Alocação de Carteiras de Ações Através da Utilização de Modelos de Lógica Fuzzy

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1 Alocação de Carteiras de Ações Através da Utilização de Modelos de Lógica Fuzzy Resumo Autoria: Silas Roberto Trigo de Castro, Afonso de Campos Pinto Este trabalho tem por objetivo propor uma carteira composta por posições compradas e vendidas de ações que supere os principais Índices de mercado. O resultado é obtido através de um modelo de Lógica Fuzzy, que é um modelo de inteligência artificial que trata os dados de maneira lógica, ou seja, sem relacionar as variáveis através de modelos matemáticos convencionais. Para esse estudo utilizamos como variáveis de entrada os múltiplos Preço/Lucro Esperado e Preço/Valor Patrimonial da Empresa de cada ação considerada. Foram estudadas as ações do mercado americano pertencentes ao índice S&P 5, do ano de 2 até 27. Com o intuito de comparar a eficiência do Modelo de Lógica Fuzzy, utilizamos o modelo de Regressão Linear Multivariada e os índices de mercado S&P 5 e o S&P 5 com uma modificação para se adequar aos dados escolhidos para o estudo. O modelo proposto produziu resultados satisfatórios. Para quase todos os anos estudados o retorno da carteira obtida foi muito superior ao dos Índices de mercado e do modelo linear convencional. Através de testes adequados comprovamos estatisticamente a eficiência do modelo em comparação aos Índices de mercado e ao modelo linear convencional. Introdução Um dos maiores desafios do mercado financeiro é identificar dentre uma série de ativos, aqueles que terão melhores desempenhos no futuro. Metodologias foram desenvolvidas com o intuito de tentar obter carteiras de ativos com retornos mais altos do que a média de mercado. Dentre as metodologias desenvolvidas existem aquelas que levam em consideração informações passadas de retorno e volatilidade, como a fronteira eficiente de Markowitz, até métodos que levam em consideração informações específicas de cada ação, como análises de múltiplos da empresa. Para identificar se o retorno de uma carteira de ativos é alto, precisamos primeiramente ter uma carteira de comparação, que chamamos de Índice de mercado. Geralmente o Índice de mercado de ações é a carteira composta pelas ações mais líquidas desse mercado, ponderadas pelo valor de mercado de cada empresa. No nosso estudo utilizamos ações americanas e o Índice de mercado é o S&P5. O modelo utilizado para a obtenção dessa carteira de ativos foi um modelo de Lógica Fuzzy, o qual utiliza interações lógicas entre as variáveis explicativas e a variável resposta. Foi ainda desenvolvida uma carteira utilizando um modelo de Regressão Linear, para que a eficácia do modelo proposto fosse testada não somente em relação ao mercado, mas também frente a um modelo matemático tradicional. Portanto, esse trabalho busca uma metodologia capaz de identificar quais ações deveriam ser compradas e vendidas por um investidor, para obter uma carteira que supere o retorno do Índice de mercado. Muitas são as abordagens para atingir esse objetivo: Markowitz (1952) identificou técnicas para a obtenção de carteiras ótimas a partir do risco que o investidor estava disposto a correr, considerando para isso o histórico das rentabilidades e das volatilidades; outros estudos como o de Basu (1977) e Rosenberg, Reid e Lanstein (1985), identificaram múltiplos de mercado capazes de explicar o retorno futuro das ações, contrariando a teoria de mercado eficiente, que diz que toda e qualquer informação disponível é instantaneamente assimilada pelos operadores de mercado, impedindo que qualquer investidor tenha vantagens na obtenção de lucros (Ross, 2). O objetivo desse trabalho é, portanto, utilizando um modelo de Lógica Fuzzy, obter um portfolio composto por posições compradas e vendidas em ações e no fim de um ano comparar o rendimento dessa carteira com o Índice de mercado utilizado pelos investidores como parâmetro na tomada de decisão. O Modelo utiliza para isso, conceitos lógicos ao invés de 1

2 simplesmente utilizar relações matemáticas. Mais do que evidenciar que o Modelo traz melhores retornos se comparado ao Índice de mercado, demonstramos também que ele é melhor (no sentido de ser capaz de obter melhores rentabilidades) que um modelo matemático tradicional. Por esse motivo, será obtida uma carteira de ações compradas e vendidas, a partir de um modelo de regressão linear (o Modelo de Regressão Linear Multivariada). Assim, nosso segundo objetivo é evidenciar que o Modelo de Lógica Fuzzy traz resultados melhores que o Modelo Linear, ou seja, melhores rentabilidades. Na Seção 2, apresentamos uma revisão bibliográfica que justificará os indicadores e o modelo utilizados. Na Seção 3 descrevemos a metodologia adotada: a escolha dos indicadores utilizados como variáveis independentes, a base de dados escolhida, as características do Modelo de Lógica Fuzzy adotado e a descrição dos modelos utilizados para obtermos as carteiras, desde o funcionamento do Modelo de Lógica Fuzzy até o desenvolvimento do Modelo de Regressão Linear assim como os Índices de mercado, que serão utilizados para gerar carteiras-teste para o estudo. Na Seção 4 apresentamos os resultados da modelagem com os dados analisados. Por fim, na Seção 5 destacamos nossas principais conclusões, comentando também as limitações do trabalho e o que pode ser desenvolvido futuramente a partir dele. 2. Revisão Bibliográfica Basu (1977) comprovou que o múltiplo formado pela razão entre Preço e Lucro por ação (P/L), era correlacionado com o retorno dos ativos. O trabalho provou que ações com um baixo P/L tendiam a render mais do que ações com alto P/L. A teoria era de que se a relação entre preço e lucro de uma ação é baixa é porque essa ação está mal precificada pelo mercado, ou seja, está barata. Rosenberg, Reid e Lanstein (1985) identificaram que o múltiplo obtido pela razão entre Preço e Valor Patrimonial, ou seja, o valor contábil da empresa (P/VP) por ação também possuía correlação com os retornos dos ativos. A idéia por trás do trabalho é a de que se o preço está muito baixo em relação ao valor que os próprios contadores atribuem à empresa, é também porque a ação está barata. Fama e French (1992) analisaram vários fatores que poderiam influenciar o rendimento das ações conjuntamente, dentre eles estavam o múltiplo P/VP e o valor de mercado das empresas. Constataram que para as empresas menores, os múltiplos P/VP mais baixos geram retornos ainda maiores. Basu (1983) também estudou o efeito do valor de mercado das empresas sobre o múltiplo P/L e constatou que o efeito do múltiplo também é maior nas ações de empresas menores. Alguns trabalhos mais recentes estudaram os modelos que correlacionavam múltiplos e outros índices aos retornos maiores de ativos no futuro e identificaram algumas anomalias. Damodaran (21) conseguiu provar que os múltiplos P/L e P/VP realmente eram negativamente correlacionados com os retornos dos ativos, porém, algumas variáveis também tinham que ser consideradas, como taxa de crescimento, valor de mercado da empresa e qualidade da avaliação contábil. Um fato, porém, dificultava o estudo desses múltiplos: Eles se relacionam de maneira lógica com o retorno dos ativos, mas não através de um modelo matemático convencional. Isso fica evidente nos trabalhos de Basu (1977), Rosenberg, Reid e Lanstein (1985), Fama e French (1992), e Basu (1983) que, para comprovarem a relação entre as variáveis, tiveram que separá-las em categorias, para só então comparar o desempenho de cada grupo. Um dos objetivos deste trabalho consiste em obter um modelo que consiga analisar, de maneira adequada, variáveis com esta característica. Uma abordagem que pareceu ser adequada para tratar esse tipo de dados foi a Lógica Fuzzy, por utilizar conceitos lógicos no tratamento dos dados, de tal forma que a relação seja como uma resposta humana ao analisar a variável. 2

3 Zadeh (1965) desenvolveu a teoria de conjuntos Fuzzy como um modelo alternativo para analisar conhecimentos imprecisos que se relacionam logicamente, porém não através de modelos tradicionais. Mamdani (1977) realizou estudos que buscavam aplicar as teorias de Lógica Fuzzy em sistemas de controle. A partir de seus estudos, surgiram modelos de lógica Fuzzy aperfeiçoados, que foram base de nosso trabalho. Modelo de lógica Fuzzy passaram a ser empregados em diversos campos. Souto-maior (27) tentou prever movimentos diários de queda e alta de índices de ações a partir da variação destes mesmos índices nos três dias anteriores. Utilizou para isso o Modelo de Lógica Fuzzy e analisou diversos mercados para períodos diversos obtendo resultados satisfatórios. Pereira (28) utilizou Lógica Fuzzy para desenvolver de um modelo que auxilie um analista técnico a tomar decisões de compra e venda de ações diariamente, a partir de dados técnicos de mercado, como a média móvel e um índice que expressa a força relativa de um movimento de preço. 3. Metodologia 3.1. Principais indicadores Para estimarmos a carteira de ações com alto rendimento que estamos buscando, utilizamos alguns indicadores de mercado, que, em trabalhos anteriores, foram identificados como correlacionados com o bom desempenho de ações. Estes indicadores são: A Relação Preço / Lucro Esperado (P/L): É talvez o múltiplo mais difundido e utilizado pelos investidores de ações pela simplicidade e o apelo intuitivo. Uma ação negociada a um baixo múltiplo de seu lucro é freqüentemente caracterizada como barata (Damondaran, 21). Basu (1977) analisou ações negociadas na Bolsa de Nova York e mostrou em seu artigo que ações com baixo P/L geravam retornos maiores que as de alto P/L. Damondaran (21) identificou outros indicadores que podem influenciar essa razão entre os dois índices, como por exemplo, o setor de atuação e o tamanho da empresa. Nesse artigo, utilizamos o lucro esperado como denominador do múltiplo, pois dessa forma a relação entre preço e lucro traz exatamente o múltiplo que necessitamos em nosso estudo, ou seja, o preço de cada ação em relação à unidade de lucro esperada por ação. A Relação Preço / Valor Patrimonial da Empresa (P/VP): É também outro índice muito observado pelos investidores. O valor patrimonial da ação é a medida contábil de quanto vale o patrimônio de uma empresa. Os investidores acreditam que ele fornece uma medida mais realista do real valor das ações do que os mercados financeiros, muitas vezes afetados por oscilações irracionais de humor. A conseqüência lógica dessa visão é a de que ações negociadas a preços menores do que o valor patrimonial são subestimadas e ações negociadas a valores muito maiores são superestimadas (Damondaran, 21). Em 1985, Rosenberg, Reid e Lanstein, mostraram com uma série de ações da Bolsa de Nova York que, ações com baixa relação P/VP obtiveram melhores rendimentos que as com alto P/VP. Damondaran (21) encontrou alguns fatores que o trabalho inicial não considerou, como, por exemplo, a ocasional existência de fraudes por parte dos contadores no intuito de dar valores bons às empresas que nem sempre estão com a saúde financeira tão boa. Valor de mercado da empresa: Além dos múltiplos estudados, também utilizamos o valor da empresa para balancear as carteiras que pretendemos comparar com nosso modelo. O valor da empresa, portanto, não é uma variável independente do modelo, e 3

4 foi coletado para a elaboração da carteira-teste que será comparada com a carteira obtida através do modelo proposto Base de dados Para validar o modelo proposto, precisávamos analisar um mercado com as seguintes características: Alta liquidez: impedindo a escolha de ações difíceis de serem negociadas; Mercado pulverizado: com um grande número de ações disponíveis para negociação, garantindo uma carteira resultante bem diversificada; Baixa concentração: o que impediria que uma determinada ação tivesse rendimentos muito significativos numa carteira ponderada por valores de mercado. Para atender a esses pré-requisitos, optamos por utilizar o mercado americano de ações e analisar as ações pertencentes ao índice S&P 5 no ano de 28. Após a escolha das ações que seriam observadas, utilizamos a base de dados da Bloomberg, para coletar as informações necessárias para a análise. Optamos por fazer observações anuais, pois as empresas observadas possuem ciclos de vendas diferentes e, desta forma, uma análise trimestral incorreria em erros de sazonalidade. Os dados utilizados são do encerramento do ano de 2 até o encerramento de 27. Dessa forma, temos 5 ações, observadas durante 7 anos, sendo que para cada ação observamos as variáveis: P/L, P/VP, retorno e valor de mercado da empresa. É importante destacar que a composição do S&P5 não se manteve a mesma durante todo o período estudado, por isso, optamos por utilizar as ações que faziam parte do índice em junho de 28, data da elaboração do trabalho Modelo de Lógica Fuzzy O Modelo de Lógica Fuzzy foi o escolhido para obtermos uma carteira de ações com posições compradas e vendidas por se tratar de um modelo de inteligência artificial, que obtém resultados a partir de informações que não precisam ser precisas, mas que se relacionam de maneira lógica com a resposta procurada, sem que se exija utilizar um modelo matemático tradicional para essa análise. A teoria de conjuntos Fuzzy, desenvolvida por Zadeh (1965), tem sido empregada com sucesso para exprimir conhecimento impreciso e resolver problemas em muitas áreas, onde o processo de modelagem convencional é difícil, ineficiente ou muito oneroso (Lemos, 23). Por essas razões o Modelo de Lógica Fuzzy é muito utilizado em estudos financeiros, onde os dados são muito imprecisos, ou seja, são afetados por diversos fatores, o que dificulta sua mensuração através de modelos convencionais. A força dos modelos está justamente em sua habilidade para extrair conclusões e respostas a partir de informações imprecisas, qualitativas, incompletas ou até mesmo ambíguas. Mamdani (1977) propôs métodos de inferência através de um modelo de Lógica Fuzzy. Ele propôs as seguintes etapas para se obter um modelo de Lógica Fuzzy: Fuzzificação: trata-se do processo de atribuir uma qualidade, e seu grau de pertinência, a um determinado valor observado de uma variável estudada; 4

5 Regras Fuzzy: São as regras que utilizam as qualidades obtidas na fuzzificação para ajudar nas decisões que serão tomadas; Defuzzificação: É o processo de escolha do grau de confiança na decisão que será tomada. O modelo utiliza alguma relação estabelecida para chegar num grau de confiança da decisão tomada Modelo Proposto Para a realização do trabalho utilizamos como variáveis independentes do modelo os múltiplos P/L e P/VP. A resposta que buscávamos para o modelo é a de quais ações deveriam ser compradas e vendidas em um universo considerado, para um dado horizonte de tempo (no caso do trabalho, esse tempo foi de um ano). De início tínhamos uma base com 5 ações pertencentes ao S&P 5 em junho de 28 e seus respectivos P/Ls, P/VPs, valor de mercado e rentabilidade anual do ano de 21 até 27. O primeiro passo do trabalho foi ajustar a base de dados. Eliminamos as ações que não possuíam valores em algum dos anos considerados. Após essa filtragem restaram 373 ações com todas as informações necessárias em nosso estudo. A partir dessa base reduzida, fizemos um estudo descritivo dos dados para observarmos como as variáveis que iríamos estudar estavam distribuídas. O Quadro 1 abaixo traz as características das variáveis estudadas para o primeiro ano estudado, ou seja, o de 21. Podemos notar que o desvio padrão é muito grande para ambas as variáveis, além disso, encontramos valores máximos muito distantes da mediana, o que demonstra uma incidência muito alta de valores discrepantes de alto valor. PL PVP Mínimo 2,75,38 Mediana 19,43 3,33 Máximo 165,63 243,47 Média 29,67 5,88 Desvio Padrão 58,93 13,99 Quadro 1: Estatística Descritiva - 21 Os Gráficos 1 e 2, trazem, respectivamente, os histogramas das variáveis P/L e P/VP para o mesmo ano de 21 e, através deles, notamos que realmente os dados estão muito dispersos. Histograma - P/L Histogr ama - P /VP Frequencia Frequencia More Gráfico 1: Histograma para variável P/L Gráfico 2: Histograma para variável P/VP É interessante que esses valores não estejam tão dispersos quando formos qualificar as ações em grupos e criar as regras de grau de pertinência. Desta forma, como os dados parecem se distribuir de maneira log-normal, a utilização do logaritmo da variável nos traria 5

6 uma distribuição mais adequada para o nosso trabalho. No Quadro 2 temos as novas estatísticas para os logaritmos das variáveis P/L e P/VP para o ano de 21. Podemos notar que a transformação realmente nos trouxe valores menos dispersos, o que pode ser bem exemplificado pela diminuição do desvio padrão e pela diminuição da diferença entre o valor máximo e a mediana: Ln (PL) Ln (PVP) Mínimo 1,1 -,96 Mediana 2,97 1,2 Máximo 6,97 5,5 Média 3,8 1,3 Desvio Padrão,66,82 Quadro 2: Estatística Descritiva - 21 Os gráficos 3 e 4, trazem respectivamente os histogramas dos logaritmos das variáveis P/L e P/VP para o ano de 21. Notamos que, após as transformações, as distribuições dos dados estão menos dispersas e se aproximam de uma distribuição Normal. Histograma - Ln (P/L) His tog ra m a - L n (P /VP ) Frequenc 8 6 Frequenc More M ore Gráfico 3: Histograma da variável Ln(P/L) Gráfico 4: Histograma da variável Ln(P/VP) Para testar se os dados se distribuem segundo uma Distribuição Normal, realizamos o teste de Kolmogorov-Smirnov. A hipótese nula deste teste é a de que a distribuição é normal, portanto só confirmamos que a distribuição é normal se o p-value obtido for superior a,5 (supondo que queremos 95% de confiança no teste). Observando os resultados no Quadro 3, vemos que os p-values para as variáveis P/L e P/VP eram zero, indicando que a distribuição não era Normal. Com a transformação obtivemos um valor de p-value de,41 para o Ln(P/L) e um valor de,84 para o Ln(P/VP). Portanto os dados se aproximam mais de uma Normal, sendo que somente o Ln(P/VP) pode ser considerado uma distribuição Normal através do teste. Kolmogorov-Smirnov Test P/L P/VP Ln(P/L) Ln(P/VP) N Normal Parameters(a,b) Mean Std. Deviation Most Extreme Differences Absolute Positive Negative (.343) (.35) (.49) (.49) Kolmogorov-Smirnov Z p-value Quadro 3: Teste de Kolmogorov-Smirnov para todas as variáveis 6

7 Com essas transformações, passamos a ter uma nova base de dados que será utilizada para desenvolvermos o Modelo de Lógica Fuzzy efetivamente. A utilização do logaritmo das variáveis impede que tenhamos alguns valores muito altos (valores discrepantes), nos levando a acreditar que todos os demais são muito baixos. O logaritmo corrige essa falha ao aproximar os dados. Isso será importante, como veremos a seguir, quando utilizamos modelos matemáticos que se baseiam na diferença entre o máximo e a mediana e entre o mínimo e a mediana, para determinar se um valor é alto, médio ou baixo. O primeiro passo é o da Fuzzificação que, para cada ação i, determina se os valores obtidos para as variáveis Ln(P/L) e Ln(P/VP) são Baixo, Médio ou Alto, e atribui um grau de pertinência a esse valor dentro da classificação em que se encontra. Notar que não necessariamente a ação terá a mesma classificação para ambas as variáveis estudadas. Esse grau de pertinência, que varia de a 1, indica o quão grande é a confiança que temos ao alocar esta ação dentro da classificação e, logicamente, seu valor está associado ao valor que a variável nos fornece. Essa relação é obtida através de uma relação matemática que será exposta a seguir. Para cada ano estudado, observamos a mediana de cada uma das variáveis Ln(P/L) e Ln(P/VP) e a partir desses valores desenvolvemos uma regra de decisão para determinar se cada variável, para cada ação, possui um valor Baixo, Médio ou Alto. Para cada ação, observamos o valor de cada variável e obtemos um grau de pertinência (GP) para cada classificação (alto, médio e baixo), a que possuir o maior valor será a escolhida para aquela variável. Para atribuir um grau de pertinência a cada ação i, em cada classificação, a partir de um determinado valor das variáveis Ln(P/L) e Ln(P/VP), utilizamos as mesmas regras para ambas as variáveis estudadas. Para obtermos o grau de pertinência (GP) em cada classificação, a partir do valor da variável (X) utilizamos as Fórmulas 1,2 e 3 apresentadas abaixo. Aplicamos essas regras para todas as N ações. Baixo: Mediana X GP = Mediana Mínimo GP=, se Mínimo X Mediana (1), caso contrário Médio: X Mínimo GP = Mediana Mínimo, se Mínimo X Mediana (2) Máximo X GP = ( Máximo Mediana), se Mediana X Máximo Alto: X Mediana GP = Máximo Mediana GP =, se Mediana X Máximo (3), caso contrário Essas regras foram utilizadas para todos os anos analisados, sendo que a única variação de um ano para outro eram os valores: Mínimo, Mediana e Máximo. Podemos notar que, para qualquer valor da variável, obtemos um grau de pertinência nas três classificações. A soma de todos os graus sempre resulta em 1. Após a determinação desse grau de pertinência, classificamos a variável de acordo com o maior grau de pertinência. 7

8 A Figura 2 mostra como seria a representação gráfica da regra de fuzzificação descrita. Essa é uma forma mais clara de visualizar o processo de determinação do grupo que um indivíduo estaria e qual seria seu grau de pertinência a partir de um determinado valor para a variável. 1 Baixo 1 Médio 1 Alto Grau de Pertinência Grau de Pertinência Grau de Pertinência Mínimo Mediana Máximo Mínimo Mediana Máximo Mínimo Mediana Máximo Variável Variável Variável Figura 1: Regra de Fuzzificação Assim, para qualquer valor da variável, teremos um grau de pertinência para as três classificações: Baixo, Médio e Alto. Dentre as classificações, a que nos der o maior grau de pertinência será a forma como a variável será classificada. A Figura 3 traz um exemplo de como a regra foi aplicada para a variável Ln(P/L) para o ano de 21 e a Figura 4, como foi aplicada para a variável Ln(P/VP) para o mesmo ano. Figura 2: Regra de Fuzzificação Ln (P/L) 21 Figura 3: Regra de Fuzzificação Ln (P/VP) - 21 Podemos observar que o conjunto dos 3 gráficos são semelhantes para as duas variáveis estudadas, sendo a única diferença os valores do Mínimo, Mediana e Máximo, que correspondem a cada variável. Esses valores são os mesmos obtidos pela análise descritiva e mostrados no Quadro 2. Podemos notar que a mediana fica mais próxima do valor mínimo do que do máximo. Isso se deve ao grande número de valores discrepantes de alto valor. Para 8

9 cada um dos demais anos analisados teríamos outros conjuntos de 3 gráficos (Baixo, Médio e Alto) para cada variável com diferentes valores de Mínimo, Mediana e Máximo. Se tomarmos, como exemplo um valor de Ln(P/L) de 1,76 e Ln(P/VP) de -,9 teríamos, aplicando as fórmulas para o cálculo dos graus de pertinência, os seguintes valores para cada classificação. Classificação do Ln(P/L) = 1,76: Baixo:,62 Médio:,38 Alto:, Classificação do Ln(P/VP) = -,9: Baixo:,59 Médio:,41 Alto:, Ou seja, classificaríamos essa ação como uma ação de Ln(P/L) baixo e Ln(P/VP) baixo, já que nessas classificações encontramos os maiores graus de pertinência para cada variável dentre as 3 analisadas. A Figura 5 traz a representação gráfica da obtenção dos graus de pertinência para o exemplo acima para a variável Ln(P/L) nas 3 classificações e a Figura 6 traz a mesma representação para a variável Ln(P/VP). Figura 4: Exemplo de Grau de Pertinência para o valor de Ln (P/L) = 1,76 1 Baixo 1 Médio 1 Alto Grau de Pertinência,59 Grau de Pertinência,41 Grau de Pertinência , , , Log P/VP Log P/VP Log P/VP Figura 5: Exemplo de Grau de Pertinência para o valor de Ln (P/VP) = -,9 O segundo passo é a criação de regras, utilizando o que já foi demonstrado nos estudos de Basu (1977), que relacionou P/L com Retorno Esperado, e Rosenberg, Reid e Lanstein (1985), que relacionou P/VP com Retorno Esperado. O Quadro 4 mostra as regras utilizadas em nosso estudo: 9

10 REGRAS STATUS RESPOSTA REGRA 1: PL ALTO VENDER REGRA 2: PL BAIXO COMPRAR REGRA 3: PVP ALTO VENDER REGRA 4: PVP BAIXO COMPRAR Quadro 4: Regras da Fuzzificação Podemos notar que apesar de serem 4 regras, elas funcionam como dois pares de regras, já que as duas primeiras se referem ao Ln(P/L) e as duas últimas ao Ln(P/VP). Em cada par, as regras são excludentes, ou seja, se o Ln(P/L) for baixo utilizamos a regra 2 e descartamos a 1, se for alto utilizamos a regra 1 e descartamos a 2, se for médio não utilizamos nenhuma das duas regras, ou seja não compramos nem vendemos a ação. O mesmo vale para a variável Ln(P/VP) e as regras 3 e 4. Com essas regras decidimos o que fazer com as ações a partir da classificação obtida. No nosso exemplo, onde Ln(P/L) é igual a 1,76 e considerado baixo, a regra 2 diz que essa ação deve ser comprada; o Ln(P/VP) é igual a -,9 e também é considerado baixo, a regra 4 também diz que essa ação deve ser comprada. O próximo passo é a defuzzificação, onde atribuímos um grau de confiança na decisão que será tomada, ou seja, obtemos um resultado numérico que representa a força da decisão que iremos tomar. Chamamos esse resultado de Crisp. Para o cálculo do Crisp, utilizamos as fórmulas 4 e 5 abaixo para o cálculo da compra e da venda de ações, a partir do GP: Compra: Venda: Crisp = GP (4) Crisp = GP (5) Portanto, após todo esse processo, teremos sempre um par de respostas, o Crisp 1 e o Crisp 2, sendo que o primeiro se refere á variável Ln(P/L) e o segundo se refere à variável Ln(P/VP). Estes Crisps assumem valores positivos quando formos comprar as ações, negativos quando formos vendê-las e zero quando não compramos nem vendemos a ação. É importante notar que um Crisp, não precisa estar relacionado com o outro, ou seja, podemos obter valores negativos para um (indicando que devemos vender a ação) e positivo para o outro (indicando que devemos comprá-la). O último passo é obter um Crisp único para cada ação i, ou seja, que receba todas as regras ao mesmo tempo. Observando o comportamento do mercado e através da análise dos dados, notamos que a variável P/L possui mais influência no retorno esperado do que a variável P/VP, por isso, optamos por atribuir 8% de peso para o Crisp da variável Ln(P/L) e 2% para o Crisp da variável Ln(P/VP), conforme a fórmula abaixo: crisp ( i) =,8* crisp1 ( i) +,2* crisp2( i) (6) Para o exemplo de ação sugerido, temos: o Ln(P/L) igual a 1,76, portanto compraríamos a ação com grau de pertinência igual a,62, e para acharmos o Crisp 1, utilizaríamos a fórmula de compra 4, que nos daria um valor de,62; o Ln(P/VP) igual a -,9, indica que devemos comprar a ação com grau de pertinência igual a,59 e, para acharmos o Crisp 2, utilizaríamos a fórmula de compra 4 novamente, que nos daria o valor de,59. Temos agora que calcular o Crisp resultante. Esse seria calculado através da fórmula 6 e obteríamos um Crisp de,614. Portanto, a ação i considerada teria um Crisp de,614 e, por ser positivo, indica que compraríamos a ação i. Após realizarmos este procedimento para uma ação repetimos o mesmo para todas as outras restantes, até que tenhamos 373 valores de Crisp (variando entre -1 e 1), sendo que os 1

11 positivos indicam as ações que devem ser compradas, os negativos as que devem ser vendidas e os de valor zero as que não serão utilizadas. Dispondo das informações de quais ações deveriam ser compradas ou vendidas e que grau de confiança tínhamos nessa decisão (Crisp), desenvolvemos uma metodologia para ponderar o percentual de ações (x i ) que seriam compradas e vendidas, para compor a carteira final de ações. Usamos uma média ponderada respeitando as Fórmulas 7 e 8 abaixo: x i = Crispnegi Crispneg Crisppos + i (7) x i = Crispposi Crispneg Crisppos + i, (8) Onde Crisppos é cada um dos Crisps positivos e Crispneg é cada um dos Crisps negativos. Essa fórmula assegura que sejam compradas e vendidas as ações, proporcionalmente ao Crisp de cada ação, ou seja, proporcional ao grau de confiança que temos na decisão. As vendas terão valor negativo e as compras, valores positivos. Com a nova carteira proposta, utilizamos os retornos já conhecidos, para calcular qual o retorno a carteira geraria se fosse montada no começo do período Modelo de comparação Para testar a efetividade do modelo, precisávamos de carteiras-teste que pudessem ser comparadas com o modelo proposto. Usamos duas abordagens: a primeira a de usar carteiras que o mercado americano acompanha como índice de referência (índice de mercado), o que nos permite testar a eficiência do modelo frente ao índice padrão do mercado (S&P 5); e a segunda foi a utilização de um modelo de regressão linear, o que permitiu comparar o modelo proposto com um modelo estatístico convencional. Para cada ano comparamos 4 carteiras de ações: 1) Modelo de Lógica Fuzzy, que já foi apresentado e é o alvo do estudo; 2) S&P 5, Índice de mercado padrão dos investidores americanos. É composto pelas 5 ações mais líquidas do mercado, cujo peso de cada uma na carteira é ponderado pelo valor da empresa no mercado; 3) S&P 5 modificado, O mesmo índice mostrado acima, porém considerando somente as ações utilizadas em nosso estudo. Ou seja, utilizamos as mesmas 373 ações usadas, ponderadas pelo valor de mercado da empresa que elas representam. Isso permitiu chegar a um índice mais justo para ser comparado com o Modelo Fuzzy, já que este descartou as ações que não utilizamos em nossa análise. 4) Modelo de Regressão Linear Multivariada (MRLM), que seria um modelo matemático convencional, para relacionar os múltiplos estudados com o retorno esperado. Fizemos uma regressão linear multivariada utilizando os dados de cada ano. Com os valores obtidos para os coeficientes, estimamos retornos futuros para o ano seguinte. Somente no primeiro ano estudado (21) é que utilizamos os coeficientes obtidos através da Regressão aplicada no próprio ano de 21. Utilizamos como variável independente o 11

12 logaritmo das variáveis originais (P/L e P/VP). Essa transformação permitiu que utilizássemos na regressão, variáveis com distribuição próximas de uma Normal. Essa transformação é muito útil, pois, com a falta da normalidade dos dados, perdemos a homogeneidade das variâncias, o que é uma das suposições iniciais para que possamos fazer uma análise de regressão. O MRLM, ao contrário do Modelo de Lógica Fuzzy, não indica as ações que devem ser compradas e vendidas. Na realidade, ele estima retornos futuros. Por isso utilizamos a seguinte regra para escolher dentre as ações estudadas quais iriam fazer parte da carteira: Compramos as 21 ações de maior retorno estimado e vendíamos as 2 ações com menor retorno estimado. Assim garantimos que a carteira resultante será uma carteira, comprada em uma unidade monetária, como as demais. Desta forma montamos uma carteira baseada no MRLM. Este modelo tem uma importância muito grande, pois os outros dois testes confirmam que utilizar os múltiplos é uma boa forma de obter bons retornos. Porém o MRLM comprova a eficiência do Modelo Fuzzy frente a um modelo linear tradicional, provando que o modelo lógico é mais eficaz nesse tipo de estudo que um modelo matemático convencional Fluxo para a formação das carteiras através do Modelo de Lógica Fuzzy Abaixo apresentamos de forma resumida os passos seguidos pela análise aqui apresentada: 1) Para cada ano estudado determinamos os parâmetros para cada variável: Ln(P/L) e Ln(P/VP): Ln( P / L) Ln( / L) Mínimo, Mediana P Ln( P / L), Máximo Ln( P / VP) Mínimo, Ln( P / VP) Mediana, Máximo Ln( P / VP) 2) Geramos os gráficos e as fórmulas 1, 2 e 3 que são utilizados na fuzzificação; 3) Para cada ação i, sendo i = 1, 2,...N, onde N é o número total de ações analisadas (com com = 373 em nosso estudo), utilizamos as fórmulas 1, 2 e 3 para obter os Graus de Pertinência para cada classificação: GP, Ln( P / L) Baixo GP, Ln( P / L) Médio GP, Ln( P / L) Alto GP, Ln( P / VP) Baixo GP, Ln( P / VP) Médio GP, Ln( P / VP) Alto 4) Classificamos cada ação i de acordo com o maior GP e desta forma temos duas classificações, uma referente à variável Ln(P/L) e outra referente à variável Ln(P/VP); 5) Sobre as classificações obtidas, aplicamos as regras de fuzzifcação apresentadas no Quadro 3. Novamente, temos duas respostas, uma para cada variável estudada (por exemplo: comprar e comprar); 6) Para cada ação i obtemos 2 Crisps a partir das Fórmulas 4 e 5, o que se refere à variável Ln(P/L) e o que se refere à variável Ln(P/VP); 7) Determinamos o, que é o Crisp único obtido através da Fórmula 6, para a ação i. 12

13 8) Repetimos os passos de 3 até 8 para todas as ações estudadas, até que tenhamos N Crisps, sendo que, se o valor desse Crisp for positivo, a ação deve ser comprada; se for negativo, deve ser vendida e se for zero, não deve ser adicionada ao portfolio; 9) Determinamos o peso que cada ação i terá na carteira através da Fórmula 7. Desta forma, obtemos uma carteira de ativos ponderadas pelos seus respectivos Crisps; 5. Resultados 1) Todo o processo é repetido para os demais anos do estudo Obtenção de parâmetros do MRLM O Quadro 5 traz os resultados do Modelo de Regressão Linear e da Análise de Variância para esse modelo. Podemos notar que o coeficiente de correlação é muito baixo (,716), mostrando que a correlação linear não se ajusta muito bem às variáveis. Os coeficientes da regressão obtidos vêm de encontro ao que esperávamos, ou seja, temos um intercepto alto e valores negativos para os coeficientes das variáveis, demonstrando que quanto maior o valor das variáveis independentes, menor será o retorno, pois maior será o valor retirado do valor do intercepto. Em outras palavras, quanto maior as relações P/L e P/VP de uma empresa, menor será o Retorno Esperado. Estatística de regressão R múltiplo,2675 R-Quadrado,716 R-quadrado ajustado,666 Erro padrão,3399 Observações 373 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 2 3,2951 1, ,2637, Resíduo 37 42,738,1155 Total ,331 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Intercepto,4415,868 5,853, Ln (P/L) -,183,32-3,3814,8 Ln (P/VP) -,418,258-1,623,154 Quadro 5: Dados da Regressão Linear Mltivariada Esses resultados nos mostram que realmente a regressão linear não se ajusta perfeitamente aos dados. O provável motivo desses resultados ruins é a característica dos dados econômicos, que em geral são influenciados por diversos fatores que não conseguimos mensurar e que acabam prejudicando as previsões sobre essas variáveis Análise de desempenho dos modelos Após desenvolvermos o Modelo de Lógica Fuzzy, constatamos que ele se mostrou muito eficiente. Como podemos observar no Quadro 6, em quase todos os anos estudados o Modelo de Lógica Fuzzy se comportou muito melhor que o S&P 5 e que o S&P 5 Modificado, e foi um pouco pior somente no ano de 26. O Modelo de Regressão Linear 13

14 também se mostrou melhor que os índices de mercado. Isso já era esperado, já que estudos anteriores demonstraram haver correlação entre as variáveis estudadas e o retorno das ações. Na comparação entre o Modelo Linear e o Modelo de Lógica Fuzzy, notamos que em todos os anos estudados o Modelo de Lógica Fuzzy traz retornos muito maiores. Se observarmos o Retorno Total, ou seja, o acumulado durante todo o período de estudo, podemos notar que o retorno do Modelo de Lógica Fuzzy é muito superior aos demais modelos comprovando a eficiência do modelo proposto frente aos demais. Outra observação interessante é a de que os retornos obtidos a partir do Modelo de Lógica Fuzzy foram positivos até mesmo nos anos em que os Índices de mercado tiveram retornos negativos. ANO S&P 5 S&P 5 Modif. Regressão linear Retorno Mod. Fuzzy Total MRLM Total Mod. Fuzzy 21-13,4% -1,96% 21,76% 27,24% ,37% -21,32% 6,99% 18,3% ,38% 26,33% 9,% 74,73% ,99% 9,8% 8,65% 128,14% ,% 4,83% 1,32% 47,26% ,62% 14,6% 4,86% 13,61% ,53% 5,5%,6% 12,28% TOTAL 11,22% 23,17% 78,57% 127,1% Quadro 6: Retornos obtidos em cada carteira simulada para cada modelo Observando as duas últimas colunas do Quadro 5, que indicam o número de ações que compunham a carteira do MRLM e do Modelo de Lógica Fuzzy, respectivamente, também podemos notar que as carteiras obtidas pelo Modelo de Lógica Fuzzy possuem quantidades de ações parecidas com as utilizadas no MRLM, o que nos mostra que utilizar 41 ações para formar a carteira do MRLM foi uma boa aproximação. A Figura 5 traz os retornos para cada modelo estudado e por ela podemos notar que o desempenho do Modelo Fuzzy realmente é superior aos demais modelos para quase todos os anos estudados. 13,% 11,% 9,% 7,% 5,% 3,% 1,% -1,% ,% -5,% S&P 5 S&P 5 Modif. Regressão linear Retorno Mod. Fuzzy Figura 6: Retornos de cada Modelo para cada ano estudado Para testar se o Modelo de Lógica Fuzzy gerou melhores retornos do que os demais utilizamos um teste estatístico que compara o retorno dos modelos um a um contra o Modelo de Lógica Fuzzy. A estatística utilizada foi o Teste t-student Pareado que analisa se as diferenças de retorno são significativas se comparadas ano a ano. O Quadro 7 traz os resultados obtidos na comparação dos modelos contra o Modelo de Lógica Fuzzy: MODELO p-value S&P 5 1,24% S&P 5 modificado 1,44% Regressão linear 2,94% Quadro 7: P-value da estatística T pareada - Comparação entre o Modelo Fuzzy e os demais 14

15 Através do Quadro 7 podemos notar que o Modelo de Lógica Fuzzy pode ser considerado mais eficiente na obtenção de altos retornos do que os dois índices de mercado, com um grau de 95% de confiança, já que, para ambos os casos, o modelo possui um p-value abaixo de 5% (1,24% para o S&P 5 e 1,44% para o S&P 5 modificado). Na comparação com o Modelo de Regressão Linear, obtivemos um p-value de 2,94%, o que indica que o Modelo de Lógica Fuzzy é também superior ao Modelo de Regressão Linear. 5. Conclusão O trabalho usou Lógica Fuzzy para compor portfolios de ações a partir de múltiplos conhecidos de mercado (P/L e P/VP). Em outros estudos, já foi demonstrado que esses múltiplos realmente se relacionam com o rendimento futuro das ações. A partir dessa modelagem, foi montada uma carteira de ações que tinha por objetivo superar os índices padrões de mercado e também um modelo de regressão linear. Desta forma o modelo proposto mostraria sua eficiência e, além disso, seria comprovado que ele obtém melhores resultados que um modelo linear tradicional na composição de uma carteira de alto rendimento. Tivemos algumas limitações no trabalho, como a de não ter um histórico maior para os múltiplos estudados. Não utilizamos as ações do mercado brasileiro, por não ser um mercado muito pulverizado, pois neste caso, teríamos que comparar a carteira com o IBOVESPA, Índice de mercado de ações para o mercado brasileiro. Como o valor de mercado da Petrobrás e Vale do Rio Doce são muito maiores que o das demais empresas, por mais que o modelo indicasse que estas ações deveriam ser compradas ou vendidas, elas nunca seriam adquiridas na proporção de aproximadamente 35% da carteira, que é o peso dessas ações juntas no IBOVESPA. Após analisarmos os resultados, notamos que o Modelo Fuzzy não somente apresentou melhores resultados, como também mostrou tratar melhor os dados econômicos, que muitas vezes são muito influenciados por fatores que não conseguimos mensurar, o que torna as relações entre as variáveis, imprecisas. O Modelo Linear mostrou-se frágil, já que a correlação entre os múltiplos e os retornos ficou muito baixa. Mesmo assim, trouxe resultados melhores do que os índices de mercado, o que era esperado, já que as variáveis realmente se correlacionam com o retorno, como evidenciado em estudos anteriores. O Modelo Fuzzy comprovou tratar as variáveis imprecisas de maneira mais coerente. Os resultados obtidos através desse modelo foram muito superiores aos índices de mercado e bem superior ao Modelo de Regressão Linear. O fato do Modelo de Lógica Fuzzy aceitar também variáveis qualitativas (que aqui não foram utilizadas) indica possíveis extensões deste trabalho. As mesmas podem ser um bom sinalizador de bons rendimentos, como, por exemplo, a qualidade dos diretores da empresa, opinião dos operadores sobre o setor de atuação e taxa de crescimento da empresa. Além disso, o modelo pode ser aplicado a outros mercados, desde que estes tenham um número considerável de ações e que as mesmas sejam pulverizadas e líquidas. Referências Bibliográficas BASU, S. (1977). Investiment performance of commom stocks in relation to their priceearning ratios: a test of market efficiency. Journal of Finance, 32 (junho), pp

16 BASU, S. (1983). The Relationship Between Earnings yield, Market Value and Return for NYSE Common Stocks: Further Evidence. Journal of Financial Economics 12 (june 1983), DAMODARAN, A. (21). Avaliação de investimentos: ferramentas e técnicas para determinação do valor de qualquer ativo. São Paulo: Qualitmark, 63 p. FAMA, E. & FRENCH, K. (1992). The Cross-section of Expected Stock Returns. Journal of Financial Economics 6. MARKOWITZ, Harry (1952). Portfolio Selection Journal of Finance (March) MAMDANI, E. H. (1977). Aplications of Fuzzy Set Theory to Control Systems: A Survey. In Fuzzy Automata and Decision Processes, M. M. Gupta, G. N. Saridis & B. R. Gaines, eds., North-Holland, New York, pp PEREIRA, C. R. T. (28). Sistema de Tomada de Decisão para Compra e Venda de Ativos Financeiros Utilizando Lógica Fuzzy. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos. ROSENBERG, B., REID, K. & LANSTEIN, R. (1985). Persuasive Evicence of Market Inefficiency. Journal of Portfolio Management ROSS, Stephen A., WESTERFIELD,R. W., JORDAN, B. D. (2). Princípios de Administração Financeira, 2a ed. São Paulo, Atlas. SOUTO-MAIOR, César Duarte (27). Previsão da direção de movimento de índices de ações usando um sistema fuzzy. 197f ZADEH, L. A. (1973) Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes. Journal IEEE Trans. On Systems, Man and Cybernetics. Vol. SMC-3, n. 1, January