O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS BELÉM/PA DEZEMBRO 2010

2 ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva. BELÉM/PA DEZEMBRO 2010 ii

3 ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS Banca examinadora: Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva. Professor Selênio Feio da Silva, D. Sc. (Orientador) Professor Leonardo Augusto Lobato Bello, D. Sc. (Examinador Interno) Professor Evaristo Clementino Rezende dos Santos Junior, M. Sc. (Examinador Interno) Apresentado em: / / / Conceito: BELÉM/PA DEZEMBRO 2010 iii

4 Dedicado à Universidade da Amazônia. iv

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus pela minha existência. A Universidade da Amazônia (UNAMA) por me proporcionar uma formação profissional e humana, em especial a professora Marlene Vianna. Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados durante estes cinco anos de curso. Agradecimento especial ao professor Selênio Feio da Silva pela dedicação e paciência de ensinar e me orientar na pesquisa, iniciação científica e principalmente neste TCC. A minha família e em especial ao meu avô Arthur, minha avó Celeste, minha tia-avó Izaura, minha mãe Regina e irmãs Verena e Erida por terem me ensinado através do convívio os caminhos corretos a seguir na vida. Aos amigos que fiz durante o curso que muito me ajudaram e ensinaram: André Bueno, Anselmo Moraes, Felipe Ribeiro, Jeferson Bezerra, Mariana von Paumgartten e Murilo Rocha. Por fim, agradeço a banca examinadora que aceitou humildemente meu convite para participar desta defesa de conclusão de curso. v

6 RESUMO O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS Autor: Alexandre Andrade Brandão Soares. Orientador: Selênio Feio da Silva. Trabalho de Conclusão de Curso Engenharia Civil. Belém-Pa, dezembro de Neste trabalho, serão apresentados alguns conceitos sobre estruturas civis, de forma a lembrar da classificação dos vínculos e os tipos de estruturas que existem. Além de expor a morfologia das peças estruturais, serão mostrados os tipos de esforços que atuam em uma estrutura. Visto isso, uma abordagem sobre o estudo de vigas será feita, através de suas classificações quanto ao tipo de seus apoios e a origem de seus carregamentos. Ira ser mostrado um estudo sobre flexão nas vigas e as possíveis deformações que nela podem ocorrer. Além disso, apresentam-se as Teorias de Euler e Timoshenko, suas semelhanças e diferenças. Mostra-se o Método das Diferenças Finitas e os seus operadoresadvindos da expansão em série de Taylor, para posteriormente aplicá-los em alguns exemplosde viga, supondo que a mesma se enquadra na Teoria de Euler para o comportamento estático. Tem-se como objetivo calcular as flechas adimensionais em uma viga engastada-livre, bi-apoiada e uma viga biengastada. Palavra-chave: Engenharia Estrutural. Viga de Euler. Método da Integração Dupla. Método das Diferenças Finitas. vi

7 ABSTRACT THE METHOD OF FINITE DIFFERENCES APPLIED TO THE THEORY OF BEAMS Author: Alexandre Andrade Brandão Soares. Supervisor: Selênio Feio da Silva. End of Course Work- Civil Engineering. Belém-Pa, december In this paper, some concepts of civil structures will be presented, in order to remember the classification of links and the types of structures that exist. Besides discussing the morphology of structural components, will be shown the types of stresses that act on a structure. In addition, one approach to the study of beams will be made through their ratings on the type of support and the origin of their loads. Will be shown a study about flexion on beams and possible deformations that can occur in it. Furthermore, the similarities and differences between the Euler and Timoshenko theories will be presented. It shows the Method of Finite Differences and their operators coming from the Taylor expansion series, and later apply them to some examples of the beams, assuming that it fits with the theory of Euler for the static behavior. It has the objective to calculate the dimensionless arrows in a beam clampedfree, bi-supported and a bi-clamped beam. Keyword: Structural Engineering. Euler beam. Double Integration Method. Finite Difference Method. vii

8 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Estrutura em forma de arco... 5 Figura 2.2 Tipos de estruturas na construção civil... 6 Figura 2.3 Simbologia para apoio do 1º grau... 6 Figura 2.4 Simbologia para apoio do 2º grau... 7 Figura 2.5 Simbologia para apoio do 3º grau... 7 Figura 2.6 Estrutura hipostática... 8 Figura 2.7 Estrutura hiperestática... 9 Figura 2.8 Estrutura isostática... 9 Figura 2.9 Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares) Figura 2.10 Elementos bi-dimensionais Figura 2.11 Elemento tri-dimensional Figura 2.12 Esforços ativos e reativos Figura 2.13 Esforços internos solicitantes Figura 2.14 Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio Figura 2.15 Esforço normal em um corpo sólido Figura 2.16 Esforço cortante em um corpo sólido Figura 2.17 Momento fletor em um corpo sólido Figura 2.18 Momento torço em um corpo sólido Figura 3.1 Principais tipos de vigas existentes Figura 3.2 Exemplo de carregamento concentrado Figura 3.3 Cargas distribuídas ao longo da viga Figura 3.4 Flexão em viga Figura 3.5 Deslocamento excessivo devido à flecha Figura 3.6 Ângulo de rotação Figura 3.7 Comportamento estático de uma viga Figura 3.8 Viga convencional de Euler-Bernoulli Figura 3.9 Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli Figura 3.10 Teoria da flexão de vigas de Timoshenko Figura 3.11 Empenamento das seções devido o esforço P Figura 4.1 Interpretação geométrica para a derivada Figura 4.2 Viga engastada Figura 4.3 Viga com apoio do 2º gênero Figura 4.4 Viga com extremidade livre viii

9 Figura 4.5 Viga com apoio do deslizante Figura 5.1 Viga bi-apoiada Figura 5.2 Viga bi-apoiada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.3 Viga bi-apoiada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.4 Viga bi-apoiada e discretizada com 7nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.5 Viga bi-apoiada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.6 Viga bi-apoiada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.7 Viga bi-apoiada e discretizada com 19 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.8 Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-apoiada Figura 5.9 Viga engastada-livre Figura 5.10 Viga engastada-livre e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.11 Viga engastada-livre e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.12 Viga engastada-livre e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.13 Viga engastada-livre e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.14 Viga engastada-livre e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.15 Viga engastada-livre e discretizada com 13 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.16 Viga engastada-livre e discretizada com 15 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.17 Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre Figura 5.18 Viga bi-engastada ix

10 Figura 5.19 Viga bi-engastada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.20 Viga bi-engastada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.21 Viga bi-engastada e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.22 Viga bi-engastada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.23 Viga bi-engastada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático) Figura 5.24 Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-engastada x

11 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Representação esquemática para a diferencial central Tabela 4.2 Representação das condições de contorno para a diferencial central Tabela 5.1 Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das Flechas para viga bi-apoiada Tabela 5.2 Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das Flechas para viga engastada-livre Tabela 5.3 Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das Flechas para viga bi-engastada xi

12 LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES - 2ª derivada parcial em x - 3ª derivada parcial em x - 4ª derivada parcial em x - Somatório contínuo (integral) - Somatório discreto - Forças horizontais - Forças verticais - Cargas distribuídas - Equação da curva elástica - Equação da rotação - Erro percentual relativo - Derivada parcial em x A - Seção de viga a; b - Distâncias da carga P para os apoios E - Módulo de elasticidade h - Altura da seção transversal de uma viga L - Comprimento de uma viga M - Momento fletor MDF - Método das Diferenças Finitas MID - Método da Integração Dupla P - Carga concentrada q; -q - Esforços distribuídos de maneira aleatória R, R 1, R 2 - Reações de apoio e R a β ; Ф - Giro suplementar θ - Ângulo de rotação - Compressão - Momento de inércia - Equação do momento - Esforço normal - Momento torço - Tração - Esforço cortante ou de Cisalhamento - Constante de integração xii

13 - Carregamento distribuído - Flecha - Flecha adimensional - Deformação linear unitária xiii

14 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO GENERALIDADES O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS OBJETIVOS Objetivo Geral Objetivo Específico BREVE REVISÃO ESTRUTURAL INTRODUÇÃO CONCEITO DE ESTRUTURA EQUILÍBRIO DOS CORPOS Vínculos ou apoios CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS Estruturas Hipostática Estruturas Hiperestática Estruturas Isostática ELEMENTOS ESTRUTURAS Elementos unidimensionais ou lineares Elementos bi-dimensionais ou planos Elementos tri-dimensionais ou espaciais TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS Esforços externos Esforços internos ESTUDO DE VIGA INTRODUÇÃO CLASSIFICAÇÃO Quanto ao tipo e posição dos apoios Quanto à origem do carregamento FLEXÃO SIMPLES DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO Flecha e ângulo de rotação Relação momento curvatura VIGA DE EULER-BERNOULLI A equação de Euler para a viga xiv

15 3.6 VIGA DE TIMOSHENKO O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS FORMULAÇÃO BÁSICA Série de Taylor para funções de variáveis n Aproximação das derivadas por série de Taylor CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF) No engaste No apoio do 2º gênero ou 1º gênero Na extremidade livre No apoio deslizante Esquema de solução O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A EQUAÇÃO DE VIGA DE EULER APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA VIGA DE EULER VIGA BI-APOIADA Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler biapoiada Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler biapoiada Discretização da viga com 3 nós Discretização da viga com 5 nós Discretização da viga com 7 nós Discretização da viga com 9 nós Discretização da viga com 11 nós Discretização da viga com 19 nós Análise dos resultados VIGA ENGASTADA-LIVRE Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler engastada-livre Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler engastada-livre Discretização da viga com 3 nós xv

16 Discretização da viga com 5 nós Discretização da viga com 7 nós Discretização da viga com 9 nós Discretização da viga com 11 nós Discretização da viga com 13 nós Discretização da viga com 15 nós Análise dos resultados VIGA BI-ENGASTADA (HIPERESTÁTICA) Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler biengastada Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler biengastada Discretização da viga com 3 nós Discretização da viga com 5 nós Discretização da viga com 7 nós Discretização da viga com 9 nós Discretização da viga com 11 nós Discretização da viga com 13, 15, 17 e 19 nós Análise dos resultados CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO ANEXO A FORÇAS DE FIXAÇÃO DEVIDAS A CARGAS DE VÃO NA BARRA BI-ENGASTADA xvi

17 1 1. INTRODUÇÃO 1.1 GENERALIDADES A falta de um estudo no campo numérico na graduação em Engenharia Civil torna-se a cada dia uma necessidade, uma vez que o graduando não tem familiaridade com esta ferramenta matemática. Além de que, o Engenheiro Civil precisa entender como os softwares realizam seus processos de cálculo, em especial na área da Engenharia Estrutural, onde simplificações matemáticas e a solução de problemas que muitas das vezes não tem soluções analíticas (exatas) são comuns de ocorrerem. Entretanto, estudos numéricos vêm acontecendo em centros avançados de pesquisas no Brasil e no Mundo. Apesar do cálculo numérico não ser considerado exato, dependendo do nível de aproximação dado pelo operador, ele pode ser tão preciso quanto se queira. Existe uma grande quantidade de estruturas que são muito complexas para serem analisadas pelas técnicas clássicas (exatas), por isso a solução analítica se torna em alguns casos impossível de calcular sem que haja grandes e excessivas simplificações, resultando em valores pouco apurados. Os métodos analíticos clássicos permitem o cálculo da resposta exata, como por exemplo, das flechas, frequências, deformações e tensões em todos os pontos de uma estrutura que apresente uma problematização simples. Neste contexto se insere a questão central que motiva o estudo do Método das Diferenças Finitas (MDF). Pois ele não se restringe a problemas específicos. No Método das Diferenças Finitas (MDF) e de modo geral nos métodos numéricos, permitem-se observações importantes em termos computacionais para matrizes de coeficientes que serão produzidas quando o MDF for empregado. Para a programação de um software os métodos numéricos são importantes, pois como já dito, não se restringem a nenhum caso particular, podendo assim ser empregados de forma segura e precisa, dependendo do grau de refinamento do cálculo. Na engenharia dificilmente se conhece a solução matemática analítica dos fenômenos físicos (SOUSA, 2006). As equações diferenciais que regem esses fenômenos são muitas vezes complicadas e em geral não lineares. Segundo

18 2 SOUSA (2006), torna-se necessário utilizar procedimentos numéricos para montar soluções na forma de equações algébricas. As soluções numéricas estão relacionadas diretamente com os métodos computacionais, estas soluções ganharam grande espaço na prática e no próprio meio acadêmico após o advento dos computadores. Sem dúvida estas soluções apresentam inúmeras vantagens sobre as demais. Em relação à solução analítica, já não exige problemas relativamente simples com tantas particularidades; e em relação à solução experimental o tempo e o custo são consideravelmente reduzidos. 1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS Segundo SOUSA (2006), a solução de uma equação diferencial em um domínio implica no conhecimento dos valores da(s) variável(eis) estudada(as) em todo o meio continuo. Para isso, SOUSA (2006) diz que o Método das Diferenças Finitas (MDF) consiste em resolver a equação diferencial em pontos discretos. Estes pontos são igualmente espaçados, ou seja, a malha é regular. Para transformação das equações diferenciais em formas discretizadas e posteriormente em um sistema de equações algébricas em função dos valores da variável em cada nó, é preciso aproximar as derivadas (SOUSA, 2006). Em resumo, SOUSA (2006) diz que, o uso da técnica de Diferenças Finitas procura escrever os operadores diferenciais em sua forma discreta, ou seja, em função de valores pontuais da solução. O conhecimento da solução, mesmo que de forma aproximada, em alguns pontos dá uma boa idéia da solução contínua, à medida que essa nuvem de pontos é adensada o valor da resposta numérica se aproxima do valor real. 1.3 OBJETIVOS Objetivo Geral Apresentar um estudo na área de engenharia estrutural que vislumbre o entendimento das estruturas civis de modo a facilitar e desenvolver um ramo pouco estudado na graduação, através do Método das Diferenças Finitas. Onde se aplica

19 3 em um tipo de elemento estrutural muito usado na construção civil, que são as vigas. Para tal, se torna necessário o estudo das vigas de maneira que haja um entendimento de seu comportamento Objetivo Específico Rever alguns conceitos estruturais afim dar subsídios para o estudo do Método das Diferenças Finitas aplicado a teoria das vigas Apresentar a equação que rege a teoria das vigas de Euler; Obter as condições de contorno nos vínculos dos apoios da viga de modo a levar os problemas relacionados a um sistema possível determinado; Demonstrar a diferença entre a Teoria de vigas de Euler e Timoshenko; Aplicar o método das diferenças finitas na equação da viga de Euler, para o comportamento estático; Calcular os valores das flechas em vigas através da aplicação do Método das Diferenças Finitas na teoria da viga de Euler, em diferentes malhas.

20 4 2. BREVE REVISÃO ESTRUTURAL Neste capítulo serão fornecidos alguns conceitos importantes para o melhor entendimento das estruturas como suas classificações e apoios, além de demonstrar os tipos de elementos estruturais. O capítulo também descreve os esforços que atuam nas estruturas quando solicitadas. 2.1 INTRODUÇÃO Segundo NOVAES (2008) a busca por um abrigo e proteção é uma necessidade básica do ser humano, que pode ser notada desde os primórdios da humanidade. O homem só conseguiu sair das cavernas (uma estrutura da natureza) quando conseguiu ter conhecimento e habilidade suficiente para construir seu próprio abrigo. As primeiras estruturas foram criadas a partir de materiais rústicos pouco elaborados. As primeiras estruturas eram de alvenaria de rocha ou de madeira (NOVAES, 2008). Segundo PIMENTA (2006), as construções em alvenaria, isto é, com pedras naturais ou artificiais (tijolos cerâmicos, blocos de argamassa ou gesso, etc.) são, juntamente com as construções de madeira, as mais antigas da Cultura Humana. Já havia construções em alvenaria nas mais antigas eras. No início, as pedras eram apenas empilhadas, mas logo se desenvolveu a técnica de talhar as pedras, dandolhes um melhor encaixe. As primeiras formas estruturais eram compostas de viga e pilares, formando pórticos, tipo até hoje muito usado. A limitação quanto aos materiais disponíveis levava a limitação dos vãos e necessidade de vários pilares. Talvez observando as estruturas da natureza, cedo se percebeu que a forma de arco, por levar a uma melhor distribuição de esforços, permite a elaboração de construções estáveis de maiores vãos, conforme figura 2.1.

21 5 Figura 2.1: Estrutura em forma de arco Fonte: PIMENTA, 2006 Essa forma, assim como sua variação espacial, como cúpulas e abóbodas, é muito presente em construções antigas (NOVAES, 2008). De uma maneira geral, pode-se dizer que os gregos criaram as estruturas em pórticos, depois aperfeiçoadas pelos romanos para a forma de arco, possibilitando maiores vãos com os materiais disponíveis à época. Somente com a Revolução Industrial, a partir do século XIX (NOVAES, 2008), é que a forma em pórtico volta a ser popular, pois os novos materiais, como o ferro fundido e posteriormente o aço e o concreto armado, possibilitavam vãos maiores. 2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças (estruturais), ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante (VANDERLEI, 2007). Ou seja, toda estrutura deve proporcionar um equilíbrio para dar suporte às diversas ações que vierem a solicitála durante a sua vida útil sem que ela perca a sua função (NOVAES, 2010). A figura 2.2 mostra alguns dos diversos tipos de estruturas que existem na construção civil.

22 6 Figura 2.2: Tipos de estruturas na construção civil Fonte: VANDERLEI, EQUILÍBRIO DOS CORPOS Vínculos ou apoios São elementos que podem impedir o deslocamento de pontos das peças, introduzindo como conseqüência esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos que impedem (CAMPANARI, 1985). Logo, eles têm a função de travar possíveis deslocamentos que a estrutura venha a ter. No plano estes apoios impedirão três movimentos que um provável corpo rígido causará. Para isso deve-se ter um sistema de carregamento aplicado, este sistema é equilibrado por um conjunto de carregamentos reativos que foi introduzido através dos vínculos ligados a estrutura (CAMPANARI, 1985). A seguir serão mostrados tipos de vínculos (apoios) que atuam no plano: a) Apoio simples (1º gênero ou 1º grau): Impedem o deslocamento perpendicular ao plano de apoio, introduzindo uma única força nesta direção, permitindo a rotação (CAMPANARI, 1985). Em resuma são apoios que restringe um movimento, desta maneira teremos somente uma reação de apoio. Figura 2.3: Simbologia para apoio do 1º grau. Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.

23 7 b) Articulação (2º gênero ou 2º grau): Impedem o deslocamento em qualquer direção no plano, introduzindo, em consequência, uma força numa direção qualquer [11], contudo este tipo de vínculo permite a rotação da estrutura. Chegam a ser mais eficientes que os apoios simples, pois restringem dois movimentos, desta maneira produzem duas reações (SANTOS, 2007). Figura 2.4: Simbologia para apoio do 2º grau. Fonte: UL- Universidade de Lisboa, c) Engastamento (3º gênero ou 3º grau): Impedem qualquer deslocamento ou rotação no plano, assim ele introduz duas componentes de força e um momento (CAMPANARI, 1985). Desta maneira o engaste impede três movimentos, conseqüentemente produz três reações de apoio. Figura 2.5: Simbologia para apoio do 3º grau. Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.

24 8 2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS Estruturas Hipostáticas São estruturas que não possuem equilíbrio estático, logo não são estáveis, tendo por isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido (ROMÃO, 2003). De um modo geral estas estruturas possuem um número de reações de apoio inferior ao número de equações de equilíbrio estático. No entanto, é possível ter uma estrutura hipostática com um número de reações igual ou até superior ao número de equações de equilíbrio estático (Figura 2.6) desde que essas reações estejam dispostas de forma ineficaz (ROMÃO, 2003). Um dos principais fatores que deixa esta estrutura instável ocorre devido à presença dos vínculos que não impedem todos os possíveis movimentos da mesma. Figura 2.6: Estrutura hipostática. Fonte: ROMÃO, Estruturas Hiperestáticas As estruturas hiperestáticas têm um número de reações superior ao estritamente necessário para impedir qualquer movimento (Figura 2.7). Verifica-se, então, a possibilidade de, ao serem criteriosamente retiradas determinadas reações,

25 9 estas estruturas continuarem a não apresentar movimento e serem, portanto, estáveis (ROMÃO, 2003). Figura 2.7: Estrutura hiperestática. Fonte: ROMÃO, Estruturas Isostáticas Diferentemente das estruturas hipostáticas e hiperestáticas as estruturas isostáticas têm o número de reações estritamente necessário para impedir qualquer movimento (ROMÃO, 2003). Suas reações estão dispostas de forma eficaz a restringir os possíveis movimentos da estrutura Figura 2.8: Estrutura Isostática. Fonte: ROMÃO, 2003.

26 ELEMENTOS ESTRUTURAIS Elementos unidimensionais ou lineares São elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. Alguns exemplos de estruturas lineares são vistas na figura 2.9. Figura 2.9: Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares). Fonte: LEMA- Arquitetos Associados, Elementos bi-dimensionais ou planos São elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. Existem três tipos desse elemento: as placas (Figura 2.10a), as chapas (Figura 2.10b) e as cascas (Figura 2.10c). A primeira recebe forças perpendiculares ao plano de carga, como exemplo pode-se citar as lajes. A segunda recebe esforços normais, são comuns de ocorrerem em alvenarias estruturais. Por fim, o terceiro elemento plano é a casca, são estruturas de superfície média curva cujos esforços atuantes são perpendiculares a sua superfície.

27 11 (a) (b) (c) Figura 2.10: Elementos bi-dimensionais: Placa (a), Chapa (b) e Casca (c). Fonte: CAMPOS, Elementos tri-dimensionais ou espaciais São elementos em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza (Figura 2.11), não necessariamente do mesmo tamanho, logo diferente dos elementos anteriormente mencionados ela não tem nenhuma dimensão predominante. Figura 2.11: Elemento tri-dimensional: Bloco de Fundação. Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS Existem dois tipos de esforços atuantes nas estruturas, são os externos e os internos. Um como o próprio nome diz atua fora da estrutura (externo) enquanto o

28 12 outro age a nível molecular (interno). Tanto para os externos quanto para os internos existem divisões que serão descritas a seguir Esforços externos Os esforços externos atuam no sistema material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos) (CAMPOS, 2010). Este esforço esta subdividido em ativos (ação) e reativos (reação). Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.) (CAMPOS, 2010). Eles são conhecidos a priori devido ao fato que no projeto o peso próprio, por exemplo, é inicialmente conhecido já que as dimensões das peças estão estabelecidas. Os esforços reativos, produzidos pelos vínculos, são denominados de reações de apoio, sendo determinados pelas equações da estática que regem o equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso (CAMPOS, 2010). A figura 2.12 ilustra o caso de esforços ativos e reativos. Figura 2.12: Esforços ativos e reativos. Fonte: Elaborada pelo autor.

29 Esforços Internos Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou elemento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. Este esforço esta subdividido em solicitante e resistente. Esforço interno solicitante é o conjunto de esforços que devido às ações se exerçam sobre uma ou mais seções de um elemento da estrutura (LIMA, 2010). Estes esforços internos geralmente são distribuídos de forma complexa sobre as seções (figura 2.13), mas, no entanto as condições de equilíbrio são satisfeitas para cada parte separadamente (LIMA, 2010). (a) Figura 2.13: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de forças ao longo da superfície recortada (b) Fonte: LIMA, (b) A resultante das forças internas na seção genérica virtual pode ser obtida tanto no lado esquerdo quanto no direito do corte imaginário, como pode ser visto na figura Figura 2.14: Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio Fonte: LIMA, 2010.

30 14 As resultantes dos esforços internos solicitantes estão descritas abaixo. a) Esforço Normal (N): Corresponde à componente da resultante de forças perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Esta solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência de distendê-la ou comprimi-la (encurtá-la), ou seja, sendo a peça retilínea, aumentar ou diminuir seu comprimento. A convenção de sinais utilizada é que o esforço normal é positivo sempre que a componente de força em questão estiver saindo de ambas às faces de uma fatia isolada da peça, ou seja, em tração (UFPR, 2010). (a) Figura 2.15: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito de compressão (a). Efeito de tração (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, (b) b) Esforço Cortante ou de Cisalhamento (V): Corresponde às componentes da resultante de forças contidas no plano da seção transversal. Esta solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência a fazer as diversas seções transversais deslizarem, umas sobre as outras, perpendicularmente ao eixo longitudinal (UFPR, 2010). (a) Figura 2.16: Esforço cortante em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a), Estrutura com carregamento e sob efeito de cisalhamento (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, (b)

31 15 c) Momento Fletor (M): Corresponde às componentes da resultante de momentos contidas na seção transversal (perpendiculares ao eixo). Seu efeito sobre a peça é a tendência a encurvar ou fletir seu eixo longitudinal, fazendo com que as seções transversais girem umas em relação às outras, em torno de um eixo contido na seção transversal. Essa deformação causa tração em parte das fibras da peça, e compressão em outras (UFPR, 2010). (a) Figura 2.17: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a). Estrutura com carregamento e sob efeito do momento fletor (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, d) Momento Torço (T): Corresponde à componente da resultante de momentos perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Seu efeito sobre a peça é a tendência das diversas seções transversais girarem umas em relação às outras, em torno do eixo longitudinal, torcendo a peça (UFPR, 2010) (b) (a) Figura 2.18: Momento torço em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a). Estrutura sob efeito do momento torço (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, (b) A distribuição dos esforços ao longo de todos os pontos de uma seção genérica transversal é chamado de esforço interno resistente e é considerado, muitas das vezes como uniforme, embora talvez nunca se verifique na realidade. O valor exato do esforço que atua em cada ponto é função da natureza cristalina do material e da orientação dos cristais no ponto (GHISI, 2005). Quando este esforço atuar perpendicularmente em cada ponto desta seção transversal, ou seja, ao longo da área da seção, ela recebe o nome de tensão normal (GHISI, 2005). Quando o esforço for cortante (Q) ele atuará também ao longo da área do plano de uma seção genérica transversal, logo este esforço criará uma tensão tangencial denominado de tensão de cisalhamento (GHISI, 2005).

32 16 3. ESTUDO DE VIGA Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos referentes à classificação das vigas, que serão importantes para o melhor entendimento do comportamento das mesmas, além de relatar os tipos de esforços que atuam nas vigas. O capítulo também descreve as duas teorias de viga: Euler e Timoshenko. 3.1 INTRODUÇÃO Os elementos estruturais que oferecem resistência à flexão, provocada por carregamentos aplicados, são conhecidos como vigas (MERIAM, 1999). São normalmente barras retas e prismáticas, o que ocasiona maior resistência ao cisalhamento e flexão (UNICAMP, 2010). Não há dúvida de que a viga é o mais importante de todos os elementos estruturais e sua teoria básica deve ser completamente entendida para o seu dimensionamento (MERIAM, 1999). Segundo MERIAM (1999), a análise da capacidade das vigas em suportar carregamento consiste, primeiramente, em estabelecer os requisitos de equilíbrio da viga como um todo, para isso requer a aplicação dos princípios da estática. O mesmo autor também relata que, em seguida devem ser estabelecidas as relações entre as forças resultantes e a resistência interna da viga para suportar essas forças, para isso se utiliza características da resistência dos materiais. 3.2 CLASSIFICAÇÃO Quanto ao tipo e posição dos apoios Segundo MERIAM (1999), vigas estaticamente determinadas, são aquelas que estão suportadas de tal forma que suas reações externas nos suportes podem ser calculadas aplicando-se apenas as equações da estática (Equação 3.1). Ou seja, são vigas isostáticas como por exemplo: bi apoiadas, em balanço e combinadas (Figura 3.1).

33 17 ; ; (3.1) Existem também as vigas que são as chamadas de estaticamente indeterminada, são aquelas onde além de considerar as equações de equilíbrio estático (Equação 3.1) é necessário considerar as propriedades da relação cargadeformação da viga, são as hiperestáticas, como por exemplo: contínuas, em balanço apoiada na extremidade e bi engastada (Figura 3.1). Figura 3.1: Principais tipos de vigas existentes. Em balanço (a). Simplesmente apoiada (b). Biengastada (c). Articulada ou Gerber (d). Contínua (e). Fonte: NOVAES & PARSEKIAN, Quanto à origem do carregamento Existem dois tipos principais de carregamento externo que uma viga suporta, cargas concentradas e cargas distribuídas. Carregamento concentrado são forças aplicadas em um único ponto (Figura 3.2), logo são pontuais, ocorrem em um ponto exclusivo da viga (SANTOS, 2007).

34 18 Figura 3.2: Exemplo de carregamento concentrado. Fonte: NAKAO, 2010 Enquanto que o carregamento concentrado atua em um único ponto a carga distribuída é expressa como a força ao longo do uma unidade de comprimento da viga (Figura 3.3), a intensidade da força pode ser constante ou variável (MERIAN, 1999). Figura 3.3: Cargas ( distribuídas ao longo da viga. Fonte: UNICAMP- Universidade de Campinas, FLEXÃO SIMPLES Na seção transversal de uma viga que esteja com um carregamento qualquer, existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma atua apenas um momento fletor (M). Quando junto com o momento fletor atuar uma força cortante (Q), a solicitação passa a ser chamada de flexão simples (SCHÄFFER, 2010). Os efeitos dos carregamentos na viga produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da mesma conhecida pelo nome de flecha, além disso, dão origem a

35 19 tensões normais e de cisalhamento nas diversas seções transversais da viga (NASH, 1982). É de conveniência imaginar que a viga seja formada de um número infinito de fibras longitudinais (NASH, 1982). Assim, a viga da figura 3.4 fletirá, encurtando-se para baixo; as fibras da parte inferior serão distendidas e as da parte superior, encurtadas, isto é, diminuem de comprimento (Nash, 1982). Logo as fibras superiores serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas. Figura 3.4: Flexão em viga. Fonte: PUCPR- Pontífice Universidade Católica do Paraná, Existe um ponto na viga que não sofre tração e nem compressão chamado de eixo neutro (ou linha neutra). Por este motivo que todas as fibras que se situam na seção transversal, do mesmo lado, em relação à linha neutra, estão submetidas à tração; as que se situam no lado oposto, são submetidas à compressão (NASH, 1982). 3.4 DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO Flecha e ângulo de rotação Segundo FERRARI (2010), os esforços solicitantes (forças normais de compressão, forças normais de tração, forças tangenciais, momentos fletores e momentos de torção) causam deformações nas estruturas. O fato de a maioria das deformações serem menores que a acuidade visual permite detectar, sua importância teórica, entretanto, é enorme.

36 20 Uma dessas deformações é conhecida por flecha, que é o deslocamento na direção de qualquer ponto no eixo da viga (FERRARI, 2010). A falta de controle no cálculo das flechas pode ocasionar no aumento excessivo delas, com isso o aparecimento de fissuras nas paredes localizadas em baixo de vigas, ou até impedir a abertura de janelas localizada na alvenaria que esta recebendo esta força devido à flecha (Figura 3.5). Figura 3.5: Deslocamento excessivo devido à flecha. Fonte: TQS- Informática Ltda, Quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao longo do eixo, mas também uma rotação. O ângulo de rotação (θ) do eixo da viga é o ângulo entre o eixo e a tangente à curva deformada como mostrado na figura 3.6. Figura 3.6: Ângulo de rotação θ. Fonte: AZEVEDO, Relação momento curvatura Para se obter o valor analiticamente do ângulo de rotação e da flecha, se torna necessário desenvolver uma importante relação entre o momento fletor interno na viga e o raio de curvatura (rô) da curva da linha elástica em um ponto, mostrado na figura 3.7b (HIBBELER, 2010). Através desta relação será possível

37 21 definir a equação da curva elástica, em função de, com essa equação se encontra o valor da flecha em qualquer ponto da viga. Devido às cargas presentes na figura 3.7a, a deformação da viga é provocada pela força cortante interna, bem como pelo momento fletor. Segundo HIBBELER (2010), se o comprimento da viga for muito maior do que sua altura, a maior deformação será causada por flexão. (a) Figura 3.7:Comportamento estático de uma viga. Viga submetida a diversos carregamentos (a), elemento infinitesimal da viga (b). Fonte: HIBBELER, (b) Segundo HIBBELER (2010), quando o momento fletor interno deforma o elemento da viga, o ângulo entre as seções transversais torna-se (figura 3.7b). Para o mesmo autor, o arco representa uma porção da linha elástica que intercepta o eixo neutro para cada seção transversal. O raio de curvatura para esse arco é definido como a distância, que é medida do centro de curvatura até. Qualquer arco sobre o elemento, exceto, está sujeito a uma deformação normal (tração ou compressão). A deformação no arco, localizado em uma posição em relação ao eixo neutro é: (3.2) Todavia; (3.3) E; (3.4)

38 22 Portanto, substituindo (3.3) e (3.4) em (3.2), temos; (3.5) Supondo que a viga tem material homogêneo e comporta-se de uma maneira linear elástica, a lei de Hooke,, é aplicável. A fórmula da flexão também se aplica, (HIBBELER, 2010). Substituindo essas equações na equação (3.5), temos: (3.6) termos de Para HIBBELER (2010), a relação que representa a curvatura ( e, pode ser definida como: ) em (3.7) Substituindo a equação (3.7) na equação (3.6), temos: (3.8) Esta solução, denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica. Para facilitar a solução de um número maior de problemas a equação (3.8) pode ser modificada, pois a inclinação da linha elástica determinada por será muito pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível, logo a equação (3.8) pode ser expressa como: (3.9) Onde: : equação do momento; E: módulo de elasticidade; I: momento de inércia.

39 23 Com a equação (3.9), é capaz de obter o valor da flecha em qualquer ponto de uma determinada viga, através da curva elástica que a expressão fornece, para resolver-la se deve integrar a equação. A primeira integral da equação (3.9) fornece a equação das rotações ( ), ou seja, o ângulo de rotação em qualquer ponto da viga. Já a segunda integral fornece a equação da curva elástica ( ) disponibilizando a flecha em qualquer ponto da viga. Este processo é conhecido como o Método da Integração Dupla (MID). Como a equação (3.9) é de segunda ordem, aparecem, após a integração, duas constantes. Essas constantes determinam-se com as condições referentes a flechas e inclinações, da linha elástica, em certos pontos da viga (NASH, 1982). 3.5 VIGA DE EULER-BERNOULLI A viga, como dito anteriormente, é tratada como modelo unidimensional, fazendo-se a hipótese que o comprimento é bem maior que as dimensões da seção transversal. Observa-se que a análise de vigas é bastante comum em problemas de engenharia, tornando-se fundamental o estudo de sua formulação. Para esta finalidade, geralmente, consideram-se o modelo de viga de Euler-Bernoulli ou simplesmente viga de Euler (Viga clássica). Para uma relação muito pequena, entre a altura (h) da seção transversal de uma viga e seu comprimento (L), define-se a viga de Euler. Segundo SILVA (2008), esta se caracteriza por considerar apenas os efeitos de flexão (Caso elementar de flexão) devido à tensão normal. Supondo uma viga (figura 3.8) de comprimento, seção transversal e módulo de inércia, agindo em uma série de cargas verticais e momentos contidos no plano. Segundo NAVARRA (1995), a viga anteriormente descrita é classificada como viga de Euler quando ela atender as 3 (três) hipóteses seguintes: 1ª) O deslocamento vertical (flecha) para todos os pontos de uma seção transversal são pequenas e igual ao eixo da viga; 2ª) O deslocamento lateral é nulo; 3ª) As seções transversais normais ao eixo da viga antes da deformação permanecem planas e, ortogonal ao eixo após a deformação.

40 24 Figura 3.8: Viga convencional de Euler-Bernoulli Fonte: NAVARRA, A equação de Euler para a viga Segundo THOMSON (1997), para determinar a equação diferencial da viga de Euler, deve-se considerar as forças e momentos agindo sobre um elemento da viga mostrado na figura 3.9. Sabe-se que, e são o esforço cortante e o momento fletor, respectivamente, e a carga por unidade de comprimento da viga.

41 25 Figura 3.9: Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli Fonte: THOMSON (1997). Fazendo a somatória das forças verticais presente no elemento da viga da figura 3.9, tem-se: (3.10) Somando-se os momentos em qualquer ponto da face direita do elemento: O produto menor ainda, logo se torna desprezível. é muito pequeno e o quadrado dele dividido por dois é (3.11)

42 26 A equação (3.11) mostra que a taxa de variação do momento ao longo de uma viga é igual ao cisalhamento, enquanto que a equação (3.10) afirma que a taxa de mudança de cisalhamento ao longo do comprimento da viga é igual à carga por unidade de comprimento. Derivando a equação (3.11) em função de, obtemos: (3.12) Substituindo a equação (3.10) na equação (3.12), temos: (3.13) (3.13): Dividindo a equação (3.9) por ( e em seguida substituindo na equação (3.14) Logo a equação (3.14) representa a equação governante da viga de Euler para o comportamento estático. 3.6 VIGA DE TIMOSHENKO A teoria de Timoshenko, considera a relação da altura, com o comprimento próxima de 1 (SILVA & PEDRODO, 2005). Segundo NAVARRA (1995), a teoria de vigas de Timoshenko compartilha as hipóteses 1 e 2 da teoria de vigas clássicas. Em contrapartida, a nova hipóteses 3 (figura 3.10) estabelece que as seções planas normais ao eixo da viga antes da deformação permanecem planas, mas não necessariamente perpendiculares ao eixo após a deformação.

43 27 Figura 3.10: Teoria da flexão de vigas de Timoshenko. Giro (Φ) da seção normal a fibra média. Fonte: NAVARRA, Segundo SOUSA Jr. (2006), a teoria de flexão simples (viga de Euler), mostrada na figura 3.8, considera as seções como retas, ou seja, que não há distorções das mesmas. Para vigas esbeltas em que a altura da seção é pequena em relação ao comprimento a deformação cisalhante é relativamente pequena. Porém quando essa relação não é tão pequena (viga de Timoshenko) as deformações cisalhantes (deformação angular de cisalhamento) devem ser consideradas e a teoria clássica (Euler-Bernoulli) não se aplica mais. A figura 3.11, ilustra o efeito de empenamento da seção devido o esforço cortante. Observa-se que as seções não permanecem mais planas e o modelo clássico de vigas em flexão não se aplica mais.

44 Figura 3.11: Empenamento das seções devido o esforço P. Fonte: SOUSA Jr.,

45 29 4. O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS Neste capítulo se mostrará a formulação básica da série de Taylor, que da início ao Método das Diferenças Finitas (MDF), através da aproximação das derivadas. O capítulo também mostrará as condições de contorno presentes na viga, além de demonstrar a equação de Euler na forma de diferenças finitas. 4.1 FORMULAÇÃO BÁSICA Série de Taylor para funções de variáveis n Este método utiliza como técnica de solução de equações diferenciais, a substituição das derivadas por formas de diferenças finitas que são obtidas pela expansão em série de Taylor e truncamento ao nível da ordem do erro desejada (SILVA & PEDROSO, 2005). (4.1) [24]: ; onde, o resto após n termos, é dado por qualquer das formas seguintes Forma de Lagrange: (4.2) Forma de Cauchy: (4.3) Segundo SILVA (2008), o valor de, que pode ser diferentes nas duas formas, fica entre a e x. O resultado determina se tem derivadas contínuas de

46 30 ordem n pelo menos. A série é infinita, se, e é chamada de série de Taylor para em. Se, a série é frequentemente chamada de série de Meclaurin. Essas séries, chamadas de séries de potências, convergem para todos os valores de x em algum intervalo de convergência e divergem para todos os valores de x fora desse intervalo (SILVA & PEDROSO, 2005) Aproximação das derivadas por série de Taylor A partir da equação (4.1), pode-se escrever (SILVA, 2008): (4.4) (4.5) Trabalhando com dois termos das séries ( ): E operando as equações 4.4 menos 4.5: (4.6) Segundo SILVA (2008), fazendo e usando a notação inicial, tem-se o operador em diferenças finitas para a primeira derivada: (4.7)

47 31 As equações 4.6 e 4.7 podem ser interpretadas geometricamente como mostra a figura 4.1. A equação 4.7 é conhecida como diferencial central, há também a diferencial para frente e a diferencial para trás (SILVA & PEDROSO, 2005). Sabe-se que a diferencial central ter melhor acurácia para solução exata (SILVA, 2008), por isso não serão mostradas as diferenciais para frente e a diferencial para trás. Figura 4.1: Interpretação geométrica para a derivada. Fonte: [25] Para obter o operador em diferenças finitas para a segunda derivada deve-se somar as equações 4.4 e 4.5 com os três primeiros termos da série ( ). E operando as equações 4.4 mais 4.5: (4.8) Assim como na equação 4.6 ao fazer e usando a notação inicial, tem-se o operador em diferenças finitas para a segunda derivada: (4.9)

48 32 Segundo SILVA (2008), ele define que para achar o operador em diferenças finitas para a terceira derivada se deve partir da equação 4.6, nela substitui-se por, como mostrado a seguir. Para: Tem-se: (4.10) Ao fazer e usando a notação inicial, tem-se o operador em diferenças finitas para a terceira derivada: (4.11) Por fim se chega ao operador em diferenças finitas para a quarta derivada, onde a partir da equação 4.8 se substitui por, como mostrado a seguir.

49 33 Para: Tem-se: (4.12) Ao fazer e usando a notação inicial, tem-se o operador em diferenças finitas para a quarta derivada: (4.13) 4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF) Segundo SILVA & PEDROSO (2005), no método das diferenças finitas, as condições de contorno têm a função de diminuir o número de variáveis no sistema de equações, por meio de valores conhecidos em determinado ponto da viga e/ou relacionar pontos fora da viga (nós artificiais da malha de diferenças finitas) a pontos no seu interior, levando sempre a um sistema possível determinado para problemas estáticos No engaste A figura 4.2 representa uma viga engastada com a diferencial central, a diferencial para frente e a diferencial para trás.

50 34 Figura 4.2: Viga engastada. Fonte: SILVA & PEDROSO, A flecha no engaste é zero, logo, ficará representada como mostra a equação (4.14) O mesmo acontece com a rotação no engaste, que têm seu valor igual a zero que resulta na equação Para: Tem-se: (4.15) No apoio do 2º gênero ou 1º gênero A figura 4.3 representa uma viga com apoio do 2º gênero (ou 1º gênero) com a diferencial central, a diferencial para frente e a diferencial para trás.

51 35 Figura 4.3: Viga com apoio do 2º gênero. Fonte: SILVA & PEDROSO, Assim como no engaste a flecha no apoio do 2º gênero vale zero, e sua representação é mostrada na equação (4.16) Entretanto a rotação não será nula como ocorre no engaste, apesar disso o momento terá o valor igual a zero que resultará na equação Para: Tem-se: (4.17) Na extremidade livre A figura 4.4 representa uma viga com extremidade livre.

52 36 Figura 4.4: Viga com a extremidade livre. Fonte: SILVA & PEDROSO, Na extremidade livre como não se tem apoio o cortante é nulo, ou seja, valerá zero (equação 4.18). Para: Tem-se: (4.18) Assim como no apoio do 2º gênero o momento na extremidade livre será nulo, como mostrado na equação Para: Tem-se:

53 37 (4.19) No apoio deslizante A figura 4.5 representa uma viga com apoio deslizante. Figura 4.5: Viga com apoio do deslizante. Fonte: SILVA & PEDROSO, Igualmente como o engaste a rotação no apoio deslizante (1º gênero ou 1º grau) será igual a zero e poderá ser visto na equação 4.20 Para: Tem-se: (4.20) O valor do cortante neste apoio deslizante também será igual a zero, como mostra a equação Para: