Geometria Espacial - Pirâmides

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1 ) (Fuvest) Geometria Espacial - Pirâmides ABE e CDE são, respectivamente, Calcule o volume da pirâmide. 0 e 7. No sólido S representado na figura a cima, a base ABCD é um retângulo de lados AB = x e AD = x; as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento x. Determinar, em função de x, o volume de S. ) (AFA) A área total da pirâmide regular de apótema A, onde A e p são, respectivamente, apótema e perímetro de sua base, é a) p(a + A) p (A + A) p(a + A) d) p(a + A ) ) (ITA) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo será: a) ( 9 )x cm ( 8 )x cm ( d) ( e) ( )x cm )x cm )x cm ) (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = e BC =. As áreas dos triângulos ) (Unicamp) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = cm e arestas laterais das faces A= cm. a) Calcule a altura da pirâmide. Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? ) (Fuvest) A base de uma pirâmide regular é um quadrado ABCD de lado e diagonais AC e BD. A distância de seu vértice E ao plano que contém a base é. a) Determine o volume do tetraedro ABDE. Determine a distância do ponto B ao plano que contém a face ADE. 7) (PUC-SP) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 7cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: a) d) 70. e) ) (UECE) A face ABC do tetraedro VABC é um triângulo equilátero de lado cm e a reta passando pelo vértice V e perpendicular a esta face intercepta-a em seu centro O. Se a aresta VA do tetraedro é cm então a medida, em cm, do segmento VO é: a) 8 0 d) 9) (Fuvest) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado e altura EF =.

2 ) (UERJ) A figura do R representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0,0,0), B (,,) e C (0,,), e o vértice V é eqüidistante dos demais. Sendo G o ponto médio da altura EF e ângulo AGB, então cos vale: a) d) e) a medida do 0) (Fuvest) A figura abaixo representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado l e que M é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VMC é 0, então o volume da pirâmide é: A partir da análise dos dados fornecidos, determine: a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base; as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 7. ) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo retoretângulo de dimensões D quatro de seus vértices. x x 7, sendo A, B, C e a) d) e) 8 l l l l l 8 A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a a) d) e) 7

3 ) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo retoretângulo de dimensões xx, em centímetros, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices. a) A medida de BP. A área do trapézio BCQP. O volume da pirâmide BPQCE. ) (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é: a) Calcule a área do triângulo ABC. Calcule a distância entre o vértice D e o plano que contém o triângulo ABC. ) (FMTM) A figura mostra um pedaço de papel recortado de forma a se poder construir uma pirâmide reta de base quadrada. As linhas internas indicam onde devem ser feitas as dobraduras. Os quatro triângulos são eqüiláteros, com medida do lado igual a 0 cm. A pirâmide construída terá volume, em cm, igual a a) d) e) 0.. a), d), e) 7) (IBMEC) A tenda de um circo é sustentada por um único pilar vertical, com suas pontas amarradas a quatro estacas fixadas no chão, dando ao circo a forma de uma pirâmide de base retangular. Para manter o pilar sempre perpendicular ao chão e a tenda esticada, quatro cabos de aço foram presos da ponta do pilar a cada uma das estacas, formando assim as arestas laterais da pirâmide. Na figura ao lado, estão representados o pilar (CD) e dois cabos de aço (AC e BC) presos a estacas não pertencentes ao mesmo lado do retângulo da base da pirâmide. ) (FUVEST) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que AB = CD = AD = BC = AE = BE = CE = DE = AP = DQ = a) Fascinado com um número em que um trapezista pula do alto do pilar e é apanhado bem perto do chão, um garoto se interessou em calcular a altura do pilar. Para isso, ele obteve as medidas AD =0 m, BD = 90m e constatou que os ângulos BÂC e ABC são complementares. Determine para o garoto a altura do pilar. Durante a apresentação conjunta do homem que cospe fogo com os malabaristas incendiários, o garoto ficou assustado com a quantidade de fumaça que estava sendo emitida, e resolveu calcular o volume interno do circo, para saber quanto ar havia lá dentro para a fumaça se diluir. Para isso, o garoto constatou que o menor lado da base retangular do circo mede 0m. Calcule para o garoto o volume da pirâmide que delimita o espaço interno do circo. 8) (UFC) ABCDABCD é um paralelepípedo retoretângulo de bases ABCD e ABCD, com arestas laterais AA, BB, CC e DD. Calcule a razão entre os volumes do tetraedro ABCD e do paralelepípedo ABCDABCD. Nessas condições, determine:

4 9) (UFSCar) As bases ABCD e ADGF das pirâmides ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma pirâmide regular de altura cm e apótema lateral cm, e que ADE é face lateral comum às duas pirâmides. a) cm cm cm d) 8 cm e) 0 cm Se a aresta AF é % maior que a aresta AD, então o volume da pirâmide ADGFE, em cm, é a) 7, ,. d) 9,8. e) 9. ) (Vunesp) Cada aresta de um tetraedro regular de vértices A, B, C e D mede dm. M é um ponto da aresta AB, e N é um ponto da aresta CD. 0) (FGV) As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando por V e V os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que V representa de V a) Calcule a área total da superfície do tetraedro. Sabe-se que o menor valor possível para a distância de M a N ocorre quando eles são pontos médios das arestas. Obtenha o valor dessa distância mínima. a) %. %. 0%. d) %. e) 7%. ) (UEL) As superfícies de um cubo e de um octaedro regular interpenetram-se, dando origem à figura F mostrada abaixo. Sobre cada face do cubo elevam-se pirâmides que têm a base quadrada e as faces em forma de triângulos eqüiláteros. Os vértices das bases das pirâmides estão localizados nos pontos médios das arestas do cubo e do octaedro. A aresta do cubo mede cm. Qual o volume do sólido limitado pela figura F? ) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede cm. Para este tetraedro, calcule: a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum; o raio da esfera inscrita no tetraedro. ) (FAZU) Calcule o volume de uma pirâmide reta de 0m de altura, cuja base é um triângulo de lados cm, cm e 8cm. a) 8 0 cm cm cm d) 0 cm e)0 cm

5 ) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base quadrada, é correto afirmar: 0. Cada diagonal de uma face divide-a em dois triângulos congruentes. 0. Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares de vértices não pertencentes a uma mesma face. 0. Dadas duas faces não adjacentes e quatro vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano que contém esses quatro vértices. 08. Dados dois vértices consecutivos, para cada n {,,,7} existe um caminho poligonal que liga esses vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida uma única vez.. Se a medida do lado da base e a altura do prisma são números inteiros consecutivos, e o volume é um número primo p, então p é único.. Existem exatamente pirâmides distintas cujas bases são faces do prisma e cujos vértices são também vértices do prisma. um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes. a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. Calcule o volume do mesmo octaedro. 9) (IBMEC) Considere um cubo VVVVVVV7V8 de arestas medindo cm. De cada vértice do cubo é retirado um tetraedro ViAiBiCi (i =,,, 8), sendo Ai, Bi e Ci pontos das arestas que concorrem em Vi tais que ViAi = ViBi = ViCi = x cm. A figura ilustra um dos tetraedros retirados. ) (UFC) Considere o octaedro ABCDEF, representado ao lado. Nele, um besouro se desloca ao longo das suas arestas, do ponto A ao ponto F, de modo que não passa por qualquer dos vértices mais de uma vez. De quantos modos diferentes ele pode fazer isso? 7) (IBMEC) Considere um cone circular reto de altura e raio da base 0. Suponha que o segmento AB seja uma corda da circunferência da base que diste do seu centro C. Então, sendo V o vértice do cone, o volume do tetraedro ABCV é igual a a) d) 800 e) 000 Sabendo que o volume do sólido resultante após a retirada dos oito tetraedros é igual a 7cm, pode-se concluir que a) x = x = x = d) x = e) x = 0) (UnB) Considere um tetraedro regular com vértices A, B, C e D e arestas de comprimento igual a 7 cm, no qual M, N, O e P são os pontos médios das arestas AB, BC, CD e DA, respectivamente. Calcule, em centímetros, o perímetro do quadrilátero com vértices M, N, O e P, desprezando a parte fracionária de seu trabalho, caso exista. 8) (Unicamp) Considere um cubo cuja aresta mede 0cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é ) (UFMG) Considere um tetraedro regular de vértices A, B, C e D, cujas arestas medem r. Considere, ainda, que M e N são pontos médios das arestas BD e CD, respectivamente.

6 CALCULE a área do triângulo AMN. 9 8 d) 7 ) (Faap) Considere um tetraedro regular e um plano que o intercepta. A única alternativa correta é: a) a intersecção pode ser um quadrilátero. a interseção é sempre um triângulo. a interseção é sempre um triângulo equilátero. d) a intersecção nunca é um triângulo equilátero. e) a intersecção nunca é um quadrilátero. ) (IBMEC) Considere uma pirâmide regular de vértice V e arestas laterais medindo cm, cuja base é um quadrado de diagonais AC e BD. Se a área lateral desta pirâmide totaliza cm, então um possível valor para a medida do ângulo VAB é a) º. 0º. 7º. d) 90 º e) 0º. ) (Fuvest) De cada uma das quatro pontas de um tetraedro regular de aresta a corta-se um tetraedro regular de aresta a. a) Qual o número de vértices, faces e arestas do poliedro resultante? Calcule a área total da superfície desse poliedro. ) (UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre canudos com 8 cm, 0 cm e cm de comprimento. A base de cada pirâmide será formada por canudos que têm a mesma medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores. Veja o modelo abaixo: e se interceptam ao ) (FUVEST) Dois planos longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, 0. Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo CÂD, satisfaça sen Nessas condições, determine, em função de l, a) o valor de α. a área do triângulo ABD. o volume do tetraedro ABCD.. 7) (FEI) Em cada face de um tetraedro regular desenhouse um trevo de folhas estilizado, conforme indicado na figura. Se a medida da aresta do tetraedro é t, a soma das áreas de todas as folhas de todos os trevos desenhados é: a) t / t / t / d) t /9 e) t / 8) (ITA) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A = (0, 0), B = (, ) e C =(-,+ ). O volume do tetraedro é A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir, é: a) 0 a) 8

7 d) e) 8 9) (Unicamp) Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito arestas são iguais a. a) Calcule a altura e o volume da pirâmide. Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também tangencia as arestas laterais. Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada face lateral da pirâmide. 0) (UFPE) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base a face oposta. Se V cm é o volume da pirâmide, determine V. e) a ) (Mack) Na figura, a pirâmide de vértice A tem por base uma das faces do cubo ao lado k. Se a área lateral dessa pirâmide é +, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é: a) 8 d) 8 e) ) (Fuvest) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD, respectivamente. Então, o valor de EF é: ) (Vunesp) Na figura, os planos e são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C e D, com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, em, o ponto sobre o qual cairia P se o plano girasse de 90 em torno de r, no sentido indicado na figura, até coincidir com. a a) a a a d) Se AB =, calcule o volume do tetraedro APDQ. ) (UFSCar) Na figura, os pontos ACFH são os vértices de um tetraedro inscrito em cubo de lado. O volume do tetraedro é 7

8 0. Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao segmento DD e uma aresta da pirâmide que está contida numa reta reversa à reta que contém DD. 08. A área do triângulo OC D é igual a 0 u.a.. O volume do sólido compreendido entre o prisma e a pirâmide é igual a 00 u.v. a) d) e) ) (VUNESP) Na periferia de uma determinada cidade brasileira, há uma montanha de lixo urbano acumulado, que tem a forma aproximada de uma pirâmide regular de m de altura, cuja base é um quadrado de lado 00 m. Considere os dados, apresentados em porcentagem na tabela, sobre a composição dos resíduos sólidos urbanos no Brasil e no México. Pais Orgânicos (%) Metais (%) Plásticos (%) Papelão/papel (%) Vidro Brasil (%) Outros México,,8,,0 7,, (%) (Cempre/ Tetra Park América/EPA 00) ) (UFBA) Na figura, os quadrados ABCD e A B C D, cujos lados medem 0 u.c., são as bases de um prisma reto de altura igual a u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com base A B C D. A partir dessas informações, pode-se afirmar: Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado, determine o volume aproximado de plásticos e vidros existente na pirâmide de lixo brasileira e quantos metros cúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam nessa mesma pirâmide caso ela estivesse em território mexicano. 7) (Fuvest) No cubo de aresta a seguir, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a: a) o comprimento do segmento XY. a área da base da pirâmide. o volume da pirâmide. 0. Qualquer plano que contenha uma face lateral da pirâmide faz um ângulo de 0º com o plano da base A B C D. 0. Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo de 0º com o plano da base A B C D. 8) (UFBA) No cubo representado, AB = u.c., AI = AE, e o volume do tetraedro EFHI é igual a x u.v. Calcule x. 8

9 9) (UEL) Num cubo, considere os seguintes pontos: - M, determinado pela intersecção das diagonais AC e BD de uma das faces; - E, F, G e H, vértices consecutivos da face oposta à de M. Sobre o sólido cujas faces são EMF, FMG, GMH, HME e EFGH, é correto afirmar que: a) se trata de um poliedro com arestas. se trata de um prisma de base triangular. seu volume é a terça parte do volume do cubo. d) seu volume é metade do volume do cubo. e) se trata de um tetraedro. 0) (UFC) Num tetraedro ABCD vale a igualdade DA = DB = DC = a e o triângulo ABC é eqüilátero com AB = b. O comprimento da altura do tetraedro baixada do vértice A é igual a: a) d) e) a b b b. a. ab a a a a a b b b b a b a) arccos - arccos arccos - d) arcsen e) arcsen ) (AFA) O apótema de uma pirâmide regular, com base hexagonal, é 9 cm. Se a sua área lateral é o triplo da área de sua base, então, o seu volume, em cm, é a) d). ) (FUVEST) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = ME. ) (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede cm e uma aresta lateral mede a) 7 cm. O volume dessa pirâmide, em cm, é: 8 9 d) 0 ) (FGV) O ângulo indicado na figura B, é igual a Calcule: a) O volume do tetraedro BCGM. 9

10 A área do triângulo BCM. A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM. ) (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) vértices e arestas. vértices e arestas. vértices e arestas. d) vértices e arestas. e) vértices e arestas. ) (Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Nessa figura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado inscrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide, nesta ordem, é: a) / / d) e) / 9) (UERJ) Observe as figuras a seguir: Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá m e que a altura da pirâmide será de m, o volume de concreto (em m) necessário para a construção da pirâmide será a) d). e). (I) 7) (Unicamp) O sólido da figura ao lado é um cubo cuja aresta mede cm. a) Calcule o volume da pirâmide ABCD. Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D. 8) (UFMG) Observe a figura. (II) A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule: a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF; o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D, mostrado na figura I, em função de h. 0

11 0) (UFMG) Observe esta figura: ) (FUVEST) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que - apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; - os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo. Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, cm, e a pirâmide MABC, que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm a) d) 8 ) (UNIFESP) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura. ) (PASUSP) Os papiros mostram que os egípcios antigos possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída por volta de 0 a.c., tem uma altura aproximada de 0 metros e sua base é um quadrado com lados medindo aproximadamente 0 metros. Logo, o volume da pirâmide de Quéops é de aproximadamente (em milhões de metros cúbicos): a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo. Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. a),, d) 7, e) ) (Mack) Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma, um sólido de volume:

12 7) (FEI) Seja ABCD um tetraedro regular e X, Y e Z os pontos médios das arestas AB, AC e AD respectivamente. Considere as afirmações: I. O triângulo XCD é isósceles II. O triângulo XBD é retângulo III. O triângulo XYA é equilátero a) d) e) 8 0 ) (FEI) São dados dois planos paralelos distantes de cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 0cm e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é: a) 0cm 0cm 0cm d) 0cm e) 0cm ) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são: a) tetraedro, octaedro e hexaedro. paralelepípedo, tetraedro e octaedro. octaedro, prisma e hexaedro. d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. Assinale a alternativa correta: a) Somente a I e II são verdadeiras. Somente a I e III são verdadeiras. Somente II e III são verdadeiras. d) Todas são verdadeiras. e) Somente I é verdadeira. 8) (Unicamp) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm, 8cm e 9,cm. Sendo d(p, A) = 0cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC. 9) (AFA) Seja uma pirâmide de base quadrada com arestas de mesma medida. O arc cos do ângulo entre as faces laterais que se interceptam numa aresta é a) - - d) 70) (UFC) Sejam P e P dois pontos quaisquer interiores a um tetraedro regular. Sejam d, a soma das distâncias de P às faces do tetraedro regular, e d, a soma das distâncias de P às faces do tetraedro regular. Mostre que d = d. 7) (NOVO ENEM) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de lados. Uma pirâmide de base quadrada tem faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide,

13 divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem lados. Uma pirâmide de base quadrada tem faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem faces, o polígono tem lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem arestas laterais, o polígono tem lados. 7) (PUC-SP) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são ) Sua base é um quadrado com 00 m de lado. ) Sua altura é de 00 m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 000 m, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 0 dias, foi de a) 0 anos. 0 anos. 0 anos. d) 90 anos. e) 0 anos. 7) (Mack) Um objeto, que tem a forma de um tetraedro regular reto de aresta 0cm, será recoberto com placas de ouro nas faces laterais e com placa de prata na base. Se o preço do ouro é R$ 0,00 por cm e o da prata, R$,00 por cm, das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento. a) d) 8000 e) 000 7) (UNIFESP) Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular eqüilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x a/, a aresta lateral das pirâmides cortadas. a) Dê o número de faces do poliedro construído. Obtenha o valor de x, 0 < x a/, para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa à base eqüilateral, é x 7) (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: a) H/ H/ H d) H e) H 7) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem m. Supondo que possa haver 0 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a) d) 0 e) 0 77) (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo cm. Então a medida de suas alturas é igual a: a) cm cm cm d) cm e) cm. 78) (Unicamp) Um tetraedro regular, cujas as arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face

14 BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T. a) Calcule a altura do tetraedro ABCD. Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular. Se o plano que contém os pontos R, S e T dista centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST. 79) (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 0 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de cm e apótema de base medindo cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 0% % % d) % e) 0% 80) (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de m, então, o volume do cubo, em m, é igual a: a) 9 d) 8 e) 8) (PUCCamp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é: a) 8 d) 7 e) 8) (FUVEST) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo eqüilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a a) d) e)

15 ) V(x) = x ) Alternativa: A ) Alternativa: B ) ) a) cm cm ) a) A = d =,8 7) Alternativa: B. Gabarito VH perpendicular ao plano do quadrado e VH = H = (A+C)/ = (0,, ). VH // AD x AB = (,, -) VH = (-, -, ) ou VH = (,, -) V (, 7, -) ou V (-, -, 7) ) Alternativa: B ) a) 7 cm 0 7 cm 7 ) Alternativa: B 8) Alternativa: D 9) Alternativa: B 0) d) Como o triângulo VAB é eqüilátero de lado l, VM é l altura e vale. Então a altura h da pirâmide pode ser obtida pelo sen0 o : sen0 o = VM h= l l l = = l l h h = VM.sen0 o. Então o volume da pirâmide é ) a) 9 0 ) Alternativa: B Note que a nova altura é metade da altura original e a nova base é / da base original. Assim, o novo volume é.. =,. 7) a) 0m (use h = m.n) 0.000m (lembre-se que AB = 0m é uma diagonal da base da pirâmide, e não um lado) 8) ) a) D = (,, ) V = (, 7, ) ou V = (,, 7) Padrão de resposta oficial: a) Coordenadas de D: AD = BC D = (-,, ) Medida de cada lado AB = V = 7 => h = VH =

16 V ( A BCD) V ( ABCDA B C D ) 9) Alternativa: C 0) Alternativa: E ) Alternativa: A ) a) A área é dm. = xyz / xyz O valor da distância mínima é ) a) r = cm cm ) Alternativa: B ) Resposta: 7 dm. ) Resp: 8 Resolução: Do ponto A o besouro pode alcançar os pontos B, C, D e E, na primeira etapa. Vejamos quantos caminhos, saindo de A e passando por B, chegam até F: Percebe-se que há 7 caminhos diferentes. Analogamente, há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por C, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por D, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por E, até F. Logo, há 7. = 8 caminhos diferentes de A para F, nas condições do problema. 7) Alternativa: A 8) a) cm 00 cm 9) Alternativa: B r ) A = (o triângulo AMN é isósceles, com AN = AM = altura das faces equiláteras e MN base média) ) Alternativa: A ) Alternativa: C ) a) F = 8, V =, A = 8 AT = 7a ) Alternativa: A ) a) 8 7) Alternativa: B 8) Alternativa: A 9) a) h = e V = Basta mostrar que a distância do centro da base é a mesma para as 8 arestas. De início, a distância do centro às arestas da base é R = centro da base à qualquer vértice é. Além disso, a distância do pois essa distância ou é h ou é metade da diagonal do quadrado da base. Assim, as distâncias do centro à qualquer aresta lateral é a altura do triângulo isósceles de lados, e, que além de tudo é retângulo. Essa altura vale também. R = 0) Resposta: 8cm ) Alternativa: B ) Alternativa: C 0) Perímetro = cm ) V = ) Alternativa: C

17 ) Resposta: ) Resposta: 000m e 00m 7) a) XY = a área da base = Volume = a 8) x = u.v. 9) Alternativa: C 0) Alternativa: D a, BM,7m B'M BB ' h,m h +, =,7 h = 0,8 m ) Alternativa: B ) Alternativa: A ) Alternativa: D ) a) a volume = V = V(prisma) + V(pirâmide) h V AB h h V h V 8h a 8 0) Alternativa: B a ) Alternativa: E ) Alternativa: D 7) a) V = cm cm 8) Alternativa: D 9) a) ) Alternativa: B ) 9 cm ) a) h =. razão = ) Alternativa: D ) Alternativa: E ) Alternativa: E 7) Alternativa: D portanto, equivale a da diagonal, que é 8) a) R = cm h = cm (note que o pé da altura pedida coincide com o circuncentro O do triângulo) 9) Alternativa: B 7

18 70) Solução: Seja ABCD um tetraedro regular. Seja P um ponto qualquer interior a esse tetraedro. Considere as pirâmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos volumes dessas quatro pirâmides é igual ao volume do tetraedro. Sejam h, h, h e h, respectivamente, as alturas dessas pirâmides e h, a altura do tetraedro. Temos: S ABC h S h S h S h S ABD BCD ACD ABC h Como o tetraedro é regular, os triângulos ABC, ABD, BCD e ACD são todos congruentes. Logo h + h + h + h = h. Como h, h, h e h são as distâncias de P às quatro faces do tetraedro, provamos que independente da posição de P essa soma é constante e igual à altura do tetraedro. Assim, sendo P e P pontos quaisquer no interior do tetraedro, d = d = h 7) Alternativa: C 7) Alternativa: B 7) Alternativa: C 7) a) a 7) Alternativa: E 7) Alternativa: A 77) Alternativa: D 78) a) cm se o plano RST é paralelo ao plano BCD, então RS//BC, ST//CD e RT//BD e então os triângulos ARS, AST, ART e RTS são eqüiláteros e congruentes, portanto ARST também é tetraedro regular. 8) Alternativa: C 8) Alternativa: D. 9 - cm 79) Alternativa: E 80) Alternativa: D 8