ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ALGARVE CESE em Engenharia Civil - Construção INTRODUÇÃO À INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO LINEAR JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO FARO 1998

2 João M C Estêvão - EST - UAlg PREFÁCIO Os presentes apontamentos constituiram a base das aulas práticas de Investigação Operacional do 1º CESE em Engenharia Civil - Construção, ano lectivo de 1993/94, e das aulas teóricas e práticas dos 2º e 3º CESEs, anos lectivos de 1995/96 e 1997/98 Os apontamentos visam iniciar os alunos no estudo da programação linear, numa perspectiva da engenharia civil, sem pretender substituir a bibliografia existente sobre o assunto O texto está ilustrado com vários exemplos resolvidos, assim como propõe um conjunto de outros problemas cujas soluções se apresentam num anexo Actividade docente do autor no âmbito da disciplina de Investigação Operacional: 1993/94 - aulas práticas 1995/96 - aulas teóricas e práticas 1997/98 - aulas teóricas Escola Superior de Tecnologia, UAlg 28 de Setembro de i -

3 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL ÍNDICE Pág 1 Modelos de decisão na investigação operacional 1 11 Introdução 1 12 O papel do modelo 2 2 Programação linear 3 21 Aplicações da programação linear 4 22 Formulação matemática Hipóteses do modelo de programação linear Formas de apresentação de um programa linear Forma canónica Forma padrão Resolução gráfica Problemas propostos 15 3 Noções de algebra linear Espaços vectoriais Sistemas de equações lineares indeterminados Determinação de soluções básicas Mudança de solução básica Problemas propostos 29 4 Método simplex Mudança de solução básica admissível Melhoria da função objectivo Algoritmo primal do simplex Casos particulares Soluções óptimas alternativas Empate no critério de entrada na base 52 - ii -

4 João M C Estêvão - EST - UAlg 443 Empate no critério de saída da base Inexistência de uma solução básica admissível inicial Método das duas fases Método da penalização da função objectivo Problemas propostos 67 5 Dualidade na programação linear Definição do problema dual Passagem do primal ao dual Teoria da dualidade na programação linear Teoremas básicos da dualidade Teorema dos desvios complementares Algoritmo dual do simplex Inexistência de uma solução admissível inicial do dual Problemas propostos 87 6 Pós-Optimização Introdução de uma variável Introdução de uma restrição 89 7 Programação linear inteira Algoritmo dos planos de corte Corte fraccionário de Gomory para PL inteira pura Corte fraccionário de Gomory para PL inteira mista Algoritmo da bifurcação e limite Problemas propostos 111 Bibliografia iii -

5 João M C Estêvão - EST - UAlg 1 MODELOS DE DECISÃO NA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 11 INTRODUÇÃO Durante a Segunda Guerra Mundial, constituiram-se em Inglaterra grupos de cientistas e engenheiros, de diversas áreas do conhecimento, com o objectivo de investigar sobre assuntos considerados novos e que fugiam às rotinas militares da altura, tais como: aumentar a eficácia do radar, o uso de canhões anti-aéreos, tácticas anti-submarinos, escoltas navais, operações de minagem, entre outros A eficiência desses grupos deveu-se mais ao engenho dos cientistas para a obtenção de dados e informações, e sua subsequente análise, do que ao desenvolvimento de técnicas específicas Esse conjunto de processos e métodos científicos de análise usados, denominou-se por investigação operacional, dado que surgiu de investigações aplicadas às operações militares Com o fim da guerra, esta forma de abordar problemas complexos suscitou o interesse para a sua aplicação a vários problemas da vida civil Desses problemas salientam-se os relacionados com tarefas de gestão de recursos, como, por exemplo, a melhor forma de gerir uma empresa ou a forma mais económica de elaborar uma dieta alimentar que satisfaça determinados requisitos A investigação operacional constitui um novo ramo científico, independente dos outros, que proporciona uma abordagem científica para a tomada de decisões, baseada essencialmente em técnicas quantitativas, ao invés de uma abordagem qualitativa, baseada na experiência e intuição de quem toma as decisões Existe um conjunto de características comuns à maior parte dos problemas de investigação operacional: dizem respeito a planeamento e previsão são descritos e analisados em termos numéricos existem restrições, como seja a limitação de recursos têm objectivos a optimizar são problemas sem solução imediata - 1 -

6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 12 O PAPEL DOS MODELOS O conceito de modelo é fundamental na investigação operacional Modelo é entendido como um meio de representação que possua algumas das caracteríticas do projecto ou sistema que se pretende entender e controlar, e é definido por uma função objectivo e um conjunto de restrições, expressos em termos de variáveis (que determinam as alternativas) do problema O processo de tomada de decisão na investigação operacional consiste em construir um modelo de decisão e resolvê-lo de modo a determinar-se a decisão óptima Para a solução de um modelo, apesar de exacta, ter significado real, esse modelo tem que proporcionar uma representação adequada da realidade SISTEMA REAL Diagnóstico DEFINIÇÃO DO PROBLEMA Hipóteses simplificadoras MODELO MÉTODOS TRADICIONAIS Revisão SOLUÇÃO DO MODELO Dedução IMPLEMENTAÇÃO DOS RESULTADOS Validação da solução FIGURA 1 Uma situação real pode envolver um número substancial de variáveis e restrições, no entanto, é usual que só uma pequena fracção dessas variáveis e restrições, traduza realmente o comportamento do sistema real Desta forma, a simplificação do sistema real com o propósito da construção de um modelo, deve-se concentrar primeiramente na identificação das variáveis e restrições dominantes, assim como outros dados que sejam pertinentes para a tomada de decisão A figura 1 ilustra, de forma esquemática, o que anteriormente foi descrito - 2 -

7 João M C Estêvão - EST - UAlg 2 PROGRAMAÇÃO LINEAR A programação linear, nascida com os trabalhos de George B Dantzing em 1947, constitui a primeira técnica explícita, e uma das mais desenvolvidas e utilizadas, da investigação operacional e é uma classe da programação matemática A palavra programação, neste contexto, não se refere à programação de computadores, mas é, essencialmente, um sinónimo de planeamento A programação linear envolve um modelo de planeamento de actividades para a obtenção de uma solução óptima A solução óptima é obtida maximizando ou minimizando uma função linear que traduza o objectivo do problema, definida sobre um poliedro convexo (conjunto de restrições ao problema) Os cálculos efectuados na resolução de problemas, que envolvam modelos matemáticos de programação linear, são tipicamente iterativos Como tal, o processo pode tornar-se tedioso, ou mesmo de impraticável aplicação a problemas complexos, com grandes quantidades de dados Dado a generalização do uso do computador pessoal, e a existência de programas de cálculo automático à venda no mercado, é difícil dissociar as técnicas da programação linear da sua implementação em computadores Desta forma, pode ser processada grande quantidade de informação em curto espaço de tempo, o que permite a resolução de problemas de grande complexidade, e reduzir a morosidade de cálculo manual Nesta perspectiva, apresenta-se em anexo a estes apontamentos um programa de cálculo automático onde estão implementados os algoritmos em estudo por forma a auxiliar a compreensão das matérias A resolução de problemas reais por aplicação de modelos de programação linear não é tarefa fácil, pois a formulação dos problemas desse modo é ainda incipiente No entanto, a importância da programação linear não depende só da sua aplicação directa a problemas reais, mas também é motivada por proporcionar uma importante fundação ao desenvolvimento de soluções para outras técnicas da programação matemática, como sejam a programação inteira, a programação não-linear e a programação estocástica - 3 -

8 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 21 APLICAÇÕES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR A programação linear tem aplicação prática em inúmeros problemas, de que se destacam tipicamente os seguintes: PROBLEMA DE MISTURA Foi um dos primeiros problemas a ser resolvido, através da programação linear, por Dantzing Este problema caracteriza-se por se pretender obter, com custo mínimo ou lucro máximo, um ou vários produtos, que satisfaçam certos requisitos, através da combinação de vários ingredientes possuidores dessas características a diferentes níveis (exemplos: rações para animais, adubos, produtos alimentares, produtos farmacêuticos, ligas metálicas, tintas, gasolinas, etc) PROBLEMA DE TRANSPORTE Este problema admite muitas variantes, sendo a sua forma mais simples a seguinte: pretende-se efectuar o transporte de um determinado produto (matérias primas, produtos fabricados, etc), que se encontra em m origens diferentes (armazéns, fábricas, portos, etc), para n destinos distintos (fábricas, mercados, consumidores finais, portos, etc) Conhecido o custo de transporte de uma unidade de produto associado a cada percurso origem/destino, procede-se à determinação do plano de distribuição que minimize o custo total de transporte PROBLEMA DA PRODUÇÃO Trata-se de uma das aplicações mais frequentes em gestão de empresas, em que se pretende determinar a produção de n produtos da empresa de acordo com os recursos disponíveis, as condições tecnológicas existentes e a situação de mercado, com vista à maximização do resultado da exploração PROGRAMAÇÃO SEQUENCIAL DA PRODUÇÃO É um problema de planeamento de produção que pode ser considerado como um problema tipo, consistindo no escalonamento da produção ao longo de vários períodos de tempo, conhecida a procura, capacidade de produção e custos de produção e armazenagem ao longo do tempo - 4 -

9 João M C Estêvão - EST - UAlg Do ponto de vista da engenharia civil, muito poucos problemas de interesse prático podem ser formulados como programas lineares sem que disso implique um elevado grau de simplificação No entanto é possível simplificar problemas não lineares de optimização, usando técnicas de linearização Quase todos os problemas não lineares podem ser resolvidos como uma sequência repetitiva de aproximações lineares que convergem para a solução exacta do problema não linear Este poderoso método de resolução denomina-se por programação linear sequêncial Alguns problemas lineares de optimização estrutural: ANÁLISE PLÁSTICA LIMITE Determinação da mínima carga de colapso de uma estrutura OPTIMIZAÇÃO DE TRELIÇAS Este tipo de problema aplica-se a estruturas metálicas na minimização do peso da estrutura, e a estruturas irregulares bidimensionais de betão armado, dimensionadas através de modelos de escoras e tirantes, onde se pretende minimizar a quantidade de armadura OPTIMIZAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS EM REGIME PLÁSTICO Análise rigido-plástica de estruturas metálicas em que se pretende minimizar o volume de material usado OPTIMIZAÇÃO DO TRAÇADO DE CABOS DE PRÉ-ESFORÇO Nestes problemas pretende-se minimizar o valor do pré-esforço aplicado A melhor forma de se iniciar o estudo da programação linear é através de um exemplo simples de aplicação EXEMPLO 1 Um município algarvio disponibilizou no seu orçamento uma verba de contos para infra-estruturas de saneamento básico ao longo de duas vias municipais A via "1" é uma estrada pavimentada com 3400 m e a via "2" é um caminho de terra batida com 5000 m, registando-se a existência de 6 hab/100 m na primeira e 4 hab/100 m na segunda As obras em causa não podem durar mais de 150 dias para não interferir com a época balnear Sabendo que os custos médios das obras são 12 contos/m na via "1" e 85 contos/m na via "2", e que se executam 25 m/dia e 50 m/dia, respectivamente, em cada uma das vias, diga como distribuiria as obras por cada via de modo a servir a máxima população possível - 5 -

10 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Formalização do exemplo 1 Passo 1 Elabora-se a lista de todas as variáveis de decisão que entram no problema Neste caso: x 1 - comprimento da via "1" a infra-estruturar x 2 - comprimento da via "2" a infra-estruturar A cada variável está associada uma actividade actividade 1 - execução de infra-estruturas na via "1" actividade 2 - execução de infra-estruturas na via "2" A medida quantitativa de cada actividade designa-se por nível de actividade Passo 2 Enumeração de todas as restrições ao problema Neste caso sabe-se que: - cada metro de via "1" com infra-estruturas custa 12 contos, logo a totalidade de metros executados custará 12x 1 - cada metro de via "2" com infra-estruturas custa 85 contos, logo a totalidade de metros executados custará 85x 2 Como o custo total não pode ultrapassar a verba em orçamento, isso traduzse algebricamente em: 12x x

11 João M C Estêvão - EST - UAlg Relativamente à duração da obra: - cada metro de via "1" com infra-estruturas demora 1/25 = 004 dias, logo a totalidade de metros executados durará 004x 1 - cada metro de via "2" com infra-estruturas demora 1/50 = 002 dias, logo a totalidade de metros executados durará 002x 2 Como a duração da obra não pode ser superior a 150 dias, isso traduz-se algebricamente em: 004x x Para terem sentido prático, as variáveis x 1 e x 2 têm de assumir valores não negativos, e por outro lado não podem exceder o comprimento das vias, o que se traduz por: x x 1 0 x x 2 0 Passo 3 Definir a função que traduz o objectivo do problema Neste problema pretende-se servir o maior número de pessoas com infraestruturas, ou seja maximizar o número de pessoas abrangidas pelas obras - cada metro de via "1" vai corresponder a 6/100 = 006 pessoas, logo a totalidade de metros executados corresponderá a 006x 1 - cada metro de via "2" vai corresponder a 4/100 = 004 pessoas, logo a totalidade de metros executados corresponderá a 004x 2 A função objectivo será: maximizar z = 006x x 2-7 -

12 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 22 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Os exemplos enunciados anteriormente podem ser formulados de acordo com um modelo matemático bastante geral que consiste na determinação de valores não negativos para as n variáveis x 1, x 2,,x j,, x n de modo a satisfazer um sistema de m equações ou inequações lineares que maximizem ou minimizem uma função linear Z (real) dessas variáveis maximizar (minimizar) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 ++ c j x j ++ c n x n sujeito a: (restrições) a 11 x 1 + a 12 x 2 ++ a 1j x j ++ a 1n x n (ou = ou ) b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 ++ a 2j x j ++ a 2n x n (ou = ou ) b 2 a i1 x 1 + a i2 x 2 ++ a ij x j ++ a in x n (ou = ou ) b i a m1 x 1 + a m2 x 2 ++ a mj x j ++ a mn x n (ou = ou ) b m x 1, x 2,, x j,, x n 0 (restrições de não negatividade) Designando-se por: Z - função objectivo (função critério) x j - variáveis de decisão (variáveis principais) a ij - coeficientes técnicos b i - termos independentes c j - coeficientes da função objectivo com i = 1, 2,, m e j = 1, 2,, n O conjunto de soluções que satisfaçam as restrições designam-se por soluções admissíveis A solução admissível que optimiza a função objectivo designa-se por solução óptima admissível - 8 -

13 João M C Estêvão - EST - UAlg Podem efectuar-se operações convenientes de modo a alterar a forma de apresentação de qualquer problema de programação linear: i) mínimo Z = máximo ( Z) ii) a i1 x 1 + a i2 x 2 ++ a in x n b i a i1 x 1 a i2 x 2 a in x n b i iii) a x + a x ++ a x = b i1 1 i2 2 in n i a x + a x ++ a x a x + a x ++ a x i1 1 i2 2 in n i i1 1 i2 2 in n i b b iv) Se x j não tem restrição ao sinal, pode exprimir-se como a diferença de duas variáveis não negativas: x j = x j x j com x j, x j 0 Exemplo Apresentação do problema do exemplo 1 formulado de acordo com o modelo matemático enunciado max Z = 006x x 2 sa 12x x x x x x x 1, x

14 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 221 HIPÓTESES DO MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR O modelo de programação linear não se aplica a todos os casos e situações A sua aplicação requer que se assumam como verdadeiras as seguintes hipóteses: COEFICIENTES CONSTANTES Nos modelos de programação linear os coeficientes a ij, b i e c j são considerados constantes PROPORCIONALIDADE Assume-se que o valor de venda ou compra de uma unidade de produto j é proporcional ao nível de produção x j, sendo c j x j o valor de venda ou compra dessa produção De igual modo assume-se que os coeficientes a ij são independentes de x j, qualquer que seja x j não negativo ADITIVIDADE Sendo a hipótese da aditividade verdadeira, implica que o consumo ou produção total de um dado produto seja igual à soma das várias quantidades de produto que são consumidas ou produzidas quando se executa cada uma das actividades a um determinado nível Esta hipótese implica ainda que a função objectivo seja separável em relação às variáveis Se temos x 1, x 2,, x n e a função objectivo é Z(x 1, x 2,, x n ) = Z(x), então Z(x) pode escrever-se como a soma de n funções lineares, cada uma das quais envolvida apenas com uma variável do modelo, Z 1 (x 1 ) + Z 2 (x 2 )++Z n (x n ), onde Z j (x j ) é a contribuição da variável x j para o valor da função objectivo VARIAÇÃO CONTÍNUA Estamos a considerar que cada uma das variáveis do modelo pode assumir qualquer valor real no seu intervalo de variação Quando as variáveis só poderem tomar valores inteiros passa-se a lidar com um modelo de programação inteira NÃO NEGATIVIDADE Supõe-se que o nível de uma actividade pode assumir qualquer valor não negativo de um dado intervalo

15 João M C Estêvão - EST - UAlg 222 FORMAS DE APRESENTAÇÃO DE UM PROGRAMA LINEAR Tendo em vista a resolução de um problema de programação linear, este pode ser escrito em várias formas típicas 2221 FORMA CANÓNICA As características desta forma são as seguintes: i) As variáveis são todas não negativas ii) As restrições são todas do tipo iii) A função objectivo é do tipo maximizar max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 ++ c j x j ++ c n x n s a a 11 x 1 + a 12 x 2 ++ a 1j x j ++ a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 ++ a 2j x j ++ a 2n x n b 2 a i1 x 1 + a i2 x 2 ++ a ij x j ++ a in x n b i a m1 x 1 + a m2 x 2 ++ a mj x j ++ a mn x n b m x 1, x 2,, x j,, x n

16 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2222 FORMA PADRÃO As características desta forma são as seguintes: i) Todas as restrições são equações com excepção das que respeitam à não negatividade ii) Os termos independentes são todos não negativos iii) Todas as variáveis de decisão são não negativas iv) A função objectivo pode ser para maximizar ou minimizar max (min) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 ++ c j x j ++ c n x n s a a 11 x 1 + a 12 x 2 ++ a 1j x j ++ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 ++ a 2j x j ++ a 2n x n = b 2 a i1 x 1 + a i2 x 2 ++ a ij x j ++ a in x n = b i a m1 x 1 + a m2 x 2 ++ a mj x j ++ a mn x n = b m x 1, x 2,, x j,, x n 0 A passagem de um programa linear cujas restrições sejam inequações, para a forma padrão, pode ser efectuada através da criação de um conjunto de variáveis não negativas, que se designam por variáveis de desvio, pois correspondem ao desvio do valor da restrição ao seu limite As variáveis de desvio podem-se dividir em dois grupos distintos: variáveis de folga, quando a variável é adicionada a uma inequação do tipo por forma a se obter uma igualdade variáveis de excesso, quando a variável é subtraida a uma inequação do tipo por forma a se obter uma igualdade

17 João M C Estêvão - EST - UAlg 23 RESOLUÇÃO GRÁFICA Os problemas com apenas duas variáveis podem resolver-se graficamente com grande facilidade A existência de um número superior de variáveis de decisão tornam os problemas de difícil resolução gráfica, pelo que nestes casos este processo não tem sentido Dado um programa linear, uma solução admissível é um ponto cujas coordenadas correspondem ao valor de cada uma das variáveis de decisão, de forma a que cada restrição seja satisfeita para esses valores (incluindo as de não negatividade) Uma solução óptima é uma solução admissível que maximiza ou minimiza a função objectivo, no conjunto de todas as soluções admissíveis Na resolução gráfica de um programa linear, que envolva apenas duas variáveis de decisão, constrói-se primeiramente um sistema de eixos cartesianos x 1, x 2 O passo seguinte consiste em traçar rectas correspondentes ao limite de cada uma das restrições, definindo-se o conjunto de soluções admissíveis A solução óptima é então identificada traçando-se uma recta da família de rectas representas pela função objectivo, e movendo-se esta recta paralelamente a si mesma de modo a encontrar o seu óptimo no domínio das soluções admissíveis do problema Resolução do exemplo 1 Se considerarmos o problema do exemplo 1 max Z = 006x x 2 sa 12x x x x x x x 1, x

18 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Traçam-se inicialmente as rectas, correspondentes às restrições, e define-se o espaço limitado pelas rectas (incluindo-as) O conjunto de soluções admissíveis do problema fica sempre restringido ao primeiro quadrante atendendo às restrições de não negatividade (figura 2) 1) 12x x 2 = passando por A (0; ) B (416667; 0) 2) 004x x 2 = 150 passando por C (0; 7500) D (3750; 0) 3) x 1 = 3400 passando por E (3400; 0) 4) x 2 = 5000 passando por F (0; 5000) Após o traçado da recta que define a família de rectas da função objectivo, esta é deslocada até ao ponto onde obtemos o limite das soluções admissíveis que maximiza a função O ponto "G" corresponde, neste caso, à solução óptima do problema G (2750;2000) x 1 = 2750 m e x 2 = 2000 m, sendo Z = 245 habitantes x 2 2 C 3 1 A Z(x) F 4 Conjunto de soluções admissíveis G O E D B x 1 FIGURA

19 João M C Estêvão - EST - UAlg 24 PROBLEMAS PROPOSTOS Formule e resolva graficamente os seguintes problemas de programação linear: 21 Uma empresa de betoneiras fabrica dois modelos numa fábrica que está dividida em duas secções: secção 1 onde se efectua o trabalho de montagem, e secção 2 onde se realizam as operações de acabamento A secção 1 exige 5 dias de trabalho por betoneira grande e 2 por betoneira pequena e a secção 2 exige 3 dias de trabalho para qualquer betoneira Em virtude das limitações de pessoal e máquinas, a secção 1 só pode dispor de 180 dias de trabalho por semana e a secção 2 de 135 dias Se a empresa obtém um lucro de 90 contos por betoneira grande e 60 contos por betoneira pequena, quantas betoneiras de cada tipo deve produzir por semana para maximizar o seu lucro? 22 Uma fábrica de produtos cerâmicos produz dois tipos de azulejos, A e B Cada tipo de azulejo, para ser produzido, passa por dois sectores O sector 1 tem disponível, por mês, uma capacidade de produção de 1160 horas, enquanto o sector 2 tem disponível uma capacidade de produção de 1100 horas, para os dois produtos O tempo necessário à produção de cada azulejo (em horas) em cada sector, as quantidades de azulejos máximas requeridas mensalmente e os respectivos preços de venda unitários estão descriminados na tabela seguinte O objectivo da empresa é maximizar o montante das vendas Determine os valores a produzir de cada azulejo Sector Procura Preços Azulejos 1 2 máxima unitários A $00 B $00 23 Um consórcio de empresas comprou um terreno de 20 ha destinado a urbanizar A elaboração do projecto do referido empreendimento foi posta a concurso, estando as equipas de projectistas sujeitas às condições do plano director municipal que limita a construção a 25 vivendas unifamiliares ou 90 apartamentos por ha No programa de concurso estava estipulado a necessidade de construção de 200 vivendas e 100 apartamentos, devidos à existência de encomendas já realizadas, além disso a estimativa de custos médios estipulada pelo consórcio apontava para contos/vivenda e contos/apartamento A disponibilidade orçamental estipulada é de 1224 milhões de contos, sendo o valor médio de venda de contos/vivenda e contos/apartamento Será adjudicada a elaboração do projecto à equipa de projectistas que apresente a proposta de maior lucro para a empresa Caso pertencesse à equipa de projectistas envolvida no concurso, qual seria o número de vivendas e apartamentos da sua proposta?

20 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 24 Um refeitório de uma fábrica de pré-fabricados para construção fornece pequenas refeições aos seus trabalhadores Um dos pratos confeccionados é constituído à base de dois produtos alimentares Sabendo que 1 kg de produto 1 custa 300$00 e fornece 200 calorias e 23 unidades de gordura, e 1 kg de produto 2 custa 1000$00 e fornece 400 calorias e 6 unidades de gordura, preparar a dieta mais económica de modo a conter pelo menos 240 calorias mas não mais do que 20 unidades de gordura 25 Uma empresa de janelas e portas pré-fabricadas efectua a sua produção em três sectores distintos A caixilharia de alumínio e acessórios são produzidos na secção 1, as carpintarias são elaboradas na secção 2, sendo a secção 3 o local de produção do vidro e da montagem de todos os elementos Para relançar a empresa foi decidido iniciar a produção dois novos produtos: uma porta envidraçada de alumínio e um janela de madeira O departamento de "marketing" determinou que os produtos teriam uma procura que cobria a capacidade produtiva da empresa Contudo como os produtos competem entre si na secção 3 face à capacidade produtiva, a direcção da empresa solicitou um estudo que determinasse o número de cada tipo de artigos a produzir Os valores tabelados traduzem a disponibilidade percentual de cada secção para produzir os artigos, as percentagens requeridas pelos artigos por cada unidade produzida num minuto, e o lucro por cada artigo produzido Secção Portas Janelas Capacidade de produção Lucro 12 9 (contos/un) 26 Uma empresa de produtos químicos pretende comercializar aditivos para betão, tendo capacidade para produzir 800 unidades O aditivo pode ser produzido com duas qualidades distintas: "Normal" e "Extra" Os lucros que se obtêm pela venda é de 1400$00 por unidade de produto "Normal" e 1700$00 por unidade de produto "Extra" A fábrica tem capacidade máxima para produzir 960 unidades de produto "Normal" e 640 de produto "Extra", ou combinações destes dois produtos que garantam estas proporções Um estudo de viabilidade da comercialização do produto concluiu que no mínimo 240 unidades de aditivo têm de ser produzidas, e que pelo menos um quinto da comercialização deve ser de produto "Extra", não devendo exceder metade dos produtos vendidos Determine as quantidades de produto "Normal" e "Extra" que deverão ser produzidas de modo a ser obtido o maior lucro possível

21 João M C Estêvão - EST - UAlg 27 Uma empresa de comercialização de materiais de construção, em larga escala, pretende renovar a frota de camiões, desejando equipá-la com dois tipos de camiões: modelo "A" de 20 toneladas de capacidade com um custo de 8000 contos e modelo "B" de 40 toneladas de capacidade com um custo de contos O capital disponível para a compra é de 1 milhão de contos A disponibilidade das garagens da empresa é de 110 veículos no total Verifica-se a necessidade imperativa de 35 camiões modelo "A" e 25 modelo "B" Atendendo à necessidade de escoamento dos materiais, é necessário uma capacidade de transporte de 2000 toneladas Por questões de logística, pelo menos um quarto da frota deve consistir de modelos "B" Atendendo a que o custo de transporte por tonelada de material, nos modelos "B" é 40% superior ao custo dos modelos "A", determinar a composição da frota de camiões de modo a minimizar o custo de transporte 28 Todo o aço fabricado por uma determinada siderurgia obedece às seguintes propriedades químicas e físicas: 18-25% de silício; 09-12% de níquel; 32-35% de carbono; tensão de rotura mínima de 310 MPa A produção de aço é feita a partir de duas ligas metálicas Assume-se que a tensão de rotura da mistura das duas ligas é igual à soma percentual da tensão de rotura de cada liga Atendendo ao custo e propriedades apresentadas no quadro seguinte, estabeleça o modo de minimizar o custo de produção do aço Liga 1 Liga 2 Custo por quilo 38$00 40$00 Silício 2% 25% Níquel 1% 15% Carbono 3% 4% Tensão de rotura 290 MPa 345 MPa 29 Uma cidade produz 50 toneladas de lixo por dia O lixo tem que ser incinerado nas incineradoras 1 ou 2 Por razões técnicas, é necessário incinerar um mínimo de 30% desse lixo na incineradora 2 O custo para incinerar o lixo nas incineradoras 1 e 2 é de 6500$00/ton e 11250$00/ton, respectivamente O custo de transporte de cada tonelada de lixo é de 60$00 por cada quilómetro percorrido A distância da cidade à incineradora 1 é de 30 km e à incineradora 2 é de 20 km Cada incineradora pode receber um máximo de 40 toneladas de lixo por dia Efectue o planeamento do transporte de lixo de modo a minimizar o custo

22 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 210 Um reservatório de água é abastecido através de dois furos, cujas estações elevatórias estão a bombear em paralelo, sendo necessário um caudal mínimo de 75 m 3 /h a um preço compreendido entre 35$00/m 3 e 38$00/m 3 O furo 1 tem possibilidade de fornecer um caudal máximo de exploração de 65 m 3 /h, enquanto o furo 2 tem possibilidade de fornecer um caudal máximo de exploração de 45 m 3 /h A diferença de cotas entre o ponto mais baixo da conduta elevatória e o reservatório é de m O valor do caudal pode ser determinado pela seguinte expressão: Q=505 D 268 i 056, em que Q vem expresso em m 3 /s, D em metros e i (perda de carga) em m/m O preço da água é de 30$00/m 3, a que se acresce o custo de exploração de 4$00/m 3 no furo 1 e 8$00/m 3 no furo 2 Atendendo às características da rede que se apresenta em esquema, determine o caudal que deve ser debitado de cada furo de modo a minimizar o custo da água 1 φ m Uma empresa metalúrgica produz dois tipos de varões de aço para construção em duas secções de laminação diferentes A secção de laminação 1 tem 100 horas disponíveis, enquanto a secção de laminação 2 tem 30 horas disponíveis O preço de venda (em contos) e o tempo necessário (em minutos), por secção, para a produção de uma tonelada de varão, estão descritos na tabela seguinte Como o número de encomendas por mês é, no máximo, de 250 toneladas de varões tipo 1 e de 140 toneladas de varões tipo 2, determine a produção de varões de modo a maximizar a facturação Varões Preço Secção 1 Secção 2 tipo tipo Uma empresa de construção civil encomendou um projecto de um edifício de habitação e comércio A área de construção, na zona de implantação da obra, está limitada a m 2, sendo a área máxima destinada a comércio, de um terço da área total do edifício A empresa de construção exige que o edifício não tenha uma área inferior a 8000 m 2, sendo a área mínima destinada a comércio, de um quinto da área total do edifício O preço de venda é de 150 contos/m 2 para habitação e 250 contos/m 2 para o comércio Atendendo à procura, devem existir um mínimo de 6000 m 2 de área habitacional Defina a distribuição das áreas de forma a maximizar o volume de vendas

23 João M C Estêvão - EST - UAlg 3 ALGUMAS NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR 31 ESPAÇOS VECTORIAIS Vamos enunciar algumas definições importantes para o desenvolvimento da matéria que se segue Combinação linear convexa de um número finito de pontos x 1, x 2,, x n, é um ponto x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ++ λ j x j ++ λ n x n com os escalares λ i n 0 e λ = 1, com i= 1,, n i=1 i Conjunto convexo S R n é um conjunto tal que um segmento de recta, unindo dois pontos quaisquer de S, está contido nesse conjunto De outra forma, S é um conjunto convexo se quaisquer que sejam x 1 e x 2 S e 0 λ 1 se tem Exemplos: Y = λ 1 x 1 + (1 λ 2 )x 2 S Convexo Não convexo Não convexo Convexo Ponto extremo de um conjunto convexo S é todo o ponto que não pertence a um segmento de recta que une dois pontos quaisquer de S, ou seja, um ponto extremo não pode ser obtido por uma combinação linear convexa positiva de pontos de S

24 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Combinação linear de vectores é um vector B = A 1 x 1 + A 2 x 2 ++ A j x j ++ A n x n sendo A 1, A 2,, A n vectores pertencentes a R n e x 1, x 2,, x n, números reais Vectores linearmente independentes são vectores A 1, A 2,, A n, não nulos, tais que a equação vectorial A 1 x 1 + A 2 x 2 ++ A j x j ++ A n x n = 0 só se verifica para x 1 = 0, x 2 = 0,, x n = 0, com x 1, x 2,, x n, números reais Dimensão de um espaço R m é o valor m tal que existem A 1, A 2,, A m, vectores linearmente independentes pertencentes a R m e não existem (m+1) vectores linearmente independentes pertencentes a R m Base de um espaço R m é um sistema de vectores A 1, A 2,, A m pertencentes a R m se eles forem linearmente independentes e qualquer vector B poder ser obtido por combinação linear desses vectores, isto é B = A 1 x 1 + A 2 x 2 ++ A m x m Combinação convexa de vectores A 1, A 2,, A n todos pertencentes a R m é um vector B = λ 1 A 1 + λ 2 A 2 ++ λ n A n com os escalares λ i n 0 e λ = 1, com i= 1,, n i=1 i

25 João M C Estêvão - EST - UAlg 32 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES INDETERMINADOS Consideremos o seguinte sistema de equações lineares: a 11 x 1 + a 12 x 2 ++ a 1j x j ++ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 ++ a 2j x j ++ a 2n x n = b 2 a i1 x 1 + a i2 x 2 ++ a ij x j ++ a in x n = b i a m1 x 1 + a m2 x 2 ++ a mj x j ++ a mn x n = b m Este sistema pode ser escrito na notação matricial A x = b em que: a A = a a 11 1n m1 a mn x, x = x b, b = b 1 1 Se admitirmos que o sistema é possível, então existe pelo menos um vector y R n tal que A y = b Seja m n e, sem perda de generalidade, m < n, neste caso o sistema diz-se indeterminado e admite uma infinidade de soluções Assumindo que, sem perda de generalidade, a característica de A (número máximo de linhas que são linearmente independentes) é igual a m, pode-se considerar uma partição de A na forma: A = [ B N ] onde B é uma qualquer sub-matriz quadrada de A, de ordem e característica m, como tal invertível onde I = B B -1 = B -1 B = I 1 se i = j 0 se i j é a matriz identidade, que é quadrada e de ordem m n m i, j = 1,, m

26 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Tal como foi efectuada uma partição de A, também o podemos fazer para o vector x : x = [ x B x N ] T Sendo x B composto pelas m componentes de x que dizem respeito à matriz B e x N pelas (n-m) componentes que dizem respeito à matriz N Tendo em conta estas partições, o sistema pode ser escrito na forma: [ B N ] [ x B x N ] T = b B x B + N x N = b Dado que B -1 existe, pode-se escrever: ou seja: B -1 B x B + B -1 N x N = B -1 b I x B = B -1 b B -1 N x N x B = B -1 ( b N x N ) Arbitrando valores para todas as componentes de x N, a determinação de B -1 permite calcular uma solução para o sistema A x = b As soluções do sistema de equações podem ser classificadas da seguinte forma: As soluções que se obtêm quando x N = 0, dizem-se básicas Uma qualquer solução básica diz-se degenerada, quando alguma das componentes de x B tem o valor zero As variáveis de x B designam-se por variáveis básicas, e as variáveis de x N por variáveis não básicas Existem tantas soluções básicas quantas matrizes B possíveis de se escolherem na partição de A, pois a cada matriz B corresponde uma solução básica Conclui-se assim que o número de soluções básicas é finito

27 João M C Estêvão - EST - UAlg 33 DETERMINAÇÃO DE SOLUÇÕES BÁSICAS O sistema A x = b pode ser escrito na forma de quadro, do seguinte modo: x 1 x 2 x n b a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m A matriz [ A b ] designa-se por matriz aumentada do sistema, podendose efectuar as seguintes operações elementares sobre ela: Trocar duas linhas do quadro Multiplicar os elementos de uma linha por uma constante diferente de zero Adicionar a uma linha outra qualquer das restantes, multiplicada por uma constante não nula Trocar quaisquer colunas do quadro Qualquer uma das operações elementares transforma um dado sistema linear num outro sistema equivalente, ou seja que tenha a mesma solução O sistema anterior pode ser transformado, aplicando várias operações elementares, num outro equivalente, da forma: x 1 ' x 2 ' x m ' x m+1 ' x n ' b ' a ' 1,m+1 a ' 1n b ' a' 2,m+1 a' 2n b' a ' m,m+1 a ' mn b ' m Em que o vector [ x 1 ',, x n ' ] T corresponde à solução do sistema aumentado [ I A ' ] x ' = b '

28 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL EXEMPLO 2 Considerando o sistema seguinte, pretende-se determinar uma solução básica x 1 + 3x 2 + x 4 = 20 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 5 = 40 4x 1 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 180 Resolução do exemplo 2 Em primeiro lugar apresenta-se o sistema na forma de quadro: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b Efectua-se, por exemplo, a troca das colunas a que correspondem x 4 e x 1, e das colunas a que correspondem x 5 e x 2 x 4 x 5 x 3 x 1 x 2 b Multiplica-se a primeira linha por (-2) e adiciona-se à terceira x 4 x 5 x 3 x 1 x 2 b

29 João M C Estêvão - EST - UAlg Multiplica-se a segunda linha por (-3) e adiciona-se à terceira x 4 x 5 x 3 x 1 x 2 b Multiplica-se a terceira linha por (+05) x 4 x 5 x 3 x 1 x 2 b Multiplica-se a terceira linha por (-1) e adiciona-se à segunda x 4 x 5 x 3 x 1 x 2 b Do quadro conclui-se que uma solução básica para o sistema corresponde a: x 1 = 0 e x 2 = 0 x 3 = 10, x 4 = 20 e x 5 = 30 (variáveis não básicas) (variáveis básicas) A este método designa-se por condensação da matriz

30 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 34 MUDANÇA DE SOLUÇÃO BÁSICA Numa dada solução básica, pode-se tornar básica uma variável que era não básica (por troca óbvia com uma variável que era básica e que passou a não básica), através de operações elementares Esta nova solução básica diz-se adjacente da anterior O processo de mudança de uma solução básica para outra adjacente (regras de pivotação), é o seguinte: EXEMPLO 3 i) Assinala-se a linha da matriz aumentada cuja variável se pretende que passe a não básica ii) Escolhe-se a variável não básica que se pretende tornar básica, assinalando-se a coluna correspondente iii) O elemento que pertence a essa linha e coluna assinaladas, é designado por elemento pivô, sendo a respectiva linha e coluna designadas por linha pivotal e coluna pivotal iv) Torna-se o pivô igual à unidade por multiplicação da linha pivotal pelo inverso do elemento pivô v) Anulam-se os elementos da coluna pivotal a ij adicionando-se, às restantes linhas, a linha pivotal multiplicada por a ij pivô Considerando o sistema de equações x 1 + x 4 x 5 = 10 x x 4 x 5 = 5 x 3 05x 4 + 2x 5 = 2 determinar um conjunto de soluções básicas de variáveis básicas: a) x 1, x 2 e x 3 b) x 1, x 3 e x 4 c) x 1, x 4 e x

31 João M C Estêvão - EST - UAlg Resolução do exemplo 3 Em primeiro lugar apresenta-se o sistema na forma de quadro: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x Identifica-se já uma solução básica de variáveis básicas x 1, x 2 e x 3, sendo x 1 = 10, x 2 = 5, x 3 = 2, x 4 = 0 e x 5 = 0 Para obtermos uma solução básica de variáveis básicas x 1, x 3 e x 4, é necessária a passagem da variável não básica x 4 a variável básica por troca com x 2 Para tal é necessário anular os elementos da coluna pivotal (coluna correspondente a x 4 ) com excepção do pivô Soma-se a linha pivotal (linha correspondente a x 2 ) à terceira x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x Para tornarmos o pivô unitário multiplica-se a linha pivotal por (+2) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x

32 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Multiplica-se a segunda linha por (-1) e adiciona-se a primeira, e troca-se a coluna pivotal com a coluna correspondente a x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 5 b x x x Obtemos já uma solução básica de variáveis básicas x 1, x 3 e x 4, sendo x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 7, x 4 = 10 e x 5 = 0 Como a variável x 1 = 0, mesmo sendo básica, a solução diz-se degenerada Para obtermos uma solução básica de variáveis básicas x 1, x 4 e x 5, é necessária a passagem da variável não básica x 5 a variável básica por troca com x 3 Multiplica-se a linha pivotal (terceira linha) por ( 1) e adiciona-se à primeira Em seguida multiplica-se a terceira linha por (+2) e adiciona-se à segunda, e troca-se a coluna pivotal com a coluna correspondente a x 3 x 1 x 4 x 5 x 2 x 3 b x x x Obtemos já uma solução básica de variáveis básicas x 1, x 4 e x 5, sendo x 1 = 7, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 24 e x 5 =

33 João M C Estêvão - EST - UAlg 35 PROBLEMAS PROPOSTOS 31 Dos conjuntos que se apresentam nas figuras seguintes (zona sombreada), indique os que são convexos e os que não são a) b) c) d) e) f) 32 Determine todas as soluções básicas dos sistemas seguintes: a) 4x 1 + 2x 2 x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 8 x 3 + 4x 4 = 8 b) 2x 1 + 4x 2 x 3 = 2 x 1 + 2x 2 x 3 x 4 =

34 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL c) x 1 + 2x 2 + 4x 3 x 4 = 4 x 1 + x 2 = 8 x 1 + x 3 + 2x 4 = Considerando a matriz aumentada que se apresenta: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b Determinar as soluções básicas de variáveis básicas: a) x 4, x 5 e x 6 b) x 2, x 4 e x 6 c) x 1, x 2 e x 4 d) x 1, x 4 e x 5 e) x 3, x 4 e x 5 f) x 2, x 3 e x 4 Classifique todas as soluções obtidas 34 Considerando o sistema seguinte: x 1 + a x 2 + x 6 = 10 2x 1 + 2x 2 x 3 + x 5 = b 2x 1 + 4x 3 + x 4 = 40 Diga para que valores de a e b obtemos [0, 9, 10, 0, 0, 1] T como solução do problema

35 João M C Estêvão - EST - UAlg 4 MÉTODO SIMPLEX O método simplex é um processo matricial para resolver problemas de programação linear que permite determinar uma solução óptima, quando tal solução existe, ou concluir que o programa linear é ilimitado Tendo em vista a utilização do método simplex, um programa linear deve ser apresentado na forma padrão e de forma a se identificar uma primeira solução básica admissível para o problema max (min) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 ++ c j x j ++ c n x n s a x 1 + a 1,m+1 x m+1 + a 1,m+2 x m+2 ++ a 1n x n = b 1 x 2 + a 2,m+1 x m+1 + a 2,m+2 x m+2 ++ a 2n x n = b 2 x m + a m,m+1 x m+1 + a m,m+2 x m+2 ++ a mn x n = b m x 1, x 2,, x m,, x n 0 sendo x 1, x 2,, x m, as variáveis básicas, e uma primeira solução básica admissível x i = b i (i = 1,, m), com Z = 0 Designando por K o conjunto de soluções admissíveis de um programa linear na forma padrão, tem-se que: Teorema 1 - O conjunto K é convexo Com efeito, sejam x 1 e x 2 duas soluções admissíveis, isto é, satisfazendo A x 1 = b com x 1 0 A x 2 = b com x 2 0 qualquer combinação linear convexa de x 1 e x 2 será da forma λ 1 x 1 + λ 2 x 2 com λ 1 e λ 2 não negativos e de soma igual a 1 Além de se ter λ 1 x 1 + λ 2 x 2 0, vem A(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 Ax 1 + λ 2 Ax 2 = λ 1 b + λ 2 b = (λ 1 + λ 2 )b = b, o que confirma que λ 1 x 1 + λ 2 x 2 é ainda uma solução admissível

36 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Teorema 2 - Considerando que a a P 1 = a m a a, P 2 = a m a a,, P n = a n1 n2 nm b b, P 0 = b 1 2 m pode-se exprimir P 0 como combinação linear dos n vectores P 0,,P n, P = n x P 0 i i i=1 O ponto x = ( x 1,, x n ) corresponde à decomposição pertencente a K se e só se x i 0 (i = 1,, n); e é ponto extremo se e só se os x i não nulos (portanto positivos) corresponderem a vectores linearmente independentes Teorema 3 - A função objectivo atinge o seu máximo (ou mínimo) num ponto extremo do poliedro convexo K Se atinge o máximo (ou o mínimo) em mais do que um ponto extremo, então toma ainda o mesmo valor de Z em todas as combinações lineares convexas desses pontos extremos particulares Em teoria bastará calcular o valor de Z em todos os n = m n! m!(n - m)! pontos extremos (soluções básicas), para se obter o valor óptimo da função objectivo No entanto, tal seria impraticável para grandes valores de n e m O método simplex é um método iterativo em que cada iteração corresponde a uma etapa de um percurso orientado através de um subconjunto de soluções básicas admissíveis, adjacentes entre si, com a garantia da melhoria do valor da função objectivo até ao valor óptimo

37 João M C Estêvão - EST - UAlg 41 MUDANÇA DE SOLUÇÃO BÁSICA ADMISSÍVEL Seja um problema de programação linear em que se conhece uma solução básica admissível de K [ b 1, b 2,, b m, 0,, 0] T, em que a base é constituída pelos primeiros m vectores Tem-se, então, b 1 P 1 + b 2 P b m P m = P 0 (41) com b i 0 e P 1, P 2,, P m vectores linearmente independentes O objectivo é passar desta solução básica admissível (ponto extremo) a uma outra adjacente, isto é, pertencente à mesma aresta de K Como os vectores P 1, P 2,, P m são linearmente independentes, constituem uma base de R m Quer isto dizer que se pode obter qualquer vector, de entre os n dados, como combinação linear dos vectores da base, tendo-se P j = a 1j P 1 + a 2j P a mj P m = a ij P i, j = 1, 2,, n (42) Admita-se que algum vector fora da base, por exemplo P m+1, tem pelo menos uma componente a ij 0 na expressão n i=1 P m+1 = a 1,m+1 P 1 + a 2, m+1 P a m,m+1 P m Se multiplicarmos a expressão anterior por um escalar θ e a subtrairmos à equação 41 temos b 1 P 1 θa 1,m+1 P 1 + b 2 P 2 θa 2, m+1 P b m P m θa m,m+1 P m = P 0 θp m+1 (b 1 θa 1,m+1 )P 1 + (b 2 θa 2, m+1 )P (b m θa m,m+1 )P m + θp m+1 = P

38 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL O vector x ' = [b 1 θa 1,m+1, b 2 θa 2,m+1,, b m θa m,m+1,θ,0,,0] T, é a solução do programa linear, sendo uma solução admissível se todas as suas componentes forem não negativas Admita-se, por enquanto, que a cada a i,m+1 > 0 se encontra associado um b i > 0 Para se obter uma solução admissível diferente da anterior terá que ser θ > 0 Assim é fácil concluir que são não negativas as componentes desta nova solução básica, em que a i,m+1 > 0 Ter-se-á, portanto, θ > 0 e tal que b i θa i,m+1 0, para todo a i,m+1 > 0 Da expressão anterior resulta θ = b a i i,m+1 e, dada a validade para todo o a i,m+1 > 0, a admissibilidade da nova solução é garantida com qualquer θ a verificar bi 0 < θ mín a > i ai,m+1 i,m+1 0 Como se pretende passar de uma solução básica a outra solução básica adjacente, e tendo presente que a cada solução básica se encontram associados m vectores linearmente independentes, o vector x ' não pode ter mais do que m componentes positivas Assim, é forçoso anular algumas das suas componentes, que se consegue tomando b θ = θ 0 = mín i a i i,m+1 a i,m+1 > 0 Abordemos o problema de outra forma, elaborando um quadro a que corresponde um sistema linear

39 João M C Estêvão - EST - UAlg x 1 x 2 x i x m x m+1 x n b a 1,m+1 a 1n b a 2,m+1 a 2n b a i,m+1 a in b i a m,m+1 a mn b m O vector [ b 1, b 2,, b m, 0,, 0] T corresponde a uma solução básica do sistema, que se assume admissível para um dado problema de programação linear Efectuando-se um conjunto de operações elementares sobre a matriz do sistema linear anterior, transforma-se esse sistema num outro equivalente, a que corresponde uma nova solução básica, adjacente à primeira, que não podemos garantir a admissibilidade sem a adopção de nenhum critério para o efeito Se pretendermos que a variável x m+1 se torne básica por troca com x i, o coeficiente a i,m+1 > 0 será o elemento pivô, logo a coluna m+1 e a linha i serão, respectivamente, a coluna pivotal e a linha pivotal Se multiplicarmos a linha pivotal por 1 a i,m+1 obtemos o quadro seguinte: x 1 x 2 x i x m x m+1 x n b a 1,m+1 a 1n b a 2,m+1 a 2n b a' i,i 0 1 a' in θ a m,m+1 a mn b m

40 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL em que a' i,i 1 = ; a' a i,m+1 i,n ai,n = e θ = b a a i,m+1 i i,m+1 Anulando, em seguida, todos os elementos da coluna pivotal, com excepção do elemento pivô, obtemos um novo quadro x 1 x 2 x i x m x m+1 x n b a' 1n b 1 θa 1,m a' 2n b 2 θa 2,m a' i,i 0 1 a' in θ a' mn b m θa m,m+1 o vector x ' = [b 1 θa 1,m+1, b 2 θa 2,m+1,,0,, b m θa m,m+1, θ, 0,,0] T, corresponde a uma outra solução básica do problema linear Para que esta solução básica seja admissível, facilmente se conclui sobre a obrigatoriedade de θ > 0 assim como as restantes componentes de x ' devem ser não negativas b k θa k,m+1 > 0 Donde se conclui que b a k k,m+1 bk θ a k,m+1 b a i i,m+1 Desta forma, a escolha da variável não básica que pode ser tornada básica com garantia da admissibilidade da nova solução, deve basear-se no seguinte critério b θ = θ 0 = mín i a i i,m+1 a i,m+1 >

41 João M C Estêvão - EST - UAlg EXEMPLO 4 Considere-se o problema do exemplo 1 Pretende-se determinar soluções básicas admissíveis de variáveis básicas x 1 e x 2 Resolução do exemplo 4 Inicialmente temos que passar o problema para a forma padrão, donde obtemos max Z = 006x x 2 sa 12x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 150 x 1 + x 5 = 3400 x 2 + x 6 = 5000 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Na forma vectorial as restrições ao problema são apresentadas como P x P x P x P x P 0 x P 0 x P = Uma solução básica admissível será [0, 0, 50000, 150, 3400, 5000] T, correspondendo ao ponto "A" da figura 3 Desta forma, de acordo com o enunciado neste capítulo, podemos escrever P P P P 6 = P 0 i) em que P 3, P 4, P 5 e P 6 são vectores linearmente independentes e constituem uma base de R 4 Podem-se expressar os seis vectores em termos desta base de acordo com a expressão 42

42 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL P 1 = 12 P P P P 6 P 2 = 85 P P P P 6 P 3 = 1 P P P P 6 P 4 = 0 P P P P 6 P 5 = 0 P P P P 6 P 6 = 0 P P P P 6 ii) Façamos o vector não básico P 1 entrar na base Para tal, multiplica-se a equação ii) por um escalar θ e subtrai-se este produto à equação i), pelo que obtemos θ P 1 + ( θ) P 3 + ( θ) P 4 + (3400 θ) P P 6 = P 0 donde obtemos uma nova solução básica [ θ, 0, ( θ), ( θ), (3400 θ), 5000 ] T, Para que a solução básica obtida seja admissível, obrigatoriamente θ > 0, donde θ 0, θ 0 e 3400 θ 0 ou seja θ , θ 3750 e θ 3400 A admissibilidade fica assegurada desde que se verifique 0 < θ 3400 Se fizermos: θ = 3400, obtemos [ 3400, 0, 9200, 14, 0, 5000] T, uma solução básica admissível que corresponde ao ponto "B" da figura 3 θ = 3750, obtemos [ 3750, 0, 5000, 0, -350, 5000] T, uma solução básica não admissível a que corresponde o ponto "C" da figura 3 θ = 2750, obtemos [ 2750, 0, 17000, 40, 650, 5000] T, uma solução não básica admissível que corresponde ao ponto "D" da figura