UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE RIBEIRÃO PRETO DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE RIBEIRÃO PRETO DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA TEORIA DOS JOGOS E NEGOCIAÇÃO Amanda Laurie Manocchio RIBEIRÃO PRETO 2007

2 2 AMANDA LAURIE MANOCCHIO TEORIA DOS JOGOS E NEGOCIAÇÃO Trabalho de conclusão Do curso de Matemática Aplicada a Negócios FFCLRP - Universidade de São Paulo USP Orientador: Prof. Dr. Dante Pinheiro Martinelli RIBEIRÃO PRETO 2007

3 3 AMANDA LAURIE MANOCCHIO TEORIA DOS JOGOS E NEGOCIAÇÃO Trabalho de conclusão Do curso de Matemática Aplicada a Negócios FFCLRP - Universidade de São Paulo USP Orientador: Prof. Dr. Dante Pinheiro Martinelli Banca de aprovação: RIBEIRÃO PRETO

4 4 Dedicatória Dedico este trabalho a meus pais João Douglas Manocchio e Edna Aparecida Ansanello Manocchio que sempre me apóiam nas decisões tomadas e sempre estão presentes me auxiliando, ouvindo e colaborando.

5 5 Agradecimentos Agradeço a Deus e a minha família por todo apoio e confiança dados na execução deste trabalho. Ao professor e orientador Dante pelo auxilio e orientação sempre presentes. Aos meus amigos e colegas de turma pelo tempo maravilhoso que passamos juntos. A todos que contribuíram para que este trabalho fosse executado da melhor maneira possível.

6 6 RESUMO Observa-se que o ambiente corporativo está cada vez mais competitivo e que os diversos agentes nele envolvido tomam decisões baseadas em informações de que dispõe a respeito do assunto, tempo e poderes envolvidos, interesses pessoais e na perspectiva que eles têm em relação aos outros participantes, sempre em busca de um resultado otimizador, mesmo quando há conflitos de interesses. Ao estabelecer estratégias levando em consideração esses fatores, busca-se, na maioria das vezes, uma negociação ganha-ganha, ou seja, uma negociação na qual ambas as partes saem ganhando com a decisão final tomada. Inevitavelmente, técnicas matemáticas apresentam-se como ferramentas que são altamente relevantes e oferecem respostas precisas à abordagem do conceito de jogos e equilíbrio de Nash. Assim, dessa forma, este trabalho busca mapear quantitativamente os resultados da relação entre Teoria dos Jogos e Negociação, assuntos que abordam essas variáveis. Esses resultados foram analisados por meio de conceitos matemáticos e de negociação estudados ao longo da graduação e de leituras extracurriculares, além de recorrer à bibliografia já existente, relacionando-os. Palavras chave: Negociação. Teoria dos Jogos. Cooperação. Função utilidade. Otimização.

7 7 ABSTRACT It is observed that the corporate environment is increasingly competitive and that the various actors involved in it make decisions based on information they have regarding the matter, time and powers involved, personal interests and the prospect that they have in relation to other participants, always in search of a result optimizer, even when there are conflicts of interest. In establishing strategies taking into account these factors, finding themselves, in most cases, a win-win negotiation, or a negotiation in which both parties come out winning with the final decision taken. Inevitably, mathematical techniques present themselves as tools that are highly relevant and provide precise answers to approach the concept of games and the Nash equilibrium. So this work seeks quantitatively map the results of the relation between Game Theory and Negotiation, affairs dealing with these variables. These results were analyzed by means of mathematical concepts and negotiation studied over the graduation and extracurricular readings, and uses the existing literature, linking them. Keywords: Negotiation. Game Theory. Co-operation. Utility function. Optimization.

8 8 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Matriz de ganhos de um jogo Tabela 2 - Um equilíbrio de Nash Tabela 3 - O dilema do prisioneiro Tabela 4 - Matriz de ganhos de um jogo seqüencial... 22

9 9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Forma extensiva do jogo Figura 2 - Exemplo: pagamento esperado Figura 3 - Exemplo: solução de Nash Figura 4 - Jogo de negociação... 31

10 10 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT LISTA DE TABELAS LISTA DE FIGURAS I INTRODUÇÃO Apresentação Problemas de investigação Objetivos da pesquisa II MARCO TEÓRICO Teoria dos Jogos Representação dos jogos Negociação Modelos disponíveis III HIPÓTESES IV PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS V AVALIAÇÃO CRÍTICA DA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Teoria dos Jogos Jogos seqüenciais Curvas de melhor resposta Negociação VI ANÁLISE: NEGOCIAÇÃO E TEORIA DOS JOGOS CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 38

11 11 I Introdução 1.1 Apresentação A Teoria dos Jogos é uma ferramenta matemática criada para melhor entender ou interpretar a maneira como os agentes que tomam decisões interagem entre si. É na tomada de decisões, nas preferências de cada jogador e na sua expectativa sobre as ações dos outros jogadores que se foca o estudo da teoria dos jogos. Essa teoria considera o fato de os jogadores serem racionais. Um jogador é tido como racional baseado na maneira como ele toma suas decisões. Ele está ciente de suas possíveis ações, forma expectativas sobre as indefinições do problema, tem suas preferências bem claras e toma suas decisões visando otimizar o resultado, ou seja, ele tomará a decisão que julgue que mais o beneficiará dentro de suas possibilidades e expectativas sobre o cenário. Devido a interesse em jogos como o dilema do prisioneiro (no qual está em questão a cooperação de ambos os prisioneiros para minimizar a perda da liberdade ou o fato de que um dos presos, confiando na cooperação do outro, o trairá para ganhar a liberdade), no qual interesses próprios e racionais prejudicam a todos os envolvidos, a teoria dos jogos vem sendo aplicada na ciência política, ética filosófica e, recentemente, no jornalismo. Tem-se utilizado a teoria dos jogos para analisar diversos fenômenos econômicos, incluindo leilões, barganhas, oligopólios e sistemas de votação. Foca-se, usualmente, em um conjunto particular de estratégias conhecidas como equilíbrio no jogo. A mais famosa é o equilíbrio de Nash, no qual cada uma representa a melhor resposta para as outras estratégias, então, se todos os jogadores estiverem jogando a estratégia em um equilíbrio de Nash, eles não terão nenhum incentivo a se desviar dela, visto que sua estratégia é a melhor que eles podem obter, dado que os outros o façam. Os pagamentos dos jogos são geralmente definidos pela função de utilidade de cada jogador individual. Diante desse cenário de barganha e do fato de que o ambiente corporativo está cada vez mais competitivo, a negociação, hoje em dia, é um fator de extrema importância para a unidade e vem sendo cada vez mais discutida. Acordos integrativos são buscados considerando-se os interesses básicos dos diversos grupos dentro da organização, as informações disponíveis, o tempo e poderes envolvidos, os estilos dos negociadores e as questões éticas das empresas. O fato de os grupos envolvidos serem cooperativos ou competitivos, o que depende, por sua vez, da cultura e valores organizacionais, também deve ser levado em consideração na

12 12 busca de uma negociação ganha-ganha, ou seja, uma negociação na qual ambas as partes saem ganhando com a decisão final tomada. Assim, diante do cenário, cada vez mais freqüente, de barganha, do fato de que o ambiente corporativo está cada vez mais competitivo e que este leva em consideração que a tomada de decisões dos agentes envolvidos depende da perspectiva que eles têm em relação aos outros participantes, dos seus interesses pessoais e da busca de um resultado otimizador, esse trabalho teve como objetivo verificar como a teoria dos jogos e a negociação se relacionam e que contribuições/aplicações da teoria dos jogos podem trazer ou auxiliar no desenvolvimento das negociações. Há poucos estudos quantitativos referentes a esse tema, mas há grande interesse nessa área, o que torna o projeto viável e de vasta importância. O interesse pessoal em realizar esse trabalho provém do fato de ter estudado durante a graduação um pouco dessas duas áreas, porém separadamente, e do fato de que esse assunto promove grande interesse acadêmico, como já dito anteriormente. 1.2 Problemas de investigação A pergunta central do trabalho é: como a teoria dos jogos e a negociação se relacionam? As demais perguntas que nortearam esse estudo foram as seguintes: a) que contribuições a teoria dos jogos pode trazer para as negociações? b) que aplicações da teoria dos jogos podem ser usadas para o desenvolvimento das negociações? 1.3 Objetivos da pesquisa Por meio de estudos que levam em consideração que a tomada de decisões dos agentes envolvidos em uma condição qualquer depende da perspectiva que eles têm em relação aos outros participantes, dos seus interesses pessoais e da busca de um resultado otimizador, esse trabalho teve como objetivo verificar como a teoria dos jogos e a negociação se relacionam, enunciando, num primeiro momento, a definição teórica de cada uma delas e, concluída essa etapa, os assuntos foram ligados, verificando quais as contribuições da teoria dos jogos e suas aplicações para o desenvolvimento e melhor aproveitamento das negociações.

13 13 II Marco Teórico 2.1 Teoria dos Jogos A Teoria dos Jogos pode ser definida como a teoria dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisões ótimas sob condições de conflito. O elemento básico em um jogo é o conjunto de jogadores que dele participam. Cada jogador tem um conjunto de estratégias. Quando cada jogador escolhe sua estratégia, tem-se então uma situação ou perfil no espaço de todas as situações (perfis) possíveis. Cada jogador tem interesse ou preferências por cada situação no jogo, assim, seu estudo é baseado na tomada de decisões, nas preferências de cada jogador e na sua expectativa sobre as ações dos outros jogadores (OSBORNE, 2004). Inicialmente foi desenvolvida como ferramenta para compreender o comportamento econômico e depois para definir estratégias nucleares. Os primeiros textos sobre a teoria dos jogos foram criados pelo matemático francês Émile Borel, que lançou as raízes desse estudo. Em 1838 Antoine Augustin Cournot publicou Researches into the mathematical principles of the theory of wealth, estabelecendo os princípios teóricos da teoria dos jogos, mas apenas a partir de uma série de trabalhos publicados por John Von Neumann em 1928 é que a teoria passou a existir como um campo unificado. Após 1970 passou a ser aplicada ao estudo do comportamento animal, incluindo evolução das espécies por seleção natural. A teoria dos jogos tornou-se um ramo proeminente da matemática nos anos 30 do século XX, especialmente depois da publicação, em 1944, de The theory of games and economic behavior, por John Von Neumann e Oskar Morgenstern, por mesclar economia e organização social aos jogos de estratégia (CAMERER, 2003). A teoria dos jogos distinguese da economia na medida em que procura encontrar estratégias racionais em situações em que o resultado depende não só da estratégia própria de um agente e das condições de mercado, mas também das estratégias escolhidas por outros agentes que possivelmente têm estratégias diferentes ou objetivos comuns (LUCE; RAIFFA, 1957). Essa teoria considera o fato de os jogadores serem racionais. Um jogador é tido como racional baseado na maneira como ele toma suas decisões. Ele está ciente de suas possíveis ações, forma expectativas sobre as indefinições do problema, tem suas preferências bem claras e toma suas decisões visando otimizar o resultado, ou seja, ele tomará a decisão que julgue que mais o beneficiará dentro de suas possibilidades e expectativas sobre o cenário (BIERMAN; FERNANDEZ, 1998).

14 14 Devido a interesse em jogos como o dilema do prisioneiro (que teve sua primeira análise no ano de 1953 e foi popularizado pelo matemático Albert W. Tucker), em que está em questão a cooperação dois prisioneiros para minimizar a perda da liberdade ou o fato de que um dos presos, confiando na cooperação do outro, o trairá para ganhar a liberdade, no qual interesses próprios e racionais prejudicam todos os envolvidos, a teoria dos jogos vem sendo aplicada na ciência política, ética filosófica e, recentemente, no jornalismo, despertando também a atenção da ciência da computação que a vem utilizando em avanços na inteligência artificial e cibernética (OSBORNE, 2004). Os biólogos utilizam a teoria dos jogos para compreender e prever o desfecho da evolução de certas espécies. Essa aplicação da teoria dos jogos à teoria da evolução produziu conceitos importantes como o conceito de Estratégia Evolucionariamente Estável, introduzida pelo biólogo John Maynard Smith no seu ensaio Game theory and the evolution of fighting. Segundo Joseph Lampel, na economia, a teoria dos jogos tem sido usada para examinar a concorrência e a cooperação dentro de pequenos grupos de empresas, pois auxilia a examinar de forma sistemática várias permutações e combinações de condições que podem alterar uma situação. Foca-se, usualmente, em um conjunto particular de estratégias conhecidas como equilíbrio no jogo. A mais famosa é o equilíbrio de Nash, no qual cada uma representa a melhor resposta para as outras estratégias, então, se todos os jogadores estiverem jogando a estratégia em um equilíbrio de Nash, eles não terão nenhum incentivo a se desviar dela, visto que sua estratégia é a melhor que eles podem obter, dado que os outros o façam. Os pagamentos dos jogos são geralmente definidos pela função de utilidade de cada jogador individual Representação dos jogos Os jogos estudados pela teoria dos jogos são objetos matemáticos bem definidos. Um jogo consiste de jogadores, um conjunto de movimentos (ou estratégias) disponíveis para estes jogadores, e uma definição de pagamento para cada combinação de estratégia. De acordo com Osborne (2004), existem duas formas de representação de jogos que são comuns na literatura: - o jogo (ou modo estratégia) normal, representada por uma matriz que mostra os jogadores, estratégias e pagamentos. Onde existem dois jogadores, um escolherá as linhas e o outro escolherá as colunas. Os pagamentos são registrados em seu interior. Quando um jogo é apresentado na forma normal, presume-se que cada jogador atue simultaneamente ou, ao

15 15 menos, sem conhecer a ação dos outros. Se os jogadores têm alguma informação acerca das escolhas dos outros jogadores, o jogo é habitualmente apresentado na forma extensiva; - a forma extensiva de um jogo tenta capturar jogos onde a ordem é importante. Os jogos aqui são apresentados como árvores, em que cada vértice representa um ponto de decisão para um jogador. O jogador é especificado por um número listado no vértice e os pagamentos são especificados na parte inferior da árvore. A forma extensiva também pode capturar jogos que se movem simultaneamente (isto é, os jogadores não sabem em qual ponto eles estão). 2.2 Negociação A origem do termo negociação remonta ao latim negocium, palavra formada pela junção dos termos nec (nem, não) e ocium (ócio, repouso), cujo significado estrito é o de atividade difícil, trabalhosa. Seu uso mais freqüente, porém, tanto no latim quanto no português, gira em torno de comércio, tráfico, relações comerciais, transação, combinação, ajuste. Em sentido secundário, que é exatamente o oposto do que se verifica na morfologia da palavra e que também se manifesta no português, o termo está associado também a estratagema ou truque para ganhar dinheiro com facilidade, oportunidade. No inglês, o termo equivalente negociate tem apenas o significado de transação comercial. Nesse sentido, negociação é o ato de negociar, transacionar (OLIVEIRA, 1994). O ambiente das organizações contemporâneas apresenta-se cada vez mais desafiador. Uma importante característica ambiental é o fenômeno da globalização, o qual parece acelerar o movimento das empresas em todos os sentidos. Desta forma, o ambiente organizacional toma dimensões globais e demanda respostas dinâmicas. Saber negociar nesse ambiente global passou a ser uma característica essencial, uma vez que as mudanças organizacionais advindas da globalização modificam as estruturas, os processos e a cultura das organizações. Diante do fato de que o ambiente corporativo está cada vez mais competitivo e do cenário de barganha, a negociação, hoje em dia, é um fator de extrema importância para a unidade e vem sendo cada vez mais discutido, pois negociação é um processo de comunicação bilateral com o objetivo de se chegar a uma decisão conjunta (FISHER; URY, 1985: 30) e é um processo por meio do qual os indivíduos tentam maximizar seus resultados (LEWICKI; LITTERER, 1985: 4). Acordos integrativos são buscados considerando-se os interesses básicos dos diversos grupos dentro da organização, as

16 16 informações disponíveis, o tempo e poderes envolvidos, os estilos dos negociadores e as questões éticas das empresas. O fato de os grupos envolvidos serem cooperativos ou competitivos, o que depende, por sua vez, da cultura e valores organizacionais, também deve ser levado em consideração na busca de uma negociação ganha-ganha, ou seja, uma negociação na qual ambas as partes saem ganhando com a decisão final tomada (MARTINELLI; ALMEIDA, 1998) Modelos disponíveis Oliveira (1994) analisou as obras de inúmeros autores da área a respeito de modelos disponíveis em negociação. Embora a variedade de abordagens seja vasta, é possível inferir que todas elas, embora apresentado diversos níveis de aprofundamento e forma de apresentação, giram em torno de uma dicotomia básica: - orientação distributiva (win-lose), na qual o negociador quer encontrar, ou impor, uma solução que lhe seja favorável, sem respeito pelos interesses da parte contrária. No limite, estes não são levados em conta ou são totalmente negados. A relação de forças é a principal alavanca para fazer o adversário ceder; - orientação integrativa (win-win): cada negociador vê a outra parte como um parceiro legítimo que tem direito a trabalhar em prol de seus interesses, mesmo se eles não são convenientes para os seus próprios, na busca de ganhos múltiplos para ambas as partes e na perspectiva de uma negociação futura próspera. III Hipóteses A hipótese central deste estudo é que a teoria dos jogos e a negociação tendem a se relacionar principalmente pelo fato de que a tomada de decisões dos agentes envolvidos depende da perspectiva que eles têm em relação aos outros participantes, dos seus interesses pessoais e da busca de um resultado otimizador, que são fatores estudados por essas duas áreas. Devido ao fato de que os pagamentos dos jogos são geralmente definidos pela função de utilidade de cada jogador individual e de que o equilíbrio no jogo é sempre analisado, a hipótese de que as ferramentas matemáticas utilizadas na teoria dos jogos tendem a auxiliar em um aperfeiçoamento das negociações também foi verificada.

17 17 IV Procedimentos metodológicos A pesquisa foi do tipo exploratória, porque se busca um maior entendimento a respeito da relação entre a Teoria dos Jogos e a Negociação. Segundo Richardson (1985), realiza-se um estudo exploratório quando não se tem informação sobre determinado tema e se deseja conhecer o fenômeno. A pesquisa exploratória é empregada para que se obtenham mais dados sobre um problema qualquer, ou para que as ações sejam identificadas. Foram utilizados conceitos matemáticos e de negociação estudados ao longo da graduação e em leituras extracurriculares, além de se recorrer às bibliografias já existentes dos assuntos individualmente e a publicações relacionando-os. A primeira etapa da pesquisa foi a revisão bibliográfica, que objetiva levantar os assuntos relevantes já existentes para o desenvolvimento do trabalho. Com base nessa etapa foi redigida a definição teórica dos assuntos (teoria dos jogos e negociação) individualmente. Após isso foram realizados estudos para que as hipóteses fossem verificadas, relacionando os dois assuntos e respondendo às perguntas do problema de investigação. V Avaliação crítica da revisão bibliográfica Para dar continuidade a esta pesquisa, é necessário avaliar as informações teóricas coletadas, a fim de averiguar se, perante tais informações, é possível responder às questões de pesquisa deste estudo: como a teoria dos jogos e a negociação se relacionam? a) que contribuições a teoria dos jogos pode trazer para as negociações? b) que aplicações da teoria dos jogos podem ser usadas para o desenvolvimento das negociações? 5.1 Teoria dos Jogos A teoria dos jogos lida com a análise geral de interação estratégica. A interação estratégica pode envolver muitos jogadores e muitas estratégias, mas esse estudo se limitará aos jogos de duas pessoas com um número finito de estratégias. Isso permite representar o jogo facilmente numa matriz de ganhos. Observando um exemplo específico é mais simples examinar isso.

18 18 Suponha-se que duas pessoas estão jogando num jogo simples. A pessoa X escreverá uma das duas palavras num pedaço de papel, sobe ou desce. Ao mesmo tempo, a pessoa Y irá escrever, de forma independente, abre ou fecha num pedaço de papel. Depois de fazerem isso os papéis serão examinados e cada um dos jogadores receberá o ganho representado a seguir: Jogador Y Abre Fecha Sobe 1, 2 0, 1 Jogador X Desce 2, 1 1, 0 Tabela 1 - Matriz de ganhos de um jogo Se X escreve sobe e Y escreve abre examinamos o quadrado do alto à esquerda da matriz. Nessa matriz o ganho para X é a primeira entrada do quadrado, 1, e o ganho para Y é a segunda entrada, 2. A pessoa X tem duas estratégias: pode escolher sobe ou desce. Essas estratégias poderiam representar escolhas econômicas, como aumentar preço ou diminuir preço. A matriz de ganhos de um jogo apenas representa os ganhos de cada jogador para cada combinação de estratégias escolhida. O jogo representado na Tabela 1 tem uma solução simples: do ponto de vista da pessoa X será sempre melhor escolher desce, uma vez que seus ganhos resultantes dessa escolha (2 ou 1) serão sempre maiores do que as entradas correspondentes na escolha sobe (1 ou 0). De forma semelhante será sempre melhor para Y escolher abre. Portanto, é de se esperar que a estratégia de equilíbrio de X seja jogar desce e para Y jogar abre. Nesse caso tem-se uma estratégia dominante. Há uma escolha ótima de estratégias para cada um dos dois jogadores, não importando o que o outro faça. Qualquer que seja a escolha de Y, o jogador X obterá um ganho maior se jogar desce. Qualquer que seja a escolha de X, Y obterá um ganho maior de jogar abre. Portanto essas escolhas dominam as alternativas, e têm-se um equilíbrio de estratégias dominantes. Se houver uma estratégia dominante para cada jogador em algum jogo, o resultado de equilíbrio no jogo é previsível, isso porque a estratégia dominante é a melhor, não importando o que faça o outro jogador.

19 19 Os equilíbrios de estratégia dominante são bons quando acontecem, mas não ocorrem com tanta freqüência. Por exemplo, o jogo representado na tabela 2 não tem um equilíbrio de estratégia dominante. Observando os ganhos, percebe-se que quando Y escolhe abre, X desejaria escolher sobe e quando Y escolhe fecha, X desejaria escolher desce. Portanto, a escolha ótima de X depende do que ele pensa que Y fará. Jogador Y Abre Fecha Sobe 2, 1 0, 0 Jogador X Desce 0, 0 1, 2 Tabela 2 - Um equilíbrio de Nash Ao invés de exigir que a escolha de X seja ótima para todas as escolhas de Y (como o equilíbrio de estratégia dominante exige), pode-se exigir apenas que ela seja ótima para as escolhas ótimas de Y. Se Y for um jogador inteligente e bem informado, ele desejará escolher apenas estratégias ótimas, embora o que represente uma escolha ótima para Y também dependa da escolha de X. Um par de estratégias constitui um equilíbrio de Nash se a escolha de X for ótima, dada a escolha de Y, e a escolha de Y for ótima dada a escolha de X. Lembrando que nenhuma pessoa sabe o que a outra fará quando for obrigada a escolher sua própria estratégia, mas cada pessoa pode ter suas próprias expectativas a respeito de qual será a escolha da outra pessoa. O equilíbrio de Nash pode ser interpretado como um par de expectativas sobre as escolhas da outra pessoa, de modo que, quando a escolha de uma pessoa for revelada, nenhuma delas quererá mudar seu próprio comportamento (VARIAN, 2003). No caso da tabela 2, a estratégia (no alto, à esquerda) é um equilíbrio de Nash: cada pessoa fez a escolha ótima, dada a escolha do outro. Infelizmente o equilíbrio de Nash também tem alguns problemas: um jogo pode ter mais de um equilíbrio de Nash e, por outro lado, há jogos que não o têm da forma que foi descrito. Entretanto, ampliando a definição de estratégias, pode-se encontrar um novo equilíbrio de Nash para jogos que não o possuem. Acima foi descrita uma situação em que cada agente escolhe uma estratégia definitiva, ou seja, cada agente faz uma escolha e a mantém, o que é chamado estratégia pura.

20 20 Outra forma de pensar é permitir que os agentes atribuam uma probabilidade para cada escolha e joguem suas escolhas de acordo com essas probabilidades, o que é chamado de estratégia mista. O equilíbrio de Nash em estratégias mistas sempre existe, visto que é um equilíbrio no qual cada agente escolhe a freqüência ótima para jogar as suas estratégias, dadas as freqüências das escolhas do outro agente. Outro problema com o equilíbrio de Nash de um jogo é que ele não conduz necessariamente a resultados eficientes no sentido de Pareto (quando não se pode encontrar uma forma de melhorar a situação de uma pessoa sem piorar a de nenhuma outra), como se observa no dilema do prisioneiro. O dilema do prisioneiro clássico funciona da seguinte forma: dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para condená-los, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros testemunhar para a procuradoria contra o outro e o outro permanecer em silêncio, o dedo-duro sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre dez anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a seis meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva dois anos de cadeia. Cada prisioneiro faz sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar e nenhum tem certeza da decisão do outro. Observa-se essa situação na tabela a seguir: Jogador B Confessa Nega Confessa 2, 2 0, 10 Jogador A Nega 10, 0 ½, ½ Tabela 3 - O dilema do prisioneiro O dilema é o que deve cada prisioneiro fazer. Independentemente do que B fizer, A estará melhor se confessar e o mesmo ocorre com o jogador B. Portanto o único equilíbrio de Nash nesse jogo para ambos os jogadores é confessar, o que também é um equilíbrio de estratégia dominante. Porém observa-se que a estratégia (nega, nega) é eficiente no sentido de Pareto não há outra escolha capaz de melhorar a situação de ambos os jogadores enquanto que a estratégia (confessa, confessa) é ineficiente no sentido de Pareto. O problema é que os dois prisioneiros não conseguem/podem coordenar suas ações; se ambos pudessem confiar um no outro, ambos poderiam melhorar.

21 21 Os jogos de coordenação são jogos em que os ganhos aos participantes são maiores quando eles coordenam suas estratégias (VARIAN, 2003) e, no caso do dilema do prisioneiro, a coordenação permitiria que os prisioneiros escolhessem o melhor ganho, mas o problema é que não há uma forma fácil de fazer isso acontecer quando se joga uma só vez. A diferença fundamental entre os jogos cooperativos e os não-cooperativos está na possibilidade de negociar e implementar contratos. Uma maneira de escapar ao dilema do prisioneiro é ampliar o jogo acrescentado novas escolhas. Se o jogo for jogado repetidas vezes, cada jogador tem a oportunidade de estabelecer uma reputação de cooperação e, assim, encorajar o outro jogador a fazer o mesmo. A viabilidade ou não desse tipo de estratégia irá depender de se o jogo será jogado por um número fixo ou indefinido de vezes. Com a possibilidade de um jogo futuro, com um número conhecido e fixo de jogadas, os jogadores cooperam porque têm a esperança de que a cooperação induza a mais cooperação no futuro. Mas se um jogo for repetido um número indefinido de vezes, haverá uma forma de influenciar o comportamento do oponente: se ele se recusar a cooperar nessa jogada, você pode se recusar a cooperar na próxima. Na medida em que ambas as partes preocupam-se bastante com seus ganhos futuros, a ameaça de não-cooperação no futuro pode ser suficientemente forte para convencer as pessoas a jogar a estratégia eficiente no sentido de Pareto. Outra forma de resolver o dilema do prisioneiro seria acrescentar a possibilidade de contratação. Por exemplo, ambos os jogadores poderiam assinar um contrato se comprometendo a adotar a estratégia cooperativa. Se qualquer um deles renega o contrato terá que pagar uma multa ou ser punido de alguma outra forma. Os contratos são muito úteis para alcançar todo tipo de resultado, mas precisam apoiar-se na existência de um sistema jurídico que assegure o respeito a tais contratos. A cooperação e o compromisso também são fatores relevantes, visto que quando um jogo de cooperação está em questão, um dos jogadores desejará convencer o outro participante a cooperar para um equilíbrio que agrade mutuamente, cooperar para um equilíbrio que seja de seu agrado, jogar algo que não seja a estratégia de equilíbrio (dilema do prisioneiro) ou fazer uma escolha que leve a seu resultado preferido. Apenas a título de informação, visto que não são o escopo desta pesquisa, os jogos de competição são o oposto da cooperação e são chamados de jogos de soma zero, visto que o ganho de um participante é igual às perdas do outro. A maioria dos esportes são jogos de

22 22 soma zero, uma vez que há a competição acirrada e os interesses dos participantes são diametralmente opostos Jogos seqüenciais Há situações em que os jogadores não agem simultaneamente, ou seja, um jogador movimenta-se primeiro e o outro reage. Um exemplo de jogo como esse é o mostrado a seguir: Na primeira jogada o jogador X tem que escolher sobe ou desce. O jogador Y observa a jogada do primeiro jogador e então escolhe abre ou fecha. Os ganhos são ilustrados na matriz de jogo da tabela 4. Jogador Y Abre Fecha Sobe 1, 9 1, 9 Jogador X Desce 0, 0 2, 1 Tabela 4 - Matriz de ganhos de um jogo seqüencial Quando o jogo é apresentado dessa forma, ele tem dois equilíbrios de Nash: (sobe, abre) e (desce, fecha), porém um deles não é realmente razoável, pois a matriz de ganhos esconde o fato de que um jogador sabe o que o outro escolheu antes que ele faça sua escolha. Nesse caso é mais útil examinar um diagrama que ilustre a natureza simétrica do jogo.

23 23 Jogador Y escolhe Abre X, Y 1, 9 Sobe Fecha 1, 9 Jogador X escolhe Desce Abre 0, 0 Jogador Y escolhe Fecha 2, 1 Figura 1 - Forma extensiva do jogo A representação de um jogo na forma extensiva indica a ordem em que os jogadores se movimentam. A forma de analisar esse jogo é ir até o final e trabalhar de trás para frente. Se o jogador X fez sua escolha e essa foi sobe, então não importa o que o jogador Y faça, pois o ganho será (1,9), mas se o jogador X escolheu desce, Y terá uma escolha lamentável, visto que termina com o ganho de 1 em vez de 9. Y poderia ameaçar jogar abre se X jogasse desce, assim, se o jogador X pensasse que o jogador Y pudesse realmente cumprir a ameaça, seria melhor que ele jogasse sobe. Essa ameaça é crível uma vez que X faça sua escolha e Y estaria melhor se pudesse comprometer-se a jogar abre quando o jogador X joga desce. Uma forma de fazer isso é permitir que outra pessoa escolha por ele. Por exemplo, Y pode contratar um advogado e instruí-lo a jogar abre se X jogar desce. Se X tiver ciência dessas instruções, a situação será radicalmente diferente de seu ponto de vista, pois saberá que, dependendo do que jogar, poderá acabar com resultado 0. Nesse caso, Y fez melhor para si próprio ao limitar suas escolhas. Em um jogo seqüencial, portanto, o padrão do tempo das escolhas é importante e pode ser vantajoso se comprometer de antemão com determinada linha de jogo e, mais uma vez, a cooperação pode influenciar no resultado do jogo.

24 Curvas de melhor resposta A curva de melhor resposta é uma importante ferramenta analítica que pode ser utilizada para chegar ao equilíbrio nos jogos. Para qualquer escolha que um jogador possa fazer num jogo, a melhor resposta do oponente é aquela que maximiza seu ganho. Se há várias escolhas que maximizem seu ganho, então sua melhor resposta será o conjunto de todas essas escolhas. Suponha um jogo geral de duas pessoas A e B em que A tem as escolhas a 1,..., a n, e B tem as escolhas b 1,..., b n. Para cada escolha a feita por A (seja x b (a)) haverá uma melhor resposta para B, e escolha b feita por B (seja x a (b)) haverá uma melhor resposta para A. Então um equilíbrio de Nash é um par de estratégias (a*, b*) tal que a* = x a (b*) b* = x b (a*). O conceito de equilíbrio de Nash formaliza a idéia de consistência mútua ; são as crenças e as ações dos jogadores que são mutuamente consistentes. É exigido que a* seja uma das melhores respostas de B, e que b* seja uma das melhores respostas de A apenas, pois em alguns casos um dos jogadores pode se mostrar indiferente a várias melhores repostas. Se houver uma única melhor resposta para cada escolha então a curva de melhor resposta pode ser representada por uma função de melhor resposta. A função da melhor resposta de um jogador proporciona a escolha ótima para ele em função das opções que seu(s) adversário(s) pode(m) fazer. Em um jogo na forma normal, ou seja, em que cada jogador escolhe simultaneamente uma estratégia e a combinação de estratégias escolhidas pelos jogadores determina o pagamento para cada um deles, suponha S i = {s i1,..., s ik }. Então uma estratégia mista para o jogador i é uma distribuição de probabilidade p i = (p i1,..., p ik ), onde 0 p ik 1 para k = 1,...,K e Σ k j=1p ij =1. Adotando uma estratégia mista o jogador obterá um pagamento ótimo a longo prazo. Em um jogo de dois jogadores, se o adversário adotar a estratégia j, então o pagamento do jogador será E j (x) = ( x 1... x n )

25 25 onde a matriz ( x 1... x n ) é o mix de estratégias, tal que x 1 é a probabilidade do jogador adotar a estratégia 1 e a matriz a estratégia j. Observa-se um exemplo: é a matriz de pagamento quando o adversário adotar Dada a matriz de pagamento de um jogo, adota-se a estratégia mista Igualando E 1 e E 2 acharemos a probabilidade do jogador 1 adotar a estratégia 1 e de adotar a estratégia 2. E1 = E2, x 1 = ¼, x 2 = 1 ¼ = ¾ e o pagamento esperado será E = 5/2. Figura 2 - Exemplo: pagamento esperado Então a solução do problema em questão será, (x* 1, x* 2, E) = ( ¼, ¾, 5/2). As duas curvas, E 1 e E 2, ilustram a melhor resposta dos jogadores 1 e 2 às escolhas de seus adversários. A interseção G é um equilíbrio de Nash.

26 26 A extensão do conceito de equilíbrio de Nash para uma estratégia mista requer simplesmente que o mix de estratégias de cada jogador seja a melhor resposta ao mix de estratégia dos outros jogadores. 5.2 Negociação Atualmente a homogeneização dos centros urbanos, a expansão das corporações para regiões fora de seus núcleos geopolíticos, a revolução tecnológica nas comunicações e na eletrônica, a reorganização geopolítica do mundo em blocos comerciais (não mais ideológicos), a hibridização entre culturas populares locais e uma cultura de massa universal, entre outros fatores, estão intensificando-se. A eles dá-se o nome de globalização. Globalização é o conjunto de transformações na ordem política e econômica mundial que vem acontecendo nas últimas décadas. O ponto central da mudança é a integração dos mercados numa aldeia-global, explorada pelas grandes corporações internacionais e que afeta todas as áreas da sociedade, principalmente comunicação, comércio internacional e liberdade de movimentação, com diferente intensidade dependendo do nível de desenvolvimento e integração das nações ao redor do planeta. Impulsionadas pelo processo de globalização, as empresas têm buscado uma rápida expansão tanto por meio de fusões e aquisições quanto por diferentes formas de cooperação (SANER, 2002). Além disso, a globalização tem transformado a vida das empresas, à medida que permite que a produção e a distribuição de bens de relativa homogeneidade possam ser feitas em maiores quantidades, levando a ganhos de economia de escala. Essa tendência, aliada à competição que passou a ocorrer em escala mundial, tem levado a uma reestruturação das empresas para atender aos requisitos desse novo ambiente global (SUEN, 1997). Assim, observa-se que pessoas, empresas, organizações e países estão cada vez mais vinculados, dando origem a inúmeros conflitos de interesses. O termo conflito geralmente é associado a situações negativas, como briga, luta e oposição de interesses, no qual apenas um dos envolvidos pode ganhar. Porém vários autores questionaram esse fato e demonstraram que situações de conflito também podem levar a ganhos mútuos. Segundo Martinelli e Almeida (1998), por exemplo, a negociação não é a única, mas uma das melhores formas de solucionar conflitos quando o objetivo é produzir benefícios duradouros para todos os participantes. Devido a isso, a negociação, que é um tema recente, vem recebendo atenção cada vez maior. De acordo com Fisher e Brown (1989), é por meio de relações com os outros que o ser

27 27 humano trabalha e se diverte, ganha dinheiro, constrói família e enfrenta o problema e, assim como citado por Acuff (1993:21), negociação é o processo de comunicação com o propósito de atingir um acordo agradável sobre diferentes idéias e necessidades. A definição de Fisher e Ury (1985, p. 30): Negociação é um processo de comunicação bilateral, com o objetivo de se chegar a uma decisão conjunta é importante no sentido de que dá ao processo de comunicação para a realização da negociação uma visão bilateral do mesmo. Ainda segundo Fisher e Ury (1985), existem alguns princípios que são indispensáveis para a eficácia da negociação. São eles: (1) separar as pessoas do problema; (2) concentrar-se nos interesses a serem buscados e não nas posições pessoais; (3) buscar encontrar o maior número possível de alternativas de solução; (4) identificar critérios objetivos para a solução do problema. Além disso, devem-se citar as variáveis básicas do processo de negociação. Segundo Martinelli e Almeida (1997, p. 65), qualquer que seja o objetivo da negociação, sua importância e oportunidade, haverá três variáveis básicas que condicionam esse processo: poder, tempo e informação. Na definição da variável poder, deve-se evitar a conotação negativa do termo e entendê-lo como capaz de permitir a mudança da realidade e o alcance dos objetivos; deve ser utilizado para aumentar a autoconfiança das partes e jamais para prejudicar ou humilhar o oponente. Os autores subdividem os poderes em: a) poderes pessoais válidos para qualquer situação, independentemente do papel desempenhado, dos conhecimentos e das habilidades para lidar com pessoas; b) poderes circunstanciais baseiam-se na situação em questão. Já o tempo, afeta o processo e transforma-o em ponto de apoio para projetar o negócio e alcançar a satisfação dos envolvidos. Pode ser fator de pressão e limitação ao processo de negociação. Percebe-se que, conforme os prazos vão se esgotando, maior é a pressão do tempo, podendo gerar concessões para o fechamento do acordo. E a informação é o conhecimento ou instrução que um indivíduo ou grupo obtém por meio de diversas fontes, essa variável é importantíssima para o sucesso da negociação e está relacionada com as variáveis poder e tempo. Quanto mais informações confiáveis as partes têm, mais distante se fica de um resultado imprevisto. Todas essas variáveis estão presentes em qualquer tipo de jogo, assim como o perfil do negociador. De acordo com Martinelli e Almeida (1997) o negociador precisa concentrar-se nas idéias, discutir proposições, proporcionar alternativas à outra parte, ter objetividade no equacionamento dos problemas, saber separar os relacionamentos pessoais dos interesses,

28 28 saber falar e ouvir, apresentar propostas concretas, saber interpretar o comportamento das pessoas e colocar-se no lugar da outra parte. Andrade, Alyrio e Macedo (2004) apresentam as seguintes características do bom negociador: ser cooperativo, ter autenticidade na comunicação, realizar a preparação para a negociação, ser observador, saber ouvir, saber concentrar-se no que há por trás das posições e interesses, ter capacidade para criar ganhos mútuos, ter percepção ampla, utilizar critérios e padrões objetivos para criar confiança, ser criativo e flexível, ser ético, claro, transparente, sincero e confiável, preocupar-se com a satisfação da outra parte e ter consciência dos vieses culturais. Alguns autores acreditam que essas características já nascem com o indivíduo, enquanto outros, como Pollan e Levine (1994), acreditam que elas são aprendidas na prática. Conhecer as habilidades de negociação, as variáveis que a afetam e um bom planejamento são fatores fundamentais para obter um melhor resultado. Quanto às estratégias de negociação, os negociadores não adotam uma única estratégia, e sim diferentes estratégias em diferentes situações, embora possam dar preferência a uma delas, em função de suas características individuais. Segundo Fisher e Brown (1989), o ponto mais importante a ser seguido refere-se à construção do relacionamento (que deve ser recíproco e duradouro), para facilitar a conciliação das diferenças que fatalmente existem num processo de negociação, identificando o tipo de relacionamento de que se precisa para se obter o que se pretende, além de separar o relacionamento das questões fundamentais envolvidas na negociação. É importante também que, além da preparação para a negociação, conhecendo o ambiente em que ela se dará e a cultura e as características da outra parte, haja o monitoramento de como está caminhando a negociação durante seu processo, após a conclusão da negociação deve-se pensar a respeito do acordo e preparar-se para problemas potenciais e verificar onde deve ser aperfeiçoado, avaliando também o crescimento pessoal do negociador. Segundo Sparks (1992), há cinco características importantes da negociação: (1) troca entre as duas partes; (2) existência simultânea de restrições e pressões, resultando em atrito ou desconforme entre as duas partes; (3) presença da incerteza; (4) questão de importância razoável, cuja solução é buscada pelas partes; (5) existência de um conflito real ou percebido entre as posições das partes. Os mesmos valores que geram diferentes preferências com relação a resultados e estratégias de negociação podem funcionar como um estreitamento da visão, que limita o

29 29 ângulo de visão do negociador, impedindo-o de perceber a lógica da outra parte em relação às preferências, aos resultados e ao processo de negociação. Em função disso, muitas vezes, uma parte, por não entender a racionalidade da outra, classifica o comportamento dela como irracional. Quando as estratégias de negociação utilizadas pelos negociadores entram em choque, aumentam as chances de o processo ser menos eficiente e de o acordo ficar abaixo do ideal (GARCIA, 1998). VI Análise: Negociação e Teoria dos Jogos Situações de negociação são exemplos de jogos cooperativos. Como ocorre com os jogos não cooperativos, durante as negociações uma das partes pode obter uma vantagem estratégica ao limitar sua própria flexibilidade (PINDYK; RUBIENFELD, 2004). O desafio na modelagem de negociação está em encontrar dimensões nas quais os participantes possam negociar. O modelo de negociação de Nash, por exemplo, recorre a uma abordagem axiomática, especificando certas propriedades que uma solução negociada razoável deve apresentar e então cuida para que só um resultado satisfaça esses axiomas. O resultado acaba dependendo do grau de aversão ao risco dos jogadores e do que acontece se não for concluída a negociação. Foi elaborada por John Nash, em 1950, nos artigos "The bargaining problem" e "Noncooperative games", uma tentativa de solucionar matematicamente o problema da barganha. Nash partiu da suposição de que se poderia reduzir os jogos cooperativos (com comunicação prévia) à forma não cooperativa. Para isso, bastaria que fosse construído um modelo em que a negociação prévia teria suas etapas transformadas em um jogo não-cooperativo com uma quantidade infinita de estratégias puras que representariam toda situação. A solução obtida para este jogo "alargado", por conseguinte, corresponderia ao valor obtido em um jogo cooperativo equivalente. Pelo "programa de Nash", a solução de um jogo não-cooperativo, quando houvesse, seria um par de equilíbrio único, considerando que cada indivíduo deseja maximizar sua utilidade; que o acordo obtido se torna obrigatório por não poder ser superado por nenhum outro alternativo, dentro do mesmo conjunto de negociação compacto e convexo, geometricamente; e que ambos os jogadores tenham a mesma habilidade de barganha. A solução de Nash, em jogos com barganha, equivale ao ponto de equilíbrio que corresponde ao máximo de todos os produtos de utilidade maiores que zero. Na divisão de $100 entre dois

30 30 jogadores, por exemplo, a solução de Nash é (50, 50), desde que a utilidade seja assumida como linear. 100 Utilidade de B Espaço de negociação (50,50) Utilidade de A 100 Figura 3 - Exemplo: solução de Nash Matematicamente, a justeza do programa de Nash é indiscutível. Entretanto, a maneira pela qual o conceito de barganha é definido pode ser discutida. Sua suposição é de que, em uma negociação, os indivíduos sejam "altamente racionais, possam comparar detalhadamente seus desejos pelas coisas, sejam igualmente capazes de negociar e tenham pleno conhecimento dos gostos e preferências do outro" restringe o contexto da barganha a situações de informação completa onde haja o pleno conhecimento comum das preferências por parte dos jogadores. Barganhas com informação incompleta permanecem um desafio para os teóricos. Uma abordagem alternativa é o modelo de negociação de Ariel Rubinstein (FIANI, 2006), lançado nos anos 1980, que observa seqüências de escolhas e então resolve para o equilíbrio perfeito do subjogo. Esse modelo permitiu analisar a troca de ofertas alternadas entre os jogadores, levando em conta o grau de impaciência dos mesmos (o desejo destes anteciparem o final do jogo). Isto é, em um jogo seqüencial - quando os jogadores tomam decisões em rodadas sucessivas e em determinada ordem de movimentos - a alternância de ofertas levará a uma solução se esta representar um equilíbrio perfeito em seus subjogos. Um subjogo é qualquer parte de um jogo na forma extensiva que se inicia em um único nó de decisão e forma um conjunto completo de nós e ramos que sucedem a este nó. Eventualmente, um subjogo apresenta um nó terminal em equilíbrio de Nash, cuja combinação de movimentos que leva ao ponto de equilíbrio não apenas em todo jogo estendido, mas também em cada subjogo existente na árvore original. Quando isto acontece, o ponto é considerado de equilíbrio perfeito em subjogos. Um jogo de negociação simplificada para divisão dos $100, sob o modelo de Rubinstein, ilustra como esse equilíbrio seria encontrado entre dois jogadores pacientes ou

31 31 com graus diferentes de impaciência. Ambos devem resolver essa divisão no máximo em três rodadas, sendo que o primeiro tem um grau de impaciência "y" e o segundo "x", que devem descontar os ganhos futuros como uma taxa para cada rodada. Além disso, caso um jogador tenha um ganho igual nas opções oferecidas em um determinado ponto de decisão, ele preferirá a alternativa que oferecer maior ganho para o adversário, do contrário, se não houver acordo, ambos nada ganharão. A figura abaixo mostra como esse jogo finito de ofertas alternadas com impaciência, registra na primeira rodada a aceitação da oferta, como equilíbrio de Nash perfeito. (100,0) (0,0) Aceita Rejeita (y, 1-y) B Aceita Oferta final (1-x(1-y), x(1-y)) A (50,50) Aceita B Contra - Oferta Oferta justa Oferta A Figura 4 - Jogo de negociação Pelo modelo de negociação de Rubinstein, é possível analisar diversas situações variantes, desde quando é jogado em apenas uma etapa até um jogo infinito com um número indeterminado de rodadas. Na versão de uma etapa, também conhecida como jogo do ultimato, testes empíricos mostraram que a maioria das ofertas do primeiro jogador (A) aproxima-se da oferta justa (50, 50), que seria a solução no modelo de negociação de Nash. Em geral, as ofertas menores do que 30% arranhavam a reputação do segundo jogador (B) que prefere a recusar ao invés de aceitar uma proposta indecorosa. A previsão teórica, no entanto, baseada na suposição de agentes egoístas, seria de que qualquer oferta, por mais ínfima que fosse, deveria ser aceita por parte do jogador B, tal como é o espírito da interpretação que sugere ser a opção por (100, 0) preferida sobre (0, 0), como qualquer quantia muito pequena oferecida próxima de zero, semelhante a um centavo para B e $99,99 para A.

32 32 Num jogo extensivo finito, o equilíbrio de Nash é buscado por meio de indução reversa, também conhecida como algoritmo de Zermelo em jogos seqüenciais com informação perfeita, ou ainda pelo nome de procedimento padrão de programação dinâmica. Partindo das "folhas" - pontos terminais - até a "raiz" - ponto inicial -, em cada "nó" - ponto de decisão - de um jogador, escolhe-se o "ramo" - movimento - que leva ao subjogo que lhe ofereça o maior ganho. Uma vez encontrado o ponto de equilíbrio que represente uma solução para o subjogo original e todos os outros na mesma árvore, ter-se-á achado o equilíbrio de Nash perfeito dos subjogos. Assim, a divisão dos $100 em três lances de oferta, contra-oferta e oferta final faz com que A proponha ficar com tudo ou nada para ambos como sua última proposta. Considerando o grau de impaciência de A que varia entre 0 e 1, B, sabendo que na última etapa ele corresponderá a 1 (o total em jogo), prefere ganhar 1 - y e oferecer l a A, que na penúltima etapa seria um pouco menor que um (devido à taxa de desconto), a ficar sem nada no final. Contudo, para evitar chegar nessa fase, A pode preferir explorar a impaciência de B, oferecendo-lhe de imediato x (algo maior que 0 e menor que 1) multiplicado pelo que ganharia depois (1 - y). Assim, considerando a impaciência dos dois, a negociação em torno dos $100 os dividiria a uma proporção que desse (1-x)(1-y) para A e x(1-y) à B, logo no primeiro lance. Em uma variante mais ampla da barganha, para chegar-se ao equilíbrio perfeito de subjogos em negociações com infinitas alternâncias de ofertas, não é possível se recorrer à indução reversa. Nestes casos, o modelo de Rubinstein prevê que o equilíbrio perfeito ficaria na proporção da divisão oferecida pelo primeiro jogador (A) que propusesse para o segundo jogador (B) x(1 - y)/1 - xy e o próprio ofertante ficasse com 1 - x/1 - xy desde que seus graus de impaciência estivessem entre 0 e 1, sendo ambos indiferentes a aceitar ou rejeitar uma oferta feita. Os efeitos da comunicação na negociação começam a aparecer com maior destaque quando se observa um jogo sugerido por Thomas Schelling que propõe a divisão dos $100 simultaneamente por dois jogadores, mas sem a possibilidade de troca de informação. Caso a soma das pretensões dos dois viesse a ser menor ou igual a $100, ambos ganhariam a respectiva quantia acertada. De outro modo, nada receberiam. Nestas circunstâncias, Schelling revela que 36 das 40 pessoas que participaram do teste, nos anos 1950, decidiram ficar com $50. A resolução do problema de coordenação da divisão dos $100 levou a busca