UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE. Faculdade de Ciências TRABALHO DE LICENCIATURA. Tema:

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1 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Fculdde de Ciêncis DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA TRABALHO DE LICENCIATURA Tem: Csos Integráveis de Equções Diferenciis Funcionis Autor: Tâni Joquin Tomás Estudnte do curso de Mtemátic Pur Mputo, 9

2 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Fculdde de Ciêncis Deprtmento de Mtemátic e Informátic TRABALHO DE LICENCIATURA Tem: Csos Integráveis de Equções Diferenciis Funcionis Autor: Tâni Joquin Tomás, Estudnte do curso de Mtemátic Pur Supervisor: Professor Doutor Andrei Shindipin, Professor Ctedrático do Deprtmento de Mtemátic e Informátic, PhD em Mtemátic. Mputo, Novembro 9

3 DECLARAÇÃO DE HONRA Declro, por minh honr, que este trblho nunc foi usdo pr obtenção de outro gru não ser o indicdo Licencitur em Mtemátic e que ele constitui o resultdo d minh investigção pessol, estndo indicdos no texto e n bibliogrfi s fontes que utilizei. A estudnte (Tâni Joquin Tomás) i

4 Conteúdo Declrção de honr i Agrdecimentos iv Dedictóri v Simbologi v List de Figurs vii Introdução Preliminres 4. Conceitos básicos Método de Pssos 8. Descrição Condições de plicbilidde Exemplos Método de substituição 6 ii

5 Conteúdo iii 3. Descrição Condições de plicbilidde Exemplos Conclusões e recomendções Bibliogrfi

6 AGRADECIMENTOS À todos que creditrm e torcerm pelo sucesso do meu trblho, que estenderm mão nos momentos que mis precisei, sem desmerecer os demis, gostri de expressr especil grtidão: Ao Professor Doutor Andrei Shindipin, meu Professor e Supervisor, pelo poio, compnhmento, sugestões, fontes e incentivo prestdos n concepção e prosecussão deste trblho. Aos Docentes e Corpo Técnico do Deprtmento de Mtemátic e Informátic pel pciênci e colborção! Muito e muito obrigd! A meus cros colegs do qurto no de Mtemátic Pur-9, nomedmente, Alex, Smbo, Mnuel, Slvdor, Victor e Oliveir, pelo poio, dics e mizde que tem ddo, muitíssimo obrigd! A meu moroso Deus, Jeová, pel pciênci e jud fornecid. Sou eternmente grt à Ele. À minhs irmãs Sheil, Tch, Ktinh, Em e Wche. Nos momentos mis árduos sempre estiverm comigo, judndo-me, poindo-me e dndo-me forçs pr prosseguir! Sou eternmente grt els! A meus migos em especil o Edson, Mm, Bb, Mr, Edm, Rquel, Michelle, Mris, Helen, Vness e os demis por terem estdo sempre comigo no decurso do meu curso! Obrigd! Aos meus tios e primos Almeid, Flor, Cristin, Néli, Chico, António e os demis por tudo que fizerm por mim. Obrigd! iv

7 DEDICATÓRIA Dedico este trblho os meus fmilires, em especil à minhs irmãs Sheil, Tch, Ktinh, Em e Wche, pelo poio que prestrm o longo d minh crreir estudntil té o presente momento. v

8 SIMBOLOGIA EDFs - Equções Diferenciis Funcionis EDOs - Equções Diferenciis Ordináris EDR - Equção Diferencil Retrtd N - Conjunto dos números nturis R - Conjunto dos números reis def = - signific igul por definição - signific identicmente igul R n - Espço n-dimensionl de vlores reis L p [, b] L p ( p < ) - Espço de clsses equivlentes de funções x : [, b] R somáveis em p gru, cuj norm é x Lp def = ( b /p x(t) dt). L [, b] L - Espço de funções x : [, b] R (clsses equivlentes) mensuráveis e limitds n essênci, cuj norm é x L def = vri sup t b x(t). L - Espço de funções somáveis z : [, b] R n. D - Espço de funções bsolutmente contínus x : [, b] R n vi

9 vii D n = D n [, b] - Espço de Bnch de funções bsolutmente contínus x : [, b] R n com norm x D n = x() + b ẋ(s) ds. L n = L n [, b] - Espço de Bnch de funções somáveis y : [, b] R n com norm y L n = - norm em R n b y(s) ds. k(t, ) signific que t está fixo e k consider-se como um função somente do segundo rgumento. k(, s) signific que s está fixo e k consider-se como um função somente do primeiro rgumento.

10 List de Figurs. Função retrddor h(t) pr EDR ẋ + p(t)x[h(t)] = f(t), t [, b] Função retrddor g(t) pr EDR ẋ + p(t)x[g(t)] + x(t) = f(t), t [, b] Funções retrddors h(t) e g(t) pr equção (.5) Núcleo k(t, s) pr equção (.7) Representções do núcleo k(t, s) pr equção (.7) Função h(t) = t pr equção (.) Solução d EDR ẋ = x(t ) usndo o método de pssos em [, 3] Função h(t) = t pr equção (.) Solução d equção ẋ = [ ẋ t ] + t em t [, ] Funções h(t) = t e g(t) = t pr equção (.3) Solução d equção ẋ + x[t ] ẋ[t ] = em t [, ] Núcleo k(t, s) pr equção (.5) Solução d equção ẋ(t) + [, k(t, s)ẋ(s)ds = t, usndo o método de pssos em 3 ] viii

11 List de Figurs ix 3. Núcleo k(t, s) pr equção (3.) Função g(t) pr equção (3.3)

12 INTRODUÇÃO N obtenção de muits equções (ordináris ou com derivds prciis) [] que sirvm de modelos mtemáticos susceptíveis de descrever processos reis (físicos, tecnológicos, etc.) e consequentemente permitindo o seu estudo, é suposto que o sistem em considerção sej tl que sus vriáveis representtivs serão determinds por seus vlores num determindo tempo e su evolução independente dos estdos nteriores à este instnte. Muits vezes, est form de csulidde, é um primeir proximção d relidde, o que fz com que s vezes este modelo sej invliddo. Ests considerções são importntes em problems de estudo de comportmento de mteriis viscoelásticos, problems de competição entre espécies, de reguldores utomáticos de servo-mecnismos (sistems de controlo com relimentção), de intercção de prtículs crregds qundo se consider que mesm propg-se com velocidde finit e, gerlmente, em todos processos cuj evolução dependerá de todo seu pssdo. Muits vezes, estes processos formulm-se mtemticmente por meio de equções diferenciis, integris, integro-diferenciáveis, etc, nos quis s vriáveis de estdo que precem se encontrm referids com distintos vlores d vriável independente t. Por est rzão, ests equções podem-se denominr rgumento desvido. Alguns tipos de equções diferenciis de rgumento desvido já form estuddos nos trblhos de mtemáticos do século XVIII como Euler, Condorcet e Poisson 3. Ms o primeiro usr e estudr com profundidde s equções deste tipo foi Volterr 4, nos seus trblhos sobre viscoelsticidde e competição de espécies. Mis trde, por volt de 94, motivdo pelo estudo d Leonhrd Pul Euler (77-783), mtemático suíço. Nicols de Condorcet ( ), mtemático frnçês. 3 Siméon Denis Poisson (78-84), mtemático e físico frnçês. 4 Vito Volterr (86-94), mtemático e físico itlino.

13 Trblho de Licencitur estbilizção de buquês e de su condução utomátic, Minorsky 5 percebeu quão importnte seri considerr, com vist mior proximção d relidde, existenci de um certo tempo de retrdmento n cção do mecnismo de relimentção. O grnde interesse que despertou teori de controlo nest décd, contribuiu muito pr o umento do estudo d clsse de tis equções. Nos últimos nos, o estudo destes problems tem conhecido um desenvolvimento espetculr tnto de interesse mtemático, bem como de sus plicções, que estão sempre em investigção, consequentemente, em contínu evolução. Um tipo mis simples de equções diferenciis funcionis pode ser ddo como ẋ(t) = f(t, x(t), x(h(t))), t [, b], h(t) t x(ξ) = ϕ(ξ), ξ <. Todvi, no contexto ds equções diferenciis funcionis dependentes d respectiv pré-históri, pode-se encontrr equções ind mis interessntes, como são os csos de ẋ(t) = f(t, x(t), x(h(t)), ẋ(g(t))), ẋ(t) = f(t, x(t), x(t + δ), ẋ(t δ)), δ >, etc. Devido o efeito de retrdmento dos rgumentos de Equções Diferenciis Funcionis (EDFs), os modelos que envolvem tis equções são mis exctos do que àqueles bsedos ns Equções Diferenciis Ordináris (EDOs). Ao mesmo tempo, resolução de EDFs, em muitos csos, não é fácil. Os métodos quntittivos bsem-se n redução de equções mis complicds pr os csos de equções integráveis. Neste contexto, o problem de clssificção de EDFs integráveis é de grnde interesse e importânci. O presente trblho é constituido por um introdução, três cpítulos, conclusão e bibliogrfi. No primeiro cpítulo são revistos lguns dos conceitos básicos d teori ds Equções Diferenciis, em especil ds Equções Diferenciis Funcionis, que se supõem que sejm, n su grnde miori, de conhecimento gerl. A su presentção é feit com intenção de uniformizr lingugem e notção e, eventulmente, introduzir lgum tópico desconhecido. Com o intuito de presentr esses resultdos de mneir nturl, e não deixr únic e simplesmente um list 5 Vldimir Minorsky, mtemático russo

14 List de Figurs 3 de resultdos importntes, num ou noutro dos ssuntos borddos, os resultdos presentdos vão pr lém ds necessiddes posteriores. No cpítulo fz-se um bordgem mis precis de equções d seguinte form [3, 4]: ẋ(t) = f ( t, x(t), b ) k(t, s)ẋ(s)ds, ẋ(g(t)), x() () x(ξ) = ϕ(ξ), ẋ(ξ) = ψ(ξ) se ξ / [, b], fzendo-se uso do Método de pssos pr determinr solução de tl equção que pode ser escrit explicitmente. Pr tl, ntes, é feit um descrição deste método quntittivo, bem como de sus condições de plicbilidde, que é, sem dúvid, um dos instrumentos principis deste trblho. Procur-se identificr s clsses de equções integráveis definids em termos ds funções k(t, s) e g(t) pr equção () por meio de tl método. E, pr melhor compreensão, são elbordos exemplos elucidtivos pr lgums representntes dests clsses. Pretende-se que ess bordgem sej sintétic. O terceiro cpítulo é dedicdo à descrição de outro método quntittivo pr determinção de solucão pr lguns csos d equção (), nomedmente o Método de substituição. São dds s condições de plicbilidde e tmbém identificds lgums clsses de equções integráveis pr est equção. Os exemplos presentdos, vem judr n compreensão deste método. A su presentção é uto-suficiente e não são necessários conhecimentos profundos em Teori ds Equções Diferenciis Funcionis pr su compreensão. De notr que é nos últimos dois cpítulos que se vi centrr o presente trblho, rzão pelo qul constituem os cpítulos-chve. N compilção deste trblho foi usdo o L A TEX ε e n produção do mbiente gráfico, o Mtlb 7... e zirkel.

15 Cpítulo Preliminres Neste cpítulo, introduz-se conceitos básicos ds Equções Diferenciis, em prticulr, ds Equções Diferenciis Funcionis (EDFs). Apresent-se lguns resultdos sobre existênci de solução pr equções n form (), i.e, ẋ(t) = f ( t, x(t), ) k(t, s)ẋ(s)ds, ẋ(g(t)), x(), x(ξ) = ϕ(ξ), ẋ(ξ) = ψ(ξ) se ξ / [, b]. De slientr que presentção deste cpítulo tem como bse obr [].. Conceitos básicos É um princípio bem estbelecido que pr modelr evolução dos sistems físicos, biológicos e económicos us-se equções diferenciis ordináris em que respost do sistem depende exclusivmente do estdo ctul do sistem. No entnto, em muits plicções, respost do sistem pode ser retrdd ou depender d pré-históri do sistem de um modo mis complicdo. Sistems dinâmicos que respondem dest form são chmdos de Equções Diferenciis Funcionis (EDFs). O estudo de mteriis com memóri (mteril viscoelástico), em demogrfi mtemátic e dinâmic d populção, no estudo d dinâmic de redes neuris rtificiis em 4

16 Cpítulo. Preliminres 5 que há trsos n trnsmissão, e em problems em finnçs mtemátics em que mercdos ineficientes são modeldos, são lgums ds áres em que s equções diferenciis funcionis são plicds tulmente. Considere-se, gor, lguns conceitos básicos sobre s equções diferenciis. Definição... Um equção diferencil é um expressão que envolve s derivds de um função, bem como própri função. Se s derivds prciis estão envolvids, est equção chm-se equção diferencil prcil, se pens existem s derivds comuns, equção chmse equção diferencil ordinári. Definição... A solução de equções diferenciis n form ẋ = F x, onde F : D L, é um função x(t) D que stisfz equção pr quse todos os pontos do tempo t que são de interesse. Observção... Embor lgums equções diferenciis possm ser resolvids, muits ds que são de interesse n práctic não são resolvíveis em funções elementres. As equções diferenciis desempenhm um ppel extremmente importnte e útil em mtemátic plicd, engenhri e físic, e muitos mecnismos mtemáticos e numéricos tem sido desenvolvidos pr solução de equções diferenciis. O objecto do nosso estudo, contudo, está n form (). Definição..3. Um operdor F : D n [, b] L n [, b] chm-se de Volterr se δ (, b] de fcto pr x(t) = y(t), no intervlo [, δ], cumpre-se que (F x)(t) = (F y)(t), t [, δ]. Definição..4. Diremos que ẋ = F x (.) é um Equção Diferencil Funcionl (EDF) se o operdor F est definido do seguinte modo F : D n [, b] L n [, b].

17 6 Trblho de Licencitur Cso F sej operdor de Volterr, equção (.) diz-se equção com rgumento retrddo. Observção... As equções diferenciis retrdds são similres às equções diferenciis ordináris, ms su evolução envolve vlores pssdos d vriável de estdo. A solução de equções diferenciis trsds, portnto, exige conhecimento não pens do estdo ctul, ms tmbém do estdo de um certo tempo nterior. Definição..5. []. Um EDF chm-se integro-diferencil qundo vriável independente t do segundo membro d equção (.) encontr-se sob sinl d integrl. Definição..6. []. Um equção diz-se equção diferencil neutr se, pr lém d su dependênci num estdo pssdo, tem tmbém um dependênci temporl n tx de vrição do fenómeno em cus. Como exemplo deste tipo de equção podemos ter equção ẋ(t) = f(t, x(g(t)), ẋ(h(t))), t [, b], x(ξ) = ϕ(ξ), ξ / [, b]. A equção (.) [5] com um operdor F definido em um conjunto de funções bsolutmente contínus é um equção diferencil funcionl. Assim, (.) é um generlizção mis brngente d equção diferencil ordinári ẋ(t) = f(t, x(t)). (.) El tmbém brnge equções integro-diferenciis ẋ(t) = s equções diferenciis retrdds k(t, s, x(s))ds, ẋ(t) = f(t, x[t δ]), δ >, t [, b] (.3) x(ξ) = ϕ(ξ), se ξ <,

18 Cpítulo. Preliminres 7 s equções com retrdmentos distribuidos ( ẋ(t) = f t, e ssim por dinte. equção (). ) x(s)d s r(t, s) A equção (.) brnge tmbém o nosso objecto de estudo, isto é, A generlizção d equção (.) n form (.) une grndes clsses de equções que tem sido estudds sem conexão entre els. A teori ds equções diferenciis funcionis, debixo de suposições nturis, já form trtds completmente dentro ds vizinhnçs O, onde foi mostrdo que união ds clsses cim citds é determind pel propriedde de operdor F, definido no espço D de funções bsolutmente contínus x : [, b] R n, ou sej, s funções que podem ser representds por x(t) = z(s)ds + β, z L, β R n, onde L é o espço de funções somáveis z : [, b] R n. As condições de existênci de soluções pr um EDF já form definids nos livros [], [4] e outros. A seguir, pss-se enuncir um dos teorems de existênci d solução dum EDF. Teorem... Sejm k(t, ) L p, k(, s) L q ( < p < ; p + = ). Sej tmbém que q f(t, y) stisfz s condições de Crteodory (vide []) e tem lugr desigulidde onde < γ q p, r L p. Então o problem tem solução continuável. ẋ(t) = f f(t, y) r(t) + µ y γ, ( t; ) k(t, s)ẋ(s)ds + A(t)x(), x() = α, Infelizmente, tis teorems não nos judm encontrr solução concret dum EDF; dí necessidde de recorrer os métodos quntittivos pr lcnçr est solução. Assim, nos próximos cpítulos consider-se dois destes métodos, sber, o Método de Pssos e o Método de Substituição.

19 Cpítulo Método de Pssos Neste cpítulo fz-se um descrição detlhd do método de pssos e ds condições de plicbilidde deste método. d equção (), É trvés dele que se procur identificr s clsses de EDFs integráveis ẋ(t) = f ( t, x(t), b ) k(t, s)ẋ(s)ds, ẋ(g(t)), x() x(ξ) = ϕ(ξ), ẋ(ξ) = ψ(ξ) se ξ / [, b]. Pr ilustrr, consider-se exemplos de resolução desss EDFs. Este método quntittivo bsese n redução de equções mis complicds pr os csos de equções integráveis; dí este ser um importntíssimo cpítulo do presente trblho.. Descrição Consideremos equção () dd cim. Procure-se determinr solução de clsses dest equção. Pr o efeito, usr-se-á o Método de Pssos de Myshkis (STEPS) ou simplesmente, Método de pssos (vide [8], pg. -6). Este é um método muito intuitivo e elementr que pode ser usdo pr resolver, nliticmente, EDFs com coeficientes vriáveis. Este método é normlmente descrtdo por ser muito tedioso. Em que consiste este método? Em converter equção diferencil funcionl, num determindo 8

20 Cpítulo. Método de Pssos 9 intervlo, pr um equção diferencil ordinári no mesmo intervlo, usndo pré-históri ou função inicil pr quele intervlo. A equção resultnte é resolvid, e o processo é repetido no próximo intervlo com recém chd solução, que gor serve como pré-históri pr o próximo intervlo. Mostre-se como plicr isto num cso prticulr d equção (), equção (.3), ou sej, ẋ(t) = f(t, x[t δ]), t [, b], δ > x(ξ) = ϕ(ξ), se ξ <. Psso. No intervlo [, δ], equção (.3) torn-se em ẋ(t) = f(t, ϕ(ξ)), t [, δ] (.) x() = α, α N. A Equção (.) é um EDO e não um EDR porque o vlor d função inicil ϕ(ξ) é conhecido. Assim, resolve-se est EDO em [, δ], usndo x() = α como condição inicil. Denote-se solução no intervlo [, δ] por ẋ (t). Not: A equção (.) pode ser fcilmente resolvid usndo técnics de resolução ds EDOs. Psso. No intervlo [δ, δ], equção fic: ẋ(t) = f(t, ẋ [t δ]), t [δ, δ] (.) x(δ) = x (δ), que tmbém é um EDO. Usndo condição inicil em (.) resolve-se est equção e determin-se, ssim, solução x (t) pr equção em cus num [δ, δ]. Pode-se dr continuidde estes pssos pr os intervlos subsequentes té completr o intervlo [, b] ou té mesmo indefinitivmente, se ssim se desejr. Observção... []. É possível que condição inicil x() sej diferente d função inicil ou pré-históri ; neste cso, existe neste ponto um slto simples de descontinuidde e EDF só é considerd válid se t.

21 Trblho de Licencitur Em resumo, o Método de Pssos consiste n integrção direct d equção dd sobre os sub-intervlos regulres de comprimento δ de [, b] (vide [9], pg 3). Além disso, tmbém se recorde que solução de um EDF depende d pré- históri que deverá ser especificd pr resolver-se equção. Este método grnte unicidde d solução d equção.. Condições de plicbilidde Pr que o método de pssos funcione, existem lgums condições que necessitm de ser stisfeits. Com o objectivo de se entender com mis fcilidde ests condições, pss-se considerr lgums clsses d equção () em que o método de pssos se plic. ) Sej equção diferencil de rgumento retrddo ẋ + p(t)x[h(t)] = f(t), t [, b] (.3) x(ξ) = ϕ(ξ) se ξ < onde ϕ(ξ) é função inicil e h(t) é função retrddor d noss equção. Est últim função deve ser menor ou igul t, isto é, h(t) t; que é o mesmo que dizer que h(t) deve estr representd d seguinte form h(t) b t Figur.: Função retrddor h(t) pr EDR ẋ + p(t)x[h(t)] = f(t), t [, b]. Sob ests condições pode-se plicr o método de pssos pr equção (.3). Pr isto, ntes, prt-se o intervlo [, b] em sub-intervlos de comprimentos iguis [, δ], [δ, δ],, [(i )δ, b],

22 Cpítulo. Método de Pssos onde i =,,. ) Sej t [, δ] Ve-se que neste intervlo h(t). Então substitui-se x(t) por ϕ(t), ou por outr, x[h(t)] = ϕ[h(t)], tem-se: x (t) = b) t [δ, δ] A função h(t) δ; logo, x[h(t)] = x [h(t)] = equção (.3) fic: x (t) = δ [f(τ) p(τ)ϕ[h(τ)]] dτ + x(). [f(τ) p(τ) x [h(τ)]] dτ + x (δ). Anlogmente fz-se pr os restntes sub-intervlos té que se complete o intervlo. Neste cso ficrá, pr t [(i )δ, b], levndo em cont que h(t) (i )δ, então x[h(t)] = x i [h(t)]. Substituindo n equção (.3) ter-se-á: x(t) = (i )δ [f(τ) p(τ) x i [h(τ)]] dτ + x i ((i )δ) Observção: Est é fórmul gerl pr chr solução d equção (.3) usndo o método de pssos. ) Sej equção ẋ + p(t)ẋ[g(t)] + x(t) = f(t), t [, b] (.4) ẋ(ξ) = ψ(ξ), ξ <. A função retrddor g(t) deve ser menor que t, i.e., g(t) tem que estr representd do seguinte modo

23 Trblho de Licencitur g(t) b t Figur.: Função retrddor g(t) pr EDR ẋ + p(t)x[g(t)] + x(t) = f(t), t [, b]. Prte-se o intervlo [, b] em sub-intervlos regulres tis que [, δ], [δ, δ],, [(i )δ, b]. ) Sej t [, δ] Ve-se que neste intervlo g(t) é negtivo. Então ẋ[g(t)] = ψ[g(t)] e ter-se-á: x (t) = b) t [δ, δ] Not-se que g(t) δ; logo ẋ[g(t)] = x [g(t)] = equção (.4) fic: x (t) = δ [f(τ) x(τ) p(τ)ψ[g(τ)]] dτ + x(). [f(τ) x(τ) p(τ) x [g(τ)]] dτ + x (δ). De modo nàlogo fz-se pr s restntes prtições té que se complete o intervlo. Neste cso ficrá, pr t [(i )δ, b], levndo em cont que g(t) (i )δ, então ẋ[g(t)] = x i [g(t)]. Substituindo n equção (.4) ter-se-á: x(t) = (i )δ [f(τ) x(τ) p(τ) x i [g(τ)]] dτ + x i ((i )δ), que é fórmul gerl pr chr solução d equção (.4) usndo o método de pssos. 3) Sej equção diferencil neutr ẋ + p(t)x[h(t)] + l(t)ẋ[g(t)] = f(t), t [, b] (.5)

24 Cpítulo. Método de Pssos 3 x(ξ) = ϕ(ξ), ẋ(η) = ψ(η), pr ξ, η <. Est equção contém dus funções retrddors, s funções h(t) > e g(t) > respectivmente. Deve-se considerr que, pr δ >, cumpre-se iguldde δ = min {t h(t), t g(t)}. (.6) t [,b] De modo mis gerl, s funções h(t) e g(t) podem estr representds sob escd, conforme ilustrdo n figur.3 g(t) h(t) b t Figur.3: Funções retrddors h(t) e g(t) pr equção (.5) Prte-se o intervlo [, b] em prtes iguis tis que [, δ], [δ, δ],, [(i )δ, b], e plique-se o método de pssos pr equção (.6). ) Sej t [, δ] Ve-se que neste intervlo tnto h(t) como g(t) são negtivos. Então x[h(t)] = ϕ[h(t)] e ẋ[g(t)] = ψ[g(t)]. Assim temos ẋ = f(t) x[[h(t)] + ẋ[g(t)]], que ficrá x (t) = b) t [δ, δ] [f(τ) (ϕ[h(τ)] + ψ[g(τ)])]dτ + x() Neste intervlo tem-se que x[h(t)] = x [h(t)] e ẋ[g(t)] = x [g(t)]. Dqui vem que x (t) = δ [f(τ) ( x [h(τ)] + x [g(τ)])]dτ + x (δ). De modo nàlogo fz-se pr s restntes prtições té que se complete o intervlo. Neste cso, ficrá, pr t [(i )δ, b], levndo em cont que h(t) e g(t) (i )δ, então x[h(t)] = x i [g(t)] e ẋ[g(t)] = x i [g(t)]. Substituindo n equção (.5) ter-se-á:

25 4 Trblho de Licencitur x(t) = (i )δ [f(τ) ( x i [h(τ)] + x i [g(τ)])]dτ + x i ((i )δ), que é fórmul gerl pr chr solução d equção considerd. 4) E ind mis equção ou por outr form, ẋ(t) + ẋ(t) = f ( t, x(t), b ) k(t, s)ẋ(s)ds, x(), ẋ(ξ) = ψ(ξ) se ξ / [, b], k(t, s)ẋ(s)ds + A(t)x() = f(t), t [, b] (.7) ẋ(ξ) = ψ(ξ), pr ξ <, cujo núcleo k(t, s) pode ser representdo d seguinte form s k(t,s)= k(t,s) delt b t Figur.4: Núcleo k(t, s) pr equção (.7) Neste cso, prte-se o intervlo [, b] em sub-intervlos regulres tis que [, δ], [δ, δ],, [(i )δ, b], e plique-se tmbém o método de pssos. ) t [, δ] É fácil ver que, neste intervlo, k(t, s) = e ẋ(ξ) = ψ(ξ). Dqui obtem-se que ẋ = f(t). Então x (t) = f(τ)dτ + x().

26 Cpítulo. Método de Pssos 5 b) t [δ, δ] O vlor de k(t, s) vri neste intervlo sendo necessário prtir o integrl. Assim, levndo em cont que ẋ(s) = x (t), tem-se que (.7) ficrá [ τ ] ẋ(t) = f(τ) k(τ, s)ẋ(s)ds + A(τ)x() dτ δ ssim, x(t) = = = δ δ δ [ τ f(τ) [ f(τ) [ f(τ) δ δ ] k(τ, s) x (s)ds + A(τ)x() dτ + x(δ) ] τ (τ s) x (s)ds + A(τ)x() dτ + δ. x (s)dsdτ + x (δ) ] (τ s) x (s)ds + A(τ)x() dτ + x (δ) (.8) De mneir nálog fz-se pr os restntes sub-intervlos té que se complete o intervlo [, b], ou por outr, consider-se pr t [(i )δ, b], tendo em cont que o vlor de k(t, s) vri neste intervlo, sendo necessário, por isso, prtir o integrl. Assim, sendo que ẋ(s) = x i (s), vem que x(t) = (i )δ [ f(τ) (i )δ (τ s) x i (s)ds + A(τ)x() ] dτ + x i ((i )δ), determinndo ssim, fórmul gerl d solução d equção (.7) usndo o método de pssos. Observção... O núcleo d equção (.7) pode ind ser representdo do seguinte modo k(t,s) s k(t,s) s k(t,s)= k(t,s)= b t k(t,s) k(t,s)= b t Figur.5: Representções do núcleo k(t, s) pr equção (.7)

27 6 Trblho de Licencitur A plicção do método de pssos pr os csos cim é nálog o cso precedente, introduzindo-se pens um nov vriável pr o intervlo [, b] ou sej, δ = t b. Assim, começr-se-á o método de pssos d direit pr esquerd e não o contrário, como vinh sendo feito. 5) Sej equção: ẋ(t) + k(t, s)x(s)ds = f(t), t [, b] (.9) x(ξ) = ψ(ξ), pr ξ <. Est equção represent-se n form (.7). Relmente, levndo em cont que x(t) = ẋ(s)ds + x() e fzendo troc de vriáveis, obtem-se k(t, s)x(s)ds = = = = τ k(t, s) τ k(t, s) τ ẋ(τ)dsdτ + x() k(t, s)ds } {{ } ẋ(τ)dsdτ + A(t)x() ẋ(τ)dτ k(t, s)ds +A(t)x() } {{ } k (t,τ) A(t) k (t, τ)ẋ(τ)dτ + A(t)x(). (.) É fcil ver que o substituir (.) em (.9), ter-se-á imeditmente equção (.7). Então, o método de pssos é plicável de mneir nálog à equção (.9)..3 Exemplos Exemplo.3.. [3]. Considere-se equção diferencil retrdd ẋ = x[t ], t [, 3] (.) x(ξ) = ϕ(ξ) = se ξ <, com condição inicil x() =. Resolução: Represente-se primeiro função h(t) = t grficmente:

28 Cpítulo. Método de Pssos 7 y y=t y=h(t) 3 t Figur.6: Função h(t) = t pr equção (.) Divid-se o intervlo [,3] em três intervlos de igul dimensão, isto é, [, ], [, ], [, 3] e resolv-se equção (.) em cd um destes intervlos: ) Sej t [, ] A função h(t) é negtiv neste intervlo, isto é, h(t) <. Então substituindo x(t ) = ϕ(t ) =, ter-se-á: b) t [, ] x (t) = ϕ(τ )dτ + x() = Note-se que h(t), logo x(t ) = x (t ) = t, x () = = equção (.) fic: c) t [, 3] x (t) = x (τ )dτ + x () = Neste intervlo, função h(t), então: dτ + = t. ( τ)dτ + = t + t + 3. x(t ) = x (t ) = (t ) + (t ) + 3 e x () =. Substituindo n equção (.) vem que: x(t) = = x (τ )dτ + x () [ (τ ) + (τ ) + 3 ] d(τ ).

29 8 Trblho de Licencitur Por cálculos imeditos obtem-se x(t) = (t ) 6 (t )3 3 t, que será solução finl no intervlo [, 3]. A resolução gráfic d equção (.) é dd bixo. Resolução gráfic.5 x(t) t Figur.7: Solução d EDR ẋ = x(t ) usndo o método de pssos em [, 3]. Exemplo.3.. Sej seguinte equção diferencil retrdd: ẋ = [ ẋ t ] + t, t [, ] (.) ẋ(ξ) = se ξ <, com condição inicil x() =. Resolução: Represente-se função g(t) = t grficmente:

30 Cpítulo. Método de Pssos 9 - y y=t y=g(t) / 3/ t Figur.8: Função h(t) = t pr equção (.) O intervlo [, ] pode ser reprtido de modo que [, ] [ ],,. Investigue-se [ equção (.) em cd um destes intervlos: ) Sej t, ] Neste intervlo, g(t) <. Então ẋ b) t [ ], x (t) = = ( t ) ( = ψ t ) =, com ξ = t, obtem-se: [ ( ψ τ [ ] + τ dτ + = t3 3. ( Note-se que g(t) mudou de sinl, isto é, g(t) > ; logo ẋ ) x ( =. Assim equção (.) fic: 4 [ x (t) = por cálculos imeditos tem-se = x [ 3 x (t) = ) + τ ] dτ + x() t ( τ ) ] ( ) + τ dτ + x ( τ ) ] 3 + τ dτ + 4, ( t ) t3 + t 4. A solução d equção (.) é dd n form gráfic do seguinte modo ) ( = x t ) = ( t ) 3, 3

31 Trblho de Licencitur.7 Resolução gráfic x(t) t Figur.9: Solução d equção ẋ = [ ẋ t ] + t em t [, ]. Exemplo.3.3. Considere-se equção neutr ẋ + x[t ] ẋ[t ] =, t [, ] (.3) x() =, x(ξ) = ϕ(ξ) = ξ, ẋ(η) = ψ(η) = η, pr ξ, η <. Resolução: Tem-se que o δ é determindo pel iguldde δ = min {t (t ), t (t )} = min t [,] O gráfico ds funções retrddors h(t) e g(t) será t [,] {, } = (.4)

32 Cpítulo. Método de Pssos - y y=t y=h(t) y=g(t) 3 t Figur.: Funções h(t) = t e g(t) = t pr equção (.3) Aplique-se o método de pssos pr (.3). Ter-se-á: )Pr t [, ] Sendo h(t) < e g(t) < então substitui-se x(t ) = ϕ(t ) = t, ẋ(t ) = ψ(t ) = t pois ξ = t e η = t respectivmente. Assim tem-se ẋ = (t ) + (t ) = 3t 4, que ficrá x (t) = = ( 3τ (3τ 4)dτ + x() 4τ = 3t 4t. ) t + b) t [, ] Neste intervlo tem-se que 3(t ) x(t ) = x (t ) = e x () = 5. Assim 4(t ), ẋ(t ) = x (t ) = 3(t ) 4(t ) ẋ = x (t ) + x (t ),

33 Trblho de Licencitur ficrá x (t) = [ x (τ ) + x (τ )] dτ + x () [ ( ) ] 3(τ ) 3(τ ) = 4(τ ) + 4(τ ) dτ 5 = 5 ( ) 3(τ ) ( ) 3(τ ) 4(τ ) d(τ ) + 4(τ ) d(τ ), clculndo est integrl tem-se x (t) = (t ) 3 + 4(t ) + (t )3 A solução d equção (.3) é dd n form gráfic seguinte (t ). 3 Resolução gráfic x(t) t Figur.: Solução d equção ẋ + x[t ] ẋ[t ] = em t [, ] Exemplo.3.4. Considere-se equção integro-diferencil ẋ(t) + k(t, s)ẋ(s)ds = t, t x() =, ẋ(ξ) =, ξ <, [, 3 ], (.5) com, se s t k(t, s) = t s, se s < t.

34 Cpítulo. Método de Pssos 3 Resolução: O núcleo k(t, s) pr equção (.5) é representdo no gráfico bixo: s 3/ k(t,s)= / k(t,s) / 3/ t Figur.: Núcleo k(t, s) pr equção (.5) Aplicndo [ o método de pssos pr equção (.5) ter-se-á: ) t, ] Aqui é preciso considerr o comportmento de k(t, s) pr ver como vri s. s t, x() = e k(t, s) =, obtem-se Neste cso ẋ = t, ou por outr x (t) = ( ) τ t τdτ + x() = = t. [ ] b) t, Ve-se que o vlor de k(t, s) vri neste intervlo ( ) sendo necessário prtir o integrl. Assim, levndo em cont que ẋ(s) = x (s) = s e x =, tem-se que (.5) fic 8 ẋ(t) = t k(t, s)ẋ(s)ds

35 4 Trblho de Licencitur ssim, ( τ ) ( ) x (t) = τ k(τ, s) s ds dτ + x ( t ) τ = τdτ (τ s) s ds + ds dτ + 8 ( ) τ τ=t = + τ= 8 ( t ) (τ s)s ds dτ = t ( t ) (s τ s 3 )ds dτ Por cálculos imeditos tem-se x (t) = 47t 96 + t [ c) t, 3 ] Observ-se que o vlor de k(t, s) vri neste intervlo sendo necessário, ssim, prtir o integrl. Assim, levndo em considerção que ẋ(s) = x (s) = 47s 96 + s e x () = , tem-se que (.5) fic ssim, x 3 (t) = = imeditmente tem-se ( τ τ τdτ = t ẋ(t) = t [ 47s k(τ, s) k(t, s)ẋ(s)ds 96 + s ( [ 47s (τ s) 96 + s ( (τ s) ] ) ds dτ + x () ] τ ds + [ 47s 96 + s x(t) = 96t t , ] ds ) ds dτ ) dτ, que é solução d equção no intervlo considerdo. A solução gráfic d equção (.5) é dd seguir:

36 Cpítulo. Método de Pssos 5.4 Resolução gráfic..8 x(t) t Figur.3: Solução d equção ẋ(t) + [, k(t, s)ẋ(s)ds = t, usndo o método de pssos em 3 ].

37 Cpítulo 3 Método de substituição Neste cpítulo fz-se um descrição detlhd deste método quntittivo pr integrção ds Equções Diferenciis Funcionis. Procur-se identificr s clsses de EDFs integráveis d equção (), trvés deste método. São ddos exemplos de resolução desss EDFs e condições de plicbilidde do método de substituição. 3. Descrição Considere-se equção () ẋ(t) = f ( t, x(t), ) k(t, s)ẋ(s)ds, ẋ(g(t)), x() x(ξ) = ϕ(ξ), ẋ(ξ) = ψ(ξ) se ξ / [, b], no cso em que n k(t, s) = r i (t)m i (s). (3.) i= Procure-se plicr o método de substituição num clsse dest equção, ms ntes descreverse-á tl método. O método de substituição consiste em substituir derivd d função incógnit ẋ(t) por outr função n EDF, de modo obter-se um EDO, ou sej, plic-se substituição ẏ i (s) = 6

38 Cpítulo 3. Método de substituição 7 m i (s)ẋ(s) n EDF em cus pr que sej obtid um EDO que depend de um únic vriável. Mostre-se como isto se reliz num clsse d equção (), isto é, pr equção (.9) ẋ(t) + k(t, s)x(s)ds = f(t), t [, b] x(ξ) = ϕ(ξ) pr ξ <, com o núcleo seprável isto é, ẋ + k(t, s) = r(t)m(s), r(t)m(s)ẋ(s)ds + A(t)x() = f(t). Psso. N integrl, procur-se termos que dependem d mesm vriável e substitui-se pelo diferencil dum função, ou sej, plic-se substituição ẏ(s) = m(s)ẋ(s) e isol-se o ẋ(s), ou por outr, ẏ m + r(t) Psso. Resolve-se equção tomndo em cont que um equção diferencil ordinári, isto é ẏ(s)ds + A(t)x() = f(t). ẏ + r(t)[y(t) y()] + A(t)x() = f(t). m ẏ(s)ds = [y(t) y()] e obtem-se 3. Condições de plicbilidde Pr plicr este método em clsses d equção () é preciso grntir que s funções y i (s) e x(s) pertençm o espço L [, b]. Além disso, s funções m i (s) devem pertencer o espço L [, b] com m i (s). Assim, o produto m i (s)ẋ(s) é integrável, pel desigulidde de Hölder. Nests condicções, é possivel plicr substituição ẏ i (s) = m i (s)ẋ(s). Observção 3... O método de substituição, diferentemente do método de pssos, não necessit d pré-históri ou função inicil pr o seu funcionmento. As condições nteriormente citds já são suficientes.

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