Planejamento da Irrigação com Uso de Técnicas de Otimização

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1 4 Revista Brasileira de Agricultura Irrigada v.,., p.4 49, 007 Fortaleza, CE, INOVAGRI Protocolo //007 Aprovado em 09//007 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização José Atôio Frizzoe INTRODUÇÃO A melhoria da eficiêcia da irrigação deve ateder a uma aálise holística das fases pelas quais se passa o processo. A aproximação holística, tão ecessária para eteder a agricultura irrigada, é icorporada através da cosideração de todos os fatores que podem iflueciar a forma como a água é usada, sejam eles técicos, ecoômicos, políticos, sociais ou ambietais. A aálise pode ser posteriormete refiada pela poderação do impacto de cada fator que ifluecia o uso da água em uma dada situação (Burto, 999). Para eteder o que acotece em um sistema de irrigação é ecessário realizar aálise de diagóstico para idetificar as causas e os efeitos. A complexidade e a atureza das especificidades locais costituem a grade dificuldade para a Professor Titular do Departameto de Egeharia Rural, Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Uiversidade de São Paulo, C.P. 9, , Piracicaba, São Paulo, Brasil. frizzoe@carpa.ciagri.usp.br solução de muitos problemas poteciais a agricultura irrigada. Problemas e soluções são melhores tratados em um diagrama de árvore ode um dado problema pode ter, ao mesmo tempo, causa e efeito, isto é, um problema A é causado por um problema B, e causa um problema C. O problema C, por outro lado, causa um problema D. Assim, uma distribuição de água ieficiete pode ser causada por um caledário de irrigação iadequado e tem o efeito de proporcioar desuiformidade da produtividade das culturas. O uso de um caledário de irrigação iadequado pode ser causado por falta de treiameto dos irrigates, pequeo ível de motivação, iadequada coleção de dados, etc. A idetificação dos fatores evolvidos forma a base para um sistema hábil para a aálise de diagóstico. Ao idetificar soluções poteciais é importate ivestigar a exeqüibilidade daquelas soluções. Melhorar o maejo da irrigação e a operação dos sistemas através de treiameto só é possível se as pessoas evolvidas aplicarem o treiameto. Elas devem, portato, ser motivadas e ter as facilidades ecessárias. A maior restrição para osso etedimeto sobre o uso da água é a dificuldade associada com sua medida e quatificação. Medições e registros de umidade do solo, vazão, pressão do sistema, variáveis de clima são raros e providos erros poteciais. A determiação correta quatidade de água requerida pela cultura em períodos específicos do seu desevolvimeto é difícil, se ão impossível, para a maioria dos irrigates. Sem a previsão da lâmia de irrigação defiida como objetivo, é pouco provável que os agricultores apliquem a quatidade de água ecessária. Dado o úmero e a atureza das variáveis que ecessitam ser cohecidas (umidade do solo a capacidade de campo, coteúdo de água o solo em um dado mometo, profudidade das raízes, vazão dispoível, vazão aplicada, etc.) ão é surpreedete que a eficiêcia de aplicação para a maioria dos irrigates seja relativamete baixa como poderia ser diferete?

2 José Atôio Frizzoe 5 Questões que poderiam ser dirigidas a esse respeito são: como o irrigate poderia decidir quado e quato irrigar? Como ele sabe quado aplicou suficiete quatidade de água? É eficiete a forma como o irrigate opera o sistema de irrigação em fução da sua experiêcia? Seu ível educacioal, seu cohecimeto, o acoselhameto que ele procura são adequados? Na formulação das metas para uso de água é coveiete re-aalisar e cosiderar ão só quato a água é produtiva, mas sim qual a produtividade potecial está sedo perdida pelo maejo iadequado do recurso hídrico. Um exemplo clássico é a escassa ateção dada à perda produtiva potecial por falhas proveietes da falta de mauteção dos sistemas de irrigação. As perdas poteciais, ao logo dos aos, podem somar uma quatidade muitas vezes maior do que a quatidade de recursos fiaceiros ecessários para a adequada mauteção do sistema. As perdas de produtividade potecial os projetos de irrigação, decorretes da mauteção iadequada, são pouco discutidas a literatura. Estudos recetes sobre uso da água em sistemas de irrigação têm questioado a validade da preocupação com as baixas eficiêcias de codução e aplicação quado a água resultate da dreagem é re-usada à jusate do sistema. Etão, a questão que surge é a seguite: é mais coveiete focar o re-uso da água de dreagem em vez de focar a melhoria do maejo da água derivada à parcela e do sistema de irrigação? Para melhorar o maejo da irrigação é ecessário estabelecer procedimetos para a avaliação do desempeho dos sistemas. A teoria do maejo requer que os objetivos sejam idetificados e defiidos; as metas sejam fixadas, e as medidas e os idicadores de desempeho sejam usados para moitorar a cosecução das metas e, por coseguite, os objetivos. A iadequação de procedimetos para avaliação do desempeho foi idetificada por pesquisadores os meados dos aos 80, quado eles estudaram como os sistemas de irrigação estavam sedo maejados. Desde etão muitos trabalhos de avaliação de desempeho foram coduzidos. Aida serão ecessárias pesquisas para idetificar medidas práticas para ateder às demadas da avaliação de desempeho de diferetes tipos de sistemas de irrigação e de dreagem. A dissemiação destas iformações em um formato utilizável pelos técicos da extesão rural e pelos irrigates é crucial para proporcioar melhoria o maejo e uso da água. A caracterização dos tipos de sistemas de irrigação está associada com as questões do desempeho. Se as soluções para o baixo desempeho estão sedo aplicadas a outros sistemas além daqueles para os quais as pesquisas foram coduzidas, é ecessário um procedimeto para descrever e categorizar os sistemas de forma que as soluções poteciais possam ser trasferidas. Uma das mais surpreedetes características do maejo dos projetos públicos de irrigação é a aceitação tácita de que pouco ou ada pode ser feito os projetos de gestão goverametal para relacioar salários e remueração com desempeho dos projetos de irrigação. A creça de que os fucioários públicos ão podem ser recompesados pelas suas ações e o desempeho de um projeto de irrigação é ierete, é que faz o Baco Mudial e outras agêcias de fiaciameto forçarem os goveros a mudar ou privatizar os projetos de irrigação. Existe espaço para idéias iovadoras para sugerir formas para remuerar os técicos de agêcias públicas visado um bom desempeho dos projetos, em vez de fechar os olhos e seguir corrupto e cotiuar com práticas ijustas. Sob esse foco muitas oportuidades valiosas idetificadas pela pesquisa podem falhar ao serem implemetadas. O grau de desevolvimeto que segue a agricultura irrigada em algus países é uma valiosa oportuidade para acumular experiêcia. O desevolvimeto que tem acotecido em certos países, as razões e as aptidões ambietais para tal desevolvimeto, forecem idicações para o desevolvimeto em outros países. Existe uma progressão atural detro da sociedade para adaptar e refiar sua tecologia de irrigação com base a sua própria história e o ambiete R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

3 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 6 político/técico/ecoômico. Têm ocorrido aprimorametos o setido de melhorar a eficiêcia de uso da água e a coservação da eergia (sistematização do terreo a laser para irrigação por superfície; irrigação por superfície com vazão itermitete; sistema de re-uso da água escoada o fial da parcela; substituição de sistemas de irrigação meos eficietes por mais eficietes como microirrigação). Estes aprimorametos têm seguido aproximações passo-a-passo e, equato as restrições têm sido ateuadas, ovos desafios têm sido ecotrados. É valioso observar a experiêcia de outros países a busca de modelos para o processo de desevolvimeto. A avaliação do desempeho dos sistemas de irrigação ecessita ser focada em três áreas: primeiramete, o etedimeto sobre o que está acotecedo. Segudo, como as avaliações podem melhorar as práticas de maejo da irrigação e, terceiro, ode existe a ecessidade de adoção de tecologias, de práticas e de procedimetos para maior eficiêcia do uso de água. Dada a limitação a dispoibilidade de recursos fiaceiros para os trabalhos de avaliação, ateção também precisa ser dada a quato dos resultados serão úteis e aplicados e a extesão dos impactos obtidos. Serão ecessárias avaliações sobre a probabilidade das técicas de maejo serem adotadas e do potecial para cotribuir positivamete com a redução do desperdício de água, com o aumeto da produtividade e com o aumeto da reda do irrigate. Este texto procura apresetar técicas de maejo da irrigação que proporcioam aumeto da eficiêcia do uso da água e idetificam estratégias para a otimização da irrigação, visado à maximização do lucro da atividade agrícola, à ecoomia de água e à redução dos impactos ambietais decorretes da irrigação. Trata-se da maximização do lucro a propriedade agrícola, o que represeta um problema de otimização. Serão discutidas as características esseciais da otimização da irrigação focado algumas aálises simples, que geralmete descosideram muitas das complexidades da agricultura real, mas que poderão ilustrar a atureza essecial da otimização da irrigação. ENFOQUES DO MANEJO DA IRRIGAÇÃO O maejo racioal da irrigação pressupõe o uso criterioso do recurso hídrico dispoível para se maximizar a produtividade das culturas com o uso eficiete da água, da eergia, dos fertilizates e de outros isumos empregados a produção, cosiderado os aspectos sociais e ecológicos da região. Outros objetivos também podem ser estabelecidos, como maximizar a receita líquida por uidade de volume de água ou por uidade de área irrigada. As práticas covecioais de irrigação baseiam-se a ecessidade de água da cultura, defiida pela demada evapotraspirométrica, e a eficiêcia de aplicação de água. Para dar suporte à formulação de caledários de irrigação as pesquisas tem sido guiadas sob quatro efoques de maejo da irrigação: irrigação total, irrigação suplemetar, irrigação com déficit e irrigação de salvação. Na irrigação total, toda água ecessária para ateder a demada evapotraspirométrica da cultura é proveiete da irrigação. Esse tipo de maejo é aplicado em regiões de clima árido ou semiárido, ou em regiões ode a precipitação é isigificate. Na irrigação suplemetar, a água ecessária ao atedimeto da demada evapotraspirométrica da cultura o itervalo etre duas irrigações cosecutivas, é proveiete, em parte, da irrigação e, em parte, da precipitação pluviométrica efetiva. Nesse caso diz-se que a irrigação suplemetará a precipitação efetiva o atedimeto da demada de água da cultura. Na irrigação com déficit, plaeja-se ateder somete uma fração da demada de água da cultura por evapotraspiração. Esse tipo de maejo pode ser praticado com irrigação total e com irrigação suplemetar. O déficit de água pode ser imposto durate todo o ciclo da cultura ou somete as fases ão críticas ao déficit hídrico. Neste último caso, são R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

4 José Atôio Frizzoe 7 possíveis meores reduções a produtividade da cultura. Na irrigação de salvação, o objetivo é irrigar somete um período relativamete curto ou um estádio do cultivo. Exemplo típico ocorre a irrigação da caa-de-açúcar, ode se aplica por irrigação, a vihaça ou a água proveiete da lavagem da caa, em duas ou três aplicações de 30 a 60 mm por mês, após o platio para caa plata, ou após os cortes para caa soca (Matiole, 998, Berardo, 006). Esse tipo de maejo também tem sido utilizado a cultura do milho, o período do pré-pedoameto, e a cultura do feijão, ates da floração e a formação dos grãos, quado ocorre falta de chuvas esses períodos. São duas as estratégias para o plaejameto da irrigação: (a) suprir totalmete a ecessidade de água da cultura, em codições de irrigação total ou irrigação suplemetar atedimeto pleo da demada evapotraspirométrica da cultura, ou irrigação sem déficit, e (b) suprir parcialmete a ecessidade de água da cultura, em codições de irrigação total ou suplemetar atedimeto parcial da demada evapotraspirométrica da cultura, ou irrigação com déficit. Na irrigação sem déficit, o objetivo é aplicar uma quatidade média de água, capaz de suprir totalmete o déficit hídrico e de proporcioar a máxima produção por uidade de área, evitado perda de produtividade ou de qualidade do produto por deficiêcia de água. Com esse objetivo fica implícito que a dispoibilidade de água ão é fator limitate da produção. Como a aplicação de água ão é totalmete uiforme o espaço, o excesso de água poderá reduzir a produção da cultura pela redução da aeração do solo, por lixiviação de utrietes e por doeças associadas a solos úmidos. Os íveis precoizados de eficiêcia técica da irrigação plaejada para satisfazer pleamete a demada de água da cultura são aqueles possíveis de obter com um grau míimo de adequação da irrigação de 90%, para culturas de alto ou médio valor ecoômico, ou de 75% para culturas de baixo valor ecoômico (Cueca, 989). A irrigação covecioal é, desse modo, defiida em termos da quatidade de água a ser aplicada para evitar déficit hídrico em 90% ou 75% da área. Esses ídices costituem, até hoje, os fudametos da irrigação padrão em todo o mudo. O grau de adequação se refere à fração da área que deve receber água suficiete para evitar perdas de produtividade ou de qualidade do produto. A irrigação para ateder pleamete a demada de água da cultura é um problema relativamete simples e claramete defiido, com o objetivo de maximizar a produção por uidade de área. Na irrigação com déficit, o objetivo é maximizar a produção por uidade de volume de água aplicada (eficiêcia de uso da água = eficiêcia produtiva, atualmete deomiada produtividade da água). Com esse objetivo, visa-se a aumetar a eficiêcia de uso da água e ecoomizar água pelo aumeto da eficiêcia de aplicação (eficiêcia técica), redução das perdas de água e redução da eficiêcia de armazeagem (Phee, 989), pressupodo-se que a dispoibilidade de água costitui limitação à produção agrícola e que o maejo da irrigação deve priorizar a miimização das perdas de água. Se a lâmia de irrigação for meor que a evapotraspiração da cultura o período (irrigação com déficit), o grau de adequação será reduzido, as produtividades serão meores, mas, como resultado, reduz-se a percolação, aumeta-se a eficiêcia de aplicação e há redução os custos operacioais da irrigação e redução da lixiviação de produtos químicos. Uma mudaça fudametal deverá ocorrer o maejo da irrigação os próximos aos, em decorrêcia das pressões ecoômicas sobre os agricultores, da crescete competição pelo uso da água e dos impactos ambietais da irrigação. Tais fatores motivarão uma mudaça de paradigma da irrigação, efocado-se, além da eficiêcia técica/produtiva, a eficiêcia ecoômica. Esse ovo efoque pode ser descrito simplesmete como otimização e o argumeto é que a mudaça é fudametal, desejável e ievitável e será um avaço sigificativo as práticas atuais, já que uma produção eficiete e retável deve costituir o pricipal objetivo ecoômico de uma R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

5 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 8 empresa agrícola. A otimização da irrigação cosidera explicitamete os custos e os lucros, porém, maximizar a lucratividade é um problema substacialmete mais complexo e desafiador. Idetificar estratégias ótimas de irrigação ecessitará de modelos detalhados das relações água-cultura e eficiêcia de irrigação. Fatores ecoômicos, como custos de produção, preços do produto, custos de oportuidade da água, deverão ser explicitamete icorporados as aálises. A otimização da irrigação ão deve ser cofudida aqui com o maejo da água a parcela, ou com o moitorameto sistemático da umidade do solo ou do estado hídrico da cultura para se determiar quado e quato irrigar. Isso ão quer dizer, etretato, que este moitorameto ão seja parte do efoque de otimização. Pelo cotrário, ovas e mais sofisticadas técicas de moitorameto da irrigação serão ecessárias para implemetar plaos ótimos de irrigação. OTIMIZAÇÃO DA IRRIGAÇÃO PARA UMA CULTURA Uma irrigação ótima implica meores lâmias aplicadas em relação à irrigação plea, com coseqüete redução da produtividade da cultura, porém com algumas vatages sigificativas. Os beefícios poteciais da irrigação com déficit advêm de três fatores: aumeto da eficiêcia de irrigação; redução dos custos da irrigação e redução dos riscos associados aos impactos ambietais adversos da irrigação plea. Muitos pesquisadores aalisaram os beefícios ecoômicos da irrigação ótima em circustâcias específicas e cocluíram que a técica pode aumetar a receita líquida proporcioada pelas culturas irrigadas (Steart; Haga; Pruitt, 974; Eglish; Nuss, 98; Frizzoe, 986; Eglish; Nakamura, 989; Marti; Brockli; Wiles, 989; Eglish, 990; Frizzoe et al., 995; Frizzoe et al., 997; Calheiros et al., 996; Queiroz et al., 996; Sousa; Frizzoe; Peres, 998; Heiema et al., 000; Adrade Júior et al., 00; Heiema; Souza; Frizzoe, 00; Frizzoe et al., 00; Paz et al., 00; Eglish; Solomo; Hoffma, 00). Embora a otimização da irrigação teha sido tema de pesquisa por mais de quatro décadas, ehum procedimeto ótimo, sistemático e rigoroso está sedo usado a agricultura produtiva atualmete. Eglish; Solomo e Hoffma (00) citam uma revisão de literatura sobre esse tema, apotado muitos artigos baseados em teorias, mas ão citam exemplos de otimização sistemática em codições de campo. Apresetam uma pesquisa iformal com 4 profissioais-chave em irrigação, pergutado aos etrevistados se eles estavam coscietes de qualquer aplicação sistemática dos pricípios da otimização em áreas de produção agrícola. A coclusão foi que ehum podia citar qualquer exemplo de estratégia de otimização com base cietífica rigorosa, em ehuma parte do mudo, apesar de muitos relatarem algumas estratégias ituitivas visualizadas por algum produtor. Uma revisão dos livros-textos de irrigação mais comus mostra que sempre é recomedado o dimesioameto formal da irrigação para a máxima produtividade das culturas. Algus textos recomedam que o sistema de irrigação deverá aplicar a quatidade de água ecessária para satisfazer a demada total da cultura (James, 988; America Society Of Civil Egieers, 990). Em outros textos o procedimeto é baseado a máxima depleção admissível de água o solo e, embora o ível de depleção seja escolhido pelo projetista, sempre implica irrigação plea (Keller; Blieser, 990; Berardo, 995). Apeas um dos textos revisados (Cueca, 989) sugere que sob algumas circustâcias pode ser permitida maior depleção de água o solo, resultado a dimiuição da produtividade e o aumeto da lucratividade, em relação aos maiores custos da irrigação plea. Etretato o autor chama a ateção para o fato de que tal prática poderá aumetar o risco de uma grade redução da produtividade, devido às iesperadas falhas do equipameto de irrigação ou à ocorrêcia de codições climáticas adversas. R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

6 José Atôio Frizzoe 9 A aparete relutâcia para explorar completamete o coceito de irrigação ótima em um cotexto formal, os livros-texto, deve-se possivelmete à creça de que os beefícios dessa técica podem ão justificar os riscos associados. Fuções de produção, custos e receitas Para desevolver estratégias ótimas de irrigação, é ecessário utilizar relações etre a água aplicada e a produtividade, deomiadas fuções de produção águacultura (Frizzoe, 998). Tais fuções deveriam basear-se a evapotraspiração (ET), em vez de relacioar a produtividade com a água aplicada, porque seriam mais idepedetes do sistema de irrigação, do solo e de outros fatores locais que iflueciam a forma da curva. Mas, a prática, os irrigates cotrolam a lâmia aplicada e ão a ET. Para baixos íveis de irrigação, iferiores a cerca de 50% da irrigação plea, a produção tede a variar liearmete com a água aplicada (Vaux Jr.; Pruitt, 983; Hargreaves; Samai, 984). Além desse poto, a relação tora-se curvilíea com o aumeto da quatidade de água aplicada, como coseqüêcia das perdas por percolação profuda, por escoameto superficial e por evaporação, até atigir um máximo. Para quatidades de irrigação superiores a esse poto de máxima produção, ocorre um decaimeto da curva, refletido a dimiuição da produtividade, em decorrêcia das codições aaeróbicas as raízes, de doeças e de lixiviação de utrietes associadas ao uso excessivo de água. A irrigação ecessária é geralmete defiida como a quatidade de água requerida para atigir pleo potecial produtivo. Mas, devido à variabilidade espacial do solo e da água aplicada, ão é possível irrigar toda a área com perfeita uiformidade e, coseqüetemete, ão é factível atigir o pleo potecial produtivo em cada poto da área cultivada. Assim, para os objetivos das aálises aqui desevolvidas, deve-se iterpretar irrigação plea como a lâmia de água aplicada ( m ) capaz de proporcioar a maior produtividade média. Sedo y() a fução de produção água-cultura, em que y idica a produção por uidade de área (kg.ha - ) e a lâmia de água aplicada (mm), qual ível de água aplicada costituiria a irrigação plea? Se o objetivo é maximizar a produção por uidade de área, é ecessário apeas igualar a zero a primeira derivada da fução de produção, em relação à lâmia de água, e resolver para. Assim, o objetivo da irrigação plea é defiido por: y() = 0 () Assumido que a água é o úico fator variável e que a fução de produção águacultura é um poliômio do segudo grau (equação ), tem-se: 0 + r r y () = r + () dy() = r + r = 0 (3) d r m = (4) r y( m r ) = r0 (5) 4r A receita bruta da uidade técica é igual à produção da cultura multiplicada pelo preço do produto. Assim, as fuções de produção água-cultura e de receita bruta têm a mesma forma geral. Portato a quatidade de água que maximiza a produção por uidade de área ( m ) também maximiza a receita bruta. Neste poto, a eficiêcia margial da utilização de água é zero, uma vez que a aplicação de um volume adicioal de água ão produz acréscimo a produção. Sedo a quatidade de água aplicada iferior a m, a eficiêcia margial de um icremeto de água será maior que zero porque produzirá um certo icremeto de produção. A eficiêcia margial da água aumeta equato a quatidade de água aplicada dimiui. Dessa forma, a irrigação parcial aumeta a eficiêcia do uso da água. R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

7 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 30 A fução de receita bruta para a uidade técica pode ser expressa como: ( ) p y() Ib = (6) sedo: Ib() receita bruta da uidade técica por uidade de área, $ ha - ; p preço uitário do produto da uidade técica, $ kg - ; y () produtividade da cultura em fução da quatidade de água, kg ha -. A relação etre a quatidade de água aplicada e o custo total de produção deomia-se fução de custo e pode ser represetada por uma liha reta, possuido três importates características. A primeira é o itercepto com a ordeada, associado aos custos fixos auais de produção (custos de capital, taxas, seguros e outros custos fixos da irrigação, bem como custos fixos de preparo do solo, platio, cultivo, uso de defesivos, fertilizates e colheita). A seguda é a declividade, que represeta os custos margiais variáveis da produção, icluido os custos variáveis da irrigação (custos de bombeameto, de mão-de-obra evolvida a irrigação e de mauteção). Algus custos podem variar idiretamete com a irrigação, uma vez que a produção varia com a quatidade de água aplicada. Por exemplo, um agricultor pode ajustar o uso de fertilizates a uma expectativa de produtividade da cultura, que depede também da quatidade de água aplicada; os custos de colheita podem variar com a produtividade, e assim por diate. Todos esses fatores estão icorporados a declividade da fução de custo. A terceira característica da fução de custo é o seu limite superior, represetado a capacidade do sistema, que defie a máxima capacidade de derivação de água do sistema. Embora a fução de custo esteja represetada por uma reta, o caso geral, ela pode ser curvilíea, especialmete quado se cosideram os custos associados ao excesso de água aplicada, como custos da remoção do excesso de água e custos dos utrietes percolados ou perdidos por escoameto superficial. Assumido que é razoável utilizar uma fução de custo liear para a uidade técica (Hart; Norum; Peri, 980; Eglish, 990), tem-se: c ( ) c + h() c = (7) 0 + sedo: c() custo total de produção por uidade de área da uidade técica, $ ha - ; c 0 custos fixos de produção por uidade de área, $ ha - ; h() custos que depedem idiretamete da quatidade de água aplicada, $ ha - ; c custos que depedem diretamete da quatidade de água aplicada, $ m -3, e volume de água aplicada por uidade de área, m 3 ha -. Assumido, como codição simplificativa, que a soma dos custos fixos (c 0 ) e dos custos idiretamete depedetes da quatidade de água aplicada [h()] são costates (c f ), coforme sugerido por Hart; Norum e Peri (980) e Frizzoe (998), podese expressar a fução de custo total de produção da seguite forma: c ( ) c c = (8) f + Algumas aálises de custo cosideram somete os custos diretos da irrigação e ão levam em cota os outros custos da produção. Essa aálise icompleta coduz a uma sub-estimativa do valor ótimo do déficit de irrigação e do gaho a receita líquida. Deve-se salietar que a redução a quatidade de água aplicada e a coseqüete redução a produção ão implicam somete a redução dos custos da irrigação, mas também a redução os custos de fertilizates, de colheita e outros fatores da produção, e pode aida implicar a redução dos custos de capital evolvidos a derivação de água e os sistemas de irrigação. Eglish e Nuss (98) aalisaram a ecoomia potecial de custos que pode ser atigida por um projeto de irrigação especificamete dimesioado para a irrigação com déficit em uma cultura de trigo. A aálise foi desmembrada em três categorias: () redução os custos de irrigação (eergia, mauteção e mão-deobra) - 37% de ecoomia; () redução os custos fixos (custos de capital) - 36% de R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

8 José Atôio Frizzoe 3 ecoomia; (3) redução em outros custos de produção (tratos culturais, aplicações químicas, colheita) 7% de ecoomia. A fução de receita líquida da uidade técica para a fazeda, com área irrigada x, pode ser expressa da seguite forma: ou, Z() Z() = x [p y() c h() c ] (9) 0 = x [p y() c c ] (0) f Maximização da receita líquida com restrição de terra Frizzoe (986) apresetou uma aproximação aalítica para otimizar a irrigação. Utilizou uma fução de receita líquida por uidade de área e determiou a lâmia de água que maximiza Z(), isto é, o objetivo foi: dz()/d = 0. Esta derivada resulta em dy()/d = c /p, sigificado que, sedo a água o úico fator variável, a receita líquida por uidade de área se maximiza quado o produto físico margial da água (dy/d) for igual à relação de preços etre fator e produto (c /p). A receita líquida é maximizada para uma lâmia de água *, iferior a m (irrigação plea). Neste poto, a declividade da reta de custo é igual à declividade da curva de receita bruta. Para uma quatidade de água maior que *, a reta de custo tem uma declividade maior que a curva de receita bruta, uma vez que os custos totais são aumetados em uma proporção maior que a receita bruta. No itervalo etre * e m, o fazedeiro pode se beeficiar da redução de custos. Além disso, uma decisão para utilizar meor quatidade de água pode possibilitar uma redução de capital e de outros custos fixos. Cosiderado que a dispoibilidade de terra é o úico fator limitate da produção, a estratégia ótima de irrigação é aplicar a lâmia de água que maximiza a receita líquida por uidade de área. Para explicitar a restrição de terra e o preço sombra do recurso, Frizzoe (998) utilizou o processo de otimização com operadores de Lagrage. Assim, o objetivo da fazeda e a restrição de terra podem ser expressos, matematicamete, da seguite forma: ou, max Z() = x [p y() c 0 h() c ] () max Z() = x [p y() c f c ] () sujeito a: g = x x = 0 (3) sedo g a fução de restrição de terra, x a área irrigada e x a área dispoível para o cultivo. Aplicado-se operadores de Lagrage (L) para otimizar a fução-objetivo com restrição de terra, tem-se: L ( x,, λ) = x [ y().p c h() c ] λ( x x) 0 (4) A codição de ótimo é obtida igualado-se a zero as derivadas parciais da fução lagrageaa, em relação a, x e λ : L = x dy d p dh c d = L = y()p c0 h() c λ = 0 x L = x + x = 0 λ 0 (5) (6) (7) em que ( pdy / d) é o valor do produto margial da água; ( dh / d) é o custo margial dos fatores que depedem idiretamete da água e ( pdy / d dh / d) é o valor líquido do produto margial da água. A equação (5) idica que, o poto ótimo, o valor líquido do produto margial da água deverá ser igual ao custo da água. A equação (6) idica que o valor margial da terra λ = L / x é igual à receita líquida por uidade de área, a qual é determiada pela R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

9 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 3 quatidade de água, pelo preço do produto e pelos custos de produção. A máxima produção física só é justificada quado h() = 0 (ou dh/d = 0) e a água é livre (c = 0); caso cotrário, a quatidade de água aplicada por uidade de área é uma fução decrescete de c. Sedo o objetivo da fazeda expresso pela equação () e a dispoibilidade de terra o úico fator limitate da produção, obtém-se de L / a seguite relação: dy p d = (8) c sigificado que a quatidade ótima de água (*), para a qual a receita líquida por uidade de área é maximizada, correspode ao poto em que o valor do produto margial da água [(dy/d) p] se iguala ao seu custo margial [c = dc()/d]. A equação (8) idica que, o poto ótimo, a derivada da fução de produção será positiva e diferete de zero, ou seja, o poto de máximo lucro será ecotrado a porção ascedete da curva de produção. Assim, uma estratégia de maximização de lucro permitirá usar meos água por uidade de área que a de maximização da produção. Cosiderado uma fução de produção água-cultura a forma de um poliômio do segudo grau (equação ) e aplicado-se a equação (8), resulta: c r + r = (9) p c pr * = (0) r p Obtém-se o preço sombra da terra, que é uma medida do custo de oportuidade, pela derivada λ = L / x, fazedo-se = * e y() = y(*): ( r + r * + r * ) p c c * λ = () 0 f A quatidade ótima de água represeta apeas um poto sobre a curva de produção, tedo pouco sigificado prático. É possível defiir um itervalo de lâmia de irrigação o qual a receita líquida é maior que a obtida com irrigação para máxima produção. Coforme se observa a Figura, existe um itervalo de lâmia de água ode a irrigação com déficit é mais retável que a irrigação plea, tedo-se como limite iferior um valor el, que resulta uma receita líquida equivalete àquela produzida por uma quatidade de água m. No itervalo etre m e el, a irrigação com déficit é mais retável que a irrigação plea, para o caso em que a dispoibilidade de terra é o fator limitate da produção. A amplitude desse itervalo idica o grau de seguraça o maejo da irrigação com déficit. Se o itervalo é relativamete amplo, o risco associado à decisão pode ser pequeo. Um itervalo pequeo represeta maior risco e implica maior cuidado o maejo da irrigação. O valor ótimo, esse itervalo, é *, defiido pela equação (0). Qualquer quatidade de água etre el e m produzirá uma receita líquida, por uidade de área, maior que a obtida pela irrigação plea. O valor de el, para o qual a receita líquida é igual àquela que se cosegue com m, é obtido pela solução do seguite cojuto de equações: Z( Z( el m ) = x[p y( ) = x [p y( el ) c m f ) c f c c el ] m ] () (3) Substituido y( m ) e y( el ) as equações () e (3), a quatidade de água el é ecotrada para Z( el ) = Z ( m ), o que resulta em: p r c r p r el + (p r c ) el + = 0 4 r r (4) b + b 4 a c el = a (5) sedo: a = p r (6) b = p r c (7) c p r c r = (8) 4 r r R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

10 José Atôio Frizzoe 33 Aplicação : Para esta aplicação, utilizou-se uma fução de produção para a cultura do feijoeiro, cultivar carioca (Figura ), obtida por Figuerêdo et al. (998), o Cetro de Pesquisa Agropecuária dos Cerrados, Brasília DF, durate três aos de experimetação em campo (988, 990 e 99). A máxima produção física estimada (303,8 kg ha-) ocorre para uma lâmia total de água de 573 mm. Receita líquida ($/ha) el * Lâmia de água (mm) Figura - Itervalo para o maejo racioal da irrigação com déficit, quado a dispoibilidade de terra é fator limitate da produção Produtividade (kg/ha ) y( ) = -557,9 + 6,03-0,04 R = 0,798* m = 573 mm m y( m ) = 303,8 kg ha Lâmia total de água (mm) Figura - Fução de produção do feijoeiro, cultivar carioca, obtida por Figuerêdo et al. (998), o CPAC, Brasília DF, para a média dos aos de 988, 990 e 99. Nessa aplicação, utilizam-se os valores de preços e os custos de produção do feijoeiro, relatados por Frizzoe (995), para a região de Guaíra (SP), com sistema de irrigação por pivô cetral. No período de jaeiro a dezembro de 993, os preços reais da veda do feijão variaram de US$,07 a US$ 4,8 por saca de 60 kg, com média de US$3,5. Os custos variáveis diretamete depedetes da quatidade de água aplicada variaram etre US$0,3 e US$0,74 mm - ha -, com média de US$0,50 mm - ha -. O custo médio de produção, excetuado-se a irrigação, foi US$40 ha -. Para valores de c f = US$40 ha -, c = US$0,74 mm - ha - e p = US$0,5 kg -, obtiveram-se * = 50 mm e z(*) = US$69 ha - e a lâmia de água que produz uma receita líquida equivalete àquela obtida pela irrigação sem déficit é el = 467 mm sedo z( el ) = US$67 ha -. Os valores m = 573 mm e el = 467 mm represetam o itervalo em que o déficit de irrigação é mais retável, pois a receita líquida, detro desse itervalo, é maior que a obtida com a irrigação plea (Figura 3). Receita bruta e custo (US$/ha ) Rb ( ) = 0,5 y( ) c( ) = ,74 m = 573 mm * = 50 mm 00 el = 467 mm Lâmia total de água (mm) Figura 3 - Custos, receita bruta e receita líquida para a produção de feijoeiro, em fução da lâmia total de água aplicada, para c f = US$40 ha - ; c = US$0,74 mm - ha - e p = US$0,5 kg -, cosiderado limitação a dispoibilidade de terra. Em relação à irrigação sem déficit, o ível de irrigação de máximo lucro ecoomiza 53 mm de água (9,5%), sedo este o déficit ótimo (Tabela ). A irrigação com a lâmia de água el = 467 mm ecoomiza 06 mm de água (8,50%), sedo este um déficit ecoomicamete viável. Para a lâmia ótima de irrigação, em relação à lâmia para a produção máxima, a receita líquida por m 3 de água aplicada aumetou de US$0,73 m -3 para US$0,33 m -3, represetado um acréscimo de 3,47%. No limite iferior do itervalo de déficit viável, o aumeto foi de,63%. Observado-se os valores da Tabela, pode-se verificar que: (a) matedo-se o preço do produto (p), a lâmia ótima de irrigação dimiui equato os custos R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

11 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 34 associados à água de irrigação (c ) aumetam; (b) para uma mesma relação c /p, a lâmia ótima matém-se costate; (c) a receita líquida máxima aumeta à medida que c /p dimiui, atigido maiores valores para relações meores que ; (d) sedo p baixo e c alto, mesmo a aplicação da lâmia ótima pode ão justificar o ivestimeto em irrigação; (e) matedo-se p, o acréscimo a receita líquida ótima por m 3 de água aplicada, em relação à irrigação plea, aumeta com o aumeto de c ; (f) matedo-se p, o déficit ecoômico de irrigação aumeta com o aumeto de c ; (g) a receita líquida é muito depedete de p e, matedo-se c, a lâmia ótima aumeta com o aumeto de p e (h) maiores déficits ecoômicos de irrigação estão associados aos maiores valores de c. Maximização da receita líquida com restrição de água Quado a quatidade de irrigação é limitada pela dispoibilidade de água ou pela capacidade do sistema e a terra é relativamete abudate, a estratégia ótima de irrigação é aplicar uma lâmia de água que maximiza a receita líquida por uidade de volume de água (Frizzoe, 998). A restrição de água pode ser represetada pela seguite fução: g = x V = 0 (9) sedo V o volume de água dispoível. A seguite fução Lagrageaa pode ser formulada: L ( x,, λ) = x [ y()p c h() c ) ] λ ( x V) 0 (30) em que o multiplicador de Lagrage λ represeta o preço sombra da água, que é o acréscimo da receita líquida por uidade de volume de água adicioal. Derivado-se L em relação a x, e V e igualado-se as derivadas parciais a zero, obtêm-se: L = y()p c0 h() c λ = 0 x (3) L dy dh = x p c λx = 0 (3) d d L = x + V = 0 (33) λ Da equação (3), obtém-se que o preço sombra da água é: dy dh λ = p c (34) d d Quado a dispoibilidade de água para irrigação é restrita, o custo de oportuidade da água costitui o fator mais importate o maejo da irrigação. Sedo este o caso, a redução a quatidade de água aplicada deverá ser a estratégia racioal de maejo da irrigação e a água ecoomizada pela irrigação com déficit deve ser usada para irrigar uma área adicioal, aumetado a receita líquida da propriedade agrícola. O acréscimo potecial da receita líquida proveiete do acréscimo da área irrigada é o custo de oportuidade da água e represeta o maior preço que se poderá pagar para alocar uma uidade de volume de água para aquela atividade. No poto ótimo, o valor líquido do produto margial da água iguala-se à soma do preço sombra e do preço da água: dy dh p = λ + c (35) d d Comparado-se as equações (3) e (34), obtém-se: y()p h() c c 0 = dy d p dh c d (36) R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

12 José Atôio Frizzoe 35 Tabela - Irrigação ótima para diferetes combiações de preço do produto (p) e custos que depedem diretamete da quatidade de água aplicada (c ) p c Uso de água Receita Líquida aplicada déficit Z() acréscimo Z() acréscimo (US$kg - ) (US$mm - ha - ) (mm) (%) US$ ha - (%) US$ m -3 (%) m = ,0534 0,3 * = 535 7,0 3,96 0,0583 9,8 (c /p=,07) el = 496 5, ,067 5,54 m = ,0354 0,30 0,50 * = 53,70 8 7,39 0,045 0,06 (c /p=,67) el = 454 6, 03 0,0447 6,7 m = ,05 0,74 * = 485 8, ,49 0,00 75,65 (c /p=,47) el = , ,067 45, m = ,593 0,3 * = 550 4,8 96 0,33 0,665 4,5 (c /p=0,64) el = 57 8, ,73 8,73 m = ,4 0,50 0,50 * = 534 7,30 89,4 0,534 8,64 (c /p=,00) el = 50 4, ,65 4,38 m = ,73 0,74 * = 50 9,5 69,98 0,33 3,47 (c /p=,48) el = 467 8, ,439,68 m = ,65 0,3 * = 556 3,06 5 0,0 0,737 3,4 (c /p=0,46) el = 539 6,3 59 0,88 6,30 m = ,47 0,70 0,50 * = 547 4,75 4 0,4 0,600 5, (c /p=0,7) el = 5 9, ,73 9,79 m = ,30 0,74 * = 535 7,0 93,7 0,47 8,39 (c /p=,06) el = 497 5,9 78 0,57 5,9 R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

13 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 36 isto é, sedo a água restrita, a alocação ótima desse recurso requer que a receita líquida por uidade de volume de água seja igual à receita líquida margial. Pode-se observar que, sob tais codições, a receita líquida por uidade de volume de água é máxima. Esse resultado pode ser resumido a seguite asserção: quado a dispoibilidade de água é o úico fator limitate da produção, a alocação de água deve objetivar a maximização da receita líquida por uidade de volume de água. Assumido a codição simplificativa estabelecida pela equação (0) e aplicado-se operadores de Lagrage das relações L / x e L / obtém-se: p ( r + r + r ) c c = p ( r + r ) [ ] 0 f c (37) de ode resulta a quatidade ótima de irrigação: * pr c 0 f = (38) pr Neste caso, também existe uma quatidade de água e que produz uma receita líquida equivalete àquela obtida com um ível de irrigação m (Figura 4). Dessa forma, para Z( m ) e Z( e ), tem-se: Z( m ) = x z( m ) (39) Z( Z( e ) = x z( e ) (40) V m ) = z( m ) (4) m V Z( e ) = z( e ) (4) e Igualado-se as equações (4) e (4), obtém-se: V e V m [ py( ) c c ] = [ p y( ) c c ] e f e m f (43) m Substituido-se a fução de produção aplicada para e e m e a equação (4) a equação (43), e resolvedo-se para e, obtém-se : b + b 4ac e = (44) a em que: a = pr (45) 4 pr0 r + pr 4r c f b = r (46) c = pr 0 c f (47) Aplicação : O objetivo é determiar a quatidade ótima de irrigação para a cultura da melacia, irrigada por gotejameto, cosiderado-se a água como fator limitate da produção. A fução de produção águacultura (Figura 5) foi obtida o campo experimetal da Embrapa Cetro de Pesquisa Agropecuária do Meio-Norte, em Paraíba, PI, cujas codições edafoclimáticas são represetativas da região dos Tabuleiros Costeiros do Piauí (Adrade Júior et al.,00). Observa-se que, para a estratégia de irrigação sem déficit, a produtividade máxima é atigida para 356 mm de água, detro da faixa ideal cosiderada para a cultura (300 mm a 400 mm), segudo Doorebos e Kassa (979). Receita líquida ($/m 3 ) e * Lâmia de água (mm) Figura 4 - Itervalo para o maejo racioal da irrigação com déficit, quado a dispoibilidade de água é fator limitate da produção m R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

14 José Atôio Frizzoe 37 Na Figura 6, são apresetadas as curvas de receita bruta, custos de produção e receita líquida por hectare, para a cultura da melacia, para o preço do produto de US$0,0 kg -. Para compor o custo total de produção, cosiderou-se um custo médio de produção de US$.44 ha -, excetuado-se o custo diretamete associado à água de irrigação. Já para os custos diretamete depedetes da quatidade de água aplicada, cosiderou-se US$0,30 mm - ha -. Nessas codições, a máxima receita líquida por hectare foi US$3.035,3, para uma lâmia de água de 350 mm. Mas, a codição de água restrita, a lâmia ótima de irrigação depede do preço do produto e a estratégia de irrigação é maximizar a receita líquida por uidade de volume de água aplicada, o que ão correspode à maximização da receita líquida por uidade de área. Produtividade comercial (kg/ha ) y( ) = ,64-0,3089 R = 0,9600 m = 356 mm y( m ) = kg ha Lâmia total de água (mm) Figura 5 - Fução de produção a para a melacia, obtida para as codições edafoclimáticas da região dos Tabuleiros Costeiros do Piauí (Adrade Júior et al., 00). Receitas e custos (US$/ha ) Rb ( ) = 0,0 y( ) c( ) = ,30 m = 356 mm Lâmia total de água (mm) Rb( ) z( ) c( ) Figura 6 - Fuções de receita bruta, de custos e de receita líquida para a melacia, em relação à quatidade de água aplicada, para p = US$ 0,0 kg -, c f = US$.44 ha - e c = US$ 0,30 mm - ha -. Na Figura 7, verifica-se que a lâmia ótima é 70 mm, o que correspode a um déficit ecoômico de água de 86 mm em relação à lâmia para irrigação sem déficit. Nesse caso, a ecoomia de água é de 5%, podedo ser utilizada para a irrigação de área adicioal. A lâmia de água que proporcioa uma receita líquida equivalete à irrigação sem déficit é 8 mm, correspodedo a uma ecoomia de água de 77%. O itervalo de maejo da água etre 8 mm e 356 mm defie uma região ecoomicamete viável para a irrigação com déficit, sedo 70 mm a quatidade ótima de irrigação. Assumido, por exemplo, que o volume de água dispoível, durate o ciclo da cultura, é m 3, a irrigação sem déficit (356 mm) permitiria o cultivo de 5,6 ha de melacia e proporcioaria uma receita líquida de US$3.034,70 ha -, ou US$6.994,30 para a área total. Já a utilização da lâmia ótima (70 mm) possibilitaria aumetar a área irrigada para,8 ha, com uma receita líquida de US$.977,8 ha -, ou US$3.338,0 para a área total. Também a água ecoomizada poderia ser utilizada para a irrigação de outra cultura. Na Tabela, são apresetadas as estratégias de irrigação e as respectivas receitas líquidas por uidade de volume de água aplicada, cosiderado-se quatro preços da melacia (US$0,05 kg -, US$0,0 kg -, US$ 0,5 kg - e US$ 0,30 kg - ). Os três últimos valores foram selecioados em fução dos preços médios mesais, o período de jaeiro de 994 a dezembro de 998, o mercado atacadista de Teresia e variaram de US$0,0 kg - a US$0,30 kg - (ANDRADE JÚNIOR et al, 00). Para aalisar as estratégias de irrigação com um baixo preço do produto utilizou-se o valor US$0,05 kg -. As receitas líquidas foram calculadas para c = US$0,30 mm - ha -. Observa-se que a lâmia ótima de irrigação e a lâmia equivalete dimiuem equato aumeta o preço do produto (Tabela ), isto é, o déficit ecoômico de irrigação é maior para maiores preços do produto. Para um preço do produto de US$0,0 kg -, a lâmia ótima de irrigação durate o ciclo deverá ser R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

15 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização mm, o que correspode a 5% de déficit. Já a lâmia equivalete é 8 mm, isto é, 77% de déficit. Receita líquida (US$/m 3 ),40,0,00 0,80 0,60 0,40 0,0 * = 70 mm e = 8 mm 0, Lâmia total de água (mm) Figura 7 - Receita líquida por m 3 de água aplicada, para a cultura da melacia, em relação à lâmia total de água aplicada, para p = US$ 0,0 kg -, c f = US$.44 ha - e c = US$ 0,30 mm - ha -. É importate também cosiderar o volume total de produção. Com a redução o uso da água, uma quatidade adicioal de terra poderá ser cultivada, com um coseqüete aumeto a produção total. Na Tabela, observa-se que, para p = US$0,0 kg -, se podem dobrar a área cultivada e a produção com o uso da lâmia ótima, relativamete à irrigação sem déficit. Nesse caso, embora a receita líquida por hectare se reduza em aproximadamete 34,8% (US$3034,7 ha - para US$977,8 ha - ), a receita líquida total aumeta 36,%, em decorrêcia do aumeto da área cultivada. É importate salietar que, especificamete o caso da melacia, a adoção de elevados déficits de água pode reduzir o peso médio dos frutos, torado-os ão aceitáveis o mercado cosumidor. O ideal é cociliar a quatidade a ser produzida e a qualidade dessa produção com a irrigação com déficit, tedo em vista as preferêcias do mercado cosumidor. Dessa forma, mesmo para preços elevados do produto, dificilmete se poderia adotar um déficit elevado. Por exemplo, admitido-se que, para produzir frutos de boa qualidade sejam ecessários pelo meos 00 mm de água durate o ciclo, e que o preço do produto o mercado esteja em US$ 0,5 kg -, a lâmia ótima de irrigação de 7 mm ão deveria ser utilizada. Nesse caso, utilizar-se-ia a lâmia de 00 mm, porque correspode ao itervalo de irrigação ecoomicamete viável. Tabela - Estratégias de irrigação da cultura da melacia a região dos Tabuleiros Costeiros do Piauí, cosiderado-se c = US$0,30 mm - ha - e quatro preços do produto. p Uso de água Déficit y() z() Área irrigada Produção (US$ kg - ) (mm) (%) (kg ha - ) (US$ m -3 ) (ha) (kg) m = ,3 0,4, ,3 0,05 * = ,5 0,7, ,8 e = ,5 0,4,87 m = ,3 0,85, ,3 0,0 * = ,7,6, ,9 e = ,4 0,85 4,40 m = ,3,47, ,3 0,5 * = ,3,8, ,8 e = ,8,47 7,9 m = ,3 3,3, ,3 0,30 * = , 5,74 6, ,5 e = ,5 3,3 39,55 R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

16 José Atôio Frizzoe 39 OTIMIZAÇÃO DA IRRIGAÇÃO PARA MÚLTIPLAS ÁREAS E CULTURAS O problema de otimização é mais complexo quado múltiplas áreas e culturas devem ser irrigadas com suprimeto limitado de água. A escassez de água implica uma aálise de custo de oportuidade e o tomador de decisão deve cosiderar todas as áreas e culturas e todo o uso alterativo da água simultaeamete, alocado uma quatidade maior de água para culturas mais retáveis, ou até dispoibilizado água para usos exteros à propriedade. Aálises desses casos levam à utilização de técicas de programação matemática para a otimização das atividades, possibilitado quatificar, de forma otimizada, o uso dos recursos para satisfazer determiado objetivo, seja a maximização da receita líquida ou a miimização dos custos, sob restrições a dispoibilidade dos recursos (Dudley; Hoell; Musgravi, 97; Kumar; Khepar, 980; Frizzoe; Botrel; Arce, 994; Datas Neto; Azevedo; Frizzoe, 997; Rodrigues et al., 000; Goratiar; Smout, 003). Frizzoe et al. (997) desevolveram um modelo de programação liear separável, para estudar a alocação de água de irrigação o Projeto Seador Nilo Coelho, localizado em Petrolia PE, com o objetivo de maximizar a receita líquida. Assumiu-se que as fuções de produção água-cultura dispoíveis represetavam adequadamete as relações água-produção. Tais fuções, ão lieares, foram icorporadas ao modelo de programação liear, que cosidera um cojuto de fatores técicos que iflueciam a retabilidade do projeto de irrigação. As fuções ão lieares foram aproximadas por fuções lieares por partes, possibilitado a utilização do método Simplex para a solução. Explicitaram-se restrições a dispoibilidade de água, de área e de mercado. Como resultados, foram obtidos os íveis ótimos de irrigação, o plao ótimo de exploração e o custo de oportuidade dos recursos escassos. A receita bruta do projeto foi formulada do seguite modo: Ib = p x y () (48) i i i em que: Ib - receita bruta obtida com culturas uma área x, em US$; p i - preço de veda do produto da cultura i, em US$.ha - ; y i () - produtividade da cultura i em fução da lâmia de irrigação, em kg.ha - ; x i - área platada e irrigada com a cultura i, em há, e - um iteiro que defie o úmero de culturas. Sedo a água o úico fator variável, para a cultura i o custo de produção será: c = c + c (49) i f i ou, para o projeto: i C = c x + c x (50) f i i i sedo, C os custos de produção da uidade ecoômica. A fução-objetivo para o projeto é formulada como: Maximizar Z i pi yi()x i c f i xi = c x i i (5) sedo Z a receita líquida do projeto decorrete do cultivo de culturas com lâmia de irrigação i. As restrições a que está sujeita a fução-objetivo são expressas da seguite forma: x Va aijxi i i A j (5), para j =,,...,J (53) x i 0 (54) em que: Va - volume aual de água dispoível, em mm.ha; a ij - quatidade do R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

17 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 40 isumo j, por uidade de área, ecessária à i- ésima cultura e A j - dispoibilidade máxima do isumo j. O modelo formulado costitui um problema de programação ão-liear, uma vez que a fução-objetivo cotém uma fução ão liear [y i ()]. Etretato, esta fução pode ser liearizada através da técica de liearização por partes e o modelo, tratado como um problema de programação liear separável (McMilla Jr., 970). A seguir, desevolve-se o modelo de programação liear separável, aproximadose as fuções de produção água-cultura, ãolieares, por fuções lieares por partes, possibilitado a utilização do método simplex para a solução. Na Figura 8, apreseta-se uma fução de produção água-cultura geérica, liearizada por partes. Tal fução foi dividida em k segmetos lieares, sedo k um úmero iteiro (k =,,..., s). Observa-se, a Figura 8, que uma redução a lâmia de irrigação da cultura i de i0 para i ( i ) implica uma redução da produtividade de y i0 para y i ( y i ); uma redução de i para i ( i ) resulta em y i para y i ( y i ) e assim sucessivamete. Geeralizado, uma redução a lâmia de irrigação de i k- para ( ) resulta uma redução a produtividade de y i k- para y ( y ). Na fução de resposta (Figura 8), são idetificados dois potos de referêcia: (a) y i0, i0 - represeta a produtividade máxima e a correspodete lâmia de irrigação; (b) y is, is - represeta a produtividade míima e a correspodete lâmia de irrigação. A região etre y i0 e y is é a região ecoômica de produção. Ela iicia ode o produto físico médio é máximo e termia ode o produto físico margial é zero. A lâmia de irrigação deve ser selecioada em algum poto etre s e zero, ode a produtividade margial da água se iguala a seu preço. O modelo represetado pelas equações (5) a (54) pode ser modificado de forma a cosiderar as fuções de respostas lieares por partes, para culturas. Produtividade y i0 0 i _ y i _ y is s is i i Lâmia de água (mm) Figura 8 - Represetação esquemática de uma fução de resposta liearizada por partes. Ao se cosiderar que as culturas são irrigadas com lâmia para a máxima produtividade ( i0 ), para uma área x, obtémse a seguite fução de receita bruta: Ib (55) = 0 xi0 yi0 pi em que, Ib 0 é a receita bruta obtida com culturas irrigadas com lâmia 0, em $. A redução da lâmia de irrigação de i0 para i ( i ) proporcioa uma redução da receita bruta da cultura i de Ib i0 para Ib i ( Ib i ). Da mesma forma, uma redução da lâmia de i para i ( i ) resulta uma redução da receita bruta de Ib i para Ib i ( Ib i ), e assim sucessivamete. Para uma cultura i, tem-se que a redução total da receita bruta, até um poto k, será: Ib = (56) k Ib Cosiderado-se culturas e cada uma proporcioado Ib, pode-se escrever: s Ib = Ib (57) k= Assumido-se que ão há variação da área total dispoível para cultivo irrigado quado se varia a lâmia de irrigação, e que apeas a produtividade da cultura pode variar, para culturas, tem-se: i0 R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

18 José Atôio Frizzoe 4 s Ib = x y p (58) k = i A receita bruta da uidade ecoômica, decorrete de culturas, utilizado-se uma lâmia de irrigação iferior a i0, pode ser expressa por: s Ib = x y p x y p (59) k i0 i0 i k = O custo de produção da cultura i, para uma lâmia de irrigação i0 e área x i0, será: c = c x + c x (60) Por coseguite, para culturas, temse: i0 fi i0 i0 i0 0 = c f ixi0+ c i0 xi0 0 C (6) A redução a lâmia de irrigação de i0 para i ( i ) resulta a redução dos custos de c i0 para c i ( c i ), e assim por diate, decorredo a redução os custos apeas do custo da água. Assim, por uidade de área, têm-se: i ( i0 i ) = c i c = c (6) i ( i i ) = c i c = c (63) ( ) = c c = c (64) Para culturas e k segmetos a fução de produção, o custo de produção, ao se utilizar a lâmia de irrigação k, pode ser formulado como: C = c fi x + c x i s i0 i0 i0 k = c x (65) A receita líquida obtida com culturas a área x e lâmia de água k, será: Z= i0 x c x fi y + i0 s i0 k= c x x y i0 pi s c i0 k= x (66) O objetivo da uidade ecoômica é maximizar a fução de receita líquida (equação 66), sob as seguites restrições gerais: (a) o volume de água cosumido as irrigações o ível k ão deve exceder o volume máximo dispoível: x i0 i0 * i0i0 s x k = s Va (67) * x x Vm (68) k = em que: lâmia de água aplicada durate o ciclo da cultura i, com ível de * irrigação k,em mm; - lâmia mesal de água aplicada à cultura i, com ível de * irrigação k, em mm; i0 - lâmia mesal de água aplicada a cultura i, para máxima produtividade, em mm; Va - volume aual de água dispoível, em mm.ha e Vm - volume mesal de água dispoível, em mm.ha. (b) restrição de área cultivada para a cultura i (G i ): xi0 ou Gi (69) (c) restrição de área total cultivada em cada mês: x i0 Xm, para m =,,..., (70) sedo Xm a área total dispoível (ha) para cultivo o mês m. (d) ão há acréscimo de área irrigada com o uso da lâmia : x i0 x 0, para i =,,..., (7) (e) ão-egatividade: x 0 e x 0 (7) i0 R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.

19 Plaejameto da Irrigação com Uso de Técicas de Otimização 4 Frizzoe et al (997) aplicaram esse modelo ao Projeto de irrigação Seador Nilo Coelho, Petrolia (PE), e a solução ecotrada represetou o padrão ótimo de cultivo. Verificou-se que as lâmias totais ótimas de irrigação foram sempre iferiores às lâmias para a máxima produtividade. Para este estudo, cosiderou-se um volume aual de água dispoível de m 3, que correspode à capacidade máxima de oferta de água pelo projeto aos seus usuários. A dispoibilidade aual de água costituiu uma restrição efetiva ao sistema de produção, apresetado um preço sombra (custo de oportuidade de se utilizar um determiado volume de água) de US$ 8,60 por 000 m 3. Esse valor correspode à redução esperada a fução-objetivo (receita líquida do projeto) caso tal volume se tore mais restritivo em 000 m 3. Da mesma forma, o valor da receita líquida poderá aumetar em US$8,60 para cada 000 m 3 adicioais de água. O itervalo de dispoibilidade de água para o qual esse preço sombra é valido foi m 3 a m 3. Nesse itervalo, as atividades ão são alteradas; etretato podem se modificar os valores das áreas cultivadas. O preço sombra poderá represetar o máximo valor que o usuário estará disposto a pagar, para ter dispoível uma uidade adicioal de água. Isso porque, em geral, um usuário pagará, o máximo, um valor igual à receita líquida gerada por uma uidade adicioal do recurso. UMA VISÃO GERAL DA OTIMIZAÇÃO Os beefícios da irrigação ótima podem ser maiores para a sociedade como um todo do que para o irrigate idividualmete. A sociedade pode estar preocupada com os objetivos mais amplos, assim como com a maximização da reda acioal, com a seguraça alimetar ou com a miimização do uso dos recursos escassos ou dos impactos o meio ambiete. O fator mais limitate pode ão ser o volume de água dispoível, mas a qualidade química, física ou biológica da água que recebe carga de efluetes. Seguraça alimetar O maejo covecioal da água para irrigação é defiido para maximizar a produção de alimetos por uidade de área. A maximização da produção total de alimetos pode ser uma preocupação mais importate e, cosiderado a dispoibilidade de água limitada, pode-se represetá-la pela seguite fução: max Y total = y() x (73) sedo Y total (kg) a produção total de alimetos, a partir de uma determiada quatidade de água, e x represeta a área total irrigada, determiada pela dispoibilidade total de água e pela lâmia de irrigação. Derivado a equação (73) em relação a, igualado a zero, e re-arrajado os termos, ecotra-se a equação de defiição da máxima produção total de alimetos: y() x = y() (74) x sedo: V x = (75) x V = (76) O iverso da área (/x) e a produção [y()] são positivos e diferetes de zero. Se a dispoibilidade de água for restrita e se a ecoomia de água ao se reduzir a lâmia de irrigação (), é usada para irrigar áreas adicioais, a área x aumetará à medida que dimiui. Uma vez que a derivada de x, em relação a é egativa e diferete de zero, o lado direito da equação (76) é positivo e diferete de zero. Desse modo, o lado esquerdo dessa equação tem que ser positivo e diferete de zero. Se a derivada de y() é positiva, o poto de máxima produção total tem que estar a parte ascedete da curva de produção. Em resumo, a produção total ótima de alimetos, com quatidades limitadas de água, implica irrigações com lâmias iferiores à irrigação plea. Para ilustrar o desevolvimeto de uma estratégia de maximização da produção R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.3, 007.

20 José Atôio Frizzoe 43 por uidade de água aplicada, será cosiderada a produção de feijão carioca (Figura 9). Nessa fução, R é a lâmia relativa de água, defiida como: R + chuva = (77) m Produção (kg/m 3 ) 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 sedo a lâmia de irrigação sazoal (mm) e m a quatidade de água para a máxima produção (600 mm). Para essa região, a produtividade máxima tagível é.43,6 kg ha - com um volume de água esperado de m 3 ha -. Das equações (73) e (75) tem-se: V Y total = y() (78) sedo y() a produtividade expressa em kg ha -, V o volume de água dispoível (m 3 ) e a quatidade de água aplicada (m 3 ha - ). Na Figura 0, a produção (kg m -3 ) está expressa em fução da lâmia de água relativa ( R ). Sob a irrigação plea ( R = ), a produção seria o máximo tagível de.43,6 kg ha -, ou 0,4053 kg m -3. À medida que R é reduzida, a produção por m 3 aumeta, alcaçado um máximo de 0,5583 kg m -3, quado R é 0,4483 (44,83% da irrigação plea, ou.690 m 3 ha - ). No poto ótimo, a produção por m 3 de água aplicada represeta um acréscimo de aproximadamete 37,8%, em relação à produção obtida com a irrigação plea. Produtividade (kg/ha) m = 600 mm y( ) = -3056,4 R + 6, R - 64,9 0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4 Lâmia relativa de água Figura 9 - Fução de produção água-cultura, para o feijão carioca, obtida a região de Ilha Solteira, SP, adaptada de Frizzoe (986) 0,00 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4 Lâmia relativa de água aplicada Figura 0 - Produção de feijão em kg m -3 de água em fução da lâmia relativa de água aplicada, a região de Ilha Solteira (SP). Questões regioais e acioais Objetivos regioais e acioais podem ampliar os problemas de otimização e as restrições para a aálise. Por exemplo, o desevolvimeto e a recuperação de projetos de irrigação para aumetar a produção de alimetos, e que evolvem ivestimetos com fudos do Baco Mudial, estipuladose que o empréstimo seja pago em moeda forte estrageira: dada a alta istabilidade da moeda acioal, a moeda forte é um recurso severamete limitado. O critério essecial o plaejameto da irrigação é, desse modo, maximizar a produção de alimetos por uidade de moeda forte. Podem ser citados também os projetos de irrigação plaejados para promover o assetameto de coloos, reduzido a pressão demográfica urbaa, para o qual o govero tem subsidiado ovas áreas agrícolas, de modo a maximizar as chaces de êxito ecoômico. A otimização, este caso, evolve maximizar a área total de terras cultivadas, de modo cosistete com um aceitável ível de lucratividade, equato se miimiza o risco aos produtores idividuais, represetado, portato, um complexo cojuto de objetivos. Icerteza e risco A icerteza adicioa uma ova dimesão ao problema de otimização. Devido R. Bras. Agric. Irrigada, v.,., p.4 49, 007.