A TEORIA DO CONHECIMENTO DE DESCARTES E SUA RELAÇÃO COM A GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

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1 A TEORIA DO CONHECIMENTO DE DESCARTES E SUA RELAÇÃO COM A GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA Danilo Pereira Munhoz Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Fabrícia Lélis Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Resumo: Este trabalho pretende fazer um estudo literário com base nas referências utilizadas por René Descartes ( ), em seu texto Meditações Metafísicas, relacionando-as aos conceitos matemáticos, principalmente aos da Geometria Plana formalizada por Euclides de Alexandria (séc. IV a.c). Euclides, na antiguidade clássica, formalizou a Geometria conhecida em sua época através de sua obra Os Elementos, que designava uma série em treze volumes, dos quais cinco têm como tema a Geometria Plana ou Geometria Euclidiana. Nesta obra, Euclides apresenta as definições, axiomas, proposições e demonstrações que fundamentam a Geometria Plana e introduziram o método axiomático da Matemática. A abordagem da Matemática nos trabalhos de Descartes possibilitou a fundamentação da Geometria Analítica, onde ocorreu uma fusão inédita da Geometria com a Álgebra. Também formalizou o sistema de coordenadas, o Sistema Cartesiano. Palavras-chave: Descartes; Teoria do Conhecimento; Meditações Metafísicas; Geometria Euclidiana. INTRODUÇÃO O que mais incomodava Descartes era a ausência de uma metodologia que abraçasse as ideias e as relacionasse com uma práxis que lhe conduzissem de uma maneira que possibilitasse guiar-se na "busca da verdade". Em suas Meditações Metafísicas, Descartes busca entender a maneira como conhecemos as coisas de modo racionalista, ou seja, o sujeito reconhecendo o objeto através da razão. Para isso, usa da dúvida do ceticismo pirrônico para encontrar a verdade na maneira como fazemos esse reconhecimento das coisas de forma clara e distinta. Este trabalho pretende levantar as referências acerca da Geometria de Euclides no texto de Descartes, evidenciando seus os pensamentos sobre essa Geometria e as relações com as questões do conhecimento. 1

2 A bibliografia desse trabalho foi selecionada considerando a importância de mostrar as ideias de Descartes sem interferência de nenhum interlocutor, seja ele narrador, autor ou pensador literário, a fim de possibilitar a análise dessas ideias e das referências utilizadas por ele com base na Geometria Euclidiana Plana. Antes de iniciar esse levantamento, gostaríamos de evidenciar que as ideias apontadas por Descartes não assumem o mesmo formalismo axiomático da Geometria Euclidiana que apresenta a referência bibliográfica utilizada. Mas nos apoiaremos nessa referência por a mesma oferecer os axiomas e proposições, definidos a partir da lógica de Euclides, necessários para tal comparação. A PROPOSTA DA DÚVIDA DE DESCARTES Descartes inicia seus pensamentos com a Meditação Primeira: Das Coisas que se Podem Colocar em Dúvida. Nesse texto, propõe fundamentar essas reflexões desfazendose de todas as opiniões que tem como verdade para que possa, então, repensar-lhas e, a partir daí, atribuí-las como verdade, caso sejam certas e indubitáveis; ou rejeitá-las, caso apresentem algum motivo de dúvida. Analisa os fundamentos em que suas ideias estão apoiadas. Suas primeiras considerações são sobre as coisas que aprendemos através dos sentidos, enfatizando situações em que os sentidos enganam e levam a um falso conhecimento. Introduz assim o argumento do erro do sentido. "[...] é de prudência nunca se fiar inteiramente em quem já nos enganou uma vez." (DESCARTES, 1988, p. 18). Ainda, há vezes em que, dormindo, os sonhos nos levam a acreditar em situações que parecem reais. Dessa forma, apresenta-se o argumento do sonho. Conclui que as ciências que se baseiam em coisas compostas e relacionadas a esse meio de conhecimento, como é o caso da Física, da Astronomia e da Medicina, por exemplo, podem ser colocadas em dúvida. Entretanto, aponta a Aritmética e a Geometria como entendimentos simples, com fundamentos certos e indubitáveis, uma vez que dois mais três sempre formarão o número cinco e um quadrado, com base em sua definição, sempre terá quatro lados. Entretanto, leva-nos a considerar a existência de um Deus que nos fez de maneira a sempre estarmos enganados, por exemplo, ao enumerar os lados de um quadrado. Temos, 2

3 então, o argumento do Deus enganador. Argumento esse refutado pelo argumento do Gênio Maligno, pois, se Deus é a soberana fonte da verdade, tem-se que o Gênio Maligno pode nos enganar sempre, sendo este um artifício psicológico da nossa própria mente. O ESPÍRITO E O CORPO Ao iniciar a Meditação Segunda: Da Natureza do Espírito Humano; e de como Ele é Mais Fácil de Conhecer do que o Corpo, Descartes preocupa-se em buscar ao menos uma coisa que possa ser considerada verdade, ou seja, que não se possa colocar em dúvida. Então, aponta que, mesmo que haja um Gênio Maligno que o faça se enganar sempre, há a certeza do ato de pensar. Desse modo, aparece o argumento do cogito, pois só não há engano se há o pensamento acerca de alguma coisa. Com base nesse argumento, tem-se como verdade a preposição eu sou, eu existo. Mas o que sou eu, portanto? Uma coisa que pensa. Que é uma coisa que pensa? É uma coisa que duvida, que concebe, que afirma, que nega, que quer, que não quer, que imagina e que também sente. [...] Pois é tão evidente que sou eu quem duvida, quem entende e quem deseja que não é necessário nada acrescentar aqui para explicá-lo. (DESCARTES, 1988, p. 27) Reafirma-se a razão como meio de entendimento das coisas através do exemplo da cera. A cera é retirada da colméia e tem suas propriedades especificas que a fazem conhecê-la como um corpo. Ao aproximar essa cera do fogo, suas propriedades percebidas através do sentido mudam, como cor, odor, consistência; porém, a cera se mantém. Definese, então, res cogitans como razão e res extensa como a matéria, que possui extensão, é flexível e mutável. Com base nessa reflexão, conclui como verdade: 1) Eu sou, eu existo; 2) Percebo as coisas pois eu penso percebê-las; 3) A coisas relativas ao pensamento são mais fáceis de reconhecer do que as relativas ao corpo. ARGUMENTO QUE DEUS EXISTE 3

4 Em sua Meditação Terceira: De Deus; que Ele Existe, o objetivo de Descartes é provar que existe um Deus e que ele não é enganador. E, por certo, posto que não tenho nenhuma razão de acreditar que haja algum Deus e que seja enganador, e mesmo que não tenha ainda considerado aquelas que provam que há um Deus, a razão de duvidar que depende, somente desta opinião é bem frágil e, por assim dizer, metafísica. Mas, a fim de poder afastá-la inteiramente, devo examinar se há um Deus, tão logo a ocasião se apresente; e, se achar que existe um, devo também examinar se ele pode ser enganador: pois, sem o conhecimento dessas duas verdades, não vejo como possa jamais estar certo de coisa alguma. (DESCARTES, 1988, p. 32) O argumento de que existe um Deus é construído após uma reflexão de como imaginamos as coisas. Admite que essas ideias parecem que nasceram com ele ou são externas a ele, vindas do meio em que vive, ou, ainda, que foram inventadas por ele. Os pensamentos sobre as coisas que possa ver, cheirar, sentir, procedem de coisas que existem fora do sujeito. Os pensamentos sobre seres imaginários ou outras quimeras, são criados pela nossa imaginação a partir de composições de coisas que já conhecemos. Entretanto, há a ideia de uma substância infinita, eterna, onisciente, onipresente, onipotente e criador de todas as coisas; e é tão grande e eminente que não pode ter vindo apenas de mim. Pelo argumento da causa maior que o efeito, admite que Deus exista, pois um ser finito não poderia ter tido essas ideias por si só. A IDEIA DE VERDADEIRO E FALSO Na Meditação Quarta: Do Verdadeiro e do Falso, Descartes aceita a ideia de que Deus não é enganador, pois isso seria admitir que Deus tenha uma parte imperfeita. A questão é: se, quando erro, esse erro não nos foi atribuído por Deus, uma vez que Deus não é um ser enganador, por que erro? Erro, segundo Descartes, todas as vezes que emito juízo sobre as coisas que não conheço, não são claras e estão fora de meu entendimento. Entendo como verdade, então, as ideias claras e distintas. 4

5 A ESSÊNCIA DAS COISAS MATERIAIS E A RELAÇÃO COM AS VERDADES DAS MATEMÁTICAS Cabe, na Meditação Quinta: Da Essência das Coisas Materiais; e Novamente, de Deus, que Ele Existe, começar uma análise sobre as coisas que existem fora do sujeito. Admite-se as particularidades das coisas em relação a uma quantidade continua ou a extensão em comprimento, largura e profundidade, propriedades eminentes da Geometria Espacial. Antes de uma reflexão sobre essas coisas, considera os pensamentos que já possui sobre coisas de natureza verdadeira e imutável, ou seja, sobre ideias claras e distintas. Dá-se como exemplo o triângulo, que não é algo material, mas que tem uma natureza ou forma imutável e eterna. O triângulo apresenta propriedades demonstráveis como a soma de seus três ângulos internos igual a 180º e que o maior ângulo é oposto o maior lado, que são ideias evidentes e de fácil reconhecimento. Mesmo que não se demonstre essas propriedades, julga-as como verdadeiras, pois as concebe como claras e distintas. Usa desse exemplo para mostrar que posso julgar como verdadeiro algo tirado de meu espírito, e não do mundo material. Com essas ideias, Descartes mostra entendimento da soma dos ângulos internos do triângulo, que sempre resulta em 180º, e também do conceito de hipotenusa; propriedades estas demonstráveis a partir dos axiomas da Geometria Plana. Com base nesses pensamentos, Descartes compara as verdades das Matemáticas a ideia da existência de Deus: [...] verifico claramente que a existência não pode ser separada da essência de Deus, tanto da essência de um triângulo retilíneo não pode ser separada a grandeza de seus três ângulos iguais a dois retos. (DESCARTES, 1988, p. 57) Um erro é dizer que Deus existe considerando que a existência é parte dessa perfeição. Para ilustrar esse erro, Descartes utiliza a premissa que todas as figuras de quatro lados podem ser inscritas no círculo. Como contra-exemplo dessa afirmação, temos o losango ou rombóide, como é utilizado pelo autor, pois é uma figura plana de quatro lados, mas não é inscrita no círculo, o que torna a premissa falsa. Argumenta que não é necessário que se imagine um triângulo, mas tem-se sempre que considerar uma figura retilínea composta por três ângulos e que a soma desses ângulos não são maiores do que dois retos. Ao pensar sobre as figuras que possam ser inscritas no círculo, não é necessário 5

6 que se pense especificamente nas figuras de quatro lados que tenham essa propriedade e, dessa forma, não se pode ter esse pensamento de maneira clara e distinta, como na situação anterior. Então, pode-se comparar a existência de Deus a essa primeira situação, onde se enquadram as ideias claras e distintas, ou seja, ideias verdadeiras que nascem com o sujeito. Compara-se Deus com uma natureza verdadeira e imutável. A partir do momento que somos persuadidos por certos pensamentos sobre algo, torna-se muito evidente a verdade clara e distinta desse pensamento. Por exemplo, dado um triângulo retângulo, não se tem claro, ainda, a aplicação do Teorema de Pitágoras. Entretanto, uma vez demonstrado e aceito como verdade, é claro que o quadrado da base é igual aos quadrados dos dois outros lados, sendo, para Descartes, evidente que a base seja o maior lado, necessariamente oposto ao maior ângulo. Dessa forma, somos levados a pensar que a ideia de que Deus existe torna-se uma verdade imediata após essas reflexões. O Teorema de Pitágoras enunciado por Descartes é um pouco restrito em relação ao que conhecemos hoje como a Geometria Plana. Ao tratarmos de base do triângulo, podemos considerar qualquer um dos lados, onde, em um triângulo retângulo, não se aplicaria a veracidade desse teorema. Trata-se, hoje, como hipotenusa o maior lado do triângulo, oposto ao maior ângulo, o que garante a aplicabilidade do Teorema de Pitágoras, sendo o quadrado da hipotenusa é igual a soma das quadrados dos outros lados. A EXISTÊNCIA DAS COISAS MATERIAIS E A RELAÇÃO ENTRE CORPO E ALMA Finalizando as Meditações Metafísicas, Descartes apresenta a Meditação Sexta: Da Existência das Coisas Materiais e da Distinção Real entra a Alma e o Corpo do Homem, onde considera a possibilidade da existência das coisas materiais com base na utilização delas como objetos das demonstrações de Geometria. Inicia esta reflexão fazendo uma distinção entre imaginação e pura intelecção. Ao imaginarmos um triângulo, não limita-se a uma figura composta e determinada por três linhas; considera-se essas três linhas como presentes na ideia que se imagina do triângulo. Ao pensar em um quiliógono, sabe-se que é uma figura plana composta por mil lados, entretanto, a imagem dessa figura é bem mais complicada de se imaginar comparada a imagem do triângulo. Mesmo se, com alguma dificuldade, conseguir imaginar um 6

7 quiliógono, de nada difere-se da imagem do miriágono (figura plana de 10 mil lados), ou qualquer outra figura de muitos lados. Por meio desses exemplos, temos, então, que a imaginação é limitada, característica que não se encontra no entendimento. Fazendo uma analogia com as meditações anteriores, imaginação teria uma limitação assim como o corpo, e o entendimento seria ilimitado, assim como a alma. Na Meditação Segunda: Da Natureza do Espírito Humano; e de como Ele é Mais Fácil de Conhecer o que o Corpo, Descartes trata a alma e o corpo como algo separado devido a essência apresentar-se no fato de ser uma coisa pensante, distinta da ideia do corpo não pensante, o qual é caracterizado como uma parte mecânica. Segundo Descartes, a alma é inteira e verdadeira e difere-se do corpo, podendo inclusive ser ou existir sem ele, já que apenas o fato de pensar garante a existência. O conhecimento é resultado apenas do espírito, e não do mundo material, que não nos traz conhecimento algum, enfatizando assim a distinção entre eles. Entretanto, volta a considerar essa união entre corpo e alma nesta Meditação, justificando-a por não conseguir separar-se do seu corpo como dos outros corpos e também pelos sentimentos de dor, fome, sede, etc., sentimentos que apresentamos naturalmente e que estão diretamente ligados ao corpo, compondo assim um único todo com a alma. Descartes ainda faz uma última referencia a Geometria Plana onde compara o corpo a uma reta, ou corda, onde tem-se pontos ABCD e, qualquer ponto que seja movimentado por essa reta, irá interferir na relação desse ponto no caso a distância com todos os outros pontos da reta. Analogamente, uma dor em qualquer parte do nosso corpo enviará uma mensagem ao cérebro, percorrendo todo o caminho até chegar nele. Encerra, então, suas meditações restabelecendo as suas verdades e consciente dos meios que o levam aos erros. CONSIDERAÇÕES FINAIS Durante toda sua reflexão, Descartes faz alusões aos conceitos Matemáticos que tem como verdades e, por meio de comparações com essas verdades, repensa sobre os fundamentos das coisas que admitia como conhecidas. Preocupa-se em reavaliar as coisas a partir da dúvida cética que confere a tudo, inclusive as coisas que tinha como verdades. 7

8 Atribui o conhecimento à razão e não aos sentidos. A clareza que tem dos conceitos matemáticos, principalmente dos conceitos relacionados a Geometria Euclidiana, devido aos pensamentos claros e distintos que tem sobre esses conceitos, leva-o a admitir a veracidade dessa ciência e a utilização desses conceitos como argumentos a fim de ser persuadido e considerar outras coisas como verdades. Utiliza da lógica Matemática para concluir a existência de Deus e compara essa essência a um conhecimento natural, assim como a Geometria Euclidiana. Por meio de uma exemplificação, cita, ainda, o Teorema de Pitágoras, trabalhando com a ideia de inserir cálculos algébricos no estudo da Geometria Plana. Podemos concluir que o trabalho de Descartes sobre como entendemos as coisas, tendo em vista as Meditações Metafísicas, está baseado na essência Matemática e, mesmo tornando-a dependente da essência de Deus, considera a possibilidade da Matemática como algo que não seja claro e distinto apenas se o sujeito estiver destinado apenas ao erro, ideia que refuta com o argumento de Deus não sendo enganador. REFERÊNCIAS BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 10ª ed., Rio de Janeiro, DESCARTES, R. Meditações Metafísicas. São Paulo: Nova Cultural, Vol II coleção Os Pensadores. SMITH, P. O que é ceticismo. São Paulo, Brasiliense,

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