Modelagem para Avaliação de Desempenho e Confiabilidade

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1 Modelagem para Avaliação de Desempenho e Confiabilidade Paulo Maciel Centro de Informática - Interpretações do Tempo - A noção de tempo pode ser representada de diversas maneiras nos sistemas computacionais. Tempo Lógico é definido a partir de relações de precedência entre eventos permitindo estabelecer ordens causais entre conjunto de eventos. Tempo Físico é um tempo métrico que permite representar quantitativamente a distância entre eventos e estabelecer ordens totais entre eventos. Tempo Contínuo segue a natureza uniforme e contínua do tempo físico e é isomorfo ao conjunto dos reais. Tempo Discreto é uma simplificação do tempo contínuo onde a relação de isomorfismo é com o conjunto dos naturais. Tempo Global fornece uma única referência temporal para todos os componentes do sistema. Tempo Local é a noção em que cada componente do sistema tem sua própria referência temporal. Classificação da Técnicas de Avaliação de Desempenho Avaliação de Desempenho Measurements Modelagem Medição Prototipação Benchmarks Análise Probabilística Análise Determinística Simulação Análise de Desempenho Modelagem Determinística Melhor e pior casos Probabilistica Valores prováveis Operacional Informações observáveis Simulação Análise exaustiva Medição Medidas obtidas do sistema real Protótipos Modelos Temporizados Com todos estes pontos de vistas, diversos modelos têm sido propostos na literatura para tratar (modelar e analisar) os sistemas sob o ponto de vista temporal. Dentre os modelos temporais, podemos ressaltar: Lógicas Temporais: Linear Time Temporal Logic, Causal Temporal Logic Álgebras de Processos Temporais : Timed CSP Autômatos Temporizados Cadeias de Markov Redes de Fila Redes de Petri Temporizadas: Timed PN, Time PN, SPN, GSPN, DSPN Modelos Temporizados Modelagem para Análise de Desempenho Modelos para Simulação Modelos Analíticos Cadeias de Markov Teoria das Filas Redes de Petri Estocásticas Álgebras de Processo Estocásticas 1

2 Modelos Temporizados Algumas destas classes de modelos temporizados possibilitam a análise temporal dos sistemas seja sob o ponto de vista determinístico ou sob o ponto de vista probabilístico. Para modelagem e avaliação de sistemas críticos, são de particular interesse os modelos que possibilitem a representação de tempos físicos e não apenas o tempo lógico. Os modelos que possibilitam a especificação do tempo físico, podem representar os tempo de foras distintas, por exemplo: por Intervalos de forma Determinística de forma Probabilística Modelagem para Análise de Desempenho Algumas Medidas Tempo de resposta Throughput Utilização Capacidade Confiabilidade Taxa de descarte Notação de Kendall Informações observáveis Jeff Buzzen and Peter Denning A/B/m/K A distribuição do tempo entre chegadas. B distribuição do tempo de serviço. m número de servidores. K = capacidade de armazenamento. Chegada de jobs Servidores Fila A,B = {M,D,G,E} M - Markovian, D - Determinística, G General E - Erlangian Saída de jobs Notação de Kendall A/B/m/K A distribuição do tempo entre chegadas. B distribuição do tempo de serviço. m número de servidores. K = capacidade de armazenamento. Muitas vezes quando K e m são, estes termos são omitidos ou usa-se / / Exemplos: M/M/1 M/M/1/K M/G/ Variáveis operacionais T: Período de observação K: Número de recursos do sistema A i : Número total de solicitações (ex:.chegadas) do recurso i no período T. A 0 : Número total de solicitações (ex:.chegadas) ao sistema no período T. C i : Número total de serviços finalizados pelo recurso i no período T. C 0 : Número total de serviços finalizados pelo sistema no período T. B i : Tempo de ocupação do recurso i no período T.

3 Métricas derivadas (derived measures) Si: Tempo médio de serviço por finalização relativa ao recurso i; Si = Bi/Ci Ui: Tempo médio de serviço por finalização relativa ao recurso i; Ui = Bi/T Xi: throughput (ex.: finalizações por unidade de tempo) do recurso i; Xi = Ci/T λi: taxa de chegada (ex.:, chegadas por unidade de tempo) ao recurso i; λi = Ai/T X0: throughput do sistema; X0 = C0/T Vi: Número médio de visitas ao recurso i por solicitação; Vi = Ci/C0 Exemplo1 Suponha que ao se monitorar uma processador por um período de 1 min, verificou-se que o recurso esteve ocupado por 36s. O número total de transações que chegaram ao sistema é O sistema também finalizou a execução de 1800 transações no mesmo período Qual a taxa de chegada ao sistema (λ0)? Qual é o throughput do sistema (X0)? Qual é a utilização da CPU(UCPU)? Qual é o tempo médio por transações finalizadas pelo sistema (S0)? Exemplo1 É importante salientar que o único recurso do sistema é a CPU, portanto as métricas associadas à CPU serão as mesmas associadas ao sistema. Exemplo1 É importante salientar que o único recurso do sistema é a CPU, portanto as métricas associadas à CPU serão as mesmas associadas ao sistema. 3

4 Exemplo Exemplo A banda passante de um link de comunicação é bps. Pacotes de 1500 bytes são transmitidos ao link a uma taxa de 3 pacotes por segundo Qual é a utilização do link? Uma maneira interessante de relacionar o trhoughput do sistema ao throughput dos recursos. 4

5 Service Demand Law Exemplo3 Considere que um Web Server foi monitorado por 10 min e que a CPU esteve ocupada por 90%. O log do Web Server registrou solicitações processadas. Qual é a CPU Service Demand (DCPU) relativa as solicitações ao Web Server? T = 10 60s = 600s X0 = /600 = 50 solicitações por segundo. DCPU = UCPU/X0 = 0,9/50 = 0,018 s/solicitação OL OL Exemplo4 Suponha um departamento composto por cinco recursos (pessoas: R1, R, R3 e R4). Esse departamento foi monitorado por um período de 6 horas. Verificou-se que R1 esteve ocupado por 4h5min, R por 4h5min, R3 por 5h15min e R4 por 3h56min. O número total de transações que chegaram ao deparamento foram 96. O sistema também finalizou a execução de 96 transações no mesmo período. O número total de chegadas a cada recurso e as respecitiva finalizações são A1= C1=60, A= C=110, A3= C3=100 e A4= C4= Qual a taxa de chegada ao sistema (λ0)?. Qual é o throughput do sistema (X0)? 3. Qual é a utilização de cada recurso (Ui)? 4. Qual é o tempo médio por transações finalizadas por cada recurso do sistema (Si)? 5. Qual é o número médio de visitas por recurso (Vi)? 6. Qual é tempo médio de uma transação qualquer (não necessariamente a que visitou o recurso i) no recurso i (Di)? V1 Exemplo 4 V1 S1 D1 U1 V3 S3 R1 R3 A3, C3, B3 A1, C1, B1 A0 V S D U R OL Exemplo 4 Exemplo 4 D1 U1 R1 A0 D4 U4 A4, C4, B4 OL S1 C0 V4 S4 R4 A, C, B3 V1 D3 U3 V3 S3 V1 D3 U3 R3 A1, C1, B1 V S D U R A, C, B3 S1 D1 U1 V3 S3 R1 C0 A3, C3, B3 V4 S4 D4 U4 R4 A4, C4, B4 A0 D3 U3 R3 C0 A3, C3, B3 A1, C1, B1 V S D U R A, C, B3 V4 S4 D4 U4 R4 A4, C4, B4 5

6 Little s Law R Response time W Waiting time S Service time Little s Law N Número de clientes no sistema X Throughput Exemplo 5 Exemplo 5 Quando não há fila e se considera apenas um servidor, a Little s law corresponde a Utilization law: e R=S Exemplo 5 General Response Time Law 6

7 General Response Time Law Interactive Response Time Law Interactive Response Time Law Bottleneck Analysis Bottleneck Analysis Bottleneck Analysis 7

8 Bottleneck Analysis Problema: Leis Operacionais (derived measures) Modelagem de Fenômenos Aleatórios Modelo de Probabilidade Medição Análise Estatística Representação dos parâmetros de entrada Validação Modelo Probabilístico Resultados 1. Espaço amostral (Ω): um conjunto de todos os possíveis estados observáveis (eventos elementar) de um fenômeno aleatório.. Conjuto de eventos (S): um conjunto de todos sub-conjuntos de Ω. 3. Probabilidade dos eventos (P): a probailidade de ocorrência de um evento observável. PM é a tupla: PM = (Ω, S, P). Modelo de Probabilidade Espaço Amostral A probabilidade de um evento representa a chance de que o resultado de um experimento resulte na ocorrência do evento. Assume-se que os experimentos são aleatório. Um experimento aleatório pode ter muito resultados. Cada resultado é um ponto amostral (evento elementar) e tem uma probailidade. Um espaço amostral Ω : um conjunto de todos os possíveis estados observáveis (eventos elementares) de um fenômeno aleatório. Finito (ex.: execução das ações associadas a opções de um if; dois resultados) Countável (ex.: número de vezes que corpo de um laço while é executado; O espaço amostral por ser finito ou contável infinito.) Contínuo (ex.: tempo de falha de componente) 8

9 Diagrama de Venn União e Inteseção de Eventos Eventos Um evento E é uma coleção de zero ou mais pontos amostrais (evento elementar) de Ω. Um evento E é um sub-conjunto de Ω. Ω é o evento universal e o conjunto vazio é presentado por Ω S A S A S A,B S A B,A B S Eventos e suas Probabilidades Probabilidade Probabilidade é um valor numérico que representa a chance de que um evento ocorra. Os valores de uma Probabilidade estão entre 0 e 1. A probabilidade próxima de 0 representa grande improbabilidade de ocorrência do evento. A probabilidade próxima de 1 denota que a ocorrência do evento é quase certa. Um evento é uma coleção de pontos amostrais. A probailidade de um evento é a soma das probabilidades do pontos amostrais. Se pudermos identificar todos os pontos amostrais (eventos elementares) de um experimento e associar probabilidades a eles, podemos calcular a probabilidade de qualquer evento. Terminologia e Definições Álgebra ΩeE Eventos mutuamente exclusivos (disjuntos) Dois eventos são mutuamente exclusivos sse Um conjunto de n eventos (n>) é mutuamente exclusivo sse Para n eventos n UE i = E1 E... En i =1 n IE i = E1 E... En i =1 9

10 Consequências Axiomas Espaço de Probabilidade: OS = (Ω,S,P) Sejam A e A (seu complemento) eventos 4. Se A e B são dois eventos que não são mutuamente exclusivos: Consequências: Exemplo Eventos não mutuamente exclusivos n n i =1 i =1 P( U Ai ) = P(Ai ) P(Ai A j ) + i> j P(A A A )... +( 1 ) P(A A...A ) n i j k 1 n i > j >k Princípio da inclusão e exclusão (acima) Um método muito melhor é: 5. Soma dos Produtos Disjuntos (SDP): Fenômeno aleatório: Dois resultados de um teste de condição em um if statement: if B then T; else E; Ω = {T,E}; Conjunto de resultados S = {Φ, {E }, {T }, {T,E } }; Conjunto de todos os eventos P = { 0, ½, ½, 1}; probabilidade atribuídas Variáveis Aleatórias é uma função que confere um número real a cada resultado (do espaço amostral) de um experimento aleatório. Variável Aleatória é uma função que reflete o resultado de um experimento aleatório. X: ω ℜ. Variáveis aleatórias contínuas assumem quaisquer valores no intervalo [a,b], onde - a b + Variáveis aleatórias discretas assumem apenas valores discretos. {ω : ω Ω, X(ω) x} x ℜ. 10

11 Proriedade Markoviana Ausência de Memória Variáveis Aleatórias com Propriedade Markoviana Variável Aleatória Geométrica Variável Aleatória Exponencial Probability mass function (pmf) Seja Ω um espaço amostral discreto. p(x), que denota uma pmf de uma variável aleatória X, é definida por p(x) = P[X=x], onde x assume valores de Ω. Mathematica Função de Distribuição de Probabilidade Acumulativa (CDF) de uma variável aleatória X, denotada por F(X), é definida por F(X) = P[X x] x R F(X) é uma função monotônica nãodecrescente tal que 0 F(X) 1, onde F(- ) =0 e F( )=1 F(X) = y x p(y) F( )= y p(y) = 1 Discreta Bernoulli Considere um experimento aleatório com dois resultados possíveis (X=0,X=1). pmf(probability mass function) de X é dada por: P(X=0) = 1-p e P(X=1) = p, 0 p 1 Mathematica Mathematica Discreta Binomial Considere um experimento aleatório independentes com dois resultados possíveis ( 0 e 1 por exemplo) realizados n vezes. A variável aleatória é o número de vezes que se tem resultado 1. n pmf de X é dada por: P(X=k) = k p k (1-p) n-k k=0,1,...,n. Ver slides de medição Discreta Geométrica Considere um experimento aleatório independentes com dois resultados possíveis ( 0 e 1 por exemplo) realizados n vezes. A variável aleatória é o número de vezes que se realiza o experimento para se ter o primeiro resultado 1. pmf de X é dada por: P(X=k) = p (1-p) n-k k=0,1,... 11

12 Discreta Valor Médio ou Valor Esperado X = E[X] = Σ k k. P(X=k) Uma função de uma variável aleatória (Y=f(X)) é uma variável aleatória com Valor Esperado E[f(X)] = Σ k f(k). P(X=k) Discreta n-ésimo momento (em torno da origem) de uma variável aleatória X é o valor esperado da n-ésima potência de X X n = E[X n ] = Σ k k n. P(X=k) n-ésimo momento central de uma variável aleatória X é o valor esperado da n-ésima potência da diferença entre X e o valor esperado de X (E(X) = X) (X-X) n = Σ k (k-x) n. P(X=k) Discreta O primeiro momento é o valor esperado. O primeiro momento central é 0 O segundo momento central (variância) var(x)=σ = (X-X) =Σ k (k-x). P(X=k) O coeficiente de variação é a normalização do desvio padrão c X = σ / X Função Geratriz de Momentos Dada uma variável aleatória X, a função geratriz de momento M X (t) de sua distribuição de probabilidade é o valor esperado de e tx. M X (t)=e[e tx ] = i e tx i p X (x i ) X discreta. + = - e tx f X (x) dx X contínua. Função Geratriz de Momentos e tx = 1 + tx + t X /! t r X r /r! +... Procedimento para obtenção dos momentos f(t) = = Para a=, tem-se: + Determine M X (t) analiticamente para uma uma distribuição particular = + Tomando a esperança: E[e tx ] = 1 + E[X] t + E[X ] t /! + E[X r ] t r /r! +... Ache E[X r ] = d r /dt r M X (t) t=0 1

13 Discreta Bernoulli Parâmetro: p; Valor Esperado = p, Variância= p(1-p), Coeficiente de variação= (1-p)/p Função geratriz de momentos M X (t) = q + pet j Discreta Binomial Parâmetros: n,p; Valor Esperado= np, Variância= np(1-p), Coeficiente de variação= (1-p)/np Função geratriz de momentos M X j (t) = (q + pet ) n Discreta Geométrica Parâmetro: p; Valor Esperado= 1/p, Variância= (1-p)/p, Coeficiente de variação= (1-p) Função geratriz de momentos M X j (t) = pet /(1-qe t ) Contínua Uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor no intervalo [a,b], onde - a,b +, é denominada Variável Aleatória Contínua. Cumulative Distribution Function (CDF) F X (x) = P(X x) Se x < y então: F X (x) < F X (y) P(x<X y) = F X (y) - F X (x) Contínua Cumulative Distribution Function (CDF) F X (x) = P(X x) Se x < y então: F X (x) < F X (y) P(x<X y) = F X (y) - F X (x) Probability density function (pdf) f X (x) = df X (x) / dx f X (x) f X (x) dx = 1 Contínua Probability density function (pdf) f X (x) = df X (x) / dx Como F X (x) não é decrescente, então f X (x) f X (x) dx = 1 x P(x1 X x)= x1 f X (x) dx x P(X=x)= x f X (x) dx = 0 13

14 Contínua Valor Médio ou Valor Esperado + X = E[X] = - x. f X (x) dx Uma função de uma variável aleatória (g(x)) é uma variável aleatória com Valor Esperado + E[g(X)] = = - g(x). f X (x) dx Contínua n-ésimo momento + X n = E[X n ] = - x n. f X (x) dx n-ésimo momento central + (X-X) n = - (x-x) n. f X (x) dx Contínua O segundo momento central (variância) + σ = (X-X) = - (x-x). f X (x) dx O coeficiente de variação e a normalização do desvio padrão c X = σ / X Proriedade Markoviana Ausência de Memória Variáveis Aleatórias com Propriedade Markoviana Variável Aleatória Geométrica Variável Aleatória Exponencial Probabilidade Condicional Seja A um evento arbitrário em um espaço amostral S. A probabilidade de que ocorra um evento A uma vez que M tenha ocorrido é denotado por P(A/M) que é definido por: P(A/M)=P(A M) P(M) S A A M M Caso M A então P(A/M)=1 Caso A M então P(A/M)= P(A) P(M) Probabilidade Condicional Caso M A então P(A/M)=1 S M A S M A Caso A M então P(A/M)= P(A) P(M) 14

15 Distribuição Exponencial Arises commonly in reliability & queuing theory. A non-negative continuous random variable. It exhibits memoryless property (continuous counterpart of geometric distribution). Related to (discrete) Poisson distribution 85 Distribuição Exponencial Esse modelo é comumente usado: Tempo de chegada entre pacotes IP (ou entre chamadas de voz) Tempo de serviço de um servidor de arquivo, web, db Tempo de falhas, tempo de reparo, de reboot etc. Se a distribuição exponencial não é apropriada, uma outra deve ser adequadamente escolhida. 86 Distribuição Exponencial Por exemplo, distribuiçãoweibull é comumente usada para representar tempos de falha. A distribuição Lognormal é muito usada para representar tempos de reparo. Markov modulated Poisson processes são muito usados para representar chegada de pacotes IP que não obdece tempo entre chegada exponencialmente distribuído. 87 Distribuição Exponencial fdp exponencial f X (t) Variável Aleatória Exponencial t f X (t) = λe -λt, 0 t< CDF(t) = 1 - e - λt, 0 t< 0, caso contrário Valor Esperado E(X) = 1/λ Variância: var(x) = 1/ λ Propriedade: Não possui memória Mathematica Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Exponential P{X>t} = e - λt = 0,44939 λ = 0,01 E[X] = 1/λ = 100 t = 80 Mathematica λ=0,01 t=80 λ=0,01 t=160 P{X>t} = e - λt t t t+u Probabilidade Condicional 15

16 Distribuição Exponencial Um exemplo: P{X>80} = e - 0,01 80 =0,44939 P{X>(80+80) X > 80} = P{X>(80+80) X>80} P{X>80} Probabilidade P{X>(80+80) X > 80}= P{X>160} Condicional P{X>80} P{X>(80+80) X > 80} = e -0,01 (80+80) = e -0,01 80 = 0,44939 e -0,01 80 P{X>160 X>80} = P{X>80} = 0, Distribuição Exponencial Variável Aleatória Exponencial P{X>t} = e - λt P{X>t+u X > t} = P{X>t+u X>t} P{X>t} P{X>t+u X > t} = P{X>t+u} P{X>t} P{X>t+u X > t} = e -λ(t+u) = e -λu = P{X>u} e -λt t t t+u Probabilidade Condicional Contínua Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Matematicamente (CDF e pdf são): Lembre-se destas fórmulas Exponencial Parâmentro: λ, Valor Esperado: 1/ λ, Variância: 1/λ, Coeficiente de variação: 1 Função geratriz de momentos Também M X (t) = (1-t/λ) Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial

17 Distribuição Hiperexponencial Distribuição Hiperexponencial Hiperexponencial Parâmentros:k, µ j, q j ; Valor Esperado: E(X)=X=Σ j=1 q j /µ j q1 µ1 q µ qk µk k F X (x)=σ j=1 q j (1-e -µ j t ), t 0 k k f X (x)=σ j=1 q j µ j e -µ j t, t 0 Coeficiente de variação: sqrt( (1/X) Σ j=1 q j /µ j - 1) 1 Variância: Σ j=1 q j /µ j - X k 97 Distribuição Hiperexponencial q1 λ1 Distribuição Hiperexponencial q λh Hiperexponencial Uma distribuição desconhecida de X e c 1 pode ser aproximada por uma q λ Mathematica Hiperexponencial Parâmentros:k=, µ 1, µ,q 1, q µ 1 =1/X. (1 sqrt(q /q 1. (c -1)/)) -1 µ =1/X. (1 + sqrt(q 1 /q. (c -1)/)) -1 q 1 +q =1, q 1, q 0 µ 1, µ >0 Exponencial Distribuição Erlang Distribuição Erlang Erlang-k 1 k fase kµ kµ kµ k-1 F X (x)=1-e -kµt Σ j=0 (kµt) j /j!, t 0 Mathematica f X (x)= [(kµ(kµt) k-1 )/(k-1)!]e -kµt, t 0, k=1., Parâmentros:k, µ; Valor Esperado: k/µ Variância: k/µ Coeficiente de variação: 1/sqrt(k) 1 Função geratriz de momentos M X (t) = (1-t/λ) -k 10 17

18 Distribuição Erlang Mathematica Distribuição Erlang Mathematica Erlang-K Uma distribuição desconhecida de X e c 1 pode ser aproximada por uma Erlang-K (Shape = fase, Scale = valor da fase) k=[1/c ] µ=1/(c kx) (Shape = fase = k, Scale = valor da fase) k = Distribuição Hipo-exponencial 105 Distribuição Hipo-exponencial A distribuição hipo-exponencial é uma generalização da distribuição de Erlang quando se admite fases com taxas diferentes. Para uma variável aleatória com distribuição hipo-exponencial com duas fases µ 1 µ, tem-se: F X (x)=1- [µ /(µ - µ 1 )e -kµ 1 t ] + [µ 1 /(µ - µ 1 )e -kµ t ], t 0 f X (x)= [(µ 1 µ )/(µ 1 - µ )] (e -µ t - e -µ 1 t ), t 0 Distribuição Hipo-exponencial Hipo-exponencial Parâmentros: µ 1, µ, Valor Esperado: 1/µ 1 + 1/µ Variância: 1/µ 1 + 1/µ Coeficiente de variação:[sqrt(µ 1 +µ )/ (µ 1 + µ )]< 1 Distribuição Hipo-exponencial Contínua Uma distribuição desconhecida de X como valor esperado e 0.5 c < 1 pode ser aproximada por uma Hipo-exponencial µ 1 =(/X) {1+sqrt[1+(c -1)]} -1 µ =(/X) {1-sqrt[1+(c -1)]} -1 18

19 Distribuição Hipo-exponencial Contínua Para uma variável aleatória com distribuição hipo-exponencial com k fases e taxas µ 1, µ,, µ k tem-se: k f X (x)= Σ j=1 a i µ i e 1 λ i t, t 0 k a i = j=1,j i [µ j /(µ j -µ i )], 1 i k Valor Médio = Σ j=1 1/µ i k Exp Erl Distribuição Cox Distribuição Cox Distribuição Cox 19

20 Uma função de uma variável aleatória (Y=f(X)) é uma variável aleatória com Valor Esperado E[f(X)] = Σ k f(k). P(X=k) Uma função de uma variável aleatória (Y= g(x)) é uma variável aleatória com Valor Esperado + E[g(X)] = = - g(x). f X (x) dx Função densidade de Probabilidade de X Se f(x) = X Valor Esperado E[f(X)] = E(X) = µ Variância Var[f(X)]=E([f(X) E(f(X))] ] =E[(X-E(X)) ] = E(X ) [E(X)] (Variância de X) =Var(X) = σ 1. Se f(x) = ax + b Valor Esperado E[f(X)] = ae(x) + b Variância Var[f(X)] = a Var(X) Prova:. Se f(x) = b Valor Esperado E(b) = b Variância Var(b) = 0 Por definição = E = E = E( = E ae(x) E(X) E (X) E(X) Exemplo Suponha que X seja uma variável aleatória tal que E(X) = 3 e Var(X) = 5. Além disto, seja Y(X) = X 7. Portanto: E(Y(X)) = [ E(X) ] 7 = -1 Var(Y(X)) = Var(X) = 0 Quando Y=f(X) é muito complicada, os cálculos de E(f(X)) e Var(f(X)) podem ser difíceis. Pode-se obter aproximações de E(f(X)) e Var(f(X)) expandindo-se Y=f(X) (série de Taylor) até três termos (para a média). Y = f(e(x)) + [(X E(X)) f (E(X))] + [(1/) [(X E(X)) ] f (E(X))] + R Resto da expansão 0

21 Y = f(e(x)) + (X E(X)) f (E(X)) + [(1/) [(X E(X)) ] f (E(X))] + R. Portanto: = 0 E(f(X)) = E[f(E(X))] + E[(X E(X)) f (E(X))] + E[(1/) [(X E(X)) ] f (E(X)) ] + E(R) = E[f(E(X))] + E[(1/)] E[f (E(X))] E[(X E(X)) ] + E(R) = f(e(x)) + (1/) f (E(X)) Var(X) + E(R) f(e(x)) + (1/) f (E(X)) Var(X) E(f(X)) f(e(x)) +[ (1/) f (E(X)) Var(X) ] Aproximação (série de Taylor) do Valor Esperado e Variância para variáveis aleatória que são função de variáveis aleatórias. Seja X uma variável aleatória com E[X] e Var(X). Suponha que Y=f(X). Portanto: E[Y] f(e[x]) + (f (E[X]) Var(X))/ Var(Y) (f (E[X]) Var(X) Aproximação (série de Taylor) do Valor Esperado e Variância para variáveis aleatória que são função de variáveis aleatórias. Suponha uma variável aleatória t, onde E[t]=0s e Var(t)=5s. Considere uma função v(t)=dt -1 = 10 3 t -1 v (t) = t - e v (t)= 10 3 t -3 E[v(t)] = v(e[t]) + (v (E[t]) Var(t))/ E[v(t)] = v(0) + (v (0) 5)/ = 50,65 m/s Var(v(t))=[v (E[t])] Var(t) Var(v(t))= [v (0)] 5 = 1,5 m/s Multidimensionais Múltiplas Variáveis Aleatórias Seja Ω o espaço amostral associado a um experimento E. e E é um resultado do experimento E. Seja X 1, X,..., X k variáveis aleatórias que associam um número real X 1 (e), X (e),..., X k (e) a cada resultado e. [X 1, X,..., X k ] é chamado de vetor aleatório k- dimensional. Multidimensionais Multidimensionais Múltiplas Variáveis Aleatórias Ω e Ε x1 = X 1( e) X 1 X X k x e x = X ( ) k = X ( e) k R X1 R X R X k Variáveis Aleatórias Bidimensionais (vetores aleatórios bidimensionais) Se os valores possíveis de [X 1, X ] formam um conjunto finito ou infinito enumerável, [X 1, X ] é um vetor aleatório discreto bidimensional. Se os valores possíveis de [X 1, X ] formam um conjunto não enumerável do plano euclidiano, [X 1, X ] é um vetor aleatório contínuo bidimensional. 1

22 Multidimensionais Variáveis Aleatórias Bidimensionais (vetores aleatórios bidimensionais) X N ,5 R X 1 X X 1 m / s X R X 1 X X 1 Multidimensionais Probabilidade Bivariada Caso Discreto: a cada resultado [x 1, x ] de [X 1, X ] associamos um número p(x 1, x ) = P(X 1 = x 1, X =x ), onde p(x 1, x ) 0, x 1, x p( x1, x) = x1 x 1 Distribuição de probabilidade de [X 1, X ] ([ x x 1, x], p( x1, x)), x1, Multidimensionais Probabilidade Bivariada Caso Contínuo: Se [X 1, X ] é um vetor aleatório contínuo, f(x 1, x ) 0, (x 1, x ) R X 1 X é a função de densidade conjunta. f ( x1, x) dx1dx = R X 1 X 1 f x 1, x ) ( X 1 X Multidimensionais Probabilidade Marginal Caso Discreto : a distribuição marginal de X 1 é p = p( x, x 1 ( x1 ) 1 ), x A distribuição marginal de X é p = p( x, x ( x) 1 ), x1 x x 1 Multidimensionais Retornar Multidimensionais Probabilidade Marginal: Caso Discreto x x p (x ) 1 1 1/30 1/30 /30 3/30 1/30 8/30 1/30 1/30 3/30 4/30 9/30 3 1/30 /30 3/30 6/30 4 1/30 3/30 4/30 Probabilidade Marginal: Caso Discreto Seqüência1 p 1 (x 1 ) 0,3500 0,3000 0,3000 0,500 0,500 0,000 0,000 0,1500 0,1500 0,1000 0,1000 0,0500 0,0500 p (x ) Seqüência1 5 3/30 3/30 p 1 (x 1 ) 7/30 7/30 8/30 7/30 1/30 p( x) = 1 x 0,0000 X 1 X 0, Seqüência1 0,667 0,3000 0,000 0,1333 0,1000 Seqüência1 0,333 0,333 0,667 0,333 0,0333

23 Multidimensionais Probabilidade Marginal Caso Contínuo : a distribuição marginal de X 1 é + 1 ( x1 ) = f ( x1, x) dx f A distribuição marginal de X é Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e seja Z = X + Y. Portanto E[ Z] = E[ X + Y ] = E[ X ] + E[ Y ] + ( x) = f ( x1, x) dx1 f Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado Considerando X, Y e Z variáveis aleatórias discreta, temos que : E[ Z] = E[ X + Y] = x x y ( x + y) p( x + y) = x p ( x) + E[ X ] + E[ Y] x y y p ( y) = y (Ver exemplo da página seguinte) Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado Ver Tabela Original x,x p(x) x p(x) 0 0,0333 0,0333 0,0667 0,1000 0,0333 0, ,0333 0,0333 0,1000 0,1333 0,3000 0,3 0,0333 0,0667 0,1000 0,000 0,4 3 0,0333 0,1000 0,1333 0,4 4 0,1000 0,1000 0,4 p1(x1) 0,333 0,333 0,667 0,333 0,0333,0000 1,5000 1, , , ,7 0, x1 p(x1) E[X] E[X1] Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado Considerando X, Y e Z variáveis aleatórias contínuas, temos que : E[ Z] = E[ X + Y ] = x ( x + y) f ( x + y) dxdy = + xf ( x) dx + X E[ X ] + E[ Y] f ( x + y) dydx + y + yf ( y) dy = Y + + f ( x + y) dxdy = Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado De forma mais geral, considere Z, Y e X variáveis aleatórias contínuas, onde Z(X,Y) = ax+by, e a e b são constantes. 3

24 Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado Prova: Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado Este resultado pode ser generalizado de forma que: para a1,... an constantes e qualquer variável aleatória multivariada ( X1,... X n) Se E( X i ) não divergem. Multidimensionais Linearidade do Valor Esperado Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes e seja Z = XY. Portanto E[ Z] = E[ XY] = E[ X ] E[ Y] Prova: E[ XY] = i i j x y p ( x ) p ( y ) = x y p ( x ) i X E[ X ] E[ Y ] j i j i X i j x y p( x, y ) = i j i j Y y p ( y ) = j Y j i j j Retornar (dado que são independentes) Multidimensionais Soma de Variâncias Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e seja Z = X + Y Portanto Var[Z] = Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] + Cov(X, Y) Multidimensionais Soma de Variâncias = E [(( X E [ X ]) + ( Y E [ Y ])) = E[( X E[ X ]) ] + E[( Y E[ Y ]) ] + E[( X E[ X ])( Y E[ Y ]] = E[( X E[ X ]) ] + E[( Y E[ Y ]) ] + E[( X E[ X ])( Y E[ Y ]] ] Multidimensionais Soma de Variâncias Cov( X, Y ) = E[( X E[ X ])( Y E[ Y ]] = E( XY YE[ X ] XE[ Y ] + E[ X ] E[ Y ]) Devido à propriedade de linearidade do valor esperado, temos: = E[ XY ] E( YE[ X ]) E( XE[ Y ]) + E[ X ] E[ Y ] = E[ XY ] E[ Y ] E[ X ] E[ X ] E[ Y ] + E[ X ] E[ Y ] = E[ XY ] E[ X ] E[ Y ] = 0 (devido à linearidade) (Se X e Y forem independentes) Ver também o slide 101 4

25 Multidimensionais Soma de Variâncias Multidimensionais Soma de Variâncias Var ( X Var ( X + Y ) = Var [ X ] + Var [ Y ] + Cov ( X, Y ) Dado que se X e Y forem independentes, tem-se Cov(X,Y)=0. Portanto: + Y ) = Var [ X ] + Var [ Y ] Var ( X + Y ) = Var [ X ] + Var [ Y ] O teorema acima pode generalizado para n variáveis aleatória Mutuamente independentes X,... X n com constantes a 1,... a n n Var Ver também a i X i = a i Var [ X i ] o slide 77 i = 1 i = 1 1 n Multidimensionais Soma de Variâncias Var ( X Y ) = Var [ X ] + Var [ Y ] n n Dado que Var a i X i = a i Var [ X i ] i = 1 i = 1 Pois a = 1 e a = 1 x Var [ X y Y ] = a Var [ X ] + a Var [ Y ] = (1) Var [ X ] + ( 1) Var [ Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ] x y Processos Estocásticos Processo Estocástico é definido por um conjunto de variáveis aleatórias, {X(t) : t T}, onde X(t) é uma variável aleatória para cada t T. t é denominado parâmetro e cada valor de X(t) são estados. Processo Estocástico Markoviano é um processo estocástico onde as variáveis aleatórias não dependem da história passada. Tipos de Processos Estocásticos Processos de espaço de estados e tempo discretos (Discret Time Markov Chain - DTMC) Processos de espaço de estados contínuo e tempo discreto Processos de espaço de estados discreto e tempo contínuo ( - CTMC) Processos de espaço de estados e tempo contínuos Processos Estocásticos Classificação de Estados: Estado Alcançável (reachable): um estado s j é um alcancável de um estado s i se p ij > 0. Um sub-conjunto de estado S é definido com fechado (closed) se s i S, p ij = 0, s j S. Um estado é absorvente se ele é o único membro de conjunto fechado de estados S. Um conjunto fechado de estado S é dito irredutível se p ij > 0 s i, s j S (todo estado s j é alcançável de qualquer estado s i ). Processos Estocásticos Processo Estocástico Markoviano é um processo estocástico onde as variáveis aleatórias não dependem da história passada. Observam-se dois aspectos associados a ausência de memória: 1 Todo estado passado é irrelevante. O tempo que o processo passa em um estado é irrelevante. Processo Estocástico Semi-Markoviano é uma extensão de um processo Markoviano onde a restrição é relaxada. 5

26 Equação de Chapman-Kolmogorov Considere uma CTMC (não-homogênea) {X(t): t 0} com espaço de estado {0,1,,...}. Vamos usar i,j e k para denotar estados típicos e s,u e t para denotar parâmetro de tempo. Para 0 s t, considere p ij (s,t) = P{X(t)=j X(s)=i}. Pode ser representada na forma matricial por H(s,t) = [ p ij (s,t)] A equação de Chapman-Kolmogorov p ij (s,t) = k p ik (s,u) p kj (u,t); 0 s u t Na forma matricial, temos: H(s,t) = H(s,u) H(u,t); 0 s u t Equação de Chapman-Kolmogorov H(s,t) = H(s,u) H(u,t); 0 s u t Substituindo u por t e t por t+h, então: H(s,t+h) = H(s,t) H(t,t+h) Subtraindo-se ambos os lados por H(s,t), temos: H(s,t+h) H(s,t) = H(s,t) [H(t,t+h) I] Dividindo-se por h e aplicando-se o limite h 0, tem-se: lim h 0 H(s,t+h) H(s,t) = H(s,t) [lim h 0 H(t,t+h) I] h h Levando à equação diferencial parcial H(s,t) = H(s,t)Q(t) t Equação de Chapman-Kolmogorov H(s,t) = H(s,t)Q(t) t Onde Q(t) = lim h 0 H(t,t+h) I h Os elementos de Q(t) são dados por q ii (t) = lim h 0 p ii (t,t+h) 1 h q ij (t) = lim h 0 p ij (t,t+h) i j h (forward Kolmogorov eq.) Equação de Chapman-Kolmogorov 1 - p ii (t,t+h) = -hq ii (t) + o(h) p ij (t,t+h) = hq ij (t) + o(h) Onde o(h) é uma função de converge para zero mais rápido que h. Dado que j p ij (s,t) = 1, i, portanto: j q ij (s,t) = 0, i Ou seja, a soma de elementos de uma linha de Q é zero. Equação de Chapman-Kolmogorov H(s,t) = H(s,t)Q(t) (forward Kolmogorov eq.) t Para cadeias homogêneas, tem-se: Q(t) = Q e H(s,t) = Π(t) Steady State Analysis dπ(t) = Π(t)Q (homogêneas) dt Em estado estacionário (t ), pode ser que lim t Π(t) = Π(t) exista. Caso exista, então si S π si =1 dπ(t) = 0, então ΠQ = 0 dt 6

27 Soluções para Steady-States ΠQ = 0 si S πsi=1 Onde πs fornece a steady-state probability de um sistema estar no estado si Soluções Transientes dπ(t) = Π(t)Q dt Onde π(t)si é probabilidade de se estar na estado si no instante t Soluções para Steady-States ΠQ = 0 si S πsi=1 Uma CTMC finita, irredutível e homogênea é dita ergódica (ergodic) se o vetor de probabilidade estacionária (steady-state probability vector) Π existe. Métodos diretos Eliminação de Gauss Decomposição LU Método de Grassmann Métodos Iterativos Power Method Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Uma CTMC é dita irredutível se pij > 0 si, sj S (todo estado sj é alcançável de qualquer estado si). Sharpe (chame via Desktop) Tamanho do buffer=11 λ µ FCFS λ State probability of State i={0,1,,11} State_Prob(i): 7

28 Métricas - Métricas de interesse pode ser calculadas através da soma ponderada das probabilidades de estado. Reward rate em estado estacionário Métricas a probabilidade acumulada de que se esteja num estado é dada por: Reward rate instantânea Portanto, tempo médio (esperado) que se permanece no estado i durante o intervalo [0,t). *Ver métricas nas página 91,9,93 e 94 de QN and MC [Bolch et al.] *Ver métricas nas página 91,9,93 e 94 de QN and MC [Bolch et al.] Data Data 8

29 Sistema Computacional com degradação Sharpe (chame via Desktop) C:\Sharpe-Gui\ SHARPE GUI Examples \Markov\Degradable Suponha um sistema representado por uma CPU que opera em três estágios: CPU_OK, Degradable e Faulty_CPU. Sistema Computacional com degradação Suponha um sistema representado por uma CPU que opera em três estágios: CPU_OK, Degradable e Faulty_CPU. As taxas entre os estados são: CPU_OK para Degradable é (OK_D_rate) 100, Degradable para CPU_OK (D_OK_rate) é 0, Degradable para Faulty_CPU (D_F_rate) é 5, Faulty_CPU para Degradable (F_D_rate) é 10, CPU_OK para Faulty_CPU (OK_F_rate) é 1 e do estado Faulty_CPU para CPU_OK (F_OK_rate) é 1. As taxas entre os estados são: CPU_OK para Degradable é (OK_D_rate) 100, Degradable para CPU_OK (D_OK_rate) é 0,Degradable para Faulty_CPU (D_F_rate) é 5, Faulty_CPU para Degradable (F_D_rate) é 10, CPU_OK para Faulty_CPU (OK_F_rate) é 1 e do estado Faulty_CPU para CPU_OK (F_OK_rate) é 1. Sistema Computacional com degradação Suponha um sistema representado por um autômato estocástico, onde: S = {0,1,} E = {a,d} f(0,a)=1, f(1,a)=, f(,a)=, f(,d)=0 Γ(0) = {a}, Γ(1) = {a}, Γ() = {a,d} Os eventos a ocorrem com taxa igual = λ, Os eventos d ocorrem com taxa igual = µ a a a 0 1 d State Transition Diagram 9

30 State Transition Rate Diagram λ λ 0 1 µ - λ λ 0 0 Q = 0 -λ λ 1 µ 0 - µ 0 1 π 0 = π 1 = µ / ( µ + λ) π = λ / ( µ + λ) si S π si =1 Π Q = 0 0 (π 0, π 1, π ) Q = λ π 0 + µ π = 0 λ π 0 - λ π 1 = 0 -λ π 1 - µ π = 0 π 0 + π 1 + π =1 State Transition Rate Diagram δ 0 λ µ 1 γ 3 σ - λ λ Q = 0 -(γ+µ) µ γ 1 δ 0 - δ 0 σ 0 0 -σ si S π si =1 Π Q = 0 0 (π 0, π 1, π, π 3 ) Q = 0 0 T = 1 / (π 0 λ ) - Tempo médio entre finalizações Birth-death chain Considere o automata Birth-death chain CTMC Birth-death chain M/M/1 queueing system QBM 30

31 QBM QBM M/M/1 queueing system M/M/1 queueing system Throughput Tamanho médio da fila Mean response time Mean waiting time QBM QBM M/M/m queueing system M/M/m queueing system Tamanho médio da fila Fórmula C de Erlang Throughput Mean response time M/M/1/K queueing system QBM M/M/1/K queueing system Tamanho médio da fila QBM Clientes rejeitados Mean response time 31

32 QBM QBM M/M/m /m queueing system Examples M/M/m /m queueing system Mathematica Discrete Time Markov Chain O comportamento de uma rede estocástica é representado por DTMC Matriz de Propabilidades de Próximo Estados Evolução de uma DTMC 0 1 p00 p01 0 P = p10 p11 1 p01 0 Discrete Time Markov Chain 1 p11 p00 p10 Discrete Time Markov Chain Discrete Time Markov Chain Estado recorrente: um estado é classificado como recorrente não-nulo se, caso contrário é classificado como recorrente nulo (recurrent null). Um período (d) de uma estado recorrente i é definido por: Periodic DTMC Se d(i) =1, o estado i é aperiódico, se d(i)>1 é periódico. Um estado i é ergódico se é aperiódico e recorrente nãonulo. Uma DTMC é ergódica de todos os seus estados são ergódicos. 3

33 Discrete Time Markov Chain Mathematica Discrete Time Markov Chain Soluções para Steady-States a 11 a 1 a 13 A 1 =(a 11 a 1 a 13 ) P = a 1 a a 3 A =(a 1 a a 3 ) a 31 a 3 a 33 A 3 =(a 31 a 3 a 33 ) a ij - probabilidade si S a ij =1 Chamar o modelo C:\Users\Paulo\Dropbox\Models\Models_SHARPE\dtmc1.rgl Π. P = Π, si S π i =1, onde π i fornece o número relativo de visitas ao estado s i Chamar o modelo C:\Users\Paulo\Dropbox\Models\Models_SHARPE\dtmc1.rgl Mathematica Discrete Time Markov Chain Soluções para Transiente Discrete Time Markov Chain Π(1)= Π(0) P, Π()= Π(1) P = Π(0) P Π(k)= Π(0) P n, k=1,,... Discrete Time Markov Chain Mathematica Outro exemplo Excel e abrir também o SHARPE: C:\Users\Paulo\Dropbox\Models\Models_S HARPE\ext_dtmc.mkv ) Soluções Transientes dπ(t) = Π(t)Q, Π(0) = (π 0 (0),...,π n-1 (0)) dt Onde π si (t) é probabilidade de se estar na estado s i no instante t Métodos de Solução: Solução via Sistemas de Eq. Diferencial Ordinária Solução através de transformada de Laplace Runge-Kutta Uniformização (Transformar CTMC em DTMC) 33

34 Soluções Transientes (Laplace Tranform) 34

35 Soluções Transientes dπ(t) = Π(t)Q, Π(0) = (π 0 (0),...,π n-1 (0)) dt Uma solução formal para o sistema acima é: Π(t)=Π(0)e Qt Pela série de Taylor/MacLaurin, temos: e Qt = I + Qt/1! + (Qt) /! + (Qt) 3 /3! +... = Σ k=0 (Qt) k /k! Soluções Transientes Π(t)=Π(0)e Qt = Π(0)Σ k=0 (Qt) k /k! Problemas de arrendodamento ocorrem devido aos valores positivos e negativos que Q contém. A matriz (Qt) k se torna não-esparsa o que requer capacidade muito maior. Para evitar estes problemas aplica-se o método chamado de uniformização (ou aleatorização - Randomization) também chamado de método de Jensen Uniformização CTMC i q ij q ik Estado de menor tempo de permanência j k Λ(i) = q ij + q ik λ max si S { q ii } Sabe-se também que: p ij = q ij / Λ(i) e p ik = q ik / Λ(i) Considere que tomemos uma taxa uniforme λ Λ(i) onde: λ = q ij + q ik + ν (λ - Λ(i) = ν) e ν 0 é a taxa de arbitrária de um evento fictício que não muda o estado i. Tempo de permanência no estado i: 1/(-q ii ) = 1/ Λ(i) 35

36 Uniformização CTMC i q ij q ik Estado de menor tempo de permanência Λ(i) = q ij + q ik j k Sabe-se também que: p ij = q ij / Λ(i) e p ik = q ik / Λ(i) Em todos os estados na CMTC que tiverem tempo de permanência igual a 1/(-q ii ), não teremos transição (auto-laço) na DTMC. Para os estados que tiverem tempo de permanência maior, ou seja uma época não é longa o suficiente, estes estados devem ser revisitados (auto-laço). Tempo de permanência no estado i: t =1/(-q ii ) = 1/ Λ(i) Uniformização CTMC i q ij q ik Λ(i) = q ij + q ik j k Sabe-se também que: p ij = q ij / Λ(i) e p ik = q ik / Λ(i) ν / λ i q ij / λ q ik / λ j k λ = q ij + q ik + ν DTMC λ max si S { q ij } Uniformização CTMC i q ij q ik P = I + Q/ λ Q = λ(p - I) j k ν / λ i q ij / λ q ik / λ λ = q ij + q ik + ν j k λ max si S {-q ij } DTMC Uniformização CTMC i q ij q ik P = I + Q/ λ Q = λ(p - I) j k ν / λ i q ij / λ q ik / λ k λ = q ij + q ik + ν λ max si S {-q ij } Outra interpretação: Considerando 1/λ = t como uma época (timestep), P = I + Q t que é igual aos dois primeiros termos da expansão de Taylor, portanto a cadeia uniformizada é uma aproximação de primeira ordem da CTMC. j DTMC Uniformização -4 Q = 1-1 P = P = I + Q/ λ Q = λ(p - I) λ max si S { q ij } /6 /6 4/6 1 1/6 1 /6 3 1/6 Soluções Transientes Π(t)=Π(0)e Qt = Π(0)eλ(P - I)t = Π(0)e λpt e -λit = Π(0)e λpt e -λt = Π(0) e -λt e λpt = Π(0) e -λt Σ n=0 (λpt) n /n! = Π(0) e -λt Σ n=0 (λt) n P n /n!, n ℵ Na matriz P os valores estão entre 0 e 1. Não há valores negativos, o que evita os erros de arrendodamento que ocorrem na expansão com a matriz Q. 36

37 Soluções Transientes Π(t)=Π(0)e Qt = Π(0) e -λt Σ n=0 (λt) n P n /n!, n ℵ ψ(λt,n) = [e -λt (λt) n ]/n!, n ℵ Π(t)=Π(0) Σ n=0 ψ(λt,n)p n, n ℵ Soluções Transientes Π(t)=Σ n=0 ψ(λt,n) Π(0)P n, n ℵ Uma solução iterativa: ^ Π(t)=Σ n=0 ψ(λt,n) Π(n), n ℵ ^ ^ ^ Π(0)= Π(0), Π(n) = Π(n-1)P, n ℵ Podemos truncar a série de maneira que a se atinja uma exatidão 1-ε (ε = erro). Soluções Transientes ~ ke ^ Π(t)=Σ n=0 ψ(λt,n) Π(n), n ℵ ~ Π(t)- Π(t) = [Π(0) e -λt Σ n=0 (λpt) n /n!] - ke [Π(0) e -λt Σ n=0 (λpt) n /n! ] Σ n=ke+1 e -λt (λt) n /n! ε A desiguladade ocorre, pois [P n ] ij são menores ou iguais a um. Soluções Transientes Dado que ψ(λt,n) = [e -λt (λt) n ]/n! é uma distribuição discreta (Poisson), portanto: ke Σ n=0 ψ(λt,n) =1 = Σ n=0 ψ(λt,n) + Σ n=ke+1 ψ(λt,n), n ℵ Do slide anterior, tem-se: Σ n=ke+1 e -λt (λt) n /n! ε Desta forma: Σ n=ke+1 e -λt (λt) n /n! = [1 - e -λt Σ n=0 (λt) n /n!] ε ke Soluções Transiente ke Σ n=ke+1 e -λt (λt) n /n! = [1 - e -λt Σ n=0 (λt) n /n! ] ε Solução Transiente (exemplo) -4 Q = 1-1 P = ke Σ n=0 e -λt (λt) n /n! 1- ε ke Σ n=0 (λt) n /n! (1- ε) e λt P = I + Q/ λ Q = λ(p - I) λ max si S { q ij } Considere ε= /6 /6 4/6 1 1/6 1 /6 3 1/6 37

38 Solução Transiente (exemplo) -4 Q = 1-1 P = ke Σ n=0 (λt) n /n! (1- ε) e λt Dado λ= 6 e considerando ε=10-4 Solução Transiente (exemplo) t , ke Dado λ= 6 e considerando ε=10-4 Para t =0.1, tem-se: (1- ε) e λt =( ) e 0.6 = 1,819 ke Σ n=0 (λt) n /n! (1- ε) e λt 4 Σ n=0 (0,6) n /n! = 1,814, 5 Σ n=0 (0,6) n /n! = 1,81, Solução Transiente (exemplo) t ke Para t =0.1 ke = 5 ψ(λt,n) = [e - λt (λt) n ]/n!, n {0,1,,3,4,5} ~ ke ^ Π(t)=Σ n=0 ψ(λt,n) Π(n), n {0,1,,3,4,5} Solução Transiente (exemplo) t 0,1 0, 0, ke Para t =0,1 ke = 5 Portanto: ^ Π(0)= Π(0) = (1,0,0) obtêm-se: ^ ^ ^ ^ ^ Π(1), Π(), Π(3), Π(4), Π(5) através de ^ ^ Π(n) = Π(n-1)P, n {1,,3,4,5} Solução Transiente (exemplo) t ke Para t =0.1 ke = 5 ψ(0.6,n) = [e -0.6 (0.6) n ]/n!, n {0,1,,3,4,5} ~ 5 ^ Π(0.1)=Σ n=0 ψ(0.6,n) Π(n), n {0,1,,3,4,5} Solução Transiente (exemplo) t ke Para t =0.1 ke = 5 ψ(0.6,n) = [e -λt (λt) n ]/n!, n {0,1,,3,4,5} ψ(0.6,0) = [e -0,6 (0,6) 0 /0!] ψ(0.6,1) = [e -0,6 (0,6) 1 /1!] ψ(0.6,) = [e -0,6 (0,6) /!] ψ(0.6,3) = [e -0,6 (0,6) 3 /3!] ψ(0.6,4) = [e -0,6 (0,6) 4 /4!] ψ(0.6,5) = [e -0,6 (0,6) 5 /5!] 38

39 Solução Transiente (exemplo) Solução Transiente (exemplo) t ke Para t =0.1 ke = 5 ψ(0.6,n) = [e -λt (λt) n ]/n!, n {1,,3,4,5} ~ 5 ^ Π(0.1)=Σ n=0 ψ(0.6,n) Π(n), n {1,,3,4,5} t ke Para t =0.1 ke = 5 ~ 5 ^ Π(0.1)=Σ n=0 ψ(0.6,n) Π(n), n {1,,3,4,5} ~ Π(0.1)= (0.71, 0.150, 0.168) Solução Transiente (exemplo) Semi-Markovian Chain (SMC) Considere uma DTMC, contudo também considere um tempo de permanência (no domínio contínuo: t R), em cada estado i S da DTMC, com distribuição F i (t) e densidade f i (t). Este modelo é denominado SMC. Semi-Markovian Chain (SMC) SMC é caracterizada por: matriz de probabilidade de 1 passo (P), vetor de probabilidade inicial (Π(0)) e o vetor de distribuições de permanência nos estados (F(t) = (F 1 (t),...,f i (t),...,f s (t))). Semi-Markovian Chain (SMC) Interpretação Em cada instante em que ocorrem mudanças de estados, a SMC tem comportamento igual ao da correspondente DTMC (comportamento descrito por P) e é independente do passado. Quando se alcança um estado i, um tempo distribuído conforme F i (t) deve se passar para que ocorra nova transição entre estados. 39

40 Semi-Markovian Chain (SMC) Solução Estacionária Encontre a solução estacionária para DTMC embutida (caracterizada por P): Ω P = Ω i S ω i = 1 Calcule o tempo médio de permanência (h i ) em cada estado i: h i = 0 t f i (t)dt Semi-Markovian Chain (SMC) Solução Estacionária A probabilidade de estado estacionário da SMC é obtida por: π i = (ωi h i )/ ( j S ω j h j ), i Em muitas aplicações, h i é fornecido diretamente. Solução transiente é mais sofisticada. Semi-Markovian Chain (SMC) Semi-Markovian Chain (SMC) Solução Estacionária Exemplo: 0,4 0 h 0 =10 Estados 0,6 1 h 1 =5 0,7 0,4 Solução Estacionária Exemplo: 0 h 0=10 0,6 0,3 1 h 1 =5 0,7 Matriz de Propabilidades de Próximo Estados 0 1 0,4 0,6 0 P = 0,7 0,3 1 Ω P = Ω i S ω i = 1 h 0 =10, h 1 =5 0,3 Tempo médio de permanência Ω P = Ω i S ω i = 1 h 0 =10, h 1 =5 ω 0 =0,5385 ω 1 =0,4615 Semi-Markovian Chain (SMC) Semi-Markovian Chain (SMC) 0,4 Solução Estacionária Exemplo: 0 h 0=10 0,6 0,3 1 h 1 =5 0,7 Matriz de Propabilidades de Próximo Estados 0 1 0,4 0,6 0 P = 0,7 0,3 1 0,4 Solução Estacionária Exemplo: 0 h 0=10 0,6 0,3 1 h 1 =5 0,7 Matriz de Propabilidades de Próximo Estados 0 1 0,4 0,6 0 P = 0,7 0,3 1 ω 0 =0,5385 ω 1 =0,4615 π i = (ωi h i ), i S ( j S ω j h j ) π 0 = (0, ) (0, ) + (0,4615 5) π 1 = (0,4615 5) (0, ) + (0,4615 5) π 0 = (0, ) = 0,7 (0, ) + (0,4615 5) π 1 = (0,4615 5) = 0,3 (0, ) + (0,4615 5) 40

41 Redes de Petri Redes Temporizadas Níveis de Abstração Obj.RdP Pr/T, CPN P,T CE, EN Espaço dos Formalismos Token-Timed PN Extensões Temporizadas Transition-Timed PN Place-Timed PN Autônomo Estocástico Detreminístico Intervalo Predicados Limites Sinais Externos Interpretações Stochastic PN Time PN Timed PN Temporizado Dados Interpretados Redes Temporizadas Redes Temporizadas Extensões Temporizadas Token-Timed PN Transition-Timed PN Place-Timed PN Ramchandani, Transition Timed Net Merlin, Transition Time Net Sifakis, Place Timed Net Stochastic PN Time PN Timed PN Redes Temporizadas Estocásticas Natkin Molloy Marsan et al É uma rede temporizada onde o delay associado à transição é uma variável aleatória de distribuição exponencial Redes Temporizadas Redes de Petri com Lugares Temporizados (PTPN) (Sifakis77) Definição: PTPN=(P,T,F,K,W,M 0,Γ,υ), onde P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, F (P T) (T P) uma relação que representa os arcos W Valoração (peso dos arcos) - W: F N M 0 - Marcação inicial - M 0 :P N Γ={γ 1, γ,, γ i, } números reais denominada base de tempo. υ:p Γ um mapeamato que υ(p) = γ j 41

42 Redes Temporizadas - PTPN - Redes Temporizadas - PTPN - Regra de Disparo p1 Regra de Disparo p1 t0 p0 t1 t0 p0 t1 υ(p0) = 3 υ(p0) = 3 Instante=0 Redes Temporizadas - PTPN - Redes Temporizadas - PTPN - Regra de Disparo p1 Regra de Disparo p1 t0 p0 t1 t0 p0 t1 υ(p0) = 3 Instante=1 υ(p0) = 3 Instante= Redes Temporizadas - PTPN - Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Regra de Disparo p1 Conceitos Básicos: Duração (disparo em três fases) Marcas são consumidas dos lugares de entrada Há uma duração Marcas são geradas no lugares de saída t0 p0 t1 υ(p0) = 3 Instante=3 Disparo atômico As marca permanecem nos lugares de entrada pelo período igual ao delay associada à transição. Após o delay as marcas são consumidas e geradas nos lugares de saída imediatamente. 4

43 Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Duração (disparo em três fases) Pode ser representada por uma rede com disparo atômico Modelo mais compacto O estado é uma informação mais complexa do que o modelo não-temporizado Disparo atômico Pode representar o modelo com duração O conjunto de marcações alcançáveis é um sub-conjunto das marcações do modelo nãotemporizado. Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Regras de Seleção: Pré-seleção: (duração e delay) Prioridade Probabilidade Race (corrida): (delay) Transições habilitadas com menor delay são disparadas Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Quando uma das transições conflitantes é desabilitada pelo disparo da outra, o que acontece com o timer da que ficou desabilitada quando a mesma tornar-se habilitada outra vez? Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Como fica a memorização do tempo de habilitação anterior? Continue O timer associado à transição mantem o valor atual e quando a transição se tornar novamente habilitada o valor do timer iniciará daquele valor. Restart Quando a transição for da novamente habilitada o timer será re-iniciado. ta p1 p0 db p tb Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: O que acontece com o timer das transições habilitadas após o disparo de uma transição? Todas as transições. Não somente as transições conflitantes. Algumas políticas de memória podem ser construídas Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Resampling Após cada disparo os timers de TODAS as transições são re-iniciado (restart) Não há memória Após descartar todos os timers, os valores iniciais são associados a todas as transições que se tornarem habilitadas na nova marcação. 43

44 Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Enabling Memory Após cada disparo os timers das transições que ficaram desabilitadas são re-iniciados (restart) As transições que permaneceram habilitadas com o disparo matêem seus valores presentes(continue) Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Age Memory Após cada disparo os timers de todas as transições são mantidos em seus valores presentes (continue) Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Grau de Habilitação (Enabling Degree) É o número de vezes que uma determinada transição pode ser disparada, numa determinada marcação, antes de se torna desabilitada. Quando o grau de habilitação é maior que um, atenção especial à semântica de temporização deve ser considerada. p1 ta p1 p0 d Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Semântica de Temporização Single-server firing semantics Infinite-server firing semantics Multiple-server firing semantics K é o máximo grau de paralelismo. Quando k, Multiple-server firing semantics é igual a infinite-server firing semantics. Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Single-server firing semantics p0 Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Infinite-server firing semantics p0 ta d=3 t=3 t=6 t=9 t ta d=3 t=3 t p1 p1 44

45 Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - Conceitos Básicos: Multiple-server firing semantics k= p0 Classificação da Técnicas de Avaliação de Desempenho Avaliação Determinísica Avaliação de Desempenho Modelagem Estocástica Medição Prototipação Métodos Simulação de Eventos Métodos Analíticos Discretos Analíticos ta p1 d=3 t=3 t=6 t Sistema Benchmarks Real Simulação Modelagem Redes com Arco Inibidor Definição: PN=(P,T,I,O,H,Π,M 0 ) P,T,I,O definidos como usualmente. H : P T ℵ é a função de mapeamento de que representam os arcos inibidores M 0 - Marcação inicial M 0 : P ℵ Redes com Prioridade Definição: H : P T ℵ é a função de mapeamento de que PN=(P,T,I,O,H,Π,M 0 ) representam os arcos inibidores P,T,I,O definidos como usualmente. Π : T ℵ é uma função que mapeia às transições níveis de prioridade. M 0 - Marcação inicial - M 0 : P ℵ Redes com Prioridade Redes com Prioridade PN=(P,T,I,O,H,Π,M 0 ) Structural Causal relation PN=(P,T,I,O,H,Π,M 0 ) Structural Causal relation p1 tl p th p3 ti p4 tj p6 Indirect Conflict p5 tk p7 Structural Conflict p1 tl p th p3 ti p4 tj p6 Remoção da Confusão π l = π k p5 tk p7 π h,π i,π j > π k Structural Conflict Extended Conflict Set - ECS = {t 1,t h,t i,t j,t k } 45

46 Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) p1 s t1 p p t f t3 p3 t4 r P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, I: P T ℵ é a função de mapeamento de que representam as pré-condições, O : P T ℵ é a função de mapeamento de que representam as pós-condições W : T R + (ou W : T M R + ) é uma função que associa taxas de distribuição exponencial às transições M 0 - Marcação inicial - M 0 : P ℵ Definição: SPN=(P,T,I,O,H,W,M 0 ) p1 p λ λ 1 t1 t p3 λ 4 λ 3 t4 t3 p4 P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, I: P T ℵ é a função de mapeamento de que representam as pré-condições, O : P T ℵ é a função de mapeamento de que representam as pós-condições H : P T ℵ é a função de mapeamento de que representam os arcos inibidores W : T R + (ou W : T M R + ) é uma função que associa taxas de distribuição exponencial às transições M 0 - Marcação inicial - M 0 : P ℵ Rede Estocástica Grafo de Marcações / CTMC Semântica de Disparo de Transição Uma transição t j é disparável se estiver habilitada Regras de habilitação M[t j >, M(pi) Ι(pi, t j ) pi P Transições com delays menores disparam primeiro (Race) Enabling memory, resampling, age memory Regras de disparo Se M[t j >M M (pi)=m0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ), pi P 46

47 Conflito Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T R + {0} p1 s t1 p p t f t3 p3 Grafo de Marcações 1,0,0 M0 t t1 t4 M1 0,1,0 t3 M 0,0,1 t4 r Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T R + {0} p1 s t1 p p t f t3 p3 t4 r Grafo de Marcações t M1 t3 M M0 1,0,0 0,1,0 0,0,1 t1 t4 Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T R + {0} p1 s t1 p p t f t3 p3 t4 r Grafo de Marcações t M1 t3 M M0 1,0,0 0,1,0 0,0,1 t1 t4 Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T R + {0} p1 s t1 p p t f t3 p3 t4 r Grafo de Marcações t M1 t3 M M0 1,0,0 0,1,0 0,0,1 t1 t4 Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T R + {0} p1 s t1 p p t f t3 p3 t4 r Grafo de Marcações t M1 t3 M M0 1,0,0 0,1,0 0,0,1 t1 t4 47

48 Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T R + {0} p1 s t1 p p t f t3 p3 t4 r Grafo de Marcações t M1 t3 M M0 1,0,0 0,1,0 0,0,1 t1 t4 Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T R + {0} p1 s t1 p p t f t3 p3 t4 r Grafo de Marcações M0 1,0,0 t t1 t4 M1 t3 M 0,1,0 0,0,1 Semântica de Temporização SSS ISS Em geral, a CTMC associada a uma SPN é obtida da seguinte maneira: O espaço de estados S = {s i } corresponde ao reachability set RS(N,M 0 ) = {M i } da rede marcada N. As transition rates de cada estado s i (corresponde a marcação M i ) para cada estado s j (M j ) são obtidas pela soma de todas as firing rates associadas às transições que estão habilitadas em M i e cujo disparo levam a M j. Assumindo-se que todas as transições operam em Single Server Semantics (SS) e taxas (rates) independentes da marcação, tem-se: tk ej(mi) ω k i j q ij = - q i i=j onde Q = [q ij ] gerador infinitesimal (matriz de taxas) q i = tk e(mi) ω k ω k é a taxa de disparo de t k. e j (M i ) = {t k t k e(m i ) M i [t k >M j }é o conjunto de transições que estão hablitadas em M i e cujo disparo levam a M j. e(m i ) conjunto de transições habilitadas em M i. Generalizada (GSPN) Definição: GSPN=(P,T,I,O,H,Π,W,M 0 ) λ 1 λ 4 t4 t1 p p1 t p3 t3 p4 P,T,I,O definidos como usualmente. H : P T ℵ é a função de mapeamento de que representam os arcos inibidores Π : T 0 se t for temporizada (Prioridade) ℵ + se t for imediata W : T R + (ou W : T M R + ) é 1.uma função que associa taxas de distribuição exponencial às transições temporizadas e.pesos usados na computação das probabilidades de disparo das transições imediatas M 0 - Marcação inicial - M 0 : P ℵ 48

49 Generalizada (GSPN) Semântica de Disparo de Transição Regras de habilitação M[t j >, M(pi) >=Ι(pi, t j ) e M(pi) < Η(pi, t j ) pi P Uma transição t j é disparável se estiver habilitada Transições com delays menores disparam primeiro (Race) Transições imediatas disparam instantaneamente com prioridades sobre as temporizadas Diferentes níveis de prioridade podem ser associados às transições imediatas. Transições imediatas com mesmo nível de prioridade associada disparam de acordo com o peso associado a cada uma. Enabling memory, resampling, age memory Regras de disparo Se M[t j >M M (pi)=m0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ), pi P t t4 λ1 p1 Generalizada (GSPN) Reachability Set t1 µ α p3 p p4 t5 λ t3 β RS = VS TS VS TS = VS Vanishing set: Marcações em que as transições disparáveis são imediatas. TS Tangible set: Marcações onde as transições habilitadas são temporizadas. t t4 λ1 p1 Generalizada (GSPN) t1 µ α p3 p p4 t5 λ t3 β Tangible marking Grafo de Marcações t4 1,0,0,0 t1 t5 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1 t t3 Vanishing marking t t4 λ1 p1 Generalizada (GSPN) P{t k m j } = ω k /q j q j = tk e(mi) ω k t1 µ α p3 p p4 t5 λ t3 β ω k é a taxa de disparo de t k. e(m j ) conjunto de transições habilitadas em M j. Quando a marcação é vanishing, ω k é um peso (transição imediata). Quando a marcação é tangible, ω k é a taxa. Generalizada (GSPN) Generalizada (GSPN) Quando diversas transições imediatas estão habilitadas em uma mesma marcação (vanishing), decidir qual transição dispara só faz sentido quando na presença de conflito. Assumindo a ausência de confusão, o cálculo do ECS consiste em particionar as transições imediatas em conjuntos os quais as transição de cada conjunto possam estar em conflito. Contudo, transições de diferentes ECS são concorrente. Quando diversas transições imediatas estão habilitadas em uma mesma marcação (vanishing), decidir qual transição dispara só faz sentido quando na presença de conflito. Quando transições de um único ECS são as únicas imediatas P{t k m i } = ω k /w k (m i ) w k (m i ) = tj [ECS(tk) e(mi)] ω j Os pesos podem ser diferentes em diferentes marcações, mas a relação entre estes pesos é constante (sem confusão) 49

50 t t4 λ1 p1 Generalizada (GSPN) Reachability Set t1 µ α p3 p p4 t5 λ t3 β RS = VS TS VS TS = VS Vanishing set: Marcações em que as transições disparáveis são imediatas. TS Tangible set: Marcações onde as transições habilitadas são temporizadas. t t4 λ1 p1 Generalizada (GSPN) Grafo de Marcações t1 µ α p3 p p4 t5 λ t3 β Tangible marking t4 1,0,0,0 t1 t5 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1 t t3 1,0,0,0 λ1 µ. α λ 0,0,1,0 α+ β µ. β 0,0,0,1 α+ β Vanishing marking Para garantir a existência de probabilidade estacionária, a rede deve ser: limitada (bounded) reversível e livre de bloqueio (deadlock-free) Q = 0, Mi RS(N) π i =1 Probabilidade estacionária de uma marcação M i (π 1,...,π i,..., π n ) Q = (0,...,0,...,0) 1 n π i =1 Soluções Transientes dπ(t) = Π(t)Q, Π(0) = (π 0 (0),...,π n-1 (0)) dt Uma solução formal para o sistema acima é: Π(t)=Π(0)e Qt Dada M j TS(N), a probabilidade de se disparar t k (t k está habilitada em M j ) em M j é: p(t k,m j )= λ k /λ j,, λ j = Σ t Τj λ t T j = {t M j [t>} λ t é a taxa associada a transição t através da W Dadas M i VS(N), a probabilidade de se disparar t k em M i é: p(t k,m i )= ω k /ω k (M i ), ω k (M i )= Σ tj {ΕCS(tk) Mi [tj>} ω j ECS(tk) Extended Conflict Set ω k (M i ) o peso associado à transição t k na marcação M i. Caso haja mais de uma transição imediata, de diferentes ECS, habilitadas em uma marcação M, não importa a ordem de disparo, desde que a rede seja livre de confusão. 50

51 Tempo de permanência numa marcação (sojourn time) Probabilidade que um lugar p j tenha k marcas Número esperado de marcas no lugar p j tm i = 1/λ j λ j = Σ t Τj λ t T j = {t M j [t>} λ t é a taxa associada a transição t através da W p(pj,k) = i S1 p i S 1 = { i {1,,..,S} M i (p j )=k} K Em(p j ) = x.p(pj,x) x=1 K é o número máximo de marcas que o lugar pj pode conter Throughput rate de uma transição temporizada TR(t j ) = i S p i. λ j S = { i {1,,..,S} M i [t j >} p i é a probabilidade estacionária de uma marcação Mi que habilita t j λ j é a taxa associada à transição t j Tempo médio entre disparos de uma transição T= 1/TR(t j ) = 1/( i S p i. λ j ) S = { i {1,,..,S} M i [t j >} p i é a probabilidade estacionária de uma marcação Mi que habilita t j λ j é a taxa associada à transição t j Throughput rate de uma transição imediata Pode ser calculada de uma transição exponencial e a estrutura do modelo GSPN. t i ω j d i TR(t j ) = TR(t i ) (ω j / ω j + ω j ) t j t k tj e tk são as únicas transições de um ECS. Littles s law E[X] = λ E[s] (ergódico) E[X] - tamanho médio da fila. E[s] - Tempo médio de serviço do sistema. λ - taxa de chegada ω k 51

52 Tempo médio de espera em um lugar MM1K Representação explícita do descarte Wait(pi) = Em(p i ) = Em(p i ) tj I(pi) TR(t j ) tj O(pi) TR(t j ) Em(p i ) é o número médio de marcas no lugar p i. TR(t j ) throughput da transição t j. Throughput de transições K-server semantics Throughput de transições K-server semantics MMK Representação implícita do descarte MMK Equivalente ao anterior. Servidores representados individualmente 5

53 MMn1nK Servidores com caracterísitcas diferentes. Fila com 1 atendente e com tempo de repouso Fila com atendentes e com tempo de repouso Fila com atendentes e com tempo de repouso versão com k-server semantics Exemplo Banco Todas as transisções têm SSS, exceto a transição Service, que tem ISS. Análise Qualitativa Exemplo Sevidor Central Do livro MODELLING WITH GENERALISED STOCHASTIC PETRI NETS Marsan et al. Do livro MODELLING WITH GENERALISED STOCHASTIC PETRI NETS Marsan et al. 53

54 Number_of_Clients_in_the_Queue Waiting_Time Arriving_Time Arriving_Time System_Time Probability of at least one server not being serving Arriving_Time Arriving_Time Todas as transisções têm SSS, exceto a transição Service, que tem ISS. Number_of_Clients_in_the_Queue Number_of_Servers 54

55 Waiting_Time System_Time Number_of_Servers Number_of_Servers Todas as transisções têm SSS, exceto a transição Service, que tem ISS. Probability of at least one server not being serving Number_of_Servers Exemplo Sevidor Central Number_of_Clients_in_the_Queue System_Time Do livro MODELLING WITH GENERALISED STOCHASTIC PETRI NETS Marsan et al. Waiting_Time Resting_Time 55

56 Aproximando Outras Distribuições Variáveis Suplementares Aproximação por Fases Moment Matching Para encontrar uma distribuição por fase adequada para uma distribuição genérica, duas atividades são fundamentais: Determinar o tipo de aproximação necessária. Encontrar os parâmetros numéricos da aproximação. Aproximação por Fases Pontos a serem considerados na escolha de uma aproximação por fases. Qualidade da aproximação: quanto mais próximo for a distribuição por fase da distribuição real, melhor. Medidas de aproximação: Moment matching Encontrar um pdf (ou cdf) que seguem a pdf real numa determinada região de interesse. Aproximação por Fases Pontos a serem considerados na escolha de uma aproximação por fases. Número de Estados da Aproximação: é importante fazer com que o número de estados seja o menor possível. Facilidade da obtenção do modelo markoviano resultante: pode ser possível obter uma aproximação que gere excelentes resultados. No entanto, pode não ser fácil a integração no modelo markoviano resultante. Aproximação por Fases Pontos a serem considerados na escolha de uma aproximação por fases. Facilidade de obtenção dos parâmetros da aproximação: quanto mais parâmetros sejam necessários para especificar a aproximação, mais difícil se torna para encontrá-los. Aproximação por Fases Distribuição de Erlang τ = τ 1 + τ (λ 1 = 1/µ 1,λ = 1/ µ ) λ1 λ fτ(t)= (fτ 1 fτ )(t) = λ 1 λ (e -λ1t - e -λt )/(λ 1 - λ ) Generalizando para n fases iguais a λ. fτ(t)= (λ n t (n-1) e -λt )/(n-1)!, t 0... λ (n) λ t1 t, µ E, n (fases) Parâmentros:n, λ; Valor Esperado: µ E =n/ λ Variância: 1/nλ (λ - de cada fase) t Distribuição Especificada (empírica) Moment Matching µ D σ D t1, λ 1, µ 1 =1/λ 1 Se µ D /σ D = 1 então uma transição exponencial é suficiente. λ 1 =1/µ D 56

57 Distribuição Especificada (empírica) Moment Matching γ µ D σ D Distribuição Especificada (empírica) Moment Matching µ P D 0 P 1 σ D λ... λ Se µ D /σ D = n 1, n Z γ= (µ D /σ D ) = n, λ= γ/µ D = n /µ D Distribuição Especificada (empírica) Moment Matching γ... µ D σ D Distribuição Especificada (empírica) Moment Matching P 0 µ D P 4 σ D λ 1 λ λ Se µ D /σ D > 1 e µ D /σ D Z (µ D /σ D ) -1 γ < (µ D /σ D ) λ 1 = 1/µ 1 µ 1 = µ D + sqrt(γ(γ+1) σ D - γµ D )/(γ+1) λ = 1/µ µ = γµ D ± sqrt(γ(γ+1) σ D - γµ D )/(γ+1) Se µ D /σ D > 1 e µ D /σ D Z (µ D /σ D ) -1 γ < (µ D /σ D ) λ 1 = 1/µ 1 µ 1 = µ D + sqrt(γ(γ+1) σ D - γµ D )/(γ+1) λ = 1/µ µ = γµ D ± sqrt(γ(γ+1) σ D - γµ D )/(γ+1) delay1=1/λ 1, delay=1/λ Distribuição Determinística Moment Matching Aproxima-se, fazendo-se σ D pequeno γ torna-se grande. λ Se µ D /σ D = x 1, x Z (c=σ D / µ D <1) γ=x, λ= x /µ D γ µ D σ D γ Aproximação por Fases Distribuição de Hiperexponencial fτ(t)= ω 1 fτ 1 (t)+ω fτ (t), t 0 n j=1 ω j = 1 Parâmentros: Valor Esperado: µ H = j ω j /λ j Variância: j ω j / λ j µ H ω 1 ω t µ H σ H λ1 λ 57

58 Distribuição Especificada (empírica) Moment Matching µ H = ω 1 /λ H (para esta Hiperexponencial) σ H = [sqrt ( ω 1 - ω 1 )]/ λ H Se µ D /σ D < 1 (c=σ D /µ D >1) ω 1 = µ D /(µ D +σ D ), ω =1- ω 1 λ h = µ D /(µ D +σ D ), ω ω 1 µ D σ D λh Distribuição Especificada (empírica) Moment Matching µ H = ω 1 /λ H (para esta Hiperexponencial) σ H = [sqrt ( ω 1 - ω 1 )]/ λ H Se µ D /σ D < 1 (c=σ D /µ D >1) ω 1 = µ D /(µ D +σ D ), ω =1- ω 1 λ h = µ D /(µ D +σ D ) delay=1/λ h µ D P 0 P σ 3 D Distribuição de Cox Cox generalizou a idéia de composição de fase exponenciais para gera probabilidades e taxas complexas. Distribuição de Cox Simplificamos em dois casos particulares: Caso CV 1 Nestes slides µ é taxa (diferentemente dos anteriores) Número de fases Nestes slides µ k são taxas (diferentemente dos anteriores) Taxa das fases Distribuição de Cox Simplificamos em dois casos particulares: Caso CV 1 Nestes slides µ é taxa (diferentemente dos anteriores) Distribuição de Cox Simplificamos em dois casos particulares: Caso CV > 1 Nestes slides µ 1 e µ são taxas (diferentemente dos anteriores) Número de fases Taxa das fases 58

59 MM1K Distribuição de Cox Nestes slides µ 1 e µ são taxas (diferentemente dos anteriores) Simplificamos em dois casos particulares: ME1K Caso CV > 1 Exemplo Sevidor Central Exemplo Sevidor Central com Interrupção Do livro MODELLING WITH GENERALISED STOCHASTIC PETRI NETS Marsan et al. Modelando Políticas de Memória Erlang com 3 Fases Do livro MODELLING WITH GENERALISED STOCHASTIC PETRI NETS Marsan et al. Modelando Políticas de Memória Conflito entre Erlang com 3 fases e exponencial 59

60 Modelando Políticas de Memória Erlang com 3 fases com interrupção Modelando Políticas de Memória Modelando Políticas de Memória Conflito com política Age Memory Modelando Políticas de Memória Conflito com política Enabling Memory Conflito com política Enabling Memory Do livro MODELLING WITH GENERALISED STOCHASTIC PETRI NETS Marsan et al. Modelando Políticas de Memória Conflito com política Enabling Memory Throughput de uma Transição Erlang Do livro MODELLING WITH GENERALISED STOCHASTIC PETRI NETS Marsan et al. 60