Modelamento de Saturação em Transformadores

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1 Modelamento de Saturação em Transformadores O Circuito Equivalente do Transformador na Figura 1 pode ser modificado para incluir os efeitos não-lineares da característica do núcleo. Esta modificação pode ser conseguida pela substituição do indutor magnetizante na figura com uma impedância não-linear. A característica fluxo-corrente desta impedância é escolhida de acordo com a característica magnética do núcleo do transformador. Figura 1 - Circuito equivalente de um transformador monofásico. É conveniente representar a característica do transformador utilizando um número de segmentos lineares. Este método preserva as propriedades essenciais da saturação e reduz a complexidade da simulação. Um exemplo utilizando três segmentos para representar a característica de saturação pode ser observado a seguir. Figura 2 - A característica do núcleo, corrente x fluxo, mostrando as condições simétricas de saturação. A linha tracejada mostra as inclinações aproximadas e ponto de inflexão na característica do núcleo. Uma representação por três segmentos da saturação do transformador é mostrada pelas linhas tracejadas na Figura 2. O segmento A'A representa a porção não saturada da característica do transformador. A inclinação deste segmento é escolhida para se igualar

2 à indutância de magnetização do transformador não saturada. Os segmentos B'A' e BA representam respectivamente a porção saturada das regiões positiva e negativa da característica do transformador. A inclinação destes segmentos é escolhida para se igualar à indutância do núcleo de ar do transformador. O ponto no plano fluxo-corrente onde o segmento com saturação intercepta o segmento linear da característica é definido como o ponto do joelho de saturação. O ponto do joelho define o mínimo fluxo e corrente de magnetização para a qual a saturação é apreciável. A representação da característica é calculada como se segue. A partir dos ensaios de rotina de um transformador de 3 kva pode ser obtido que: - corrente de magnetização em regime permanente, sob tensão nominal: I mo,2175a - reatância de dispersão do transformador: X s 42,845 Ω - tensão nominal primária: U Volts O ponto no joelho da curva de saturação pode ser expresso como a magnitude em pu da tensão de excitação para a qual a saturação se inicia. De forma típica é de 1% acima da tensão nominal. - tensão no transformador no ponto do joelho da saturação em pu: K σ 1,1 Determinando a indutância do ramo magnetizante do transfomador a partir da corrente magnetizante em regime permanente. Assuma que o transformador opera em tensão nominal (1 pu). - freqüência da fonte: ω 377 rad./s. - indutância de magnetização em Henry: L m 2.U 1 3, L m 137,415 H ω (.I ) mo Calcule a indutância do ar no transformador a partir da reatância de dispersão. A indutância do ar é de 1 a 2 vezes maior que a indutância de dispersão. X L s.2, L s 2,273 H ω s Cálculo o fluxo de acoplamento no joelho da curva: λ σ 2.U.K 1 3 ω σ, λ σ 32,876Wb Cálculo da corrente de magnetização no joelho da curva: I m σ λ σ, I mσ,239a L m Define-se uma função de x em rampa utilizando uma função degrau. Esta função produzirá um gráfico linearizado da característica magnética do transformador. Φ(x) if (x <,,1) r(x) x. Φ(x)

3 Define-se a função para o fluxo. O valor da corrente de magnetização, correspondente ao fluxo máximo não saturado, muda a característica da rampa do gráfico: λ(x) L m. (r(x+i mσ ) - r(x- I mσ )) + L s.(r(-x-i mσ ) - r(x- I mσ )) Desenhando-se a característica de magnetização idealizada em relação à corrente de magnetização. I m -,5, -,45..,5 A 5 25 Weber λ( I m ) I m Característica de magnetização. Figura 3. Representação linear da saturação. O método apresentado acima pode ser estendido para um número maior de segmentos lineares pela inclusão de um maior número de joelhos na característica. Entretanto, para o estudo do fenômeno da corrente de ''ínrush'', três segmentos fornecem uma aproximação satisfatória. A representação por segmentos lineares da característica do transformador será utilizada abaixo para derivar a simulação do sistema. Simulação da Energização do Transformador Neste ítem, mostra-se um exemplo que demonstra o efeito da energização do transformador sobre a tensão do sistema. A representação de um sistema monofásico é utilizado para simplificar os cálculos. O leitor pode estender as equações para um sistema trifásico. É utilizado um método de integração numérica para se obter a solução do sistema para o caso de energização do transformador. Por conveniência, a relação inversa entre o fluxo e a corrente de magnetização é utilizada aqui. Portanto, definindo a corrente de magnetização como uma função do fluxo: I m (x) (1/L m ). (r(x+λ σ ) - r(x-λ σ )) - (1/L s ).(r(-x-λ σ ) - r(x-λ σ )) - I mσ Definindo o sistema de tensões como uma função do tempo: φ - 1 graus

4 2 U(t).U 1.cos( ω.t +φ) 3 O angulo de fase na função acima corresponde ao instante na forma de onda da tensão no qual ocorre a energização do transformador. Este ângulo de fase, juntamente com o fluxo residual, determina quão severa é a corrente de "inrush". Definindo-se o fluxo residual no núcleo do transformador: λ o 5 Weber O sistema externo é representado por um equivalente RL série em série com a tensão do sistema. Onde: Resistência da linha: R L 3,5Ω e reatância da linha: X L 25Ω. Estes valores correspondem à seguinte indutância base: X L L ω, L 66 mh Considera-se um capacitor em paralelo com os terminais do transformador. Este capacitor representa uma compensação ou é utilizado para ajustar para uma ressonância do sistema. Assume-se então que: - reatância shunt capacitiva: X C 2Ω Correspondendo à capcitância base: C 1/ω.X C, C,1326 µf A combinação do capacitor shunt e a indutância do sistema resulta em uma freqüência de ressonância igual a: f r 1 f r 169,71 Hz 2. π. L.C A ressonância do sistema ocorre em uma freqüência que é próxima da freqüência da corrente de "inrush" do transformador. Portanto, pode-se esperar na energização do transformador uma interação harmônica entre o sistema e a não linearidade do mesmo. O secundário do transformador é considerado aberto (sem carga). Esta representação é preferida uma vez que resulta em cálculos pessimistas para a resposta do sistema. A adição da carga aumentará o amortecimento do sistema e, portanto, reduzirá de forma significativa os efeitos da corrente de "inrush". As equações diferenciais para o sistema estão definidas a seguir. Definindo-se as equações diferenciais do sistema. ( R - derivada da corrente de linha: L.IL + UC + U(t)) D(I i L,U C,t) L

5 (I - derivada da tensão no capacitor: L (I m(u C)) Dv C(I L,U C) C Observe que na expressão da derivada da tensão no capacitor, a saturação no transformador é representada pela injeção da corrente de magnetização. Define-se o passo da integração. Este passo deve ser no mínimo 1 vezes menor que a menor constante de tempo no sistema para prevenir o aparecimento de oscilações numéricas na solução. ms,1 s. e dt,3 ms Define-se o tempo máximo de simulação. T,2 s. h 1 1,5 dt h 2,5 dt Determinando-se o número de intervalos: N floor(t/dt) Contando-se as interações: k 2.. N N 666 Definindo-se condições iniciais para o sistema: Inicialização do tempo: t. s. t 1. s. Calcula-se o tempo em cada intervalo: k.dt Inicializa-se a voltagem no capacitor: Uc. Volts Assume uma condição de falta no sistema antes da energização: Uc 1. Volts Inicializa-se a corrente de linha: i. A i 1. A O valor inicial do fluxo no núcleo é o fluxo residual definido anteriormente. λ λ o e λ 1 λ o Vectorizando as equações de estado e resolvendo o sistema de equações. A solução fornece os valores da corrente do tranformador, da tensão no capacitor, e o fluxo no transformador para o intervalo de cálculo. i(k 1) h.d 1 i i(k 1), Uc (k 1),t(k 1) h 2.Di i(k 2), Uc (k 2),t i + (k 2) k Uc Uc + h.du i λ h.du i λ k (k 1) 1 c (k 1), (k 1) 2 c (k 2), (k 2) λk λ (k 1) + h. 1 Uc(k 1) h 2. Uc (k 2) A resposta do sistema é mostrada abaixo.

6 1 corrente de "inrush" I m ( λ k ) Fig. 4. "Inrush" no transformador. Este gráfico mostra o efeito do "offset" em cc e da característica magnética não linear. O primeiro ciclo é severamente deslocado pela componente cc que é amortecida em aproximadamente três ciclos Fluxo no núcleo. λ k Fig. 5. Fluxo no transformador.

7 Voltagem no barramento Vc k Fig. 6. Voltagem no barramento do transformador. No gráfico anterior, observe o efeito da corrente de "inrush" não senoidal na voltagem do barramento. O resultado é uma sobretensão harmônica Corrente de linha. i k Fig. 7. Corrente de linha. É possível compensar alguns desses efeitos pela adição de um resistor de pré-inserção.