JUVÊNCIO GERALDO DE MOURA USO DE ALGORITMOS EVOLUTIVOS HÍBRIDOS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE TRELIÇAS

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1 JUVÊNCIO GERALDO DE MOURA USO DE ALGORITMOS EVOLUTIVOS HÍBRIDOS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE TRELIÇAS Belo Horizonte MG Setembro de 2009

2 JUVÊNCIO GERALDO DE MOURA USO DE ALGORITMOS EVOLUTIVOS HÍBRIDOS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE TRELIÇAS Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Linha de pesquisa: Sistemas Inteligentes Orientador: Prof. Dr. Gray Farias Moita Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG) Co-orientador: Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza CEFET-MG MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO Belo Horizonte MG Setembro de 2009

3 M97u Moura, Juvêncio Geraldo de, Uso de Algoritmos Evolutivos Híbridos em Problemas de Otimização Estrutural de Treliças / Juvêncio Geraldo de Moura - Belo Horizonte: CEFET-MG, f. : il. Inclui Bibliografia. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional) - Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Orientador: Gray Farias Moita. 1 - Algoritmos evolutivos híbridos. 2 - Otimização de estruturas. 3 - Treliças. 4 - Heurísticas de refinamento. I. Moita, Gray Farias II. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais III. Título CDD

4 Folha de aprovação do projeto. Esta folha será fornecida pelo Programa de Pós-Graduação e deverá substituir esta.

5 Dedico esta pesquisa à minha família, pela motivação, incentivo, apoio e carinho. À minha esposa, pela paciência, apoio, compreensão, carinho, atenção, incentivo e principalmente pelo amor.

6 Agradecimentos Em primeiro lugar agradeço à Deus, por me dar inteligência, sabedoria, coragem e saúde para mais uma importante conquista. Obrigado Senhor! Ao meu orientador, Prof. Dr. Gray Farias Moita, pelas orientações, críticas e sugestões. Agradeço também pelos ensinamentos, paciência e por confiar na minha capacidade de desenvolver essa pesquisa. Ao meu co-orientador, Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza, pelas orientações e contribuições importantes para o desenvolvimento da pesquisa. Agradeço também pelos ensinamentos e por confiar no meu trabalho. Ao João Paulo por oferecer o software OtimoEstrutura e ao Prof. Dr. Roque Pitangueira da UFMG, por fornecer o INSANE para realização dessa pesquisa. A todos os professores pelos ensinamentos e contribuições para aumentar meu conhecimento. À minha família pelo apoio, incentivo e carinho. À minha esposa, Sheila, amor da minha vida, pelo carinho, paciência, motivação, companheirismo e amor. Você e minha família foram também muito importantes para conclusão desse trabalho. Aos seus pais também sou grato. Ao Rusi, Fernando, Elias, Will, Manoel Junior e demais amigos do LSI que, de uma forma ou de outra, contribuíram com a amizade e com sugestões para a realização desse trabalho. Ao CEFET-MG pelo apoio financeiro à pesquisa e por acreditar no meu trabalho. Ao Laboratório de Sistemas Inteligentes (LSI) pelos recursos disponibilizados para realização deste trabalho. A todos que de alguma maneira colaboraram para concluir o trabalho e aumentar meu conhecimento, meus agradecimentos.

7 "A persistência é o caminho do êxito." Chaplin, Charlie.

8 Resumo A otimização estrutural é uma necessidade frequentemente encontrada pelos projetistas e engenheiros que visam minimizar custos de projetos nas construções. Para isso, é necessário reduzir a quantidade de material empregado nas estruturas, com o intuito de diminuir o peso, em conformidade com as restrições impostas pelo projeto. O problema de otimização abordado nessa pesquisa é encontrar o menor peso para estrutura treliçada. Assim, procura-se encontrar as dimensões mínimas suficientes para as áreas de seção transversal e, em alguns casos, o comprimento de cada barra, obedecendo às restrições. Nesse contexto foi proposto o desenvolvimento de um Algoritmo Evolutivo Híbrido baseado nos mecanismos de Algoritmos Genéticos (AG) com a utilização de métodos de refinamento como Descida Randômica e Pesquisa em Vizinhança Variável (Variable Neighborhood Search - VNS) para solução do problema de otimização estrutural de treliças planas. Foram implementados dois tipos de algoritmos. O primeiro foi aplicado ao problema de treliça com nós fixos e refina a solução inicial. Já o segundo, o refinamento ocorre após a evolução da população e foi aplicado em estruturas com coordenadas nodais móveis, assim é realizada a otimização de forma. Os resultados obtidos são analisados e comparados com os encontrados na literatura. PALAVRAS-CHAVE: algoritmos evolutivos híbridos, otimização de estruturas, treliças, heurísticas de refinamento.

9 Abstract In the construction industry, designers and engineers frequently face the problem of structural optimization, in order to minimize the costs of their projects. It is necessary to cut the amount of material used in the structures, to reduce the weight, taking into consideration the restrictions imposed by the project. The current optimization problem is to find the minimum weight of a truss structure. Hence, the minimal dimensions for the cross-sectional areas and, in some cases, for the length of the bars, are needed, observing the project limitations. In this context, a hybrid evolutionary algorithm was proposed that was based on the mechanisms of genetic algorithms (GAs), using heuristic search strategies such as Random Descent Method and Variable Neighborhood Search (VNS), for the structural optimization of plane trusses. Two types of algorithms were implemented. The first was applied to problem with fixed coordinates and a local search was used to calculate the initial solution. The second was applied to problem with moveable nodal coordinates and allowed shape optimization. The results were analyzed and compared with those found in the literature. KEY WORDS: hybrid evolutionary algorithms, truss optimization, trusses, heuristics search.

10 Lista de Figuras 1.1 Exemplo de uma treliça. Fonte: Coda e Paccola (2006) p Representação do cromossomo p Crossover Clássico p Crossover Adicional p Mutação p Representação do cromossomo p Crossover p Mutação p Topologia da estrutura com 10 barras. Fonte: Yokota, Tagughi e Gen (1998) p Topologia inicial da estrutura com 18 barras. Fonte: Fawaz, Xu e Behdinan (2005) p Topologia do melhor resultado encontrado com AE02 para estrutura com 18 barras p Topologia do melhor resultado encontrado com AEH02-DR para estrutura com 18 barras p Topologia do melhor resultado encontrado com AEH02-VNS para estrutura com 18 barras p Topologia da estrutura com 18 barras (Referência) p Gráfico de convergência das execuções do AE p Gráfico de convergência das execuções do AEH01-DR p Gráfico de convergência das execuções do AEH01-VNS p Gráfico com melhores resultados a cada execução do AEH01-VNS.. p. 66

11 7.5 Gráfico de convergência das execuções do AE p Gráfico de convergência das execuções do AEH02-DR p Gráfico de convergência das execuções do AEH02-VNS p Gráfico com melhores resultados a cada execução do AEH p. 69

12 Lista de Tabelas 6.1 Restrições de projeto e valores de coeficientes. Fonte: Yokota, Tagughi e Gen (1998) p Melhores pesos a cada execução do AE p Melhores pesos a cada execução do AEH01-DR p Melhores pesos a cada execução do AEH01-VNS p Melhores pesos obtidos com AEH01 em dez execuções para o problema de treliça com 10 barras p Melhores soluções obtidas em dez execuções para o problema de treliça com 10 barras p Melhores pesos a cada execução do AE p Melhores pesos a cada execução do AEH02-DR p Melhores pesos a cada execução do AEH02-VNS p Melhores pesos obtidos com o AEH02 em dez execuções para o problema de treliça com 18 barras p Tensão máxima e deslocamento máximo da melhor solução obtida para o problema de treliça com 18 barras p Melhores soluções obtidas com o AEH02 em dez execuções para o problema de treliça com 18 barras p. 61

13 Lista de Algoritmos 1 Pseudocódigo do Método de Descida Randômica p Pseudocódigo do Método VNS p Pseudocódigo do AE p Pseudocódigo do AEH01-DR p Pseudocódigo do AEH01-VNS p Pseudocódigo do AEH p Pseudocódigo do Método de Busca Local Descida Randômica..... p. 48

14 Lista de Abreviaturas e Siglas AE Algoritmo Evolutivo AEH Algoritmo Evolutivo Híbrido AG Algoritmos Genéticos CEFET-MG Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais DR Descida Randômica DEES/UFMG Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais GPSI Grupo de Pesquisas em Sistemas Inteligentes GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedure INSANE Interactive Structural Analysis Environment LSI Laboratório de Sistemas Inteligentes UFMG Universidade Federal de Minas Gerais VNS Variable Neighborhood Search

15 Sumário 1 INTRODUÇÃO p Objetivos p Metodologia p Estrutura da Dissertação p REVISÃO BIBLIOGRÁFICA p MÉTODOS HEURÍSTICOS p Algoritmo Genético p Heurísticas de Refinamento p Descida Randômica p Método de Pesquisa em Vizinhança Variável p OTIMOESTRUTURA E INSANE p OtimoEstrutura p Algoritmo Genético p INSANE p IMPLEMENTAÇÃO DOS ALGORITMOS p Algoritmo Evolutivo Híbrido p Algoritmo Evolutivo Híbrido p Algoritmo Evolutivo Híbrido p RESULTADOS COMPUTACIONAIS p. 50

16 6.1 Otimização Estrutural de Treliças com 10 Barras p Descrição do problema p Resultados p Otimização Estrutural de Treliças com 18 Barras p Descrição do problema p Resultados p ANÁLISE DOS RESULTADOS COMPUTACIONAIS p Otimização Estrutural de Treliças com 10 Barras p Análises dos resultados p Otimização Estrutural de Treliças com 18 Barras p Análises dos resultados p CONCLUSÃO p Trabalhos futuros p. 72 Referências Bibliográficas p. 73

17 16 1 INTRODUÇÃO As estruturas treliçadas são utilizadas em projetos de grande porte, sendo facilmente encontradas em pontes, estádios de futebol, ginásios cobertos, viadutos e torres. As treliças são estruturas compostas por barras articuladas nas extremidades e interligadas por rótulas, que estão sujeitas, no presente contexto, somente a esforços axiais. Tal configuração deixa a estrutura leve e resistente. Figura 1.1: Exemplo de uma treliça. Fonte: Coda e Paccola (2006) Engenheiros e projetistas visam diminuir custos em projetos que utilizam treliças em construções, reduzindo a quantidade de material empregado nessas estruturas, com o intuito de diminuir seu peso, em conformidade com as restrições impostas pelo projeto. Este é um dos objetivos referenciados em problemas de otimização estrutural que podem ser encontrados na literatura. A otimização estrutural vem apresentando resultados positivos na construção civil, indústria automobilística e indústria aeroespacial. Sendo o objetivo principal a redução de custos. Existem três tipos de otimização estrutural: otimização dimensional, geométrica (forma) e topológica (CORDEIRO, 2007). A otimização dimensional tem como variáveis de projeto parâmetros de um elemento estrutural, tais como área de seção transversal e comprimento de barra (SAN- TANNA, 2002). Encontrar as melhores áreas de seção transversal das barras a fim de obter a máxima rigidez com mínimo volume de material é um exemplo desse tipo de otimização (BAHIA, 2005).

18 1 INTRODUÇÃO 17 A otimização de forma otimiza o contorno da estrutura, e a forma ótima do domínio de projeto deve ser encontrada (SANTANNA, 2002). Outra definição, dada por Annicchiarico e Cerrolaza (2001), relata que essa classe de otimização consiste em encontrar a melhor configuração de uma estrutura a qual melhore o comportamento mecânico e minimize uma ou mais variáveis de projeto, tais como o peso da estrutura ou concentrações de tensão. Na otimização topológica é definida a melhor forma possível da distribuição de material em um domínio pré-determinado considerando-se uma função custo e as restrições mecânicas. A variável de projeto, neste caso, é o próprio domínio, no qual se pode eliminar material, por exemplo, excluir barras (CORDEIRO, 2007). O termo topologia refere-se à disposição espacial dos membros estruturais e ao padrão de conectividade entre estes. A otimização topológica é mais genérica do que a de forma, devido à distribuição de material no interior do domínio de projeto ou por excluir itens do domínio. Em geral, altera-se a conexão do domínio e, consequentemente, a topologia (BAHIA, 2005). Segundo Bahia (2005), a otimização de forma altera o contorno, mas não permite modificar a topologia da estrutura, ou seja, não possibilita incluir ou remover parte do domínio. Desse modo, o problema que possui coordenadas nodais móveis desta pesquisa trata-se de otimização de forma e dimensional. Por meio das três classes de otimização estrutural é possível analisar a topologia, a configuração, o tipo de material e o dimensionamento dos elementos estruturais. Nos dois primeiros tipos de análises é possível encontrar qual o melhor tipo de estrutura a ser utilizada. Além de poder obter também a melhor disposição das barras, nós e apoios, para determinadas solicitações na estrutura, ou seja, trata-se da forma. O tipo de material influi nos métodos de cálculos a serem usados. O dimensionamento dos elementos estruturais se referem à determinação das características geométricas necessárias, por exemplo, área e formato da seção transversal (PRUDENTE, 1998). O ideal para otimizar uma estrutura seria aplicar todas as análises mencionadas anteriormente no processo de otimização. Porém, torna-se inviável trabalhar com todos os elementos citados ao mesmo instante. No entanto, alguns autores em suas pesquisas realizam a análise isolando alguns fatores, conforme Pereira (2007) e Prudente (1998). Na pesquisa de Prudente (1998), foram fixados o esquema estático, a configuração da estrutura e o material utilizado nos elementos estruturais. O trabalho de Pereira (2007) visou apenas à minimização do peso por meio da redução da área

19 1.1 Objetivos 18 de seção transversal de cada barra da estrutura. A pesquisa de Pereira (2007), que colaborou como integrante do Grupo de Pesquisas em Sistemas Inteligentes (GPSI) do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG), apresenta um estudo de algumas heurísticas computacionais para o processo de otimização estrutural. Em tal trabalho são descritos os métodos de otimização utilizados na busca pela redução do peso estrutural de treliças plana. A presente pesquisa consiste em um estudo da aplicação de um Algoritmo Evolutivo Híbrido (AEH), baseado nos mecanismos de Algoritmos Genéticos (AG), para otimização estrutural de treliças. Determinados indivíduos de cada geração são refinados com a utilização do método de busca local Descida Randômica e a metaheurística Variable Neighborhood Search (VNS). Em Pereira (2007) apenas a área de seção transversal é variável. Nesta pesquisa a forma estrutural pode ser modificada, sendo possível que as posições de alguns nós sejam alteradas. Os resultados obtidos são comparados com os encontrados pelo autor citado. A motivação para o desenvolvimento do AEH é principalmente o bom resultado obtido em Pereira (2007) com a utilização de Algoritmo Genético, além da grande quantidade de aplicações existentes na literatura que utilizam versões híbridas desse algoritmo para resolver determinados tipos de problemas e tiveram sucessos, conforme Lima (2008), Pisinger e Ropke (2007) e Grosan e Abraham (2007). Então, a hibridização do AG com heurísticas de refinamento pode obter melhores resultados que a utilização de apenas uma técnica. A seguir são descritos os objetivos da pesquisa bem como a metodologia aplicada para encontrar a solução do problema de otimização tratado. 1.1 Objetivos O objetivo geral desta pesquisa é minimizar o peso e forma de treliças com a utilização de um Algoritmo Evolutivo Híbrido (AEH). Esse é baseado nos mecanismos de algoritmos genéticos com métodos de refinamento para otimização estrutural. Para tanto, esta pesquisa se propõe aos seguintes objetivos específicos: Implementar o algoritmo evolutivo híbrido, com base no método heurístico AG

20 1.2 Metodologia 19 desenvolvido por Pereira (2007) juntamente com técnicas de refinamento, tais como, método de busca local Descida Randômica e a metaheurística VNS (Variable Neighborhood Search) (MLADENOVIC; HANSEN, 1997); Modificar o AEH para solução do problema com nós móveis, sendo possível minimizar o peso e a forma da estrutura com uma nova variável; Analisar a eficiência dos métodos aplicados e a melhor relação custo/benefício, em que o custo está relacionado à facilidade de implementação e o benefício está ligado à eficiência e à qualidade das soluções encontradas; Realizar testes e simulações, comparando os resultados com os obtidos pelo software OtimoEstrutura (PEREIRA, 2007) e outros existentes na literatura, para comprovar a eficácia e a aplicabilidade de cada método proposto. 1.2 Metodologia Primeiramente foi realizado um estudo da aplicação do Algoritmo Evolutivo Híbrido para solução do problema de otimização estrutural de treliças. O AEH possui operadores genéticos e refina indivíduos da geração inicial com a utilização do método de refinamento Descida Randômica ou VNS. As técnicas de busca local também foram utilizadas após a evolução de cada geração. O AEH implementado foi modificado para encontrar soluções para o problema de treliça com nós móveis, a fim de realizar a otimização de forma. Nesse problema, a área de seção transversal e as coordenadas nodais móveis são variáveis, sendo possível que as posições de alguns nós sejam alteradas. Para o desenvolvimento desta pesquisa, a metodologia adotada abrangeu as seguintes atividades: Revisão bibliográfica; Implementação do Algoritmo Evolutivo Híbrido; Desenvolvimento do algoritmo para realizar a otimização de forma; Realização de testes; Análise e discussão dos resultados.

21 1.3 Estrutura da Dissertação 20 A primeira atividade buscou revisar a literatura, com ênfase nos tópicos: otimização de estrutura, treliças, otimização de forma, heurísticas computacionais, métodos de busca local, algoritmos evolutivos, INSANE (FONSECA; PITANGUEIRA, 2004), OtimoEstrutura (PEREIRA, 2007) e Java. O Algoritmo Evolutivo Híbrido foi implementado na linguagem de programação Java. A implementação teve como referência os mecanismos dos algoritmos genéticos juntamente com as técnicas de refinamento Descida Randômica ou VNS. Realizou-se uma análise da utilização dos métodos de refinamento para observar a importância do papel dessa técnica na heurística implementada. Para realizar a otimização de forma o AEH foi adaptado. O peso estrutural passa a ser minimizado por meio do dimensionamento dos elementos: área de seção transversal e comprimento das barras. Os métodos de refinamento utilizados nesse algoritmo foram aplicados após a evolução da população. Durante a realização de testes e simulações com os métodos desenvolvidos para a validação da eficácia dos algoritmos foi verificada a necessidade de modificar a estrutura inicial do AEH para realizar a otimização dimensional e de forma da treliça. No entanto, foram modificados os operadores genéticos e criada uma função de avaliação que penaliza as barras e nós que violam restrições impostas pelos projetos. Os resultados obtidos foram comparados com os encontrados na literatura e analisados. 1.3 Estrutura da Dissertação Esta dissertação é organizada como descrito a seguir. O Capítulo 2 apresentada a revisão da literatura. Os métodos heurísticos e de refinamentos estudados são descritos no Capítulo 3. O software OtimoEstrutra (PEREIRA, 2007) e o INSANE (DEES/UFMG) são apresentados no Capítulo 4. O Capítulo 5 apresenta a implementação dos algoritmos desenvolvidos. No Capítulo 6 são apresentados os resultados. A análise é realizada no Capítulo 7. Por fim, o Capítulo 8 apresenta as conclusões da pesquisa e as perspectivas de trabalhos futuros.

22 21 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Treliça é um dos principais tipos de estruturas da engenharia. É uma solução prática e econômica para muitas situações dessa área, como descrito no Capítulo 1. A otimização estrutural é um processo matemático que propõe encontrar uma configuração da estrutura mecânica que resulta em um desempenho ótimo. Por exemplo, encontrar mínima massa, máxima rigidez, desde que sejam respeitadas algumas restrições, como tensão de falha e frequência natural crítica (PARRA; FRIEDLANDER, 2006). Para minimizar os custos de projeto deste tipo de estrutura pode-se utilizar alguma técnica de otimização estrutural, seja por programação matemática ou por meio das heurísticas computacionais. Sobre esse assunto, pode-se encontrar na literatura diversas pesquisas que relatam problemas de otimização estrutural e técnicas para resolvê-los. Alguns desses trabalhos são descritos a seguir. Fawaz, Xu e Behdinan (2005) introduz um novo algoritmo evolutivo para projetos de otimização estrutural. Os testes de desempenho utilizam duas funções de comparação e demonstram que o novo algoritmo tem excelente desempenho de convergência quando aplicado em problemas de otimização multimodal. O algoritmo desenvolvido é usado para otimizar o projeto de treliça com 18 barras, cujo objetivo é minimizar o peso respeitando as restrições de tensão, área da seção, e de geometria. Otimização geométrica e topológica são abordadas em outros trabalhos, conforme Achtziger (2007). O autor aborda o problema clássico de treliças em que a área de seção transversal e as coordenadas nodais são simultaneamente otimizadas. Na otimização geométrica de treliças as posições das articulações são definidas como variáveis no problema de otimização. A otimização topológica tem por objetivo encontrar a configuração ótima de uma dada estrutura por meio das modificações no domínio (topologia). Já para otimização de forma foram encontradas pesquisas que aplicam métodos

23 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 22 de elementos finitos para solução do problema. Barbosa et al. (2005) propõe um método de otimização de forma e de malha para estruturas usando elementos finitos triangulares hierárquicos de grau dois. Isso é realizado por meio do balanceamento da norma da energia de deformação por distorção dos elementos e do método de relocação nodal. A máxima densidade de energia de deformação por distorção é considerada a melhor solução. O método proposto foi aplicado em um pilar de viaduto de uma autoestrada com estrutura de aço. Um algoritmo genético para otimização topológica de treliças planas é apresentado em Kawamura, Ohmori e Kito (2002). Esse trabalho descreve o uso do procedimento de pesquisa estocástico baseado em algoritmos genéticos para topologia de estruturas treliçadas. Uma nova metodologia para topologia de treliças baseada em elementos triangulares conectados é proposta. O método desenvolvido é comparado com os atuais. As vantagens de utilização desse método são significativas, por exemplo, o modelo da topologia criado não tem nenhuma barra inútil nem sobreposta indesejável e os resultados são sempre estáveis. Em Christoforo, Marconato e Oliveira (2007) é proposta uma metodologia de cálculo para determinar o valor ótimo das áreas de seção transversal para os elementos estruturais de uma treliça plana. Os Métodos dos Elementos Finitos e dos Mínimos Quadrados são utilizados para realizar a otimização dimensional. Os resultados encontrados foram considerados satisfatórios. Um algoritmo genético para otimizar a massa de treliças planas e espaciais com variáveis de projeto contínuas e discretas é proposto em Guerra (2008). São considerados critérios de normas para resolver o problema do dimensionamento dos elementos, tais como restrições em condições de tensões, flambagem e deslocamento. Foi utilizado o toolbox de algoritmo genético do Matlab para realizar a otimização dessas estruturas. O AG aplicado foi considerado eficiente e robusto aos problemas exemplos. Outro tipo de algoritmo (Restauração Inexata - RI) é proposto em Gomes e ANDO JUNIOR (2006). Essa abordagem engloba os problemas de dimensionamento geométrico e topológico, resultando num modelo de programação não linear. Trata-se de um problema de otimização discreta e para modelá-lo utiliza-se a abordagem conhecida como estrutura base. A especialização do RI é utilizada para determinar a topologia ótima de treliças. Resolvem-se simultaneamente problemas de dimensionamento e topologia. Existem algoritmos heurísticos aplicados a estes tipos de problemas, conforme

24 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 23 pesquisa de Yuefang, Huanchun e Lihua (1998). Os autores propõem um algoritmo chamado Rank Value Algorithm para resolver problemas de otimização topológica de estruturas com variáveis discretas. O problema de um modelo de otimização discreta é discutido e o algoritmo desenvolvido é aplicado em exemplos. O projeto ótimo discreto pode ser controlado pelo isolamento das variáveis de ajuste. Os modelos utilizados no estudo de Fredricson (2005) são estruturas com articulações flexíveis. Cada articulação é modelada com um grupo de sub-elementos para suportar mudanças topológicas nas articulações. É usada uma variável de projeto, área, para controlar o tamanho do elemento global e auxiliar a mudança topológica. Outra variável é a taxa de comprimento que controla a seção transversal das vigas e as propriedades de rigidez interna das articulações. O artigo apresenta duas extensões para otimização topológica ótima. Primeiramente, penaliza as articulações estruturais que introduz a possibilidade de encontrar uma topologia com menos complexidade em termos de número de conexões de barras. Depois, um método de interpolação material é introduzido para auxiliar o projeto de material misto. Prudente (1998) descreve o problema de otimização de estruturas treliçadas planas de aço utilizando variáveis discretas. Apresenta um processo de busca da solução de mínimo peso para treliças, utilizando-se seções formadas por perfis comerciais comuns, dimensionadas segundo a norma brasileira para projeto e execução de estruturas de aço de edifícios. O método do gradiente inteiro é utilizado com alguns critérios modificados para melhorar o desempenho e considerar a relação não linear entre as características geométricas dos perfis. O autor aborda conceitos matemáticos básicos envolvidos no processo de otimização, análise de estruturas treliçadas planas e a formulação para o dimensionamento de barras sujeitas a tração ou compressão. Coello, Rudnick e Christiansen (1994) propõem o uso do algoritmo genético como uma ferramenta para resolver problemas de otimização multiobjetivo de estruturas. Técnicas de programação matemática, como Monte Carlo Methods e Osyczka s Multicriterion Optimization System são apresentadas. Além de técnicas multiobjetivos que utilizam AG, como VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm), Lexicographic Ordering, Weighted Sum, Algoritmo Genético Multiobjetivo, entre outras. Uma nova técnica de otimização multiobjetivo é proposta e aplicada em dois problemas de projeto de treliças. O resultado produzido por esta nova heurística é comparado com os encontrados por técnicas de programação matemática e heurísticas baseadas em AG. Ainda segundo o autor, a técnica gera melhores soluções e pode ser usada como ferramenta

25 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 24 de otimização numérica confiável. Algoritmos genéticos, além de outras heurísticas, também são implementados para solução de problema de otimização estrutural em Pereira (2007). Os algoritmos implementados são aplicados à estrutura de treliças planas a fim de obterem as dimensões mínimas suficientes para as áreas de seção transversal de cada barra, obedecendo às restrições impostas pelo projeto. Uma análise do comportamento dos métodos heurísticos aplicados em problemas de treliças planas com estruturas de dez, dezoito e quarenta e sete barras é realizada. Esses três tipos de configurações estruturais foram baseados em problemas propostos pelos autores: Yokota, Tagughi e Gen (1998); Fawaz, Xu e Behdinan (2005); Castro (2001), respectivamente. Segundo o autor os resultados foram bons comparados aos encontrados na literatura e podem ser melhorados de acordo com as sugestões apresentadas para trabalhos futuros. Nessa última pesquisa, um software de análise estrutural é utilizado em conjunto com as heurísticas implementadas para verificar e validar os resultados obtidos, que devem atender aos requisitos de projeto como deslocamentos máximos permitidos e tensões máximas suportadas. Desse modo, é possível que os métodos de otimização utilizados encontrem o melhor resultado para o peso estrutural. Esse programa é o IN- SANE, desenvolvido em Java pelo Departamento de Engenharia de Estruturas (DEES) da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) (FONSECA; PITANGUEIRA, 2004). Devido aos bons resultados encontrados por Pereira (2007) com a utilização de algoritmos genéticos, propõe-se nesta pesquisa melhorar as soluções por meio de métodos de busca local aplicados ao AG. Essas técnicas são utilizadas em problemas de otimização e são também conhecidas como heurísticas de refinamento. Os métodos de busca local constituem uma família de técnicas baseadas na noção de vizinhança. Essa classe de heurística inicia-se a partir de uma solução inicial qualquer, obtida aleatoriamente ou por uma heurística construtiva (por exemplo, Algoritmo Genético), que a cada iteração, caminha de vizinho para vizinho de acordo com a definição de vizinhança adotada. Método da Descida ou Subida, Método Primeiro de Melhora, Método Randômico de Descida ou Subida, Método Randômico Não Ascendente ou Descendente, são alguns exemplos de técnicas de busca local (SOUZA, 2005).

26 25 3 MÉTODOS HEURÍSTICOS Neste capítulo é descrito o funcionamento dos métodos heurísticos utilizados para realizar a otimização do problema abordado na pesquisa. O Algoritmo Genético é utilizado de forma simples e com métodos de refinamento da solução. O AG é chamado de Algoritmo Híbrido, quando utiliza um método de busca local ou uma metaheurística para tentar melhorar a solução. Nas seções seguintes são descritos o funcionamento desses métodos heurísticos. 3.1 Algoritmo Genético Segundo Goldberg (1989), Algoritmo Genético é uma técnica de busca inspirada na biologia evolutiva, como hereditariedade, mutação, seleção natural e recombinação (crossover). A solução ótima de um determinado problema é encontrada por meio do processamento de uma população inicializada aleatoriamente ou criada por uma heurística construtiva. Os AG empregam um processo adaptativo e paralelo de busca de soluções em problemas complexos. A otimização estrutural é considerada um desses tipos de problemas. Portanto, diminuir o peso destas estruturas é importante para obter o menor custo. No presente trabalho foi realizado um estudo da aplicação desse algoritmo para solução do problema de otimização de treliças planas. Um estudo mais detalhado sobre AG pode ser encontrado em Goldberg (1989) e Sastry, Goldberg e Kendall (2005).

27 3.2 Heurísticas de Refinamento Heurísticas de Refinamento As heurísticas de refinamento são utilizadas em problemas de otimização com finalidade de escapar de um ótimo local para encontrar um ótimo global. São conhecidas como técnicas de busca local e baseadas na noção de vizinhança. Essas técnicas partem de uma solução inicial qualquer e caminham, a cada iteração, de vizinho para vizinho, de acordo com a definição de vizinhança adotada, para que a solução inicial seja melhorada. Para exemplificar, seja S o espaço de pesquisa de um problema de otimização e f a função objetivo a minimizar. A função N, a qual depende da estrutura do problema tratado, associa a cada solução s S, sua vizinhança N(S) S. Cada solução s N(s) é chamada de vizinho de s. Denomina-se movimento a modificação m que transforma uma solução s em outra, x, que esteja em sua vizinhança. Representa-se essa operação por s s m (SOUZA, 2005) Descida Randômica O Método Randômico de Descida é um método de busca local que consiste em encontrar um vizinho qualquer que seja melhor que a solução corrente e aceitá-lo. Caso não seja encontrado, a solução corrente permanece e outro vizinho é gerado. Após um número fixo de iterações sem melhora no valor da melhor solução obtida, o procedimento é interrompido (SOUZA, 2005). Algoritmo RandomicoDescida ( f (.), N(.), IterMax, s); 1 Iter = 0; {Contador de iterações sem melhora} 2 enquanto (Iter < IterMax) faça 3 Iter = Iter + 1; 4 Selecione aleatoriamente s N(s); 5 se ( f (s ) < f (s)) então 6 Iter = 0; 7 s s ; 8 fim se 9 fim enquanto 10 Retorne s; fim Algoritmo 1: Pseudocódigo do Método de Descida Randômica. O Algoritmo 1 apresenta o pseudocódigo da heurística de refinamento, Descida Randômica, aplicada ao melhoramento de uma solução s em um problema de minimi-

28 3.2 Heurísticas de Refinamento 27 zação de uma função f (.). Uma estrutura de vizinhança N(.) é utilizada para selecionar aleatoriamente uma solução vizinha. ItexMax é o número máximo de iterações sem melhora no valor da função de avaliação. Na Seção seguinte é descrita a metaheurística de Pesquisa em Vizinhança Variável. Um método de busca local que permite escapar do ótimo local Método de Pesquisa em Vizinhança Variável O Método de Pesquisa em Vizinhança Variável (Variable Neighborhood Search - VNS), proposto por Mladenovic e Hansen (1997), explora o espaço de soluções até encontrar uma solução melhor que a corrente. Essa técnica é de fácil entendimento e implementação. Além disso, em problemas diversificados foi constatado o bom desempenho desse método robusto e eficiente, como em Pisinger e Ropke (2007) e Grosan e Abraham (2007). O pseudocódigo do método VNS é apresentado no Algoritmo 2. Algoritmo VNS(); 1 Seja s 0 uma solução inicial; 2 Seja r o número de estruturas diferentes de vizinhança; 3 s s 0 ;{Solução Corrente} 4 enquanto (Critério de parada não for satisfeito) faça 5 k 1; 6 enquanto (k r) faça 7 Gere um vizinho qualquer s N (k) (s); 8 s BuscaLocal(s ); 9 se ( f (s ) < f (s)) então 10 s s ; 11 k 1; 12 senão 13 k k + 1; 14 fim se 15 fim enquanto 16 fim enquanto 17 Retorne s; fim Algoritmo 2: Pseudocódigo do Método VNS. A técnica VNS explora o espaço de soluções por meio de trocas criteriosas de estruturas de vizinhança. Essa metaheurística não segue um trajetória. As vizinhanças são exploradas gradativamente mais distantes da solução corrente e focaliza a busca

29 3.2 Heurísticas de Refinamento 28 em torno de uma nova solução, se um movimento de melhora é concluído. Essa técnica possui um método de busca local que é aplicado a solução corrente. A busca local pode utilizar diferentes estruturas de vizinhanças (SOUZA, 2005).

30 29 4 OTIMOESTRUTURA E INSANE Neste capítulo é apresentado o software de otimização estrutural correlato e o outro de análise estrutural. O primeiro, desenvolvido por Pereira (2007), é utilizado para otimizar estruturas treliçadas de 10, 18 e 47 barras. Para isso, foram utilizados métodos heurísticos computacionais como, Algoritmos Genéticos, Pesquisa em Vizinhança Variável, GRASP, Recozimento Simulado, Busca Tabu e Colônia de Formigas. O segundo é um software de análise estrutural desenvolvido por pesquisadores da UFMG (FONSECA; PITANGUEIRA, 2004). Esse último atua de forma integrada com o OtimoEstrutura para calcular valores relativos à engenharia com a finalidade de ajudar a validar a estrutura tratada. 4.1 OtimoEstrutura O software OtimoEstrutura, desenvolvido por Pereira (2007), objetiva analisar o comportamento dos métodos heurísticos aplicados ao problema de otimização estrutural. As heurísticas computacionais implementadas para solucionar o problema de treliças planas são utilizadas com o intuito de fornecer métodos alternativos para minimizar o peso e, consequentemente, o custo destas estruturas. Existem restrições impostas pelo projeto que devem ser respeitadas para diminuir o peso da treliça, como tensão e deslocamento máximos permitidos. As heurísticas, Algoritmos Genéticos, Pesquisa em Vizinhança Variável, GRASP, Recozimento Simulado, Busca Tabu e Colônia de Formiga são implementadas para os problemas de otimização de treliças com 10, 18 e 47 barras. Uma análise dos resultados e comportamentos de cada heurística implementada é realizada, sendo descritas as vantagens e desvantagens de cada método. Segundo o autor, o Algoritmo Genético é bastante eficiente para o problema com treliça de 10 e 18 barras. Os métodos VNS e GRASP não apresentam resultados

31 4.1 OtimoEstrutura 30 satisfatórios para treliça com 18 e 47 barras. O Recozimento Simulado comprova ser o melhor método de relação custo/benefício, por possuir fácil implementação e calibração, além de obter bons resultados com um tempo computacional reduzido. Busca Tabu e Colônia de Formigas são eficientes, principalmente quando o problema tratado exige qualidade de respostas e tempo computacional. O AG de Pereira (2007), descrito na Seção a seguir, foi escolhido para ser modificado nesta pesquisa com a finalidade de encontrar melhores resultados. No novo AG proposto foram modificados os operadores genéticos e implementado um método de busca local, Descida Randômica e uma metaheurística, VNS, para refinar os indivíduos de cada geração. Além disso, para um dos problemas de treliça é realizada a otimização de forma da estrutura Algoritmo Genético O algoritmo proposto utiliza representação real, de maneira que cada posição do cromossomo é um valor real para a área de seção transversal das barras da treliça tratada. Os parâmetros de calibragem utilizados foram: o tamanho da população definido em 20 indivíduos, o número máximo de gerações foi de 1500, e as probabilidades de ocorrer mutação e crossover foram 30% e 60%, respectivamente. Representação do cromossomo O cromossomo de uma estrutura treliçada com N barras é representado por um vetor com N posições. Cada posição contém o valor da área da seção transversal de cada barra. Geração inicial O processo de geração inicial gera indivíduos aleatórios e factíveis (que respeitam as restrições de projeto), a partir de uma população inicial aleatória. Para garantir a factibilidade dos indivíduos é verificado se o indivíduo gerado aleatoriamente não possui alguma barra que viole a tensão máxima permitida ou o deslocamento.

32 4.2 INSANE 31 Crossover No crossover são gerados dois filhos a partir do cruzamento de dois pais até que a nova população tenha 20 indivíduos. O sistema determina com uma probabilidade de 50%, a escolha de uma das duas possibilidade de ocorrer crossover, Clássico ou Adicional. O crossover Clássico gera um mesmo ponto de corte nos cromossomos pais. Para gerar o filho, cruzam-se os pais, sendo a metade inicial do primeiro pai, com a metade final do segundo pai. Quando o crossover Adicional é escolhido, geram-se 2 pontos de corte nos cromossomos pais, dividindo-os em três partes. O filho 1 recebe a primeira parte do pai 1 e a segunda parte do pai 2. A terceira parte é do próprio filho 1, que foi inicializado com valores para as áreas de seção transversal de acordo com o intervalo encontrado nas restrições de projeto. O filho 2 recebe a segunda parte do pai 1 e a primeira parte do pai 2, a terceira parte é do próprio filho 2. Mutação Na mutação, um indivíduo é escolhido aleatoriamente e um dos genes desse cromossomo, que contém um valor da área de seção transversal de determinada barra, é modificado também de forma aleatória. Quando um indivíduo é selecionado para sofrer mutação, pode-se tornar infactível. Caso isso ocorra, realiza-se a mutação novamente até que seja factível. Seleção A técnica de seleção utilizada é Elitismo. Para cada geração, a população é ordenada e o operador de seleção escolhe a metade dos indivíduos da população, sendo que os mais aptos tem maior probabilidade de serem selecionados. 4.2 INSANE O INSANE (Interactive Structural Analysis Environment - Ambiente Interativo de Análise Estrutural) é um projeto do Departamento de Engenharia de Estruturas da UFMG que visa o desenvolvimento de softwares na área de métodos numéricos e computacionais aplicados à engenharia. Esse software foi cedido por Fonseca e Pitangueira (2004).

33 4.2 INSANE 32 Segundo Penna e Pitangueira (2007), o programa de análise estrutural possui aplicações gráficas interativas de pré-processamento (criação de modelos com recursos gráficos), processamento (resolução numérica do modelo) e pós-processamento (visualização dos resultados), de modelos discretos para problemas de engenharia. Fonseca (2008) define que o processamento é uma aplicação que representa o núcleo numérico do sistema e é o responsável pela obtenção dos resultados de diferentes modelos discretos de análise estrutural. O pré-processamento é utilizado para criar modelos com recursos gráficos interativos. Os resultados podem ser visualizados por meio de aplicações gráficas de pós-processamento. O INSANE foi implementado conforme o paradigma de orientação a objetos na linguagem de programação JAVA, o que facilitou a integração com o OtimoEstrutura. Nesta pesquisa, o INSANE é utilizado para realizar a análise estrutural do problema investigado e verificar a factibilidade da estrutura otimizada quanto aos requisitos do projeto. Ao inicializar o OtimoEstrutura é necessário carregar um arquivo XML (IniFile.XML) com informações importantes, que definem as características do problema abordado. O objetivo desse arquivo é fornecer dados ao INSANE para realizar a análise das soluções. Para cada problema é preciso alterar as informações desse arquivo, que estão relacionadas à quantidade de barras da estrutura, o deslocamento máximo permitido, a tensão máxima suportada, a massa específica do material, os intervalos das áreas de seção transversal permitidos das barras, o intervalo de variação das coordenadas nodais, o tempo máximo de execução para o Algoritmo Genético, a precisão de casas decimais para os cálculos e o caminho do arquivo gerado no INSANE. Esse arquivo, com extensão.isn, deve ser criado no INSANE antes de iniciar o OtimoEstrutura. Ele contém a modelagem do problema abordado, ou seja, o formato da treliça, a quantidade de barras, os valores das áreas das seções transversais, as coordenadas nodais e as cargas aplicadas em cada nó. A cada melhora da solução do problema tratado é criado o arquivo MELHOR.XML, que armazena todas as informações dessa solução e outras necessárias para serem importadas pelo INSANE. Desse modo, é possível visualizar o resultado da forma da melhor estrutura treliçada encontrada. O INSANE é carregado em segundo plano e aguarda as estruturas que serão analisadas. O OtimoEstrutura gera uma determinada configuração de barras, criada por meio do arquivo de inicialização, citado anteriormente. Após essa etapa o arquivo que contém o modelo do INSANE, informado no IniFile.XML é acessado. Desse modo, é

34 4.2 INSANE 33 possível modificar as áreas de seção transversal do modelo conforme com a configuração gerada, ou seja, atualizar o modelo de acordo com a solução analisada. Para alguns problemas, as coordenadas nodais também podem ser modificadas. A partir daí, é executado o método analysemodel() da classe StructuralMech do INSANE. Este comando analisa o modelo e retorna os valores, como deslocamentos dos nós, comprimentos e ações nas extremidades das barras. Esses são necessários para garantir que a solução do problema seja válida. O comprimento é importante para calcular o peso da estrutura. A ação na extremidade de cada barra é utilizada para calcular a tensão, como mostra a Equação 5.4 na Seção A tensão de uma barra é o resultado da força aplicada na barra dividida pela área da seção transversal da mesma. O calculo para verificar a tensão máxima permitida é realizado no OtimoEstrutura. O deslocamento é calculado pelo INSANE e verificado, quanto ao máximo permitido, no software de otimização. Cada barra que violar a tensão ou o deslocamento é penalizada com um valor alto, conforme função de avaliação mostrada na Equação 5.3, na Seção A integração dos dois sistemas funciona de maneira eficiente. A troca de informações entre eles é rápida, o que garante menor tempo para realização das análises sem afetar o desempenho dos algoritmos. Em Pereira (2007) é explicada a integração e o funcionamento dos dois sistemas com mais detalhes, além de outras informações, como implementação dos algoritmos, aplicação, resultados e análises. Segundo Pereira (2007), os resultados obtidos foram considerados excelentes. A maioria das soluções encontradas foram melhores que os valores de referência para alguns problemas. Dentre as heurísticas implementadas, o Algoritmo Genético destacou-se pela eficiência e robustez. Esse algoritmo pode ser melhorado com a hibridização, ou seja, com a utilização de outra heurística a fim de refinar as soluções obtidas com o AG. Então, a pesquisa atual tem por objetivo implementar um algoritmo evolutivo híbrido, baseado nos mecanismos de AG com heurísticas de refinamento para encontrar melhores resultados. Esse algoritmo é explicado com detalhes no capítulo seguinte.

35 34 5 IMPLEMENTAÇÃO DOS ALGORITMOS Este capítulo apresentada as características do Algoritmo Evolutivo Híbrido (AEH) proposto para a solução dos problemas de otimização estrutural de treliças planas. O AEH foi implementado com base nos Algoritmos Genéticos. Métodos de refinamento foram utilizados após a evolução da população, o que caracteriza um Algoritmo Híbrido. As técnicas abordadas foram Método de Busca Local Descida Randômica e Pesquisa em Vizinhança Variável. A representação utilizada no AG foi real, ou seja, o cromossomo é representado por um vetor de reais, contendo as áreas de seção transversal e as coordenadas nodais. Os valores do cromossomo representam a treliça que deve ser minimizada. Foram utilizados dois tipos de estruturas do AEH para os problemas. O primeiro algoritmo implementado, Algoritmo Evolutivo Híbrido 01 (AEH01), é apresentado na Seção Já a Seção mostra a segunda proposta para o Algoritmo Evolutivo Híbrido 02 (AEH02), que permite alterar a forma da estrutura treliçada. O AEH01 inicia com a geração de duas populações. Uma com 20 indivíduos, sendo todos factíveis e outra com o mesmo número, mas sem verificar a factibilidade. Depois, calcula-se a função de avaliação dessa população inicial e aplica-se a busca local Descida Randômica ou VNS. Após o refinamento da solução inicial é gerada uma nova população com a utilização dos operadores genéticos. Para isso, primeiramente aplica-se mutação (probabilidade de 30%) no filho 1. Realiza-se mutação forçada no segundo filho, caso o filho 1 tenha sofrido mutação. A mutação forçada é utilizada para gerar somente indivíduos factíveis. Não é verificada a probabilidade de mutação nesse caso. Não ocorrendo mutação, realiza-se crossover (probabilidade de 60%) Clássico ou Adicional. Caso não ocorra crossover, os dois filhos recebem uma cópia dos pais e realiza-se mutação nos descendentes de acordo com a probabilidade. Após gerar todos os novos indivíduos é realizada a avaliação da população para descobrir

36 5.1 Algoritmo Evolutivo Híbrido 35 o melhor peso. O AEH02 gera uma solução inicial aleatória com uma população de N/2 indivíduos, realiza crossover até completar a população com N indivíduos. Depois, ocorre mutação, os cromossomos são avaliados e aplica-se a metaheurística VNS ou Descida Randômica. São selecionados N/2 indivíduos para pertencer a nova população por meio das técnicas de Elitismo e Roleta Russa. Esse processo é realizado até o número máximo de gerações. As estruturas do AEH01 e AEH02 são descritas com detalhes nas seções seguintes. 5.1 Algoritmo Evolutivo Híbrido O Algoritmo Evolutivo Híbrido proposto é baseado nos mecanismos de Algoritmos Genéticos com heurísticas de refinamento. Dois método de busca local são implementados no AEH para refinar as soluções a fim de encontrar melhores resultados. As heurísticas utilizadas são Pesquisa em Vizinhança Variável (VNS) e Descida Randômica. A motivação para o desenvolvimento do AEH é grande quantidade existente na literatura de aplicações que utilizaram essa técnica para resolver algum tipo de problema e obtiveram bons resultados. Além disso, o AG implementado por Pereira (2007) obteve boas soluções em relação ao valor de referência do problema tratado e um excelente desempenho, converge rápido para bons resultados. No entanto, a utilização de algoritmos evolutivos com método de refinamento pode melhorar ainda mais a solução. Os algoritmos evolutivos buscam tratar estruturas de objetos abstratos de uma população. Por exemplo, variáveis de um problema de otimização, dos quais são manipulados por operadores inspirados na evolução biológica. Esses operadores objetivam a busca para a solução de um problema e são comumente chamados de operadores genéticos. Algoritmo Genético é uma técnica de busca aleatória direcionada capaz de obter a solução ótima global num espaço de busca complexo multidimensional. Os AG são baseados na evolução natural das espécies, usando operadores genéticos inspirados no processo de evolução natural. Estes operadores manipulam indivíduos de uma po-