Escoamento incompressível de fluidos não viscosos

Transcrição

1 Quando queremos obter parâmetros do moimento (seja de sólidos ou fluidos) aplicamos o princípio de conseração de energia. Quando desprezamos o atrito: soma da energia cinética e da energia potencial graitacional é constante m mgh nergia cinética = nergia potencial graitacional = Onde: m é a massa, é a elocidade e h é a altura em relação a um referencial.

2 Quando estudamos a queda de uma bola, com elocidade inicial zero, de uma certa altura h, fazemos: cinética potencial 0 mgh Sabemos que: cinética potencial cte ntão, para os instantes inicial e final: h cinética _ inicial potencial_ inicial cinética _ final potencial_ final Portanto: mgh m gh h = 0 cinética potencial m 0

3 Um método similar pode ser aplicado quando estudamos um jato contínuo de liquido: Uma partícula de liquido de massa m 'iaja' com o jato e cai de uma altura z para z. elocidade também aria de V para V. O jato está atraessando o ar onde em todo o seu percurso a pressão é atmosférica então não há forças de pressão atuando no fluido. única força atuante é a graitacional. soma da energia cinética e potencial permanece constante (desde que desprezamos as perdas de energia por fricção), então: mgz mv mgz mv Massa constante gz V gz V sta expressão fornece resultados precisos na medida em que o peso do jato é grande comparado com as perdas por fricção. expressão é aplicáel enquanto há um comportamento de jato, antes dele se quebrar em gotículas de água.

4 Imaginemos agora um elemento de fluido escoando no interior de um duto. Um elemento de fluido tem energia potencial deido à altura z em relação a um referencial. também tem energia cinética deido à sua elocidade V. Se o elemento tem peso mg, então: nergia potencial: por unidade de peso: mgz z m qualquer seção reta a pressão gera uma força, o fluido escoa, moendo-se atraés da seção e então trabalho é realizado. Se a pressão na seção B é p e a área da seção é então nergia cinética: mv Trabalho realizado pm por unidade de peso: V g por unidade de peso: p g Força em B = p Quando a massa mg do elemento de fluido passar por B, a seção frontal do elemento estará em 'B' então: Volume que passa por B = Distância ' = m m Trabalho realizado = Força x distância ' = m p pm

5 Imaginemos agora um elemento de fluido escoando no interior de um duto. Um elemento de fluido tem energia potencial deido à altura z em relação a um referencial. também tem energia cinética deido à sua elocidade V. Se o elemento tem peso mg, então: Somando todos os termos teremos: nergia potencial: mgz nergia cinética: mv Trabalho realizado pm por unidade de peso: z por unidade de peso: V g por unidade de peso: p g ou pressão + cinética + potencial = total Pelo princípio da conseração de energia, a energia total em um sistema não aria, então a equação acima pode ser escrita: Ou, finalmente: p g g p g z H g p z H cte g g z p z g g quação de Bernoulli!

6 p g g z H cte p g g z p g g z equação de Bernoulli tem algumas restrições em sua aplicabilidade: scoamento permanente. Fluido incompressíel (densidade constante) Perdas de atrito desprezíeis. equação relaciona os estados entre dois pontos ao longo de uma mesma linha de corrente. Todas estas condições são impossíeis de satisfazer em qualquer instante de tempo. Por sorte, para muitas situações reais onde as condições são aproximadamente satisfeitas, a equação dá bons resultados.

7 xemplo: Um tubo em U atua como um sifão de água. curatura no tubo está a um metro da superfície da água; a saída do tubo está sete metros abaixo. água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato lire para a atmosfera. Determine a elocidade do jato lire e a pressão absoluta mínima da água na curatura. p gz p gz P = P = P atm Como a área do reseratório é muito maior que a área do sifão, V = 0. Se considerarmos o referencial em Z, então Z = 0 p 0 0 gz p gz gz 9,8 7, 7 m s p Para sabermos a pressão no ponto aplicamos Bernoulli de () a (): p,7 3 gz gz p gz Pa kpa 000 9,8 78,50 78, 5 (manométrica)

8 Carburador Mecânica dos Fluidos - Professor duardo Loureiro Bernoulli e Motores

9 xemplo: Consideremos um aso com água, com um orifício por onde a água escoa. Como aplicação da equação de Bernoulli amos calcular o módulo da elocidade com que a água escoa pelo orifício. Tomando os pontos e mostrados: p p gh g H z Considerando o olume de água como muito grande, pode-se ignorar a elocidade com que o níel de água do aso baixa se comparada à elocidade com que a água escoa pelo orifício, e como temos P = P = P atm gh g H z ou g H z ste resultado era esperado da cinemática e de estarmos tratando com fluidos ideais. Por outro lado, como o tempo de queda da água é dado pela expressão: g a distância x (Fig.9), dada por t H z H z H z x 4 x t, fica: ste resultado mostra que existem sempre duas alturas do orifício para o mesmo alcance (Fig.0).

10 O chute folha seca. Uma bola se desloca no ar com elocidade (do centro de graidade, em relação ao ar) de módulo e, além disso, gira ao redor do centro de graidade com uma elocidade linear (da superfície) de módulo R (Fig.(a)). Como a bola não é perfeitamente lisa, arrasta consigo uma certa quantidade de ar. Num referencial fixo no centro de graidade da bola (Fig.(b)), a linha de corrente que passa pelo ponto tem elocidade de módulo = + R e a linha de corrente que passa pelo ponto B, uma elocidade de módulo B = R. Para estes pontos, supostos a mesma altura, a equação de Bernoulli fornece: p pb B ou p B p B e como V > V B temos P B P > 0 ou P B > P. ssim, existe uma força resultante que empurra a bola de B para.