Algoritmos rastreadores de frequência fundamentados na TDF: Uma análise do desempenho em Sistemas Elétricos de Potência.

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1 1 Algoritmos rastreadores de frequência fundamentados na TDF: Uma análise do desempenho em Sistemas Elétricos de Potência. G. Marchesan, E. M. dos Santos, G. Cardoso Jr,. R. Gomes, L. Kraülich, A. L. Oliveira. Resumo--A estimação de frequência é um problema presente em diversas áreas. os sistemas elétricos de potência, a medição de frequência é um serviço importante para a proteção, controle e monitoramento da qualidade da energia elétrica. O presente artigo busca avaliar o desempenho de seis algoritmos de estimação de frequência, sendo estes fundamentados na Transformada Discreta de Fourier (TDF). Tais algoritmos fazem a detecção do pico do espectro de frequência através da amostra de maior amplitude e sua respectiva vizinhança, tanto à direita quanto à esquerda. As técnicas são testadas para sinais com diversas frequências de amostragem, ruídos e harmônicas. Palavras-chaves Estimação de frequência, medição de frequência, algoritmos para processamento de sinais, Transformada Discreta de Fourier. I. ITRODUÇÃO estimação de frequência é um problema de A processamento de sinais presente em diversas áreas, possuindo aplicações em radares, sonares, aviação, comunicações, áudio, biomedicina e especialmente, em sistemas elétricos. Inúmeras soluções têm sido propostas almejando obter um algoritmo rápido e preciso mesmo em condições não ideais, como na presença de ruído e harmônicas. Um método muito utilizado é o método dos Mínimos Quadrados, cujo objetivo é minimizar os erros entre o sinal medido e o estimado conforme pode ser visto em [1]. Outra técnica é filtro de Kalman proposto em [], o qual é um método estocástico que dá uma estimação ótima de variáveis de estado [3]. Existem ainda outras metodologias fundamentadas em: Detecção de passagem por zero [4], PLL (Phase Locked Loop) [5], Gauss- ewton [6] e Transformada Discreta de Fourier (TDF). A estimação de frequência através da técnica da TDF é composta, normalmente, por dois estágios: o primeiro, é Gustavo Marchesan, Eduardro Machado dos Santos e Aécio de Lima Oliveira pertencem ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), Santa Maria, RS, Brasil. ( s:gutomarchesan@gmail.com, eduardosantosufsm@gmail.com) Ghendy Cardoso Júnior e atanael Rodrigues Gomes são professores adjuntos do Departamento de Eletromecânica e Sistemas de Potência da UFSM, Santa Maria, RS, Brasil. ( s: ghendy@smail.ufsm.br, natanael.rgomes@gmail.com). Leyla Kraülich é aluna do curso de Engenharia Elétrica da UFSM, Santa Maria, RS, Brasil. ( llkraulich@gmail.com) realizada uma busca pelo máximo do espectro gerado pela TDF e, no segundo estágio, a detecção deste máximo é otimizada empregando os pontos adjacentes a ele. A fim de realizar a detecção do referido pico, diferentes técnicas foram propostas em [7], [8], [9], [10], [11] e [3]. Essas técnicas foram avaliadas para diferentes taxas de amostragem, comuns a relés e dispositivos utilizados no controle, proteção e monitoramento da qualidade da energia elétrica. Também, foram feitas análises para sinais fora da frequência nominal, com ruído branco gaussiano e componentes harmônicas. as seções seguintes são mostrados os resultados obtidos para os referidos testes, bem como uma breve descrição das metodologias avaliadas. II. MÉTODOS PARA A ESTIMAÇÃO DE FREQUÊCIA As técnicas avaliadas neste trabalho utilizam o espectro de frequências gerado pela Transformada Discreta de Fourier (TDF) para determinar a frequência fundamental (f fund ) do sistema elétrico. Essa frequência é determinada através da localização do ponto de máxima amplitude do espectro. Tendo-se os sinais dados pelas expressões descritas em (1): v a (t) = V sen πf fund. t v b (t) = V sen πf fund. t + π 3 v c (t) = V sen πf fund. t π 3 (1) Onde Va, Vb e Vc correspondem às respectivas tensões da fase a, b e c. A amplitude do sinal é dada por V. Pode-se representá-los na forma fasorial. Isso pode ser obtido através da transformada α-β conforme (). Onde: v α(t) v β (t) = 3. 0 v (t) = v αt + jv βt () v a (t) 3 v b (t) (3) v c (t) Devido ao espectro de frequência ser discreto, seu ponto de máxima amplitude pode não coincidir com aquele obtido para o sinal original que é continuo. Em outras palavras, a

2 frequência do espectro discreto (f máx ), que produz a componente de máxima amplitude (A máx ), não coincide com o valor da frequência fundamental. As metodologias analisadas por este artigo buscam determinar f fund pela adição de um fator de correção à f máx. O valor de, é estimado a partir de (A máx ) e suas componentes adjacentes superior e inferior. A TDF é dada por (). V (k) αβ = v (n)e jπkn/ αβ n=0 k=0, 1,, 3-1 Onde é o numero de amostras analisadas. As metodologias para detecção dos picos são descritas nas seções seguintes. A. Método proposto por Lavopa. O método fundamentado na Transformada Discreta de Fourier proposto por Lavopa (TDF Lavopa), descrito em [6] - [1], aplica a TDF sobre o fasor v αβ utilizando a janela de Hanning a fim de minimizar os efeitos do vazamento espectral. Isto ocorre pelo truncamento no domínio do tempo, quando o sinal é analisado. esse tipo de análise de frequência é preferível que o vazamento espectral ocorra em um pequeno intervalo de frequências, pois, se ocorrer em um intervalo grande, poderá gerar interferência por componentes harmônicas, ocasionando grandes erros na estimativa, conforme descrito em [6]. Após ser determinada a máxima amplitude A máx e suas componentes adjacentes superior e inferior, A máx+1 e A máx-1, respectivamente, pode-se obter de acordo com (5). (t) = 1.5 df A máx(a máx 1 A máx+1 ) (A máx + A máx 1 )(A máx + A máx+1 ) Onde df é dado por (6). df = 1 T Obs = 1 T a = f a A janela observada (T Obs ) deve ser múltipla inteira do período da fundamental, o qual está inversamente relacionado com a resolução de frequência (df). Em (6), f a refere-se à frequência de amostragem. B. Método Proposto por Quinn O método de estimação de frequência por interpolação dos coeficientes de Fourier (TDF Quinn), demonstrado em [7], promete um estimador que apresente um erro eficaz na ordem de -3/. Uma vez determinados A máx, A máx-1 e A máx+1 conforme o descrito na Seção tem-se que: (4) (5) (6) α 1 = Real A máx 1 A máx (7) α = Real A máx+1 A máx (8) δ 1 = α 1 (1 α 1 ) δ = α (1 α ) Se: δ 1 > 0 & δ > 0 δ = δ δ = δ 1 f(t) = (k máx + δ)f a (9) (10) (11) Onde k máx corresponde ao valor de k que gera a maior amplitude no espectro das frequências. C. Método Proposto por Jacobsen O método proposto por Jacobsen (TDF Jacobsen) em [8] é fundamentado numa interpolação parabólica e busca minimizar o erro médio. A frequência fundamental é estimada através de (11), onde δ é dado de acordo com a expressão descrita em (1). Essas pequenas mudanças buscam melhorar ainda mais o desempenho da estimação de frequência, feita com o auxílio da TDF, em situações que envolvam a presença de ruído nos sinais de entrada. A máx+1 A máx 1 δ = Real (1) A máx A máx 1 + A máx+1 D. Método Proposto por Candan Em [9], foi proposto um fator de correção ao método de Jacobsen, a fim de proporcionar uma resposta com menor erro estático. Segundo [9], esse termo de correção é especialmente importante para valores médios e pequenos de. Tal metodologia é descrita pelas equações (11) e (13). Para fins de apresentação dos resultados, será identificada como TDF Candan. tan(π δ = ) A máx+1 A máx 1 Real (13) π A máx A máx 1 + A máx+1 E. Método Proposto por Macleod Segundo [10], mesmo no pior caso (δ igual a 0.5) mais de 85% da energia do espectro de uma senoide se encontra nas três maiores componentes do espectro (A máx, A máx-1, A máx+1 ). Por essa razão, o método de estimação de frequência proposto em [10] (TDF Macleod), utiliza somente as referidas componentes. O valor de δ pode ser obtido de acordo com (14).

3 3 γ = δ = 1 + 8γ 1 4γ Onde γ é obtido conforme (15): Real(A máx 1 A máx Real( A máx + A máx 1 A máx A máx+1 A máx ) ) + A máx+1 A máx (14) (15) F. Método Proposto por Aboutanios O algoritmo proposto em [11] (TDF Aboutanios) consiste em um método iterativo, o qual é fundamentado em bissecções do espectro para detecção do seu pico. Após determinados os valores de A máx, A máx-1 e A máx+1 as amplitudes de cada fasor são avaliadas, a fim de determinar o intervalo de frequência em que se encontra o pico do espectro. Tal método iterativo é dado conforme o algoritmo abaixo. harmônicas podem ocorrer, pois as frequências adjacentes à f máx podem coincidir com alguma componente harmônica, o que causará erros na estimativa da frequência. os testes realizados, utilizou-se T Obs correspondente a 3 ciclos de 60 Hz, isto é, um intervalo de 50ms. A. Sinal com ruído Os métodos foram testados para dois sinais amostrados a 5760 Hz (96 amostras por ciclo), com diversos níveis de ruído Gaussiano Branco. Os valores eficazes dos erros podem ser verificados nas Fig. 1 e Fig.. Para o sinal da Fig. 1 os métodos tenderam a aumentar suas precisões à medida que a quantidade de ruído é diminuída. O algoritmo proposto por Aboutanios apresentou a melhor resposta para sinais contendo a relação sinal ruído (SR) menor que 40 db, tendo sua precisão máxima limitada em aproximadamente 5mHz. Y 1 = A máx 1, Y 0 = A máx, Y 1 = A máx+1 = 0.75 Se: Y 1 > Y 1 Então: Y 1 = (n)e jπn(δ+1 ) e δ = δ + 1 n=0 v αβ Y 1 = n=0 v αβ Para Q iterações: Y 0 = (n)e jπn(δ 1+ ) n=0 v αβ (n)e jπnδ e δ = δ 1 + e = / Se: Y 1 > Y 1 Então: Y 1 = Y 0 e δ = δ + Y 1 = Y 0 e δ = δ Fig. 1 Valor RMS do erro para sinal de frequência 60 Hz para diversas Relações Sinal Ruído. Conforme proposto em [11], o numero de iterações Q é feito igual a 10. Uma vez determinado o valor de δ a frequência pode ser obtida empregando (16). f(t) = δ f a (16) III. SIMULAÇÕES E RESULTADOS A escolha de T Obs e, consequentemente df é um ponto importante para o bom desempenho dos métodos de estimação de frequência. O uso de uma janela de observação grande melhora a resolução do espectro, no entanto aumenta o esforço computacional, haja visto que mais amostras serão necessárias para proceder o cálculo da frequência. o entanto, janelas grandes diminuem a capacidade de detecção de transitórios de frequência devido ao maior número de amostras necessárias para o calculo da frequência em um passo. Além disso, o uso de janelas pequenas diminui o tempo computacional, porém, pioram a resolução do espectro de frequências. Se a resolução do espectro for muito baixa, ou seja, altos valores de df, interferências de componentes Fig. Valor RMS do erro para sinal de frequência 59,5 Hz para diversas Relações Sinal Ruído. Quando o sinal foi desviado da frequência nominal para a frequência de 59,5 Hz, as respostas dos algoritmos pioraram de forma bastante significativa. O método de Aboutanios obteve o melhor desempenho para sinais com ruídos mais altos. Esses resultados podem ser vistos na Fig..

4 4 Os algoritmos de Macleod, Jacobsen e Candan obtiveram os piores desempenhos para sinais com alto teor de ruído, tanto no caso envolvendo frequência nominal quanto na situação em que a frequência foi desviada para 59,5 Hz. B. Diferentes taxas de amostragem As técnicas de estimação de frequência foram testadas para um sinal contendo a SR de 40 db em diferentes taxas de amostragem. O método proposto por Aboutanios apresentou a resposta com menor erro eficaz seguido pelo método de Quinn e de Lavopa. De maneira geral, os erros dos métodos pioram consideravelmente para taxas de amostragem menores que 64 amostras por ciclo (3840 Hz), conforme mostrado na Fig. 4. a Fig. 3, pode-se visualizar as estimativas de frequência para um sinal amostrado em 96 amostras por ciclo. C. Teste com harmônicas Os métodos foram testados para um sinal contendo componentes harmônicas de terceira, quinta, sétima e decima primeira ordem em diferentes taxas de amostragem. a Fig. 5, pode-se constatar que, para este caso, o desempenho dos métodos não é consideravelmente influenciado pela frequência de amostragem. O algoritmo de Aboutanios apresentou o maior erro RMS, ficando limitado a, no máximo, 30 mhz. Os demais métodos apresentaram erros desprezíveis. Fig. 4 Valor eficaz do erro para sinal de frequência 60 Hz, com Relação Sinal Ruído de 40 db e diversas taxas de amostragem. Fig. 5 Valor eficaz do erro para sinal de frequência 60 Hz, com harmônicas de terceira, quinta, sétima e décima primeira ordem, com amplitudes iguais a 3% da fundamental. Fig. 3 Frequência de sinal 60 Hz com relação sinal ruído de 40 db amostrado a 5760Hz. IV. COCLUSÕES Este trabalho apresentou uma comparação entre os desempenhos de diversos métodos de estimação de frequência, que são fundamentados na Transformada Discreta de Fourier e aplicados à sistema elétricos de potência. Os algoritmos testados buscam estimar pico do espectro de frequências gerados pela TDF. Dentre as diversas metodologias testadas, pode-se destacar o algoritmo proposto por Aboutanios que apresentou o melhor desempenho para sinais com a relação sinal ruído menor ou igual a 40 db, em situações não envolvendo distorção harmônica. Por fim, vale destacar que o método de Quinn apresenta o benefício de não ser iterativo, necessitando de menor esforço computacional. Além disso, possui imunidade aos efeitos das componentes harmônicas e, nos testes, obteve o segundo melhor desempenho para sinais contaminados com ruído

5 5 gaussiano branco. V. REFERÊCIAS [1] Pradhan, A.K.; Routray, A.; Basak, A.;, "Power system frequency estimation using least mean square technique," Power Delivery, IEEE Transactions on, vol.0, no.3, pp , July 005 [] P. K. Dash, A. K. Pradhan, and G. Panda, Frequency estimation of distorted power system signals using extended complex Kalman filter, IEEE Trans. Power Del., vol. 14, no. 3, pp , Jul [3] Lavopa, E.; Sumner, M.; Zanchetta, P.; Ladisa, C.; Cupertino, F.;, "Real-time estimation of fundamental frequency and harmonics for active power filters applications in aircraft electrical systems," Power Electronics and Applications, 007 European Conference on, vol., no., pp.1-10, -5 Sept. 007 [4] Aghazadeh, R.; Lesani, H.; Sanaye-Pasand, M.; Ganji, B.;, "ew technique for frequency and amplitude estimation of power system signals," Generation, Transmission and Distribution, IEE Proceedings-, vol.15, no.3, pp , 6 May 005 [5] Sithamparanathan, K.;, "Digital-PLL Assisted Frequency Estimation with Improved Error Variance," Global Telecommunications Conference, 008. IEEE GLOBECOM 008. IEEE, vol., no., pp.1-5, ov Dec [6] Xue, S.Y.; Yang, S.X.;, "Power system frequency estimation using Supervised Gauss-ewton algorithm," Systems, Man and Cybernetics, 007. ISIC. IEEE International Conference on, vol., no., pp , 7-10 Oct. 007 [7] Quinn, B.G.;, "Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficients," Signal Processing, IEEE Transactions on, vol.4, no.5, pp , May 1994 [8] Jacobsen, E.; Kootsookos, P.;, "Fast, Accurate Frequency Estimators [DSP Tips & Tricks]," Signal Processing Magazine, IEEE, vol.4, no.3, pp.13-15, May 007 [9] Candan, C.;, "A Method For Fine Resolution Frequency Estimation From Three DFT Samples," Signal Processing Letters, IEEE, vol.18, no.6, pp , June 011 [10] Macleod, M.D.;, "Fast nearly ML estimation of the parameters of real or complex single tones or resolved multiple tones," Signal Processing, IEEE Transactions on, vol.46, no.1, pp , Jan 1998 [11] Aboutanios, E.;, "A modified dichotomous search frequency estimator," Signal Processing Letters, IEEE, vol.11, no., pp , Feb. 004 [1] Siddiqui, A.A.; Yuan Haibin; Yang QingHua; Yuan Haiwen;, "PHM for air craft power supply generators using real-time frequency estimation based on 3-line DFT," Industrial Electronics and Applications (ICIEA), 011 6th IEEE Conference on, vol., no., pp , 1-3 June 011