O Problema da Projecção. Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro

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1 O Problema da Projecção Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro

2 Introdução Ao longo de séculos, artistas, engenheiros, projectistas e arquitectos tem tentado resolver as dificuldades e restrições impostas pelo problema de representar um objecto ou uma cena tridimensional num meio bidimensional o problema da projecção Problema Geral - entende-se como projecção, o processo de mapear um sistema de coordenadas de dimensão n em um de dimensão menor ou igual a n-1 Os dois métodos básicos de projecção: perspectiva e paralela foram criados para resolver o problema básico da representação pictórica: mostrar o objecto tal como o vemos e preservar a sua verdadeira grandeza e forma 2

3 Introdução Alguns factos históricos O mais antigo exemplo do desenho técnico: planta de um prédio da cidade de Lagash na Mesopotâmia (2150 A.C. ). O pintor Agatharchus foi o primeiro a usar perspectivas em larga escala no período de 5 séculos A.C. Inspirou os filósofos Anaxagoras e Demócrito a escrever sobre perspectiva. A primeira evidência real do uso de desenhos para guiar edificações foi encontrado nos textos de Vitruvius, um arquitecto e engenheiro romano do período de Júlio César e Augustus, em torno do ano 14 A.C. O primeiro tratado sobre perspectiva, Della Pittura, foi publicado em 1435 por Leone Battista Alberti ( ). A técnica da perspectiva continuou a ser aperfeiçoada por Leonardo da Vinci que pintou a sua versão de A Última Ceia. Gasparad Monge ( ), publicou a primeira edição do livro Geometrie Descriptive em

4 Introdução A projecção de um objecto 3D no plano é definida pelos seus raios de projecção (projectores) provenientes de um centro de projecção, que passando através de cada ponto do objecto, intersectam o plano de projecção, para formar a projecção final 4

5 Classificação As projecções geométricas planares podem ser subclassificadas de acordo com o esquema da seguinte figura: 5

6 Classificação As projecções planares paralelas e perspectivas diferem com relação a distância do plano de projecção ao centro de projecção. Se a distância é finita, a projecção é perspectiva Se a distância é infinita, a projecção é paralela Proj. Perspectiva Proj. Paralela 6

7 Projecções Paralelas Nas projecções paralelas, as projectantes podem incidir ortogonalmente ou não no plano de projecção. As duas grandes sub-divisões são então a projecção paralela ortogonal e a projecção paralela oblíqua em que as palavras ortogonal e oblíqua definem o tipo de incidência no plano de projecção. Projectores 7

8 Projecções Paralelas (cont ) Caso 1: Projecção Paralela Ortogonal (ortográfica) 8

9 Projecções Paralelas (cont...) Caso 2: Projecção Paralela Oblíqua 9

10 Projecção Paralela Ortogonal Multi-vistas As projecções ortogonais vista lateral, vista frontal e planta constituem as projecções normalmente utilizadas em desenho técnico. Características: Elas tem a direcção dos raios de projecção e a normal ao plano de projecção coincidentes com a direcção dos eixos cartesianos. Elas oferecem uma visão parcial do objecto. Mantém sem alteração as relações de dimensões e ângulos do objecto projectado. 10

11 Projecção Paralela Ortogonal Multi-vistas 11

12 Projecção Paralela Ortogonal Axonométricas Na projecção paralela ortogonal, quando os planos principais do objecto são oblíquos em relação ao plano de projecção, a imagem deixa de ser uma vista para e ser uma axonométrica. A este tipo de projecção é usual dar o nome de perspectiva rápida 12

13 Projecção Paralela Ortogonal Axonométricas Podemos distinguir três tipos de Axonometricas Isonométrica Dimétrica Se ao projectarmos o sistema de eixos associado ao objecto no plano de projecção, os ângulos entre os eixos projectados são iguais Quando dois eixos coordenados ligados ao objecto formam ângulos com o plano de projecção. Trimétrica Se os eixos coordenados associados ao objecto formam ângulos diferentes entre si com o plano de projecção 13

14 Projecção Paralela Ortogonal Axonométricas Isométricas e Dimétricas 14

15 Projecção Paralela Ortogonal Axonométricas 15

16 Projecção Paralela Ortogonal - Axonométricas Axonométricas 16

17 Projecção Paralela Ortogonal Axonométricas Importante: As projecções axonométricas distorcem os objectos, alterando as relações de ângulos e dimensões de lados dos objectos. As projecções axonométricas mantém as relações de paralelismo entre os lados dos objectos. A alteração da dimensão dos lados é relacionada com a alteração da dimensão dos versores (vectores unitários) em cada um dos eixos X, Y e Z, quando projectados no plano. 17

18 Projecções Perspectivas As técnicas utilizadas em projecção perspectiva são derivadas daquelas utilizadas pelos artistas e desenhistas profissionais. Pode-se dizer que o olho do observador coloca-se no centro de projecção, e o plano que deve conter o objecto ou cena projectada transforma-se no plano de projecção Objecto b a b' a' m ge a Im Projectante Centro de Projecção 18

19 Projecções Perspectivas (cont ) Observações: O efeito visual de uma projecção perspectiva é bastante realista: As dimensões de um objecto projectado variam inversamente com relação ao centro de projecção, o que está de acordo com o modo de funcionamento do sistema visual humano. No entanto, as projecções perspectivas não são úteis para documentar precisamente as formas de um objecto, dado que as dimensões e os ângulos dos seus lados podem sofrer alterações após a projecção. Em especial, pode haver perda do paralelismo entre as linhas. 19

20 Projecções Perspectivas (cont ) Resumo de observações: Vantagem: Aspecto realista. Desvantagens: Não é útil para registar a forma e as dimensões exactas dos objectos; Não se pode obter as distâncias reais; Os ângulos só são preservados apenas nas faces do objecto paralelas ao plano de projecção; Linhas paralelas normalmente não são projectadas como paralelas. 20

21 Projecções Perspectivas (cont ) Os desenhos em perspectiva são caracterizados pelo encurtamento perspectivo e pelos pontos de fuga O encurtamento perspectivo, é a ilusão de que os objectos e comprimentos são cada vez menores à medida que sua distância ao centro de projecção aumenta. Tem-se também a ilusão de que conjuntos de linhas paralelas que não são paralelas ao plano de projecção, convergem para um ponto de fuga Denominam-se pontos de fuga principais, quando dá-se a aparência de haver uma intersecção entre um conjunto de rectas paralelas com um dos eixos principais Ox, Oy ou Oz. O número de pontos de fuga principais é determinado pelo número de eixos principais intersectados pelo plano de projecção. 21

22 Projecções Perspectivas (cont ) Anomalias: Pontos de Fuga As projecções perspectivas são categorizadas pelo seu número de pontos de fuga principais, ou seja o número de eixos que o plano de projecção intercepta. Somente as linhas paralelas ao eixo z convergem, e as linhas paralelas aos eixos x e y continuam paralelas! 22

23 Projecções Perspectivas (cont ) Anomalias: Pontos de Fuga As projecções perspectivas com dois pontos de fuga (quando dois eixos principais são interceptados pelo plano de projecção) são mais comuns em arquitectura, engenharia, desenho publicitário e projecto industrial. Figura Projecções perspectivas com 2 pontos de fuga ( o plano de projecção intercepta 2 eixos (x e z)). 23

24 Projecções Perspectivas (cont ) Anomalias: Pontos de Fuga Já as projecções perspectivas com três pontos de fuga são bem menos utilizadas, pois adicionam muito pouco em termos de realismo comparativamente às projecções com dois pontos de fuga, e o custo de implementação é bem maior. 24

25 Projecções Perspectivas (cont ) Anomalias: Encurtamento perspectivo Encurtamento perspectivo: Quanto mais distante um objecto está do centro de projecção, menor parece ser. 25

26 Projecções Perspectivas (cont ) Anomalias: Confusão Visual Confusão Visual: Os objectos situados atrás do centro de projecção são projectados no plano de projecção de cima para baixo e de trás para a frente (ver figura) 26

27 Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Para obter uma projecção perspectiva de um objecto 3D, são transformados os pontos ao longo das projectantes que se encontram no centro de projecção Suponha que o centro de projecção está posicionado em zprp, um ponto no eixo zv, e que o plano de projecção, normal ao eixo Oz, está posicionado em zvp, como mostra a figura. Plano de Projecção 27

28 Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Plano de Projecção Precisamos determinar as coordenadas (xp,yp,zp), que são as coordenadas do ponto P = (x,y,z) projectado no plano de projecção. Podemos escrever as equações que descrevem as coordenadas (x',y',z') de qualquer ponto ao longo da linha de projecção perspectiva como: x ' = x xu y' = y yu z' = z ( z z prp )u O parâmetro u assume valores no intervalo [0,1]: quando u = 0, estamos em P = (x,y,z), e quando u = 1 temos exactamente o centro de projecção (0,0,z ) prp 28

29 Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva x ' = x xu y' = y yu z' = z ( z z prp )u No plano de projecção, sabemos que z'= zvp, e podemos resolver a equação de z' para obter o valor do parâmetro u nessa posição ao longo da linha de projecção: z z u= vp z prp z Substituindo esse valor de u nas equações de z' e y', obtemos as equações de transformação perspectiva: z prp zvp xp = x z z prp dp =x ; z z prp z prp zvp yp = y z z prp = dp y z z prp 29

30 Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva z prp zvp xp = x z z prp dp =x ; z z prp dp y z z prp Aplicando coordenadas homogéneas pode-se escrever a transformação na forma matricial: 1 0 xh y h = 0 zh h 0 z prp zvp yp = y = z z prp x z prp y zvp 0 zvp dp d p z z prp dp dp Nesta representação o factor homogéneo é: h = (zprp - z)/dp E as coordenadas do ponto projectado no plano: xp = xh/h; yp = yh/h 30

31 Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva z prp zvp xp = x z z prp Casos dp =x ; z z prp z prp zvp yp = y = z z prp especiais: zvp = 0 z prp ; x p = x z z prp dp y z z prp z prp y p = y z z prp zprp = 0 zvp xp = x z 1 =x z / z vp ; zvp yp = y z = 1 y z/z vp 31

32 Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva z prp zvp xp = x z z prp dp = x ; z z prp z prp zvp yp = y z z prp = dp y z z prp Exemplo Nº1: Seja o plano de projecção o plano xoy, e o centro de projecção o ponto C(0, 0, -d) na parte negativa do eixo Oz. Então neste caso zvp= 0 e zprp = -d d x p = x ; z+d d y p = y ; z p = 0 z+d Plano de Projecção E na forma matricial: x p d x d 0 y d y 0 d p = = z p z + d x 0 0 y 0 0 z 1 d 1 32

33 Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva x p d x d 0 y d y 0 d p = = z p z + d x 0 y 0 z d 1 Exemplo Nº2: Determine a projecção perspectiva dos vértices dum cubo unitário, utilizando a transformação perspectiva com d = 1. Representação do cubo unitário em ternos das suas coordenadas homogéneas: Vc = [ A, B, C, D, E, F, G, H ] = Com d = 1 encontramos as coordenadas dos 0 0 projecções das vértices: Vc = [ A, B, C, D, E, F, G, H ] =

34 Descrição Matemática de uma Projecção Paralela Ortogonal Se o plano de observação está posicionado em z ao longo do vp eixo zv, então a descrição de qualquer ponto P = (x, y, z) em coordenadas do sistema de observação é transformada para as coordenadas de projecção (ver figura): xp = x; yp = y 34

35 Descrição Matemática de uma Projecção Paralela Ortogonal A matriz transformação pode ser obtida a partir da matriz projecção perspectiva. Isto é, x p x 1 y y 0 p = = z p x y z Para o caso da projecção paralela ortogonal podemos concluir que a imagem: Não depende da posição do centro de projecção pois este encontra-se no infinito. Não depende da direcção das projectantes, visto essa direcção ser fixa. Só depende da posição do objecto em relação ao plano de projecção 35

36 Descrição Matemática de uma Projecção Paralela Ortogonal Não é difícil observar que as projecções paralelas ortogonais: vista lateral, frontal e planta podem ser obtidas através de transformações ortogonais. Exemplo Nº3: Vista Lateral. Esta transformação pode ser obtida mediante uma rotação de -90 no eixo Ox e com a eliminação da coordenada z Assim, partindo-se da equação de rotação em torno do eixo Ox, determina-se a matriz de projecção da vista lateral MPVL: 36

37 Relatividade (litografia) M. C. Escher ( ) A característica fundamental de esta litografia é a sua perspectiva ambígua: A sala pode rodar à volta do centro e pode conter até três linhas de horizonte. As figuras deambulam: umas sobem e outras descem numa determinada direcção sem parecer ser influenciadas pela força da gravidade. 37