Classificação Dinâmica de Nós em Redes em Malha Sem Fio

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE INFORMÁTICA DIEGO AMÉRICO GUEDES Classificação Dinâmica de Nós em Redes em Malha Sem Fio Goiânia 2013

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE INFORMÁTICA AUTORIZAÇÃO PARA PUBLICAÇÃO DE DISSERTAÇÃO EM FORMATO ELETRÔNICO Na qualidade de titular dos direitos de autor, AUTORIZO o Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás UFG a reproduzir, inclusive em outro formato ou mídia e através de armazenamento permanente ou temporário, bem como a publicar na rede mundial de computadores (Internet) e na biblioteca virtual da UFG, entendendo-se os termos reproduzir e publicar conforme definições dos incisos VI e I, respectivamente, do artigo 5 o da Lei n o 9610/98 de 10/02/1998, a obra abaixo especificada, sem que me seja devido pagamento a título de direitos autorais, desde que a reprodução e/ou publicação tenham a finalidade exclusiva de uso por quem a consulta, e a título de divulgação da produção acadêmica gerada pela Universidade, a partir desta data. Título: Classificação Dinâmica de Nós em Redes em Malha Sem Fio Autor(a): Diego Américo Guedes Goiânia, 13 de Agosto de Diego Américo Guedes Autor Dr. Kleber Vieira Cardoso Orientador Dr. Artur Ziviani Co-Orientador

3 DIEGO AMÉRICO GUEDES Classificação Dinâmica de Nós em Redes em Malha Sem Fio Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Computação. Área de concentração: Redes de Computadores. Orientador: Prof. Dr. Kleber Vieira Cardoso Co-Orientador: Prof. Dr. Artur Ziviani Goiânia 2013

4 DIEGO AMÉRICO GUEDES Classificação Dinâmica de Nós em Redes em Malha Sem Fio Dissertação defendida no Programa de Pós Graduação do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Computação, aprovada em 13 de Agosto de 2013, pela Banca Examinadora constituída pelos professores: Prof. Dr. Kleber Vieira Cardoso Instituto de Informática UFG Presidente da Banca Prof. Dr. Artur Ziviani Laboratório Nacional de Computação Científica LNCC Prof. Dr. Elias Procópio Duarte Júnior Departamento de Informática UFPR Prof. Dr. Humberto José Longo Instituto de Informática UFG

5 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador(a). Diego Américo Guedes Graduou-se em Ciência da Computação pela Universidade Federal de Goiás ( ). Durante sua graduação, foi participante da Maratona de Programação da SBC, sendo finalista nacional em 2008 e 2009, e foi bolsista em projetos de pesquisa sob a coordenação do professor Dr. Kleber Vieira Cardoso. No período do mestrado, atuou como bolsista do Projeto FIBRE desenvolvido no INF/UFG em parceria com outras instituições nacionais e estrangeiras. Atualmente é professor substituto no INF/UFG.

6 Dedico este trabalho a Deus, meu pais, namorada, irmãos e toda a minha família e amigos, por todo amor e apoio incondicional.

7 Agradecimentos A Deus pela graça da vida e por tudo que Ele me proporciona. Aos meus pais, Guedes e Elenice, por todo amor, carinho, consolo nas horas difíceis e paciência ao longo da vida. À Fernanda, minha namorada e futura esposa, por seu amor, companheirismo, compreensão, carinho, por ser essa pessoa tão especial e que me faz tão feliz. Aos meus irmãos, André e Henrique, pela amizade e momentos de descontração. Às minhas tias Eliane e Baixinha por serem minha segunda mãe, e ao tio Valter por ser meu segundo pai e contribuições ortográficas neste texto. Às minhas sobrinhas e afilhados: Ana Carolina, Gabriela, Izadora, Michele, Pedro e Yasmin. Às minhas cunhadas: Amanda, Patrícia e Talita; pelo apoio e amizade. Aos meu sogro Valdir e sogra Fátima pelo apoio e amizade. Ao Prof. Kleber V. Cardoso, por sua orientação, amizade, paciência e confiança em meu trabalho. Ao Prof. Artur Ziviani, por sua contribuição no trabalho, orientação e apoio. Aos Profs. Elias Procópio Duarte Júnior e Humberto José Longo, por aceitar o convite, pela presença na banca e contribuições à dissertação. Aos meus amigos: Allan, Arthur, Bruna, Daniel, Danillo, Rangel, Robson e Victor; pela amizade, apoio e momentos de descontração. Aos colegas do grupo de pesquisa Labora: André, Camila, Lafinha, Micael, Pedro e todos os demais; pela amizade, apoio e momentos de descontração. Ao voluntário Rick van der Zwet pelo suporte técnico e paciência, e a Wireless Leiden Foundation pelo acesso à rede. À equipe da secretaria: Berenice, Edir, Enio, Mirian, Patrícia e todos os demais; pela atenção, paciência e suporte operacional. Ao INF/UFG, pelas instalações e equipamentos utilizados. Agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo suporte financeiro.

8 Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e de repente você estará fazendo o impossível. São Francisco de Assis ( ), Citação atribuída..

9 Resumo Guedes, Diego Américo. Classificação Dinâmica de Nós em Redes em Malha Sem Fio. Goiânia, p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Informática, Universidade Federal de Goiás. Neste trabalho, apresentamos e avaliamos uma modelagem que descreve a criação de uma topologia para redes em malha sem fio e como essa se altera no tempo. A modelagem é baseada em ciência das redes (network science), uma área multidisciplinar de pesquisa que possui uma grande quantidade de ferramentas para auxiliar no estudo e análise de redes. Em redes em malha sem fio, a importância relativa dos nós é frequentemente relacionada a aspectos topológicos e ao fluxo de dados. Entretanto, devido à dinamicidade da rede, a importância relativa de um nó pode variar no tempo. No contexto de ciência de redes, o conceito de métricas de centralidade reflete a importância relativa de um nó na rede. Neste trabalho, mostramos também que as métricas atuais de centralidade não são capazes de classificar de maneira adequada os nós em redes em malha sem fio. Propomos então uma nova métrica de centralidade que classifica os nós mais importantes em uma rede em malha sem fio ao longo do tempo. Avaliamos nossa proposta com dados obtidos de um estudo de caso da modelagem proposta e de redes em malha sem fio reais, obtendo desempenho satisfatório. As características da nossa métrica a tornam uma ferramenta útil para monitoramento de redes dinâmicas. Palavras chave Ciência das Redes, Redes Complexas Dinâmicas, Métricas de Centralidade, Redes em Malha Sem Fio

10 Abstract Guedes, Diego Américo. <Dynamic Labeling of Nodes in Wireless Mesh Networks>. Goiânia, p. MSc. Dissertation. Instituto de Informática, Universidade Federal de Goiás. In this work we present and evaluate a modeling methodology that describes the creation of a topology for wireless mesh networks, and how this topology changes over time. The modeling methodology is based on network science, which is a multidisciplinary research area that has a lot of tools to help in the study and analysis of networks. In wireless mesh networks, the relative importance of the nodes is often related to the topological aspects, and data flow. However, due to the dynamics of the network, the relative importance of the nodes may vary in time. In the context of network science, the concept of centrality metric represents the relative importance of a node in the network. In this work we show also that the current centrality metrics are not able to rank properly the nodes in wireless mesh networks. Then we propose a new metric of centrality that ranks the most important nodes in a wireless mesh network over time. We evaluate our proposal using data from a case study of the proposed modeling methodology and also from real wireless mesh networks, achieving satisfactory performance. The characteristics of our metric make it a useful tool for monitoring dynamic networks. Keywords Mesh Networks Network Science, Dynamic Complex Networks, Centrality Metrics, Wireless

11 Sumário Lista de Figuras 11 Lista de Tabelas 13 1 Introdução Motivação Objetivos Organização da Dissertação 16 2 Fundamentos Teoria dos Grafos Modelos de Redes Complexas Grafos Aleatórios de Erdös e Rényi O Modelo de Mundo Pequeno de Watts e Strogatz Redes Livres de Escala de Barabási e Albert Grafo Aleatório Generalizado Caracterização de Redes Complexas Métricas de Centralidade 28 Distância e Vizinhança 28 Caminhos Mínimos 30 Métricas em 2_vizinhança Redes Egocêntricas 31 Centralidade Egocêntrica de Intermediação Coeficiente τ de Kendall Redes Complexas Dinâmicas Conclusão 36 3 Modelagem para Redes em Malha Sem Fio Definição de Redes em Malha Sem Fio Modelo Topológico Dinâmico Criação e Atualização da WMN Definição das Conexões na WMN Fluxo de Pacotes nas WMNs Conclusão 45

12 4 Classificação Dinâmica de Nós em Redes em Malha Sem Fio Centralidade de Ponte Tráfego Efetivo na Rede DyLaN Dynamic Labeling of Nodes Conclusão 51 5 Resultados Experimentais Modelagem e Simulação Geração da Topologia Inicial Estudo de Caso da Modelagem Proposta 56 Avaliando a WMN 1 62 Avaliando a WMN 2 65 Avaliando a WMN Estudo de Caso em Redes em Malha Sem Fio Dart-Mesh Wireless Leiden Conclusão 79 6 Conclusões 80 Referências Bibliográficas 83

13 Lista de Figuras 2.1 Problema das 7 pontes de Königsberg Exemplo de um grafo direcionado simples Exemplo de um grafo não direcionado simples Subgrafo do grafo da Figura Grafo 3-regular Grafo bipartido completo k 3, Coeficiente de agrupamento do vértice 1 em três cenários diferentes Construindo um grafo aleatório G 10,p com diferentes valores de p Exemplo da centralidade de nó Aplicação do conceito de 2_vizinhança. 31 (a) Topologia de uma rede. 31 (b) A 2_vizinhança do nó Exemplo de rede egocêntrica Rede complexa egocêntrica do nó Divisão em camadas Divisão da camada de serviço em hexágonos Grafo de interseção das camadas Exemplo de um TVG Possibilidades de movimento do nó cliente M Possibilidades de movimento do nó cliente M na fronteira Uma pequena rede sintética de exemplo. Os seis primeiros nós na classificação da métrica BC estão destacados em cinza Quantidade total de arestas dada um limiar para a existência das arestas CDF centralidade Topologia da camada de infraestrutura gerada pela modelagem de WMN Camada de serviço da WMN Classificação da WMN 1 com a métrica LLBC Coeficientes de carga com a métrica LLBC em WMN Classificação da WMN 1 com a métrica DyLaN Coeficientes de carga com a métrica DyLaN na WMN Classificação da WMN 2 com a métrica LLBC Coeficientes de carga com a métrica LLBC na WMN Classificação da WMN 2 com a métrica DyLaN Coeficientes de carga com a métrica DyLaN na WMN Classificação da WMN 3 com a métrica LLBC Coeficientes de carga com a métrica LLBC na WMN 3. 71

14 5.15 Classificação da WMN 3 com a métrica DyLaN Coeficientes de carga com a métrica DyLaN na WMN WMN Dart-Mesh Impacto de diferentes pesos de W F na métrica DyLaN Subconjunto de nós da Wireless Leiden utilizado em nossa avaliação Classificação dinâmica das centralidades com a métrica LLBC Impacto de W H na estabilidade da classificação Resumo da influência de W H na estabilidade da classificação Classificação dinâmica das centralidades com DyLaN, W H = 0,9. 78

15 Lista de Tabelas 4.1 Valores de centralidade para os seis nós com maior centralidade de ponte (BC) da Figura 4.1, ordenadas pela centralidade de ponte Valores da Wireless Leiden utilizados para geração da WMN Valores limiares para termos a mesma quantidade de arestas da Wireless Leiden Componentes conexos Valores utilizados para geração da WMN cap Coordenadas dos nós da camada de infraestrutura Posição inicial dos nós clientes na camada de serviço Associação dos nós clientes na camada de serviço da WMN Centralidade egocêntrico de intermediação (C ego ) dos nós da camada de infraestrutura Associação dos nós clientes na camada de serviço da WMN Associação dos nós clientes na camada de serviço da WMN Classificação dos nós da rede Dart-Mesh Nó 80 fornecendo acesso à rede para um cliente móvel Classificação dos nós da rede Dart-Mesh Nó 30 fornecendo acesso à rede para um cliente móvel. 74

16 Introdução CAPÍTULO Motivação Um grafo é definido como um conjunto de vértices ou nós, com uma conexão entre eles chamada aresta [82]. Uma rede é a representação de um grafo. Há uma grande quantidade de sistemas que podem ser modelados como uma rede, como por exemplo: redes de computadores, redes sociais de amizade ou outras conexões entre indivíduos, redes neurais e redes de distribuição, tais como, rotas de entrega postal ou vasos sanguíneos. A área multidisciplinar que estuda os diferentes tipos de redes existentes é chamada de ciência das redes (network science). A ciência das redes utiliza técnicas e algoritmos desenvolvidos em diversas disciplinas como matemática, estatística, análise de redes sociais, ciência da informação e ciência da computação [26] buscando desenvolver abordagens práticas e teóricas para aumentar a compreensão de redes complexas. É cada vez mais comum acessar serviços que estão disponíveis em redes de computadores, por exemplo: serviço de acesso à Internet, jogos on-line e voz sobre IP (VoIP). No entanto, nem sempre é possível oferecer acesso à rede através de soluções cabeadas, por serem excessivamente custosas ou simplesmente indisponíveis. Nesse contexto, as redes em malha sem fio (Wireless Mesh Network WMN) surgem como uma alternativa. Uma WMN pode ser implantada em um grande número de cenários, empregando diferentes tecnologias. Diferentes tipos de WMNs surgiram ao longo da última década e, atualmente, são comuns por todo o mundo [18, 39, 67, 99]. Algumas WMNs foram criadas a fim de melhorar ou ampliar os serviços de acesso à rede, por exemplo: a Wireless Leiden [99] é uma rede sem fio comunitária (Wireless Community Networks) formada por 109 nós e com topologia em malha. A Wireless Leiden está situada na cidade de Leiden, na Holanda, onde fornece serviços gratuitos aos seus usuários, como serviço de acesso à rede externa, Internet, além de serviços internos como o VoIP. Algumas WMNs também se tornaram grandes plataformas de experimentação (testbeds) para a avaliação de novas soluções de redes. Por exemplo, a rede Roofnet do MIT [18] foi usada para estudar questões relacionadas às camadas de enlace e de rede [3], para testar um protocolo de rede [20] e para avaliar um algoritmo de adaptação de taxa de

17 1.1 Motivação 15 transmissão [19]. Atualmente, WMNs ainda são utilizadas para a avaliação de tecnologias recentes, tais como, n, e rádios definidos por software [52, 53, 107]. Apesar do grande número de plataformas de experimentação para WMNs, alguns problemas podem exigir que a avaliação de suas soluções seja realizada em modelos teóricos de WMNs. Há vários trabalhos na literatura que descrevem o fluxo de tráfego de pacotes em WMNs [17, 69, 94], no entanto, esses modelos são definidos a partir de uma topologia já existente. Não foi encontrada uma modelagem que descreva como os nós de WMNs podem ser distribuídos em um espaço e como suas conexões podem ser definidas. Além disso, como a localização e conexões desses nós se alteram ao longo do tempo, isto é, uma modelagem que descreva uma WMN em termos da evolução de sua estrutura topológica. Isso quer dizer que há a necessidade de uma metodologia para a criação e atualização de uma WMN. Esse é o principal problema tratado nesta dissertação. O núcleo de uma WMN é formado por nós responsáveis pelo encaminhamento de pacotes da rede. Alguns desses nós também provêem serviço de acesso à rede (Access Point AP), ou funcionam como gateway para a rede externa, Internet. Há também os nós clientes, que não têm importância para a infraestrutura da rede, embora atendê-los seja uma tarefa fundamental das WMNs [50]. Por isso, um nó aumenta sua importância relativa dentro da rede se opera como um AP ou como um gateway. A topologia de uma WMN pode ser alterada ao longo do tempo devido a diferentes eventos, tais como, a adição ou remoção de um nó, a falha de um nó, a oscilação da qualidade de um enlace e o estabelecimento ou interrupção de um enlace. Isso resulta que a importância relativa de um nó na rede pode sofrer alterações significativas ao longo do tempo. Por exemplo, um nó de articulação crítico pode tornar-se um nó comum e vice-versa devido à dinâmica da rede. Portanto, os administradores de uma WMN devem se preocupar com o monitoramento contínuo da importância relativa dos nós, uma vez que alguns desses nós são fundamentais para o desempenho da rede. O monitoramento da importância relativa dos nós deve ser feito através de ferramentas para classificação dinâmica de nós da rede ao longo do tempo. Redes complexas, também estudadas no contexto de ciência das redes, são uma área de pesquisa interdisciplinar que utiliza teorias e métodos originalmente desenvolvidos na teoria dos grafos e estatística. Em redes complexas, o grafo aleatório é um dos modelos mais simples para a representação de redes [72]. A partir da segunda metade do século XX, o conceito de grafos aleatórios foram utilizados para representar algumas redes que acreditava-se ter uma estrutura incompreensível. Contudo, houve a descoberta de que redes reais tinham características que podiam ser explicadas por uma estrutura de comunidade, distribuição de grau de potência, entre outros [36]. Além da modelagem, tem se dado atenção para a análise de propriedades topológicas não triviais, através da definição de métricas que capturam, de maneira quantitativa, propriedades topológicas

18 1.2 Objetivos 16 não triviais da rede [61]. Há um grande número de métricas que caracterizam as propriedades topológicas mais relevantes em redes complexas, entre elas, estão as métricas de centralidade, onde um nó tem uma importância relativa atribuída na rede. Há várias métricas de centralidade baseadas em topologia, que vão desde as tradicionais centralidade de grau, de intermediação (betweenness) e de proximidade (closeness) [51], até as mais recentes como PageRank [29], EVC (Eigenvector Centrality) [23] e LBC (Localized Bridging Centrality) [76]. Contudo, as centralidades baseadas em topologia desconsideram a distribuição não uniforme de tráfego tipicamente presentes em WMNs devido à dinâmica da rede. Nesse contexto, Nanda e Kotz [77] apresentaram recentemente a métrica LLBC (Localized Load-aware Bridging Centrality), uma versão da LBC [76] que incorpora em seu cálculo o tráfego atual de pacotes em cada nó. Em [77], LLBC é avaliada em uma pequena WMN com apenas oito nós, apresentando alguns resultados promissores. Contudo, há deficiências na proposta LLBC que podem induzir a métrica ao erro, classificando nós de maneira inadequada em determinadas situações. Além disso, LLBC considera apenas o histórico recente da rede após a última medição realizada. Essa abordagem pode levar a oscilações na rotulação dos nós ao longo do tempo. Isso quer dizer que ainda existe a necessidade de uma métrica que classifique de maneira mais adequada os nós em uma WMN. Esse é o problema secundário abordado nesta dissertação. 1.2 Objetivos Este trabalho apresenta duas propostas. A primeira, é uma nova modelagem para representar redes em malha sem fio (Wireless Mesh Network WMN), com enfoque na criação e atualização da topologia ao longo do tempo. A segunda, é uma nova métrica para classificação dinâmica de nós em WMNs. Assim, os seguintes objetivos foram estabelecidos: 1. Estudar redes complexas com o objetivo de encontrar modelos para serem utilizados na representação de WMNs. Isso resultou que a nossa modelagem utiliza outros modelos existentes. 2. Propor uma nova métrica de centralidade para classificação dinâmica de nós em WMNs, onde as deficiências encontradas na métrica LLBC são resolvidas. 1.3 Organização da Dissertação O restante desta dissertação está organizado da seguinte forma: No Capítulo 2, na primeira parte, descrevemos brevemente alguns conceitos da teoria dos grafos. Na segunda parte, realizamos um estudo dos principais modelos

19 1.3 Organização da Dissertação 17 e caracterizações de redes complexas. Em seguida, mostramos como comparar um par de classificações consecutivas. Por fim, apresentamos um arcabouço que integra os principais modelos, conceitos e resultados encontrados na literatura de redes dinâmicas chamado grafo variante no tempo (time-varying graphs TVG). O Capítulo 3 propõe uma nova modelagem de redes em malha sem fio (Wireless Mesh Network WMN). A modelagem proposta descreve a criação e atualização dos nós da topologia de um WMN. Para a troca de mensagens, utilizamos um simulador de rede. O Capítulo 4 apresenta a métrica DyLaN, uma nova métrica para classificação dinâmica de nós em WMNs. No Capítulo 5, na primeira parte, apresentamos um estudo de caso da modelagem proposta para a criação e atualização de WMNs. Além disso, realizamos um exemplo de aplicação da modelagem através da avaliação das métricas de centralidade DyLaN e LLBC. Na segunda parte, são apresentados resultados da aplicação das métricas utilizando dados de WMNs reais. No Capítulo 6, realizamos as considerações finais e comentamos algumas perspectivas para trabalhos futuros.

20 Fundamentos CAPÍTULO 2 Ciência das redes (network science) é uma área altamente interdisciplinar, voltada para o estudo de redes, sejam elas biológicas, redes tecnológicas ou acadêmicas [26]. A ciência das redes utiliza, compara e combina técnicas e algoritmos das mais diversas disciplinas como estatística, física, ciência da informação e ciência da computação. A ciência das redes busca desenvolver abordagens práticas e teóricas para aumentar a compreensão de redes complexas, sejam elas naturais ou artificiais [26]. É possível considerar que a área de ciência das redes surgiu em 1736, quando o matemático suíço Leonhard Euler, utilizando a teoria dos grafos, resolveu o problema das sete pontes de Konigsberg [43]. O rio Pregel, que passa pela cidade de Kaliningrado, que se chamava Conisberga ou em alemão Königsberg, forma duas ilhas, que juntas configuravam, até o século XX, um complexo com 7 pontes (Figura 2.1(a) ). Havia um questionamento na cidade sobre a possibilidade de atravessar as 7 pontes sem que nenhuma fosse repetida. O problema consistia em achar um caminho no qual um pedestre iria partir de uma das margens, ou de qualquer uma das ilhas, percorrer todas as pontes, sem passar mais de uma vez por qualquer uma delas, e voltar ao ponto inicial. Esse problema permaneceu em aberto até ser resolvido em 1736 por Leonhard Euler. Ele modelou cada um dos 7 caminhos ou pontes como linhas, e a interseção desses caminhos como pontos, conforme a Figura 2.1(b), criando assim a teoria dos grafos [43]. A partir dessa estrutura chamada grafo, ele demonstrou que o problema não tinha solução, pois no grafo não há exatamente zero ou dois pontos (vértices) de onde saem uma quantidade ímpar de linhas (arestas). As redes complexas são uma área de pesquisa multidisciplinar que pode ser situada na interseção de teoria dos grafos e mecanismos estatísticos, que tem sido marcada por muitos avanços teóricos e aplicações relevantes ao longo dos últimos anos [10]. As bases teóricas da área vieram com os trabalhos sobre percolação e grafos aleatórios escritos por Flory [46], Rapoport [90, 91, 92] e Erdös e Rényi [42, 40, 41], mas o foco na área de pesquisa de redes complexas veio somente recentemente [36]. A principal razão para isso foi a descoberta de que redes derivadas a partir de dados reais têm características que podem ser explicadas por distribuição de grau de potência, estrutura de comunidade, entre outros [36]. Essa descoberta motivou o estudo de redes complexas

21 2.1 Teoria dos Grafos 19 (a) Um mapa do século XVIII com as sete pontes de Königsberg [85]. Figura 2.1: Problema das 7 pontes de Königsberg. (b) Representação do problema através de um grafo. em áreas do conhecimento, como Sociologia [31, 100], Biologia [13, 58], Física [9, 27] e mais recentemente em Computação [7, 12, 45]. No contexto de redes complexas, apresentamos, na Seção 2.2, os principais modelos para representação desses tipos de rede. Em seguida, na Seção 2.3, mostramos a importância e as diferentes maneiras de se quantificar numericamente os nós em uma rede, e, na Seção 2.4, como comparar um par de classificações consecutivas. Por fim, na Seção 2.5, apresentamos um arcabouço (framework) para redes que têm como característica a variação da topologia ao longo do tempo. 2.1 Teoria dos Grafos No estudo de redes complexas, aplicam-se métodos desenvolvidos no campo da matemática chamado teoria dos grafos (graph theory) [61]. Um grafo é um formalismo matemático para representar objetos e as relações entre eles. Essa estrutura simples encontra-se em uma grande diversidade de elementos no mundo, como circuitos elétricos, estradas, relações sociais, bases de dados, estruturas de dados de programas e redes de computadores [8]. Por isso, se durante a modelagem de um problema é possível identificar os objetos envolvidos e as relações entre eles, a teoria de grafos surge como uma alternativa para uma representação formal desse problema. A seguir, descrevemos brevemente uma revisão de teoria dos grafos, com o enfoque nos principais conceitos que serão utilizados nesta dissertação. Um grafo G é um par ordenado (V,E) consistindo de um conjunto V de vértices, um conjunto E de arestas e uma função de incidência φ G que associa cada aresta de G a um par não ordenado de, não necessariamente distintos, vértices de G [24]. Se a E e u,v V tal que φ G (a) = {u,v}, então a aresta a liga os vértices u e v. Além disso, u e v são chamados de extremos de a. O número de vértices e arestas em G é denotado por V e E, correspondendo à ordem e ao tamanho de G, respectivamente.

22 2.1 Teoria dos Grafos 20 Um tipo de grafo bastante utilizado na modelagem de redes de computadores é o grafo direcionado simples [8], definido a seguir. Definição Grafo direcionado simples G = (V, E ) onde, V é o conjunto finito de vértices e E é o conjunto de arestas. Cada aresta é um par ordenado (u,v) de vértices em V, com u v. O termo simples significa que entre um par (u,v) há apenas uma aresta e um vértice não pode relacionar com ele mesmo, ou seja, não há uma aresta (v,v), onde v V, como pode ser visto na Figura 2.2. Há também grafos que não têm arestas direcionadas, como definido a seguir. Figura 2.2: Exemplo de um grafo direcionado simples. Definição Grafo não direcionado simples G = (V,E) onde, V é o conjunto finito de vértices e E é o conjunto de arestas. Cada aresta é um par não ordenado {u,v} de vértices em V, com u v. No grafo não direcionado, cada aresta {u, v} não direcionada, representa a presença das arestas direcionadas (u, v) e (v, u) no grafo direcionado simples correspondente. Um exemplo de grafo não direcionado pode ser visto na Figura 2.3. Figura 2.3: Exemplo de um grafo não direcionado simples. Dois vértices u,v de G são adjacentes ou vizinhos, se {u,v} E, ou seja, se {u,v} é uma aresta de G. Duas arestas e f são adjacentes se elas tem um extremo em comum [37]. Em contrapartida ao grafo simples, um grafo pode ter uma aresta que liga o mesmo vértice. Essa aresta é chamada de laço ou loop.

23 2.1 Teoria dos Grafos 21 Definição Matriz de adjacência matriz de dimensão n n e representada por A G := (a uv ), onde a uv é o número de arestas ligando o vértice u ao vértice v, cada laço conta como dois vértices e n = V. Para ilustar, a matriz de adjacência do grafo direcionado simples da Figura 2.2 é representado da seguinte forma: A G = A B C D E A B C D E Definição Subgrafo Sejam G = {V,E} e G = {V,E } grafos. Se V V e E E, então G é um subgrafo de G e G um supergrafo de G, definido como G G. Em um subgrafo G G, se u,v V ({u,v} E {u,v} E) ({u,v} E {u,v} E), então G é um subgrafo induzido de G. Ou seja, para gerar um grafo induzido de G, retiram-se alguns vértices e consequentemente as arestas relacionadas com os vértices. Na Figura 2.4, é mostrado um subgrafo do grafo não direcionado da Figura 2.3. Figura 2.4: Subgrafo do grafo da Figura 2.3. O grau de um vértice v em um grafo G, denotado por δ(v), é o número de vértices de G incidentes em v, sendo que cada laço conta como duas arestas. Definição Caminho Um caminho, em um grafo não direcionado G, é um subgrafo não-vazio P = (V,E ) da forma V = {v 0,v 1,...,v k }, E = {{v 0 v 1 },{v 1 v 2 },...,{v k 1 v k }}. Se P = (V,E ) é um caminho e k 3, então o grafo C = (V,E {v k 1 v 0 }) é chamado de ciclo. A distância d G (u,v) em G dos vértices u,v é o tamanho do menor caminho que liga u a v em G; se tal caminho não existe, d G (u,v) =. A maior distância entre todos os vértices dois a dois em G é o diâmetro de G, denotado por diamg.

24 2.1 Teoria dos Grafos 22 Definição Grafo conectado Um grafo não-vazio G é chamado conectado ou conexo, se entre quaisquer dois vértices de G, há um caminho em G que os liga. Definição Grafo regular Um grafo G é definido como regular se cada vértice do grafo tem o mesmo grau. Um grafo regular de grau k (k N) é chamado de k-regular. A Figura 2.5 mostra um grafo 3-regular. Figura 2.5: Grafo 3-regular. Definição Grafo Bipartido Um grafo G = (V,E) é bipartido ou um bigrafo se o conjunto V de vértices pode ser dividido em dois conjuntos disjuntos U e W, tal que, (u,v) E (u U v W) (u W v U). Um grafo bipartido completo (k m,n ) é um grafo bipartido onde cada um dos m vértices de U tem uma aresta ligando a todos os n vértices de W. Na Figura 2.6, é representado um grafo bipartido completo k 3,2. Figura 2.6: Grafo bipartido completo k 3,2. Definição Grafo estrela É um tipo especial de grafo bipartido completo, onde há somente 1 vértice em um dos conjuntos. Ou seja, é um grafo do tipo k 1,n. Um grafo estrela k 1,n pode ser denotado como S n. Definição Coeficiente de agrupamento O coeficiente de agrupamento (clustering coefficient) de um vértice v, cc(v), é a relação entre a quantidade de arestas entre os vizinhos de v pela quantidade máxima possível de arestas entre os vizinhos de v.

25 2.2 Modelos de Redes Complexas 23 A quantidade possível de arestas entre os n vizinhos de v, em um grafo não direcionado, é combinação dos n vizinhos tomados dois a dois, ou seja, C n,2. Na Figura 2.7, está representado o coeficiente de agrupamento para o vértice 1 em três cenários diferentes. (a) cc(1) = 6 6 = 1. (b) cc(1) = 3 6 = 1 2. (c) cc(1) = 0 6 = 0. Figura 2.7: Coeficiente de agrupamento do vértice 1 em três cenários diferentes. Após a breve revisão de teoria dos grafos desta seção, utilizamos os métodos desse campo da matemática para apresentar a seguir em redes complexas. 2.2 Modelos de Redes Complexas Com a finalidade de estudar as propriedades de redes reais, diversos modelos de redes foram propostos e continuam sendo tema de várias pesquisas. Nas subseções seguintes apresentamos quatro dos principais modelos de redes complexas Grafos Aleatórios de Erdös e Rényi Um grafo aleatório pode ser definido como um grafo obtido aleatoriamente de um conjunto de grafos. Erdös e Rényi escreveram um artigo em 1959 [42] e outro em 1960 [40] descrevendo um modelo que ficou conhecido como grafos aleatórios de Erdös e Rényi (ER), que é definido da seguinte forma: Definição Grafos Aleatórios de Erdös e Rényi (ER) G(n, p) é um grafo aleatório obtido inicialmente de um conjunto de vértices V = {1,2...n}, onde todo par de vértices u e v (u,v V ) tem probabilidade 0 p 1 de existir uma aresta entre eles. A Figura 2.8 mostra três exemplos de grafos aleatórios G 10,p, construídos com diferentes valores da probabilidade p. Os valores de probabilidade de ocorrência das arestas nas Figuras 2.8(a), (b) e (c) são, respectivamente, 0, 1 10 e

26 2.2 Modelos de Redes Complexas 24 (a) p = 0 (b) p = 0,1 (c) p = 0,15 Figura 2.8: Construindo um grafo aleatório G 10,p com diferentes valores de p. dado por: No modelo ER, em redes muito grandes (n ), o grau médio de cada nó k é k = p (n 1). (2-1) Nesse tipo de rede, a quantidade de arestas do grafo pode ser estimada de maneira simples através da seguinte expressão: p n (n 1). (2-2) 2 Embora os grafos G(n, p) sejam chamados de grafos de Erdös e Rényi, os dois pesquisadores trabalharam inicialmente nas propriedades do modelo G(n, m), e somente depois expandiram para a análise do modelo G(n, p). O modelo original G(n,m) é construído a partir de um conjunto de vértices V = {1,2...n}, selecionando aleatoriamente uma aresta das possíveis arestas ainda não escolhidas e repetindo o processo m vezes. Ambas as variantes, G(n, p) e G(n, m), foram, independentemente, propostas por Somonoff e Rapoport em 1951 [97], e por Gilbert em 1959 [54]. Apesar dos grafos aleatórios de Erdös e Rényi serem utilizados para simulações e comparações com redes reais, a utilização de aleatoriedade na criação de redes se mostra inadequada para a modelagem de algumas redes reais [30] O Modelo de Mundo Pequeno de Watts e Strogatz Algumas redes reais exibem o que se chama de propriedade de mundo pequeno (small world), isto é, redes com diâmetro pequeno associado a alto coeficiente de agrupamento [36]. Essa propriedade é encontrada, por exemplo, em redes sociais [102, 103]. A propriedade mundo pequeno é originada de famoso experimento realizado em 1967 pelo psicólogo social Stanley Milgram [73], que o modelou como um grafo, onde cada indiví-

27 2.2 Modelos de Redes Complexas 25 duo é tratado como um vértice e existe uma aresta entre indivíduos, se eles se conhecem, pelo menos, pelo primeiro nome. Assim, um indivíduo A é dito estar conectado a um indivíduo B, se existe um caminho que liga A a B. O experimento consistiu no envio de cartas por indivíduos, localizados em Nebraska e Boston, para um único indivíduo destino, em Massachusetts. A questão central do experimento era a seguinte: dado quaisquer dois indivíduos A e B, qual a quantidade mínima de indivíduos (vértices do grafo) que são necessários para que A e B estejam conectados, ou seja, qual o valor do menor caminho que liga A a B. No experimento, cada participante foi solicitado que passasse a carta para o destino, caso o conhecesse, ou para um de seus conhecidos que tenha maior chance de conhecer o indivíduo destino. Por volta de 1 4 das cartas chegaram ao destino e foram necessárias, em média, seis indivíduos para repassar as cartas para que elas chegassem ao destino [81]. Outra propriedade presente em algumas redes reais é o número de ciclos de tamanho 3, ou seja, coeficiente de agrupamento alto. A partir dessa propriedade, é possível concluir que se dois vértices u e w são vizinhos do vértice v, há uma alta probabilidade de que u também seja vizinho de w. Geralmente, as redes ER têm distância média relativamente pequena entre pares de vértices quando comparado com o tamanho da rede, mas um coeficiente de agrupamento baixo. Podemos citar como exemplo alguns modelos para geração de redes com propriedades de mundo pequeno. Entre eles estão os modelos de Kleinberg [66], Newman & Watts [86] e o modelo de Watts & Strogatz [101], sendo este último um dos mais conhecidos. Para gerar redes com características de mundo pequeno, parte-se de grafos regulares e em sucessivas iterações, reposicionam-se suas arestas. Os grafos regulares têm como características o grande comprimento dos caminhos mínimos e alta taxa de coeficiente de agrupamento. A ideia dos modelos de geração de redes mundo pequeno é adicionar atalhos no grafo para que o comprimento médio dos caminhos mínimos diminua e permaneça o alto coeficiente de agrupamento. O modelo de Watts & Strogatz (WS) foi o primeiro modelo proposto para criação de redes mundo pequeno. O modelo parte de um grafo k-regular, onde cada aresta do grafo tem uma probabilidade p de ser reposicionada. Durante o reposicionamento, um vértice fim é mantido, enquanto o outro vértice fim é escolhido aleatoriamente entre todos os outros vértices do conjunto. Note que a quantidade de vértices e arestas são as mesmas do grafo regular inicial, enquanto o grau de cada vértice tende a se alterar. O grafo regular se torna um grafo aleatório quando é adotado um alto valor para a probabilidade de reposicionamento das arestas (0 p < 1), fazendo com que o comprimento médio dos caminhos mínimos e o coeficiente de agrupamento sejam grandes.

28 2.2 Modelos de Redes Complexas Redes Livres de Escala de Barabási e Albert Após o modelo de Watts e Strogatz, Barabási e Albert [11] mostraram que a distribuição do grau dos vértices em algumas redes reais ocorre de maneira desigual. Eles verificaram que ao invés dos vértices terem um grau característico e serem aleatoriamente conectados, como ocorre no modelo de ER e WS, alguns vértices são altamente conectados enquanto muitos têm poucas conexões, resultando em uma ausência de um grau característico [36]. A distribuição do grau encontrada por Barabási e Albert segue uma lei de potência para um k grande, P(k) = k γ, (2-3) onde γ R. Essas redes são chamadas redes livres de escala (RLEs). Na literatura, as RLEs modelam os mais variados tipos de sistemas, sejam reais ou artificiais. Exemplos de RLEs incluem a Internet [11, 34], World Wide Web [7, 12], grafo de chamadas telefônicas [5, 4] e rede de colaboração científica [81]. As características reproduzidas por redes aleatórias como, por exemplo, as redes produzidas pelo modelo de Erdös and Rényi [40], não representam as particularidades existentes em RLEs, tendo como consequência a necessidade de criação de novos modelos [8]. O modelo de Barabási & Albert [11], ou simplesmente modelo BA, foi o primeiro modelo para explicar tais características. Esse modelo baseia-se em duas características para a geração da rede: crescimento (growth) e conexão preferencial (preferential attachment). A primeira característica diz que os nós da rede crescem com o tempo enquanto a segunda estipula que quanto maior for o número de conexões do nó, maior o grau do nó, maiores são as chances de novos nós se ligarem a ele. A segunda característica é também conhecida como ricos ficam mais ricos, resultando em uma rede onde poucos nós têm muitas conexões e muitos nós têm poucas conexões. Os nós com muitas conexões são chamados nós concentradores ou hubs Grafo Aleatório Generalizado Uma boa maneira para analisar redes reais é comparar suas características com grafos aleatórios semelhantes. Pela importância que o grau dos vértices tem para a rede, é interessante fazer a comparação entre grafos e redes que tenham a mesma distribuição de grau dos vértices [36]. Assim, mostramos a seguir um modelo que gera grafos aleatórios a partir de uma distribuição de grau estabelecida. O Grafo Aleatório Generalizado é uma modificação do modelo de Grafos Aleatórios de Erdös e Rényi para ser Livre de Escala, onde cada vértice tem um peso associado. Um dos métodos mais amplamente usados para esse propósito, gerar um grafo aleatório generalizado, é o modelo de configuração desenvolvido por Bender e Canfiled

29 2.3 Caracterização de Redes Complexas 27 em 1978 [14]. O modelo de configuração assume uma distribuição de grau p k e, para uma rede de n nós, tem-se uma sequência de graus desejada (δ 1,...,δ n ), onde δ i especifica o grau do nó i (1 i n). Cada par de vértices é selecionado aleatoriamente e conectado para formar uma aresta. Foi demonstrado em [74] que, dada uma mesma sequência de graus, o processo gera cada possível topologia do grafo com igual probabilidade. Além da modelagem, a análise de propriedades topológicas relevantes é um dos principais objetivos que guiam as pesquisas em redes complexas [61]. Por essa razão, abordamos, na próxima seção, algumas métricas que expressam quantitativamente essas propriedades. 2.3 Caracterização de Redes Complexas Recentemente, tem-se dado bastante atenção na relação entre a estrutura e a dinâmica em redes complexas [82, 93]. A partir de informações quantitativas das propriedades da topologia de redes complexas, elas podem ser caracterizadas e analisadas. Assim, essas estruturas podem ser relacionadas com a respectiva dinâmica da rede complexa. A descrição quantitativa das propriedades de redes complexas fornece também subsídios para classificar as redes teóricas e reais em categorias [36], onde algumas das principais categorias são descritas a seguir. Uma propriedade topológica é uma propriedade inerente a um grafo teórico, ou seja, uma propriedade mantida sob todas as possíveis configurações do grafo [61]. Dessa forma, o termo propriedade somente descreve a caracterização da rede. Por exemplo, a afirmação um grafo não tem vértices com somente dois vizinhos é uma propriedade, enquanto que o número de vértices no grafo com mais de dois vizinhos é uma informação quantitativa. Existem diversas métricas para expressar quantitativamente propriedades topológicas relevantes de redes complexas. Entre elas, estão as métricas relacionadas à distância, a agrupamento e a ciclos, além de métricas de centralidade e métricas hierárquicas. Uma métrica relacionada à distância, bastante frequente no contexto de redes complexas [8], é o comprimento médio dos caminhos mínimos, average path length (L). Em um grafo G = (V,E), a métrica é definida como: L = 1 n(n 1) d G (i, j), (2-4) i V j V onde V = n é o número de vértices do grafo e d G (i, j) é o comprimento do menor caminho entre os vértices i e j. Já para o contexto de métricas relacionadas a agrupamentos e ciclos, o coeficiente de agrupamento, já definido na Seção 2.1, possui um destaque especial [8].

30 2.3 Caracterização de Redes Complexas 28 Esta dissertação se encontra no contexto de métricas de centralidade, pois propomos uma nova métrica de centralidade para ser aplicada em redes em malha sem fio [55, 56, 57]. Além disso, nossa métrica utiliza o conceito de rede egocêntrica para o seu cálculo. A métrica proposta é discutida com maiores detalhes no Capítulo 4, por isso, dedicamos às seções a seguir a apresentação de algumas das principais métricas de centralidade para redes complexas e a definição e aplicação do conceito de rede egocêntrica. Em [8] e [36] são discutidas uma grande variedade de métricas Métricas de Centralidade As diferentes maneiras de avaliar a importância relativa de um nó na rede, conceito refletido na palavra centralidade, é um tema estudado há bastante tempo [59, 63] e um dos conceitos mais estudados no contexto da análise de redes sociais (Social network analysis SNA) [25]. O conceito de centralidade reflete a importância relativa de um nó em uma rede, onde a partir de uma característica analisada, o nó é classificado segundo a sua importância. Existem diversas métricas de centralidade que se baseiam em diferentes características da rede. As métricas de centralidade baseadas em topologia para a análise de redes vão desde as tradicionais centralidade de grau, centralidade de intermediação (betweenness) e proximidade (cloneseness) [51] até as métricas mais recentes PageRank [29], centralidade de autovetor (Eigenvector Centrality EVC) [23], medidas de conectividade baseadas em cortes de vértices [35] e centralidade localizada de ponte (Localized Bridging Centrality LBC) [76]. Utilizamos uma divisão didática semelhante à utilizada em [8] para dividir as métricas de centralidade em quatro grupos, sendo eles, distância e vizinhança, caminhos mínimos e métricas em 2_vizinhança. Pela importância para esta dissertação das métricas: centralidade de ponte (Bridging Centrality BC), LBC e centralidade localizada de ponte com carga informada (Localized Load-aware Bridging Centrality LLBC), essas métricas são descritas no Capítulo 4. Distância e Vizinhança Nesta seção, serão apresentados índices que classificam a centralidade do nó de acordo com o conceito de vizinhança e distância dentro de um grafo. Centralidade de grau É uma das métricas de centralidades mais simples. A centralidade de grau de um nó a, C D (a), é definida como o número de arestas que incidem em um nó a, ou seja, o grau do nó a, C D (a) = δ(a). Para uma rede direcionada, a centralidade de grau de um nó a é dividida em grau de entrada, C Di (a), e grau de saída, C Do (a). O grau de entrada é definido como o número de arestas que incidem no nó. Já o número de arestas que saem do nó é definido como grau de saída.

31 2.3 Caracterização de Redes Complexas 29 Para se ter uma estimativa do quão distante está o nó das centralidades mínimas e máximas, adota-se a versão normalizada da centralidade de grau. A normalização é calculada como C Dn (a) = δ(a)/(n 1), em que δ(a) é o grau do nó a e n é o número de nós da rede. Por exemplo, para a rede da Figura 2.9, temos C D (5) = 4 e C Dn (5) = 4/6 = Figura 2.9: Exemplo da centralidade de nó. Excentricidade A métrica é definida como a distância máxima entre um vértice u V e qualquer outro vértice v V da rede: Ecc(u) = max v V d G(u,v). (2-5) O raio da rede é definido como o valor da excentricidade mínima, enquanto o diâmetro é o valor da excentricidade máxima. Na rede da Figura 2.9, o raio é 2 e o diâmetro é 3. Volume A métrica é definida como a soma dos graus de cada elemento da topologia. Se, por exemplo, a topologia for definida como sendo o nó v e seus vizinhos, o volume será o somatório do grau de v e seus vizinhos. Na Figura 2.9, se a topologia for definida como o nó 5 e seus vizinhos, o volume será δ(5)+δ(3)+δ(4)+δ(6)+ δ(7) = 12. Centralidade de autovetor A centralidade de autovetor (Eigenvector Centrality EVC) é um conceito bastante utilizado na SNA e foi inicialmente proposto por Bonacich [21, 22]. A centralidade de autovetor é definida de maneira circular, onde a centralidade de um nó é calculada como a soma da centralidade de seus nós vizinhos. No contexto de redes sociais, a importância (influência) de um nó (pessoa) é proporcional a importância (influência) de seus vizinhos (amigos). Brin e Page [29], cofundadores do Google, criaram uma técnica similar chamada PageRank para clas-

32 2.3 Caracterização de Redes Complexas 30 sificar a relevância de páginas Web, que posteriormente foi implementada na máquina de busca do Google. Caminhos Mínimos Nesta seção, serão apresentadas métricas que calculam a importância dos nós a partir dos caminhos mínimos que passam por eles. Os caminhos mínimos geralmente são definidos para os nós da rede, havendo variações cuja importância é também definida para as arestas. Centralidade de tensão A centralidade de tensão (Stress centrality) é uma das métricas mais simples que faz uso da enumeração dos caminhos proposta em [95]. Como o nome sugere, a métrica calcula o trabalho que um nó precisa suportar na rede, uma vez que enumera todos os caminhos mínimos que passam pelo nó. A centralidade de tensão de um vértice u é representada como C S (u), C S (u) = v u V w u V ρ vw (u), (2-6) onde ρ vw (u) é a quantidade de caminhos mínimos que começam em v e terminam em w e contém o vértice u. Caso C S (u) = n 1, para uma rede com n vértices, então a rede possui uma topologia em estrela, sendo u seu centro. Centralidade de intermediação A centralidade de intermediação (Betweeness centrality), que pode ser vista como uma variação da centralidade de tensão, mensura a importância global do nó, tomando como critério a proporção de caminhos mínimos entre todos os pares de nós que passam por ele. A centralidade de intermediação de um nó u é definida por: C B (u) = ρ vw (u), (2-7) ρ u v w vw em que u,v,w V, um conjunto de vértices de um grafo conexo. ρ vw é o número de caminhos mínimos do nó v até o nó w e ρ vw (u) é o número de caminhos mínimos do nó v até o nó w que passam pelo nó u. A centralidade de intermediação pressupõe que todos os caminhos entre todos os pares de nós são utilizados igualmente. Essa suposição não é adequada para alguns tipos de redes, como por exemplo, redes em malha sem fio [77]. Métricas em 2_vizinhança Uma versão semelhante à rede egocêntrica (Seção 2.3.2) é a rede baseada em 2_vizinhança. A 2_vizinhança de um nó v, 2_vizinhança(v), é definida como a vizinhança

33 2.3 Caracterização de Redes Complexas 31 de v de dois saltos, ou seja, a sub-rede formada pelo nó v, seus vizinhos diretos e os vizinhos dos seus vizinhos. Por exemplo, a rede da Figura 2.10 (a) tem a 2_vizinhança(1) sendo a própria rede. Já a 2_vizinhança(5) da Figura 2.10 (a) encontra-se na Figura 2.10 (b). (a) Topologia de uma rede. (b) A 2_vizinhança do nó 5. Figura 2.10: Aplicação do conceito de 2_vizinhança. O Distributed Assessment of Network CEntrality DANCE [105] é um algoritmo distribuído para avaliar a centralidade dos nós de uma rede baseado no conceito de 2_vizinhança. Além do valor da centralidade, eles proporcionam um meio de localizar os nós mais centrais da rede. O princípio básico do algoritmo é que cada nó da rede considera apenas sua 2_vizinhança. A métrica de centralidade pode variar, gerando medidas de centralidade diferentes, no entanto, a operação geral do DANCE independente de métrica específica. A métrica utilizada em [105] é o volume da 2_vizinhança Redes Egocêntricas No contexto de grandes redes complexas, investigar e analisar os dados obtidos de toda a rede é oneroso, e em alguns casos, impraticável. Como consequência, surgiu o conceito de redes egocêntricas (egocentric networks), onde são escolhidos alguns nós focais e a rede é definida a partir das relações por eles estabelecidas [89]. Uma rede egocêntrica é composta de um nó principal, chamado ego, e seus nós vizinhos, chamados alters. A rede é definida pela relação existente entre o nó ego e os nós alters, incluindo os relacionamentos entre os nós alters. A Figura 2.11 mostra a rede egocêntrica do nó 5 da Figura 2.9. Algumas métricas de centralidade utilizam o conceito de rede egocêntrica para dividir uma rede complexa em várias redes egocêntricas e fazer o cálculo da métrica em cada rede egocêntrica. Algumas métricas foram adaptadas para terem sua versão egocêntrica, sendo a centralidade de intermediação um exemplo. Contudo, nem sempre essa adaptação é possível para todas as métricas. Por exemplo, a centralidade de autovalor