Um Estudo Preliminar do Trattato del Radio Latino: Possíveis Contribuições para a Articulação entre História da Matemática e Ensino.

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1 Um Estudo Preliminar do Trattato del Radio Latino: Possíveis Contribuições para a Articulação entre História da Matemática e Ensino. Nara Di Beo 1 GD5 História da Matemática e Cultura Resumo. O presente trabalho é parte da pesquisa de mestrado desenvolvida junto ao programa de estudos pós-graduados em educação matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, e tem como objetivo analisar e refletir acerca das possibilidades de construção de interfaces entre história da matemática e seu ensino. Nele apresentaremos um documento, em fase de análise, cuja impressão data do século XVI. Intitulado Trattato del Radio Latino e atribuído a Latino Orsini ( ), esse tratado, que foi reimpresso em Roma em 1586, traz a descrição da construção e uso de um instrumento matemático que, conforme apresentação de Ignácio Danti, além de sua precisão, é útil para resolver problemas relativos tanto à agrimensura quanto à astronomia. Apresentaremos um dos usos do instrumento e o conhecimento matemático necessário para realizar tal medida. Palavras-chave: História da matemática. Instrumento matemático. Ensino de matemática. O objetivo central da pesquisa é promover a articulação entre História da Matemática e seu ensino, utilizando para isso um documento original do século XVI, no qual se encontra a descrição da construção e uso de um instrumento matemático o Radio Latino. A partir do estudo desse documento, procuraremos discutir as potencialidades didático-pedagógicas da construção e utilização de um instrumento matemático do século XVI (Dias, Saito, 2009). A pesquisa, que está em fase de desenvolvimento, vem sendo conduzida no sentido de aproximar os conceitos matemáticos envolvidos na construção e uso do instrumento com o contexto da produção e transmissão do conhecimento matemático no século XVI. Neste sentido, convém destacar, que a divulgação desse documento ocorreu em um período no qual se intensificava a demanda por novos métodos matemáticos e experimentais (Dias, Saito, 2009), sobretudo na resolução de problemas relativos à medida de terras, à astronomia e à artilharia. Assim, a reimpressão do documento parece não ter sido por acaso, mas resultado de tais preocupações, já que em sua apresentação destaca-se o fato de ter sido revisado e ampliado com novas operações. Além disso, esse período também se 1 Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), nara.sinpro@uol.com.br, orientador: Prof. Dr. Fumikazo Saito. Apoio: Capes

2 caracterizou pela expansão do comércio com o monopólio das principais rotas comerciais do Mediterrâneo exercido pelas cidades italianas, sobretudo Gênova e Veneza (Pereira, Gioia, 2001), contexto fecundo para o desenvolvimento de instrumentos úteis à navegação, como parece ser o caso do Radio Latino. Seguiremos nossa apresentação com uma breve consideração acerca da importância da História da Matemática no ensino, seguida pela apresentação da estrutura da obra bem como do instrumento, encerrando com a apresentação de um de seus usos. Considerações sobre o uso da História da Matemática no ensino. Para reafirmar a importância da articulação entre História da Matemática e ensino, lançamos mão dos estudos de Miguel (1997). Nestes, buscando reforçar as potencialidades pedagógicas da História da Matemática, o autor apresenta alguns argumentos favoráveis à utilização desse recurso pedagógico, ao mesmo tempo em que elenca outros cuja tendência é apontar para as dificuldades que poderiam impedir a adesão ao mesmo. Entre os argumentos que questionam seu uso, cabe destacar a ausência de literatura adequada assim como a natureza imprópria da literatura disponível. Para o autor, ambos os argumentos ao contrário de constituírem-se como obstáculos para o uso da História da Matemática no ensino, deveriam ser precursores, respectivamente: Da necessidade de constituição de núcleos de pesquisa em história da matemática dos quais façam parte historiadores, matemáticos e educadores matemáticos e outros profissionais que possam contribuir para a elaboração de reconstituições esclarecedoras de épocas, temas, situações e biografias. (MIGUEL, 1997, p 95) Bem como, Do estímulo à continuidade das investigações nesse sentido. Isso porque a existência de lacunas ou silêncios apontados por Byers não se coloca como problema exclusivo aos historiadores da matemática, mas constitui-se como parte integrante do trabalho de qualquer historiador de ofício e, talvez, essas lacunas não sejam impermeáveis às reconstituições. (MIGUEL, 1997, p 95) Relativamente a esses argumentos importa não perder de vista que a História da Matemática quando escrita sob uma perspectiva linear tradicional, conforme nos alertam Bromberg e Saito (2010), mostra a Matemática, não como uma ciência que emerge das necessidades humanas, mas como fruto do desenvolvimento de ideias. Então, para além

3 desses argumentos faz-se necessário, ainda, que a História a ser desvelada por meio da análise do Trattato del Radio Latino, tenha em sua raiz a sociedade como base do processo de construção do conhecimento matemático. (Bromberg, Saito, 2010, p.50) Entre os argumentos dos quais o autor lança mão para reforçar a importância do recurso à História da Matemática no ensino e aprendizagem de matemática, cabe destacar, especialmente pela possibilidade de se ajustar à fundamentação teórica dessa pesquisa, a afirmação de que História constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino de Matemática (Miguel, 1997, p 77). A relevância de tal argumento para esse trabalho encontra-se no fato de que, conforme afirma o autor, ao utilizar a História da Matemática como recurso pedagógico é possível conduzir os estudantes à percepção de que a matemática é uma criação humana e, como consequência dessa maneira de conceber o conhecimento, levá-los a compreender também, b) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; c) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de estímulo ao desenvolvimento das ideias matemáticas; d) as conexões existentes entre matemática e filosofia, matemática e religião, matemática e lógica etc. e) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de ideias e teorias; f) as percepções que os matemáticos tem do próprio objeto da matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo; g) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova. (MIGUEL, 1997, p. 77) Assim, as ações propostas pelo autor em resposta àqueles que admitem a inadequação da História da Matemática como recurso pedagógico, aliadas às condições que seu uso apresenta de oferecer aos estudantes a possibilidade de compreensão do conhecimento como construção humana, vêm ao encontro dos estudos do grupo HEEMa e, certamente, justificam tanto o motivo que desencadeou a escolha do tema, quanto o objetivo proposto, qual seja: possibilitar, por meio do estudo do documento, objeto da pesquisa, que o estudante compreenda seu antepassado como sujeito histórico, além de promover seu desenvolvimento não apenas como herdeiro do conhecimento produzido, mas sabendo-se capaz de reproduzir no pensamento os aspectos históricos da produção do conhecimento humano (Dias, Saito, 2011) e, na mesma medida, reconhecer-se como sujeito da história. E assim, por meio de sua atividade principal (estudar) promover a apropriação da produção humana e humanizar-se (Leontiev, 2001).

4 Finalmente e ainda acerca da importância do recurso à História no ensino, pautamo-nos em Kopnin (1978), uma vez que segundo esse autor para o conhecimento da essência de qualquer objeto é indispensável o conhecimento também de sua história, pois é ela que permite compreender e explicar todas as demandas históricas que implicadas em seu desenvolvimento. Assim, se de um lado a teoria do objeto oferece os indícios para o estudo de sua história, de outro o estudo dessa história enriquece a teoria, ao mesmo tempo em que corrige, completa e a desenvolve. Portanto, para Kopnin e do ponto de vista do materialismo dialético, o homem apreende o objeto na medida em que atua sobre ele e o modifica com seus instrumentos. Nesse sentido, o histórico e o lógico de um objeto completam-se, na medida em que o primeiro corresponde ao processo de mudança do objeto, ou seja, às etapas de seu surgimento e desenvolvimento. Já o outro (o lógico) é o meio pelo qual o pensamento reproduz o processo histórico real, em outras palavras, é o reflexo do histórico por meio de abstrações. Sobre o tratado e seu instrumento Neste texto apresentaremos observações resultantes da análise inicial de um documento publicado em Roma no ano de 1586, intitulado Trattato Del Radio Latino 2. Nele encontramos a descrição da construção e uso de um instrumento matemático atribuído a Latino Orsini ( ). Denominado Radio Latino, este instrumento, tal como consta no frontispício da obra é apresentado pelos editores, Marc Antonio Moretti e Jacomo Brianzi, como um instrumento matemático cuja precisão e facilidade de uso, quando se trata de determinar uma medida ou mesmo a posição de um lugar tanto no céu como na Terra, supera qualquer outro. Os editores também alertam que esse tratado contém, além das operações que lhe são próprias, todas aquelas que podem ser realizadas pela Regra de Ptolomeu bem como com o antigo Radio Astonomico. Convém observar que na época, vários tratados deste gênero foram publicados. O contato com textos da antiguidade tardia, a descoberta de terras além-mar, as mudanças nos métodos da arte militar promoveram a atenção para aspectos práticos da geometria, sobretudo entre os governantes (Saito; Dias, 2011). Assim, surgia nesse contexto, também, a preocupação com a precisão, a quantificação dos fenômenos e com a matemática 2 Convém observar que a primeira impressão do Tratado encontra-se na Biblioteca Palatina de Modena e foi publicado em 1583 por Vicentio Accolti. Vide: Pietro Riccardi, Bibliotheca Mathematica Italiana dalla Origem della Stampa ai Primi Anni del Secolo XIX, p 593/594

5 (Crosby, 1999). Neste sentido, diversos instrumentos matemáticos foram concebidos e destinavam-se a medir alturas e distâncias, planificar de cidades, determinar a relação entre o ângulo de elevação dos canhões seu alcance, entre outros. Além disso, também podemos compreendê-lo, tal qual outros instrumentos, como produto do aumento pela procura por instrução em geometria e astronomia fomentada, nesse período, pela necessidade do desenvolvimento de novas técnicas para a navegação, artilharia, cartografia, entre outras. Tal instrução, no entanto, era oferecida por praticantes de matemática, sem formação universitária, associados a alguma corporação de ofício ou trabalhando em oficinas onde se fabricavam instrumentos. Assim, era muito frequente, por parte desses praticantes, o desenvolvimento do próprio instrumento bem como a divulgação da construção e uso apenas àqueles que buscassem sua instrução. (Saito; Dias, 2011). O Trattado Del Radio Latino, portanto, está inserido nesse contexto. Com o objetivo de divulgar a obra, cuja primeira edição, nas palavras dos editores, foi de grande utilidade ao mundo, essa reimpressão, segundo os mesmos foi ampliada com diferentes operações, e assim como a anterior conta com os comentários de Egnatio Danti da Perugia ( ) Bispo de Alatri, conforme destacado também no frontispício. Havendo monsignor Reverendissimo Vescovo di Alatri dato l anno passato in luce Il trattato del Radio Latino, & conoscendo noi quanto l opera sai stata utile & grata al mondo; ci siamo messi dinuovo a ristamparla, em più commoda forma, massime essendo stata da esso Monsignor Vescovo ampliata assai di diverse operationi, conche speriamo di dare tanto più di sodistatione à li studiosi. (Mar c Antonio Moretti da Perugia; Iacomo Brianzi) Os editores, além de ressaltar a importância do Tratado, também o oferecem ao Marquês de Cassano (atual província de Bari sul da Itália), Signor Antonino Pio Bonella, pela servidão que têm com seu tio Senhor Cardinale e, também para realizar o desejo de Egnatio Danti. Hora & per debito della servitù che teniamo com Il Signor Cardinale suo Zio, & per adempire la volontà di detto Monsignor Vescovo, veniamo à presentare à Vostra Eccelenza Illustrissima Il trattato di questo bellissimo strumento... (Mar c Antonio Moretti da Perugia; Iacomo Brianzi) Destaca-se no documento, o fato de Egnatio Danti ter sido professor de Teologia e Cosmógrafo do Papa Gregório XIII, conforme apontado nas páginas dedicadas ao leitor, escritas por Danti. Nelas encontramos a informação de que este instrumento, diferentemente de outros já inventados, entre eles, o Radio, o Anel Astronômico, o

6 Torqueto, o astrolábio Armilar, o Olômetro todos de difícil fabricação e operação, poderia ser fabricado tanto com metal como com madeira. Ainda nessas páginas, Danti salienta que as proporções geométricas que podem ser exploradas com o uso do instrumento permitiriam, como jamais se acreditava, que se determinasse a altura de uma construção sem precisar estar próximo da mesma. E mais, essas medidas poderiam ser encontradas não apenas para as coisas que estavam próximas dos olhos, mas também para aquelas que estavam no Céu e, portanto nos lugares mais distantes. Segue-se à carta ao leitor, o índice do Tratado em que podemos observar que o mesmo divide-se em três partes. Na primeira, encontramos informações gerais sobre o instrumento, bem como instruções para sua fabricação. Nessa parte, ao longo de seus oito capítulos (páginas 1 à 27), a obra traz as informações necessárias tanto para a construção do instrumento como para a marcação das escalas. Na segunda parte, encontramos instruções de como utilizar o instrumento em diferentes situações e contextos. Dividido em doze capítulos (páginas 28 à 80), esta parte busca descrever o uso do Radio Latino para se medir alturas, larguras, distâncias, profundidades e ângulos de figuras retilíneas e equiláteras. Além disso, traz instruções sobre procedimentos para colocar o que se queira num mesmo plano e, ainda, determinar o peso da bola de artilharia. Por sua vez, na terceira parte encontramos instruções sobre o seu uso para a astronomia. Contendo quinze capítulos (páginas 81 à 104), essa parte descreve procedimentos para se determinar a altura do Sol em cada hora do dia, a altura de uma estrela e de um planeta, a latitude de um lugar, entre outros assuntos relativos à medida em Astronomia. Nas páginas que seguem (105 à 106) encontramos anotações que deveriam compor capítulos e que, por algum motivo não foram colocadas. É o caso, por exemplo, da quarta anotação do Capítulo II, da segunda parte que devia estar impressa na página 44, antes do terceiro capítulo. Podemos supor que tais anotações são de Egnatio Danti, pois se assemelham a todas as outras presentes nos capítulos de cada parte do Tratado. A divisão dos assuntos nesta obra não era original, visto que naquela época esse tipo de tratado comumente tinha no mínimo duas partes: uma que trazia instruções para a construção do instrumento e, outra, para o seu uso. Portanto, podemos afirmar que esta obra alinha-se àquelas destinadas a um público que, além de conhecimentos práticos relativos a seu ofício possuía também o conhecimento da matemática incorporada nos instrumentos. Em outras palavras, a obra não se apresentava como um manual e, sendo

7 assim, não estava ao alcance de todos, na medida em que a articulação entre o saber e o fazer era inerente à compreensão da obra. (SAITO, 2012) O Tratado não é diferente nesse sentido de modo que podemos analisar a obra como composta de duas grandes partes. Em outros termos, a primeira parte, como já assinalamos, corresponderia à construção do instrumento e, a segunda e a terceira juntas, seriam correspondentes ao uso do instrumento. A fim de ilustrarmos tal análise apresentamos a seguir as imagens do instrumento que se encontram nas páginas 3 e 4, relativas à sua construção. Essas imagens, é importante observar, sucedem o capítulo I da primeira parte do Tratado (páginas 1 e 2) no qual se declara o nome de cada uma das partes do instrumento: Della dichiaratione del nome delle parti dell istrumento. Destaca-se, além da descrição contida nessas páginas, outra mais detalhada e provavelmente de autoria de Egnatio Danti, com o título Descrittione generali di tutte le parti del Radio Latino poste nella prima e seconda figura, encontrada nas duas páginas anteriores à primeira parte do Tratado. Figura 1 Figura 2 Fabricação do Radio Latino Fabricação do Radio Latino Imagens relativas ao uso do instrumento também permeiam todo o Tratado. Por exemplo, a figura 3 que se encontra na página 39 ilustrando o capítulo II da primeira parte, cujo título, Come si misuri un altezza senza la escala altimetrica, bem como as anotação de Egnatio Danti, comprovam nossa análise acerca da estrutura dos tratado dessa época, bem como da matemática presente no instrumento. Nas palavras de Danti,...la presente operatione si deve fare nella parte inferiore dell istrumento, che è divisa in parti iguali, tanto nell aste, come nelle braccia, & nelle gambe, com la qual divisione si vede sempre ne i triangoli che ló istrumento forma la ragione che ha la basa à gli altri suoi lati: come per essempio, nella presente figura la

8 basa del triangolo AD. è Otto parti, & Il lato DB. fatto dal filo è sette. (Danti, p. 38) Figura 3 Uso do Radio Latino Anotações de Danti, como na citação acima, são encontradas em toda a obra, geralmente seguindo cada um dos capítulos. Aparentemente essas anotações tinham por objetivo oferecer ao leitor mais detalhes sobre a fabricação e uso do instrumento, pois na anotação da página 80, Danti alerta que o leitor atento perceberá que o inventor do instrumento escreveu esse livro apenas como recurso à sua memória. Assim, por exemplo, na primeira parte, capítulo II, Danti ressalta em sua anotação que o instrumento deveria ser, sempre que possível feito em metal. E caso fosse feito de madeira, ela deveria ser semelhantemente dura: Devesi fabbricare questo istrumento di metallo sempre che si possa, o almeno di legno talmente duro, che sai Il manco che sipuo sottoposto alle alterationi, accioche si cóservi uniforme, e giusto. (Danti, p.7) Em outros termos, o instrumento deveria ser fabricado de material que fosse resistente e duro. Observa, ainda, que a haste do instrumento não deveria ter menos de seis palmos de comprimento, se o instrumento fosse usado para astronomia. Entretanto, se seu uso limitarse às demais operações geométricas, sua haste poderia ter dois palmos e meio de comprimento. E quelli che com esso desiderano operare essatamente, massime nelle cose astronomiche che gli devono far l aste per Il mino di sei palmi di lóghezza. Et perche nelle operationi Geometriche non è necessária tanta grandezza e cosi minuta divisione delle parti, si potrà fare communemente di due palmi, e mezzo di longhezza... (Danti, p. 7) Além disso, Danti também observa que:

9 Ma la longhezza dell aste senza Il manico sara iguale ad una gamba, & um braccio, come è BC. e CE. acciò tutte le divisioni che sono nele braccia, & nelle gambe possino capire anco nell aste. La grotezza, e larghezza delle gabe, & delle braccia si fará tanta, che sia bastante à reggersi senza piegarsi, facendo sempre della medesima larghezza tanto le braccia, come le gambe, e l aste, la quale ne i minori istrumenti sará bastante d un oncia di palmo o poço piu, e la grossezza dell aste ssi fará sempre um poco piu di quella delle braccia e delle gambe, dovédo essa sostenere tutto Il peso dello istrumento. (Danti, p.7) Mas mesmo que Egnatio Danti tenha demonstrado, por meio de suas anotações, a intenção de oferecer ao leitor maior clareza sobre a construção e o uso do Radio Latino, ainda assim é preciso ressaltar que o Tratado não era acessível a qualquer pessoa. Exemplo disso pode ser observado no capítulo III, que trata da divisão, em graus, do círculo na parte superior da haste. Figura 3 Del Radio Latino Escrito por Latino Orsine, esse capítulo faz referência à divisão do quarto de círculo em 90 graus, sem, contudo, explicitar os procedimentos para tal divisão. Procedimentos esses que também não são explicados na anotação de Egnatio Danti. Nella parte superiore dell aste del Radio si metteráno li 90 grádi del quadrante, segnádoli em questo modo. Tirisi sopra una távola, o carta um circolo c habbia Il diâmetro iguale alla lunghezza delle braccia del Radio, dividédo le sue quarte in 90. gradi, e poi vi si metta sopra lo istrumento, talmente che Il centro del chiodo delle braccia sai giustaméte nel cetro del circolo, e posti che si faráno le braccia sopra Il diâmetro del circolo... (Orsini, p. 11). As citações acima revelam que o Tratado, diferentemente de um manual prático (Saito; Dias, 2011) exigia, além de conhecimentos da geometria presente no instrumento, também os conhecimentos práticos de todos aqueles que se aventurassem em sua compreensão. Assim, o conhecimento matemático presente, tanto na construção quanto no uso do

10 instrumento indicam a indissocibilidade entre o saber e o fazer presentes na época. (Saito, 2012). Portanto, o Trattato del Radio Latino apresenta-se, assim como outros tratados da época, como uma possibilidade de aproximação do fazer matemático, favorecendo a compreensão das matemáticas existentes em uma época. É importante, no entanto, que não sejam compreendidos apenas como produto do conhecimento matemático já estabelecido, mas que a análise da construção e uso possa desvelar aspectos do movimento do processo da construção do conhecimento científico e matemático modernos. Uso dos instrumentos e conhecimentos mobilizados Considerando o atual estágio dessa pesquisa e as diferentes situações nas quais o instrumento descrito era utilizado apresentaremos, neste trabalho, o capítulo II da primeira parte do Trattato del Radio Latino com título, Come se misure un altezza senza la escala altimetrica. Nele encontraremos descritos os procedimentos necessários para medir a altura de uma construção, conforme mostra a ilustração de Egnatio Danti (Figura 5). Figura 5 - Uso do Radio Latino Segundo explica o autor do Tratado, é necessário, antes de qualquer coisa, colocar a haste do instrumento no nível encostando-se o fio de prumo que parte do ponto B, na metade do ângulo C, conforme indicado na figura 5. Em seguida, ajusta-se a mira da perna direita AB, de forma que através dela, seja vista a parte mais alta da construção. Com a mira ajustada nesse ponto, passa-se o fio de prumo sobre a perna AB, determinando-se em seguida, quantas partes tem sua altura em relação à linha DB, bem como, a parte assinalada entre os pontos A e D, relativos à haste. E assim, a razão entre a base AD e a altura DB, relativas ao triângulo pequeno, será a mesma entre a base GF e altura FE no triângulo grande e medindo a base GF, saberemos quanto mede a referida altura FE.

11 Observamos, pela figura 6, que o conhecimento utilizado para se determinar a medida procurada foi a semelhança de triângulos, já que os ângulos e possuem medidas iguais (90º), assim como e, que são ângulos correspondentes. E B D A C D F G Figura 6 - Representação do uso do Radio Latino Explorar o Radio Latino a partir de seu uso para determinar alturas, permite ao estudante mobilizar conhecimentos matemáticos já construídos ou em processo de construção, como por exemplo, a semelhança de triângulos. A tradução do tratado, a compreensão de sua estrutura, bem como o entendimento de um dos usos do instrumento são os primeiros resultados desta pesquisa que está em fase de desenvolvimento. Além disso, até este momento, foram realizadas pesquisas em livros e artigos que retratam o contexto do período em que o instrumento foi criado. Isso tudo acompanhado por leituras que revelam a importância do uso da História da Matemática como recurso didático-pedagógico, além daquelas voltadas às teorias de aprendizagem. É importante observar que essas leituras não se esgotam nesse momento, ao contrário disso, deverão permear todo o processo da pesquisa, que envolve, ainda, a compreensão da construção do instrumento e demais usos relativos à agrimensura. Referencias bibliográficas BROMBERG, C. & SAITO F. História da Matemática e a História da Ciência, in M. H. R. Beltran, F. Saito & L. dos S. P. Trindade, org. História da Ciência: tópicos atuais. São Paulo: Ed. Livraria da Física/CAPES, 2010, pp CROSBY, A. W. A Mensuração da Realidade. São Paulo: Unesp, 1999 DANTI, I. Tratado Del Radio Latino (...) (1586). Roma: Marco Antonio Moretti & Jacomo Brianzi. KOPNIN, P. V. A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de janeiro. Civilização Brasileira, 1978.

12 LEONTIEV, A. N. Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem. 5. Ed. São Paulo. Ícone, MIGUEL, A. As potencialidades pedagógicas da História da Matemática em questão: argumentos reforçadores e questionadores. Zetetiké, v. 5, nº 8 jul/dez, 1997 PEREIRA, M. E. M; GOIA, S. C. Do feudalismo ao capitalismo: uma longa transição. In: Andery, M. A.; Micheletto, N.; Sério, T. M. P.; Rubano, D. R.; Moroz, M.; Pereira, M. E.; Gioia, S. C.; Gianfaldoni, M; Savioli, M. R.; Zanotto, M. de L. Para compreender a ciência. Uma perspectiva histórica. 10. Ed. São Paulo. Educ, P RIGON, A. J.; ASBAHR, F. da S. F.; MORETTI, V. D. Sobre o processo de humanização. In: MOURA, M. O. (ORG.). A atividade pedagógica na teoria histórico-cultural. Brasília. Liber Livro SAITO, F.; DIAS, M. da S. (2011) Articulação de entes matemáticos na construção e utilização de instrumento de medida do século XVI. Natal: Sociedade Brasileira de História da Matemática, 2011.