Manual de Matemática para o 12º ano Matemática A. NIUaleph 12 VOLUME 2. Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado

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1 Manual de Matemática para o 12º ano Matemática A NIUaleph 12 VOLUME 2 Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado 2012

2 Título NiuAleph 12 - Manual de Matemática para o 12º ano de Matemática A Autores Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado Capa e Design Elisa Silva Conceção Técnica Vítor Teodoro João Fernandes Imagens e fontes As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 ou Creative Commons Attribution 3.0 As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvolvidas pela GUST ISBN Edição 1.ª edição/versão 1 Data 2012 Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é permitida a impressão deste ficheiro.

3 Índice geral Volume 1 Capítulo 1 É possível? É provável? Capítulo 2 Probabilidade Capítulo 3 Probabilidade condicionada Capítulo 4 Distribuição de probabilidades Volume 2 Capítulo 5 Análise Combinatória Capítulo 6 Triângulo de Pascal e Binómio de Newton Capítulo 7 Função exponencial Capítulo 8 Função logarítmica Volume 3 Capítulo 9 Teoria de Limites Capítulo 10 Cálculo Diferencial Capítulo 11 Aplicações do Cálculo Diferencial Capítulo 12 Teoremas elementares do Cálculo Diferencial (*) Volume 4 Capítulo 13 Funções trigonométricas Capítulo 14 A História dos números complexos Capítulo 15 A Álgebra dos números complexos Capítulo 16 A Geometria dos números complexos Capítulo 17 Demonstrações de Geometria usando números complexos (*)

4 Índice Capítulo 5 - Análise Combinatória 6 Arranjos completos 11 Arranjos simples 13 História(s) - Razões Indianas para se Estudar Matemática 16 Permutações 17 Modelo Binomial 22 Leitura(s) - Como escolher a namorada pelos horários do comboio suburbano 23 Síntese 24 Exercícios globais 26 Conselhos para os Exames n.º 5 28 Itens de exame 30 Prova global 38 Capítulo 6 - Triângulo de Pascal e Binómio de Newton 40 Binómio de Newton 45 História(s) - Origem da Análise Combinatória 47 História(s) - O Triângulo de Pascal é chinês 54 Leitura(s) - Ciência e Arte 55 Síntese 58 Exercícios globais 60 Conselhos para os Exames n.º 6 61 Itens de exame 62 Prova global 64 Capítulo 7 - Função exponencial 65 Crescimento exponencial 70 Propriedades da função exponencial 74

5 História(s) - Thomas Malthus e a demografia 77 Leitura(s) - Evolução da População Humana 79 Síntese 81 Exercícios globais 83 Conselhos para os exames n.º 7 87 Itens de exame 87 Prova global 90 Capítulo 8 - Função Logarítmica 91 Crescimento logarítmico 95 Escalas logarítmicas 96 Propriedades da função logarítmica 100 História(s) - História dos logaritmos 103 Escala de Richter 104 Leitura(s) - O que importa é a forma de refletir 107 Síntese 109 Exercícios globais 111 Conselhos para os exames n.º Itens de exame 115 Prova global 120 Soluções 122

6 5. Análise Combinatória Quando estás zangado, conta até dez antes de falares. Se estás muito zangado conta até cem. Thomas Jefferson ( ) Contagem Contagem maluca assim ninguém viu, um pouco difícil chegamos a mil. in Site de poesias, Nelson Moreira No cálculo da probabilidade de um acontecimento tivemos muitas vezes de contar um a um todos os casos em que esse acontecimento se verificava; isto equivale a contar pelos dedos, o que pode ser muito moroso e desanimador. Uma ideia interessante é encontrar técnicas que nos permitam contar sem ser pelos dedos. A área da Matemática que se dedica a estudar modos eficazes de efetuar uma contagem é a Análise Combinatória. Neste capítulo vamo-nos limitar a estudar algumas técnicas de contagem em conjuntos finitos. A Rádio Escola assegura a programação musical na Escola Secundária Anastácio da Cunha. Suponhamos que tu és responsável pela sua programação e que tens à tua disposição 5 músicas de bandas portuguesas e 3 de bandas estrangeiras. O problema vai ser o de saber quantos programas musicais diferentes vais poder apresentar com a música que tens à tua disposição. A situação ir-se-á complicando à medida que formos avançando, o que te vai permitir descobrir várias técnicas de contagem. Tarefa resolvida 1 Tr No intervalo entre o turno da manhã e o da tarde, que é de 5 minutos, apenas podes colocar uma música de entre as 5 músicas de bandas portuguesas e as 3 de bandas estrangeiras. De quantas formas podes fazer a tua escolha? Resolução Claro que a resposta é comuns a ambos os conjuntos., pois podes escolher qualquer das músicas e não existem músicas 6 5. Análise Combinatória

7 A não esquecer Quando tens de efetuar uma contagem que envolva apenas elementos de conjuntos distintos que não têm elementos comuns, basta adicionares o número de elementos de cada um. Tarefa 2 T Um restaurante oferece um menu especial formado apenas por água e um prato à escolha entre dois tipos de pratos: de frango (F1 frango assado, F2 frango de caril) e de porco (P1 porco no espeto, P2 Secredos de porco e P3 Porco grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeições? Vejamos agora o que se passa com umas condições diferentes. Tarefa resolvida 3 Tr Passemos à programação da rádio num intervalo entre duas aulas. Para isso tens ao teu dispor 5 músicas de bandas portuguesas e 3 músicas de bandas estrangeiras. Como o intervalo não é muito grande só podes passar uma música de uma banda portuguesa seguida de uma de uma banda estrangeira. De quantos maneiras o podes fazer? Resolução Com o traçado de um diagrama de árvore vamos conseguir resolver facilmente o problema. Para simplificar vamos designar as músicas portuguesas por P1, P2, P3, P4 e P5 e as músicas estrangeiras por E1, E2 e E3. Obtemos o seguinte diagrama, conforme a primeira música for P1, P2, P3, P4 ou P5: Radio Viking por Per Ola Wiberg, P1 P2 P3 P4 P5 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 5. Análise Combinatória 7

8 Feita a contagem ( pelos dedos ) obtemos 15 maneiras de passar duas músicas no intervalo, sendo a primeira uma das 5 músicas portuguesas e a segunda uma das 3 músicas estrangeiras. Uma alternativa à construção do diagrama de árvore é a construção de uma tabela de dupla entrada, onde cada quadrículo representa uma possibilidade para a ordem de passagem das músicas: Primeira Segunda P1 P2 P3 P4 P5 E1 P1,E1 P2,E1 P3,E1 P4,E1 P5,E1 E2 P1,E2 P2,E2 P3,E2 P4,E2 P5,E2 E3 P1,E3 P2,E3 P3,E3 P4,E3 P5,E3 Agora contamos ( pelos dedos ) também 15 maneiras de combinar os dois tipos de músicas. Podes escolher o método que achares mais prático, mas obterás sempre o mesmo resultado, claro. Com um método ou com outro estamos na realidade a procurar pares ordenados (uma música primeiro e depois outra) de elementos de dois conjuntos (o primeiro conjunto é o das músicas portuguesas e o segundo conjunto o das músicas estrangeiras). Tínhamos 5 possibilidades para o primeiro elemento do par e 3 possibilidades para o segundo elemento do par; no total temos 5 3 =15 possibilidades. Este é um raciocínio válido sempre que escolhermos elementos sucessivamente de vários conjuntos. Princípio básico da Análise Combinatória Para pares ordenados: Se queres saber quantos pares ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, então o número total de pares ordenados é dado por. O que fizemos para pares ordenados podemos fazer para ternos ordenados: Princípio básico da Análise Combinatória Para ternos ordenados: Se queres saber quantos ternos ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses, para o segundo elemento do par tens n hipóteses e para o terceiro elemento do par tens p hipóteses, etc., então o número total de ternos ordenados que podes formar é dado por m n p. Mais geralmente podemos enunciar o 8 5. Análise Combinatória

9 Princípio básico da Análise Combinatória Sejam, conjuntos de cardinalidades (número de elementos), respectivamente. A cardinalidade (número de elementos) m do produto cartesiano é dada pelo produto das cardinalidades dos conjuntos que o constituem, isto é. Tarefa resolvida 4 Tr Quantos números diferentes de três algarismos podemos obter ao lançar três dados, com as faces numeradas de 1 a 6, um verde, um azul e outro vermelho, sabendo que o dado verde corresponde às centenas, o dado azul corresponde às dezenas e o dado vermelho às unidades do número a obter? Resolução Cada número obtido corresponde a um terno ordenado: o dígito das centenas é o primeiro elemento do terno, o segundo dígito o segundo elemento do terno e o terceiro dígito é o terceiro elemento do terno ordenado. Como cada um dos dados está numerado de 1 a 6, temos 6 hipóteses para cada elemento do terno e assim o número total de resultados é resultados. A não esquecer Se o resultado pretendido corresponde a escolher elementos de forma ordenada de três conjuntos (iguais ou diferentes) então o número total de escolhas é dado pelo produto do número de elementos (cardinalidade) de cada conjunto. 5. Análise Combinatória 9

10 Tarefa 5 T Um restaurante oferece um menu especial formado por duas sopas diferentes (S1 - sopa de legumes e S2 - creme de marisco), e por três pratos principais (P1 - frango assado, P2 - febras de porco e P3 - peixe grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeições? (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) Exercícios 1. A Joana tem no roupeiro, 6 blusas, 3 saias e 3 pares de ténis. De quantas maneiras diferentes se pode vestir? 2. Existem 4 estradas diferentes que ligam as cidades A e B, 3 estradas diferentes que ligam as cidades B e C e 2 estradas diferentes que ligam as cidades A e C. Todas as estradas são distintas entre si. 2.1 De quantas formas diferentes se pode ir de A para C via B? 2.2 Quantas formas diferentes existem, no total, para ir de A para C? 2.3 Quantas formas diferentes existem para ir de A para C e voltar? 3. Num restaurante são servidas refeições, a preço fixo, constituídas por uma sopa, um prato principal e uma sobremesa. A escolha pode ser feita entre 3 sopas, 4 pratos principais e 2 sobremesa. De quantos modos diferentes posso escolher uma refeição? Análise Combinatória

11 Arranjos completos Vejamos agora um problema diferente com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha. Tarefa resolvida 5 Tr Num dos dias em que tinhas de gerir a música no intervalo tinhas só as 5 músicas de bandas portuguesas. Além do mais precisavas de ir à secretaria da escola pelo que usaste o aparelho de reprodução automática para passar as 3 músicas no intervalo. Como o aparelho de reprodução automática permite repetições, de quantas maneiras podem ter passado as 3 músicas? Resolução Para a primeira música existem 5 músicas possíveis, para a segunda existem na mesma 5 músicas possíveis pois é possível repetir a mesma música e para a terceira existem também 5 músicas possíveis. Usando o Princípio Básico da Análise Combinatória podemos concluir imediatamente (sem contar pelos dedos ) que o número de modos de passarem as músicas é de = 125. DCS Paganini por J Iannone, Arranjos completos - Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos admitindo repetições, dizemos que estamos em presença de arranjos completos (com repetição). Representamos por, o número total de arranjos completos (com repetição) que podemos formar com p elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princípio Básico da Análise Combinatória temos a fórmula:. Tarefa resolvida 6 Tr Para desbloqueares o teu telemóvel necessitas de um número constituído por quatro algarismos. a) Se te esqueceres da combinação qual o número máximo de tentativas que tens de realizar? b) E se demorares 3 segundos a realizar cada uma das tentativas, qual será o tempo máximo gasto 5. Análise Combinatória 11

12 em horas minutos e segundos? Resolução a) Existem dez algarismos e temos de encontrar um conjunto de quatro deles sabendo que podem ser repetidos os algarismos. Ou seja, estamos perante arranjos completos de 10 elementos escolhidos 4 a 4. Donde, isto é, temos de no máximo realizar tentativas. b) Demorando 3 segundos a testar cada uma das tentativas, o tempo gasto será de = segundos, ou seja, 8 horas e 20 minutos. A não esquecer Para reconhecer que se trata de um arranjo completo é preciso identificar que pretendemos escolher p elementos e podemos fazer essa escolha de um conjunto com n elementos, sendo permitidas repetições. Tarefa 7 T Uma pessoa tem três possibilidades de ir para o trabalho: a pé, de metro ou de carro. De quantas maneiras diferentes é que ela pode viajar durante os cinco dias da semana? (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) Exercícios 4. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9? 5. Admitindo que a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino é igual à de nascer uma criança do sexo feminino. Quantas são as possíveis composições de uma família de 5 filhos? 6. Num teste existem 5 questões de escolha múltipla, cada uma delas com quatro possibilidades de resposta. De quantas formas diferentes pode um aluno responder a esta parte do teste, sabendo que responde a todas as questões? Análise Combinatória

13 Arranjos simples Vejamos outro problema com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha. Tarefa resolvida 8 Tr Continuemos a nossa tarefa de gerir a programação da Rádio Escola. Desta vez tens apenas as 5 músicas de bandas portuguesas, e só podes passar 3 dessas músicas durante o intervalo, sem repetires músicas. De quantas escolhas distintas podes realizar o intervalo musical? Resolução Um modo de realizar esta contagem é através de um diagrama. Designemos as músicas por M1, M2, M3, M4 e M5. Se a música M1 passar em primeiro lugar, a segunda música apenas pode ser escolhida entre M2, M3, M4 ou M5. Se a música M1 passar em primeiro lugar e a música M2 passar em segundo lugar, a terceira música apenas pode ser escolhida entre M3, M4 ou M5. M5 M4 M3 M2 M1 M5 M4 M3 M2 M5 M4 M3 Assim, temos 5 escolhas para a primeira música, para cada uma dessas escolhas temos 4 escolhas para a segunda música e para cada uma dessas escolhas temos 3 escolhas para a terceira música e assim o número total de arranjos possíveis de músicas é de = 60. Claro que podemos pensar sem elaborar o diagrama. Para primeira música há 5 resultados possíveis. A segunda música já só tem 4 resultados possíveis e para terceira música só temos 3 resultados possíveis. Assim, os resultados possíveis serão no total = 60. O que fizemos foi calcular o número de sequências de três músicas distintas de um conjunto de 5 músicas dadas, sem permitir repetições. Este tipo de contagem designa-se por arranjos simples e representa-se por que se lê arranjos simples de 5 elementos tomados três a três. Assim, obtemos a fórmula: 5. Análise Combinatória 13

14 Arranjos simples - Em geral dado um conjunto de n elementos o números de arranjos simples (sem repetição) de p desses elementos é igual ao produto dos p números naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n. Assim, podemos escrever a fórmula:. Tarefa resolvida 9 Tr Temos vários rolos de tecido cada um com uma das 7 cores do arco íris. Quantas bandeiras diferentes de 3 faixas horizontais podemos fazer? Resolução Para respeitarmos o enunciado não podem existir duas faixas consecutivas com a mesma cor. Assim, as bandeiras ou são constituídas por três faixas horizontais de cores todas diferentes, ou têm apenas duas cores sendo as faixas superior e a inferior da mesma cor. Rainbow por mcol, No primeiro caso das três faixas de cor diferente a ordem pela qual aparecem as cores conduz a bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de 3 cores se podem constituir a partir de 7 cores, em que a ordem interessa. Portanto são. No segundo caso de as faixas superior e inferior terem a mesma cor, claro que aqui a ordem da cor da faixa central e da cor faixas superior e inferior conduzem as ter bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de duas cores se podem constituir em que a ordem interessa. Portanto são. O total de bandeiras que podemos fazer é Análise Combinatória

15 A não esquecer Para reconhecer que se trata de um arranjo simples é preciso descobrir que pretendemos escolher um certo número de elementos, que podemos fazer essa escolha de um conjunto com um número dado de elementos e que não são permitidas repetições. Tarefa 10 T Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher três para os três cargos de delegado, sub-delegado e suplente. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer essa escolha? (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) Exercícios 7. Numa turma com 24 alunos vão ser eleitos dois alunos, um para delegado e o outro para subdelegado. Quantos são os resultados possíveis da eleição? 8. Numa prova de atletismo participam 6 atletas, que concorrem para as três medalhas (ouro, prata e bronze). De quantas formas pode ser feita a distribuição das medalhas? 9. Com os algarismos do conjunto constituído pelos números 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de 3 algarismos diferentes podemos escrever? 5. Análise Combinatória 15

16 História(s) H Razões Indianas para se Estudar Matemática Por que é que os estudiosos indianos desde há muito tempo se interessaram de alguma forma pela matemática? Podemos obter algumas respostas a esta pergunta olhando para o tipo de problemas incluídos nos seus trabalhos, embora muitos desses problemas não sejam, de modo nenhum, práticos. Por exemplo: Três comerciantes encontram uma bolsa com dinheiro caída na estrada. Um comerciante diz: Se eu ficar com a bolsa, terei duas vezes mais dinheiro que vocês os dois juntos. Dêm-me a bolsa e eu terei três vezes mais do que vocês, disse o segundo comerciante. O terceiro comerciante disse: Eu vou ficar muito mais rico do que qualquer um de vocês se ficar com a bolsa, vou ter cinco vezes mais do que vocês os dois juntos. Quanto dinheiro está na bolsa? Quanto dinheiro é que cada comerciante tem? Uma resposta mais geral a esta questão encontra-se na introdução ao livro Ganita Sara Samgraha (Compêndio sobre a Essência da Matemática) de MahãvIra (séc IX). Este Matemático indiano escreveu um tratado contendo toda a Matemática conhecida na sua época, incluindo também algumas inovações, nomeadamente na contagem de permutações e combinações. Nesse livro escreveu: Em todas estas transações que se relacionam com assuntos correntes, védicos ou... religiosos, o cálculo tem a sua utilidade. Na ciência do amor, na ciência da riqueza, na música, no drama, na arte da cozinha e, semelhantemente, na medicina e em coisas como o conhecimento da arquitetura; na prosódia, na poética, na poesia, na lógica, na gramática, e em outras coisas tais... a ciência da computação é altamente estimada. É utilizada... na relação com os movimentos do Sol e outros corpos celestes, em conexão com os eclipses e conjunção de planetas.... O número, o diâmetro e o perímetro das ilhas, oceanos e montanhas, as dimensões extensas de filas de habitações e casas pertencendo aos habitantes do mundo... tudo isto é feito por meio de cálculos. (adaptado de História da Matemática de Victor J. Katz) Análise Combinatória

17 Permutações Vejamos ainda outro problema com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha. Tr Tarefa resolvida 11 Voltemos à nossa programação da rádio: agora tens só as 3 músicas de bandas estrangeiras; de quantas formas as podes passar todas durante o intervalo sem as repetires? Resolução Como podemos escolher 3 músicas de um conjunto de 3 músicas sem as repetir estamos em presença de arranjos simples com 3 elementos tomados 3 a 3, pelo que o número de formas de passar as 3 músicas é dado por Este caso é um caso particular dos arranjos simples pois tratamos de determinar todos os arranjos sem repetição de todas as músicas disponíveis. A este tipo de cálculo, que envolve todos os elementos de um conjunto dado, chamamos permutação dos elementos do conjunto e representamos por.. que se lê permutações de 3 elementos. Assim, Rock n Roll Guitarist por Amarvudol, https://commons.wikimedia.org/wiki/file:rocknrollguitarist.svg Naturalmente que as permutações são sempre um caso particular dos arranjos simples em que estão envolvidos todos os n elementos de um conjunto. Assim, temos que A este último produto chama-se fatorial de n e escreve-se n! Podemos dizer que o fatorial de n conta o número de maneiras de ordenar todos os elementos de um conjunto com n elementos (sem repetições). Representa assim o número de permutações que é possível fazer com n elementos distintos. Tem-se então.. 5. Análise Combinatória 17

18 Permutações Dado um conjunto de n elementos chamam-se permutações dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n, o que se escreve como. Tarefa resolvida 12 Tr De um baralho de cartas retiram-se 3 reis, 2 damas e 4 valetes. De quantas maneiras podemos dispor em fila as 9 cartas sabendo que as do mesmo tipo ficam sempre juntas? Resolução Os 3 reis podem ser dispostos de 3! maneiras, podemos dispor as damas de 2! maneiras e dispor os valetes de 4! maneiras. Ou seja, para uma ordenação em que estejam primeiro os reis, seguidos das damas e dos valetes temos 3! 2! 4! maneiras. Mas o conjunto dos reis, das damas e dos valetes podem trocar de posição entre si de 3! maneiras (são permutações de 3 grupos), logo existem 3! 2! 4! 3! = 1728 maneiras de dispor as 9 cartas em fila nas condições enunciadas. A não esquecer Estamos em presença de uma permutação se pretendemos ordenar todos os elementos de um conjunto (sem repetições). Tarefa 13 T Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher uma Comissão de festas com três elementos. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer a escolha? Análise Combinatória

19 Exercícios 10. De quantos modos se podem dispor em fila 5 pessoas para tirar uma fotografia? 11. De quantos modos podes colocar 4 pulseiras distintas no teu braço direito? 12. Quantos números de três algarismos podemos escrever com os algarismos do número 425? Combinações Voltemos mais uma vez à nossa Rádio Escola. Tarefa resolvida 14 Tr Desta vez tens um pedido dos teus colegas para que passes num dado intervalo quaisquer três músicas das 5 que tens de bandas portuguesas sem que lhes importe a ordem como as vais emitir. De quantos modos o podes realizar? Resolução Esta tarefa é semelhante à da tarefa 8. A diferença está no fato de antes interessar a ordem e agora não contar a ordem por que são apresentadas as músicas. Na tarefa 8 as duas sequências seguintes M 1, M 2, M 3 M 1, M 3, M 2 eram consideradas diferentes mas agora já são iguais (ou indiferentes ). Ou seja, para cada conjunto de sequências de 3 músicas da tarefa 8, apenas nos interessa um caso neste novo contexto. Temos portanto de dividir cada sequência distinta da tarefa 8 pelo número de elementos de cada conjunto de músicas (que corresponde a permutações de 3 elementos). Assim, o valor é pretendido é:. Tens assim apenas 10 modos de passar 3 músicas. 5. Análise Combinatória 19

20 Neste caso procurámos determinar todos os arranjos desordenados de todas as músicas disponíveis. No essencial o que estivemos a fazer foi considerar sequências de 3 elementos escolhidos de um conjunto de 5 em que não nos interessa a ordem. Combinações Chamamos combinações a um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com n elementos em que a ordem não interessa. As combinações representam-se por ou ou ainda que se lê combinações de n elementos tomados p a p. Claro que encontrar um modo que nos facilite os cálculos é um aspeto a considerar; vejamos com o que acabamos de verificar o que conseguimos obter. Temos que Mas podemos obter uma fórmula mais simples se observarmos que Assim, uma fórmula simplificada para o cálculo das combinações é: Tarefa resolvida 15 Tr No Euromilhões de 2010 cada aposta consistia em escolher 6 números dos primeiros 50 números e duas estrelas de entre 9 numeradas de 1 a 9. Quantas são as apostas possíveis? Resolução Dos 50 números temos de escolher 6; como não interessa a ordem temos que as escolhas são Análise Combinatória

21 Para a escolha das estrelas, como também não interessa a ordem, as escolhas são. Assim, para cada escolha dos números temos escolhas para as estrelas, donde, pelo princípio básico da Análise Combinatória, o número total de apostas é de apostas. A não esquecer Para reconhecer que se trata de uma combinação é essencial concluir que a ordem não interessa.. Rollover por Garry Knight, Tarefa 16 T Numa turma com 20 alunos a Directora de Turma quer escolher uma Comissão de festas com três elementos. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer a escolha? Exercícios 13. De quantos modos se pode escolher uma comissão de 3 alunos de uma turma de 24 alunos? 14. Com os números 2, 3, 5, 7 e 11 quantos produtos diferentes de três fatores diferentes existem? 15. Considera sete pontos do plano, em que não há três pontos colineares. Quantas retas ficam definidas por esses pontos? 5. Análise Combinatória 21

22 Modelo Binomial No capítulo 4 quando estudámos a Distribuição Binomial vimos que se a variável aleatória X tem Distribuição Binomial de parâmetros n e p, então para onde representa o número de vezes em que temos sucessos e insucessos. Não podíamos na altura apresentar uma fórmula simples para mas agora já podemos fazê- -lo como aplicação do nosso estudo da Análise Combinatória. Este número representa o números de vezes em que podemos formar um grupo com elementos a partir de n elementos; como a ordem não interessa estamos em presença de combinações; será então Podemos então dizer que a Distribuição Binomial de parâmetros n e p da variável aleatória X se pode escrever como Tarefa resolvida 17 Tr Sabe-se que numa determinada escola 70% dos estudantes votaram a favor da Associação de Estudantes eleita, 5% votaram contra e 25% abstiveram-se. Qual a probabilidade de num grupo de 8 alunos, escolhidos ao acaso (a) 5 terem votado? (b) 2 terem-se abstido? (c) 5 terem votado a favor? Resolução Estamos em presença de distribuições binomais; em cada caso é preciso determinar uma probabilidade de sucesso e de insucesso do acontecimento pretendido. a) Como queremos ver quem votou e quem não votou, temos que p = 0,75 e 1 p = 0,25. A distribuição de probabilidades neste caso será pelo que b) c) (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) Análise Combinatória

23 Leitura(s) Como escolher a namorada pelos horários do comboio suburbano Le João amava Lúcia que amava João. Só que João além de amar Lúcia também amava Letícia e tentava namorar as duas ao mesmo tempo. Durante a semana, até que dava, mas quando chegava ao sábado à noite era terrível. As duas queriam João e este não possuía o dom da presença ao mesmo tempo em dois lugares. Assim, alternadamente ou Lúcia ou Letícia ficavam sem sair com o João, nos embalos de sábado à noite. HONESTO (?), João decidiu contar à Lúcia a existência de Letícia e à Letícia sobre Lúcia. Claro que houve choros e lamúrias de todos os lados. E João continuou dividido, sem saber como escolher entre as duas. É importante acrescentar aqui um detalhe: João morava próximo de uma estação ferroviária de um subúrbio. Para visitar Lúcia, João tomava comboios que iam no sentido da direita a cada meia hora, e para visitar Letícia, João tomava comboios que iam para a esquerda a cada meia hora também. Quanto a horários não havia dúvidas. Comboios para cada lado de meia em meia hora. Mas voltemos à dúvida existencial afetiva do nosso amigo João. Como escolher entre Lúcia e Letícia? A solução foi dada por Letícia que era professora de Matemática. Letícia propôs a João um critério justo, equilibrado, salomónico para escolher quem ir namorar. A proposta foi: João sairia de casa sem saber com quem se iria encontrar. Ao chegar à estação tomaria o primeiro comboio que passasse, fosse para a direita, fosse para a esquerda. Proposta aceite. João começou a usar esse critério aparentemente justo e aleatório. Depois de usar o critério durante cerca de três meses, descobriu que visitara a Letícia muito mais do que a Lúcia, e se a sorte quis assim ficou com Letícia e com ela se casou sem nunca haver entendido porque a sorte a privilegiara tanto. Só nas bodas de prata do seu casamento é que a Letícia contou ao João a razão do mistério, de o comboio a ter escolhido a ela preferencialmente à concorrente. Letícia estudara os horários dos comboios e verificara que os horários eram: Última chamada para o suburbano por Antero Pires, Letícia 8h00 8h30 Lúcia 8h05 8h35 5. Análise Combinatória 23

24 Letícia 9h00 9h30 COMBOIOS P/ ESQUERDA Lúcia 9h05 9h35 COMBOIOS P/ DIREITA Desta forma, em qualquer intervalo de 30 minutos, a probabilidade de João tomar o comboio que vai para a esquerda é de 25/30 e para a direita é de 5/30. No amor como na guerra tudo vale..., até usar Matemática. (adaptado de um texto de Manuel Henrique C. Botelho) Síntese O essencial passado em revista O seguinte princípio é de utilização frequente, embora por vezes não pareça: Princípio básico da Análise Combinatória Para pares ordenados: O número total de pares ordenados que consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, é dado por m x n. Formulação geral: Sejam, conjuntos de cardinalidades (número de elementos), respectivamente. A cardinalidade (número de elementos) m do produto cartesiano é dada pelo produto das cardinalidades dos conjuntos que o constituem, isto é Arranjos Completos Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos admitindo repetições, dizemos que estamos em presença de arranjos completos (com repetição). Representamos por, o número total de arranjos completos (com repetição) que podemos formar com p elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princípio Básico da Análise Combinatória temos a fórmula: Análise Combinatória

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