FERNANDA APARECIDA FERREIRA DIMAS FELIPE DE MIRANDA DEMONSTRAÇÕES EM GEOMETRIA EUCLIDIANA:

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1 FERNANDA APARECIDA FERREIRA DIMAS FELIPE DE MIRANDA DEMONSTRAÇÕES EM GEOMETRIA EUCLIDIANA: Uma seqüência Didática como recurso metodológico para seu ensino 2008

2 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Ferreira, Fernanda Aparecida F383d Demonstrações em geometria euclidiana: uma seqüência didática como recurso metodológico para seu ensino / Fernanda Aparecida Ferreira, Dimas Felipe de Miranda. Belo Horizonte : FUMARC/PUC-MG, p. : il. (Ensino de Ciências e Matemática, 2) Bibliografia. 1. Geometria euclidiana Estudo e ensino. 2. Teoria das demonstrações Estudo e ensino. I. Miranda, Dimas Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título. CDU: Bibliotecária : Mônica dos Santos Fernandes Rodrigues CRB 6/1809 2

3 PREFÁCIO Este trabalho é um produto decorrente de um processo de pesquisa no Mestrado de Ensino de Ciências e Matemática da PUC-Minas, cujo objetivo mais amplo era trabalhar com Técnicas de Demonstração no ensino de Geometria Euclidiana. A demonstração desempenha um papel central na teorização da Matemática e no desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo. Julgou-se, então, oportuno extrair do material da pesquisa o presente produto, com uma didática apropriada para facilitar o trabalho dos que se propõem a ensinar ou estudar a demonstração em geometria. Uma seqüência de atividades sobre demonstrações geométricas estão disponíveis nesta publicação. As atividades foram especialmente preparadas dentro de uma linha metodológica definida e testadas durante o processo da pesquisa. Após o contato com estas atividades, muitas outras podem ser preparadas pelo próprio usuário que tenha interesse docente. A intenção é que este trabalho, como modelo didático-metodológico, contribua para o desenvolvimento de habilidades e de conceitos geométricos, de raciocínio lógico e, em suma, de compreensão do processo de demonstração em geometria. Espera-se que este material didático seja útil aos que ensinam e mais ainda aos que aprendem. Os autores. 3

4 INTRODUÇÃO Caro (a) leitor (a), Juntamente com as atividades disponibilizadas neste livro, apresenta-se o aporte teórico utilizado para a concepção e modelamento da seqüência didática. Os objetivos de cada atividade que compõem a seqüência são expostos, direcionando o futuro uso do material. Apresenta-se também uma descrição de cada uma das atividades, para que o leitor se oriente e compreenda a lógica utilizada no desenvolvimento das tarefas. 4

5 SUMÁRIO 1 A SEQÜÊNCIA DIDÁTICA Finalidade da seqüência didática Concepções do modelo proposto Engenharia da seqüência didática Aplicação da seqüência didática ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA APRESENTAÇÃO E DESCRIÇÃO Atividade I Atividade II Atividade III Atividade IV Atividade V RESPOSTAS DAS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

6 1 A SEQÜÊNCIA DIDÁTICA Apresentamos aqui, a seqüência didática, destacando sua concepção, os procedimentos adotados na execução da seqüência, a descrição das atividades propostas e os objetivos de cada atividade. Ressaltamos que, neste trabalho, não temos a pretensão de determinar a melhor forma de trabalhar as demonstrações matemáticas no ensino de Geometria Euclidiana, mas, sim, de criar propostas metodológicas alternativas para os que interessam em aventurar-se neste campo da Matemática, despertando um olhar crítico na aquisição de técnicas de demonstração e na compreensão dos conceitos geométricos envolvidos no processo de demonstrar. Evidenciamos que nosso trabalho foi direcionado para alunos de um curso de formação de professores de Matemática, dessa forma, toda nossa descrição será respaldada neste aspecto. Entretanto, frizamos que as atividades da seqüência podem ser estendidas para outros níveis de ensino e, servir de material de apoio para professores e estudantes. 1.1 Finalidade da seqüência didática Adotar uma proposta metodológica para introduzir técnicas de demonstração em um curso de licenciatura em Matemática para alunos que cursam as disciplinas de Geometria Plana e Espacial. Para conduzirmos nosso trabalho na elaboração da seqüência didática, consideramos os seguintes aspectos: motivar os alunos, realizando uma abordagem histórica sobre o sistema formal seus elementos e a importância da demonstração matemática na Geometria. Usamos textos para desempenhar este papel; 6

7 apresentar aos alunos os diferentes registros de representação e como mobilizá-los na aquisição de uma demonstração; trabalhar o estatuto do teorema, definindo hipóteses e teses e a importância de distingui-los no teorema; expor e solicitar figuras geométricas associadas a teoremas, propriedades e definições; evidenciar a seqüência lógica envolvida em esquemas de demonstrações e a necessidade da mesma durante todo o processo; oferecer subsídios que levem o aluno a redigir uma demonstração em dois registros de representação: natural e algébrico, com o auxílio da representação figural. Para alcançarmos os objetivos traçados, utilizando-se das teorias estudadas, organizamos nossa seqüência de acordo com o modelo abaixo: Redação da demonstração Determinação das dificuldades dos alunos: Experiência profissional e diagnóstico Elaboração da seqüência Apresentação do sistema formal: reconhecimento do estatuto de seus elementos, a saber: postulados, definições, propriedades e teoremas. Destacar/ determinar as hipóteses e teses de um teorema Registros de representação Mobilização dos registros de representação figural, algébrico e natural; mudanças de registros Transposição didática Demonstração Visualização Aquisição integral da prova Tratamento das informações Aquisição parcial da prova Caixa de ferramentas Estatuto das figuras geométricas; identificação de elementos implícitos nos teoremas Raciocínio X Visualização Congruência e nãocongruência entre os registros de representação. Caixa de ferramentas Figura 1: Modelo utilizado para trabalhar técnicas de demonstração Fonte: Dados da Pesquisa Justificações entre relações estabelecidas 7

8 1.2 Concepções do modelo proposto De acordo com o levantamento bibliográfico realizado em nossa pesquisa 1 percebemos que o ensino de Geometria tem sugerido várias discussões no âmbito do seu ensino e aprendizagem, porém, no que diz respeito ao ensino efetivo das demonstrações em Geometria (euclidiana), as discussões, em sua maioria, estão alicerçadas no papel que a prova matemática desempenha neste ensino e sobre as diversas facetas que se pode atribuir à demonstração matemática. Trabalhamos com a idéia de que a demonstração matemática é um processo e não um produto. Uma atividade do pensamento que, por meio de uma seqüência lógica, conectada ao estatuto dos elementos inerentes ao processo, procura, por meio de argumentações, produzir um discurso que convença os outros da veracidade de um enunciado. Em nossa seqüência, tentamos trabalhar a demonstração de acordo com o conceito dado por Balacheff (1987), caracterizando a demonstração como uma atividade complexa do raciocínio, intervindo em capacidades cognitivas, metodológicas e lingüísticas. Para tal, buscamos, na teoria de Registros de Representação Semiótica de Duval, adaptar nossa proposta na busca de atividades que contribuíssem para a aquisição/compreensão de técnicas de demonstração. Duval (1995) acredita que a Geometria envolve três processos cognitivos, sinergicamente imbricados: a visualização, a construção e o raciocínio e, estes, são indispensáveis para a sua aprendizagem. Para ele, um dos maiores problemas relacionados à aprendizagem da Geometria são as formas de apreender e registrar as figuras geométricas e, no caso da demonstração, na distinção do raciocínio argumentativo e o raciocínio dedutivo. No raciocínio dedutivo, com vistas à demonstração, Duval afirma que as proposições estão organizadas de acordo com seu estatuto e que esta organização ocorre por substituições de proposições, como em um cálculo. Todavia, a heurística 1 Para maiores informação, ver Demonstrações em Geometria Euclidiana: o uso da seqüência didática como recurso metodológico em um curso de licenciatura em Matemática (FERREIRA, Dissertação de Mestrado em ensino de Matemática, PUC/MG) 8

9 de problemas envolvendo a Geometria está baseada em registros espaciais que permitem interpretações autônomas, classificadas por Duval em: apreensão seqüencial, apreensão discursiva, apreensão perceptiva e apreensão operatória. É pela distinção das apreensões da figura que a resolução de um problema geométrico e o tipo de raciocínio que este exige serão determinadas. A distinção entre as apreensões perceptivas e discursivas é, para Duval, um dos problemas centrais na compreensão dos conceitos geométricos por meio das figuras, pois nem sempre é possível visualizar todas as informações que um enunciado estabelece pela sua representação figural. Dessa forma, a apreensão operatória é fundamental, pois é nela que ajustes serão feitos, na busca da solução do problema, utilizando-se da operação de reconfiguração intermediária. Para que ocorra uma compreensão do estatuto das figuras geométricas e das formas de apreensões das mesmas, é necessário um trabalho com distintos registros de representação. Duval afirma que a mobilização desses registros é fundamental para a função cognitiva do pensamento humano. Acreditamos, como ele, que a consciência do que vem a ser uma demonstração somente ocorre numa articulação de dois registros, em que um deles é a linguagem natural. Essa tomada de consciência surge da interação entre a representação não discursiva produzida e o discurso expresso. O reconhecimento dos objetos matemáticos e suas características, fator necessário na articulação de conhecimentos para aquisição de uma prova, só serão apreendidos na união de diferentes registros desses objetos. Para os sujeitos, uma representação pode apenas funcionar como representação, isto é, lhes dar acesso ao objeto representado, quando duas condições forem preenchidas: que eles disponham ao menos de dois sistemas semióticos diferentes para produzir a representação de um objeto, de uma situação ou de um processo e, que eles possam converter espontaneamente um sistema semiótico em outro (DUVAL, 1995, p.22). 9

10 Com base nas idéias de DUVAL e nas produções estudadas, percebemos que obstáculos foram evidenciados na tentativa de trabalhar as demonstrações no ensino de Geometria. Dentre eles, destacamos os de natureza epistemológica, didática e lingüística: 1. Obstáculos epistemológicos: inerentes ao próprio conhecimento sobre demonstração, às suas características e ao seu desenvolvimento. Obstáculos apontados: a coordenação de diferentes registros de representação não ocorre espontaneamente; o conceito de demonstração (vimos, no capítulo destinado ao estudo da demonstração, que matemáticos, filósofos e educadores têm opiniões diferentes sobre a demonstração matemática e o papel que ela desempenha); a figura geométrica pode se destacar como um obstáculo, pois, ao mesmo tempo em que contribui na exploração de conceitos na obtenção de uma demonstração, ela nem sempre facilita enxergar as propriedades atribuídas à hipótese de um enunciado; o aluno não entende a necessidade de provar algo que ele observa na figura; a falta de compreensão entre a relação semântica entre os registros de representação utilizados em uma demonstração pode constituir um obstáculo na percepção da seqüência lógica envolvida no processo de demonstrar. 2. Obstáculos didáticos: relacionados com as estratégias de ensino. Destacamos: a formação dos professores, baseada na analogia (modelos), não permite um trabalho crítico e compreensivo da demonstração; dessa 10

11 forma ocorre um obstáculo na mobilização dos conceitos envolvidos em um determinado problema (Pavanello, 2002); os livros didáticos não costumam apresentar problemas que envolvam, efetivamente, a demonstração (Gouvêa, 1998); os problemas geométricos têm sido tratados de forma experimental, sem uma preocupação com a sistematização do processo. 3. Obstáculos lingüísticos: relacionados à compreensão dos textos apresentados, seja em linguagem natural ou matemática: leitura fragmentada dos enunciados matemáticos, acarretando em dificuldades de entender o problema; os alunos conseguem raciocinar corretamente na solução de um problema, mas não conseguem responder a questionamentos com argumentos precisos. Fundamentados e orientados pelas idéias expostas, desenvolvemos nossa seqüência didática no intuito de trabalhar técnicas de demonstração. O fizemos de tal forma que a demonstração se caracterizasse mais como uma hierarquia de tarefas do que uma hierarquia de conteúdos, privilegiando a compreensão dos processos e de habilidades a serem desenvolvidas para a aquisição e a articulação de conceitos geométricos. 1.3 Engenharia da seqüência didática Com a finalidade de trabalhar técnicas de demonstração de forma significativa, a seqüência didática proposta tem como objetivos principais: trabalhar, inicialmente, os postulados, propriedades, definições e teorema como objetos de estudo de um sistema formal; clarificar o estatuto do teorema, de forma que as hipóteses e a tese sejam reconhecidas e distinguidas no mesmo; esclarecer que o recíproco de um teorema nem sempre é verdadeiro; 11

12 evidenciar o estatuto da figura geométrica, de forma que seus atributos fundamentais estejam associados às hipóteses de um teorema; utilizar os postulados, definições, propriedades e teoremas como ferramentas indispensáveis na produção de uma demonstração; estabelecer uma rede semântica e lógica entre os esquemas de demonstrações, os enunciados, as figuras geométricas e as ferramentas utilizadas. Para alcançarmos nossos objetivos, dividimos a seqüência em cinco atividades, cada qual com um objetivo específico. a) Objetivos da Atividade 1: apresentar os elementos de um sistema formal; fazer as distinções dos elementos de um sistema formal; trabalhar os diferentes registros de representação; apresentar ferramentas necessárias para se fazer uma demonstração; evidenciar hipóteses e teses de um enunciado; trabalhar as relações entre os conceitos primitivos por meio dos postulados. b) Objetivos da Atividade 2: destacar a congruência e a não-congruência entre os registros de representação; reforçar a mobilização entre os registros de representação; determinar a figura geométrica da hipótese e da tese a partir de teoremas. c) Objetivos da Atividade 3: apresentar o recíproco de um teorema; escrever o recíproco de um teorema e o teorema unificado; 12

13 apresentar ferramentas de "justificação"; trabalhar a veracidade do recíproco através de contra-exemplos. d) Objetivos da Atividade 4: ressaltar os tipos de demonstrações; trabalhar as hipóteses de um teorema como ferramenta fundamental na obtenção de uma demonstração; apresentar caixas de ferramentas auxiliares para a demonstração de um teorema; apresentar esquemas de demonstração em registros de representação distintos; destacar a congruência semântica dos registros de representação até então trabalhados; e) Objetivos da Atividade 5: criação de caixa de ferramentas para demonstração; elaboração de esquemas de demonstração. Esperamos que, ao final da seqüência, os alunos sejam capazes de: reconhecer a lógica de um sistema formal; trabalhar na mobilização de diferentes registros de representação; reconhecer o estatuto de um teorema; reconhecer o estatuto da figura geométrica; desenvolver habilidades de raciocinar logicamente em problemas envolvendo demonstrações; conseguir redigir uma demonstração. 13

14 1.4 Aplicação da seqüência didática Nossa seqüência didática foi aplicada a alunos do 4º período de um curso de licenciatura plena em matemática na região metropolitana de Belo Horizonte do período noturno. A turma foi escolhida por se tratar de alunos que já haviam cursado a disciplina de Geometria Plana e estava cursando a disciplina de Geometria Espacial, da qual a pesquisadora era a professora. Assim escolhemos, no intuito de tentar amenizar as dificuldades que os mesmos relataram, ao responder o questionário, a respeito de se fazer uma demonstração em geometria e sobre o que é realmente uma demonstração. Para a aplicação da seqüência, contamos com 8 aulas, cada uma delas com uma hora e quarenta minutos de duração. O tempo foi suficiente para a apresentação das atividades que compunham a seqüência e para todas as discussões que surgiram durante a aplicação. Os encontros com a turma eram semanais. Todas as atividades da seqüência foram entregues pela própria pesquisadora que, ao final de cada aula (aplicação de uma atividade), recolheu as atividades feitas pelos alunos. Os alunos tiveram a liberdade de fazer as atividades individualmente ou em duplas, porém, as duplas foram supervisionadas constantemente pela pesquisadora, para que os alunos não fizessem cópias uns dos outros. Apenas na última atividade a pesquisadora solicitou que os alunos a desenvolvessem individualmente. Ressaltamos que estabelecemos como regra que os alunos fizessem ordenadamente as atividades de nossa seqüência e, caso percebessem que erros foram cometidos ao longo do desenvolvimento das tarefas, estes não deveriam ser retomados, a não ser oralmente. Assim foi determinado para que as dificuldades encontradas nas soluções dos problemas servissem de fonte de informações para melhor analisarmos o progresso dos alunos na execução da seqüência. 14

15 2 ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA APRESENTAÇÃO E DESCRIÇÃO Atividade I Atividade I - Sistema formal: reconhecendo o estatuto dos conceitos, postulados, definições, teoremas e os registros de representação Como os objetivos da primeira atividade estavam centrados no reconhecimento de um sistema formal, seus elementos e as relações entre os mesmos, inicialmente apresentamos um breve texto-histórico, evidenciando a criação feita por Euclides de uma formatação lógica dos conceitos geométricos. Ressaltamos a noção de ponto, reta e plano e apresentamos alguns postulados e definições que seriam, posteriormente, ferramentas fundamentais para o aprendizado da técnica de demonstração, assim como o reconhecimento do estatuto dos elementos inerentes de um sistema formal. Trabalhamos também com a representação desses elementos em linguagem natural, algébrica e figural por achar importante a mobilização destes registros como um facilitador da aquisição do processo de se demonstrar (fundamentação teórica). A organização lógica da geometria euclidiana: "Euclides é, provavelmente, o autor científico melhor sucedido que já existiu. Seu famoso livro, Os Elementos, é um tratado sobre geometria e teoria dos números. Por cerca de dois mil anos, todo estudante que aprendeu geometria, aprendeu-a de Euclides. E durante todo este tempo, Os Elementos serviram como modelo de raciocínio lógico para todo o mundo. Ninguém sabe, hoje, exatamente, o quanto da geometria contida nos Elementos é trabalho de Euclides. Alguma parte dela pode ter sido baseada em livros que já existiam antes e algumas das idéias mais 15

16 importantes são atribuídas a Eudoxus, que viveu mais ou menos na mesma época. De qualquer forma, dos livros que chegaram até nós, Os Elementos é o primeiro que apresenta a geometria de uma forma lógica, organizada, partindo de algumas suposições simples e desenvolvendo-se por raciocínio lógico" (Moise e Downs, 1971). Elementos e conceitos fundamentais Conceitos primitivos: Termos simples e fundamentais que não são definidos, "nascem" em nossa mente pela observação e experiência (intuitivamente). Nossos conceitos primitivos serão o ponto, a reta e o plano. Registro de representação (linguagens): Nossos registros serão feitos na linguagem natural, algébrica e geométrica (figura), buscando compreender a sinergia entre as mesmas. Linguagem natural Linguagem algébrica Linguagem geométrica Ponto Letras do nosso alfabeto Maiúsculas. Ex: A, B e C. A Reta Letras do nosso alfabeto minúsculas. Ex: r, s e t Letras gregas minúsculas. Plano Ex:, e Postulados: Nossas afirmações mais simples e fundamentais de uma determinada teoria (nosso caso a Geometria) aceita sem demonstrações serão as verdades incontestáveis. Feito isso, criamos situações para trabalhar os conceitos primitivos e as relações entre os mesmos. 16

17 O objetivo da situação 1 era verificar a noção que os alunos tinham sobre os entes primitivos, uma vez que os mesmos já haviam passado pela disciplina de Geometria Plana e Espacial. Não ressaltamos, na atividade, tratar-se de uma figura plana, pois nosso objetivo geral era trabalhar com as demonstrações no espaço. Situação 1: Trabalhando os conceitos primitivos 1) Dada a figura 01, respondas às questões apresentadas: Figura 01 a) Quantos pontos nomeados temos sobre a reta r? b) Quantos pontos temos fora da reta r? c) Podemos afirmar que P está entre M e N? d) Quantos pontos há entre Q e M? e) Considerando a folha de papel a representação de um plano, quantos pontos temos neste plano? f) Quantos pontos temos fora do plano? Em seguida, apresentamos alguns postulados e definições que auxiliariam e justificariam as respostas da situação 1, acreditando que os alunos de prontidão fariam tal relação. Esses postulados e definições também seriam importantes para a próxima tarefa. Postulado da existência: 1. Em uma reta e fora dela existem quantos pontos quisermos. 2. Dados dois pontos distintos de uma reta, existe pelo menos outro ponto entre os dois pontos dados. 3. Em um plano e fora dele, existem tantos pontos quanto quisermos. Definição: Determina os atributos essenciais e específicos de um ente, de tal forma que o torne inconfundível com outro. Definição 1: Pontos distintos são colineares se estiverem sobre uma mesma reta. 17

18 Na situação 2, buscamos estabelecer, por meio de perguntas e figuras, o estatuto dos postulados, definições e a importância dos mesmos nas relações entre os entes primitivos, de tal forma que uma reflexão sobre os conceitos apresentados seria fundamental na resolução das atividades, além de uma noção espacial. Também nessa situação, trabalhamos diferentes registros de representação. Situação 2: Utilizando postulados/definições e estabelecendo relações: 2)Dada a figura 02, faça o que se pede: Figura 02 a) Represente na figura a reta que passa por L e M. b) Quantas retas distintas passam por Q e M? c) Os pontos Q, L e P são colineares? d) Os pontos Q, M e P são colineares? e) Dados dois pontos distintos, estes serão sempre colineares? f) Dados três pontos distintos, estes sempre serão colineares? 3) Estabeleça, por meio da figura 03, as soluções para as questões apresentadas, justificando-as: Figura 03 a) Os pontos O e P pertencem ao plano? b) Os pontos O, P e L pertencem ao plano? c) A reta que passa por O e L, pertencem ao plano? Com o objetivo de mostrar a lógica e a consistência necessárias de um sistema formal, a atividade 4 pressupunha um postulado ainda não trabalhado e que, posteriormente, foi apresentado junto com outros postulados. Estes seriam fundamentais para a solução da atividade 5. 18

19 4) Os pontos P e Q são pontos distintos. O ponto P está na reta a e na reta b. O ponto Q está na reta a e na reta b. O que se pode concluir a respeito de a e b? Que postulado garante sua conclusão? Postulado da determinação: 4. Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. 5. Três pontos distintos e não colineares determinam um único plano que os contém. Postulado de pertinência: 6. Uma reta está contida em um plano, se dois de seus pontos pertencem ao plano. Representação de reta, segmento de reta e semi-reta. Linguagem natural Linguagem algébrica Linguagem geométrica Segmento de reta de extremidades A e B Semi-reta de origem em A que contém B Reta suporte do segmento AB AB AB AB 5) Dados uma reta r e um ponto P, conforme a figura 04, responda às perguntas, justificando a opção: a) Existe um plano que contém a reta r e o ponto P? b) Existe um único plano que contém a reta r e o ponto P? Figura 04 Reforçando a necessidade da consistência de um sistema formal, as atividades 6 e 7 também necessitavam de postulados ainda não apresentados. A 19

20 fim de fazer com que os alunos inferissem o resultado, pedimos que a figura referente à atividade fosse esboçada. 6) As retas r e s são retas distintas. O ponto P pertence à reta r e a reta s. O ponto Q pertence à reta r e a reta s. O que podemos concluir a respeito de P e Q? Qual postulado justifica sua conclusão. Faça uma representação geométrica da situação. 7) Os planos e são planos distintos. A reta r pertence aos dois planos simultaneamente. O que podemos concluir sobre a reta r? Que postulado justifica sua conclusão? Faça a representação geométrica da situação. Postulado da Interseção: 7. Se duas retas distintas se interceptam, a interseção é um único ponto. 8. Se dois planos distintos de interceptam, a interseção é uma única reta. A próxima situação evidencia o estatuto dos teoremas e os diferentes registros que podem ser utilizados para representá-los. Criamos situações para que os alunos reconhecessem as hipóteses e teses e pudessem, dessa forma, representálas de formas distintas. Situação 3: Teoremas: hipóteses, teses e registros de representação Teorema: Uma proposição matemática que, para ser aceita como verdade, deverá ser demonstrada. O teorema compõe-se em duas partes: Hipótese: Informações conhecidas Tese: O que se deseja concluir, provar. Todo teorema poderá ser escrito na forma condicional: "Se [hipóteses], então [tese]. As hipóteses e teses poderão ser representadas na linguagem natural, algébrica e geométrica. 20

21 Identificando as hipóteses e tese de um teorema, fazendo o registro e reescrevendo o enunciado na forma condicional. Exemplo: Teorema: Dadas duas retas que se interceptam, existe exatamente um plano que as contém. Forma condicional: se duas retas se interceptam, então existirá um único plano que as contém. Registros de representação: Teorema Linguagem Linguagem Linguagem natural geométrica algébrica Hipóteses r e s são retas que se interceptam r s = P Tese r e s determinam um plano que as contém. r, s e (r,s) = 8) Dado o teorema, determine sua forma condicional e registre as hipóteses e tese nas linguagens natural, geométrica e algébrica. Teorema 1: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano que os contém. Forma condicional:

22 Registros de representação: Teorema Linguagem natural Linguagem geométrica Linguagem algébrica Hipóteses Tese Teorema 2 : Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. Forma condicional: Registros de representação: Teorema Linguagem Linguagem Linguagem natural geométrica algébrica Hipóteses Tese 22

23 Teorema 3: Por um ponto dado, fora de uma reta, existe uma única reta perpendicular à reta dada. Forma Condicional: Registros de representação: Teorema Linguagem natural Linguagem geométrica Linguagem algébrica Hipóteses Tese 23

24 Atividade II Atividade II - Associando às propriedades, definições e teoremas à figura geométrica adequada: transposição didática dos registros de representação. A atividade II foi elaborada com a intenção de trabalhar o conceito de figura geométrica na mobilização dos registros de representação, destacando, assim, a congruência ou não das formas representadas. Reforçamos, nesta atividade, a determinação das hipóteses e tese de um teorema e suas representações. Iniciando a atividade, apresentamos novamente alguns conceitos já trabalhados apenas para retomar a proposta da atividade anterior. Lembrando alguns conceitos fundamentais Definição: Determina os atributos essenciais e específicos de um ente, de tal forma que o torne inconfundível com outro. Teoremas: Verdades aceitas mediantes demonstrações pela comunidade de matemáticos. Na primeira situação, exploramos a figura geométrica e seus atributos, pedindo que os alunos correlacionassem, a partir da representação na linguagem natural, as definições apresentadas à figura correspondente. Tentamos criar situações de forma que as representações figurais pudessem gerar interpretações dúbias. Esta situação foi feita na questão 1. Na segunda questão, além de explorar a associação de enunciados com suas respectivas figuras geométricas, pedimos que as hipóteses e tese fossem determinadas. Assim fizemos para trabalhar a questão da congruência dos registros de representação, fator determinante para a compreensão dos processos envolvidos na construção de conhecimento e, conseqüentemente, no processo de demonstrar (referências DUVAL). 24

25 Situação 1: Congruência dos registros de representação 1)Associe a cada definição a representação geométrica que mais lhe convier. Definições Figura Geométrica ( 1 ) A distância de um plano com um ( ) ponto exterior a ele, é o comprimento do segmento perpendicular do ponto ao plano. ( 2 ) Duas retas são concorrentes, se a interseção entre as duas for um único ponto. ( ) ( 3 ) Duas retas são perpendiculares, se forem concorrentes e o ângulo entre as retas for um ângulo reto. ( ) ( 4 ) Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento passando pelo seu ponto médio. ( 5 ) Um ponto M é ponto médio de um segmento, se pertencer ao segmento e for eqüidistante de suas extremidades. ( ) ( ) ( 6 ) Um conjunto M é chamado convexo se, para todo par de pontos P e Q do ( ) conjunto, o Segmento PQ está inteiramente contido no conjunto. 25

26 ( 7 ) Um conjunto de pontos se diz coplanar se existe um plano que contém todos os pontos do conjunto. ( ) 2) Escreva na linguagem algébrica as hipóteses e teses dos teoremas apresentados e associe a cada um deles a figura geométrica correspondente. Teorema Linguagem algébrica Linguagem geométrica (1) Se uma reta é Hipótese: () perpendicular a um plano, então, qualquer reta paralela à reta dada Tese: também será perpendicular ao plano (2) Duas retas em um plano Hipótese: ( ) são paralelas se ambas forem perpendiculares a uma mesma reta Tese: (3) Se um plano intercepta dois planos paralelos, então, as interseções são duas retas paralelas Hipótese: ( ) Tese: (4) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas Hipótese: ( ) Tese: 26

27 (5) Se duas retas são perpendiculares a uma terceira, então, elas são paralelas entre si. Hipótese: ( ) Tese: (6) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares. Hipótese: ( ) Tese: Na situação 2, trabalhamos a criação da figura geométrica para destacarmos a diferença entre figura 2 e desenho 3. Propositalmente, criamos situações em que a figura desenhada poderia representar mais de uma situação. Também pedimos que as hipóteses e tese fossem destacadas para frisar a congruência ou não dos enunciados e suas representações. Situação 2: Desenho e figura geométrica: distinção associada às propriedades geométricas. 1) Dados os teoremas, preencha o quadro abaixo com o que se pede: Teorema 1: Teorema fundamental do perpendicularismo Se uma reta é perpendicular a duas retas que se interceptam em seu ponto de interseção, então, ela é perpendicular ao plano que as contém. 2 Figura é a classe de todos os desenhos possíveis do objeto matemático (DUVAL, 1993) 3 Desenho é o traçado sobre o suporte material (DUVAL, 1993) 27

28 Hipótese: Representação algébrica Figura geométrica Tese: Teorema 2: Se uma reta e um plano são perpendiculares, então, o plano contém toda reta perpendicular à reta dada no seu ponto de interseção com o plano dado. Hipótese: Representação algébrica Figura geométrica Tese: Teorema 3: Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares. Hipótese: Representação algébrica Figura geométrica Tese: 28

29 Teorema 4: Duas retas em um plano são paralelas se ambas forem perpendiculares a um mesmo plano. Hipótese: Representação algébrica Figura geométrica Tese: 29

30 Atividade III Atividade III: Teoremas recíprocos: "se e somente se" A atividade III tem como objetivo apresentar aos alunos o recíproco de um teorema. Começamos a atividade destacando, por meio de um breve esquema, o que é um recíproco, ressaltando que o mesmo não necessariamente é verdadeiro. Apresentamos nesta atividade ferramentas de justificação para estabelecer a veracidade/falsidade de um recíproco, utilizando, para isso, definições e figuras geométricas. Frisamos que o uso de mais de um registro de representação se apóia em nossas hipóteses de pesquisa, que determina que os conceitos geométricos envolvidos na obtenção de uma demonstração, só serão compreendidos na mobilização de mais de um registro (Duval, 1995). Dado dois teoremas, estes serão chamados de "teoremas recíprocos", se a hipótese e a tese de um dos teoremas forem trocadas, respectivamente, pela tese e a hipótese do outro. Teorema 1: Hipótese1 Tese1 e Teorema 2: Hipótese2 Tese2 Teorema 1 e Teorema 2 são recíprocos Hipótese1 Tese 2 e Hipótese2 Tese1 Se um teorema e seu recíproco são verdadeiros, então, podemos combiná-los em um teorema único, usando a frase se, e somente se". Porém, nem todo recíproco de um teorema é verdadeiro e, para mostrarmos que o recíproco é falso, utilizamos de um contra-exemplo, ou seja, um exemplo que o contradiz, isto é, mostra que o recíproco é falso. 30

31 Na situação 1, propomos uma atividade para que os alunos determinassem, por meio de um teorema dado, o seu recíproco. Não nos preocupamos inicialmente em estabelecer se os recíprocos eram verdadeiros ou não. Pretendíamos somente que os alunos fossem capazes de distingui-los, reforçando, com isso, o estatuto de um teorema. Pedimos também que escrevessem o teorema e o recíproco em uma expressão unificada e que a figura do teorema fosse feita. Nas atividades propostas, criamos situações que poderiam confundir os alunos na hora de estabelecer o recíproco, por isso pedimos que a figura fosse feita, no intuito de que a associação dos registros fosse percebida e verificada. Situação 1: Escrevendo o recíproco de um teorema Exemplo: Teorema: Se uma reta é paralela a um plano, então, ela é paralela a uma reta do plano Hipótese 1: r // recíproco Hipótese 2: r // s, s, r Tese 1: r // s, s. Tese 2 : r // Teorema Recíproco: Se uma reta não contida em um plano é paralela a uma reta do plano, então, ela é paralela ao plano. Teorema unificado: Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, ela for paralela a uma reta deste plano. Figura: Nota: Nem sempre todas as informações que temos na hipótese e tese de um teorema serão exatamente as mesmas que teremos no seu recíproco, pois algumas informações estão implícitas no teorema. A escrita da expressão unificada é importante neste aspecto. 31

32 1) Dados os teoremas, escreva seu recíproco e o teorema unificado seguindo as orientações: Teorema 1: Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então, esses planos são paralelos. Preencha o quadro utilizando a representação algébrica: Hipótese Teorema Recíproco Tese Faça a figura geométrica do teorema: Escreva na linguagem natural Recíproco do teorema: Teorema unificado:

33 Teorema 2: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes, em seu ponto de interseção, então, ela é perpendicular ao plano que contém as duas retas. Preencha o quadro utilizando a representação algébrica: Hipótese Teorema Recíproco Tese Faça a figura geométrica do teorema: Escreva na linguagem natural Recíproco do teorema: Teorema unificado: Na situação 2 apresentamos ferramentas para que fosse estabelecido se um recíproco era falso ou não. Nesta atividade, a necessidade de compreensão dos 33

34 conceitos geométricos envolvidos era fundamental. Mais uma vez reforçamos o papel da figura para tentarmos comprovar nossas hipóteses de trabalho, colocando a figura como âncora no estabelecimento das atribuições de propriedades dos conceitos geométricos. Na primeira atividade da situação 2, apresentamos, como ferramentas de justificação, apenas algumas definições. Nem todas seriam utilizadas na atividade. Optamos por elucidar conceitos (definições) que poderiam gerar dúvidas aos alunos, porém, a figura geométrica pedida poderia ser a ferramenta que facilitaria a resolução do problema. Situação 2: Verificando a veracidade do recíproco através dos contra-exemplos Para contradizer um recíproco de um teorema podemos utilizar de postulados, definições, propriedades, figuras geométricas. Exemplo: Teorema: Se duas retas são paralelas, então, elas são coplanares. Recíproco: Se duas retas são coplanares, então, elas são paralelas. Contra-exemplo: Duas retas concorrentes também são coplanares. 1) Escreva o recíproco dos enunciados e justifique se o recíproco é falso ou verdadeiro, utilizando as definições abaixo como contra-exemplos. r s = P r s (r,s) = Definição 1: Retas reversas são retas que não se interceptam e não são coplanares. Definição 2: Retas ortogonais são reversas e formam um ângulo reto. Definição 3: Retas perpendiculares são concorrentes e formam ângulo reto. Definição 4: Retas concorrentes são retas que se interceptam em um único ponto. 34

35 a) Enunciado 1: Se duas retas são perpendiculares, então, elas formam um ângulo reto. Recíproco: ( ) verdadeiro ( ) falso Justificativa: Esboce a figura que justifica a veracidade/falsidade. b) Enunciado 2: Se duas retas são paralelas, então, elas não se interceptam. Recíproco: ( ) verdadeiro ( ) falso Justificativa:

36 Esboce a figura que justifica a veracidade/falsidade. c) Enunciado 3: Se duas retas são perpendiculares, então, elas são concorrentes. Recíproco: ( ) verdadeiro ( ) falso Justificativa: Esboce a figura que justifica a veracidade/falsidade. A atividade II faz apelo apenas à figura geométrica na tentativa de justificar a falsidade dos recíprocos apresentados, de forma que os alunos pudessem perceber as propriedades que as figuras mostram que contrapõem o recíproco dado. 36

37 2) Correlacione as colunas, para justificar a falsidade dos recíprocos por meio das figuras geométricas. Enunciados/recíprocos (1) Enunciado: Se uma reta é concorrente com um plano, então, ela é concorrente com pelo menos uma reta do plano. Recíproco: Se uma reta é concorrente com pelo menos uma reta do plano, então, ela é concorrente com o plano. (2) Enunciado: Se uma reta está contida em um plano, então, eles têm um ponto em comum. Recíproco: Se uma reta e um plano têm em comum um ponto, então, a reta está contida no plano. (3) Enunciado: Se uma reta é perpendicular a um plano, então, ela forma ângulo reto com pelo menos uma reta do plano. Recíproco: Se uma reta forma ângulo reto com uma reta de um plano, então, ela é perpendicular ao plano. ( ) ( ) ( ) Figuras geométricas Reforçamos na atividade III, além do recíproco, o papel fundamental da figura em atividades geométrica que visam à verificação e ao estabelecimento de verdades. O fizemos, pois as atividades que se seguem terão na representação figural um apoio na obtenção de uma demonstração. 37

38 Atividade IV Atividade IV Demonstrando teoremas: utilização de ferramentas na construção de um raciocínio lógico dedutivo. A quarta atividade tem foco central nas demonstrações de propriedades e conceitos geométricos. Na tentativa de auxiliara os alunos na obtenção de uma demonstração, apresentamos caixas de ferramentas que julgamos importantes na redação de uma demonstração (hipóteses de trabalho) e algumas técnicas de demonstração. Trabalhamos os diferentes registros de representação na busca da demonstração dos teoremas, reforçando a congruência semântica dos mesmos. Para que os alunos compreendessem o significado e os objetivos de uma demonstração, um texto explicativo foi abordado, explicitando, também, a lógica subjacente de um sistema formal e a importância de conhecimento operacional no mesmo para se alcançar uma demonstração matemática. Apresentamos também uma caixa contendo símbolos que usualmente são utilizados nas demonstrações em registro algébrico, além de outros que foram utilizados na atividade com significados atribuídos pela pesquisadora. Um exame mais detalhado do que vem a ser uma demonstração matemática. Ao longo das atividades desenvolvidas, apresentamos alguns elementos que compõem um sistema formal e, mais especificamente, aqueles fundamentais para o processo de se demonstrar. Destacamos, por meio de situações, a necessidade do reconhecimento desses elementos para uma operacionalização em um sistema formal, explicitando a consistência lógica envolvida na Engenharia da Demonstração em teoremas da geometria euclidiana. A atividade que se segue tem como foco técnicas de demonstração e, para fazermos uma demonstração matemática de um determinado teorema, é necessário que compreendamos seu significado, a hierarquização dos processos envolvidos nesta tarefa, os elementos adjacentes explícitos e implícitos no teorema e que saibamos 38

39 mobilizar, além dos registros de representação, as ferramentas necessárias para o processo de se demonstrar. Sendo assim, alguns pontos seguem esclarecidos: O que é demonstrar? De acordo com o método do qual se vale a matemática para se criar teorias, demonstrar é provar, sem qualquer dúvida, que um enunciado é verdadeiro, de tal forma que esta prova seja aceita por uma comunidade de matemáticos. Utilizando a definição dada por Balacheff (1987), podemos dizer que uma demonstração matemática é uma atividade de raciocínio lógico, encadeada por uma seqüência de enunciados organizados numa regra de dedução, interferindo nas capacidades cognitivas, metodológicas e lingüísticas, objetivando validar teoremas por meio de uma explicação que leva a convicção. Para que demonstrar? Para explicar, verificar, esclarecer, validar e convencer a si e a outros que um enunciado matemático é verdadeiro. Como fazer uma demonstração? Na matemática, para fazermos uma demonstração, utilizamos postulados, definições, propriedades e teoremas estabelecidos em um critério lógico e seqüencial. Estas serão nossas ferramentas de trabalho na obtenção de uma demonstração. Nossas demonstrações também deverão seguir uma hierarquização na utilização das ferramentas, organizadas de acordo com regras determinadas. Tipos de demonstração As demonstrações podem ser diretas ou indiretas (redução por absurdo). As diretas são feitas no sentido de hipóteses para a tese, ou seja, admitindo que as informações nas hipóteses de um teorema sejam verdadeiras, então, a partir de uma organização lógica de procedimentos, chegaremos à conclusão também verdadeira. 39

40 As indiretas são feitas no sentido oposto das demonstrações diretas (da tese para hipótese), com a particularidade de se negar a tese intentando chegar à negação da hipótese gerando, assim, um absurdo. Alguns símbolos importantes: Símbolo significado símbolo significado pertence contém não pertence para todo existe logo perpendicular implica // paralelas se, e somente se está contido congruente não está contido tal que Significado das simbologias utilizadas na atividade IV: Simbologia (A,B) = r Significado Os pontos A e B determinam a reta r. (A, B, C) = α Os pontos A, B e C determinam o plano α. ( r, A) = α A reta r e o ponto A determinam o plano α. (r, s) = α As retas r e s determinam o plano α. Na situação 1 da atividade IV, apresentamos alguns esquemas de demonstração na linguagem figural, algébrica e natural. O objetivo da representação figural é destacar a relação entre apreensão perceptiva e discursiva (relacionada aos dados do teorema) por meio da apreensão operatória. Colocamos à disposição dos alunos, caixas de ferramentas auxiliares para justificar os passos da demonstração logicamente. A mobilização dos registros de representação também desempenhava esse papel. A hierarquização dos passos evidência nosso objetivo em destacar a demonstração mais como uma hierarquização de passos do que uma hierarquização de conteúdos. 40

41 Situação 1: Utilizando uma caixa de ferramentas para justificar os passos de esquemas de demonstração 1) Dado o teorema, preencha o que se pede utilizando seus conhecimentos adquiridos até o momento e a caixa de ferramentas apresentada. Teorema 1: Dados uma reta r e um ponto P fora dela, existe exatamente um plano α que os contém. a) Preencha o quadro. Hipóteses linguagem natural linguagem algébrica Tese b) Utilizando a caixa de ferramentas apresentada e as hipóteses do teorema 1, justifique os passos da demonstração feita a partir da mobilização das figuras, completando os espaços em branco. Caixa de ferramentas (CF): Postulado 1: Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. Postulado 2: Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém. Figuras: Passo 1: Passo 2: Passo 3: Justificativa: Justificativa: Justificativa: Justificativa: Justificativa: Dado na hipótese

42 c) complete a redação da demonstração na linguagem natural: Temos que, por hipótese, existe uma reta r e um ponto P não pertencente a.... Em r, existem os pontos... e..., pois dois pontos... determinam uma única reta (postulado 1 da CF). Os pontos...,... e... determinam o plano..., pois três pontos não colineares determinam um... que os contém (postulado 2 da CF). Como os pontos... e... pertencem à reta..., então, temos que r e..., determinam o plano.... d) Complete os espaços em branco do esquema demonstração na linguagem algébrica: r e... / P... (C.F) A e com / (A, B) =... Post. 1 (P,A,B) =... (r,p) =... e) A demonstração feita é direta ou indireta? Justifique sua escolha Teorema 2: Se duas retas r e s são concorrentes, então, elas determinam um único plano α que as contém. Definição: Retas concorrentes são retas que se interceptam em um único ponto. a) Preencha o quadro. Hipóteses linguagem natural linguagem algébrica Tese 42

43 b) Utilizando a caixa de ferramentas apresentada e as hipóteses do teorema 2, justifique os passos da demonstração feita a partir da mobilização das figuras, completando os espaços em branco. Caixa de ferramentas (CF) : Postulado 1: Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. Postulado 2: Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém. Postulado 3: Se dois pontos de uma reta estão em um plano, então, a reta está contida neste plano. Figuras: Passo 1: Passo 2: Passo 3: Justificativa: Justificativa: Justificativa: c) complete a redação da demonstração na linguagem natural: Temos que as retas... e... são concorrentes por..., logo, a interseção entre elas é um...p. (definição de retas...). Existe na reta r um ponto... e na reta... um ponto..., de tal forma que os pontos... e... são diferentes do ponto....(postulado 1 da CF). Então, temos que os pontos...,... e... determinam um único plano... (postulado... da CF). Como os pontos... e... determinam a reta... e os pontos... e... determinam a reta..., temos que as retas... e... estão contidas no...α. (... da CF). Logo, as retas... e... determinam o plano... e nele estão contidas. 43

44 d) Complete o esquema da demonstração na linguagem algébrica: r s =... Post. 1 (C.F) A.../ A /... P (A,B,P)=α... (A,P) = r e (B, P) =... r e (r, s) =... e) A demonstração feita é direta ou indireta? Justifique sua escolha Teorema 3: Se duas retas r e s distintas se interceptam, a interseção é um único ponto P. a) Preencha o quadro. linguagem natural linguagem algébrica Hipóteses Tese b) utilize a caixa de ferramentas e as hipóteses do teorema 3 para completar os espaços em branco do esquema de demonstração abaixo: Caixa de ferramentas (CF) : Postulado 1: Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. 44

45 Demonstração Afirmativas/construções Suponha que a interseção entre as retas sejam os pontos distintos P e Q. Justificativas Como ainda não sei quantos pontos tem a interseção das retas, posso supor a quantidade que quiser. Temos que P e Q pertencem à reta r e à reta... Como P e Q estão na... de r e s, então, pertencem as duas... P e Q determinam uma única reta As retas r e s são coincidentes. Absurdo, pois, por hipótese, temos que r e... são retas... Logo, a interseção de... e... só pode ser um único ponto. c) Escreva na linguagem natural a demonstração do teorema, utilizando o esquema da letra b como referência d) Complete o esquema da demonstração na linguagem algébrica: Suponha que r s = P e Q / P Q. Construção P... e r e s... (P,Q)= r e... r = s Absurdo, pois, por hipótese,......, r s =... 45

46 e) A demonstração feita é direta ou indireta? Justifique sua escolha f) A figura correspondente à demonstração não foi feita. É possível fazer a figura referente aos passos dados na demonstração feita? Justifique Na situação 2, desenvolvemos uma demonstração fora de ordem para que os alunos a organizassem logicamente, justificando com o auxílio da caixa de ferramentas e das hipóteses do teorema às opções feitas. Na atividade proposta, o aluno, após organização dos passos, deveria apresentar, nos três registros de representação (figural, algébrico e natural), a demonstração feita, uma vez que a coordenação destes registros é importante para a compreensão dos conceitos geométricos envolvidos nos problemas (hipóteses de trabalho). Situação 2: Organizando logicamente o esquema de demonstração 1)Dado o teorema, faça o que se pede: Teorema: Se dois planos são perpendiculares e uma reta de um deles é perpendicular à interseção dos planos, então, essa reta será perpendicular ao outro plano. Palavra chave: Planos perpendiculares são concorrentes. Caixa de ferramentas (CF): Postulado 1: Em um plano e fora dele existem tantas retas quanta desejarmos. Postulado 2: A interseção de dois planos é uma única reta. Postulado 3: A interseção de uma reta e um plano é um único ponto. Teorema 1: Dois planos são perpendiculares se uma reta contida em um deles é perpendicular ao outro. Teorema 2: Se duas retas são paralelas e uma delas é perpendicular a um plano, então, a outra reta também o será. Teorema 3: Duas retas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas. Teorema 4: Se uma reta é perpendicular a um plano, então, ela é perpendicular a toda reta deste plano no seu ponto de interseção. Teorema 5: Duas retas em um plano são paralelas se ambas forem perpendiculares a uma mesma reta. 46

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