Caderno de Atividades. matemática

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1 Caderno de Atividades ENSINO MÉDIO LIVRO DO PROFESSOR matemática ạ série

2 Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) (Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-5 / Curitiba, PR, Brasil) F9 Fedalto, Dirceu Luiz. Matemática : ensino médio, ª. série : caderno de atividades / Dirceu Luiz Fedalto ; ilustrações Cesar Stati. Curitiba : Positivo, 0. : il. Sistema Positivo de Ensino ISBN (Livro do aluno) ISBN (Livro do professor). Matemática.. Ensino médio Currículos I. Stati, Cesar. II. Título. CDU 50 Editora Positivo Ltda., 0 Diretor-Superintendente Diretor-Geral Diretor Editorial Gerente Editorial Gerente de Arte e Iconografia Autoria Edição Ilustração Projeto gráfico e capa Editoração Pesquisa iconográfica Ruben Formighieri Emerson Walter dos Santos Joseph Razouk Junior Maria Elenice Costa Dantas Cláudio Espósito Godo Dirceu Luiz Fedalto Fernanda Rosário de Mello Solange Gomes Cesar Stati Roberto Corban Epressão Digital Tassiane Aparecida Sauerbier Shutterstock/JustASC Produção Editora Positivo Ltda. Rua Major Heitor Guimarães, Curitiba PR Tel.: (0) -500 Fa: (0) -599 Impressão e acabamento Gráfica Posigraf S.A. Rua Senador Acciol Filho, Curitiba PR Fa: (0) posigraf@positivo.com.br 0 Contato editora.spe@positivo.com.br

3 Matemática sumário conjuntos...5 funções...9 sequências numéricas...9 matemática financeira... geometria analítica...5 geometria plana...55 trigonometria...59 eponenciais e logaritmos...

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5 Matemática Conjuntos. Sendo A {, 9, }, B {, 5, 0} e C {,, 5,, }, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso): ( V ) A ( V ) B ( F ) C ( V ) A { / é algarismo do número 99} ( F ) C { / é número par menor que 0} ( F ) B ( V ) A ( V ) 0 B. Escreva todos os elementos de cada um dos seguintes conjuntos: a) A { / é número par positivo e menor que 0} A {,,, } b) B { / é letra do alfabeto anterior à letra G} B {a, b, c, d, e, f } c) C { / é letra inicial do nome dos meses do ano} C {J, F, M, A, S, O, N, D}. Escreva os elementos pertencentes a cada um dos conjuntos abaio: a) A { / é número natural e menor que } A {0,,,,, 5} b) B { / é vogal} B {a, e, i, o, u} c) C { / é número natural, ímpar e menor que 9} C {,, 5, 7}. Dado A {,,, }, escreva os subconjuntos de A, tais que: a) seus elementos sejam múltiplos de ; {, } b) seus elementos sejam divisores de 5; {} c) seus elementos sejam menores que 0; {,, } d) seus elementos sejam maiores que. Ø 5. Sejam A { / é número par entre e 5}, B { / é número par menor que 5} e C { / é número par diferente de }. Usando os símbolos ou, relacione entre si os conjuntos: a) A e B A B b) A e C A C c) B e C B C. Sendo o conjunto universo o conjunto dos estados do Brasil, considere: A { / é Estado onde a língua oficial é o alemão} B { / é Estado onde não eistem praias} C { / é Estado banhado pelo Oceano Pacífico} D { / é Estado cujo nome começa pela letra T} Classifique em V (verdadeira) e F (falsa) as afirmações: ( V ) A é vazio; ( F ) B é unitário; ( V ) C é vazio; ( V ) D é unitário. 5

6 Caderno de Atividades 7. Sejam os conjuntos A {0,,,, } e B {0,,,, }. Determine os elementos que pertencem a cada conjunto, discriminando-os: a) A B A B {0,,,,,, } b) A B A B {0,, } c) B B B B {0,,,, } d) A B A B {, } 9. Um levantamento efetuado entre 00 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas de assistência médica, A e B, conforme o quadro: CONVÊNIO A CONVÊNIO B SOMENTE INSS O número de filiados simultaneamente às duas empresas A e B é. Determine o valor de. Só INSS e) B A B A {, } f ) A A A A {0,,,, }. Considere o diagrama a seguir: A B De acordo com o diagrama, escreva: a) Todos os elementos do conjunto A. A {a, b, c, d, e, f } b) Todos os elementos do conjunto B. B {e, f, g, h, i, j} c) Todos os elementos do conjunto A B. A B {a, b, c, d, e, f, g, h,i, j} d) Todos os elementos do conjunto A B. A B {e, f } e) Aqueles elementos de A que não pertencem a B. A B {a, b, c, d} f ) Aqueles elementos de B que não pertencem a A. B A {g, h, i, j} 0. Considere A {,,, 0,, } e B {, 5,,,,, 0}. Escreva todos os elementos que pertencem a: a) A B A B {, 5,,,,, 0,, } b) A B A B {,,, 0} c) (A B) (A B) (A B) (A B) {, 5,,, } d) A B A B {, } e) B A B A {, 5, } f ) (A B) A (A B) A {, 5, } g) (A B) B (A B) B {, }

7 Matemática. Enumere todos os elementos de cada conjunto: a) A { Z / > 5 e } A {,,,, 0,,, } b) B Z { N / 0 e 7} B {,,,, 5,, 7} c) C { Z / < }. Escreva em ordem crescente os números ; ; ; 0; ; ; ; 5; e, em seguida, represente-os na reta real.,,,, 0,,,, 5 C {, 5,,,,, 0, }. Sendo 0,... e 0,999..., então + é igual a: a) b), c),... d), e), Em cada item, desenhe um possível diagrama, representando as relações indicadas entre os conjuntos. a) A B A B , b) A B C A B. Os números que seguem, apesar de apresentarem um número infinito de casas decimais, são racionais (dízimas periódicas). Escreva-os na forma p q com p e q inteiros e q 0: a) 0, b) 0, c), d), c c) A C A d) A B A e) A B C A c C B B 7

8 Caderno de Atividades. Identifique quais números são racionais e quais são irracionais: a) 9/5 Q b) 0,... Q c) π I d),5 Q e) I f ),7... I g) I h) ( ) Q i) p I j) ( ) I k) 0,00 Q l) 0, Q 7. Represente, na reta real, cada um dos números a seguir: a) / b) c),5 d) e) / f ) g),5 h),5,5 0. O conjunto B { R / + 0} é vazio ou unitário? Justifique. O conjunto B é vazio pois não eiste solução real para a equação. 9. Classifique as afirmações abaio em V (verdadeiras) ou F (falsas): ( V ) 0 Q ( V ) 5 Z IN ( V ) 7 R Q ( F ) 9 R Q ( V ) Q Z ( F ) 0, R Q ( V ),59... R Q ( V ) R Q ( F ) 0 5 Q Z Anotações

9 Matemática funções. Determine: { R / > 0} { R / 5 0} > 0 > X > 5. ( ) { R / < 5}. Represente na reta real os seguintes intervalos: a) [ 5; ] b) [0; [ c) ] ; [ d) ] ; 5 ] e) [ ; [. Determine os seguintes subconjuntos da reta real, escrevendo na forma de intervalos: a) intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de etremos e 5; ]; 5] b) intervalo fechado de etremos e 7; [; 7] c) intervalo aberto de etremos 5 e 0; ] 5; 0[ d) intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de etremos 5 e ; [5; [ e) o conjunto dos números inteiros pertencentes ao intervalo do item d. {5,, 7} São dados os intervalos A [ ; ] e B [0; ]. Represente na reta dos reais cada conjunto abaio: a) A B b) A B c) B A d) A B Determine A B, quando: A { R / < } e B { R / } A B { R / < ou }. Classifique as afirmações abaio em V (verdadeiras) ou F (falsas): ( V ) ] ; [ [; 5[ ( f ) ] ; ] [0;[ [;[ ( f ) A { N / > e < 7 } é unitário ( f ) [; ] ]0; 5] [;5] 9

10 Caderno de Atividades 7. Num triângulo equilátero a medida do lado é representada por e a medida do perímetro é representada por. Responda: a) Qual é a epressão matemática que epressa a relação entre e? b) Nesta epressão, que é uma lei de associação de uma função, qual é a variável independente e qual é a variável dependente? independente () e dependente () c) Se,, qual o valor de?.,, d) Se 9, qual o valor de? 9 9. Observe os diagramas abaio, que representam relações de A em B. Marque um X ao lado dos diagramas que representam funções f: A B. ( ) ( ) A B A B ( ) ( ) A B A B 9. Dados A {,,,, 5, } e B {0,,, }, obtenha a seguinte relação de A em B, com A e B. Relação: {(, ) / } Você deverá escrever os pares ordenados que correspondem a essa relação. 0 R {(,0) (, ) (5, )} 5 5 0

11 Matemática 0. O número de unidades produzidas de um produto qualquer, durante um mês, é função do número de funcionários empregados de acordo com a lei de formação 50. Sabendo que 9 funcionários estão empregados, determine o acréscimo de produção com a contratação de mais funcionários. Se Se 9 + Acréscimo: unidades Um estacionamento cobra R$,00 pela ạ hora e R$,00 a cada hora depois da ạ a) Estabeleça uma relação matemática entre o valor V a ser pago por deiar um carro estacionado horas ( > ). V() + ( > ) b) Qual o valor a ser pago por deiar no estacionamento um automóvel durante horas? V() +. + R$,00 c) Na função V f(), qual é a variável dependente? V Valor a ser pago. (dependente do número de horas). Dada a função f: R R definida por f() 5 +, calcule os valores de: a) f (0) e) f () f (0) b) f ( ) f ( ) ( ) 5. ( ) c) f () f () d) f (5) f (5) f () f ) f () f () g) f ( ) f ( ) ( ) 5. ( ) h) f () f () Dados os conjuntos A {,, 0, } e B {,,, 0,,,, }, determine: a) o conjunto imagem da função f: A B definida por f() 0 0 Im {0,, } b) o conjunto imagem da função f: A B definida por f() +. ( ) +. ( ) Im {, 0,, }

12 Caderno de Atividades. Dados os conjuntos A {, 0,, } e B {, 0,,, } e a função f: A B, definida por f(), determine o domínio, o contradomínio e a imagem de f. A f B 7. Assinale com um X somente os gráficos que representam uma função: ( X ) 0 0 ( ) f() Dom (f ) {, 0,, } A f( ) ( ) 0 DC (f ) {, 0,,, } B f(0) 0 Im (f ) {, 0, } f() 0 f() 5. Seja a função f: A B definida por, onde A {,,, } e B {,,, 0,,, }. a) Represente f: A B por meio de diagrama. A B 0 ( X ) ( X ) b) Escreva o conjunto correspondente a D(f ). D(f ) {,,, } c) Escreva o conjunto correspondente a Im(f ). Im(f ) {,,, }. Marque V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas: ( F ) Dada a função f: R IR definida por f(), então f( ). ( V ) Se f() -, a condição de eistência da função é. ( F ) Se g() +, então g( ) 9. ( V ) Considere a função f(), então para obtermos f() 0, é preciso. f( ) ( ) g( ). ( ) + ( ) ATENÇÃO: Para que o gráfico num plano cartesiano ortogonal represente uma função, cada do domínio da função deve ter um único valor de correspondente.. Numa cidade, os táis cobram uma quantia fia correspondente a R$,00, chamada bandeirada, e R$,50 por km rodado. a) Sendo o valor pago em função da quilometragem percorrida, escreva a lei de formação dessa função. +,5.

13 Matemática b) Qual o valor a ser pago por uma corrida de km? +, R$5,00 c) Quantos km percorreu um tái se o valor pago pela corrida foi R$,00. +,5.,5 5, km ( ) 9. Na fórmula, a letra representa o número de diagonais de um polígono conveo de lados. Sendo um número inteiro maior que, responda: a) Quantas diagonais tem o pentágono? 5 5( 5 ) 5 5 diagonais c) Qual é o polígono que tem 9 diagonais? ( ) 9 0 e (não serve) d) Qual o polígono em que o número de diagonais é o dobro do número de lados? d ( ) ( 7) heptágono 0. A função, com domínio [, ], está representada graficamente abaio: 0 a) Obtenha o conjunto imagem. b) E o decágono? 0 0( 0 ) diagonais [0; ] b) Resolva a equação. ± ± c) Qual o maior valor dessa função? d) E o menor valor? 0

14 Caderno de Atividades. Considere o gráfico de uma função f:. Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções reais: a) g() g () 0 7 b) f() f () a) Obtenha o domínio da função f. [ ; ] b) Indique o conjunto-imagem da função f. [ ; ] c) Qual é o valor máimo de f()? f() d) Qual é o valor mínimo de f()? c) h() h () f() e) O ponto (; ) pertence ao gráfico da função? Sim. f ) Para que valor de tem-se 0? 0 para 7 g) Em que intervalo a função decresce? [;] h) Calcule f( ) + f(). f( ) + f() + d) t() t ()

15 Matemática. Dadas as funções e + : a) represente num mesmo sistema cartesiano seus gráficos; b) resolva o sistema de equações: + (Observe que as soluções do sistema é o ponto de interseção das duas retas). c) Quanto vale, se f()? + X d) Para que valor de temos f() 0? f() S {(, )}. Considere a função f() +. a) Dê o domínio e o conjunto-imagem da função. D(f ) R e Im(f ) R b) Calcule f(0), f() e f. f(0). 0 + f(). + f Sejam as funções f(), g() e h() +, de domínio IR. a) Construa os gráficos das três funções no mesmo sistema de coordenadas. h () f () g () b) Como podemos obter o gráfico de g() a partir do gráfico de f()? descendo unidades em c) Como podemos obter o gráfico de h() a partir do gráfico de f()? subindo unidades em 5

16 Caderno de Atividades. Obtenha, em cada caso, a lei de formação da função afim, cujo gráfico passa pelos pontos: a) ( ; ) e (; ) b) (; ) e (; ) a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a b / b / b b b a a c) (; ) e (; ) a + b a + b a + b a+ b a-b a / a d) (; ) e ( ; ) a + b a. + b a. ( ) + b a + b a b b + 5a a 0 b a b 0 b 5 b

17 Matemática 7. Vamos considerar s(t) uma função de R + R +, que descreve o espaço percorrido por um automóvel (em km) em relação ao tempo (em horas), conforme o gráfico abaio: b) (; 7) 7 a + 0 a 7 00 s (km) t (h) c) ( ; ) a + 0 a a) Escreva a lei de formação da função s(t). a + b 00 a + b 50 a. + b b a + b 50 a b b b 0 a 50 a + b d) (; 5) 5 a + 0 a 5 5 a 50 b) Calcule s(7) e s(). s(7) km s() km 50 s(t) 50t 9. O gráfico de uma função afim definida por f() a + b é a reta r: c) Podemos considerá-la uma função linear? r Sim. Obter para cada item abaio a função linear cujo gráfico passa por: a) ( ; ) a + 0 a) Obtenha a lei de formação dessa função. (, 0) 0 a. + b (0, ) a. 0 + b a+ b 0 { b a a f( ) + 7

18 Caderno de Atividades b) Por que podemos considerá-la uma função decrescente? a < 0, conforme aumenta diminui c) Obtenha f(0). f( 0) b) Quais são lineares? III, VI e VIII c) Quais são constantes? II e V. Considere a função f() a + b, com a < 0 e b > 0. Assinale a única representação gráfica correta para esta função: a) d) Obtenha tal que ( ) b) c) 0. Considere as funções reais definidas abaio: I. f() II. f() III. f() IV. f() V. f() VI. f() VII. f() + VIII. f() d) e) a) Quais funções são denominadas de função afim? I, IV, VII a < 0 decrescente b > 0 (corta o eio )

19 Matemática. Determine os zeros de cada uma das seguintes funções: b) f() a) 0 b) f() 0 se f() > 0 se < c) 0 f() < 0 se < 0 d) 0 c) f() f() 0 se. Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores de temos: f() 0, f() > 0 e f() <0. Estude o sinal das funções abaio: f() > 0 se > f() < 0 se < a) f() d) f() f() 0 se 5 f() > 0 se > 5 f() 0 se f() > 0 se < f() < 0 se < 5 f() < 0 se > 9

20 Caderno de Atividades. Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, representada pela função P(t) 50 5t, onde P é o preço da máquina (em reais) e t é o tempo de uso (em anos). Obtenha: a) o gráfico dessa função; (P) b) o custo dessa máquina ao sair da fábrica; P(0) P(0) 50 c) o custo dessa máquina após 5 anos de uso; P(5) P(5) 50 5 P(5) 5 d) o tempo para que essa máquina se desvalorize totalmente t 5t Determine a lei de formação da função representada pelo gráfico abaio. Observe que essa função é definida por uma tripla sentença: t 50 5 t 0 0 Primeira sentença (da esquerda para a direita): pares ordenados ( ;0) e (0;) 0 a+ b 0 a + b a a 0a+ b b f() + ; 0 Segunda sentença (da esquerda para a direita): função constante. f() ; 0 Terceira sentença (da esquerda para a direita): pares ordenados (;) e (; ) a + b 5 a b 5 a a a+ b a+ b 5 b a b + b f( ) f( ) + ; 0

21 Matemática. Para produzir um objeto, uma firma gasta R$,0 por unidade. Além disso, há uma despesa fia de R$.000,00, independentemente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a partir do qual a firma começa a ter lucro? f() 0, ,0 000 > 0 0,0 > 000 > Qual deve ser o valor de m para que a função f() (m ) + seja do ọ grau? m 0 m m. Para a função f(), definida nos reais, calcule: a) f() c) f( ) a) f() ². f( ) ( )². ( ) f() f( ) + f( ) 0 e) f( ) f( ) ( )². ( ) f( ) b) f(0) f(0) 0². 0 f(0) d) f(5) f(5) 5². 5 f(5) 9. Represente graficamente as funções quadráticas definidas nos reais: a) f() + b) f()

22 Caderno de Atividades c) + d) f() A função do ọ grau definida por f() a + b + c está representada abaio: 0 Determine os valores de a, b e c. c 0 (; 0) a. ² + b a + b 0 a + b 0 ( ) a + b ( ) a + b 0 (, ) a. + b. + 0 a + b 0 a b. + b 0 a + b ( ) a b a + b a. Considere a função definida por f() (m ) +. Determine o valor de m para que: a) a função seja do ọ grau; b) a função tenha como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima; m 0 m m > 0 m > c) a função tenha como gráfico uma parábola com concavidade voltada para baio. m < 0 m <

23 Matemática. Determine as raízes (zeros) de cada uma das funções a seguir: a) f() + 5 ² ± 0 ± 5 e) f() + ² + 0 ± ± 0 b) f() f ) f() + 5 ² 0 ² ² ± ² ± 0 ± A função não tem raízes reais c) f() +. Considere a função quadrática definida por f() a + b + c, cujo gráfico é: ² + 0. ( + ) d) f() 0 + ² ± 00-0 ± Assinale (V) ou (F), conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente: a) ( V ) o número real c é zero. b) ( F ) o número real a é positivo. c) ( F ) o gráfico admite um eio de simetria em. d) ( V ) b > ac. e) ( F ) o menor valor da função é. f ) ( V ) a função é crescente para <.

24 Caderno de Atividades. Para que valores de k a função definida por f() + k + admite: a) duas raízes reais e iguais? b) duas raízes reais e diferentes? D 0 D > 0 b². a. c 0 ( )².. (k + ) > 0 ( )².. (k + ) 0 k + 5 > 0 9 k 0 k > 5. ( ) k k < 5 k + 5 k < 5 5. Qual deve ser o valor de m para que o gráfico da função + + m passe pelo ponto P(; )? ² + + m. ² + + m + + m m m. Abaio estão esboçados gráficos de funções quadráticas da forma f() a + b + c e Δ b² ac. Para cada gráfico determine o sinal de a, b, c e Δ, conforme o eemplo: c) a > 0; b < 0; c 0 e D > 0 a >0; b< 0; c >0 e D < 0 a) d) a > 0; b > 0; c > 0 e D > 0 a < 0; b > 0; c < 0 e D 0 b) e) a < 0; b 0; c > 0 e D > 0 a > 0; b > 0; c < 0 e D >0

25 Matemática 7. Dada a função f() + 5: a) Determine as raízes da função. 5 b) Obtenha as coordenadas do vértice. b v ( ) a v f ( ) + 5 v c) Qual é o valor mínimo da função? valor mínimo v d) Faça um esboço do gráfico da função. 50. Determine os valores de a e b para que o gráfico da função a + b + tenha o vértice no ponto (; ). b v a b a b a b a a² + b + a. ² + b. + a + b + 0 a a + 0 a + 0 a 5 b. ( ) b 5 V. Obtenha o valor de m de modo que a função f() ² + (m +) tenha valor mínimo para. b v a m ( + ). m m m m 9. Qual deve ser o valor de k para a função f() + (k ) admita valor máimo para? b v a k ( ) ( ) k + k k 5. Para cada uma das funções abaio, determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem: a) f() + 5 v ( ) v v f() ². + 5 v V (; ) Im [; + [ b) f() + v v v f( ). ( )² +. ( ) v V ( ; ) Im [ ; + [ 5

26 Caderno de Atividades c) f() + v ( ) v ( ) v f() ² +. v 0 V (; 0) Im ] ; 0] 5. Dada a função f() + + k, determine k para que valor mínimo da função seja. v v. ( ) +. ( ) + k + k + k k 7 d) f() + b v a 0 v ( ) v 0 5. Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) 0t + 00t. Qual a altura máima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máima? h (m) v f(0) 0² + v V (0; ) Im ] ; ] 500 m e) f() v ( ) v v f v v 9 v 9 V ; 9 Im [ ; [ 0 v 00 ( 0) v 00 0 v 5 v 0. 5² v v 500 altura máima : 500 m tempo: 5s 5 s 0 s t (s)

27 Matemática 5. A temperatura de uma estufa, em graus Celsius, é regulada em função do tempo t, de acordo com a lei dada por f(t) 0,5t + t + 0. Determine a temperatura máima atingida por essa estufa. v a b a c ( 0, 5) ( 0, 5) Resposta: C 55. Em uma fazenda, um trabalhador deve construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de 0 m de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Qual será a área máima desse cercado, sabendo que o muro tem etensão suficiente para ser lateral de qualquer galinheiro construído com essa tela? MURO Galinheiro 0 A () (0 ). A () ² + 0 b². a. c 0². ( ) Área máima: v v 00 a v 00m 5. O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é dada pela função C() , onde C() é o custo em reais e é o número de unidades fabricadas. a) Qual será o custo se forem fabricadas 00 unidades? C(00) 00² C(00) C(00).500 b) Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo? b v a v ( 0) 0 aparelhos ( ) Para uma determinada viagem, foi fretado um avião com 00 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 00,00 mais uma taa de R$,00 por cada lugar que ficar vago. a) Qual a receita arrecadada, se comparecerem 50 pessoas para a viagem? R()? nº. de pessoas : nº. de lugares vagos: 00 R(X) (00 ) R(X) ² R(X) ² R(50). 50² R(50) b) Qual a máima receita que pode ser arrecadada nas condições do problema? v 500 ( ) v 5 R(5). 5² R(5)

28 Caderno de Atividades 5. Escreva a função representada pelo gráfico abaio: c) f() + não tem raízes reais < 0 a. ( ). ( ) a. (² + ) f() < 0 para qualquer valor de real (; ) a. (². + ) a. ( ) a ² Faça o estudo do sinal de cada uma das funções quadráticas: a) f() + + razões: d) f() raízes: e f() > 0 f() < 0 f() < 0 f() 0 se ou f() > 0 se < ou > f() 0 se < < 0. Considere uma função quadrática cujo gráfico é: f() 0 e f() > 0 < < f() < 0 < ou > b) f() raiz: a) Quais são as raízes da função? ' " f() 0 f() > 0 e b) A função admite um valor máimo ou mínimo? Que valor é esse? Mínimo e o valor é c) Determine o conjunto-imagem da função. Im [ ; + [

29 Matemática d) Obtenha os valores de para os quais > 0. > 0 se < ou > e) Obtenha os valores de para os quais < 0.. Resolva, nos reais, as inequações: a) + < 0 raízes: e < 0 se < <. Para que valores de a função f() + 7 é positiva? raízes: S ]; [ b) + + > 0 raízes: e f() > 0 se < <. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções definidas por f() e g() +. Determine os pontos de intersecção dos gráficos de f e g. f () g () S ] ; [ c) raíz: S { } d) + + < 0 Não tem raízes reais Ponto de intersecção ( ; ) e (; ) S

30 Caderno de Atividades. Determine os valores reais de para os quais 0 0 f ( ) 0 g( ) f () f () g () g () f () / g () S { R / ou 0 < } 5. Sendo f(), calcule, de modo que f(). ² I 0 ³ e ² ² 0 e ² 9 0 I II II 9 0 I e II S [ ; ] U [; ]. Para que valores de as duas inequações + > 0 e + < 0 se verificam simultaneamente? ² + > 0 raízes: e ² + < 0 raízes: e { R / < < } 0

31 Matemática 7. Resolva as inequações: a) + < ² + < 0 raízes: e b) + 7 > 5 + ² > 0 ² + + > 0 S { R / < < } ] ; [ c) 5 5 ² e ² ² 9 0 e ² S R { } ou S { R / } X X X 0. Resolva os sistemas de inequações: a) > 0 ² > 0 S [; ] Solução do sistema S ] ; [

32 Caderno de Atividades b) + 0 > 0 0 ² + 0 > 0 ² c) > 0 S ² > S ] ; ] 9. Determine o conjunto-solução das inequações abaio: a) + f() + - < 0 g() f() + g() ² f () g () + + S ] ; [U] ; [ f (). g ()

33 Matemática b) f() g() f() ² g() ² f () + + g () + f (). g () S { R / ou } c) f() +- + g() 0 f() ² + g() f () g () + + f (). g () S [ ; { U { ; + [ d) f() g() < 0 f() ² g() ² f () g () + 0 f () / g () S [ ; [ U [ ; 0 [ U } ; + [

34 Caderno de Atividades 70. Quantos são os valores de inteiros que satisfazem a desigualdade: ( +). ( + 5) < 0? f() + g() ² , , ,5 Resposta: infinitos f () g () 7. Resolva a inequação nos reais: ( + ).( + ) 0 + f() + g() ² + h() ² f () g () S [ ; [ U [ ; [ U [ ; + [ h () Solução

35 Matemática 7. Observe os gráficos abaio, que representam funções de A em B, sendo A e B subconjuntos de R. Então f, g e h são, respectivamente: B B B f g b A A A a) injetora, sobrejetora e bijetora; d) injetora, bijetora e bijetora; b) sobrejetora, injetora e bijetora; e) bijetora, sobrejetora e bijetora. c) bijetora, bijetora e bijetora; 7. Seja D {,,,, 5} e f: D R a função definida por f() ( ). ( 5). Então: a) f é sobrejetora; f() b) f é injetora; c) f é bijetora; d) O conjunto-imagem de f possui somente elementos; e) Im(f ) {0,,, }. 7. Sendo as funções f() + e g(). Calcule: a) f (g()) f() f() f() f() f(5) Im(f ) {, 0, } 75. Sendo as funções de R em R, tais que f() e g() +, calcule: a) (f o g)() g() f(g(). + b) g (f()) f(). + g (f()) c) f (f( )) f( ) ( ) + f (f( )). + 7 (g 0 f ) () ( +) + b) (g o f )() (f 0 g) () + + c) (g o g)() (g 0 g) () As funções f e g, de IR em IR, são tais que f() e (fog)() 7. Determine g(). (fog) () 7 g() 7 g( ) g() 5

36 Caderno de Atividades 77. Sendo as funções f() e g() +, determine: a) f () f () + b) g () g () + 7. Sendo f(), determine: a) g () + + f ( ) b) g () f f + ( ) 7 ( ) 79. Observe o gráfico de f e calcule f : 0 (0, ) f() 0 0 a + b a a f(0) 0. a + b b Dada a função f() Calcular f. f() f ( ) + +, determine f () ( ) + ( ) + 0 ( ) ( )

37 Matemática. Dada a função f(), determine f () ( ). Calcule: a) b) 7 7 c) d) Construa os gráficos das funções: a) f ( ) f() + < 0 + < 0 f() ( + ) f() +,, < b) g ( ) + g() + f() e) 0 0 f ) g) p + p. Coloque V ou F, conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa: a) ( V ) 5 5 b) ( F ) c) ( V ) 5+. d) ( V ) Calcule: a) ( 5) 5 5 b) ( ) c) h ( ) + I II c) d) ( ) 7

38 Caderno de Atividades. Resolva, em R: a) b) c) d) 0 7. Resolva, em R: a) < 0 0 < < 0 b) > 0 < 0 ou > 0. Resolva, em R: Resolva, em R: + > + < < + 7 ou + > > < * < a a < < a * > a < a ou > a ( ) 90. Resolva, em R: ou 5 9. Resolva, em R: ( 5) < 5 < e) < 5 < < < < <

39 Matemática sequências numéricas. Uma sequência numérica é uma progressão aritmética (PA) se a diferença entre dois termos sucessivos é sempre a mesma. Verifique, em cada caso, se a seqüência é uma PA: a) (, 0,,, ) P.A. r b) (,,,...) P.A. constante r 0 c) (000, 00, 00, 00) Não é P.A. d) (, 9,,, 0) e) P.A. r 5,,,,, 7 P.A. r f ) (,,,,...) P.A. r g) (0, 05, 5, ) Não é P.A.. Escreva o ọ e o 7 ọ termo da PA (5,, 7,...). r a 0 a ,, 7,, 9, 0, 7 a a7. Os números, e, nessa ordem, são três termos consecutivos de uma PA. a) Obtenha b) Qual a razão dessa PA? (; 0; ) r 0 0 c) Qual o º. termo dessa PA? a a + r + 0. Escreva: a) uma PA de 5 termos onde o ọ termo (a ) é 0 e a razão (r) é ; (0; ; ; 9; ) PA r b) uma PA de termos onde a e r ; (; ; ; ; 0; ; ; ) PA r c) uma PA de termos onde a e r 5; ( ; ; 7; ; 7; ) PA r 5 d) uma PA de 5 termos onde a e r π. (; + π, + π, + π, + π) PA r π 5. A população de um país cresce anualmente como uma PA de razão Sabendo que em 00 a população do país era de habitantes, qual deverá ser o número de habitantes em 00? + r , , , , , , )pa r Em habitantes 9

40 Caderno de Atividades. Numa PA, determinar a 0, sabendo que a e r 5. a n a + (n ). r a 0 + (0 ). 5 a A sequência de números ímpares positivos forma a PA (,, 5, 7,...). Verifique qual é o 00 ọ número ímpar positivo. a n a + (n ). r a 00 + (00 ). a Classifique cada sentença abaio em verdadeira (V) ou falsa (F): ( V ) A sequência (5, 9,, 7, ) é uma PA. ( F ) A razão da PA (,,, ) é. ( F ) Na PA (, 7,, 9,...), a e r 5. ( V ) Se numa PA a e r, então a. ( V ) A PA (5,,,,...) é decrescente. ( V ) Na PA (5,,,, 7, 0, ), temos que a + a 7 a + a. ( F ) A PA (,, 0, ) é decrescente. 9. Sabendo que (, +, 7 ) são termos consecutivos de uma PA, ache o valor de. b a + c Os múltiplos de compreendidos entre 0 e 0 formam a PA (,, 0,...,, ). Determine o número de termos desta PA. a n a + (n ). r + (n ). n + n n 0 n 0. Insira meios aritméticos entre 00 e. a n a + (n ). r 00 + ( ). r 00 7r 7r r. Calcule: a) a soma dos 50 números naturais pares; S a + a n n S n.n.50 S n b) a soma dos 50 números naturais ímpares. S n S n. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por n n, n N*. Obtenha o termo geral desta PA. a) o ọ termo da PA; ()² () a b) o ọ termo da PA; ()² () a + a a ( ) c) a razão da PA; r a a r ( ) + d) o termo geral dessa PA. a n a + (n ). r a n + (n ). a n + n a n 5 + n 0

41 Matemática. Calcular a soma dos termos da PA finita com: a) 50 termos, se a 5 + a 00 a +r + a + 5r 00 a + 9r 00 S a + a n 50 n S a + a + 9r S 50 a + 9r S 50 S b) termos, se a 50 S a + a S a S n 5. No desenho, os segmentos representam palitos de fósforo: ạ fila ạ fila ạ fila ạ fila Na ạ fila eistem palitos, na ạ fila há 7 palitos, e assim por diante. a) Quantos palitos eistirão na 0 ạ fila? b) Quantos palitos ao todo eistirão nas 0 filas? a n a + (n ). r a 0 + (0 ). a a 0 79 S a + a n n S + 79 n n 0 S n 0 S 0 n

42 Caderno de Atividades. Observe cada PG, calcule a razão e classifique-a: Eemplo: PG (,,,,...) q crescente a) PG (,,,,...) q crescente b) PG (,,,...) q crescente c) PG (,,,...) q decrescente d) PG (,,,,...) q constante e) PG (5, 0, 0, 0,...) q 0 oscilante 5 f ) PG (0, 0, 0, 0, 0,...) Com 0 é indeterminado, a razão pode ser qualquer valor real Dado as progressões geométricas abaio, calcule o 9o. termo de cada uma delas: a) PG (, 9, 9,...) q 9 a 9 a. q a a 9 b) PG (,,,...) q a 9 a. q a 9 a 9 5 a 9 5 a Calcular o décimo termo da progressão geométrica (,,,...). a q a 0 a. q 9 a 0 ( ). ( ) 9 a 0 ( ). ( 9.) a Calcular a razão das progressões geométricas abaio: a) PG (, a, a, a, a 5,,...) a a. q 5. q 5 q q q 5 q 5 b) PG (a,, a, a, a 5, 97,...) a a. q a 97 a 97. q 97 q q q ± q ou q 0. Inserindo cinco meios positivos entre 5 e 0, nesta ordem, obtém-se uma progressão geométrica de razão: a) (5,,,,,, 0) a 5 a 7 a. q 0 b) q 5 a q q c) q ± d) q ou q e)

43 Matemática. Sendo a seqüência (, +, ) uma PG, então o valor de é: a) b a. c b) c) d) e) 5 ( + ). ( ) Se os números,,, 5 estão formando, nesta ordem, uma progressão geométrica, então, o valor de + é: a) a a. q q 7 b) c) d) e) 0 5. q q 5 q (,,, 5) 7 q + 5. Calcule a razão e o 0 ọ termo da. Calcule o valor de +, sabendo que uma PG é (; ; ) e a outra PG é (,, 7). a) b) c) 5 d) 7 e) ± ou ± 9 ou O valor da razão da PG cujos elementos verificam as relações: a + a + a5 a + a + a a) b) c) d) 5 e) a + a q + a q 5 a q + a q + a q a. ( + q + q ) a. q ( + q + q ) I II dividindo II por I a. q( + q + q ) a.( + q + q ) q PG ( + 5; + ; ;...), sabendo que seus termos são valores positivos. b a. c (9; ; ;...) ( + ) ( + ) q a 0 a. q 9 a a Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (,,,,...). n a q Sn ( ) q S 0 ( ) 0 S0 0 S 0 0

44 0 Caderno de SAtividades 0 S0 7. Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (,,,...). S S S S c) S e) 0 0 S 0 S S S S0 S S S S S S0 5 n a ( q ) 0 Sn n q 0 n 09 + n ( ) 7 n n 0 7 n 09 0 n Se a soma dos n primeiros termos da PG (,, 9,...) é S0 09, então o número n de termos dessa PG é: a) b) 7 d) Numa PG, tem-se a e a 0. Calcular a soma dos nove primeiros termos dessa PG. a a. q. q q q q a a. q a a. q a. ( ) a a ( q ) S9 q 9 S9 ( ( ) ) 5 S9 S Calcular o limite da soma dos infinitos termos da PG (,,,...). S S a q. Sendo S , então calcule o valor de S. a S q. Resolva a equação s S S a q + 9. Resolva a equação a S q

45 Matemática. A soma de todos os infinitos termos de uma progressão geométrica estritamente decrescente é igual a 5. Se o primeiro termo dessa progressão for, então o seto termo é: a) S b) c) d) e) a q 5 q 5 ( q). q 5 q q q a a a. q 5 a a Calcule a soma a 0 q 0 S S S a q , Anotações 5

46 Caderno de Atividades matemática financeira. Numa classe de alunos, há moças e rapazes. a) Encontre a razão entre o número de moças e o número de rapazes. b) Encontre a razão entre o número de moças e o total de alunos. 7. Calcule os valores de e, sabendo que e Num cesto de frutas há somente maçãs e laranjas. Quantas são as maçãs, se há 5 laranjas e a razão entre o número de maçãs e o de frutas é? maçãs. Na propriedade fundamental das proporções temos o produto dos meios igual ao produto dos etremos. Aplicando esta propriedade, escreva quatro proporções, utilizando os números,, e. ) ) ) ) 5. Determine o valor de : ( +) 5( + ) Uma determinada fotografia tem cm de largura por cm de altura ( ). Se ela deve ser ampliada para 0 cm de largura, obtenha a altura correspondente cm 7. Calcule os valores de, e z na série de razões z, sendo + + z. z + + z z 9 z

47 Matemática. Em uma pequena escola verificou-se que, de cada cinco crianças, duas praticam natação. a) Qual a razão entre o número de crianças que não praticam natação e o número total de crianças? 5 5 b) Sabendo que na escola há 0 crianças, quantas praticam natação? Víctor viaja no seu carro a uma velocidade constante de 00 km/h e leva horas para percorrer uma certa distância. Se a velocidade fosse de 0 km/h, qual seria o tempo gasto para percorrer a mesma distância? 0 00,75 ou horas e 5 minutos. 0. Um operário ganha R$ 00,00 por dias de trabalho. a) Quanto receberá por 0 dias de trabalho? b) Qual é o valor recebido por hora, se ele trabalha horas por dia? / DIA 50, 5. Em 0 minutos, uma torneira despeja em um tanque litros de água. Quantos litros despejará em horas e 0 minutos?. Dez máquinas iguais produziram 50 peças em dias. Em quanto tempo máquinas iguais às primeiras produzirão 00 peças? M P d d d M P Um carro, com velocidade constante, percorre 500 km em seis dias, viajando 0 horas por dia. Quantos km percorrerá com a mesma velocidade em oito dias, viajando 5 horas por dia? h/d 5 0 km d 500 km km d h/ p km. Na planta de um edifício 50 com 0 escala utilizada de :50, uma sala retangular tem 500cm 0 cm por cm. 5m a) Quais as medidas reais, em metros, dessa sala? cm 5m 50 00cm A 5. 0m² m 50 00cm m b) Qual é a área dessa sala em metros quadrados? 5. Carlos paga um aluguel mensal de R$ 0,00 por uma loja. O proprietário do imóvel quer aumentar o aluguel em 9% no próimo mês. a) Quanto é 9% de R$ 0,00? 9 0 7,0 00 b) Qual será o novo valor do aluguel? MIN 00 0 LITROS L R$ (0 + 7,0) R$ 9,0 7

48 Caderno de Atividades. João tinha um saldo devedor de R$.000,00 e pagou R$ 70,00 ao banco. Calcule o percentual da dívida que foi paga % 7. Sabendo que uma mistura foi feita com litros de água e litros de álcool, determine a porcentagem de álcool contida na mistura. TOTAL L.,%. Calcule: a) determine o valor da venda após o acréscimo de 0%.,0. 7, b) determine o valor de venda atual, com o desconto de 0%. 0,0. 7,,0 0. Você já deve ter observado que alguns gráficos são feitos a partir do círculo. Sabendo que a soma dos ângulos indicados ( ^a + ^b + ^c + ^d ) é igual a 0 o, descubra a medida de cada um dos ângulos, de acordo com a porcentagem que cada um apresenta: a) 5% de 0 o b) 0% de 0 o c) 0% de 0 o d) 75% de 0 o e) 0% de 0 o ^ b ^ a ^ c ^ d 50% 5% 5% 0% f ) 0% de 0 o 9. Uma loja de artigos esportivos estava vendendo um par de tênis por R$,00. Por ocasião do Dia das Crianças houve um aumento de 0% sobre o preço de venda. Passada essa data, o gerente da loja resolveu dar um desconto de 0% sobre o valor que estava sendo vendido. Dessa forma:. Complete a tabela: 9 0 a o 00 b o 00 c o d o a o 00 b o 00 c o d o Porcentagem % 5% 5% 5% 50% 70% 0% Fração centesimal Número decimal 0,0 0,05 0,5 0,5 0,50 0,70,0

49 Matemática. Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições: CAPITAL TAXA PRAZO JUROS R$ 50,00 5% a.m. meses 5 R$ 0,00 0% a.m. meses 5 R$.00,00 % a.m. ano.5 R$ 0.000,00 % a.a. anos.00. Clara contraiu uma dívida de R$.000,00 a ser paga em regime de juros simples, após anos e meio. Ao quitar a dívida, efetuou um pagamento de R$.0,00. Qual foi a taa de juros mensal? J J c. i. t i. i % a.m. Calcule o montante obtido de uma aplicação de R$5.000,00 durante anos, à taa de,% ao mês, na modalidade de juros simples. J c. i. t J , 00. J 500 M M Carlos contraiu uma dívida de R$ 50,00, a ser paga em regime de juros compostos, à taa de 0% a.m.. Qual será o valor da dívida daqui a meio ano? M C ( + i) t M50 ( + 0,0) M,90. Aplicando R$.550,00 em uma caderneta de poupança cujo rendimento é,% ao mês, qual será o saldo final, se o período de investimento for de: a) mês? M 550., M 0 b) meses? M 550.,³ M 7,0 c) meses? M 550., M 0, d) ano? M 550., M 5,95 7. Em um certo país, a população cresce à taa de % ao ano. Considerando a população atual de 5 milhões de habitantes, qual será a população daqui a anos? M ,0² M Um pequeno poupador abriu uma caderneta de poupança com R$50,00. Supondo rendimento constante de % a.m., determine: a) quanto ele terá após um ano de aplicação; 50.,0¹² 9,0 b) qual o tempo necessário para que ele possa resgatar R$00,00. M C ( + i) t (,0) t 50,0 t t 50 meses 9

50 Caderno de Atividades 9. Você dispõe de R$.00,00 para investir. Se a taa de rendimento for de 7% a.m. e o prazo for de meses, qual o montante a ser recebido em regime de: a) juros simples? J c. i. t J 00. J b) juros compostos? M C. ( + i) t M 00. (,07) M 0,7 0. Um investidor possui R$ ,00. Ele aplica 50% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples de % a.m., durante meses, e aplica o restante em outro investimento que rende juros compostos de % a.m., durante meses também. Quanto ele possui ao fim desse período? J c. i. t J J 500 M 500 M C. ( + i) M 5000 (,0) M 5,50 M t 50,50. Por um empréstimo de R$ 0.000,00 paga-se, de uma única vez, após meses, o total de R$ 5.00,00. Considerando juros compostos, qual é a taa mensal de juros? M C ( + i) t ( + i)², ( + i)² ( + i), I 0, 0%. Paulo quer comprar um carro que custa R$ 5.000,00. O vendedor propõe as seguintes condições de pagamento: Pagamento à vista com 5% de desconto. Pagamento em 0 dias com 0% de desconto. Qual das duas alternativas é mais vantajosa para o comprador, considerando-se que ele consegue, com aplicação de 0 dias, um rendimento de 7%? À vista 50 0 dias Aplicação + 50 J 750 Em 0 dias é mais vantajosa Anotações 50

51 Matemática Geometria analítica. Obtenha o coeficiente angular das retas definidas pelos pontos A e B, em cada um dos itens: a) A(; ) e B(; 5) ( ) ( ) m m 5 m b) A(; ) e B(7; ) ( ) ( ) m m 7. Determine a equação da reta que passa pelos pontos P(; 5) e Q( ; ) m e esboce seu gráfico. m m 5 m m 5 m P c) A(0; ) e B( ; ) 0 m 0 m d) A(; ) e B( ; ) ( ) ( ) m m 0 0 e) A(; ) e B(; ) m ( ) 5 0 não eiste m. Verifique se os pontos A(; ), B(; ), C(0; ) e D(; ) pertencem à reta de equação + 0. A (; ). +. A não pertence B (; ) B pertence C (0; ) C pertence D (; ). +. ( ) 9 0 D não pertence 5

52 Caderno de Atividades. Determine os pontos de intersecção da reta + 0 com os eios cartesianos. eio : (0) ( ; 0) eio : (0) (0; ) 5. Obtenha as coordenadas do ponto de intersecção das retas r e s, sendo: (r) a reta que passa pelos pontos A(; ) e B(5; ); (s) a reta que passa pelos pontos P( ; ) e Q(0; ). reta r: (, ), (5, ), (, ) 5 reta s: (, ), (0, ), (, ) 0 ( ) ( ) Ponto de intersecção P Q A B +. Determine as equações das retas representadas abaio: ; 5 (0, ), (, 5), (, ) (0,)(,0)(, ) ( ) + 0 5

53 Matemática 7. Considere a reta de equação +. a) Determine a forma geral da equação. + 0 b) Quais são os coeficientes angular e linear dessa reta? coeficiente angular : coeficiente linear : + (angular) (linear) c) Obtenha os pontos de intersecção da reta com os eios cartesianos. eio : ( 0) ; 0 eio : ( 0) (0, ). A reta r passa pelo ponto A(; ) e forma um ângulo de 5 com o eio, como mostra a figura abaio. Obtenha a equação da reta r: A r 9. Calcule o coeficiente angular de cada uma das retas e classifique-as em crescentes ou decrescentes: r: m ( decrescente) s: m (crescente) t: m (decrescente) u: 0 m (crescente) v: m (crescente) 5 o (, 0), (, ), (, ) 0 ( ) ( ) A soma dos coeficientes angular e linear da reta que passa pelos pontos A(0; ) e B(; 0) é igual a: a) A (0, ), B (, 0), C (, ) b) c) 0 0 d) 0 e) 5 + m e q m + q 5

54 Caderno de Atividades. O ponto A(a; a + ) pertence à reta de equação + 0. Determine as coordenadas do ponto A.. a. (a + ) + 0 a a + 0 a 0 a A (; ). Obtenha a equação da reta que passa pelo P( ; ) e tem coeficiente angular igual a. m ( ) O ponto Q ( ; ) pertence à reta de equação c 0. Determine o valor de c. 7. ( ) +. + c c 0 + c 0 c. Os coeficientes angular e linear de uma reta crescente são as raízes da equação 0. Escreva a equação dessa reta na forma reduzida. ² 0 ± + ± Anotações 5

55 Matemática geometria plana. Determine o valor de nos triângulos retângulos abaio: a) A 5 d) 5 + B C ( + )² ² + 5² ² ² + 5² ² + + ² + 5 ² ² 9 b) c) 9 ² ² + ² + 9 ² 7 ² 7 9² ( + )² + ² 5 ² 5² + ² 9 5 ² ² e) ² ² ² ² ( ) ² Nas figuras abaio, as medidas estão epressas em cm. Obtenha, em cada uma, a medida : a) E b) ± + 0 ± ± 0 B A B D 0 0 C C ² ² + ² ² + ² A D ² ² + (+)² 9 ( )² + ( + )² 9 ( + )² 0 0 ² ( + )² + ±

56 Caderno de Atividades. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede cm a mais que o maior cateto e este mede cm a mais que o cateto menor. Quanto mede cada um dos lados do triângulo? 5. Obtenha o valor de nas figuras abaio: a) z ( +)² ( + )² + ² ² + + ² ² ² ² + ² ² 5 z² ² + ² z² z² ² z² + ( 5 )² ² + 0 ² 9 ² ² 7 0 b) 9 ou '' 5cm, cm e 9cm. Um observador está a 0 m de distância do topo de uma torre. Quando ele anda m em direção ao pé da torre, sua distância ao topo passa a ser 90 m. Qual a altura da torre? 0 m 90 m m h ² ² + ² ² + ². Nas figuras abaio, as retas r, s e t são paralelas. Determine o valor de : a) r s t 90² h² + ² h 00 ² 0² ( + ²) + h² ² + 00 ² b) 9 r s t h² 00 5² h² 5 h 5 h 7m c) 9 r s t

57 Matemática 7. A figura abaio mostra uma parte de um loteamento. As ruas interiores têm 0 metros de largura. Ao adquirir o lote E, o proprietário mandou fazer um muro na divisa com a estrada. Determine o comprimento desse muro: 70 m 0 m 00 m A B C F E D 00 m 0 m Estrada 0 m m. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem,0m de altura mede 0 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: a) 0 cm 0 cm b) 5 cm c) 50 cm d) 0 cm e) 90 cm 0 cm h 00 h m cm 9. (ENEM) 0 cm corrimão 90 cm 0 cm cm cm cm cm cm 90 cm Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a), m ² 0² + 90² Comprimento total b),9 m c),0 m d), m e), m ² ² cm cm,m 57

58 Caderno de Atividades 0. Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A correnteza faz com que ele atraque no ponto B da outra margem, 0 m abaio do ponto A. Se ele percorreu 00 m, qual a largura do rio? largura do rio A C B correnteza 00² ² + 0² ² ² ² m Anotações 5

59 Matemática trigonometria. Nos casos abaio, as medidas dadas são dos catetos de um triângulo retângulo. Determine o seno, o coseno e a tangente de cada um dos ângulos agudos desse triângulo: a) 5 cm e cm ² 5² + ² ² cm b) cm e cm senβ cosβ 5 tgβ 5 cm senα 5 cosα tgα senα 5 cosα tgα 5 5 senβ cosβ 5 tgβ 5. Determine o valor de nos casos abaio: a) b) 0 0 o C. O. sen0 H o C. A. cos5 H. ² ² + ² 0cm cm 0 cm sen α 0, 0 cos α 0, 0 cm tgα 0, 75 sen α 0, sen β 0, 0 0 cos α 0, cos β 0, 0 0 tgα 0, 75 tgβ,... sen β 0, 0 cos β 0, 0 tgβ,... c) 0 o 0 C. O. tg0 C. A 0 X

60 Caderno de Atividades. Calcule a tangente do ângulo a: ( ) C. O. tgα C. A. ( ) C. O. tgα C. A. tgα tgα. Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma tgdistância α de m do poste onde a pipa engalhou. tgα Renata notou que ângulo a formado entre a linha da pipa e a rua era de 0 o, como mostra a figura. Calcule a altura do poste: C. O tgα C. A h tg0 h h m C. O α tgα C. A m h tg0 h h m 5. Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura abaio: Se ela caminhar 0 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 0 o. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa energar o topo do prédio sob um ângulo de 0 o? h tg0 0 h 0 h 0 m 0 o 0 o B 0 m? C h F A h tg0 0 h m. Um avião está a 00 m de altura quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de declive de 0 o. A que distância o avião está da cabeceira da pista? 0 o pista C 0 o B 0 m A sen0 sen sen m 00m 00m 0

61 Matemática 7. Um observador de,70 m de altura, a 00 m de distância da base de um prédio, vê o topo desse prédio sob um ângulo de 0 o com a horizontal, conforme mostra a figura: 9. Calcule o valor de no triângulo: 0 o h 0 o 0 o 0 cm 0 o,70 m 00 m 0 cm Qual é aproimadamente a altura h do prédio? (Dados: sen 0 o 0,5; cos 0 o 0,7 e tg 0 o 0,5) h +,70m tg0 00 0, m h 5 +,70 h 59,70m 0 o 0 o sen cm 0 o 0 cm 0. Esta figura é formada por três triângulos retângulos que têm ângulos agudos de 0 o. Sabendo que BC mede cm, calcule a medida de DE:. Um cabo de aço prende uma torre de 5 m de altura formando com o chão um ângulo de 0 o. Qual é o comprimento do cabo de aço? E D cabo () torre (5m) C 0 o A 0 o 0 o 0 o B 5 sen0 5 0m sen0 a a a cm a cos0 b b b b. b tg0 b cm

62 Caderno de Atividades. Determine a medida do lado AB do triângulo ABC, sabendo que BC cm,  0 o e Ĉ 5 o. B. Dois lados de um triângulo medem cm e 0 cm, e formam entre si um ângulo de 0º. Determine a medida do terceiro lado do triângulo. A 0 o 5 o C cm 0 o 00 cm ² 0² + ².. 0. cos0º sen5 sen0. cm ² ² 0 ² 7 7cm ou 9cm. Num triângulo ABC são dados  0 o, B 75 o e AB cm. Determine a medida do lado BC.. Um triângulo tem lados iguais a cm, 5 cm e cm. Calcule o co-seno do maior ângulo interno desse triângulo. 5 0 cm cm 5 cm cm sen0 sen5 cm 5. Obtenha o valor de nos triângulos: a) B cm o maior ângulo opõe-se ao maior lado ² ² + 5² 5 cos α cos α 0 cos α 5 0 cos α 5 cosα 0, 5 0 b) B X X A 5 o sen0 sen5. cm 0 o C A 0 o 0 o sen0 sen0 m. C

63 Matemática. Determine a largura do rio: Rio l 5 m 0 o 50 m cos ± ( 50 ) ± ± 0 5 l sen0 l 5 5 l m 7. Um menino, sentado num muro, observa o topo e o pé de um prédio, conforme a figura abaio. Determine a altura do prédio: 5 m 0 o 5 m h² 5² + 5² h² h² 5 h 5 5, m

64 Caderno de Atividades. (CESGRANRIO RJ) Deseja-se medir a distância entre duas cidades, B e C, sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB 0 km e AC 0 km, em que A é uma cidade conhecida, como mostra a figura: B 0. Calcule a área dos triângulos representados abaio: a) cm 0 o 0 o C..sen0ϒ A D A D. A D cm b) cm A 7 cm cm Logo, a distância entre B e C, em km, é a) menor que 90; b) maior que 90 e menor que 00; c) maior que 00 e menor que 0; d) maior que 0 e menor que 0; e) maior que 0. ² 0² + 0² ² ² <. 00 < <. 00 < 0 9. (UNICAMP SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caiad água a 50 m de distância. A casa está a 0 m de distância da caia-d água e o ângulo formado pelas direções caia-d água/bomba e caia-d água/casa é de 0 o. Se pretendermos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários? caia casa 0 o 0 50 m cm p , 5 A D p ( p a) ( p b) ( p c) A D 9, 5 ( 9, 5 ) ( 9, 5 7) ( 9, 5 ) A D 9, 5 5,, 5 5, 5 A D 95, 975 A D cm² c) A D b h 0 A D d) 0 cm cm 0 cm 0 cm² rio (bomba) ² 50² + 0² ² ² m 0 A D A D 0 cm² cm

65 Matemática. Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, m e 0 m e formam um ângulo agudo que mede. Determine a medida do ângulo, sabendo que a área do triângulo é de 0 m. A D a b sen 0 0 sen 0 0 sen 0 sen 0 sen 0. Transforme para radianos: a) 50 o 50 o b) 70 o 70 o 50π 0 70π 0 5π π rad rad b) 5 π rad o c) 7 π rad o d) π rad e) o 5 π rad o 0 o 5 o o o c) 5 o 5 o d) 75 o 75 o 5π 0 5π 75π 5π rad 0 e) 0 o 0 o 0π 0 π rad rad. Transforme para graus: a) 7 π rad 7π 7. 0 rad 0 o o. Obtenha a medida do maior ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio quanto este marca 0h0min. α 0º + 0 min 0º 0 min 0º α 0º 5. Dê a localização dos arcos nos quadrantes escrevendo: (I) primeiro quadrante, (II) segundo quadrante, (III) terceiro quadrante e (IV) quarto quadrante: a) ( ) 7 o b) ( ) 79 o c) ( ) rad d) ( ),5 rad e) ( ),p rad f ) ( ) 00 o g) ( ) 9,5 o 5

66 Caderno de Atividades. Represente, na circunferência trigonométrica, os arcos com medidas 5 o, 5 π rad, 0 o e,5p rad. 7. Complete a tabela abaio, escrevendo a menor determinação positiva e a epressão geral dos arcos côngruos de cada arco indicado na ạ coluna: Arcos Menor determinação positiva Epressão geral 50 o 70º 70º + 0º. K 70 o 50º 50º + 0º. K 00 o 0º 0º + 0º. K 5π rad π rad π + K π. Calcule o valor da epressão E sen 90 o + cos p cos 0 o. E + ( ) E 9. Determine para quais valores de k eiste o arco de medida tal que cos m +. m + m m 0. Se é a medida de um arco cuja etremidade pertence ao intervalo [0; 0 o ], quais são os valores de, tais que: a) cos 0º b) sen 0,5 0º 50º 50 o 0 o

67 Matemática. Construa o gráfico (um dos períodos) da função f() + sen: 0 π π. Quais são o período e a imagem da função g() + cos()? π p πrad Im [; ]. Se sen() 5 e 0o < < 70 o, determine o valor de cos(). 5. Se cos de: a) sen sen b) tg e 0,5p < < p, determine os valores sen + cos +cos 5 cos 9 5 cos cos 5 cos ± 5 tg c) cotg cotg. d) sec cos 5 sec. Qual é o domínio da função f() tg( 0 o )? 0º 90º + 0º. K 50º + 0º. K 50º + 0º K e) cossec cossec. 7

68 Caderno de Atividades eponenciais e logaritmos. Utilizando as definições de potência de epoente inteiro, calcular: a) b) ( ) c) d) e) ( ) f ) g) ( 7) 0 h) 5 i) ( ) 0 j) ( ) ( ) k) l) 0 00 m) n) 0 0, 0 o) 0 0, 0 00 p) ,. Calcule as seguintes potências: a) a, b, c e d ( ) a.. 7 b (.. ) c.. 7 d ( ) ( ) ( ) ( ) b) Escreva os números a, b, c e d em ordem decrescente. 7,,, 7. Efetue as operações indicadas, utilizando as propriedades das potências: a). 5 5 b) c) 75 d) ( 0, 0). (50) e) ( ) f ) 00 ( 50) 9 5 ( ) ( ) 50 50

69 Matemática. Calcule o valor da epressão: ( ) + ( ) a) b) Coloque V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: a) ( F ) (p + ) p + b) ( V ) (5 ) 5 c) ( F ) ( ). ( ) d) ( V ) O valor de é: 5 a) 0. 0 b) 0, 9 0 c) 0,0 0 d) 0,00 e) 0, O valor da epressão: + 7. é: a) b) c) d) e) , Se a, b a, c a, então o valor de abc é: a) 5 a b) c) d) 5 e) b ( ) c Calcule a metade de. n n O valor de n+ a) n b) n+ c) d), com n natural é: n n + n n ( + ) n e) 5. Construa o gráfico de cada função abaio: a) f(), com f: R + * / 0 b) g() *, com g: R R + 0 / 9

70 Caderno de Atividades. Construa o gráfico de cada função abaio e determine o conjunto imagem: a) f() / Resolva, em R: a) 0 b) 0 c) b) g() /. Resolva, em R, as equações: a) b) 7 d) 7 5. Resolva, em R: a) ( ) ( + ) 0 0 ou b) 5 5 c) 5 (5 )

71 Matemática. Resolva, em R: a) + + b) e ou 0 b) ou 9 ou c) Resolva, em R: a) ( ) + ( ) ou ou ou. Na figura abaio, está representado o gráfico de f() m. a, sendo m e a constantes positivas. Calcule f()+f(): (0; /) (0; /) ( ; ) 0 m a m. a m a a a a a a f( ) f( ) f( ) 9 f( ) + f( ) + + 7

72 Caderno de Atividades 9. A figura abaio mostra um esboço do gráfico da função variável real a + b, com a e b R, a > 0 e a. Calcule a b : b) log log ( ) log ( ) 7 logo log 9 5 c) log log ( ) log ( ) logo log 0 (0; ) e (; 5) (0; ) (; 5) a 0 + b 5 a b a b 0. Se o gráfico da função eponencial f() passa pelo ponto P (K 5; ), então o valor de K é: a) b) c) d) 5 e) 0. Calcule: a) log k 5 f( k 5) k 5 log k 5 k + 5 k k logo log. Calcule: a) log + log 7+ log log ; log ; log 7 log + 0log + log Calcule o valor da base de cada logaritmo: a) log a a 00 a 0 ou a 0 (não convém pela condição eistência) b) log a / a a a c) log a / a ( a) ( ) a a 7

73 Matemática. Determine o valor de : a) log ( ) b) log / / / 5. Determine o valor de: log 0 + log log Se log b c e log b a, calcule: a) log b (a. c) log + log + 7 b a b c b) a log b c log log b a b c c) log b (a. c) a b c b a b c b log + log log + log. + 5 d) log b a. b c b a b b b c b a b b b c log + log log log + log log Se log 0,0 e log 0,77, calcule: a) log log log(. ) log + log 0,0 + 0,77 0,77 b) log log log(. ) log + log log + log 0,0 +. 0,77 0, ,55 c) log 5 log5 log 0 log0 log 0,0 0,99. O conjunto solução da equação log (0 + ), em R é: a) { ; 5 } b) { } c) { 5, } d) { 5 } e) { 7, } 0 + (não convém) Se log 0,0 e log 0,7, então:. log 0 5 é igual a: a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0, [log log log ] log log log log log , 0 0, 7 0, 0 0, 0 0, 0, 0. Sabendo que log a+ log b, então o valor de ab é: a) b) c) d) e) log (α. β) α. β α. β αβ 7

74 Caderno de Atividades. Esboce os gráficos das funções: a) f() log, com f : R* + R 0 / / b) g() log, com g: R* + R 0. Calcule o valor de nas equações abaio: a) log ( 7 ) S b) log ( ) S 0 / / / 0. Resolver, em R: a) log 0, ( ) log 0, 5 5 S {} b) log ( + + ) log (não convém) S { } (não convém). Observe o gráfico abaio. Nesse gráfico está representado o gráfico de f() logn : 0 O valor de f 7 é: a) 0 b) c) d) e) f( ) log f log log log ( ) log 7