GUSTAVO TERRA BASTOS COMPARAÇÃO DE TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DE IDEMPOTENTES GERADORES DE CÓDIGOS ABELIANOS

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1 GUSTAVO TERRA BASTOS COMPARAÇÃO DE TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DE IDEMPOTENTES GERADORES DE CÓDIGOS ABELIANOS Dssertação apresentada à Unversdade Federal de Vçosa, como parte das exgêncas do Programa de Pós-Graduação em Matemátca, para obtenção do título de Magster Scentae. VIÇOSA MINAS GERAIS - BRASIL 03

2 Fcha catalográfca preparada pela Seção de Catalogação e Classfcação da Bbloteca Central da UFV T Bastos, Gustavo Terra, 986- B37c Comparação de técncas para o cálculo de dempotentes 03 geradores de códgos abelanos / Gustavo Terra Bastos. Vçosa, MG, 03. v, 8f. : l. ; 9cm. Orentador: Marnês Guerrero Dssertação mestrado - Unversdade Federal de Vçosa. Referêncas bblográfcas: f Teora dos grupos.. Álgebra. I. Unversdade Federal de Vçosa. Departamento de Matemátca. Programa de Pós-Graduação em Matemátca. II. Título. CDD. ed. 5.

3 GUSTAVO TERRA BASTOS COMPARAÇÃO DE TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DE IDEMPOTENTES GERADORES DE CÓDIGOS ABELIANOS Dssertação apresentada à Unversdade Federal de Vçosa, como parte das exgêncas do Programa de Pós-Graduação em Matemátca, para obtenção do título de Magster Scentae. APROVADA: de feverero de 03. Cícero Fernandes de Carvalho Rogéro Carvalho Pcanço Allan de Olvera Moura Coorentador Raul Antono Ferraz Coorentador Marnês Guerrero Orentadora

4 Não há camnho errado. O aprendzado e a experênca estão em todos os camnhos. Gasparetto

5 Agradecmentos Em prmero lugar, gostara de agradecer a Deus pela oportundade de ter uma vda maravlhosa, ao lado de pessoas que fazem valer a pena cada mnuto vvdo. Só Ele sabe o quanto eu deseje chegar aonde estou e sempre esteve ao meu lado em todos os momentos. Obrgado Pa por sempre me lumnar e me guar. Não exstem palavras para expressar o quanto eu sou agradecdo por ter os meus pas Arlndo e Luza e os meus rmãos Felpe e André como base da mnha vda. Obrgado por serem o meu maor orgulho. Este momento não sera possível se não fossem os números sacrfícos fetos desde os estudos ncas. Esta é uma vtóra nossa! A mnha namorada, amga e pscóloga Marela, obrgado por estar comgo sempre: na alegra, na trsteza e na nsôna. Algumas vezes você acredtou mas em mm do que eu mesmo. Você é um grande exemplo para mm e me espelho sempre em você para me tornar uma pessoa melhor. Te amo! Já dza Machado de Asss: Bendtos sejam todos os amgos de raízes, verdaderos. Porque amgos são herderos da real sagacdade. Ter amgos é a melhor cumplcdade!. Sou muto grato por ter feto grandes amgos em Vargnha, Campestre PMMG, São João del Re e Vçosa os amgos do Mestrado, em especal, as Alanas, Anna Paula, Fernanda e Mchely que nesta etapa dvdram momentos de dversão, de estudos e de nsôna comgo. Obrgado pela palavra amga e pelos bons momentos que dvdmos! A mnha orentadora Marnês, obrgado por confar em mm, pela pacênca e pelos ensnamentos repassados. Aos co-orentadores Raul e Allan, agradeço as sugestões dadas para a melhora do trabalho desenvolvdo. Também gostara de agradecer aos professores Cícero e Rogéro pela partcpação na banca avaladora e pelas contrbuções dadas a este trabalho. Obrgado aos mestres da graduação e do mestrado por todo conhecmento matemátco repassado durante estes anos. Em especal, muto obrgado aos professores Anderson e Rogéro por confarem em mm e acredtarem no meu potencal. Obrgado Paulo, Mram e Sr. Jar por todo suporte burocrátco/admnstratvo e, claro, pelo cafeznho! Obrgado à CAPES pelo apoo fnancero.

6 Sumáro Resumo v Abstract v Introdução Prelmnares Algébrcos 5. Tópcos de Teora dos Números Anés de Grupo Fatos Báscos Semssmplcdade Álgebras de Grupo de Grupos Abelanos Introdução à Teora dos Códgos 8. Códgos Corretores de Erros Métrca de Hammng Códgos Lneares Códgos Cíclcos Códgos Abelanos Mnmas 3 3. O Número de Componentes Smples Códgos Cíclcos Mnmas v

7 3.3 Códgos Abelanos Mnmas Subgrupos e Idempotentes A λ-aplcação e os Idempotentes Prmtvos em Anés Semssmples A λ-aplcação e as classes cclotômcas Idempotentes Prmtvos em R m = F l[x] x m Códgos Abelanos Bnáros Mnmas Resultados Auxlares Códgos Abelanos Mnmas Bnáros Idempotentes Prmtvos Códgos em F C p C q Códgos em F C p m C q n, para m, n Códgos em F C p C p C p Idempotentes Prmtvos de F C C Comparação de técncas para códgos de comprmento p n q Exemplos Comparatvos Idempotentes Prmtvos de R 45 = F 3[x] x Idempotentes Prmtvos de F 3 C 49 C Idempotentes Prmtvos em F l C p n C q Consderações Fnas Referêncas Bblográfcas 8 v

8 Resumo BASTOS, Gustavo Terra, M.Sc., Unversdade Federal de Vçosa, Feverero de 03. Comparação de técncas para o cálculo de dempotentes geradores de códgos abelanos. Orentador: Marnês Guerrero. Coorentadores: Allan de Olvera Moura e Raul Antono Ferraz. Neste trabalho, desenvolvemos um estudo de técncas polnomal e de álgebra de grupo de grupos abelanos para o cálculo de dempotentes prmtvos em anés semssmples, sob certas hpóteses. Estes dempotentes prmtvos podem ser vstos como geradores de códgos abelanos mnmas. Apresentamos resultados recentes para ambas as técncas e, a partr de exemplos, realzamos um estudo comparatvo das mesmas. Nesta comparação, dentfcamos possíves erros na técnca polnomal abordada e propomos as devdas correções para o caso de códgos de comprmento p n q, utlzando ambas as abordagens para a demonstração do resultado correto. v

9 Abstract BASTOS, Gustavo Terra, M.Sc., Unversdade Federal de Vçosa, February, 03. Comparson of technques for the computaton of the generator dempotents of abelan codes. Advser: Marnês Guerrero. Co-advsers: Allan de Olvera Moura and Raul Antono Ferraz. In ths work, under certan hypotheses, we study two technques for the computaton of prmtve dempotents n semssmple rngs, namely, the polynomal and the group algebra technques, the latter for abelan groups. These prmtve dempotents can be seen as generator dempotents of mnmal abelan codes. We present recent results for both technques and, wth examples, we compare them. In ths comparson, we dentfy possble errors n the polynomal technque and we propose the correctons for the case of codes of length p n q, usng the both approaches to prove the correct result. v

10 Introdução A transmssão de dados através dos meos de comuncação sofrem a nterferênca de fatores externos, como por exemplo, os campos magnétcos, o que pode ocasonar dstorção nas mensagens transmtdas, sendo que em alguns casos, não é possível ou desejável que essa mensagem seja retransmtda. A Teora de Códgos Corretores de Erros busca adconar nformação a essa mensagem, para que possíves erros possam ser detectados e corrgdos. A teora básca adotada neste trabalho pode ser vsta em [3] e [9]. A utlzação de teoras matemátcas mas avançadas permtu desenvolver códgos com parâmetros melhores e mas elaborados. Uma classe especal de códgos corretores de erros, e que será usada constantemente neste trabalho, é a classe dos códgos lneares. Um códgo lnear é um subespaço própro do espaço vetoral F n q, onde F q é um corpo fnto com q elementos e n é um número natural. Em partcular, um códgo lnear C é dto cíclco se, para qualquer palavra v 0, v,..., v n em C, a palavra v n, v 0,..., v n também está em C. Os códgos cíclcos são muto utlzados por formarem uma classe de códgos lneares que possu bons algortmos de codfcação e de decodfcação. É smples verfcar que as estruturas algébrcas F n q e R n = F q[x] são somorfas e, em x n partcular, qualquer códgo cíclco de F n q é somorfo a um deal não trval de R n. Anda, sob certas condções, o anel R n é semssmples e pode ser decomposto como soma dreta de deas mnmas, de acordo com o Teorema de Wedderburn-Artn [7]. Como qualquer deal em R n é escrto como soma de alguns deas mnmas e todo deal mnmal de um anel semssmples é gerado por um dempotente prmtvo, então estudar códgos cíclcos é equvalente a estudar dempotentes prmtvos geradores dos deas mnmas de R n. Uma outra abordagem para o estudo de códgos corretores de erros é utlzar a estrutura algébrca chamada álgebra de grupo, cuja teora básca pode ser encontrada em [7] e []. Observamos que o espaço vetoral F n q também pode ser construído a partr de um somorfsmo entre F n q e a álgebra de grupo F q C n, onde C n é o grupo cíclco de ordem n. Este somorfsmo estabelece uma correspondênca entre os códgos cíclcos de F n q e os deas da álgebra de grupo F q C n. Desta manera, os códgos cíclcos também serão vstos

11 como deas de F q C n. Seja FG a álgebra de grupo de um grupo G sobre um corpo F. Estendendo os resultados sobre grupos cíclcos, S.D.Berman [3] e F.J MacWllams [8] defnram códgos abelanos como deas própros na álgebra de grupo de um grupo abelano sobre um corpo fnto. Já para códgos sobre grupos não abelanos, podemos ctar os trabalhos [8] e [5]. Por fm, de forma geral, em [5] os autores defnem códgos de grupo sobre grupos fntos quasquer. Um elemento e FG é dempotente se e = e. Observamos anda que um elemento em FG é central se ele comuta com todos os outros elementos da álgebra. Um dempotente central não nulo e é chamado prmtvo se ele não pode ser decomposto na forma e = e +e, onde e e e são ambos dempotentes centras não nulos tas que e e = e e = 0. Em uma álgebra de grupo FG, quando carf G, os dempotentes prmtvos centras são geradores dos deas blateras mnmas. Dos dempotentes e e e são ortogonas se e e = e e = 0. Em partcular, o conjunto dos dempotentes prmtvos de FG geram os deas mnmas de FG, aos quas nos refermos como códgos mnmas. Os ndanos Pruth e Arora [3] e [] desenvolveram técncas para apresentar os dempotentes prmtvos dos anés R m = F q[x] x m, onde m = pn ou m = p n, para p um prmo ímpar, n um ntero postvo e q é uma raz prmtva módulo p n. Em [], Ferraz e Polcno Mles obtveram, para o anel F q C m, os mesmos dempotentes prmtvos e é notóro que a lnguagem e a expressão destes elementos se mostraram muto mas smples do que em [3] e []. O cálculo dos dempotentes é dreto e depende essencalmente da estrutura dos subgrupos de C m. Nos últmos anos estes resultados foram estenddos. Em [6], va a abordagem polnomal, é possível expressar os dempotentes prmtvos para anés do tpo R m, onde r m = p α, com cada p um número prmo postvo, p p j, para j r. = Já em [6], a partr da abordagem de álgebras de grupo, são exbdos os dempotentes prmtvos de F G p G q, onde G p e G q são p e q-grupos abelanos, respectvamente. Em ambas as técncas, exstem restrções sobre a característca do corpo sobre o qual estão defndos os códgos. Dado G um grupo abelano e H um subgrupo de G, dzemos que H é um subgrupo co-cíclco de G se o grupo quocente G/H é não trval e cíclco. Em [0], os autores tratam de uma generalzação das hpóteses sobre a ordem do grupo abelano G e apresentam a expressão dos dempotentes prmtvos que dependem dos subgrupos co-cíclcos de G. Neste trabalho apresentamos as abordagens polnomal e de álgebra de grupo para o cálculo dos dempotentes geradores de códgos abelanos, a partr do estudo detalhado dos artgos [6], [] e [6]. Além dsso, exbmos exemplos para casos partculares, que nos apontam quas as vantagens e desvantagens de cada técnca. Por fm, explctamos os

12 3 dempotentes prmtvos da álgebra de grupo F l C p n C q, onde l, com o auxílo da técnca polnomal. O Capítulo desta Dssertação está dvdo em duas seções. Na prmera, defnmos o que são resíduos quadrátcos e não quadrátcos módulo um ntero m e apresentamos alguns resultados mportantes da Teora de Números utlzados, em especal, no Capítulo 4. Na segunda seção defnmos o que é uma álgebra de grupo e exbmos alguns resultados da teora mportantes para este trabalho. Vale destacar o Teorema de Perls-Walker sobre a decomposção da álgebra de grupo de grupos abelanos e a sua demonstração. Este resultado é fundamental para determnar o número de códgos mnmas em uma álgebra de grupo de um grupo abelano. No Capítulo, apresentamos uma ntrodução à Teora de Códgos Corretores de Erros ou smplesmente Teora de Códgos, defnndo códgos lneares e códgos cíclcos, que são de nteresse especal para este trabalho. Além dsso, sob certas hpóteses, relaconamos códgos mnmas va as abordagens polnomal e de álgebra de grupo. O Capítulo 3 é dedcado ao estudo dos códgos abelanos mnmas. Incamos com os resultados de Ferraz [9], onde é feto um paralelo entre o comportamento do número de componentes smples em uma álgebra de grupo raconal, que mostra-se como um lmtante nferor, va o Teorema de Perls-Walker, para o número de componentes smples de uma álgebra de grupo semssmples sobre corpos fntos. Sob certas hpóteses, defnmos álgebras de grupo que se comportam, com relação ao número de componentes smples, como uma álgebra de grupo raconal e assm descrevemos todos os dempotentes prmtvos para casos partculares do tpo p n e p n, análogos aos trabalhos [3] e []. Estes resultados são fundamentas e sugerem a expansão desta técnca para casos mas geras. Na últma seção estendemos estes resultados para álgebras de grupo semssmples FG, onde G é um grupo abelano fnto e F um corpo fnto. Por fm, relaconamos os subgrupos co-cíclcos com os dempotentes prmtvos da álgebra de grupo. Um exemplo partcular desta técnca é apresentado no últmo capítulo para fns de comparação. No Capítulo 4, apresentamos a λ-técnca, baseada em [6]. Para um número natural r r e um ntero m = p α, com cada p um número prmo postvo, p p j, l uma = raz prmtva módulo p α ϕp α α j j, onde mdc = para cada j r e, ϕp l coprmo com m, defnmos uma bjeção, conhecda por λ-aplcação, entre os conjuntos A A... A r e A, onde A = {0,,,..., p α }, para cada r e A = {0,,,..., m}, que nos permte defnr e expressar todas as classes l cclotômcas módulo m. Com estes resultados, a λ-técnca propõe a descrção dos dempotentes prmtvos do anel R m = F l[x] a partr das expressões dos dempotentes prmtvos dos X m anés R α p = F l [X], construídos a partr dos conjuntos de resíduos quadrátcos e não X pα

13 4 quadrátcos módulo p α, para cada r. Um exemplo é apresentado no últmo capítulo para fns de comparação entre as técncas. Como um caso partcular do Capítulo 3, no Capítulo 5 descrevemos os códgos cíclcos bnáros mnmas de F C p C p, F C p m C p n e F C p C p C p3, onde p, p e p 3 são prmos ímpares dstntos dos a dos e m e n são nteros postvos. Por fm, apresentamos um exemplo completo de um caso partcular. No Capítulo 6, exbmos todas as expressões dos dempotentes prmtvos da álgebra de F 3 [X] grupo F 3 C 49 C 5 e do anel, onde observamos dferenças entre as expressões x 45 dadas, o que nos sugerem possíves erros na λ-técnca, uma vez que, com o uso do software MAPLE, as expressões obtdas a partr da técnca de álgebra de grupo se mostraram ser de fato dempotentes. Anda, na Seção do Capítulo 6, apresentamos todas as expressões dos dempotentes prmtvos da álgebra F l C p n C q onde l é o mesmo prmo postvo que satsfaz as hpóteses dadas no Capítulo 4, com o auxílo das expressões dadas em []. Com estas expressões, sugermos correções para as expressões obtdas a partr da λ-técnca.

14 Capítulo Prelmnares Algébrcos. Tópcos de Teora dos Números Nesta seção apresentamos a defnção de resíduos quadrátcos e não quadrátcos módulo p, onde p é um número prmo, e alguns resultados que são utlzados neste trabalho. Como referêncas para as demonstrações dos resultados ndcamos [] e [7]. Defnção... Seja m um número ntero postvo. Para todo a Z tal que mdca, m =, a é dto um resíduo quadrátco módulo m se a congruênca x a mod m possu pelo menos uma solução, caso contráro, dzemos que a é um resíduo não quadrátco módulo m. Podemos consderar como resíduos quadrátcos ou não quadrátcos somente os elementos do sstema completo de resíduos módulo m {,..., m }. De fato, se a é resíduo quadrátco módulo m respectvamente resíduo não quadrátco, então a + m é resíduo quadrátco módulo m respectvamente resíduo não quadrátco. Defnção... Sejam p um prmo ímpar e a Z. O símbolo de Legendre defndo por: a := p, se a é um resíduo quadrátco módulo p;, se a é um resíduo não quadrátco módulo p; 0, se p a. Teorema..3 [], Teorema 3.. Sejam p um prmo ímpar e a, b Z. Então: a p é a p a p a p mod p. b p = ab. p 5

15 6.. Anés de Grupo Se a b mod p, então v Se mdca, p =, então v p = e a p = a p = p p. b p. = e a b = p Teorema..4. Le da Recprocdade Quadrátca de Gauss Se p e q são prmos ímpares dstntos, então p q = p q q p Observação..5. Se p e q são prmos ímpares dstntos da forma 4k + 3, então uma das congruêncas x p mod q e x q mod p é solúvel e a outra não. Se pelo menos um dos prmos é da forma 4k +, então ambas as congruêncas x p mod q e x q mod p são ou solúves ou não solúves. Observação..6. De acordo com a Defnção.. e [7, Teorema 79], podemos escrever Z p = {0} R N, onde R denota o conjunto dos resíduos quadrátcos módulo p, N o conjunto dos resíduos não quadrátcos módulo p e R = N = p. Observação..7. Da defnção de resíduos quadrátcos, para qualquer prmo p, claramente R. Além dsso, se { gera U Z p, então } N. De fato, suponha R. Assm, Z p \ {0} = U Z p =, =,..., ϕp = R, de acordo com o Teorema..3. Portanto, Z p = {0} R, que é um absurdo. Lema..8 [7], Teorema 83. Seja p um prmo ímpar. O elemento é um resíduo quadrátco em Z p se, e somente se, p mod 4. b p.. Anés de Grupo Nesta seção ntroduzmos a defnção de anel de grupo e, em partcular, de álgebra de grupo. Além dsso, dscutremos condções sobre um grupo G e sobre um anel R para que o anel de grupo RG seja semssmples e demonstraremos o Teorema de Perls-Walker. As demonstrações omtdas podem ser encontradas em []... Fatos Báscos Seja G um grupo e R um anel com undade. Denotemos por RG o conjunto de todas as combnações lneares da forma α = g G a g g,

16 7.. Anés de Grupo onde a g R e a g = 0, para quase todos g G, sto é, somente um número fnto de coefcentes são dferentes de 0 em cada soma. Dado um elemento α = g G a g g, defnmos o suporte de α como sendo o subconjunto de elementos de G que efetvamente aparecem na expressão de α, sto é: suppα = {g G : a g 0}. Uma conseqüênca medata da defnção é que, dados dos elementos α = g G a g g e β = g G b g g RG, temos α = β se, e somente se, a g = b g, para todo g G. Defnmos a soma de dos elementos em RG componente a componente, sto é, a g g + b g g = g + b g g. g Ga g G g G Agora, dados dos elementos α = g G a g g e β = g G b g g RG, defnmos o produto deles por αβ = g,h G a g b h gh. Reordenando os termos na fórmula acma, podemos escrever o produto αβ como αβ = u G d u u, onde d u = gh=u a g b h. Com as operações acma, RG é um anel com undade RG = g G u g g, onde o coefcente correspondente a undade do grupo é gual a G e u g = 0, para todos os outros elementos de G. Defnmos também um produto de elementos em RG por elementos λ R por λ a g g = g g. g Gλa g G

17 8.. Anés de Grupo É fácl verfcar que RG é um R-módulo. Na verdade, se R é comutatvo, RG é uma álgebra sobre R. Defnção... O conjunto RG, com as operações defndas acma, é chamado anel de grupo de G sobre R. No caso em que R é comutatvo, RG é chamado álgebra de grupo de G sobre R. Defnção... Sejam V e W RG-módulos. Uma aplcação ϕ : V W é dta ser um RG-homomorfsmo se ϕ é um R-homomorfsmo e para todo v V e g G. ϕ vg = ϕ v g, Em [, Págna 34], os próxmos dos resultados abaxo são dados como exercícos. Teorema..3 Exercíco 4. Se R é um anel comutatvo com undade e G e H são grupos quasquer, então RGH = RG H = RG R RH. Demonstração. Defna o homomorfsmo ϕ do grupo G H no grupo das undades de RGH, dado por ϕg, h = gh. É smples verfcar que ϕ é um homomorfsmo njetor. Vamos estender ϕ lnearmente da segunte manera: ϕ : RG H RGH α gh g h. g G, h H α gh g, h h H g G. Provemos que ϕ é um somorfsmo de álgebras de grupo. De fato, sejam α, β RG H, onde α = α gh g, h e β = β jk j, k. Assm g G, h H j G, k H ϕαβ = ϕ α gh β jk gj, hk = α gh β jk gj hk. h, k H g, j G Por outro lado, ϕα ϕβ = α gh g h β jk j k = h H g G k H j G h, k H α gh β jk gj hk. g, j G

18 9.. Anés de Grupo Logo ϕαβ = ϕαϕβ. Além dsso ϕ α + β = ϕ α gh + β gh g, h = α gh + β gh g h g G, h H h H g G = α gh g h + β gh g h = ϕα + ϕβ. h H g G h H g G Dado r R, temos ϕrα = ϕ rα gh g, h = rα gh g h = r α gh g h = rϕα. g G, h H h H g G h H g G Por fm, vejamos que ϕ é njetora e sobrejetora. Dados α, β RG H, tas que ϕα = ϕβ, então ϕα = ϕβ α gh g h β gh g h = 0 h H g G h H g G α gh β gh g h = 0 h H g G g G α gh β gh g = 0 α gh = β gh, para todos g G e h H. Verfcamos as nclusões GH Imϕ Imϕ. Sobre R, os elementos de RGH são gerados por GH e consderando a extensão lnear ϕ, RGH Imϕ, ou seja, ϕ é sobrejetora. Vamos utlzar a Propredade Unversal do Produto Tensoral para mostrar que ζ : RG R RH RG H n m r g s j h j r s j g, h j =0 j=0 é um somorfsmo de álgebras de grupo., j.

19 0.. Anés de Grupo Consdere o segunte dagrama: φ RG RH RG R RH ψ ζ RG H.3 É smples verfcar que a função ψ : RG RH RG H dada por ψ r g, s j h j = r s j g, h j é uma aplcação balanceada. j, j Dados α RG e β RH onde α = r g e β = j s j h j, pela Propredade Unversal do Produto Tensoral, exste um únco homomorfsmo de álgebras ζ : RG R RH RG H dado por ζ r g j que faz o dagrama.3 comutar. s j h j =, j r s j g, h j Mostremos que ζ é um homomorfsmo. De fato, dados γ, η RG RH e r R, onde γ = r g t j h j e η = s g v j h j, temos j j ζ γ + ζ η =, j r t j + s v j g, h j = ζ r t j + s v j g h j = ζ γ + η., j ζ γη = ζ r s g j t j v j h j =, j r s t j v j g, h j = ζ γ ζ η. ζ rγ = ζ rr g, j, j = rζ γ. t j h j =, j rr t j g, h j = r r t j g, h j, j

20 .. Anés de Grupo Seja ζ : RG H RG RH a aplcação defnda por ζ r j g, h j = r j g h j., j, j Observe que ζ ζ r j g, h j = ζ r j g h j =, j, j, j r j g, h j = Id ζ. Por outro lado, ζ ζ r g j s j h j = ζ r s j g, h j =, j, j r s j g h j = r g s j h j = Id ζ. j Assm, ζ e ζ são nversas uma da outra. Logo ζ é bjetora e, portanto, RG R RH e RG H são somorfos. Teorema..4 Exercíco 5. Dada uma famíla de anés {R } I, se R = I R, então RG = I R G. Demonstração. A aplcação ψ : RG R G I a g g. g G a g g I g G é um somorfsmo, onde a g = I a g, com a g R, para cada I. De fato, vejamos que ψ é um homomorfsmo de anés de grupo. Dados α = g G α g g e β = g G β g g, temos

21 .. Anés de Grupo ψα + β = ψ a g + b g g = a g + b g g g G I g G = a g g + b g g = ψα + ψβ. I g G I g G Além dso, dado λ R, obtemos ψλα = ψ λa g g = g G I g G λa g g = λ I α g g = λψα. g G Por fm, dado αβ = d u u, onde d u = a g b h, temos u G gh=u ψαβ = ψ d u u = d u u = a h b k gk u G I u G I h,k G = a h h b k k = ψαψβ. I h G I k G Assm, ψ é homomorfsmo de anés de grupo. Agora basta verfcarmos que ψ é uma bjeção. Suponha ψα = 0. Então I a g = 0, para todo g G. Como R R j = para j, logo a g = 0, para todo g G e I, ou seja, a g = 0. Assm α = 0 e ψ é njetva. A verfcação de que ψ é sobrejetva é dreta, a partr da defnção de a g, para todo g G... Semssmplcdade Um R-módulo M é dto semssmples se todo submódulo de M é um somando dreto. Nesta seção enuncamos o Teorema de Maschke, que apresenta condções para que um anel de grupo seja semssmples, e alguns coroláros deste resultado. Por fm, apresentamos uma descrção completa de uma álgebra de grupo para grupos abelanos com relação as suas componentes smples. Vamos determnar condções necessáras e sufcentes sobre R e G para que o anel de grupo RG seja semssmples. A demonstração para o próxmo resultado pode ser vsta

22 3.. Anés de Grupo em [, Teorema 3.4.7]. Teorema..5 Teorema de Maschke. Seja G um grupo. O anel de grupo RG é semssmples se, e somente se, valem as seguntes condções:. R é um anel semssmples.. G é fnto. 3. G é nvertível em R. O caso em que R = F é um corpo é de grande mportânca. Neste caso, F é sempre semssmples e G é nvertível em F se, e somente se, G 0 em F e carf G. Coroláro..6. Sejam G um grupo fnto e F um corpo. Então FG é semssmples se, e somente se, carf G. Em Teora de Anés, um resultado mportante que trata da estrutura de anés semssmples é o Teorema de Wedderburn-Artn. Na Seção.6 de [] é feta a demonstração completa deste teorema sob hpóteses mas geras. Optamos por enuncar aqu uma adaptação do Teorema de Wedderburn-Artn que destaca as nformações sobre a estrutura das álgebras de grupo, uma vez que este é um dos prncpas objetos de estudo nesta dssertação. Teorema..7. Sejam G um grupo fnto e F um corpo tal que carf G. Então:. FG é uma soma dreta de um número fnto de deas blateras {B } r, as componentes smples de FG. Cada B é um anel smples.. Qualquer deal blateral de FG é uma soma dreta de alguns dos membros da famíla {B } r. 3. Cada componente smples B é somorfa a um anel de matrzes completo da forma M n D, onde D é um anel de dvsão contendo uma cópa de F em seu centro, e o somorfsmo r FG φ M n D é um somorfsmo de F-álgebras. 4. Em cada matrz M n D, o conjunto x 0 0 I = x 0 0 : x, x,, x n D D n x n 0 0 =

23 4.. Anés de Grupo é um deal mnmal à esquerda somorfo ao D -módulo D n Dado x FG, consderamos φx = α,, α r. r M n D e defnmos o produto de x por um elemento m I por xm = α m. Com esta defnção I torna-se um FG-módulo smples. 5. I I j, se j. 6. Qualquer FG-módulo smples é somorfo a algum I, r. = A demonstração do próxmo resultado pode ser vsta em [7, 7.5]. Coroláro..8. Sejam G um grupo fnto e F um corpo algebrcamente fechado tal que carf G. Então r FG M n F e n + n + + n r = G. =..3 Álgebras de Grupo de Grupos Abelanos Apresentamos nesta seção uma descrção completa de uma álgebra de grupo para um grupo abelano fnto sobre um corpo F tal que carf G. Prmero, consderemos G = a : a n = um grupo cíclco de ordem n e F um corpo tal que carf G. Consdere a aplcação φ : F[X] FG dada por F[X] f fa FG, onde F[X] é o anel dos polnômos sobre F na ndetermnada X. É fácl verfcar que φ é um epmorfsmo de anés. Logo, pelo Prmero Teorema do Isomorfsmo para Anés, FG F[X] Kerφ, onde Kerφ = {f F[X] : fa = 0}. Já que F[X] é um domíno de deas prncpas, Kerφ é o deal gerado por um polnômo f 0, de menor grau, tal que f 0 a = 0 em FG. Como a n =, temos X n Kerφ. Agora se f = r n, então fa = r k X é um polnômo de grau r k a 0, pos os elementos {, a, a,, a n } são lnearmente =0 =0

24 5.. Anés de Grupo ndependentes sobre F. Logo Kerφ = X n e FG F[X] X n. Seja X n = f f f t a decomposção de X n como um produto de polnômos rredutíves em F[X]. Como assummos carf n, este polnômo é separável sobre F, e assm f f j, se j. Usando o Teorema Chnês do Resto, podemos escrever: FG F[X] f F[X] f F[X] f t. Sob este somorfsmo, o gerador a é aplcado no elemento X + f,, X + f t. Se ζ denota uma raz de f, t, então F[X] f Fζ. Conseqüentemente, FG Fζ Fζ Fζ t. Como todos os elementos ζ, t, são raízes de X n, então FG é somorfo a uma soma dreta de extensões de F. Sob este somorfsmo, o elemento a é levado no elemento ζ, ζ,, ζ t. Dado um número ntero d, o polnômo cclotômco de ordem d, denotado por Φ d, é o produto Φ d = X ζ j, onde ζ j percorre todas as d-ésmas raízes prmtvas da j undade. Também temos X n = Φ d, o produto de todos os polnômos cclotômcos d n a d Φ d em Q[X], onde d é um dvsor de n. Para cada d, seja Φ d = = f d a decomposção de Φ d como um produto de polnômos rredutíves em F[X]. Logo a decomposção de FG pode ser reescrta na forma: FG d n a d = F[X] f d d n a d = Fζ d, onde ζ d denota uma raz de f d, a d. Para um d fxo, todos os elementos ζ d são raízes d-ésmas prmtvas da undade. Logo, todos os corpos da forma Fζ d, a d, são somorfos uns aos outros e podemos assm escrever

25 6.. Anés de Grupo FG d n a d Fζ d, onde ζ d é uma raz prmtva de ordem d e a d Fζ d denota a soma dreta de a d corpos, todos eles somorfos a Fζ d. Já que f d = [F ζ d : F], os polnômos f d, a d, possuem todos o mesmo grau. Logo, tomando os graus na decomposção de Φ d, temos onde ϕ denota a função de Euler, a saber ϕd = Φ d = a d [F ζ d : F], ϕd = {n Z : n d, mdcn, d = }. Já que G é um grupo cíclco de ordem n, para cada dvsor d de n, o número de elementos de ordem d em G, que denotamos por n d, é precsamente ϕd. Portanto, podemos escrever n d a d = [Fζ d : F]. O próxmo resultado nos dá a decomposção da álgebra de grupo FG para um grupo abelano qualquer, utlzando o caso partcular feto acma para grupos cíclcos. Teorema..9 Teorema de Perls-Walker. Seja G um grupo abelano fnto de ordem n e seja F um corpo tal que carf n. Então FG d n a d Fζ d, onde ζ d denota uma raz prmtva da undade de ordem d e a d = fórmula, n d denota o número de elementos de ordem d em G. n d [F ζ d : F]. Nesta Demonstração. Vamos provar o resultado por ndução sobre a ordem de G. Assumremos que o resultado vale para todos os grupos abelanos de ordem menor do que n. Se G é cíclco, o resultado vale pelas consderações anterores a este teorema. Do contráro, a partr do teorema relatvo a estrutura dos grupos abelanos fntos, vamos escrever G = G H, onde H é cíclco e G = n < n. Pela hpótese de ndução, podemos escrever FG n d = a d Fζ d, onde a d = [F ζ d : F] e n d denota o número de elementos d n de ordem d em G. Assm, de acordo com os Teoremas..3 e..4, obtemos FG = F G H = FG H = a d Fζ d H = a d Fζ d H..4 d n d n

26 7.. Anés de Grupo Agora, pelas consderações anterores obtdas no caso de grupos cíclcos, reescrevemos.4 FG = a d a d Fζ d ζ d, d n d H onde a d = n d [Fζ d ζ d : Fζ d ] e n d denota o número de elementos de ordem d em H. Seja d = mmc d, d. Logo F ζ d ζ d = F ζ d e assm FG = d n a d F ζ d, com a d = a d a d, onde a soma é tomada sob todos os pares de dvsores d, d de G tas que mmc d, d = d. Desde [F ζ d : F] = [F ζ d ζ d : F ζ d ] [F ζ d : F], temos a d [F ζ d : F] = d,d a d [F ζ d ζ d : F ζ d ] a d [F ζ d : F] = d,d n d n d..5 Fnalmente, por hpótese, cada elemento g G pode ser escrto na forma g = g h, com g G e h H. É fácl verfcar que og = mmc o g, oh. Assm, na soma d,d n d n d cada somando representa o número de elementos de ordem d = mmcd, d em G, para cada par d, d. Logo d,d n d n d = n d e por.5, concluímos a d = n d [F ζ d : F] Coroláro..0. Seja G um grupo abelano fnto de ordem n. Então QG d n a d Qζ d, onde ζ d denota uma raz prmtva da undade de ordem d e a d é o número de subgrupos cíclcos ou fatores cíclcos de G.

27 Capítulo Introdução à Teora dos Códgos Neste capítulo apresentamos as defnções e resultados báscos sobre Códgos Corretores de Erros. Vamos defnr os códgos lneares e, em partcular, os códgos cíclcos e abelanos, que são os objetos de estudo neste trabalho. As referêncas báscas para este capítulo são [3] e [9].. Códgos Corretores de Erros Para defnrmos um códgo corretor de erros precsamos de um conjunto fnto qualquer A que será chamado alfabeto. A cardnaldade de A será denotada por A = q e os elementos deste conjunto serão chamados letras ou dígtos. Uma palavra é uma sequênca de letras de A e o comprmento dessa palavra é o número de letras que a compõe. Defnção... Dado um número natural n qualquer, um códgo corretor de erros ou smplesmente um códgo de comprmento n é um subconjunto própro de A n... Métrca de Hammng Defnção... Dados dos elementos u = u,..., u n, v = v,..., v n A n, a dstânca de Hammng entre u e v é dada por du, v = { : u v, n}. Seja C A n um códgo. A dstânca mínma de C é o número d = mn {du, v : u, v C e u v}. 8

28 9.. Códgos Lneares Proposção..3. A dstânca de Hammng determna uma métrca em A n, ou seja, dados u, v e w A n, valem as seguntes propredades: Postvdade: du, v 0, valendo a gualdade se, e somente se, u = v. Smetra: du, v = dv, u. Desgualdade Trangular: du, v du, w + dw, v. Os códgos corretores de erros são utlzados sempre que se deseja transmtr ou armazenar dados, garantndo a sua confabldade. Quando uma nformação é transmtda e o receptor recebe uma palavra dferente da esperada, é possível, com a utlzação desta teora, detectar os possíves erros, corrg-los e assm recuperar a nformação orgnal transmtda pela fonte. Teorema..4. Seja C um códgo com dstânca mínma d. Então C pode corrgr até κ = d erros e detectar até d erros. Do Teorema..4 podemos observar que quanto maor a dstânca mínma de um códgo, maor será a sua capacdade de correção de erros κ = d. Os três parâmetros fundamentas de um códgo C A n são n, M, d, onde n é o comprmento do códgo, M o número de elementos e d a dstânca mínma de C. Dados três nteros postvos arbtráros n, M e d, nem sempre exste um códgo com esses parâmetros, uma vez que eles se relaconam, por exemplo, pela Cota de Sngleton para o caso de códgos lneares veja Seção.. Códgos Lneares Nesta seção, a menos que menconemos o contráro, vamos consderar como alfabeto um corpo fnto F q com q elementos e, dado o número natural n, consderemos o F q -espaço vetoral F n q de dmensão n. Defnção... Um códgo C F n q vetoral própro de F n q. será chamado códgo lnear se for um subespaço Se C tem dmensão k sobre F q dzemos que C é um n, k - códgo lnear e se C tem dstânca mínma d, dzemos que C é um n, k, d - códgo lnear. Consderemos um códgo C de dmensão k. Dada {v, v,..., v k } uma de suas bases, todo elemento de C se escreve de forma únca como λ v + λ v λ k v k,

29 0.. Códgos Lneares onde λ F q, para todo =,..., k. Daí M = C = q k, e, consequentemente, dm Fq C = k = log q q k = log q M. Proposção.. Cota de Sngleton. Os parâmetros n, k, d de um códgo lnear satsfazem a desgualdade d n k +. Defnção..3. Dado x F n q, defne-se o peso de x como sendo o número ntero ωx := { : x 0}. Em outras palavras, ωx = dx, 0, onde d é a métrca de Hammng. Defnção..4. O peso de um códgo lnear C é o ntero ωc := mn {ωx : x C\{0}}. Proposção..5. Seja C F n q um códgo lnear com dstânca mínma d. Temos Para quasquer x, y F n q, dx, y = ωx y. d = ωc. Pelo tem da Proposção..5, a dstânca mínma de um códgo C é também chamada peso do códgo... Códgos Cíclcos Os códgos cíclcos são um caso partcular de códgos lneares. Nesta seção apresentaremos os códgos cíclcos como deas de um anel de polnômos e deas em uma álgebra de grupo para um grupo cíclco. Estas duas abordagens serão usadas durante todo este trabalho. Defnmos a permutação cíclca de coordenadas em F n q, tomadas módulo n, por T π : F n q F n q c = c 0,..., c n T π c = c n, c 0,..., c n.. Defnção..6. Um códgo lnear C é chamado códgo cíclco se, para toda palavra u = u 0, u,..., u n em C, o vetor T π u = u n, u 0,..., u n também está em C, ou seja, T π C C.

30 .. Códgos Lneares Exemplo: Dado v F n q, o subespaço vetoral de F n q é um códgo cíclco. De fato, temos T π F q v + F q T π v + F q T n π e assm T π v v. v = F q v + F q T π v + + F q Tπ n v v = F q T π v + F q Tπ v + + F q Tπ n v + F q v Consdere R n o anel das classes resduas em F q [X] módulo X n, ou seja, R n = F q[x] X n. Todo elemento de R n pode ser representado uncamente por um polnômo de grau, no máxmo, n. a 0 + a X + + a n X n, a F q Os códgos cíclcos podem ser realzados de dferentes formas. É fácl verfcar que ϕ : F n q R n n b 0,..., b n b x. é um somorfsmo e que os códgos cíclcos em F n q correspondem aos deas no anel quocente R n. =0 Teorema..7. Um subespaço vetoral C F n q ϕc é um deal de R n. é um códgo cíclco se, e somente se, Demonstração. Dada a palavra c = c 0, c,..., c n, temos T π c C se, e somente se, n ϕ T π c = x c x ϕc, sto é, ϕc é um deal em R n. =0 Dado um deal I de R n, exste um únco polnômo mônco g R n, o qual é um dvsor de X n e gera o deal I. Este polnômo g é dto polnômo gerador de I. Se mdcq, n =, então R n é semssmples e exste um dempotente ε I, que é o elemento

31 .. Códgos Lneares dentdade em I tal que I = R n ε. Um polnômo e F q [X] tal que e = ε será chamado um dempotente gerador de I. Podemos também consderar os códgos cíclcos como deas na álgebra de grupo de um grupo cíclco. De fato, dado G = a/a n =, defnmos a aplcação ψ : F n q F q G n b 0,..., b n b a, onde ψ é um somorfsmo de espaços vetoras. =0.3 Teorema..8. Um subespaço vetoral C de F n q ψ C é um deal de F q G. é um códgo cíclco se, e somente se, Demonstração. Dado o somorfsmo.3, é fácl ver que ψ C é um F q -subespaço vetoral de F q G. Seja α ψc. Logo exste c C tal que ψc = α. Se a G, então aα = aψc = ψ T π c ψc, onde T π é a permutação cíclca defnda em.. Assm, ψc é um deal de F q G. Recprocamente, seja c C. Como ψc é um deal da álgebra F q G, então aψc = ψ T π c ψc, sto é, T π c C, para qualquer c C. Portanto, C é um códgo cíclco. Por. e.3, temos o somorfsmo ψϕ entre as F q -álgebras R n e F q G: ϕ ψ R n F n q F q G n n b x b 0, b,..., b n b a, =0 =0.4 ou seja, podemos estudar códgos cíclcos a partr da abordagem polnomal ou va álgebras de grupo. Dentre os objetvos do trabalho está descrever maneras de se calcular esses dempotentes tanto do ponto de vsta polnomal quanto do ponto de vsta da álgebra de grupo e comparar essas técncas.

32 Capítulo 3 Códgos Abelanos Mnmas Seja FG a álgebra de grupo de um grupo G sobre um corpo F. Quando G é cíclco de ordem n e F é um corpo fnto, vmos na Seção.. que os deas da álgebra de grupo FG correspondem aos códgos cíclcos de comprmento n. Estendendo estas déas, S. D. Berman [3] e F.J.MacWllams [8] defnram códgos abelanos como deas própros na álgebra de grupo de um grupo abelano fnto sobre um corpo fnto. Em partcular, o conjunto dos dempotentes prmtvos de FG gera os deas mnmas de FG, aos quas nos refermos como códgos abelanos mnmas, quando G é abelano. Neste capítulo ntroduzmos a técnca de construção dos dempotentes prmtvos geradores de códgos abelanos mnmas, utlzando a estrutura do grupo adjacente para códgos de comprmento p n e p n. Na prmera seção, destacamos alguns resultados sobre o número de componentes smples de uma álgebra de grupo, que justfcam as hpóteses exbdas para a maora dos resultados mportantes deste trabalho. Na segunda e tercera seções, generalzamos as déas de [3] e [], apresentando os códgos abelanos mnmas para os casos em que G tem expoente p n ou p n. Na últma seção, estendemos os resultados das seções anterores para álgebras de grupo semssmples FG, onde G é um grupo abelano fnto e F um corpo fnto, calculando os dempotentes prmtvos da álgebra de grupo e relaconando-os com certos subgrupos de G. A prncpal referênca para este capítulo é []. 3

33 4 3.. O Número de Componentes Smples 3. O Número de Componentes Smples Sejam F q um corpo com q elementos e G um grupo abelano fnto tal que mdcq, G =. Logo F q G é semssmples. O Coroláro..0 nos dz que o número de componentes smples da álgebra de grupo raconal QG de um grupo abelano G é gual ao número de subgrupos ou quocentes cíclcos de G. Nesta seção, exbmos condções para que o número de componentes smples de uma álgebra de grupo F q G seja gual ao número de subgrupos cíclcos de G, ou seja, para que F q G se comporte como a álgebra de grupo raconal QG. Pelo Teorema de Wedderburn-Artn..7, se {e, e,..., e r } é o conjunto de dempotentes prmtvos da álgebra de grupo F q G, temos F q G = r F q Ge = r F, = onde cada F F q Ge, para r, é uma extensão fnta de F q. Defna A = r F q e 3. = Observe que F q e = Fq como corpos e assm podemos consderar A como um F q -espaço vetoral de dmensão r. Em [4] e [6], os autores apresentam um método para calcular o número de componentes smples de uma álgebra de grupo semssmples. Aqu apresentamos o resultado proposto por Ferraz em [9]. Sob algumas hpóteses para F q G, exbmos uma forma smples de determnar este número. Para sto, necesstamos de defnções e resultados auxlares que apresentamos a segur Lema 3... Seja α um elemento de F q G. Então α A se, e somente se, α q = α. Seja g G. Defnmos a classe q-cclotômca de g como o conjunto { } C g = g qj /0 j t g, 3. onde t g é o menor ntero postvo tal que q tg mod og e og denota a ordem de g em G.

34 5 3.. O Número de Componentes Smples É smples verfcar que as classes q-cclotômcas também são classes de equvalênca no grupo G sob a relação g h g = h qj, onde g, h G e j Z. Seja T = {g, g,..., g s } um conjunto de representantes das classes q-cclotômcas de G. Teorema 3... Se mdc q, G =, então o número de componentes smples de F q G é gual ao número de classes q-cclotômcas de G. Demonstração. Conforme fo verfcado em 3., o número de componentes smples de F q G é gual a dmensão de A sobre F q. Vamos exbr uma base de A com s elementos, ou seja, o número de representantes das classes q-cclotômcas de G. Dada uma classe q-cclotômca C g, defnmos N g = h C g h. Afrmamos que o conjunto B = {N g / s} é uma F q -base de A. ndependente. Claramente B é um conjunto lnearmente Vejamos que B gera A. É fácl observar que N g q = N g e, de acordo com o r Lema 3.., B A. Seja α A = F q e. Novamente, pelo Lema 3.., α q = α. Assm, se α = α g g, então g G α g g = α = αgg q q. g G g G = Logo, para cada g G, temos α g = α g q =... = α g qtg, e portanto α = g T α g N g, onde T = {g, g,..., g s }. De acordo com o Coroláro..0, o número de componentes smples de uma álgebra de grupo raconal de um grupo abelano fnto G é gual ao número de subgrupos cíclcos de G e também gual ao número de seus quocentes cíclcos. Observe que se h C g, então h = g qj, para algum j. Como mdcq, og =, temos g = h. Assm, cada classe q-cclotômca C g é um subconjunto do conjunto G g de todos os geradores do grupo cíclco g. É claro que o número de subgrupos cíclcos de G é um lmte nferor para o número de componentes smples da álgebra de grupo F q G e este lmte é atngndo se, e somente se, C g = G g, para todo g G.

35 6 3.. Códgos Cíclcos Mnmas Para nteros postvos r e m, ndquemos por r Z m a magem de r nos anel dos nteros módulo m. Assm: G g = {g r mdc r, o g = } = { g r r U Z og }. Teorema Sejam F q um corpo com q elementos e G um grupo abelano fnto de expoente e tal que mdc q, G =. Então C g = G g, para todo g G se, e somente se, UZ e é um grupo cíclco gerado por q Z e. Demonstração. Seja q um gerador do grupo cíclco U Z e. Logo mdc q, e =, e assm verfcamos que mdc q, og =, ou seja, q = U Z og, para todo g G. Dado h G g, temos h = g r, para algum r N, onde r U Z og. Assm r = q j, para algum j N. Logo h = g qj C g e, portanto, C g = G g. Recprocamente, suponha G g = C g, para todo g G. Por hpótese, G é um grupo abelano fnto de expoente e, então garantmos a exstênca de um elemento g 0 G tal que o g 0 = e e, em partcular, G g0 = C g0. Assm, para cada r U Z e, temos g0 r C g0 e daí obtemos j N tal que r = q j. Portanto, q = UZ e. Coroláro 3..4 [0], Teorema 7.0. Sejam F q um corpo fnto com q elementos e G um grupo abelano fnto de expoente e tal que mdc q, G =. Então C g = G g, para todo g G, se, e somente se, uma das seguntes condções vale: e = e q é ímpar; e = 4 e q 3mod 4; e = p n e oq = ϕp n em U Z p n; v e = p n e oq = ϕp n em U Z p n. 3. Códgos Cíclcos Mnmas Nesta seção vamos apresentar o método de construção de dempotentes prmtvos nas álgebras de grupo F q G, onde G é um grupo cíclco de ordem p n ou p n. As prncpas referêncas são [], [], [3] e []. Seja H um subgrupo fnto de um grupo G. Se mdc q, H =, defnmos Ĥ = H g. 3.3 g H É fácl verfcar que Ĥ é um dempotente em F qg

36 7 3.. Códgos Cíclcos Mnmas Lema 3... Sejam F q um corpo com q elementos, p um prmo e G = g um grupo cíclco de ordem p n, n. Seja G = G 0 G... G n = {} a cadea descendente de todos os subgrupos de G. Então os elementos e 0 = Ĝ e e = Ĝ Ĝ, n formam um conjunto de dempotentes ortogonas de F q G tas que e 0 + e e n =. Demonstração. É smples verfcar que, dados 0 < j n, ĜĜj = Ĝ. Assm, e 0 e = Ĝ Ĝ Ĝ = 0 e e e j = Ĝ Ĝ Ĝj Ĝ j = G G j G G j G G j + G G j = 0, para < j n. Logo os dempotentes são ortogonas. Por fm, vejamos que a soma destes dempotentes é gual a. n e = Ĝ + Ĝ Ĝ + Ĝ Ĝ Ĝ n Ĝ n + Ĝn Ĝ n = Ĝn =. =0 Coroláro 3... Sejam F q um corpo com q elementos e G um grupo cíclco de ordem p n. Então o conjunto de dempotentes dado no Lema 3.. é o conjunto de dempotentes prmtvos de G se, e somente se, uma das seguntes condções vale: p = e tanto n = e q é ímpar ou n = e q 3 mod 4. p é ímpar e o q = ϕ p n em U Z p n. Agora estamos aptos a expressar todos os Códgos Mnmas Cíclcos de comprmento p n. Teorema Sejam G um grupo cíclco de ordem p n e F q um corpo com q elementos onde q gera U Z p n. Seja G = G 0 G... G n = {} a cadea descendente de todos os subgrupos de G. prmtvos de F q G é dado por: e 0 = g e e p n = Ĝ Ĝ, para n. g G Então o conjunto de dempotentes

37 Códgos Abelanos Mnmas Um cálculo dreto mostra que estes dempotentes são os mesmos que os dados em [3], expressos polnomalmente em termos das classes cclotômcas. Os dempotentes geradores dos deas mnmas para álgebras de grupo de grupos cíclcos de ordem p n agora seguem faclmente dos resultados acma e do Teorema..3, assm como fo feto em []. Teorema Sejam F q um corpo com q elementos e G um grupo cíclco de ordem p n, onde p é um prmo ímpar tal que o q = ϕ p n em U Z p n. Escreva G = C A, onde A é o p-subgrupo de Sylow de G e C = {, t} é o seu -subgrupo de Sylow. Se {e, 0 n} denota o conjunto dos dempotentes prmtvos de F q A, então os dempotentes prmtvos de F q G são + t e e t e, para 0 n. 3.3 Códgos Abelanos Mnmas Vamos estender os resultados da seção anteror para grupos abelanos fntos. Prmero consderemos o caso de p-grupos. Defnção Seja G um grupo. Um subgrupo H de G é dto um subgrupo cocíclco se o grupo quocente {} G/H é cíclco. Observação Para G um p-grupo, se {} = G/H é cíclco, então garantmos a exstênca de um únco subgrupo H de G tal que H H e H /H = p. Defna e H = Ĥ Ĥ. Lema Sejam G um p-grupo abelano fnto e F q um corpo fnto com q elementos, tal que mdcq, G =. O conjunto { } e G = Ĝ {e H : G/H é cíclco não trval} 3.4 é formado por dempotentes ortogonas de F q G cuja a soma é gual a. Demonstração. É fácl verfcar que o conjunto 3.4 é formado por elementos dempotentes. Vamos mostrar que estes elementos são ortogonas. Sejam H e K subgrupos co-cíclcos dstntos de G. Logo exstem H e K, subgrupos de G tas que [H : H] = [K : K] = p. Se H K, logo K/H = p j, com j. Assm, exste H G, tal que H /H = p. Pela uncdade, H = H. Logo e H e K = Ĥ Ĥ K K = Ĥ K Ĥ K Ĥ K + Ĥ K = K K K + K = 0

38 Códgos Abelanos Mnmas Se H e K não estão contdos um no outro, então H HK e K HK. Pelo mesmo argumento usado quando H K, temos H HK e K HK, o que mplca H K HK. Por outro lado, da defnção de subgrupo co-cíclco, temos HK H K, ou seja, HK = H K. Além dsso, HK = H K = HK. Assm, com ĤK = Ĥ K, e H e K = Ĥ Ĥ K K = Ĥ K Ĥ K Ĥ K + Ĥ K = 0 Por fm, vamos mostar que a soma destes dempotentes é gual a. Para cada subgrupo cíclco C = c de G, denote por GC o conjunto de todos os geradores de C, ou seja, GC = {c j C/ mdcj, C = }. Se C denota a famíla de todos os subgrupos cíclcos de G, então G = GC, e do fato de que G é um p-grupo, C C GC = ϕ p = p p = C C p. Denote por S cc G o conjunto de todos os subgrupos co-cíclcos de G. e = e H. Afrmamos que e =. De fato, vamos mostrar que F q Ge = F q G. H S cc Como os dempotentes são ortogonas, temos F q G e = H S cc F q G e H. Seja Então dm Fq F q G e = H S cc dm Fq F q G e H. Observe que Ĥ = Ĥ +e H mplca H e H = 0 e assm F q G Ĥ = F qg Ĥ F q G e H. Logo dm Fq F q G e H = dm Fq F q G Ĥ dm F q F q G Ĥ = dm Fq F q G/H dm Fq F q G/H Por [4, Teorema 0.57], garantmos a exstênca de uma bjeção φ : C S cc G onde X = G/φX, para todo X C. Se denotarmos por C C o subgrupo de G tal que φc = H, temos dm Fq F q G/H = C e dm Fq F q G/H = G/H H /H = C p,

39 Códgos Abelanos Mnmas logo dm Fq F q Ge H = C C p = GC. Portanto dm Fq F q Ge = dm Fq F q Ge H = GC = G = dm Fq F q G. H S cc C C O próxmo resultado é uma consequênca medata do Lema e do Coroláro Teorema Sejam p um prmo, G um p-grupo abelano de expoente p r e F q um corpo com q elementos tal que mdcp, q =. Então o conjunto de dempotentes 3.4 é o conjunto de dempotentes prmtvos de F q G se, e somente se, uma das seguntes condções é satsfeta: p r = e q é ímpar; p r = 4 e q 3 mod 4; p é um prmo ímpar e oq = ϕ p n em U Z p n. Teorema Sejam p um prmo ímpar e G um grupo abelano de expoente p r. Escreva G = E B, onde E é um -grupo abelano elementar e B um p-grupo de expoente p r. Então os dempotentes prmtvos de F q G são produtos da forma e f, onde e é um dempotente prmtvo de F q E e f é um dempotente prmtvo de F q B. Demonstração. Consdere E = a a... a t a decomposção do -grupo E como produto de grupos cíclcos de ordem. Os dempotentes prmtvos de F q E são produtos da forma e = e e... e t, onde e = +a ou e = a, para cada t. Assm, para os nteros postvos r s, sejam U = {e / r} e V = {f j / j s} os conjuntos dos dempontentes prmtvos das álgebras de grupo F q E e F q B, respectvamente. Pelo Teorema..3, temos F q G = F q E B = F q E F q B. Logo F q G = F q E F q B = F q Ee... F q Ee r F q Bf... F q Bf s 3.5 = Fq E B e f... F q E B e f j... F q E B e r f s Afrmamos que a decomposção 3.5 é a decomposção de F q G em deas mnmas, ou seja, os dempotentes da forma e f j são os dempotentes prmtvos de F q G, para todos j s. De fato, é fácl verfcar F q Ee = Fq, para todo r. Basta escrever F q Ee = F q Ee e... e t e, ndutvamente, verfcamos F q Ee = Fq. Analogamente, F q Bf j = Fq k para todo j s e k. Assm, pelo Lema 5.., temos F q Ee F q Bf j = F q F q k = Fq k. 3.6

40 Códgos Abelanos Mnmas 3.3. Subgrupos e Idempotentes Nesta seção vamos estender os resultados obtdos na Seção 3.3. Exbremos o comportamento dos dempotentes prmtvos de uma álgebra de grupo para um grupo G abelano qualquer, sob algumas hpóteses sobre o tamanho do corpo F q, relaconando-os com os subgrupos co-cíclcos de G. Para um grupo abelano fnto G, escreveremos G = G p G p... G pt, onde G p denota o p -subgrupo de Sylow de G, para cada t. Além dsso, conforme a Defnção 3.3., consderemos S cc G = {H/ H é um subgrupo co-cíclco de G }. 3.7 Lema Sejam G = G p G p... G pt um grupo abelano fnto e H S cc G. Escreva H = H p H p... H pt, onde H p é co-cíclco em G p, para cada t. é o p -subgrupo de Sylow de H. Então H p Demonstração. Dado H S cc G, G/H é cíclco e G/H = Gp Gp... Gp t H p H p... H pt G p /H p. Portanto H p S cc G p, para cada t. Dado H S cc G, seja e H um dempotente de F q G. De acordo com a decomposção de H dada no Lema 3.3.6, para cada t, ou H p = G p, ou exste um únco subgrupo Hp tal que [ ] Hp : H p = p. Então, defna e Hp = Ĝp ou e Hp = Ĥp Ĥ p, respectvamente. Assm e H = e Hp e Hp... e Hpt 3.8 Para qualquer outro K S cc G, com K H, temos K p H p, para algum t. Logo e Hp e Kp = 0 e, consequentemente, e H e K = 0. Portanto demonstramos o segunte resultado Proposção Sejam G um grupo abelano fnto e F um corpo tal que carf G. Então B = {e H /H S cc G} 3.9 é um conjunto de dempotentes ortogonas de FG. Observação Para F = Q, os dempotentes acma são prmtvos, conforme []. Já para corpos fntos, este resultado nem sempre é verdadero. Como contra-exemplo, consdere a álgebra de grupo F 3 C do grupo cíclco C = {g/g = }. Esta álgebra é semssmples, mas como 3 não gera U Z, então exstem mas do que = S cc C dempotentes prmtvos em F 3 C.

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