Determinação de Massas e Raios Estelares

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1 Determinação de Massas e Raios Estelares 1 Introdução A massa de uma estrela é a sua característica mais importante. Conhecendo-se a massa inicial e a composição química inicial de uma estrela, devemos estar aptos a calcular todas as suas outras propriedades tais como: raio, luminosidade, etc em qualquer instante desde a sua formação até os últimos estágios de sua evolução. A determinação da massa de uma estrela só pode ser obtida através de seus efeitos gravitacionais. Um destes efeitos é o deslocamento para o vermelho observado na radiação emergente da superfície de objetos extremamente densos, tal como uma anã branca. Para outras estrelas, necessitamos da presença de um segundo corpo nas proximidades da mesma, o que restringe a nossa possibilidade de determinação de massas ao Sol e às estrelas binárias. Afortunadamente, entretanto, na Galáxia muitas estrelas são encontradas formando pares ou sistemas múltiplos. Estima-se que mais da metade de todas as estrelas no céu possuem outras orbitandoas como companheiras. Em uma pequena porcentagem desses casos, as duas estrelas encontram-se tão próximas que uma chega a causar efeitos profundos na história evolutiva da outra. As estrelas binárias são classificadas de acordo com a maneira com que são observadas. Em alguns casos, a associação física de duas estrelas é inferida, apesar de que somente uma é realmente observada, porque o movimento próprio da estrela visível apresenta uma oscilação no céu. Este tipo de binária é designada por binária astrométrica. Quando duas estrelas são vistas separadamente como imagens que orbitam uma em torno da outra com o decorrer do tempo, designamo-as de binária visual. São chamadas binárias espectroscopicas os pares de estrelas que são inferidos a partir de observações espectroscopicas que mostram uma variação periódica do deslocamento Doppler de suas linhas espectrais. Algumas vezes observa-se as linhas das duas estrelas e outras vezes somente de uma delas. Ao primeiro caso chamamos binária espectroscópica de linha dupla, ao segundo binária espectroscópica de linha simples. Existem ainda os casos onde a natureza associativa de uma par de estrelas é observada através da variação periódica da luz total do sistema que pode ser interpretada em termos de eclipses de uma estrela pela outra. 2 Binárias Espectroscópicas Se um sistema binário não pode ser resolvido em um telescópio, seu carater de duplicidade pode aparecer em um espectro. Mesmo que o movimento orbital não seja detectável, sabemos que estamos lidando com uma binária de espectro quando dois conjuntos diferentes de 1

2 linhas são vistos superpostos no espectro. Um caso mais útil, e interessante, é a binária espectroscópica: aqui duas estrelas orbitam rapidamente seu centro de massa muito próximo ( 1 unidade astronômica) (P horas a alguns meses), e a inclinação orbital 1, i, é diferente de 0. O espectro de uma binária espectroscópica exibe linhas que oscilam periódicamente em comprimentos de onda. Se a companheira for muito fraca de forma que seu espectro não é detectado, temos uma binária de linha simples, duas estrelas de luminosidades parecidas produzem dois conjuntos de linhas espectrais que oscilam em sentidos opostos (em comprimento de onda), e chamamos a estes sistemas, binárias espectroscópicas de linha dupla. Aproximadamente 1000 binárias espectroscópicas são conhecidas, das quais algumas centenas possuem orbitas bem determinadas. 2.1 A curva de velocidade Devemos interpretar o comportamento das linhas espectrais para obtermos informações úteis de um espectro de uma binária espectroscópica. Como as duas estrelas orbitam em um plano inclinado (ângulo i) com relação à esfera celeste, as componentes de suas velocidades ao longo da linha de visada irão produzir um deslocamento Doppler em suas linhas espectrais. (Note que não pode ocorrer deslocamento Doppler como resultado de um movimento orbital quando i = 0 ; o sistema aparecerá como uma binária de espectro.) Em adição, o centro de massa do sistema move-se com respeito ao Sol, assim que o espectro inteiro pode sofrer algum deslocamento Doppler. O deslocamento Doppler pode ser expresso pela fórmula λ λ 0 (λ λ 0) λ 0 onde λ 0 é o comprimento de onda da linha espectral medida em laboratório, λ é o comprimento de onda observado, v r é a velocidade radial (positiva para recessão, negativa para aproximação) da estrela, e c = 2, cm sec 1 é a velocidade da luz. Devido à largura finita das linhas espectrais, no visível estamos limitados a uma resolução do deslocamento de λ 0, 001 nm; então, a velocidade radial precisa ser v r 1 Km s 1 para ser detectável. Assim, o período das binárias espectroscópicas observáveis são necessariamente curtos. Quando convertemos (utilizando a equação (1)) os deslocamentos Doppler em velocidades radiais e construimos um gráfico dos resultados como função do tempo, obtemos a curva de velocidade. O caso mais simples é orbita circular com inclinação i = 90 (sistema visto de lado); as duas curvas (uma para cada estrela) são senoidais e oscilam com fases exatamente opostas com relação à velocidade do centro de massa do sistema com período P, como representado na Figura 1. Neste caso, encontramos as distâncias ao centro de massa notando-se que em um período, a primária descreve a circunferência 2πr 1 a velocidade constante V. Então, V P = 2πr 1 e r 1 = V P 2π e = v r c (1) r 2 = vp 2π. (2) 1 A inclinação orbital é definida como o ângulo entre o plano da orbita e o plano do céu. 2

3 Figura 1. Correspondência entre posições na órbita e pontos na curva de velocidade radial. A ilustração mostra o caso em que a relação de massas para as estrelas A e B é 2:1. Diagrama superior esquedo: Órbita das duas componentes em torno do centro de massa, marcado com +. Diagrama superior direito: Órbita relativa da estrela B em torno da estrela A. Diagrama inferior: Curvas das velocidades radiais correspondentes. A amplitude da curva B é duas vezes a de A. A razão das massas estelares é M r2 v = = m r1 V (3) o semieixo relativo maior a é r1 + r2, e pela 3 a lei de Kepler modificada por Newton, a soma das massas é dada por a3 (4) P2 onde as massas são dadas em unidades de massas solares (M ) e o período em anos siderais. M +m= As massas estelares individuais podem ser obtidas da soma e razão destas, e as características dinâmicas da binária espectroscópica podem ser completamente determinadas. 3

4 Em geral, essa configuração simples não ocorre. Para uma binária espectroscópica de linha simples, pode-se determinar somente r 1 e a chamada função massa dada por: m 3 sen 3 i/(m+ m) 2. Um valor razoável para M pode ser obtido do tipo espectral da primária; e então o sistema pode ser razoávelmente determinado. Uma dificuldade maior é que a menos que o sistema também seja uma binária eclipsante, não temos uma idéia clara de sua inclinação orbital. Se a curva de velocidade é puramente senoidal, sabemos somente que estamos lidando com um sistema cuja órbita é circular e cujo plano orbital está inclinado de algum ângulo i com relação à esfera celeste. As amplitudes das curvas de velocidade fornecem a velocidade circular observada V = V sen i v = v sen i. Então, podemos determinar a razão exata das massas porque M m = r 2 r 1 = v V = v V mas somente o limite inferior, a sen i, do semieixo relativo maior pode ser obtido. Se a órbita não for circular, possuindo excentricidade e, as curvas de velocidade serão distorcidas e não senoidais puras. As curvas de binárias de linha dupla são imagens especulares uma da outra mas possuindo amplitudes diferentes uma inclinação orbital i meramente reduzirá todas as velocidades radiais pelo mesmo fator sen i. A periodicidade e as formas características destas curvas permitem-nos encontrar imediatamente P, e, e Ω (a orientação do eixo maior com respeito à linha de visada). Quando i = 90, o semieixo relativo maior e ambas as massas estelares podem ser obtidos. 3 Binárias Eclipsantes Quando a inclinação da órbita de uma binária é próxima de 90, cada uma das estrelas pode eclipsar a outra periódicamente chamamos estes sistemas de binárias eclipsantes. Alguns milhares destes sistemas são conhecidos; muitos são também binárias espectroscópicas, e pouquissimos binárias visuais. Para uma órbita relativa com raio igual a ρ, inclinada de um ângulo φ com relação à linha de visada (φ = 90 i), eclipses podem ocorrer somente quando ρ sen φ < R(primária) + R(companheira), onde R é o raio estelar (vide Figura 2). Assim, órbitas pequenas são favorecidas; como tais órbitas possuem períodos curtos e altas velocidades orbitais, isto, em geral, implica que os sistemas são também observados como sendo binárias espectroscópicas. 3.1 Interpretação da curva de luz Binárias eclipsantes são frequentemente detectáveis por sua variação periódica no brilho. Se representarmos graficamente a magnitude aparente ou fluxo de tal binária em função do tempo, obteremos a curva de luz, que geralmente exibe dois mínimos com profundidades diferentes no brilho, correspondendo aos dois eclipses possíveis por órbita. 4

5 Figura 2. Representação esquemática de uma estrela binária. A inclinação orbital, i, é definida como o ângulo entre o plano da órbita e o plano do céu, neste caso, i = 90 φ. O mínimo mais profundo eclipse primário ocorre quando a estrela mais quente passa atrás da estrela mais fria; o outro eclipse o secundário é menos profundo. Vários tipos de eclipses são possíveis: (1) quando i = 90, ambos os eclipses, o total (estrela menor atrás da maior) e o anular (estrela menor na frente da maior) são chamados centrais; (2) quando ρ sen i < [R(primária) R(companheira)], temos eclipses total e anular; e (3) quando [R(primária) R(companheira)] < ρ sen i < [R(primária) + R(companheira)], ocorrem somente eclipses parciais. Note que se as órbitas são circulares, em todos os três casos, exatamente a mesma área é coberta em ambos os mínimos, primário e secundário,. Considere a curva de luz associada a um eclipse central e órbitas estelares relativas circulares, para a situação onde a estrela maior possui menor temperatura superficial do que a estrela menor. A Figura 3 apresenta uma representação esteriotipada dessa situação. Um dos eclipses é total e a luz do sistema permanece constante enquanto a estrela ocultada passa de um lado para o outro da estrela ocultante. Na Figura, esse caso corresponde ao eclipse primário. O eclipse secundário é anular e também permaneceria constante em seu mínimo se a estrela maior (ocultada) fosse uniformemente brilhante sobre seu disco. Como, entretanto, qualquer estrela é mais brilhante no centro de seu disco devido a um efeito chamado de escurecimento de borda, o perfil do mínimo varia continuamente. Note que a curva de luz mostrada na Figura não apresenta brilho constante para as regiões entre eclipses. Por quê? Figura 3. direita: Representação esteriotipada da órbita relativa de uma estrela binária eclipsante vista da Terra com inclinação ângular igual a 90. Os pontos marcados indicam os instantes quando: (1) começa o eclipse; (2) a estrela menor é totalmente eclipsada; (3) final do eclipse total; e (4) final do eclipse. esquerda: Esboço da curva de luz do sistema mostrado à direita. Os instantes indicados referem-se aos pontos mencionados acima. 5

6 Existem quatro pontos (durante um eclipse) onde as bordas das duas estrelas se tangenciam; dizemos que ocorre o primeiro contato (t 1 ) quando o eclipse começa; segundo contato (t 2 ) quando atinge-se o mínimo no brilho; terceiro contato (t 3 ) quando a estrela menor começa a deixar o disco da maior; e quarto contato (t 4 ) quando o eclipse termina. Na Figura 3 estes pontos estão representados para o caso do eclipse total. Se denotarmos os raios estelares por R g (estrela maior) e R p (estrela menor) e a velocidade orbital relativa da estrela menor por v, pela geometria do sistema (Figura 3 esquerda) teremos 2R p v(t 2 t 1 ) = v(t 4 t 3 ) (5a) Entretanto, o raio a da órbita relativa circular é 2(R p + R g ) v(t 4 t 1 ). (5b) a = vp (6) 2π onde P é o período orbital. Combinando-se as equações (5), e (6), podemos determinar as razões entre os raios estelares e o raio orbital, que são dadas por, R p a = π(t 2 t 1 ) P R g a = π(t 4 t 2 ) P (7) (8) 4 Procedimento Para exemplificarmos, iremos estudar o sistema eclipsante Zeta Phoenicis (ζ Phe). Esse sistema foi escolhido por ser separado 2, possuir órbita relativa praticamente circular (e 0) e apresentar eclipses quase centrais a inclinação do sistema foi determinada como sendo igual a i = 87, 8). Devemos ter em mente que a análise que faremos é muito simplificada e que em geral, estrelas binárias eclipsantes são sistemas bem mais complicados que requerem modelos muito mais eleborados do que o apresentado aqui. Como exemplo, podemos citar que em alguns sistemas, devido à proximidade das estrelas, observam-se efeitos tais como: (1) deformação das componentes por efeitos de maré; (2) efeito reflexão isto é, a luz emitida por uma das componentes na direção da companheira é reemitida por esta produzindo um efeito semelhante a uma reflexão; (3) transferência de massa em sistemas em semi-contato; etc. O objetivo desse exercício é mostrar como, através do conhecimento das curvas de velocidade e de luz de um sistema binário eclipsante, pode-se determinar alguns dos parametros fundamentais das estrelas. Na Tabela 1 são apresentadas medidas as das velocidades radiais de cada uma das duas componentes principais que formam o sistema eclipsante ζ Phe 3. A 2 Um sistema separado é aquele em que as estrelas estão suficientemente longe uma da outra, de maneira que não ocorre contato entre elas. Existem também os sistemas chamados em contato e semi-contato. Nestes últimos não ocorre o contato físico entre as componentes, mas uma das componentes possui uma atmosfera tão extendida, que ocorrem transferências de massa desta para a outra estrela. 3 Este sistema possui ainda uma terceira e mais distante componente, que não chega a afetar sensivelmente as curvas de luz e de velocidades radiais. 6

7 Tabela 2 contêm valores da diferença de magnitudes entre ζ Phe e uma estrela de comparação (ζ Phe HR 191) para o filtro b do sistema de Strömgren. 1. Utilizando uma folhas de papel milimetrado construa um gráfico das velocidades radiais, dadas na Tabela 1, para cada uma das componentes como função da fase. Por motivos de clareza, utilize simbolos diferentes para cada estrela. 2. Como a órbita é praticamente circular, as curvas serão senoidais. Os pontos observados poderão então ser ajustados através de uma curva do tipo, V i = A i + B i sen (2π fase). Utilize o método de mínimos quadrados para encontrar as constantes A i e B i de cada curva de velocidade. Com estes valores desenhe as curvas que se ajustam aos dados observacionais. Como você já deve ter percebido, o coeficiente A i fornece a velocidade comum com que o sistema binário está se aproximando (negativo) ou afastando (positivo) do Sol, e deveriam ser os mesmos para ambas as estrelas. Os valores encontrados são iguais? A amplitude de cada uma das curvas coeficiente B i fornece a projeção da velocidade tangencial de cada estrela ao longo da linha de visada (no presente caso, como i 90, esta amplitude é praticamente igual à velocidade tangencial da estrela). 3. Utilize a equação (3) para determinar a razão das massas estelares. A soma das massas pode ser obtida através da equação (4). O semi-eixo relativo pode ser calculado utilizando-se a velocidade relativa entre as duas componentes (equação (6)). O período deste sistema foi determinado como sendo igual a P = 1, d Note que na equação (4) devemos utilizar o período em unidades de anos siderais (365, d 2564) 4 e o semi-eixo em unidades astronômicas 5. O valor encontrado expressa a soma das massas em unidades de massas solares (M ). Determine as massas individuais de cada componente deste sistema binário. 4. Utilizando outra folha de papel milimetrado construa a curva de luz deste sistema (Tabela 2). Identifique o mínimo correspondente ao eclipse total. Selecione uma região em torno desse mínimo e construa um terceiro gráfico ampliando essa região. Identifique os quatro instantes de contato e através das equações (7) e (8) estime os raios de ambas as estrelas. A órbita é realmente circular? Por quê? 4 Um dia sideral médio é igual a 23 h 56 m 4 ș Uma unidade astronômica (UA) é igual a km. 7

8 TABELA 1. Observações de velocidade radial de ζ Phoenicis. As colunas fornecem a data da observação, a fase, e a velocidade radial para cada uma das componentes da estrela. HJD fase Comp. A Comp. B HJD fase Comp. A Comp. B Km s 1 Km s Km s 1 Km s ,7201 0, ,9 141,1 3791,5984 0, ,7 171,0 3788,8475 0, ,0 187,7 3791,6433 0, ,5 158,2 3788,8597 0, ,8 184,4 3791,6790 0, ,4 128,1 3789,6141 0, ,2 188,5 3793,7385 0, ,8 142,1 3789,6517 0, ,8 198,4 3793,7609 0, ,8 138,4 3789,7259 0, ,2 216,8 3793,7946 0, ,9 157,3 3789,8040 0, ,8 209,0 3793,8181 0, ,9 161,8 3789,8333 0, ,0 208,1 3793,8728 0, ,3 179,8 3790,5789 0, ,0 192,4 3793,8942 0, ,1 183,1 3790,6082 0, ,0 190,0 3794,5685 0, ,6 154,3 3790,6448 0, ,9 191,4 3794,6081 0, ,9 177,1 3790,7010 0, ,8 179,6 3794,6672 0, ,0 191,3 3790,7610 0, ,5 156,5 3794,7165 0, ,7 211,7 3790,7943 0, ,0 140,1 3794,7687 0, ,7 214,7 3791,5271 0, ,2 203,6 3794,7907 0, ,7 210,6 3791,5613 0, ,8 197,1 8

9 TABELA 2. Curva de luz de ζ Phoenicis. As colunas fornecem a data da observação, fase, e diferença (ζ Phe HR 191) de magnitude na cor b do sistema de Strömgren. HJD fase b HJD fase b HJD fase b , ,044 0, , ,396 0, , ,069 0, , ,038 0, , ,410 0, , ,066 0, , ,032 0, , ,418 0, , ,056 0, , ,027 0, , ,424 0, , ,048 0, , ,023 0, , ,433 0, , ,216 0, , ,018 0, , ,438 0, , ,223 0, , ,014 0, , ,440 0, , ,248 0, , ,011 0, , ,442 0, , ,267 0, , ,003 0, , ,444 0, , ,293 0, , ,002 0, , ,446 0, , ,328 0, , ,005 0, , ,447 0, , ,188 0, , ,008 0, , ,453 0, , ,147 0, , ,010 0, , ,454 0, , ,112 0, , ,012 0, , ,459 0, , ,105 0, , ,018 0, , ,466 0, , ,094 0, , ,024 0, , ,471 0, , ,087 0, , ,028 0, , ,481 0, , ,416 0, , ,034 0, , ,488 0, , ,428 0, , ,038 0, , ,493 0, , ,437 0, , ,042 0, , ,496 0, , ,572 0, , ,572 0, , ,508 0, , ,412 0, , ,048 0, , ,515 0, , ,422 0, , ,061 0, , ,520 0, , ,422 0, , ,065 0, , ,522 0, , ,473 0, , ,070 0, , ,528 0, , ,486 0, , ,089 0, , ,535 0, , ,492 0, , ,126 0, , ,549 0, , ,497 0, , ,157 0, , ,556 0, , ,511 0, , ,185 0, , ,560 0, , ,512 0, , ,608 0, , ,567 0, , ,534 0, , ,613 0, , ,570 0, , ,541 0, , ,629 0, , ,574 0, , ,012 0, , ,634 0, , ,580 0, , ,010 0, , ,660 0, , ,588 0, , ,008 0, , ,692 0, , ,590 0, , ,053 0, , ,709 0, , ,722 0, , ,111 0, , ,773 0, , ,750 0, , ,568 0, , ,781 0, , ,780 0, , ,578 0, , ,356 0, , ,797 0, , ,580 0, , ,367 0, , ,080 0, , ,589 0,462 9

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