INTRODUÇÃO À MECÂNICA CLÁSSICA. Folhas de Problemas

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1 INTRODUÇÃO À MECÂNIC CLÁSSIC 2001/2002 Folhas de Probleas Paulo Sá, Maria Inês Carvalho e níbal Matos (recolha de probleas de diversas fontes)

2 Bibliografia principal. Bedford, W. Fowler, Engineering Mechanics Statics, ddison -Wesley, Bedford, W. Fowler, Engineering Mechanics Dynaics, ddison -Wesley, 1996.

3 1 a Folha de Probleas 1. força de atrito de escorregaento, F a, entre dois ateriais pode escrever-se, dentro de certa aproxiação, na fora F a = K 1 v + K 2 v 2, onde v é a velocidade relativa dos dois ateriais e K 1 e K 2 são coeficientes de atrito que, e unidades CGS, vale K 1 =0, 1eK 2 =0, Deterine: (a) s diensões dos coeficientes K 1 e K 2 ; (b) Os respectivos valores no SI. 2. Verifica-se experientalente que o período T das oscilações de u pêndulo varia co a aceleração local, g, da gravidade e co o copriento l, dopêndulo. Qual é a dependência e g eel da fórula que perite calcular o período do pêndulo? 3. Segundo a lei da atracção universal, a força gravítica co que a Terra atrai qualquer corpo de assa é dada por: F = G M ûr, onde M é a assa da Terra, d adistância entre o centro da Terra e o centro de gravidade do corpo, G é a constante de gravitação universal e û r é u versor que aponta do centro da Terra para o centro de gravidade do corpo. Mostre que se o corpo estiver colocado na proxiidade da superfície da Terra, a ua altura z (uito enor do que o raio da Terra, R), a aceleração da gravidade se pode escrever ( g g o 1 2z ) R onde g o é a aceleração local da gravidade. d 2 4. Na figura está representada ua escavadora e assinalados os pontos, B e C. (a) Escreva as coponentes do raio vector de posição do ponto B relativaente ao ponto. (b) Escreva as coponentes do raio vector de posição do ponto C relativaente ao ponto B. 1

4 (c) Utilize os resultados obtidos para deterinar a distância de a C. (d) Para levantar a pá da escavadora, o aquinista auenta o copriento do cilindro hidráulico B. distância entre os pontos B e C anté-se constante. Se o copriento B for de 65 polegadas, deterine o raio vector de posição de B relativaente a. 5. Na figura, a força vertical W te ua intensidade de 160 N. Os cossenos directores do raio vector de posição de B e relação a são cos θ x =0, 500, cos θ y = 0, 866 e cos θ z = 0. Os cossenos directores do raio vector de posição de C relativaente a B são cos θ x =0, 707, cos θ y =0, 619 e cos θ z = 0, 342. O ponto G está situado a eio da linha que une B a C. Deterine o vector r W, onde r é o raio vector de posição de G relativaente a. 6. O cilindro da figura pesa 220 N eestá assente nas duas superfícies lisas inclinadas. (a) Represente o diagraa de forças que actua no cilindro. (b) Se α =30 o,qualé a intensidade das forças exercidas pelas duas superfícies sobre o cilindro? (c) Obtenha, e função do ângulo α, ua expressão para a força exercida sobre o cilindro pela superfície da esquerda, usando dois sisteas de coordenadas diferentes: i. co o eixo dos yy vertical; ii. co o eixo dos yy paralelo à superfície da direita. α 45 o 7. s forças que actua sobre u avião sãooseupeso, W,aforça otora exercida pelos otores, T, easforças aerodinâicas. Na figura, a linha a tracejado indica a direcção seguida pelo avião. s forças aerodinâicas pode decopor-se nua coponente perpendicular, a força da ipulsão L, e nua coponente paralela, a força de resistência D,àquela direcção. O ângulo γ entre a horizontal e a direcção da trajectória é denoinado ângulo de voo e α éoângulo de ataque. O avião pesa 1, N. 2

5 y L x γ α T D W (a) ditindo que o aviãovoaauaalturaestável (γ =0),oângulo de ataque α =10 o e T =3, N, que valores toa as forças de resistência D edeipulsão L? (b) Se o ângulo de ataque α = 0 e os quocientes T D =2e L D =4,qualéovalordoângulo γ? (c) Quando o avião plana e voo estacionário (T =0)co L D = 4, quanto vale γ? (d) Se na situação da alínea anterior o avião baixar da altitude de 1000 para zero, que distância horizontal percorrerá? 8. torre representada na figura te 70 de altura. s tensões nos cabos B, C e D são 4 kn, 2kN e2kn, respectivaente. y D C 35 O 40 B x 40 z (a) Deterine a resultante dos oentos das forças exercidas pelos cabos no ponto e relação à orige O. (b) Mantendo e 4 kn atensão no cabo B, pretende-se ajustar as tensões nos cabos C e D de tal fora que a resultante dos oentos que as tensões nos cabos exerce e relativaente ao ponto O seja nula. Deterine os valores que deve ter as tensões nos outros dois cabos. 3

6 2 a Folha de Probleas 1. placa rectangular da figura é antida e equilíbrio pela força horizontal F. Cooaplacaé hoogénea, o peso W actua no seu centro. (a) Mostre que F é dada expressão: F = b cos α h sin α 2(h cos α + b sin α) W. b F h (b) Sabendo que b h = 4, deterine o ângulo α para o qual a placa estará eequilíbrio para os seguintes 3 valores do quociente F W :0,1e2. (Nota: adita que 0 α 90 o.) W α 2. escada representada na figura te 4 de copriento, ua assa de 18 kg e o seu centro de assa encontra-se no seu centro geoétrico. Considere desprezável o atrito entre a escada e a parede. (a) pessoa que sobe a escada te ua assa de 90 kg. Seα = 30 o,qualéovalorínio do coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão para que a pessoa possa subir até ao cio da escada? (b) Se a pessoa tiver 100 kg de assa e µ e =0, 6, deterine o valor áxio adissível de α para que possa subir a escada até ao topo. (c) dita agora que µ e =0, 6eα =35 o e que u jogador de rugby de 140 kg de assa a vai subir. Qual éovaloráxio de x que consegue atingir? (d) Nas condições da alínea anterior, qual deverá ser o valor ínio do coeficiente de atrito estático para que o jogador possa subir toda a escada? 3. Ua partícula ove-se ao longo de ua curva cujas equações paraétricas são: x =3e 2t, y =4sin3t, z =5cos3t, escritas e unidades SI. (a) Escreva os vectores velocidade e aceleração da partícula no instante t. (b) Qual éovalordavelocidadedapartícula quando t = 0s? (c) Deterine a aceleração tangencial e a aceleração noral da partícula e função do tepo. 4

7 4. Ua partícula ove-se co ua aceleração dada por: a =2e t î +5cost ĵ 3sint ˆk, escrita e unidades SI. Sabe-se que no instante t =0s apartícula se encontra no ponto (1, 3, 2) e te velocidade v o (s 1 )=4î 3ĵ +2ˆk. Deterine: (a) o vector velocidade instantânea da partícula; (b) lei horária do oviento. 5. Prende-se ua pequena bola na extreidade de u elástico que é posto a rodar de tal fora que o raio vector de posição da bola é dado pela equação: r(t) =b cos ωt î +2b sin ωt ĵ, onde b e ω são constantes. (a) Mostre que a trajectória da bola é ua elipse. (b) Deterine a velocidade da bola e função do tepo. (c) E que instantes équeéáxio e ínio o afastaento da bola relativaente àorige? Qual o valor da velocidade da bola nesses instantes? 6. Ua osca zubidora ove-se seguindo u percurso helicoidal dado pela equação: r(t) =b sin ωt î + b cos ωt ĵ + ct 2 ˆk. (a) Mostre que a aceleração da osca é constante desde que b, ω e c seja constantes. (b) Deterine as coponentes tangencial e noral da aceleração da osca e função do tepo. 7. U abelha deixa o cortiço seguindo u percurso e espiral que e coordenadas polares é dado por: r = be kt e θ = ct, onde b, k e c são constantes positivas. (a) Mostre que o ângulo entre o vector velocidade e o vector aceleração se anté constante àedidaqueaabelhaseove. (b) Deterine as coponentes tangencial e noral da aceleração da abelha e função do tepo. 8. O raio vector de posição de ua partícula que descreve ua dada curva e espiral é: r(t) = 3 cos 2t î +3sin2t ĵ +(8t 4) ˆk. (a) Utilizando coordenadas cilíndricas, escreva: i. O raio vector posição; ii. O vector velocidade da partícula e ostre que a velocidade é constante; iii. O vector aceleração da partícula (b) Calcule o raio de curvatura desta trajectória. 5

8 3 a Folha de Probleas 1. U aviãosobecouângulo β constante e co ua velocidade v tabé constante. O avião está a ser seguido do solo por ua estação de radar, situada e. Deterine as velocidades radiais Ṙ e angular θ coo funções do ângulo θ, por dois processos distintos: v (a) utilizando ua abordage trigonoétrica; (b) utilizando coordenadas polares e ua abordage cineática; H β R θ 2. Considere o sistea representado na figura. (a) Se y = 100, dy dt = 200 /s e d2 y =0,quaissão dt 2 os valores da velocidade e da aceleração do ponto P? (b) Escreva a velocidade e a aceleração do ponto P à custa das suas coponentes norais e tangenciais. P (c) Suponha que o ponto P se ove para cia na calha co velocidade v = 300û t (/s). Quando y = 150, quais são os valores de dy dt e d2 y? dt y 3. u ciclista que se desloca para norte, nua recta, à velocidade de 16 k/h, o vento parece soprar de oeste. Se ele auenta a sua velocidade para 30 k/h, parece soprar de noroeste. Deterine a velocidade e a direcção do vento. 4. U nadador parte de u ponto na arge de u rio e desloca-se co velocidade constante, v, relativaente àágua. O rio te largura d eassuaságuas estão aniadas de ua corrente co velocidade V (V < v) relativaente às argens. 1 v d d 2 (a) O nadador efectua os trajectos de ida e volta 1 nu tepo t 1 e 2 nu tepo t 2. Deterine t 1 e t 2 e indique qual dos trajectos leva enos tepo a percorrer. 6

9 (b) Sabendo que t 2 =2t 1, deterine a direcção da velocidade v do nadador que se desloca contra a corrente para chegar a, eotepot 0 que o nadador precisaria para percorrer o trajecto de ida e volta (2d) nu lago (V =0). 5. velocidade da lancha relativaente a u sistea de coordenadas fixo à Terra é40î (SI). O copriento da corda esticada onde se agarra o esquiador éde50. O ângulo θ éde30 o e auenta a ua taxa constante de 10 o s 1. y θ x Deterine: (a) a velocidade e a aceleração do esquiador relativaente à lancha. (b) a velocidade e a aceleração do esquiador relativaente à Terra. 6. U avião atravessa ua corrente de ar que se desloca para este co ua velocidade de 100 ilhas/hora. velocidade do avião relativaente à assa de ar é de 500 ilhas/hora e direcção a NW. N (a) Qual é o valor e o sentido da velocidade do avião relativaente à Terra? O S E (b) Se o piloto pretender voar para ua cidade que se encontra a NW da sua posição actual, e que direcção deve apontar o aviãoequalseráovalordasua velocidade relativaente à Terra? 00 ilhas/hr 7. U projéctil é lançado verticalente. Suponha que a resistência do ar ao oviento do projéctil varia co o quadrado da velocidade deste. (a) Mostre que a variação da velocidade do projéctil co a altura é dada pelas equações: v 2 (z) =e 2kz g k (oviento ascendente) e v 2 (z) = g k Be2kz (oviento descendente) onde e B são constantes de integração, g é a aceleração da gravidade e k = c 2, onde c 2 é a constante de atrito e é a assa do projéctil. Nota: Considera-se que z é positivo para cia e que a aceleração da gravidade é constante. 7

10 (b) Mostre que quando o projéctil atinge o solo a sua velocidade é dada por v o v L (vo 2 + vl 2 ) 1 2, onde v o é a velocidade inicial co que foi lançado e v L é a velocidade liite. 8. U partícula de laa é lançada da periferia de u pneu de raio a, de u autoóvel que se desloca co velocidade v. Se v 2 ga, ostre que a laa não pode ser lançada a ua altura superior a a + v2 2g + ga2 2vo 2. z ω k O i s P(x, z) θ a x 8

11 4 a Folha de Probleas 1. O robot esqueatizado na figura ao lado, está prograado para que a trajectória da partícula, de assa, seja descrita pelas equações: r =1 0, 5 cos 2πt () θ =0, 5 0, 2 sin[2π(t 0, 1)] (rad). (a) Deterine os valores de r edeθ para os quais a velocidade de éáxia. (b) Deterine os valores de r edeθ para os quais a aceleração de éáxia. (c) No instante t = 2s, deterine as coponentes radial e transversal da força que as garras do robot exerce sobre a partícula. r θ 2. O anipulador do robot está prograado para que x =4+t 2 (c), y = 1 4 x2 (c) ez =0, durante o intervalo entre t =0et =4s. y x (a) Deterine, no instante t =2s, ascoponentesx e y da força total exercida pelas garras do anipulador sobre o objecto de 45 N de peso. (b) Se o anipulador estiver parado e t = 0 e for prograado para que a x =2 0, 4v x (c/s 2 ), a y =1 0, 2v y (c/s 2 )ea z = 0 durante o intervalo de tepo entre t =0et =4s, quais são as coponentes x e y da força total exercida pela garra sobre no instante t =2s? 3. corrediça representada na figura te 8 kg de assa. (a) Qual é a sua aceleração relativaente à barra lisa onde se ove? (b) Deterine a aceleração de relativaente à barra se entre esta e a corrediça o coeficiente de atrito cinético for µ c =0, o 20 o 200 N 9

12 4. Ua corda unifore de assa M e copriento L passa por u pino se atrito e de raio uito pequeno. No início do oviento, BC = b. Mostre que a aceleração e a velocidade da corda quando BC = 2L 3,são: a = g 3 e v = 2g ( 29 ) L L2 + bl b 2, B b respectivaente. C 5. Dois blocos de assas e M estão ligados por u fio inextensível que passa nua roldana se atrito. assa está suspensa verticalente e assa M ove-se sobre u plano inclinado que faz u ângulo θ co a horizontal (ver figura). Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco de assa M e o plano inclinado é µ c,calculeoângulo θ para que o bloco se ova co velocidade unifore. Discuta o caso especial e que = M. Neste caso, se µ c =0, 3, qual deve ser o valor do ângulo θ? M θ 6. Ua partícula P de assa repousa, inicialente, no topo de ua calote esférica fixa, de raio R. partícula é deslocada ligeiraente e, assi, desliza se atrito sobre a esfera até cair. P g R (a) Mostre que as coponentes noral e tangencial da força que actua na partícula são dadas por R θ 2 = N g sin θ R θ = g cos θ, respectivaente, onde g é a aceleração da gravidade e N éoódulo da reacção da superfície da esfera sobre a partícula. (b) Por integração destas equações, ostre que a noral à esfera é N = g(3 sin θ 2). (c) E que posição deixará apartícula de estar e contacto co a esfera? 10

13 (d) Qual será a sua velocidade, e ódulo, nessa posição? (e) Recorrendo ao princípio da conservação da energia, deterine a posição e que a partícula deixa a esfera e calcule o ódulo da sua velocidade. 7. U caixote é arrastado pelo chão pela força exercida por u guincho que vai enrolando o cabo co ua taxa constante de 0, 2 /s. assa do caixote é de 120 kg e o coeficiente de atrito cinético entre o caixote e o chão é µ c =0, (a) No instante representado na figura, qual é a tensão no cabo? (b) Desprezando a aceleração do caixote, obtenha ua solução quase-estática para a tensão e copare o resultado co o da alínea a). 8. barra representada na figura roda no plano horizontal co ua velocidade angular constante, ω o. O copriento livre da ola linear é r o. corrediça te assa eé largada da posição r = r o se velocidade radial. Deterine: (a) a velocidade radial da corrediça coo função de r; k ω o (b) a força horizontal exercida sobre a corrediça pela barra, igualente e função de r; (c) a áxia distância radial atingida pela corrediça. 11

14 5 a Folha de Probleas 1. U estudante de 70 kg de assa salta no abiso do cio de ua ponte co altura h =40. corda que o agarra pelas pernas te u copriento livre de 18 e ua constante de elasticidade K = 205 N/. (a) que altura acia do rio se encontra o estudante quando a corda o faz parar? (b) Qual éovaloráxio da força que a corda exerce sobre o estudante? (c) Qual éovalordavelocidadeáxia que o estudante saltador atinge? (d) que altura acia do rio équeé atingida essa velocidade áxia? 2. Ua assa = 2kg está colocada sobre ua barra horizontal plana, inicialente e repouso. barra é posta a rodar no plano vertical e torno do ponto O co ua aceleração angular constante α =1rad/s 2. Verifica-se que a assa coeça a deslizar relativaente à barra quando esta faz u ângulo de 30 o co a horizontal. Qual éovalordocoeficientedeatritoestático entre a assa e barra? assa desliza e direcção a O ou e sentido contrário? 1rad/s 2 2kg O 1 3. À edida que a barra representada na figura roda no plano horizontal, o cabo que prende a corrediça vai sendo enrolado no cilindro fixo puxando assi a corrediça para baixo. No instante t = 0, a barra está e repouso na posição ostrada e coeça a rodar co ua aceleração angular constante de 6 rad/s 2. corrediça te u 1 kg de assa. (a) Supondo que a corrediça desliza se atrito co a barra, deterine a tensão no cabo quando t =1s. (b) ditindo agora que o coeficiente de atrito cinético entre a corrediça e a barra é µ c =0, 2, qual é a tensão no cabo no instante t =1s? rad/s 2 12

15 4. U bloco () de assa está colocado sobre u tijolo (B) de assa M, que se encontra nu plano horizontal se atrito. O coeficiente de atrito estático entre as superfícies do bloco e do tijolo é f. O tijolo está sujeito àacção de ua força horizontal co a fora F = ct, onde c é ua constante. B F Deterine: (a) O instante t o e que o tijolo coeça a deslizar sobre o bloco; (b) s acelerações do bloco e do tijolo no decorrer dos seus ovientos. 5. s assas dos blocos e B são, respectivaente, 10 kg e 40 kg. O coeficiente de atrito cinético entre todas as superfícies é µ c =0, 11. (a) Qual é a aceleração de B ao descer o plano inclinado? (b) Calcule a tensão no cabo. 20 o B 6. U avião pesa W = N e, a ua dada altitude, executa ua volta co ua velocidade constante de 180 /s. Oângulo de rotação ( bank ) éde15 o. 15 o (a) Deterine o valor da força de ipulsão, L. L (b) Qual é o raio de curvatura da trajectória do avião? W 7. figura ostra ua assa de 10 kg que roda nu plano horizontal e torno da barra vertical, àqualestá presa pelos cabos e B, segundo ua trajectória circular de raio R =1. (a) Se a sua velocidade for de 3 /s, quaissão os valores das tensões nos cabos e B? (b) Deterine a gaa de valores da velocidade v para a qual a assa se anté na trajectória circular descrita. 35 o B 55 o R 13

16 8. rapa de acesso a ua auto-estrada é circular co raio R. O seu paviento te ua inclinação segundo o ângulo β, tal coo indicado na figura. IMC β Mostre que a áxia velocidade constante a que u autoóvel se pode deslocar nessa rapa se perder o contacto co o paviento é: ( ) sin β + µe cos β v = gr, cos β µ e sin β onde µ e é o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o asfalto. 14

17 6 a Folha de Probleas 1. O sistea representado na figura é largado do repouso. (a) plique o teorea trabalho-energia cinética a cada assa para calcular a velocidade das assas quando se desloca 30 c. (b) Qual é a tensão na corda durante o oviento do sistea? (c) Resolva a alínea a) aplicando o teorea trabalho-energia cinética ao sistea forado pelas duas assas, a corda e a roldana. 4 kg 20 kg 2. U guincho puxa u caixote co ua assa de 160 kg ao longo de ua rapa. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o caixote e a rapa são µ e =0, 3eµ c =0, 28, respectivaente. 18 o s (a) Qual éovalordatensão T o que o guincho deve exercer para que o caixote inicie o seu oviento ascendente ao longo da rapa? (b) Se a tensão se antiver co o valor T o após o caixote ter coeçado a deslizar, calcule o trabalho total realizado sobre o caixote quando ele se desloca de 3. Qual éentãoasua velocidade? (c) Se apósoinício do oviento do caixote o guincho exercer ua tensão T = T o (1 + 0, 1s), qual é o trabalho total realizado sobre o caixote quando ele se desloca de 3? Deterine a sua velocidade. 3. U estudante que pesa 800 N corre co ua velocidade de 4, 5 /s, agarra ua corda e balança sobre u lago. 15

18 (a) Sabendo que larga a corda quando a sua velocidade é nula, qual éoângulo θ nesse instante? (b) Deterine a tensão na corda iediataente antes de o estudante a largar. (c) Qual éovaloráxiodatensão na corda? (d) Se o estudante largar a corda quando θ =25 o, qual a altura áxia que atinge relativaente àsuaposição quando agarra a corda? (e) Deterine o valor do ângulo θ para o qual o estudante deve largar a corda de fora a axiizar a distância horizontal b. Quanto vale b? 4. Quando a corrediça co ua assa de 1 kg se encontra na posição 1, a tensão na ola éde 50 N e o copriento da ola é de (a) Se a corrediça for levada para a posição 2 e largada do repouso, qual é a sua velocidade quando retorna a 1? (b) Suponha que as tensões na ola, nas posições 1 e 2 são, respectivaente, de 100 N e 400 N. i. Qual é a constante elástica da ola, k? ii. Se à corrediça for dada ua velocidade de 15 /s quando se encontra e 1, deterine co que velocidade chega àposição Na posição ostrada na figura, o sistea esqueatizado encontra-se e repouso. corrediça pesa 55 N e a constante elástica da ola éde30n/. Nu dado instante é aplicada ao cabo ua força constante de 130 N. 130 N (a) Qual é a velocidade da corrediça quando sobe 0, 5? 0,9 (b) Deterine a altura atingida por relativaente à sua posição inicial. k 0,6 6. No odelo do potencial 6 12 de Lennard-Jones, a energia potencial de interacção entre duas oléculas de u gás pode ser escrita na fora aproxiada: ( ro ) 6 ( ro ) ] 12 U(r) = U o [2, r r onde U o e r o são constantes positivas e r éadistância entre as duas oléculas. Esboce o gráfico de U(r) e discuta os ovientos possíveis das duas oléculas para diferentes valores da sua energia total. 16

19 7. U anel de assa desliza se atrito sobre u aro vertical de raio R. Presa ao anel e àparte inferior do aro está ua ola de constante elástica K e copriento natural l o. g (a) Trace u gráfico da energia potencial do anel e função do copriento l da ola nua dada posição do anel. (b) Supondo que há conservação da energia ecânica, analise o oviento do anel e função da sua velocidade e de possíveis zonas do aro interditas ao oviento. (c) Suponha que o anel, inicialente colocado no topo do aro, é deslocado ligeiraente dessa posição de fora a que a sua velocidade inicial possa ser considerada nula. Mostre que a velocidade do anel e qualquer ponto do seu oviento é dada por [( v(θ) = 4R g + kr ) cos 2 θ kl ] o (1 sin θ), onde θ éoângulo entre a horizontal e a direcção instantânea da ola. 8. U sepre-e-pé consiste nu corpo de assa desprezável ligado através de dois braços, tabé de assa desprezável, a duas pequenas bolas, de assa cada ua, tal coo é ostrado na figura. Este brinquedo é extraordinariaente estável pode ser balanceado à vontade porque o risco de tobar é pequeno. (a) Estudando a energia potencial do brinquedo, analise a estabilidade do seu coportaento. l α α L (b) Supondo que ele é balanceado de u lado para o outro, qual é a frequência angular das suas oscilações de pequena aplitude? l 17

20 7 a Folha de Probleas 1. U pequeno autoóvel de assa e velocidade inicial v o colide frontalente, nua estrada gelada, co u caião de assa 4 que se dirige e direcção ao autoóvel co ua velocidade inicial vo 2. Se o coeficiente de restituição da colisão for de 1 4, deterine o sentido e a velocidade de cada veículo logo após a colisão. 2. Dois autoóveis unidos co bons pára-choques colide frontalente co velocidades v = v B =25k/h. ssuasassassão M = 1250 kg e M B = 2000 kg. O coeficiente de restituição é e =0., 2. (a) Deterine a velocidade dos autoóveis após a colisão. (b) ditindo que o tepo de colisão éde0, 1 s, qualé o valor da aceleração édiaaqueos ocupantes dos dois autoóveis fica sujeitos? 3. Nua linha de ontage, ua pacote de 20 kg parte do repouso e desloca-se sobre u plano inclinado até atingir o dispositivo hidráulico B. Suponha que pretende projectar este dispositivo de fora a que exerça ua força, co intensidade F, sobre o pacote para o iobilizar o B (a) Se a força tiver ua intensidade constante e for necessário que o pacote fique e repouso ao fi de 2 s, que valor deve ter F? (b) Se o dispositivo hidráulico exercer ua força co intensidade F = 540(1 + 0, 4t) (N) sobre o pacote, onde t é edido e segundos a partir do instante do prieiro contacto, que tepo é necessário para que o pacote se iobilize? 4. U satélite que se desloca co ua velocidade de 7 k/s é atingido por u eteoro co 1 kg de assa e aniado de ua velocidade de 12 k/s. Depois do ipacto, o eteoro fica agarrado ao satélite. 18

21 S β 7 k/s 45 o 12 k/s M Deterine: (a) o valor da velocidade do centro de assa do sistea satélite+eteoro depois do choque; (b) o valor do ângulo β entre o percurso seguido pelo centro de assa do sistea e a trajectória inicial do satélite. 5. U partícula de ass 1 colide elasticaente co ua partícula alvo, de assa 2, que está inicialente e repouso. Se a colisão for frontal, ostre que a partícula incidente perde ua fracção da sua energia cinética inicial igual a 4µ, onde µ é a assa reduzida do sistea e = U protão de assa p que se desloca co velocidade v o colide co u átoo de hélio, de assa 4 p, que está inicialente e repouso. direcção e que o protão deixa o ponto de ipacto faz u ângulo de 45 o co a sua direcção inicial de oviento. (a) Supondo que a colisão é perfeitaente elástica, quais são as velocidades finais de cada ua das partículas? E que direcção se ove o átoo de hélio? (b) Sabendo que a colisão éinelástica e que te u Q igual a 1 4 da energia inicial do protão, deterine as velocidades finais de cada ua das partículas e direcçãoequeseoveo átoo de hélio. 7. U fluxo de 45 kg/s de gravilha deixa o cano esqueatizado na figura, co ua velocidade de 2 /s, indo cair nu tapete rolante que se ove co ua velocidade de 0, 3 /s. 45 o y 2 0,3 /s θ x Deterine as coponentes da força exercida sobre o tapete rolante pela gravilha quando (a) θ =0 o ; (b) θ =30 o. 19

22 8. água entra no sistea de propulsãodeualanchanoponto e deixa-o e B a25k/h relativaente à lancha. dita que a velocidade da águaaoentrarnão te coponente horizontal relativaente à restante assa de água. O fluxo ássico de água no otor éde35kg/s. força de resistência hidrodinâica ao oviento da lancha éde6v (SI), onde v é a velocidade da lancha. B (a) Qual é a velocidade áxia atingida pela lancha? (b) lancha te ua assa de 1300 kg e parte do repouso e t = 0. Deterine a velocidade da lancha quando t =20s. 20

23 8 a Folha de Probleas 1. Na figura está representada ua barra, co u copriento de 2, que pode rodar e torno do ponto O co ua velocidade angular de 20 rad/s. y 20 rad/s B x 1 1 (a) Escreva o vector velocidade angular da barra. (b) Deterine a velocidade do ponto B relativaente ao ponto O. (c) Deterine a velocidade do ponto relativaente ao ponto B. 2. barra esqueatizada na figura executa u oviento bidiensional no plano xy. Oponto te ua velocidade v = v î. coponente segundo x do vector velocidade do ponto B é v. y B (a) Deterine o vector velocidade angular da barra. (b) Escreva o vector velocidade do ponto B. l 30 o x 3. O disco indicado na figura rola nua superfície plana. O ponto ove-se para a direita co ua velocidade v. (a) Escreva o vector velocidade angular do disco. y (b) Deterine os vectores velocidade dos pontos B, C, e D. 45 o C D 300 B x 4. Os dois discos representados na figura rola sobre ua superfície plana. velocidade angular do disco da esquerda é ω e te o sentido dos ponteiros do relógio. Deterine o vector velocidade angular do disco da direita. ω l R R 21

24 5. Considere a escavadora esqueatizada na figura. (a) Se ω B =2rad/s e ω BC =4rad/s, qualé a velocidade do ponto C, onde é feita a ligação da pá da escavadora. (b) Se ω B =2rad/s qual deve ser o valor da velocidade angular, no sentido dos ponteiros do relógio, ω BC, que dá orige a ua coponente vertical nula da velocidade do ponto C? Qual é, nessa situação, a velocidade do ponto C? (c) Se o vector velocidade do ponto C for v C = 6î 4ĵ, quais são os valores das velocidades angulares ω B e ω BC? 6. Os pontos B e C do robot ostrado na figura estão situados no plano xy do referencial indicado. (a) Sabendo que os vectores velocidade angular dos braços B e BC são, respectivaente, ω B = 0, 2ˆk (rad/s) e ω BC =0, 4ˆk (rad/s), deterine a velocidade do ponto C. (b) Se a velocidade do ponto C for v C =10ĵ (/s) deterine os vectores velocidade angular dos braços B e BC. 7. Os pontos e B da barra de 1 de copriento esqueatizada na figura desliza pelas superfícies planas vertical e horizontal, respectivaente. velocidade do ponto B é2î (/s). 22

25 (a) Escreva o vector velocidade angular da barra. y (b) Qual é a expressão do vector velocidade do ponto? (c) Encontre o vector velocidade do ponto édio, G, da barra. (d) Deterine as coordenadas do centro instantâneo de rotação. (e) Utilize o centro instantâneo para deterinar a velocidade do ponto. G (f) Utilize o centro instantâneo para deterinar a velocidade do ponto G. 70 o B x 8. Na figura está esqueatizado u disco que roda no sentido dos ponteiros do relógio sobre ua superfície circular co ua velocidade angular constante de 1 rad/s. Deterine os vectores aceleração dos pontos e B. y 10 c x B 30 c 23

26 9 a Folha de Probleas 1. U pêndulo siples de assa e copriento r está ontado nu vagão plano que se ove co ua aceleração horizontal constante, a o.seopêndulo for largado do repouso relativaente ao vagão na posição θ = 0, deterine a expressão da tensão, T, na barra, uito leve, de suporte para qualquer valor de θ. Particularize para θ = π 2 e θ = π. O θ r 2. U disco circular de raio r roda co ua velocidade angular constante, β = p, segundo o eixo dos yy, confore indicado na figura. Siultaneaente, todo o sistea roda e torno do seu suporte (eixo dos zz) co velocidade angular ω constante. Deterine a aceleração de u ponto,, da periferia do disco e função do ângulo β (contado a partir da vertical) e particularize a aceleração para os casos β =0 o e β =90 o. [Nota: Os eixos x, y, z representados estão fixos ao suporte.] 3. Ua aranha de assa desloca-se se atrito sobre a superfície de ua porta que roda co velocidade angular constante, ω, coo ostra a figura ao lado. ω (a) Escreva as equações do oviento da aranha no referencial da porta. (b) Sabendo que a aranha inicia o seu oviento no eio da porta, se velocidade inicial, obtenha as equações que descreve a trajectória da aranha sobre a porta. H L 4. Ua haste OB gira no plano vertical (o plano yz) e torno de u eixo horizontal (o eixo dos xx) passando por O e perpendicular àquele plano, co ua velocidade angular, ω, constante ver figura. 24

27 (a) ditindo que não existe forças de atrito, deter- z ine o oviento de ua partícula, P, de assa que é constrangida a over-se ao longo da haste. (b) Mostre que, sob condições favoráveis, a partícula pode oscilar ao longo da haste co oviento harónico siples (M.H.S.). Deterine estas O P B y condições. O que acontece à partícula se essas condições não são satisfeitas? x ω 5. U criança que se encontra na periferia de u carrocel que roda co velocidade angular ω constante e torno da vertical (ver figura), tenta agarrar ua bola que se aproxia horizontalente e segundo ua direcção radial co velocidade v. Deterine a velocidade e a aceleração da bola tal coo vistas pela criança. 6. U regulador de velocidades de u disco consiste nu bloco de assa que desliza sobre ua calha e se encontra preso por ua ola a u suporte. O copriento natural da ola, de constante elástica k, é tal que o bloco se encontra e s = 0 quando não há rotação. O sistea roda e torno do eixo vertical co velocidade angular ω. (a) Derive a equação diferencial que governa s coo função do tepo quando ω é ua função arbitrária de t. s (b) Obtenha ua expressão para a força noral exercida pelas paredes da calha sobre o bloco e função de ω edes. (c) Deterine a frequência natural de oscilação da assa quando ω é constante e explique coo é que o resultado pode ser utilizado para onitorizar a rotação do disco quando ω excede u valor crítico. k R ω 25

28 7. O telescópio representado na figura roda e torno do eixo vertical co ua velocidade de 4 revoluções/hora enquanto o ângulo θ oscila coo θ = π 3 sin ( πt 7200) rad, onde t éedidoe segundos. Deterinar a velocidade e a aceleração dos pontos C e D coo função do tepo. 2 θ C D revoluções/hr 8. O avião B desloca-se para ocidente co velocidade v B constante, enquanto que o avião executa ua volta circular co raio constante e velocidade v constante. Nu dado instante, o ângulo θ eadistância s que localiza os dois aviões são conhecidos. O equipaento de radar do avião pode edir a distância R que separa os aviões, o ângulo ϕ, assicooasvariações teporais desse dois parâetros. Obtenha as expressões de Ṙ, R, ϕ e ϕ. θ ρ s R φ B v v B 26

29 10 a Folha de Probleas 1. Duas bolas de aço, cada ua co ua assa, estão colocadas nas extreidades de ua barra uito leve de copriento L, tal coo está esqueatizado na figura. L 2 x b L 2 F G y Inicialente, as bolas encontra-se e repouso sobre ua superfície horizontal se atrito. Ua força horizontal co intensidade F é subitaente aplicada à barra. Deterine: (a) a aceleração instantânea, a, do centro de assa (G) dosistea; (b) a aceleração angular, θ, de rotação do sistea. 2. s quatro assas de 3 kg cada ua esqueatizadas na figura estão rigidaente ligadas ao veio vertical. Inicialente, o sistea roda livreente e torno do eixo vertical, o eixo dos zz, co ua velocidade angular de 20 rad/s no sentido dos ponteiros do relógio quando visto de cia. Se u oento constante, M = 30N, for aplicado ao veio, deterine o tepo t necessário para inverter o sentido de rotação do sistea e atingir-se ua velocidade angular kg 0,3 0,5 3 kg z 0,5 ω M 0,3 3 kg 3 kg ω =20rad/s no eso sentido de M. 3. No extreo livre de u fio leve, enrolado nu cilindro aciço e hoogéneo de assa M e raio R, é atado u corpo de assa. No instante t = 0 o sistea entra e oviento. Desprezando o atrito no eixo do cilindro, deterine: (a) a dependência no tepo da i. velocidade angular do cilindro; ii. energia cinética do sistea; R M (b) a tensão no fio. 4. Ua régua de assa M, copriento L, largura l e espessura desprezável possui vários furos ao longo de todo o seu copriento, tal coo é ostrado na figura ao lado. U pêndulo físico é realizado pendurando-se a régua nu prego horizontal através de u dos orifícios. 27

30 (a) Sabendo que o prego é introduzido nu orifício que dista d do centro de assa da régua, deterine o oento de inércia desta relativaente ao eixo definido pelo prego. (b) régua é afastada da posição vertical de u pequeno ângulo e, então, largada. Obtenha a equação do oviento da régua. Que tipo de oviento executa a régua? (c) Qual éoperíodo de oscilação da régua? D d CM L (d) Deterine o copriento l o que deverá terofiodeupêndulo siples que, para pequenas oscilações, te o eso período da régua. (e) Mostre que se suspender a régua de u ponto que diste l o abaixo do ponto e que está suspensa, o seu período de oscilação éo eso. l B 5. barra delgada representada na figura te assa e as suas extreidades desliza sobre o chão e a parede. No seu oviento de deslizaento, a barra roda co velocidade angular ω no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Deterine a aceleração angular da barra. θ l ω 6. barra delgada esqueatizada na figura te assa eestá encaixada no eixo ligado ao bloco etálico de assa B. Este bloco assenta nua superfície plana horizontal. O sistea é largado do repouso na posição ostrada. Deterine a aceleração angular da barra no instante e que é largada. θ l 7. figura representa ua escavadora. O seu braço BC pode ser odelizado coo u corpo rígido único co ua assa de 1200 kg e u oento de inércia e torno do seu centro de assa I = 3600 kg 2. 28

31 (a) Se o ponto estiver estacionário e a aceleração angular do braçoforde1, 0 rad/s 2 no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, que força deverá o cilindro hidráulico vertical exercer no ponto B? (b) Nas condiçõesdaalínea anterior, se a velocidade angular do braçoforde2, 0 rad/s, quais são as coponentes da força exercida sobre o braço da escavador no ponto? 8. O vagão plano P representado na figura te 22 kg de assa e assenta sobre 4 rolaentos cilíndricos hoogéneos de 1 kg cada e co u raio de 30. O vagão está parado e a ola (k = 900 N/) não está sob tensão quando ua força constante horizontal F = 100 N lhe é aplicada. k P F (a) Qual é a velocidade do vagão quando se ove 200 para a direita? (b) Deterine a distância áxia de que o vagão se ove para a direita sob a acção de F. (c) Calcule a velocidade áxia atingida pelo vagão e indique qual éasuaposição nesse instante. 29

32 11 a Folha de Probleas 1. U disco hoogéneo de assa M e raio R gira se atrito sobre ua superfície horizontal, e torno de u eixo vertical situado a ua distância d do seu centro, co velocidade angular, ω o, constante. ω o ω R CM d CM F I II (a) Deterine a expressão do oento angular do disco no seu oviento e torno do eixo de rotação. (b) Nu certo instante o disco deixa de estar subetido ao eixo. Mostre que o disco passa a rodar e torno do seu centro de assa, CM, co velocidade angular ω o equeocm te ua velocidade de translação ω o d. (c) Suponha que nesse instante ua força F, constante e grandeza, direcção e sentido, é aplicada ao disco através de u fio inextensível que está enrolado na sua periferia, confore esqueatizado na figura II. Deterine a expressão da velocidade angular do disco ao fi de u tepo T. (d) Qual é a velocidade de translação do CM do disco quando este tiver percorrido ua distância X sob a acção da força F? (e) Mostre que nessa altura a velocidade angular, ω, dodiscoé ( ω = ω o + 2ω od 1+ 2FX R Mωod 2 2 ) Ua régua fina de copriento L e assa M pode girar livreente e torno de u pino colocado na sua extreidade superior (). U bola adesiva de assa e velocidade horizontal v atinge a régua, e ângulo recto, nu ponto que dista a do pino, e cola-se-lhe (colisão perfeitaente inelástica). 30

33 (a) Deterine o oento angular do sistea iediataente antes e após o projéctil atingir a régua. (b) Deterine a quantidade de oviento do sistea iediataente antes e após a colisão. (c) Mostre que a diferença entre a energia cinética após e antes da colisão é ( 1 2 v2) ML 2 ML 2 +3a 2. (d) que altura subirá a extreidade inferior (B) darégua depois da colisão? v a B L 3. U vagão é puxado co ua força constante, Q, sobre u plano inclinado que faz u ângulo α co a horizontal, tal coo esqueatizado na figura. carroçaria do vagão te ua assa M e a assa de cada ua das suas 4 rodas é. Suponha que o vagão parte do repouso e que as rodas rola se escorregar. (a) Mostre que quando o vagão tiver percorrido ua Q distância l a sua velocidade linear, v, é dada por: 2l [Q (M +4)g sin α] v =. M +6 (b) Deterine a aceleração do vagão. α 4. turbina roda e torno do eixo fixo O. (a) Escreva o vector velocidade angular de rotação da turbina. y (7, 4, 4) (b) Qual é a velocidade do ponto da turbina de coordenadas (3, 2, 2)? 900 rad/s (c) Sabendo que a velocidade angular da turbina está adiinuirà taxa de 100 rad/s 2, escreva o vector aceleração angular da turbina. (d) Nas condições da alínea anterior, deterine a aceleração do ponto da turbina co coordenadas (3, 2, 2). z O x 5. O dispositivo esqueatizado na figura ao lado consiste nua barra, B, de secção desprezável, de copriento 2l edeassam, óvel e torno de u eixo horizontal que passa pela sua extreidade. outra extreidade, B, está fixada a ua ola de constante elástica K. ola, por seu turno, é suportada por u apoio fixo. Na posição de equilíbrio do sistea, B está nahorizontaleaolaestá na vertical. fasta-se ligeiraente a barra da sua posição de equilíbrio. ditindo que B se desloca na vertical, deterine o período das pequenas oscilações do sistea. 31

34 k B 6. U bloco rectangular unifore, co as diensões indicadas na figura, desliza, sobre ua superfície horizontal, para a esquerda co velocidade v. certa altura, ebate nua pequena saliência existente na superfície. Suponha que o ricochete é desprezável. v c b (a) Deterine o valor ínio da velocidade v que perite ao bloco rodar e torno da saliência e atingir a posição estacionária se velocidade. (b) Calcule a fracção de energia dissipada, E E, quando b = c. 7. Ua partícula de assa está fixada nu ponto P da periferia de u disco hoogéneo, que te centro e O, de assa e raio R. O disco, colocado na vertical, é largado do repouso e contacto co ua superfície horizontal, onde pode rodar se escorregar, fazendo inicialente a direcção OP u ângulo de 60 o co a vertical. O 60 o R P O θ P R INICILMENTE SITUÇÃO GERL (a) Onde se situa o centro de assa do sistea? Deterine o oento de inércia do sistea e relação ao centro de assa. (b) Escreva as expressões das energias cinética e potencial do sistea. (c) Recorrendo ao princípio da conservação da energia, ostre que o ângulo θ entre OP ea vertical satisfaz a equação: R(7 + 4 cos θ) ( ) dθ 2 =2g(1 2cosθ). dt 32

35 8. U sei-disco hoogéneo de assa M e raio R pode rodar se deslizar sobre a superfície plana horizontal onde está colocado. O d θ CM R g (a) Mostre que a posição do centro de assa (CM) do sei-disco se situa a ua distância d = 4R 3π do centro de curvatura do corpo. (b) Escreva a expressão da energia potencial do sei-disco. (c) Qual é a condição de equilíbrio estável deste corpo? (d) Mostre que o oento de inércia do sei-disco e relação ao seu centro de assa é dado por ( 1 I CM = MR ) 9π 2. (e) Prove que a energia cinética do sei-disco é dada pela expressão T = 3 ( 4 MR2 θ ) 9π cos θ. (f) dita que o sei-disco é apenas afastado ligeiraente da sua posição de equilíbrio. Recorrendo ao princípio da conservação de energia, ostre que o sei-disco oscilará então co u oviento harónico siples (MHS) e deterine a frequência angular e o período desse oviento. 33

36 12 a Folha de Probleas 1. Na figura está representado u pêndulo siples e que a haste foi substituída por ua ola de constante elástica K e copriento e repouso l o. Suponha que não há forças de atrito aplicadas. Escreva a lagrangeana deste pêndulo e obtenha as suas equações de oviento. O l 2. Escreva a equação de oviento de u pêndulo que te o seu suporte, de assa desprezável, a deslocar-se nu plano horizontal, confore esqueatizado na figura. x s (t) l x Trate, e prieiro lugar, o caso geral e que a posição do suporte é ua qualquer função do tepo, x s = x s (t), e aplique de seguida ao caso x s (t) =x o cos ωt, onde x o e ω são constantes. 3. (a) Encontrar a função de Lagrange de u pêndulo duplo colocado nu capo gravítico unifore, onde a aceleração da gravidade é g, tal coo é ostrado na figura. L (b) Escreva as equações do oviento do pêndulo duplo. θ (c) Considerando a aproxiação das oscilações de pequeno ângulo e a udança de variáveis: x = Lθ, y = Lθ + lφ, M ϕ l refaça as duas alíneas anteriores. 4. Ua partícula de assa ove-se sobre ua esa horizontal se atrito. Ua corda inextensível, de copriento l, que passa no orifício aberto no centro da esa liga a partícula a ua ola de constante elástica K, presa ao solo de tal fora que quando a assa se encontra no orifício a ola não experienta qualquer alongaento. 34

37 (a) Escreva a lagrangeana da partícula. (b) Obtenha as equações do oviento da partícula. (c) Mostre que o oento angular da partícula se conserva. Coo se interpreta fisicaente este resultado? k 5. Ua partícula de assa ove-se sobre a superfície de u cone de sei-ângulo θ, tal coo é ostrado na figura, estando apenas sujeita àacção da gravidade. (a) Escreva a lagrangeana da partícula. z (b) Obtenha as equações de oviento da partícula e ostre que o oento angular desta e torno do eixo de sietria do cone se conserva. θ r x ϕ y 6. O esquea da figura representa u disco que roda e torno do eixo vertical co ua velocidade angular, w, constante. Sobre o disco está colocada ua rapa, solidária co ele, que possui ua ranhura por onde é livre de deslizar (se atrito) ua partícula de assa. (a) Escreva a lagrangeana da partícula e ostre que a equação do oviento desta se pode escrever na fora: 4 l 3ω 2 l = 2g, l 30 o onde g é a aceleração da gravidade. ω (b) Deterine, e função de l, a velocidade da partícula. 35