Matemática Ensino Fundamental I

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1 FORMAÇÃO DE PROFESSORES Caderno Bimestral I Matemática Ensino Fundamental I

2 O programa Ação Educação da Fundação Vale tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento humano nos territórios onde atua, apoiando os municípios em ações que contribuam para fomentar a justiça social e promover a inclusão no mercado de trabalho da forma mais equânime possível. Diretora Fundação Vale Isis Pagy Gerente - geral de Educação Fundação Vale Joaquim Antônio Gonçalves Equipe de Educação Fundação Vale Andreia Prestes Anna Cláudia Eutrópio B. d Andrea Cláudia Costa Lílian Neves Apoio editorial Departamento de Comunicação Corporativa Vale Parceiro Comunidade Educativa CEDAC Projeto Gráfico e Diagramação Crama Design Inventum Design

3 I Matemática Caderno Bimestral I A resolução de problemas e a interação entre pares nas aulas de matemática Professor(a) Neste primeiro bimestre teremos a oportunidade de trocar experiências, discutindo em que medida o ensino da matemática nos influenciou e nos marcou como cidadãos. Também vamos analisar alguns resultados atuais das avaliações nacionais que fornecem indicadores a respeito das aprendizagens de nossos alunos, para, conjuntamente, criarmos um propósito para a nossa formação continuada: trabalhar para a melhoria desse cenário. Uma vez estabelecido esse propósito, vamos abordar a resolução de problemas e a interação entre pares como temas centrais do nosso estudo, pois são considerados os motores para a aprendizagem da matemática. Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes nesse bimestre: Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo. Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como ponto de partida da aprendizagem matemática. Reconhecer a importância da interação entre pares na elaboração do conhecimento, promovendo as condições para que esta interação ocorra nas aulas. Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes conteúdos: Resultados da Prova Brasil de alunos do 5º ano em Formas de organização dos alunos na resolução de problemas: trabalho individual, trabalho em pequenos grupos e trabalho coletivo. O recurso à resolução de problemas. Diferenciação entre problema e exercício. 1

4 Formação de Professores Competência docente se refere ao professor, à interação entre conhecimentos e habilidades, atitudes e comportamentos que precisa ter para desempenhar seu papel de ensinar com eficácia. Competência discente se refere aos alunos. Cabe à escola contribuir para que eles desenvolvam habilidades e competências que lhes permitam trabalhar com o conhecimento, com a informação, para saber lidar com ela, selecionar, criticar, comparar, tirar conclusões. É importante também desenvolver a autoconfiança, a perseverança, a competência para se relacionar e o autocontrole nas situações adversas. 2

5 I Matemática Caderno Bimestral I Encontro Presencial Duração: 4h Para começo de conversa Duração: 40min O que já vivemos... Vamos começar este encontro retomando as nossas experiências com a matemática durante a nossa vida como estudantes. Relembre uma situação boa e outra ruim que você vivenciou em relação a essa área de conhecimento durante sua vida escolar. Prepare-se para compartilhar essa experiência com seus colegas. n Cada educador deve contar ao grupo a experiência boa e a ruim que vivenciou em seu percurso. O educador argentino Horácio Itzcovich aponta: A matemática, para os alunos, ficará em parte definida e caracterizada pelo conjunto de experiências que lhes possibilitamos viver em relação aos conceitos ensinados. n A partir do que foi relatado pelos participantes, junto com seu grupo de estudo, discuta: Você concorda com o autor da frase? Por quê? Atividade de contextualização Duração: 30min A proposta desta atividade é analisar o que os resultados das avaliações oficiais do Brasil indicam sobre o ensino da matemática em nosso país. Pensando a respeito desses dados, vamos refletir mais profundamente sobre o porquê de nos envolvermos continuamente em atividades formativas para o desenvolvimento das nossas competências profissionais. 1. Individualmente, analise os dados da tabela abaixo. Ela apresenta os resultados obtidos na Prova Brasil 2009 pelos estudantes de uma escola, bem como os do município e do estado em que a escola se situa, além de dados nacionais. Identifique os números referentes aos Anos Iniciais do Ensino Fundamental que mais chamam a sua atenção. 3

6 Formação de Professores Exemplo de um município do estado do Pará: Anos iniciais (Ensino Fundamental) Estudantes participantes Quantos participaram Anos finais (Ensino Fundamental) Estudantes participantes Escolas estaduais do Brasil Escolas municipais do Brasil Escolas estaduais do seu estado Escolas municipais do seu estado Escolas estaduais do seu município Escolas municipais do seu município 157 Anos iniciais (Ensino Fundamental) Língua Portuguesa 65 Sua Escola - Matemática Proficiências Médias Brasil Anos finais (Ensino Fundamental) Língua Portuguesa Matemática 186,22 207,12 Escolas estaduais 239,74 242,87 181,38 201,39 Escolas municipais 236,30 239,19 179,58 199,52 Total 236,96 240,29 Seu Estado 168,20 181,98 Escolas estaduais 229,89 227,56 170,20 185,87 Escolas municipais 233,05 231,62 169,82 185,06 Total 231,73 229,96 Seu Município - - Escolas estaduais ,01 174,09 Escolas municipais 226,37 222,25 159,01 174,09 Total 226,37 222,25 151,58 171,50 Sua Escola - - *Os resultados informados referem-se apenas à Rede Pública. provabrasil.inep.gov.br Por que os números que você identificou chamaram a sua atenção? Você acha que esses números (resultados) são preocupantes? Ou esses resultados são satisfatórios? O que pode ser considerado um bom nível de proficiência? Você sabe qual é a meta nacional de proficiência para os alunos do 5º ano do Ensino Fundamental? 2. Discuta com seus colegas de grupo as suas reflexões e respostas. 3. Coletivamente, consulte o documento Descrição dos níveis da escala de desempenho em Matemática no Ensino Fundamental Saeb. Este documento encontra-se ao final desta publicação. n Localize no documento os níveis de desempenho apresentados pelos alunos da escola, do município, do estado e de todo o Brasil. 4

7 I Matemática Caderno Bimestral I n Identifique, para esses níveis de desempenho, quais são as respectivas competências e habilidades que os alunos demonstram ter desenvolvido. n Observe os níveis superiores àquele em que se localiza a escola e identifique quais foram as habilidades não desenvolvidas pelos alunos dessa escola. Como você vê os resultados da escola agora? n Você considera que as informações obtidas a partir da análise que foi feita permitem que se tracem metas para a melhoria da aprendizagem dos alunos em matemática? n Nesse contexto, como você acha que a formação continuada de professores pode favorecer a transformação desses resultados? Sugestão Caso isso ainda não tenha sido realizado, você pode propor à equipe da escola em que atua a realização de uma análise de dados similar à que foi feita na atividade, com foco nos resultados da sua escola e do seu município. (Dados disponíveis em: provabrasil.inep.gov.br/) A Prática em questão Duração: 2h30min Momento 1 A interação entre pares Duração: 1h A interação entre pares refere-se às diferentes interações que ocorrem nas aulas de matemática no âmbito da resolução de problemas: - as interações dos alunos com o problema; - as interações dos alunos com o docente a respeito do problema proposto; - as interações dos alunos entre si. Este momento contempla três instâncias interligadas e complementares sobre a organização social da sala de aula numa proposta de resolução de problemas: o trabalho individual, em pequenos grupos e coletivo. 1. Resolva o problema que segue, individualmente, colocando em jogo as estratégias de resolução que julgar mais adequadas. Registre os procedimentos que você utilizou. Um elevador pode carregar no máximo 450 quilos por viagem. Devem ser transportadas 50 pessoas de 70 quilos. Qual o número mínimo de viagens necessárias para transportar todas as pessoas? 2. Organizem-se em subgrupos de aproximadamente quatro pessoas. Cada participante deve apresentar sua resolução aos seus colegas e justificar os procedimentos que utilizou. Mesmo que alguns participantes não tenham conseguido resolver o problema ou o tenham considerado muito fácil, é importante que compartilhem suas tentativas. n Após as apresentações, em consenso, o grupo deve escolher uma estratégia interessante de resolução para socializar com o grande grupo na terceira etapa. 5

8 Formação de Professores 3. Agora a reflexão será coletiva. Um participante de cada subgrupo deve apresentar a resolução do problema (escrevendo-a na lousa) e justificar as estratégias utilizadas. Ainda coletivamente, verifique: n Todos os participantes conseguiram resolver o problema? Quantas estratégias diferentes apareceram? Há uma única forma de resolver esse problema? 4. Nesta etapa final (do 1º momento), trataremos de refletir sobre a importância das interações entre pares nas aulas de matemática. n Individualmente, a partir do desenvolvimento da atividade anterior, use este quadro abaixo como modelo e complete-o com suas respostas. O que e como aconteceu? Refletindo sobre a sua prática... A primeira etapa foi individual cada participante resolveu o problema sozinho. Você organiza situações individuais nas atividades de resolução de problemas? Indique algumas possibilidades que o trabalho individual favorece em termos de aprendizagem. A segunda etapa foi realizada em pequenos grupos compartilhamento das estratégias individuais. Na terceira etapa o trabalho foi coletivo alguns participantes apresentaram suas resoluções e explicaram as estratégias utilizadas para o grande grupo. Você costuma propiciar momentos de discussão em pequenos grupos nas aulas de matemática? Há situações em que os alunos são convidados a trocar experiências com seus colegas quando resolvem problemas? Você considera esses momentos importantes? Você costuma propiciar momentos de discussão coletiva nas aulas de matemática? Há situações em que os alunos são convidados a explicar para seus colegas as escolhas que fazem para resolver problemas? Há situações em que os alunos são convidados a comparar seus procedimentos com os de seus colegas? Há situações em que os alunos são convidados a interpretar os procedimentos de seus colegas? Qual seria o papel do professor em situações como essa? Indique algumas possibilidades, em termos de aprendizagem, que o trabalho em pequenos grupos favorece. Indique possibilidades de aprendizagem que são favorecidas por esse tipo de organização o trabalho coletivo de discussão e socialização de respostas. n Coletivamente, socialize suas anotações levando em consideração qual é a prática mais comum em sala de aula e as possibilidades de aprendizagem identificadas pelo grupo em cada tipo de organização. 5. A partir da experiência que vivenciou na atividade do problema do elevador e da discussão gerada por ela no que diz respeito à interação entre pares, você considera que é possível incorporar à práti- 6

9 I Matemática Caderno Bimestral I ca de sala de aula essas diferentes instâncias de organização social (trabalho individual, trabalho em pequenos grupos e trabalho coletivo de socialização)? n Leia as contribuições de alguns autores sobre esses temas e, ao final da leitura, discuta e elabore um registro coletivo sobre as conclusões a que o grupo chegou. A importância do trabalho individual Ora, considerar os estudantes sujeitos pensantes, com ideias próprias e férteis, capazes de produzir novas ideias, é aceitar que eles também precisam pensar intimamente, pensar em rascunho, ensaiar, explorar, rabiscar, dar-se ao luxo de relacionar suas questões com aquilo que é significativo para eles, apelar para representações que os ajudem a ver. (Patricia Sadovsky) A importância do trabalho em pequenos grupos As interações entre os alunos, na base dos processos de produção, condicionam também o tipo de conhecimento que se produz. (Patricia Sadovsky) Compartilhar com o grupo suas ideias e explicitar as estratégias utilizadas para resolver o problema são ações fundamentais para que cada um tome como objeto de análise o seu próprio fazer matemático. As diferentes formas de resolução e os diferentes resultados que surgirão no grupo criam um contexto favorável para defender seu ponto de vista e compreender o dos outros, certificar-se de que seu resultado está correto ou não, comparar soluções, argumentar a favor ou contra alguma forma de resolução. A importância do trabalho em coletivo Sabe-se que elaborar conhecimento em cooperação com outros abre espaço, de maneira geral, a um intercâmbio que permite aprofundar as ideias em jogo num determinado momento. (Patricia Sadovsky) SADOVSKY, P. O espaço social da sala de aula: condição propícia para a produção de conhecimento. In: O ensino de matemática hoje: Enfoques, sentidos e desafios. São Paulo: Ática, As intervenções do professor são fundamentais para gerir esses processos. O professor intervém para organizar a participação dos alunos, para que as crianças possam retomar suas ações e produções, descrevê-las, justificá-las, comparar distintos procedimentos, reconhecer seu procedimento como diferente dos utilizados pelos seus companheiros, identificando onde estão as diferenças, ainda que obtenham o mesmo resultado. Explicar e discutir com argumentos sobre a validade do que foi realizado favorece o avanço em direção à conceitualização daqueles conhecimentos que os alunos utilizaram em suas resoluções. (Susana Wolman e María Emilia Quaranta) WOLMAN, S.; QUARANTA, M. E. Qual o papel das interações que se produzem nas aulas?. In: Ensenãr Matemática en la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca,

10 Formação de Professores Possibilidades interdisciplinares - A potencialidade da interação entre pares não se restringe às aulas de matemática. Existe uma variada gama de possibilidades didáticas em todas as disciplinas, em que a interação pode favorecer as aprendizagens Para pensar As diferentes formas de organização da sala oferecem diferenciadas oportunidades de tratar os conteúdos. Além disso, em interação, os alunos desenvolvem seus laços afetivos, a confiança em seus recursos e a perseverança para se empenhar na busca de respostas. Para ilustrar e ampliar a discussão, sugerimos que, quando possível, você assista ao vídeo Estratégias para formação de grupos em que duas professoras de uma mesma turma do 5º ano de matemática e de língua portuguesa organizam a classe de maneira a promover boas interações. Ele pode ser encontrado no Youtube ou no site da Nova Escola. Momento 2 O que caracteriza uma situação-problema? Duração: 30min Leitura compartilhada é aquela em que um participante lê o texto em voz alta enquanto os demais acompanham a leitura, tendo o mesmo texto em mãos. 1. Neste segundo momento, faremos a leitura compartilhada do texto O recurso à resolução de problemas. Este texto foi extraído dos Parâmetros Curriculares Nacionais e trata do recurso à resolução de problemas como um caminho para o ensino da matemática. 8 O recurso à resolução de problemas Resolução de problemas é um caminho para o ensino de matemática que vem sendo discutido ao longo dos últimos anos. A História da matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (física, astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria matemática. Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. A prática mais frequente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensina do. Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas.

11 I Matemática Caderno Bimestral I Desse modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações. Consequentemente, o saber matemático não se apresenta ao aluno como um sistema de conceitos, que lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por reprodução/imitação. Ao colocar o foco na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios: n o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; n o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da matemática; n o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações; n a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. Considerados esses princípios, convém precisar algumas características das situações que podem ser entendidas como problemas. Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas, porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução. O que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função do seu nível de desenvolvimento intelectual e dos conhecimentos de que dispõe. 9

12 Formação de Professores Resolver um problema pressupõe que o aluno: n elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); n compare seus resultados com os de outros alunos; n valide seus procedimentos. Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido. Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução. O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática. O recurso à resolução de problemas. 2ª edição. Rio do Janeiro: Agora coletivamente registre as discussões. n Identifique no texto o que é preciso para que um problema seja considerado um verdadeiro problema? n Você identifica a situação em que resolveu e discutiu o problema do elevador como uma verdadeira situação de resolução de problemas, no sentido que o texto coloca? Por quê? Quais características do problema proposto favoreceram o envolvimento, as discussões, as trocas e descobertas? A leitura profissional A leitura de material bibliográfico responde a dois propósitos fundamentais no processo de formação: conseguir que os professores aprofundem e ampliem seus conhecimentos sobre diferentes conteúdos relevantes para sua tarefa e transformar a leitura em uma ferramenta para sua formação permanente, uma ferramenta que possam utilizar de maneira cada vez mais autônoma. O processo de formação se propõe a incorporar ativamente os professores à categoria dos leitores profissionais da educação, a uma comunidade cujos integrantes frequentam, comentam, discutem, inter-relacionam, confrontam... as obras produzidas nesse setor particu- 10

13 I Matemática Caderno Bimestral I lar da cultura escrita vinculado à profissão docente. Como muitos professores ainda não são membros atuantes dessa comunidade, a leitura profissional se inclui no processo de formação como objeto de ensino: a autonomia no uso dessa ferramenta é considerada um ponto de chegada, um objeto cuja concretização só se fará possível por meio de um trabalho sistemático e compartilhado. Longe de ser construída de forma solitária, a autonomia se conquista por meio da interação constante com outros membros ou aspirantes a sê-lo da comunidade de leitores. Portanto, sobretudo no início da formação ou quando a dificuldade dos textos assim o exigir, não só a discussão sobre os artigos que são lidos, como também em alguns casos a própria leitura tem lugar nas reuniões com os professores. LERNER, D.CARDOSO, B.; LERNER, D; NOGUEIRA, N; PEREZ, T (Org.). Ensinar: tarefa para profissionais. Rio de Janeiro: Record, Em pequenos grupos (organizados por ano escolar em que atuam), analise cada um dos problemas a seguir a partir dessas duas questões. Não se esqueça de anotar sua análise. n O problema analisado pode ser entendido como um verdadeiro problema para seus alunos? Isto é, ele pode engajar seus alunos numa busca ativa por resolvê-lo, utilizando procedimentos próprios? Ou, para seus alunos, ele seria considerado um exercício? Procure justificar suas respostas. n Pensando na classificação que foi feita das situações-problema entre verdadeiro problema e exercício, procure identificar algumas variáveis que tornam uma atividade um verdadeiro problema. Problema 1. Marcelo e Júlio estão jogando boliche. Veja os pontos que cada um fez até agora: a) Quem está vencendo o jogo? Marcelo Júlio b) Quantos pontos o jogador que está vencendo fez a mais que seu colega? c) Marcelo vai jogar. Quantos pontos ele deve fazer para empatar o jogo? E para passar à frente do Júlio? 11

14 Formação de Professores Problema 2. A Mariana e a Júlia estavam jogando Batalha. Elas anotaram os pontos nestes quadros, mas o irmãozinho da Júlia riscou algumas anotações. Mariana Pontos Júlia Pontos 1ª rodada 37 2ª rodada 18 Total 1ª rodada 23 2ª rodada Total 49 Ajude-as a recuperar o que foi riscado e responda: n Quantos pontos a Mariana fez, ao todo? n Quem ganhou o jogo? n Quantos pontos a Júlia fez na segunda rodada? n Quantos pontos a vencedora do jogo fez a mais que sua colega? Problema 3. Veja o que diz a placa do circo: n Elisa quer comprar três ingressos para o primeiro espetáculo de sábado. Quanto ela vai gastar? n Ela paga com uma nota de R$ 20,00. Ela recebe troco? Quanto? 12

15 I Matemática Caderno Bimestral I Problema 4. Quero fazer um doce que precisa de 30 bolachas. Se em cada pacote há 8 bolachas, quantos pacotes devo comprar? Problema 5. Num auditório, as cadeiras foram arrumadas formando 17 colunas com o mesmo número de cadeiras em cada uma. Quantas linhas de cadeiras há nesse auditório, se foram arrumadas 204 cadeiras? Problema 6. Mário Sérgio comprou uma mochila por R$ 32,00 numa liquidação e, por isso, recebeu desconto de 25% sobre esse valor. Quanto ele pegou pela mochila? Problema 7. Em um jogo, os piões dos jogadores podem avançar ou recuar numa trilha de casas numeradas, até chegar a uma casa com estrela. Quem chegar antes a alguma casa com estrela vence o jogo. A casa 50 tem a estrela. Qual pião está mais próximo da casa 50, o que está na casa 34 ou o que está na casa 69? Problema 8. Suponha que você está jogando Batalhas de Números. Você recebe três cartas e deve formar o maior número que conseguir com elas. Por exemplo, com as cartas 1, 2 e 3, você pode formar os números 123, 132, 312 etc. Você recebe as cartas: 2, 5 e 0. Qual é o maior número que você pode formar? 13

16 Formação de Professores Possibilidades interdisciplinares A estratégia de resolução de problemas não se restringe às aulas de matemática. Em todas as áreas é possível propor atividades em que os alunos precisem desenvolver habilidades que permitam a eles pôr à prova os resultados obtidos, testar seus efeitos e comparar diferentes caminhos para se obter a solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução (adaptado dos PCN). Para pensar Tradicionalmente, os problemas matemáticos eram tratados como se cada um admitisse uma só maneira correta para chegar à resposta. Não eram criadas oportunidades para que os alunos tomassem decisões próprias na busca das soluções, deixando-os dependentes dos modelos que os professores e outros adultos lhes ofereciam. Na medida em que trabalhamos em outra lógica a de que existem muitas formas válidas de resolver os problemas, cabendo aos alunos e professores, em interação, encontrar aquelas que julgam mais satisfatórias, os alunos adquirem progressivamente confiança em seu pensamento e em suas estratégias, prescindindo de modelos. Em outras palavras, desenvolvem a autonomia intelectual. Momento 3 Planejamento de atividade passo a passo Duração: 40min No desenvolvimento das atividades que você realizou até este momento, o foco foi colocado sobre dois temas interligados que são a resolução de problemas nas aulas de matemática e a interação entre pares. Com a finalidade de conhecer ainda melhor esses temas e viabilizar sua incorporação à prática, vamos pensar como podemos planejar uma atividade de resolução de problemas, num contexto de discussão e troca de ideias entre os alunos. Para planejar esse momento, o que será preciso considerar? 14

17 I Matemática Caderno Bimestral I 1. Leia o quadro a seguir: Quadro das etapas a serem asseguradas para planejar uma atividade de resolução de problemas Etapas Orientações Selecionar, conhecer e preparar a situação-problema n Tendo em mãos o livro didático de matemática adotado pela rede (ou por sua escola), eleja uma atividade que pode ser considerada como um verdadeiro problema para os seus alunos. n Como o problema será apresentado aos alunos? Qual suporte será utilizado para sua apresentação (no caderno, xerocopiado em folha, no próprio livro didático, escrito na lousa ou em cartaz, ou ainda outro recurso)? n Que aprendizagens este problema poderá favorecer? O que o problema coloca como desafio principal para os alunos? n Defina as competências e habilidades a serem trabalhadas. Para isso: Competências e habilidades discentes a serem desenvolvidas n n Utilize como referência nesta definição os descritores de avaliação propostos no Plano de Estudos, do Formação de Professores - Metodologia. Utilize também como referência as habilidades e competências relacionadas à resolução de problemas e interação entre pares (que você encontra na questão 2, ao final deste quadro). Organizar as etapas de trabalho com alunos no tempo e no espaço da sala de aula n Quais serão as etapas de trabalho? n Antecipe a forma de organização dos alunos para cada etapa da atividade (individual, em duplas, em grupos, coletiva). n Quando essas etapas vão acontecer (mesmo dia, em dias diferentes, quanto tempo será destinado a cada etapa)? n Entre uma etapa e outra, você pretende recolher as produções dos alunos? O papel do professor n Procure antecipar qual será seu papel em cada etapa de trabalho, dizendo, por exemplo, se pretende circular entre os alunos para dar as ajudas necessárias durante o trabalho individual, ou se pretende ajudar apenas os alunos que demonstrarem maior dificuldade, ou se haverá momentos em que irá orientar mais ativamente a discussão etc. Conversar com os alunos sobre o que será realizado n Que considerações poderão ser feitas antes de os alunos começarem a resolver o problema? Como você vai orientar a atividade? n O que não pode ser antecipado aos alunos? (Por exemplo: não revelar qual estratégia deverão utilizar e deixar que cada aluno escolha sua estratégia; não revelar qual operação devem utilizar, já antecipando se a resolução é de adição ou subtração). Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução da situação-problema n Como será realizada a etapa de socialização? Pretende convidar alguns alunos cujas estratégias de resolução foram diferentes para escrevê-las na lousa? Quantos alunos? Pretende convidar um aluno para expor sua estratégia de resolução e pedir aos demais para interpretá-la? Avaliar a atividade n Que aspectos do desempenho dos alunos deverão ser observados para indicar se as competências e habilidades discentes focadas foram desenvolvidas e/ou ampliadas? 15

18 Formação de Professores 2. Em pequenos grupos (organizados por ano escolar em que atuam), planeje uma atividade de resolução de problemas para desenvolver com seus alunos, conforme modelo a seguir. Situação-problema: Fonte: Roteiro para Planejamento da Atividade de Resolução de Problema Etapas Planejamento - descrever os procedimentos a serem realizados, o material que será utilizado e o tempo previsto para a atividade (ou cada parte da atividade). Selecionar, conhecer e preparar a situação-problema Competências e habilidades discentes a serem desenvolvidas Organizar as etapas de trabalho com alunos no tempo e no espaço da sala de aula O papel do professor Conversar com os alunos sobre o que será realizado Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução da situação-problema Avaliar a atividade n Para definir as competências discentes que serão trabalhadas, você pode se basear também no quadro que segue, escolhendo duas: Competências dos alunos envolvidas na interação entre pares Competências dos alunos envolvidas na resolução de problemas Trabalhar coletivamente supõe uma série de aprendizagens, como: n perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso; n saber explicitar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro; n discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias; n incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender. Resolver um problema pressupõe que o aluno: n elabore um ou vários procedimentos de resolução como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses; n compare seus resultados com os de outros alunos; n valide seus procedimentos. 16 Fonte: Parâmetros Curriculares Nacionais, p. 41 e 44.

19 I Matemática Caderno Bimestral I n Complete os demais itens com as escolhas e decisões tomadas. Neste registro é importante escrever todos os encaminhamentos e as perguntas que irá fazer para os alunos em cada momento. Avaliação do encontro Duração: 10min Após a realização das atividades e reflexões que foram propostas neste Caderno Bimestral, propomos que você faça uma avaliação. Trata-se de um momento de reflexão sobre o que já foi apropriado por você, o que ainda precisa de aprofundamento e o que ainda não pôde avançar. A avaliação refere-se às competências docentes que foram desenvolvidas e aprofundadas no trabalho proposto neste caderno. Trata-se de um conjunto de competências específicas que, juntas, constituirão aquelas competências mais amplas cujo desenvolvimento é o propósito desse processo formativo. Leia cada item da coluna à esquerda. Após refletir, marque com X a coluna que corresponde à sua avalia ção. Competências e habilidades para o trabalho docente Plenamente desenvolvida / ampliada Parcialmente desenvolvida / ampliada Não foi desenvolvida/ ampliada Envolver-se em atividades formativas na perspectiva do aprimoramento da prática pedagógica e do atendimento de objetivos e metas estabelecidos. Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo. Identificar a adequação das diferentes formas de organização do grupo (trabalho individual, em pequenos grupos e coletivo) e considerar suas potencialidades para a aprendizagem. Refletir sobre a importância da interação entre pares nas aulas de matemática. Compreender o recurso à resolução de problemas como caminho para a elaboração do conhecimento matemático. Realizar leitura profissional, explorando as potencialidades do texto e relacionando a teoria com a prática docente. Identificar os principais elementos que constituem um problema, diferenciando-o de exercício. Planejar atividades que possam se constituir em situações-problema ajustadas às possibilidades dos alunos, de forma a favorecer as aprendizagens de conteúdos. Utilizar o livro didático integrado a atividades planejadas com objetivos claros. O que você sugere como estratégia para ajudar a desenvolver as competências e habilidades que identificou como ainda pendentes em sua formação? 17

20 Formação de Professores Preparação para o próximo encontro Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar trazer: n O livro didático de matemática adotado pela sua escola. n Alguns registros (diferentes entre si) de resoluções de problemas feitos pelos seus alunos. n O registro que você fez sobre a atividade de Aplicação Prática (que foi planejada no 1o encontro e desenvolvida em sua sala de aula). n O texto e seu registro da atividade de reflexão sobre a prática. n A publicação Formação de Professores Metodologia. n Esta publicação Formação de Professores - Caderno Bimestral de Matemática para o Ensino Fundamental I. Sugestões de leituras complementares n DÍAZ, A. As interações entre pares. In: Ensenãr Matemática en la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca, n ITZCOVICH, H. (Coord.). La Matemática escolar Las prácticas de enseãnza en el aula. Buenos Aires: Aique Grupo Editor, n SADOVSKY, P. O espaço social da sala de aula: condição propícia para a produção de conhecimento. In: O ensino de matemática hoje Enfoques, sentidos e desafios. São Paulo: Ática, n SADOVSKY, P. Explicar na aula de matemática, um desafio que as crianças enfrentam com prazer. In: ESCOLA DA VILA. Centro de Formação. 30 olhares para o futuro. São Paulo, n WOLMAN, S.; QUARANTA, M. E. Qual o papel das interações que se produzem nas aulas?. In: Ensenãr Matemática en la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca,

21 I Matemática Caderno Bimestral I Aplicação Prática Duração: 4h A proposta aqui é que você desenvolva com seus alunos a atividade de resolução de problemas que foi planejada, utilizando o Roteiro para Planejamento da Atividade de Resolução de Problemas (presente no Momento 3 da atividade de contextualização ). Para isso, siga os passos a seguir: n Releia o planejamento e procure esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas da escola; n relembre as competências discentes que trabalhará na atividade e também os encaminhamentos que planejou; n realize a atividade em sua sala de aula, levando em consideração os princípios que foram discutidos no Encontro Presencial. Registrando a prática Depois da realização da atividade de resolução de problemas com seus alunos, registre a atividade que realizou, seguindo o modelo abaixo: Registro da Atividade: Resolução de Problemas. Recomenda-se que esse registro seja feito pouco tempo após a atividade, a fim de que você possa se recordar bem de alguns aspectos relevantes como, por exemplo, algumas falas dos alunos, entre si, em interação com você e no momento coletivo de socialização. Registro da Atividade - Resolução de Problemas Município: Escola: Professor: Ano/Série: Quantidade de alunos presentes no(s) dia(s) da atividade: Tempo utilizado para realização da atividade: 1. Qual foi o problema proposto aos alunos? 2. Comente como os alunos participaram de cada etapa (concentração, envolvimento etc.). Por que você acha que eles agiram dessa maneira? 3. Registre algumas falas dos alunos, contextualizando-as. Procure relatar falas e/ou conversas que indiquem que eles estavam avançando, em relação tanto aos desafios do problema em si, quanto à interação com os colegas. 4. O que avalia que os alunos aprenderam? Procure basear-se nas competências e habilidades discentes que você definiu no planejamento. 5. Registre como você considera que foi a sua atuação durante a realização da atividade (dificuldades, dúvidas, descobertas...). Releia e revise seu texto antes de colocá-lo no Portal de Aprendizagem. 19

22 Formação de Professores Atividade Virtual Duração: 4h Para ampliar sua reflexão sobre a interação entre alunos e a resolução de problemas nas aulas de matemática, analise o estudo de caso que está no Portal de Aprendizagem. Reflita e registre suas conclusões no espaço destinado a isso no portal. Estudo de caso As interações entre pares na sala da professora Janete Este é um fragmento de uma aula que aconteceu na turma de 2 o ano de uma escola do interior de Minas Gerais. Nessa ocasião, a professora Janete não havia ensinado os algoritmos convencionais (contas armadas), mas seus alunos já eram convidados a resolver problemas que envolviam operações de adição e subtração. No momento da socialização, a professora Janete pede que Caroline, uma aluna de 7 anos e meio, escreva na lousa a estratégia que utilizou para resolver o seguinte problema: Há 55 contos que serão lidos pela professora durante o projeto Os contos de que mais gostamos. Em dois meses já foram lidos 27 contos. Quantos ainda serão lidos pela professora nas semanas seguintes? Eis o registro que Caroline fez na lousa: 55-7 = = = 28 Veja como a professora encaminhou a discussão: Professora Janete: Todos entenderam por que Caroline tirou 7 primeiro, depois tirou 10 e depois tirou mais 10? Eveline: (Vai até a lousa e aponta com o dedo) O dez, o dez e o sete são dele (aponta os números no cálculo da Caroline). Professora Janete: Hummm, então quer dizer que dez, dez e sete formam... Várias crianças: Vinte e sete!!! Professora Janete: Podemos tirar o vinte e sete de outro jeito? Suellen: Sim, o vinte e depois o sete. Professora Janete: O que vocês acham do que a Suellen disse? Larissa: Está certo, porque também dá vinte e sete. 20

23 I Matemática Caderno Bimestral I Professora Janete: Bom, vamos voltar ao registro que está aqui na lousa. Caroline, como você fez para tirar sete de cinquenta e cinco? Caroline: Fui contando para trás, aí deu quarenta e oito! Professora Janete: E para tirar dez, você também conta para trás? Caroline: Não! Eu olho para o número que está atrás. Professora Janete: Como assim, explique um pouco mais, por favor? Caroline: Tem quarenta e oito, para tirar dez vou voltando a família para trás. Professora Janete: Como assim, família? Caroline: Se tem um número que é 66 e eu tenho que tirar 10, eu presto atenção no número de trás, não o 65, o da outra família, que é 56. Professora Janete: Hummm, então é assim que você faz para tirar 10. Várias crianças afirmam que também fazem assim. Para refletir, registrar e postar no Portal de Aprendizagem. 1. Você considera que este era um problema desafiador para os alunos da professora Janete, ou seja, ele era um verdadeiro problema? Por quê? Liste os seus argumentos. 2. Grife as intervenções que a professora Janete realizou. 3. Por que a professora não fica satisfeita com a explicação de Caroline: Tem quarenta e oito, para tirar dez vou voltando a família para trás? Na sua opinião, qual foi a intenção dela? 4. Por que a professora Janete pede para outra aluna, Eveline, interpretar o procedimento usado por Caroline, em vez de pedir diretamente a ela? 5. Escolha uma passagem da atividade realizada na sala da professora Janete em que a interação entre pares favoreceu a aprendizagem dos alunos de maneira muito clara. Registre. 6. Na atividade de resolução de problema que você realizou em sua sala de aula, a partir do planejamento feito no Encontro Presencial, aconteceu algo semelhante no que diz respeito à interação entre pares? Comente. 7. Nessa mesma atividade você teve a oportunidade de desempenhar um papel parecido com o da professora Janete? Em caso afirmativo, comente como aconteceu. Em caso negativo, por que isso não aconteceu? 21

24 Formação de Professores Reflexão sobre a Prática Duração: 4h Nesta atividade, você fará a leitura de um trecho dos Parâmetros Curriculares Nacionais a respeito das relações entre professor e alunos e entre os próprios alunos. A seguir, à luz dessa leitura, você vai refletir sobre três momentos deste processo formativo que são a resolução do problema do elevador (que você vivenciou com seus colegas no Encontro Presencial), a atividade prática de resolução de problemas (que você planejou e desenvolveu com os seus alunos em sua sala de aula) e o estudo de caso (Professora Janete e seus alunos), feito na Atividade Virtual. Estudo pessoal 1. Faça a leitura do texto As relações professor-aluno e aluno-aluno, dos PCN. As relações professor-aluno e aluno-aluno Tradicionalmente, a prática mais frequente no ensino de matemática era aquela em que o professor apresentava o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidos de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, e pressupunha que o aluno aprendia pela reprodução. Considerava-se que uma reprodução correta era evidência de que ocorrera a aprendizagem. Essa prática de ensino mostrou-se ineficaz, pois a reprodução correta poderia ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir, mas não apreendeu o conteúdo. É relativamente recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas. Naturalmente, à medida que se redefine o papel do aluno perante o saber, é preciso redimensionar também o papel do professor que ensina matemática no ensino fundamental. Numa perspectiva de trabalho em que se considere a criança como protagonista da construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha novas dimensões. Uma faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem; para desempenhá-la, além de conhecer as condições socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará escolher o(s) problema(s) que possibilita(m) a construção de conceitos/procedimentos e alimentar o processo de resolução, sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir. Além de organizador, o professor também é consultor nesse processo. Não mais aquele que expõe todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as informações necessárias, que o aluno não tem condições de obter sozinho. Nessa função, faz explanações, oferece materiais, textos etc. 22

25 I Matemática Caderno Bimestral I Outra de suas funções é como mediador, ao promover a confrontação das propostas dos alunos, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode intervir para expor sua solução, questionar, contestar. Nesse papel, o professor é responsável por arrolar os procedimentos empregados e as diferenças encontradas, promover o debate sobre resultados e métodos, orientar as reformulações e valorizar as soluções mais adequadas. Ele também decide se é necessário prosseguir o trabalho de pesquisa de um dado tema ou se é o momento de elaborar uma síntese, em função das expectativas de aprendizagem previamente estabelecidas em seu planejamento. Atua como controlador ao estabelecer as condições para a realização das atividades e fixar prazos, sem esquecer de dar o tempo necessário aos alunos. Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação adulto/criança. A confrontação daquilo que cada criança pensa com o que pensam seus colegas, seu professor e demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem significativa, principalmente por pressupor a necessidade de formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e a de comprová- -los (convencendo, questionando). Além da interação entre professor e aluno, a interação entre alunos desempenha papel fundamental na formação das capacidades cognitivas e afetivas. Em geral, explora-se mais o aspecto afetivo dessas interações e menos sua potencialidade em termos de construção de conhecimento. Trabalhar coletivamente, por sua vez, supõe uma série de aprendizagens, como: n perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso; n saber explicitar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro; n discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias; n incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender. Essas aprendizagens só serão possíveis na medida em que o professor proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o aluno a criar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar ideias. É importante atentar para o fato de que as interações que ocorrem na sala de aula - entre professor e aluno ou entre alunos - devem ser regulamentadas por um contrato didático no qual, para cada uma das partes, sejam explicitados claramente seu papel e suas responsabilidades diante do outro. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática. 2ª edição. Rio do Janeiro: 2000, p

26 Formação de Professores 2. O texto que foi lido faz referência às diferentes funções que o professor pode assumir nas aulas de matemática, quando a criança assume uma posição central no processo de construção da sua aprendizagem. Identifique no texto essas funções. n Agora, procure se lembrar da atividade prática de resolução de problemas que foi realizada por seus alunos (retome o Registro da Atividade Resolução de Problemas ). No desenvolvimento daquela atividade, você teve a oportunidade de desempenhar algumas das funções indicadas no texto? Quais? Procure relatar como você fez isso. n Retome o estudo de caso discutido na Atividade Virtual. Relacione a atuação da professora Janete com uma das funções do professor, segundo o texto lido (se preferir, escolha mais de uma função). Indique como a professora Janete desempenha a função (ou as funções) que você indicou. 3. O texto também faz referência à importância da interação que acontece entre os alunos. Identifique no texto quais são os ganhos, em termos de aprendizagens, que essas interações propiciam. n Procure lembrar-se da atividade de resolução do problema do elevador, da qual você participou junto com seus colegas no Encontro Presencial. Comente uma situação de troca que tenha acontecido entre os participantes do grupo, que indique a importância das interações entre pares na aprendizagem. É com essas questões e com propostas de ações que esperamos revê-lo no próximo encontro! No próximo caderno vamos ampliar as discussões sobre a resolução de problemas e focar nos problemas de soma e subtração os problemas do campo aditivo. Vamos refletir sobre como ampliar progressivamente os conhecimentos dos alunos, que problemas de soma e subtração os alunos poderão resolver em cada ano e quais problemas apresentam dificuldades mesmo quando os alunos dominam os cálculos. Aguarde! Professor, Visite a Casa do Aprender, um espaço aberto a toda a comunidade. Na Casa você terá acesso a livros, revistas, vídeos, programas educacionais, debates etc., além de poder interagir com outros participantes do programa Ação Educação. 24

27 I Matemática Caderno Bimestral I Descrição dos níveis da escala de desempenho de Matemática saeb 5º e 9º Anos do Ensino Fundamental Níveis de Desempenho dos alunos em Matemática O que os alunos conseguem fazer nesse nível e exemplos de competência Nível 0 abaixo de 125 A Prova Brasil não utilizou itens que avaliam as habilidades abaixo do nível 125. Os alunos localizados abaixo deste nível requerem atenção especial, pois ainda não demonstraram ter desenvolvido as habilidades mais simples apresentadas para os alunos do 5º ano como exemplo: n somar e subtrair números decimais; n fazer adição com reserva; n multiplicar e dividir com dois algarismos; n trabalhar com frações. Nível a 150 Nível a 175 Neste nível os alunos do 5º e do 9ª anos resolvem problemas de cálculo de área com base na contagem das unidades de uma malha quadriculada e, apoiados em representações gráficas, reconhecem a quarta parte de um todo. Além das habilidades demonstradas no nível anterior, neste nível os alunos do 5º e 9º anos são capazes de: n reconhecer o valor posicional dos algarismos em números naturais; n ler informações e dados apresentados em gráfico de coluna; n interpretar mapa que representa um itinerário. Nível a 200 Nível a 225 Além das habilidades demonstradas nos níveis anteriores, neste nível os alunos do 5º e 9º anos: n calculam resultado de uma adição com números de três algarismos, com apoio de material dourado planificado; n localizam informação em mapas desenhados em malha quadriculada; n reconhecem a escrita por extenso de números naturais e a sua composição e decomposição em dezenas e unidades, considerando o seu valor posicional na base decimal; n resolvem problemas relacionando diferentes unidades de uma mesma medida para cálculo de intervalos (dias, semanas, horas e minutos). Além das habilidades descritas anteriormente, os alunos do 5º e 9º anos: n leem informações e dados apresentados em tabela; n reconhecem a regra de formação de uma seqüência numérica e dão continuidade a ela; n resolvem problemas envolvendo subtração, estabelecendo relação entre diferentes unidades monetárias; n resolvem situação-problema envolvendo: n a idéia de porcentagem; n diferentes significados da adição e subtração; n adição de números racionais na forma decimal; n identificam propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações. 25