f : D R m 2 = f(x 2) f(x 0 ) x 2 x 0

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "f : D R m 2 = f(x 2) f(x 0 ) x 2 x 0"

Transcrição

1 Capítulo 4 DERIVADA 4. Introdução Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Inicialmente apresentaremos a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico. 4. RetaTangente Seja: f : D R umafunçãodefinidanumdomínio Dquepodeserumintervaloabertoouumareuniãode intervalosabertos,ouainda, Dtalqueparatodointervaloaberto Iquecontenha 0,setenha: I (D { 0 }). Considere P = ( 0,f( 0 ))eq i = ( i,f( i ))(i =,, 3...)pontosnográficode f, P Q i ; seja r aretasecantequepassapor Pe Q ;seucoeficienteangularé: m = f( ) f( 0 ) 0. Fiemosoponto Pemovamos Q sobreográficode femdireçãoap,atéumponto Q = (,f( ))talque Q P;seja r aretasecantequepassapor Pe Q ;seucoeficienteangular é: m = f( ) f( 0 ) 0. Suponhaqueospontos Q i (i =,, 3...)vãoseaproimandosucessivamentedoponto P (massematingir P),aolongodográficode f;repetindooprocessoobtemos r, r, r 3,...,retas secantesdecoeficientesangulares m, m, m 3,...,respectivamente.Épossívelprovar,rigorosamente,quequandoospontos Q i vãoseaproimandocadavezmaisde P,os m i respectivos, variamcadavezmenos,tendendoaumvalorlimiteconstante,quedenotaremospor m 0. 37

2 38 CAPÍTULO 4. DERIVADA rn r3 Q n Q 3 Q r Q f() r P 0 n 3 Figura 4.: Definição4..Aretapassandopeloponto Petendocoeficienteangular m 0,échamadaretatangente aográficode fnoponto ( 0,f( 0 )). Se m 0 = lim 0 f() f( 0 ) 0 eiste,fazendoamudança t = 0,temos: f( 0 + t) f( 0 ) m 0 = lim. t 0 t Como 0 éumpontoarbitrário,podemoscalcularocoeficienteangulardaretatangenteao gráficode fparaqualquerponto (,f()): Assim, m sódepende. m = lim t 0 f( + t) f() t Definição4.. Se fforcontínuaem 0,então,aequaçãodaretatangenteaográficode fnoponto ( 0,f( 0 ))é: se o limite eiste, y f( 0 ) = m 0 ( 0 ) Eemplo 4.. []Determineaequaçãodaretatangenteaográficode f() = 4,noponto (,3). Denotemospor m ocoeficienteangulardaretatangenteàparábola y = 4 passandopelo ponto (,f()) = (,3). Seja P = (,3)eQ = ( 0,4 0 )pontosdaparábola;ocoeficiente angulardaretasecanteàparábolapassandopor Pe Qé: m PQ = f( 0) f() 0 = ( 0 + ).

3 4.. RETA TANGENTE 39 Q P 0 Figura 4.: Dodesenho,éintuitivoquese Qaproima-sede P( 0 aproima-sede ),oscoeficientesangulares de ambas as retas ficarão iguais; logo: m = lim 0 m PQ =. Aequaçãodaretatangenteaográficode f,noponto (,3)éy 3 = ( )ou,equivalentemente, y + = Figura4.3:Retatangenteay = 4,noponto (,3). []Determineaequaçãodaretatangenteaográficode f() =,noponto (,). Seja mocoeficienteangulardaretatangenteaográficodafunção y = passandopeloponto (,).Seja P = (,)eq = ( 0, 0 ) pontosdacurva;ocoeficienteangulardaretasecanteà curvapassandopor Pe Qé: m PQ = f( 0 ) f ( ) 0 = 0.

4 40 CAPÍTULO 4. DERIVADA P Q / 0 Figura 4.4: Novamentedodesenho,éintuitivoquese Qaproima-sede P ( 0 aproima-sede ) oscoeficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo: m = lim m PQ = 4. 0 Aequaçãodaretatangenteaográficode f,noponto (,)éy = 4( )ou,equivalentemente, y + 4 = Figura4.5:Retatangenteay =,noponto (,). [3]Determineaequaçãodaretatangenteaográficode f() = 3 +,noponto (,). Utilizemos agora diretamente a definição: f( + t) f() t (t + 3t + ) lim = lim = lim(t + 3t + ) =. t 0 t t 0 t t 0 Logo m =.Aequaçãodaretatangenteaográficode f,noponto (,)éy =.

5 4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 4 3 Figura 4.6: Dadefiniçãoseguequeaequaçãodaretanormalaográficode fnoponto ( 0,f( 0 ))é: y f( 0 ) = m 0 ( 0 ), se m FunçõesDeriváveis Definição4.3.Seja f : D Rumafunçãodefinidanumdomínio Dquepodeserumintervaloaberto ouumareuniãodeintervalosabertosouainda, Dtalqueparatodointervaloaberto Iquecontenha 0, setenha: I (D { 0 }). féderiváveloudiferenciávelnoponto 0 quandoeisteoseguinte limite: f f() f( 0 ) ( 0 ) = lim 0 0 Fazendoamudança t = 0,temos: f f( 0 + t) f( 0 ) ( 0 ) = lim. t 0 t f ( 0 )échamadaaderivadade fnoponto 0. Como 0 éumpontoarbitrário,podemos calcularaderivadade fparaqualquerponto Dom(f); Assim f éfunçãode ef ( 0 ) R. f () = lim t 0 f( + t) f() t Definição 4.4. Uma função f é derivável(ou diferenciável) em A R, se é derivável ou diferenciável emcadaponto A. Outrasnotaçõesparaaderivadade y = y()são: dy d ou D f.

6 4 CAPÍTULO 4. DERIVADA Eemplo 4.. []Calcule f ( 4 )ef (),se f() =. f f( + t) f() ( + t) () = lim = lim t 0 t t 0 t Logo, f ( 4 ) = e f () = 4. = lim t 0 ( + t) =. []Calcule f ( )se f() =. f () = lim t 0 ( + t) t = lim t 0 + t ( + t) + =. Logo, f ( ) = 3 3. [3]Calcule f ()se f() = 4. Logo, f () =. f f( + t) f() t (t + ) () = lim = lim = lim (t + ) =. t 0 t t 0 t t 0 [4]Calcule f ( )se f() =. Logo, f ( ) = 4. f f( + t) f() () = lim = lim t 0 t t 0 + t t = lim t 0 + t =. Interpretação Geométrica Afunção F : (D { 0 }) R,definidapor F() = f() f( 0) 0, representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f passando pelospontos ( 0,f( 0 ))e(,f()).logo,quando féderivávelnoponto 0,aretadecoeficienteangular f ( 0 )epassandopeloponto ( 0,f( 0 ))éaretatangenteaográficode fnoponto ( 0,f( 0 )).Se fadmitederivadanoponto 0,então,aequaçãodaretatangenteaográficode fnoponto ( 0,f( 0 ))é: y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) Aequaçãodaretanormalaográficode fnoponto ( 0,f( 0 ))é: y f( 0 ) = f ( 0 ) ( 0), se f ( 0 ) 0

7 4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 43 Figura4.7:Asretastangenteenormalaográficode y = f(). Eemplo 4.3. []Determineasequaçõesdaretatangenteedaretanormalaográficode f() = +,no pontodeabscissa 0 =. Se 0 = então f( 0 ) = ;logo,aretatangentepassapeloponto (,)eseucoeficienteangular é f ().Temos: f f( + t) f() ( + t) + ( + ) () = lim = lim =. t 0 t t 0 t f () = easrespectivasequaçõessão: y = 0ey + 5 = 0. 3 Figura4.8:Asretastangenteenormalaográficode y = f(). []Determineaequaçãodaretatangenteaográficode f() = quesejaparalelaàreta y = 0. Paradeterminaraequaçãodeumareta,necessitamosdeumponto ( 0,y 0 )edocoeficiente angular f ( 0 ). Nesteproblema,temosquedeterminarumponto. Sejam r t aretatangente, raretadada, m t e moscorrespondentescoeficientesangulares;como r t e rsãoparalelas, então m t = m;mas m = em t = f ( 0 ),onde 0 éaabscissadopontoprocurado;como f ( 0 ) =,resolvendoaequação f ( 0 ) =,obtemos 0 = 0 6 e f( 6 ) = 4 ;aequaçãoé 6 8y + = 0.

8 44 CAPÍTULO 4. DERIVADA Figura4.9:Retatangenteaográficode f() = paralelaàreta y = 0. [3]Determineasequaçõesdasretastangentesaográficode f() = 3 3 quesejamperpendicularesàreta y + = 0. Sejam r t aretatangente, raretadada, m t e moscorrespondentescoeficientesangulares;como r t e rsãoperpendiculares,então m t m = ;mas m = e m t = f ( 0 ),onde 0 éaabscissado pontoprocurado;resolvendoaequação f ( 0 ) =,temos f ( 0 ) = 0 e 0 = ±;asequações são: 3y = 0e3y 3 + = 0. Figura 4.0: Teorema4..Se féderivávelem 0 entãofécontínuaem 0. Paraaprovavejaoapêndice. Eemplo 4.4. Seja f() =. fécontínuaemtodo R;emparticularem 0 = 0.Masaderivadade fem 0 não eiste; de fato: Calculemos os limites laterais: f f() f(0) (0) = lim 0 lim 0 + = lim 0 = lim 0. () = lim 0 = lim ( ) =. 0

9 4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 45 Logo, f (0)nãoeiste.Para R {0}, f ()eistee: f () = { se > 0 se < 0. Doteoremaseguequenãoeisteaderivadade fnoponto 0 se fédescontínuanoponto 0. Tambémnãoeisteaderivadade fnoponto 0 noseguintescasos: i)seeiste"quina"nográficodafunçãocontínuanopontodeabscissa 0,comonoponto 0 = 0 do eemplo anterior. ii)se fécontínuaem 0 esepossuiretatangenteverticalpassandopelopontodeabscissa 0. Neste caso, lim 0 f () =. Figura 4.: Funções não deriváveis. Eemplo 4.5. sen( []Seja f() = ) se 0 0 se = 0. f f() f(0) (0) = lim = lim (sen( )) = 0; logo,aderivadaem 0eiste;então, fécontínuaem 0. [] f() = 3 écontínuaemtodo Renãoédiferenciávelem = 0.Defato: f f() f(0) (0) = lim = lim = Figura 4.: Gráfico do eemplo[].

10 46 CAPÍTULO 4. DERIVADA 4.4 Regras de Derivação []Se u() = c,então u () = 0. []Se u() = m + b; m, b Rem 0,então u () = m. Defato,afunçãoécontínuaeseugráficocoincidecomsuaretatangenteemqualquerponto; logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente, u( + t) u() t [3]Se u() = n ; n N,então u () = n n. = m t t = m. Defato: u( + t) u() = n + t [ n n + t ( n (n ) n t... + t n ) ] n e: u u( + t) u() ( + t) n n () = lim = lim t 0 t t 0 t [ t n n + t ( n(n ) n t... + t n )] = lim t 0 t = n n. Proposição4..Sejam u = u()ev = v()funçõesderiváveis;então:.regradasoma:asfunções u ± vsãoderiváveise (u ± v) () = u () ± v ().Regradoproduto:Afunção u véderivávele (u v) () = u () v() + u() v () 3.Regradoquociente:Afunção u v éderivável,e ( ) u () = u () v() u() v () v (v()) se v() 0 Veja as provas no apêndice. Daregradoprodutotemos: (k u()) = k u (),paratodaconstante k.daregradoquociente, temos:se u() = n, 0,com n < 0,então u () = n n. Eemplo 4.6. []Calcule u (),sendo u() = ; 0. Noteque: u() = ,temos: u () = ( ) = []Calcule u ()sendo u() = ( )( + 3).

11 4.5. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 47 Aplicando diretamente as regras: u () = (( )) ( + 3) + ( )(( + 3)) e u () = [3]Calcule u (),sendo u() = logo, u () = ( 3 + ) = u () = ( + ) ( + ) ( 3 + ) ( + )( 3 + ) = 3 + ( 3 + ) ; ( + ). [4] Determine as equações das retas tangentes aos gráficos de: (a) f() = 3quepassapeloponto (3, 4). (b) g() = 3,paralelasàreta y = 0. (a)opontodadonãopertenceaográficode f.poroutroladoaequaçãodaretatangenteao gráficode fnoponto ( 0,f( 0 ))éy() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ),onde f ( 0 ) = 0 3e f( 0 ) = Oponto (3, 4)pertenceàretatangente,logo,obtemos: 4 = y(3) = ( 0 3)(3 0 ) = Resolvendoaequação,obtemos: 0 = e 0 = 5.Então,asequaçõesobtidassão y + + = 0 e y = 0. (b)ocoeficienteangulardaretatangentenoponto 0 é g ( 0 ) = 3 0 edeveserigualao coeficienteangulardaretadada;então 3 0 = ;logo, 0 = ±. Asequaçõesdasretas tangentessão y + = 0ey = Figura 4.3: Gráficos do eemplo[4]. 4.5 Derivada da Função Composta Suponhaquedesejamosderivaraseguinteepressão: u() = ( ) 000 comasregras dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessivamente a regra dasomaouescrevercomoprodutode 000polinômioseusararegradoproduto. Como ambasaspossibilidadessãotediosas,vamostentarreescreverestafunção. Seja g() = 000 e f() = ;éclaroque u() = (g f)().logo,sesoubermosderivaracomposta de funções o problema estará resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função composta g femtermosdasderivadasde fe g,quesãomaissimples.

12 48 CAPÍTULO 4. DERIVADA Teorema 4.. Regra da Cadeia Sejam fe gfunções,taisque g festejabemdefinida.se féderivávelem egéderivávelem f(), então g féderivávelem e: (g f) () = g (f()) f () Outramaneiradeescreveroúltimoparágrafoé: se y = g()e = f(t),nashipótesesdo teorema, temos que: Paraaprova,vejaoapêndice. dy dt = dy d d dt Aplicação:Seja v() = (u()) n,onde n Z.Então: v () = n (u()) n u (). Eemplo 4.7. []Calcule v ()se v() = ( ) 000. Nestecaso u() = ;logo, u () = e n = 000;então: v () = ((u()) 000 ) = 000(u()) 999 u () = 000( ) 999 ( ). []Calcule dy dt se y = g() = e = (t) = t +. Pela regra da cadeia: dy dt = dy d d dt = t(3 + ) = 6t(t + ) + t. [3]Seja gumafunçãoderiváveleh() = g( + ).Calcule h ()se g () = 5. Observemosque h() = (g f)(),onde f() = + ; pelaregradacadeia: h () = g (f())f (),e f () =. Logo, h () = g ( + ). Calculandoaúltimaepressão em =,temosque: h () = g () = 0. [4]Se y = u 3 + u + 3eu =,calcule dy d. Pela regra da cadeia: dy d = dy du du d = 4(3u + u) = 4(3( ) + ( )) = 4( ); ou, fazemos a composta das funções: y = u 3 + u + 3 = ( ) 3 + ( ) + 3 e y = 4( ). [5]Determine f ()se f() = h(h(h())), h() = eh () =. PelaregradaCadeia: f () = h ()h (h())h (h(h()));logo, f () = 8.

13 4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 49 Teorema 4.3. Função Inversa Seja fumafunçãodefinidanumintervaloaberto I.Se féderivávelem Ie f () 0paratodo I, então fpossuiinversa f derivávele: (f ) () = f (f ()) Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avançada. A fórmula pode ser obtida diretamentedaregradacadeia.defato, (f f )() = paratodo I.Derivandoambosos lados, temos que: (f f ) () = f (f ()) (f ) () =. Eemplo 4.8. []Seja f() =, 0;logosuainversaéf () = ef () = 0se 0;logo, f (f ()) =.Aplicandooteorema: (f ) () =, 0. []Seja f() = 3 ;logosuainversaéf () = 3 ef () = 3 0se 0; f (f ()) = 3 3.Aplicandooteorema: (f ) () = , [3]Se n N,então: ( n ) = n n,paratodososvaloresde taisque n sejadefinida. Defato,seja u() = n ;para npar, > 0epara nímpar, nãotemrestrições;ainversade ué u () = n eu () = n n ; u () 0se 0.Aplicandooteorema,temos: ( n ) = (u ()) = u (u ()) = n n. Emgeral,pelaregradacadeia,se u = u()éumafunçãoderivávelev() = (u()) α, α Q; então, v () = α (u()) α u (). [4]Calcule f (),se f() = +.Escrevemos f = g h,onde g() = eh() = + ; logo, g () = e h () = ;então: f () = g (h())h () = +. [5]Determine f (0),se f() = h() 4 h() +, h(0) = 0eh (0) =.Pelaregradacadeia: logo, f (0) =. f () = h ()(4 + 5h()) 4 4 ( + h()) 3 ; 4.6 Derivadas das Funções Elementares 4.6. FunçãoEponencial Seja a Rtalque 0 < a e u() = a Então, u () = ln(a)a

14 50 CAPÍTULO 4. DERIVADA Defato, u () = lim t 0 a +t a t = a a t lim = ln(a)a.emparticular,se a = e,temos: t 0 t (e ) = e Seja v = v()umafunçãoderiváveleconsidereafunção: u() = a v() Então: u () = ln(a) a v() v () Defato, a v() = e v()ln(a) ;usandoaregradacadeiapara g() = e e f() = v()ln(a),temos que u() = (g f)();então g () = e e g (f()) = e v()ln(a) = a v() e f () = v ()ln(a);logo, em particular, (e v() ) = e v() v () O crescimento ou decrescimento eponencial, epresso pela função Q(t) = Q 0 e kt, (k 0) temapropriedade Q (t) = k Q(t),istoé,asuaderivadaéproporcionalàfunção.Aliás,istoéo que caracteriza a função eponencial. Figura4.4:Afunçãoeponencialemazulesuaderivadaemvermelho;para 0 < a < ea >, respectivamente Eemplo 4.9. []Seja y = e. Fazendo v() =,temos y = (e v() ) = e v() v () = e. []Seja y = ( ). Fazendo v() =,temos y = ln() ( ) v () = ln() ( ). [3]Determineaequaçãodaretatangenteaográficodafunção y = e nopontodeabscissa. Derivando y = e ; y () = e e y() = e ;logo,aequaçãodaretatangente passandopeloponto (,y()),é y + e 3e = 0.

15 4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES FunçãoLogarítmica Seja a Rtalque 0 < a e u() = log a (). Usandooteoremadafunçãoinversapara f = uef() = a,temosque: u () = log a(e) Defato, u () = f (f ()) = ln(a) = loga(e).emparticular,se a = e: (ln()) = Usemosaregradacadeiaparacalcularaderivadade u() = log a (v()) onde v() > 0éuma função derivável. Em tal caso: Emparticular,se a = e: u () = log a(e)v () v() (ln(v())) = v () v() Figura4.5:Funçãologarítmicaemazulesuaderivadaemvermelho;para 0 < a < ea >, respectivamente Aplicações Paratodo α R,se u() = α, > 0;então, u () = ( α ) = α α.defato,seja y = u(). Aplicandologaritmoàepressão y = u() = α :temos, ln(y) = ln(u()) = α ln().derivando, temos (ln(y)) = u () u() = y y ; ouseja, y y = α ;logo, y = y ( α) α α = = αα. Emgeral,se u() = (v()) α,onde v() > 0eα R,temos:

16 5 CAPÍTULO 4. DERIVADA u () = α(v()) α v (). Seja y = (u()) v(),onde u() > 0.Aplicandologaritmoàepressão y = (u()) v() ;temosque, ln(y) = v() ln(u()). Derivando, temos: y [ ] y = v ()ln(u()) + u ()v(), e y () = y() v ()ln(u()) + u ()v(). u() u() Então,se y = (u()) v() : [ ] y = (u()) v() v ()ln(u()) + u ()v() u() Eemplo 4.0. []Calculeaderivadade y = , > 0. Aqui α =, α = 5eα = 3 4,respectivamente;logo: y = e []Calculeaderivadade y = ( + + ) 4. Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos: ln(y) = ln( ) + ln(e ) 4ln( + + ) = ln() Derivando: y y = ,logo: [ y = y() ] = + + [3]Calculeaderivadade y =, > 0. e ( + + ) 4 + 4ln( + + ). [ ]. + + Aplicando logaritmo à epressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos: ln(y) = ln().derivando: y y = ln() + e, [4]Calculeaderivadade y =, > 0. y = y()(ln() + ) = (ln() + ). Aplicando logaritmo à epressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos: ln(y) = ln().derivando: y y = ln() +,logo: y = y() [ ln() + ] [ ln() + = ]. [5]Determineaequaçãodaretatangenteaográficode f() =,( > 0)nopontodeabscissa 0 =. Aplicandologaritmoaambososladosde y =,temosque: ln(y) = ln();derivando, obtemos y = y (ln() + ) = + (ln() + ); y () = eaequaçãodaretatangenteé y = 0.

17 4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 53 Figura4.6:Gráficode f() =. [6]Seja f() = ln().sabendoque f () =,verifiqueque: lim(t + ) t = e. t 0 [ f f(t + ) f() () = lim t 0 t [ então, = ln lim (t + t 0 ) t Tabela ln(t + ) = lim = lim ln((t + ) t ) = ln t 0 t t 0 ] ;logo: lim t 0 (t + ) t = e. Sejam u(), v() funções diferenciáveis e k uma constante. Se: [] y = k,então y = 0. [] y =,então y =. [3] y = k v(),então y = k v (). [4] y = u() ± v(),então y = u () ± v (). [5] y = u() v(),então y = u () v() + u() v (). [6] y = u() v(), v() 0,então y = u () v() u() v () (v()). [7] y = a u(),então y = a u() ln(a) u (). [8] y = e u(),então y = u ()e u() [9] y = log a (u()),então y = log a (e) u () u(). [0] y = ln(u()),então y = u () u(). [] y = (u()) α, α R,então y = α (u()) α u (). lim t 0 (t + ) t []Seja y = (u()) v(),onde u() > 0,então y = (u()) v() [ v ()ln(u()) + u ()v()]. u() ] ;

18 54 CAPÍTULO 4. DERIVADA FunçõesTrigonométricas Se y = sen(),então sen( + t) sen() = sen(u)cos( + u),onde u = t.logo: y sen( + t) sen() sen(u)cos( + u) () = lim = lim t 0 t u 0 u sen(u) = lim cos( + u) u 0 u = cos() onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Se y = cos(), sabendo que cos() = sen( π )eutilizandoaregradacadeiacom u() = π,temos: y = cos(u())u () = cos ( π ) = sen(). Se y = tg(),sabendoque tg() = sen() cos() eutilizandoaregradoquociente,temos: y = cos () + sen () cos () = sec (). Se y = sen(),então y = cos(). Se y = cos(),então y = sen() Se y = tg(),então y = sec () Se y = cotg(),então y = cosec () Se y = sec(),então y = tg()sec() Se y = cosec(),então y = cotg()cosec(). Tabela Sejam u(), v() funções diferenciáveis e k uma constante. Se: [3]Se y = sen(u()),então y = cos(u())u (). [4]Se y = cos(u()),então y = sen(u())u (). [5]Se y = tg(u()),então y = sec (u())u (). [6]Se y = cotg(u()),então y = cosec (u())u (). [7]Se y = sec(u()),então y = tg(u())sec(u()) u (). [8]Se y = cosec(u()),então y = cotg(u())cosec(u())u (). Eemplo 4.. []Se y = sen(α), α R. Fazendo u() = α,temos u () = α;utilizandoatabela,temosque y = α cos(α). Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. []Seja y = sen β (α),onde α, β R {0}. Fazendo y = sen β (α) = (sen(α)) β,derivandocomoumapotênciaeusandooeercício anterior, temos: y = β α sen β (α)cos(α).

19 4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 55 Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. [3]Seja y = tg(sen()). Fazendo u() = sen(),temos u () = cos();logo,temosque y = cos()sec (sen()). [4] Determine as retas tangentes ao gráfico de u = sen() que tenham o coeficiente angular iguala. Sabemosquese u() = sen(),então u () = cos();logo,devemosresolveraequação: u () =, ouseja, cos() =,quetemsoluções = ± π 3 + kπ,onde k Z.Asequaçõessão: 6y 3 + ( + 6k)π 3 3 = 0, se = π 3 + kπ, k Z e 6y 3 + (6k )π = 0, se = π 3 + kπ, k Z Figura4.7:Desenhopara k = 0. [5]Determineospontosondeográficodafunção y = + sen()possuiretatangentehorizontal. Devemosresolveraequação y = 0ou,equivalentamente, cos() = ;logo,ospontostem abscissas = ± π + k π, k Z. 3 Figura4.8:Desenhopara k = 0.

20 56 CAPÍTULO 4. DERIVADA Funções Trigonométricas Inversas Seja y = arcsen().afunçãoarcoseno,definidapara [,]éafunçãoinversadafunção f() = sen(),se π π. f () = cos() 0se ( π, π ). Usandoafórmulado teoremadafunçãoinversa,temos:se y = f () = arcsen(),ouseja, sen(y) =,então: (f ) () = f (f ()) = cos(arcsen()) = cos(y). Mas, cos(y) = sen (y),pois y ( π, π ).Então: y = sen (y) =, se (,). Seja y = arccos().como arcos() = π arcsen(),temos: y = (arcsen()) ;logo, y =, se (,). Tabela Sejam u(), v() funções diferenciáveis e k uma constante. Se: [9]Se y = arcsen(u()),então y = u () u (). [0]Se y = arccos(u()),então y u () = u (). []Se y = arctg(u()),então y = u () + u (). []Se y = arccotg(u()),então y = u () + u (). [3]Se y = arcsec(u()),então y = u () u(), u() >. u () [4]Se y = arccosec(u()),então y u () = u(), u() >. u () FunçõesHiperbólicas As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvem eponenciais.poreemplo,seja y = senh() = (e e );derivando,temos: y = cosh().

21 4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 57 Tabela Seja u() derivável. Usando a regra da cadeia, temos: [5]Se y = senh(u()),então y = cosh(u())u (). [6]Se y = cosh(u()),então y = senh(u())u (). [7]Se y = tgh(u()),então y = sech (u())u (). [8]Se y = cotgh(u()),então y = cosech (u())u (). [9]Se y = sech(u()),então y = tgh(u())sech(u())u (). [30]Se y = cosech(u()),então y = cotgh(u())cosech(u())u (). Eemplo 4.. Calculeasderivadas y,sendo: [] y = e tg(). Fazendo u() = tg(),temos y = e u() ;usandoatabela: y = u ()e u() e y = sec ()e tg(). [] y = ln(ln()). Fazendo u() = ln(),temos y = ln(u());logo: y = u () u() = ln(). [3] y = cos ( ).Então y = cos ( Fazendo u() =,temosque cos( cos ( ) + sen( ). [4] y = cos(sen()). ) ( ()). + cos ) ( ( = cos(u());como cos Fazendo u() = sen(),temos y = cos(u());usandoatabela: [5] y = arccotg(3 ). y = u () sen(u()) = cos()sen(sen()). Fazendo u() = 3,temos y = arccotg(u());usandoatabela: [6] y = arctg( ). y = u () + u () = Fazendo u() =,temos y = arctg(u());usandoatabela: [7] y = sen(ln()). y = u () + u () = +. )) = sen( ),temos y =

22 58 CAPÍTULO 4. DERIVADA Fazendo u() = ln(),temos y = sen(u());usandoatabela: [8] y = ln(sen ()). y = u ()cos(u()) = cos(ln()). Fazendo u() = sen (),temos y = ln(u());usandoatabela: [9] y = ln(cos( )). y = u () u() = cotg(). Fazendo u() = cos( ),temos y = ln(u());usandoatabela: [0] y = arcsec(ln()). y = u () u() = tg( ). Fazendo u() = ln(), temos y = arcsec(u()); usando a tabela: ln() ln () se > e y = ln() ln () se 0 < < e. [] Calcule a área do triângulo determinado pelos eios coordenados e pela reta tangente à curva y = noponto =. Aretatangenteàcurva y = f() = noponto = é: y = f ()( ). Como f () =,aequaçãodaretatangenteé: 4y + 4 = 0. Se = 0,então y = ;se y = 0, 4 então = 4.Aalturadotriânguloéigualaeabaseéiguala4.Logo,aáreadotriânguloé: A = u.a. Figura 4.9: []Umapartículamove-seaolongodacurva y =.Quando = 3apartículaescapa pela tangente à curva. Determine a equação da reta de escape. Aequaçãodaretatangenteàcurvanopontodeabscissa 3éy f(3) = f (3)( 3),onde f() = ;logo, f () = 4ef (3) = ;aequaçãoé: y + 9 = 0.

23 4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 59 3 Figura 4.0: 4.7 DerivaçãoImplícita Seja F(,y) = 0umaequaçãonasvariáveis ey. Definição4.5.Afunção y = f()édefinidaimplicitamentepelaequação F(,y) = 0,quando F(,f()) = 0. Emoutraspalavras,quando y = f()satisfazàequação F(,y) = 0. Eemplo 4.3. []Sejaaequação F(,y) = 0,onde F(,y) = 3 + y ;afunção y = f() = 3 édefinida implicitamentepelaequação F(,y) = 0,pois F(,f()) = 3 + ( 3 ) = 0. []Sejaaequação F(,y) = 0,onde F(,y) = y 4 + ;afunção y = f() = 4 édefinida implicitamentepelaequação F(,y) = 0,pois F(,f()) = ( 4 ) 4 + = 0. [3]Sejaaequação F(,y) = 0,onde F(,y) = + y 5;estaequaçãodefineimplicitamente umafamíliadefunções;poreemplo f() = 5, f() = 5 ;emgeral, paracada c ( 5,5). 5 se 5 c y = f c () = 5 se 5 > c, [4]Seja F(,y) = 0,onde F(,y) = y 3y 7;então,asfunções f() = 3 ± são definidas implicitamente pela equação F(, y) = 0, pois: F(,f()) = F(, 3 ± ) = 0. Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, derivável,etc.naverdade,nemsempreumaequação F(,y) = 0defineimplicitamentealguma função. Por eemplo, considere a seguinte equação: 3 y tg(y ) + ln( + y) + sen() = 0.

24 60 CAPÍTULO 4. DERIVADA 4.7. Cálculo da Derivada de uma Função Implícita Podemos calcular a derivada de uma função definida implicitamente sem necessidade de eplicitá-la.paraistousaremosnovamentearegradacadeia.suponhaque F(,y) = 0defineimplicitamente uma função derivável y = f(). Através de eemplos mostraremos que podemos calcular y semconhecer y. Eemplo 4.4. Seja y = f()umafunçãoderiváveldefinidaimplicitamentepelaequação + y =. []Calcule y. []Verifiquequeafunção f() = édefinidaimplicitamentepor + y = ecalcule f. Como y = f(),temos +((f()) =.Derivandoemrelaçãoaambososladosdaigualdade eusandoaregradacadeia,obtemos: ( ) + (((f()) ) = () = + f()f () = 0 = + f()f () = 0. Então, f () = f() = y.logo, y = y. Éimediatoqueafunção f() = édefinidaimplicitamentepelaequação + y = e f () = = y. Método de Cálculo Dadaumaequaçãoquedefine yimplicitamentecomoumafunçãoderivávelde,calcula-se y do seguinte modo: Deriva-seambososladosdaequaçãoemrelaçãoa,termoatermo. Aofazê-lo,tenhaem menteque yéumafunçãode eusearegradacadeia,quandonecessário,paraderivaras epressões nas quais figure y. Oresultadoseráumaequaçãoondefiguranãosomente ey,mastambém y.epresse y em funçãode ey.talprocessoéchamadoeplicitar y. Eemplo 4.5. Calcule y se y = f()éumafunçãoderivável,definidaimplicitamentepelasequaçõesdadas: [] 3 3 y 4 + y 3 = 6 +. Noteque 3 3 y 4 + y 3 = 6 + éiguala 3 3 (f()) 4 + (f()) 3 = 6 + ;derivando ambososladosdaequação,obtemos: ( 3 ) (3 (f()) 4 ) + ((f()) 3 ) = (6 + ) ;então, 3 6(f()) 4 f ()(f()) 3 + 3f ()(f()) = 6. Logo, 3 6y 4 y y 3 + 3y y = 6.Epressando y emfunçãode ey: y = + y 4 y ( 4 y).

25 4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 6 [] +y+sen(y) = y sen().derivandoambososlados +y+y +sen(y)+cos(y)y = y sen() + y cos().epressando y emfunçãode ey: y = y cos() y sen(y). + cos(y) sen() [3] sen(+y) = y cos().derivandoambososlados (+y )cos(+y) = y y cos() y sen(). Epressando y emfunçãode ey: y = y sen() + cos( + y) y cos() cos( + y). O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela forma implícita é derivável. Mas, para os eemplos e eercícios, sempre consideraremos esta eigência satisfeita. [4] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por: noponto (, 3 ). Derivando a equação implicitamente: y = ( + ), y y = (3 + 4). Epressando y emfunçãode ey: y = ;lembrandoque = y, y = f ()e 3 = f( = y,temosque f ) ( ) 5 = 6 éocoeficienteangulardaretatangenteno ponto (, 3 ) eaequaçãodestaretaé4 6 y + 0 = 0. Figura 4.: [5]Determineaequaçãodaretatangenteeaequaçãodaretanormalaográficodafunção implícitadefinidapor: ( + y )(y + ( + )) = 4y noponto (, ). Derivando a equação implicitamente y y (y + 3) = (4y y ).

26 6 CAPÍTULO 4. DERIVADA Lembrandoque =, y = f ()ey =,temosque f ( ) = éocoeficienteangulardareta tangentenoponto (, ) eaequaçãodestaretaéy 4 + = 0.Aequaçãodaretanormalé 4y + 3 = 0. Figura 4.: [6]Determineaequaçãodaretatangenteeaequaçãodaretanormalaográficodafunção implícita definida por: a + y b =, emqualquerponto;(aebconstantesnãonulas). Derivando a equação implicitamente: y y + a b = 0. Epressando y emfunçãode ey: y = b a y ;lembrandoque = 0, y = f ()ey 0 = f( 0 ), se y 0 0,temos: f ( 0 ) = b 0 a,queéocoeficienteangulardaretatangentenoponto ( 0,y 0 ) y 0 [ b ] 0 eaequaçãodestaretaé: y y 0 = a ( 0 ).Ou,equivalentemente, y 0 [ y0 b ] y + [ 0 a ] = Aequaçãodaretanormalé: [ a ] y 0 y y 0 = b ( 0 ) 0 se 0 0. Estassãoasequaçõesdaretatangenteedaretanormalnumpontoqualquer ( 0,y 0 )daelipse. Emparticularse a = b = r,temostodasasretastangentesenormaisnumpontoqualquer ( 0,y 0 )deumcírculoderaio r.

27 4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 63 Figura 4.3: A elipse e suas tangentes. [7]Determineaequaçãodaretatangenteeaequaçãodaretanormalaográficodafunção implícita definida por: a y b =, emqualquerponto;(aebsãoconstantesnãonulas). Derivando a equação implicitamente: y y a b = 0. Eplicitando y : y = b a y elembrandoque = 0, y = f ()ey 0 = f( 0 ),se y 0 0,temos f ( 0 ) = b 0 a y 0,queéocoeficienteangulardaretatangenteaográficodafunçãonoponto ( 0,y 0 )eaequaçãodestaretaé: Aequaçãodaretanormalé: [ ] y0 b y [ ] 0 a = [ a ] y 0 y y 0 = b ( 0 ) 0 se 0 0.Estassãoasequaçõesdaretatangenteedaretanormalaumahipérbolenumponto ( 0,y 0 )arbitrário. Figura 4.4: A hipérbole e suas tangentes.

28 64 CAPÍTULO 4. DERIVADA [8] Ache a equação da reta tangente ao gráfico das funções implícitas definidas por: i) 3 + y 3 = 6y,noponto (3,3).(FoliumdeDescartes). ii) ( + y ) = 5( y ),noponto (3,).(LemniscatadeBernoulli). i) Derivando a equação implicitamente: y = y y. Noponto (3,3), y = eaequaçãodaretatangenteé + y = 6. ii) Derivando a equação implicitamente: y = ( y ) y( y ). Noponto (3,), y = 9 eaequaçãodaretatangenteé3y = 0. Desenhosdo 3 Folium de Descartes e da Lemniscata de Bernoulli, repectivamente: Figura 4.5: Folium de Descartes e Lemniscata de Bernoulli, respectivamente. 4.8 Famílias de Curvas Ortogonais As famílias de curvas ortogonais são muito utilizadas em diferentes áreas. Na Física, por eemplo, as linhas de força de um campo eletrostático são ortogonais às linhas de potencial constante e as curvas isotérmicas(de igual temperatura) são ortogonais ao fluo do calor. Definição 4.6. Duas curvas são ditas ortogonais num ponto de interseção se suas retas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Uma família de curvas é ortogonal a outra família de curvas se cada curva de umafamíliaéortogonalatodasascurvasdaoutrafamília. Eemplo 4.6. []Afamíliadeparábolas y = 4aéortogonalàfamíliadeelipses + y = b. Derivamosasequaçõesimplicitamenteecomparamososcoeficientesangulares.Sejam m os coeficientesangularescorrespondentesàfamíliadeparábolasem oscoeficientesangulares correspondentes à família de elipses. Logo, e m m =. m = a y = y e m = y

29 4.9. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 65 Figura 4.6: []Afamíliadecírculos + y = aéortogonalàfamíliadecírculos + y = by. Derivamosasequaçõesimplicitamenteecomparamososcoeficientesangulares.Sejam m os coeficientesangularescorrespondentesàfamília + y = aem oscoeficientesangulares correspondentesàfamília + y = by.logo, m = a y = y y e m = b y = y y e m m =. Figura 4.7: 4.9 Derivadas de Ordem Superior Definição4.7.Seja fumafunçãoderivável.seaderivada f éumafunçãoderivável,entãosuaderivada échamadaderivadasegundade feédenotadapor (f ) = f.se f éumafunçãoderivável,entãosua derivadaéchamadaderivadaterceirade feédenotadapor (f ) = f. Emgeral,seaderivadade ordem (n )de féumafunçãoderivável,suaderivadaéchamadaderivada n-ésimade feédenotada por (f (n ) ) = f (n). Notações: f (0) = f, f = f (), f = f (), f = f (3),etc. Eemplo 4.7. []Sendo f() = ,calcule f (n).

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Capítulo 4 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 4. Introdução O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de ite. Por eemplo, as definições de derivada e de integral

Leia mais

Análise Matemática I - 2013/14 LEI. 1. Para as funções que se seguem, indique o domínio e o contradomínio: 4 x 2;

Análise Matemática I - 2013/14 LEI. 1. Para as funções que se seguem, indique o domínio e o contradomínio: 4 x 2; Análise Matemática I - 03/4 Definição. Seja f uma função real de variável real. Define-se por domínio de f, comummente denotado por D f, o conjunto de todos os pontos onde f está definida, e por contradomínio

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal Guia de aulas: Equações diferenciais Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal 1º Semestre de 013 Índice 1.Introdução... 3. Equações Diferenciais de 1ª Ordem... 7.1. Equações Diferenciais Separáveis...

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: CALCULO B UNIDADE III - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizado 2008.2 Domínio, Imagem e Curvas/Superfícies de Nível y2 è [1] Determine o domínio

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função

Leia mais

Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Caderno de exercícios (exercícios propostos e tabelas) Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues

Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Caderno de exercícios (exercícios propostos e tabelas) Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia Caderno de eercícios (eercícios propostos e tabelas Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia da

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

6. Aplicações da Derivada

6. Aplicações da Derivada 6 Aplicações da Derivada 6 Retas tangentes e normais - eemplos Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f () e, em 0 Represente geometricamente Solução: Sabemos que a equação da reta

Leia mais

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3 1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens

Leia mais

Exercícios de Cálculo I - CM041

Exercícios de Cálculo I - CM041 Eercícios de Cálculo I - CM4 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/inde.htm o. semestre de Parte Limites de funções. Calcule os seguintes limites, caso eistam:

Leia mais

v m = = v(c) = s (c).

v m = = v(c) = s (c). Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof AULA 0 - FUNÇÕES.

Leia mais

Taxas relacionadas. Diferenciais

Taxas relacionadas. Diferenciais Aula 14 Taas relacionadas. Diferenciais 14.1 Taas relacionadas Na linguagem do c alculo diferencial, se uma vari avel u e fun»c~ao da vari avel v, a taa de varia»c~ao (instant^anea) de u, emrela»c~ao a

Leia mais

UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas

UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Curvas 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos

Leia mais

INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS

INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a eplicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta lista de Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM 1 1. Nos eercícios a seguir admita

Leia mais

Equações diferencias são equações que contém derivadas.

Equações diferencias são equações que contém derivadas. Equações diferencias são equações que contém derivadas. Os seguintes problemas são exemplos de fenômenos físicos que envolvem taxas de variação de alguma quantidade: Escoamento de fluidos Deslocamento

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 008/ . CONCEITO DE FUNÇÃO As funções são as melhores ferramentas para descrever

Leia mais

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é

Leia mais

Notas de aulas. André Arbex Hallack

Notas de aulas. André Arbex Hallack Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007 Índice 0 Preliminares 0. Números reais.................................... 0. Relação de ordem em IR.............................. 3 0.3 Valor absoluto....................................

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Capítulo 7 APLICAÇÕES DA DERIVADA 7. Variação de Funções Definição 7.. Seja f umafunçãoex 0 Dom(f).. f possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local noponto x 0, se existe umpequeno intervalo aberto

Leia mais

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real Análise Matemática - 009/010 - Generalidades sobre unções reais de variável real.1-deinição e Propriedades De..1 Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar

Leia mais

(Testes intermédios e exames 2010/2011)

(Testes intermédios e exames 2010/2011) (Testes intermédios e eames 00/0) 57. Na Figura, está parte da representação gráfica da função f, de domínio +, definida por f() = log 9 () Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio,

Leia mais

I N T E G R A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 03: Funções de Várias Variáveis (Atualizada em 13 de novembro de 2013)

I N T E G R A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 03: Funções de Várias Variáveis (Atualizada em 13 de novembro de 2013) I N T E G R A L ac C Á L C U L O Prof. ADRIANO CATTAI 03 Apostila 03: Funções de Várias Variáveis (Atualizada em 13 de novembro de 2013) NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza

Leia mais

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática - 12º ano Cálculo Diferencial II - Exercícios saídos em Exames (séc XX)

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática - 12º ano Cálculo Diferencial II - Exercícios saídos em Exames (séc XX) Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática - 1º ano Cálculo Diferencial II - Eercícios saídos em Eames (séc XX) 1. Seja f a função real de variável real tal que f()= - /. Quanto ao limite

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 0/ SUMÁRIO. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL..... CONCEITO..... ZEROS DE UMA

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 41 1. Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x,

Leia mais

Equações Diferenciais

Equações Diferenciais Apontamentos de Equações Diferenciais (Complementos de Análise Matemática EE) Jorge Figueiredo, Carolina Ribeiro Departamento de Matemática e Aplicações Universidade do Minho 3 Departamento de Matemática

Leia mais

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo : Funções.- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de

Leia mais

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Capítulo 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio

Leia mais

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras:

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: b) 15 5 α α 1 resp: sen α =/5 cos α = /5 tgα=/ resp: sen α = 17 cos α

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

LIMITES E CONTINUIDADE

LIMITES E CONTINUIDADE Capítulo 3 LIMITES E CONTINUIDADE 3.1 Introdução A seguir, apresentaremos como listar os valores de uma função, no formato de tabela, em uma vizinhança de um ponto que não necessariamente pertence ao do

Leia mais

MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de exercícios 1 (2012/2013)

MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de exercícios 1 (2012/2013) Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de eercícios (0/03). Determine o conjunto dos pontos interiores, eteriores e fronteiros dos seguintes conjuntos:

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 4 INTEGRAIS SUMÁRIO Unidade 1- Integrais 1.1- Introdução 1.2- Integral Indefinida 1.3- Propriedades da Integral Indefinida 1.4- Algumas Integrais Imediatas 1.5- Exercícios para

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I Acadêmico(a): Turma: 9/ Capítulo : Funções Cálculo I. ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES.. EXERCÍCIOS Abaio estão representadas graficamente algumas funções. Analise cada uma dessas

Leia mais

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P

Leia mais

2. Funções. Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que

2. Funções. Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que . Funções O conceito de unção está relacionado à idéia de associação de um elemento a outro, segundo uma regra especíica. Assim, por eemplo, podemos considerar o tamanho de uma população relacionado apenas

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA Prof. Francisco Leal Moreira / SUMÁRIO. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS.. CURVAS

Leia mais

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3 1 Lista 2 de Cálculo Diferencial e Integral II Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial 1. Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: (a) f(x, y) = xy 5 x

Leia mais

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas

Leia mais

Exercícios Complementares 5.2

Exercícios Complementares 5.2 Exercícios Complementares 5.2 5.2A Veri que se a função dada é ou não solução da edo indicada: (a) y = 2e x + xe x ; y 00 + 2y 0 + y = 0: (b) x = C e 2t + C 2 e 3t ; :: x 0 : x + 6x = 0: (c) y = ln x;

Leia mais

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então:

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então: FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de = 0. Então: (A) f tem necessariamente derivada finita em = 0; (B) f não tem com certeza derivada finita

Leia mais

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostila de Matemática Aplicada Volume Edição 00 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Capítulo - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns eercícios, dos principais tópicos já

Leia mais

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II z t t C C α y β y Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler, Rogério

Leia mais

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0. 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira SUMÁRIO FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.... INTRODUÇÃO....

Leia mais

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 8 C U RVA S 8.1 parametrização de curvas No Capítulo 3 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométrica pode ser representada pelas equações paramétricas: x r : z = a+v 1

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

Mudança de Coordenadas

Mudança de Coordenadas Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 13 de deembro de 2001 1 Rotação e Translação

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC DO VESTIBULR 0 D UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. Em de outubro de 0, Feli Baumgartner uebrou o recorde de velocidade em ueda livre. O salto foi monitorado oficialmente

Leia mais

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique

Leia mais

Produtos. 4.1 Produtos escalares

Produtos. 4.1 Produtos escalares Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja

Leia mais

II BIENAL DA SBM 06 A 11 DE NOVEMBRO DE 2006. Equações Paramétricas E... x y. Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA

II BIENAL DA SBM 06 A 11 DE NOVEMBRO DE 2006. Equações Paramétricas E... x y. Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA II BIENAL DA SBM 06 A DE NOVEMBRO DE 006 Equações Paramétricas E... Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA INTRODUÇÃO Neste trabalho analisaremos as várias formas de apresentação das

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

1.5 O oscilador harmónico unidimensional

1.5 O oscilador harmónico unidimensional 1.5 O oscilador harmónico unidimensional A energia potencial do oscilador harmónico é da forma U = 2 2, (1.29) onde é a constante de elasticidade e a deformação da mola. Substituindo (1.29) em (1.24) obtemos

Leia mais

(Testes intermédios e exames 2005/2006)

(Testes intermédios e exames 2005/2006) 158. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log 3 (1 ) 1 (A) [,1[ (B) [ 1,[ (C) ], ] (D) [, [ 159. Na figura abaio estão representadas, em referencial o. n. Oy: parte do gráfico

Leia mais

Lista de Exercícios - Integrais

Lista de Exercícios - Integrais Lista de Exercícios - Integrais 4) Calcule as integrais indefinidas: 5) Calcule as integrais indefinidas: 1 6) Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y = F(x)

Leia mais

Aula 15. Integrais inde nidas. 15.1 Antiderivadas. Sendo f(x) e F (x) de nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

Aula 15. Integrais inde nidas. 15.1 Antiderivadas. Sendo f(x) e F (x) de nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que Aula 5 Integrais inde nidas 5. Antiderivadas Sendo f() e F () de nidas em um intervalo I ½, dizemos que F e umaantiderivada ou uma rimitiva de f, emi, sef 0 () =f() ara todo I. Ou seja, F e antiderivada

Leia mais

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes NOTAS DE AULA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - DIFERENCIAÇÃO Cláudio Martins Mendes Segundo Semestre de 2005 Sumário 1 Funções de Várias Variáveis - Diferenciabilidade 2 1.1 Noções Topológicas no R n.............................

Leia mais

Exercícios: Funções e Campos Vetoriais

Exercícios: Funções e Campos Vetoriais Eercícios: Funções e Campos Vetoriais. Faça a representação gráfica dos campos vetoriais gerados por: a) V [, y] b) V y i j c) V [, y ]. Determine o lugar no espaço onde os vetores, do eercício anterior,

Leia mais

Boa Prova! arcsen(x 2 +2x) Determine:

Boa Prova! arcsen(x 2 +2x) Determine: Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologia - CCT Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME - Tarde Prova Estágio Data: 5 de setembro de 006. Professor(a):

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,

Leia mais

Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799 sistema métrico na França

Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799 sistema métrico na França CURSO DE ENGENHARIA CARTOGRÁFICA Carlos Aurélio Nadal Doutor em Ciências Geodésicas Professor Titular do Departamento de Geomática - Setor de Ciências da Terra Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799

Leia mais

O coeficiente angular

O coeficiente angular A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir

Leia mais

LISTA 2. 4. y = e 2 x + y 1, y(0) = 1

LISTA 2. 4. y = e 2 x + y 1, y(0) = 1 MAT 01167 Equações Diferenciais LISTA Resolva: 1. x y y = x sen x. y + y tan x = x sen x cos x, y0) =. x + 1) dy dx x y = 1 4. y = e x + y 1, y0) = 1 5. x y + x + x + ) dy dx = 0 ) x 6. Resolva a equação

Leia mais

Questão 2. Questão 1. Questão 3. Resposta. Resposta

Questão 2. Questão 1. Questão 3. Resposta. Resposta Instruções: Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as unidades, caso existam. Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das questões. Expressões

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO).

LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO). LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO. PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP OBS: Faça os exercícios sobre

Leia mais

Os conceitos mais básicos dessa matéria são: Deslocamento: Consiste na distância entre dados dois pontos percorrida por um corpo.

Os conceitos mais básicos dessa matéria são: Deslocamento: Consiste na distância entre dados dois pontos percorrida por um corpo. Os conceitos mais básicos dessa matéria são: Cinemática Básica: Deslocamento: Consiste na distância entre dados dois pontos percorrida por um corpo. Velocidade: Consiste na taxa de variação dessa distância

Leia mais

Cálculo diferencial em IR n

Cálculo diferencial em IR n Cálculo diferencial em IR n (Eercícios) DMAT Abril 2003 1 Eercícios propostos 1.1 Funções de IR n em IR m Eercício 1 Determine os domínios das funções seguintes e represente-os graficamente. 2 + 2 9 ;

Leia mais

Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície:

Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície: Capítulo 3 Integrais de superfícies 3.1 Superfícies no espaço Definição 3.1 Uma superfície S no espaço é definida como sendo a imagem de uma aplicação contínua r : K R R 3, (u, v) K 7 r (u, v) =(x (u,

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO I. Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO I. Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO I Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira 006 SUMÁRIO FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.... INTRODUÇÃO.... FUNÇÃO

Leia mais

A trigonometria do triângulo retângulo

A trigonometria do triângulo retângulo A UA UL LA A trigonometria do triângulo retângulo Introdução Hoje vamos voltar a estudar os triângulos retângulos. Você já sabe que triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um ângulo reto e

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

(Exames Nacionais 2000)

(Exames Nacionais 2000) (Eames Nacionais 000) 1.a) Seja [ABC] um triângulo O ângulo, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro isósceles em que BA = BC. Seja α da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado

Leia mais

CÁLCULO PARA ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO: VOLUME I

CÁLCULO PARA ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO: VOLUME I CÁLCULO PARA ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO: VOLUME I MAURICIO A. VILCHES Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total

Leia mais

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação . Isolar os zeros da função f ( )= 9 +. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 f ( ) + + + + + Como f ( ) f ( ) < 0, f ( 0 ) f ( ) < 0 e f ( ) f ( ) < 0,

Leia mais

Neste capítulo, apresentamos um dos conceitos centrais do Cálculo em Várias Variáveis, as derivadas parciais e a diferenciação de funções.

Neste capítulo, apresentamos um dos conceitos centrais do Cálculo em Várias Variáveis, as derivadas parciais e a diferenciação de funções. Capítulo 6 DERIVADAS PARCIAIS 6.1 Definições Neste capítulo, apresentamos um dos conceitos centrais do Cálculo em Várias Variáveis, as derivadas parciais e a diferenciação de funções. Definição6.1. Sejam

Leia mais