Palavras-chave: Semana da matemática. PIBID Matemática. Oficinas.

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1 PIBID NA SEMANA DA MATEMÁTICA DA UFPR Resumo: Jéssica Conde Universidade Federal do Paraná Juliana Rodrigues de Araújo Universidade Federal do Paraná Marcos Vinicius de Jesus da Silva Universidade Federal do Paraná William Sforza Universidade Federal do Paraná A Semana da Matemática foi um evento que ocorreu na primeira semana de aula, que coincide com a semana de recepção dos calouros. O PIBID (Programa Institucional com Bolsa de Iniciação a Docência) da UFPR, ofertou a maioria das oficinas presente nessa semana. Foram ministradas quatro oficinas: Cônicas, Fractais, Gráfico de Funções e Trigonometria. Duas delas foram preparadas para alunos do PSE (Processo Seletivo Estendido), e duas para os alunos da graduação. A oficina de cônicas foi preparada para que os alunos entendessem melhor os conceitos através de materiais manipuláveis. A de fractais foi para que eles generalizassem fórmulas e foi também uma revisão de progressão geométrica. A de gráficos de funções para que usassem o software GeoGebra e assim retomar algumas propriedades das funções estudadas, e a de trigonometria para abordar esse conteúdo utilizando material concreto. A execução dessas oficinas se mostrou de grande potencial para nossa formação acadêmica. Palavras-chave: Semana da matemática. PIBID Matemática. Oficinas. Introdução A Semana da Matemática da UFPR é um evento promovido pelas Coordenações dos Cursos de Matemática e Matemática Industrial, com o apoio do PET-Matemática, PIBID (Programa Institucional com Bolsa de Iniciação a Docência), Licenciar, EMMATI (Empresa Junior de Matemática Industrial) e Centros Acadêmicos. A semana visa recepcionar os alunos do Processo Seletivo Estendido (PSE) e divulgar o

2 conhecimento matemático, por meio de minicursos, oficinas e palestras, além de promover horas formativas para os alunos da graduação. O PSE é a 3ª fase do vestibular da UFPR de Matemática e de Matemática Industrial. Nesse processo os alunos devem cursar, durante um semestre, duas disciplinas: Funções e Geometria Analítica. São feitas quatro avaliações, sendo a última substitutiva, e, para que possam continuar no curso, os alunos devem atingir uma média final igual ou superior a 50 em cada disciplina. Durante este primeiro semestre, estes 220 candidatos têm a oportunidade de "viver a Universidade": tomam contato com professores e pesquisadores de Matemática, conhecem os alunos veteranos, têm acesso ao sistema de bibliotecas, conhecem melhor a metodologia do curso e o nível de exigência. Enfim, terão a oportunidade de conhecer a fundo o curso no qual está se candidatando. É a oportunidade de fazer uma escolha efetivamente consciente. (http://www.mat.ufpr.br/graduacao/matematica/ingresso/pse.html, atualizada 0/02/201) O curso de Matemática da UFPR é ofertado de tarde (Bacharelado e Licenciatura) e também a noite (Licenciatura), o aluno da graduação do curso vespertino pode escolher entre Bacharelado e Licenciatura, ou só Bacharelado ou só Licenciatura. O PIBID Matemática tem como orientadora a Profª Drª Elisangela de Campos, como supervisoras as Profª Adriana Vaz e Profª Alessandra Zavala e conta com 1 bolsistas. O subprojeto PIBID Matemática da UFPR tem como objetivos: inserir os alunos da graduação na realidade e o cotidiano da escola, fazendo com que ele entenda a dinâmica da escola, suas dificuldades e seus desafios, possibilitar aos alunos bolsistas desenvolvimento de uma postura investigativa e aproximar os resultados das pesquisas em Educação Matemática com as ações propostas em sala de aula. Para isso os bolsistas PIBID Matemática desenvolvem algumas atividades como a observação participante nas escolas envolvidas e os estudos em grupo, nos quais desenvolvem sequências didáticas, oficinas e minicursos. (http://www.pibid.ufpr.br/pibid_new/projetos/matematica2009/pagina s/apresentacao--36)

3 O PIBID Matemática tem participado oferecendo oficinas para os participantes da semana. Nesta edição, de 10 a 1 de fevereiro de 201, apresentamos as seguintes oficinas: Cônicas, Fractais, Funções e Trigonometria. O objetivo da participação do PIBID nesta semana é divulgar para os demais alunos do curso as atividades desenvolvidas pelo grupo e também divulgar o próprio PIBID, além de ser uma oportunidade de exercer o papel de professor, desenvolvendo ou adaptando o material didático utilizado e ministrado as oficinas. Este trabalho tem como objetivo relatar a participação do grupo na semana da matemática, descrevendo desde o desenvolvimento do material até a aplicação na sala de aula, fazendo algumas considerações sobre a experiência. Cônicas A ideia da oficina de cônicas surgiu após várias discussões a respeito de como este conteúdo é trabalhado no ensino médio e pelas dificuldades sentidas no PSE. Analisando livros didáticos e conversando sobre a experiência, enquanto alunos do ensino médio, vimos que este assunto é pouco abordado e quando é visto poucos são os materiais apresentados aos alunos. O objetivo era demonstrar aos futuros professores, isto é, alunos do curso de matemática, que além da parte teórica é possível confeccionar vários materiais manipuláveis que facilitam a visualização e a aprendizagem das cônicas. Para a confecção dos materiais foram feitos estudos sobre os mesmos e optamos em explorar os seguintes materiais: construção de cônicas através de réguas, de dobraduras de papel, do software GeoGebra, por cortes de cones de isopor e através de um cone de barbante e laser. Os materiais são fáceis de serem construídos e com esses materiais tanto o professor quanto os alunos conseguem ver com mais clareza as propriedades e as definições das cônicas.

4 Figura 1 - Alunos construindo a régua Figura 2 Alunos usando a régua A oficina foi ministrada em dois dias de três horas para conseguirmos abordar com mais calma as definições, as propriedades e os materiais. As definições foram apresentadas e discutidas, as propriedades foram abordadas na forma de problemas que pedimos para os alunos resolverem no primeiro dia. No segundo foram usados os materiais manipuláveis para que ficasse mais fácil a visualização do que foi apresentado no primeiro dia. Apesar de não termos preparado a oficina para dos alunos do PSE, pois os problemas envolviam demonstrações, foram estes alunos que participaram da oficina. Observamos que a linguagem utilizada, as demonstrações e definições formais não foram entendidas por eles no primeiro dia. Já no segundo dia observamos a satisfação dos mesmos em ver que as definições se fizeram observáveis, e foram exploradas de forma diferenciada. Esta experiência nos deixou uma conclusão: os materiais manipuláveis se mostraram mais eficazes no aprendizado de alunos. Fractais A oficina de Fractais teve como objetivos: introduzir a noção de fractal, relembrar Progressão Geométrica (PG) e observar se os alunos do PSE conseguiam generalizar algumas fórmulas. A oficina foi ministrada em 3h, em um único dia, foi dividida da seguinte maneira: primeiramente foi passado um vídeo, que mostrando exemplos e tipos de fractais; depois foi distribuído um material que explicava o que era fractal e continha as atividades que eles iriam fazer.

5 Então foi feito juntamente com os alunos a atividade de construção do fractal Poeira de Cantor para que os estudantes tivessem uma ideia do que era para responder, e de como deveria ser preenchida a tabela com os dados referentes à construção do mesmo. Com isso, pedimos para os alunos se dividirem em grupos de três pessoas e entregamos metade de uma cartolina, régua e compasso para que construíssem outros exemplos e preenchessem a tabela relativa ao fractal construído. Eles poderiam escolher entre o Triângulo de Sierpinsk, o Floco de Neve de Koch e a Curva de Peano. Ensinamos como desenhar um triângulo equilátero de duas maneiras, uma usando o compasso e o lado e outra construindo dois ângulos de 60º. Enquanto faziam isso, nós passamos de grupo em grupo ajudando e tirando as dúvidas. Quando determinaram a atividade, foi feito com eles a correção da tabela do Triângulo de Sierpinsk, foi passado a resposta do Floco de Neve e nenhum grupo tentou preencher a tabela da Curva de Peano. Tabela 1 - Triângulo de Sierpinski: Interação Número de triângulos Comprimento do lado Perímetro do novo triângulo Área de cada triângulo ,5 10,5 (3,5) 2 3 Área total (parte preta) (3,5) N 3 N l 2 N l. 3 2 N l N. 3 N.l N. Com essa análise passamos para os alunos uma noção de PG explicando o que era e como se fazia para resolver problemas relacionados a esse assunto utilizando fórmulas que também foram mostradas. No final foram mostrados dois modelos de Cartão Fractal, os quais tinham um tutorial como se fazia na apostila que eles

6 receberam. XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática Figura 3 Cartão fractal Figura Cartão Fractal Enquanto passamos de grupo em grupo para tirar as dúvidas, pudemos observar que alguns estavam se esforçando para preencher a tabela, outros estavam mais preocupados com a construção do desenho do que com a tabela em si. Vimos que alguns não sabiam o que era um triângulo equilátero, nem o que era o perímetro do triângulo. Vários tiveram dificuldades em conseguir generalizar as fórmulas e não sabiam usar o compasso. Tivemos quatro grupos que realmente conseguiram fazer o desenho e completar corretamente a tabela, o que é mais ou menos 30% do total de alunos que estavam na oficina. Foi uma experiência muito boa, como educadores. Uma das dificuldades que surgiu foi como que se explicaria o que era fractal, seus exemplos e tipos, então eles viram um vídeo que falava sobre tudo isso, pois com imagens fica mais fácil de visualizar do que se tratava. Gráficos de funções O objetivo da oficina de gráficos de funções foi apresentar o software GeoGebra para os alunos do PSE. Com isso, eles poderiam usar para plotagem de gráficos e entender o comportamento de diversas funções.

7 Entregamos aos alunos um material didático que continha atividades relacionadas às seguintes funções: afim (1º grau), quadrática (2º grau), modular, exponencial e logarítmica. Enquanto as funções trigonométricas foram apenas mencionadas, deixando a sugestão que poderiam ser feitas atividades análogas as demais. Iniciamos a oficina falando sobre a noção de função e apresentando o GeoGebra, suas ferramentas e como construir o gráfico de uma determinada função. Após isso, falamos sobre a Função Afim, a qual tem sua forma geral da seguinte forma: f(x) = a.x + b. Definimos o a como coeficiente angular e o b como coeficiente linear. A partir disso os alunos deveriam fazer alguns gráficos modificando o valor dos coeficientes da função para observar, por exemplo, o que acontece quando se varia o valor de a,as observações deveriam ser anotadas no material entregue para os alunos e seria discutido com os todos os outros. Na Função do 2º Grau apresentamos a forma geral f(x) = ax 2 + bx + c. Então, pedimos que os alunos fizessem os exercícios e observassem em que os termos a, b e c interferem no gráfico da função. O mesmo raciocínio foi utilizado para as funções: Modular, Exponencial e Logarítimica. Para finalizar, solicitamos aos alunos que plotassem os gráficos de f(x) = e x e g(x) = ln(x) e apresentassem quais as relações entre essas funções. Alguns alunos conseguiram acompanhar a ideia da atividade, porém não tinham uma linguagem matemática adequada para a observação (palavras dos próprios alunos). Já os alunos do curso noturno tiveram dificuldade tanto para manusear o software quanto para fazer as observações, além de não conseguirem expressar matematicamente o que acontecia. A oficina foi importante tanto para os alunos quando para os pibidianos, pois aprendemos ainda mais sobre as funções e seus comportamentos gráficos, além de mostrar como o computador pode ser empregado nas aulas de matemática.

8 Figura 5 alunos na oficina de gráficos Figura 6 alunos na oficina de graficos Trigonometria Para podermos realizar a oficina de trigonometria durante a semana acadêmica do curso de licenciatura e bacharelado em Matemática, fizemos algumas leituras e análises de livros didáticos; Matemática: Contexto e Aplicações do autor Luiz Roberto Dante e Matemática: uma nova abordagem dos autores José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno, dentre essas leituras um artigo que tratava do assunto de trigonometria; "O uso de materiais concretos para o ensino de trigonometria" das autoras Amanda Bandeira Xavier e Mariana do Nascimento Fuly, ambas da Universidade Federal Fluminense, o qual nos serviu de base para criarmos as atividades e montar a oficina. Na análise dos livros percebemos que não tínhamos conhecimento profundo sobre o assunto. E que o que conhecíamos era apenas a regra para conversão do radiano em graus e vice-versa. A primeira atividade criada teve como intuito proporcionar aos futuros graduandos do curso, um melhor entendimento sobre a noção de radiano e realizar sua construção diferentemente do método tradicional visto no ensino médio. Para isso, fizemos uso de três círculos de cores e tamanhos diferentes, um barbante de tamanho igual ou superior ao raio do maior círculo, um transferidor, uma tachinha para manter os círculos centralizados e lápis para fazer a marcação dos ângulos encontrados. Com isso, observamos que alguns alunos tiveram dificuldade ao centralizar o transferidor sobre os círculos. Enquanto outros mediram os raios dos círculos com o barbante e ao invés de

9 coloca-lo sobre o contorno das circunferências, acabaram esticando como se fosse a corda desses círculos. Neste momento, nos colocamos a pensar sobre a importância do uso de materiais no auxílio do ensino e aprendizagem da matemática, não só, no ambiente escolar básico, como também no ambiente universitário. Demos sequencia a oficina e outra atividade proposta aos alunos teve como finalidade a construção do gráfico da função seno e cosseno. Para esta atividade, foram utilizados: folha de papel milimetrado A3, um pedaço de barbante no tamanho ao lado maior dessa folha, borracha, lápis, compasso, transferidor, régua de trinta centímetros, uma placa de E.V.A com tamanho igual ao da folha e uma tachinha. Nessa atividade os alunos construíram com o compasso uma circunferência no lado esquerdo da folha, que estava posicionada na horizontal. Com o auxílio do transferidor marcaram alguns pontos sobre esse círculo, e em seguida traçaram com a régua um par de eixos cartesianos, sendo o eixo y tangente à circunferência. Feito isto, apoiaram o lado da folha que continha a circunferência sobre o EVA e fixaram com a tachinha o barbante na origem do sistema cartesiano de forma que poderiam sobrepor o barbante no contorno do circulo e obter o comprimento de cada ponto marcado anteriormente e transferi-lo esticando o barbante o barbante sobre o eixo x do sistema. Na sequencia, traçaram retas paralelas ao eixo y e perpendiculares ao eixo x, passando em cada ponto em x, repetiram esse processo para os pontos marcados na circunferência. Porém, com um detalhe, as retas traçadas na circunferência ficaram paralelas ao eixo x e perpendiculares ao eixo y. E finalmente, fizeram a ligação dos pontos marcados no plano cartesiano com suas coordenadas x e y e observaram que o gráfico construído era o da função seno. E com o final da oficina, nós bolsista do PIBID, podemos notar o quão importante essa oficina foi para nós e para os alunos. que foi difícil elaborar e pensar em uma forma de transmitir o assunto, já que não tínhamos completo domínio sobre o assunto e sobre os materiais. E terminamos a oficina com uma bagagem maior, tanto de conhecimento, quanto de vivencia em sala de aula.

10 Figura 7 Oficina trigonometria Figura 8 Oficina trigonometria Conclusão As oficinas apresentadas foram importantes para a nossa formação como professores e também para a dos demais alunos do curso que as frequentaram. Pois foram assuntos que são pouco ou nunca abordados no Ensino Médio, e também não são vistos dessa forma durante a formação do profissional em si. Referências BORDALLO, Mirella. As cônicas na Matemática Escolar Brasileira: História, Presente e Futuro. Dissertação de Mestrado, Universidadde Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, BU MATHEMATICS & STATISTICS. Fractal Dimension. Disponível em: < Acesso em: 07 fev JUNIOR, C.A.R.C.; SOUZA, D.N.; ROSA, F.C.; SILVA, G.K.R: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. Curitiba, MANDELBROT, Benoît: Objetos Fractais, seguido de Panorama da Linguagem Fractal. Tradução de Carlos Fiolhais e José Luis Malaquias Lima. 1ed. Lisboa: Gradiva, PAIVA, Manuel; Matemática 1.ed. Vol. 3- São Paulo: Moderna, PATTERNS OF VISUAL MATH. NaturallyOccurringFractals. Disponível em:<http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html> Acesso em: 12 jul PORTAL DIA A DIA EDUCAÇÃO. Fractais: A Geometria do Caos. Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=1307>

11 Acesso em: 12 jul TED. Benoit Mandelbrot: Fractais e a arte da rugosidade. Disponível em: <http://www.ted.com/talks/lang/en/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.ht ml>. Acesso em: 03 fev SOUZA, Diego das Neves; SILVA, Greicy Kelly Rockenbach; PILATO, Michele; PINTO, Nilmara de Jesus Biscaia. Oficina de Matemática Fractais. Curitiba, DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Uma Nova Abordagem. XAVIER, Amanda Bandeira; FULY, Mariana do Nascimento. O Uso de Materiais Concretos para o Ensino de Trigonometria. XI Encontro Nacional de Educação Matemática, Curitiba 2013.

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