Um Algoritmo para Roteamento com Interferência Mínima

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1 Um Algoritmo para Roteameto com Iterferêcia Míima Gustavo B. Figueiredo 1, Nelso L. Saldaha da Foseca 1, José A. Suruagy Moteiro 2 1 Istituto de Computação Uiversidade Estadual de Campias Caixa Postal Campias, SP 2 NUPERC Uiversidade Salvador R. Pociao de Oliveira, Salvador, Ba gustavo.figueiredo@ic.uicamp.br, foseca@ic.uicamp.br, suruagy@uifacs.br Resumo. O roteameto com iterferêcia míima é de suma importâcia para o processo de Egeharia de Tráfego a Iteret com MPLS, dada a ecessidade de se ateder a demada por estabelecimeto de Label Switched Paths (LSP s). Este trabalho apreseta um algoritmo de roteameto com iterferêcia míima deomiado Light Miimum Iterferece Routig (LMIR). Diferetemete dos algoritmos de iterferêcia míima existetes, o LMIR usa uma variação do algoritmo de Dijkstra para a determiação das arestas críticas. Resultados obtidos através de simulações, idicam que a baixa complexidade computacioal do LMIR ão iterfere a precisão do algoritmo. Abstract. Miimum Iterferece Routig is istrumetal to MPLS Traffic Egieerig uder realistic assumptios of ukow traffic demad. This work presets a ew algorithm for miimum iterferece routig, called Light Miimum Iterferece Routig (LMIR). This algorithm itroduces a ew approach for critical lik idetificatio that reduces the computatioal complexity. Results, derived via simulatio, show that LMIR is precise ad has low computatioal complexity. 1. Itrodução O processo de Egeharia de Tráfego desempeha um importate papel o oferecimeto de Qualidade de Serviço a Iteret. O aumeto da largura de bada dos elaces da Iteret ão elimia por completo a ocorrêcia de cogestioametos causados pela distribuição ão balaceada do tráfego a rede [Baerjee ad Sidhu, 2002]. Por ser uma covergêcia do paradigma de ecamihameto orietado à coexão e do modelo sem coexão utilizado as redes IP, a tecologia MultiProtocol Label Switchig (MPLS) tem sido apotada como fudametal o processo de Egeharia de Tráfego. Detre as vatages do MPLS, mecioa-se a capacidade de criar diamicamete LSP s (Label Switched Paths) explícitos a baixo custo operacioal. O dimesioameto e o particioameto do tráfego etre múltiplos LPS s são os pricipais desafios da Egeharia de Tráfego baseada o MPLS. A essêcia da Egeharia de Tráfego é o mapeameto dos fluxos em uma estrutura física, sedo a seleção dos camihos o cere deste processo [Baerjee ad Sidhu, 2002]. A escolha de camihos que satisfaçam múltiplos requisitos idepedetes de QoS é um problema NP-completo, ou seja, ão existe (ou ão se cohece) algoritmo poliomial para resolvê-lo. A solução para problemas de roteameto baseado em QoS a Trabalho parcialmete fiaciado pelo CNPq, processo /95-0

2 S1 D1 S2 A B D2 S3 r(s3,d3,) C D E D3 Figura 1: Iterferêcia: exemplo Iteret passa pela adoção de heurísticas que ecotrem camihos factíveis em tempo real. A escolha de um camiho para o tráfego etre um par origem-destio pode seguir critérios diversos. Os algoritmos de iterferêcia míima o fazem de forma a miimizar a probabilidade de bloqueio das (futuras) requisições para estabelecimeto de camihos. A miimização da probabilidade de bloqueio é realizada através da miimização da redução do fluxo máximo etre outros pares origem-destio. A redução o fluxo máximo etre pares origem-destio devido ao roteameto de uma coexão específica etre um outro par origem-destio é chamada iterferêcia. Diversos trabalhos vêm sedo propostos para resolver o problema de roteameto com iterferêcia míima. O presete trabalho apreseta uma ova heurística para o problema de roteameto com iterferêcia míima, deomiada Light Miimum Iterferece Routig (LMIR), que otimiza a utilização dos recursos da rede com baixa complexidade computacioal. Assim como os algoritmos de iterferêcia míima existetes, o LMIR é um algoritmo olie e idepedete dos padrões de tráfego. Sua pricipal vatagem em relação às soluções ateriores é a baixa complexidade computacioal, possibilitado maior escalabilidade. O restate do artigo está orgaizado da seguite maeira: a seção 2, apreseta algoritmos existetes de roteameto com iterferêcia míima. A seção 3, descreve o LMIR e aalisa sua complexidade assitótica. A seção 4, exemplifica o algoritmo LMIR e coclusões são apresetadas a seção Algoritmos de roteameto com iterferêcia míima Os algoritmos de roteameto com iterferêcia míima objetivam reduzir a probabilidade de bloqueio da rede, ecotrado camihos que miimizem a redução do fluxo máximo etre outros pares origem-destio. A idéia cetral dos algoritmos de iterferêcia míima é que quato maior for o fluxo máximo dispoível etre um par origem-destio meor será a probabilidade de bloqueio das requisições desse par. Assim, os algoritmos de iterferêcia míima tetam rotear uma requisição de uso de bada passate por camihos que maximizem o fluxo máximo dispoível etre outros pares origem-destio [Kodialam ad Lakshma, 2000], de forma a poder acomodar futuras requisições. Este é um problema NP-Difícil. Existem, porém, heurísticas precisas para este problema. A Figura 1 ilustra o coceito de iterferêcia míima. Após uma requisição de um camiho etre S3-D3, com uidades de bada, o algoritmo teta escolher o melhor camiho. Se o camiho escolhido for S3 - A - B - D3, etão todas as futuras requisições etre os pares S1-D1 e S2-D2 são perdidas. Assim, o melhor camiho é S3 - C - D - E - D3, mesmo sedo mais logo que S3 - A - B - D3.

3 O primeiro algoritmo publicado que itroduziu a termiologia iterferêcia míima, foi o Miimum Iterferece Routig Algorithm - MIRA [Kodialam ad Lakshma, 2000]. Este algoritmo assume que os pares origem-destio são cohecidos, bem como a topologia. Além disso, ele assume a existêcia de protocolos de sialização resposáveis pela difusão das iformações sobre topologia, bada residual e rotas explícitas. O fluxo máximo dispoível etre um par origem-destio é cohecido como maxflow e associado a ele está um cojuto de corte míimo [Corme et al., 1990]. O maxflow de um par origem-destio dimiui quado a capacidade de uma aresta que compõe um cojuto de corte míimo dimiui. Sempre que uma ova requisição é aceita etre um par origem-destio, o fluxo máximo desse par dimiui já que o fluxo obrigatoriamete passa por uma aresta de corte. A idéia do algoritmo MIRA é evitar rotear as requisições por arestas que pertecem ao cojuto de corte míimo de outros pares origem-destio. O algoritmo MIRA pode ser descrito como segue. Seja um grafo G=(V,E), com V vértices e E arestas. Seja B o cojuto das capacidades residuais dos elaces e seja r(a,b,bw) uma requisição de bw uidades de bada etre o par (a, b). O algoritmo MIRA retora uma rota etre (a, b) com capacidade bw. O algoritmo possui três etapas. A primeira compreede a computação do maxflow etre todos os pares (s, d) P \(a, b). A seguda etapa iclui o cálculo das arestas críticas e a atribuição dos pesos às mesmas. Os pesos são calculados segudo a expressão: w(l) = (s,d):l C sd α sd, l E (1) ode α sd é o peso do par (s, d) e C sd é o cojuto de arestas críticas. O uso de peso para pares origem-destio pode ser especialmete útil quado se quer atribuir prioridades etre os mesmos. A terceira etapa do algoritmo é a execução do algoritmo de Dijkstra, usado w(l) como peso das arestas. Um outro algoritmo de iterferêcia míima foi proposto por Wag, Su e Che [Su ad Che, 2002]. Ele é baseado o algoritmo MIRA e tem as mesmas premissas básicas, ou seja, a existêcia de protocolos especializados a difusão das iformações de estado e cohecimeto da topologia da rede. Suas pricipais difereças estão a detecção da criticalidade das arestas e a fução de custo. Segudo Wag et. al [Su ad Che, 2002], o algoritmo MIRA pode falhar pois está cetrado a detecção de elaces críticos somete para um úico par origem-destio. Assim, ele ão pode detectar a criticalidade de um elace para um grupo de pares, rejeitado muitas requisições em topologias específicas como em grafos com vértices cocetradores ou vértices distribuidores. Por essas razões, os autores propuseram uma maeira de idetificar o impacto relativo à utilização dos elaces as futuras requisições. A idéia é calcular a cotribuição do elace em relação ao maxflow etre um par origem-destio, evitado os elaces de meor cotribuição. Os pesos utilizados as arestas são calculados por w(l) = (s,d ) P f s d l θ s d R(l), l E (2) ode R(l) é a capacidade residual do elace l, θ s d represeta o fluxo máximo etre o par (s d ) e f s d l é a cotribuição da aresta l o fluxo máximo etre o par (s d ).

4 Uma vez computados os pesos, as arestas que têm capacidade residual iferior à bada requisitada são elimiadas e o algoritmo de Dijkstra é executado usado w(l) como peso [Su ad Che, 2002]. A detecção das arestas críticas é, sem dúvida, a tarefa crucial dos dois algoritmos apresetados esta seção pois é o que determia a sua eficiêcia. Os dois algoritmos apresetados utilizam o maxflow para a detecção das arestas críticas. O algoritmo MIRA [Kodialam ad Lakshma, 2000] utiliza o cojuto de corte míimo associado ao maxflow para realizar esta detecção, ao passo que o algoritmo de Wag, Su e Che apresetado em [Su ad Che, 2002] baseia-se a cotribuição de cada elace para realizar a determiação de criticalidade dos mesmos. A ecessidade de execução do maxflow majora a complexidade de ambos os algoritmos mecioados, sedo uma tarefa custosa e proibitiva em redes de médio/grade porte. O método mais comum para cálculo do maxflow é o método de Ford-Fulkerso [Corme et al., 1990]. O algoritmo de Edmods-Karp é a sua implemetação mais cohecida e usa uma busca em largura o grafo para descobrir os camihos aumetates. Sua complexidade é O(V E 2 ). Em redes como a Iteret, o grau médio (average degree) chega a ser igual a 3,5 [Zegura et al., 1996]. Em outras palavras, o úmero de arestas é sigificativamete maior que o de vértices, o que leva o algoritmo de Edmods-Karp a trabalhar próximo do pior caso (grafos desos). O algoritmo de maxflow mais rápido é o de Goldberg et. al [Goldberg ad Rao, 1998]. Ele tem complexidade igual a O(mi(V 2/3, E 1/2 ) E log(v 2 /E) log(u)) em uma rede com V vértices, E arestas e elaces com capacidades o itervalo [1,U] [Goldberg ad Rao, 1998]. Apesar do algoritmo de Goldberg apresetar uma redução sigificativa a complexidade do cálculo do maxflow, outras abordages que evitem o uso de algoritmos de maxflow podem ser utilizadas para reduzir aida mais a complexidade dos algoritmos de iterferêcia míima, tal como é feito este artigo. Além do cálculo do maxflow, os algoritmos de iterferêcia míima demadam também o tempo para determiação da criticalidade das arestas, alocação dos pesos e mais O(V 2 + E) para execução do algoritmo de Dijkstra. Cotudo, a complexidade computacioal dessas etapas aida é meor que a do algoritmo do maxflow. 3. O algoritmo Light Miimum Iterferece Routig Como mecioado ateriormete, os algoritmos de maxflow podem causar um impacto sigificativo a complexidade dos algoritmos de roteameto com iterferêcia míima. Itroduz-se esta seção, um ovo algoritmo deomiado Light Miimum Iterferece Routig (LMIR) para roteameto com iterferêcia míima que ão utiliza algoritmos maxflow. O LMIR assume a existêcia de protocolos de sialização (ex. RSVP-TE ou CR- LDP) resposáveis pela atualização das iformações de bada residual dos elaces, R(l), e mudaças de topologia ou falhas os liks. Ele teta solucioar o problema através de uma abordagem diferete, buscado ecotrar os K camihos com meor capacidade etre todos os pares origem-destio para etão determiar as arestas críticas. É importate ressaltar que o LMIR ão assume ehum cohecimeto sobre requisições futuras em dos perfis estatísticos do tráfego. A idéia é que o camiho etre um par origem-destio com meor capacidade, cotém a aresta de meor capacidade, ou seja, a aresta crítica. Dessa forma, ecotrar os K piores camihos sigifica ecotrar as K arestas críticas etre o par origem-destio em questão. Assim, o algoritmo LMIR busca as K arestas críticas etre cada par origem-

5 destio e procura evitá-las. O algoritmo LMIR teta ecotrar rotas que miimizem a iterferêcia etre os pares origem-destio da rede, gerado uma utilização balaceada dos recursos da mesma. No algoritmo LMIR, ao chegar uma requisição de bw uidades de bada passate para um par origem-destio (s,d), ri(s,d,bw), as K arestas críticas etre os outros pares origemdestio devem ser ecotradas. Esta busca por arestas críticas é feita, ecotrado-se os K camihos com meor capacidade. Dado que o fluxo de um camiho é limitado pela aresta de meor capacidade, os K camihos em questão cotêm as K arestas críticas. Note que para se alcaçar uma utilização balaceada dos camihos etre um par origem-destio e maximizar o fluxo, as arestas críticas etre esse par devem ser evitadas se houver mais de um camiho etre a origem e o destio. Dessa forma, se a utilização da aresta crítica (u, v) ão for evitada, o camiho P ao qual (u, v) pertece pode ser saturado e provocar uma utilização desbalaceada mesmo que existam outros camihos dispoíveis a rede. Além disso, se (u, v) pertecer ao cojuto de corte míimo, ela deverá ser evitada pois detre as arestas que reduzem o fluxo máximo, ela tede a ser saturada mais rapidamete. Depois de ecotrados os K camihos de meor capacidade, todas as arestas que os compõem recebem pesos calculados de acordo com a equação (2). A utilização destes pesos permite que as arestas dos camihos críticos recebam pesos iversamete proporcioais à sua capacidade residual. A última etapa do algoritmo é a execução do algoritmo de Dijkstra usado w(l) como peso. Esta etapa permite a seleção de arestas ão críticas ou arestas com baixa criticalidade. A seguir o algoritmo LMIR é apresetado. No algoritmo, δ represeta o cojuto dos pares origem-destio. Algoritmo 1 LMIR ENTRADA Um grafo residual G = (V, E) e ri(s, d, bw), uma requisição de bw uidades de bada etre o par s, d. SAIDA Rota etre s e d com bw uidades de bada LMIR 1: Ecotre os K camihos com meor capacidade (s, d ) δ. 2: Calcule os pesos das arestas pertecetes aos camihos ecotrados, de acordo com a equação (2). 3: Elimie as arestas com capacidade residual meor do que bw. 4: Execute o algoritmo de Dijkstra usado w(l) como peso. 5: Estabeleça o LSP etre s e d e atualize a capacidade das arestas. O passo 1 do algoritmo LMIR é uma busca por camihos de meor capacidade, ode δ é o cojuto de todos os pares origem-destio. O algoritmo usado para fazer isso é uma variação do algoritmo de Dijkstra, deomiada MeorCapacidade. Este algoritmo é mostrado a seguir: No algoritmo MeorCapacidade v é um vértice qualquer da rede, D é um vetor que cotém a capacidade míima ecotrada o camiho etre s e v. O vetor π cotém o vértice predecessor de v e o vetor di idica a distâcia em úmero de arestas etre s e v. Q represeta a lista de vértices cuja adjacêcia aida ão foi visitada, a fução extract mi(q) retora o elemeto u Q cujo valor D[u] é o meor e ADJ represeta a lista de adjacêcia do vértice v.

6 Algoritmo 2 MeorCapacidade 1: for all ( v V ) do 2: D[v] = 3: di[v] = 4: π[v] = NIL 5: D[s] = 0.0 6: di[s]= 0.0 7: Q s 8: while (Q) do 9: u extract mi(q) 10: for all v ADJ[u] do 11: if (γ D[v]) (di[u] < di[v]) the 12: D[v] = γ 13: di[v] = di[u] : π[v] = u 15: Q Q v Assim como os algoritmos de iterferêcia apresetados a seção 2, a idetificação das arestas críticas é a tarefa que mais impacta a complexidade computacioal do algoritmo LMIR. A atribuição dos pesos e o algoritmo de Dijkstra impactam da mesma forma a complexidade de todos os algoritmos de roteameto com iterferêcia míima em questão. Portato, a difereça etre as complexidades dos três algoritmos de roteameto com iterferêcia míima apresetados este artigo é devida à forma como as arestas críticas são idetificadas. Como já mecioado, o algoritmo LMIR usa o algoritmo MeorCapacidade, para ecotrar as arestas críticas. Uma aálise da complexidade deste algoritmo é apresetada a seguir. O passo 2 do algoritmo MeorCapacidade é executado V vezes, já que todos os vértices são visitados. O passo 5 é executado V vezes resultado em uma complexidade de O(V 2 ). Além disso, o passo extract mi(q) em MeorCapacidade tem complexidade igual a O(E) o pior caso, se a fila Q de vértices cuja adjacêcia aida ão foi visitada for implemetada como uma lista ecadeada. Assim, a complexidade total do algoritmo é de O(V 2 + E) = O(V 2 ) [Corme et al., 1990]. Como cada par executa este algoritmo K vezes, a complexidade para idetificar arestas críticas seria O(K V 2 ) = O(V 2 ), equato que os outros algoritmos de iterferêcia míima apresetam, a etapa de idetificação de arestas críticas, complexidade igual a O(mi(V 2/3, E 1/2 ) E log(v 2 /E) log(u)). Para mostrar que a complexidade do MeorCapacidade é iferior à do maxflow de Goldberg et al, que é o algoritmo de maxflow mais rápido, a aálise da complexidade de ambos será feita em separado para grafos desos e esparsos. Em grafos desos, pode-se assumir E = V 2 assim, o algoritmo de Goldberg et al. ficaria igual a O((V 2/3 ) V 2 log(v 2 /V 2 ) log(u)), equato que a do MeorCapacidade tem complexidade igual a O(V 2 ). Assumido que o termo log(v 2 /V 2 ) possui termos omitidos, já que a complexidade ão pode ser zero, e que log(v 2 /V 2 ) log(u)) > 1, tem-se que maxflow de Goldberg et al. = V 2/3 V 2 = V 8/3 > V 2 = MeorCapacidade. Assim, V 2 = O(V 8/3 ) MeorCapacidade = O(maxflow de Goldberg et al.) Em grafos esparsos pode-se assumir que E = V. Neste tipo de grafos, Q pode

7 ser implemetada como um heap [Corme et al., 1990]. Assim, tem-se MeorCapacidade = O(V log V ), já que o passo extract mi(q) tem complexidade igual a O(log V ). Além disso, assumido que log(v 2 /E) log(u)) > 1, tomado os dois primeiros fatores de O(mi(V 2/3, E 1/2 ) E log(v 2 /E) log(u)), tem-se Etão temos, Goldberg et al. = V 1/2 V e MeorCapacidade = O(V log V ). Assim, descartado o fator V, presete os dois algoritmos e aplicado log tem-se MeorCapacidade = log(log V )egoldberg et al. = log V 1/2 = 1/2 log V. log(log(v )) = O(1/2 log V ) MeorCapacidade = O(Goldberg et al.) O que mostra que tato em grafos desos quato em grafos esparsos, a detecção de arestas críticas o LMIR é meos custosa que os algoritmos que usam maxflow. 4. Exemplos uméricos Foram realizados experimetos de simulação a fim de se verificar a precisão e o desempeho do algoritmo proposto. A topologia utilizada é mostrada a Figura 2. Esta topologia foi utilizada em [Su ad Che, 2002] e em [Kodialam ad Lakshma, 2000]. Os pares origem-destio (S1, D1), (S2, D2), (S3, D3), (S4, D4), (S5, D5) são mostrados a figura e são os úicos potos de etrada e saída de tráfego da rede. Os elaces mais claros têm capacidade de 1200 uidades de bada e os elaces mais escuros têm 4800 uidades. Estes valores simbolizam a taxa do OC-12 e do OC-48, respectivamete. Cada elace a figura é bidirecioal, ou seja, represeta dois elaces de igual capacidade e setidos opostos. As requisições etre os pares foram geradas aleatoriamete e a quatidade de bada requisitada é uiformemete distribuída o itervalo [1, 4]. S2 D D5 D3 2 S S5 D1 14 S D2 15 S4 Figura 2: Topologia usada as simulações Nas legedas das figuras apresetadas a seguir, os algoritmos de iterferêcia míima serão represetados por ICC [Su ad Che, 2002] MIRA

8 [Kodialam ad Lakshma, 2000] LMIR. Além dos algoritmos de iterferêcia míima apresetados, mais dois algoritmos foram utilizados as simulações para que comparações fossem feitas também com algoritmos que ão levam em cosideração o feômeo da iterferêcia. O Miimum Hop Algorithm (MHA) é uma implemetação do algoritmo dedijkstra e o Widest Shortest Path Algorithm (WSP) ecotra o camiho com maior capacidade da rede. Se mais de um camiho com mesma capacidade existir, o algoritmo WSP devolve o camiho com o meor úmero de arestas. Nestes experimetos, assume-se que os LSPs têm vida loga, ou seja, uma vez aceitos, eles ocupam os recursos até o fial dos experimetos. Foram geradas aleatoriamete requisições etre os cico pares já mecioados. Sabe-se que quato meor for a taxa de dimiuição do fluxo máximo, meor será a probabilidade de bloqueio. A Figura 3 mostra a dimiuição do fluxo máximo da rede em fução do úmero de chegadas. Pode-se ver que a taxa de dimiuição do fluxo total da rede é meor para os algoritmos de iterferêcia míima. Os algoritmos WSP e MHA têm uma redução mais acetuada pois utilizam arestas críticas idiscrimiadamete, causado a redução do maxflow etre diversos pares origem-destio o que demostra a importâcia dos algoritmos de iterferêcia míima. O LMIR tem uma taxa de dimiuição do fluxo máximo iferior à do ICC e igual à do MIRA até as requisições. A partir deste poto, tem um decaimeto levemete mais acetuado que os dois até as requisições. A partir das requisições, o comportameto de todos os algoritmos tora-se bem parecido, quase liear LMIR MIRA ICC WSP MHA Reducao do fluxo total da rede Numero de requisicoes Figura 3: Largura de bada total etre todos os pares origem-destio da rede. A Figura 4 mostra o úmero de requisições rejeitadas como fução do úmero de requisições que chegam o sistema. O MHA é o algoritmo que rejeita o maior úmero de coexões para um meor úmero de requisições demadadas, o que se verifica logo após requisições. Isso acotece porque ele sempre escolhe o camiho mais curto, saturado rapidamete as arestas que fazem parte deste camiho. O WSP começa a rejeitar coexões perto das coexões. Etretato, por ão levar em cosideração a criticalidade das arestas, ele pode escolher camihos que possuem arestas críticas de vários pares e provocado a saturação das mesmas. Etre os algoritmos de iterferêcia míima, o LMIR e o MIRA são os algoritmos que apresetam um meor úmero de coexões re-

9 jeitadas LMIR MIRA ICC WSP MHA Numero de rejeicoes Numero de requisicoes Figura 4: Número de rejeições Coforme mecioado, iterferêcia é a dimiuição do fluxo de um par origemdestio devido ao roteameto de requisições etre outros pares. A Figura 5 mostra um experimeto realizado para avaliar a iterferêcia sofrida pelo par (S1, D1) quado requisições etre outros pares são roteadas a rede. As requisições de coexão chegam aleatoriamete para os pares (S2, D2), (S3, D3), (S4, D4) e (S5, D5). Pretede-se verificar a ifluêcia destas requisições o fluxo de (S1, D1) LMIR MIRA ICC WSP MHA Iterferecia sofrida pelo par S1-D Numero de requisicoes Figura 5: Iterferêcia sofrida pelo par S1-D1 A Figura 5 mostra a iterferêcia o par (S1, D1) quado coexões são roteadas etre os outros pares. É fácil ver que os algoritmos MHA e WSP, que ão levam em cosideração o feômeo de iterferêcia, provocam uma dimiuição do maxflow etre

10 Tabela 1: Tempos de Execução para requisições ICC MIRA LMIR k=1 LMIR k=2 LMIR k=3 LMIR k=4 LMIR k=5 LMIR k=6 Tempo 7.23s 7.24s 5.017s 5.67s 6.54s 6.94s 7.01s 7.14s (S1, D1) ates mesmo de coexões. O MHA por usar sempre o meor camiho, provoca a saturação logo após as coexões. A partir daí o camiho tora-se saturado e ão existe mais dimiuição. O WSP, muito embora provoque iterferêcia desde as primeiras coexões, demora mais para saturar do que o MHA. Isto acotece porque ele escolhe, à medida que um camiho vai saturado, outros camihos com maior capacidade. A maior acetuação da iterferêcia quado se usa o algoritmo WSP é percebida etre as e 6.500, ode existe uma estagação da curva até as requisições. Etre os algoritmos de iterferêcia míima, a iterferêcia só é percebida após a chegada de requisições, ou seja, ão existe redução maxflow etre (S1, D1) até esta chegada. A partir desta chegada, o algoritmo LMIR cosegue um desempeho melhor, jutamete com o algoritmo MIRA, até bem próximo da chegada de requisições. Mesmo causado uma dimiuição acetuada o maxflow de (S1, D1) logo após as requisições, o algoritmo ICC cosegue o melhor desempeho a logo prazo pois cosegue uma maior estabilização do que o algoritmo LMIR e o algoritmo MIRA. O LMIR e o MIRA, têm um desempeho muito parecido até próximo das requisições, o que talvez possa ser explicado pelo fato de que até as requisições, as K arestas críticas vistas pelo algoritmo LMIR formem cojutos de corte míimo. Assim sedo, as arestas críticas seriam as mesmas para os dois algoritmos. Depois das requisições o algoritmo MIRA começa a se estabilizar ecotrado camihos que ão afetem (S1, D1) e o algoritmo LMIR permaece causado iterferêcia, mesmo que muito brada até as requisições. Ao fial das requisições, aida existe uma grade distâcia etre o LMIR que foi o algoritmo de iterferêcia míima causador de maior iterferêcia e o WSP que é o algoritmo sem levar em cosideração iterferêcia de melhor desempeho. Note que este experimeto, só é levada em cosideração a iterferêcia o par (S1, D1). É importate ressaltar que o LMIR cosegue um melhor desempeho que o ICC quado a iterferêcia etre todos os pares é levada em cosideração, o que foi visto a Figura 3. Como visto a Seção 3, o algoritmo LMIR ecotra os K camihos de meor capacidade para cada par. A escolha do valor deste parâmetro pode alterar o desempeho do algoritmo. A Figura 6 mostra o úmero de coexões rejeitadas em fução de K. Podeser ver que o úmero míimo de coexões rejeitadas, esta topologia, foi alcaçado com K = 5. Depois disso, os camihos começam e se sobrepor e a idetificação das arestas críticas passa a ser uma tarefa difícil. A Tabela 1 mostra o tempo de execução dos algoritmos com requisições etre todos os pares. Os valores foram obtidos utilizado o comado time do Liux, usado máquias Itel Celero 1.2 GHz, 256 MB de RAM. Como era de se esperar, pode-se perceber que o tempo gasto a execução do algoritmo LMIR é meor que o tempo de execução do algoritmo ICC e do algoritmo MIRA. Além disso, o algoritmo LMIR tem a vatagem de coseguir oferecer um compromisso velocidade X precisão a depeder da escolha do parâmetro K. A partir de K = 7, a topologia apresetada, os camihos começam a se sobrepor e a detecção das arestas críticas tora-se mais difícil, deteriorado o desempeho do algoritmo. Os algoritmos WSP e MHA têm seu tempo de execução em toro de 4 segudos. Muito embora mais rápidos, estes algoritmos por ão levarem em cosideração o feômeo da iterferêcia, provocam um úmero excessivo de rejeições e por essas razões foram omitidos.

11 Numero de rejeicoes Valor do parametro K Figura 6: Ifluêcia do parâmetro K o úmero de coexões rejeitadas 5. Coclusões Etre os pricipais desafios da Egeharia de Tráfego a Iteret, usado MPLS, está o roteameto adequado dos LSPs de forma a maximizar o úmero de coexões atedidas. Pela falta de iformações sobre demadas futuras, o roteameto deve ser realizado de forma que as coexões sejam atedidas sem detrimeto do atedimeto das futuras requisições. Assim, o roteameto com iterferêcia míima, assume papel primordial o processo de Egeharia de Tráfego. Neste trabalho, um ovo algoritmo de roteameto com iterferêcia míima foi itroduzido. Este algoritmo, diferetemete dos algoritmos de roteameto com iterferêcia míima existetes, ão executa algoritmos de maxflow para detecção das arestas críticas. Em substituição ao algoritmo de maxflow, modificações foram feitas o algoritmo de Dijkstra para que camihos com meor capacidade fossem ecotrados. Após ecotradas K arestas críticas (arestas que limitam o fluxo dos meores camihos), pesos são atribuídos as arestas e um algoritmo para ecotrar o meor camiho é executado. Resultados obtidos através de simulações mostraram que o algoritmo LMIR tem precisão semelhate à dos algoritmos de roteameto com iteferêcia míima. No etato, o algoritmo LMIR apreseta meor complexidade computacioal do que tais algoritmos. Referêcias Baerjee, G. ad Sidhu, D. (2002). Comparative aalysis of path computatio techiques for MPLS traffic egieerig. Computer Networks, 40(1): Corme, T. H., Leiserso, C. E., ad Rivest, R. L. (1990). Itroductio to Algorithms. MIT Press ad McGraw Hill. Goldberg, A. V. ad Rao, S. (1998). Beyod the flow decompositio barrier. I J. ACM 45 (5), pages Kodialam, M. S. ad Lakshma, T. V. (2000). Miimum iterferece routig with applicatios to MPLS traffic egieerig. I INFOCOM (2), pages

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