Emaranhamento, complementaridade

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1 Emaranhamento, complementaridade e descoerência Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo

2 UFRJ Emaranhamento, complementaridade e descoerência Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Física, Instituto de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências (Física). Orientador: Luiz Davidovich Rio Janeiro Dezembro de 2006

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4 M528 de Melo, Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo Emaranhamento, complementaridade e descoerência / Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo Rio de Janeiro: UFRJ/ IF, x, 127f.: il; 30cm. Orientador: Luiz Davidovich Tese (doutorado) UFRJ / Instituto de Física / Programa de Pós-graduação em Física, Referências Bibliográficas: f Informação quântica. 2. Emaranhamento. 3. Descoerência. 4. Complementaridade. I. Davidovich, Luiz. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Física, Programa de Pós-graduação em Física. III. Emaranhamento, complementaridade e descoerência.

5 Resumo Emaranhamento, descoerência e complementaridade Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo Orientador: Luiz Davidovich Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Física, Instituto de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências (Física) Nesta tese abordamos o emaranhamento em alguns de seus aspectos, a saber: sua medida não demolidora e de suas variáveis complementares, a observação experimental de sua dinâmica e sua utilização como recurso. Para todos esses aspectos são sugeridos experimentos. Com o objetivo de discutir as características físicas do emaranhamento bipartido, propomos um circuito lógico universal que é capaz de medir de forma não-demolidora variáveis complementares de um sistema bipartido. A medida não-demolidora evidencia o caráter complementar entre as propriedades de partícula única e as do estado emaranhado, uma característica exclusivamente bipartida. Esse circuito pode ser implementado atualmente em diversos sistemas usados na área de informação quântica. O segundo aspecto tratado foi a dinâmica do emaranhamento. Mostramos como realizar experimentos de óptica linear onde é enfatizada a diferença entre as dinâmicas de descoerência de partícula única, que sempre levam a um decaimento assintótico no tempo, e a dinâmica de descoerência do emaranhamento, que pode decair em tempo finito. Com essa proposta abrimos caminho para experimentos em óptica linear com reservatórios controlados, afetando tanto a amplitude quanto a fase do estado. Esse tipo experimento está sendo realizado no Laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ e resultados preliminares aqui mostrados já confirmam sua viabilidade e previsões. i

6 Por fim analisamos o emaranhamento como recurso na transferência de informação do estado do campo eletromagnético aprisionado em uma cavidade super-condutora unidimensional para um qbit super-condutor. Especificamente, mostramos como medir a função de Wigner do estado do campo através de medidas das populações do qbit. Esse protocolo também pode ser experimentalmente realizado com a tecnologia atual. A mais pronunciada característica da mecânica quântica, o emaranhamento, é assim o elo de ligação dos temas abordados nessa tese. Palavras-chave: Emaranhamento, descoerência, implentação experimental de mapas de descoerência, complementaridade bipartida. Rio de Janeiro Dezembro de 2006 ii

7 Abstract Entanglement, decoherence and complementarity Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo Orientador: Luiz Davidovich Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Física, Instituto de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências (Física) In this thesis we treat entanglement in some of its aspects: its quantum non-demolition measurement and of its complementary variables, the experimental observation of its dynamics and its use as a resource. Experiments are suggested for all these aspects. With the objective of discussing the physical characteristics of the bipartite entanglement, we consider a universal logical circuit that is capable to measure in a non-demolition fashion the complementary variables of a bipartite system. The nondemolition measure evidentiates the complementary aspects of single-particle properties and of the entangled state, an exclusively bipartite characteristic. This circuit can be currently implemented in several systems in the field of quantum information. The second raised point about entanglement was its dynamics. We show how to perform linear optics experiments that demonstrate the difference between the local decoherence dynamics, which always lead to asymptotically decay, and the global decoherence dynamics, which can decay in a finite time. With this proposal we open an avenue for linear optics experiments with controlled reservoirs, acting over the system amplitude or phase. This kind of experiment is being performed in the Quantum Optics Lab of IF-UFRJ and some of its results are here reported. Finally we analyze entanglement as a resource to exchange the information between the electromagnetic field trapped in a super-conductor one-dimensional cavity and a iii

8 super-conducting qubit. Specifically, we show how to measure the Wigner function of the field state through measurements on the qubit populations. This protocol can also be reached with present technology. The quantum mechanics strongest characteristics, the entanglement, is thus the connection among the themes in this thesis. Key-words: Entanglement, decoherence, experimental implementation of noise quantum channels, bipartite complementarity. Rio de Janeiro Dezembro de 2006 iv

9 Lista de Publicações: F. de Melo, L. Aolita, F. Toscano e L. Davidovich, Direct measurement of the quantum state of the electromagnetic field in a superconducting transmission line. Phys. Rev. A 73, (R) (2006). F. de Melo, S. P. Walborn, János Bergou e L. Davidovich, Quantum Non-Demolition Test of Bipartite Complementarity ; quant-ph/ Submetido. A. Salles, F. de Melo, J. C. Retamal, R. L. de Matos Filho e N. Zagury, Single observable concurrence measurement without copies. Phys. Rev. A 74, (R) (2006) M. P. Almeida, F. de Melo, M. Hor-Meyll, A. Salles, S. P. Walborn, P.H.Souto Ribeiro e L. Davidovich, Experimental Observation of Environment-induced Sudden Death of Entanglement ; quant-ph/ Submetido. v

10 Agradecimentos Muitas são as pessoas que contribuíram para que eu conseguisse escrever essa tese e, sendo assim, gostaria de agradece-las. Em primeiro lugar, como não poderia deixar de ser, agradeço ao Luiz. Luiz não foi só um simples orientador de tese, me orientou - e gosto de pensar que continuará me orientando - em muitos aspectos. Me ensinou muita física, a pensar em física a adorar a Física e seus mistérios. Soube como poucos, estimular a independência científica e, ao mesmo tempo, estar presente. Cinco minutos de discussão sempre me rendiam horas de pensamentos, dúvidas e trabalho. Devo admitir que não só as discussões sobre algum assunto de trabalho serviam de estímulo mas também puxões de orelha dados de forma sutil e em momentos importantes foram fundamentais. Fizeram esses, mais do que tudo, com que eu aprendesse a me portar como pesquisador. Boas comemorações, cervejas, papo furado, política, opiniões sobre filmes... tudo isso me acrescenta enormemente. Como se não fosse suficiente, ainda fui brindado com um grupo de trabalho fantástico, intenso e sempre presente. Pude trabalhar com a quase maioria dos professores do grupo, me metendo onde não era chamado mas sempre muito bem recebido, seja na parte experimental quanto na teórica. O Nicim, o exemplo do grupo e que sempre está disponível para nos ensinar, é com certeza uma das pessoas mais simpáticas que já conheci; esbanja experiência e juventude. O Ruynet é certamente responsável pela coesão e pressão do grupo. Muito próximo aos alunos, ele está sempre discutindo o trabalho de todos e comprometido com suas opiniões (desde do kilowatts até a crítica à computação quântica). O Paulão, como todos desde o começo já se sentem à vontade de assim o chamar, nos lembra a todo o momento a importância e a verdade do experimento. Nesse aspecto também entra nosso recém professor o Stephen, ou como ele mesmo assina nos s, o Steve - com sotaque de carioca surfista. Esse, por sinal, é uma fonte inesgotável de idéias, fazendo com que eu ficasse quase sem graça quando me contava as dez horas da manhã (depois dele ter ido à praia, à academia, feito um experimento, escrito um artigo e revisado outro - ufa!) que a idéia do dia anterior já tinha sido publicada por alguém mas ele já tinha pensado em duas outras possibilidades, para as quais ele já tinha feito umas continhas. O Fabrício, com sua formação matemática muito forte, me ensinou principalmente a ter paciência e perseveraça com as dificuldades encontradas em um trabalho. Agradeço também ao Andreas que fez com que essa transiçao fosse

11 segura e pela sua receptividade e confiança; Vielen Danke. Não posso deixar de agradecer aos alunos do grupo. Com esses dividi alguns dos melhores momentos, outros até nem tão bons assim, da minha vida nesses quase quatro anos. Agradeço desde os mais antigos que receberam - Pablo (um grande amigo e cupido!), Miguel, Dilson e Pablito - aos mais novos - César, Rafael, Adriana e Gabriela - pois de alguma forma me influenciaram. Reservo no entanto um especial agradecimento aos amigos com os quais mais tempo convivi: Alexandre, Diney, Marcelo, Leandro, Adriano, Paula, Alejo, Malena e Daniel. Esses, juntamente com a Ana e o Fernando Saliby, foram fundamentais para os anos aqui passados. Sua amizade incondicional, independente do meu humor flutuante e rara presença, muito me são gratas. Agradeço também ao pessoal da escalada, com os quais me divertia muito tanto nos finais de semana de sol quanto numa viagem chuvosa. Com o Erick, Roberta, Antônio, Ana, Josuneu, Dolly, Steban, Francês, Maurício... e muitos outros conheci lugares incríveis, vias alucinantes e fiz grandes amizades de montanha. Agradeço especialmente à Claudia e ao Ruynet. Com eles tive ótimos momentos: boa música, vinhos, viagens, escaladas, alemão, boa comida e uma enorme compreensão e carinho mútuo. Foram sempre muito gentis e antenciosos. Agradeço de todo coração à minha família por seu suporte, carinho e compreensão: meu velho Jô, minha Rutó, minha mana Gabriela e Taitai. Sem esquecer o Luli que se soma a gente. Por fim, agradeço a Larissa, quem me ensinou a amar.... à Lalá.

12 Níquel Náusea. Fernando Gonsales. Folha de São Paulo 07/10/2006.

13 Conteúdo 1 Introdução 1 2 Emaranhamento Conceito Medidas & Medidas Medidas Matemáticas Medidas Experimentais Medida Não-Demolidora da Complementaridade Bipartida Introdução Medida Quântica Não Demolidora Medida QND em Informação Quântica Complementaridade Qbit Dois Qbits Circuito Universal Medida QND do Emaranhamento Medida QND da Previsibilidade e da Visibilidade Conclusões Dinâmica de Decaimento Local e Global: Teste Experimental Introdução Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus Dinâmicas de Descoerência e Erros Qbit ix

14 Qbits - Decaimento do Emaranhamento Implementação Experimental com Óptica Linear Elementos Ópticos Lineares Portas Lógicas Universais Interferômetros de Decaimento - 1 Qubit Interferômetros de Decaimento - 2 Qbits Reservatórios Individuais Realização Experimental: Descrição e Resultados Conclusões Qbit Super-condutor: Medida da Função de Wigner Introdução Qbit e Cavidade Supercondutores Qbits Supercondutores Cavidade Super-condutora 1-D Acoplamento Qbit-Campo Realização Experimental Medida do Qbit Função de Wigner Protocolo de Medida Análise Experimental: Simulação Geração de Estados iniciais Simples Conclusões Conclusões 109 A Tomografia 111 A.1 Reconstrução A.2 Matriz Densidade Física - χ A.3 Estimativa dos Erros

15 1 Capítulo 1 Introdução A ciência da informação passou por duas grandes mudanças relacionadas à física. A primeira, por volta da década de 60, deve-se à percepção de que a informação é física, veja por exemplo as referências [1, 2] para uma revisão. A informação segue as leis da física para sua manipulação e transmissão. Nessa época as idéias eram restritas a objetos macroscópicos e a física clássica era suficiente para explicar o processamento da informação 1. Nesta descrição um bit (sigla em inglês para dígito binário), a unidade básica de informação, pode assumir dois valores, 0 ou 1, que podem, por exemplo, serem representados por duas diferentes voltagens. Cada bit tem sua informação descorrelacionada do outro, uma cadeia de N bits pode então representar 2 N diferentes informações. A segunda grande mudança foi motivada pela miniaturização dos componentes de um computador. Em 1965, Gordon Moore [3], cofundador da Intel, observou que a densidade de transistores em um chip dobrava aproximadamente a cada dois anos, veja a Figura 1.1. Essa observação fez com que os limites físicos da informação clássica fossem questionados, uma vez que com essa taxa de crescimento rapidamente a escala dos componentes entra na região de domínio da mecânica quântica. Paul Benioff [4, 5], em 1980, mostrou que era possível com um sistema intrinsecamente quântico, reproduzir a computação clássica. Nessa mesma época, Feynman [6, 2] propôs que sistemas quânticos poderiam ser simulados eficientemente em computadores quânticos, isto é, com um ganho exponencial em relação aos computadores clássicos. No entanto, foi só em 1985 que David Deutsch formalizou a idéia do computador quântico, correspondendo ao nascimento da ciência da informação quântica [7]. Essa recente teoria teve um ganho substancial de interesse 1 A mecânica quântica só era utilizada para a criação de componentes, o transistor por exemplo.

16 2 Figura 1.1: Lei de Moore. A densidade de transistores dobra a cada dois anos. devido à descoberta de um protocolo quântico de fatoração em tempo polinomial por Peter Shor [8], o que representa um importante ganho em comparação com o melhor algoritmo clássico até então conhecido, que envolve um número de etapas que cresce exponencialmente com o comprimento do número. Essa nova mudança fez com que as propriedades quânticas devessem ser observadas em todos os aspectos do processamento de informação: transmissão, manipulação e armazenamento. A unidade básica de informação nesta nova fase é o bit-quântico ou qbit, descrito por um estado quântico do tipo α 0 + β 1, onde α e β são números complexos tal que α 2 representa a chance do qbit se comportar como o estado 1 e β 2 representa a chance do qbit se comportar como o estado 0 e α 2 + β 2 = 1. Este estado pode ser representado geometricamente por um vetor unitário em uma esfera, a esfera de Bloch como mostrado na Figura 1.2. Como os coeficientes desse estado são em geral números com infinitos dígitos, a informação contida em um qbit, de forma geral, só pode ser escrita com um conjunto infinito de bits. Porém, devido às características da medida quântica, que só pode distinguir claramente entre dois estados ortogonais, a informação transmitida por um qbit, em uma única realização, é a mesma de um bit clássico. Essa é a essência do chamado limite de Holevo [9, 10] para a quantidade de informação acessível.

17 3 Figura 1.2: Esfera de Bloch. Representação geométrica do estado de um qbit: cos(θ/2) 0 + e iφ sin(θ/2) 1. A possibilidade de superposição de estados quânticos traz consigo entretanto uma outra característica fundamental da mecânica quântica: o emaranhamento. Tomemos o exemplo de dois qbits. Usando a base computacional, ou Booleana, temos as seguintes possibilidades clássicas: 00, 01, 10 e 11 ; onde ij significa que o qbit 1 está no estado i e o qbit 2 no estado j. Quanticamente um possível estado é o seguinte: χ = ( ) = 1. (1.1) 2 2 Vemos que este estado pode ser escrito como o produto de dois qbits independentes, isto é, que não apresentam correlação entre si, como no caso clássico. No entanto, o estado: χ = , (1.2) não pode ser escrito como o produto de suas partes. Esta correlação entre seus constituintes é chamada de emaranhamento. Estados desse tipo são ditos emaranhados, por apresentarem essa correlação quântica que é mais forte do que as correlações clássicas, como será melhor exemplificado no próximo capítulo. Cabe salientar que, em um estado emaranhado, a informação individual de cada qbit não é suficiente para descrever o estado global. O estado geral de N qbits pode ser escrito como: χ = 1,1...1 i,j...k=0,0...0 c i,j...k ij...k, (1.3)

18 4 onde c i,j...k são números complexos tais que 1,1...1 i,j...k=0,0...0 c i,j... 2 = 1. Ou seja, temos um vetor unitário no espaço de Hilbert de 2 N dimensões. A maioria dos estados nesse espaço é emaranhado. O emaranhamento é um recurso e pode ser utilizado para diversos fins tais como teletransporte [11], correção quântica de erros [12] e protocolos de computação quântica [7], os quais levam a um ganho exponencial em relação aos melhores protocolos clássicos conhecidos até hoje. Como escrito por Bennett e DiVincenzo [13]: Parte da nova teoria de informação quântica é o estudo qualitativo e quantitativo do emaranhamento e suas interações com a informação clássica. É nesse contexto que se introduz a presente tese. Nela estudamos alguns aspectos do emaranhamento no contexto da informação quântica, com um forte vínculo com as realizações experimentais. Apesar de ser uma tese de caráter teórico, para todos os aspectos do emaranhamento aqui tratados são sugeridos experimentos. Esta tese é formada por três grandes capítulos onde apresentamos os principais resultados obtidos. Antes porém, no capítulo 2, depois de discutir o conceito de emaranhamento, resumimos as principais ferramentas que serão necessárias para os desenvolvimentos posteriores. No capítulo 3 propomos um circuito lógico universal que é capaz de medir de forma não-demolidora variáveis complementares de um sistema bipartido. Estas variáveis descrevem completamente as características de partícula única e a característica global, o emaranhamento, para sistemas de dois qbits. A medida não-demolidora dessas quantidades evidencia o caráter complementar entre entre elas mostrando que só podemos observar uma característica para cada tipo de medida. Esse circuito pode ser implementado atualmente em diversos sistemas usados na área de informação quântica. O segundo aspecto tratado, no capítulo 4, é a dinâmica do emaranhamento. Mostramos como realizar experimentos de óptica linear onde dinâmicas não-unitárias são implementadas através do emaranhamento de diferentes graus de liberdade de um mesmo fóton, o que é conhecido como hiper-emaranhamento. Desta forma podemos observar experimentalmente a diferença entre as dinâmicas de descoerência de partícula única, que sempre levam a um decaimento assintótico no tempo, e a dinâmica de descoerência do emaranhamento, que pode decair em tempo finito. Nesse capítulo o emaranhamento atua de duas formas: primeiramente serve como canal de comunicação entre o sistema de qbit(s) e o reservatório induzindo uma dinâmica não-unitária do sistema de interesse.

19 5 Segundo, envolve o próprio sistema de dois qbits imersos em reservatórios individuais. Com essa proposta abrimos caminho para experimentos em óptica linear com diversos tipos de reservatórios controlados, afetando tanto a amplitude quanto a fase do estado. Experimentos desse tipo estão sendo realizados no Laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ e os resultados são aqui brevemente relatados. Por fim, no capítulo 5, analisamos o emaranhamento como recurso na transferência de informação do estado do campo eletromagnético aprisionado em uma cavidade supercondutora uni-dimensional para um qbit super-condutor. A possibilidade de transferência de informação entre qbits fixos e qbits voadores, o campo eletromagnético nesse caso, é de grande importância para protocolos de comunicação quântica. Nossa proposta vai, no entanto, além do contexto de qbits. Especificamente, mostramos como medir a função de Wigner de diversos estados do campo aprisionados na cavidade através de medidas das populações do qbit super-condutor. Esse protocolo também pode ser experimentalmente realizado com a tecnologia atual e sua viabilidade é aqui discutida. No capítulo 6 a apresentamos nossas conclusões e perspectivas para trabalhos futuros. Eu não diria que o emaranhamento é um mas o traço característico da mecânica quântica, aquele que leva ao abandono completo do pensamento clássico [14]. Essa frase dita por Schrödinger em 1935 resume o fascínio e a importância dessa característica que serve de elo de ligação dos temas abordados nesta tese.

20 6 Capítulo 2 Emaranhamento Resumo do Capítulo Nesse capítulo, além de enfatizarmos o conceito de emaranhamento, introduzimos brevemente as principais ferramentas que nos serão necessárias nos próximos capítulos. Mostramos como o emaranhamento bipartido de dois qbits pode ser quantificado tanto matematicamente como experimentalmente. Também deixamos indicado um resultado original obtido em colaboração com Alejo Salles, Ruynet Matos Filho, Juan Carlos Retamal e Nicim Zagury, onde mostramos como medir o emaranhamento de qualquer estado puro de dois qbits com a medida de um só observável de um sistema auxiliar.

21 2.1. Conceito Conceito Para estabelecermos a diferença entre as correlações clássicas e as quânticas, associadas ao emaranhamento, seguimos o ótimo exemplo dado por Peres na referência [15]. Suponhamos uma bomba inicialmente em repouso que explode em duas partes que possuem momento angular J 1 e J 2 = J 1. Imaginemos dois observadores que detectem essas partes e façam uma medida dicotômica do momento angular, ou seja, o observador 1 mede: r α = sign( α J 1 ); (2.1) e o observador 2 mede: r β = sign( β J 2 ); (2.2) onde α e β são vetores que designam a direção de medida de cada observador e sign dá o sinal do produto escalar entre os vetores. Suponha ainda que esse experimento é repetido várias vezes e que J 1 e J 2 são completamente aleatórios. Nesse caso, para cada observador, a média de r é nula. No entanto, se após a realização de várias medidas os dois observadores se comunicam a correlação entre os resultados pode ser inferida. A correlação pode ser calculada por: r α r β = 1 N N r i,α r i,β ; (2.3) i=1 onde r i,α (r i,β ) é o resultado da medida do observador 1 (2) na i-ésima realização e N é o número total de realizações. Claramente este resultado pode ser diferente de zero. Por exemplo, se α = β temos uma total anti-correlação entre os resultados de cada realização e r α r β = 1. De forma geral, podemos calcular a correlação entre as duas medidas observando a Figura 2.1. Toda vez em que J 1 tiver seu vetor acima do plano equatorial perpendicular a α temos que r j,α = 1, do contrário, se o vetor estiver abaixo do plano então r j,α = 1. O mesmo é obtido para J 2 em relação ao plano equatorial definido perpendicularmente à β. Dessa forma a esfera unitária fica dividida em quatro regiões devido ao ângulo entre α e β. Quando repetimos o experimentos muitas vezes, N, temos que os resultados são correlacionados com uma probabilidade 2θ/(2π); e são anti-correlacionados com uma probabilidade 2(π θ)/(2π). As probabilidades foram calculadas observando o ângulo entre os planos definidos por α e β. Dessa forma a correlação clássica, C clássica ( α, β), é

22 2.1. Conceito 8 + ; + β θ α + + ; ; ; + Figura 2.1: Possíveis resultados das medidas do momento angular do fragmento da bomba para os dois observadores dados α e β. então: C clássica ( α, β) = r α r β = θ (π θ) π = 1 + 2θ π (2.4) Pensemos agora no experimento equivalente quântico. Temos duas partículas de spin 1/2 em um estado inicial completamente anti-correlacionado e com momento angular total nulo, ou seja o estado singleto ψ = ( )/ 2. Neste caso, o observador 1 faz a medida α σ e o observador 2 mede β σ, onde σ = σ xˆx + σ y ŷ + σ z ẑ com: σ x = 0 1 ; σ y = 0 i e σ z = 1 0. (2.5) 1 0 i Aqui também a média dos resultado para cada observador quando N é nula. Calculando a correlação entre as medidas segundo as regras da mecânica quântica podemos facilmente ver que: C quântica ( α, β) = ψ α σ β σ ψ = α β = cos(θ). (2.6) Pela Figura 2.2 percebemos que o valor absoluto das correlações quânticas é sempre maior ou igual ao valor absoluto das correlações clássicas, ou seja: C quântica ( α, β) C clássica ( α, β). (2.7) Isto justifica então dizer que as correlações quânticas são mais fortes do que as correlações clássicas. Claro que somente mostramos essa relação para o exemplo acima. No entanto, com considerações um pouco mais gerais podemos chegar nas desigualdades de Bell [15, 16], as quais mostram que as correlações clássicas são limitadas superiormente

23 2.1. Conceito 9 C Α,Β Θ Figura 2.2: Comparação entre as correlações quânticas (linha vermelha contínua) e as correlações clássicas (linha preta tracejada) por um valor menor do que o limite das correlações quânticas. Toda vez que um estado apresenta correlações acima do limiar clássico podemos afirmar que esse está emaranhado. Já o contrário não é verdade: não podemos afirmar que um estado é separável se apresenta correlações menores do que o limiar clássico. As desigualdades de Bell não são porém uma boa assinatura de emaranhamento, mais ainda elas não quantificam o emaranhamento, somente o detecta. Para o caso de dois qbits pertencente ao espaço de Hilbert composto bipartido 1 H A H B, dizemos que um estado puro é separável, ou seja, não apresenta correlações, quando podemos escrever o estado da seguinte forma: χ = Ψ A Φ B Ψ A Φ B, (2.8) onde χ é o estado composto H A H B tal que Ψ A H A e Φ B H B. Vemos que esse estado é separável pois pode ser escrito como o produto de estados dos dois subespaços, ou seja, a informação completa sobre as partes nos dá a informação completa do estado composto. Isso é confirmado pela entropia de Von Neumman: S = k Tr[ρ ln ρ], (2.9) onde k é a constante de Boltzman e ρ é a matriz densidade correspondente ao sistema de interesse.. Fica claro que S = 0 para χ, que é um estado puro, isto é, não há incerteza sobre ele. O mesmo é verdade para os subsistemas, uma vez que tomando a matriz reduzida de qualquer uma das partes corresponde a um estado puro do subsistema. Por exemplo, Tr B [ χ χ ] = Ψ A Ψ A = ρ A e sua entropia S A = k Tr[ρ A ln ρ A ] = 0. 1 Nesta tese só trataremos do caso bipartido de dois qbits.

24 2.1. Conceito 10 Estados desse tipo porém são só uma pequena fração no espaço H A H B. O estado puro mais geral nesse espaço é da forma: χ = i,j c ij i A j B, (2.10) onde c ij são coeficientes complexos e { i A } formam uma base em H A e { j B } formam um base em H B. Para o caso de dois qbits temos por exemplo o estado: ψ =. (2.11) 2 Esse estado não pode ser decomposto no produto de dois estados pertencentes cada um a um subsistema. Isto significa que o estado possui correlação quântica, emaranhamento. Se o primeiro qbit é medido em 0 certamente o outro estará em 1; da mesma forma, se o primeiro é medido em 1 o segundo estará certamente em 0. Nesses casos, novamente temos que a entropia de Von Neumman para o estado puro composto é nula, porém a entropia do estado reduzido de cada um dos subsistemas é não nula, > 0. No exemplo do estado ψ temos S A = S B = 1, isto é, não temos qualquer informação sobre o estado das partes. Quando o estado composto é puro é fácil ver pela decomposição de Schmidt que: k Tr[ρ A ln ρ A ] = k Tr[ρ B ln ρ B ]; (2.12) servindo assim a entropia do estado reduzido como bom quantificador do emaranhamento do estado χ [17], isto é: E(χ) = S A = S B, (2.13) onde E(χ) representa o emaranhamento do estado puro χ. Para estados mistura a análise é mais complicada uma vez que temos muitas decomposições de uma mesma matriz densidade. Uma forma de contornar esse problema é procurar pela decomposição que minimiza o emaranhamento médio, ou seja, se ρ = i,j c i χ i χ i (2.14) então E(ρ) = min i c i E(χ i ); (2.15) onde a minimização deve ser feita sobre todas as possíveis decomposições.

25 2.2. Medidas & Medidas 11 Esta minimização é em geral uma tarefa difícil só tendo resultado analítico para o caso de 2 qbits, como veremos no decorrer do capítulo. Podemos afirmar porém que estados do tipo: ρ = i c i ρ i A ρ i B, (2.16) são, pelo critério acima, separáveis. 2.2 Medidas & Medidas O grande interesse no emaranhamento se reflete também na busca pela sua quantificação. No que segue mostramos dois tipos de medidas: primeiramente medidas matemáticas as quais quantificam o emaranhamento para qualquer estado de dois qbits. Essas medidas porém utilizam, como veremos, processos não físicos em suas definições, o que torna sua aplicação experimental direta restrita. Em seguida, mostramos medidas que podem ser implementadas experimentalmente, sendo que somente uma delas, a tomografia completa do estado, é capaz de fornecer o valor do emaranhamento para qualquer estado 2 2. As demais só valem para certos casos. Essas medidas serão de grande utilidade nos próximos capítulos Medidas Matemáticas Aqui resumimos, sem demonstrar, as duas principais medidas teóricas para a quantificação do emaranhamento. Características essenciais dessas medidas são: não aumento segundo transformações locais e comunicação clássica (LOCC), valor nulo para estados separáveis e valor igual a 1 para os estados de Bell ( ψ ± = ( 01 ± 10 )/ 2, φ ± = ( 00 ± 11 )/ 2), os quais possuem a maior correlação quântica 2. Concurrência Em 1997, William K. Wootters conseguiu mostrar como construir a decomposição da matriz densidade que leva ao mínimo na Eq para o caso de dois qbits. Para isso, 2 Várias outras características podem ser exigidas. No entanto, como não há consenso sobre quais são as fundamentais, e como não é esse o nosso objetivo, nos limitamos a essas três características indiscutíveis. Para uma discussão sobre esse assunto veja, por exemplo, a ref. [18].

26 2.2. Medidas & Medidas 12 ele criou uma variável chamada de concurrência, a qual é em si uma boa medida do emaranhamento [17]. Para o estado puro a concurrência é calculada por: C = χ σ y σ y χ ; (2.17) onde χ significa a conjugação dos coeficientes na base computacional. Neste caso, foi mostrado na Ref. [19] que C 2 = 4 det ρ k = 2(1 Tr[ρ 2 k ]), onde ρ k é a matriz densidade reduzida de qualquer um dos qbits. Note que (1 Tr[ρ 2 k ]) é a chamada entropia linear, o que já indica a relação com a entropia de Von Neumman. Para o estado mistura ρ, definimos primeiramente a operação de spin-flip: ρ = σ y σ y ρ σ y σ y. (2.18) Com essa matriz podemos então calcular a concurrência de ρ: C = max{0, λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 }; (2.19) onde os λ i s são os auto-valores em ordem decrescente da matriz não hermiteana ρ ρ. Cada um dos auto-valores é um número real não negativo. A principal característica dessa medida é que ela pode ser ligada à entropia de formação, dando assim um interpretação física do seu significado: o número de estados maximamente emaranhados que podem ser destilados de N cópias do estado, no limite de N. A relação da concurrência com a entropia é dada por: ( 1 + ) 1 C E(ρ) = h 2 ; (2.20) 2 onde h(x) = xlog 2 x (1 x)log 2 (1 x). Negatividade A medida de negatividade é relacionada com o critério de separabilidade de Peres- Horodecki [20, 21]. Neste é usado o fato de que a operação de transposição é positiva, porém não completamente positiva. Isto significa que a transposição, T, leva matrizes densidades em matrizes densidade, porém a operação T 11 do espaço composto não necessariamente leva matrizes densidades em matrizes densidades, isto é, a matriz resultante da transposição parcial pode ter auto-valores negativos.

27 2.2. Medidas & Medidas 13 É fácil ver pela expressão do estado separável, Eq. 2.16, que a aplicação do mapa positivo de transposição parcial leva o estado para: (T 11)ρ = i c i (ρ i A) T ρ i B, (2.21) que é uma matriz densidade válida, só possui auto-valores positivos. No caso de um estado emaranhado, foi mostrado nas Ref. [20, 21] que, para estados 2 2 e 2 3 sempre vai existir pelo menos um auto-valor negativo da matriz transposta parcial. Para essas dimensões o critério PPT ( Positive Partial Transposition ) é necessário e suficiente. Esse critério, no entanto, somente detecta a presença de emaranhamento, sem quantificar. Foi só na Ref. [22] que a medida da Negatividade, N, foi introduzida como uma boa medida de emaranhamento e é comumente definida da seguinte forma [23]: N = max{0, 2λ } (2.22) onde λ é o menor auto-valor da matriz densidade parcialmente transposta ρ T A. Apesar da negatividade não ter uma ligação direta com a entropia de Von Neumman ela tem sua importância por ser uma condição necessária, apesar de não ser suficiente, para a detecção de emaranhamento para estados de dimensões maiores do que Cabe aqui uma observação sobre a relação entre a concurrência e a negatividade. Como mostrado na Ref. [23], essas duas quantidades são iguais para estados puros. Já Para estados mistura temos N C [24], como mostrado na figura 2.3. Fica claro que para uma dada concurrência existe um intervalo de possíveis valores para a negatividade, o que implica em uma ordenação diferente dos estados segundo o grau de emaranhamento. Note que para matrizes hermiteanas, como é o caso das matrizes densidade, a transposição e a conjugação são operações idênticas. Dessa forma fica claro que ambas são operações não completamente positivas, ou seja, operações não físicas. Desta característica advém a dificuldade principal de uma medida direta tanto da concurrência quanto da negatividade para um estado desconhecido, pois são medidas, nesse sentido, abstratas, matemáticas Medidas Experimentais No que segue mostramos as principais medidas de emaranhamento que podem ser implementadas experimentalmente.

28 2.2. Medidas & Medidas Negativity Concurrence Figura 2.3: Comparação entre a Negatividade e a Concurrência. Figura extraída da Ref. [24] Várias Medidas - Tomografia Completa A tomografia consiste na medida de todos os elementos da matriz densidade total através de medidas locais das correlações entre os subsistemas do estado composto. A tomografia de dois qbits de polarização [25, 26] é explicada em detalhe no apêndice A. Tendo toda a informação sobre a matriz densidade podemos calcular o valor das medidas definidas anteriormente: concurrência e negatividade. De forma geral, a matriz densidade de um sistema de d dimensões pode ser escrita como: d 2 ρ = ˆΓ ν r ν, (2.23) ν=1 onde ˆΓ ν são os geradores do SU(d) mais a identidade e r ν são os coeficientes da expansão. O nosso objetivo é então descobrir experimentalmente os coeficientes r ν através de medidas locais. Para isso escolhemos d 2 vetores desse espaço, { ψ µ }, e medimos a projeção de ρ neles: n ν = η ψ ν ρ ψ ν, (2.24) onde n ν é o valor obtido experimentalmente e η é a normalização, tal que s ν = n ν /η é a probabilidade de projeção de ρ no vetor ψ ν. Substituindo nessa expressão a expansão da matriz densidade temos: n ν = η ψ ν d 2 µ=1 ˆΓ µ r µ ψ ν ; = η d 2 µ=1 r µ ψ ν ˆΓ µ ψ ν ; = η d 2 µ=1 r µb ν,µ ; (2.25)

29 2.2. Medidas & Medidas 15 onde B ν,µ = ψ ν ˆΓ µ ψ ν é uma matriz d 2 d 2. Finalmente, para determinarmos os r ν s basta invertermos essa equação: r ν = 1 (B 1 ) ν,µ n µ. (2.26) η d 2 µ=1 Claramente para que a matriz B tenha inversa, detb 0, devemos escolher os projetores adequadamente, notando que diferentes conjuntos podem satisfazer essa condição. Podemos substituir a expressão acima na expansão da matriz densidade e escrevê-la diretamente em função das medidas experimentais: ˆΓ ν=1 ν 1 d 2 η = 1 d 2 η µ=1 n µ ρ = d 2 = 1 η d 2 µ=1 n µ ˆM µ ; µ=1 (B 1 ) ν,µ n µ ; d 2 ˆΓ ν=1 ν (B 1 ) ν,µ ; (2.27) onde ˆM µ = d 2 ν=1 ˆΓ ν (B 1 ) ν,µ são as matrizes da expansão de ρ cujos coeficientes são diretamente os valores medidos. Dessa forma conseguimos reconstruir a matriz densidade através de d 2 medidas. Feito isso, podemos calcular o valor do emaranhamento segundo qualquer uma das medidas matemáticas. Note que nesse caso temos muito mais informação do que a necessária para calcular o emaranhamento. Testemunhas de Emaranhamento As testemunhas de emaranhamento foram introduzidas pela familia Horodecki na Ref. [21]. Nesta foi mostrado que: uma matriz ρ é emaranhada se e somente se existe um operador hermiteano W tal que Tr[Wρ] < 0 e Tr[Wρ sep ] 0 para todo estado separável ρ sep. Ou seja, a testemunha W detecta o emaranhamento para uma dada classe de estados; sua atuação é pictoricamente mostrada na Figura 2.4. Fica claro que se o resultado da testemunha for positivo não necessariamente temos um estado separável. Dessa forma, precisamos ter algum conhecimento prévio do tipo de estado sendo analisado para sabermos que testemunha usar. Nas referências [27, 28] foi mostrado como determinar a testemunha ótima para o cálculo da negatividade. A testemunha é obtida através do auto-vetor com auto-valor negativo da matriz densidade transposta parcialmente. Matematicamente: ρ T A w = λ w, (2.28)

30 2.2. Medidas & Medidas 16 E < 0 > 0 W S Figura 2.4: Atuação da testemunha de emaranhamento W no espaço de estados. Pictoricamente, E é o espaço dos estados emaranhados e S o espaço dos estados separáveis. a testemunha é então construída por: W N = ( w w ) T A. (2.29) Desta forma,tr[w N ρ] = λ. Finalmente, o emaranhamento é dado por: E N = max{0, 2Tr[W N ρ]}. (2.30) Apesar da necessidade de se saber o estado para calcular a testemunha, é esperado que a mesma testemunha sirva para estados próximos ou da mesma classe. Mais ainda, como mostrado na Ref.[24] toda vez que o vetor w for um estado de Bell a concurrência e a negatividade assumem o mesmo valor. Cópias Simultâneas Uma outra forma de transformar a medida da concurrência em um observável foi obtida na Ref. [29] usando a idéia de múltiplas cópias simultâneas. Conforme foi mostrado por Brun [30] pode-se medir um polinômio de ordem m da matriz densidade utilizando-se simultaneamente m cópias do estado. Para o cálculo da concurrência do estado puro foi obtido que: C(χ) = 2 χ χ A χ χ, (2.31) onde A = ψ 11 ψ ψ 22 ψ 22 e os índices i e i se referem respectivamente a i-ésima partícula do estado original e a i-ésima partícula da cópia. Este operador projeta o estado no espaço anti-simétrico (para maiores detalhes veja a Ref.[29]).

31 2.2. Medidas & Medidas 17 Esse conceito foi implementado experimentalmente no laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ [31]. O estado original foi formado pela polarização de dois fótons emaranhados, criados pelo processo de conversão paramétrica espontânea, a cópia foi codificada no estado de momento dos mesmos fótons. Dessa forma, utilizando a relação mostrada acima, foi possível determinar o emaranhamento de diversos estados puros criados. Uma Única Medida - Tomografia Reduzida Como última alternativa para medida experimental do emaranhamento indicamos o resultado original mostrado na Ref. [32]. Nesta utilizamos o fato de que para o estado puro basta termos a informação do estado de uma das partes para calcularmos o emaranhamento: C 2 = 4 det ρ k = 2(1 Tr[ρ 2 k ]), (2.32) como dito anteriormente. Juntamos a esse fato a possibilidade de se realizar a tomografia de 1 qbit com a medida de um observável de 4 dimensões de um sistema auxiliar 3. A idéia básica é escrever toda a informação do qbit na diagonal do sistema auxiliar. Dessa forma, medindo as diferentes populações do sistema auxiliar podemos determinar a concurrência do sistema de dois qbits. O protocolo de tomografia de um sistema S através de estados auxiliares foi apresentado na Ref [33] e possui a vantagem de fazer uma tomografia ótima e mínima. É ótima no sentido que reconstrói qualquer vetor com a mesma fidelidade e mínima pois necessita da menor quantidade de informação para a reconstrução tomográfica. No âmbito da informação quântica podemos usar 2 qbits como sistema auxiliar, o circuito que implementa a tomografia parcial é mostrado na Fig.2.5. χ σ z σ x 0 σ x H(θ 1 ) S H(π/4) 0 H(θ 1 ) H(θ 2 ) H(π/4) Figura 2.5: Circuito lógico para medida tomográfica mínima de um dos qbits do estado χ. 3 Na verdade pode-se sempre se reconstruir a tomografia de um estado de d dimensões com a medida de um observável de d 2 dimensões de um sistema auxiliar.

32 2.2. Medidas & Medidas 18 Neste circuito H(θ) é uma transformação de Hadamard generalizada dada por: H(θ) = cos θ sin θ, (2.33) sin θ cos θ e S = diag(1,1,1,i). Sem entrar em detalhes da implementação, uma vez que este assunto não constitui resultado central da presente tese, as probabilidades de medida dos estados auxiliares na base computacional são então: P 00 = 1 4 ( ( σx k + σy k + σz k )) P 01 = 1 4 ( ( σ k x σk y σk z )) P 10 = 1 4 ( ( σ k x + σk y σk z )) P 11 = 1 4 ( ( σ k x σ k y + σ k z )) (2.34) onde σ k i é o valor esperado do observável σ i para o qbit k. Fica claro, pelas expressões das probabilidades, que somando e subtraindo esses valores é possível obter o valor médio das três matrizes de Pauli, as quais são suficientes para a reconstrução da matriz ρ k. χ : De posse da reconstrução tomográfica parcial podemos obter a concurrência do estado C 2 = 4(1 3(P P P P 11 2 )). (2.35) Note que apesar de fazermos a medida em dois sistemas auxiliares temos de fato a medida de um observável, nesse caso a população dos estados da base computacional. Conseguimos assim medir a concurrência do estado sem o uso de cópias simultâneas. Nesse caso no entanto não é possível escrever a concurrência como um valor esperado de um observável. Desta forma encerramos essa pequena revisão sobre os principais conceitos que serão utilizados nessa tese.

33 19 Capítulo 3 Medida Não-Demolidora da Complementaridade Bipartida Resumo do Capítulo Neste capítulo tratamos das diferentes características do estado emaranhado bipartido. Através de medidas quânticas não-demolidoras das propriedades de partícula única, visibilidade e previsibilidade, e da propriedade bipartida, o emaranhamento, evidenciamos o fato dessas serem complementares, ou seja, a medida de uma implica na total ignorância da outra. Mostramos um circuito lógico universal para realização dessas medidas que pode ser implementado em diversas plataformas de informação quântica. Cada termo da relação de complementaridade pode ser medido não-demolidoramente com um mesmo tipo de circuito. Este trabalho foi realizado em colaboração com: Stephen P. Walborn, János Bergou e Luiz Davidovich.

34 3.1. Introdução Introdução Desde do início da mecânica quântica (MQ) as relações de complementaridade desempenham um importante papel. No experimento de duas fendas de Young, ver Figura 3.1, não podemos observar simultaneamente o caráter corpuscular associado às trajetórias das partículas e o ondulatório. Quando o aparato experimental observa um aspecto o outro é totalmente ignorado; dizemos serem aspectos complementares. source of electrons H H detector 1 2 P (x) wall wall (a) (b) (c) 1 P (x) 2 P 12 (x) source of electrons detector light source H H P(x) wall (a) wall (b) (c) 1 P (x) 2 P 12 (x) a) b) Figura 3.1: Experimento de duas Fendas de Young com elétrons emitidos individualmente. a) Caráter ondulatório observado, padrão de interferência, visibilidade. b) Caráter corpuscular observado, padrão balístico, previsibilidade. O conceito de complementaridade foi formulado primeiramente por Bohr em sua famosa afirmação de que os sistemas quânticos possuem propriedades que são igualmente reais mas mutuamente excludentes [34]. Foi no entanto só com Schrödinger em 1935 que peculiaridades de estados emaranhados começaram a ser discutidas [14]: Dispomos assim provisoriamente (até que o emaranhamento seja destruído pela observação) apenas de uma descrição comum dos dois [subsistemas] em um espaço de mais dimensões. Esta é a razão pela qual a informação sobre os sistemas individuais pode ser extremamente reduzida, ou mesmo nula, enquanto a informação sobre o sistema combinado permanece máxima. A melhor informação possível do todo não inclui a melhor informação possível sobre suas partes - e isso é que vem constantemente nos assombrar. Naquela época porém, devido a dificuldades tecnológicas, esses aspectos fundamentais da mecânica quântica (medida e emaranhamento) não podiam ser experimentalmente explorados em sua totalidade e, mais ainda, eram ofuscados pelo impressionante

35 3.2. Medida Quântica Não Demolidora 21 desempenho da MQ na previsão de vários fenômenos naturais. As medidas eram sempre demolidoras e não se podia estudar o efeito delas sobre o sistema quântico [35]. Assim sendo, as relações de complementaridade eram mais qualitativas do que quantitativas e comumente associadas ao princípio de incerteza de Heisenberg. No final da década de 70 condições tecnológicas favoráveis e o desafio de medidas de alta sensibilidade na área de ondas gravitacionais estimularam o desenvolvimento da medida quântica não demolidora (QND), veja a ref. [36] para uma revisão histórica e das principais idéias relacionadas. Nesse tipo de medida, como será melhor explicado no que segue, o acoplamento com o aparato experimental, ou seja, com o sistema ponteiro, não aumenta a variância de medidas futuras do observável de interesse. Essa teoria foi desenvolvida principalmente por Braginsky e Khalili [37, 38] e os primeiros experimentos foram realizados logo em seguida [39, 40, 41]. Na área de óptica quântica ressaltamos o experimento realizado por Nogues et al [42] onde é medido de forma não demolidora o número de fótons dentro de uma cavidade de micro-ondas. A medida QND da polarização de um fóton [43] e a formalização das medidas QND no âmbito da informação quântica [44] são de também de grande importância para o trabalho aqui discutido. Desenvolvemos a medida quântica demolidora da característica bipartida, o emaranhamento, e das características de partícula única, a visibilidade e a previsibilidade, estas duas últimas são as presentes em um experimento de duas fendas de Young, Figura 3.1. O circuito lógico aqui apresentado para esse fim pode ser realizado atualmente em diversas implementações de informção quântica. De uma certa forma podemos agora verificar e quantificar o assombro de Schrödinger. 3.2 Medida Quântica Não Demolidora De forma geral, a medida de um dado observável em um sistema quântico perturba o estado de tal forma que a variância do observável é maior em uma medida futura [45]. Isso é facilmente ilustrado pelo mais simples dos sistemas: a partícula livre de massa m. O hamiltoniano desse sistema é dado por: H L = p2 2m ; (3.1)

36 3.2. Medida Quântica Não Demolidora 22 onde p é operador de momento. Podemos fazer inicialmente uma medida tão precisa quanto quisermos em x, o operador posição canonicamente conjugado a p. No entanto, devido ao princípio de incerteza, p /(2 x), isso perturba p. Em uma evolução seguinte a essa medida, p induz uma variação de x: ou seja, ẋ = 1 i [x,h L] = p m ; (3.2) x(t) = x(0) + p(0)t m. (3.3) Assim sendo, podemos calcular a incerteza em x para medidas futuras: ( x(t)) 2 = ( x(0)) 2 + ( p(0))2 t 2 m ( x(0)p(0) + p(0)x(0) 2 x(0) p(0) )t. (3.4) m Se para o estado inicial a posição é descorrelacionada do momento e usando a relação de incerteza temos que: ( ) ( x(t)) 2 ( x(0)) t 2. (3.5) 2m x(0) De onde fica claro que a medida futura de x tem sua variância aumentada. Podemos pensar que o aparato de medida atuou de forma a perturbar aleatoriamente o observável sendo medido. Por outro lado, uma medida inicial precisa de p, apesar de perturbar x, não altera sua evolução seguinte, uma vez que [p,h L ] = 0. Isto é, medidas futuras de p podem ter a mesma precisão da primeira. A medida quântica não-demolidora se caracteriza como a medida de observáveis que, como p, podem ser medidos seguidamente com precisão arbitrária. Em uma medida QND o observável O S do sistema S é inferido através da medida de um observável O A de um sistema auxiliar A, sem perturbar a evolução seguinte de O S ; após um número finito de medidas sucessivas o estado final de S que permanece é um auto-estado de O S. Formalmente [46], se temos o hamiltoniano total: H = H S + H A + H I ; (3.6) onde H S, H A e H I são respectivamente os hamiltonianos do sistema de interesse, do sistema auxiliar e o de interação, a medida QND de O S deve satisfazer as seguintes propriedades:

37 3.2. Medida Quântica Não Demolidora 23 H I O S 0 e [O A,H I ] 0 Essa condição se deve ao fato de queremos medir O S através de O A. Isso implica que o hamiltoniano de interação deva ser uma função de O S e que O P varie com a interação com o sistema. Essa condição, na verdade, deve ser observada por qualquer tipo de medida pois simplesmente exige que o sistema ponteiro varie em função dos autovetores do observável sendo medido. [O S,H I ] = 0 Mais ainda, o observável O S não deve ser alterado durante o processo de medida. H S O C S = 0 Aqui temos a principal característica da medida QND: após a interação de S com A o observável conjugado O C S é alterado de forma incontrolável. Para que esse aumento da variância não afete o observável sendo medido temos que exigir que o hamiltoniano do sistema não dependa do observável conjugado. Uma forma mais restritiva é exigir que [H s, O S ] = 0, pois assim o observável sendo medido é uma constante de movimento. De forma a salientar a perda de informação sobre o observável conjugado podemos citar, sem entrar em detalhes, a proposta do experimento de medida não demolidora do número de fótons em uma cavidade 3-D de micro-ondas [42, 46]. Nesse experimento átomos de dois níveis, { e, g }, passam por uma cavidade onde interagem dispersivamente com o campo nesta armazenado. O hamiltoniano efetivo é dado por: H = ωa a + ) 2 σ z (ω 0 + g2 (a a + 1) ; (3.7) onde a(a ) é o operador de aniquilação(criação) do campo na cavidade e σ z = e e g g. É fácil ver que se começarmos com um estado do tipo ( e + g ) n / 2, o estado atômico vai ganhar uma fase relativa dependente do número de fótons n na cavidade. Através de um experimento de interferência dos estados atômicos podemos determinar essa fase e assim inferir o número de fótons na cavidade. Considere agora que o estado inicial do campo é um estado coerente. Neste caso, diferentes fases são associadas as diferentes componentes do estado na base de Fock. Devido a periodicidade da fase, φ {0, 2π}, a medida de interferência atômica agora projeta o estado inicial do campo em uma superposição de todos os estados de Fock que possuem

38 3.2. Medida Quântica Não Demolidora 24 fase condizente com a medida atômica. Sucessivos átomos com diferentes velocidades, implicando em diferentes tempos de interação, são enviados através da cavidade. Desta forma, projeções parciais do estado do campo são realizadas e após sucessivas medidas da interferência entre os estados do átomo podemos determinar o número de fótons na cavidade. Esse processo é ilustrado Figura 3.2 e detalhadamente explicado na Ref. [46]. Figura 3.2: Medida QND do número de fótons em uma cavidade.(a) Estado inicial do campo é um estado coerente com n = 10. (b)-(f) Evolução do estado do campo dentro da cavidade após medidas sucessivas da fase adquirida na interação; após algumas medidas pode-se determinar o número de fótons na cavidade, neste caso n = 3. Figura extraída da Ref.[46]. Qualquer medida subseqüente indicará o mesmo número de fótons na cavidade, ou seja, estamos em um auto-vetor do observável medido e este é uma constante de movimento do hamiltoniano. Mais ainda, vemos que toda a informação sobre a fase é perdida, uma vez que qualquer estado de Fock não possui fase definida. Apesar da fase não ser um observável, a definimos aqui pelo ângulo no espaço de fase quântico gerado, por exemplo, pela função de Wigner [47]. De fato, a relação de incerteza entre o número de fótons e a fase: φ n 1; (3.8) implica na completa ignorância da fase se conhecemos o número de fótons. Uma última característica a ser abordada é fato de que o estado final do campo na

39 3.2. Medida Quântica Não Demolidora 25 cavidade não pode ser definido à priori. Se repetirmos essa experiência várias vezes, ou seja, se determinarmos o estado de Fock final da cavidade várias vezes, a distribuição dos resultados vai ser idêntica ao estado coerente inicial Medida QND em Informação Quântica Agora que as principais características da medida quântica não demolidora já foram ilustradas podemos formalizá-las no âmbito da informação quântica. Neste caso, como os sistemas possuem dimensão finita, é mais fácil lidarmos diretamente com as distribuições de probabilidade do sistemas S e A em relação ao observáveis O S e O A do que com os hamiltonianos. Mais ainda, no caso da computação com fótons, conforme sugerido por Knill, Laflamme e Milburn (KLM) [48], as interações não lineares podem ser realizadas através de medidas em sistemas extras, o que seria difícil de incorporar nas regras usuais da QND [47, 46]. Seguimos neste tópico o artigo de Ralph et al. [44]. Neste são definidas três figuras de mérito para verificar o caráter QND de uma dada medida. Usando a notação anterior, suponhamos que queremos medir de forma não demolidora o observável O S que possui auto-vetores { ψ 1,..., ψ d }, com d dimensões. O estado inicial descorrelacionado pode ser escrito como ρ in = ρ S 0 A A 0, onde A é o sistema auxiliar com que vai ser medido na base { 0,..., N }, com N d. O estado final, imediatamente antes da medida, pode ser escrito como ρ out = N i,j=1 c ij ψ i S S ψ j i A A j, possivelmente um estado emaranhado entre S e A. Definimos então três distribuições de probabilidades: P in i = ψ i Tr A [ρ in ] ψ i ; P out i = ψ i Tr A [ρ out ] ψ i ; P A i = i Tr S [ρ out ] i ; (3.9) onde P in (P out ) é a distribuição de probabilidades do observável sendo medido para o estado inicial (final), e P A i a distribuição de probabilidades obtida através da medida do sistema auxiliar A, após a interação com S. No caso de auto-valores degenerados P X i continua com o mesmo significado mas deve ser alterado convenientemente, ou seja, somamos as probabilidades dos auto-vetores degenerados. A partir dessas definições determinamos três fidelidades que indicam quão não demolidora é a medida.

40 3.2. Medida Quântica Não Demolidora 26 (i) Fidelidade da Medida: Este critério verifica se as probabilidades obtidas através da medida do sistema auxiliar são as mesmas que seriam obtidas através de uma medida direta, demolidora. Isso pode ser quantificado através da correlação entre as distribuições das medidas diretas e das medidas através do sistema auxiliar: ( ) 2 F M = Pi in Pi A, (3.10) i No caso em que F M = 1 as duas distribuições são idênticas. Isso equivale, no exemplo mencionado anteriormente, à obtenção da distribuição de probabilidades do estado coerente após várias medidas do número de fótons na cavidade, realizada através do monitoramento dos átomos que interagiram com o campo. (ii) Fidelidade QND: em uma medida quântica não demolidora esperamos que a interação de S com o sistema auxiliar A não deve perturbar a distribuição de probabilidade do sistema principal. Para verificar esse critério podemos calcular a seguinte figura de mérito: F QND = ( i ) 2 Pi in Pi out, (3.11) Esta é a característica mais marcante da medida QND. Note que se começamos com um estado que não seja auto-vetor do observável sendo medido o estado mudará após a medida, idealmente o estado será projetado em um auto-vetor do observável. No entanto, se F QND = 1, não há introdução de ruído em medidas posteriores. (iii) Fidelidade de Preparação de estado quântico (QSP): Esta última imposição requer que o estado restante seja um auto-estado do observável sendo medido, servindo como preparação de um estado. Para quantificar essa imposição comparamos a distribuição de probabilidade P A com a probabilidade condicional P cond de achar o sistema em um auto-estado de O S dada a medida do sistema auxiliar: F QSP = i P A i P cond i. (3.12) Quando essas três fidelidades tem valor igual a 1 temos de fato uma medida QND, mostrando uma total correlação entre as distribuições de probabilidade. Para implementarmos medidas QND em qualquer sistema adicionamos a estas imposições o fato de que a evolução do sistema após a medida não pode mudar o valor

41 3.3. Complementaridade 27 esperado do observável sendo medido. Matematicamente, se a evolução do sistema após a medida é dada por U(t), então devemos ter: U 1 (t)o S U(t) = O S (3.13) 3.3 Complementaridade Como já enfatizado anteriormente, em uma medida QND uma importante questão é identificarmos a variável complementar ao observável sendo medido. No que segue mostramos as relações de complementaridade que serão medidas de forma não demolidora. Relações de complementaridade nas quais o emaranhamento entra como um dos termos, foram buscadas por vários autores [49, 50, 51, 33, 52, 53]. No entanto, foi só com Jakob e Bergou [54] que essas relações foram definidas. Seguimos aqui o tratamento desenvolvido nessa referência Qbit Começamos mostrando quantitativamente a relação de complementaridade entre o caráter corpuscular e o ondulatório para um qbit. Essas duas características podem ser quantificadas através da visibilidade V e da previsibilidade P, definidas como: V = 2 χ σ + χ ; (3.14) P = χ σ z χ ; (3.15) onde σ + = 1 0, σ z = ( ) e χ é um estado puro do qbit (a generalização para estados mistura é óbvia)) 1. Claramente os dois estados de máxima previsibilidade são os estados da base computacional { 0, 1 }; já os estados de máxima visibilidade são {( 0 + e iφ 1 )/ 2,( 0 e iφ 1 )/ 2}. Em um experimento de Young essas quantidades representam respectivamente o nosso conhecimento inicial de por qual das fendas a partícula passou e a visibilidade das franjas de interferência. A complementaridade entre esses aspectos é então expressa pela seguinte equação: V 2 + P 2 1; (3.16) 1 Observe que usamos aqui a definição: 1 = (1,0) T e 0 = (0, 1) T, a qual é diferente da definição usada nos demais capítulos. Deixamos dessa forma para que fique idêntica à definição usada no artigo, servindo então como guia de leitura.

42 3.3. Complementaridade 28 onde a igualdade é válida somente para estados puros. Vemos que quando temos máxima visibilidade não temos nenhuma informação por qual das fendas passou a partícula, ou seja, previsibilidade nula P = 0. Essa expressão é facilmente demonstrada se lembrarmos que a pureza de um estado de dois níveis é dada por: Tr[ρ 2 ] = 1 + σ x 2 + σ y 2 + σ z (3.17) Dessa forma: σ x 2 + σ y 2 + σ z 2 1 ; σ x + iσ y 2 + σ z 2 1 ; 2 σ σ z 2 1 ; (3.18) V 2 + P 2 1. Esses dois parâmetros caracterizam completamente os aspectos complementares de um qbit. Note que ambos dependem da base utilizada. Contudo a soma dos quadrados é um invariante sob transformações de base; definimos então uma quantidade que resume todas as contribuições de uma partícula e é invariante: S 2 = V 2 + P 2. (3.19) Dois Qbits Quando temos dois qbits, além das características individuais, temos a possibilidade de emaranhamento entre os dois. Para incluir esse termo na equação de complementaridade utilizamos que a concurrência de um estado puro bipartido se relaciona com a entropia do estado reduzido de um qbit da seguinte forma: C 2 = 2(1 Trρ 2 k ) ; (3.20) onde ρ k é a matriz reduzida do k-ésimo qbit. Sendo assim, podemos reescrever a pureza de um qbit da seguinte maneira: Tr[ρ 2 k ] = 1+ σx 2 + σ y 2 + σ z 2 2 ; 2Tr[ρ 2 ] 1 = V 2 k + P2 k ; 1 = 2(1 Trρ 2 k ) + V2 k + P2 k ; (3.21) o que nos leva à equação de complementaridade entre os aspectos bipartidos e os aspectos de partícula única: C 2 + V 2 k + P2 k = 1. (3.22)

43 3.4. Circuito Universal 29 Esta equação mostra que se, por exemplo, o emaranhamento é máximo, C = 1, não temos bem definidas as características individuais. O mesmo acontece se temos toda a informação sobre o estado de uma das partes, S k = 1, então o emaranhamento com qualquer outr o sistema é nulo. Novamente a igualdade da Eq só é válida quando o estado de dois qbits é puro, do contrário essa expressão se torna uma desigualdade limitada superiormente por um [54]. 3.4 Circuito Universal Discutimos agora a medida QND das três quantidades presentes na Eq. (3.22) com um circuito universal. Este é o principal resultado deste capítulo. Para descrevermos o protocolo de medida, observamos primeiramente que o estado mais geral de dois qbits pode ser escrito como: χ = α ψ + β ψ + + γ φ + η φ +, (3.23) onde ψ ± = ( 10 ± 01 )/ 2, φ ± = ( 11 ± 00 )/ 2 são os estados de Bell e α 2 + β 2 + γ 2 + η 2 = 1. Para este estado temos: V 12 = 2 R(β η α γ) + ii(βγ ± ηα ) ; (3.24) P 12 = 2 R(α β ± η γ) ; (3.25) C = α 2 β 2 γ 2 + η 2. (3.26) onde V k = 2 χ σ k + χ, P k = χ σ k z χ e a concurrência do estado puro, C = χ σ y σ y χ, pode ser facilmente obtida notando que { ψ, φ + } e { ψ +, φ } são auto-vetores de σ y σ y com auto-valores 1 e 1, respectivamente Medida QND do Emaranhamento Começamos mostrando como medir o emaranhamento de forma não demolidora. A definição da concurrência envolve a conjugação do estado, uma operação não física, e sendo assim C não pode ser diretamente medida se nao dispomos de cópias simultâneas [31]. Se no entanto nos restringimos aos estados com coeficientes reais, os rebits [55], podemos

44 3.4. Circuito Universal 30 associar o grau de emaranhamento com o valor médio do observável σ y σ y, que pode ser então medido. Apesar dessa ser uma restrição bastante severa foi demonstrado nas referências [56, 57] que a computação somente com estados reais é universal. Apresentamos na Figura 3.3 então um circuito lógico simplificado para a medida do valor esperado de σ y σ y, nesse caso a concurrência. χ R x (π/2) R x ( π/2) R x (π/2) R x ( π/2) 0 Figura 3.3: Circuito lógico para a medida QND da concurrência. χ é um estado inicial de dois qbits, e R x(±π/2) = exp( iπσ x/4). Este circuito é formado de rotações de um qbit e porta CNOT, as quais são os blocos fundamentais das medidas QND [44] em informação quântica. O estado conjunto dado por χ 0, com χ dado pela Eq. (3.23), evolui da seguinte maneira neste circuito. As rotações locais transformam o estado em: χ 0 (α ψ iη ψ + + γ φ iβ φ + ) 0. (3.27) Para aplicarmos as portas controladas notamos que: os estados tipo φ± ou aplicam duas vezes a operação de flip, pela parte 11, ou nenhuma, pela parte 00, o que resulta na não mudança do qbit alvo. Já os estados tipo ψ± sempre aplicam só uma das portas controladas, invertendo assim o estado do qbit alvo. Após as portas controladas temos então: (α ψ iη ψ + ) 1 + (γ φ iβ φ + ) 0. (3.28) Apesar do emaranhamento ser invariante sob transformações locais, aplicamos as rotações contrárias as primeiras de forma a terminarmos, como veremos em seguida, em um auto-estado de σ y σ y. O estado após as rotações de π/2 é então o seguinte: (α ψ + η φ + ) 1 + (γ φ + β ψ + ) 0. (3.29) O passo final consiste em realizarmos a medida do estado auxiliar. O estado condi-

45 3.4. Circuito Universal 31 cional do sistema S que permanece é então: χ 1 = α ψ +η φ + se o estado auxilar está em 1 α 2 + η 2 χ 0 = γ φ +β ψ + β 2 + γ 2 se o estado auxiliar está em 0. (3.30) Notamos que o estado χ 1 ( χ 0 ) é auto-vetor de σ y σ y com auto-valor 1 (+1). A concurrência desses estados pode então ser facilmente calculada: C(χ 1 ) = α2 +η 2 = 1 α 2 + η 2. (3.31) C(χ 0 ) = β2 γ 2 = 1 β 2 + γ 2 A concurrência do estado que permanece após a medida é sempre 1, independente do resultado da medida, se os coeficientes forem reais. Assim, o estado de saída é sempre maximamente emaranhado, independentemente do estado inicial do sistema. Mesmo que o estado inicial fosse separável, por exemplo 00, o estado final será um estado maximamente emaranhado, φ + ou φ neste caso dependendo do resultado da medida do sistema auxiliar A. em A: A concurrência do estado inicial pode então ser inferida pela estatística das medidas onde P A i P A 1 P A 0 = α2 β 2 γ 2 + η 2 = C(χ); (3.32) é a probabilidade de encontrar o sistema auxiliar A no estado i. Isso equivale a determinar a distribuição de estados de Fock do estado inicial no experimento de medida QND de número de fótons. Para verificarmos a qualidade da medida QND calculamos as fidelidades discutidas na seção 3.2. As distribuições de probabilidade, para a medida de σ y σ y, são então: P in = {α 2 + η 2,β 2 + γ 2 } ; P out = {α 2 + η 2,β 2 + γ 2 } ; P A = {α 2 + η 2,β 2 + γ 2 } ; P cond = {1,1}. (3.33) Com essas distribuições fica fácil perceber que F M = F QND = F QSP = 1, ou seja, temos uma medida QND ideal. O motivo de precisarmos somente de um qbit como sistema auxiliar vem do fato dos auto-vetores de σ y σ y serem degenerados dois a dois. No entanto, como nosso objetivo é

46 3.4. Circuito Universal 32 medir de forma não demolidora todas as contribuições da equação de complementaridade e os demais observáveis a serem medidos possuem quatro auto-vetores não degenerados, modificamos o circuito para o mostrado na Figura 3.4. χ R θ1 R θ2 R θ1 R θ2 0 R θ3 0 Figura 3.4: Circuito quântico universal para a medida QND da concurrência, visibilidade e previsibilidade. O retângulo tracejado representa a preparação do estado auxiliar inicial. O resultado anterior é reobtido escolhendo θ 3 = (π/2)ŷ, dessa forma o estado inicial do sistema auxiliar é φ +, o que faz com que as duas linhas auxiliares fiquem totalmente correlacionadas. Mais ainda, as duas linhas auxiliares atuam nesse caso como um qbit lógico com φ + 0 L e ψ + 1 L. Isso fica claro notando que as portas controladas nunca tiram os qbits auxiliares desse subespaço. Igualmente ao caso anterior fazemos θ 1 = (π/2)ˆx = θ 2. Note ainda que medidas locais na base computacional distingue entre esses dois estados. As probabilidades são então facilmente relacionadas por Pφ A = + P00 A + P 11 A e P ψ A = P A P 01 A. A concurrência do estado inicial é agora obtida por Pψ A P A + φ = C(χ) Medida QND da Previsibilidade e da Visibilidade Como desejamos agora medir características individuais de cada qbit é natural escolhermos θ 3 = 0. Dessa forma o estado do sistema auxiliar. após o processo de preparação (ver Figura 3.4), é totalmente descorrelacionado 00, o que implica em dois circuitos independentes para cada qbit. Fica mais fácil agora trabalharmos diretamente na base computacional. O estado χ pode então ser reescrito como: χ = 1 2 [(η γ) 00 + (β α) 01 + (β + α) 10 + (γ + η) 11 ]. (3.34) Para a medida QND da previsibilidade notamos que uma simples CNOT, sem quaisquer rotações anteriores ou posteriores, projeta o estado final em um auto-estado de σ z.

47 3.4. Circuito Universal 33 Sendo assim, a média dos resultados obtidos pela medida do sistema auxiliar nos dá σ z, ou seja, a previsibilidade. Desta forma, para medirmos a previsibilidade do dois qubits ao mesmo tempo fazemos θ 1 = θ 2 = 0. A aplicação das duas portas CNOT s nos dá o seguinte estado imediatamente antes da medida: 1 2 [(η γ) (β α) (α + β) (γ + η) ]. (3.35) Qualquer medida do sistema auxiliar na base computacional resulta em um estado com previsibilidade máxima para o sistema A. As probabilidades associadas com cada uma das possibilidades nos dá a previsibilidade inicial de cada qbit: (P00 A + P 01 A) (P 10 A + P 11 A) = 2 αβ + ηγ = P 1 (P00 A + P 10 A) (P 01 A + P 11 A) = 2 αβ ηγ = P 2. (3.36) A primeira linha representa a diferença entre as probabilidades do primeiro qbit do estado auxiliar ser medido em 0 ou e 1, enquanto a segunda linha é a diferença entre as probabilidades do segundo qbit ser encontrado em 0 ou em 1. Isso reforça o fato de termos dois circuitos independentes. Uma vez que estamos tratando somente de estados com coeficientes reais, podemos reexpressar a visibilidade como V k = χ σ k x χ, ou seja, é o valor esperado de σ x para cada qbit. Partindo da medida de σ k z, para realizarmos a medida de σ k x de forma QND basta rodarmos a base na qual o estado se emaranha com o sistema auxiliar, isto é, fazemos θ 1 = (π/2)ŷ. No entanto, como a visibilidade depende da base escolhida temos que desfazer essa rotação inicial para que o estado restante do sistema seja sempre um estado de máxima visibilidade; para isso tomamos θ 2 = (π/2)ŷ. Com essas escolhas a evolução do estado inicial, χ 00, é a seguinte. Após as rotações iniciais temos: 1 2 [(η + β) 00 + (γ α) 01 (α + γ) 10 + (η β) 11 ] 00, (3.37) aplicando as portas controladas: 1 2 [(η + β) (γ α) (α + γ) (η β) ], (3.38) e finalmente após as últimas rotações temos: 1 2 [(η +β) (γ α) (α+γ) (η β) 11 ], (3.39)

48 3.4. Circuito Universal 34 onde ± = ( 1 ± 0 )/ 2. Fica claro que a medida do sistema auxiliar na base computacional deixa o sistema S em um estado de máxima visibilidade. Com as probabilidades associadas a cada medida podemos inferir a visibilidade de cada constituinte do estado inicial: (P00 A + P 01 A) (P 10 A + P 11 A) = 2 αγ ηβ = V 1 (P00 A + P 10 A) (P 01 A + P 11 A) = 2 αγ + ηβ = V 2 ; (3.40) onde cada linha tem o mesmo significado que no caso da medida de previsibilidade. Completamos assim a medida de todos os elementos da equação de complementaridade bipartida. Falta mostrar que a medida da previsibilidade e visibilidade são de fato QND. Para isso, como já dito anteriormente, notamos que com um estado separável do sistema auxiliar temos na verdade dois circuitos independentes. Basta então mostrarmos que cada circuito mede de forma QND a visibilidade e a previsibilidade de um qubit. Mais ainda, notamos que os auto-vetores de σ z são os mesmos de R y (π/2)σ x, onde R y (π/2) é exatamente a transformação que fazemos no circuito para a medida da visibilidade, isto é, se a medida de previsibilidade é QND então a medida de visibilidade também o é, e viceversa. Com tudo isso precisamos somente mostrar que a medida é não demolidora para a medida de previsibilidade de um qbit, ou seja, para o circuito mostrado na Figura 3.5. ρ S 0 0 Figura 3.5: Circuito individual para medida QND da previsibilidade de um qbit. Um estado geral de um qubit pode ser escrito como: ρ = a c ; (3.41) c b com a + b = 1. Imediatamente antes da medida temos então o seguinte estado: a 1 S 1 1 A 1 +b 0 S 0 0 A 0 +c 1 S 0 1 A 0 +c 0 S 1 0 A 1. (3.42) Temos então as seguintes distribuições de probabilidade para este circuito: P in = {a,b} ; P out = {a,b} ; P A = {a,b} ; P cond = {1,1}. (3.43)

49 3.4. Circuito Universal 35 o que claramente nos dá F M = F QND = F QSP = 1, isto é, uma medida QND ideal para a previsibilidade e para visibilidade. Para todas as medidas QND mostradas assumimos que a dinâmica livre, após a medida do sistema auxiliar, não altera o estado dos qbits restantes, o que não é necessariamente verdade. De forma geral S e C são invariantes sob transformações locais o que faz com que sempre tenhamos uma medida QND desses dois parâmetros, mostrando portanto a complementaridade entre as características de partícula única e o emaranhamento do estado bipartido. No entanto, para vários casos de interesse da informação quântica, o hamiltoniano livre é proporcional a (σ z σ z ), o que faz com que a medida da previsibilidade e da visibilidade já sejam em si não demolidoras 2. Para enfatizar a complementaridade entre esses aspectos podemos calcular a variância dos observáveis associados com cada medida. ( σ y σ y ) 2 = (σ y σ y ) 2 σ y σ y 2 = 1 C ; ( σ k z) 2 = (σ k z) 2 σ k z 2 = 1 P k ; ( σ k x )2 = (σ k x )2 σ k x 2 = 1 V k ; (3.44) o que mostra que todas as variâncias são limitadas superiormente por um. Somando essas três equações e usando o resultado da equação de complementaridade, Eq. (3.22), é fácil ver que: [ (σ y σ y )] 2 + ( σ z ) 2 + ( σ x ) 2 = 2, (3.45) ou seja, quando temos total conhecimento de alguma das características, por exemplo V, sua variância é nula, ( σ x ) = 0, e o único modo de satisfazer a Eq. (3.45) é termos total ignorância dos outros termos, [ (σ y σ y )] = ( σ z ) = 1. No caso de estados reais também fica claro perceber porque a relação de complementaridade assume a forma de uma soma. Pelo princípio de Heisenberg vamos ter sempre uma indeterminação quando conhecemos um dos termos da relação de complementaridade com máxima precisão. Por exemplo o princípio de Heisenberg nos diz que, no presente caso: ( σ z ) 2 ( σ x ) [σk z,σx] k = 1 2 σk y = 0 (3.46) 2 Note que no caso da visibilidade tomamos o módulo de σ x, o que faz com que essa não tenha uma evolução temporal. Em outras palavras, apesar do estado de máxima visibilidade evoluir com esse tipo de hamiltoniano livre, ganhando uma fase relativa, o estado terá sempre V= 1.

50 3.4. Circuito Universal 36 se temos então máxima certeza sobre a visibilidade, ( σ x ) = 0, temos uma inderteminação para a variância da previsibilidade. Medida Intermediária Por fim mostramos o efeito de termos um estado não maximamente emaranhado após a preparação do estado auxiliar. Para isso tomamos 0 < θ 3 < π/2 novamente na direç ao ˆx, o que nos produz um estado auxiliar da forma: ǫ = ǫ ǫ 11 ; (3.47) onde cos θ 3 = ǫ. Este estado possui emaranhamento C ǫ = 2 ǫ(1 ǫ). Com 0 < ǫ < 1 não podemos separar o circuito da Figura 3.4 em dois circuitos independentes mas também não podemos pensar nas duas linhas auxiliares como uma só. Escolhendo θ 1 = π/2 = θ 2, como no caso da medida QND do emaranhamento, temos o seguinte estado antes da rotação π/2: ( ǫ( iβ γ) ǫ(γ iβ) 11 ) ( ǫ( iη α) ǫ(α iη) 11 ) ( ǫ( iη + α) ǫ( α iη) 11 ) ( ǫ( iβ + γ) ǫ( γ iβ) 11 ) 11. (3.48) Uma vez que o emaranhamento é invariante sob transformações locais, não precisamos calcular o efeito das últimas rotações para percebermos que os estados emaranhados com as diferentes possibilidades de medida do sistema auxiliar, têm todos concurrência igual a C ǫ. Pela relação de complementaridade temos então que S = 1 C ǫ. Ou seja, neste caso o estado que permanece após a medida do sistema auxiliar possui tanto características de partícula única quanto emaranhamento. Estas quantidades variam continuamente com ǫ. Podemos pensar nessa variação entre as características de partícula única e estado emaranhado da mesma forma como no experimento de Young segundo Bohr, como mostrado na Figura 3.6. Nesse experimento uma das fendas fica suspensa por uma mola muito sensível. O caráter ondulatório se transforma continuamente no caráter corpuscular quanto menor é a massa da fenda suspensa. Nesse caso o momento transferido do fóton para a fenda suspensa distingüe por qual das fendas o fóton passou, destruindo assim o padrão de interferência. No experimento aqui proposto o papel da massa é feito

51 3.5. Conclusões 37 pelo emaranhamento do estado auxiliar; variando este podemos observar a transição entre as quantidades complementares bipartidas. Figura 3.6: Experimento de duas Fendas de Young na versão do Bohr. A fenda superior é presa por uma mola e tem massa variável. Quanto mais leve fosse a massa da fenda maior seria o momento transmitido do fóton para a fenda e com isso poderíamos descobrir o caminho tomado; destruindo assim o padrão de interferência. 3.5 Conclusões Em conclusão, mostramos que é possível implementar medidas não demolidoras independentes de todas as quantidades complementares correspondentes a um estado de dois qbits. A restrição de termos de usar estados com coeficientes reais parece ser inevitável nocontexto de uma única cópia, uma vez que só assim podemos associar um observável à medida da concurrência. Os circuitos acima mostrados podem ser implementados em diversas plataformas de informação quântica, uma vez que só são necessárias rotações locais de um qbit e portas CNOT. Essas operações já forma demonstradas experimentalmente em vários sistemas, como por exemplo íons aprisionados [58], cavidades de micro-ondas [59] e pares de fótons gêmeos [60]. Enfatizamos ainda que a medida não demolidora do emaranhamento pode ser de grande utilidade para protocolos de informação/computação quântica uma vez que o estado maximamente emaranhado resultante do processo de medida QND pode ser ainda utilizado. 3 3 Quando da defesa da presente tese, o Prof. Daniel Jonathan trouxe ao meu conhecimento a excelente referência [61]. Nessa os autores mostram uma relação de complementaridade entre a informação local e não-local. Não é óbvio no entanto se essas quantidades podem ser medidas de forma não demolidora.

52 38 Capítulo 4 Dinâmica de Decaimento Local e Global: Teste Experimental Resumo do Capítulo Neste capítulo tratamos da interação de sistemas quânticos com reservatórios. Mostramos como diversas dinâmicas de interação de qbits com reservatórios locais podem ser realizadas experimentalmente com óptica linear. Utilizamos os conceitos de visibilidade (V), previsibilidade (P) e concurrência (C) desenvolvidos no capítulo anterior para analisarmos a transferência de informação de um sistema de um ou dois qbits para o reservatório. Mais ainda, enfatizamos a diferença entre a dinâmica das características de partícula única (V, P) e a do emaranhamento (C), mostrando experimentalmente que esse, para alguns casos, pode se anular em um tempo finito. Estudamos o emaranhamento neste capítulo em dois de seus aspectos: primeiro como canal de transferência de informação do nosso sistema de interesse para o reservatório; depois a sua dinâmica quando um sistema de dois qbits interage com reservatórios locais. Esse trabalho foi feito em colaboração com: Marcelo Almeida, Malena Hor-Meyll, Alejo Salles, Stephen P. Walborn, Paulo H. S. Ribeiro e Luiz Davidovich.

53 4.1. Introdução Introdução A interação de sistemas de poucos graus de liberdade com reservatórios é alvo de estudo da Física desde longa data [62]. A partir da percepção que a informação é física [1] uma nova abordagem foi dada a este tipo de dinâmica. Atualmente a entendemos como a troca irreversível de informação entre o sistema e o reservatório. O exemplo protótipo dessa dinâmica é o de um átomo de dois níveis interagindo com o reservatório a temperatura zero 1 de modos eletromagnéticos. Se sabemos que seu estado inicial é excitado, passado um intervalo de tempo, devido à interação com os muitos modos externos, podemos dizer que perdemos informação sobre o seu estado, ou seja, sua entropia aumentou. Só voltamos a ter a total informação sobre o estado do átomo quando detectamos a radiação emitida, sabemos então estar no nível fundamental. Com essa nova perspectiva, o estudo da comunicação e computação também se tornaram um assunto de grande interesse da Física de sistemas abertos. A informação não podia mais ser tratada independentemente das leis da Física que regem sua transmissão e manipulação. Em particular, os erros no processamento dos bits são devidos à interação com o entorno. 1 p 1 1 p p 0 1 p 0 0 Figura 4.1: Processamento binário clássico ruidoso. Cada valor i do bit tem uma probabilidade 1 p i de continuar com o mesmo valor e uma probabilidade p i de mudar de valor. O único tipo de erro no processamento clássico, comumente chamado de bit-flip, é ilustrado na Figura 4.1, onde o valor i possui a probabilidade p i de se manter e 1 p i de alterar seu valor. As probabilidades de erro são dadas pelo tipo de bit que estamos usando e por seu acoplamento com o entorno. Ou seja, temos um sistema de um grau de liberdade e com dois valores possíveis, o bit, interagindo com um reservatório, seu entorno. 1 Em todos os casos aqui tratados assumiremos que o reservatório tem temperatura nula inicialmente.

54 4.1. Introdução 40 Prontamente essas idéias são incorporadas na crescente área da computação/informação quântica [2, 7]. O bit é então substituído pelo qbit e, sendo assim, os valores possíveis se transformam em estados possíveis. A diferença crucial é devida à possibilidade de superposição coerente dos estados, ou seja, qualquer estado da forma α 0 + β 1 é também um estado válido. Essa característica, que é fundamental para o ganho de velocidade do computador quântico em relação ao clássico, também traz consigo a possibilidade de um maior número de erros no seu processamento, isto é, um maior número de possíveis reservatórios (os vários tipos de erros serão abordados com detalhe no decorrer do capítulo). Para completarmos a analogia entre reservatórios e erros quânticos voltamos ao exemplo do decaimento de amplitude do átomo, agora um sistema quântico de dois níveis. Nesse caso o estado excitado, que designamos de 1, tem uma probabilidade 1 p 1 de permanecer excitado e uma probabilidade p 1 de ir para o estado fundamental, 0, emitindo um fóton. Temos assim um processo muito semelhante ao representado na Figura 4.1, porém agora p 0 = 0, o que significa que se o átomo está no seu nível fundamental ele não pode emitir um fóton e permanece no mesmo estado. Desta forma, um átomo que comece a interagir com o reservatório em estado puro evolui para um estado mistura 2, isto é, a informação sobre seu estado é perdida para o reservatório. O canal de comunicação do sistema quântico com o reservatório é o emaranhamento. De forma geral, uma dinâmica não-unitária em um espaço H S, a qual leva à perda de informação sobre o estado nesse espaço, pode ser entendida como uma dinâmica unitária em um espaço maior H S H R, onde os estados de S se emaranham com os de R. Desta forma, um estado puro inicial de S evolui para um estado mistura. Esta evolução é irreversível pois uma vez que a informação contida em um estado de S passa para R ela não volta mais 3. Nossa principal contribuição é mostrar como realizar essas dinâmicas não unitárias locais com óptica linear. Para tal usamos os diferentes graus de liberdade do fóton, por exemplo podemos usar a polarização como qbit e o grau de liberdade de momento como reservatório. Desta forma ilustramos o processo de descoerência com fótons, para diferentes tipos de reservatório e erros. O sistema de fótons pode então ser usado como 2 Como ficará claro no decorrer do capítulo, o estado volta a ser puro assintoticamente quando t 3 Os processos de correção de erros são processos ativos, ou seja, detectam a ocorrência do erro em uma informação redundante e através de operações no sistema a corrigem.

55 4.2. Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus 41 área de teste para as idéias de processamento quântico provenientes das diversas implementações possíveis: cqed, íons, qbits supercondutores, entre outros. Um outro importante aspecto do emaranhamento aqui tratado é a sua dinâmica. Mais especificamente: quando temos dois qbits emaranhados e ambos imersos em reservatórios podemos estudar não só o emaranhamento do qbit com o seu reservatório, como explicado acima, mas também como varia o emaranhamento entre os qbits [63, 64, 65, 66, 67, 68, 69]. Mostramos como implementar essas dinâmicas e suas diferentes previsões são aqui discutidas. Restringimos o nosso estudo ao caso de onde cada qbit está imerso em um reservatório. Esse tipo de dinâmica, como veremos, pode levar ao interessante efeito de decaimento total do emaranhamento entre os qbits em um tempo finito; ao contrário do que acontece com as coerências individuais de cada qbit que só se anulam assintoticamente. Na seção 4.2 desenvolvemos formalmente os conceitos de mapas completamente positivos e a descrição de operadores de Kraus. Feito isso, na seção 4.3, mostramos a dinâmica de reservatórios e erros para um e dois qbits com reservatórios independentes. Analisamos a troca de informação com o(s) reservatório(s) através das quantidades V, P e C do capítulo anterior, mostrando assim o efeito do emaranhamento como canal de comunicação. Na seção 4.4 mostramos como implementar as diversas dinâmicas estudadas com óptica linear e hiper-emaranhamento. Na seção 4.5 mostrarmos os resultados obtidos no experimento realizado no Laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ. Terminamos na seção 4.6 com a conclusão e discussões adicionais. 4.2 Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus No que segue mostramos alguns aspectos do formalismo de descoerência através dos conceitos de mapas unitários e operadores de Kraus. Baseamos essa descrição nas referências [7, 70, 71]. Podemos, como já mencionado anteriormente, sempre pensar em um dinâmica não unitária como sendo parte de uma dinâmica unitária em um espaço de maior dimensão. Os mapas unitários são então o conjunto de regras que determinam a evolução do estado total.

56 4.2. Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus 42 De forma explícita, se temos inicialmente o estado ρ S 0 R 0 (4.1) e ρ S = D i=1 c i φ i φ i, onde D é a dimensão de H S e c i são os coeficientes de uma expansão possível, então chamamos de mapa unitário o seguinte conjunto de regras: φ 1 0 D D 2 1 i=1 j=0 a 1 ij φ i j. φ D 0 D i=1. D 2 1 j=0 a D ij φ i j. (4.2) Estas regras definem como o estado inicial evolui segundo a dinâmica unitária total. Podemos a partir delas obter uma matriz unitária U SR no espaço total [70]. Devemos salientar que sempre podemos definir um estado inicial separável, ainda que não seja o estado do sistema um estado puro [70]. O fato de somente necessitarmos de um reservatório com no máximo D 2 dimensões ficará mais claro adiante. As dinâmicas locais e globais unitárias são representadas na Figura 4.2. ρ S U UρU ρ S U $(ρ) 0 R a) b) Figura 4.2: Dinâmicas unitárias: a) S é um sistema fechado. b) S é um sistema aberto; se olharmos somente para a dinâmica de S ela será não unitária, no entanto a dinâmica global, envolvendo R, é unitária. Se no entanto somente nos importamos com a dinâmica de S, podemos, a partir do mapa unitário, determinar essa evolução. Para tal construímos os operadores de Kraus. Dada a evolução unitária total U SR, temos que o estado inicial evolui da seguinte forma: U SR (ρ S 0 R R 0 )U SR ; (4.3) onde 0 R representa o estado inicial do reservatório, independente de quantos modos forem. Se queremos acompanhar somente a dinâmica de S podemos então tomar o traço em relação as variáveis do reservatório: $(ρ S ) = Tr R [U SR (ρ S 0 R R 0 )U SR ] ; (4.4)

57 4.2. Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus 43 onde $(ρ S ) representa a evolução efetiva, não unitária, do estado do sistema. como: Escolhendo uma base ortonormal de R, { µ }, podemos reescrever a expressão acima $(ρ S ) = µ R µ U SR 0 R ρ SR 0 U SR µ R. (4.5) Os operadores de Kraus são então definidos da seguinte forma: M µ = R µ U SR 0 R. (4.6) Note que esses são agora operadores no espaço H S, ou seja, são operadores de dimensão D D. A evolução do estado de S é então escrita como: $(ρ S ) = µ M µ ρ S M µ. (4.7) Essa descrição é por vezes chamada representação de soma e os operadores de Kraus são ditos super-operadores, uma vez que atuam em operadores. Algumas propriedades desses operadores e da evolução por eles criada devem ser comentadas. Primeiramente notamos que os operadores de Kraus satisfazem à seguinte propriedade: µ M µm µ = µr 0 U SR µ R µ U SR 0 R = R 0 U SR U SR 0 R = 1; onde usamos o fato de U SR ser unitário. fato: (4.8) Os operadores de Kraus levam operadores densidade em operadores densidade. De $(ρ) é hermiteana. $(ρ) = µ M µ ρm µ = $(ρ). (4.9) $(ρ) tem traço igual a 1. Tr[$(ρ)] = µ Tr[ρM µm µ ] = Tr[ρ] = 1. (4.10) $(ρ) é positiva. ψ $(ρ) ψ = µ (( ψ M µ )ρ(m µ ψ )) 0; (4.11) para todo ψ.

58 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 44 Mais do que positiva, a evolução deve ser completamente positiva, isso é, $ S 11 R deve ser positivo para toda extensão possível de R. Isso é garantido uma vez que determinamos os operadores de Kraus a partir da evolução unitária U SR. A última característica aqui abordada diz respeito à ambiguidade da representação dos operadores de Kraus. Como o traço independe da base fica fácil perceber da Eq.4.4 que: M µ = i c µi M i. (4.12) onde os coeficientes c µi s fazem a transformação unitária entre as diferentes representações, µ = i c µ,i i, onde { i } é uma base ortonormal de H S. Uma importante conseqüência dessa equação é que o número máximo de operadores de Kraus linearmente independentes é D 2, uma vez que qualquer operador do SU(D) pode ser escrito como uma combinação linear dos D 2 1 geradores e da matriz identidade, 11 D D. Assim sendo, qualquer dinâmica não-unitária de S pode ser gerada com um reservatório de no máximo D 2 dimensões, ver Eq.4.6. Por fim, cabe ressaltar que o formalismo de equações mestras é completamente englobado pelo formalismo dos operadores de Kraus; o contrário não é verdade [70, 72]. Podemos, por exemplo, com os operadores de Kraus estudar dinâmicas não Markovianas (ver exemplo na Ref. [70]). O resumo do formalismo aqui apresentado só trata no entanto de casos Markovianos, o que é claramente percebido pela linearidade em ρ da Eq. (4.7). 4.3 Dinâmicas de Descoerência e Erros Estudamos agora os diferentes mapas de erros e descoerência para um qbit e dois qbits Qbit Decaimento de Amplitude - Descoerência Reservatório de amplitude é aquele no qual toda a energia do sistema S é transferida para R. O mais comum exemplo dessa dinâmica é o decaimento exponencial de um átomo de dois níveis interagindo com os infinitos modos eletromagnéticos a temperatura nula. O átomo, se inicialmente excitado, emite um fóton e fica no seu estado fundamental. A probabilidade do átomo emitir cresce exponencialmente com o tempo. Como

59 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 45 o a interação se dá com infinitos modos, não existe a chance do átomo ser novamente excitado, dando assim uma seta temporal à dinâmica. Mostraremos como se dá este tipo de evolução para um e dois qbits e como realizá-la experimentalmente com óptica linear. A forma mais simples de entender a evolução do sistema é através dos mapas unitários. Os mapas representam uma evolução do sistema total. O mapa do decaimento de amplitude à temperatura zero para um sistema de dois níveis é o seguinte: 0 S 0 R 0 S 0 R 1 S 0 R 1 p 1 S 0 R + p 0 S 1 R. (4.13) Por este mapa vemos que se o sistema está no nível fundamental nada ocorre, como mostrado na primeira linha. No entanto, como mostrado na segunda linha do mapa, se o sistema está excitado existe a possibilidade deste permanecer no mesmo estado com probabilidade 1 p, ou de perder a excitação para o reservatório com probabilidade p. O fato do estado do reservatório começar sempre em 0 R é devido a estarmos considerandoo à temperatura zero. Devemos ressaltar que os estados do reservatório da forma aqui representados não devem ser entendidos como somente um modo; o estado 1 R representa uma excitação distribuída nos infinitos modos do reservatório ponderados pela sua função espectral. Para um estado geral de S temos a seguinte evolução unitária U SR dada pelo mapa: U SR χ S 0 R = U SR (α 0 S +β 1 S ) 0 R = (α 0 S +β 1 p 1 S ) 0 R +β p 0 S 1 R ; (4.14) com 0 p 1. A concurrência deste estado composto pode ser facilmente calculada: C = 2 β 2 p(1 p). Vemos que quando p = 0 o estado do sistema está intacto e o reservatório está no seu estado fundamental. Também temos um estado produto quando p = 1, 0 S (α 0 R + β 1 R ), nesse regime o estado inicial do sistema é transferido para o reservatório; temos no entanto certeza (máxima informação) de que o sistema S está no seu estado fundamental. No regime intermediário, com 0 < p < 1, temos um estado emaranhado e a informação inicial está distribuída entre S e R. Agora, olhar somente S representa uma perda de informação, o que é claramente verificado se calculamos como

60 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros p p p a b c Figura 4.3: Reservatório de Amplitude. Concurrência - Linha Contínua (preta), Previsibilidade - Linha Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado 1. b) Estado ( )/ 2. c) Estado 0. evolui nosso sistema de interesse independentemente do reservatório: $(ρ S ) = Tr R [U SR χ S χ 0 R 0 ] = α 2 + p β 2 αβ 1 p α β 1 p (1 p) β 2 ; (4.15) onde $ é um super-operador que aplicado em ρ S dá a sua evolução, ainda que não unitária. Temos que a pureza do estado de S depois de aplicado o mapa é dada por: Tr[($ρ S ) 2 ] = α α 2 β 2 + p 2 β 4 + (1 p) 2 β 4 ; (4.16) Como esperado o estado de S somente é puro quando p = 0 ou p = 1. No intervalo 0 < p < 1 o estado é uma mistura devido ao emaranhamento com R. Calculamos também as figuras de mérito P e V definidas no capítulo anterior: P S (p) = α 2 β 2 + 2p β 2 = 1 2(1 p) β 2 ; V S (p) = 2 1 p αβ = 1 p V S (0). (4.17) Estas funções estão graficamente mostradas para diferentes estados iniciais na Figura 4.3. Podemos ver que este tipo de reservatório sempre leva a um estado de máxima previsibilidade quando p = 1, uma vez que qualquer estado termina no estado fundamental 0. Mais ainda fica claro o papel do emaranhamento no papel de canal de comunicação entre o sistema S e o reservatório R: no caso do estado inicial 1 S, Figura 4.3a, vemos que o emaranhamento assume seu máximo valor em p = 1/2, quando temos menos informação sobre o estado, máxima mistura. A dinâmica temporal do estado pode ser obtida por sucessivas aplicações do mapa.

61 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 47 Se aplicamos n vezes o mapa temos a seguinte matriz densidade: $ n (ρ S ) = α 2 + p(1 + (1 p) + + (1 p) n 1 ) β 2 αβ (1 p) n/2 α β(1 p) n/2 (1 p) n β 2 = α 2 (1 + (1 p) n ) β 2 αβ (1 p) n/2. α β(1 p) n/2 (1 p) n β 2 Se p 1 então podemos fazer a aproximação (1 p) n 1 np exp( np). Se usamos que a aplicação do mapa evolui o estado por um intervalo t então n = t/ t; onde t é o tempo total de evolução. Mais ainda se escrevemos p = Γ t, onde Γ representa a probabilidade por aplicação do mapa da excitação de S passar para o reservatório, temos as seguinte evolução ρ S (t) = α 2 + (1 e Γt ) β 2 αβ e Γt/2 α βe Γt/2 e Γt β 2. (4.18) Vemos que quando t 1/Γ o sistema vai todo para o estado fundamental e a coerência se anula assintoticamente. Cabe aqui ressaltar a importância da suposição de que p t. A linearidade com t implica que estamos observando o sistema em tempos longos quando comparado com o tempo de correlação com o reservatório. Devemos lembrar que a teoria de perturbação dependente do tempo nos dá em primeira ordem uma dependência quadrática com o tempo [73]. No entanto, se temos que a dinâmica de S tem uma escala típica muito maior do que o tempo de correlação com o reservatório podemos usar a regra de ouro de Fermi, a qual nos dá a dependência linear da probabilidade de transição com o tempo [73]. Essa aproximação é comumente chamada de aproximação Markoviana, e implica que a evolução do sistema não depedende de tempos passados, é uma dinâmica sem memória. Nesse regime a dinâmica acima mostrada é a mesma obtida pelo conhecido Lindbladiano de decaimento de amplitude [7, 71]: Lρ = Γ 2 (σ +σ ρ + ρσ + σ 2σ ρσ + ). (4.19) Dessa forma, a associação (1 p) = exp( Γt) é valida para todo p entre zero e um, não só para p infinitesimal. Isso significa que p é uma parametrização do tempo com p = 0 para o tempo inicial e p 1 quando t.

62 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 48 Uma forma de achar a evolução do sistema S é através dos operadores de Kraus. Os operadores de Kraus do reservatório de amplitude podem ser obtidos do mapa unitário através da seguinte relação: U SR i S 0 R = µ M µ i S µ R. (4.20) Dessa forma: U SR 0 S 0 R = 0 S 0 R = M 0 0 S 0 R (4.21) U SR 1 S 0 R = 1 p 1 S 0 R + p 0 S 1 R = M 0 1 S 0 R + M 1 0 S 1 R. Sendo assim os operadores de Kraus são: M 0 = M 1 = 0 p 1 p 0 0. (4.22) Esses operadores representam respectivamente a possibilidade do sistema não decair (M 0 ) e de perder a excitação para o reservatório (M 1 ). A evolução do sistema utilizando esses operadores é dada por: ρ(t) = µ M µ ρ(0)m µ = M 0 ρ(0)m 0 + M 1ρ(0)M 1 = α 2 + p β 2 αβ 1 p α β 1 p (1 p) β 2 ; (4.23) fazendo a identificação de (1 p) = exp( Γt), temos a mesma evolução que obtida pelas sucessivas aplicações do mapa ou pelo Lindbladiano. Esses operadores serão de grande utilidade quando, na próxima seção, tratarmos dois sistemas de dois níveis interagindo com reservatórios individuais. Essa dinâmica será implementada em um experimento com óptica linear, como mostrado na seção (4.5). Decaimento de Fase Este tipo de reservatório leva a extinção das coerências quânticas sem que as amplitudes sejam modificadas, ou seja, essa interação acaba com as superposições quânticas porém sem dissipação. Esta característica é fundamental para o entendimento da transição clássico-quântico, uma vez que não observamos superposições no nosso cotidiano.

63 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 49 O mapa unitário dessa dinâmica é o seguinte: 0 S 0 R 0 S 0 R 1 S 0 R 1 p 1 S 0 R + p 1 S 1 R. (4.24) Novamente o sistema se emaranha com o reservatório. Esse mapa pode, por exemplo, representar o fenomeno de espalhamento elástico. Nesse caso o sistema S tem a possibilidade de ser espalhado caso esteja nos estado 1 S ; os diferentes estados do reservatorio podem ser pensados como distintas direções de espalhamento com a mesma energia. A evolução de um estado genérico segundo esse mapa e a seguinte: U SR (α 0 S + β 1 S ) 0 R = α 0 S 0 R + β 1 p 1 S 0 R + β p 1 S 1 R (4.25) A concurrência deste estado é então: C = 2 p αβ = pv(0). (4.26) Vemos que nesse caso o emaranhamento aumenta com p, ou seja, como p é uma parametrização do tempo podemos dizer que o emaranhamento do sistema com o reservatório aumenta com o passar do tempo. Perdemos continuamente informação sobre o sistema de interesse, como é confirmado pela pureza do estado: Tr(ρ(p) 2 ) = 1 2p αβ 2 ; (4.27) a qual decresce continuamente com o aumento de p. A evolução não unitária do sistema S, como já explicado, pode ser obtida através do traço das variáveis do reservatório na evolução unitária, ou pela aplicação direta dos operadores de Kraus. Para esta caso os operadores são os seguintes: M 0 = M 1 = p 0 ; (4.28) p os quais são diagonais uma vez que não há troca de energia entre os sistemas. A evolução do sistema é então obtida: ρ(t) = µ = M µ ρ(0)m µ α 2 αβ 1 p α β ; (4.29) 1 p β 2

64 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros p p p a b c Figura 4.4: Reservatório de Fase. Concurrência - Linha Contínua (preta), Previsibilidade - Linha Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado 1. b) Estado ( )/ 2. c) Estado ( 0 + i 1 )/ 2. vemos claramente que os termos fora da diagonal principal decrescem com o aumento de p. Isto significa que as probabilidades quânticas evoluem para as suas equivalentes clássicas. Aqui também podemos fazer a associação (1 p) = exp( Γt), ou seja, a aproximação Markoviana, aqual nos leva ao seguinte Lindbladiano de decaimento de fase: Lρ = Γ 2 (ρσ +σ + σ + σ ρ + 2σ + σ ρσ + σ ). (4.30) A partir da matriz densidade evoluída fica simples calcularmos as demais figuras de mérito que entram na expressão da complementaridade, Eq. (3.22): V S (p) = 2 1 p α β = 1 p V S (0) P S (p) = α 2 β 2 = P S (0) (4.31) O principal efeito deste reservatório é então diminuir a visibilidade do estado de S sem mudar sua previsibilidade. Isso é obtido através do crescente emaranhamento entre S e R. Essas figuras de mérito para diferentes estados iniciais de S são mostradas na Fig Vemos que para esses dois reservatórios as coerências (visibilidades), em geral, decaem com 1 p, ou seja, decaimento exponencial com o tempo, só se anulando em p = 1. No que segue tratamos dos reservatórios que são comumente associados a erros na computação quântica [74]. Como já foi dito, o número de erros possíveis na computação quântica é maior do que o único possível erro em computação clássica. De forma geral o número de possíveis erros é igual ao número de geradores do sistema usado; no presente caso usamos um qbit, ou seja, temos uma álgebra de SU(2) que possui assim 3

65 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 51 geradores 4. A representação usual do grupo SU(2) é dada pelas matrizes de Pauli, cada uma delas representa um tipo de erro, como veremos no que segue. Bit-Flip O primeiro erro que tratamos é o de bit-flip, este é ilustrado na Figura 4.1 e pode também ocorrer para os bits quânticos. Unitariamente podemos descrever esse processo com o seguinte mapa: 0 S 0 R 1 p/2 0 S 0 R + p/2 1 S 1 R 1 S 0 R 1 p/2 1 S 0 R + p/2 0 S 1 R ; (4.32) o fato de agora usarmos p/2 ficará claro com a analogia com o Lindbladiano equivalente [74]. Note no entanto que se não fizessemos essa divisão por dois, no final da evolução teríamos um estado puro de S, completamente desemaranhado, para todo estado puro inicial. Essa não é uma característica esperada desse tipo de reservatório. Vemos por este mapa que a informação do estado do sistema é transferida para o reservatório através do emaranhamento destes. Explicitamente, a evolução de um estado puro geral do sistema segundo este mapa é a seguinte: (α 0 +β 1 ) 0 α( 1 p/ p/2 11 )+β( 1 p/ p/2 01 ); (4.33) onde α 2 + β 2 = 1 e usamos a notação simplificada ij = i S j R. O efeito desse mapa é levar: 0 S S 0 1/2( 0 S S S S 1 ) 1 S S 1 1/2( 0 S S S S 1 ); (4.34) ou seja, leva os estados da base computacional para a máxima mistura com a inversão do bit. O emaranhamento C SR entre S e R pode ser facilmente obtido: p ( C SR (p) = 2 1 p ) α 2 β 2. (4.35) 2 2 De forma geral vemos que somente para p = 0 os estados estão desemaranhados, ou seja, para p > 0 estabelecemos um canal de transferência de informação do sistema para o reservatório, temos emaranhamento entre essas partes. Note porém que para estados 4 Lembramos que o número de geradores do SU(N) é igual N 2 1.

66 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 52 ± = ( 1 ± 0 )/ 2, com previsibilidade nula em p = 0, o sistema não se emaranha, transferindo assim nenhuma informação. Todas essas características ficam mais claras com o cálculo da evolução do estado segundo essa dinâmica. Os operadores de Kraus podem ser obtidos a partir do mapa unitário como mostrado na seção 4.2, e nesse caso são: 1 p/2 0 M 0 = = 1 p/2 11 ; 0 1 p/2 M 1 = 0 p/2 = p/2 σ x. (4.36) p/2 0 Esses são os operadores que intuitivamente esperávamos para representar o processo de erro da Figura 4.1. M 0 representa a probabilidade do estado permanecer o mesmo e M 1 do estado ser modificado, flipado. Fica claro por estes operadores que este tipo de erro está associado à aplicação probabilística da matriz σ x de Pauli. A evolução de um estado puro do sistema é então obtida: ρ(p) = M 0 ρ(0)m 0 + M 1ρ(0)M 1 = (1 p/2) α 2 + p/2 β 2 (1 p/2)αβ + p/2 α β p/2 αβ + (1 p/2)α β (1 p/2) β 2 + p/2 α 2. (4.37) Podemos calcular para este estado as suas características de partícula única, Pe V: P S = (1 p)( α 2 β 2 ) = 1 p P S (0); (4.38) V S = 2 (1 p/2)αβ + p/2α β. (4.39) Essas variáveis são graficadas para diferentes estados iniciais do sistema na Figura 4.5. Fase-Flip Como quanticamente temos a possibilidade de superposição, podemos ter também uma mudança na fase relativa do estado. O mapa associado com este erro é o que seguinte: 0 S 0 R 1 p/2 0 S 0 R + p/2 0 S 1 R 1 S 0 R 1 p/2 1 S 0 R p/2 1 S 1 R. (4.40)

67 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros p p p a b c Figura 4.5: Erro de Bit-Flip. Concurrência - Linha Contínua (preta), Previsibilidade - Linha Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado 1. b) Estado ( )/ 2. c) Estado ( 0 + i 1 )/ 2. Para este mapa temos a seguinte evolução unitária: (α 0 +β 1 ) 0 α( 1 p/ p/2 01 )+β( 1 p/2 10 p/2 11 ). (4.41) Novamente o emaranhamento transfere continuamente a informação do estado para o reservatório. A concurrência é então dada por: C SR = 4 p/2(1 p/2) αβ = 2 p/2(1 p/2)v(0). (4.42) Diferentemente do erro de bit-flip, vemos que no presente caso os estados com visibilidade inicial nula não se acoplam com o reservatório. O que é esperado de um erro cujo papel é alterar a fase relativa do estado. Os operadores de Kraus são facilmente obtidos do mapa unitário: 1 p/2 0 M 0 = = 1 p/2 11 ; 0 1 p/2 p/2 0 M 1 = 0 = p/2 σ z. (4.43) p/2 Este erro é então claramente associado à matriz σ z de Pauli. A evolução de um estado inicialmente puro pode ser então calculada: ρ(p) = M 0 ρ(0)m 0 + M 1ρ(0)M 1 = α 2 (1 p)αβ (1 p)α β β 2. (4.44) Vemos que esse erro é bastante semelhante ao de reservatório de fase, nos dois somente as coerências decaem. Notamos também que a parametrização com o tempo deve ser outra, como será visto através do Lindbladiano associado a este erro.

68 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 54 As características de uma partícula são então: V(p) = 2 (1 p)αβ = 1 p V(0) P(p) = α 2 β 2 = P(0). (4.45) Essas quantidades são mostradas para alguns diferentes estados iniciais na Fig p p p Figura 4.6: Erro de Fase-Flip. Concurrência - Linha Contínua (preta), Previsibilidade - Linha Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado 1. b) Estado ( )/ 2. c) Estado ( 0 + i 1 )/ 2. Fase-Bit-Flip O outro erro possível é uma combinação dos outros dois acima descritos. O erro de Fase-Bit-Flip troca não só o registro quântico como também a fase relativa. O mapa que descreve este erro é o seguinte: 0 S 0 R 1 p/2 0 S 0 R + i p/2 1 S 1 R 1 S 0 R 1 p/2 1 S 0 R i p/2 0 S 1 R. (4.46) A evolução unitária segundo este mapa para um estado puro geral de S é então: (α 0 + β 1 ) 0 α( 1 p/ i p/2 11 ) + β( 1 p/2 10 i p/2 01 ). (4.47) Quando p = 1 temos tanto o efeito de bit-flip quanto de fase-flip. O emaranhamento criado com o reservatório é então facilmente calculado: C SR = 2 p/2(1 p/2) α 2 + β 2 ; (4.48) que também cresce monotonicamente com p, no intervalo de zero a um. A dinâmica do estado no entanto difere e pode ser obtida através dos operadores de

69 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 55 Kraus: M 0 = M 1 = 1 p/2 0 = 1 p/2 11 ; 0 1 p/2 0 i p/2 i = p/2 σ y. (4.49) p/2 0 Associamos este erro então à matriz σ y = iσ x σ z de Pauli, o gerador do SU(2) que faltava. A evolução de um estado inicialmente puro é então obtida: ρ(p) = M 0 ρ(0)m 0 + M 1ρ(0)M 1 = (1 p/2) α 2 + p/2 β 2 (1 p/2)αβ p/2 α β p/2 αβ (1 p/2)α β (1 p/2) β 2 + p/2 α 2. (4.50) As propriedades que representam totalmente o conteúdo de partícula única são então: P S = (1 p)( α 2 β 2 ) = 1 p P S (0); V S = 2 (1 p/2)αβ p/2 α β. (4.51) Exemplificamos as quantidades complementares para alguns estados iniciais diferentes na Fig p p p Figura 4.7: Erro de Bit-Fase-Flip. Concurrência - Linha Contínua (preta), Previsibilidade - Linha Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado 1. b) Estado ( )/ 2. c) Estado ( 0 + i 1 )/ 2. Para esses três erros temos o mesmo tipo de Lindbladiano [74]: L i ρ = Γ(ρ σ i ρσ i ); (4.52) onde i x, y, z representa os erros de bit-flip, fase-flip e fase-bit-flip respectivamente. Nesses três casos a parametrização com o tempo é (1 p) = exp( 2Γt); que é da mesma forma que no caso dos decaimentos. Observe que o fato de introduzirmos a divisão de

70 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 56 p por dois nos mapas dos erros é exclusivamente para que p possa variar entre zero e um, representando assim o tempo inicial e o limite infinito respectivamente. Caso não o tivessemos feito, só poderíamos variar p até 1/2 pois teríamos (1 2p) = exp( 2Γt) e no limite de t essa parametrização nos daria p 1/ Qbits - Decaimento do Emaranhamento Quando temos dois ou mais sistemas podemos, além de estudar as coerências individuais de cada sistema, estudar a evolução do emaranhamento sob influência do reservatório. Como podemos associar um caráter de informação também ao emaranhamento, uma vez que esse pode ser usado fisicamente, é esperado que essa informação também passe para o reservatório. Mostraremos que, diferentemente do que acontece com as coerências individuais que somente são extintas assintoticamente, para alguns estados/reservatórios o emaranhamento acaba em um tempo finito. Dois qbits formam o caso mais simples de ser estudado, pois temos uma medida de emaranhamento bem definida, a concurrência, e só temos emaranhamento bipartido; em contraste com o caso multipartido onde podemos ter emaranhamento entre as diversas partições.. Esse tipo de análise é de grande importância tanto para o melhor entendimento do emaranhamento quanto para fins de processamento de informação quântica, uma vez que o emaranhamento é um dos principais elementos responsáveis pela eficiência superior ao processamento clássico. Na análise que segue a relação de complementaridade bipartida não é mais uma igualdade, uma vez que o estado de dois qbits se emaranha com outros graus de liberdade. Desta forma vamos somente nos interessar com a dinâmica do emaranhamento entre os qbits do sistema S.

71 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 57 Reservatório de Amplitude Se temos dois qbits não interagentes e imersos cada um em um reservatório de amplitude, a dinâmica do sistema total pode ser obtida através do seguinte mapa: 00 S 00 R 00 S 00 R 01 S 00 R 1 p 2 01 S 00 R + p 2 00 S 01 R (4.53) 10 S 00 R 1 p 1 10 S 00 R + p 1 00 S 10 R 11 S 00 R 1 p1 1 p2 11 S 00 R + 1 p 1 p2 10 S 01 R + + p 1 1 p2 01 S 10 R + p 1 p2 00 S 11 R ; onde p i é a probabilidade de decaimento do i-ésimo qbit. Este mapa é obtido pela aplicação direta do mapa (4.13) para cada um dos dois qbits, uma vez que os reservatórios são individuais. Note que aqui também é o emaranhamento com o reservatório, agora representado por 2 qbits, que vai levar à perda de coerência individual e ao desemaranhamento. Achamos mais apropriado para determinar a dinâmica do sistema usar diretamente os operadores de Kraus obtidos anteriormente. Como os reservatórios não são comunicantes, os novos operadores de Kraus conjuntos devem contemplar todas as possibilidades dos dois qbits, ou seja, a possibilidade de os dois permanecerem sem decair; de somente um decair (qualquer um dos dois) e, finalmente, de os dois decaírem. Os operadores de Kraus são então: K 1 = M 0 M 0 = p 1 0 ; 1 p 2 K 2 = M 0 M 1 = p 2 ; 1 p (4.54) K 3 = M 1 M 0 = 0 p ; 1 p 2 K 4 = M 0 M 0 = 0 p E a dinâmica é obtida da seguinte forma: ρ(t) = 0 p K µ ρ(0)k µ. (4.55) µ=1

72 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 58 Para a matriz densidade mais geral possível: ρ 00,00 ρ 00,01 ρ 00,10 ρ 00,11 ρ 01,00 ρ 01,01 ρ 01,10 ρ 01,11 ρ 10,00 ρ 10,01 ρ 10,10 ρ 10,11 ρ 11,00 ρ 11,01 ρ 11,10 ρ 11,11 ; (4.56) temos a seguinte evolução: ρ 00,00 + p 1 ρ 10,10 + p 2 (ρ 01,01 + p 1 ρ 11,11 ) 1 p2 (ρ 00,01 + p 1 ρ 10,11 ) 1 p2 (ρ 01,00 + p 1 ρ 11,10 ) (1 p 2 )(ρ 01,01 + p 1 ρ 11,11 ) 1 p1 (ρ 10,00 + p 2 ρ 11,01 ) 1 p1 1 p2 ρ 10,01 1 p1 1 p2 ρ 11,00 1 p 1 ( 1 + p 2 )ρ 11,01 1 p1 (ρ 00,10 + p 2 ρ 01,11 ) 1 p1 1 p2 ρ 00,11 1 p1 1 p2 ρ 01,10 1 p 1 ( 1 + p2)ρ 01,11 ( 1 + p 1 )(ρ 10,10 + p 2 ρ 11,11 ) ( 1 + p 1 ). (4.57) 1 p 2 ρ 10,11 ( 1 + p 1 ) 1 p 2 ρ 11,10 ( 1 + p 1 )( 1 + p 2 )ρ 11,11 No caso dos dois reservatórios possuírem a mesma taxa de decaimento, ou seja, se p 1 = p 2 = p, então a evolução é a seguinte: ρ 00,00 + p(ρ 01,01 + ρ 10,10 + pρ 11,11 ) 1 p(ρ00,01 + pρ 10,11 ) 1 p(ρ01,00 + pρ 11,10 ) (1 p)(ρ 01,01 + pρ 11,11 ) 1 p(ρ10,00 + pρ 11,01 ) (1 p)ρ 10,01 (1 p)ρ 11,00 (1 p) 3/2 ρ 11,01 1 p(ρ00,10 + pρ 01,11 ) (1 p)ρ 00,11 (1 p)ρ 01,10 (1 p) 3/2 ρ 01,11 (1 p)(ρ 10,10 + pρ 11,11 ) (1 p) 3/2. (4.58) ρ 10,11 (1 p) 3/2 ρ 11,10 (1 p) 2 ρ 11,11 Novamente podemos fazer a associação 1 p exp ( Γt) para obtermos a evolução para todo o tempo. O decaimento do emaranhamento para um estado geral opde ser calculado a partir da evolução mostrada acima. Resultados analíticos mais simples podem ser obtidos considerando o estado inicial adotado M. França et al [69]: α 00 + β exp(iθ) 11. Para esse estado, foi mostrado que dependendo da relação entre α e β temos desemaranhamento assintótico ou em tempo finito. Reproduzimos no que segue esse resultado.

73 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 59 Para o estado inicial α 00 + β exp(iθ) 11, com α 2 + β 2 = 1, temos que a concurrência é 2 αβ ; atingindo seu valor máximo para α = β = 1/ 2. A evolução desse estado quando os dois qbits estão em contato com reservatórios individuais idênticos é obtida através da Eq.(4.58): α 2 + p 2 β (1 p) αβ e iθ 0 (1 p)p β ρ(p) = (1 p)p β 2 0 (1 p) αβ e iθ 0 0 (1 p) 2 β 2. (4.59) Podemos notar que os estados 01 e 10 são populados incoerentemente e, devido à simetria do decaimento, p 1 = p 2, da mesma forma. Para observarmos a dinâmica do emaranhamento calculamos a concurrência desse estado. De forma geral, para um estado da forma: a 0 0 ce iθ 0 d 0 0 ρ = 0 0 d 0 ce iθ 0 0 b ; (4.60) com 0 a,b,c,d 1, os autovalores da matriz ρσ y σ y ρ σ y σ y são {(c ab) 2,(c + ab) 2,d 2.d 2 }. Como a matriz densidade deve sempre ter autovalores positivos, então ab > c o que implica que C = 2max{0,c d}. Para o estado da Eq. (4.59) temos que a concurrência é então igual a: C = 2max{0,(1 p) β ( α p β )}. (4.61) Por esta expressão podemos constatar os seguintes regimes: se α β, então C 0 para todo p [0,1], ou seja, se fazemos p = (1 exp( Γt)) temos um decaimento assintótico do emaranhamento (C = 0, somente em p = 1). Porém se β > α então para 0 p < α/β temos C > 0, significando um estado emaranhado. Já para α/β p 1 temos um estado separável. Fica assim claro que neste caso temos um desemaranhamento abrupto quando p = α/β. Este comportamento de desemaranhamento súbito devido à interação com reservatórios de amplitude individuais contrasta com o decaimento sempre assintótico das coerências individuais. É interessante notar que o desemaranhamento se dá exatamente quando a coerência do estado se iguala com a população dos estados 01

74 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 60 e 10 criada pelo decaimento, ficando sempre menor após esse ponto (até que ambos vão para zero em p = 1). Para verificarmos esse comportamento podemos fazer a tomografia de diferentes estados dessa classe para diferentes p s e calcularmos sua concurrência ou negatividade. Outra forma é através da medida de testemunhas de emaranhamento. A testemunha ótima (W N ) para a medida da negatividade dessa classe de estados deve ser tal que Tr[ρ(p)W N ] = λ, onde λ é o menor auto-valor da matriz transposta parcialmente. Essa testemunha pode ser determinada da seguinte forma: como discutido no capítulo 2. W N = [ w w ] T 2 onde ρ(p) T 2 w = λ w ; (4.62) Para o caso aqui tratado calculamos que: w = 1 2 ( 10 e iθ 01 ); (4.63) o que implica que a negatividade e a concurrência são idênticas, uma vez que w é um estado tipo de Bell, como discutido no capítulo 2. Sendo assim: independente de p. W N = 1 2 ( e iθ e iθ ); (4.64) Para a medida dessa testemunha temos que realizar diversas medidas locais, uma vez que devemos medir a coerência Podemos no entanto reescrever essa testemunha da seguinte forma: 2W N = e iθ e iθ ; = 11 ( e iθ e iθ = 11 2 ( 00 +eiθ 11 ) 2 ( 00 +e iθ 11 ) 2. (4.65) Se definimos o estado maximamente emaranhado φ(θ) = ( 00 + exp (iθ) 11 )/ 2, temos então: 2Tr[ρ(p)W N ] = Tr[(11 2 φ(θ) φ(θ) ρ(p)] 2λ = 1 2 φ(θ) ρ(p) φ(θ) (4.66) 2λ = 1 2P φ(θ) ; onde P φ(θ) é a probabilidade de projeção no estado φ(θ). Como a negatividade é definida por max{0, 2λ }, basta-nos medir a probabilidade P φ(θ) para determinar o

75 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 61 emaranhamento do estado. É importante notar que como essa testemunha é ótima e, mais ainda, como nesse caso a concurrência e a negatividade são idênticas, esta medida nos determina sem ambigüidade o momento no qual o estado se desemaranha. Essa testemunha, nessa forma, foi obtida na Ref. [69]. Para essa testemunha precisamos somente a medida de um projetor, porém não-local. Experimentalmente essa tarefa pode ser realizada, por exemeplo, com a implementação de um analisador de estados de Bell [7]. Nesse caso medimos a projeção do estado de interesse com cada estado da base de Bell, e assim podemos determinar a probabilidade P φ(θ). Isso implica em quatro distintas medidas; um ganho considerável no número de medidas quando comparado com o processo tomográfico e, mais importante, representa um ganho no entendimento do emaranhamento: neste caso o emaranhamento significa o quanto do estado maximamente emaranhado dessa classe ainda está presente em ρ(p) em relação a 50%. Vale ressaltar que para medirmos P φ(θ) nos basta uma medida dicotômica, uma vez que temos somente que determinar a probalidade de um projetor; a implementação dessa medida porém não é óbivia. Esta dinâmica de desemaranhamento a tempo finito é dependente não só do tipo de decaimento, reservatório ou erro, mas também do estado. Podemos analisar outra classe de estados: α 01 + β e iθ 10 ; (4.67) com α 2 + β 2 = 1. Segundo a Eq.(4.58) temos a seguinte evolução.: p (1 p) α ρ(p) = 2 (1 p) αβ e iθ 0 0 (1 p) αβ e iθ (1 p) β 2. (4.68) A concurrência para esse estado pode ser facilmente calculada: C = 2(1 p) αβ. (4.69) Vemos que para esse estado o desemaranhamento só ocorre quando p = 1, ou seja, assintoticamente em t. Qualquer coerência para esse estado significa emaranhamento. Analisamos também a dinâmica do emaranhamento para os demais reservatórios. Podemos sempre determinar a evolução do estado mais geral possível através do calculo

76 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 62 dos operadores de Kraus como feito acima. Nos concentraremos nas duas famílias de estados já estudadas para o caso do reservatório de amplitude. Decaimento de Fase Os operadores de Kraus dessa dinâmica são obtidos, novamente, pelos operadores locais: K 1 = M 0 M 0 = p 1 0 ; 1 p 2 K 2 = M 0 M 1 = p 1 0 ; (4.70) p 2 K 3 = M 1 M 0 = p 1 0 ; 1 p 2 K 4 = M 0 M 0 = p 1 0. p 2 Agora todos os operadores são diagonais, não há troca de populações com os reservatórios. A evolução do estado mais geral possível segundo essa dinâmica com reservatórios idênticos (p 1 = p 2 = p), é a seguinte: ρ 00,00 1 pρ00,01 1 pρ00,10 (1 p)ρ 00,11 1 pρ01,00 ρ 01,01 (1 p)ρ 01,10 1 pρ01,11. (4.71) 1 pρ10,00 (1 p)ρ 10,01 ρ 10,10 1 pρ10,11 (1 p)ρ 11,00 1 pρ11,01 1 pρ11,10 ρ 11,11 Vemos que os elementos diagonais ficam inalterados. Para a classe de estados da forma α 00 + β exp(iθ) 11 podemos então determinar a sua evolução: ρ(p) = α (1 p) αβ e iθ (1 p) αβ e iθ 0 0 β 2. (4.72) Sua concurrência em função de p é então: C = 2(1 p) αβ. (4.73)

77 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 63 O que novamente representa desemaranhamento assintótico, para todo os estados dessa classe. Já para a classe α 01 + β exp(iθ) 10 temos a seguinte evolução: ρ(p) = α 2 (1 p) αβ e iθ 0 0 (1 p) αβ e iθ β (4.74) O qual também possui concurrência igual a C = 2(1 p) αβ, ou seja, o emaranhamento somente acaba com p = 1. Esses resultados não implicam que não existe estado com desemaranhamento a tempo finito com este tipo de reservatório. Por exemplo, foi mostrado na Ref.[75] que para estados do tipo Werner o emaranhamento acaba em tempo finito. O emaranhamento é fundamental nos processo de computação quântica, sendo assim é importante verificarmos a dinâmica do emaranhamento sob a influência dos erros já abordados. Bit-Flip ( e Bit-Fase-Flip) Novamente, como os erros nos dois qbits são descorrelacionados, podemos achar os operadores de Kraus que determinam a evolução pelo produto das diversas possibilidades locais: Os operadores de Kraus dessa dinâmica são obtidos, novamente, pelos operadores locais: K 1 1 p1 /2 0 1 p2 /2 0 = M 0 M 0 = ; 0 1 p1 /2 0 1 p2 /2 K 2 1 p1 /2 0 = M 0 M 1 = 0 p2 /2 ; 0 1 p1 /2 p2 /2 0 (4.75) K 3 = M 1 M 0 = 0 p1 /2 1 p2 /2 0 ; p1 / p2 /2 K 4 = M 0 M 0 = 0 p1 /2 0 p2 /2. p1 /2 0 p2 /2 0

78 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 64 A evolução do estado mais geral possível é facilmente obtida através desses operadores, no entanto devido a complexidade da expressão geral mostramos diretamente a evolução dos estados da classe α 00 + β 11 5 : ((2 p) 2 α 2 + p 2 β 2 )/2 0 0 (2 2p + p 2 ) αβ 1 0 (2 p)p/2 (2 p)p αβ (2 p)p αβ (2 p)p/2 0 (2 2p + p 2 ) αβ 0 0 (4 β 2 4p β 2 + p 2 )/2 (4.76) A diferença fundamental em relação ao decaimento de amplitude é a possibilidade de coerência entre os estados 10 e 01. Isso claramente vem da possibilidade do estado 0 S flipar para 1 S, o qual é coerentemente somado com a possibilidade do estado 1 S ir para o 0 S ; note que essas possibilidades são coerentemente somadas pois estão ambas acopladas com o estado 1 R. Podemos então calcular a dinâmica da característica bipartida, o emaranhamento. Dentre as várias possibilidades de ordenamento da dos auto-valores da matriz ρ σ y σ y ρ σ y σ y mostramos numericamente que a concurrência dessa classe é dada por: C = max{0,2( ρ 00,00 ρ 11,11 ρ 01,01 )}. (4.77) Essa expressão é de difícil análise, sendo assim para sua análise usamos que α 2 = 1 β 2. Dessa forma a concurrência é uma função de p e β, a qual é mostrada na Figura 4.8. Podemos observar que o desemaranhamento é sempre assintótico para essa classe de estados. Podemos dizer que este tipo de reservatório de Bit-Flip é mais fraco do que o de decaimento de amplitude, uma vez que o emaranhamento persiste para toda a classe. Isso se deve provavelmente à mais lenta diminuição das coerências. Calculamos também a evolução do emaranhamento para a classe α 01 + β 10. Para este caso temos: C = max{0,2( ρ 01,01 ρ 10,10 ρ 00,00 )}. (4.78) Novamente temos decaimento assintótico para todo p e β dessa classe, como mostrado na Figura Note que estamos tomando θ = 0, ou seja, coeficientes reais.

79 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 65 C p Β Figura 4.8: Evolução da concurrência para toda a família de estados α 00 + β 11, em função de p e β. Por fim notamos que essas duas classes têm dinâmicas idênticas segundo os reservatórios de Bit-Flip e Bit-Fase-Flip, tendo assim o emaranhamento o mesmo comportamento. Fase-Flip Por fim temos o reservatório do erro de Fase-Flip. Da mesma forma que anteriormente determinamos o operadores de Kraus da dinâmica de fase-flip para dois qbits em reservatórios individuais:

80 4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros 66 C p Β Figura 4.9: Evolução da concurrência para toda a família de estados α 01 + β 10, em função de p e β. K 1 = M 0 M 0 = K 2 = M 0 M 1 = K 3 = M 1 M 0 = K 4 = M 0 M 0 = 1 p1 /2 0 1 p2 /2 0 ; 0 1 p1 /2 0 1 p2 /2 1 p1 /2 0 p2 / p1 /2 0 ; (4.79) p 2 /2 p1 /2 0 1 p2 /2 0 0 ; p 1 /2 0 1 p2 /2 p1 /2 0 p2 /2 0 0 p 1 /2 0. p 2 /2 Com esses operadores podemos calcular a evolução do estado mais geral possível de dois qbits no caso de reservatórios idênticos: ρ 00,00 (1 p)ρ 00,01 (1 p)ρ 00,10 (1 p) 2 ρ 00,11 (1 p)ρ 01,00 ρ 01,01 (1 p) 2 ρ 01,10 (1 p)ρ 01,11 (1 p)ρ 10,00 (1 p) 2 ρ 10,01 ρ 10,10 (1 p)ρ 10,11 (1 p) 2 ρ 11,00 (1 p)ρ 11,01 (1 p)ρ 11,10 ρ 11,11. (4.80)

81 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 67 Para a classe de estados estudada α 00 + β exp(iθ) 11 temos então a seguinte evolução: α (1 p) αβ e iθ ρ(p) =. (4.81) (1 p) αβ e iθ 0 0 β 2 A evolução da concurrência para esta classe é facilmente calculada: C = max{0,(1 p) 2 αβ }; (4.82) o que mostra que, de forma geral, só temos desemaranhamento quando p = 1. Note que essa expressão é muito semelhante à evolução da concurrência no reservatório de fase; no presente caso o decaimento é mais rápido com 1 p. Para a outra classe, α 00 + β exp(iθ) 11, a evolução é então: α ρ(p) = 2 (1 p) αβ e iθ 0 0 (1 p) αβ e iθ β 2. (4.83) Novamente a concurrência é escrita como função de p da seguinte forma: C = max{0,(1 p) 2 αβ }; (4.84) também levando ao decaimento assintótico do emaranhamento. Mostramos que, para as classes de estado estudadas, nenhuma dinâmica de erro leva ao desemaranhamento súbito. Esse fato pode ser importante para os protocolos de computação/comunicação quântica que dependam do emaranhamento. 4.4 Implementação Experimental com Óptica Linear Mostramos agora como todas as dinâmicas acima analisadas podem ser implementadas com óptica linear. Esse é o principal resultado deste capítulo. A implementação dos diferentes reservatórios é obtida através do hiperemaranhamento de diferentes graus de liberdade de um mesmo fóton. Dessa forma cada qbit já leva consigo seu reservatório, uma vez que este é simplesmente outro grau de liberdade

82 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 68 do mesmo fóton. Nos casos aqui tratados, usamos dinâmicas com somente dois operadores de Kraus, o que implica no emaranhamento com somente mais um qbit. Dinâmicas com mais super-operadores podem ser ainda implementadas com o uso de múltiplos graus de liberdade, ou ainda, com o emaranhamento com um grau de liberdade de maior dimensão, como por exemplo um maior número de direções de momento. No presente caso utilizamos os grau de liberdade de polarização e de modos espaciais dos fótons com qbits, ora seja como o sistema de interesse S ora seja como o reservatório R. A idéia principal é a de realizarmos os mapas que representam os processos de descoerência pelo emaranhamento dessas diferentes variáveis fotonicas Elementos Ópticos Lineares Portas Lógicas Universais Os elementos ópticos lineares mais comuns em um laboratório são: divisores de feixe (BS), divisores de feixes polarizados (PBS), placas de meia-onda (HWP), placas de quarto-de-onda (QWP)e lentes. Usamos estes dispositivos para estabelecer uma ligação com as portas lógicas de um e dois qbits (como iniciado na Ref.[76]), sem nos preocuparmos com os detalhes dos mesmos. Divisor de Feixes O divisor de feixes (BS) atua somente nos graus de liberdade de modo espacial do fóton. Podemos quanticamente descrever a sua atuação pelo seguinte operador: B = e iθ(ab +a b), (4.85) onde a (b) são os operadores de aniquilação e a (b ) e criação de fótons no modo de momento 0 (1) como ilustrado na Fig BS R y ( 2θ) Figura 4.10: Divisor de Feixes - Porta de Rotação em torno de y, R y(θ) = e iσyθ/2.

83 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 69 Com um só fóton incidindo sobre o BS temos que os estados 01, um fóton no modo 0 e nenhum no modo 1, e 10, um fóton no modo 1 e nenhum no modo 0 formam uma base para todos os estados possíveis. É fácil mostrar que a atuação do BS nos elementos da base é a seguinte: B 01 = cos θ 01 + sin θ 10 B 10 = cos θ 10 sin θ 01. (4.86) Podemos então definir uma base lógica como: 0 = 01 1 = 10, (4.87) definindo assim nosso qbit de modo espacial. Nesta base o operador do divisor de feixes pode ser escrito como: B(θ) = cos θ sin θ sin θ cos θ = e iθσy ; (4.88) o que corresponde a uma rotação de 2θ em torno do eixo y. O ângulo de rotação é definido então pela refletância r do BS, r = sin θ. É importante notar que no caso de θ = π/4 e simplesmente invertendo o registro quântico da nossa base lógica após o BS, como mostrado na Fig.4.11, criamos a porta Hadamard, a qual faz parte das portas universais [77]. O operador do divisor de feixes nesse caso específico fica então: = H; (4.89) exatamente uma porta Hadamard. Divisor de Feixes Polarizado O divisor de feixes polarizado (PBS) atua de forma semelhante ao BS, no entanto a refletância e a transmitância do PBS são dependentes da polarização. Com este dispositivo interagimos o qbit de polarização { H, V }, com o qbit de modo espacial { 0, 1 }, definidos como anteriormente.

84 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear BS H Figura 4.11: Divisor de Feixes como Hadamard. 0 1 O PBS atua de forma que um fóton incidente com polarização H continua no mesmo modo e, no outro caso, quando o fóton possui polarização V este muda de modo. É claro assim que temos uma interação condicional. Todas as possibilidades estão ilustradas na Fig H1 V 1 H0 PBS H0 V 0 V 0 H1 V 1 Figura 4.12: Divisor de Feixes Polarizado CNOT Polarização-Modo Espacial. A tabela de verdades desse processo é então: Entrada Saída H 0 H 0 H 1 H 1 V 0 V 1 V 1 V 0 Fazendo a associação usual do qbit de polarização H 0 P e V 1 P, onde o sub-índice P é somente para ressaltar o fato que estamos tratando do qbit de polarização,

85 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 71 temos precisamente a tabela de verdades da porta não controlada (CNOT). Neste caso o qbit de controle é o de polarização enquanto o qbit alvo é o de modo espacial. No divisor de feixes, quando temos somente um fóton incidente, na outra porta de entrada sempre entra vácuo, no entanto como a realização dos experimentos aqui tratados é condicionada à detecção do fóton, essa contribuição do vácuo não é medida, ou seja, é retirada por pós-seleção. Placa de Meia-Onda A placa de meia onda (HWP) atua no espaço da polarização do fóton incidente segundo o operador [26]: U HWP (θ) = cos 2θ sin2θ sin 2θ cos 2θ ; (4.90) o qual possui a propriedade U HWP (θ)u HWP (θ) = 11 para todo θ. θ é o ângulo entre os eixos rápido e lento da placa de meia-onda. Podemos identificar os casos especiais mostrados na Fig Se orientamos a placa tal que θ = π/8 temos uma porta Hadamard para as polarizações. Se ajustamos θ = 0 temos a porta Z. Por fim, se θ = π/4 temos a porta X. HWP(π/8) HWP(0) HWP(π/4) H Z X Figura 4.13: Placa de Meia Onda atuando como diferentes portas locais no qbit de polarização. Podemos também com este dispositivo implementar uma porta CNOT onde o qbit de controle é o modo espacial e o qbit alvo é a polarização. Este processo é mostrado na Fig Vemos quando o fóton está no modo 0 nada acontece à sua polarização. No entanto quando no modo 1 a polarização é alterada. Construímos assim a CNOT Modo Espacial-Polarização.

86 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear HW P(π/4) Figura 4.14: CNOT Modo Espacial-Polarização. Placa de Quarto-de-Onda O último elemento que tratamos é a placa de Quarto-de-Onda (QWP). O operador associado com este dispositivo é o seguinte [26]: U QWP (θ) = cos2 θ + isin 2 θ (1 i)cos θ sinθ (1 i)cos θ sinθ sin 2 θ + icos 2 θ. (4.91) A única instância deste operador que vai nos importar é θ = 0, como mostrado na Fig.4.15, neste caso temos: que é a porta S [7]. U QWP (0) = i QWP(0) = S, (4.92) S Figura 4.15: Placa de quarto-de-onda como porta S. Para fazermos a porta S controlada ao qbit de modo espacial basta procedermos como no caso da HWP e colocarmos a QWP no modo 1. Assim será aplicado a operação S somente quanto o fóton estiver no modo espacial 1.

87 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 73 Vale ressaltar que, uma vez que conseguimos construir a porta Hadamard nos dois espaços, polarização e modo espacial, e a porta CNOT nos dois sentidos, modo espacial polarização e polarização modo espacial, podemos construir qualquer dinâmica com esses dois qbits de um mesmo fóton, já que essas portas são universais [77]. O esquema de hiperemaranhamento aqui utilizado não resolve no entanto o problema de construir portas não-locais entre diferentes fótons. Este ponto negativo na implementação da computação quântica pode ser parcialmente solucionado com portas probabilísticas e adição de estados auxiliares para pós seleção [48] Interferômetros de Decaimento - 1 Qubit A partir da definição das portas lógicas básicas acima, mostramos agora uma forma sistemática de como construir os interferômetros que simulam as dinâmicas de decaimento estudadas. Na verdade esse procedimento pode ser estendido para diversas outras dinâmicas onde usamos o hiperemaranhamento entre polarização e modo espacial. Em todos os casos aqui tratados definimos a base lógica dos dois qbits como: H 0 P V 1 P 0 0 M 1 1 M. (4.93) Cada qbit pode assumir o papel de sistema ou reservatório. Decaimento de Amplitude Para construirmos experimentalmente o mapa (4.13) notamos primeiro que esse pode ser produzido pelo circuito lógico mostrado na Fig ρ S 0 R R y ( θ) Figura 4.16: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento amplitude. R y( θ) = e iσy θ/2, uma rotação de θ ao redor do eixo y, onde sin 2 ( θ/2) = p. Esse circuito realiza o seguinte mapa: 0 S 0 R 0 S 0 R 1 S 0 R cos( θ/2) 1 S 0 R + sin( θ/2) 0 S 1 R. (4.94)

88 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 74 Fazendo a associação sin 2 ( θ/2) = p temos um mapa idêntico ao de decaimento de amplitude (4.13). Temos agora que a parametrização do tempo é dada por uma função do ângulo θ. Com este circuito e as portas lógicas definidas acima podemos estabelecer qual deve ser sua implementação com fótons. Para o circuito lógico mostrado na Figura 4.94 é mais conveniente usarmos o qbit de modo espacial como o sistema S e a polarização como o reservatório R. Percebemos inicialmente que: R y ( θ) 0 = cos( θ/2) 0 + sin( θ/2) 1 U HWP (θ) H = cos(2θ) H + sin(2θ) V ; (4.95) sendo assim podemos usar a placa HWP com o ângulo θ = θ/4 para criarmos a rotação em torno de y desejada. Para que essa rotação seja controlada pelo 1 basta colocarmos essa placa somente no modo 1. A porta CNOT Polarização Modo Espacial pode ser obtida através do PBS, como explicado anteriormente. O interferômetro então sugerido é mostrado na Figura O mapa de decaimento de amplitude neste circuito óptico é obtido da seguinte forma: o estado 0H passa inalterado pelo PBS e é então analisado. Já o estado 1H é rodado pela placa HWP(θ) e evolui para 1 (cos(2θ) H +sin(2θ) V ); após os PBS s temos então cos(2θ) 1H + sin(2θ) 0V. Realizamos completamente o mapa 4.13 se tomarmos θ = θ/4, ou ainda, p = sin 2 (2θ). Note que é fundamental para essa realização que o mapa simulado seja de temperatura nula, ou seja, que o estado inicial do reservatório-ancilla seja H ; do contrário teríamos perdas no PBS do modo 0. 0 Analisador de Modo PBS 1 HWP(θ) PBS Detector Figura 4.17: Interferômetro para realização do reservatório de amplitude para um qbit. O analisador de modo espacial e o detector são usados para fazer as diferentes medidas

89 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 75 necessárias para reconstruir a matriz densidade do estado de modo espacial, ou seja, tomando o traço nas variáveis de polarização. Esta tomografia de estados de modo espacial ainda não foi desenvolvida e é assunto de estudo atual no laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ e tem como seu principal pesquisador o aluno Daniel Tasca [78]. Por esse motivo escolhemos no que segue o qbit de S como sendo o de polarização e o de R como sendo o de modo espacial, neste caso sabemos como fazer a tomografia dos estados do qbit de polarização A. Ficará claro porém que a implementação com essa escolha é mais trabalhosa. O circuito mostrado na Figura 4.16 não é conveniente se exigimos que o estado de S seja descrito pela polarização do fóton. Isto porque para fazermos a rotação controlada pela polarização precisaríamos antes separar em modos espaciais diferentes os dois elementos dessa base, o que implica em uma porta prévia. Um outro circuito que realiza o mesmo mapa de decaimento de amplitude é introduzido na Figura ρ S R y ( θ) 0 R Figura 4.18: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento amplitude. R y( θ) = e iσy θ/2, uma rotação de θ ao redor do eixo y, onde sin 2 ( θ/2) = p. Nesta configuração sugerimos então a implementação mostrada na figura As portas CNOT s Polarização-Modo Espacial são realizadas pelos PBS s e rotação controlada é feita pela placa de meia-onda. (α H + β V ) 0 PBS. HWP( θ).. Analisador de Polarização 1 PBS. Detector 0 Figura 4.19: Implementação experimental do mapa de decaimento de amplitude para fótons. Neste circuito óptico, o estado H 0 passa pelo primeiro PBS inalterado, e da

90 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 76 mesma forma pelo segundo. Construímos assim a primeira parte do mapa (4.94). Já o estado V 0 é totalmente refletido no primeiro PBS. A placa HWP faz a rotação condicionada em torno do eixo y e sua orientação pode ser controlada de forma a produzir rotações em diferentes ângulos, neste ponto o estado composto é descrito por (cos(2θ) V +sin(2θ) H ) 1. No PBS final o estado de polarização vertical é novamente refletido e o horizontal transmitido, recolocando assim o estado V no modo 0, ou seja, o estado após o circuito é cos(2θ) V 0 +sin(2θ) H 1. Desta forma construímos completamente o mapa do decaimento de amplitude, onde tomamos p = sin 2 (2θ). Para um estado geral podemos assim simular o decaimento de amplitude pela medida da polarização independentemente do estado de modo espacial. Isto significa que estamos tomando o traço em relação ao grau de liberdade de modo espacial; como em geral a dinâmica emaranha os diferentes graus de liberdade o estado de polarização vai ter sua pureza reduzida. Decaimento de Fase Para realizarmos experimentalmente a dinâmica de decaimento de fase, notamos que o mapa dessa dinâmica, Eq.(4.24), é muito semelhante ao do decaimento de amplitude, Eq.(4.13). A diferença, como esperado, está no fato de não haver troca de excitações entre o sistema S e o reservatório R, o que implica que o estado 1 S se emaranha com o reservatório porém sem decair. O circuito lógico, apropriado para a codificação usada, é então facilmente obtido e é mostrado na Figura ρ S R y ( θ) 0 R Figura 4.20: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento de fase. R y( θ) = e iσy θ/2, uma rotação de θ ao redor do eixo y, onde sin 2 ( θ/2) = p. É então fácil propor o interferômetro para esta dinâmica, bastando adicionar uma porta CNOT Modo Espacial Polarização que, como já vimos, é obtida por uma placa de meia-onda orientada em π/4. O interferômetro é mostrado na Figura 4.21.

91 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 77 (α H + β V ) 0 PBS. HWP( θ).. Analisador de Polarização HWP(π/4). PBS. Detector Figura 4.21: Implementação experimental do mapa de decaimento de fase para fótons. Bit-Flip O erro de bit-flip, como podemos perceber, é semelhante ao reservatório de amplitude. Neste caso no entanto podemos tanto ter o erro 1 0 como 0 1. Esta diferença nos indica que a rotação agora deve ser feita nos dois estados, note no entanto que a rotação deve ser em direções opostas. O circuito lógico que representa o mapa de Bit-Flip é mostrado na Figura ρ S R y ( θ) R y ( θ) 0 R Figura 4.22: Circuito Quântico para a realização do mapa de Bit-Flip. R y( θ) = e iσy θ/2, uma rotação de θ ao redor do eixo y, onde sin 2 ( θ/2) = p/2 e a bola aberta significa o controle no estado 0. Podemos novamente construir o circuito óptico diretamente do circuito lógico. A proposta de implementação é mostrada na Figura Experimentalmente, para variar o p nesse caso, teremos que rodar as duas placas em direções opostas. Esta prática, além de consumir mais tempo, pode levar a um maior erro. Uma forma de minimizar isso é usar a identidade: = X X No interferômetro isso significa mudar a polarização em um dos modos antes da placa HW P e depois retornar para a polarização anterior. Dessa forma fazemos as rotações para o mesmo lado. Podem até mesmo serem realizadas por uma só placa de meia-onda que passe pelos dois caminhos do interferômetro, minimizando assim os erros.

92 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 78 (α H + β V ) 0 PBS HWP(θ).. Analisador de Polarização.. HWP( θ) PBS. Detector Figura 4.23: Implementação experimental do mapa de Bit-Flip para fótons. Fase-Flip O erro de Fase-Flip é mais facilmente implementado uma vez que as rotações são todas para a mesma direção. O circuito lógico que simula o erro de Fase-Flip é mostrado na Figura ρ S R y ( θ) 0 R Figura 4.24: Circuito Quântico para a realização do mapa de Fase-Flip. R y( θ) = e iσy θ/2, uma rotação de θ ao redor do eixo y, onde sin 2 ( θ/2) = p/2. O interferômetro é agora também facilmente obtido e é ilustrado na Figura (α H + β V ) 0 PBS HWP(θ).. Analisador de Polarização.. HWP(θ). PBS. Detector HWP(π/4) Figura 4.25: Implementação experimental do mapa de Fase-Flip para fótons.

93 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear 79 Bit-Fase-Flip Finalmente o erro de Bit-Fase-Flip pode ser obtido utilizando a porta de fase S como indicado no circuito lógico da Figura ρ S R y ( θ) S 0 R Figura 4.26: Circuito Quântico para a realização do mapa de Bit-Fase-Flip. R y( θ) = e iσy θ/2, uma rotação de θ ao redor do eixo y, onde sin 2 ( θ/2) = p/2. Esse circuito pode ser experimentalmente realizado com o arranjo mostrado na figura (α H + β V ) 0 PBS HWP(θ) QWP(0)... HWP(θ)..... PBS Analisador de Polarização QWP(0). Detector HWP(π/4) Figura 4.27: Implementação experimental do mapa de Bit-Fase-Flip para fótons. Possivelmente existe uma implementação mais simples, juntando por exemplo as diversas placas de onda em uma só placa efetiva, no entanto apresentamos esse esquema pois assim fica clara a conexão entre os circuitos lógicos e os interferômetros. Lembramos que todos esses circuitos seriam mais facilmente realizados se tivéssemos usado os qbits de S como sendo os dois caminhos e as polarizações como reservatório. Com este circuito final mostramos que todas as dinâmicas de descoerência e erros aqui analisadas podem ser simuladas com óptica linear e com um mesmo interferômetro. Para tal usamos o hiperemaranhamento entre polarização e modo espacial de um só fóton e os diferentes objetos ópticos disponíveis usualmente.

94 4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear Interferômetros de Decaimento - 2 Qbits Reservatórios Individuais Para dois qbits com reservatórios individuais, assim como ocorreu com os mapas, podemos construir o circuito lógico através do circuito para um qbit, bastando para isso repetir o circuito para cada qbit. Dessa forma podemos estudar a dinâmica global, ou seja, como varia o emaranhamento segundo os mapas de descoerência ou erros. Experimentalmente podemos utilizar os dois fótons produzidos na conversão paramétrica espontânea descendente (SPDC). Esses fótons podem ser produzidos em um estado emaranhado tanto de polarização quanto de modo espacial. Para os esquemas aqui propostos usamos estados emaranhados de polarização multiplicados por estados produtos dos estados de modo espacial do dois fótons. Exemplificamos essa abordagem somente com o mapa de decaimento de amplitude para dois qbits; o mesmo pode ser feito para os demais mapas. Temos assim o circuito lógico apresentado na Fig.(4.28). Note que o fato dos reservatórios serem individuais fica bastante claro neste circuito lógico, uma vez que as linhas pares formam um circuito completamente independente das linhas ímpares. ρ S R y,1 ( θ 1 ) R y,2 ( θ 2 ) 0 R 0 R Figura 4.28: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento amplitude para dois qbits com reservatórios individuais. R y,i( θ) = e iσ y,i θ i /2, uma rotação de θ ao redor do eixo y do qbit i, onde sin 2 ( θ i/2) = p i. A implementação experimental com óptica linear é então óbvia, bastando repetir o circuito apresentado na Fig para cada um dos qbits do estado. Um estado arbitrário de dois qbits de polarização pode ser criado através da conversão paramétrica descendente e de operações unitárias locais. O esquema experimental é mostrado na Figura A medida tomográfica do estado conjunto de polarização dos dois fótons, indepen- 6 Figura gentilmente cedida pelo Marcelo Almeida. Aliás, todas as figuras mais elaboradas desse capítulo são cortesia do Marcelo.

95 4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados 81 PBS λ/2 λ/4 D1 state analyzer λ/2 PBS PBS compensator λ/2 λ/4 PBS compensator PBS λ/2 D2 Figura 4.29: Implementação experimental do mapa de decaimento de amplitude para 2 qbits com reservatórios individuais dente do modo espacial, mostra tanto o comportamento de decaimento local quanto o global. Em princípio, se somente nos interessamos pelo decaimento do emaranhamento de estados da classe α 00 + β 11 podemos medir a testemunha proposta W N. 4.5 Realização Experimental: Descrição e Resultados Esse experimento foi realizado no laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ. O arranjo experimental implementado é ilustrado na Figura Descreveremos aqui de forma breve a implementação e alguns dos resultados obtidos. O estado fotonico é criado pelo processo de conversão paramétrica descendente espontânea [79] em dois cristais não-linear tipo I, ver Fig Os dois cristais possuem os eixos alinhados perpendicularmente de tal forma que um deles produza somente o estado HH e o outro somente o estado V V. A proporção de cada uma dessas componentes é obtida através da polarização do feixe de entrada ( pump-beam ); desta forma se temos por exemplo o feixe de bombeio em uma super-posição balanceada de H e V vamos ter um estado da forma ( HH + exp(iφ) V V )/ De forma geral as amplitudes podem ser controladas por uma

96 4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados 82 Figura 4.30: Processo de criação dos fótons gêmeos através da conversão paramétrica espontânea descendente em dois cristais não lineares do tipo I. HWP e a fase por uma QWP no feixe de bombeio, dando a possibilidade de criar qualquer estado do tipo ( α HH + β exp (iφ) V V ) 00, onde 00 é o estado inicial dos qbits de modo espacial. Estados gerais de polarização podem ser criados após criação dos fótons gêmeos por transformações locais. De forma geral, a placa de HWP determina o emaranhamento do estado de polarização inicial e transformações locais produzem o estado desejado. Para obter a indistiguibilidade entre os pontos de criação é feita uma filtragem espacial de modos, onde são selecionados os modos onde há interseção entre os cones de criação de fótons dos dois cristais. É só nesse momento que é definido o estado 00 dos qbits de modo espacial. Todo esse processo é claramente sujeito à imperfeições e o estado criado experimentalmente não é totalmente puro. Nessa implementação foi usado o interferômetro de Sagnac, diferentemente do proposto na Figura No presente caso a polarização H percorre um caminho antihorário; já a polarização V percorre um caminho horário, como mostrado na Figura Foi escolhido esse tipo de interferômetro pois sua estabilidade é maior, uma vez que o caminho percorrido pelas duas polarizações é garantido ser o mesmo simplesmente pela geometria do interferômetro. O mapa de decaimento de amplitude é então aplicado da mesma forma que explicado anteriormente; a variação do ângulo da placa HWP dentro do interferômetro nos dá a variação em p. Finalmente o estado é coletado e é feita a tomografia do grau de liberdade de polarização dos dois fótons, sem medirmos o grau de liberdade de modo espacial. Foi desenvolvido para essa tomografia um analisador de duas portas, como mostrado em detalhe na Figura O processo tomográfico consiste em calcular a projeção do estado dos fótons nos 16 vetores necessários para se realizar a tomografia, como

97 4.5. Realizac a o Experimental: Descric a o e Resultados 83 Figura 4.31: Implementac a o realizada experimentalmente do mapa de decaimento de amplitude para 2 qbits com reservato rios individuais. mostrado no ape ndice A. Para entendermos o processo tomogra fico realizado pensemos por um instante na ana lise tomogra fica de um so fo ton. De forma geral podemos escrever o estado puro de um qbit de polarizac a o como λ ψν i + 1 λ ψν, onde ψν i e o projetor sendo medido e ψν e o estado ortogonal a ele. As placas HWP e QWP sa o tais que transformam esse estado em λ Hi + 1 λ V i, todos os fo tons com polarizac a o H devem enta o ser detectados, o que nos da a projec a o do estado em ψν i. No entanto, como temos agora dois modos e a abertura do detector e finita, foi usado um PBS para reunir, de modo incoerente, as amplitudes de probabilidade dos dois caminhos; como o PBS sempre transmite a polarizac a o H temos que rodar a polarizac a o do fo ton no modo b de π, isso e obtido com uma HWP(45 ). Dessa forma sa o coletados todos os fo tons com polarizac a o H. No caso mais geral, quando temos um estado mistura para o fo ton incidente, essa ana lise pode ser extendida para cada estado puro da decomposic a o do estado mistura. Mais ainda, essa ana lise e va lida mesmo para a tomografia dos dois fo tons, uma vez que as medidas sa o locais em cada um. Neste caso pore m, como queremos medir tambe m as correlac o es, so sera o contabilizadas as medidas em coincide ncia. E importante enfatizar que a recombinac a o dos modos deve ser incoerente, uma

98 4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados 84 Figura 4.32: Detalhe do reservatório para cada qbit e do analisador de polarização de duas portas. vez que os modos representam os estados ortogonais do reservatório e, além disso, por que queremos fazer uma medida do estado de polarização independentemente do estado de modo espacial, ou seja, tomando o traço em relação à esse grau de liberdade. Isso é experimentalmente obtido através do mapeamento do grau de liberdade de modo espacial no grau de liberdade de tempo, uma vez que os caminhos no interferômetro de análise tomográfica são desbalanceados. A diferença entre os caminhos deve ser maior do que o comprimento de coerência dos fótons gêmeos, o qual é selecionado pelos filtros de interferência para serem da ordem de 0.1mm, mas deve ser menor do que a janela de detecção em coincidência, aproximadamente 5ns. Apresentamos agora alguns resultados já obtidos. O primeiro passo é caracterizar os reservatórios individuais. Para isso usamos como estado inicial um estado produto e fazemos a tomografia de cada qbit de polarização. Os resultados obtidos para um dos braços do interferômetro, ou seja, para um reservatório, são mostrados na Figura Na primeira linha da Figura 4.33 mostramos o comportamento do estado inicial H. Esse estado corresponde ao estado fundamental e sendo assim não deve ter sua população alterada. A tomografia do canto esquerdo mostra que de fato o estado H é produzido inicialmente, com pureza da ordem de 90%. Vemos que a probabilidade de medirmos H e também a pureza não variam com p, como esperado. Na segunda linha vemos a reconstrução do estado V que corresponde ao estado excitado. Vemos que a probabilidade de detectar a polarização V decai linearmente com p, ou seja, exponencialmente

99 4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados 85 Figura 4.33: Resultados obtidos em um dos braços do interferômetro para a dinâmica de 1-qbit sujeito ao reservatório de amplitude. com t, evidenciando assim a principal característica do reservatório de amplitude. A pureza desse estado é inicialmente alta e diminui conforme o estado se emaranha com o reservatório. Como mostrado anteriormente, esse emaranhamento começa a diminuir no momento em que a probabilidade de medir H se torna maior que a probabilidade de medir V. A pureza novamente fica da ordem de um quando em p = 1 (t ) o estado vai para o nível fundamental. Essa análise também foi feita para o outro ramo do interferômetro e resultados semalhantes são obtidos. Para estudarmos a dinâmica do emaranhamento foram criados estados emaranhados a partir do processo de conversão paramétrica espontânea. Podemos variar entre os casos de interesse, α > β e α < β variando o ângulo da placa de meia onda antes do cristal não-linear. A tomografia do estado inicial com α < β é mostrada na Figura Para este estado temos C = ± 0.04 e a pureza P = ±

100 4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados 86 a b Figura 4.34: Representação gráfica da matriz densidade reconstruída.a) Parte Real. b0 Parte Imaginária. A matriz densidade reconstruida foi: i i i i i i ρ = i i i i i i (4.96) Para esse estado temos que α é aproximadamente três vezes menor do que β. Esperamos então decaimento em tempo finito do seu emaranhamento. No outro caso, α > β, temos a seguinte matriz densidade: ρ = i i i i i i i i i i i i (4.97) Para esse estado temos C = ± e a pureza P = ± Neste caso α é aproximadamente três vezes maior do que β, ou seja, esperamos um decaimento assintótico do emaranhamento. A dinâmica do emaranhamento para esses dois estados é comparada no gráfico da Figura Nesse gráfico vemos claramente a diferença entre os dois comportamentos. Os pontos negativos significam emaranhamento nulo,e são mostrados aqui para conferência

101 4.6. Conclusões 87 da dinâmica prevista com a dinâmica obtida experimentalmente. Fica assim experimentalmente comprovado o decaimento em tempo finito do emaranhamento, mostrando a diferença entre as dinâmicas locais e globais.. Concurrence p Figura 4.35: Dinâmica do emaranhamento para os casos de decaimento em tempo finito e assintótico. A curva em vermelho (azul) representa a previsão teórica para a evolução do emaranhamento dado o estado inicial com α < β ( α > β ). Os pontos são as medidas experimentais para cada caso. Analisamos também a dinâmica da pureza dos dois estados. Esse resultado é mostrado na Figura Podemos observar que para o caso onde o emaranhamento decai em tempo finito a pureza atinge valores mais baixos, o que se deve ao maior emaranhamento do estado do sistema com o reservatório. Isso acontece devido à maior parcela de HH no estado quando α > β. Outros tipos de reservatório estão sendo implementados experimentalmente no laboratório de óptica quântica do IF-UFRJ e em breve os resultados serão publicados. 4.6 Conclusões Em conclusão, mostramos como implementar com óptica linear e hiper-emaranhamento diversas dinâmicas dissipativas. Nessas dinâmicas o emaranhamento atua como canal de

102 4.6. Conclusões 88 Purity p Figura 4.36: Dinâmica da Pureza. A curva em vermelho (azul) representa a previsão teórica para a evolução da pureza dado o estado inicial com α < β ( α > β ). Os pontos são as medidas experimentais para cada caso. transferência de informação do sistema principal para o reservatório. Mostramos também como implementar experimentos para acompanhar a evolução do emaranhamento entre dois qbits quando estes estão inseridos em diversos reservatórios individuais. Para esse tipo de dinâmica é esperado que o emaranhamento possa decair em alguns casos, em um tempo finito, diferentemente das coerências de partícula única, as quais decaem assintoticamente. Os experimentos aqui propostos podem ser todos realizados com um mesmo interferômetro, somente com a inclusão/modificação de placas de onda. Experimentos desse tipo estão sendo realizados no laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ e já comprovam as previsões aqui formuladas. Os resultados aqui mostrados constituem a primeira observação experimental do decaimento em tempo finito do emaranhamento. Outras possibilidades interessantes de estudo futuro são os reservatórios conjuntos, onde pode haver interação entre os qbits via reservatório, reservatórios a temperatura finita e evolução dinâmica da fase de Berry em sistemas dissipativos.

103 89 Capítulo 5 Qbit Super-condutor: Medida da Função de Wigner Resumo do Capítulo Este capítulo tem um caráter mais prático do que os demais. Apresentamos um protocolo de medida da função de Wigner do campo Eletromagnético aprisionado em um cavidade super-condutora uni-dimensional. Para isso utilizamos o acoplamento do campo com um qbit super-condutor dentro da cavidade, e as diversas dinâmicas possíveis. O emaranhamento é utilizado aqui para transferir a informação do campo para o qbit super-condutor, onde realizamos as medidas. Esse trabalho foi realizado em colaboração com: Leandro Aolita, Fabrício Toscano e Luiz Davidovich. 5.1 Introdução Várias são as possíveis plataformas experimentais para a realização dos protocolos de informação/computação quântica [7]. Alguns exemplos são: átomos em cavidades ( cavity Quantum Electro-Dynamics - cqed) [80], fótons gêmeos [81], íons aprisionados [82] entre outros; onde cada uma delas possui suas vantagens e desvantagens. Quando pensamos realmente na construção de um computador quântico várias são as características que devem ser satisfeitas. DiVincenzo formalizou essas características essenciais com cinco critérios necessários e independentes da implementação [83], são eles:

104 5.1. Introdução Um sistema físico escalável e com qbits bem caracterizados; 2. Habilidade de inicializar os qbits em um estado simples como ; 3. Tempos de descoerência longos quando comparados com os tempos das portas lógicas; 4. Um conjunto universal de portas lógicas; 5. Capacidade de medida do qbit. Nenhuma das implementações acima citadas satisfazem todos esses critérios. Devemos destacar no entanto a implementação com íons aprisionados que tem a escalabilidade como seu maior desafio. Nesta gama de possibilidades surgem os qbits super-condutores, veja a referência [84] para uma ótima revisão. Nessa implementação são utilizados os estados macroscópicos dos super-condutores como qbits, como será melhor explicado no decorrer do capítulo. Para esses sistemas já foi experimentalmente demonstrado o controle de 1 qbit [85, 86, 87], portas controladas entre dois qbits [88, 89] e eficientes métodos de medida do estado do qbit [90, 84]. Desta forma, dos critérios acima mencionados, somente os tempos de descoerência ainda são uma questão aberta. Outra vantagem dessa implementação é ter fácil correspondência com a tecnologia atual baseada em silício. Destacamos a necessidade de baixas temperaturas como sua principal desvantagem. Para computação quântica somente os critério acima são suficientes. No entanto, se queremos explorar todas as possibilidades de processamento quântico, também se torna importante a comunicação quântica. Processos como teletransporte [11, 81], códificação densa [91, 92] e criptografia quântica [93, 94] são bons exemplos dessas possibilidades quânticas de comunicação. Dois critérios extras foram então concebidos por DiVincenzo [83] para contemplar a comunicação quântica: 6. Habilidade de transferir informação entre qbits estacionários e qbits voadores 7. Habilidade de transmitir qbits voadores Com essas perspectivas o qbit super-condutor é então colocado dentro de uma cavidade super-condutora [95, 96, 97]. O campo na cavidade pode fazer as vezes do qbit voador e comunicar dois qbits super-condutores distantes.

105 5.1. Introdução 91 Apesar de não ser nossa intenção mostrar a viabilidade da implementação de computação quântica com qbits super-condutores, nosso trabalho está ligado diretamente ao item 6. Mostramos como através do emaranhamento podemos transmitir a informação do campo dentro da cavidade para o qbit super-condutor. De forma geral mostramos como qualquer estado do campo eletromagnético pode ser medido diretamente através de medidas no qbit não ficando assim restrito ao contexto da computação quântica mas também abrangendo a informação quântica. Vale também ressaltar que este estudo une a Óptica Quântica com a área de Matéria Condensada, devido à analogia do sistema de átomos em cavidades [80] com os qbitssupercondutores em cavidades uni-dimensionais. A medida direta da função de Wigner para o campo de micro-ondas em cavidades 3-D de alto fator de qualidade (Q) foi primeiramente proposta por Lutterbach e Davidovich na ref.[98], posteriormente realizada experimentalmente como mostrado na referência [99]. Nesse experimento átomos de Rydberg passam pela cavidade e dois de seus níveis interagem dispersivamente com o campo na cavidade, transferindo a informação do campo para o sistema atômico. Este é depois medido e através da estatística da população de seus dois níveis pode-se reconstruir a função de Wigner do campo. Essa analogia será mais enfatizada no decorrer do capítulo. O protocolo proposto na Ref.[98] não pode no entanto ser diretamente aplicado aos qbits super-condutores na cavidade 1-D, uma vez que estes qbits estão sempre na cavidade e a interação com o campo não pode ser desligada totalmente. Mostramos que ainda assim, com algumas mudanças, podemos medir a função de Wigner na cavidade super-condutora 1-D através da medida direta do qbit [100]. A função de Wigner contem toda a informação sobre o estado do campo, dessa forma mostramos como o qbit voador pode ser lido através do quibt fixo. Mais ainda, através dessa medida podemos estudar os efeitos de descoerência na cavidade e a transição quântico-clássico [101].

106 5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores Qbit e Cavidade Supercondutores Qbits Supercondutores Como já mencionado, este tipo de qbit utiliza estados macroscópicos dos supercondutores [102] e do efeito Josephson [103] para construir o sistema de dois níveis. A junção Josephson é formada pela união de dois supercondutores através de um isolante. O qbit é obtido pelo excesso de um par de Cooper em um dos lados supercondutores, e pelo tunelamento coerente deste par através da barreira isolante (ver Fig. 5.1). Note que esses estados, por serem super-condutores, contam com um número macroscópico de elétrons. Figura 5.1: Ilustração da Junção Josephson. a) O excesso de carga em um dos lados super-condutores serve de qbit. N 10 8 pares de Cooper e a área da junção é da ordem de 1µm 2. b) Função de onda do estado simétrico e anti-simétrico (observar a queda exponencial dentro do isolante). A grande vantagem deste tipo de qbit é que os estados excitados estão separados do nível fundamental pelo gap do super-condutor (2 1MeV ). Isso traz uma proteção dos estados contra a descoerência. Claramente essa proteção só é obtida nas baixas temperaturas ( 5K) necessárias para o fenômeno de super-condutividade. Mostraremos agora como são formados os qbits supercondutores [95, 97]. Existem vários tipos de qbits supercondutores, a saber: qbits de carga, de fluxo e de fase [84]. Especializamos para o caso dos qbits de carga. A união de uma ilha super-condutora com a terra através de uma junção Josephson nos dá o qbit super-condutor (ver Fig. 5.2). Sendo N o número de pares de Cooper na ilha, ou seja 2N elétrons, e sendo V o

107 5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores 93 Figura 5.2: Qbit super-condutor. Caixa super-condutora com N pares de Cooper ligada ao potencial nulo por uma junção Josephson (representado aqui por quadrado com uma cruz). V g e C g servem para controlar os parâmetros do qbit. potencial na mesma, podemos determinar a energia de carga do circuito notando que: 2Ne = C g (V V g ) + C j V ; (5.1) V (N) = CgVg 2Ne C Σ ; (5.2) onde C Σ = C g + C j. Sendo assim, a energia necessária para mover n pares de Cooper para dentro da ilha é dada por: E(N + n) E(N) = 2e n 0 V (N + n )dn = 2e2 n 2 + 4e 2 Nn 2eC g V g n C Σ. (5.3) Como N é arbitrário, podemos fazer N=0 na equação acima e definir o zero de energia ( ) tal que E(0) = 2e2 CgV g 2. C Σ 2e Assim temos: E(n) = 4E C (n n g ) 2 ; (5.4) onde E C = e 2 /2C Σ, n g = C g V g /2e e n representa o excesso de carga na ilha. Esta é então a energia de carga do circuito. A junção Josephson nos dá uma energia potencial E J = EJ 0 cos Θ, onde Θ é a fase relativa entre os estados de cada lado da junção. A energia do circuito é então: E = 4E C (n n g ) 2 E 0 J cos Θ. (5.5) Considerado n, o excesso de pares de Cooper na ilha, e Θ, o parâmetro de ordem, como operadores temos a quantização do circuito. Os operadores são canonicamente conjugados, n = i / ( Θ).

108 5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores 94 Se E C E J, a melhor base para tratarmos esse sistema é a de carga. Sendo assim, o hamiltoniano da junção é dado por: H J = E 0 J = E 0 J = E 0 J = E0 J 2 2π dθ cos Θ Θ Θ 0 2π 2π dθ 2π n 1 n 1 Θ Θ n 2 n 2 cos Θ n 1,n 2 0 2π n 1,n 2 0 dθ 2π e i(n 1 n 2 )Θ ( e iθ + e iθ 2 ) n 1 n 2 ( n n n + 1 n ). (5.6) n O hamiltoniano total na base de carga é: H = { } 4E C (n n g ) 2 n n E0 J ( n n n + 1 n ). (5.7) 2 n Os autovalores de energia estão mostrados na Fig Vemos que o efeito de introduzir a junção é quebrar a degenerescência quando n g é semi-inteiro. Com isso temos a criação dos níveis simétrico e anti-simétrico (ver Fig. 5.1). Mais ainda, se nos restringimos aos parâmetros {n,n g } [0,1] temos um sistema de dois níveis e seu hamiltoniano pode ser reescrito como: onde δe C = 4E C (1 2n g ). H = δe C σ z 2 E0 J 2 σ x; (5.8) a) b) Figura 5.3: a) Autovalores do hamiltoniano. b) detalhe da quebra da degenerescência entre os níveis devido à junção. A diferença entre os níveis, para n g semi-inteiro é E 0 J. Além disso, se usarmos duas junções Josephson ao invés de uma podemos controlar E J com um fluxo (ver Fig. 5.4). Neste caso E 0 J E0 J cos(πφ/φ 0), onde φ 0 = h/2e.

109 5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores 95 Desta forma podemos controlar, possivelmente durante o experimento, todas as partes do hamiltoniano. Mudando n g, através de V g, mudamos a parte diagonal; variando o fluxo mudamos o acoplamento entre os níveis. Esta flexibilidade do hamiltoniano, em tempo real, é um diferencial destes qbits. Isto proporciona uma grande variedade de dinâmicas, e é uma de suas grandes vantagens. Este tipo de qbit é comumente chamado de caixa de pares de Cooper (Cooper pair box). Figura 5.4: Qbit super-condutor com duas junções Josephson. Com este arranjo podemos controlar o valor de E J com um fluxo externo Φ que passa pelo anel formado pelas junções Cavidade Super-condutora 1-D A cavidade super-condutora é mostrada na Figura 5.5. A linha central serve de guiade-onda para o campo eletromagnético. Este, por sua vez, é aprisionado na cavidade pelas duas descontinuidades dessa linha; estas descontinuidades atuam como capacitores, de capacitâncias C 0, e são equivalentes aos espelhos na implemtentação de cqed. O campo dentro da cavidade é então acoplado capacitivamente com o meio externo; o controle dessa capacitância determina o quão isolado está o campo, exigindo um compro- Figura 5.5: Cavidade 1-D com o qbit no centro e o respectivo circuito equivalente.

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