Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas"

Transcrição

1 R.. Natal Jorge nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas eartamento de Engenharia ecânica e Gestão Industrial Faculdade de Engenharia Universidade do Porto (/)

2 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas. Introdução No ensino clássico da Engenharia de Estruturas assume-se que o camo de tensões instalado na estrutura rovocado elo sistema de forças exteriores não ultraassa a tensão limite elástico do material, além disso, assume-se ainda o não aarecimento de deformações excessivas. No entanto, um outro tio de abordagem do roblema tem tido nas ultimas décadas um avanço significativo [][5][8][9]. Trata-se do cálculo lástico de estruturas em que um dos rinciais objectivos é a determinação da carga ara a qual uma estrutura entra em colaso devido ao aarecimento de deformações excessivas. O cálculo lástico de estruturas requer o conhecimento do estado de deformação da estrutura no momento do colaso, bem como o comortamento da estrutura quando algum onto material atinge a tensão limite elástico. Por outro lado, ord aker mostrou em 949 [] que os rojectos mais económicos de estruturas orticadas, ou mesmo de vigas contínuas se conseguem quando baseados em métodos relacionados com o cálculo lástico. e facto no cálculo tradicional relacionado com a engenharia de estruturas à que imedir as deformações excessivas bem como limitar o estado de tensão abaixo de certo limite em eças e estruturas. Todavia, noutro tio de comonentes estruturais, como alguns elementos constituintes dos veículos automóveis um dos objectivos é o de aumentar a caacidade de absorção de energia de deformação, tentando-se deste modo minorar as consequências do imacto em caso de acidente, utilizando-se ara o efeito, fundamentalmente a zona lástica de comortamento do material.

3 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas nalise-se o seguinte exemlo [9]: uma viga simlesmente aoiada de comrimento,6 m de secção recta com erfil I e submetida à força W a meio vão (ver Fig. ). W W [kn] 5 inicio de cedência rotura colaso lástico,8,8 Fig. -Exeriência de aier-eibnitz. δ [mm] Este exemlo é conhecido na literatura como a exeriência de aier-eibnitz e foi estabelecida em 99 [7]. Na Fig. encontra-se reresentado o gráfico cargadeslocamento, sendo este obtido a meio vão. viga aresenta um comortamento elástico ara valores da carga inferiores a kn. Para esta carga a tensão instalada nas fibras mais solicitadas da secção crítica atinge a tensão de cedência. Para valores de W róximos de 5 kn, o deslocamento vertical a meio vão cresce de forma mais acentuada verificando-se o colaso da estrutura ara W66 kn, observando-se ainda antes do colaso deslocamentos excessivos na viga. Pode-se assumir como modelo teórico ara o comortamento da viga que à carga constante de 5 kn o deslocamento vertical a meio vão da viga ode crescer indefinidamente. esta ocorrência corresonde o que se designa or colaso lástico da estrutura sendo a carga corresondente denominada carga de colaso W r. e facto, este comortamento da estrutura originado or W r ode ser interretado elo desenvolvimento de uma rótula a meio vão da viga e que se designa or rótula lástica [5]. característica da rótula lástica é que só sofre uma rotação quando o momento a meio vão atinge o seguinte valor: W r /,8 5 /,8 6 knm () No entanto, quando o momento atinge este valor essa rotação ode crescer indefinidamente, designando-se o momento necessário ao aarecimento da rótula lástica or momento lástico. O momento lástico é função da tensão de cedência do material, das características geométricas da secção recta da viga e do tio de esforços instalados. Relativamente ao comortamento do material, ode-se recorrer novamente ao gráfico obtido a artir do ensaio de tracção ara um aço macio (Fig. ) em que σ e σ u corresondem aos valores da tensão de cedência (corresonde ao atamar de cedência) e

4 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas tensão limite suerior da tensão de cedência, resectivamente. s extensões ε e ε s corresondem às extensões totais no início do atamar de cedência e no início do encruamento, resectivamente. σ σu σ limite suerior da tensão de cedência atamar de cedência O ε εs ε Fig. - Gráfico tensão-deformação de um aço de baixo teor em carbono. o onto de vista de cálculo lástico interessa toda a zona elástica do gráfico, bem como o atamar de cedência. Um dos arâmetros que rovoca no aço diferentes valores ara σ, σ u, ε e ε s é a ercentagem de carbono contido na liga metálica. No quadro I aresentam-se alguns destes valores ara diferentes ercentagens de carbono [9]. Quadro I-lgumas características do aço em função da % de carbono. % carbono σ [Pa] σ u /σ ε s /ε,8 4, 9,,49 86,8,7,74 448,9,9,89 55,4,5 omo se ode observar ara o aço com mais baixa ercentagem de carbono a extensão total no final do atamar de cedência (ε s ) é de cerca dez vezes o valor da extensão total no início do mesmo atamar (ε s ε ).

5 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4. Flexão Elasto-lástica de Vigas No cálculo elasto-lástico de vigas admite-se que o comortamento do material é elasto-erfeitamente lástico. Tal como na análise da flexão elástica de vigas também no cálculo lástico se recorre à teoria de flexão de vigas de Euler-ernoulli, a qual assenta nos seguintes roostos []: - as extensão envolvidas são consideradas reduzidas - as relações constitutivas não distinguem esforços de tracção e de comressão - secções lanas antes da deformação ermanecem lanas aós deformação Recordando a teoria do cálculo elástico da flexão de vigas, considere-se uma viga sujeita numa dada secção a um momento e que nessa mesma secção a viga aresenta uma dada curvatura k de raio R (k/r). extensão longitudinal ε rovocada numa dada fibra situada a uma distância ζ do eixo neutro (lugar geométrico dos ontos da secção da viga cuja comonente normal do tensor das tensões na direcção longitudinal tem valor nulo σ) é dada or εk ζ. Para valores da tensão normal inferiores a σ a tensão normal à secção vale: σ ζ () I xx em que I xx é o momento de inércia do eixo rincial central de inércia e cuja direcção coincide com a do momento flector. Verifica-se ortanto, ao longo da altura da secção uma distribuição linear do valor da tensão. Tomando como exemlo uma viga de secção rectangular (Fig. ) de altura h e largura b, elo que I xx bh /, o maior valor da tensão normal na secção verifica-se nas fibras mais afastadas do eixo neutro, isto é, ara ζh/.

6 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 5 ζ ζ y h/ x σ σ h/ ( h ζ) σ b σ bζ b σ Fig. -istribuição da tensão normal numa viga de secção rectangular. vale: comonente longitudinal da tensão nessas fibras mais afastadas do eixo neutro σ ± h ± bh ± bh h bh 6 ± W xx () em que W xx designa-se or módulo de rigidez à flexão []. Quando a tensão normal longitudinal (única comonente do tensor das tensões não nula) atingir a tensão de cedência do material, o que ocorrerá rimeiramente nas fibras mais afastadas do eixo neutro, o momento corresondente será: bh c σ Wxx σ (4) 6 e que se denomina or momento de cedência ( c ) [5]. Tome-se agora ara o momento flector um valor suerior a c. omo se está a admitir um material com comortamento elasto-erfeitamente lástico irá haver uma zona da secção cujas fibras se encontram no domínio lástico (Fig. ) enquanto a restante se mantém no domínio linear elástico. O momento corresondente ode ser obtido elo equilíbrio de momentos segundo a direcção x e que resulta da soma de dois binários corresondentes, or um lado à arte elástica: σ bζ ζ (5) e or outro lado à arte lástica:

7 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 6 h h σ b ζ + ζ (6) resultando: h (7) h ( σ ζ) ( ζ) + ( σ ( ζ) ) ( ( h + ζ) ) σ ζ b b b 4 tendendo à relação entre curvatura k e a extensão longitudinal ε a uma distância ζ do eixo neutro ε k (8) ζ ode-se obter a curvatura corresondente ao início da lastificação, isto é, quando o momento alicado na secção atinge c bh ε c σ k (9) 6 h combinação de (7) com (9) ermite obter a seguinte relação entre o momento (situação elasto-lástica) e o momento de cedência: k,5,5 c k cuja reresentação gráfica se ode observar na Fig. 4. c,5 (), O k/k Fig. 4-urva de Saint-Venant. Para um crescimento da curvatura k corresonde uma diminuição do núcleo elástico. No entanto, no limite, quando k tende ara um valor infinito verifica-se que ζ e toda a

8 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 7 secção lastificou. tendendo a () ode-se calcular o momento ( ) em que esta situação ocorre:,5 c ( ) () denominado momento lástico ( ). O aarecimento de uma curvatura de valor infinito corresonde deste modo à lastificação de toda a secção verificando-se então uma variação finita da deformada entre duas secções infinitamente róximas. O roblema torna-se então, a artir desse momento, análogo a outro, em que nessa secção existisse uma rótula, a qual se denomina de rótula lástica. Na rática, a condição de lastificação total não é ossível, ois tal situação corresonderia a uma curvatura infinita, que or sua vez corresonderia a uma extensão infinita o que não é admissível. maior deformação admissível deende de certas características do material, nomeadamente da relação ε /ε s. Tomando o exemlo da secção reresentada na Fig. e admitindo que se trata de um material com ε s ε tem-se ara a curvatura corresondente ao limite da zona elástica: kε /ζ. Imondo como limite ara a extensão longitudinal ε s ε e que ocorrerá rimeiramente nas fibras mais exteriores (ζh/), obtém-se então uma curvatura k ε /(h/). omo a curvatura é constante ara uma dada secção, isto é, não deende de ζ, vem ε ε () ζ h o que ermite determinar a cota ζ corresondente ao limite da zona elástica h ζ () a que corresonde o seguinte valor de curvatura: ε k h (4) artir de (4) tem-se então a seguinte relação de curvaturas: ε h k k k (5) k ε h Substituindo (5) na exressão de Saint-Venant () obtém-se o resectivo momento:

9 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 8 c k,5,5 k,495,495 c,495,996(6),5 onclui-se deste modo que o momento flector no início do encruamento é calculado com considerável aroximação elo valor teórico de. (6).. eterminação do omento Plástico onsidere-se uma viga sujeita a um estado de flexão ura e que uma dada secção recta dessa viga aresenta a geometria reresentada na Fig. 5 sendo sujeita a um momento flector. y σ σ σ y y x σ σ σ σ σ a) b) c) d) e) Fig. 5-istribuição da tensão normal numa secção de geometria arbitrária. Na Fig. 5 encontram-se reresentados vários diagramas corresondentes à distribuição da tensão normal (σ) ao longo da secção com geometria arbitrária Fig. 5.a) em que se aumenta o momento alicado na secção no sentido b) e). distribuição da tensão normal reresentada em b) corresonde a um momento flector inferior ao momento de cedência, isto é, um momento que não originou qualquer cedência do material. distribuição de c) corresonde ao momento de cedência em que as fibras mais afastadas do eixo neutro (eixo x) atingiram a tensão de cedência (σ ). ontinuando a aumentar o momento alicado na secção, verifica-se um aumento da zona da secção que vai lastificando até que também as fibras inferiores atingem a tensão de cedência d). ontinuando ainda a incrementar o momento, as duas zonas lastificadas, suerior e inferior, vão aumentando até que toda a secção se encontra fora do domínio linear elástico, e como se admite que o material tem um comortamento elasto-erfeitamente lástico toda a secção fica submetida ao mesmo valor absoluto da tensão normal e).

10 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 9 Realizando o equilíbrio de forças na direcção longitudinal (x) reresentadas em e) tem-se: Fx σ σ (7) omo consequência do equilíbrio de forças estabelecido verifica-se que o eixo neutro lástico coincide com o eixo que divide a área de modo igual, enquanto que o eixo neutro elástico se verifica sobre o eixo que regista uma igualdade nos momentos estáticos das áreas. este modo, o eixo neutro elástico e lástico odem não coincidir. Estabelecendo o equilíbrio de momentos relativamente ao eixo x e rovocados elas forças resultantes σ e σ obtém-se então ara o momento lástico: x σ y + σ y σ ( y + y ) σ W (8) em que W é o módulo de resistência lástico [][9]. relação entre o momento lástico e o momento de cedência é conhecida como o factor de forma (f): W f (9) W c. étodos Rígidos Plásticos na nálise de Estruturas Simles.. Princíios Fundamentais Os métodos rígidos lásticos baseiam-se na alicação do teorema estático, do teorema cinemático, do teorema da unicidade e do rincíio dos trabalhos virtuais. O teorema dos trabalhos virtuais ara estruturas lineares ode-se enunciar de seguinte modo []: Para um meio contínuo e em equilíbrio, o trabalho virtual realizado elas forças exteriores ara um qualquer deslocamento virtual comatível com as condições de contorno é igual ao trabalho efectuado elas forças internas num mecanismo de deformações comatível com o deslocamento virtual. Tome-se o exemlo de uma viga simlesmente aoiada com uma força concentrada a meio vão (ver Fig. 6.(a).

11 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas P a) / / P c /4 b) δc / c) / d) Fig. 6-eformações numa viga simlesmente aoiada. Em b) encontra-se reresentado o diagrama de momentos flectores corresondente à carga de cedência (P c ). Em c) estão reresentadas as configurações deformadas do eixo axial da viga que assa elo seu centro de massa. s configurações dizem reseito à carga de cedência, cuja flecha a meio vão é δ c, bem como aos movimentos de coro rígido verificados ara valores da carga P>P c. Para o tio de roblemas em análise o rincíio dos trabalhos virtuais ode-se escrever do seguinte modo [9]: Pδ k dl + () em que reresenta a distribuição de momentos comatível com o equilíbrio do coro e rovocada ela força exterior P, sendo as rotações de coro rígido e k a curvatura. equação () ode ser utilizada de dois modos distintos. Pode-se considerar que as configurações deformadas são virtuais, isto é, os deslocamentos (δ * ), as curvaturas (k * ), e as rotações ( * ) odem ser escolhidas de forma arbitrária, desde que reseitem os requerimentos de comatibilidade. Esta forma do rincíio dos trabalhos virtuais é normalmente referida como o rincíio dos deslocamentos virtuais, sendo utilizada no estabelecimento das equações de equilíbrio [4].

12 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas Outra hiótese, é a utilização de um sistema de forças virtuais (P *, * ), em que o sistema de forças é imosto arbitrariamente, desde que cumram as requisições de equilíbrio. Este é o rincíio das forças virtuais e que ermite estabelecer as equações de comatibilidade [4]. Os deslocamentos e as rotações corresondentes ao comortamento elástico odemse considerar irrelevantes quando comarados com os deslocamentos e as rotações de coro rígido [9]. ssim, em () aenas se considera as rotações e os deslocamentos de coro rígido, assando-se a designar or mecanismo, sendo neste caso um mecanismo tio viga [][8][9]. equação () ode-se então rescrever: * * P δ () ou, exlicitando de acordo com a Fig. 6: P () O teorema estático ode-se enunciar do seguinte modo [9]: Se existir uma distribuição de momentos numa estrutura linear que seja simultaneamente segura e estaticamente admissível ara um determinado conjunto de cargas λ, o valor de λ deve ser menor ou igual à carga de colaso λ c. omo corolário do teorema estático tem-se que não é ossível ter alguma distribuição de momentos que seja simultaneamente seguro e estaticamente admissível e que seja originado or uma carga suerior à carga de colaso. O teorema cinemático ode-se enunciar do seguinte modo [9]: Para uma determinada estrutura sujeita a um conjunto de cargas λ, se as cargas λ corresonderem a um mecanismo ossível da estrutura então essas cargas λ são sueriores ou iguais à carga de colaso λ c. omo corolário do teorema cinemático tem-se que de todos os mecanismos ossíveis ara uma dada estrutura o mecanismo de colaso é aquele a que corresonde a menor carga de colaso. O teorema da unicidade ode-se enunciar do seguinte modo [9]: Se ara uma dada estrutura sujeita a um conjunto de cargas λ, se formarem rótulas lásticas em número suficiente ara que seja constituído um mecanismo e o diagrama de momentos flectores daí resultante for admissível, então o factor de carga corresondente conduzirá à carga de colaso λ c.

13 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas.. Exemlo Ilustrativo: Pórtico Rectangular onsidere-se o órtico rectangular reresentado na Fig. 7 sujeito às cargas horizontal e vertical λ e de secção constante com o momento lástico. λ λ E 5 5 Fig. 7-Pórtico rectangular bi-encastrado. Na análise vai-se incrementando o valor da carga de modo a obter a formação de mais uma rótula lástica. Nos sucessivos incrementos de carga vão surgindo alterações geométricas em consequência do aarecimento das rótulas lásticas. No quadro seguinte reresenta-se os vários incrementos de carga, bem como as resectivas distribuições dos momentos flectores. O rocesso termina quando se forma um mecanismo, o que acontece ara uma valor de λ corresondente à carga de colaso. Verifica-se que ara λ9, se forma a rimeira rótula lástica na secção, ois é nesta secção que o momento alicado atinge o valor do momento lástico da secção. artir deste momento a análise é feita como se a estrutura do onto de vista estático tivesse nessa secção uma rótula. O incremento do valor da carga de λ7 erfaz um valor total ara a carga de λ om este incremento de carga forma-se outra rótula lástica, agora na secção E. om esta rótula a estrutura continua a ser estaticamente admissível, assando o órtico a conter agora duas rótulas (em e em E). om outro incremento de carga λ,7 forma-se outra rótula lástica, agora na secção, o que acontece ara uma carga total λ46+,746,7. om a formação desta terceira rótula a estrutura torna-se isostática e ortanto ainda estaticamente admissível. Finalmente, ara uma carga total λ5 forma-se uma outra rótula transformando-se a estrutura num mecanismo. Esta carga corresonde então à carga de colaso λ c e foi obtida or sucessivas análises estáticas.

14 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas Quadro II-nálises sucessivas ara o órtico rectangular λ,57 9 λ λ E,78,,8,4 8,7 8,9 ª rótula em,4,57 44,4 8,7 + λ,47 λ 7 λ 46 ª rótula em E λ λ E,4,47,4,4,4 64, 97, 97, + λ 4,4 λ,7 λ ª rótula em 46,7 λ λ E,98,94 4,4,4 66,8 66,8 + λ λ, λ 4ª rótula em 5 λ λ E 5,, 5.. Viga bi-encastrada com arga escentrada Este exemlo trata-se de uma viga bi-encastrada de secção constante sujeita a uma força concentrada descentrada (ver Fig. 8).

15 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4 P a) - / -/ b) Fig. 8-Viga bi-encastrada e resectivo mecanismo de viga. Pretende-se determinar a carga de cedência e a carga de colaso e resectivas configurações deformadas.... álculo das arga de edência e olaso Equação de equilíbrio: ( ) + + () P P + (4) onsiderando um sistema de forças virtuais P * ao qual estão associados os momentos residuais m *, e atendendo à relação entre a curvatura k e o momento flector, k/ei tem-se ara (): * * m dl + m (5) EI Para o referido sistema de forças virtuais a equação de equilíbrio (4) vem * * * m + m m (6) que ode ser satisfeita ara os dois seguintes conjuntos de momentos:

16 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 5 m m * * m m (7.) * * *, m, m (7.) * Genericamente, o integral da rimeira arcela do segundo membro da equação (5) ara uma viga delimitada elas secções e resulta na seguinte exressão: * * ( m ( + ) + m ( + )) EI 6EI licando a exressão (8) ao conjunto de momentos arbitrários estabelecidos em (7.) obtém-se m * dl EI * ( ( ) * m + + ( + ) m )+ 6EI * m dl (8) 6EI * * ( m ( + ) + m ( + )) ( ( + ) + ( + ))+ 6EI (9) ( ( + ) + ( + )) 6EI (( + ) + ( + )) 6EI ( ) 6EI o que substituindo em (5): * * m dl + m ( ) () EI 6EI Resultando deste modo a equação de comatibilidade ara o conjunto de momentos (7.). licando rocedimento semelhante ara o conjunto de momentos (7.) obtém-se m * dl EI ( ) ( ( ) ) 6EI 6EI 6EI EI vindo a equação de comatibilidade: + ( + ) + ()

17 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 6 ( ) 4 6EI m dl m EI * * () combinação das equações de comatibilidade () e () com a equação de equilíbrio (4) ermite estabelecer o seguinte sistema de equações ( ) EI 4 6EI 6 9 P () ou, searando as incógnitas «momentos» das incógnitas «rotações» + P 6EI (4) ou, sob a forma incremental: + P 6EI (5) No sistema de equações estabelecido em (5) odem-se configurar duas situações: Se se verificar i <, ara i à estrutura, significa que se está no domínio elástico, observando-se:, i i (6) Se em alguma secção se verificar j, significa que se formou alguma rótula lástica, observando-se:, j j (7) ós a formação de uma nova rótula, do onto de vista estático a estrutura encontrase alterada. omo consequência o sistema de equações definido em (5) também se altera, nomeadamente o vector de incógnitas, que ode ser o incremento de momento na secção caso ainda não se tenha formado a rótula lástica nessa secção, como ode ser o incremento de rotação caso já se tenha formado a rótula, isto é:

18 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 7?, i i antes da formação da rótula lástica (8.)?, i i aós a formação da rótula lástica (8.) Para um rimeiro incremento admite-se que ainda não se formou qualquer rótula lástica, ou seja, i, elo que a resolução do sistema de equações (5) ermite obter os seguinte incrementos ara os momentos flectores nas três secções consideradas e em regime linear elástico: P (9) Sendo o incremento o maior dos três (em valor absoluto), conclui-se que a rimeira rótula lástica formar-se-á justamente na secção, o que acontecerá quando o valor da carga alicada for: 4 9 P' P 9 4 (4) Substituindo (4) em (9) obtém-se o incremento nos momentos flectores de cada uma das secções originado elo incremento de carga P : (4) Resumindo, no momento em que se forma a rimeira rótula lástica, o que acontece na secção e ara uma carga com o valor de P, os momentos flectores e as rotações de coro rígido nas três secções valem:, (4) gora, ara a resolução do sistema de equações relativo ao incremento seguinte temse: e, resultando: P,4444,585 P EI 6EI (4) segunda rótula lástica formar-se-á na secção ara o seguinte incremento de carga

19 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 8,649 P" P,585 + (44) ou, ara uma carga total de:,89, P" + (45) Para este valor da carga concentrada os valores dos momentos flectores nas diferentes secções são os seguintes:,7857,649,4444,649,585 + (46) e as rotações de coro rígido: EI,4 (47) Para a resolução do sistema de equações relativo ao incremento seguinte tem-se:, e, resultando: P 4,667,667 P 4 6 EI EI 6EI 6EI (48) Por fim formar-se-á a terceira e última rótula lástica o que ocorrerá na secção e ara o seguinte incremento de carga:,7 ' ' P',7857 P (49) obtendo-se então a carga de colaso da estrutura:,7,89 P c + (5) Para a carga de colaso os valores dos momentos flectores e das rotações de coro rígido nas diferentes secções são os seguintes: EI, (5)

20 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 9... álculo da Flecha no Ponto de licação da arga O cálculo de um vector deslocamento de um onto de uma estrutura ode ser realizado or recorrência ao teorema da carga unitária [4]. ssim, alicando na secção uma carga unitária vertical, o deslocamento vertical dessa secção ode ser calculado a artir de () ara uma carga virtual unitária: * * δ m dl + m (5) EI Também ara uma carga unitária na secção a equação de equilíbrio (4) vem * * * m + m m (5) a qual é satisfeita ara o seguinte conjunto de momentos arbitrados: * * * m, m m (54) Para o rimeiro incremento de carga ainda não existe qualquer rótula lástica ( i ), elo que o deslocamento ode ser calculado a artir da seguinte exressão genérica EI 6EI vindo ara a viga em estudo e atendendo a (54): EI * * ( m ( + ) + m ( + )) * δ m dl (55) 6EI 6EI * δ m dl ( ( + ) + ) + ( + ) ( + ) (56) Para o rimeiro incremento de carga estabelecido em (4) corresonde o conjunto de momentos flectores calculados em (4), que substituídos em (56) ermite determinar o deslocamento vertical da secção corresondente ao rimeiro incremento de carga que or sua vez corresonde à formação da rimeira rótula lástica: 6EI δ (57) 9 EI Para o segundo incremento de carga estabelecido em (44) e que origina os momentos totais calculados em (46) e as rotações de coro rígido exressas em (47), o deslocamento vertical da secção toma o seguinte valor:

21 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas δ ( ( + ) + ) + + ( ),4,8 6EI 6EI (58) EI EI Finalmente, ara os momentos e rotações de coro rígido finais estabelecidos em (5) e corresondentes à carga de colaso o deslocamento vertical da secção toma o valor: δ c ( ( + )) + ( ) 6EI EI (59) EI.4. étodo da ombinação de ecanismos O valor da carga de colaso do órtico rectangular reresentado na Fig. 7 também ode ser calculado or sucessivas análises dos mecanismos ossíveis de rutura do órtico. s equações de equilíbrio dos mecanismos são obtidas or alicação do teorema dos trabalhos virtuais () a cada mecanismo, atendendo ao facto do trabalho realizado ser semre ositivo. O método da combinação de mecanismos ermite sistematizar as sucessivas análises dos mecanismos de rutura [][5][8][9]. No método da combinação de mecanismos começa-se or estabelecer o número de mecanismos indeendentes ossíveis, que de um modo geral ode ser obtido ela diferença entre o número de secções otenciais ara a formação de rótulas lásticas e o grau de hierestaticidade da estrutura. Seguidamente combina-se estes mecanismos indeendentes de forma a obter as combinações de mecanismos ossíveis. Para todos os mecanismos, indeendentes e resultantes de combinações, calcula-se o resectivo factor de carga de colaso, o que ode ser conseguido or intermédio do rincíio dos trabalhos virtuais. O mecanismo de rutura será o que corresonde ao menor de todos os factores de carga de colaso e que corresonde igualmente a um diagrama de momentos estaticamente admissível. Tome-se como exemlo novamente o órtico reresentado na Fig. 7. O grau de hierestaticidade é, enquanto que o número de secções otenciais ara a formação de rótulas lásticas é 5, ois o momento lástico é igual ara qualquer secção. este modo, o número de mecanismos indeendentes é 5-. Um desses mecanismos é o mecanismo de viga anteriormente referido, enquanto o outro é o mecanismo de andar. No quadro seguinte mostra-se os dois mecanismos indeendentes e o mecanismo combinado, bem como as resectivas equações de equilíbrio estabelecidas com base no rincíio dos deslocamentos virtuais. Quadro III-nálises sucessivas ara o órtico rectangular

22 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas λ λ λ - ecanismo λ 5 E / -/ mecanismo de viga λ mecanismo de andar 5 E λ 5 / - -/ mecanismo combinado Equação de equilíbrio ( ) + ( ) + ( ) λ 5 E λ 5 E 5 λ ara λ 6 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) λ 5 + λ 5 P 5 λ 4 ara λ 8 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) E E λ 5 ara λ 5 P P Os três mecanismos constantes no Quadro são os mecanismos ossíveis ara o órtico em causa. Verifica-se que dos carregamentos corresondentes aos diferentes mecanismos o menor é o que corresonde ao mecanismo combinado, sendo este o mecanismo de colaso do órtico confirmando deste modo o resultado obtido anteriormente. Para o traçado do diagrama de momentos torna-se ainda necessário determinar ara o mecanismo de colaso qual o momento flector na secção onde não se formou qualquer rótula. Para o efeito ode-se utilizar uma outra equação de um outro mecanismo, como or exemlo a equação relativa ao mecanismo de viga em que ( ) + ( ) + ( ) 5 5 (6) E, (6) E ermitindo deste modo determinar o momento na secção (6) resultando num diagrama de momentos idêntico ao obtido anteriormente.

23 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4. Exemlos Resolvidos 4.. álculo de Factores de Forma Pretende-se determinar os factores de forma (f) das secções com as configurações geométricas reresentadas na Fig. 9. h h b h H v h H b h h H a) b) c) Fig. 9-Secções ara o cálculo do factor de forma. O factor de forma duma secção define-se como a relação entre o momento lástico e o momento de cedência dessa secção, o que é equivalente à relação entre o módulo lástico e módulo elástico (está-se a admitir um comortamento erfeitamente lástico): W f (6) W c 4... Secção em H O momento de inércia relativamente ao eixo rincial central de inércia horizontal de toda a secção toma o valor:

24 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas ( h + ( H h) b ) I (64) Resultando a seguinte exressão ara o módulo de rigidez à flexão: ( h + ( H h) b ) I (65) W ( h + ( H h) b ) v 6 O osicionamento do centro de massa da metade suerior da secção relativamente ao eixo de simetria horizontal vale: h + ( H h) b v (66) 6 h + H h b ( ( ) ) Vindo então a seguinte exressão referente ao momento lástico: σ v h + ( ( )) ( H h) b (67) h + b H h σ h + ( H h) b σ 6 ( h + ( H h) b) 4 Resultando finalmente ara o módulo lástico da secção: W ( ) h + H h b (68) Secção em T O osicionamento do centro de massa da secção relativamente ao too da alma (cota v da Fig. 9.b)) vale: bh + ( b) h v (69) bh + b h ( ( ) ) O momento de inércia relativamente ao eixo rincial central de inércia horizontal toma o valor: ( ) ( b) h bh + ( b) h 4 ( bh + ( b) h) bh + I (7) Para o cálculo do momento de cedência torna-se necessário distinguir duas ossibilidades ara as relações geométricas, o que tem como consequência duas exressões distintas ara o estabelecimento do módulo de rigidez à flexão:.elástico) v>h-v WI/v.elástico) v<h-v WI/(H-v)

25 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4 Relativamente ao módulo lástico há também que considerar duas hióteses, que corresondem ao facto do eixo horizontal que divide a área total da secção em duas artes iguais assar, ou não, sobre o banzo:.lástico) h > (H-h) b σ /σ αh a σ αh/ Fig. -Possível distribuição da tensão longitudinal numa secção em T. Neste caso o osicionamento do centro de massa da metade suerior da área relativamente ao eixo que divide a área total ao meio (a na Fig. ) vale b( H αh) + ( b)( α) h a H αh (7) ( b( H αh) + ( b)( α) h) sendo a área total da secção H h b + (7) ( ) h elo que a igualdade de áreas (metade suerior e metade inferior) ermite determinar o valor do arâmetro geométrico (α): h ( ) ( ) ( b) + hb h αh + H h b αh α (7) h Resulta assim a seguinte exressão ara o momento lástico: αh σ a + (74) αh b (( ) ) ( H αh) + ( b)( α) h H h b + h σ H ( b( H αh) + ( b)( α) h) este modo obtém-se ara o módulo lástico: b (( ) ) ( H αh) + ( b)( α) h ( ) ( )( ) W H h b + h H αh (75) 4 b H αh + b α h.lástico) h < (H-h) b

26 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 5 σ βh /σ a βh/ σ Fig. - Possível distribuição da tensão longitudinal numa secção em T. Neste caso o osicionamento do centro de massa da metade inferior da área relativamente ao eixo que divide a área total ao meio (a na Fig. ) vale: b( β) H + ( b) h a (76) ( b( β) H + ( b) h) igualdade de áreas (metade suerior e metade inferior) ermite determinar o valor do arâmetro geométrico (β): h ( ) ( b) + Hb h + H h βh b βhb β (77) Hb Resulta assim a seguinte exressão ara o momento lástico βh σ a + (78) βh b (( ) ) ( β) H + ( b) h H h b + h σ + ( b( β) H + ( b) h) obtendo-se então ara o módulo lástico: b (( ) ) ( β) H + ( b) h ( ) ( ) W H h b + h βh + (79) 4 b β H + b h 4... Secção em [ O momento de inércia relativamente ao eixo rincial central de inércia horizontal de toda a secção toma o valor:

27 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 6 ( H ( b)( H h) ) I (8) Resultando a seguinte exressão ara o módulo de rigidez à flexão: I ( H ( b)( H h) ) W ( H ( b)( H h) ) (8) v H 6 H O osicionamento do centro de massa da metade suerior da secção relativamente ao eixo de simetria horizontal vale H b + ( b) h H v 4 (8) H b + ( b) h valendo a área total da secção: Hb + b (8) ( ) h Vindo então a seguinte exressão ara o cálculo do momento lástico: H b + ( b) h σ v H ( Hb + b h) 4 σ H b + ( b) h H b bh + ( b) hh ( b) h 4 σ ( ) bh + ( b)( Hh h ) 4 σ Resultando finalmente ara o módulo lástico da secção: bh W + ( b)( Hh h ) (85) 4 (84) 4.. étodo da ombinação de ecanismos 4...Pórtico Rectangular Estabelecer o mecanismo de colaso do órtico reresentado na figura, bem como o cálculo do resectivo factor de carga de colaso. onsidere-se os momentos lásticos e ara as secções das colunas e da viga, resectivamente.

28 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 7 λ λ λ E F Fig. -Pórtico rectangular biencastrado. Grau de hierestaticidade: G h Nº de rótulas ossíveis: 6 Nº de mecanismos indeendentes: 6- ( de viga e de andar) (a) mecanismo de viga - E λ / F λ -/ ( ) + ( ) + ( ) E λ + λ < i - ; > i ( ) + ( ) ( ) λ λ λ,75 (b) mecanismo de viga λ λ - 4 E F - ( ) + ( ) + ( ) F λ + λ 4 < i - ; > i ( ) + ( ) ( ) 6λ λ λ,75

29 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 8 (c) mecanismo de andar 5 λ - - ( ) + ( ) + ( ) + ( ) λ 5 < i - ; > i ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 55λ λ λ,64 (d) combinação viga & andar λ λ λ 5 F -/ E / - ( ) + ( ) + ( ) + ( ) E λ 5 + λ + λ < i - ; > i ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 95λ λ λ,8 (e) combinação viga & andar λ λ λ 5 4 E - F - ( ) + ( ) + ( ) + ( ) F λ 5 + λ + λ 4 < i - ; > i ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 5λ λ λ,478 (f) combinação viga & viga ( ) + ( ) + ( ) + ( ) λ ( + ) + λ ( + 4) E F < i - ; > i ( ) + ( 5 ) + ( ) + ( ) λ λ λ,75

30 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 9 (g) combinação viga & viga & andar < i - ; > i ( ) + ( + ) + E ( ) + F ( ) + ( ) + ( ) λ ( + ) + λ ( + 4) + λ ( 5) 7 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) λ λ λ,54 O menor dos factores de carga (λ i ) é,64 corresondente ao mecanismo de andar, elo que será este o mecanismo de colaso. 4...Pórtico Tio-sna Estabelecer o mecanismo de colaso do órtico tio asna reresentado na figura, bem como o cálculo do resectivo factor de carga de colaso em função do momento lástico e da dimensão.,5 λ λ Fig. -Pórtico tio-asna. Grau de hierestaticidade: G h Nº de rótulas lásticas ossíveis: 4 Nº de mecanismos indeendentes: 4- ( de viga e tio-asna) (a) mecanismo de andar

31 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas - λ ( ) + ( ) + ( ) λ < i - ; > i ( ) + ( ) ( ) λ - P λ λ P (b) mecanismo tio-asna α /cosα - --φ (,5)φ φ,5 φ δ/cosα cosα ( ) + ( ) + (, 5) (,5) λ δ + λ ( ) + ( ) + (, 5) λ + λ (,5) < i - ; > i ( ) + ( ) (,5 ) λ,5 4,5 P λ,5 λ P (c) mecanismo combinado λ mecanismo de andar + 4,5,5 λ mecanismo tio-asna 7,5,5 λ - ausência da rótula lástica em 5,5,5 λ λ, / O menor dos factores de carga (λ i ) é, / corresondente ao mecanismo combinado, elo que, segundo o teorema cinemático, será este o mecanismo de colaso. 4...Pórtico Simles com arga Uniformemente istribuída Estabelecer o mecanismo de colaso do órtico reresentado na Fig. 4, bem como o cálculo do resectivo factor de carga de colaso.

32 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 8λ 8λ 48λ 4 4 E 6 Fig. 4-Pórtico simles. Grau de hierestaticidade: G h Nº de rótulas lásticas ossíveis: 5 Nº de mecanismos indeendentes: 5- ( de viga e de andar) (a) mecanismo de andar 8λ 4 - ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8λ 4 E < i - ; > i ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8λ 4 - E 4 8 λ 4 λ, (b) mecanismo de viga

33 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 48λ ( ) + ( ) + ( ) 48λ - - < i - ; > i ( ) + ( ) + ( ) 48λ 48λ λ, 4 E (c) mecanismo combinado 4 7λ mecanismo de andar + 4 7λ mecanismo de viga 8 44λ - ausência da rótula lástica em 6 44λ λ,667 O menor dos factores de carga (λ i ) é,667 corresondente ao mecanismo combinado, elo que, segundo o teorema cinemático, será este o mecanismo de colaso. Sendo o mecanismo de colaso o mecanismo combinado, em que não se forma rótula na secção, imorta determinar o valor do momento nessa secção. Para o efeito, o cálculo do referido momento ode ser realizado a artir de um outro qualquer mecanismo em que se forme uma rótula lástica em. onsidere-se assim novamente o mecanismo de viga com uma carga uniformemente distribuída de 8 λ8,667. omo anteriormente estabelecido, a resectiva equação vem ( ) + ( ) + ( ) 48λ 48,667 (86) em que nas secções e existem rótulas lásticas, elo que se conhece os resectivos momentos: < - -4; > 4 (87) Substituindo (87) em (86) obtém-se o valor do momento em : ,667 (88) ssim, na viga conhece-se os momentos em três secções distintas (em, e ), mas não existe garantia de que o momento ao longo da viga não ultraasse o valor do momento lástico. Para se saber o valor do momento em qualquer onto da viga, basta desenhar o diagrama de momentos ao longo da referida viga. Para o efeito torna-se necessário calcular o valor do esforço normal numa das colunas, ou seja, é necessário determinar o valor da reacção vertical que um dos ilares exerce sobre a viga. Escrevendo

34 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas a equação de equilíbrio de momentos relativamente à secção obtém-se a reacção vertical sobre a viga na secção (ver Fig. 5) to R ,667 6 R, (89) R 8,667 4 x Fig. 5-Forças sobre a viga. distribuição de momentos ao longo da viga (da extremidade esquerda ara a extremidade direita-fig. 5) é então reresentada ela seguinte função: 8,667 ( x), x x (9) O valor máximo do momento ocorrerá a uma distância da extremidade esquerda (x), o que se verificará na secção em que a tangente à função (9) toma a osição horizontal ( ) d x, 8,667 x x,5 (9) dx Substituindo (9) em (9) obtém-se o valor máximo do momento flector: 8,667 ( x,5),,5,5 4, 67 (9) omo se verifica, no mecanismo de colaso c) em que se suôs a ocorrência da rótula lástica a meio vão, o momento máximo ultraassa o momento lástico conduzindo a um diagrama de momentos estaticamente inadmissível, violando-se deste modo o teorema estático. Uma hiótese, aroximada, consiste em calcular um factor de carga de colaso inferior, imondo como valor máximo ara o momento, o rório valor do momento lástico: 4,667 λ r,6 (9) 4,67 ssim, o valor correcto ara o factor de carga de colaso estará comreendido entre,6 e,667, o que corresonde a variação de

35 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4,6 +,667,6 +,667,667,6,6 +,667,6 +,667 ± % lternativamente, e de modo a obter uma valor exacto, admite-se que no mecanismo de colaso (mecanismo combinado) o osicionamento da ossível rótula lástica não é a meio vão, encontrando-se deslocada de uma distância y relativamente ao centro (ver Fig. 6). (94) 8λ 4 (+y) 48λ -(+φ) (+φ) y y (95) +y -y ( ) φ ( + ) - E Fig. 6-ecanismo combinado. Para este mecanismo combinado a resectiva equação de equilíbrio vem: ( ) + ( + φ) + ( φ) + ( ) 48λ ( + ) + 8λ 4 E y (96) em que nas secções,, e E se conhece os resectivos momentos < - -4; > E 4 (97) que substituindo em (96) resulta: 8( + φ) + 8 4λ ( + y ) + 7λ (98) tendendo à relação entre ângulos estabelecida em (95) e substituindo em (98) obtém-se a seguinte função ara o factor de carga: + y λ y y (( + ) + ) λ( y) 9 y ( )( ) (99) 6 + y y O valor da variável y ode ser obtido ela determinação do onto mínimo da função (99), ou seja,

36 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 5 ( y) dλ dy y y 45 ( 8 y y ) y -,487 () determinando-se deste modo a osição exacta da rótula lástica e a que corresonde o seguinte factor de carga de colaso: 9 (,487) ( 6 + (,487) )( (,487) ) λ( y,487),645 () Pode-se agora verificar, se com esta configuração o diagrama de momentos corresonde a um mecanismo estaticamente admissível. O momento na secção ode ser estabelecido do mesmo modo que anteriormente, ou seja, or intermédio do mecanismo de viga temos a equação ( ) + ( + φ) + ( φ) 48,645 (,487) () em que a relação de ângulos vale: + y,487 φ, 7 () y +,487 tendendo às relações estabelecidas em (87) e substituindo () em () obtém-se o momento na secção ( ) + 4 ( +,7) + 4 (,7) 4,645 (,487), 5 (4) O equilíbrio de momentos sobre a viga relativamente ao onto ermite determinar a reacção vertical da coluna sobre a viga to R ,645 6,5 R, 69 (5) distribuição de momentos ao longo da viga (da extremidade esquerda ara a extremidade direita) é então reresentada ela seguinte função: 8,645 ( x),5 +,69 x x (6) o mesmo modo que se fez anteriormente, o valor máximo do momento ocorrerá a uma distância da extremidade esquerda ( ) d x,69 8,645 x x,5 (7) dx Substituindo (7) em (6) obtém-se o valor máximo do momento flector: 8,645 ( x,5),5 +,69,5,5 4, (8)

37 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 6 Sendo o momento máximo instalado na viga igual ao momento lástico o diagrama de momentos é estaticamente admissível. O equilíbrio de forças actuantes na viga segundo a direcção vertical ermite determinar a reacção vertical sobre a viga em : Fy R 8, ,69 R 45, 89 y y (9) O equilíbrio de momentos e de forças actuantes sobre o ilar ermite calcular as acções sobre este tramo da estrutura to R x 4 +,5 4 R 9, 67 (.) x Fx R 9,67 R 9, 67 (.) x x Fazendo o mesmo rocedimento ara o ilar E, obtém-se as restantes forças actuantes sobre o referido ilar E to R x R E (.) x Fx R R (.) x x ssim, sobre os três tramos (isoladamente) actuam os sistemas de forças esquematizados na Fig. 7.,5 8,645 4,69 45,89,69 45,89 9,67, ,67 4,69 45,89 Fig. 7-Forças actuantes sobre cada tramo. om base nestas forças é então ossível desenhar o diagrama de momentos (Fig. 8).

38 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 7 -, Fig. 8-iagrama de momentos imensionamento ao Peso ínimo de Pórtico ulo om base no método de dimensionamento ao eso mínimo, calcule os momentos lásticos (em função de P) que ermitam dimensionar o órtico reresentado na Fig. 9. P P E F J G I P H Fig. 9-Pórtico dulo. Grau de hierestaticidade: G h 6 Nº de rótulas lásticas ossíveis: Nº de mecanismos indeendentes: -64 ( de viga, de andar e de nó) No método da combinação de mecanismos, quando alicado ao dimensionamento ao eso mínimo, o número de mecanismos indeendentes é estabelecido do mesmo modo que

39 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 8 anteriormente. Por exemlo, na ligação do ilar esquerdo com a viga só se conta com uma única rótula lástica, embora se ossa formar uma rótula em e em (ver Fig. 9). (a) mecanismo de viga < < 4P E - - 4P E - - ( ) + ( ) + ( ) P < i - i ; > i i P + E ( ) + ( ) + ( ) P < i - i ; > i i E P 4 (b) mecanismo de viga < < 4P 4P F F J F ( ) + ( ) + ( ) P I < i - i ; > i i P + F ( ) + ( ) + ( ) P I < i - i ; > i i P 4 J (c) mecanismo de andar < <

40 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 9 P - G - P E - F J - - H - H ( ) + ( ) + H ( )+ ( ) + ( ) + ( ) P G < i - i ; > i i P 6 ( ) + ( ) + H ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) P E F < i - i ; > i i P + 4 J

41 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4 (d) combinação viga & andar < < F - - G - E - J - - H - H P + P 6 P + 4 P P + 6 P 7 + P (e) combinação viga & andar & nó < < E - - Não tem interesse or anular uma só rótula e gerar duas - H P 7 + P 6 +

42 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4 (f) combinação viga & viga & andar & nó < < E - - E - J - - H - H P 6 + P + 5 P P + 6 P P P P + 8 onstituídos os mecanismos imorta agora definir o domínio de segurança, o que ode ser feito or intermédio de um gráfico em que nos eixos ordenados intervenham os dois momentos lásticos a determinar (ver Fig. )., /P,8,6,4 omínio de segurança P<6 P<+4 P<7+ P<6+ 5P<5+6 P<+6 5P<+8 P<+ P<4,,5,5,5 /P Fig. -omínio de segurança. função eso ode ser uma função objectivo do tio

43 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4 (( + + ) + ( ) ) Peso k + () em que k será uma constante (or exemlo em que intervenha a densidade). o gráfico ode-se concluir que o onto ertencente ao domínio de segurança e cujo ar de ordenadas corresonda à minoração da função eso () é o onto, em que a que corresonde a função eso P (.),556P (.) (( + + ) P + ( + ),556P),4 P Peso k k (4)

44 nálise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 4 Referências [] aker, J.F., (949), review of recent investigations into the behaviour of steel frames in the lastic range, The J. Inst. ivil Engrs, Vol., 88. [] aker, J.F. & Heyman, J. (969), Plastic esign of Frames, University Press, ambridge. [] oresi,.p., Schmidt, R.J. & Sidebottom, O.., (99), dvanced echanics of aterials, 5 th ed., John Wiley & Sons, New ork. [4] Ghali,. & Neville,.., (989), Foundations Structural nalysis, rd ed., haman and Hall, UK. [5] Horne,.R., (979), Plastic Theory of Structures, nd ed., Pergamon Press, UK. [6] ubliner, J., (97), Plasticity Theory, acmillan Publishing omany, New ork. [7] aier-eibnitz, H., (99), Versuche mit eingesannten und einfachen alken von I- Form aus St. 7, autechnik, Vol.7,. [8] oy, S.S.J., (98), Plastic ethods for Steel and oncrete Structures, The acillan Press td, ondon. [9] Neal,.G., (977), The Plastic ethods of Structural nalysis, rd ed., John Wiley & Sons, New ork. [] Poov, E.P., (99), Engineering echanics of Solids, Prentice Hall, New Jersey. [] Richards, T.H., (977), Energy ethods in Stress nalysis, John Wiley & Sons, UK.

Segunda aula de mecânica dos fluidos básica. Estática dos Fluidos capítulo 2 do livro do professor Franco Brunetti

Segunda aula de mecânica dos fluidos básica. Estática dos Fluidos capítulo 2 do livro do professor Franco Brunetti Segunda aula de mecânica dos fluidos básica Estática dos Fluidos caítulo 2 do livro do rofessor Franco Brunetti NO DESENVOLVIMENTO DESTA SEGUNDA AULA NÃO IREI ME REPORTAR DIRETAMENTE AO LIVRO MENCIONADO

Leia mais

Conceito de Tensão. Índice

Conceito de Tensão. Índice Conceito de Tensão Índice Breve Revisão dos Métodos da Estática 1 Tensões em Elementos Estruturais 2 nálise e Dimensionamento 3 Esforço xial; Tensão Normal 4 rincípio de Saint-Venant 5 Tensão Tangencial

Leia mais

Atmosfera Padrão. Atmosfera Padrão

Atmosfera Padrão. Atmosfera Padrão 7631 2º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica 1. Introdução O desemenho de aviões e de motores atmosféricos deende da combinação de temeratura, ressão e densidade do ar circundandante. O movimento

Leia mais

III APRESENTAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS

III APRESENTAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS III APRESENTAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS A aresentação dos resultados advém dos factos observados durante a colheita de dados e do tratamento estatístico. O tratamento dos dados é efectuado através

Leia mais

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE COIMBRA LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE COIMBRA LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS DEPRTMENTO DE ENGENHRI IVIL FULDDE DE IÊNIS E TENOLOGI UNIVERSIDDE DE OIMR LINHS DE INFLUÊNI EM ESTRUTURS HIPERSTÁTIS L.M..SIMÕES 1. INTRODUÇÃO s linhas de influência dos efeitos (esforços ou deslocamentos)

Leia mais

Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla

Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Carla Henriques Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Carla Henriques (DepMAT ESTV) Análise de Regres. Linear Simples e Múltipla

Leia mais

Projeto de Trabalho de Conclusão de Curso

Projeto de Trabalho de Conclusão de Curso MARCELO RIBEIRO DA LUZ MARCOS KUFNER Projeto de Trabalho de Conclusão de Curso Trabalho aresentado ara a discilina de Laboratório de Estatística II do curso de graduação em Estatística da Universidade

Leia mais

3 Conceitos Fundamentais

3 Conceitos Fundamentais 3 Coneitos Fundamentais Neste aítulo são aresentados oneitos fundamentais ara o entendimento e estudo do omressor axial, assim omo sua modelagem termodinâmia 3 Máquinas de Fluxo As máquinas de fluxo odem

Leia mais

P(seleção de um elemento baixo) = p P(seleção de um elemento médio) = p. P(seleção de um elemento alto) = p

P(seleção de um elemento baixo) = p P(seleção de um elemento médio) = p. P(seleção de um elemento alto) = p . A Distribuição Multinomial - Teste Qui-Quadrado. Inferência Estatística Uma imortante generalização da rova de Bernoulli (), é a chamada rova multinomial. Uma rova de Bernoulli () ode roduzir dois resultados

Leia mais

Comparação de programas comerciais de cálculo automático para estruturas porticadas

Comparação de programas comerciais de cálculo automático para estruturas porticadas Comparação de programas comerciais de cálculo automático para estruturas porticadas António F. M. Oliveira 1, Paulo B. Lourenço 2 Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil Azurém, P 4800-058

Leia mais

PROVAESCRITA CARGO: ENGENHARIA CIVIL I

PROVAESCRITA CARGO: ENGENHARIA CIVIL I MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUL DE MINAS GERAIS CONCURSO PÚBLICO DE DOCENTES DO QUADRO EFETIVO EDITAL

Leia mais

ANÁLISE DE PROGRAMAS DE CÁLCULO PARA ESTRUTURAS DE ALVENARIA RESISTENTE. Ivone Maciel 1 Paulo Lourenço 2 ivone@civil.uminho.pt pbl@civil.uminho.

ANÁLISE DE PROGRAMAS DE CÁLCULO PARA ESTRUTURAS DE ALVENARIA RESISTENTE. Ivone Maciel 1 Paulo Lourenço 2 ivone@civil.uminho.pt pbl@civil.uminho. ANÁLISE DE PROGRAMAS DE CÁLCULO PARA ESTRUTURAS DE ALVENARIA RESISTENTE Ivone Maciel 1 Paulo Lourenço 2 ivone@civil.uminho.pt pbl@civil.uminho.pt 1 Mestranda e Bolseira de investigação do Departamento

Leia mais

1. ENTALPIA. (a) A definição de entalpia. A entalpia, H, é definida como:

1. ENTALPIA. (a) A definição de entalpia. A entalpia, H, é definida como: 1 Data: 31/05/2007 Curso de Processos Químicos Reerência: AKINS, Peter. Físico- Química. Sétima edição. Editora, LC, 2003. Resumo: Proas. Bárbara Winiarski Diesel Novaes 1. ENALPIA A variação da energia

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil UNIVERSIDADE ESTADUAL AULISTA UNES - Camus de Bauru/S FACULDADE DE ENGENHARIA Deartamento de Engenharia Civil Discilina: 2139 - CONCRETO ROTENDIDO NOTAS DE AULA CONCRETO ROTENDIDO rof. Dr. AULO SÉRGIO

Leia mais

MEMÓRIA DE CÁLCULO. Figura 1 Modelo de cálculo.

MEMÓRIA DE CÁLCULO. Figura 1 Modelo de cálculo. MEMÓRIA DE CÁLCULO Análise e dimensionamento O estudo do comportamento global da estrutura consistiu numa análise não linear efectuada com o programa Robot Millenium v.17. Nesta análise, a estrutura de

Leia mais

Sistemas de Referência Globais

Sistemas de Referência Globais Sistemas de Referência Globais 1. Definição Para definir um sistema de coordenadas tridimensional, necessitamos de esecificar: a) A localização da sua origem; b) A orientação dos seus três eixos; c) Os

Leia mais

UNIVERSIDADE DE ÉVORA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL

UNIVERSIDADE DE ÉVORA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL UNIVERSIDDE DE ÉVOR DEPRTMENTO DE ENGENHRI RURL HIDRÁULIC GERL PONTMENTOS DS ULS TEÓRICS ENGENHRI GRÍCOL ENGENHRI BIOFÍSIC ENGENHRI GEOLÓGIC Maria Madalena V. Moreira Vasconcelos Évora, 004 Caítulo 1 FORÇS

Leia mais

UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 2009-2011 GABARITO DA PROVA DE FÍSICA

UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 2009-2011 GABARITO DA PROVA DE FÍSICA UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 9- GABARITO DA PROVA DE FÍSICA Na solução da rova, use uando necessário: 8 Velocidade da luz no vácuo c = 3, m/s 7 Permeabilidade magnética do vácuo =4π T m / A 9 Constante

Leia mais

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I. Apontamentos sobre análise de lajes

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I. Apontamentos sobre análise de lajes ANÁLISE DE ESTRUTURAS I Apontamentos sobre análise de lajes Grupo de Análise de Estruturas Departamento de Engenharia Civil Instituto Superior Técnico, 4 Estes apontamentos, da autoria de Vitor MA Leitão

Leia mais

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 . Uma artícula desloca-se sobre uma reta na direção x. No instante t =, s, a artícula encontra-se na osição e no instante t = 6, s encontra-se na osição, como indicadas na figura abaixo. Determine a velocidade

Leia mais

TECNOLOGIA MECÂNICA. Aula 04. Carregamento Axial Tensão Normal

TECNOLOGIA MECÂNICA. Aula 04. Carregamento Axial Tensão Normal FACULDADE DE TECNOLOGIA SHUNJI NISHIMURA POMPÉIA TECNOLOGIA MECÂNICA Aula 04 Carregamento Axial Tensão Normal Prof. Me. Dario de Almeida Jané Mecânica dos Sólidos - Revisão do conceito de Tensão - Carregamento

Leia mais

FLAMBAGEM DE BARRAS UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS PROF DR. NILSON TADEU MASCIA

FLAMBAGEM DE BARRAS UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS PROF DR. NILSON TADEU MASCIA 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL,ARQUITETURA E URBANISMO Departamento de Estruturas FLAMBAGEM DE BARRAS PROF DR. NILSON TADEU MASCIA JUNHO DE 006 1 - Introdução...3 - Conceito

Leia mais

Topologia digital. Vizinhança

Topologia digital. Vizinhança Toologia digital Uma imagem digital resulta de um rocesso de amostragem de uma imagem contínua usando uma artição discreta envolvendo olígonos regulares. Esuemas de artição usando olígonos regulares triangular

Leia mais

COEFICIENTE DE ESCOAMENTO E VAZÃO MÁXIMA DE BACIAS URBANAS

COEFICIENTE DE ESCOAMENTO E VAZÃO MÁXIMA DE BACIAS URBANAS COEFICIENTE DE ESCOMENTO E VZÃO MÁXIM DE BCIS URBNS Carlos E. M. Tucci Instituto de Pesquisas Hidráulicas UFRGS v. Bento Gonçalves, 9500 PORTO LEGRE-RS TUCCI@IF1.IF.UFRGS.BR Resumo: O coeficiente de escoamento

Leia mais

Mecânica Aplicada. Engenharia Biomédica ESFORÇOS INTERNOS EM PEÇAS LINEARES

Mecânica Aplicada. Engenharia Biomédica ESFORÇOS INTERNOS EM PEÇAS LINEARES Mecânica plicada Engenharia iomédica ESFORÇOS INTERNOS EM PEÇS INERES Versão 0.2 Setembro de 2008 1. Peça linear Uma peça linear é um corpo que se pode considerar gerado por uma figura plana cujo centro

Leia mais

GABARITO. Física B 07) 56 08) A 09) E. Nas lentes divergentes as imagens serão sempre virtuais. 10) A

GABARITO. Física B 07) 56 08) A 09) E. Nas lentes divergentes as imagens serão sempre virtuais. 10) A Física B Extensivo V. 4 Exercícios 0) V V V V F 0. Verdadeiro. Lentes, disositivos que ormam imagem usando essencialmente as leis da reração. 0. Verdadeiro. Eselhos vértice, oco, centro de curvatura. Lentes:

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO ESCOLA SUPEIO NÁUTICA INFANTE D. HENIQUE DEPATAMENTO DE ENGENHAIA MAÍTIMA INSTUMENTAÇÃO E CONTOLO APONTAMENTOS SOBE CONTOLADOES ANALÓGICOS Elementos coligidos or: Prof. Luís Filie Batista E.N.I.D.H. /3

Leia mais

INOVAÇÕES NA CONSTRUÇÃO E NO CONTROLO DE ATERROS DE ESTRADAS E DE CAMINHOS DE FERRO DE ALTA VELOCIDADE PARTE 2

INOVAÇÕES NA CONSTRUÇÃO E NO CONTROLO DE ATERROS DE ESTRADAS E DE CAMINHOS DE FERRO DE ALTA VELOCIDADE PARTE 2 INOVAÇÕES NA CONSTRUÇÃO E NO CONTROLO DE ATERROS DE ESTRADAS E DE CAMINHOS DE FERRO DE ALTA VELOCIDADE PARTE 2 A. Gomes Correia Universidade do Minho Eduardo Fortunato - LNEC Universidade do Minho ESTRUTURA

Leia mais

Resistência dos Materiais

Resistência dos Materiais Aula 5 Carga Axial e Princípio de Saint-Venant Carga Axial A tubulação de perfuração de petróleo suspensa no guindaste da perfuratriz está submetida a cargas e deformações axiais extremamente grandes,

Leia mais

Neste pequeno artigo resolveremos o problema 2 da USAMO (USA Mathematical Olympiad) 2005: (x 3 + 1)(x 3 + y) = 147 157 (x 3 + y)(1 + y) = 157 147 z 9

Neste pequeno artigo resolveremos o problema 2 da USAMO (USA Mathematical Olympiad) 2005: (x 3 + 1)(x 3 + y) = 147 157 (x 3 + y)(1 + y) = 157 147 z 9 Ésófatorar... Serámesmo? Neste equeno artigo resolveremos o roblema 2 da USAMO (USA Mathematical Olymiad) 2005: Problema. Prove que o sistema x 6 + x + x y + y = 147 157 x + x y + y 2 + y + z 9 = 157 147

Leia mais

CAPITULO VI. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES EM R n

CAPITULO VI. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES EM R n CAPITULO VI LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES EM R n. Generalidades O conceito geral de função e outros associados foram já estudados quando se tratou da teoria dos conjuntos. Foi igualmente estudado com

Leia mais

XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Fase Final (6 de novembro de 2010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Fase Final (6 de novembro de 2010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) V OLMPÍD PULST D MTMÁTC Prova da Fase Final (6 de novembro de Nível α (6 o e 7 o anos do nsino Fundamental wwwommatbr Folha de Perguntas nstruções: duração da rova é de hmin O temo mínimo de ermanência

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

3) Da figura temos: 4) a altura total (h ) do vértice da cúpula até o piso é dada por: 5) Mas f > h e, portanto:

3) Da figura temos: 4) a altura total (h ) do vértice da cúpula até o piso é dada por: 5) Mas f > h e, portanto: Lista de Exercícios de Física II Eselhos Eséricos Pro: Tadeu Turma: Ano do Ensino Médio Data: 08/06/009 ) (ITA) Um objeto linear de altura h está assentado erendicularmente no eixo rincial de um eselho

Leia mais

ESTUDO EM TÚNEL DE VENTO DA COBERTURA DO ESTÁDIO DO GAMA - BRASÍLIA

ESTUDO EM TÚNEL DE VENTO DA COBERTURA DO ESTÁDIO DO GAMA - BRASÍLIA ESTUDO EM TÚNEL DE VENTO DA COBERTURA DO ESTÁDIO DO GAMA - BRASÍLIA Acir Mércio Loredo-Souza, Mario Gustavo Klaus Oliveira, Gustavo Javier Zani Núñez, Daniel de Souza Machado, Elvis Antônio Careggiani,

Leia mais

CALIBRAÇÃO DE PISTÃOFONES. ANALISE COMPARATIVA ENTRE O MÉTODO DE APLICAÇÃO DE TENSÃO E O MÉTODO DE COMPARAÇÃO

CALIBRAÇÃO DE PISTÃOFONES. ANALISE COMPARATIVA ENTRE O MÉTODO DE APLICAÇÃO DE TENSÃO E O MÉTODO DE COMPARAÇÃO CALIBRAÇÃO DE PISTÃOFONES. ANALISE COMPARATIVA ENTRE O MÉTODO DE APLICAÇÃO DE TENSÃO E O MÉTODO DE COMPARAÇÃO REFERÊNCIA PACK: 43.58.VB Antunes, Sónia Laboratório Nacional de Engenharia Civil Av. Brasil,101

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

ESTRUTURAS DE COBERTURA PARA GRANDES VÃOS

ESTRUTURAS DE COBERTURA PARA GRANDES VÃOS ESTRUTURAS DE COBERTURA PARA GRANDES VÃOS Travamentos e Contraventamentos Estruturas de Coberturas Elementos Principais vencem o vão Elementos Secundários Exemplo: Planta geral da cobertura Planta da cobertura

Leia mais

CAPÍTULO 3 - RETIFICAÇÃO

CAPÍTULO 3 - RETIFICAÇÃO CAPÍTULO 3 - RETFCAÇÃO A maioria dos circuitos eletrônicos recisa de uma tensão cc ara oder trabalhar adequadamente Como a tensão da linha é alternada, a rimeira coisa a ser feita em qualquer equiamento

Leia mais

3. HIDROSTÁTICA. 3.1. Lei Hidrostática de Pressões. df p = (3.1) da. pda

3. HIDROSTÁTICA. 3.1. Lei Hidrostática de Pressões. df p = (3.1) da. pda 3. HIDROSTÁTIC 3.1. Lei Hidrostática de Pressões There are no shear stresses in fluids at rest; hence only normal ressure forces are resent. Therefore the ressure at any oint in a fluid at rest is the

Leia mais

Verificação e validação do coeficiente de arrasto frontal para escoamento supersônico e hipersônico de ar sobre cones

Verificação e validação do coeficiente de arrasto frontal para escoamento supersônico e hipersônico de ar sobre cones Verificação e validação do coeficiente de arrasto frontal ara escoamento suersônico e hiersônico de ar sobre cones Guilherme Bertoldo Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 85601-970, Francisco

Leia mais

4. Tangentes e normais; orientabilidade

4. Tangentes e normais; orientabilidade 4. TANGENTES E NORMAIS; ORIENTABILIDADE 91 4. Tangentes e normais; orientabilidade Uma maneira natural de estudar uma superfície S consiste em considerar curvas γ cujas imagens estão contidas em S. Se

Leia mais

NOTAS DE AULA DE ESTRUTURAS DE FUNDAÇÕES ESTACAS SOB ESFORÇOS TRANSVERSAIS

NOTAS DE AULA DE ESTRUTURAS DE FUNDAÇÕES ESTACAS SOB ESFORÇOS TRANSVERSAIS 1 NOTAS DE AULA DE ESTRUTURAS DE FUNDAÇÕES ESTACAS SOB ESFORÇOS TRANSVERSAIS Prof. Eng. Civil José Waldomiro Jiménez Rojas Porto Alegre, 007. SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO...6. MÉTODOS DE PREVISÃO DE CAPACIDADE

Leia mais

Caso (2) X 2 isolado no SP

Caso (2) X 2 isolado no SP Luiz Fernando artha étodo das Forças 6 5.5. Exemplos de solução pelo étodo das Forças Exemplo Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere

Leia mais

ES-013. Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado

ES-013. Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado ES-013 Eemlo de um Projeto Comleto de um Edifício de Concreto Armado São Paulo agosto - 001 Lajes de Concreto Armado.1 Lajes Maciças de Concreto Armado.1.1 Introdução Lajes são elementos estruturais bidimensionais

Leia mais

Fluxo de Potência em Redes de Distribuição Radiais

Fluxo de Potência em Redes de Distribuição Radiais COE/UFRJ rograma de Engenharia Elétrica COE 751 Análise de Redes Elétricas Fluxo de otência em Redes de Distribuição Radiais 1.1 Formulação do roblema Os métodos convencionais de cálculo de fluxo de otência

Leia mais

Guia de Consulta Rápida

Guia de Consulta Rápida Guia de Consulta Ráida Leia o Guia do Utilizador fornecido com o videorojector antes de o utilizar. ATENÇÃO Não olhe directamente ara a lente enquanto o videorojector estiver ligado. Efectuar a Ligação

Leia mais

UFSC Universidade Federal de Santa Catarina Depto De Eng. Química e de Eng. De Alimentos EQA 5313 Turma 645 Op. Unit. de Quantidade de Movimento

UFSC Universidade Federal de Santa Catarina Depto De Eng. Química e de Eng. De Alimentos EQA 5313 Turma 645 Op. Unit. de Quantidade de Movimento UFSC Universidade Federal de Santa Catarina Deto De Eng. Química e de Eng. De Alimentos EQA 5313 Turma 645 O. Unit. de Quantidade de Movimento CENTRIFUGAÇÃO Esta oeração unitária tem or objetivo searar

Leia mais

Elasticidade - Demanda e Preço

Elasticidade - Demanda e Preço José Lásaro Cotta Elasticidade - Demanda e Preço Monografia aresentada ao Curso de Esecialização em Matemática Para Professores, elaborado elo Deartamento de Matemática da Universidade Federal de Minas

Leia mais

mecânica e estruturas geodésicas II FLAMBAGEM PROF. DR. CARLOS AURÉLIO NADL

mecânica e estruturas geodésicas II FLAMBAGEM PROF. DR. CARLOS AURÉLIO NADL mecânica e estruturas geodésicas II FLAMBAGEM PROF. DR. CARLOS AURÉLIO NADL FONTE:AutoFEM Buckling Analysis Buckling = FLAMBAGEM Flambagem em trilho ferroviário (tala de junção) Ensaio em laboratório de

Leia mais

Análise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Análise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Análise de regressão linear simples Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Introdução A análise de regressão estuda o relacionamento entre uma variável chamada a variável dependente

Leia mais

CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA DOS MATERIAIS QUE CONSTITUEM ESTRUTURAS SANDWICH COM NÚCLEO DE ESPUMA METÁLICA

CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA DOS MATERIAIS QUE CONSTITUEM ESTRUTURAS SANDWICH COM NÚCLEO DE ESPUMA METÁLICA Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica. Vol. 7, N.º,. 5-7, 0 CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA DOS MATERIAIS QUE CONSTITUEM ESTRUTURAS SANDWICH COM NÚCLEO DE ESPUMA METÁLICA HELDER MATA, RENATO NATAL JORGE,

Leia mais

Resoluções dos exercícios do capítulo 4. Livro professor Brunetti

Resoluções dos exercícios do capítulo 4. Livro professor Brunetti Resoluções dos exercícios do caítulo 4 Liro rofessor Brunetti 4. Determinar a elocidade do jato do líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da figura. Considerar fluido ideal Resolução do 4.

Leia mais

E Flexão Pura. Σ F y = 0 Q = q (x) dx + (Q + dq)

E Flexão Pura. Σ F y = 0 Q = q (x) dx + (Q + dq) Cap. 5.0 FLEXAO PURA E Flexão Pura 5.1 INTRODUÇÃO As peças longas, quando sumetidas à flexão, apresentam tensões normais elevadas (por exemplo, para se querar um lápis, com as mãos, jamais se cogitaria

Leia mais

Estudo de correlação entre ensaios penetrométricos estáticos e dinâmicos

Estudo de correlação entre ensaios penetrométricos estáticos e dinâmicos Estudo de correlação entre ensaios enetrométricos estáticos e dinâmicos Jeselay Hemetério Cordeiro dos Reis Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Brasil, E-mail: jeselay@hotmail.com Pedro Paulo Michelan

Leia mais

COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ACADÊMICO DOS INGRESSANTES EM GEOGRAFIA PELO VESTIBULAR E PELO PAIES

COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ACADÊMICO DOS INGRESSANTES EM GEOGRAFIA PELO VESTIBULAR E PELO PAIES COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ACADÊMICO DOS INGRESSANTES EM GEOGRAFIA PELO VESTIBULAR E PELO PAIES Sylio Luiz Andreozzi 1 Fláia Aarecida Vieira de Araújo 2 Introdução As uniersidades úblicas brasileiras determinam

Leia mais

EA072 Prof. Fernando J. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp. Tópico P2.7: Teoria de Jogos 3. EA072 Prof. Fernando J. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp

EA072 Prof. Fernando J. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp. Tópico P2.7: Teoria de Jogos 3. EA072 Prof. Fernando J. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp Teoria de Jogos ntrodução... Exemlo de jogos... 5. Pilha de alitos... 5. Jogo de sinuca (bilhar inglês ou snooker)... 5.3 Duelo... 6.4 Lançamento de novos rodutos no mercado... 6.5 Dilema do risioneiro...

Leia mais

ANIPB ENSAIOS DE TIPO INICIAIS E CONCEPÇÃO DOS PAVIMENTOS DE VIGOTAS. DOCUMENTOS DE APLICAÇÃO SUMÁRIO

ANIPB ENSAIOS DE TIPO INICIAIS E CONCEPÇÃO DOS PAVIMENTOS DE VIGOTAS. DOCUMENTOS DE APLICAÇÃO SUMÁRIO ENSAIOS DE TIPO INICIAIS E CONCEPÇÃO DOS PAVIMENTOS DE VIGOTAS. DOCUMENTOS DE APLICAÇÃO Manuel Baião ANIPB Seminário sobre Marcação CE das vigotas Coimbra, CTCV, 9 de Dezembro de 2010 ENSAIOS DE TIPO INICIAIS

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

4 Análise experimental

4 Análise experimental 4 Análise experimental No estudo do comportamento de membranas de materiais hiperelásticos há a necessidade de se escolher leis constitutivas que descrevam da melhor forma possível as propriedades do material.

Leia mais

Terceira Lista de Exercícios

Terceira Lista de Exercícios Universidade Católica de Petrópolis Disciplina: Resitência dos Materiais I Prof.: Paulo César Ferreira Terceira Lista de Exercícios 1. Calcular o diâmetro de uma barra de aço sujeita a ação de uma carga

Leia mais

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO ANÁISE DE ESTRUTURAS APONTAMENTOS DE INHAS DE INFUÊNCIA Eduardo Pereira 1994 NOTA INTRODUTÓRIA Pretende-se com estes apontamentos fornecer aos alunos da disciplina de Análise

Leia mais

Capítulo 3 Modelos Estatísticos

Capítulo 3 Modelos Estatísticos Capítulo 3 Modelos Estatísticos Slide 1 Resenha Variáveis Aleatórias Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Distribuição Normal Distribuição t de Student Distribuição Qui-quadrado Resenha Slide

Leia mais

0,2. Propriedades do pilar. Contribuição do aço δ obtêm-se através da expressão: N pl,rd. é a resistência plástica à compressão da secção.

0,2. Propriedades do pilar. Contribuição do aço δ obtêm-se através da expressão: N pl,rd. é a resistência plástica à compressão da secção. Propriedades do pilar Contribuição do aço δ obtêm-se através da expressão: δ A a f yd pl,rd 0,2 δ 0,9 pl,rd é a resistência plástica à compressão da secção. Esbelteza relativa λ obtêm-se através da expressão:

Leia mais

PROVA DE FÍSICA 2º ANO - ACUMULATIVA - 2º TRIMESTRE TIPO A

PROVA DE FÍSICA 2º ANO - ACUMULATIVA - 2º TRIMESTRE TIPO A PROA DE FÍSICA º ANO - ACUMULATIA - º TRIMESTRE TIPO A 0) Considere as seguintes roosições referentes a um gás erfeito. I. Na transformação isotérmica, o roduto. é roorcional à temeratura do gás. II. Na

Leia mais

r 5 200 m b) 1 min 5 60 s s t a 5

r 5 200 m b) 1 min 5 60 s s t a 5 Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 0 Um atleta desloca-se à velocidade constante de 7,8 m/s numa ista circular de raio 00 m. Determine as medidas, em radianos e

Leia mais

LIGAÇÕES DE ESTRUTURAS METÁLICAS TUBULARES PLANAS: ABORDAGEM TEÓRICA (1) CONNECTIONS OF HOLLOW STEEL PLANE FRAMES STRUCTURES: THEORETICAL APPROACH

LIGAÇÕES DE ESTRUTURAS METÁLICAS TUBULARES PLANAS: ABORDAGEM TEÓRICA (1) CONNECTIONS OF HOLLOW STEEL PLANE FRAMES STRUCTURES: THEORETICAL APPROACH LIGAÇÕES DE ESTRUTURAS METÁLICAS TUBULARES PLANAS: ABORDAGEM TEÓRICA () CONNECTIONS OF HOLLOW STEEL PLANE FRAMES STRUCTURES: THEORETICAL APPROACH Ana Laura Essado de Fiueiredo e Santos () João Alberto

Leia mais

Eletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios I CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Eletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios I CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Eletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios I CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Carga Elétrica e Lei de Coulomb 1. Consideremos o ponto P no centro de um quadrado

Leia mais

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1 Introdução à Topologia Resoluções de exercícios Exercício nº5 (alíneas 3. e 4.) Capítulo 1 É imediato, directamente a partir da definição, que, dados r, s Q, d p (r, s) e que d p (r, s) = se e só se r

Leia mais

PERSPECTIVA LINEAR DEFINIÇÕES E TEOREMAS

PERSPECTIVA LINEAR DEFINIÇÕES E TEOREMAS Figura 64. Tapeçaria da sala de actos do Governo Civil de Bragança (800 cm x 800 cm). Luís Canotilho 2000. A geometria é também aplicada ao simbolismo humano. No presente caso as formas geométricas identificam

Leia mais

Exacta ISSN: 1678-5428 exacta@uninove.br Universidade Nove de Julho Brasil

Exacta ISSN: 1678-5428 exacta@uninove.br Universidade Nove de Julho Brasil Eacta ISSN: 1678-548 eacta@uninove.r Universidade Nove de Julho Brasil Magela Barosa, Geraldo Processo de doramento de chaas metálicas Eacta, vol. 7, núm. 1, enero-marzo, 009,. 109-10 Universidade Nove

Leia mais

A UTILIZAÇÃO DA ANALOGIA DE GRELHA PARA ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO

A UTILIZAÇÃO DA ANALOGIA DE GRELHA PARA ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO A UTILIZAÇÃO DA ANALOGIA DE GRELHA PARA ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO Marcos Alberto Ferreira da Silva (1) ; Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho () ; Roberto Chust Carvalho ()

Leia mais

Física B Semiextensivo V. 1

Física B Semiextensivo V. 1 Física Semiextensivo V. Exercícios 0) D luz é uma onda eletromagnética, ois se roaga em todos os meios, inclusive no vácuo. 0) x V. t x 3. 0 8. 3.. 0 7 x 9,6. 0 5 m 03) C I. Falsa. É transarente. II. Falsa.

Leia mais

1. Introdução 2. OMCC e a Pesquisa Perfil-Opinião

1. Introdução 2. OMCC e a Pesquisa Perfil-Opinião Perfil Socioeconômico e Cultural dos Visitantes dos Museus Fluminenses e Paulistas: Uma Análise Comarativa. Camila Pereira Koehler (ENCE); José Matias de Lima (ENCE); Leandro Lins Marino (Fundação Cesgranrio)

Leia mais

OTIMIZAÇÃO DE VIGAS CONSIDERANDO ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS, DE UTILIZAÇÃO E DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS

OTIMIZAÇÃO DE VIGAS CONSIDERANDO ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS, DE UTILIZAÇÃO E DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS OTIMIZAÇÃO DE VIGAS CONSIDERANDO ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS, DE UTILIZAÇÃO E DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Eng. Civil Leonardo Roncetti da Silva, TECHCON Engenharia e Consultoria Ltda. Resumo Estuda-se a otimização

Leia mais

MEMÓRIA DESCRITIVA E JUSTIFICATIVA

MEMÓRIA DESCRITIVA E JUSTIFICATIVA MEMÓRIA DESCRITIVA E JUSTIFICATIVA LOCALIZAÇÃO DA OBRA Neste projecto é proposta a ligação entre o bloco de aulas da Faculdade de Engenharia do Porto (FEUP), e o novo edifício da Associação de Estudantes

Leia mais

6. Erosão. Início do transporte sólido por arrastamento

6. Erosão. Início do transporte sólido por arrastamento 6. Erosão. Início do transporte sólido por arrastamento 6.1. Introdução A erosão consiste na remoção do material do leito pelas forças de arrastamento que o escoamento provoca. O oposto designa-se por

Leia mais

Evocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição de forças.

Evocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição de forças. 14 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos Objetivos da segunda aula da unidade 1: Evocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição

Leia mais

Toleranciamento Geométrico João Manuel R. S. Tavares

Toleranciamento Geométrico João Manuel R. S. Tavares CFAC Concepção e Fabrico Assistidos por Computador Toleranciamento Geométrico João Manuel R. S. Tavares Bibliografia Simões Morais, José Almacinha, Texto de Apoio à Disciplina de Desenho de Construção

Leia mais

OE Seminário Aplicação do Eurocódigo 8 ao Projecto de Edifícios Projecto de estruturas para resistência aos sismos EC8-1

OE Seminário Aplicação do Eurocódigo 8 ao Projecto de Edifícios Projecto de estruturas para resistência aos sismos EC8-1 Projecto de estruturas para resistência aos sismos EC8-1 Exemplo de aplicação 2 Ordem dos Engenheiros Lisboa 11 de Novembro de 2011 Porto 18 de Novembro de 2011 António Costa EXEMPLO EDIFÍCIO COM ESTRUTURA

Leia mais

Mecânica dos Materiais. Flexão de Vigas. Tradução e adaptação: Victor Franco

Mecânica dos Materiais. Flexão de Vigas. Tradução e adaptação: Victor Franco Mecânica dos Materiais Flexão de Vigas 5 Tradução e adaptação: Victor Franco Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf McGraw-Hill. Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.

Leia mais

RELATÓRIO DE CONSULTORIA

RELATÓRIO DE CONSULTORIA Recomendação ao Sr. Silva RELATÓRIO DE CONSULTORIA CONSTITUIÇÃO DO ÍNDICE PSI0 ALTRI SGPS, S.A. BCP Banco Comercial Português, S.A. BES Banco Esírito Santo, S.A. BPI Banco Português de Investimento, S.A.

Leia mais

MICROECONOMIA II (2010-11) João Correia da Silva (joao@fep.up.pt) 11-04-2011

MICROECONOMIA II (2010-11) João Correia da Silva (joao@fep.up.pt) 11-04-2011 MICROECONOMIA II E08 00- -04-0 João Correia da Silva joao@fe.u.t . Estruturas de Mercado.. Concorrência Perfeita... Monoólio. MONOPÓLIO O Monoólio é uma estrutura de mercado na ual:. Existe aenas emresa

Leia mais

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de

Leia mais

IFT Instituto de F ısica Te orica Universidade Estadual Paulista M etodo de Integrac ao em Dimens ao Negativa em Teoria Qu ˆ antica de Campos

IFT Instituto de F ısica Te orica Universidade Estadual Paulista M etodo de Integrac ao em Dimens ao Negativa em Teoria Qu ˆ antica de Campos IFT Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT D.006/09 Método de Integração em Dimensão Negativa em Teoria Quântica de Camos Oscar Leonardo Acevedo Pabón Orientador

Leia mais

3 Dimensionamento Clássico de Cordões de Solda

3 Dimensionamento Clássico de Cordões de Solda 3 Dimensionamento Clássico de Cordões de Solda A união de placas em uma estrutura é conhecida como junta. Uma junta pode ser obtida utilizando-se os mais variados elementos de fixação: parafusos, rebites,

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais Programa novo implementado em 2005/2006 PROVA 615/16 Págs. Duração da prova: 120 minutos

Leia mais

Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal

Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal 1) O cabo e a barra formam a estrutura ABC (ver a figura), que suporta uma carga vertical P= 12 kn. O cabo tem a área

Leia mais

Escoamentos exteriores 21

Escoamentos exteriores 21 Escoamentos exteriores 2 Figura 0.2- Variação do coeficiente de arrasto com o número de Reynolds para corpos tri-dimensionais [de White, 999]. 0.7. Força de Sustentação Os perfis alares, ou asas, têm como

Leia mais

3.0 Resistência ao Cisalhamento dos Solos

3.0 Resistência ao Cisalhamento dos Solos 3.0 Resistência ao Cisalhamento dos Solos 3.1 INTRODUÇÃO Vários materiais sólidos empregados em construção normalmente resistem bem as tensões de compressão, porém têm uma capacidade bastante limitada

Leia mais

Capítulo 8 - Testes de hipóteses. 8.1 Introdução

Capítulo 8 - Testes de hipóteses. 8.1 Introdução Capítulo 8 - Testes de hipóteses 8.1 Introdução Nos capítulos anteriores vimos como estimar um parâmetro desconhecido a partir de uma amostra (obtendo estimativas pontuais e intervalos de confiança para

Leia mais

Esforços axiais e tensões normais

Esforços axiais e tensões normais Esforços axiais e tensões normais (Ref.: Beer & Johnston, Resistência dos Materiais, ª ed., Makron) Considere a estrutura abaixo, construída em barras de aço AB e BC, unidas por ligações articuladas nas

Leia mais

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/9 Págs. Duração da prova: 120 minutos 2005 1.ª FASE

Leia mais

CAP. 3 - EXTENSÔMETROS - "STRAIN GAGES" Exemplo: extensômetro Huggenberger

CAP. 3 - EXTENSÔMETROS - STRAIN GAGES Exemplo: extensômetro Huggenberger CAP. 3 - EXTENSÔMETOS - "STAIN GAGES" 3. - Extensômetros Mecânicos Exemplo: extensômetro Huggenberger Baseia-se na multiplicação do deslocamento através de mecanismos de alavancas. Da figura: l' = (w /

Leia mais

Elementos de Engenharia Civil 2007/2008. Enunciados dos problemas *

Elementos de Engenharia Civil 2007/2008. Enunciados dos problemas * DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS Elementos de Engenharia Civil 2007/2008 2 SEMESTRE Enunciados dos problemas * (módulo de Hidráulica)

Leia mais

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar

Leia mais