FATEC Faculdade de Tecnologia de São Paulo Movimento de Terra e Pavimentação ETE II Estudo de traçado de Estradas - II

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1 1 COORDEADAS, AZIMUTES E ÂGULOS DE DEFLEXÃO estas notas de aula pretende-se apresentar as formas de cálculos de obtenção dos valores de azimutes de trechos de tangentes de rodovias e também os cálculos necessários para a obtenção dos valores das coordenadas das estacas de trechos em tangente e estacas de trechos em curva. 1- Locação do Projeto em Planta Como o traçado das estradas é uma poligonal aberta os projetos, (os desenhos) apresenta o desenvolvimento de seus traçados da esquerda para a direita. Assim faz-se necessário a adequação do da locação do projeto na folha. Por exemplo, um projeto de uma rodovia de Santos-SP a Bauru-SP, o trecho compreendido entre os pontos A e B, quando representados em planta, o ponto A estaria a esquerda e o ponto B à direita. Observe-se que a rosa dos ventos quando no mapa apresentava o norte sempre para cima (norma) e quando da representação do trecho em questão sofreu um giro de maneira a permitir a locação do trecho da esquerda para a direita. Planta Bauru B E A B A E Santos 2- Cálculo de Azimutes e Comprimentos de Alinhamento Pode-se calcular o azimute e o comprimento de um alinhamento a partir de suas coordenadas (, E), utilizando as equações 1, 2, 3, 4 e 5 abaixo.

2 2 i+1 Az i L P i+1 i P i E i+1 (Fig.1) E i E E Baseado na figura 01 pode-se definir as seguintes relações (0 o <Az i <90 o ) Az i = arctg ((E i+1 )-E i )/(( i+1 )- i ) (eq-1) 1Q. (90 o <Az i <180 o ) Az i = 180 o - arctg ((E i+1 )-E i )/(( i+1 )- i ) (eq-2) 2Q. (180 o <Az i <270 o ) Az i = 180 o + arctg ((E i+1 )-E i )/(( i+1 )- i ) (eq-3) 3Q. (270 o <Az i <360 o ) Az i = 360 o - arctg ((E i+1 )-E i )/(( i+1 )- i ) (eq-4) 4Q. L = ((E i+1 )-E i ) 2 + ( i+1 )- i ) 2 ) 1/2 = (( E) 2 + ( ) 2 ) 1/2 (eq-5) 3- Cálculo das Coordenadas Retangulares de uma Poligonal. Pode-se determinar os valores das coordenadas das estacas, tanto de trechos em tangentes como também de curvas. Conhecendo-se as coordenadas de um dado ponto o azimute e a distância à um segundo ponto, pode-se determinar as coordenadas ( ; E) desse segundo ponto através das equações 6 e 7. E B α 1 i+1 α o L o (Fig.2) Ai A L 1 C 0 E o E

3 3 Para a determinação das coordenadas ( e E) do ponto B da figura 02, tem-se: B = Ai + = L o cos α o B = Ai + L o cos α o (eq-6) E B = E Ai + E E = L o sen α o E B = E Ai + L o sen α o (eq-7) Observe-se que para a obtenção do incremento (azimute) na equação 6, utilizamos a função co-seno que corresponde ao eixo das coordenadas E e o incremento E (azimute) na equação utilizamos a função seno que corresponde ao eixo trigonométrico. Isso se deve ao fato de no círculo trigonométrico o sentido de utilização é anti-horário e no círculo de azimute o sentido é horário e eles estão defasados de 90º. 4- Localização do Quadrante em Função das Coordenadas, E Procedimento para a determinação do azimute α o da primeira tangente da Figura 2, partindo dos valores das coordenadas dos pontos A e B. E (-) E (+) W (+) (+) E (Fig. 3) E (-) (-) E (+) (-) S Para a determinação do rumo utiliza-se a equação 8 abaixo. O rumo que indica a direção do ponto A para o ponto B, é o arctg da diferença de coordenada E B E A dividido pela diferença da coordenada B A. Observe-se que, para a obtenção do rumo de A para B é a coordenada do ponto B menos a coordenada do ponto A.

4 O ângulo obtido é o rumo de A para B. 4 Rumo (E B E A ) = arctg (E+ ou E-) (eq-8) ( B A ) (+ ou -) Uma vez obtida a diferença de coordenadas E e deve-se observar o sinal e compara-lo com a fig 3 acima, donde se deduz o quadrante em que o rumo se encontra, em seguida transforma-se o rumo em azimute com auxílio da tabela 01, abaixo. TABELA 01 Valores de Azimute em Função do Rumo QUADRATE AZIMUTE E Az = Rumo SE Az = 180 o Rumo SW Az = 180 o + Rumo W Az = 360 o - Rumo 5 - Exemplo I Sabendo-se as coordenadas de três pontos Pi, A e B de maneira que os pontos A e B estão localizados sobre as tangentes 1 e 2 respectivamente, deseja-se locar uma curva com espirais de transição intercalada com uma secção de trecho circular, sabe-se que o projeto se desenvolverá no sentido de A para B, pede-se Os azimutes das duas tangentes; As coordenadas dos pontos notáveis Coordenadas de uma estaca locada dentro da primeira espiral ( ) Coordenada de uma estaca locada dentro do trecho circular ( ) Tabela de locação das estacas por deflexões (iº) Dados: -Estaca do Pi = ,51m -Superelevação máxima 9% (adotar valores inferiores - Método AASHTO) -Velocidade diretriz = 80km/h 6.1- Cálculo dos Azimutes Pontos Coordenadas (m) E Pi A B

5 Azimute da tangente 1 - (de A para Pi) 5 (+) Rumo (tangente 1) = arctg ((EPi EA)/(Pi A)) sinal (+) portanto quadrante (E) 1 o quadrante Azimute = Rumo Rumo= arctg (( )/( )) = 323 Rumo=arctg = arctg 0,8075 = 38,9208 o 400 portanto Az A PI (tangente1) = 38,9208 o Importante: o número de casas após a vírgula, principalmente em se tratando de ângulos, deve ser considerados várias casas (mínimo 4), quando se envolve esses valores em contas, para a obtenção de valores mais representativos. Entretanto, a representação, ou seja, a transcrição do valor, pode ser feita com 2, 3 ou mesmo 4 casas. Azimute da tangente 2 - (de Pi para B) (+) Rumo (tangente 2) = arctg ((EB EPi)/(B Pi)) sinal (-) portanto quadrante (SE) 2 o quadrante Azimute = 180 O - Rumo Rumo= arctg (( )/( )) = 575 Rumo=arctg = 415 arctg = 54,1805 o portanto Az (tangente2) = 180 O 54,1805 o = 125,8194 o 6.2- Cálculo do ângulo central ÂC = Az (tangente 2) Az (tangente 1) ÂC = 125,8194 o - 38,9208 o = 86,8985 o ÂC = 86,8985 o (ângulo plano decimal) ou 1,51667º (rd) Para transformação de ângulo plano em ângulo radiano, algumas calculadoras o fazem diretamente, entretanto, outras não, assim, deve-se multiplicar o ângulo plano por π e dividir por 180º. O inverso, transformar ângulo radiano em ângulo plano, multiplica-se o ângulo radiano por 180º e divide-se pó π.

6 Determinação dos pontos notáveis da curva de transição (TS, SC, CS e ST) Adotando-se uma superelevação de 7,4% para uma velocidade diretriz de 80 km/h com o método da AASHTO tem-se um Rc de 382m Dados Curva circular de Rc = 382m ÂC = 86,8985 o Posição do PI = ,51m Velocidade Diretriz = 80 km/h Resolução: Vd Ie min = 0,035 x Rc = 0,035 x = 46,91m Adotaremos Ie = 90m (Ie = 2 * Ie min. ) Elementos principais da curva I 2 90 θs = = = 0,11780 rd = o 2 Rc Ie 2 x 382 θs 2 0, Xs = Ie x ( ) = 90 x ( ) = 89,88m θs 0,11780 Ys = Ie x ( ) = 90 x ( ) = 3.53m 3 3 Elementos de posição de transição K = Xs - Rc senθs = 89, sen o = 45,02m Afastamento da curva p = Ys Rc x(1 - cosθs) = 3, x (1 - cos o ) = 0.88m Tangente total - TT TT = k + (Rc + p) x tg(âc/2) = TT = 45,02 + ( ,88) x tg(86,8985 o /2) =407,71m Desenvolvimento do trecho circular

7 7 D = Rc x (ÂC 2 x θs) = D = 382 x (1,51667rd 2 x 0,11780rd) = 489,37m Corda (c) c 2 = Xs 2 + Ys 2 = c = (89, ,53 2 ) 1/2 = 89,94m Deflexão is is = arctg Ys/Xs = artg(3,53 / 99,88) = 2,2491º Estacas dos pontos principais Estaca TS = estaca Pi TT = ( ,51m) 407,71= ,22 m Estaca SC = estaca TS + Ie = ( ,22m) + 90m = ,22 m Estaca CS = estaca.sc + D = ( ,22m)+489,37m = ,59 m Estaca SC = estaca CS + Ie = ( ,59m)+90m = ,59 m Calculo Das Coordenadas Dos Pontos otáveis Coordenada da estaca TS Figura 04 Azimute de PI para TS Observe o Azimute é de Pi para TS = Az TS PI = (38,9208 o o ) = 218,9208 o TS = Pi +TT cos Az PI TS = TS = ,71 cos 218,9208 o = ,80m E TS = E PI + TT sem Az PI TS = E TS = ,71 sem 218,9208 o = ,85m

8 8 Coordenada da estaca SC Figura 05 Azimute de TS para SC Observe o Azimute é de TS para SC = Az TS PI + isº = (38,9208 o + 2,2491 o ) = 41,1699 o SC = TS + c x cos (Az TS PI + is) = SC = ,80+ 89,84 x cos (41,1699 o ) = SC = ,50m E SC = E TS + c x sen (Az TS PI + is) = E SC = , ,94 x sen (41,1699 o ) = E SC = ,06m Cálculo da Coordenada CC

9 Figura 06 Azimute de SC para CC 9 Observe o Azimute é de SC para CC = Az TS PI + 90º + θs = (38,9208 o + 90 o o ) = 135,41468 o CC = SC + Rc x cos (Az TS PI + 90 o + θs) = CC = , x cos (135,41468 o ) = CC = ,25m E CC = E SC + Rc x sen (Az TS PI + 90 o + θs) = E CC = , x sen (135,41468 o ) = E CC = ,99m Cálculo da Coordenada ST Figura 07 Azimute de PI para ST Observe o Azimute que dá a direção de PI para ST já foi calculado anteriormente Az PI ST = 125,8194 o ST = Pi + TT cos Az PI ST = ST = ,71 cos 125,8194 o E ST = E Pi + TT sen Az PI ST = E ST = ,71 sen 125,8194 o = ,34 m = ,60m Cálculo da Coordenada CS

10 10 Figura 08 Azimute de ST para CS Observe o Azimute é de ST para CS = Az ST CS = Az PI ST + 180º isº = (125,8194 o o 2,2491º) = 303,5703 o CS = ST + c * cos (Az ST CS ) = CS = , ,94 * cos (303,5703º) = CS = ,08m E CS = E G + c * sen (Az ST CS ) = E CS = , ,94 * sen (303,5703º) = E CS = ,65m Tabela de coordenadas dos pontos notáveis Pontos Coordenadas (m) E TS , ,85 SC , ,06 CC , ,99 CS , ,65 ST , ,60 PI , ,00

11 LOCAÇÃO DE CURVA COM ESPIRAIS DE TRASIÇÃO COM COORDEADAS PI TS SC CS ST CC E