Geometria Espacial - Pirâmides

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Geometria Espacial - Pirâmides"

Transcrição

1 ) (Fuvest) Geometria Espacial - Pirâmides ABE e CDE são, respectivamente, Calcule o volume da pirâmide. 0 e 7. No sólido S representado na figura a cima, a base ABCD é um retângulo de lados AB = x e AD = x; as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento x. Determinar, em função de x, o volume de S. ) (AFA) A área total da pirâmide regular de apótema A, onde A e p são, respectivamente, apótema e perímetro de sua base, é a) p(a + A) p (A + A) p(a + A) d) p(a + A ) ) (ITA) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo será: a) ( 9 )x cm ( 8 )x cm ( d) ( e) ( )x cm )x cm )x cm ) (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = e BC =. As áreas dos triângulos ) (Unicamp) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = cm e arestas laterais das faces A= cm. a) Calcule a altura da pirâmide. Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? ) (Fuvest) A base de uma pirâmide regular é um quadrado ABCD de lado e diagonais AC e BD. A distância de seu vértice E ao plano que contém a base é. a) Determine o volume do tetraedro ABDE. Determine a distância do ponto B ao plano que contém a face ADE. 7) (PUC-SP) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 7cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: a) d) 70. e) ) (UECE) A face ABC do tetraedro VABC é um triângulo equilátero de lado cm e a reta passando pelo vértice V e perpendicular a esta face intercepta-a em seu centro O. Se a aresta VA do tetraedro é cm então a medida, em cm, do segmento VO é: a) 8 0 d) 9) (Fuvest) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado e altura EF =.

2 ) (UERJ) A figura do R representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0,0,0), B (,,) e C (0,,), e o vértice V é eqüidistante dos demais. Sendo G o ponto médio da altura EF e ângulo AGB, então cos vale: a) d) e) a medida do 0) (Fuvest) A figura abaixo representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado l e que M é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VMC é 0, então o volume da pirâmide é: A partir da análise dos dados fornecidos, determine: a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base; as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 7. ) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo retoretângulo de dimensões D quatro de seus vértices. x x 7, sendo A, B, C e a) d) e) 8 l l l l l 8 A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a a) d) e) 7

3 ) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo retoretângulo de dimensões xx, em centímetros, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices. a) A medida de BP. A área do trapézio BCQP. O volume da pirâmide BPQCE. ) (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é: a) Calcule a área do triângulo ABC. Calcule a distância entre o vértice D e o plano que contém o triângulo ABC. ) (FMTM) A figura mostra um pedaço de papel recortado de forma a se poder construir uma pirâmide reta de base quadrada. As linhas internas indicam onde devem ser feitas as dobraduras. Os quatro triângulos são eqüiláteros, com medida do lado igual a 0 cm. A pirâmide construída terá volume, em cm, igual a a) d) e) 0.. a), d), e) 7) (IBMEC) A tenda de um circo é sustentada por um único pilar vertical, com suas pontas amarradas a quatro estacas fixadas no chão, dando ao circo a forma de uma pirâmide de base retangular. Para manter o pilar sempre perpendicular ao chão e a tenda esticada, quatro cabos de aço foram presos da ponta do pilar a cada uma das estacas, formando assim as arestas laterais da pirâmide. Na figura ao lado, estão representados o pilar (CD) e dois cabos de aço (AC e BC) presos a estacas não pertencentes ao mesmo lado do retângulo da base da pirâmide. ) (FUVEST) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que AB = CD = AD = BC = AE = BE = CE = DE = AP = DQ = a) Fascinado com um número em que um trapezista pula do alto do pilar e é apanhado bem perto do chão, um garoto se interessou em calcular a altura do pilar. Para isso, ele obteve as medidas AD =0 m, BD = 90m e constatou que os ângulos BÂC e ABC são complementares. Determine para o garoto a altura do pilar. Durante a apresentação conjunta do homem que cospe fogo com os malabaristas incendiários, o garoto ficou assustado com a quantidade de fumaça que estava sendo emitida, e resolveu calcular o volume interno do circo, para saber quanto ar havia lá dentro para a fumaça se diluir. Para isso, o garoto constatou que o menor lado da base retangular do circo mede 0m. Calcule para o garoto o volume da pirâmide que delimita o espaço interno do circo. 8) (UFC) ABCDABCD é um paralelepípedo retoretângulo de bases ABCD e ABCD, com arestas laterais AA, BB, CC e DD. Calcule a razão entre os volumes do tetraedro ABCD e do paralelepípedo ABCDABCD. Nessas condições, determine:

4 9) (UFSCar) As bases ABCD e ADGF das pirâmides ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma pirâmide regular de altura cm e apótema lateral cm, e que ADE é face lateral comum às duas pirâmides. a) cm cm cm d) 8 cm e) 0 cm Se a aresta AF é % maior que a aresta AD, então o volume da pirâmide ADGFE, em cm, é a) 7, ,. d) 9,8. e) 9. ) (Vunesp) Cada aresta de um tetraedro regular de vértices A, B, C e D mede dm. M é um ponto da aresta AB, e N é um ponto da aresta CD. 0) (FGV) As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando por V e V os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que V representa de V a) Calcule a área total da superfície do tetraedro. Sabe-se que o menor valor possível para a distância de M a N ocorre quando eles são pontos médios das arestas. Obtenha o valor dessa distância mínima. a) %. %. 0%. d) %. e) 7%. ) (UEL) As superfícies de um cubo e de um octaedro regular interpenetram-se, dando origem à figura F mostrada abaixo. Sobre cada face do cubo elevam-se pirâmides que têm a base quadrada e as faces em forma de triângulos eqüiláteros. Os vértices das bases das pirâmides estão localizados nos pontos médios das arestas do cubo e do octaedro. A aresta do cubo mede cm. Qual o volume do sólido limitado pela figura F? ) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede cm. Para este tetraedro, calcule: a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum; o raio da esfera inscrita no tetraedro. ) (FAZU) Calcule o volume de uma pirâmide reta de 0m de altura, cuja base é um triângulo de lados cm, cm e 8cm. a) 8 0 cm cm cm d) 0 cm e)0 cm

5 ) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base quadrada, é correto afirmar: 0. Cada diagonal de uma face divide-a em dois triângulos congruentes. 0. Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares de vértices não pertencentes a uma mesma face. 0. Dadas duas faces não adjacentes e quatro vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano que contém esses quatro vértices. 08. Dados dois vértices consecutivos, para cada n {,,,7} existe um caminho poligonal que liga esses vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida uma única vez.. Se a medida do lado da base e a altura do prisma são números inteiros consecutivos, e o volume é um número primo p, então p é único.. Existem exatamente pirâmides distintas cujas bases são faces do prisma e cujos vértices são também vértices do prisma. um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes. a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. Calcule o volume do mesmo octaedro. 9) (IBMEC) Considere um cubo VVVVVVV7V8 de arestas medindo cm. De cada vértice do cubo é retirado um tetraedro ViAiBiCi (i =,,, 8), sendo Ai, Bi e Ci pontos das arestas que concorrem em Vi tais que ViAi = ViBi = ViCi = x cm. A figura ilustra um dos tetraedros retirados. ) (UFC) Considere o octaedro ABCDEF, representado ao lado. Nele, um besouro se desloca ao longo das suas arestas, do ponto A ao ponto F, de modo que não passa por qualquer dos vértices mais de uma vez. De quantos modos diferentes ele pode fazer isso? 7) (IBMEC) Considere um cone circular reto de altura e raio da base 0. Suponha que o segmento AB seja uma corda da circunferência da base que diste do seu centro C. Então, sendo V o vértice do cone, o volume do tetraedro ABCV é igual a a) d) 800 e) 000 Sabendo que o volume do sólido resultante após a retirada dos oito tetraedros é igual a 7cm, pode-se concluir que a) x = x = x = d) x = e) x = 0) (UnB) Considere um tetraedro regular com vértices A, B, C e D e arestas de comprimento igual a 7 cm, no qual M, N, O e P são os pontos médios das arestas AB, BC, CD e DA, respectivamente. Calcule, em centímetros, o perímetro do quadrilátero com vértices M, N, O e P, desprezando a parte fracionária de seu trabalho, caso exista. 8) (Unicamp) Considere um cubo cuja aresta mede 0cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é ) (UFMG) Considere um tetraedro regular de vértices A, B, C e D, cujas arestas medem r. Considere, ainda, que M e N são pontos médios das arestas BD e CD, respectivamente.

6 CALCULE a área do triângulo AMN. 9 8 d) 7 ) (Faap) Considere um tetraedro regular e um plano que o intercepta. A única alternativa correta é: a) a intersecção pode ser um quadrilátero. a interseção é sempre um triângulo. a interseção é sempre um triângulo equilátero. d) a intersecção nunca é um triângulo equilátero. e) a intersecção nunca é um quadrilátero. ) (IBMEC) Considere uma pirâmide regular de vértice V e arestas laterais medindo cm, cuja base é um quadrado de diagonais AC e BD. Se a área lateral desta pirâmide totaliza cm, então um possível valor para a medida do ângulo VAB é a) º. 0º. 7º. d) 90 º e) 0º. ) (Fuvest) De cada uma das quatro pontas de um tetraedro regular de aresta a corta-se um tetraedro regular de aresta a. a) Qual o número de vértices, faces e arestas do poliedro resultante? Calcule a área total da superfície desse poliedro. ) (UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre canudos com 8 cm, 0 cm e cm de comprimento. A base de cada pirâmide será formada por canudos que têm a mesma medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores. Veja o modelo abaixo: e se interceptam ao ) (FUVEST) Dois planos longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, 0. Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo CÂD, satisfaça sen Nessas condições, determine, em função de l, a) o valor de α. a área do triângulo ABD. o volume do tetraedro ABCD.. 7) (FEI) Em cada face de um tetraedro regular desenhouse um trevo de folhas estilizado, conforme indicado na figura. Se a medida da aresta do tetraedro é t, a soma das áreas de todas as folhas de todos os trevos desenhados é: a) t / t / t / d) t /9 e) t / 8) (ITA) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A = (0, 0), B = (, ) e C =(-,+ ). O volume do tetraedro é A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir, é: a) 0 a) 8

7 d) e) 8 9) (Unicamp) Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito arestas são iguais a. a) Calcule a altura e o volume da pirâmide. Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também tangencia as arestas laterais. Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada face lateral da pirâmide. 0) (UFPE) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base a face oposta. Se V cm é o volume da pirâmide, determine V. e) a ) (Mack) Na figura, a pirâmide de vértice A tem por base uma das faces do cubo ao lado k. Se a área lateral dessa pirâmide é +, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é: a) 8 d) 8 e) ) (Fuvest) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD, respectivamente. Então, o valor de EF é: ) (Vunesp) Na figura, os planos e são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C e D, com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, em, o ponto sobre o qual cairia P se o plano girasse de 90 em torno de r, no sentido indicado na figura, até coincidir com. a a) a a a d) Se AB =, calcule o volume do tetraedro APDQ. ) (UFSCar) Na figura, os pontos ACFH são os vértices de um tetraedro inscrito em cubo de lado. O volume do tetraedro é 7

8 0. Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao segmento DD e uma aresta da pirâmide que está contida numa reta reversa à reta que contém DD. 08. A área do triângulo OC D é igual a 0 u.a.. O volume do sólido compreendido entre o prisma e a pirâmide é igual a 00 u.v. a) d) e) ) (VUNESP) Na periferia de uma determinada cidade brasileira, há uma montanha de lixo urbano acumulado, que tem a forma aproximada de uma pirâmide regular de m de altura, cuja base é um quadrado de lado 00 m. Considere os dados, apresentados em porcentagem na tabela, sobre a composição dos resíduos sólidos urbanos no Brasil e no México. Pais Orgânicos (%) Metais (%) Plásticos (%) Papelão/papel (%) Vidro Brasil (%) Outros México,,8,,0 7,, (%) (Cempre/ Tetra Park América/EPA 00) ) (UFBA) Na figura, os quadrados ABCD e A B C D, cujos lados medem 0 u.c., são as bases de um prisma reto de altura igual a u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com base A B C D. A partir dessas informações, pode-se afirmar: Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado, determine o volume aproximado de plásticos e vidros existente na pirâmide de lixo brasileira e quantos metros cúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam nessa mesma pirâmide caso ela estivesse em território mexicano. 7) (Fuvest) No cubo de aresta a seguir, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a: a) o comprimento do segmento XY. a área da base da pirâmide. o volume da pirâmide. 0. Qualquer plano que contenha uma face lateral da pirâmide faz um ângulo de 0º com o plano da base A B C D. 0. Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo de 0º com o plano da base A B C D. 8) (UFBA) No cubo representado, AB = u.c., AI = AE, e o volume do tetraedro EFHI é igual a x u.v. Calcule x. 8

9 9) (UEL) Num cubo, considere os seguintes pontos: - M, determinado pela intersecção das diagonais AC e BD de uma das faces; - E, F, G e H, vértices consecutivos da face oposta à de M. Sobre o sólido cujas faces são EMF, FMG, GMH, HME e EFGH, é correto afirmar que: a) se trata de um poliedro com arestas. se trata de um prisma de base triangular. seu volume é a terça parte do volume do cubo. d) seu volume é metade do volume do cubo. e) se trata de um tetraedro. 0) (UFC) Num tetraedro ABCD vale a igualdade DA = DB = DC = a e o triângulo ABC é eqüilátero com AB = b. O comprimento da altura do tetraedro baixada do vértice A é igual a: a) d) e) a b b b. a. ab a a a a a b b b b a b a) arccos - arccos arccos - d) arcsen e) arcsen ) (AFA) O apótema de uma pirâmide regular, com base hexagonal, é 9 cm. Se a sua área lateral é o triplo da área de sua base, então, o seu volume, em cm, é a) d). ) (FUVEST) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = ME. ) (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede cm e uma aresta lateral mede a) 7 cm. O volume dessa pirâmide, em cm, é: 8 9 d) 0 ) (FGV) O ângulo indicado na figura B, é igual a Calcule: a) O volume do tetraedro BCGM. 9

10 A área do triângulo BCM. A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM. ) (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) vértices e arestas. vértices e arestas. vértices e arestas. d) vértices e arestas. e) vértices e arestas. ) (Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Nessa figura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado inscrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide, nesta ordem, é: a) / / d) e) / 9) (UERJ) Observe as figuras a seguir: Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá m e que a altura da pirâmide será de m, o volume de concreto (em m) necessário para a construção da pirâmide será a) d). e). (I) 7) (Unicamp) O sólido da figura ao lado é um cubo cuja aresta mede cm. a) Calcule o volume da pirâmide ABCD. Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D. 8) (UFMG) Observe a figura. (II) A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule: a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF; o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D, mostrado na figura I, em função de h. 0

11 0) (UFMG) Observe esta figura: ) (FUVEST) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que - apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; - os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo. Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, cm, e a pirâmide MABC, que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm a) d) 8 ) (UNIFESP) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura. ) (PASUSP) Os papiros mostram que os egípcios antigos possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída por volta de 0 a.c., tem uma altura aproximada de 0 metros e sua base é um quadrado com lados medindo aproximadamente 0 metros. Logo, o volume da pirâmide de Quéops é de aproximadamente (em milhões de metros cúbicos): a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo. Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. a),, d) 7, e) ) (Mack) Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma, um sólido de volume:

12 7) (FEI) Seja ABCD um tetraedro regular e X, Y e Z os pontos médios das arestas AB, AC e AD respectivamente. Considere as afirmações: I. O triângulo XCD é isósceles II. O triângulo XBD é retângulo III. O triângulo XYA é equilátero a) d) e) 8 0 ) (FEI) São dados dois planos paralelos distantes de cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 0cm e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é: a) 0cm 0cm 0cm d) 0cm e) 0cm ) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são: a) tetraedro, octaedro e hexaedro. paralelepípedo, tetraedro e octaedro. octaedro, prisma e hexaedro. d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. Assinale a alternativa correta: a) Somente a I e II são verdadeiras. Somente a I e III são verdadeiras. Somente II e III são verdadeiras. d) Todas são verdadeiras. e) Somente I é verdadeira. 8) (Unicamp) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm, 8cm e 9,cm. Sendo d(p, A) = 0cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC. 9) (AFA) Seja uma pirâmide de base quadrada com arestas de mesma medida. O arc cos do ângulo entre as faces laterais que se interceptam numa aresta é a) - - d) 70) (UFC) Sejam P e P dois pontos quaisquer interiores a um tetraedro regular. Sejam d, a soma das distâncias de P às faces do tetraedro regular, e d, a soma das distâncias de P às faces do tetraedro regular. Mostre que d = d. 7) (NOVO ENEM) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de lados. Uma pirâmide de base quadrada tem faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide,

13 divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem lados. Uma pirâmide de base quadrada tem faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem faces, o polígono tem lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem arestas laterais, o polígono tem lados. 7) (PUC-SP) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são ) Sua base é um quadrado com 00 m de lado. ) Sua altura é de 00 m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 000 m, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 0 dias, foi de a) 0 anos. 0 anos. 0 anos. d) 90 anos. e) 0 anos. 7) (Mack) Um objeto, que tem a forma de um tetraedro regular reto de aresta 0cm, será recoberto com placas de ouro nas faces laterais e com placa de prata na base. Se o preço do ouro é R$ 0,00 por cm e o da prata, R$,00 por cm, das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento. a) d) 8000 e) 000 7) (UNIFESP) Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular eqüilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x a/, a aresta lateral das pirâmides cortadas. a) Dê o número de faces do poliedro construído. Obtenha o valor de x, 0 < x a/, para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa à base eqüilateral, é x 7) (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: a) H/ H/ H d) H e) H 7) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem m. Supondo que possa haver 0 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a) d) 0 e) 0 77) (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo cm. Então a medida de suas alturas é igual a: a) cm cm cm d) cm e) cm. 78) (Unicamp) Um tetraedro regular, cujas as arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face

14 BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T. a) Calcule a altura do tetraedro ABCD. Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular. Se o plano que contém os pontos R, S e T dista centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST. 79) (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 0 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de cm e apótema de base medindo cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 0% % % d) % e) 0% 80) (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de m, então, o volume do cubo, em m, é igual a: a) 9 d) 8 e) 8) (PUCCamp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é: a) 8 d) 7 e) 8) (FUVEST) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo eqüilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a a) d) e)

15 ) V(x) = x ) Alternativa: A ) Alternativa: B ) ) a) cm cm ) a) A = d =,8 7) Alternativa: B. Gabarito VH perpendicular ao plano do quadrado e VH = H = (A+C)/ = (0,, ). VH // AD x AB = (,, -) VH = (-, -, ) ou VH = (,, -) V (, 7, -) ou V (-, -, 7) ) Alternativa: B ) a) 7 cm 0 7 cm 7 ) Alternativa: B 8) Alternativa: D 9) Alternativa: B 0) d) Como o triângulo VAB é eqüilátero de lado l, VM é l altura e vale. Então a altura h da pirâmide pode ser obtida pelo sen0 o : sen0 o = VM h= l l l = = l l h h = VM.sen0 o. Então o volume da pirâmide é ) a) 9 0 ) Alternativa: B Note que a nova altura é metade da altura original e a nova base é / da base original. Assim, o novo volume é.. =,. 7) a) 0m (use h = m.n) 0.000m (lembre-se que AB = 0m é uma diagonal da base da pirâmide, e não um lado) 8) ) a) D = (,, ) V = (, 7, ) ou V = (,, 7) Padrão de resposta oficial: a) Coordenadas de D: AD = BC D = (-,, ) Medida de cada lado AB = V = 7 => h = VH =

16 V ( A BCD) V ( ABCDA B C D ) 9) Alternativa: C 0) Alternativa: E ) Alternativa: A ) a) A área é dm. = xyz / xyz O valor da distância mínima é ) a) r = cm cm ) Alternativa: B ) Resposta: 7 dm. ) Resp: 8 Resolução: Do ponto A o besouro pode alcançar os pontos B, C, D e E, na primeira etapa. Vejamos quantos caminhos, saindo de A e passando por B, chegam até F: Percebe-se que há 7 caminhos diferentes. Analogamente, há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por C, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por D, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por E, até F. Logo, há 7. = 8 caminhos diferentes de A para F, nas condições do problema. 7) Alternativa: A 8) a) cm 00 cm 9) Alternativa: B r ) A = (o triângulo AMN é isósceles, com AN = AM = altura das faces equiláteras e MN base média) ) Alternativa: A ) Alternativa: C ) a) F = 8, V =, A = 8 AT = 7a ) Alternativa: A ) a) 8 7) Alternativa: B 8) Alternativa: A 9) a) h = e V = Basta mostrar que a distância do centro da base é a mesma para as 8 arestas. De início, a distância do centro às arestas da base é R = centro da base à qualquer vértice é. Além disso, a distância do pois essa distância ou é h ou é metade da diagonal do quadrado da base. Assim, as distâncias do centro à qualquer aresta lateral é a altura do triângulo isósceles de lados, e, que além de tudo é retângulo. Essa altura vale também. R = 0) Resposta: 8cm ) Alternativa: B ) Alternativa: C 0) Perímetro = cm ) V = ) Alternativa: C

17 ) Resposta: ) Resposta: 000m e 00m 7) a) XY = a área da base = Volume = a 8) x = u.v. 9) Alternativa: C 0) Alternativa: D a, BM,7m B'M BB ' h,m h +, =,7 h = 0,8 m ) Alternativa: B ) Alternativa: A ) Alternativa: D ) a) a volume = V = V(prisma) + V(pirâmide) h V AB h h V h V 8h a 8 0) Alternativa: B a ) Alternativa: E ) Alternativa: D 7) a) V = cm cm 8) Alternativa: D 9) a) ) Alternativa: B ) 9 cm ) a) h =. razão = ) Alternativa: D ) Alternativa: E ) Alternativa: E 7) Alternativa: D portanto, equivale a da diagonal, que é 8) a) R = cm h = cm (note que o pé da altura pedida coincide com o circuncentro O do triângulo) 9) Alternativa: B 7

18 70) Solução: Seja ABCD um tetraedro regular. Seja P um ponto qualquer interior a esse tetraedro. Considere as pirâmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos volumes dessas quatro pirâmides é igual ao volume do tetraedro. Sejam h, h, h e h, respectivamente, as alturas dessas pirâmides e h, a altura do tetraedro. Temos: S ABC h S h S h S h S ABD BCD ACD ABC h Como o tetraedro é regular, os triângulos ABC, ABD, BCD e ACD são todos congruentes. Logo h + h + h + h = h. Como h, h, h e h são as distâncias de P às quatro faces do tetraedro, provamos que independente da posição de P essa soma é constante e igual à altura do tetraedro. Assim, sendo P e P pontos quaisquer no interior do tetraedro, d = d = h 7) Alternativa: C 7) Alternativa: B 7) Alternativa: C 7) a) a 7) Alternativa: E 7) Alternativa: A 77) Alternativa: D 78) a) cm se o plano RST é paralelo ao plano BCD, então RS//BC, ST//CD e RT//BD e então os triângulos ARS, AST, ART e RTS são eqüiláteros e congruentes, portanto ARST também é tetraedro regular. 8) Alternativa: C 8) Alternativa: D. 9 - cm 79) Alternativa: E 80) Alternativa: D 8

Exercícios de Matemática Geometria Espacial

Exercícios de Matemática Geometria Espacial Exercícios de Matemática Geometria Espacial e se ) (FUVEST-00) Dois planos interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, 0. Um triângulo equilátero ABC, de lado

Leia mais

Pirâmide. P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG RF

Pirâmide. P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG RF Pirâmide 1. (Unifesp 01) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que: P e R pertencem, respectivamente,

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%) Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton

Leia mais

Geometria Espacial - Troncos

Geometria Espacial - Troncos Geometria Espacial - Troncos ) (SpeedSoft) ) (Fuvest) A altura de um cone circular reto é H. Seja α um plano que é paralelo à base e que divide o cone em dois sólidos de mesmo volume. Calcule a distância

Leia mais

1. Sendo (x+2, 2y-4) = (8x, 3y-10), determine o valor de x e de y. 2. Dado A x B = { (1,0); (1,1); (1,2) } determine os conjuntos A e B. 3. (Fuvest) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano.

Leia mais

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750 Lista de exercícios de Geometria Espacial PRISMAS 1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 cm, 8 cm e 6 cm 10 2 cm 2) Determine a capacidade em dm 3 de um paralelepípedo

Leia mais

Relação de Euler nos prismas V= número de vértices A= número de arestas F= número de faces

Relação de Euler nos prismas V= número de vértices A= número de arestas F= número de faces Prismas A reunião dos infinitos segmentos, paralelos a s, que têm um de seus extremos no polígono ABCDEF contido em e outro extremo pertencente ao plano, constitui um sólido geométrico chamado prisma.

Leia mais

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura.

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura. NOME: ANO: º Nº: POFESSO(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Áreas: Quadrado: EVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência A, onde representa o lado etângulo: A b h, onde b representa a

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência ) (Unicamp-000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas

Leia mais

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1. Prismas Geometria Métrica

Leia mais

Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano

Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo

Leia mais

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número

Leia mais

Escola da Imaculada. Estudo da Pirâmide. Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio

Escola da Imaculada. Estudo da Pirâmide. Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio Escola da Imaculada Estudo da Pirâmide Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio Estudo da Pirâmide 1- Definição As pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais

Leia mais

MAT 240- Lista de Exercícios. 1. Dado o ABC, seja G o baricentro deste triângulo e M o ponto médio do lado BC. Prove que AG = 2GM.

MAT 240- Lista de Exercícios. 1. Dado o ABC, seja G o baricentro deste triângulo e M o ponto médio do lado BC. Prove que AG = 2GM. 1 MAT 240- Lista de Exercícios 1. Dado o ABC, seja G o baricentro deste triângulo e M o ponto médio do lado BC. Prove que AG = 2GM. 2. Seja G o baricentro e O o circuncentro do ABC. Na reta que contém

Leia mais

COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II. Notas de aula de Matemática. 3º ano/ensino Médio. Prof.

COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II. Notas de aula de Matemática. 3º ano/ensino Médio. Prof. COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II Notas de aula de Matemática 3º ano/ensino Médio Prof. Andrezinho NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL Notas de aula de Matemática Prof. André

Leia mais

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique

Leia mais

Exercícios de Matemática Retas e Planos

Exercícios de Matemática Retas e Planos Exercícios de Matemática Retas e Planos 3. (Unesp) Considere o cubo da figura adiante. Das alternativas a seguir, aquela correspondente a pares de vértices que determinam três retas, duas a duas reversas,

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL I 1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Só relembrando a primeira aula de Geometria Plana, aqui vão algumas dicas bem úteis para abordagem geral de uma questão de geometria:

Leia mais

AULA 2 - ÁREAS. h sen a h a sen b h a b sen A. L L sen60 A

AULA 2 - ÁREAS. h sen a h a sen b h a b sen A. L L sen60 A AULA - ÁREAS Área de um Triângulo - A área de um triângulo pode ser calculada a partir de dois lados consecutivos e o ângulo entre eles. h sen a h a sen b h a b sen A - A área de um triângulo eqüilátero

Leia mais

MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA

MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA 1 MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA ===================================================== 1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números inteiros em P.A. de razão

Leia mais

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI 01.: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m.

Leia mais

PRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais que são paralelogramos.

PRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais que são paralelogramos. GEOMETRIA ESPACIAL Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço tridimensional (as 3 dimensões são: largura, comprimento e profundidade). Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou

Leia mais

Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01

Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01 Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01 1. Crie dois pontos livres. Movimente-os. 2. Construa uma reta passando por estes dois pontos. 3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o

Leia mais

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 16/06/12 PROFESSOR: MALTEZ

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 16/06/12 PROFESSOR: MALTEZ RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 6/06/ PROFESSOR: MALTEZ Uma pirâmide quadrangular regular possui área da base igual a 6 e altura igual a. A área total da pirâmide é igual

Leia mais

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO OBSERVAÇÕES: 1) AS QUESTÕES OBRIGATORIAMENTE DEVEM SER ENTREGUES EM UMA FOLHA A PARTE COM

Leia mais

Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é reto. Exemplo: GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS

Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é reto. Exemplo: GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é reto. Exemplo: Dados um polígono ABC MN situado num plano α e outro polígono A B C..M N congruente

Leia mais

Aula 5 Quadriláteros Notáveis

Aula 5 Quadriláteros Notáveis Aula 5 Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então:

Leia mais

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos

Leia mais

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II Fonte: http://www.migmeg.com.br/ MÓDULO II Estudaremos neste módulo geometria espacial e volume dos principais sólidos geométricos. Mas antes de começar a aula, segue uma

Leia mais

Exercícios Triângulos (1)

Exercícios Triângulos (1) Exercícios Triângulos (1) 1. Na figura dada, sabe-se que r // s. Calcule x. 2. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x. 5. (PUC-SP) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Encontre os ângulos

Leia mais

Soluções das Questões de Matemática da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ

Soluções das Questões de Matemática da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Soluções das Questões de Matemática da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ 1º Exame de Qualificação 011 Questão 6 Vestibular 011 Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre

Leia mais

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia. FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia Q0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0 Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8

Leia mais

ÁREAS. 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB AD, BC CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é

ÁREAS. 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB AD, BC CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é ÁRES 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se,, = 10 m, = 70 m, = 40 m e = 80 m, então a área do terreno é a) 1 500 m b) 1 600 m c) 1 700 m d) 1 800 m 0 (FMMG) - Observe a figura. Nessa figura,

Leia mais

RETÂNGULO ÁREAS DE FIGURAS PLANAS PARALELOGRAMO. Exemplo: Calcule a área de um terreno retangular cuja basemede 3meaaltura 45m.

RETÂNGULO ÁREAS DE FIGURAS PLANAS PARALELOGRAMO. Exemplo: Calcule a área de um terreno retangular cuja basemede 3meaaltura 45m. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS RETÂNGULO PARALELOGRAMO Exemplo: Calcule a área de um paralelogramo que tem,4 cmdebasee1,3cmdealtura. Resposta: A= B h A=,4x1,3 A=3,1 cm² 01. Calcule a área do paralelogramo, sabendo-se

Leia mais

GEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA TIPO B

GEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA TIPO B 1 GEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA 1. Considere um quadrilátero RSTU, satisfazendo RS = ST = TU = UR, como o exemplo ilustrado abaixo. Considerando esses dados, podemos afirmar que: 0-0) SU é

Leia mais

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_007_ A FASE RESOLUÇÃO PELA PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia Se Maria

Leia mais

Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos

Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais Triângulo e região triangular O conceito de região poligonal

Leia mais

Unidade 9 - Prisma. Introdução Definição de um prisma. Denominação de um prisma. Prisma regular Área de um prisma. Volume de um prisma

Unidade 9 - Prisma. Introdução Definição de um prisma. Denominação de um prisma. Prisma regular Área de um prisma. Volume de um prisma Unidade 9 - Prisma Introdução Definição de um prisma Denominação de um prisma Prisma regular Área de um prisma Volume de um prisma Introdução Após a abordagem genérica de poliedros, destacaremos alguns

Leia mais

1. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk

1. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk GEOMETRIA ESPACIAL: TRONCO 1. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. a) Sabendo-se que a taça estava totalmente

Leia mais

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 25/05/13 PROFESSOR: MALTEZ

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 25/05/13 PROFESSOR: MALTEZ RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 5/05/ PROFESSOR: MALTEZ QUESTÃO 0 O piso de uma cozinha retangular de m de largura e m de comprimento deverá ser revestido por cerâmicas

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios

Leia mais

Troncos de Cone e de Pirâmide

Troncos de Cone e de Pirâmide Troncos de Cone e de Pirâmide 1. (Uerj 015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede 4 cm, e o raio de sua base

Leia mais

b) 2. c) 4. d) 8. e) 3 π. 5. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h= 1cm e

b) 2. c) 4. d) 8. e) 3 π. 5. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h= 1cm e Geometria Espacial 1. (Uerj 015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a

Leia mais

GEOMETRIA PLANA - FUVEST. Triângulos

GEOMETRIA PLANA - FUVEST. Triângulos GEOMETRIA PLANA - FUVEST Triângulos...1 Teorema de Tales...8 Semelhança de Triângulos...11 Pontos Notáveis...23 Triângulos Retângulos...25 Triângulos 01. (Fuvest/96) Na figura, as retas r e s são paralelas,

Leia mais

Geometria Plana Noções Primitivas

Geometria Plana Noções Primitivas Geometria Plana Noções Primitivas Questão 1 (CESGRANRIO-85) Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número

Leia mais

Exercícios de Matemática Prismas

Exercícios de Matemática Prismas Exercícios de Matemática Prismas 5. (Unesp) Sendo ABCDA'B'C'D' um cubo, calcular o seno do ângulo. 1. (Mackenzie) O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números

Leia mais

Exercícios de Matemática Troncos

Exercícios de Matemática Troncos Exercícios de Matemática Troncos 1. (Ufscar) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. 4. (Ufpe) Um cone circular reto, com

Leia mais

QUESTÕES ÁREAS DE POLÍGONOS

QUESTÕES ÁREAS DE POLÍGONOS QUESTÕES ÁREAS DE POLÍGONOS 1. (Unicamp 014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a),0 m. b),0

Leia mais

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:

Leia mais

APOSTILA 2015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA DESENHO GEOMÉTRICO 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2015 1

APOSTILA 2015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA DESENHO GEOMÉTRICO 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2015 1 APOSTILA 015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO - 015 1 Sumário 1.Geometria Espacial...4 1.1 Definições básicas da Geometria Espacial...4 1. Posições de

Leia mais

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem.

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. TRIDIMENSIONALIDADE O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. As formas tridimensionais são aquelas que têm

Leia mais

Exercícios de Números Complexos com Gabarito

Exercícios de Números Complexos com Gabarito Exercícios de Números Complexos com Gabarito ) (UNIFESP-007) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z = i, z = e z = + ( 5 )i. O quarto

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Q ) Um apostador ganhou um premio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor

Leia mais

GEOMETRIA BÁSICA 2011-2 GGM00161-TURMA M2. Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 08/11/2011

GEOMETRIA BÁSICA 2011-2 GGM00161-TURMA M2. Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 08/11/2011 GEOMETRIA BÁSICA 2011-2 GGM00161-TURMA M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 08/11/2011 Definição : Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano

Leia mais

Áreas e Aplicações em Geometria

Áreas e Aplicações em Geometria 1. Introdução Áreas e Aplicações em Geometria Davi Lopes Olimpíada Brasileira de Matemática 18ª Semana Olímpica São José do Rio Preto, SP Nesse breve material, veremos uma rápida revisão sobre áreas das

Leia mais

PROVA DO VESTIBULAR DA FUVEST 2002 2ª etapa MATEMÁTICA. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÕNIA GOUVEIA.

PROVA DO VESTIBULAR DA FUVEST 2002 2ª etapa MATEMÁTICA. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÕNIA GOUVEIA. PROVA DO VESTIBULAR DA FUVEST 00 ª etapa MATEMÁTICA. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÕNIA GOUVEIA. QUESTÃO.01.Carlos, Luis e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos

Leia mais

Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos

Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos 1 1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

LISTA de RECUPERAÇÃO MATEMÁTICA

LISTA de RECUPERAÇÃO MATEMÁTICA LISTA de RECUPERAÇÃO Professor: ARGENTINO Recuperação: O ANO DATA: 0 / 06 / 015 MATEMÁTICA 1. A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida

Leia mais

QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.

QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas. Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia da Prova de Matemática _ Vestibular 5 da Ufba _ 1ª fase QUESTÕES de 1 a 8 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados

Leia mais

POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS

POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS http://apostilas.netsaber.com.br/ver_apostila.php?c=622 ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA 97003133 - BM3 01-011 POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA

Leia mais

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos Cerca de 600 A.C. nas colônias gregas da Jônia, na costa oeste da Turquia, surgem dois dos principais matemáticos gregos: Tales de Mileto e Pitágoras de

Leia mais

1 A AVALIAÇÃO ESPECIAL UNIDADE I -2014 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C.

1 A AVALIAÇÃO ESPECIAL UNIDADE I -2014 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. 1 A AVALIAÇÃO ESPECIAL UNIDADE I -014 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01. (UESC-Adaptada) (x + )!(x + )! O valor de x N, que

Leia mais

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada MATEMÁTICA APLICADA 1. SISTEMA ANGULAR INTERNACIONAL...2 2.

Leia mais

GEOMETRIA PLANA - FUVEST. Triângulos

GEOMETRIA PLANA - FUVEST. Triângulos GEOMETRIA PLANA - FUVEST Triângulos... Teorema de Tales... 8 Semelhança de Triângulos... Pontos Notáveis... Triângulos Retângulos... 5 Triângulos 0. (Fuvest/96) Na figura, as retas r e s são paralelas,

Leia mais

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio.

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 2. (Fgv) Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00

Leia mais

XXXI Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

XXXI Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Gabarito da Prova da Primeira Fase Nível Alfa 1 Questão 1 0 pontos Na Tabela 1 temos a progressão mensal para o Imposto de Renda Pessoa Física 014 01. Tabela 1: Imposto de Renda Pessoa Física 014 01. Base

Leia mais

Geometria Elementar gênese e desenvolvimento. Roberto Ribeiro Paterlini

Geometria Elementar gênese e desenvolvimento. Roberto Ribeiro Paterlini Geometria Elementar gênese e desenvolvimento Roberto Ribeiro Paterlini Copyright março de 2010 by Roberto Ribeiro Paterlini Departamento de Matemática, UFSCar A presente versão está disponível na página

Leia mais

Matemática 3. Aula 1. Geometria Plana. A escolha de quem pensa! 1

Matemática 3. Aula 1. Geometria Plana. A escolha de quem pensa! 1 Matemática Aula 1 Geometria Plana 01. A bandeira do Brasil, hasteada na Praça dos Três Poderes, em Brasília, é uma das maiores bandeiras hasteadas do mundo. A figura abaixo indica as suas medidas de acordo

Leia mais

Os Sólidos de Platão. Colégio Santa Maria Matemática III Geometria Espacial Sólidos Geométricos Prof.º Wladimir

Os Sólidos de Platão. Colégio Santa Maria Matemática III Geometria Espacial Sólidos Geométricos Prof.º Wladimir Sólidos Geométricos As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros.

Leia mais

Geometria Espacial e Plana

Geometria Espacial e Plana 117 Geometria Espacial e Plana a² = b² + c² 118 1) Poliedros convexos Geometria Espacial Observe os sólidos abaixo cujas faces são polígonos convexos. Podemos observar que: a) Cada aresta é comum a duas

Leia mais

Prof. Jorge. Estudo de Polígonos

Prof. Jorge. Estudo de Polígonos Estudo de Polígonos Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem

Leia mais

Quarta lista de exercícios.

Quarta lista de exercícios. MA092 Geometria plana e analítica Segundo semestre de 2015 Quarta lista de exercícios. Circunferência e círculo. Teorema de Tales. Semelhança de triângulos. 1. (Dolce/Pompeo) Um ponto P dista 7 cm do centro

Leia mais

115% x + 120% + (100 + p)% = 93 2 2. 120% y + 120% + (100 + p)% = 106 2 2 x + y + z = 100

115% x + 120% + (100 + p)% = 93 2 2. 120% y + 120% + (100 + p)% = 106 2 2 x + y + z = 100 MATEMÁTICA Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 00 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 5% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu

Leia mais

Curso Wellington Matemática Trigonometria Lei dos Senos e Cossenos Prof Hilton Franco

Curso Wellington Matemática Trigonometria Lei dos Senos e Cossenos Prof Hilton Franco 1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua

Leia mais

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br A Matemática no Vestibular do ITA Material Complementar: Prova 01 c 01, Sergio Lima Netto sergioln@smtufrjbr 11 Vestibular 01 Questão 01: Das afirmações: I Se x, y R Q, com y x, então x + y R Q; II Se

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES

CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES B3 CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES Circunferência Circunferência é um conjunto de pontos do plano situados à mesma distância de um ponto fixo (centro). Corda é um segmento de recta cujos extremos

Leia mais

Questão 1. Questão 2. Questão 3. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 2. Questão 3. Resposta. Resposta Questão Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 00 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 5% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro

Leia mais

MATEMÁTICA. 1. A figura 1 representa um prisma obtido após a secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI representado na figura 2.

MATEMÁTICA. 1. A figura 1 representa um prisma obtido após a secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI representado na figura 2. MATEMÁTICA Prof. Favalessa. A figura representa um prisma obtido após a secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI representado na figura. a) Sendo que AB = BC = DE = EF e HI = KL = JL = JG = AG

Leia mais

FEIXE DE RETAS PARALELAS TEOREMA DE TALES

FEIXE DE RETAS PARALELAS TEOREMA DE TALES 222 FEIXE DE RETAS PARALELAS Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas distintas de um plano, paralelas entre si. As retas a, d e c da figura constituem um feixe de retas paralelas. r s Transversal

Leia mais

PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães

PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães Nível Iniciante Propriedade 1 Num triângulo retângulo ABC, a mediana BM relativa à hipotenusa mede

Leia mais

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36 MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade

Leia mais

CAP/UERJ 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO SÁ

CAP/UERJ 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO SÁ CP/URJ ª SÉRI DO NSINO MÉDIO PROF. ILYDIO SÁ 1 LUNO () : Nº GOMTRI SPCIL PRISMS XRCÍCIOS 01) Qual o volume de um cubo de área 54 cm? 0) diagonal de uma face de um cubo tem medida 5 cm. Qual a área do cubo?

Leia mais

Geometria Espacial - Prismas

Geometria Espacial - Prismas Geometria Espacial - Prismas 1) (NOVO ENEM) Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas Eercícios de Matemática Geometria Analítica Cônicas ) (ITA-004) Considere todos os números z = + i que têm módulo e estão na elipse + 4 = 4. Então, o produto deles é igual a 9 49 8 4 ) (VUNESP-00) A figura

Leia mais

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E Sistema cartesiano ortogonal Lista. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: a)

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE PRISMAS PROF.: ARI

LISTA DE EXERCÍCIOS DE PRISMAS PROF.: ARI 01.: (Acafe SC) Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8 dm e 6dm, e a altura mede 4dm. Calcule a área da figura determinada pela diagonal do paralelepípedo com a diagonal da base e a aresta

Leia mais

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 TEOREMA DE TALES. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (D) 80 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 0 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B)

Leia mais

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab. MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso

Leia mais

QUADRILÁTEROS. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada,

QUADRILÁTEROS. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada, QUADRILÁTEROS Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada, A B C Lados: AB BC CD AD Vértices: A B C D Diagonais: AC BD D Algumas

Leia mais

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA ESPACIAL

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA ESPACIAL GEOMETRIA ESPACIAL 1 GEOMETRIA ESPACIAL PIRÂMIDE g g = apótema da pirâmide ; a p = apótema da base h g 2 = h 2 + a p 2 a p Al = p. g At = Al + Ab V = Ab. h 3 triangular quadrangular pentagonal hexagonal

Leia mais

Segmento de reta GEOMETRIA PLANA

Segmento de reta GEOMETRIA PLANA GEOMETRIA PLANA Noções primitivas Os elementos primitivos da geometria são o ponto, a reta e o plano, cujas definições são impossíveis de serem enunciadas, pois só se tem uma noção intuitiva do que sejam.

Leia mais

Questão 23. Questão 21. Questão 22. Questão 24. alternativa D. alternativa A. alternativa C

Questão 23. Questão 21. Questão 22. Questão 24. alternativa D. alternativa A. alternativa C Questão 1 Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 0 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que

Leia mais

O quadrado ABCD, inscrito no círculo de raio r é formado por 4 triângulos retângulos (AOB, BOC, COD e DOA),

O quadrado ABCD, inscrito no círculo de raio r é formado por 4 triângulos retângulos (AOB, BOC, COD e DOA), 0 - (UERN) A AVALIAÇÃO UNIDADE I -05 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete e y sabores de cobertura.

Leia mais

1 B 1 Dado z = ( 1 + 3 i), então z n é igual a

1 B 1 Dado z = ( 1 + 3 i), então z n é igual a MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números naturais : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária:

Leia mais

Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! 6.º Ano

Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! 6.º Ano Geometria Sólidos geométricos e volumes Prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera Planificação e construção de modelos de sólidos geométricos Volume do cubo, do paralelepípedo e do cilindro Unidades de

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ECONOMIA RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ECONOMIA RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ECONOMIA Profa. Maria Antônia C. Gouveia QUESTÃO 0 Laura caminha pelo menos km por dia. Rita também caminha todos os dias, e a soma das distâncias diárias

Leia mais

NOTAÇÕES. +... + a n. , sendo n inteiro não negativo k =1. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

NOTAÇÕES. +... + a n. , sendo n inteiro não negativo k =1. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária, i = z: módulo do número z Re(z): parte real do número z Im(z): parte imaginária do número z det

Leia mais