Do Zero. Matemática e o início da civilização. Episódio 3. Lilio Alonso Paoliello Jr Matemática. Raimundo Nonato de Medeiros Jr Física

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1 Do Zero ao Sol Episódio 3 Matemática e o início da civilização PROFESSORES Lilio Alonso Paoliello Jr Matemática Raimundo Nonato de Medeiros Jr Física

2 Sinopse do Programa O documentário vai à Índia para mostrar uma das maiores contribuições que aquela nação deu à humanidade: o zero. O sucesso do sistema de contagem indiano está na sua eficiência para trabalhar tanto com números pequenos quanto com números enormes. Eles conseguiram essa capacidade de representação porque perceberam o valor do vazio, do nada. Criaram, a partir daí, o conceito do zero e revolucionaram a Matemática. Professores de Física e Matemática foram convidados para o programa Sala de Professor e desenvolveram jogos e desafios que mostrarão aos alunos o incrível valor do zero. Apresentação O documentário traça paralelos entre o desenvolvimento das primeiras civilizações e o conhecimento matemático, sendo, neste episódio, a Astronomia o tema principal. Apesar de vivermos em um tempo em que até mesmo o metro é determinado a partir da velocidade da luz, o vídeo nos fará mergulhar no mundo da antiga astronomia e conhecer como as pessoas realizavam medições aparentemente impossíveis para a época. Vamos também fazer um passeio pela história da Matemática, percebendo que essa ciência avança de forma proporcional aos obstáculos que a humanidade necessita superar.

3 Um olhar para o documentário a partir da matemática O documentário que utilizamos como ponto de partida para esta sequência didática mostra a evolução da Matemática ao longo do tempo. O tema é um excelente instrumento motivador para iniciarmos um curso de Matemática para alunos de Ensino Médio, ou um recurso para problematizar vários conteúdos que envolvam conjuntos numéricos, análise combinatória e trigonometria. Neste projeto, optamos pela segunda forma. Por esta razão, recortaremos os temas tratados no documentário, apresentando pelo menos uma possibilidade didática para cada um deles. Os assuntos não serão tratados na mesma sequência em que aparecem no documentário, já uma vez que não mantêm relação de pré-requisito entre si. Tema 1 História dos números Esta atividade poderá ser aplicada no 1º ano do Ensino Médio, introduzindo os conjuntos numéricos. Ela traz as seguintes etapas: 1. Apresentação das questões: Quais foram as dificuldades encontradas pelas civilizações ao longo da história até instituírem o zero como um elemento integrante da Matemática? Como seria a nossa vida sem o zero? Todos os povos utilizam os mesmos símbolos para expressar quantidades? O que precisaríamos fazer se visitássemos um lugar que usasse símbolos matemáticos diferentes dos nossos? 2. Exibição da parte do vídeo que se refere ao tema. Indicamos os seguintes trechos: 1min29s a 3min32s; 9min a 13min20s; 25min a 34min59s. 3. Após a exibição dos trechos do vídeo, organize os alunos em uma roda para discutir as questões apresentadas. Eleja dois alunos para anotarem as principais colocações do grupo. 4. Partindo do material anotado, sugerimos a produção um texto coletivo sobre o tema A história dos números. O professor será mediador dessa produção coletiva, garantindo que no texto sejam abordados aspectos sobre a evolução das representações numéricas, os tipos de números que aparecem no vídeo ou na discussão, os tipos de símbolos, a história do número zero e suas principais funções na comunicação matemática. Durante a discussão, o professor poderá levantar outras questões além daquelas sugeridas no início da aula e suscitar que estas também sejam motivo de reflexão dos alunos. Caso haja necessidade de se preparar para esta sequência, sugerimos a leitura da dissertação de mestrado de Darice Lascala, principalmente as partes 2.1 e 2.2, nas quais a autora coloca os sentidos do zero. A dissertação está disponível em: < 5. A seguir, como fechamento dessa atividade, o professor poderá continuar a sequência com a exibição de um trecho do vídeo (de 38min35s a 40min50s), mostrando mais uma aplicação do zero. Poderá ser discutida, por exemplo, a representação algébrica de um sistema de duas equações e duas incógnitas, que para resolução é preciso zerar uma das incógnitas, chave do método da adição para esse tipo de cálculo. A avaliação deste tema poderá ser feita pela participação dos alunos nas rodas de conversa e na produção do texto coletivo. Esse critério deverá ser comunicado antes do início da atividade. Poderá ser dado um ponto para cada interferência positiva nas atividades. Um aluno poderá ficar encarregado de realizar esse apontamento. Ao aluno que fizer o maior número de interferências positivas, será atribuído 100% do valor da atividade. Os demais terão menção proporcional a esse valor. sala de professor episódio 3: matemática e o início da civilização 3

4 Tema 2 - Torre de Hanói Atividade sugerida para a introdução da análise combinatória, geralmente ministrada no 2º ano do Ensino Médio. A Torre de Hanói é um quebra-cabeça composto de uma base com três pinos. Em um deles são dispostos até sete discos de diâmetros diferentes, uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro. Para trabalhar com o jogo em sala de aula, sugerimos a seguinte metodologia: 1. Organizar a classe em grupos de 4 a 6 alunos; 2. Entregar o material para o jogo Torre de Hanói, com apenas três discos; 3. Colocar o problema para os grupos: como passar todos os discos de um pino para o outro, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação? Quantas ações de mudanças dos discos de um pino a outro devem ser feitas para resolver cada problema? Oriente os grupos para que registrem as ações feitas nas passagens dos discos de um pino para o outro, o que pode ser feito por meio de uma tabela para acompanhar as jogadas: Ação Descrição Por quê? Torre de Hanói. 1 Colocar o menor disco no 2º pino Para ter acesso ao maior disco Esse jogo pode ser adquirido em lojas de brinquedos educativos ou ser construído pelos alunos, que, neste caso, precisarão de: Uma base de madeira ou papelão onde devem ser fixadas 3 hastes que servirão como pinos para a colocação dos discos. As hastes podem ser feitas com um grande parafuso fixado na base ou em papelão, depois colados à base feita com o mesmo material. Os sete discos precisam ter um furo no meio, de forma a permitir que sejam encaixados nas hastes. Podem ser feitos de cartolina ou materiais com forma circular (CD, mini disc, bolacha de suporte para garrafas de bebidas, entre outros podem ser aproveitados, de maneira que seus diâmetros sejam todos diferentes, não importando as medidas). A altura das hastes deve ser maior que a soma das espessuras dos discos. Esse quebra-cabeça também pode ser encontrado como objeto virtual nos endereços sugeridos no final desta ficha. Nestes links há explicações sobre como proceder com o jogo. Observe como os alunos solucionam o problema e traga perguntas que encaminhem as jogadas seguintes. Marque o tempo de 10 minutos para a solução do problema. Se não for suficiente, prorrogue o prazo de maneira que pelo menos dois grupos tenham concluído a atividade. 4. Posteriormente, solicite que um dos grupos leia as suas anotações. Reconstrua formas de escrita que não ficaram claras, trazendo maneiras de melhorar os registros. Pergunte se algum grupo fez anotações diferentes e intervenha para relacionar as formas apresentadas. 5. Entregue mais um disco para cada grupo e proponha que façam a mesma atividade. Repita os passos anteriores feitos para o jogo com três discos. 6. Entregue mais 1 disco para um dos grupos, mais dois discos para outro e mais três discos para um 4 episódio 3: matemática e o início da civilização sala de professor

5 terceiro grupo. Se a classe tiver mais de três grupos, repita essa entrega para os demais grupos. É possível prever quantas ações devem ser feitas, baseando-se no jogo feito com 3 ou 4 discos? Como podemos pensar em uma forma para resolver esse problema sem fazer o jogo? Marque o tempo de 15 minutos para a solução do problema. Solicite que cada grupo apresente sua solução. 7. O trecho do vídeo que trata do problema da Torre de Hanói (19min12s a 22min55s) deverá ser exibido. 8. Organize a classe em roda, discutindo a solução proposta por eles em contraponto à solução proposta no documentário. 9. Feche a sequência comentando a questão da inacessibilidade. Sem a fórmula apresentada no vídeo, seria impossível calcular o número de ações a serem realizadas com o número de peças sugerido, nem que dedicássemos nossa vida a apenas jogar com a torre. Saliente que este é o principal objetivo da Análise Combinatória: prever quantidades sem as ações desencadeadas pelos acontecimentos, como forma de prever ou de analisar fatos que tenham correspondência com quantidades, usando o Princípio multiplicativo e o Princípio da indução finita. A avaliação das atividades desse tema poderá ser feita por atribuição de pontos ao grupo em cada fase do jogo e na formulação de respostas às situações-problema propostas. Sugerimos que seja atribuído 60% do valor da atividade à tabela de registros, e 40% ao conjunto de respostas às situações. Se a Torre de Hanói for construída pelos grupos, esse trabalho valerá 20% do valor da atividade para os grupos. Desta forma, as fases anteriores teriam 50% e 30% do valor total da atividade. Tema 3 - Teorema de Tales e relações trigonométricas no triângulo retângulo Esta atividade é dirigida para o 1º ou 2º ano do Ensino Médio na introdução de Trigonometria, e será base para a proposta interdisciplinar e parte da seguinte sequência: Leve a turma para a parte externa da escola ou para um local próximo em que haja uma construção com altura superior a 10 metros. Cada aluno deverá levar material para anotações. Peça a eles, com antecedência, que providenciem régua e/ou fita métrica para essa aula. Proponha a seguinte situação-problema: Supondo que uma empresa de propaganda queira criar uma faixa para ser colocada na lateral do prédio para anunciar um produto, qual deverá ser a altura dessa faixa? Marque o tempo de 15min para que discutam o problema em grupos de no máximo 4 alunos. Solicite que apresentem suas propostas. Em cada uma delas, você deverá comentar possibilidades e impossibilidades do método. Por exemplo, medir com metro a altura do prédio traria dificuldades de acesso (como subir, como colocar o metro na parede da construção etc.)? Se algum aluno indicar o método de Tales, aproveite para iniciar a medição aproveitando essa ideia. Caso contrário, retorne à classe para fazer a exposição do método de Tales: Por volta de 600a.C., Tales de Mileto (640a.C a.C.) surpreendeu o faraó Amasis por se ter oferecido para determinar a altura da pirâmide de Quéops, sem ser necessário escalá-la. Tales procedeu do seguinte modo: foi até a extremidade da sombra projetada pela grande pirâmide e cravou uma estaca no solo na vertical. A altura da pirâmide e a sua sombra seriam os lados de um triângulo retângulo e o mesmo aconteceria com a estaca e a sua sombra. sala de professor episódio 3: matemática e o início da civilização 5

6 X = altura da pirâmide A = metade do lado da base da pirâmide B = distância da extremidade da sombra à base da pirâmide Y = altura da estaca C = comprimento da sombra da estaca fórmula: X A + B = Y C Retorne à parte externa da escola para realizar a atividade baseada no método de Tales. Utilize um objeto para ser a vareta, como um lápis. Escolha um horário em que a luz do sol projete uma sombra adequada para medição. Não realizar a medição em horários próximos ao meio-dia. Volte à classe e exiba o trecho do vídeo (13min. 20s a 17min.) em que é apresentada outra forma de medição, baseada em cálculos que podem introduzir os estudos de Trigonometria. Após a exibição do vídeo, peça para que os alunos descrevam o método utilizado pelo apresentador do documentário, ressaltando o que há de comum entre esse método e o de Tales. Repita as cenas do vídeo em que o apresentador mostra um instrumento de fácil construção para calcular a medidas inacessíveis, utilizando triângulos retângulo e isósceles. Traga a questão aos alunos: por que escolher esse tipo de triângulo? Certamente, responderão que a medida da distância ao observador que enxerga a árvore totalmente escondida pela primeira haste do instrumento é igual à altura da árvore. Comente que é possível trabalhar também com outros ângulos, fazendo a relação entre o cateto oposto ao ângulo de observação e a hipotenusa do triângulo. Destaque que essa relação é o seno de um ângulo (a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa). Proponha que os alunos repitam essa experiência para medir a altura da construção medida com a aplicação do método de Tales. Para isso, discuta como podem produzir um instrumento semelhante ao utilizado no documentário. As medidas das hastes e das distâncias entre as hastes devem ser discutidas pelos alunos, organizados em grupos de quatro estudantes. Marque para a próxima aula a construção desse instrumento. Peça para que tragam o material que acharem adequado para essa construção. Na aula seguinte, volte ao campo para fazer as medições com o aparelho construído pelos grupos. Eles devem fazer anotações adequadas para serem discutidas pela classe. No retorno à sala, monte uma roda de discussão para comparar as medições realizadas pelos grupos em cada método. Discuta qual deles apresenta maior praticidade na execução. Para este trabalho, sugerimos também a utilização de aplicativos que trazem os mesmos 6 episódio 3: matemática e o início da civilização sala de professor

7 conceitos de Trigonometria no triângulo retângulo, indicados na parte final desta ficha. Como fechamento, proponha uma lista de cinco exercícios sobre cálculos de distâncias inacessíveis, que poderão ser resolvidos por qualquer um dos métodos. Para dar continuidade à abertura de estudos sobre Trigonometria, traga outro trecho do documentário (17min. a 18min. 25s.) para mostrar outras possibilidades de cálculos de distância. Estes serão explorados na parte interdisciplinar. Para avaliar as atividades relativas a esse tema, sugerimos a atribuição de 20% dos pontos totais à fase exploratória de medida, mediante análise dos registros feitos pelo grupo e observação do professor. O valor de 30% poderá ser dado à aplicação do método de Tales, e também 30% à aplicação do seno. A lista de exercícios finais pode ter valor de 10% do total de pontos. ETAPAS Tema 1 apresentação do trecho indicado do vídeo roda de conversa, produção do texto coletivo; Tema 2 jogadas da Torre de Hanói com até 3 discos, discussão dos registros, jogadas com até 5 discos, discussão dos registros, apresentação do trecho indicado do vídeo, relação com estudos de análise combinatória (princípio multiplicativo, princípio da indução finita); Tema 3 medida de distância inacessível em campo, apresentação do método de Tales, aplicação do método de Tales em campo, apresentação do trecho indicado do vídeo, aplicação do método dos ângulos em campo, discussão comparativa entre os métodos, resolução de exercícios. veja mais Documentário; MATERIAL Papel craft (1m X 1m) para registro do texto coletivo (Tema 1); Torre de Hanói (Tema 2); Régua, fita métrica, metro, madeira ou papelão, transferidor, cola, tesoura (Tema 3). Torres de Hanói. Disponível em: <portaldoprofessor.mec.gov.br/fichatecnica.html?id=11302>. Acesso em 25 de outubro de Princípio multiplicativo. Disponível em: <crv. educacao.mg.gov.br/sistema_crv/banco_objetos_crv/em_principio_multiplicativo.pdf>. O princípio de indução infinita. Disponível em: <ecalculo.if.usp.br/ferramentas/pif/pif.htm>. Semejanza y homotecia. Disponível em: <portaldoprofessor.mec.gov.br/fichatecnica.html?id=21091>. Acesso em 22 de outubro de sala de professor episódio 3: matemática e o início da civilização 7

8 Um olhar para o documentário a partir da física A contribuição da Física para a compreensão do documentário está relacionada com as primeiras medidas astronômicas realizadas pelo ser humano.isso significa que, ou seja, trabalharemos os conceitos básicos de Astronomia. Após o documentário, recomenda-se que o professor faça uma breve exposição para os seus alunos (preferencialmente turmas que estejam iniciando a 1ª série do Ensino Médio) sobre os conceitos e métodos de medida a seguir: Circunferência da Terra Um dia, Erastóstenes (bibliotecário chefe da grande biblioteca de Alexandria) leu em um pergaminho um relato de que em Siena, hoje Assuão, ao meio-dia do solstício de verão, a luz do sol era refletida pela água no fundo de um poço, e que no mesmo instante uma coluna não formava sombra. Contudo, ele observou que, ao contrário do que ocorria em Siena, uma vareta em Alexandria produzia uma sombra. Diante disso, Erastóstenes cogitou duas hipóteses para explicar o fenômeno. Ou (1) a Terra é plana e o Sol está muito próximo, de modo que seus raios seriam divergentes, ou (2) a Terra é esférica e o Sol está tão distante, que seus raios chegam paralelos. 1 a HIPÓTESE 2 a HIPÓTESE Alexandria Raios divergentes Siena α 1 α 2 α 3 Alexandria Siena Ele acabou optando pela segunda hipótese, uma vez que havia indícios provenientes da navegação de que a Terra era curva. Com base nesta hipótese e nas informações dos pergaminhos, ele inferiu um meio de calcular o comprimento da circunferência da Terra: 8 episódio 3: matemática e o início da civilização sala de professor

9 O valor do ângulo encontrado pela sombra e altura da vareta: Raios solares Substituindo os valores originais na equação anterior: C = km => C = 39250km 7,2 L Ѳ L Alexandria S R Ѳ Siena C A partir do valor da circunferência da Terra é possível determinar o seu raio: C = 2πR => R = 39250km => R = 6247km 2π (atualmente: R = 6378km) O método utilizado por Erastóstenes obteve excelente valor para o raio terrestre, se considerarmos os erros de medidas, principalmente na distância entre as cidades, e ao fato de ele ter considerado o Sol como uma fonte luminosa pontual e infinitamente distante. tgѳ = L => Ѳ = 7,2 (atualmente: Ѳ = 7,08 ) L Fazendo a proporção: C = 360 => C = 360.S S Ѳ Ѳ Na época, supunha-se que a distância entre Alexandria e Siena era de 785km (o valor atual é dado em 729km). Como o Sol (e também a Lua) se comporta como fonte luminosa extensa, apresentando um ângulo visual de 0,52º, a precisão do ângulo medido por Erastóstenes ficou comprometida devido à formação de uma penumbra que certamente dificultou a medida da sombra da vareta. Além disso, Newton demonstrou que a Terra não era uma esfera devido ao pequeno achatamento nos polos de 0,3%. Distância da Terra ao Sol Aristarco observou que quando a Lua encontra-se na fase de quarto crescente ou quarto minguante, ela forma juntamente com o Sol e a Terra um triângulo retângulo em que o ângulo reto está no vértice da Lua. A partir disso ele percebeu que descobrindo o valor do ângulo α, encontraria a distância da Terra ao Sol (TS) em função da distância da Terra à Lua (TL). Tomando como base o mês sinódico lunar, que corresponde a 29,53 dias, Aristarco mediu quanto tempo a Lua leva do quarto minguante até o quarto crescente, chegando ao valor de 14,25 dias. Terra α α Crescente Minguante Sol sala de professor episódio 3: matemática e o início da civilização 9

10 Montando a proporção, é possível chegar ao valor do ângulo α: 360 2ɑ = => ɑ = 87 29,53 dias 14,25 dias (atualmente: ɑ = 89,85 ) De posse do ângulo α, calcula-se a distância entre a Terra e o Sol: Distância da Terra à Lua A fim de concluir o cálculo da distância da Terra ao Sol (TS), o professor também poderá propor que seus alunos determinem experimentalmente a distância entre a Terra e a Lua (TL). Neste caso, proceda com os seguintes passos: Pesquise em um calendário lunar o dia e hora da próxima Lua cheia; Meça o diâmetro de uma moeda; Como atividade, seria interessante refazer o cálculo do ângulo α pesquisando em calendários lunares a hora em que a Lua se encontra nas fases de quarto minguante e quarto crescente. A seguir temos dois exemplos: Intervalo de tempo ɑ (ângulo) Minguante 14,65 dias 89 crescente Data 30/08/ /09/2002 Horário (UTC-3) Intervalo de tempo ɑ (ângulo) 23:31 15:08 14,27 dias 87 (valor de Aristarco) Data 08/09/ /09/2012 Horário (UTC-3) 10:15 16:41 Observe que os resultados encontrados são diferentes por causa das peculiaridades do movimento da Lua em cada época. Em seu método, Aristarco admitiu que a velocidade da Lua em torno da Terra era constante, que a órbita da Lua seria circular e em um mesmo plano. Desprezou ainda o movimento de translação da Terra em torno do Sol e, por fim, utilizou um valor médio para o mês sinódico lunar. Essas considerações geram uma pequena variação no ângulo α, que por sua vez ocasiona um enorme erro na relação TS/TL. Antes da hora prevista, prenda a moeda em uma janela de vidro transparente que fique na direção do nascimento da Lua. Caso seja possível, construa um suporte para a moeda e vá para um campo aberto; Afaste-se da moeda até que ela tenha coberto totalmente a Lua logo quando nascer, ainda no horizonte; Peça para que alguém meça com um barbante a distância entre seu olho e a moeda. Com os dados do diâmetro da moeda, da distância dela ao seu olho, e sabendo ainda que o diâmetro da Lua é de 3476 km, em uma proporção será possível calcular a distância da Terra à Lua (TL). Diâmetro do Sol Com o resultado da distância entre a Terra e o Sol (TS) é possível encontrar o diâmetro do Sol por meio de um método que não seja necessário olhar diretamente para o Sol. Acompanhe as etapas: Com um alfinete, faça um furo em uma cartolina; Quando o Sol estiver no ponto mais alto do céu (zênite), mantenha a cartolina horizontalmente ao solo, deixe a luz solar atravessar o furo formando uma imagem do Sol no chão; Peça a alguém para medir com um barbante o diâmetro desta imagem e a altura do solo até a cartolina; Com os dados do diâmetro da imagem do Sol, da distância da cartolina ao solo e da distância da Terra ao Sol (cerca de 150 milhões de km), monte a proporção e descubra o diâmetro do Sol. 10 episódio 3: matemática e o início da civilização sala de professor

11 MATERIAL ETAPAS Caderno, lápis, computador com acesso à internet; Calendário lunar, moeda, transferidor; Cartolina, alfinete e barbante. Exposição sobre o desenvolvimento dos cálculos astronômicos: circunferência da Terra, distância da Terra ao Sol e distância entre a Terra e a Lua; Medições: distância da Terra ao Sol; distância entre a Terra e a Lua e diâmetro do Sol. veja mais Raio da Terra, RIVED Rede Internacional Virtual de Educação. Disponível em: <rived.mec.gov.br>. UMA CONVERSA ENTRE AS DISCIPLINAS Os professores de Física e Matemática podem trabalhar conjuntamente em um projeto que convide os alunos a realizarem a medida da circunferência da Terra, tal como Erastóstenes fez há mais de 2000 anos. Para isso, é necessário contar com a participação de uma escola parceira que esteja em um paralelo terrestre diferente; quanto maior a distância, maior será a precisão da medida. O ideal seria que as medidas fossem realizadas no solstício de verão, e que as duas escolas estivessem no mesmo meridiano. B A A B Como é pouco provável encontrar duas escolas em cidades diferentes que coincidentemente estejam localizadas no mesmo meridiano, e também para que não seja necessário esperar pelo solstício de verão, a atividade poderá sofrer adaptações. É imprescindível que as medidas sejam realizadas no horário do meio-dia solar da região, e que na distância entre as cidades seja utilizado o menor valor entre os paralelos das duas escolas. Essa distância poderá ser determinada com o auxílio do Google Earth. Pesquise em um site a previsão do tempo para a sua região e selecione três datas para fazer as medições. Atente para a importância de realizar várias medidas, uma vez que as condições climáticas podem não ser favoráveis. O próximo passo será localizar cada escola no Google Earth para obter as suas respectivas latitudes e longitudes. sala de professor episódio 3: matemática e o início da civilização 11

12 Com os dias escolhidos e com os dados de latitude e longitude corretos, é possível determinar o horário do meio-dia solar local no endereço disponível em: <isheyevo.ens-lyon.fr/eaae/groupspace/ eratosthene/help-for-calculations/anywhere>. O aplicativo também fornece o valor teórico do ângulo α e da sombra que será medida pelos alunos. Determinado o horário, cada escola deverá medir a sombra de uma vareta vertical de um metro sobre um solo horizontal e preencher a tabela a seguir: tamanho da sombra DATA MEDIÇÃO 1 DATA MEDIÇÃO 2 DATA MEDIÇÃO 3 ESCOLA A ESCOLA B Observe que geometricamente o ângulo α é a diferença entre os ângulos medidos por cada escola. ɑ B ɑ B ɑ 2 ɑ 2 A ɑ A ɑ 1 ɑ 2 Após a conclusão dos cálculos, expresse os resultados na tabela seguinte: latitude longitude distância entre paralelos medida 1 medida 2 medida 3 ESCOLA A ESCOLA B ɑ = ɑ 1 - ɑ 2 Tamanho do Meridiano Terrestre (km) Caso o professor tenha dificuldade em encontrar uma escola parceira, ele poderá realizar o experimento através do site do Projeto Erastóstenes. Neste site, alunos de diversas escolas em latitudes diferentes podem se comunicar com o objetivo de refazer o experimento de Erastóstenes para a medida da circunferência da Terra.` veja mais Projeto Erastóstenes. Disponível em: < sites.google.com/site/projetoerato/>. 12 episódio 3: matemática e o início da civilização sala de professor

13 SUGESTÕES DE LEITURA E OUTROS RECURSOS Livros e Revistas HEWITT, P. G. Física conceitual. Tradução por Trieste Freire Ricci. Porto Alegre: Bookman, PADRÃO, Darice Lascala. A origem do zero. São Paulo: PUC, Dissertação de mestrado. Disponível em: <www. pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/darice_lascala_padrao.pdf>. Acesso em 20 de outubro de sites e outros recursos A geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga. Disponível em: < Acesso em 04 de novembro de Medindo a Terra com sombras. Disponível em: < pdf>. Acesso em 04 de novembro de Erastóstenes e a medida do diâmetro da Terra. Disponível em: < F809_F895/F809/F809_sem2_2002/940298_AndreVinagre_Eratostenes.pdf>. Acesso em 04 de novembro de Como se media a distância até o Sol. Disponível em: < F809/F809_sem2_2008/AndressaC-CarolaRama_RF1.pdf>. Acesso em 04 de novembro de Atividade de Tales. Disponível em: < Acesso em 20 de outubro de Atividade Torre de Hanói. Disponível em: < Acesso em 25 de outubro de Atividade de Trigonometria. GeoGebra. Disponível em: < Acesso em 22 de outubro de sala de professor episódio 3: matemática e o início da civilização 13

14 FOTO Um documentário da TV Escola. Um ponto de partida para grandes trabalhos com os alunos. Assim é o Sala de Pofessor. O programa incentiva os professores de Ensino Médio a desenvolverem projetos que mudem a rotina em sala de aula. Em cada programa, dois professores convidados criam um projeto a partir de documentários exibidos na TV Escola. São sempre propostas e experimentos inovadores, que podem ser reaplicados em qualquer escola do país. Os trabalhos apresentados são detalhados em dicas pedagógicas como essa e ficam disponíveis no site da TV Escola. Os professores também podem usar as artes criadas para o programa: são animações, tabelas, mapas e infográficos que tornam os conteúdos mais visuais e interativos. As dicas pedagógicas e as computações gráficas foram transformadas em fascículos interativos para tablets. E o professor também pode navegar pelo material extra do programa no blog do Sala. Para ter acesso a esses produtos, acesse o site tvescola.mec.gov.br ou curta a fan page da TV Escola no Facebook. FOTO