneio obtido dessa maneira é denominado Torneio de Kirkman, ois tal método foi descoberto em 86 or T P Kirkman a Determine as 5 rodadas de um torneio de Kirkman com 6 equies (observe que já deixamos duas rodadas rontas ara você b Prove que ao alicarmos o método acima ara um torneio com equies nenhum jogo irá se reetir ao longo das 9 rodadas de 5 jogos c xistem outras maneiras de montar torneios Por exemlo, ara 8 equies odemos imaginar que elas são divididas em dois conjuntos (gruos de equies que inicialmente jogam entre si e deois ocorrem os jogos entre os gruos, como ilustra a figura O Dizemos que dois torneios são equivalentes se odemos renomear os times de modo que os conjuntos de jogos coincidem xibimos a seguir dois torneios equivalentes com cinco equies Os jogos de um torneio estão em linha contínua azul e os de outro estão em linha tracejada vermelha tabela indica as corresondências entre equies e rodadas Rodada Rodada Rodada Rodada Rodada 5 zul Rodada 5 Vermelho Rodada 5 Por exemlo, a rodada do torneio em azul é e C D Renomeando os times segundo a tabela, obtemos D e C, que são os jogos da rodada do torneio em vermelho Demonstre que o torneio de 8 equies montado com a estratégia da divisão inicial em dois gruos não é equivalente a um torneio de Kirkman

5 V OLMPÍD PULST D MTMÁTC Prova da Fase Final (6 de novembro de Nível γ ( a e a séries do nsino Médio wwwommatbr Folha de Perguntas nstruções: duração da rova é de hmin O temo mínimo de ermanência é de hmin Nesta rova há 5 questões Cada questão vale, ontos Preencha todos os dados solicitados no loco de Resoluções Todas as resostas devem ser justificadas Resostas e justificativas devem ser aresentadas no loco de Resoluções Resoluções a tinta ou a láis É ermitido o uso de calculadora (não é ermitida a de telefones celulares o terminar, entregue aenas o loco de Resoluções e leve esta Folha de Perguntas com você PROLM Os celulares com tecnologia CDM utilizam como rincíio de funcionamento os Códigos de Walsh, que ermitem que vários celulares utilizem a mesma banda de frequências ao mesmo temo, sem interferências Por exemlo, ara uma estação base se comunicar com dois celulares, digamos e, ela envia um bit de cada vez o qual ode ser interretado or ambos, mas será válido ara aenas um deles Cada celular ossui um código que é uma k -ula cujos elementos são todos iguais a ou Cada bit de informação também é transmitido via uma k -ula, chamada vetor de informação No nosso caso, sejam (, o código de e (, o código de É então realizado o roduto escalar, ( x, y ( w, z xw yz, entre o seu código e o vetor de informação que chegar ssim, quando recebe o vetor (a, b, onde a e b odem ser ou, ele realiza a (, ( a, b a b seguinte oeração, cujo resultado será o bit recebido: Se ( a, b (,, o bit lido or é (, (, (, (, ( e lê, o que não é um bit válido, isto é, esse bit deve ser aenas considerado elo celular vita-se dessa forma que ocorra interferência Outra característica imortante desse sistema é que os vetores de informação odem ser sobreostos Novamente, vejamos um exemlo: o bit corresonde ao vetor de informação (, ara o celular (verifique! e o bit corresonde ao vetor de informação (, ara o celular (verifique! asta transmitirmos o vetor resultante (, (, (, e ambos celulares recebem os bits adequados (verifique!, como se a informação enviada ara o outro celular não existisse Tal roriedade é fruto dos códigos aresentados, (, e (,, serem ortogonais, ou seja, o roduto escalar dos dois é zero (ode confiar que garantimos que está certo! Conjuntos de k -ulas cujas entradas são iguais a ou e são ortogonais duas a duas são denominados Códigos de Walsh de ordem k Tais conjuntos devem ainda ter exatamente k elementos Para a resolução dos itens a seguir, observe que a definição generalizada de roduto escalar é x, x,, x y, y, K y x y x y L x y ( K n (, n n n a Uma estação base envia os seguintes vetores de informação ara quatro celulares distintos, Y, Z e W: (,,,, (,,,, (,,,, (,,, Preencha a tabela a seguir, em que indicamos os códigos de ordem Determine, em cada instante, os bits recebidos or cada um deles O roduto escalar deve ser dividido or nesse caso Código bit bit bit bit (,,, Y (,,, Z (,,, W (,,, Celulares que recebem bits válidos b Uma maneira de construir códigos de Walsh é utilizar as linhas das matrizes de Hadamard, que são definidas da seguinte maneira: H n H n H, H n H n H n H H ssim, or exemlo, H, gerando o código de Walsh {(,,,, (,,,, (,,,, H H (,,, } xiba um código de Walsh de ordem 8

6 PROLM Um icosaedro é um sólido convexo com faces triangulares É ossível obter um icosaedro tomando-se três retângulos congruentes em três lanos erendiculares dois a dois e cujos centros coincidem: Sejam a < b as dimensões de cada retângulo a Calcule a medida, em função de a e b, da aresta b Um icosaedro é regular quando todas as faces são triângulos equiláteros Mostre que o icosaedro obtido é regular se, e somente se, 5 a b PROLM Vamos mostrar um método ara obter raiz quadrada de matrizes, ou seja, resolver a equação, onde é uma matriz dada nicialmente, observe que ara todo R, ( ( ( ( (, sendo a matriz identidade Temos que ( é um olinômio na variável, denominado olinômio característico da matriz ssim, escreveremos ( ( Utilizando essa nova notação, obtemos ( ( ( última equação nos ermite encontrar todos os ossíveis olinômios ( e como elo teorema de Cayley-Hamilton (você estudou a OPM 8? (, odemos terminar de resolver a equação título de exemlo, considere O olinômio característico de satisfaz: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Obtemos, assim, as seguintes ossibilidades: ( ( ( ou ( ( ( ou ( ( ( ou ( ( ( Se ( ( (, ( / Se ( ( ( : Os casos em que ( ( ( e ( ( ( nos fornecem, como era de se eserar, as resostas e / Pode-se verificar, substituindo, que as quatro matrizes são soluções da equação inicial gora é a sua vez! a Resolva a equação b ncontre uma (aenas uma! raiz quadrada de

7 PROLM Seu ldo deseja que seu filho ernaldo coma mais legumes Como ele sabe que ernaldinho adora jogos, ele roõe a seguinte brincadeira: eles tomarão n caixas numeradas e em n delas seu ldo colocará saudáveis orções de alfaces, cenouras e brócolis; na caixa restante será colocada uma deliciosa fatia de rocambole de goiabada ernaldo deverá então escolher aleatoriamente uma caixa e comer o seu conteúdo Tendo boas noções de robabilidades, ernaldo não aceitou a roosta de seu ai, mas roôs uma versão alternativa do jogo, que disse ter visto em um antigo rograma da TV norte-americana (de um tal de Monty Hall: - nicialmente, ernaldo deveria escolher uma caixa ntão seu ldo tomaria os números das caixas restantes e que contêm legumes (há um monte delas!, sortearia uma e a abriria mostrando o seu conteúdo ara ernaldo e eliminando-a do sorteio - ernaldo agora mudaria a caixa escolhida e seu ai reetiria o rocedimento anterior: tomaria os números das caixas restantes e que contêm legumes, sortearia uma e a abriria mostrando o seu conteúdo ara ernaldo e eliminando-a do sorteio - tal rocedimento se reetiria: a cada rodada, ernaldo forçosamente mudaria de caixa e seu ai eliminaria uma das que ossuem legumes té que restassem aenas duas caixas Nesse momento, ernaldo mudaria ela última vez a caixa escolhida e teria que ficar com o seu conteúdo Seu ldo, que também conhece robabilidades, argumentou que sua diminuía as chances de ernaldo ter uma alimentação equilibrada, mas aceitou a roosta deois que ernaldo disse que escovaria os dentes aós a sua refeição Neste roblema calcularemos a robabilidade a n de ernaldo comer a fatia de rocambole, sendo n o número de caixas no início do rocesso Para o nosso cálculo, analisaremos também a robabilidade b n de ele comer a fatia de rocambole dado que inicialmente escolheu uma caixa com legumes e c n a robabilidade de ele comer a desejada fatia dado que escolheu inicialmente o rório rocambole n a Mostre que an bn cn n n b screva uma fórmula que forneça b n em termos de b n e c n c Prove que a n an ( an an n d Dado que demonstre que quando n cresce o valor de a n aroxima-se de e e!!! L,! PROLM 5 Um diamante asteca de tamanho n é um tabuleiro na forma de losango com ontas de duas casinhas e diagonais de n casinhas Suas fileiras têm resectivamente,, 6,, n, n, n, n,, 6,, casinhas Um roblema clássico de Combinatória é erminar o número de coberturas de um diamante asteca de tamanho n com dominós (isto é, que ocuam exatamente duas casinhas a Seja T(n o número de maneiras de cobrir um diamante asteca de tamanho n com dominós Pode-se mostrar (e faremos os assos rinciais nos itens b e c que, ara n, ( T ( n T ( n T ( n (* Considerando a recursão dada, ermine T(n b Recentemente ric H Kuo ublicou no MT Undergraduate Journal of Mathematics uma nova demonstração de (* utilizando uma técnica que ele denominou sobreosição Neste roblema, iremos aresentar alguns elementos essenciais da teoria criada or ric nicialmente, vamos modelar os diamantes astecas trocando cada casinha or um onto localizado em seu centro e ligando dois ontos quando um dominó cobre as casinhas corresondentes Na figura a seguir, exibimos um diamante asteca de tamanho n, uma cobertura e o modelo corresondente: Vamos sobreor uma cobertura de um diamante asteca de tamanho n com outra de tamanho n Com isso, formam-se alguns caminhos e ciclos (caminhos fechados entre os ontos, além de ossíveis ligações dulas Por exemlo, na configuração da direita há um caminho, um ciclo e uma ligação dula:

8 Uma configuração do mesmo tio ode ser obtida sobreondo duas coberturas (não necessariamente distintas de um diamante asteca de tamanho n Observe que a sobreosição ode ser feita de duas maneiras: cima-baixo ou esquerda-direita ou Uma grande ideia de ric foi observar que cada configuração ode ser obtida a artir da mesma quantidade de sobreosições de coberturas de diamantes astecas de tamanhos n e n e sobreosições de ares de coberturas de diamantes astecas de tamanho n, ambas cima-baixo ou ambas esquerda-direita Veja o exemlo a seguir: gora é a sua vez! Obtenha todas as sobreosições corresondentes à configuração a seguir c demonstração do fato observado or ric envolve a consideração de alguns casos Para odermos listá-los, rotulamos os vértices T, U, V, W, e Y, de acordo com a sua osição Note que, dos vértices rotulados, exatamente quatro vértices, T, U, V e W, não estão ligados a vértices do tio Y Y T Y T T Mostre que, caso T não esteja ligado diretamente a algum, o caminho iniciado em T termina em U ou V e tem um número ímar de segmentos Por exemlo, na figura acima, T está ligado a U or um caminho com 7 segmentos Diga, em cada um dos casos, qual é tio de sobreosição de coberturas de diamantes astecas n corresondente (cima-baixo ou esquerda-direita U Y U Y U V W Y V W Y Y Y V W

9 V OLMPÍD PULST D MTMÁTC Prova da Fase Final (6 de novembro de Níveis α e β sclarecimento sobre o enunciado wwwommatbr PROLM - Níveis α e β Utilizando a figura dada, os valores de a, b e c odem ser obtidos a artir de n, l e m Por exemlo, tomando n 6, obtemos n 6 e lm 6 lm 8 com as seguintes ossibilidades: n m l a b c Ou seja, as ternas obtidas são (, 7, 5, (5, 8, 7, (, 9, 5, (9,, 5, (8, 5, 7 e (7,, 5

Neste pequeno artigo resolveremos o problema 2 da USAMO (USA Mathematical Olympiad) 2005: (x 3 + 1)(x 3 + y) = 147 157 (x 3 + y)(1 + y) = 157 147 z 9

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