Exercícios de Álgebra Linear

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1 Exercícios de Álgebra Linear 1 o Semestre2006/2007 João Ferreira Alves Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares: a) { x+2y=1 x+3y=0 b) { 2x+3y=1 4x+6y=2 c) { 4x+5y=1 12x+15y=0 d) x+y=1 3x y=2 x y=0 e) 2a+2b+3c=1 a+2b+c=0 a b+c=0 f) x+2y+3z=1 4x+7y+7z=3 2x+3y+z=0 g) x+2y+z=0 4x+10y+10z=0 x+3y+4z=0 h) { 2x+3y+z=0 x+y+z=0 i) { 2x1 +x 2 +x 3 +x 4 =1 2x 1 +x 2 x 3 +x 4 =3 j) 2x+2y+2z+3w=3 x+y+z+w=1 3x+3y+3z+2w=2 k) x+z+2w=0 2x+3z+3w=0 y+2w=2 x+2z+w=0 l) y 1 +y 3 +2y 4 =0 y 1 +2y 2 +y 3 +y 4 =1 y 2 +2y 4 =8 y 1 +2y 3 +y 4 =0 Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros α e β, os seguintes sistemas de equações lineares: a) x+4y+3z=10 2x+7y 2z=10 x+5y+αz=β Exercício 3 Considere o sistema de equações lineares x+y+3z=b 1 2x+2y z=b 2, 4x+4y+5z=b 3 b) 2x+y+z= 6β αx+3y+2z=2β 2x+y+(α+1)z=4 ecalculeosvectores(b 1,b 2,b 3 ) R 3 paraosquaisosistemaépossível 1

2 Exercício 4 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: a) S={(1+t,1 t):t R}; b) S={(t,1 2t,1):t R}; c) S={(3t,2t,t):s,t R}; d) S={(3t,2s,t 1):s,t R}; e) S={(1 t,2s,t):s,t R}; Exercício 5 Sempre que possível calcule: [ [ a)2 +3 b) [ 1 2 [ c) [ d) [ e) [ [ f) [ [ g) j) [ h) k) [ i) l) Exercício6 MostrequeainversadeumamatrizA R n n,quandoexiste,éúnica Exercício7 MostrequeseasmatrizesAeB R n n sãoinvertíveis,entãotambémabéinvertível, tendo-seainda(ab) 1 =B 1 A 1 Exercício 8 Mostre que qualquer matriz invertível se pode decompor no produto de matrizes elementares Exercício 9 Sempre que possível, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes: [ [ [ a) b) c) d) e) f) g) h)

3 Exercício 10 Utilizando o exercício anterior, resolva os sistemas de equações lineares: a) x y=0 x+y z=1 y+z= 1 b) x+z=1 y+w=1 x+2z+w= 1 x y+z=1 Exercício 11 Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis [ [ a) b) c) d) e) f) g) h) i) Exercício12 Sabendoque calcule: a) c) d e f g h i a b c a+d b+e c+f d e f g h i a b c d e f g h i b) d) =5, a b c 2d 2e 2f g h i Exercício13 Sabendoqueosvaloresreaisγ eδ sãotaisque: 1 2 γ δ γ+δ 2 =1, calcule 1 2 γ δ δγ+δ 2 2δ δγ γ γ a b c d 3a e 3b f 3c 2g 2h 2i 3

4 Exercício 14 Considere as matrizes A= eb= Calcule: a)det(3a);b)det(a 3 B 2 );c)det(a 1 B T );d)det(a 4 B 2 ) Exercício 15 Mostre que λ λ λ λ λ+1 λ λ λ+1 λ+2 λ λ λ+1 λ+2 λ+3 λ+4 5 λ λ+1 λ+2 λ+3 λ+4 λ+5 =λ 6 Exercício 16 Calcule o determinante da matriz λ λ λ λ 1 λ B= 1 1 λ λ+1 Exercício 17 Mostre que λ 1 λ 2 λ 3 λ 2 1 λ 2 2 λ 2 3 =(λ 3 λ 2 )(λ 3 λ 1 )(λ 2 λ 1 ) Exercício 18 Recorra à regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes: a) b) c) d) e) f)

5 Exercício19 Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes: a) b) c) Exercício 20 Usar a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares: Soluções 1) a) y+2z=1 2x+4y+z=0 x+2y=1 b) x+y=1 2x+z=1 x+2y+2z= 1 a) Sistema possível e determinado: S ={(3, 1)}; b) Sistema indeterminado com uma incógnitalivre: S= {( 1 3y,y) :y R } ;c)sistemaimpossívels= ;d)sistemaimpossível: S= ;e)sistemapossíveledeterminado: S={( 1,0,1)};f)Sistemaimpossível: 2 2 S = ;g)sistemaindeterminadocomumaincógnitalivre: S ={(5z, 3z,z):z R}; h)sistemaindeterminadocomumaincógnitalivre: S={( 2z,z,z):z R};i)Sistema indeterminado com duas incógnitas livres: S = {( x x ) 4,x 2, 1,x 4 :x2,x 4 R } ; j) Sistema indeterminado com duas incógnitas livres: S = {( y z,y,z,1):y,z R}; k) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {( 3w,2 2w,w,w):w R}; l) Sistema possível e determinado S={( 9,2,3,3)} 2) a) Se α 11 o sistema é possível e determinado; se α = 11 e β = 20 o sistema é indeterminado;seα=11eβ 20osistemaéimpossível b)seα 0eα 6osistema épossíveledeterminado; seα=0eβ = 2/3 osistemaéindeterminado; se α=0e β 2/3osistemaéimpossível;seα=6eβ = 2/63osistemaéindeterminado;se α=6eβ 2/63osistemaéimpossível 3)b 3 2b 1 b 2 =0 4) a) x 1 +x 2 = 2; b) x 1 +0x 2 +x 3 =1 5) a) [ { 2x1 +x 2 =1 x 3 =1 ; c) { x1 3x 3 =0 x 2 2x 3 =0 ; d) x 1+0x 2 3x 3 = 3; e) [ 0 1 ;b)nãoépossível;c)nãoépossível;d)[4;e) 0 0 [ 0 0 ;f) 1 0 ; 5

6 g) 9) ;h)[ a)amatriznãoéinvertível;b) f)amatriznãoéinvertível;g) 10) a)(0,0, 1);b)(4,0, 3,1) 11) a)det e)det [ h)det ;i) 2 10 ;j) 2 10 ;k) 2 10 ;l) [ [ 1 1 = 3;b)det =30;f)det =0;i)det [ 1 ;c) =0;c)det ;h) ;d) =0;g)det =18 Apenasasmatrizesdasalíneasb),f)eh)nãosãoinvertíveis 12) a)5;b)10;c)5;d)10 13) δγ 14) a) 54 b)b) 128;c) 2;d)1 16)λ n 18) a) 9;b) 5;c)16;d)6;e)15;f) 45 19) ;e) =9;d)det =3; =1; ; 6

7 a) 20) ;b) a)( 9,5, 2);b)(1,0, 1) ;c) Espaços Lineares Exercício21 ConsidereemR 2 oconjuntos={(1,1),(2,2)} a)mostrequeovector( 5, 5)écombinaçãolineardosvectoresS b)mostrequeovector(1,0)nãoécombinaçãolineardosvectoress c)oconjuntos gerar 2? d)determineaformageraldosvectores(a,b) L(S) Exercício22 ConsidereemR 3 oconjuntos={(1,1,1),(0,1,1),(1,2,2)} a)mostrequeovector(2,3,3)écombinaçãolineardosvectoress b)mostrequeovector(0,0,1)nãoécombinaçãolineardosvectoress c)oconjuntos gerar 3? d)determineaformageraldosvectores(a,b,c) L(S) Exercício23 SendoAumamatrizcommlinhas,mostrequeascolunasdeAgeramR m seesóse acaracterísticadeaéigualam Exercício24 Mostre,combasenoexercícioanterior,queemR m qualquerconjuntocommenosde mvectoresnãogerar m Exercício25 DecidaquaisdosseguintesconjuntosgeramR 3 : a){(1,3,3),(4,6,4),( 2,0,2),(3,3,1)}; b){(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}; c){(1,4,2),(0,0,0),( 1, 3, 1),(0,1,1)} d){(26,47,29),(123,0,498)} Exercício26 DecidaquaisdosseguintesconjuntosgeramR 4 : a){(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1, 1)}; b){(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}; c){(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,1,0,1)}; d){(11, 12,1,1),(45,17,1,20),(21,3,41,122)} Exercício27 Calculeoúnicovalordeaquefazcomque nãosejaumconjuntogeradorder 3 S={(1,1,1),(1,0,1),(0,2,0),(3,2,a)} 7

8 Exercício28 Considere em R 3 o conjunto S = {(1,0,1),(0,1,a),(1,1,b),(1,1,1)} Calcule o únicopar(a,b) R 2 quefazcomques nãogerer 3 Exercício29 ConsidereemR 4 oconjuntos={(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,0,0),(1,1,1,a)} CalculeoúnicovalordeaquefazcomqueS nãogerer 4 Exercício 30 Mostre que os seguintes conjuntos de vectores são linearmente dependentes: a)emr 3, v 1 =(1,1,2), v 2 =(2,2,4); b)emr 3, v 1 =(1,1,1), v 2 =(3,3,3), v 3 =(0,1,1); c)emr 4, v 1 =(0,1,0,1), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(2,3,2,3); d)emr 4, v 1 =(0,1,0,1), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(2,0,1,3), v 4 =(0,0,0,0) Exercício 31 Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes: a)emr 4, v 1 =(1,1,0,0), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(0,0,1,1), v 4 =(0,1,0,1) b)emr 3, v 1 =(1,1,2), v 2 =(1,2,1), v 3 =(3,1,1) Exercício32 MostrequeascolunasdeumamatrizAsãolinearmenteindependentesseesósea característicadeaéigualaonúmerodecolunasdea Exercício33 Mostre, combaseno exercício anterior, que emr m qualquer conjunto commaisde m vectores é linearmente dependente Exercício 34 Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: a)emr 3,{(1,1,1),(1,2,1)}; b)emr 3,{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}; c)emr 3,{(1,1,1),(2,2,0),(0,0,1)}; d)emr 3,{(2,46,6),(23,2, 123),(1,23,1),(1,10,1)}; e)emr 4,{(1,0, 1,0),(4,0, 3,1),(2,0, 1,1)}; f)emr 4,{(1,0, 1,0),(4,0, 3,1),(2,1, 1,1)}; g)emr 4,{(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}; h)emr 4,{(1,23,1,14),(1,12,1,0),(24, 1,0,0),(11,19,17, 123),(101,119,1,1)} Exercício35 CalculeoúnicovalordeaquefazcomqueosvectoresdeR 4 sejam linearmente dependentes v 1 =(1,0,0,2), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(2,0,1,a) Exercício36 ConsidereemP 2 (espaçodospolinómioscomgrau 2)oconjuntoS={1+t,1 t 2 } a)mostrequeovectort+t 2 écombinaçãolineardosvectoresdes b)mostrequeovectortnãoécombinaçãolineardosvectoresdes c)oconjuntos gerap 2? d)determineaformageraldosvectoresp(t) L(S) 8

9 Exercício 37 Mostre que os polinómios geramp 2 p 1 (t)=1+2t t 2,p 2 (t)=3+t 2,p 3 (t)=5+4t t 2,p 4 (t)= 2+2t t 2 Exercício 38 Considere espaço vectorial das funções reais de variável real Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é linearmente dependente a) { 2,sin 2 (t),cos 2 (t) } b) { cos(2t),sin 2 (t),cos 2 (t) } c) {e t,e t,cosh(t)} d) { 1,t,t 2,(t+1) 2} Exercício39 Noespaçovectorialdasfunçõesreaisdevariávelrealconsiderenvectoresf 1 :R R, f 2 :R R,,f n :R R Mostrequeseexistiremnúmerost 1,t 2,,t n Rtaisque f 1 (t 1 ) f 2 (t 1 ) f n (t 1 ) f 1 (t 2 ) f 2 (t 2 ) f n (t 2 ) 0, f 1 (t n ) f 2 (t n ) f n (t n ) entãoosvectoresf 1,f 2,,f n sãolinearmenteindependentes Exercício 40 Mostre, recorrendo ao exercício anterior, que os conjuntos de vectores { 1,t,e t } e {sin(t),cos(t),tcos(t)} sãolinearmenteindependentes Sugestão: noprimeirocasofaçat 1 =0,t 2 =1,t 3 = 1,nosegundo façat 1 =0,t 2 =π/2,t 3 =π Soluções 22) c)s nãogerar 3 ;d)l(s)={(a,b,c) R 3 :c b=0}={(a,c,c):a,c R} 25) a)s nãogerar 3 ;b)s gerar 3 ;c)s nãogerar 3 ;d)s nãogerar 3 26) a)s gerar 4 ;b)s gerar 4 ;c)s nãogerar 4 ;d)s nãogerar 4 27)a=3 28)(a,b)=(0,1) 29)a=1 31) a) Linearmente dependentes; b) Linearmente independentes 9

10 34) a) Linearmente independentes; b) Linearmente independentes; c) Linearmente dependentes; d) Linearmente dependentes; e) Linearmente dependentes; f) Linearmente independentes; g) Linearmente independentes; h) Linearmente dependentes 35)a=2 36) c)s nãogerap 2 ;d)l(s)={c b+bt+ct 2 :b,c R 2 } Bases e dimensão Exercício41 Tendoemcontaosexercícios23e32, mostrequeascolunasdeumamatrizacom mlinhasconstituemumabaseder m seesóseaéumamatrizinvertível Exercício42 MostrequeemR m quaisquermvectoreslinearmenteindependentesconstituemuma baseder m MostrequeemR m quaisquermgeradoresconstituemumabaseder m Exercício43 MostrequequalquerbasedeR m temmvectores Exercício44 DeterminequaisdosseguintesconjuntossãobasesdeR 2 : a){(1,0),(0,1)}; b){(1,1),(0,3)}; c){(1,0),(0,3),(2,5)}; d){(1,2)}; e){(1,1),(0,0)} Exercício45 DeterminequaisdosseguintesconjuntossãobasesdeR 3 : a){(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}; b){(1,1,1),(1,0,1),(1,2,1)}; c){(3,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,3,5)} d){(1,1,1),(2,2,0)} Exercício46 DeterminequaisdosseguintesconjuntossãobasesdeR 4 : a){(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,1,0),(2,1, 1,0)}; b){(1,3,0,0),(1,1,3,1),(2,2,3,2),(2,3,3,2),(2,4,1,2)}; c){(2,0,0,2),(1,1,0,0),(0,0,2,3),(1,2,1,2)}; d){(2,0,0,2),(1,1,0,0),(1,2,1,2)} Exercício47 SejaB={ v 1, v 2 }abaseder 2 constituídapelosvectores v 1 =(1,0)e v 2 =(1,1) 10

11 a)qualéovectorder 2 quenestabasetemcoordenadas(2,2)? b)calculeascoordenadasdovector(3,5)nestabase c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule ascoordenadasdeumvector(a,b) R 2 nestabase Exercício48 SejaB={ v 1, v 2, v 3 }abaseder 3 constituídapelosvectores v 1 =(2,0,0), v 2 =(1,1,0)e v 3 =(1,1,1) a)qualéovectorder 3 quenestabasetemcoordenadas(0,3,5)? b)calculeascoordenadasdovector(2,0,1)nestabase c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule ascoordenadasdeumvector(a,b,c) R 3 nestabase Exercício49 SejaB={ v 1, v 2, v 3 }osubconjuntodep 2 constituídopelospolinómios v 1 =1+t, v 2 =1+2te v 3 =t 2 a)mostrequebéumabasedep 2 b)qualéopolinómioquenestabasetemcoordenadas(1,3, 2)? c)calculeascoordenadasdovector2+2t t 2 nestabase d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule ascoordenadasdeumpolinómioa+bt+ct 2 nestabase Exercício 50 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, identificando osquesãosubespaçoslinearesder 2 : a)s={(x,y) R 2 :x=0}; b)s={(x,y) R 2 :x+y=0}; c)s={(x,y) R 2 :x+y=0ex y=0}; d)s={(x,y) R 2 :x+y=1}; e)s={(x,y) R 2 :x 2 +y 2 =1} Exercício 51 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, identificando osquesãosubespaçoslinearesder 3 : a)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}; b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=1} c)s={(x,y,z) R 3 :x+y=0ex y+2z=0}; d)s={(x,y,z) R 3 :x+y=1ex y+2z=0}; e)s={(x,y,z) R 3 :x 2 +y 2 +z 2 =1}; f)s={(x,y,z) R 3 :xyz=0} 11

12 Exercício 52 Para cada uma das seguintes matrizes, calcule bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo Calcule ainda a característica e a nulidade: a) [ 1 0 [ [ b) c) d) e) f) g) h) i) Exercício 53 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços lineares: a)s={(x,y) R 2 :x+y=0}; b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+2z=0}; c)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0ex+y+2z=0}; d)s={(x,y,z,w) R 4 :x+y+z+w=0ex+y+2z=0}; e)s=l{(1,1),(2,1),(1,2)}; f)s=l{(1, 1,1),(1,1,3),(0,1,1)}; g)s=l{(1,4, 2,3),(3,6,0,3),(3,4,2,1)} Exercício54 MostrequeseU ev sãosubespaçosdeumespaçolineare,entãotambému V é umsubespaçodee MostreaindaqueU V éumsubespaçodee seesóu V ouv U Exercício55 MostrequeseU ev sãosubespaçosdeumespaçolineare,entãosubconjunto éomenorsubespaçodee quecontému V U+V def = { u + v : u U e v V} Exercício56 CalculeumabaseeadimensãodecadaumdosseguintessubespaçosdeR 3 : a)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0} {(x,y,z) R 3 :x+y 3z=0}; b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0} L{(1,1,1),(0,1,1)}; c)s=l{(1,0,0),(0,0,1)} L{(1,1,1),(0,1,1)}; d)s=l{(1,0,0),(0,0,1)}+l{(1,1,1),(0,1,1)}; e)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}+l{(1,1,1),(0,1,1)}; f)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}+{(x,y,z) R 3 :x+y 3z=0} Exercício57 ConsidereoespaçolinearP 3 (polinómioscomgraumenorouiguala3) 12

13 a)mostrequeoconjunto{p(t) P 3 :p(0)=0}éumsubespaçolinear dep 3 Calculeumabaseparaestesubespaço b)mostrequeoconjunto{p(t) P 3 :p(1)=0}éumsubespaçolinear dep 3 Calculeumabaseparaestesubespaço c)mostrequeoconjunto{p(t) P 3 :p(1)=p(0)}éumsubespaçolinear dep 3 Calculeumabaseparaestesubespaço Exercício 58 No espaço linear V das funções reais de de variável real duas vezes diferenciáveis, considere o subconjunto S={f V :f 2f +f =0} a)mostreques éumsubespaçolineardev b)mostrequeoconjunto{e t,te t }éumabasedes Sugestão: mostrequesef S, entãof(t)e t éumpolinómiocomgrau 1 c)mostreque,dadosaeb R,existeumaeumasófunçãof S talquef(0)=a ef (0)=b Sugestão: tenhaemcontaqueoconjunto{e t,te t }éumabasedes Soluções 45) a)ébaseder 3 ;b)nãoébaseder 3 ;c)nãoébaseder 3 ;d)nãoébaseder 3 46) a)nãoébaseder 4 ;b)nãoébaseder 4 ;c)ébaseder 4 ;d)nãoébaseder 4 47) a)(4,2);b)( 2,5);c)(a b,b) 48) a)(8,8,5);b)(1, 1,1);c) ( 1 2 a 1 2 b,b c,c) 49) b)4+7t 2t 2 ;c)(2,0, 1);d)(2a b,b a,c) 50) a)ésubespaçoder 2 ;b)ésubespaçoder 2 ;c)ésubespaçoder 2 ;d)nãoésubespaço der 2 ;e)nãoésubespaçoder 2 51) a) É subespaço de R 3 ; b) Não é subespaço de R 3 ; c) É subespaço de R 3 ; d) Não é subespaçoder 3 ;e)nãoésubespaçoder 3 ;f)nãoésubespaçoder 3 53) a){( 1,1)} ébasede S, logodim(s)=1; b){( 1,1,0),( 2,0,1)} ébasedes, logo dim(s)=2;c){( 1,1,0)}éumabasedeS,logodim(S)=1;d){( 1,1,0,0),( 1, 1,1,1)} 13

14 ébasedes,logodim(s)=2 e){(1,1),(1,2)}ébasedesedim(s)=2;f){(1, 1,1),(1,1,3)} ébasedes,logodim(s)=2;g){(1,4, 2,3),(3,6,0,3)}ébasedeS,logodim(S)=2; 56) a){( 1,1,0)}ébasedeS,logodim(S)=1;b){( 2,1,1)}ébasedeS,logodim(S)=1; d){(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1)}ébasedes,logodim(s)=3 57) a){t,t 2 }éumabasedes;b){t 1,t 2 1}éumabasedeS;c){1,t 2 t}éumabase des Tranformações Lineares Exercício 59 Determine quais das seguintes transformações são lineares: a)t :R 2 R 2,T(x,y)=(x,y); b)t :R 2 R 2,T(x,y)=(x+1,y); c)t :R 2 R 2,T(x,y)=(cos(θ)x sin(θ)y,sin(θ)x+cos(θ)y),comθ R; d)t :R 2 R 2,T(x,y)=(2x 2 +xy,x); e)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(2x+y,x+2y,x+2y+z); f)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x+3,x+2y+z,y 4z); g)t :R 4 R 2,T(x,y,z,w)=(2x+y z+w,x+y 3z); Exercício60 ConsidereatransformaçãolinearT :R 2 R 2 definidaport(x,y)=(2x+y,x+2y) CalculearepresentaçãomatricialdeT nabaseb={ v 1, v 2 }quando: a) v 1 =(1,0), v 2 =(0,1); b) v 1 =(0,2), v 2 =(2,0); c) v 1 =(1,1), v 2 =(1,2) Exercício61 ConsidereatransformaçãolinearT :R 3 R 3 definidapor T(x,y,z)=(x+y,x+z,z+y) CalculearepresentaçãomatricialdeT nabaseb={ v 1, v 2, v 3 }quando: a) v 1 =(1,0,0), v 2 =(0,1,0), v 3 =(0,0,1); b) v 1 =(0,2,0), v 2 =(0,0,2), v 3 =(2,0,0); c) v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,1,1) 14

15 Exercício62 ConsidereatransformaçãolinearT :R 3 R 2 definidapor T(x,y,z)=(2x+y,z+3y) CalculearepresentaçãomatricialdeT nasbasesb 1 ={ u 1, u 2, u 3 }eb 2 ={ v 1, v 2 }quando: a) u 1 =(1,0,0), u 2 =(0,1,0), u 3 =(0,0,1), v 1 =(1,0), v 2 =(0,1); b) u 1 =(0,2,0), u 2 =(0,0,2), u 3 =(2,0,0), v 1 =(1,0), v 2 =(0,1); c) u 1 =(1,0,0), u 2 =(1,1,0), u 3 =(1,1,1), v 1 =(1,1), v 2 =(1,2); d) u 1 =(1,0,0), u 2 =(0,1,0), u 3 =(0,0,1), v 1 =(1,1), v 2 =(1,2) Exercício63 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada por [ Calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada: a)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(0,2), v 2 =(2,0); b)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(1,1), v 2 =(1,2) Exercício64 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada por calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada: a)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(0,2,0), v 2 =(0,0,2), v 3 =(2,0,0); b)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,1,1) Exercício65 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada por [ CalculeT(x,y) Exercício66 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base v 1 = (1,1), v 2 = (1,2) é representadapor [ CalculeT(x,y) 15

16 Exercício67 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada por CalculeT(x,y,z) Exercício68 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearque,nabase v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,1,1)érepresentadapor CalculeT(x,y,z) Exercício69 Calculebasesparaoespaçonuloeparaaimagemdecadaumadas seguintestransformações lineares a)t :R 2 R 2,T(x,y)=(2x+y,2x+y); b)t :R 2 R 2,T(x,y)=(x+y,x y); c)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x+y+z,2x+2y+2z,y z); d)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x+2y z,2x+4y 2z, x 2y+z); e)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x z,x+2z,y+3z); f)t :R 3 R 2,T(x,y,z)=(x z,y+z); g)t :R 3 R 2,T(x,y,z)=(2x+y 3z, 6x 3y+9z); h)t :R 2 R 3,T(x,y)=(x+y,x y,x); i)t :R 2 R 3,T(x,y)=(2x+y,4x+2y,0); Exercício70 Seja T :R 2 R 2 a transformação linear que na base v 1 =(1,1), v 2 =(1, 1) é representadapelamatriz [ CalculebasesparaoespaçonuloeparaaimagemdeT Exercício71 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabase é representada pela matriz v 1 =( 1,1,1), v 2 =(1, 1,1), v 3 =(1,1, 1) CalculebasesparaoespaçonuloeparaaimagemdeT 16

17 Exercício72 SejaT :R n R m umatransformaçãolineareaamatrizquerepresentat nasbases canónicasder n er m Comenteasseguintesafirmações: a)adimensãodonúcleodet coincidecomanulidadedea; b)t éinjectivaseesóseanulidadedeaéigualazero; c)t éinjectivaseesóseacaracterísticadeacoincidecomonúmero decolunasdea; d)adimensãodaimagemdet coincidecomacaracterísticadea; e)t ésobrejectivaseesóacaracterísticadeacoincidecomonúmero delinhasdea Exercício73 SejaT :R 3 R 2 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(x+y,x+y z) a)calculeamatrizquerepresentat nabasecanónica b)calculeumabaseparaonúcleodet AtransformaçãoT éinjectiva? c)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? d)resolvaaequaçãot(x,y,z)=(1,1) e)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b) é impossível? f)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b) é possível e determinada? Exercício74 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada pela matriz a)calculeumabaseparaonúcleodet T éinjectiva? b)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? c)resolvaaequaçãot(x,y,z)=(3,3,0) d)existealgumvector(a,b,c) R 3 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c) é impossível? e)existealgumvector(a,b,c) R 3 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c) é indeterminada? Exercício75 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base v 1 = (1,1), v 2 = (1,0) é representadapor [

18 a)calculeumabaseparaonúcleodet T éinjectiva? b)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? c)resolvaaequaçãot(x,y)=(3,2) d)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y)=(a,b) é impossível? e)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y)=(a,b) é possível e determinada? Exercício76 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabase v 1 =(1,1,1), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,0,0)érepresentadapor a)calculeumabaseparaonúcleodet T éinjectiva? b)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? c)mostrequeequaçãot(x,y,z)=(2,4,0)nãotemsoluções e)existealgumvector(a,b,c) R 3 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c) é indeterminada; Exercício77 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y)=(x+y,x+2y) a)calculeamatrizquerepresentat nabasecanónica b)mostrequet ébijectivaecalculet 1 (x,y) c)resolvaaequaçãolineart(x,y)=(1,1) Exercício78 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(x+y+z,x+2y 4z,z) a)calculeamatrizquerepresentat nabasecanónica b)mostrequet ébijectivaecalculet 1 (x,y,z) c)resolvaaequaçãolineart(x,y,z)=(1,1,2) Exercício79 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabase v 1 =(1,1,1), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,0,0)érepresentadapor a)mostrequet ébijectivaecalculet 1 (x,y,z) b)resolvaaequaçãolineart(x,y,z)=(1,2,1) 18

19 Exercício80 SejaT :P 2 P 2 atransformaçãolineardefinidapor T(p(t))=p (t) 2p(t) a)calculeamatrizquerepresentat nabase{p 1 (t),p 2 (t),p 3 (t)}com p 1 (t)=1,p 2 (t)=tep 3 (t)=t 2 b)mostrequet ébijectiva,ecalculeamatrizquerepresentat 1 namesma base ConcluaqueT 1 (q(t))= 1 2 q(t) 1 4 q (t) 1 8 q (t),paraqualquerq(t) P 2 c)resolva,emp 2,aequaçãolinearp (t) 2p(t)=1+t+t 2 Exercício81 SejaT :P 2 P 2 atransformaçãolineardefinidapor T(p(t))=t 2 p (t) 2p(t) a)calculeamatrizquerepresentat nabase{p 1 (t),p 2 (t),p 3 (t)}com p 1 (t)=1,p 2 (t)=t,p 3 (t)=t 2 b)calculeumabaseparan(t)econcluaquet nãoéinjectiva nem sobrejectiva c)resolva,emp 2,aequaçãolineart 2 p (t) 2p(t)=1 Exercício 82 No espaço linear V das funções reais de de variável real duas vezes diferenciáveis, considereatransformaçãolineart :V V definidaport(f)=f 2f +f a)recorraaoexercício58,paraencontrarumabaseparan(t) b)sabendoquef(t) 1éumasoluçãodaequaçãolinearT(f)=1,calcule aúnicasoluçãodamesmaequaçãoqueverificaf(0)=f (0)=0 Soluções 60) [ 2 1 a) ) [ a) ) [ 2 1 a) 1 2 [ 2 1 ;b) 1 2 [ ;b) [ 3 3 ;b) 0 1 [ 3 3 ;c) 0 1 [ ;c) [ ;d)

20 64) a)b= ;b)b= 65)T(x,y)=(3x+2y,x+2y) 66)T(x,y)=(4x,4x+y) )T(x,y,z)=(x+2y+z,x,y+2z) 68)T(x,y,z)=(2x+y,x+z,y+z) 69) a){(1, 2)}ébasedeN(T)e{(1,1)}ébasedeI(T); b) Tem-se N(T) = {0}, logo é base de N(T) Uma base para I(T) pode ser {(1,1),(1, 1)}; c) Tem-se N(T) = {( 2z,z,z):z R}, logo {( 2,1,1)} é base de N(T) Uma base parai(t)podeser{(1,2,0),(1,2,1)}; d) Tem-se N(T) = {( 2y,y,0):z R}, logo {( 2,1,0)} é base de N(T) Uma base parai(t)podeser{(1,2, 1),( 1, 2, 1)}; e)tem-sen(t)={0},logo ébaseden(t) UmabaseparaI(T)podeser {(1,1,0),(0,0,1),( 1,2,3)}; f)tem-sen(t)={(z, z,z):z R},logo{(1, 1,1)}ébasedeN(T) Umabasepara I(T)podeser{(1,0),(0,1)}; g)tem-sen(t)= { ( 3 2 z 1 2 y,y,z):y,z R},logo { ( 1 2,1,0),(3 2,0,1)} ébaseden(t) UmabaseparaI(T)podeser{(2, 6)}; h) Tem-se N(T) = {0}, logo é base de N(T) Uma base para I(T) pode ser {(1,1,1),(1, 1,0)}; i)tem-sen(t)= { ( 1 2 y,y):y R},logo { ( 1 2,1)} ébaseden(t) Umabasepara I(T)podeser{(2,4,0)} 70){(0,1)}ébasedeN(T),e{(5,1)}ébasedeI(T) 71){( 1,0,1)}ébasedeN(T),{(1,2,1),(0,2,0)}ébasedeI(T) 73) [ a) b){( 1,1,0)}ébasedeN(T) AtransformaçãoT nãoéinjectivapoisdimn(t) 0 c){(1,1),(0, 1)}ébasedeI(T) AtransformaçãoT ésobrejectivapoisdimi(t)=2= dimr 2 d)oconjuntodassoluçõesén(t)+(1,0,0)={(1 y,y,0):y R} 20

21 e) Não existe porque T é sobrejectiva f)comot ésobrejectivaenãoinjectiva,aequaçãot(x,y,z)=(a,b)épossíveleindeterminada,paraqualquer(a,b) R 2 74) a)tem-sen(t)={(0,0,0)},logot éinjectiva b) Uma base para I(T) é {(1,2,0),(2,1,0),(2,4,2)}, logo I(T) = R 3 pelo que T é sobrejectiva c)aúnicasoluçãodaequaçãoé( 2,1,3/2) d)ee)comot ébijectivaaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c)épossíveledeterminadapara qualquer(a,b,c) R 3 75) a){(1,2)}ébaseden(t),logot nãoéinjectiva b)umabaseparai(t)é{(6,4)},peloquet nãoésobrejectiva c)oconjuntodassoluçõesé{(0, 1)}+N(T) d)ee)comot énãoinjectivanemsobrejectiva,aequaçãot(x,y)=(a,b)éimpossível ouindeterminadaparaqualquer(a,b) R 2 76) a){(1,1,2)}ébaseden(t),logot nãoéinjectiva b)umabaseparai(t)é{(8,6,2),( 2,0,0)},peloqueT nãoésobrejectiva d)ee)comot énãoinjectivanemsobrejectiva,aequaçãot(x,y,z)=(a,b,c)éimpossívelouindeterminada,paraqualquer(a,b,c) R 2 77) [ 1 1 a) ;b)t (x,y)=(2x y, x+y);c)comot ébijectiva,aúnicasoluçãoda equaçãoéovector(x,y)=t 1 (1,1)=(1,0) 78) a) ;b)t 1 (x,y,z)=(2x y 6z, x+y+5z,z);c)comot ébijectiva, aúnicasoluçãodaequaçãoéovector(x,y,z)=t 1 (1,1,2)=( 11,10,2) 79) a)t 1 (x,y,z)=( x+2y,y,z);b)aúnicasoluçãodaequaçãoé(3,2,1) 80) a) ;b) ;c) 1 t 1 2 t2 21

22 81) a) ;c)oconjuntodassoluçõesé { 1 2 +a 3t 2 :a 3 R } Valores e vectores próprios Exercício83 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x,y) = (x+2y,2x+y) Considereosvectores v 1 =(2,1), v 2 =( 1,1), v 3 =(2,3)e v 4 =(4,4),eidentifiqueosquesão vectoresprópriosdet DigaaindaquaissãoosvaloresprópriosdeT Exercício84 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(0,y+3z,3y+z) Considere ainda os vectores v 1 = (2,1,1), v 2 = (0, 1,1), v 3 = (1,0,0), v 4 = ( 1,1,3) e v 5 =(0,3,3),eidentifiqueosquesãovectoresprópriosdeT Digaquaissãoosvaloresprópriosde T Exercício85 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(x+2y+2z,2x+y+2z,2x+2y+z) Considere os vectores v 1 = (2,1,1), v 2 = (1,1,1), v 3 = ( 2,0,2), v 4 = ( 1,1,3) e v 5 = ( 1,1,0),eidentifiqueosquesãovectoresprópriosdeT QuaissãoosvaloresprópriosdeT? Exercício86 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x,y) = (x+y,x+y) Mostre que os vectores v 1 = (1, 1) e v 2 = (1,1) determinam uma base de R 2 constituída por vectores próprios de T Calcule a representação matricial de T nesta base Exercício87 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(y,y,y) Mostreque os vectores v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,1) e v 3 =(0,0,1) determinamuma base de R 3 constituída por vectores próprios de T Calcule a representação matricial de T nesta base Exercício88 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolineardefinidaport(x,y)=(x+2y,3y) a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumabaseder 2 constituídaporvectoresprópriosdet Qual é a representação matricial de T nesta base? 22

23 Exercício89 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada pela matriz [ 2 3 A= 3 2 a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumamatrizdemudançadebases eumamatrizdiagonal DtaisqueD=S 1 AS Exercício90 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada pela matriz [ 2 1 A= 0 2 a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)mostrequenãoexisteumabaseder 2 constituídaporvectoresprópriosdet Exercício91 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(y+z,2y+z,y+2z) a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumabaseder 3 constituídaporvectoresprópriosdet Qual é a representação matricial de T nesta base? d)designandoporaamatrizquerepresentat nabasecanónicader 3, determine umamatrizdemudançadebases eumamatrizdiagonaldtaisqued=s 1 AS Exercício92 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(3x,2y+z,2z) a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)mostrequenãoexisteumabaseder 3 constituídaporvectoresprópriosdet Exercício93 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada pela matriz A=

24 a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumamatrizdemudançadebases eumamatrizdiagonald taisqued=s 1 AS Exercício 94 Considere as matrizes: [ 1 1 A= 0 2,B= [ ec= [ MostrequetodassãodiagonalizáveisecalculeA n,b n ec n,paran N Exercício 95 Considere as matrizes: [ 1 1 A= 1 1 [ 2 1 eb= 4 2 Mostre que as matrizes A e B(não sendo diagonalizáveis enquanto matrizes reais) são diagonalizáveis enquantomatrizescomplexas CalculeA n eb n,paran N Exercício96 Mostre que se uma matriz A C 2 2 não é diagonalizável, então existe uma matriz demudançadebases C 2 2 talque [ [ λ 1 λ A=S S 0 λ 1 emaisgeralmentea n n λ n 1 =S 0 λ n S 1, ondeλdesignaoúnicovalorprópriodea Exercício97 CombasenoexercícioanteriorcalculeA n eb n com [ [ A= eb= Exercício 98 Considere o sistema de equações diferenciais lineares [ [ [ x1 (t) x A = 1 (t) 2 1 x 2 (t) x coma= 2(t) 1 2 Decidaquaisdosseguintesparesdefunçõessãosoluçõesdestesistema: ( e t,e t ),(e 3t,e 3t ),(e t,e 3t ) 24

25 Exercício99 ConsidereumamatrizA R 2 2 edesignepors A oconjuntodassoluçõesdosistema [ [ x1 (t) x A = 1 (t) x 2 (t) x 2 (t) a) Mostre que S A com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar tem estrutura de espaço linear [ λ1 0 b)mostrequesed=,entãoosparesdefunções(e 0 λ λ1t,0)e(0,e λ2t )constituem 2 umabasepara S D,eportanto S D = {( c 1 e λ 1t,c 2 e λ 2t ) :c 1,c 2 R } Sugestão: mostre que se (x 1 (t),x 2 (t)) S D então x 1 (t)e λ1t e x 2 (t)e λ 2t são funções constantes [ λ 1 c)mostrequese J=,entãoosparesdefunções (e 0 λ λt,0)e (te λt,e λt )constituem umabasepara S J,eportanto S J = {( c 1 e λt +c 2 te λt,c 2 e λt) :c 1,c 2 R } Sugestão: mostrequese (x 1 (t),x 2 (t)) S J então x 2 (t)e λt éumafunçãoconstantee x 1 (t)e λt éumpolinómiocomgrau 1 d)mostrequese S éumamatrizdemudançadebasee B=S 1 AS,entãotem-se: { [ } y1 (t) S A = S :(y y 2 (t) 1 (t),y 2 (t)) S B Exercício 100 Considere a matriz A= [ a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D eumamatrizdemudançadebases taisquea=sds 1 b) Resolva o sistema de equações diferenciais { 2x1 (t)+x 2 (t)=x 1 (t) x 1 (t)+2x 2 (t)=x 2(t) Exercício 101 Considere a matriz A= [

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