Figura 1.1: Exercício 1.1.

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1 Capítulo 1 Corpo rígido Exercício 1.1: barra uniforme B da figura 1.1 tem 4 m de comprimento e pesa 100 kgf, podendo girar em torno do ponto fixo C que dista de 2.5 m. barra está em repouso sobre o ponto e um homem, pesando 75 kgf, caminha sobre ela partindo de. Calcule a distância máxima que o homem se pode afastar de e manter o equilíbrio. Represente graficamente a reacção no ponto em função da distância. x C B Figura 1.1: Exercício 1.1. Exercício 1.2: O andaime representado na figura 1.2 é constituido por uma barra homogénea, pesando 1000 N, suspensa de duas cordas.o pintor pesa 75 kgf e o balde de tinta 7 kgf. Determine a distância máxima x máximo a que o pintor 1m x 2.5m 3m 2.5m Figura 1.2: Exercício 1.2. se pode afastar do centro da barra, para a direita, sem que aconteça um acidente! 1

2 Corpo rígido Represente num gráfico as tensões nas cordas em função da distância x. Exercício 1.3: O letreiro de uma pousada pesa 40 Kg e está colocado como se mostra na figura 1.3. barra que o suporta pesa 20 Kg e o sistema é mantido por um cabo que não pode submeter-se a uma tensão superior a 1200 N. B α 75cm POUSD 75cm Figura 1.3: Exercício 1.3. a) Qual é a distância mínima possível entre os pontos e B? b) Qual é, nestas condições, o módulo e a direcção da força exercida sobre a barra suporte no ponto? Exercício 1.4: Uma haste homogénea de ferro encontra-se apoiada num degrau formando um ângulo de 30 com a vertical. Sendo o comprimento da haste 40 cm, a sua massa 400 g e a altura do degrau 30 cm, determine o valor da força de atrito no ponto B (da figura 1.4) em que a extremidade da haste se apoia na superfície horizontal, sabendo que é nulo o atrito no ponto em que a haste se apoia na esquina do degrau. 30º B Figura 1.4: Exercício

3 Corpo rígido Exercício 1.5: Uma escada de 2.5 m de comprimento encontra-se encostada a uma parede vertical. O coeficiente de atrito entre a escada e a parede é nulo, mas é de 0.6 o coeficiente de atrito entre a escada e o solo (horizontal). O centro de gravidade da escada encontra-se deslocada por faltarem alguns degraus. Represente as forças que actuam sobre a escada e determine a posição do centro de gravidade sabendo que a escada escorrega se a distância entre a parede e o ponto de apoio sobre o solo for superior a 1.5 m. Exercício 1.6: Considere o sistema esquematizado na figura 1.5, constituído por: a) uma corda fixa no ponto C da parede vertical C; b) um objecto com massa 100 kg suspenso da referida corda; c) uma base B munida na extremidade B de uma roldana por onde passa a corda descrita previamente. Sabendo que C = 50 cm, BC = 40 cm, B = 30 cm, que o sistema está em equilíbrio e que a extremidade da haste, apoiada na parede, está revistida de borracha a fim de evitar que escorregue, determine a massa da haste B e a força de atrito exercida pela haste sobre a parede. C B m Figura 1.5: Exercício 1.6. Exercício 1.7: barra da figura 1.6 é homogénea, tem um comprimento de 2 m e o coeficiente de atrito estático entre ela e a parede vertical é de 1.2. O corpo suspenso na roldana tem um peso de 50 N. corda, depois de passar pelas roldanas está presa à parede segundo a horizontal. massa da roldana é desprezável. 3

4 Corpo rígido Figura 1.6: Exercício 1.7. a) Representar as forças que actuam na barra. b) Sabendo que a barra está no limiar de escorregar, determine o peso da barra. c) Quanto vale o ângulo α nas condições da alínea anterior? Exercício 1.8: Uma haste B, de massa 20 g, está presa em por um eixo horizontal numa direcção perpendicular ao plano da figura 1.7. extremidade B está suspensa por um fio que passa por uma roldana C e tem suspenso na outra extremidade uma esfera com 30 g de massa. Esta esfera está apoiada com atrito na face inclinada do bloco D que se encontra colocado sobre um superfície horizontal. O sistema está em equilíbrio com o fio na vertical dum e doutro lado da roldana. Determine a tensão no fio e o valor da força de atrito entre o bloco D e a superfície em que se apoia. C B D Figura 1.7: Exercício

5 Corpo rígido Exercício 1.9: Uma barra homogénea de comprimento l e massa M roda em torno dum eixo O horizontal que atravessa uma das extremidade e é perpendicular à barra. Presa à extremidade livre da barra e passando por uma roldana R colocada na perpendicular à extremidade atravessada pelo eixo O, a uma distância igual ao comprimento l da barra, existe uma corda, da qual se encontra suspenso um objecto de massa m. barra fica em equilíbrio numa posição que forma um ângulo θ com a vertical (ver figura 1.8). Relacione m, M e θ e mostre que m < M. Qual o valor de m/m se θ = 60? R M m l l O Figura 1.8: Exercício 1.9. Exercício 1.10: Calcule o momento de inércia do sistema formado por três partículas de massa 2 kg dispostas nos vértices de um triângulo isósceles com 20 cm de altura e 15 cm de base, em relação: a) ao eixo de simetria, no plano do triângulo, que passa pela vértice superior; b) ao eixo perpendicular ao triângulo, passando pelo seu centro de massa. Exercício 1.11: Um disco homogéneo de massa M e raio R, inicialmente em repouso, roda sem escorregar num plano inclinado de inclinação θ. Sabendo que ele parte do repouso de uma altura h, calcule a velocidade linear do centro de massa do disco quando atinge a base do plano? Exercício 1.12: Considere um cilindro homogénio de 80 g de massa, em torno do qual está enrolado um fio com 60 cm de comprimento. a) Se se deixar cair o cilindro verticalmente, mantendo fixa a extremidade livre do fio, determinar a velocidade do seu centro de massa quando ele alcança a outra extremidade do fio. 5

6 Corpo rígido b) Na situação anterior, qual é a tensão no fio? Exercício 1.13: roldana homogénia representada na figura 1.9 tem 0.5 m de raio e 25 kg de massa e pode girar em torno do seu eixo horizontal. O fio enrolado na roldana tem, na sua extremidade livre, uma massa de 10 kg. Calcule: a) a aceleração angular da roldana; b) a aceleração linear do corpo; c) a tensão no fio. Figura 1.9: Exercício Exercício 1.14: Determine a aceleração dos corpos representados na figura 1.10, bem como as tensões do fio. Considere que o diâmetro da roldana, considerada B = 10cm B 20kg 10kg 5kg homogénia, é igual a 10 cm. Figura 1.10: Exercício

7 Corpo rígido Exercício 1.15: figura 1.11 representa uma roldana homogénia de raio R e massa m c que pode rodar livremente. O bloco B está inicialmente em repouso à distância h da base e o bloco desliza sem atrito sobre a superfície horizontal. Qual a velocidade do bloco B quando atinge a base? B h Figura 1.11: Exercício Exercício 1.16: Um fio é enrolado no iô-iô da figura 1.12 de massa m e momento de inércia I = 1 2 mr2, que desliza sem atrito. Exercendo uma força F sobre o fio, calcule: a) o sentido do movimento; b) a aceleração do cilindro; c) a aceleração do fio. r R F Figura 1.12: Exercício Exercício 1.17: Repita o problema 16 considerando que o atrito entre o cilindro 7

8 Corpo rígido e a superfície é tal que o força a rolar sem escorregar. Calcule também o coeficiente de atrito estático mínimo para que isso aconteça. Exercício 1.18: Repita o problema 17 para o cilindro representado na figura 1.13 sabendo que o fio tem sempre a direcção vertical. F r R Figura 1.13: Exercício Exercício 1.19: No sistema representado na figura 1.14 a roldana tem massa desprezável e roda sem atrito. O corpo de massa M é um cilindro homogénio de raio r, no qual está enrolado o fio, que roda sem atrito. Calcule: a) a aceleração linear de m; b) a aceleração angular do cilindro M; c) a tensão no fio. M r m Figura 1.14: Exercício

9 Corpo rígido 1.1 Soluções de corpo rígido Solução 1.1: x = 3.16 m. Solução 1.2: x máximo = 3.73 m. Solução 1.3: a) d mínimo = m. b) R=117 kgf; α = 9.8. Solução 1.4: Fa=100 gf. Solução 1.5: O centro de massa está a 2 m da base da escada. Solução 1.6: m h = 50 kg; Fa=70 kgf. Solução 1.7: a) Diagrama. b) P barra = 5 N. c) α = Solução 1.8: T=10 gf; Fa=0 gf. Solução 1.9: m/m = 1/2. Solução 1.10: a) I s = kg m 2. b) I s = kg m 2. Solução 1.11: v =È4 3 gh. 9

10 Corpo rígido Solução 1.12: a) v = 2.8 m/s. b) T=0.261 N. Solução 1.13: a) α = 8.71 rad/s 2. b) a = 4.36 m/s 2. c) T=54.4 N. Solução 1.14: a = 1.96 m/s 2 ; T10kg=78.4 N, T5kg=58.8 N. Solução 1.15: Solução 1.16: =q 2m v B B gh m +m B +m c /2. a) Na direcção e sentido da força. b) a c = F m. c) a f = F 2r2 m (1 + ). R 2 Solução 1.17: a) Na direcção e sentido da força. b) a c = 2F (1 r/r) 3m. c) a f = µ e >= F (1+2r/R) 3mg 2F (1 r/r)2 3m. 10

11 Corpo rígido Solução 1.18: a) Para a direita. b) a c = 2 3 rf Rm. c) a f = a c (î + r Rĵ). µ e >= 2 rf 3 R mg F Solução 1.19: a) a = 3mg 3m+M. b) α = 2mg (3m+M)r. c) T = mmg 3m+M. 11

12 Corpo rígido 12

13 Capítulo 2 Ondas Exercício 2.1: s bóias de dois pescadores estão num lago à distância de 21 cm uma da outra. Uma perturbação, num ponto da recta que une as duas bóias (mas não entre elas), provoca nestas um movimento em que executam 20 oscilações por minuto. Num determinado instante, uma bóia está sobre uma crista e a outra está num vale, havendo uma crista entre elas. Qual a velocidade de propagação das ondas? Exercício 2.2: Estando as frequências dos sons compreendidas entre 16 Hz e 16 khz, qual o correspondente intervalo de comprimentos de onda, sabendo que a velocidade do som no ar é de 340 m/s Exercício 2.3: Uma onda propaga-se de acordo com a seguinte equação: a) Calcular: s = 3 sin(100πt 8πx) a) a velocidade de propagação da onda; b) o comprimento de onda; c) a frequência; d) o período. (S.I.) b) o fim de quanto tempo começará a vibrar uma partícula que esteja: a) a 25 cm da fonte? b) a 50 cm da fonte? c) a 10 cm da fonte? Exercício 2.4: partir da equação de onda s = sin 2πt T distância à origem O, dos pontos do meio que vibram 13 2πx λš, calcule a

14 Ondas a) em fase com O; b) em oposição de fase com O. Exercício 2.5: Um movimento harmónico simples, de amplitude 6 dm e frequência 2 Hz, propaga-se com a velocidade de 4 m/s num espaço a uma dimensão. Considere t = 0 o instante em que a origem do abalo se encontra na posição de equilíbrio. a) Escreva a equação de onda no SI. b) Represente graficamente as elongações das partículas do meio vibrante, em função das suas distâncias x à origem: a) no instante t = 0,25 s (meio período); b) no instante t = 0,50 s (um período). Exercício 2.6: Considere uma onda transversal propagando-se com uma velocidade v = 2 m/s, uma amplitude de 0.1 m e uma frequência angular de 0.2 rad/s no sentido positivo do eixo dos XX. a) Calcule o período e o comprimento de onda. b) Escreva a equação de propagação de onda, sabendo que a partícula de coordenada x = 0 se encontra na posição y = 0.05 m no instante t = 0 s, movendo-se no sentido negativo do eixo dos Y Y. c) Considere 5 pontos cujas posições distem entre si 1/6 do comprimento de onda, e marque as suas posições no instante t = 1 s. d) Marque as posições que o ponto intermédio ocupa sucessivamente em instantes intervalados de 1/6 do período. Exercício 2.7: Uma onda transversal propagando-se ao longo de uma corda com a direcção do eixo dos XX, produz na partícula da corda, situada no ponto x = 0, um movimento vibratório traduzido pela equação y(t) = 0.1 cos (4πt) com y em metros e t em segundos. Verifica-se que uma outra partícula B que se encontra no ponto x = 0.5 m executa um movimento vibratório com a mesma amplitude e frequência, mas adiantado relativamente ao primeiro de π/2 rad. 14 a) Indique, justificando, o sentido de propagação da onda ao longo do eixo.

15 Ondas b) Esboce um gráfico que mostre as variações das elongações de e de B em função do tempo. c) Determine a velocidade de propagação da onda e escreva a sua equação de propagação. Exercício 2.8: o longo do eixo dos XX propaga-se uma onda transversal cuja equação de propagação é y 1 (x, t) = cos 20πt 2π 3 xš, (SI). o ponto x = 2 m chega simultaneamente uma outra onda propagando-se na mesma direcção e sentido, e que, na ausência da primeira onda, imprimiria a este ponto um movimento harmónico simples traduzido pela equação y 2 (t) = cos 20πt + π 4Š, (SI). Determine: a) a velocidade de propagação da primeira onda; b) a equação do movimento harmónico simples que o ponto x = 2 m executaria se só a primeira onda se propagasse; c) a amplitude, frequência e fase do movimento desse ponto, resultante da sobreposição das duas ondas. Exercício 2.9: Três partículas, B e C, dispostas em linha recta nas posições indicadas na figura 2.1, estão inicialmente em repouso. Num dado instante, a partícula C começa a descrever um movimento harmónico simples numa direcção perpendicular à linha BC, de amplitude igual a 3 cm, deslocando-se para cima. Dois segundos depois, B entra também em vibração. começa a vibrar no mesmo instante em que C volta a passar, pela primeira vez, na posição de equilíbrio. dmita que, B e C são três pontos de uma corda por onde se propaga uma onda transversal. a) Qual a velocidade e sentido de propagação da onda? b) Em que instante iniciou o seu movimento? c) Qual a frequência angular e o comprimento de onda? d) Escreva a equação de propagação, considerando t = 0 quando C começou a vibrar. e) Escreva a equação do movimento harmónico simples executado por B. 4 Exercício 2.10: Considerar a onda que se propaga segundo a equação: s = 10 sin 40πt + π 6 πx (S.I.) 15

16 Ondas Y 2a a B C X Figura 2.1: Exercício 2.9. a) Calcular as elongações, para t=0 s, das seguintes partículas: a) Fonte (x=0 m); b) partícula na posição x=0,2 m; c) partícula na posição x=0,4 m; b) Relativamente à partícula que se encontra na posiçãoo x = 0,2 m, quais as suas elongações nos instantes t = 0 e t = 0,02 s? c) Descrever a equação das velocidades das oscilações em função do tempo. Que velocidade máxima têm as partículas? d) Qual a velocidade de propagação da onda? Exercício 2.11: Uma onda progressiva, de frequência 300 Hz, reflecte-se numa parede. Como consequência, originam-se ondas estacionárias de tal forma que dois nodos consecutivos distam entre si de 0,40 m. Qual é a velocidade de propagação da onda? 16

17 Ondas 2.1 Soluções de Ondas Solução 2.1: c = 4, 7 m/s. Solução 2.2: λ estará entre 2,1 cm e 21 m. Solução 2.3: a) a) 12 m/s; b) 0,25 m; c) 50 Hz; d) 0,020 s. b) a) 0,020 s; b) 0,040 s; c) 0,0080 s. Solução 2.4: a) nλ (n=1,2,3,...); b) (n 1/2)λ (n=1,2,3,...). Solução 2.5: s = 0, 6 sin(4πt πx) (SI). Solução 2.6: a) T = 31.4 s; λ = 62.8 m. b) y(t) = 0.1 sin(0.2t 0.1x + 5π 6 ) (SI). Solução 2.7: a) Sentido negativo. b) y B (t) = 0.1 cos(4πt + π 2 ) (SI). c) v = 4 m/s; y(x, t) = 0.1 cos(4πt + πx) (SI). 17

18 Ondas Solução 2.8: a) v = 30 m/s. b) y 1 (2, t) = cos(20πt 4π 3 ) (SI). c) = m; ω = 20π rad/s; ϕ = 1.44 rad; y(t) = cos(20πt ) (SI). Solução 2.9: a) v = a 2 no sentido negativo do eixo OX. b) t = 6 s. c) w = π 6 rad/s; λ = 6a. d) y(x, t) = sin π 6 t + π 3a xš(si). e) y( a, t) = sin π 6 t π 3Š(SI) para t 2 s. Solução 2.10: a) a) 5, 0 m; b) 3, 6 m; c) 2, 1 m; b) 3, 6 m e 2, 6 m; c) v = π cos(40πt + π/6 πx/4) m/s; v max = 1, m/s; d) 160 m/s. Solução 2.11: c = 2, m/s. 18

19 Capítulo 3 Hidrostática e Hidrodinâmica Exercício 3.1: Calcule o valor de 1 atmosfera (76 cmhg) em unidades do Sistema Internacional. ρ Hg = 13.6 g/cm 3. Exercício 3.2: Calcule a massa de uma esfera de cobre de raio 2 cm, sendo que ρ cobre = kg/m 3 em condições normais de pressão e temperatura. Exercício 3.3: Um pequeno frasco utilizado para medir densidades de líquidos (denominado picnómetro) tem uma massa de g. Quando o frasco está cheio de água, a massa total do frasco e da água é g e, quando está cheio de leite, a massa total é g. Calcule a densidade do leite sabendo que ρágua = 1.0 g/cm 3. Exercício 3.4: Um balão de 60 ml está cheio de mercúrio a 0 C. Quando a temperatura sobre para 80 C, transbordam do balão 1.47 g de mercúrio. dmitindo que o volume do balão permanece constante, calcule a densidade do mercúrio a 80 C, sabendo que a densidade a 0 C é kg/m 3. Exercício 3.5: Um prego é espetado verticalmente num pedaço de madeira, aplicando-se uma força de 15 N na sua cabeça. O raio da cabeça do prego é de 5 mm e o da ponta é de 0.1 mm. Qual é a pressão aplicada na cabeça do prego? Qual é a pressão exercida na madeira? 19

20 Hidrostática e Hidrodinâmica Exercício 3.6: Para o recipiente da figura 3.1, e sabendo que ρ líquido = 2.0 g/cm 3, determine a pressão e o valor da força de pressão no ponto, fundo do recipiente. Figura 3.1: Exercício 3.6. Exercício 3.7: Determine a pressão a que fica sujeito um peixe que se encontra 150 m abaixo da superfície do mar. ρáguamar = g/cm 3. Exercício 3.8: s áreas do êmbolo e da base do cilindro B do sistema esquematizado na figura 3.2 são, respectivamente, 40 cm 2 e 400 cm 2. O cilindro B tem 40 kg de massa. O sistema está cheio de óleo com uma densidade de 0.75 g/cm 3. Determine o valor da força que se deve exercer no cilindro de modo a manter o equilíbrio. Considere que o êmbolo tem massa desprezável. B Figura 3.2: Exercício

21 Hidrostática e Hidrodinâmica Exercício 3.9: No sistema representado na figura 3.3, o líquido mais denso tem densidade 1.2 g/cm 3. Determine: a) a desidade do outro líquido; b) a diferença de pressão entre os pontos e B, sabendo que se situa a 5 cm da superfície livre do líquido. B Figura 3.3: Exercício 3.9. Exercício 3.10: Calcule a composição de uma liga de cobre e ouro que pesa 2.50 N no ar e 2.35 N na água. ρ cobre = kg/m 3, ρ ouro = kg/m 3. Exercício 3.11: O sistema representado na figura 3.4 está em equilíbrio. Os corpos e B têm massas de 5.0 kg e 50 g, respectivamente. s áreas das secções S 1 e S 2 da prensa são, respectivamente, 500 cm 2 e 25 cm 2. Calcule o valor do volume do corpo B, desprezando o peso da alavanca e os atritos. B S S água B Figura 3.4: Exercício

22 Hidrostática e Hidrodinâmica Exercício 3.12: Um bloco de um material com densidade ρ 0 tem um peso P 0 no ar. Quando este bloco, com uma cavidade interior oca, é mergulhado num líquido de densidade ρ, o seu peso passa a ser P. Determine o volume da cavidade. Exercício 3.13: crosta terrestre possui normalmente uma espessura de 33 km e a sua densidade é de ρ c = 2800 kg/m 3. densidade do manto é de ρ m = 3300 kg/m 3. altura média dos Himalaias é de 7 km. Qual é a espessura prevista para a crosta sob os Himalaias se o modelo isostático explicar completamente o suporte da montanha? ( espessura da crosta sob os Himalaias é 55 km). Exercício 3.14: Um líquido, de densidade 0.8 g/cm 3 e de viscosidade desprezável, percorre o sistema da figura 3.5 com um fluxo de 200 ml/minuto. Qual é a diferença de pressão entre e B. B Figura 3.5: Exercício Exercício 3.15: Considere que a conduta da figura 3.6 é percorrida por água que para o caso pode ser considerada um fluído perfeito. Sabendo que S = 25 cm 2, S B = 16 cm 2 e Q = 20 litros em 5 segundos, calcule: B H O Hg Figura 3.6: Exercício a) as velocidades de deslocamento da água em e B; b) a diferença de pressão entre as duas secções; c) o desnível de mercúrio no tubo em V, de secção 1 cm 2. 22

23 Hidrostática e Hidrodinâmica Exercício 3.16: Com os dados da figura 3.7, calcule: a) a velocidade de saída da água através do tubo; b) a pressão no ponto B; c) o caudal de escoamento. 500 cm B Figura 3.7: Exercício C Exercício 3.17: Um tanque de secção recta muito grande possui dois pequenos orifícios, conforme indicado na figura 3.8. Calcule a altura do nível inicial h em função de h 1 e h 2, sabendo que a água que sai dos dois orifícios atinge o solo no mesmo ponto. Figura 3.8: Exercício

24 Hidrostática e Hidrodinâmica Exercício 3.18: Um sifão é um dispositivo usado para remover líquidos de um recipiente que não pode ser tombado, conforme se mostra na figura 3.9. O tubo C de secção recta uniforme deve ser inicialmente cheio, permitindo em seguida escoar o líquido do recipiente, até que o seu nível fique abaixo da abertura do tubo em. O líquido tem densidade ρ e viscosidade desprezável. Calcule: a) a velocidade com que o líquido sai do tubo em C; b) a pressão do líquido no ponto mais alto B; c) a maior altura possível h 1 a que um sifão pode fazer subir a água. Note que o líquido deixa de subir quando a pressão em B for igual à pressão de vapor do líquido, no caso da água, ρ va = 0.1 atm. B C Figura 3.9: Exercício Exercício 3.19: Cada asa de um pequeno avião tem uma área de 9.3 m 2. Quando voa horizontalmente a uma certa velocidade, o ar escoa sobre a superfície superior da asa à velocidade de 49 m/s e sobre a superfície inferior de 40 m/s. Calcule o peso do avião, considerando a densidade do ar igual a 1.2 kg/m 3. 24

25 Hidrostática e Hidrodinâmica 3.1 Soluções de hidrostática e hidrodinâmica Solução 3.1: Pa. Solução 3.2: 0.3 kg. Solução 3.3: ρ leite = 1.03 g/cm 3. Solução 3.4: ρ 80 = kg/m 3. Solução 3.5: P 5 = Pa; P 01 = Pa. Solução 3.6: P = Pa; F = N. Solução 3.7: Pa. Solução 3.8: 78.4 N para cima. Solução 3.9: a) 0.8 g/cm 3. b) P B P = 196 Pa. Solução 3.10: 14 % da massa total é de cobre e 86 % é de ouro. Solução 3.11: 18.8 cm 3. Solução 3.12: V C = P 0 g 1 ρ 1 ρ 0Š P ρg. Solução 3.13: 79.2 km Solução 3.14: P P B = Pa. 25

26 Hidrostática e Hidrodinâmica Solução 3.15: a) v = 1.6 m/s; v B = 2.5 m/s. b) P P B = Pa. c) 1.38 cm. Solução 3.16: a) 9.9 m/s. b) Pa. c) 4.95 l/s. Solução 3.17: h = h 1 + h 2. Solução 3.18: a)è2g(d + h 2 ). b) p atm ρg(h 1 + h 2 + d). c) 9.3 m. Solução 3.19: 8939 N. 26

27 Capítulo 4 Termodinâmica Exercício 4.1: Um cilindro horizontal termicamente isolado, fechado em ambas as extremidades, está equipado com um pistão condutor de calor e sem atrito que divide o volume em dois compartimentos estanques diferentes. Inicialmente, o pistão está imobilizado de maneira que o compartimento à sua esquerda tem um volume V 0 e o compartimento à sua direita um volume 3V 0. O compartimento da esquerda contém um gás perfeito monoatómico à temperatura T 0 e à pressão 2P 0. O compartimento da direita contém o mesmo gás à temperatura T 0 e à pressão P 0. O pistão é então solto. a) Quais são as temperaturas e pressões em cada um dos compartimentos no novo equilíbrio? b) Quais são so volumes? c) Descreva os processos que levam o pistão ao repouso. Exercício 4.2: Um tanque vertical cilíndrico, de altura superior a 76 cm, tem o extremo superior fechado por um pistão sem atrito, perfeitamente ajustado e de peso desprezável. Dentro do cilindro, a pressão absoluta do ar é 1 atm. Faz-se o pistão descer vertendo lentamente mercúrio sobre ele, de modo que a temperatura do ar seja mantida constante. Qual é a altura da coluna de ar quando o mercúrio começa a derramar-se pela parte superior do cilindro? Exercício 4.3: Derrama-se mercúrio na extremidade aberta de um tubo em forma de J com 1 cm 2 de secção, que é fechado na extremidade mais curta, ficando o ar aí preso. Supondo que o ar se comporta como um gás perfeito, que quantidade de mercúrio pode ser introduzida no tubo antes que este transborde? Os 27

28 Termodinâmica comprimentos dos ramos longo e curto do tubo são, respectivamente, 1 m e 50 cm, e podem ser desprezados os efeitos da curvatura do fundo. dmita que a pressão atmosférica é 75 cm Hg. Exercício 4.4: Duas ampolas contendo ar, uma das quais com um volume três vezes superior ao da outra, estão ligadas por um capilar de volume desprezável. Inicialmente, as ampolas estão à mesma temperatura. que temperatura é necessário aquecer o ar na ampola maior para que a pressão duplique? Despreze a condução de calor através do capilar. Exercício 4.5: Um cilindro com 2.4 m de altura está preenchido com 0.1 mol de um gás ideal nas condições normais de pressão e temperatura. O topo do cilindro é então fechado com um pistão hermético cuja massa é 1.4 kg, sendo o pistão largado até ficar em equilíbrio (ver figura 4.1). a) Determine a altura a que fica o pistão, admitindo que a temperatura do gás não se altera, à medida que este vai sendo comprimido. b) Suponha que o pistão é empurrado um pouco para baixo da sua posição de equilíbrio sendo largado de seguida. Partindo do princípio que a temperatura do gás se mantém constante, determine a frequência de vibração do pistão. Figura 4.1: Exercício 4.5. Exercício 4.6: Determine como varia a temperatura de um gás ideal ao sofrer um processo durante o qual P V se mantém constante e o volume do gás diminui. 28

29 Termodinâmica Exercício 4.7: Para o CO 2, as constante da equação de estado de Van de Waals, são a = 0.37 Nm 4 /mol 2 e b = 43 cm 3 /mol, respectivamente. Calcule a pressão a 0 C a que se encontra uma mole de CO 2 que ocupa um volume de 55 l e um volume de 0.55 l, respectivamente, usando a equação de estado de Van de Waals e a de um gás ideal e interprete os resultados obtidos. Exercício 4.8: Um bloco de metal de 50 g é mantido durante algum tempo em água a ferver. Seguidamente, o bloco é mergulhado num calorímetro de cobre de massa 100 g que contém 200 g de água a 20 C. temperatura de equilíbrio é 22 C. Qual o calor específico do metal? (Calor específico do cobre c p = J/g/K). Exercício 4.9: Um bloco de cobre com 75 g de massa é retirado de um forno e mergulhado num recipiente de alumínio com 300 g de massa que contém 200 g de água. temperatura da água sobe de 12 C para 27 C. Qual é a temperatura a que o forno se encontrava? ssuma que o bloco de cobre estava em equilíbrio térmico com o forno antes de ser retirado. (c p (cobre) = J/g/K; c p (alumínio) = J/g/K). Exercício 4.10: temperaturas muito baixas, o calor específico de um metal é dado por c = at + bt 3. No caso do cobre, a = J/kg.K 2 e b = J/kg.K 4. a) Determine o calor específico do cobre a 4 K. b) Calcule a energia que é necessário fornecer para elevar a temperatura de 2.5 kg de cobre de 1 K para 3 K. 29

30 Termodinâmica Exercício 4.11: figura 4.2 representa um diagrama de fase para a água. Que transições de fase se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursos, B e C indicados com setas na figura? PRESSÃO p LIQ. 4 SOL. 2 B 3 C 5 1 GÁS TEMPERTUR T Figura 4.2: Exercício Exercício 4.12: a) Qual a energia libertada por uma mole de vapor de água quando a sua temperatura baixa de 180 C para 100 C, se o arrefecimento se verificar a pressão constante? b) Qual a energia libertada por essa mesma quantidade de água se se condensar totalmente, mantendo-se a temperatura de 100 C e à pressão atmosférica normal? c) Qual a quantidade de energia que se liberta se a temperatura da água baixar de 100 C para 30 C? d) Com base nos cálculos efecutados (30 C é a temperatura aproximada da superfície da pele) explique porque é que uma queimadura com vapor de água a 100 C é mais grave do que uma queimadura com agua a ferver a 100 C? (Calor latente de vaporização da água λ v = 2.25 kj/g; calor específico do vapor de água a volume constante c v = 3R, considerando o vapor de água como um gás perfeito). 30

31 Termodinâmica Exercício 4.13: Qual a energia que é necessário fornecer a 18 g de gelo que se encontra à temperatura de 50 C para que este atinja a temperatura de fusão (T f = 0 C se P = 1 atm). Qual é a energia que é necessário fornecer a essa massa de gelo a 0 C para o fundir se a temperatura final da água for 0 C. (Calor específico do gelo a pressão constante c p = 0.5 cal/g. C; calor latente de fusão do gelo λ f = 80 cal/g). Exercício 4.14: figura 4.3 representa o gráfico da temperatura de uma amostra de 1 kg de água em função do tempo, num experiência em que esta é aquecida uniformemente. fonte de calor utilizada tem um débito constante de 3 kw. quanto tempo correspondem os patamares e B? (Calor de fusão do gelo λ f = 333 kj/kg; calor de vaporização da água λ v = 2255 kj/kg). TEMP. ( C) TEMPO (s) Figura 4.3: Exercício Exercício 4.15: capacidade calorífica, a volume constante, de um certa massa de gás monoatómico é igual a 50 J/K. Determine o número de moles de gás e a capacidade calorífica a pressão constante dessa massa de gás. Exercício 4.16: Calcule o trabalho realizado por uma mole de gás durante uma expansão isotérmica quase estática de um volume inicial v i até ao volume final v f, quando a equação de estado for: a) P (v b) = RT, com R e b constantes; 31

32 Termodinâmica b) P v = RT 1 B vš, com R constante e B = f(t ). Exercício 4.17: figura 4.4 representa um ciclo descrito por um gás perfeito. temperatura do gás no estado é de 300 K. a) Calcule a temperatura do gás nos estados B, C e D. b) Calcule o trabalho realizado pelo sistema termodinâmico que realiza o ciclo representado. c) Qual o calor fornecido ao gás perfeito ao longo do ciclo? d) Represente o ciclo num diagrama (P, T ). P (atm) 2 B 1 D C V (l) Figura 4.4: Exercício Exercício 4.18: N moles de um gás perfeito, no estado inicial (pressão P, volume V, temperatura T ), sofrem as seguintes transformações: i) compressão isotérmica B até se atingir um volume igual a metade do volume inicial; ii) expansão isobárica BC, até se atingir um volume igual a V ; iii) arrefecimento C a volume constante, até se atingir a temperatura inicial T. 32 a) Determine o valor das três variáveis de estado P, V e T, no estado final de cada transformação, em função de P, V e T, respectivamente. b) Represente a evolução temporal sofrida pelo ar num diagrama (P, V ). c) Calcule o trabalho realizado sobre o gás, durante o ciclo, em função de P e V.

33 Termodinâmica Exercício 4.19: Durante uma expansão adiabática quase estática de um gás perfeito, a pressão é dada, em qualquer instante, por P V γ = K, onde γ e K são constantes. Demonstre que o trabalho realizado pelo gás na expansão de um estado (P i, V i ) até um estado (P f, V f ) é igual a W = P iv i P f V f γ 1. Se a pressão e o volume iniciais forem 10 atm e 1 l, respectivamente, e os valores finais 2 atm e 3.16 l, qual o trabalho realizado por um gás em que γ = 1.4? Exercício 4.20: Duas moles de um gás diatómico ideal são comprimidas isotermicamente de 18 l até 8 l. Durante o processo, ocorre a transferência de 170 cal do gás para o exterior. a) Determine o trabalho realizado pelo gás e a variação da energia interna do gás durante o processo, bem como as temperaturas inicial e final do gás. b) Considere que a mesma quantidade de gás sofre a mesma redução de volume neste caso adiabaticamente e que neste processo o trabalho realizado sobre o gás é de 820 J. Determine a temperatura inicial e a pressão nos estados incial e final. c) Repita a alínea anterior para o caso de um gás monoatómico ideal. Exercício 4.21: Numa expansão isotérmica, um gás ideal, a uma pressão inicial P 0, expande-se até que o seu volume duplica. a) Determine a sua pressão após a expansão. b) O gás é então comprimido, adiabaticamente e quase estaticamente, de volta ao seu volume inicial, sendo nesse momento a pressão 1.32P 0. O gás será monoatómico, diatómico ou poliatómico? Exercício 4.22: Uma mole de um gás monoatómico, inicialmente à temperatura T, é submetido a um processo no qual a temperatura é quadriplicada e o volume reduzido a metade. Determine o calor transferido para o gás, considerando que, durante o processo, a pressão nunca foi inferior à pressão inicial e que o trabalho realizado sobre o gás foi o mínimo possível. 33

34 Termodinâmica Exercício 4.23: O diagrama apresentado na figura 4.5 representa o conjunto de transformações sofridas por uma mole de um gás ideal. Na transformação BC o gás é sujeito a uma transformação isotérmica e na transformação C a variação da energia interna do gás é igual a -3.0 kj. a) Caracterize o estado do gás em C. b) Represente o conjunto das transformações num diagrama (V, T ). c) Determine os valores do trabalho, calor e energia interna associados a cada uma das transformações. P (atm) C 1 B V (l) Figura 4.5: Exercício Exercício 4.24: Calcule o acréscimo de entropia de um cubo de gelo de 1 cm de aresta ao fundir-se à temperatura ambiente num dia de calor (30 C). Há alguma diferença se for num dia frio? E se o cubo for fundido fornecendo-lhe apenas trabalho (por exemplo, esfregando-o sobre a mesa)? Justifique. (Calor de fusão do gelo λ f = 80 cal/g; volume específico do gelo a 0 C = cm 3 /g). Exercício 4.25: Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização de 1 cm 3 de água à temperatura de 100 C. (Calor de vaporização da água λ v = 540 cal/g). Exercício 4.26: Porque é que depois de nevar faz menos frio? Use dados dos dois problemas anteriores para calcular a quantidade de calor libertada ao congelar 1 kg de água a 0 C. E ao condensar 1 kg de vapor a 100 C? Em cada um dos casos a entropria da água aumenta ou diminui? E a do ambiente? 34

35 Termodinâmica Exercício 4.27: Se um esquimó pretendesse substituir o seu iglu por uma casa de betão, que espessura deveriam ter as paredes para que a nova habitação tivesse as mesmas características térmicas do iglu? (Espessura das paredes do iglu: 20 cm; condutibilidade térmica da neve compacta: 0.46 W/m.K; condutibilidade térmica do betão: 1.28 W/m/K;). Exercício 4.28: Que potência deve ter um aquecedor para manter uma temperatura constante de 20 C numa sala com uma janela de 1 m 2 de superfície num dia sem vento, em que a temperatura exterior é de 10 C? E se a temperatura exterior for de 15 C e quisermos manter o quarto a 25 C? Despreze as perdas de calor pelas paredes e pela porta da sala. (Condutibilidade térmica do vidro: 0.8 W/m.K; espessura do vidro da janela: 2 mm). Exercício 4.29: a) O espectro da radiação solar tem um máximo para o comprimento de onda de 483 nm. dmitindo que a radiação do Sol tem as mesmas características que a emitida por um corpo negro, qual a temperatura do sol? b) Num dia de bom tempo, em que a temperatura da superfície da Terra seja de 300 K, qual o comprimento de onda da radiação mais intensa emititda, na aproximação de que a superfície terrestre se comporta como um corpo negro? c) Durante a noite, a temperatura que corresponde à radiação mais intensa emitida pelas estrelas na nossa região da galáxia onde a Terra se encontra é muito baixa, embora superior a 3 K. Porque é que a superfície da Terra não iluminada pelo Sol durante a noite não tende a ficar a essa temperatura? Exercício 4.30: Num quarto a cerca de 29 C, a temperatura da superfície da pele de uma pessoa (cerca de 1.5 m 2 ), sem roupa e em repouso, é de 33 C. emissividade para as frequências na região do espectro visível varia com a cor da pele. No entanto, para a radiação emitida de maior intensidade (infravermelhos de grande comprimento de onda) tem-se e 1 (corpo negro). a) Calcule a potência perdida por radiação. Note que a pessoa perde calor por radiação à temperatura do corpo mas absorve radiação ambiente à temperatura do quarto. b) Sabendo que a perda de calor por condução é desprezável e que a perda por convecção nestas condições é de cerca de 50% do total, quantas calorias tem a pessoa que ingerir por dia só para assegurar o seu metabolismo nestas condições? 35

36 Termodinâmica 4.1 Soluções de termodinâmica Solução 4.1: a) T 0 ; 5P 0 /4. b) V e = 8V 0 /5; V d = 12V 0 /5. Solução 4.2: 76 cm. Solução 4.3: 125 cm 3. Solução 4.4: 3T 0. Solução 4.5: a) 2.1 m. b) 0.97 Hz. Solução 4.6: Diminui. Solução 4.7: P vdw = 41.2 kpa; P GP = 41.3 kpa; P vdw = 3.26 MPa; P GP = 4.13 MPa;. Solução 4.8: 0.45 J/g/K. Solução 4.9: 601 C. Solução 4.10: a) J/Kg/K. b) J. Solução 4.11: : sólido-vapor (sublimação) em 1; B: sólido líquido (fusão) em 2, líquido-vapor (ebulição) em 3; C: não há transição de fase de 4 para 5 (percurso acima do ponto crítico). 36

37 Termodinâmica Solução 4.12: a) 2.66 kj. b) 40.5 kj. c) 5.3 kj. Solução 4.13: 450 cal; 1440 cal. Solução 4.14: t = 1 min 51 s; t B = 12 min 32 s. Solução 4.15: 4 mol; 83 J/K. Solução 4.16: a) RT lnv f b v i b. b) RT ln v f v iš+rt B1 v f 1 v i. Solução 4.17: a) T B = 600 K; T C = 300 K; T D = 150 K. b) kj. c) kj. Solução 4.18: a) B: P = 2P, V = V /2, T = T ; C: P = 2P, V = V, T = 2T ; : P = P, V = V, T = T. b) c) P V (ln 2 1). Solução 4.19: 932 J. Solução 4.20: 37

38 Termodinâmica a) W = 711 J; U = 0 J; T = T B = 220 C. b) T = 222 C; P = 0.47 atm; P B = 1.46 atm. c) T = 227 C; P = 0.42 atm; P B = 1.62 atm. Solução 4.21: a) P 2 = P 0 /2. b) Diatómico. Solução 4.22: 4RT. Solução 4.23: a) P = 4.17 atm, V = 12 l, T = 609 K. b) c) Transição B: Q = 6.8 KJ, W = 3.8 kj, U = 3.0 kj; Transição BC: Q = 7.2 KJ, W = 7.2 kj, U = 0.0 kj; Transição C: Q = 3.0 KJ, W = 0.0 kj, U = 3.0 kj; Ciclo completo: Q = 3.4 KJ, W = 3.4 kj, U = 0.0 kj; Solução 4.24: S = Q/T = 0.27 cal/k; Não porque T gelo se mantém constante; S seria o mesmo porque a entropia é uma função do estado. Solução 4.25: cal/k. Solução 4.26: aumenta. 335 kj; 2260 kj; entropia da água diminui e a do ambiente Solução 4.27: 56 cm. Solução 4.28: 4 kw; 4 kw (só depende de T ). Solução 4.29: a) 6000 K. 38

39 Termodinâmica b) 10 µm (infravermelho). c) Por causa da atmosfera: o vapor de água e o dióxido de carbono absorvem sobretudo os infravermelhos, reemitindo-os para a superfície da Terra (efeito de estufa). Solução 4.30: a) 38 W. b) 1.6 Mcal. 39

40 Termodinâmica 40

41 Capítulo 5 Electrostática Exercício 5.1: Nos vértices de um quadrado BCD, com 10 cm de lado, estão colocadas cargas pontuais de +50 µc em e B e de 100 µc em C e D. Calcule o campo eléctrico no centro do quadrado. Exercício 5.2: figura 5.1 representa um quadrado de 10 cm de lado assente num plano horizontal, nos vértices do qual existem quatro cargas iguais de 20 nc. Determine a carga a colocar no ponto E de forma a que uma partícula, de massa 20 mg e carga 10 nc, posicionada no ponto P, fique suspensa. Os pontos E e P situam-se sobre o eixo do quadrado e OP = P E = 10 cm. E P B O D C Figura 5.1: Exercício

42 Electrostática Exercício 5.3: No campo criado pela carga Q = 4 µc, considere sobre a mesma linha de força, dois pontos e B como ilustra a figura 5.2. Determine: a) Os potenciais eléctricos em e B. b) O trabalho realizado pela força do campo para deslocar a carga q = 10 8 C de para B. c) velocidade v com que deve ser lançada de B, sobre a referida linha de força e em direcção a Q, uma partícula de carga q = 10 8 C e massa m = 40 g para que atinja com velocidade nula (suponha que o meio é o vácuo). Q B 0.1m 0.1m X Figura 5.2: Exercício 5.3. Exercício 5.4: Nos vértices de um hexágono regular de lado a, estão colocadas seis cargas pontuais, de módulo Q, como indica a figura Q -Q a -Q +Q +Q -Q Figura 5.3: Exercício 5.4. a) Calcule a energia total armazenada nesta distribuição. b) Calcule o potencial no centro do hexágono. Exercício 5.5: Em três vértices de um quadrado com 1.0 m de lado estão colocadas as seguintes cargas pontuais: Q 1 = +4.0 µc, Q 2 = +3.0 µc e Q 3 = 2.0 µc. Determine: 42 a) O potencial eléctrico no centro do quadrado. b) carga Q 4, a colocar no vértice livre, de modo que o potencial eléctrico se torne nulo no centro do quadrado.

43 Electrostática Exercício 5.6: figura 5.4 mostra como varia um dado potencial eléctrico ao longo do eixo OX. Trace o gráfico que representa a variação da componente E x do campo eléctrico que lhe corresponde. V (V) 3V 2V V a b c d X (m) Figura 5.4: Exercício 5.6. Exercício 5.7: O potencial eléctrico num espaço a uma dimensão é dado por V (x) = C 1 + C 2 x 2, com V em Volts, x em metros e C 1 e C 2 constantes positivas. Calcule o campo eléctrico E nessa região do espaço. Exercício 5.8: Um campo eléctrico numa certa região do espaço é dado pela expressão E x = 2x 3 kn/c. Calcule a diferença de potencial entre dois pontos do eixo dos XX, dados por x = 1 m e x = 2 m. Exercício 5.9: O momento dipolar p = Q a de um dipolo faz um ângulo θ com a direcção de um campo eléctrico uniforme E confome ilustra a figura 5.5 -Q +Q Figura 5.5: Exercício 5.9. a) Calcule o momento do binário a que o dipolo está sujeito. b) Determine o trabalho realizado pelo campo para inverter a posição do dipolo, desde a sua posição de equilíbrio estável até à posição oposta. E 43

44 Electrostática Exercício 5.10: superfície cúbica fechada de aresta a, representada na figura 5.6, é colocada numa região onde existe um campo eléctrico paralelo ao eixo OX. Determine o fluxo do campo através da superfície cúbica e a carga total contida no interior da superfície, considerando que o campo eléctrico: a) é uniforme, E = k 1 î (k 1 é constante). b) varia de acordo com E = k 2 xî (k 2 é constante). Z B D C E F Y X H E G Figura 5.6: Exercício Exercício 5.11: Uma distribuição uniforme e linear de carga com densidade λ = 3.5 nc/m estende-se de x = 0 m a x = 5 m. a) Determine a carga total. b) Calcule o campo eléctrico para x = 6 m, x = 9 m e x = 250 m (compare com o resultado que obteria se toda a carga estivesse concentrada no centro da distribuição linear). Exercício 5.12: Um anel circular, fino, de 3 cm de raio, tem uma carga de 10 3 C uniformemente distribuída. 44 a) Qual é a força exercida sobre uma carga de 10 2 C colocada no seu centro? b) Qual seria a força exercida sobre essa mesma carga se ela estivesse colocada a 4 cm do plano do anel, sobre o seu eixo?

45 Electrostática Exercício 5.13: Uma carga de 2.75 µc encontra-se uniformemente distribuída num anel circular, considerado sem espessura, de 8.5 cm de raio. a) Calcule o campo eléctrico no eixo do anel para distâncias de 1.2 cm, 3.6 cm e 4.0 cm do centro do anel e sobre o seu eixo. b) Repita os cálculos da alínea anterior usando a aproximação de que a carga é uma carga pontual na centro do anel e compare os resultados. Exercício 5.14: Considere duas distribuições superficiais de carga, planas e infinitas de densidades σ 1 e σ 2. Calcule o campo eléctrico no espaço que as rodeia se: a) os dois planos forem paralelos, separados de uma distância d. b) os dois planos forem ortogonais. Exercício 5.15: Três planos extensos, B e C, paralelos e isolantes, estão separados de uma distância 1 cm entre si. Os planos encontram-se uniformemente carregados com densidades de carga σ = C/m 2, σ B = C/m 2 e σ C = C/m 2. Calcule as diferenças de potencial entre os diferentes planos: V B V, V C V B e V C V. Exercício 5.16: Duas superfícies condutoras isoladas, esféricas e concêntricas, de raios 5 cm e 10 cm, estão aos potenciais V e V, respectivamente. Determine as cargas em cada uma das esferas e a energia do conjunto. Exercício 5.17: Três esferas ocas e concêntricas, têm raios R 1 = 1 m, R 2 = 2 m e R 3 = 3 m. esfera de menor raio foi carregada com 1µ C e a de maior raio com -2µ C. esfera intermédia foi ligada à Terra. a) Calcule o potencial eléctrico das esferas. b) Calcule as cargas e os potenciais da esferas se a esfera intermédia for desligada da Terra e ligada por um fio condutor à esfera de menor raio. Exercício 5.18: Uma esfera carregada, de 2 cm de raio, põe-se em contacto através de um fio longo com uma esfera descarregada B, de 3 cm de raio. Depois de desligar as esferas, a energia da esfera B é 0.4 J. Qual o valor da carga de antes de as esferas serem postas em contacto? 45

46 Electrostática Exercício 5.19: Um condensador tem armaduras planas paralelas, de 500 cm 2 de área, separadas de 1 cm. plica-se uma diferença de potencial de 2000 V entre as armaduras, isolando-as depois de atingir o equilíbrio. a) Qual a energia armazenada no condensador? b) Uma folha metalíca com 2 mm de espessura, descarregada e isolada, é introduzida a meia distância entre as armaduras, ficando paralela a estas. Qual a capacidade do condensador obtido? Que trabalho é realizado pelas forças eléctricas durante esta operação e qual é a diferença de pontencial entre as armaduras? Exercício 5.20: Um condensador tem capacidade variável entre 5 pf e 200 pf. Quando o condensador está na posição de capacidade máxima, liga-se aos seus eléctrodos uma bateria de 10 V até que se atinge o equilíbrio. Com o condensador isolado reduz-se então a capacidade ao mínimo. Determine a carga e a diferença de potencial entre as armaduras nesta posição. Exercício 5.21: Os condensadores de cada um dos circuitos da figura 5.7 estão inicialmente descarregados. Para cada circuito, faz-se a ligação 0-1 até se atingir o equilíbrio. Em seguida, desfaz-se esta e faz-se a ligação 0-2. Determine a distribuição final das cargas e a energia armazenada em cada condensador. No circuito 1: C 1 = 2 µf, C 2 = 4 µf, C 3 = 4 µf e ε = 100 V No circuito 2: C 1 = 1 µf, C 2 = 2 µf, C 3 = C 4 = 0.5 µf e ε = 20 V C 1 2 C C C C C C Figura 5.7: Exercício Exercício 5.22: Considere a associação de condensadores da figura 5.8, inicialmente descarregados. O condensador de 4 µc não suporta uma diferença de potencial entre os seus terminais superior a 100 V. C 1 = C 2 = 1 µc, C 3 = 4 µc e C 4 = C 5 = 2 µc 46

47 Electrostática a) Determine o valor máximo da tensão que se pode aplicar entre e B. b) Nessas condições, determine a carga de cada condensador. C C C C C B Figura 5.8: Exercício Exercício 5.23: Entre duas placas paralelas de área, distanciadas entre si de d, foram colocados dois dieléctricos diferentes de constantes k 1 e k 2, como indica a figura 5.9. Calcule, em cada um dos casos, a capacidade dos condensadores assim obtidos. 1 2 /2 /2 /2 /2 K K d K d/2 K d/2 Figura 5.9: Exercício

48 Electrostática 5.1 Soluções de electrostática Solução 5.1: N/C. Solução 5.2: 65 nc. Solução 5.3: a) V = V; V B = V. b) W = J. c) 0.3 m/s. Solução 5.4: a) Q2 a. b) V = 0 V. Solução 5.5: a) V = 64 kv. b) Q 4 = 5 µc. Solução 5.6: Solução 5.7: E = 2C 2 x. Solução 5.8: V 1 V 2 = 7.5 kv. Solução 5.9: a) M = p E. b) W = 2pE. 48

49 Electrostática Solução 5.10: a) Φ = 0, Q int = 0. b) Φ = k 2 a 3, Q int = ɛ 0 k 2 a 3. Solução 5.11: a) Q = 17.5 nc. b) E 6 = 26 N/C; E 9 = 4.4 N/C; E 250 = 2.6 mn/c. Solução 5.12: a) F = 0 N. b) F = N. Solução 5.13: a) E 1.2 = N/C; E 3.6 = N/C; E 4.0 = N/C. b) E 1.2 = N/C; E 3.6 = N/C; E 4.0 = N/C. Solução 5.14: a) E x = σ 1+σ 2 2ɛ 0 para < x < 0 E x = σ 1 σ 2 2ɛ 0 para 0 < x < d E x = σ 1+σ 2 2ɛ 0 para d < x < + b) Sendo o eixo OX paralelo ao plano 2, tem-se: E = 1 2ɛ 0 (σ 1 î + σ 2 ĵ) no primeiro quadrante E = 1 2ɛ 0 ( σ 1 î + σ 2 ĵ) no segundo quadrante E = 1 2ɛ 0 (σ 1 î + σ 2 ĵ) no terceiro quadrante E = 1 2ɛ 0 (σ 1 î σ 2 ĵ) no quarto quadrante Solução 5.15: V B V = 452 V; V C V B = 0 V; V C V = 452 V. Solução 5.16: Q 1 = 100 µc; Q 2 = 200 µc; E = 900 J. 49

50 Electrostática Solução 5.17: a) V 1 = 4.5 kv; V 2 = 0 V; V 3 = 2 kv. b) Q 1 = 0 C; Q 2 = 1.3 µc; Q 3 = 2 µc; V 1 = V 2 = 0 V; V 3 = 2 kv. Solução 5.18: Q = ±2.7 µc. Solução 5.19: a) E = J. b) C = F; W = E E = J; V = 1600 V. Solução 5.20: Q = 2 nc; V = 400 V. Solução 5.21: No circuito 1: Q 1 = 67 µc; Q 2 = 133 µc; Q 3 = 200 µc; E 1 = 1.1 mj; E 2 = 2.2 mj; E 3 = 5 mj. No circuito 2: Q 1 = 12.9 µc; Q 2 = 14.3 µc; Q 3 = 6.4 µc; Q 4 = 5 µc; E 1 = 83 µj; E 2 = 51 µj; E 3 = 41 µj; E 4 = 25 µj. Solução 5.22: a) V max = 300 V. b) Q 1 = Q 2 = 200 µc; Q 3 = 400 µc; Q 4 = Q 5 = 300 µc. Solução 5.23: C 1 = k 1+k 2 2 ɛ 0 d ; C 2 = 2k 1k 2 k 1 +k 2 ɛ 0 d ; 50

51 Capítulo 6 Corrente Contínua Exercício 6.1: Um condutor de cobre de 1.5 mm 2 de secção (mínimo permitido em instalações eléctricas), tem uma resistividade de Ω.m à temperatura de 20 C. Qual a resistência dos condutores de um circuito (2 fios) com 85 m de extensão? Exercício 6.2: Um bloco de carbono (ρ c = Ω.m) tem 3.0 cm de comprimento e uma secção transversal quadrada com 0.5 cm de lado. Sabendo que é mantida uma diferença de potencial de 8.4 V ao longo do seu comprimento, determine a resistência do bloco e a corrente que o atravessa. Exercício 6.3: Determine a resistência equivalente entre os pontos e B para cada um dos circuitos da figura 6.1. Comente o resultado. R = 4 Ω. 1 2R 4R 2 2R 4R 6R 6R R 2R R 2R B B Figura 6.1: Exercício

52 Corrente Contínua Exercício 6.4: No circuito da figura 6.2, considere desprezáveis as resistências internas do gerador e do amperímetro. Determine para as posições 0-1 e 0-2 do comutador: a) a razão entre as leituras feitas no amperímetro. b) a razão entre as potências consumidas no circuito. R 3R R 3R 3R Figura 6.2: Exercício 6.4. Exercício 6.5: No circuito da figura 6.3, as resistências internas dos geradores são desprezáveis em face das restantes, sendo a do amperímetro 2 de 20 Ω. Determine: a) Os valores de ε 1 e de ε 2 sabendo que, quando o amperímetro 1 indica o valor zero, o amperímetro 2 indica 10 m. b) corrente que passa em 1 quando se invertem os polos do gerador ε 1 e o amperímetro 2 marca o valor zero. c) resistência interna de 1, r. R 1 = 80 Ω, R 2 = 100 Ω R R Figura 6.3: Exercício

53 Corrente Contínua Exercício 6.6: Uma bateria de automóvel de 12 V possui uma resistência interna de 0.4 Ω. a) Qual a potência dissipada se a bateria for momentaneamente curto-circuitada? b) Qual a diferença de potencial aos terminais da bateria quando esta fornece uma corrente de 20 ao motor de arranque? Exercício 6.7: No circuito representado na figura 6.4, ε = 3ε 1 e ε 2 = 2ε 1, sendo desprezáveis as resistências internas dos geradores.determine a diferença de potencial V V B. R R B R Figura 6.4: Exercício 6.7. Exercício 6.8: No circuito representado na figura 6.5, o amperímetro e o voltímetro acusam valores de 2 e 180 V, respectivamente. a) Que valores esperaria medir nos aparelhos de medida caso os considerasse ideais? b) Calcule a resitência interna de cada aparelho. R 1 = 35 Ω, R 2 = 100 Ω, r = 10 Ω, ε = 300 V R,r R V Figura 6.5: Exercício

54 Corrente Contínua Exercício 6.9: No circuito da figura 6.6, 1 e 2 são amperímetros ideais e o gerador de força electromotriz ε 3 tem resistência interna desprezável. a) Estabelecida a ligação 0-1, verifica-se que 1 indica o valor zero e que a potência dissipada no circuito é 2 W. Calcule o valor de ε 1 e ε 3. b) Desfaz-se a ligação 0-1 e faz-se a ligação 0-2. Sabendo que, nestas condições, a potência dissipada na resistência R 1 é nula, determine o valor indicado pelo amperímetro 2 e a resistência interna do gerador ε 2. R 1 = 110 Ω, R 2 = 40 Ω, R 3 = 50 Ω, ε 2 = 9 V,r,r R R R Figura 6.6: Exercício 6.9. Exercício 6.10: Na figura 6.7 está representado o circuito da ponte de Wheatstone, para medição de resistências. R x é a resistência desconhecida, R 0 é a resistência padrão e G é o galvanómetro ligado ao contacto deslizante C, o qual se apoia sobre um fio homogêneo B de grande resistência. Demonstre que, na ausência de corrente no galvanómetro, se verifica a relação R x /R 0 = C/CB R R G C B Figura 6.7: Exercício