Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa de Câmbio do Dólar Comercial, Implícitas nos Preços das Opções de Compra Negociadas na BM&F

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICAS INSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO - COPPEAD Análise as Probabiliaes Neutras a Risco a Taxa e Câmbio o Dólar Comercial, Implícitas nos Preços as Opções e Compra Negociaas na BM&F Paulo Castor e Castro Dissertação e Mestrao Orientaor: Prof Euaro Facó Lemgruber Rio e Janeiro 000

2 ii ANÁLISE DAS PROBABILIDADES NEUTRAS A RISCO DA TAA DE CÂMBIO DO DÓLAR COMERCIAL, IMPLÍCITAS NOS PREÇOS DAS OPÇÕES DE COMPRA NEGOCIADAS NA BM&F Paulo Castor e Castro Dissertação submetia ao corpo ocente o Instituto e Pós-Grauação e Pesquisa em Aministração COPPEAD a Universiae Feeral o Rio e Janeiro UFRJ, como parte os requisitos necessários à obtenção o grau e Mestre Aprovaa por: - Orientaor Prof Euaro Facó Lemgruber - COPPEAD/UFRJ Prof Euaro Saliby COPPEAD/UFRJ Carlos Hamilton Vasconcelos Araújo - BANCO CENTRAL DO BRASIL Rio e Janeiro 000

3 iii Castro, Paulo Castor e Análise as Probabiliaes Neutras a Risco a Taxa e Câmbio o Dólar Comercial, Implícitas nos Preços as Opções e Compra Negociaas na BM&F Rio e Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 000 viii, 90 p il Dissertação Universiae Feeral o Rio e Janeiro, COPPEAD Finanças Opções 3 Probabiliaes Neutras a Risco I Título II Tese Mestrao UFRJ/COPPEAD

4 iv Aos meus pais, Apolônio e Maria, e à minha esposa Márcia, com muito amor

5 v Agraecimentos Ao Banco Central o Brasil, pelo apoio institucional que me permitiu cursar o mestrao o COPPEAD; Aos colegas e BACEN Ricaro Franco Moura meu orientaor técnico junto ao Banco, Carlos Alberto e Amorim Preza e Sergio José Ceia, que incentivaram e apoiaram minha caniatura ao Programa e Pós-Grauação, e a Carlos Hamilton Vasconcelos Araújo, que me honrou com a sua presença na banca examinaora esta issertação; Aos colegas e BACEN Jaqueline Terra Moura Marins e Euaro Hitiro Nakao, que tornaram possível a realização este trabalho; Aos professores o COPPEAD, em especial ao meu orientaor, Prof Euaro Facó Lemgruber, e ao Prof Euaro Saliby; Aos funcionários o COPPEAD, pela boa vontae e profissionalismo; E aos meus colegas a turma 97 o COPPEAD, companheiros e jornaa e veraeiros amigos

6 vi Resumo CASTRO, Paulo Castor e Análise as Probabiliaes Neutras a Risco a Taxa e Câmbio o Dólar Comercial, Implícitas nos Preços as Opções e Compra Negociaas na BM&F Orientaor: Euaro Facó Lemgruber Rio e Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 000 Dissertação Mestrao em Aministração Esta issertação apresenta a erivação e istribuições e probabiliaes neutras a risco implícitas nos preços e opções e compra e ólar comercial, negociaas na Bolsa e Mercaorias e Futuros e São Paulo BM&F As assimetrias estas istribuições foram comparaas com as cotações o ólar no mercao à vista, por meio o cálculo as correlações entre as séries e valores observaos Calcularam-se também as correlações entre as mesmas assimetrias e as variações registraas nas cotações o mercao à vista, tanto em termos absolutos quanto relativos, ao longo e períoos e um, ez, quinze e vinte ias úteis Caso as correlações obtias fossem negativas, poer-se-ia inferir que os agentes o mercao brasileiro acreitam na existência e uma bana cambial implícita Esta hipótese poe ser rejeitaa, pois as correlações encontraas foram, em sua maioria, positivas, apesar e não significativas Como as assimetrias encontraas foram sistematicamente positivas, poe-se também rejeitar a hipótese e que a taxa e câmbio siga uma trajetória o tipo passeio aleatório, pois esse tipo e trajetória geraria istribuições com assimetrias nulas Os resultaos obtios inicam que os agentes e mercao, no Brasil, acreitam que o ólar tene a se valorizar no longo prazo, inepenentemente a cotação atual ou os movimentos recentes a taxa e câmbio Isso explicaria tanto as baixas correlações quanto a ocorrência quase permanente e assimetrias positivas nas istribuições implícitas

7 vii Abstract CASTRO, Paulo Castor e Análise as Probabiliaes Neutras a Risco a Taxa e Câmbio o Dólar Comercial, Implícitas nos Preços as Opções e Compra Negociaas na BM&F Orientaor: Euaro Facó Lemgruber Rio e Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 000 Dissertação Mestrao em Aministração This issertation presents the erivation of risk neutral probability istributions implie in the prices of call options on the commercial ollar in Reals, the Brazilian currency, negotiate in the Mercantile an Futures Exchange of São Paulo, Brazil The skewnesses of these istributions were compare with the spot exchange rates by calculating the correlation between the series of observe values The correlations between the same skewnesses an the absolute an relative changes in the spot rates uring perios of one, ten, fifteen an twenty traing ays were also calculate If the correlations obtaine were negative, it coul be inferre that the agents in the Brazilian market believe in the existence of an implicit target zone for the ollar exchange rate This hypothesis can be rejecte, because the correlations foun were mostly positive, though they were always non significant As the skewnesses foun were sistematically positive, the hypothesis that the exchange rate follows a ranom walk can also be rejecte this kin of trajectory woul imply null skewnesses The results obtaine inicate that market agents, in Brazil, believe that the ollar tens to evaluate in the long run, regarless of the actual spot rates or the recent spot rate movements This woul explain not only the small correlations but also the almost permanent positive skewnesses verifie in the implie istributions

8 viii Sumário INTRODUÇÃO REFERENCIAL TEÓRICO Black, Scholes e o Argumento e Merton5 A Avaliação Neutra a Risco9 Meias martingais equivalentes0 Preços e estao 3 Probabiliaes neutras a risco em moelos e tempo contínuo4 4 Aspectos técnicos a avaliação neutra a risco8 5 A avaliação neutra a risco em operação8 3 O Resultao e Breeen e Litzenberger9 4 A Técnica e Shimko3 5 Outras Técnicas4 5 Técnicas que procuram estimar iretamente a istribuição neutra a risco5 5 Técnicas que procuram escrever o processo estocástico seguio pelo ativo objeto4 6 Aplicações a Análise Neutra a Risco46 7 Comparações entre os Diferentes Métoos5 3 METODOLOGIA 3 A Derivação as Distribuições Neutras a Risco55 3 As Limitações o Métoo64 33 A Obtenção os Daos65 4 RESULTADOS67 5 CONCLUSÕES80 BIBLIOGRAFIA84

9 Introução A análise as informações contias nos preços e ativos financeiros negociaos em mercao - tanto nos organizaos quanto nos chamaos "mercaos e balcão" - se constitui numa área importante a pesquisa em finanças Investiores procuram estimar as istribuições e probabiliae os possíveis valores os iversos ativos, antes e elaborar suas estratégias e negociação Gestores e política econômica, especialmente os bancos centrais, também poem obter informações importantes a partir a observação os preços e mercao e ativos financeiros, pois eles refletem, além e flutuações e oferta e emana, as expectativas os agentes a respeito os retornos futuros A forma convencional e se estimar preços e retornos futuros parte a observação o seu comportamento ao longo o tempo Amostras e preços e retornos ocorrios no passao, consierano-se iferentes horizontes e tempo, poem ser utilizaas para estimar parâmetros a sua istribuição e probabiliae As recentes pesquisas em finanças têm aumentao o grau e sofisticação com que as expectativas são avaliaas a partir os preços e ativos RUBINSTEIN 994 enumera as conições necessárias para o sucesso e inferências baseaas em preços e mercao: existência e um moelo satisfatório, relacionano os preços à informação que se eseja inferir; possibiliae e implementação relativamente simples e não emoraa esse moelo, a custos razoáveis; capaciae e mensurar corretamente os aos que o alimentam, e eficiência os mercaos Dao que existam um moelo satisfatório e as conições necessárias ao seu sucesso, é improvável que se consiga obter melhores inferências utilizano outro métoo Esta é, na opinião e RUBINSTEIN 994, a razão pela qual o moelo e avaliação o preço e opções, esenvolvio por BLACK e SCHOLES 973 e MERTON 973, passou a ser largamente utilizao para inferir a volatiliae os preços os seus ativos subjacentes ações, ínices, moeas, mercaorias, taxas e juros Um os mais bem suceios moelos teóricos as ciências sociais, o trabalho e Black, Scholes e Merton apresenta como resultao final uma fórmula fechaa a fórmula Black-Scholes que, nas palavras e RUBINSTEIN 994: "é provavelmente, incluino sua extensão binomial, a fórmula com probabiliaes mais largamente utilizaa na história a humaniae" O cálculo a fórmula Black-Scholes poe ser facilmente implementao num micro- Uma opção européia e compra vena sobre um eterminao ativo objeto, ou subjacente, é um contrato que á ao seu possuior o ireito, mas não a obrigação, e comprar vener o ativo numa ata futura preeterminaa ata e exercício, a um preço preeterminao preço e exercício Opções que poem ser exercias a qualquer tempo até o vencimento inclusive são chamaas opções americanas

10 computaor, ou mesmo numa máquina e calcular, como mostram BECKER e LEMGRUBER 99 Daos o preço o ativo subjacente à opção, e a taxa à qual ele eventualmente pague algum renimento, como juros ou ivienos; a taxa livre e risco acessível aos investiores; o preço e exercício e prazo e vencimento, é possível utilizar os preços observaos no mercao para estimar o único parâmetro não observável a fórmula: a volatiliae o ativo subjacente Em muitas situações práticas relevantes, os aos poem ser facilmente mensuraos, e os ativos relacionaos são negociaos em mercaos razoavelmente eficientes Apesar e too esse sucesso, a fórmula Black-Scholes foi pereno creibiliae ao longo o tempo RUBINSTEIN 994 e JACKWERTH 999 ressaltam que os primeiros testes empíricos referenaram, com maior ou menor ênfase, o uso a fórmula RUBINSTEIN 994 etalha os resultaos e um estuo que conuziu nos anos 80, no qual calculou os esvios em relação aos valores teóricos Black-Scholes, observaos nos preços as 30 opções mais negociaas na CBOE Chicago Boar of Options Exchange ao longo e ois anos, entre 976 e 978 Apesar e encontrar significância estatística nos esvios observaos, RUBINSTEIN 994 não os consierou economicamente relevantes Mas a partir o final a écaa e 80, uma anomalia passou a ser verificaa com freqüência nos iversos mercaos erivativos, que foram surgino e se esenvolveno ao longo os anos: a existência o chamao "smile" a volatiliae A volatiliae implícita nos preços as opções, encontraa a partir a fórmula Black-Scholes, é um parâmetro único, que se refere à trajetória o preço o ativo subjacente no caso o moelo e Black-Scholes-Merton, um movimento browniano geométrico No entanto, os valores e volatiliaes implícitas Black-Scholes, obtios empiricamente, costumam variar e acoro com o preço e exercício, e também com o prazo e vencimento as opções Nos mercaos e opções sobre moeas, é comum encontrar volatiliaes implícitas como funções convexas o preço e exercício Opções in-the-money e out-ofthe-money tenem a ter volatiliaes implícitas maiores que as at-the-money neste caso, consierano como at-the-money as opções com preço e exercício igual ao preço futuro Os gráficos que mostram a volatiliae implícita em função o preço e exercício acabam formano uma figura que lembra um sorriso - o "smile" Já nos mercaos e opções sobre ínices e mercaos e ações, como os americanos S&P 00 e S&P 500, costumam-se observar volatiliaes ecrescentes em relação ao preço e exercício, fenômeno enominao "skew" 3 Opções in-the-money são as que proporcionariam um fluxo e caixa positivo, caso exercias imeiatamente; opções at-the-money apresentariam um fluxo e caixa nulo, e as out-of-the-money implicam num fluxo e caixa negativo 3 O crash as bolsas norte-americanas e 987 é o momento a partir o qual, seguno RUBINSTEIN 994, JACKWERTH e

11 3 Ao analisar anomalias como os smiles e skews, os estuos sobre volatiliae implícita e opções foram eixano e ser apenas testes e eficiência o moelo Black- Scholes-Merton, e acabaram se transformano em sofisticaos instrumentos e análise o comportamento futuro os ativos Diferentes técnicas passaram a ser esenvolvias para, com base nos preços e opções negociaas em mercaos e bolsa ou e balcão, tentar escrever tanto a trajetória os preços os ativos subjacentes quanto as possíveis istribuições e probabiliae os seus valores, na ata e vencimento Tais análises vêem se tornano, ao longo os anos 90, ferramentas úteis para iversas aplicações, como avaliação e erivativos complexos, gerenciamento e risco e análise e expectativas coloquialmente chamaas e "sentimento o mercao", especialmente em períoos tais como crises cambiais, crises políticas e muanças e orem político-institucional Esta issertação apresenta um estuo e "sentimento e mercao" aplicao ao caso brasileiro, utilizano preços e opções e compra e ólar comercial, negociaas na Bolsa e Mercaorias & Futuros BM&F Derivam-se as istribuições neutras a risco os possíveis valores em reais o ólar comercial, implícitas nos preços as opções negociaas no primeiro ia útil e caa mês, na BM&F As istribuições foram estimaas para um períoo e quinze meses, referino-se aos vencimentos e maio e 999 a julho e 000 Foram calculaas quatro istribuições implícitas para caa vencimento, com prazos até o vencimento e ez, quinze, vinte e vinte e cinco ias úteis O métoo utilizao foi esenvolvio por SHIMKO 993 Em seguia, calculam-se as correlações entre as assimetrias essas istribuições e os valores o ólar observaos no mercao à vista cotações e vena informaas pelo Banco Central o Brasil, como em CAMPA, CHANG E REIDER 997, e também as correlações entre as mesmas assimetrias e as variações registraas nas cotações o mercao à vista, tanto em termos absolutos quanto percentuais, consierano-se períoos e tempo e um, ez, quinze e vinte ias úteis Assim como CAMPA, CHANG e REIDER 997 verificaram para o caso o mercao e balcão envolveno iferentes pares e moeas, este trabalho refuta a hipótese e que os preços as opções e compra e ólar no mercao brasileiro refletem expectativas e que a taxa e câmbio ólar/real obeeça a uma "bana cambial implícita" Esse tipo e comportamento everia se refletir na ocorrência e correlações negativas entre as cotações o ólar no mercao à vista e a assimetria as istribuições implícitas, o que só se verificou com valores não significativos quano o prazo até o RUBINSTEIN 996 e JACKWERTH 999, o skew a volatiliae implícita passou a ser observao e maneira sistemática no mercao norte-americano e opções e ínices e ações refletino uma possível muança e percepção e risco e e comportamento por parte os investiores após o crash

12 4 vencimento as opções era e 5 ias úteis Os emais valores encontraos foram positivos, apesar e não significativos na maioria os casos, inferiores a 0,5 O seguno capítulo esta issertação é uma revisão bibliográfica, que enfatiza as bases conceituais e os resultaos funamentais os quais eriva a metoologia empregaa O terceiro capítulo escreve a metoologia aotaa na erivação e construção as istribuições neutras a risco, as limitações essa metoologia, e a forma como foram obtios os aos utilizaos O quarto capítulo apresenta os resultaos encontraos, e o quinto traz as conclusões e sugestões para pesquisa futura

13 5 Referencial Teórico - Black, Scholes e o argumento e Merton Quano Fischer Black e Myron Scholes encontraram, em meaos e 970, a solução para uma equação iferencial que haviam enunciao meses antes, e que seria mais tare celebrizaa como fórmula Black-Scholes, estavam ano seqüência a um trabalho que já vinha seno esenvolvio, havia alguns anos, por Fisher Black Trabalhano em princípio para a empresa norte-americana e consultoria Arthur D Little, e epois como consultor inepenente, Black procurava aplicar moelos criaos por Jack Treynor, um os criaores o Capital Asset Pricing Moel CAPM, à avaliação e iversos ativos financeiros, entre as quais os warrants 4 BLACK e SCHOLES 973, SMITH 976, SMITHSON 99 e WHALEY 997 mostram os resultaos obtios até então por A James Boness, Case Sprenkle e Paul Samuelson, ao tentarem calcular o valor e uma opção expresso em termos e warrants 5 Partino a aboragem traicional e fluxo e caixa escontao, Boness, Sprenkle e Samuelson aotaram a hipótese aproveitaa epois por Black e Scholes e que o ativo objeto seguia um movimento browniano geométrico, e forma que a istribuição e probabiliae e seu valor, na ata e vencimento, everia ser lognormal Calcularam então o valor esperao o payoff e uma opção e compra no vencimento seno este payoff igual a S -, one S é o preço o ativo e é o preço e exercício, se S>; e igual a 0, caso contrário Este resultao, escontao a uma taxa apropriaa, everia ser o valor a opção Sprenkle encontrou o seguinte resultao para o valor a opção no vencimento seno S o valor o ativo objeto; o preço e exercício; L' a função e ensiae e probabiliae lognormal; ρ a taxa e retorno esperaa o ativo objeto, σ a volatiliae o processo estocástico seguio por ele, τ o prazo até o vencimento, T-t; e N o valor a função e istribuição normal parão acumulaa: E C = S L' S S T T T T 4 Warrants são opções e longo prazo não paronizaas, lançaas por uma companhia, que ão ao compraor o ireito e aquirir ações ou títulos e ívia bons por ela emitios, ou cuja emissão foi autorizaa, mas aina não efetuaa há casos em que instituições financeiras emitem warrants sobre títulos emitios por outra companhia Portanto, um warrant poe significar uma emissão futura 5 Os trabalhos originais e Sprenkle, Boness e Samuelson estão reprouzios em The Ranom Character of Stock Market Prices, eitao por Paul Cootner MIT Press, 964

14 6 N N S e C E T = ρτ, one + + = τ σ σ ρ ln S ; τ σ = Sprenkle estava ciente e que, em geral, um investior não estaria isposto a pagar, por um warrant, uma quantia equivalente ao seu valor esperao Seria natural que o investior exigisse um prêmio e risco para aquiri-lo Sprenkle sugeriu então a multiplicação o seguno termo a fórmula por um fator e correção, que seria uma meia a aversão ao risco os participantes o mercao Boness assumiu que toas as ações sobre as quais fossem negociaas opções pertencessem a uma mesma classe e risco, e que o valor e uma opção no vencimento everia ser escontao, a valor presente, por um fator que refletisse o mesmo prêmio e risco a ação O resultao e Boness para o valor e uma call foi então: N e N S C ρτ =, one + + = τ σ σ ρ ln S ; τ σ = Samuelson esteneu o moelo e Boness, assumino iferentes níveis e risco, e portanto iferentes retornos esperaos, para uma ação e uma opção Na formulação e Samuelson, ρ é a taxa méia e crescimento o preço a ação, e ω a taxa méia e crescimento o valor a call: N e N S e C ϖτ τ ϖ ρ =, one + + = τ σ σ ρ ln S ; τ σ =

15 7 Ao analisar iversas possibiliaes com referência à relação entre os retornos o ativo e a opção, Samuelson sugeriu que a teoria precisava avançar, e moo a euzir estes valores para caa categoria e ativo subjacente A questão passava a ser a efinição a taxa e retorno esperaa a ação, e a taxa e esconto apropriaa para o valor a opção no vencimento Concentraos na aplicação o CAPM à avaliação os warrants, Black e Scholes haviam chegao à seguinte equação iferencial, envolveno o valor a opção e suas erivaas em relação ao tempo e ao preço o ativo objeto 6 : C t C C + r S + σ S S S = r C one r é a taxa livre e risco e σ é a volatiliae o ativo objeto Black e Scholes estavam aina longe e encontrar a solução a equação, 7 quano fizeram uma observação funamental: as taxas e retorno esperaas o ativo objeto e a opção não faziam parte a equação Portanto, se ela estivesse correta, o valor a opção everia ser inepenente o retorno esperao o ativo objeto Black e Scholes resolveram então testar como solução o valor presente o resultao e Sprenkle, aotano a taxa e juros como retorno o ativo Já que o valor a opção não epenia ele, qualquer retorno poeria ser aotao, ese que se efinisse corretamente a taxa e esconto o valor a opção Mas qual seria o esconto apropriao? Na concepção o CAPM, o prêmio e risco e um ativo, representao pela iferença entre o seu retorno e a taxa livre e risco, é proporcional ao prêmio e risco o mercao, e esta razão é conhecia como β beta 8 Em sua erivação, Black e Scholes consieravam linear a relação entre o beta a ação e o beta a opção Aotar a taxa livre e risco como retorno esperao o ativo significava consierar o seu beta como seno zero Neste caso, a relação linear entre o beta o ativo e o beta a opção eterminaria um beta zero também para a opção Nas palavras e BLACK : " se too o risco a ação poe ser iversificao, too o risco a opção também poe Se o beta a ação fosse zero, o beta a opção teria e ser zero também Se a opção sempre tivesse um retorno esperao igual à taxa e juros, então a taxa e esconto que traria seu valor esperao futuro a valor presente seria sempre a taxa e 6 A equação amite inúmeras soluções, pois é vália para qualquer erivativo e S Caa solução atene a eterminaas conições e contorno; no contexto os erivativos, são as especificações o contrato, que eterminam seu payoff no vencimento No caso e uma call, C = max 0, S-, quano t=t 7 Que vinha a ser uma variante a equação a transmissão e calor cuja solução já era conhecia; Black e Scholes não haviam percebio esse fato 8 O Beta é meio pela razão covariância entre o retorno o título e o retorno o mercao / variância o retorno o mercao

16 8 juros A taxa e esconto não epeneria o tempo ou o preço a ação, como seria o caso se a ação tivesse outro retorno esperao que não a taxa e juros" Black e Scholes então aotaram a taxa e juros suposta constante também como taxa e esconto o valor futuro a opção, na fórmula e Sprenkle/Boness/Samuelson: rτ C = S N e N, one S σ ln + r + = ; = σ τ σ τ Testaram o resultao obtio como solução a equação iferencial e, seguno BLACK 997: " é claro, ele se ajustou Nós sabíamos que ele estava certo" Robert Merton 0 forneceu a Black e a Scholes um argumento efinitivo, que referenou o resultao por eles obtio - principalmente porque resultava na mesma equação iferencial, mas não se baseava no CAPM A iéia central era a a criação e carteiras com posições compraas e venias, compostas por uma opção e seu ativo subjacente A proporção e caa componente na composição a carteira everia ser eterminaa e forma que o ganho pera eventualmente obtio com a posição compraa fosse praticamente anulao pela pera ganho obtio pela posição venia À meia que o preço o ativo subjacente e o tempo variam, a proporção ieal entre os componentes a carteira a que mantém fixo o seu valor também varia Mas se a composição a carteira for ajustaa continuamente, e maneira a manter a proporção ieal posição coberta, o seu valor inepene o preço o ativo objeto O retorno obtio pela carteira coberta se torna completamente inepenente as eventuais variações no preço o ativo objeto, e praticamente livre e risco - equivalente, portanto, à taxa e juros A igualae entre o retorno a carteira coberta e a taxa e juros forneceu a Black e Scholes a mesma equação iferencial que haviam obtio anteriormente, a partir o CAPM 9 Em artigo publicao postumamente, em sua homenagem, pela revista Risk Black faleceu prematuramente, e câncer, em 30/08/995 0 MERTON 973 estabeleceu vários resultaos importantes e generalizações o moelo original e BLACK e SCHOLES 973 Enunciou limites máximos e mínimos para valores e calls e puts, consierou o pagamento e ivienos e taxas e juros variáveis Partino e hipóteses mais gerais que as e BLACK e SCHOLES 973, não utilizou hipóteses e equilíbrio em que vale o CAPM, mas apenas critérios e ominância e argumentações e arbitragem O moelo aotao por Black e Scholes foi e uma posição venia na opção e outra, compraa, na ação SMITH 976 e BLACK 997 enfatizam há outras possibiliaes, ese que as proporções sejam corretamente efinias Seguno BLACK e SCHOLES

17 9 - A Avaliação Neutra a Risco A erivação e Black e Scholes e o argumento e Merton sugeriram a CO e ROSS 976 uma interpretação alternativa para a solução o problema, cuja "pera funamental" é o uso a taxa e juros como taxa e retorno e e esconto na erivação a fórmula Black-Scholes CO e ROSS 976 observam que a única hipótese a respeito a estrutura e preferências os inivíuos no mercao, utilizaa na erivação e BLACK e SCHOLES 973, é a e que ois ativos que são substitutos perfeitos entre si evem oferecer a mesma taxa e retorno e equilíbrio As conições e emana no mercao, e e preferências os investiores, atuam apenas na meia em que eterminam os valores e equilíbrio os parâmetros preço o ativo objeto, taxa e juros, volatiliae Nenhuma hipótese envolveno aversão a risco, por parte o investiores, foi aotaa por Black, Scholes e Merton Isto sugere que a solução obtia, assumino-se uma eterminaa estrutura e preferências por parte os investiores, tem e ser a mesma que seria obtia caso fosse aotaa qualquer outra estrutura que, no equilíbrio, resultasse nos mesmos parâmetros relevantes no caso e Black e Scholes, a taxa e juros e a volatiliae o preço o ativo objeto Portanto, é possível escolher, para obter a solução o problema, a estrutura e preferências que se revele mais conveniente Na visão e CO e ROSS 976, o que Black, Scholes e Merton implicitamente fizeram foi consierar que os mercaos são compostos por inivíuos iniferentes ao risco Neste contexto, um "muno neutro a risco", o retorno e toos os ativos passa a ser simplesmente a taxa e juros CO e ROSS 976 enunciam então um resultao geral para a avaliação e opções o tipo europeu: C, t = e r T t E r T t P' [ Max0, S ] C, t = e S f S S T T T T one r é a taxa livre e risco; P' é uma meia e probabiliae e fs T a ensiae a istribuição esta probabiliae, referente ao ativo subjacente, na ata e vencimento T P' é a meia e probabiliae que resultaria o processo estocástico seguio 973, a iéia foi sugeria num livro escrito por Ewar Thorp e Sheen Kassouf, Beat the Market Ranom House, 967

18 0 pelo ativo objeto, caso ele ocorresse num "muno neutro ao risco" As istribuições e probabiliae assim obtias se tornaram conhecias como probabiliaes neutras a risco - Meias Martingais Equivalentes HARRISON e KREPS 979 estenem o raciocínio e CO e ROSS 976, estabeleceno a relação entre o processo estocástico seguio pelo preço o ativo, sua istribuição e probabiliaes no vencimento e a hipótese a neutraliae ao risco Definino e maneira formal e rigorosa um moelo e equilíbrio econômico e um moelo e mercao e títulos em conições e incerteza, HARRISON e KREPS 979 mostram que as probabiliaes neutras a risco e CO e ROSS 976 poem ser interpretaas como meias martingais equivalentes à probabiliae original o ativo objeto Duas meias e probabiliae são itas equivalentes se o conjunto e eventos que possuem probabiliae positiva, em relação a uma meia, é iêntico ao os que possuem probabiliae positiva em relação à outra meia A probabiliae neutra a risco é nula se a probabiliae original o moelo é nula, e positiva se a probabiliae original é positiva Elas são, portanto, equivalentes Um processo estocástico é enominao martingal se a muança esperaa no seu valor, a caa instante, é sempre nula SUNDARAM 997 mostra que uma probabiliae neutra a risco transforma os processos estocásticos e um moelo em martingais, se o ativo livre e risco for aotao no moelo como uniae e conta, ou numerário A taxa e juros é o retorno e toos os ativos, sob a hipótese e neutraliae a risco O valor esperao futuro e caa ativo, expresso em termos o ativo livre e risco o numerário será então igual ao seu valor presente Desta forma, é possível efinir as probabiliaes neutras a risco como meias martingais equivalentes Uma importante conclusão e HARRISON e KREPS 979 é a e que, se um moelo amite a existência e uma meia martingal equivalente, então não oferece oportuniaes e arbitragem A inexistência a meia martingal equivalente é conição necessária e suficiente para que oportuniaes e arbitragem existam Outro resultao importante se refere à uniciae a meia martingal equivalente A multipliciae e meias é conição necessária e suficiente para que o moelo e mercao seja incompleto, ou seja, que existam erivativos cujo payoff não possa ser replicao pelo payoff e uma carteira formaa por outros ativos Mais formalmente, NEFTCI 996 mostra que, aa uma família e conjuntos e informações I t, e uma meia e probabiliae P: se, para too t>0, S t é sabio, ao I t S t é I-aaptao; E S t < ; e E t[s T] = S t, para too t < T, com probabiliae, então o processo {S t, t [0, ]}, é martingal

19 Caso essa replicação seja possível, o preço o erivativo poe ser eterminao unicamente por consierações e arbitragem Se toos os erivativos puerem ser replicaos, ou seja, se os valores e toos eles puerem ser unicamente eterminaos por argumentação e arbitragem, o moelo e mercao é consierao completo HARRISON e KREPS 979 mostram que esta é uma conição necessária e suficiente para que o moelo amita uma única meia martingal equivalente, ou probabiliae neutra a risco - Preços e Estao ARROW 964 e DEBREU 958 efinem um tipo elementar e erivativo, que esempenha papel equivalente ao as probabiliaes neutras a risco na formulação e moelos econômicos sob conições e incerteza Toos os emais erivativos poem ser expressos em termos e carteiras esses erivativos elementares Consiere-se que a incerteza a respeito o futuro seja expressa pela efinição e iferentes estaos a natureza, mutuamente exclusivos, os quais apenas um possa efetivamente ocorrer Um ativo Arrow-Debreu é um erivativo associao a um eterminao estao, que paga uma uniae monetária no futuro, caso esse estao ocorra, e naa caso ele não ocorra O preço e um ativo Arrow-Debreu é enominao preço e estao Dao um vetor ψ, ψ,, ψ k e preços e estao caa um associao a um os estaos a natureza efinios por um moelo, o preço e qualquer erivativo poe ser expresso como a soma os proutos os seus possíveis payoffs, a caa estao a natureza, pelos respectivos preços e estao: C t = C t + t + C t + t ϕ + + Ck t + ϕ t ϕ k one C t é o preço o erivativo no instante t e ψ j os preços e estao, em t, e caa um os k estaos a natureza que poem ocorrer em t+ t, seno ψ j >0 3 A existência e um ativo livre e risco no moelo prouz um resultao funamental O payoff e um ativo livre e risco é sempre o mesmo, não importano qual estao a natureza ocorra Consierano a taxa livre e risco r no períoo t, o valor unitário e um ativo livre e risco B é ao por: 3 Este tipo e relação é chamaa representação, ao que apenas um os estaos irá efetivamente ocorrer em t+ t e, portanto, ela não poe ser observaa na realiae O mesmo tipo e representação poe ser enunciao para toos os ativos efinios no moelo

20 B t = + r + = ϕ + ϕ + ϕ k one ψ j são os preços e estao em t, referentes aos k estaos a natureza em t+ t Multiplicano-se o valor e Bt por +r o retorno o ativo livre e risco, é fácil k verificar que + r ϕ = Portanto, multiplicar caa payoff C j t+ t pelo termo j= j +rψ j é operacionalmente equivalente ao cálculo e um valor esperao futuro 4 Este cálculo tem como resultao o preço o erivativo na ata presente, C t C t + t + C t + t ϕ + + Ck t + = ϕ t ϕ, multiplicao por +r Logo, +rψ j naa mais é o que uma meia e probabiliae neutra a risco, ou meia martingal equivalente, associaa ao estao a natureza j SUNDARAN 997 ressalta que esta corresponência entre preços e estao e probabiliaes neutras a risco faz com que se possa aborar a avaliação neutra a risco em termos mais intuitivos A técnica funciona porque calcular probabiliaes neutras a risco significa calcular os preços e estao associaos ao moelo utilizao A inexistência e probabiliaes neutras a risco significa, portanto, que não é possível eterminar os preços associaos a caa estao, e forma que o moelo permaneça em equilíbrio A inconsistência o moelo é a razão que possibilita oportuniaes e arbitragem A existência e múltiplas meias martingais equivalentes, ou probabiliaes neutras a risco, significa que múltiplos vetores e preços e estao satisfazem o equilíbrio Ou seja, pelo menos um título Arrow-Debreu poe assumir iversos valores compatíveis com a não-arbitragem Para que isso aconteça, não poe ser possível replicá-lo construino uma carteira com outros títulos, cujo valor já está eterminao pelo moelo Logo, o moelo está incompleto Estes resultaos poem ser resumios através e notação matricial Seja uma matriz e payoffs D NxK representaa pelos payoffs ij, geraos por caa um os N ativos o moelo, em caa um os K possíveis estaos a natureza futuros: k D = Μ N Μ N Λ Λ Μ Λ k k Μ Nk 4 E = Σ i P i, no caso e uma variável aleatória iscreta

21 3 Sejam S i os N ativos consieraos no moelo Poemos efinir uma carteira θ como o vetor que mostra a parcela e um investimento comprometia com caa ativo i O valor a carteira no instante t será ao pelo prouto o vetor θ pelo vetor formao pelos ativos S i, e moo que N S' θ = S t θ : t i= i i S' θ = [ S S Λ ] t S N θ θ Μ θ N O payoff a carteira θ, no instante t, será ao pelo prouto o vetor θ pela matriz D D'θ, e moo que o payoff em caa estao j seja ao por ij t θ i N i= : D' θ = Μ k Μ k Λ Λ Μ Λ N θ θ Μ Μ Nk θ N Poe-se efinir uma carteira e arbitragem, ou simplesmente uma arbitragem, se uma as seguintes conições for satisfeita: S'θ 0 e D'θ > 0 ou S'θ < 0 e D'θ 0 De acoro com esta efinição, uma carteira e arbitragem θ garante um retorno positivo a custo zero, ou negativo, gerano uma receita presente Outra possibiliae é a e que a arbitragem gere uma receita presente custo negativo sem gerar esembolso futuro, ou seja, garantio um retorno positivo ou nulo Sejam ϕ j os preços e estao associaos a caa um os k estaos a natureza:

22 4 ϕ ϕ Μ ϕ k NEFTCI 996 enuncia o teorema que generaliza a iscussão sobre conições para a ocorrência e arbitragem: Se não existem oportuniaes e arbitragem, então existe ϕ > 0 tal que: S = Dϕ 3 Se a conição é veraeira, não existe oportuniae e arbitragem Isto significa que, num muno em que não existam oportuniaes e arbitragem, sempre existirão k preços e estao ϕ j maiores o que 0, tais que: B S = Μ Μ S N N Μ N Λ Λ Μ Λ ϕ k ϕ Μ Μ Nk ϕ k Note-se que, na primeira linha, os payoffs são constantes e iguais a O retorno o primeiro ativo é o mesmo, não importa qual estao a natureza se realize: é o ativo livre e risco O valor presente e uma uniae monetária no futuro, livre e risco, é ao k 0 ϕ j j= pelo somatório e toos os K preços e estao, ϕ = 3 - Probabiliaes neutras a risco em moelos e tempo contínuo BLACK e SCHOLES 973 e MERTON 973 tornaram popular o uso o cálculo estocástico no estuo e finanças, ao utilizarem moelos e processos estocásticos em tempo contínuo para analisar a evolução os preços os ativos Este tipo e aboragem foi utilizao, pela primeira vez, na tese e outorao Théorie e la Spéculation, apresentaa à Universiae e Paris pelo francês Louis Bachelier, em O trabalho e Bachelier era tão original que foi finalizao cinco 5 Sua tese, orientaa pelo célebre matemático francês Henri Poincaré, também está reprouzia em The Ranom Character of Stock Market Prices, eitao por Paul Cootner MIT Press, 964

23 5 anos antes e Albert Einstein propor a teoria matemática o movimento browniano 6, ao estuar o movimento e moléculas e gás o tabalho e Einstein foi aprofunao e sistematizao por Norbert Wiener, em 93 A proposta e Bachelier, no entanto, pressupunha que o preço os ativo financeiros seguissem o que é hoje conhecio como movimento browniano ou processo e Wiener 7 SMITH 976 mostra que essa hipótese tem implicações economicamente inaceitáveis, como probabiliaes positivas e ocorrência e preços negativos, para o ativo objeto, e maiores que o o ativo objeto, para a opção Mais e meio século epois o trabalho e Bachelier, o estatístico inglês Maurice Kenall sugeriu, em trabalho apresentao à socieae britânica e estatística 8, que os preços e ações e commoities seguiam um ranom walk passeio aleatório JACKWERTH 999 atribui a M Osborne 9 a proposição e que os ativos seguem um movimento browniano geométrico, também conhecio como processo e Itô - hipótese aotaa por BLACK e SCHOLES 973 e MERTON Dao que a hipótese aotaa pelo moelo Black-Scholes-Merton para escrever a trajetória o ativo objeto é a e que ela segue um processo e Itô, o teorema e Girsanov estabelece as conições em que se poe alterar o parâmetro e tenência o processo, reefinino-o em relação a uma estrutura e probabiliae equivalente - justamente o que é necessário para se obter probabiliaes neutras a risco Portanto, o teorema e Girsanov é a ferramenta necessária para a efinição e probabiliaes neutras a risco, no contexto o moelo Black-Scholes-Merton SUNDARAM 997 utiliza um moelo simples e ois ativos, um livre e risco e outro sujeito a risco, para apresentar os principais pressupostos, implicações e conclusões a avaliação neutra a rico num contexto e tempo contínuo A taxa e juro r, capitalizaa continuamente, é suposta constante O preço o ativo livre e risco evolui então e acoro com a equação iferencial orinária B = r B t O ativo em risco evolui e acoro com a seguinte equação iferencial estocástica é o moelo conhecio como movimento browniano geométrico ou processo e Itô: 6 Descrito pela primeira vez, em 87, pelo botânico Robert Brown, ao observar o movimento e pequenas partículas suspensas num líquio 7 Isso implica numa igual probabiliae e alta ou quea o preço, a caa instante, em valores absolutos 8 "The Analysis of Economis Time Series, Part I Prices", citao em BREALEY e MYERS No artigo "Brownian Motion in the Stock Market", publicao em 959, no vol 7 e Operations Research, pp citao em JACKWERTH, Essa hipótese implica em probabiliaes e alta e quea o preço, a caa instante, em valores relativos, inepenentes o seu valor absoluto

24 6 S, t t β S, t W S = α + one α é a tenência instantânea o processo, β é a variância instantânea, e W é um processo e Wiener, ou movimento browniano Poe-se então efinir um processo e preço escontao Z, em que a taxa e crescimento o ativo em risco é escontaa à taxa livre e risco: Z = S/B O lema e Itô poe ser então utilizao para erivar os parâmetros µ e σ o processo escontao Daa uma variável aleatória S que siga um processo e Itô, S, t t S, tw S = α + β, o lema e Itô mostra que uma função F e S segue um processo: F F F F = S + t + S S t S Basta calcular S, consierano que t 0, tew = 0, e EW =, e reagrupar os termos para verificar que: F F F F F = α + + β t + β W S t S S one W é o mesmo processo e Wiener presente em S Portanto, F também segue um processo e Itô Consierano o processo seguio por Z, que é função e S Z = S/B, temos então: Z = µ t + σ W one µ Z S Z t Z S Z = S = α + + β, e σ β Em relação à probabiliae neutra a risco, o processo escontao Z eve ser martingal Isto significa que a muança e valor esperaa para Z, a caa instante, eve Uma variável que segue um processo e Wiener é contínua e tem incrementos inepenentes e estacionários ao longo o tempo, istribuíos normalmente, com méia zero e variância t Um processo e Wiener poe ser escrito por: w = ε t t, seno ε t uma variável aleatória normalmente istribuía, e méia 0 e variância Logo, Ew = 0 e σ w = t HULL 997 mostra uma emonstração bastante iática, sem rigor formal, o lema e Itô NEFTCI 996 apresenta o assunto e

25 7 ser zero, o que só é possível se o parâmetro e tenência o processo for zero Portanto, o parâmetro e tenência e Z, que é µ sob a estrutura e probabiliae original, eve ser zero sob uma estrutura e probabiliae neutra a risco E esta estrutura tem e ser equivalente à estrutura original, ou seja, o conjunto e valores que possuem probabiliaes positivas eve ser o mesmo sob ambas as estruturas O teorema e Girsanov estabelece as conições para que isto aconteça A obtenção e probabiliaes neutra a risco equivalentes se baseia na escolha conveniente e um fator λ, que é utilizao para reefinir o processo e Wiener W, gerano um processo martingal para Z, em relação à nova estrutura e probabiliae A escolha conveniente é fazer com que λ seja a razão entre o parâmetro e tenência o µ processo µ, e a sua volatiliae σ : λ = Define-se então um processo estocástico N σ tal que: N = λ t + W Seja então um novo processo estocástico Z', e tenência zero e mesma volatiliae que Z, tal que Z' = 0t + σn Um simples algebrismo mostra que: Z ' = σn = σ λ t + W µ = σ t + W σ = µ t + σw = Z Portanto, Z' é iêntico a Z, o que faz com que possamos reefinir Z em termos e N, como um processo e tenência zero Ou seja, Z = µ t + σ W σ N O teorema e Girzanov garante que N será um processo e Wiener, sob a nova estrutura e probabiliae, e que ela será equivalente à o processo original, se o processo ξλ for martingal sob a estrutura e probabiliae original O processo ξλ é forma etalhaa, e inica fontes aicionais e consulta

26 8 λ S + λ W 0 0 efinio como seno ξ λ = e 3 t t 4 Aspectos técnicos a avaliação neutra a risco O tema a avaliação neutra a risco emana uma iscussão extremamente técnica, caso se queira iscutir os aspectos formais, os pressupostos aotaos e as restrições aplicáveis à análise Foram apresentaos nesta issertação apenas os conceitos funamentais, em termos intuitivos, omitino-se etalhes técnicos, especialmente no que se refere à extensão a análise ao caso contínuo SUNDARAN 996 apresenta o assunto e forma intuitiva, sem formalismo, e utiliza um moelo binomial simples para introuzir os conceitos e forma iática O caso contínuo é apresentao, incluino uma breve iscussão o teorema e Girsanov NEFTCI 996 faz uma exposição etalhaa a avaliação neutra a risco, tanto no contexto iscreto quanto no caso contínuo - especialmente o moelo Black-Scholes- Merton Discute com especial atenção o teorema e Girsanov, seus pressupostos e suas conseqüências Apesar e omitir alguns etalhes técnicos e emonstrações, fornece uma extensa lista e referências mais completas ou formais, com breves iscussões a respeito e caa uma 5 - A avaliação neutra a risco em operação SUNDARAM 997 sintetiza o processo e eterminação o preço e um erivativo, através a avaliação neutra a risco: Ientifica-se a istribuição e probabiliae neutra a risco, ou meia martingal equivalente, associaa ao moelo; Utilizano-se esta meia, calcula-se o valor esperao os payoffs proporcionaos pelo erivativo, e 3 Desconta-se o resultao obtio à taxa livre e risco Portanto, para que a avaliação neutra a risco seja possível, é necessário eterminar, e alguma forma, as probabiliaes neutras a risco associaas ao moelo, a 3 Assegurar que ξλ é martingal não é uma tarefa trivial, mas nos casos em que é satisfeita a conição e Novikhov t λ S 0 E[ e ] <, poe-se afirmar que ξλ é martingal

27 9 partir as informações isponíveis Uma alternativa é moelar a inâmica o preço o ativo objeto, até o vencimento, eterminano a istribuição e probabiliae associaa a esta trajetória no vencimento, consierano-se a hipótese e neutraliae a risco A outra alternativa é tentar eterminá-las empiricamente, a partir os preços negociaos em mercao, utilizano métoos paramétricos ou não-paramétricos Esta issertação apresenta um exemplo e utilização a seguna aboragem, através e um métoo não-paramétrico, esenvolvio por SHIMKO 993, a partir e resultaos teóricos euzios por BREEDEN e LITZENBERGER 978 O métoo tem um apelo bastante intuitivo, e sua implementação é simples, não requereno nenhum tipo e ferramenta matemática ou computacional sofisticaa apenas resultaos elementares e cálculo iferencial e integral, e o uso e uma planilha e cálculo em microcomputaor 3 O resultao e Breeen e Litzenberger ROSS 976 analisa o fato e que opções simples sobre os ativos negociaos em mercao poem ser combinaas, e forma a refletir os iferentes preços e estao, e verifica que elas aumentam a eficiência os mercaos por possibilitarem a replicação e contratos complexos BREEDEN e LITZENBERGER 978 mostram então que é possível encontrar, a partir os preços e opções e compra eterminaos pelo mercao, os preços e estao associaos a caa possível "estao a natureza" futuro Os estaos a natureza são representaos, na aboragem e BREEDEN e LITZENBERGER 978, pelo espectro e valores que um ativo ou carteira e ativos poe alcançar no futuro, pois caa valor poe ser interpretao como o resultao a ocorrência e um eterminao estao a natureza Um "erivativo elementar" e um ativo, ou carteira e ativos, já efinio anteriormente como ativo Arrow-Debreu, é um título que paga $ numa eterminaa ata T, se o valor o ativo ou carteira for S naquela ata; caso contrário, o erivativo elementar expira sem pagar naa Este erivativo elementar poe ser criao por meio e posições compraas e venias em opções e compra sobre o ativo objeto, com iferentes preços e exercício, toas expirano em T O preço o erivativo elementar tem e ser o custo a carteira e opções e compra que possua um payoff equivalente ao seu Supono que o valor o ativo objeto S, no instante T, possua um istribuição e probabiliae iscreta, com possíveis valores e $, $, $3,, N, os valores as opções

28 0 e compra C,T referentes a S, com preços e exercício iguais a $0, $ e $, e vencimento em T, são representaos por: Ativo Objeto C 0,T C,T C,T S T = 0 0 S T = 0 S T = 3 3 S T = S T = N N N - N - Quano o preço e exercício passa e para +, o payoff o estao S = + se torna zero, e os payoffs e toos os estaos tais que S > + são reuzios e Neste exemplo, C 0,T - C0+,T tem como resultao um payoff e $ em caa estao one S, e C0+,T - C0+, T resulta num payoff e $ em caa estao one S = 0 3 Μ Μ Μ N N = Μ Μ Μ N N A carteira formaa por [C 0,T - C,T] - [C,T - C,T] tem como resultao um payoff e $ se S=, e zero caso contrário: = Μ Μ Μ O erivativo elementar para qualquer valor e S em T poe ser construío e maneira similar O custo a carteira e opções que replica o erivativo elementar fornece

29 o preço e estao a ele associao Essa carteira será formaa pela compra e uma opção e compra com preço e exercício = S- e e outra com = S+, além a vena e uas opções e compra com = S Assumino-se um intervalo genérico entre os possíveis valores o ativo objeto igual a S, então C,T - C+ S,T tem um payoff igual a zero para S, e S para valores maiores que Portanto, uma carteira que prouza um pagamento e $ se o ativo objeto é S, e zero caso contrário, será formaa por / S vezes a combinação montaa para o caso o intervalo unitário O valor atual essa carteira será então: P S, T; S = T S {[ C S S, T C S, T ] [ C S, T C S + S, ]} À meia que os intervalos e preço S tenem a zero, os possíveis valores e S tenem a assumir uma istribuição contínua Poe-se efinir então uma ensiae e valor para S como o limite a razão o preço a carteira pelo tamanho S o intervalo, quano S tene a zero: P S, T; S S = S {[ C S S, T C S, T ] [ C S, T C S + S, ]} T P S, T; S = S lim S 0 C, T =S C Portanto, assumino-se que C,T é uplamente iferenciável em, o valor e, t, calculao para =S, á o valor a função e preço e estao e S para o caso contínuo O preço e estao em caa ponto é igual ao valor escontao, à taxa livre e risco, a probabiliae neutra a risco a ele associaa Vale então a relação: C, T r T t =S = e f S one S é o preço o ativo objeto, é o preço e exercício, T-t é o prazo e maturiae a opção e compra européia sobre S, e r é a taxa e juros Este mesmo resultao poe ser obtio e maneira ireta, a partir a relação

30 funamental enunciaa por CO e ROSS 976: r T t C, t = e S f S S T T T Derivano C,t em relação a, e acoro com a regra e Leibniz para erivação e integrais, e calculano este resultao para =S, obtemos a istribuição acumulaa e probabiliae neutra a risco Seja a função C efinia por: C = h g c, S S one g e h são os limites e integração expressos como função e Neste caso, HILLIER e LIEBERMAN 988 mostram que: C h h = c, S S = g g c, S S + c h [, h ] c[, g ] g Seno c, S = S f S, g = e h = α, temos: c, S = f S h ; = = 0 ; c[, g ] = f = 0 Então: C = h g c, S S = S f S S = f S S = f S S Sabemos que x x = f x x + t f f x x, e que t f S S = Então: f S S = f S S = F S

31 3 Portanto, C, t r T t =S = e [ F S ] T Derivano este resultao uma seguna vez, e novamente calculano seu valor em =S, obtemos o resultao e BREEDEN e LITZENBERGER 978: C, T r T t =S = e f ST one fs T é a função ensiae e probabiliae neutra a risco e S, no vencimento 4 A técnica e Shimko SHIMKO 993 esenvolveu um engenhoso métoo e implementação a técnica sugeria por BREEDEN e LITZENBERGER 978 Para que se possa calcular as necessárias erivações os preços e opções e compra, é preciso encontrar funções e preço "suaves", ou seja, contínuas e eriváveis em toos os pontos Como não existe um espectro contínuo e preços e exercício, para as opções negociaas em mercao, torna-se necessário interpolar os valores observaos Após analisar iversas possibiliaes e interpolação, consierano inicialmente os preços e opções iretamente observaos no mercao, SHIMKO 993 optou por utilizar as volatiliaes implícitas obtias a partir a fórmula Black-Scholes Uma parábola, obtia a partir o métoo e mínimos quaraos, foi interpolaa entre os valores observaos Os valores interpolaos corresponem à volatiliae até o vencimento, v = σ τ A função v = A 0 + A + A é usaa para gerar um intervalo contínuo e volatiliaes implícitas que, via fórmula Black-Scholes, são utilizaas para gerar valores interpolaos e preços e opções Estes valores são então iferenciaos, gerano as funções e istribuição acumulaa e e ensiae e probabiliae neutra a risco implícitas nos preços A forma quarática e interpolação permite que as erivaas a função preço as opções, em relação ao preço e exercício, sejam calculaas analiticamente

32 4 "Smile" as Volatiliaes Implícitas nas Opções e C ompra e D ólar C omercial, negociaas na BM&F no ia ,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 V olatiliaes Interpolaas Volatiliaes Implícitas Black-Scholes 0,0 0,7,75,8,85,9 Figura SHIMKO 993 enfatiza que a fórmula Black-Scholes é utilizaa apenas com uma transformação e variáveis, pois a técnica proposta pretene justamente relaxar a hipótese funamental o moelo Black-Scholes-Merton: e que a istribuição e probabiliaes o preço o ativo objeto, no vencimento, é lognormal A istribuição neutra a risco só é geraa para valores situaos entro o intervalo observao e preços e opções As probabiliaes referentes aos valores situaos fora o intervalo são calculaas como istribuições lognormais, traçaas e forma a gerar os mesmos valores e volatiliae e probabiliae que os obtios, por meio o moelo, para os pontos extremos A istribuição final é formaa pela junção as três partes 5 Outras Técnicas A pesquisa em finanças vem se eicano, com interesse crescente, ao estuo as probabiliaes neutras a risco e os processos estocásticos seguios pelos preços os ativos RUBINSTEIN 994, JACKWERTH e RUBINSTEIN 996 e JACKWERTH 999 associam o aumento este interesse à ocorrência o crash as bolsas norteamericanas com repercussões nas bolsas e too o muno, em outubro e 987 Não é por acaso que um os trabalhos pioneiros na área tenha sio motivao pelo tema: em "The Crash of '87: Was It Expecte? The Evience from Options Markets", Davi S Bates

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