Instrumentação e Electrónica - Relatório do 1 Trabalho Experimental

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1 Instrumentação e Electrónica - Relatório do 1 Trabalho Experimental Fonseca, Hugo N o 45341; Pela, João N o 5227; Machado, Miguel N o 523; Lisboa, 16 de Março de 28 O trabalho consiste em projectar um circuito para a carga e disparo do condensador electrolítico sobre o condutor central. Usaram-se as características do tiristor de modo a poder manter uma carga continuada no electrolítico. Pretendeu-se então estudar o efeito sobre a bobine Rogowsky induzido pela corrente que passa sobre o condutor central e determinando a relação entre esta e a F em. induzida. Foram montados e comparados vários tipos de integradores. 1 Objectivos Efectuar uma comparação entre diversos tipos de integradores, utilizando métodos analógicos. Compreender a característica de dispositivos electrónicos por avalanche. Comparar diversas estratégias de captura de sinal. 2 Fundamento Teórico Temos como objectivo calcular a força electromotriz sobre uma bobine de Rogowski. Esta encontra-se à volta de um barra metá lica que, por sua vez, è percorrida por uma corrente, que provém da descarga de um condensador. Ora, a sequência de passos mais adequado para resolver este problema é calcular: a diferença de potencial dos terminais de um condensador (em funcão do tempo); o campo magnético criado pela barra metá lica e a Força Electromotriz induzida na bobine. t Obtemos então: dv t C = v C (t) v C () = 1 C v C (t) = 1 C t i (4) C t i (5) i + v c () (6) Tendo em conta que o condensador está a descarregar e o i que estamos a medir é positivo temos que colocar um sinal negativo v R = RI = RC dv c (7) A Tensão aos terminais do condensador é a mesma que aos terminais da resistência, ou seja v R = v C v C = RC dv C (8) Ora isto é uma equação diferencial homogênea da 1 a ordem dv C + v C RC = (9) Podemos substituir então τ = RC Figure 1: Condensador com carga q. No instante t = o interruptor é fechado iniciando a descarga do condensador. dv C Integramos agora + v C τ = (1) 2.1 Diferença de potencial dos terminais de um condensador i = dq (1) q = Cv C (2) Combinando as equações 1 e 2 obtemos: i = C dv C Integrando ambos os termos (3) t dv C = t [ln] t = t τ v C τ ln( v C(t) v C () ) = t τ (11) (12) (13) v C (t) = v C ()e t τ, t (14) Usando a equação 2 para obter v C () v C (t) = q C e t τ, t (15) 1

2 2.2 Campo magnético criado pela barra metálica Para resolver este problema tendo em conta que temos uma barra finita (fio finito) vamos considerar que temos um reservatório de carga q+ e q em cada ponta da barra. Assim, temos uma corrente eléctrica I que passa pela barra. A carga nos reservatórios vai depender do tempo e vai criar um campo electrico E( r) que é dependente do tempo. Podemos usar o teorema de Ampére desde que façamos uso do mesmo através da lei de Maxwell-Ampére para campos variáveis no tempo. B E = µ j + µ ε (16) t Aplicando o fluxo que passa na superfície Γ a ambos os lados da equação obtemos Γ B.d l = µ I + µ ε (Φ(t)) (17) t Onde Φ(t) é o fluxo do campo eléctrico através da superfície definida por Γ. Esse fluxo é, Φ(t) = q(t) ε (1 sin α) (18) Aplicando então a equação 17 obtemos, 2πR B(C) = µ I + µ ε t [ q(t) ε (1 sin α)] (19) E finalmente obtemos, F em = d (naµ I sin α 2πR ) (24) Obtemos finalmente, sin α di F em = naµ 2πR 3 Montagem Experimental 3.1 Circuito indutor Dimensionamento (25) Características Tiristor Característica TC=25 o C Típica Max Gate Trigger Current (Cont. dc) 9mA 3mA Holding Current 18mA 4mA Quando o condensador está carregado pretende-se que a I 2 seja superior a 9mA. Sabendo que V c c é 15V, a resistência R 2 deverá ser menor que Vcc I 2. Portanto, R 2 igual a 1KΩ verifica estas condições e existe em laboratório. Quando o condensador se encontra quase descarregado, pretende-se que a corrente de Holding, I h, seja inferior a 18mA para que o tiristor abra. Ou seja, temos que garantir que a resistência R 1 seja maior que V cc Ih. Considerando um caso mau com uma temperatura bastante elevada (T=85 o C), Ih é cerca de 5mA. Para este worst case scenario, R 1 deve ser superior a 3KΩ. Foi utilizada a resistência R 1 de 4KΩ. B(C) = µ I sin α 2πR (2) 2.3 Força Electromotriz induzida na bobine A formula para a força electromotriz é: F em = d Φ T otal (21) Em que Φ T otal é o fluxo magnético total na bobine de Rogowski. Sendo que este fluxo é igual em cada espira (o magnético è radial em torno da barra) podemos considerar n vezes o fluxo de apenas uma espira. Φ T otal = nφ Espira = n B. n ds (22) Vamos considerar a aproximação que o campo magnético é constante em cada espira (pois r Espira << r Bobine ) de onde obtemos, Aplicamos agora 23 e 2 em 21, Φ T otal = na B (23) Figure 2: Esquemático do Circuito Indutor. Na zona da Barra encontra-se a bobine Rogowski 3.2 Circuito induzido e integrador passivo Dimensionamento A partir do sinal de saída da bobine calculou-se a área aproximada no osciloscópio de modo a obter uma estimativa do Integral (Ver figura 7). Obtivemos (2mV x 8 µs)/2 =.8µV/s Sabendo que: V i = RCV out + V out (26) 2

3 podemos calcular Vin RC, desprezando, V out V out (27) Pretende-se um V out de 5 mv donde RC =, 8 5 = 16µ s (28) Este valor é o mínimo que podemos usar, no entanto com o material disponível no laboratório optámos por um condensador de 22 nf e uma resistência de 15 KΩ, sendo que RC = 33 µs Figure 3: Esquemático do Integrador Passivo 3.3 Circuito induzido e integrador activo Dimensionamento V i = R 1 CV out + R1 R2 V out (29) Decidiu-se ter um sinal à saída na ordem do Volt. O integral observado do V out foi estimado como sendo 2 3 do rectângulo com área de 8mVs. Ou seja, para 1V a relação das resistências de entrada é Figure 4: Esquemático do Integrador Activo Para as baixas frequências, considera-se a expressão utilizada para o Integrador Activo: V i = R 1 CV out + R 1 V out (31) R 2 desprezando a parcela R1CV out, obtém-se a mesma configuração que do Integrador Activo: R 1 = 1KΩ; R 2 = 1M Ω; C1=1nF Para as altas frequências, considera-se a expressão utilizada para o Integrador Passivo: V i = R 3 CV out + V out (32) desprezando a parcela V out obtém-se a mesma configuração que do Integrador Passivo: C2= 1nF; R 3 = 1KΩ Importante é que se tenha R 1 = R 3 e C 1 = C 2, para manter os pólos sobrepostos. R 1 Vi = =.8µ V s R 2 Vout 8mV s 2 3 (3) (ignorando a parcela R 1 CV out ) R 1 = 6666, 6R 2 Com R1C =, 8µs para R 1 obtivémos R 1 =,8µ s 1nF = 8Ω e para R 2 obtivémos R 2 = 5, 3KΩ. Com o material disponível no laboratório usámos R 1 = 1KΩ; R 2 = 1MΩ; C=1nF 3.4 Circuito induzido e integrador rápido Dimensionamento Tentando melhorar o Integrador Activo, a ideia é juntar o Integrador Passivo, sobrepondo os pólos as duas partes activa e passiva. Usando por isso mesmo o mesmo par de componentes (condensador-resistência). O problema é que o Integrador Activo tem Slew-rate no rise-time. Para compensar o efeito de slew rate são usados componentes passivos, neste caso o integrador passivo. Figure 5: Esquemático do Integrador Rápido 3

4 4 Aquisição de dados 4.2 Circuito induzido e integrador activo Em relação aos resultados obtidos para os vários sinais, de um modo geral, verifica-se que estão de acordo com o esperado. Pela análise das imagens do oscilóscopio, ignorando o sinal da saída do Integrador (será tratado adiante), verifica-se pela forma dos sinais obtidos que, efectivamente, a queda de tensão aos terminais do shunt tem a forma da derivada da tensão aos terminais do condensador. Além disso, observa-se ainda, que a relação entre o sinal no shunt e nos terminais da bobine está de acordo com a fórmula deduzida pelo Electromagnetismo. 4.1 Circuito induzido e integrador passivo Figure 8: Integrador Activo (Rise-Time): azul: tensão aos terminais do condensador; verde: tensão aos terminais do shunt; rosa: tensão na bobine induzida; amarelo: tensão a saida do integrador; Figure 6: Integrador Passivo (Rise-Time): azul: tensão aos terminais do condensador; verde: tensão aos terminais do shunt; rosa: tensão na bobine induzida; amarelo: tensão a saida do integrador; Figure 9: Integrador Activo: azul: tensão aos terminais do condensador; verde: tensão aos terminais do shunt; rosa: tensão na bobine induzida; amarelo: tensão a saida do integrador; Figure 7: Integrador Passivo: azul: tensão aos terminais do condensador; verde: tensão aos terminais do shunt; rosa: tensão na bobine induzida; amarelo: tensão a saida do integrador; 4

5 4.3 Circuito induzido e integrador rápido Optou-se por aplicar um método numérico muito simples para o cálculo dos integrais: No Excel, a área foi calculada somando em cada passo = t 2 t 1 =.1 µs, os parciais V 1 + V2 V1 2, onde se aproxima a função em cada passo por uma recta. De modo a evitar confusões, nesta fase em que se vão analizar os vários integradores, quando nos referimos ao sinal de entrada V i dos integradores, estamo-nos obviamente a referir à queda de tensão aos terminais da bobine. Ora, é aceite geralmente em electrónica que o sinal à saída de um circuito integrador é o integral do sinal à entrada. Obviamente, isto não é completamente verdade, como se pode constatar pelas relações V i V out dos vários integradores por nós estudados. Por exemplo,no caso do Integrador Passivo, tem-se, V i = RCV out + Vout. Podemos considerar o 2 o termo da soma como um ajustamento que o sinal à saída V out precisa, para ser realmente igual ao integral do sinal de entrada. Decidimos utilizar os nossos dados de modo calcular qual o V i que teoricamente deveria ser obtido, atendendo ao V out obtido e depois de calculado o seu integral,de acordo com as relações V i V out de cada integrador, e de seguida compará-lo com o integral numérico do sinal de entrada realmente obtido. Figure 1: Integrador Rápido (Rise-Time): azul: tensão aos terminais do condensador; verde: tensão aos terminais do shunt; rosa: tensão na bobine induzida; amarelo: tensão a saida do integrador; Figure 11: Integrador Rápido: azul: tensão aos terminais do condensador; verde: tensão aos terminais do shunt; rosa: tensão na bobine induzida; amarelo: tensão a saida do integrador; 5.1 Circuito induzido e integrador passivo Em relação ao Integrador passivo, utilizámos a expressão Vi = RCV out + V out. Portanto, integrámos numericamente o sinal V out,somámos a RCV out e comparou-se o grafíco obtido com o integral numérico do sinal de entrada. Observa-se facilmente quando comparando as figuras 12 e 15, que a forma do sinal Vout não corresponde exactamente à do V i, principalmente passado algum tempo. No entanto, somando o ajuste já referido, (Vo ), os gráficos ficam semelhantes (figura 14). Reparese que o sinal V out é mais significativo nos primeiros instantes, enquanto o V o (observe-se na figura 13) só começa a ser significativo principalmente na zona onde V out se diferencia do V i, para compensar. Optou-se ainda por comparar os sinais, verificando quão linear é a sua relação: Se os sinais são supostamente iguais, esperávamos obter y = ax + b, com a = 1 e b =. Os resultados (Ver figura 16) foram muito satisfatórios, com valores Chi 2 bastante baixos. Este dado permite concluir acerca da elevada qualidade do Integrador, uma vez que o integral obtido numéricamente corresponde ao que se deveria obter segundo a estimativa teórica calculada. 5 Tratamento de dados Figure 12: sinal à saída do Integrador,V out. 5

6 Figure 13: integral numérico do sinal V out. Figure 16: comparação da estimativa teórica com o R V i obtido; A qualidade de um ajuste forçado entre os dois, a y = x, diz-nos quão iguais os sinais são. 5.2 Circuito induzido e integrador activo Figure 14: estimativa teórica para o R V i. No Circuito Integrador Activo, a relação V i V out é V i = R 1 CV out + R1 R2 Vout. Como optámos por R1 <<< R2, é de esperar que o 2 o termo da soma seja menos relevante para o total do que no caso do integrador passivo. Verifica-se isto mesmo, pela observação das figuras desta parte do trabalho. Convém referir que a tensão V i (bobines) ficou, no nosso ficheiro, invertida, facto que não afecta, obviamente, os cálculos. Observase facilmente que a forma do sinal V out ( figura 17) é muito semelhante á do Integral numérico de V i (figura 2), quase que não precisa do ligeiro ajuste dado pela soma de R1 R2 Vout (figura 18). Mais uma vez, optou-se por comparar o gráfico de R 1 CV out + R1 R Vout 2 (figura 19) com o Integral Numérico de V i, utilizando uma relação linear y = ax+b. O ajuste está apresentado na figura 21, e mais uma vez, verifica-se que os sinais são semelhantes, com um Chi 2 muito baixo. Figure 15: integral numérico do sinal V i, sinal de entrada do Integrador; é,portanto, o integral da queda de tensão aos terminais da bobine. Figure 17: sinal à saída do Integrador,V out. 6

7 Figure 18: integral numérico do sinal V out. Figure 21: comparação da estimativa teórica com o R V i obtido; A qualidade de um ajuste forçado entre os dois, a y = x, diz-nos quão iguais os sinais são. 5.3 Circuito induzido e integrador rápido Em relação ao circuito Integrador Rápido, optou-se por não estudar directamente a relação V i V out, mas ter apenas em conta (como já foi referido na secção 3.4 deste trabalho) o comportamento para altas e baixas frequências. Verifica-se, como seria de esperar, que o gráfico do V i calculado numericamente (figura 26) é muito semelhante quer ao gráfico obtido por R 1 CV out + Vout (figura 24), quer ao gráfico obtido por R 1 CV out + Figure 19: estimativa teórica para o R V i. R1 R2 (Vout ) (figura 25). No fundo, o objectivo de acoplar um Bloco Integrador Passivo à entrada de um Bloco Integral Activo, criando assim o denominado Integrador Rápido, é utilizar a boa resposta do Integrador Passivo às altas frequências (Slew Rate), acopolada à fiabilidade do Activo para baixas frequências. Evitam-se assim problemas inerentes à limitação do slew rate característica do Ampop, mantendo a qualidade do Integral. Figure 2: integral numérico do sinal V i, sinal de entrada do Integrador; é,portanto, o integral da queda de tensão aos terminais da bobine. Figure 22: sinal à saída do Integrador,V out. Em relação ao Slew Rate, apresentam-se nas figuras 6,8 e 1 os rise times dos diferentes integradores. Pela análise das figuras, verifica-se que não existem diferenças 7

8 Figure 23: integral numérico do sinal V out. Figure 27: comparação da estimativa teórica com o R V i obtido; A qualidade de um ajuste forçado entre os dois, a y = x, diz-nos quão iguais os sinais são. Figure 24: estimativa teórica para o R V i, considerando o bloco Passivo, para altas frequências. substanciais entre os integradores, uma vez que a resposta de todos eles à subida rápida do sinal de entrada não está limitada por nenhuma recta (cujo declive seria o Slew Rate do Ampop), sendo sempre uma curva que acompanha o sinal de entrada. Isto verifica-se devido ao facto de o declive máximo da subida do sinal de entrada não ser superior ao Slew Rate do Ampop utilizado. Assim, conclui-se que, no caso do circuito implementado para este trabalho, com estes componentes, não houve grande vantagem em utilizar o Integrador Rápido, uma vez que o Slew Rate do Integrador Activo era suficiente para o sinal que se pretendia integrar. 6 Conclusões Figure 25: estimativa teórica para o R V i, considerando o bloco Activo, para baixas frequências. Figure 26: integral numérico do sinal V i, sinal de entrada do Integrador; é,portanto, o integral da queda de tensão aos terminais da bobine. Para finalizar, podemos afirmar que todos os objectivos inicialmente propostos foram atingidos. Projectámos, dimensionámos e implementámos o circuito pretendido correctamente, e observámos a carga e descarga do condensador electrolítico sobre o condutor central. Verificámos, à luz do Electromagnetismo, a relação entre a queda de tensão aos terminais da bobine, induzida pelo campo magnético, e a corrente que atravessa o condutor central, corrente essa que, por sua vez, induziu o campo magnético referido. Em relação ao estudo dos diversos integradores que foi proposto, calculámos o integral numérico da queda de tensão aos terminais da bobine (sinal que chamámos V i ), e comparámos este integral com a saída dos integradores. Verificámos que é necessário ajustar o sinal à saída do integrador, somando um termo, dado pela relação V i V out de cada integrador, de modo a obter exactamente o integral do V i. Esse termo, que normalmente até se despreza (achando erradamente que se tem à saída do integrador o integral do sinal de entrada Vi x RC 8

9 ), é V out no Integrador Passivo e R R Vout s no Activo. È óbvio que, no caso do Integrador Activo, se R s >>> R, o termor referido é efectivamente desprezável, e tem-se Vi V out RC. Quanto ao Integrador Rápido, verificámos que a saída V out se assemelha à do Integrador Passivo para as altas frequências e à do Activo para as baixas frequências, como seria de esperar, atendendo às características dos dois blocos que constituem este Integrador. Por fim, comparámos ainda os rise times dos três integradores, de modo a poder concluir sobre as limitações inerentes ao Slew Rate dos Ampop s. Verificámos que, para o sinal que pretendiamos integrar, todos os Integradores responderam correctamente à subida do sinal Vi, não se observando quaisquer limitações quanto ao declive máximo que podem ter na subida. Assim, não nos foi possível constatar as vantagens de usar o Integrador Rapido em detrimento do Activo. 7 Biblografia 1. Classical Electrodynamics, John David Jackson, John Wiley and Sons, 3rd Edition edition Microelectronic Circuits, Adel S. Sedra, K.C. Smith, Oxford University Press Inc, 5th edition Electromagnetismo, Jorge Crispim Romão and Alfredo Barbosa Henriques, IST Press,26 4. About the magnetic field of a finite wire,t Charitat and F Graner,Eur. J. Phys,24,267-27,23 9

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