AULAS 01 E 02: PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

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1 APOSTILA UP-GRADE MATEMÁTICA Prof. Sabará AULAS 0 E 0: PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Fórmula do Termo Geral Soma dos Termos Três Termos em PA Quatro Termos em PA Cinco Termos em PA = a + (n ) r = a + 7 r an S n a8 (a + an ) n (a + a0 ) 0 = S0 = = (a + a0 ) 5 (b) = a c PA (0,0,30 ) (0) = PA (a,b,c ) + PA ( x r, x, x + r ) PA (x 3 r, x - r, x + r, x + 3r) Soma: 3x Produto: x (x r ) Soma: 4x Use o mesmo raciocínio para PA s com número par de termos. PA ( x r, x r, x, x + r, x + r ) Use o mesmo raciocínio para PA s com número ímpar de termos. Soma de DOIS termos em PA a + a = a + a m n p q Se (m + n) = (p + q) PA (0,0,30,40,50,60,70,80 ) a a a3 a 4 a6 a5 a7 a8 a + + a7 = a + a6 = a3 + a5 = a4 a4 Triângulo Retângulo com os lados em PA Ângulos internos de um Triângulo em PA Termo Central A progressão aritmética deverá ter quantidade ímpar de termos O dobro do Termo Central é igual à soma dos equidistantes (x r) + x + (x + r) = 80º 3x = 80º x = 60º Necessariamente um dos ângulos é 60º. Sendo n um número ímpar e representando a quantidade de termos da progressão aritmética: n + Posição do Termo Central P C = Na PA(a, a,a3,a4,a5 ), com 5 termos, 5 + A posição do termo central é P C = = 3ª PA a a a3 a4 a 6 a5 a7 (0,0,30,40,50,60,70) (40 ) = = = Termo central TC ( a + a ) = n e S ( a + a ).n n n = = (T C ).n

2 APOSTILA - UP-GRADE AULAS 0 e 0 SÉRIE AULA. (Iezzi) Os aprovados em um concurso público foram, ao longo de um ano, convocados para ocupar os respectivos cargos. Em janeiro, foram chamadas 8 pessoas; em fevereiro, 30; em março, 4, e assim por diante. a) Quantas pessoas foram convocadas no mês de agosto? b) Quantas pessoas foram chamadas no último trimestre do ano? c) Qual o total de aprovados no concurso em questão?. (Iezzi adaptada) Duas lojas A e B oferecem a seus clientes o mesmo produto. Em certo mês, venderam, respectivamente, 34 e 3 unidades desse produto. Suponha que, a partir daí, o número de unidades mensais vendidas nas lojas A e B varie segundo progressões aritméticas de razões 5 e 3, respectivamente. Considerando que as quantidades vendidas (34 e 3) correspondem ao primeiro mês de vendas, respectivamente paras as lojas A e B, pede-se: a) Quantos produtos foram vendidos pela loja B no vigésimo quarto mês? b) Qual é o número mínimo de meses necessários para que as vendas mensais de A ultrapassem as de B? c) Qual o número total de produtos vendidos pela loja B no período do 4º ao 4º mês? Texto para as questões 03 e 04. Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou várias propriedades dos chamados números figurados, como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros cinco números triangulares são: O número triangular T n é a soma dos n números naturais de a n. A soma da sequência dos números inteiros de a n pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro termo com o último é igual à do segundo termo com o penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número de termos da sequência. 3. (PASUSP 009) O nono número triangular T 9 é a) 66 b) 55 c) 45 d) 36 e) 8 4. (PASUSP 009) Pode-se utilizar a noção de números triangulares para resolver o problema dos apertos de mão, segundo o qual, se em uma festa todos se cumprimentam uma única vez, o número de apertos de mão é um número triangular. Se forem dados 78 apertos de mão em uma festa, em que todos os presentes se cumprimentem uma única vez, com um aperto de mão, quantas pessoas haverá na festa? a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) 5. (UP 0) O Financiamento de um imóvel em dez anos prevê, para cada ano, doze prestações iguais. O valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 0,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Sabendo que, no primeiro ano, a prestação mensal era de R$ 00,00, determine: a) o valor da prestação a ser paga em setembro do 6º ano; b) o total a ser pago nesse financiamento. 6. (Unifesp 009) Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia, 00 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o º dia de caminhada, observou ter percorrido, nesse dia, 6000 metros. A distância total percorrida nos dias foi de: a) m. b) m. c) m. d) m. e) m.

3 APOSTILA UP-GRADE 7. (Iezzi) Em uma cidade, 00 famílias carentes inscreveram-se em um programa social desenvolvido pela prefeitura. Por não haver a verba total imediata necessária para implementar o programa, decidiuse atender 80 famílias no primeiro mês e, em cada mês subsequente, 5 famílias a menos que o número correspondente às famílias assistidas no mês anterior. a) Quantas famílias foram atendidas nos três primeiros meses do programa? b) Qual a porcentagem de famílias inscritas não assistidas ao final de um ano? 8. (UP 0) O UP Centro Educacional efetuou a convocação dos seus funcionários para exame médico (rotina anual) e para tal decidiu numerá-los de a 500. Na primeira semana, foram convocados os funcionários cujos números representavam múltiplos de e, na segunda semana, foram convocados identificados por múltiplos de 3 e que ainda não haviam sido chamados. Determine: a) Quantos funcionários possuíam numeração que representavam múltiplos de e de 3 simultaneamente? b) Quantos funcionários foram convocados na segunda semana? c) Qual o número de funcionários que não haviam sido convocados após essas duas semanas? 9. (UFSM-RS 007) O diretório acadêmico de uma Universidade organizou palestras de esclarecimento sobre o plano de governo dos candidatos a governador. O anfiteatro, onde foram realizados os encontros, possuía filas de poltronas distribuídas da seguinte forma: na primeira fila poltronas, na segunda 5, na terceira 9, e assim sucessivamente. Sabendo que, num determinado dia, todas as poltronas foram ocupadas e que 4 pessoas ficaram em pé, o total de participantes, excluído o palestrante, foi de a) 474 b) 56 c) 557 d) 558 e) 559 AULAS 0 e 0 SÉRIE CASA. (Vunesp 009) Um viveiro clandestino com quase trezentos pássaros foi encontrado por autoridades ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um cronograma, de acordo com uma progressão aritmética, de modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no segundo dia sete pássaros, no terceiro nove, e assim por diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia? a) 55. b) 43. c) 33. d) 3. e) 30.. (UP 0) as medidas (em cm) dos lados de um triângulo retângulo são pares consecutivos. Determine: a) o perímetro desse triângulo; b) a área desse triângulo. 3. (UFU MG) Sabe-se que a soma dos dez primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 500. A soma do terceiro e do oitavo termos dessa progressão é igual a a) 50. b) 00. c) 5. d) (FGV-SP 009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal na aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por Carlos foi: a) b) c) d) e) (PUC MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 670 metros que contorna certa praça. A cada dia, ela percorre sempre uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco dias, ela tiver percorrido um total de 3,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em torno da praça. O valor de x é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 6. (Mack SP) A caixa d água reserva de um edifício, que tem capacidade para litros, contém, em um determinado dia, litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 00 litros o fornecimento de cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é: a) b) 3 c) 4 d) e) 0

4 APOSTILA - UP-GRADE 7. (PUCCAMP-SP) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 0,00 no segundo mês, R$ 5,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de a) R$ 50,00 b) R$ 50,00 c) R$ 400,00 d) R$ 50,00 e) R$ 600,00 8. (UNESP 007) Um fazendeiro plantou 3960 árvores em sua propriedade no período de 4 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte ( x + r) árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 60 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi: a) 50. b) 75. c) 00. d) 50. e) (Mack SP) A quantidade de números naturais ímpares compreendidos entre 0 e 00, não divisíveis por 3 e nem por, é: a) 5 b) 8 c) 6 d) 4 e) 7 0. (UEL-PR modificada) Considere a sequência (,, 4,5,7,8,0,,... ), cujos termos são os números inteiros positivos que não são múltiplos de 3. O 00º termo desta sequência vale: a) 49 b) 47 c) 46 d) 45 e) 43 AULA 0 e 0: RESPOSTAS SÉRIE AULA 0) a) 0. 0) b) 44. 0) c) 008 0) a) ) b) 50 meses. 0) c) 5670 produtos. 03) C 04) B 05) a) R$ 300,00. 05) b) R$ ,00. 06) B 07) a) ) b),5%. 08) a) ) b) ) c) ) D AULA 0 e 0: RESPOSTAS SÉRIE CASA 0 C 0 (*) 03 B 04 C 05 B 06 A 07 E 08 A 09 E 0 A (*) 0) a) 4 cm. 0) b) 4 cm². AULAS 03 E 04: PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Fórmula do Termo Geral an (n ) = a q 7 a8 = a q Soma de n Termos a q a S n n = q S0 a0 q a = q Soma dos Infinitos Termos a S = ; 0 < q < q Três Termos em PG PA ( a,b,c ) (b) = a c PG (,4,8) ( 4) = 8 x PG, x, x q Produto: x³ q 4

5 APOSTILA UP-GRADE PG (, 4, 8, 6, 3,64, 8 a a3 a 4 a5 a6 a 7 a ) Produto de DOIS termos em PA a m n = a p q Se (m + n) = (p + q) a a a a a a a = a = a = a = a = a = a = a ; pois (+ 3) = ( + ) ; pois (+ 4) = ( + 3 ) ; pois (+ 5) = ( + 4 ) ; pois (+ 5) = (3 + 3) ; pois (+ 6) = (3 + 5) ; pois (+ 7) = ( 4 + 4) ; pois ( + 6) = (3 + 5) Termo Central A progressão geométrica deverá ter quantidade ímpar de termos Sendo n um número ímpar e representando a quantidade de termos da progressão aritmética: n + Posição do Termo Central P C = Na PG(a, a,a3,a4,a5 ), com 5 termos, 5 + A posição do termo central é P C = = 3ª Termo central(t ) = ( a c O quadrado do Termo Central é igual ao produto dos Termos Equidistantes.. a n ) AULAS 03 e 04 SÉRIE AULA. (UFSM-RS 009) Os dados da tabela fornecem o número N de mudas de uma determinada espécie, ameaçada de extinção, que vem sendo plantada em um jardim botânico, no ano t, contado a partir do início do experimento. O número de mudas cresce, a cada ano, em progressão de razão. Quando t = 0, o número de mudas plantadas é igual a. Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas. a) geométrica 0 0 c) geométrica e) aritmética 0 0 b) aritmética 0 0 d) geométrica 0 0. (FUVEST-SP 007) Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou com 00 indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira hora, são: Tempo decorrido (minutos) 5 Número de bactérias Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do experimento, a população de bactérias será de a) 5.00 b) c) d) e)

6 APOSTILA - UP-GRADE 3. (UNO-M.Paiva) Há bactérias que se reproduzem por bipartição, isto é, cada uma delas se divide em duas ao 7 atingir determinado tamanho. Suponha que em uma cultura há 3. dessas bactérias e que cada uma delas se divida em duas, dando origem à ª geração; cada bactéria da ª geração se divida em duas, dando 5 origem à ª geração, e assim por diante. Em que geração o número de bactérias será 3.? a) 9ª b) 8ª c) 7ª d) 6ª e) 5ª 4. (UFMG 004) A população de uma colônia da bactéria E.coli dobra a cada 0 minutos. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com.000 bactérias por mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de 4, bactérias por mililitro. Assim sendo, o tempo do experimento foi de: a) 3 horas e 40 minutos b) 3 horas c) 3 horas e 0 minutos d) 4 horas 5. (ESPM SP) Uma sequência de 7 números é tal que os quatro primeiros formam uma PG de razão e os quatro últimos formam uma PA de razão 7. Se o primeiro e o último termo são iguais, podemos afirmar que o menor termo dessa sequência vale: a) 6 b) 30 c) 7 d) 3 e) 4 6. (UFSM-RS modificada) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com as observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. O número total de árvores dessa plantação era igual a: a) 00 árvores. b) 00 árvores. c) 030 árvores. d) 040 árvores. e) 050 árvores. 7. (UFOP-MG) Num determinado jogo de apostas, o prêmio pago a cada jogador vencedor é vezes o valor de sua aposta. Maria adotou o seguinte esquema de apostas: na ª tentativa, apostaria R$ 0,00; na ª tentativa, apostaria R$ 0,00; na 3ª tentativa, apostaria R$ 40,00 e assim por diante, até conseguir vencer. Num certo dia, Maria só conseguiu vencer na 0ª tentativa. Nesse dia, ela teve lucro ou prejuízo? De quanto? 8. (UFOP MG) A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada por Sn = 3, sendo n N {0}. Pede-se: a) Encontre o primeiro e o segundo termos da P.G. b) Obtenha a razão da P.G. c) Expresse o termo geral na da P.G. 9. (UFES-modificada) O lado de um quadrado mede cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo quadrado; unindo-se os pontos médios deste, obtém-se outro quadrado, e assim sucessivamente. Calcule o limite da soma das áreas de todos os quadrados assim obtidos. a) b) 3 cm. cm. c) d) cm. cm. e) 4cm 0. (UFRJ) A região fractal F, constituída a partir de um quadrado de lado cm, é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado L / 3. n As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir. Calcule a área F. 6

7 APOSTILA UP-GRADE AULAS 03 e 04 SÉRIE CASA. (UP 0) Em uma experiência de laboratório, um frasco recebe, no primeiro dia do mês, 3 gotas de um determinado líquido; no segundo dia recebe 9 gotas; no terceiro dia recebe 7 gotas; e assim por diante. No dia em que recebeu 87 gotas ficou completamente cheio. Em que dia do mês isso aconteceu? a) 0º b) 7º c) 8º d) 6º e) 5º. (UEL-PR) Numa aplicação financeira, chama-se montante em certa data a soma da quantia aplicada com os juros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação de R$ ,00 a juros compostos, à taxa de 3% ao mês. Nesse caso, os montantes em reais, no início de cada período de um mês, formam uma progressão geométrica em que o º termo é e a razão é,03. Os juros acumulados ao completar 0 meses de aplicação são: (Dado:,030 =,3439) a) R$ 0.300,00 b) R$ 5.000,00 c) R$ 7.95,00 d) R$.847,00 e) R$ ,00 3. (SANTA CASA SP) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é 5. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale: a) 3,0 b),0 c),5 d) -,5 e) -3,0 4. (UFCG 007) Um estudante prepara-se para uma competição de natação e corrida na sua escola. No primeiro dia de sua preparação, ele nada 5m e corre 500m. Sabendo-se que ele nada sempre o dobro do que nadou no dia anterior, corre sempre 300m a mais do que correu no dia anterior e que nos primeiros N dias, somando-se as distâncias que ele nadou encontramos 3.75m, podemos afirmar que o estudante correu durante estes N dias a quantidade de: a) m b) m c) m d) m e) m 5. (UFSM-RS 009) Suponha que o crescimento no cultivo com sementes transgênicas se dê em progressão geométrica e seja de 0% ao ano. A expressão que representa a projeção da quantidade total de sementes transgênicas cultivadas de 008 a 030 para uma quantidade Q 0 cultivada em 008 é igual a 3 3 (,) (,) e) [(,) ] Q a) Q0 c) 0 Q b) 0[ (,) ] Q 0 d) 0[ (,) ] Q 0 6. (Vunesp-SP 000) No dia de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia também enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia até o final do dia 9 de dezembro, 0 0 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é: a) 6. b) 0. c). d) 4. e) (UFRJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 5 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água? 8. (UP 0) A soma dos termos da PG (5, 50,..., ) é: a). b) c) d) e)

8 APOSTILA - UP-GRADE 9. (UA-AM) Um micróbio de tamanho desprezível parte da origem de um sistema de coordenadas. Inicialmente ele se desloca uma unidade e chega ao ponto (,0). Aí, ele vira 90 no sentido anti-horário e anda / unidade até o ponto (,/). Ele continua dessa maneira, sempre descrevendo ângulos de 90 no sentido anti-horário e andando a metade da distância da vez anterior. Continuando indefinidamente, ele vai se aproximar cada vez mais de um determinado ponto. Quais são as coordenadas desse ponto? 0. (UFLA) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; ) é: a) 3, b) 3,9 c) 3,99 d) 3,999 e) 4 AULAS 03 e 04: RESPOSTAS SÉRIE AULA 0 D 0 C 03 B 04 D 05 E 06 C 07 (*) 08 (**) 09 E 0 (***) (*) 7) Lucro. R$ 0,00. (**) 8) a) a = e a = 6 b) q = 3 c) (***)0),5 cm². a n n = 3. AULAS 03 e 04: RESPOSTAS SÉRIE CASA 0 B 0 C 03 D 04 E 05 B 06 B 07 (*) 08 D 09 (**) 0 E (*) 07) minuto. (**) 4 08),. 5 5 TEORIA DOS CONJUNTOS SÍMBOLOS : pertence : existe : não pertence : não existe : está contido : para todo (ou qualquer que seja) : não está contido : conjunto vazio : contém N: conjunto dos números naturais : não contém Z : conjunto dos números inteiros / : tal que Q: conjunto dos números racionais : implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais 8

9 APOSTILA UP-GRADE CONCEITOS DE CONJUNTOS Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou. Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão n subconjuntos de A. 9

10 APOSTILA - UP-GRADE CONJUNTOS 3. Assinale nos diagramas abaixo os seguintes conjuntos: a) A B C A B C b) A ( B C ) A B C c) A ( B C ) A B C d) A B C A B C 4. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d }, B = {c, d, e, f, g } e C = {b, d, e, g }. Determine: a) A B = b) B A = c) C B = d) (A C) B = e) A (B C) = f) (A B) (A C) 5. Considere os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que: n(a B) = 4 n(a B) = 4 n(b C) = 6 n(a C) = n(b C) = 0 Calcule: a) n(a B) = b) n(a B C) = c) n(b (C A)) = d) n(a (B C)) = e) n(b (A B)) = 0

11 APOSTILA UP-GRADE 6. Numa classe de 30 alunos, 6 gostam de Matemática e 0 de História. Calcule o número de alunos, no mínimo, que gostam de Matemática e História. 7. Em uma turma de 60 alunos, praticam natação e futebol, 39 praticam natação e 33 praticam futebol. a) Qual a porcentagem de alunos que praticam um, e somente um, desses esportes? b) Qual a porcentagem de alunos que não pratica nenhum desses esportes? 8. Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% leem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. Calcule o percentual de funcionários que leem as duas revistas. 9. As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? c) Quantos não consumiram a cerveja S? d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? 0. Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B, C. Todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir: Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um desses dois produtos. Com base nesses dados, calcule o número total de pessoas consultadas.. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequenta, pelo menos, uma das três livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados: das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 8 não frequentam as demais; das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 6 não frequentam as demais; das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 4 não frequentam as demais; oito pessoas frequentam as três livrarias. a) DETERMINE o número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias. b) DETERMINE o número de pessoas que frequentam, pelo menos, duas livrarias. c) DETERMINE o número total de pessoas ouvidas nessa pesquisa.. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A - 48% A e B - 8% B - 45% B e C - 5% C - 50% A e C - 5% nenhuma das 3-5% a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C? b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?

12 APOSTILA - UP-GRADE 3. Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: 40% dos entrevistados leem o jornal A. 55% dos entrevistados leem o jornal B. 35% dos entrevistados leem o jornal C. % dos entrevistados leem os jornais A e B. 5% dos entrevistados leem os jornais A e C. 9% dos entrevistados leem os jornais B e C. 7% dos entrevistados leem os três jornais. 35 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, calcule o número total de entrevistados. 4. Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 60 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela ao lado. Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Calcule X. 5. Uma amostra de 00 caixas de pílulas anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram aprovadas e 6 reprovadas, por conterem um número menor de pílulas que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 4 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes? 6. Numa escola de música, 65% das pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes estudam violão. Sabe-se que 60% das pessoas matriculadas são do sexo masculino e que as do sexo feminino que estudam violão são apenas 5% do total. Nessas condições, escolhendo-se uma matrícula ao acaso, qual é a probabilidade de ser a de uma pessoa do sexo masculino e estudante de teclado? 7. Considere um grupo de 50 pessoas que foram identificadas em relação a duas categorias: quanto à cor dos cabelos, louras ou morenas; quanto à cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa identificação, sabe-se que 4 pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 3 pessoas são morenas e que 8 têm olhos castanhos. Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos castanhos. 8. Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se, sobre a população, que: I. 44% têm idade superior a 30 anos; II. 68% são homens; III. 37% são homens com mais de 30 anos; IV. 5% são homens solteiros; V. 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; VI. 45% são indivíduos solteiros; VII. 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. Com base nos dados anteriores, calcule a porcentagem da população dessa cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos. 9. Trinta e cinco estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 6 visitaram Manaus; 6, S. Paulo e, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. Qual o número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo? 0. Uma empresa tem funcionários. Desses, 48% têm mais de 30 anos, 36% são especializados e 400 têm mais de 30 anos e são especializados. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos funcionários têm até 30 anos e não são especializados? b) Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a probabilidade de ele ter até 30 anos e ser especializado?

13 APOSTILA UP-GRADE. Depois de n dias de férias, um estudante observa que: I. choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde II. quando chove de manhã, não chove à tarde. III. houve 5 tardes sem chuva IV. houve 6 manhãs sem chuva Calcule n.. Eu tenho o triplo da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem, Quando você tiver minha idade, a soma de nossas idades serão 77. Calcule a idade que eu tinha quando você nasceu. 3. (Desafio) Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 5 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Justifique. GABARITOS 3. RESOLUÇÃO EM SALA. 4. RESPOSTAS: a) {a, b} b) {e, f, g} c) {b} d) {a, b} e) {a, b, c} f) {a, c, e, f, g} 5. RESPOSTAS: a) 8 b) 6. RESPOSTA: 6 alunos. 7. RESPOSTA: a) 50%. b) 5%. 8. RESPOSTA: 40 % c) 7 d) 3 e) 3

14 APOSTILA - UP-GRADE 9. RESPOSTAS: a) 35 b) 75 c) 35 d) RESPOSTA: 7 pessoas.. RESOLUÇÃO: a) Apenas uma = = 78 pessoas b) Pelo menos uma = x + y + z + 8 = 87 pessoas. c) Total = 65 pessoas. RESPOSTAS: a) 0 % b) 57 % 3. RESPOSTA: RESPOSTA: X = 6 5. RESPOSTA: RESPOSTA: 3/0 7. RESPOSTA: número de pessoas morenas com olhos castanhos = 3 8. RESPOSTA: 7% 9. RESPOSTA: 9 0. RESOLUÇÃO: 4

15 APOSTILA UP-GRADE. RESPOSTA: n = 9 dias. RESPOSTA: anos 3. RESPOSTA: 5 alunos. RESOLUÇÃO Observe a figura a seguir: Classificando os 87 alunos segundo o diagrama, temos os seguintes dados do problema (representamos por **X o número de elementos do conjunto X): () x+y+z+v+u+w+9 = 87 () z = 0 (3) v+w+z+9 = 5 (4) u+9 = 50 (5) x+v+9 = 65 (6) v+9 = w+9 Queremos x + y + z. De () temos z = 0, o que nos dá x + y + z = x + y. Substituindo (4) em () e subtraindo (3), obtemos x+y+=87-5=36. Logo, x + y + z = 36 - = 5 alunos. 5

16 APOSTILA - UP-GRADE ANOTAÇÕES 6