Exercícios de Álgebra Linear
|
|
- Cláudio Quintanilha de Santarém
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Exercícios de Álgebra Linear 1 o Semestre2006/2007 João Ferreira Alves Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares: a) { x+2y=1 x+3y=0 b) { 2x+3y=1 4x+6y=2 c) { 4x+5y=1 12x+15y=0 d) x+y=1 3x y=2 x y=0 e) 2a+2b+3c=1 a+2b+c=0 a b+c=0 f) x+2y+3z=1 4x+7y+7z=3 2x+3y+z=0 g) x+2y+z=0 4x+10y+10z=0 x+3y+4z=0 h) { 2x+3y+z=0 x+y+z=0 i) { 2x1 +x 2 +x 3 +x 4 =1 2x 1 +x 2 x 3 +x 4 =3 j) 2x+2y+2z+3w=3 x+y+z+w=1 3x+3y+3z+2w=2 k) x+z+2w=0 2x+3z+3w=0 y+2w=2 x+2z+w=0 l) y 1 +y 3 +2y 4 =0 y 1 +2y 2 +y 3 +y 4 =1 y 2 +2y 4 =8 y 1 +2y 3 +y 4 =0 Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros α e β, os seguintes sistemas de equações lineares: a) x+4y+3z=10 2x+7y 2z=10 x+5y+αz=β Exercício 3 Considere o sistema de equações lineares x+y+3z=b 1 2x+2y z=b 2, 4x+4y+5z=b 3 b) 2x+y+z= 6β αx+3y+2z=2β 2x+y+(α+1)z=4 ecalculeosvectores(b 1,b 2,b 3 ) R 3 paraosquaisosistemaépossível 1
2 Exercício 4 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: a) S={(1+t,1 t):t R}; b) S={(t,1 2t,1):t R}; c) S={(3t,2t,t):s,t R}; d) S={(3t,2s,t 1):s,t R}; e) S={(1 t,2s,t):s,t R}; Exercício 5 Sempre que possível calcule: [ [ a)2 +3 b) [ 1 2 [ c) [ d) [ e) [ [ f) [ [ g) j) [ h) k) [ i) l) Exercício6 MostrequeainversadeumamatrizA R n n,quandoexiste,éúnica Exercício7 MostrequeseasmatrizesAeB R n n sãoinvertíveis,entãotambémabéinvertível, tendo-seainda(ab) 1 =B 1 A 1 Exercício 8 Mostre que qualquer matriz invertível se pode decompor no produto de matrizes elementares Exercício 9 Sempre que possível, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes: [ [ [ a) b) c) d) e) f) g) h)
3 Exercício 10 Utilizando o exercício anterior, resolva os sistemas de equações lineares: a) x y=0 x+y z=1 y+z= 1 b) x+z=1 y+w=1 x+2z+w= 1 x y+z=1 Exercício 11 Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis [ [ a) b) c) d) e) f) g) h) i) Exercício12 Sabendoque calcule: a) c) d e f g h i a b c a+d b+e c+f d e f g h i a b c d e f g h i b) d) =5, a b c 2d 2e 2f g h i Exercício13 Sabendoqueosvaloresreaisγ eδ sãotaisque: 1 2 γ δ γ+δ 2 =1, calcule 1 2 γ δ δγ+δ 2 2δ δγ γ γ a b c d 3a e 3b f 3c 2g 2h 2i 3
4 Exercício 14 Considere as matrizes A= eb= Calcule: a)det(3a);b)det(a 3 B 2 );c)det(a 1 B T );d)det(a 4 B 2 ) Exercício 15 Mostre que λ λ λ λ λ+1 λ λ λ+1 λ+2 λ λ λ+1 λ+2 λ+3 λ+4 5 λ λ+1 λ+2 λ+3 λ+4 λ+5 =λ 6 Exercício 16 Calcule o determinante da matriz λ λ λ λ 1 λ B= 1 1 λ λ+1 Exercício 17 Mostre que λ 1 λ 2 λ 3 λ 2 1 λ 2 2 λ 2 3 =(λ 3 λ 2 )(λ 3 λ 1 )(λ 2 λ 1 ) Exercício 18 Recorra à regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes: a) b) c) d) e) f)
5 Exercício19 Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes: a) b) c) Exercício 20 Usar a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares: Soluções 1) a) y+2z=1 2x+4y+z=0 x+2y=1 b) x+y=1 2x+z=1 x+2y+2z= 1 a) Sistema possível e determinado: S ={(3, 1)}; b) Sistema indeterminado com uma incógnitalivre: S= {( 1 3y,y) :y R } ;c)sistemaimpossívels= ;d)sistemaimpossível: S= ;e)sistemapossíveledeterminado: S={( 1,0,1)};f)Sistemaimpossível: 2 2 S = ;g)sistemaindeterminadocomumaincógnitalivre: S ={(5z, 3z,z):z R}; h)sistemaindeterminadocomumaincógnitalivre: S={( 2z,z,z):z R};i)Sistema indeterminado com duas incógnitas livres: S = {( x x ) 4,x 2, 1,x 4 :x2,x 4 R } ; j) Sistema indeterminado com duas incógnitas livres: S = {( y z,y,z,1):y,z R}; k) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {( 3w,2 2w,w,w):w R}; l) Sistema possível e determinado S={( 9,2,3,3)} 2) a) Se α 11 o sistema é possível e determinado; se α = 11 e β = 20 o sistema é indeterminado;seα=11eβ 20osistemaéimpossível b)seα 0eα 6osistema épossíveledeterminado; seα=0eβ = 2/3 osistemaéindeterminado; se α=0e β 2/3osistemaéimpossível;seα=6eβ = 2/63osistemaéindeterminado;se α=6eβ 2/63osistemaéimpossível 3)b 3 2b 1 b 2 =0 4) a) x 1 +x 2 = 2; b) x 1 +0x 2 +x 3 =1 5) a) [ { 2x1 +x 2 =1 x 3 =1 ; c) { x1 3x 3 =0 x 2 2x 3 =0 ; d) x 1+0x 2 3x 3 = 3; e) [ 0 1 ;b)nãoépossível;c)nãoépossível;d)[4;e) 0 0 [ 0 0 ;f) 1 0 ; 5
6 g) 9) ;h)[ a)amatriznãoéinvertível;b) f)amatriznãoéinvertível;g) 10) a)(0,0, 1);b)(4,0, 3,1) 11) a)det e)det [ h)det ;i) 2 10 ;j) 2 10 ;k) 2 10 ;l) [ [ 1 1 = 3;b)det =30;f)det =0;i)det [ 1 ;c) =0;c)det ;h) ;d) =0;g)det =18 Apenasasmatrizesdasalíneasb),f)eh)nãosãoinvertíveis 12) a)5;b)10;c)5;d)10 13) δγ 14) a) 54 b)b) 128;c) 2;d)1 16)λ n 18) a) 9;b) 5;c)16;d)6;e)15;f) 45 19) ;e) =9;d)det =3; =1; ; 6
7 a) 20) ;b) a)( 9,5, 2);b)(1,0, 1) ;c) Espaços Lineares Exercício21 ConsidereemR 2 oconjuntos={(1,1),(2,2)} a)mostrequeovector( 5, 5)écombinaçãolineardosvectoresS b)mostrequeovector(1,0)nãoécombinaçãolineardosvectoress c)oconjuntos gerar 2? d)determineaformageraldosvectores(a,b) L(S) Exercício22 ConsidereemR 3 oconjuntos={(1,1,1),(0,1,1),(1,2,2)} a)mostrequeovector(2,3,3)écombinaçãolineardosvectoress b)mostrequeovector(0,0,1)nãoécombinaçãolineardosvectoress c)oconjuntos gerar 3? d)determineaformageraldosvectores(a,b,c) L(S) Exercício23 SendoAumamatrizcommlinhas,mostrequeascolunasdeAgeramR m seesóse acaracterísticadeaéigualam Exercício24 Mostre,combasenoexercícioanterior,queemR m qualquerconjuntocommenosde mvectoresnãogerar m Exercício25 DecidaquaisdosseguintesconjuntosgeramR 3 : a){(1,3,3),(4,6,4),( 2,0,2),(3,3,1)}; b){(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}; c){(1,4,2),(0,0,0),( 1, 3, 1),(0,1,1)} d){(26,47,29),(123,0,498)} Exercício26 DecidaquaisdosseguintesconjuntosgeramR 4 : a){(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1, 1)}; b){(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}; c){(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,1,0,1)}; d){(11, 12,1,1),(45,17,1,20),(21,3,41,122)} Exercício27 Calculeoúnicovalordeaquefazcomque nãosejaumconjuntogeradorder 3 S={(1,1,1),(1,0,1),(0,2,0),(3,2,a)} 7
8 Exercício28 Considere em R 3 o conjunto S = {(1,0,1),(0,1,a),(1,1,b),(1,1,1)} Calcule o únicopar(a,b) R 2 quefazcomques nãogerer 3 Exercício29 ConsidereemR 4 oconjuntos={(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,0,0),(1,1,1,a)} CalculeoúnicovalordeaquefazcomqueS nãogerer 4 Exercício 30 Mostre que os seguintes conjuntos de vectores são linearmente dependentes: a)emr 3, v 1 =(1,1,2), v 2 =(2,2,4); b)emr 3, v 1 =(1,1,1), v 2 =(3,3,3), v 3 =(0,1,1); c)emr 4, v 1 =(0,1,0,1), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(2,3,2,3); d)emr 4, v 1 =(0,1,0,1), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(2,0,1,3), v 4 =(0,0,0,0) Exercício 31 Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes: a)emr 4, v 1 =(1,1,0,0), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(0,0,1,1), v 4 =(0,1,0,1) b)emr 3, v 1 =(1,1,2), v 2 =(1,2,1), v 3 =(3,1,1) Exercício32 MostrequeascolunasdeumamatrizAsãolinearmenteindependentesseesósea característicadeaéigualaonúmerodecolunasdea Exercício33 Mostre, combaseno exercício anterior, que emr m qualquer conjunto commaisde m vectores é linearmente dependente Exercício 34 Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: a)emr 3,{(1,1,1),(1,2,1)}; b)emr 3,{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}; c)emr 3,{(1,1,1),(2,2,0),(0,0,1)}; d)emr 3,{(2,46,6),(23,2, 123),(1,23,1),(1,10,1)}; e)emr 4,{(1,0, 1,0),(4,0, 3,1),(2,0, 1,1)}; f)emr 4,{(1,0, 1,0),(4,0, 3,1),(2,1, 1,1)}; g)emr 4,{(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}; h)emr 4,{(1,23,1,14),(1,12,1,0),(24, 1,0,0),(11,19,17, 123),(101,119,1,1)} Exercício35 CalculeoúnicovalordeaquefazcomqueosvectoresdeR 4 sejam linearmente dependentes v 1 =(1,0,0,2), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(2,0,1,a) Exercício36 ConsidereemP 2 (espaçodospolinómioscomgrau 2)oconjuntoS={1+t,1 t 2 } a)mostrequeovectort+t 2 écombinaçãolineardosvectoresdes b)mostrequeovectortnãoécombinaçãolineardosvectoresdes c)oconjuntos gerap 2? d)determineaformageraldosvectoresp(t) L(S) 8
9 Exercício 37 Mostre que os polinómios geramp 2 p 1 (t)=1+2t t 2,p 2 (t)=3+t 2,p 3 (t)=5+4t t 2,p 4 (t)= 2+2t t 2 Exercício 38 Considere espaço vectorial das funções reais de variável real Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é linearmente dependente a) { 2,sin 2 (t),cos 2 (t) } b) { cos(2t),sin 2 (t),cos 2 (t) } c) {e t,e t,cosh(t)} d) { 1,t,t 2,(t+1) 2} Exercício39 Noespaçovectorialdasfunçõesreaisdevariávelrealconsiderenvectoresf 1 :R R, f 2 :R R,,f n :R R Mostrequeseexistiremnúmerost 1,t 2,,t n Rtaisque f 1 (t 1 ) f 2 (t 1 ) f n (t 1 ) f 1 (t 2 ) f 2 (t 2 ) f n (t 2 ) 0, f 1 (t n ) f 2 (t n ) f n (t n ) entãoosvectoresf 1,f 2,,f n sãolinearmenteindependentes Exercício 40 Mostre, recorrendo ao exercício anterior, que os conjuntos de vectores { 1,t,e t } e {sin(t),cos(t),tcos(t)} sãolinearmenteindependentes Sugestão: noprimeirocasofaçat 1 =0,t 2 =1,t 3 = 1,nosegundo façat 1 =0,t 2 =π/2,t 3 =π Soluções 22) c)s nãogerar 3 ;d)l(s)={(a,b,c) R 3 :c b=0}={(a,c,c):a,c R} 25) a)s nãogerar 3 ;b)s gerar 3 ;c)s nãogerar 3 ;d)s nãogerar 3 26) a)s gerar 4 ;b)s gerar 4 ;c)s nãogerar 4 ;d)s nãogerar 4 27)a=3 28)(a,b)=(0,1) 29)a=1 31) a) Linearmente dependentes; b) Linearmente independentes 9
10 34) a) Linearmente independentes; b) Linearmente independentes; c) Linearmente dependentes; d) Linearmente dependentes; e) Linearmente dependentes; f) Linearmente independentes; g) Linearmente independentes; h) Linearmente dependentes 35)a=2 36) c)s nãogerap 2 ;d)l(s)={c b+bt+ct 2 :b,c R 2 } Bases e dimensão Exercício41 Tendoemcontaosexercícios23e32, mostrequeascolunasdeumamatrizacom mlinhasconstituemumabaseder m seesóseaéumamatrizinvertível Exercício42 MostrequeemR m quaisquermvectoreslinearmenteindependentesconstituemuma baseder m MostrequeemR m quaisquermgeradoresconstituemumabaseder m Exercício43 MostrequequalquerbasedeR m temmvectores Exercício44 DeterminequaisdosseguintesconjuntossãobasesdeR 2 : a){(1,0),(0,1)}; b){(1,1),(0,3)}; c){(1,0),(0,3),(2,5)}; d){(1,2)}; e){(1,1),(0,0)} Exercício45 DeterminequaisdosseguintesconjuntossãobasesdeR 3 : a){(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}; b){(1,1,1),(1,0,1),(1,2,1)}; c){(3,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,3,5)} d){(1,1,1),(2,2,0)} Exercício46 DeterminequaisdosseguintesconjuntossãobasesdeR 4 : a){(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,1,0),(2,1, 1,0)}; b){(1,3,0,0),(1,1,3,1),(2,2,3,2),(2,3,3,2),(2,4,1,2)}; c){(2,0,0,2),(1,1,0,0),(0,0,2,3),(1,2,1,2)}; d){(2,0,0,2),(1,1,0,0),(1,2,1,2)} Exercício47 SejaB={ v 1, v 2 }abaseder 2 constituídapelosvectores v 1 =(1,0)e v 2 =(1,1) 10
11 a)qualéovectorder 2 quenestabasetemcoordenadas(2,2)? b)calculeascoordenadasdovector(3,5)nestabase c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule ascoordenadasdeumvector(a,b) R 2 nestabase Exercício48 SejaB={ v 1, v 2, v 3 }abaseder 3 constituídapelosvectores v 1 =(2,0,0), v 2 =(1,1,0)e v 3 =(1,1,1) a)qualéovectorder 3 quenestabasetemcoordenadas(0,3,5)? b)calculeascoordenadasdovector(2,0,1)nestabase c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule ascoordenadasdeumvector(a,b,c) R 3 nestabase Exercício49 SejaB={ v 1, v 2, v 3 }osubconjuntodep 2 constituídopelospolinómios v 1 =1+t, v 2 =1+2te v 3 =t 2 a)mostrequebéumabasedep 2 b)qualéopolinómioquenestabasetemcoordenadas(1,3, 2)? c)calculeascoordenadasdovector2+2t t 2 nestabase d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule ascoordenadasdeumpolinómioa+bt+ct 2 nestabase Exercício 50 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, identificando osquesãosubespaçoslinearesder 2 : a)s={(x,y) R 2 :x=0}; b)s={(x,y) R 2 :x+y=0}; c)s={(x,y) R 2 :x+y=0ex y=0}; d)s={(x,y) R 2 :x+y=1}; e)s={(x,y) R 2 :x 2 +y 2 =1} Exercício 51 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, identificando osquesãosubespaçoslinearesder 3 : a)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}; b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=1} c)s={(x,y,z) R 3 :x+y=0ex y+2z=0}; d)s={(x,y,z) R 3 :x+y=1ex y+2z=0}; e)s={(x,y,z) R 3 :x 2 +y 2 +z 2 =1}; f)s={(x,y,z) R 3 :xyz=0} 11
12 Exercício 52 Para cada uma das seguintes matrizes, calcule bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo Calcule ainda a característica e a nulidade: a) [ 1 0 [ [ b) c) d) e) f) g) h) i) Exercício 53 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços lineares: a)s={(x,y) R 2 :x+y=0}; b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+2z=0}; c)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0ex+y+2z=0}; d)s={(x,y,z,w) R 4 :x+y+z+w=0ex+y+2z=0}; e)s=l{(1,1),(2,1),(1,2)}; f)s=l{(1, 1,1),(1,1,3),(0,1,1)}; g)s=l{(1,4, 2,3),(3,6,0,3),(3,4,2,1)} Exercício54 MostrequeseU ev sãosubespaçosdeumespaçolineare,entãotambému V é umsubespaçodee MostreaindaqueU V éumsubespaçodee seesóu V ouv U Exercício55 MostrequeseU ev sãosubespaçosdeumespaçolineare,entãosubconjunto éomenorsubespaçodee quecontému V U+V def = { u + v : u U e v V} Exercício56 CalculeumabaseeadimensãodecadaumdosseguintessubespaçosdeR 3 : a)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0} {(x,y,z) R 3 :x+y 3z=0}; b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0} L{(1,1,1),(0,1,1)}; c)s=l{(1,0,0),(0,0,1)} L{(1,1,1),(0,1,1)}; d)s=l{(1,0,0),(0,0,1)}+l{(1,1,1),(0,1,1)}; e)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}+l{(1,1,1),(0,1,1)}; f)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}+{(x,y,z) R 3 :x+y 3z=0} Exercício57 ConsidereoespaçolinearP 3 (polinómioscomgraumenorouiguala3) 12
13 a)mostrequeoconjunto{p(t) P 3 :p(0)=0}éumsubespaçolinear dep 3 Calculeumabaseparaestesubespaço b)mostrequeoconjunto{p(t) P 3 :p(1)=0}éumsubespaçolinear dep 3 Calculeumabaseparaestesubespaço c)mostrequeoconjunto{p(t) P 3 :p(1)=p(0)}éumsubespaçolinear dep 3 Calculeumabaseparaestesubespaço Exercício 58 No espaço linear V das funções reais de de variável real duas vezes diferenciáveis, considere o subconjunto S={f V :f 2f +f =0} a)mostreques éumsubespaçolineardev b)mostrequeoconjunto{e t,te t }éumabasedes Sugestão: mostrequesef S, entãof(t)e t éumpolinómiocomgrau 1 c)mostreque,dadosaeb R,existeumaeumasófunçãof S talquef(0)=a ef (0)=b Sugestão: tenhaemcontaqueoconjunto{e t,te t }éumabasedes Soluções 45) a)ébaseder 3 ;b)nãoébaseder 3 ;c)nãoébaseder 3 ;d)nãoébaseder 3 46) a)nãoébaseder 4 ;b)nãoébaseder 4 ;c)ébaseder 4 ;d)nãoébaseder 4 47) a)(4,2);b)( 2,5);c)(a b,b) 48) a)(8,8,5);b)(1, 1,1);c) ( 1 2 a 1 2 b,b c,c) 49) b)4+7t 2t 2 ;c)(2,0, 1);d)(2a b,b a,c) 50) a)ésubespaçoder 2 ;b)ésubespaçoder 2 ;c)ésubespaçoder 2 ;d)nãoésubespaço der 2 ;e)nãoésubespaçoder 2 51) a) É subespaço de R 3 ; b) Não é subespaço de R 3 ; c) É subespaço de R 3 ; d) Não é subespaçoder 3 ;e)nãoésubespaçoder 3 ;f)nãoésubespaçoder 3 53) a){( 1,1)} ébasede S, logodim(s)=1; b){( 1,1,0),( 2,0,1)} ébasedes, logo dim(s)=2;c){( 1,1,0)}éumabasedeS,logodim(S)=1;d){( 1,1,0,0),( 1, 1,1,1)} 13
14 ébasedes,logodim(s)=2 e){(1,1),(1,2)}ébasedesedim(s)=2;f){(1, 1,1),(1,1,3)} ébasedes,logodim(s)=2;g){(1,4, 2,3),(3,6,0,3)}ébasedeS,logodim(S)=2; 56) a){( 1,1,0)}ébasedeS,logodim(S)=1;b){( 2,1,1)}ébasedeS,logodim(S)=1; d){(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1)}ébasedes,logodim(s)=3 57) a){t,t 2 }éumabasedes;b){t 1,t 2 1}éumabasedeS;c){1,t 2 t}éumabase des Tranformações Lineares Exercício 59 Determine quais das seguintes transformações são lineares: a)t :R 2 R 2,T(x,y)=(x,y); b)t :R 2 R 2,T(x,y)=(x+1,y); c)t :R 2 R 2,T(x,y)=(cos(θ)x sin(θ)y,sin(θ)x+cos(θ)y),comθ R; d)t :R 2 R 2,T(x,y)=(2x 2 +xy,x); e)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(2x+y,x+2y,x+2y+z); f)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x+3,x+2y+z,y 4z); g)t :R 4 R 2,T(x,y,z,w)=(2x+y z+w,x+y 3z); Exercício60 ConsidereatransformaçãolinearT :R 2 R 2 definidaport(x,y)=(2x+y,x+2y) CalculearepresentaçãomatricialdeT nabaseb={ v 1, v 2 }quando: a) v 1 =(1,0), v 2 =(0,1); b) v 1 =(0,2), v 2 =(2,0); c) v 1 =(1,1), v 2 =(1,2) Exercício61 ConsidereatransformaçãolinearT :R 3 R 3 definidapor T(x,y,z)=(x+y,x+z,z+y) CalculearepresentaçãomatricialdeT nabaseb={ v 1, v 2, v 3 }quando: a) v 1 =(1,0,0), v 2 =(0,1,0), v 3 =(0,0,1); b) v 1 =(0,2,0), v 2 =(0,0,2), v 3 =(2,0,0); c) v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,1,1) 14
15 Exercício62 ConsidereatransformaçãolinearT :R 3 R 2 definidapor T(x,y,z)=(2x+y,z+3y) CalculearepresentaçãomatricialdeT nasbasesb 1 ={ u 1, u 2, u 3 }eb 2 ={ v 1, v 2 }quando: a) u 1 =(1,0,0), u 2 =(0,1,0), u 3 =(0,0,1), v 1 =(1,0), v 2 =(0,1); b) u 1 =(0,2,0), u 2 =(0,0,2), u 3 =(2,0,0), v 1 =(1,0), v 2 =(0,1); c) u 1 =(1,0,0), u 2 =(1,1,0), u 3 =(1,1,1), v 1 =(1,1), v 2 =(1,2); d) u 1 =(1,0,0), u 2 =(0,1,0), u 3 =(0,0,1), v 1 =(1,1), v 2 =(1,2) Exercício63 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada por [ Calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada: a)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(0,2), v 2 =(2,0); b)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(1,1), v 2 =(1,2) Exercício64 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada por calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada: a)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(0,2,0), v 2 =(0,0,2), v 3 =(2,0,0); b)arepresentaçãomatricialdet nabase v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,1,1) Exercício65 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada por [ CalculeT(x,y) Exercício66 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base v 1 = (1,1), v 2 = (1,2) é representadapor [ CalculeT(x,y) 15
16 Exercício67 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada por CalculeT(x,y,z) Exercício68 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearque,nabase v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,1,1)érepresentadapor CalculeT(x,y,z) Exercício69 Calculebasesparaoespaçonuloeparaaimagemdecadaumadas seguintestransformações lineares a)t :R 2 R 2,T(x,y)=(2x+y,2x+y); b)t :R 2 R 2,T(x,y)=(x+y,x y); c)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x+y+z,2x+2y+2z,y z); d)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x+2y z,2x+4y 2z, x 2y+z); e)t :R 3 R 3,T(x,y,z)=(x z,x+2z,y+3z); f)t :R 3 R 2,T(x,y,z)=(x z,y+z); g)t :R 3 R 2,T(x,y,z)=(2x+y 3z, 6x 3y+9z); h)t :R 2 R 3,T(x,y)=(x+y,x y,x); i)t :R 2 R 3,T(x,y)=(2x+y,4x+2y,0); Exercício70 Seja T :R 2 R 2 a transformação linear que na base v 1 =(1,1), v 2 =(1, 1) é representadapelamatriz [ CalculebasesparaoespaçonuloeparaaimagemdeT Exercício71 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabase é representada pela matriz v 1 =( 1,1,1), v 2 =(1, 1,1), v 3 =(1,1, 1) CalculebasesparaoespaçonuloeparaaimagemdeT 16
17 Exercício72 SejaT :R n R m umatransformaçãolineareaamatrizquerepresentat nasbases canónicasder n er m Comenteasseguintesafirmações: a)adimensãodonúcleodet coincidecomanulidadedea; b)t éinjectivaseesóseanulidadedeaéigualazero; c)t éinjectivaseesóseacaracterísticadeacoincidecomonúmero decolunasdea; d)adimensãodaimagemdet coincidecomacaracterísticadea; e)t ésobrejectivaseesóacaracterísticadeacoincidecomonúmero delinhasdea Exercício73 SejaT :R 3 R 2 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(x+y,x+y z) a)calculeamatrizquerepresentat nabasecanónica b)calculeumabaseparaonúcleodet AtransformaçãoT éinjectiva? c)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? d)resolvaaequaçãot(x,y,z)=(1,1) e)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b) é impossível? f)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b) é possível e determinada? Exercício74 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada pela matriz a)calculeumabaseparaonúcleodet T éinjectiva? b)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? c)resolvaaequaçãot(x,y,z)=(3,3,0) d)existealgumvector(a,b,c) R 3 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c) é impossível? e)existealgumvector(a,b,c) R 3 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c) é indeterminada? Exercício75 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base v 1 = (1,1), v 2 = (1,0) é representadapor [
18 a)calculeumabaseparaonúcleodet T éinjectiva? b)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? c)resolvaaequaçãot(x,y)=(3,2) d)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y)=(a,b) é impossível? e)existealgumvector(a,b) R 2 paraoqualaequaçãot(x,y)=(a,b) é possível e determinada? Exercício76 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabase v 1 =(1,1,1), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,0,0)érepresentadapor a)calculeumabaseparaonúcleodet T éinjectiva? b)calculeumabaseparaaimagemdet T ésobrejectiva? c)mostrequeequaçãot(x,y,z)=(2,4,0)nãotemsoluções e)existealgumvector(a,b,c) R 3 paraoqualaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c) é indeterminada; Exercício77 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y)=(x+y,x+2y) a)calculeamatrizquerepresentat nabasecanónica b)mostrequet ébijectivaecalculet 1 (x,y) c)resolvaaequaçãolineart(x,y)=(1,1) Exercício78 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(x+y+z,x+2y 4z,z) a)calculeamatrizquerepresentat nabasecanónica b)mostrequet ébijectivaecalculet 1 (x,y,z) c)resolvaaequaçãolineart(x,y,z)=(1,1,2) Exercício79 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabase v 1 =(1,1,1), v 2 =(1,1,0), v 3 =(1,0,0)érepresentadapor a)mostrequet ébijectivaecalculet 1 (x,y,z) b)resolvaaequaçãolineart(x,y,z)=(1,2,1) 18
19 Exercício80 SejaT :P 2 P 2 atransformaçãolineardefinidapor T(p(t))=p (t) 2p(t) a)calculeamatrizquerepresentat nabase{p 1 (t),p 2 (t),p 3 (t)}com p 1 (t)=1,p 2 (t)=tep 3 (t)=t 2 b)mostrequet ébijectiva,ecalculeamatrizquerepresentat 1 namesma base ConcluaqueT 1 (q(t))= 1 2 q(t) 1 4 q (t) 1 8 q (t),paraqualquerq(t) P 2 c)resolva,emp 2,aequaçãolinearp (t) 2p(t)=1+t+t 2 Exercício81 SejaT :P 2 P 2 atransformaçãolineardefinidapor T(p(t))=t 2 p (t) 2p(t) a)calculeamatrizquerepresentat nabase{p 1 (t),p 2 (t),p 3 (t)}com p 1 (t)=1,p 2 (t)=t,p 3 (t)=t 2 b)calculeumabaseparan(t)econcluaquet nãoéinjectiva nem sobrejectiva c)resolva,emp 2,aequaçãolineart 2 p (t) 2p(t)=1 Exercício 82 No espaço linear V das funções reais de de variável real duas vezes diferenciáveis, considereatransformaçãolineart :V V definidaport(f)=f 2f +f a)recorraaoexercício58,paraencontrarumabaseparan(t) b)sabendoquef(t) 1éumasoluçãodaequaçãolinearT(f)=1,calcule aúnicasoluçãodamesmaequaçãoqueverificaf(0)=f (0)=0 Soluções 60) [ 2 1 a) ) [ a) ) [ 2 1 a) 1 2 [ 2 1 ;b) 1 2 [ ;b) [ 3 3 ;b) 0 1 [ 3 3 ;c) 0 1 [ ;c) [ ;d)
20 64) a)b= ;b)b= 65)T(x,y)=(3x+2y,x+2y) 66)T(x,y)=(4x,4x+y) )T(x,y,z)=(x+2y+z,x,y+2z) 68)T(x,y,z)=(2x+y,x+z,y+z) 69) a){(1, 2)}ébasedeN(T)e{(1,1)}ébasedeI(T); b) Tem-se N(T) = {0}, logo é base de N(T) Uma base para I(T) pode ser {(1,1),(1, 1)}; c) Tem-se N(T) = {( 2z,z,z):z R}, logo {( 2,1,1)} é base de N(T) Uma base parai(t)podeser{(1,2,0),(1,2,1)}; d) Tem-se N(T) = {( 2y,y,0):z R}, logo {( 2,1,0)} é base de N(T) Uma base parai(t)podeser{(1,2, 1),( 1, 2, 1)}; e)tem-sen(t)={0},logo ébaseden(t) UmabaseparaI(T)podeser {(1,1,0),(0,0,1),( 1,2,3)}; f)tem-sen(t)={(z, z,z):z R},logo{(1, 1,1)}ébasedeN(T) Umabasepara I(T)podeser{(1,0),(0,1)}; g)tem-sen(t)= { ( 3 2 z 1 2 y,y,z):y,z R},logo { ( 1 2,1,0),(3 2,0,1)} ébaseden(t) UmabaseparaI(T)podeser{(2, 6)}; h) Tem-se N(T) = {0}, logo é base de N(T) Uma base para I(T) pode ser {(1,1,1),(1, 1,0)}; i)tem-sen(t)= { ( 1 2 y,y):y R},logo { ( 1 2,1)} ébaseden(t) Umabasepara I(T)podeser{(2,4,0)} 70){(0,1)}ébasedeN(T),e{(5,1)}ébasedeI(T) 71){( 1,0,1)}ébasedeN(T),{(1,2,1),(0,2,0)}ébasedeI(T) 73) [ a) b){( 1,1,0)}ébasedeN(T) AtransformaçãoT nãoéinjectivapoisdimn(t) 0 c){(1,1),(0, 1)}ébasedeI(T) AtransformaçãoT ésobrejectivapoisdimi(t)=2= dimr 2 d)oconjuntodassoluçõesén(t)+(1,0,0)={(1 y,y,0):y R} 20
21 e) Não existe porque T é sobrejectiva f)comot ésobrejectivaenãoinjectiva,aequaçãot(x,y,z)=(a,b)épossíveleindeterminada,paraqualquer(a,b) R 2 74) a)tem-sen(t)={(0,0,0)},logot éinjectiva b) Uma base para I(T) é {(1,2,0),(2,1,0),(2,4,2)}, logo I(T) = R 3 pelo que T é sobrejectiva c)aúnicasoluçãodaequaçãoé( 2,1,3/2) d)ee)comot ébijectivaaequaçãot(x,y,z)=(a,b,c)épossíveledeterminadapara qualquer(a,b,c) R 3 75) a){(1,2)}ébaseden(t),logot nãoéinjectiva b)umabaseparai(t)é{(6,4)},peloquet nãoésobrejectiva c)oconjuntodassoluçõesé{(0, 1)}+N(T) d)ee)comot énãoinjectivanemsobrejectiva,aequaçãot(x,y)=(a,b)éimpossível ouindeterminadaparaqualquer(a,b) R 2 76) a){(1,1,2)}ébaseden(t),logot nãoéinjectiva b)umabaseparai(t)é{(8,6,2),( 2,0,0)},peloqueT nãoésobrejectiva d)ee)comot énãoinjectivanemsobrejectiva,aequaçãot(x,y,z)=(a,b,c)éimpossívelouindeterminada,paraqualquer(a,b,c) R 2 77) [ 1 1 a) ;b)t (x,y)=(2x y, x+y);c)comot ébijectiva,aúnicasoluçãoda equaçãoéovector(x,y)=t 1 (1,1)=(1,0) 78) a) ;b)t 1 (x,y,z)=(2x y 6z, x+y+5z,z);c)comot ébijectiva, aúnicasoluçãodaequaçãoéovector(x,y,z)=t 1 (1,1,2)=( 11,10,2) 79) a)t 1 (x,y,z)=( x+2y,y,z);b)aúnicasoluçãodaequaçãoé(3,2,1) 80) a) ;b) ;c) 1 t 1 2 t2 21
22 81) a) ;c)oconjuntodassoluçõesé { 1 2 +a 3t 2 :a 3 R } Valores e vectores próprios Exercício83 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x,y) = (x+2y,2x+y) Considereosvectores v 1 =(2,1), v 2 =( 1,1), v 3 =(2,3)e v 4 =(4,4),eidentifiqueosquesão vectoresprópriosdet DigaaindaquaissãoosvaloresprópriosdeT Exercício84 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(0,y+3z,3y+z) Considere ainda os vectores v 1 = (2,1,1), v 2 = (0, 1,1), v 3 = (1,0,0), v 4 = ( 1,1,3) e v 5 =(0,3,3),eidentifiqueosquesãovectoresprópriosdeT Digaquaissãoosvaloresprópriosde T Exercício85 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(x+2y+2z,2x+y+2z,2x+2y+z) Considere os vectores v 1 = (2,1,1), v 2 = (1,1,1), v 3 = ( 2,0,2), v 4 = ( 1,1,3) e v 5 = ( 1,1,0),eidentifiqueosquesãovectoresprópriosdeT QuaissãoosvaloresprópriosdeT? Exercício86 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x,y) = (x+y,x+y) Mostre que os vectores v 1 = (1, 1) e v 2 = (1,1) determinam uma base de R 2 constituída por vectores próprios de T Calcule a representação matricial de T nesta base Exercício87 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(y,y,y) Mostreque os vectores v 1 =(1,0,0), v 2 =(1,1,1) e v 3 =(0,0,1) determinamuma base de R 3 constituída por vectores próprios de T Calcule a representação matricial de T nesta base Exercício88 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolineardefinidaport(x,y)=(x+2y,3y) a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumabaseder 2 constituídaporvectoresprópriosdet Qual é a representação matricial de T nesta base? 22
23 Exercício89 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada pela matriz [ 2 3 A= 3 2 a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumamatrizdemudançadebases eumamatrizdiagonal DtaisqueD=S 1 AS Exercício90 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 2 érepresentada pela matriz [ 2 1 A= 0 2 a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)mostrequenãoexisteumabaseder 2 constituídaporvectoresprópriosdet Exercício91 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(y+z,2y+z,y+2z) a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumabaseder 3 constituídaporvectoresprópriosdet Qual é a representação matricial de T nesta base? d)designandoporaamatrizquerepresentat nabasecanónicader 3, determine umamatrizdemudançadebases eumamatrizdiagonaldtaisqued=s 1 AS Exercício92 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x,y,z)=(3x,2y+z,2z) a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)mostrequenãoexisteumabaseder 3 constituídaporvectoresprópriosdet Exercício93 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolinearquenabasecanónicader 3 érepresentada pela matriz A=
24 a) Calcule o polinómio característico de T; b)calculeosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet; c)determineumamatrizdemudançadebases eumamatrizdiagonald taisqued=s 1 AS Exercício 94 Considere as matrizes: [ 1 1 A= 0 2,B= [ ec= [ MostrequetodassãodiagonalizáveisecalculeA n,b n ec n,paran N Exercício 95 Considere as matrizes: [ 1 1 A= 1 1 [ 2 1 eb= 4 2 Mostre que as matrizes A e B(não sendo diagonalizáveis enquanto matrizes reais) são diagonalizáveis enquantomatrizescomplexas CalculeA n eb n,paran N Exercício96 Mostre que se uma matriz A C 2 2 não é diagonalizável, então existe uma matriz demudançadebases C 2 2 talque [ [ λ 1 λ A=S S 0 λ 1 emaisgeralmentea n n λ n 1 =S 0 λ n S 1, ondeλdesignaoúnicovalorprópriodea Exercício97 CombasenoexercícioanteriorcalculeA n eb n com [ [ A= eb= Exercício 98 Considere o sistema de equações diferenciais lineares [ [ [ x1 (t) x A = 1 (t) 2 1 x 2 (t) x coma= 2(t) 1 2 Decidaquaisdosseguintesparesdefunçõessãosoluçõesdestesistema: ( e t,e t ),(e 3t,e 3t ),(e t,e 3t ) 24
25 Exercício99 ConsidereumamatrizA R 2 2 edesignepors A oconjuntodassoluçõesdosistema [ [ x1 (t) x A = 1 (t) x 2 (t) x 2 (t) a) Mostre que S A com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar tem estrutura de espaço linear [ λ1 0 b)mostrequesed=,entãoosparesdefunções(e 0 λ λ1t,0)e(0,e λ2t )constituem 2 umabasepara S D,eportanto S D = {( c 1 e λ 1t,c 2 e λ 2t ) :c 1,c 2 R } Sugestão: mostre que se (x 1 (t),x 2 (t)) S D então x 1 (t)e λ1t e x 2 (t)e λ 2t são funções constantes [ λ 1 c)mostrequese J=,entãoosparesdefunções (e 0 λ λt,0)e (te λt,e λt )constituem umabasepara S J,eportanto S J = {( c 1 e λt +c 2 te λt,c 2 e λt) :c 1,c 2 R } Sugestão: mostrequese (x 1 (t),x 2 (t)) S J então x 2 (t)e λt éumafunçãoconstantee x 1 (t)e λt éumpolinómiocomgrau 1 d)mostrequese S éumamatrizdemudançadebasee B=S 1 AS,entãotem-se: { [ } y1 (t) S A = S :(y y 2 (t) 1 (t),y 2 (t)) S B Exercício 100 Considere a matriz A= [ a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D eumamatrizdemudançadebases taisquea=sds 1 b) Resolva o sistema de equações diferenciais { 2x1 (t)+x 2 (t)=x 1 (t) x 1 (t)+2x 2 (t)=x 2(t) Exercício 101 Considere a matriz A= [
Exercícios de Álgebra Linear
Exercícios de Álgebra Linear 2 o Semestre 2006/2007 João Ferreira Alves Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
IST-1 o Semestrede2011/12 LEGM, MEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA 4- Determinantes Vectores e valores próprios 1 1 Determinantes Pode-se definir deta, o determinante de uma matriz A M n n (K), como
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
IST-1 o Semestrede011/1 LEGM, MEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA 5- Ortogonalidade 1 1 Produto interno e ortogonalidade Dadosu,v R n,u=(u 1,...,u n ),v=(v 1,...,v n )define-seoprodutointerno(usual)
Leia maisficha 3 espaços lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
IST-1 o Semestrede2011/12 LEGM MEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA 3- Transformações Lineares 1 1 Linearidade Transformações lineares são funções T :E 1 E 2 entredoisespaçosvectoriaise 1 ee 2 (sobrerouc)comasseguintescaracterísticas:
Leia mais11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de 2003-12-08
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark LERCI LEGI LEE o semestre 23/4 - semana de 23-2-8. Diga justificando quais dos seguintes ternos
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
IST-1 o Semestrede2011/12 LEGM, MEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA 2- Espaços Vectoriais 1 1 CombinaçõeslinearesdevectoresdeR n PorR n entenderemosoconjuntodetodasassequênciasordenadasdennúmerosreais
Leia maisExercícios de Álgebra Linear 2 o Semestre 2008/2009 LEIC, LEGM, LMAC, MEFT, MEBiom e MEC
Exercícios de Álgebra Linear o Semestre 008/009 LEIC, LEGM, LMAC, MEFT, MEBiom e MEC João Ferreira Alves/Ricardo Coutinho Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Exercício Resolva por eliminação de Gauss
Leia maisNOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga
TRANSFORMAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Estudaremos um tipo especial de função, onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto
Leia maisÁlgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013
Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante
Leia mais3 a LISTA DE EXERCÍCIOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR I rofs: Enaldo Vergasta e Glória Márcia a LISTA DE EXERCÍCIOS Sejam u (x, y, z e v (x, y, z vetores do R Verifique se cada uma das
Leia mais0.1 Lista: Autovalores, autovetores
0. Lista: Autovalores, autovetores (Prof. Patricia, Katiani, Graciela). Encontre os autovalores das transformações lineares dadas: (a) T : R 2 R 2 tal que T(x,y) = (2y,x). (b) T : R 2 R 2 tal que T(x,y)
Leia maisRecordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.
Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos
Leia mais4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Produto Interno Álgebra Linear - 2 o Semestre /2005 LEE, LEGI, LEIC-TP, LERCI
4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Produto Interno Álgebra Linear - 2 o Semestre - 2004/2005 LEE, LEGI, LEIC-TP, LERCI Problema 1. Seja u, w um produto interno num espaço linear V. Mostre que i) para qualquer vector
Leia maisInstituto Universitário de Lisboa
Instituto Universitário de Lisboa Departamento de Matemática Exercícios extra de Álgebra Linear Ano Lectivo 204/205 . Sejam A = 0 2 0 0 2 e B = 0 0 0 0. (a) Calcule, se possível, as matrizes AB, BA e B
Leia maisESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais)
Álgebra Linear- 1 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC A Lista 3 (Espaços Lineares) ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais) Notações: Seja A uma matriz e S um conjunto de vetores Núcleo de A: N(A) Espaço das colunas
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais
Leia maisQUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 9/ TÓPICOSDERESOLUÇÃODO o TESTE(DIURNO) QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA. [,]SejamAeB duas matrizes
Leia maisficha 5 transformações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 5 transformações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 5 Notação
Leia maisEspaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15
Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real. Chama-se
Leia mais4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI
4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI Problema 1 Considere a matriz A = 1 0 0 0 2 1 2 0 3 Diga quais dos seguintes
Leia maisTESTE FINAL DE ÁLGEBRA LINEAR 18 de Janeiro de 2017 Instituto Superior Técnico - Engenharia Aeroespacial
TESTE FINAL DE ÁLGEBRA LINEAR 18 de Janeiro de 2017 Instituto Superior Técnico - Engenharia Aeroespacial Nome: Número: O que vai fazer? Só T1+T2 Só T3 T1+T2 e T3 Problema a b c d lalala Problema a b c
Leia maisAula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)
ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado
Leia maisPOLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN.
POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN. Nível Avançado Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares,
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 8 APLICAÇÕES E COMPLEMENTOS Sistemas Dinâmicos Discretos (1) (Problema
Leia maisEXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis
EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003 Funções reais de várias variáveis 1. Faça um esboço de alguns conjuntos de nível das seguintes funções: (a) f (x,y) = 1 + x + 3y, (x,y)
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR. Prefácio 3. Parte 1. Sistemas de equações lineares 4. Parte 2. Matrizes 10. Parte 3.
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR PEDRO MATIAS Conteúdo Prefácio 3 Parte 1. Sistemas de equações lineares 4 Parte 2. Matrizes 10 Parte 3. Determinantes 16 Parte 4. Geometria analítica 18 Parte 5. Espaços lineares
Leia maisLista 6: transformações lineares.
Lista 6: transformações lineares. 1) Diga, justificando, quais das seguintes funções constituem transformações lineares. a) T : R 2 R 2 tal que T (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 3x 1 x 2 ) b) T : R 2 R 2 tal
Leia maisTeste de Recuperação de Álgebra Linear (LEGM, LMAC, MEBiom, MEC, MEFT) 2 o Semestre 2012/ /06/2013-8h
Teste de Recuperação de Álgebra Linear (LEGM, LMAC, MEBiom, MEC, MEFT) 2 o Semestre 2012/2013-12/06/2013-8h 1 o e 2 o testes Questões 1 a 7 (10 valores) Questões 8 a 10 (5 valores) 3 o teste Questão 11
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia mais2.2 Subespaços Vetoriais
32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
Leia mais[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisUniversidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica e Álgebra Linear - GCI004 Assunto: Espaços vetoriais
Leia maisGEOMETRIA Exercícios
GEOMETRIA Exercícios Mestrado em Educação - DMFCUL 00/003 1. Determine a equação da circunferência com centro (, 1 e raio 3.. Determine os pontos de intersecção da recta y = com a circunferência do exercício
Leia maisÁlgebra Linear 1 ō Teste - 16/ 11/ 02 Cursos: Eng. Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Química, Lic. Química
Código do Teste: 105 Álgebra Linear 1 ō Teste - 16/ 11/ 02 Cursos: Eng. Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Química, Lic. Química 1. Para as matrizes A = ( 1 0 3 1 ) B = ( 5 4 1 0 2 1 3 1 ) C = 1 1 1 0 5 1
Leia mais(2008/2009) Espaços vectoriais. Matemática 1º Ano - 1º Semestre 2008/2009. Mafalda Johannsen
Espaços vectoriais Matemática 1º Ano 1º Semestre 2008/2009 Capítulos Características de um Espaço Vectorial Dimensão do Espaço Subespaço Vectorial Combinação Linear de Vectores Representação de Vectores
Leia maisFACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação
Leia maisCapítulo 5: Transformações Lineares
5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................
Leia maisÁlgebra linear algorítmica
Álgebra linear algorítmica S. C. Coutinho Este arquivo reúne as provas do curso álgebra linear algorítmica (MAB 5) oferecido pelo Departamento de Ciência da Computação da UFRJ. Primeira Prova200/. Seja
Leia mais2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N.
2.4. PROJECÇÕES 2. dim(l)=dim(m)+dim(n) Demonstração. Se L=M N, qualquer vector x L se pode escrever de forma única como a soma de um vector x M M e outro vector x N N. 1. Dada uma base de M, x M pode
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Álgebra Linear e Geometria Analítica Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia Universidade do Minho 2005/2006 Engenharia e Gestão Industrial Engenharia Electrónica Industrial e de Computadores
Leia maisAulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear
Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Maio de Índice Parte I (Aulas teóricas e chas de exercícios) Matrizes e sistemas de equações
Leia maisFACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA Exercícios vários. Considere o conjunto C =, e a operação binária definida por a b = min(a, b). O conjunto C é, relativamente
Leia maisSistemas Lineares e Escalonamento
Capítulo 1 Sistemas Lineares e Escalonamento Antes de iniciarmos nos assuntos geométricos da Geometria Analítica, vamos recordar algumas técnicas sobre escalonamento de matrizes com aplicações na solução
Leia maisProblemas de Álgebra Linear
Problemas de Álgebra Linear Curso: Engenharia Aeroespacial o Semestre 203/204 Prof Paulo Pinto http://wwwmathistutlpt/ ppinto/ Conteúdo Sistemas de equações lineares e álgebra matricial Álgebra de matrizes
Leia mais6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
a Lista. Sejam u = ( 4 ) v = ( 5) e w = (a b). Encontre a e b tais que (a)w = u + v (b)w = 5v (c)u + w = u v. Represente os vetores acima no plano cartesiano.. Sejam u = (4 ) v = ( 4) e w = (a b c). Encontre
Leia maisÁlgebra Linear. 8 a Lista: a) Use o processo de ortogonalização de Gram Schmidt para construir uma base ortonormada para W.
Álgebra Linear Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais, Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07 8 a Lista: Nos exercícios em que n~ao se especifica
Leia maisExpansão linear e geradores
Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;
Leia mais6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D
6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também
Leia maisBreve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204
Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO).
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO. PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP OBS: Faça os exercícios sobre
Leia maisMAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018
MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I a Lista de Exercícios - o semestre de 8 Exercícios -8: os espaços V e V 3. Exercícios 9-7: dependência, independência linear, bases. Exercícios 8-48: sistemas lineares.
Leia mais1. Considere a seguinte matriz dos vértices dum triângulo D = 0 2 3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 7 a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2006/07 - aulas práticas de 2006-12-04 e 2006-12-06
Leia maisI. Cálculo Diferencial em R n
Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento
Leia maisLista 8 - Geometria Analítica
Lista 8 - Geometria Analítica Posição Relativa, Distância e Ângulos e paralelo a reta x = y = z 7 1 Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
Leia maisQ1. Considere as bases: der 2 e der 3, respectivamente. Seja T :R 2 R 3 a transformação linear Temos que T(1,2) é igual a: [T] BC = 1 0
Q. Considere as bases: B = { (,),(, ) }, C = { (,,),(,,),(,,) }, der e der, respectivamente. Seja T :R R a transformação linear cuja matriz em relação às bases B e C é: [T] BC =. Temos que T(,) é igual
Leia maisÁlgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto http://www.math.ist.utl.pt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011
Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R Pinto http://wwwmathistutlpt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Conteúdo 1 Matrizes e sistemas lineares 1 11 Álgebra das Matrizes 1 12 Operações
Leia mais0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1.
Nesta prova, se V é um espaço vetorial, o vetor nulo de V será denotado por 0 V. Se u 1,...,u n forem vetores de V, o subespaço de V gerado por {u 1,...,u n } será denotado por [u 1,...,u n ]. O operador
Leia maisLista de exercícios cap. 2
Lista de exercícios cap. 2 Nos problemas de 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 7 II SEMESTRE DE 00 Professores: Flávia, Gustavo e Lana. Suponha que uma força
Leia maisÁlgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa
Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares
Leia maisModelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1
Carlos Alexandre Mello 1 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona
Leia maisGAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Leia maisexercícios de álgebra linear 2016
exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores
Leia maisUNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT
UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS CCT DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT Professora Graciela Moro Exercícios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas
Leia maisIntrodução ao estudo de equações diferenciais
Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações
Leia maisLista de Álgebra Linear Aplicada
Lista de Álgebra Linear Aplicada Matrizes - Vetores - Retas e Planos 3 de setembro de 203 Professor: Aldo Bazán Universidade Federal Fluminense Matrizes. Seja A M 2 2 (R) definida como 0 0 0 3 0 0 0 2
Leia maisMatrizes e Determinantes
Capítulo 1 Matrizes e Determinantes 11 Generalidades Iremos usar K para designar IR conjunto dos números reais C conjunto dos números complexos Deste modo, chamaremos números ou escalares aos elementos
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 17 1. Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de Resolva o sistema abaixo para as incógnitas x e y:
MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2015 1 Determine x em função de u e v na equação 2 x 3 u = 10( x + v 2 Resolva o sistema abaixo para as incógnitas x e
Leia maisLista 8 de Álgebra Linear /01 Produto Interno
Lista 8 de Álgebra Linear - / Produto Interno. Sejam u = (x x e v = (y y. Mostre que temos um produto interno em R nos seguintes casos: (a u v = x y + x y. (b u v = x y x y x y + x y.. Sejam u = (x y z
Leia maisPROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA
Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,
Leia maisAulas práticas de Álgebra Linear
Ficha 3 Aulas práticas de Álgebra Linear Licenciatura em Engenharia Naval e Oceânica Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 1 o semestre 2018/19 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática,
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Sejam u = ( 4 3) v = (2 5) e w = (a b).
Leia maisProblemas de Álgebra Linear
Problemas de Álgebra Linear Cursos: MEBiol e MEBiom o Semestre 208/209 Prof Paulo Pinto http://wwwmathtecnicoulisboapt/ ppinto/ Conteúdo Sistemas de equações lineares e álgebra matricial (2 aulas) Álgebra
Leia maisMétodo de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara
Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método
Leia maisGobooks.com.br. PucQuePariu.com.br
ÁLGEBRA LINEAR todos os conceitos, gráficos e fórmulas necessárias, em um só lugar. Gobooks.com.br PucQuePariu.com.br e te salvando de novo. Agora com o: RESUMO ÁLGEBRA LINEAR POR: Giovanni Tramontin 1.
Leia maisFicha de Trabalho 08 Transformações Lineares. (Aulas 19 a 22).
F I C H A D E R A B A L H O 0 8 Ficha de rabalho 08 ransformações Lineares. (Aulas 19 a ). Produto interno em R n. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em R n : Produto
Leia maisMódulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.
Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios
Leia maisMAT Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de ā Lista de Exercícios
MAT 2458 - Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de 2014 1 ā Lista de Exercícios 1. Verifique se V = {(x, y) x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação
Leia maisLista de exercícios cap. 3. um produto interno no IR²:
Lista de exercícios cap. 3 1) Sejamu = (x, y ) e v = (x, y ). Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no IR²: a) u. v = x x + y y b) u. v = 2x x + 5y y c)u. v = x x + x y + x y + 2y
Leia maisELEMENTOS DE GEOMETRIA Exercícios
ELEMENTOS DE GEOMETRIA Exercícios Mestrado em Matemtica para o Ensino - DMFCUL 004/00. Determine a equação da circunferência com centro (, e raio 3.. Determine os pontos de intersecção da recta y = com
Leia maisA Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br
A Matemática no Vestibular do ITA Material Complementar: Prova 01 c 01, Sergio Lima Netto sergioln@smtufrjbr 11 Vestibular 01 Questão 01: Das afirmações: I Se x, y R Q, com y x, então x + y R Q; II Se
Leia mais5 Transformações Lineares e Matrizes
Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 5 Transformações Lineares e Matrizes 1 Definição Função de em Aplicação que faz corresponder a cada elemento de um conjunto (domínio), denominado
Leia maisComplementos de Análise Matemática
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Ficha prática n o 1 - Cálculo Diferencial em IR n 1. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR, IR 2 e IR 3, determine
Leia maisRELAÇÕES BINÁRIAS Produto Cartesiano A X B
RELAÇÕES BINÁRIAS PARES ORDENADOS Um PAR ORDENADO, denotado por (x,y), é um par de elementos onde x é o Primeiro elemento e y é o Segundo elemento do par A ordem é relevante em um par ordenado Logo, os
Leia mais4 Sistemas de Equações Lineares
Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 4 Sistemas de Equações Lineares 1 Definição Rank ou característica de uma matriz ( ) Número máximo de linhas de que formam um conjunto
Leia maisCorpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade
Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos
Leia mais2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( )
Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Matriz ( ) Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. Ex.: 0 1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. 2 Definição
Leia maisUNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL/TOPOGRÁFICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL/TOPOGRÁFICA REGIMES DIURNO/NOCTURNO - º SEMESTRE - º ANO - 7 / 8 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA EXAME DE ÉPOCA
Leia maisPLANO. Aulas teóricas Gabinete Extensão Email Página pessoal Carlos Sousa (Eq. Prof. Adjunto) Gabinete Extensão Email Página pessoal 0.
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA TOPOGRÁFICA UNIDADE CURRICULAR: ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 1º CICLO - 1º SEMESTRE - 1º ANO - 007/008 PLANO 1.
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisMatemática. Lic. em Enologia, 2009/2010
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Matemática Lic. em Enologia, 009/00 a Parte: Álgebra Linear Vectores em R n e em C n. Sejam u = (, 7,, v = ( 3, 0, 4 e w = (0, 5, 8. Calcule: a 3u 4v b u + 3v
Leia mais1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: x y z
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 657- - VIÇOSA - MG BRASIL a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 8 I SEMESTRE DE Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações
Leia maisATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.
2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades
Leia maisMarília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira
Leia mais