'PROBLEMAS de LOCALIZAÇÃO MULTICRITÉRIO: DISCUSSÃO de ALGUNS CASOS'

Transcrição

1 'PROBLEMAS de LOCALIZAÇÃO MULTICRITÉRIO: DISCUSSÃO de ALGUNS CASOS' M. Eugénia Captivo Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências Centro de Investigação Operacional Campo Grande, Bloco C6, Piso Lisboa PORTUGAL mecaptivo@fc.ul.pt João Clímaco Faculdade de Economia e INESC Universidade de Coimbra Coimbra PORTUGAL climaco@inescc.pt Resumo Os problemas de localização são, em geral, multidimensionais por natureza, particularmente quando se pretende planear o desenvolvimento de forma sustentável. Abordagens multicritério parecem adequadas em muitas situações. Contudo, apenas uma percentagem muito pequena das publicações científicas desta área trata modelos ou ferramentas multicritério. Geralmente, os diferentes critérios são considerados como restrições, impondo valores mínimos ou máximos, ou são tratados através dum critério substituto (como a distância) numa estrutura mono-obectivo. Em alguns trabalhos é possível encontrar modelos de localização multiobectivo, mas os procedimentos utilizados para a sua resolução não são adequados e nem sequer garantem que as soluções obtidas seam não-dominadas. Neste trabalho discutem-se abordagens multicritério para localização tendo em conta vários aspectos. Nomeadamente, confrontam-se algumas abordagens disponíveis na literatura com uma de que somos co-autores. Palavras-chave: Localização Multicritério, Programação Linear Inteira Mista, Procedimentos Interactivos. Abstract Location problems are, in general, multidimensional in nature, particularly if sustainable development planning is required. So, multicriteria approaches seem adequate in many situations. Nevertheless, only a very small percentage of the publications in this area concern multicriteria models or tools. Generally, the different criteria are formulated as constraints imposing some minimum or maximum value, or are addressed by a surrogate criterion (like distance) on a single obective structure. In some papers we can find multiobective location models, but the procedures used to solve them are not adequate and do not even guarantee that the solutions obtained are non-dominated solutions. In this paper we discuss multicriteria location approaches taking into account several issues. Namely, a confrontation between some approaches available in the literature and one in which we are co-authors, is presented. Key-words: Multicriteria Location, Mixed Integer Linear Programming, Interactive Procedures.

2 . Introdução Num problema de localização pretendemos localizar um tipo específico de serviço ou equipamento. Habitualmente procuramos a melhor forma de servir um conunto de comunidades cuas localizações e procuras são conhecidas. Isto implica decidir sobre: - o número e a localização dos equipamentos para servir a procura, - a dimensão ou capacidade de cada serviço, - a afectação dos locais de procura aos equipamentos instalados, por forma a optimizar uma função obectivo. Essencialmente, os modelos de localização podem ser classificados segundo o critério de optimização utilizado e segundo as características do espaço de soluções. Relativamente às características do espaço de soluções, podemos ter um problema de localização numa rede ou no espaço Euclidiano. Em qualquer dos casos podemos considerar um número finito ou infinito de localizações potenciais para os serviços. Os modelos de localização contínuos são talvez os mais estudados, mas aqui consideramos modelos de localização discreta numa rede. Habitualmente os potenciais locais para abrir serviços não estão disponíveis em qualquer ponto do espaço Euclidiano. Isto é ainda mais importante quando se trata de serviços indeseáveis. Embora sea possível encontrar na literatura vários modelos de localização contínua para serviços indeseáveis, acreditamos que a localização deste tipo de serviços deve ser analisada como um problema de localização discreta numa rede. Os locais admissíveis para a instalação dos serviços nem sempre estão disponíveis onde se pretende e, por outro lado, precisamos das estradas para o transporte entre as comunidades e os serviços abertos. A maioria dos modelos de localização trata de serviços deseáveis, tais como, armazéns, centros de serviços ou transportes, serviços de emergência, etc., os quais interagem com os clientes obrigando a deslocações. Em consequência, os critérios típicos para as decisões incluem a minimização de alguma função da distância entre os serviços e os clientes (o tempo médio de viagem, o tempo médio de resposta, o custo do tempo de viagem ou de resposta, o tempo/custo máximo de viagem, etc.). No entanto, durante as últimas duas décadas, os responsáveis pelo desenvolvimento global da área onde o novo equipamento vai ser instalado (governo central, autoridades locais,...), assim como os próprios residentes, estão a mostrar um interesse crescente na preservação da qualidade de vida. Novos termos foram introduzidos em teoria da localização, tais como: nóxio, obnóxio, semi-obnóxio, perigoso, etc. Como exemplos de equipamentos desagradáveis podemos mencionar: - instalações nucleares e militares; - equipamentos emissores de partículas ou de barulho, armazéns de materiais inflamáveis, zonas com lixo ou detritos; - lixeiras, centrais de tratamento de esgotos, prisões, grandes aeroportos, etc. O critério de optimalidade tradicional, a proximidade (localizar o serviço o mais próximo possível dos clientes) é substituído pelo critério oposto (localizar o equipamento o mais longe possível das comunidades assegurando a acessibilidade dos pontos de procura). Isto deu origem ao síndroma NIMBY (NOT IN MY BACK YARD). Frequentemente os regulamentos governamentais impõem: - níveis mínimos de qualidade, - níveis máximos de degradação, - proibições completas. Também não pode ser esquecido que este tipo de problemas implica decisões em grupo envolvendo negociação entre vários decisores. As questões ambientais nas abordagens à localização de equipamentos indeseáveis têm geralmente sido formuladas como restrições ou incluídas através de um critério substituto (distância) numa estrutura mono-obectivo. Contudo eles envolvem uma quantidade de obectivos conflituosos. De acordo com Erkut e Neuman (989), não se pode esperar que os modelos mono-obectivo representem adequadamente problemas deste tipo. Concordamos com Current et al. (990) quando dizem que 087

3 modelar questões ambientais como obectivos, por oposição a restrições, gerará mais informação relativamente às relações entre o custo e outras implicações de natureza ambiental. Surpreendentemente as ferramentas de decisão multiobectivo pouco têm sido estudadas na literatura de localização de equipamentos indeseáveis. Só uma muito pequena percentagem das publicações nesta área trata de modelos ou ferramentas multicritério. Os diferentes critérios são formulados como restrições impondo limites mínimos ou máximos, ou são abordados através de um critério substituto (como a distância) numa estrutura mono-obectivo. Em alguns trabalhos podemos encontrar modelos de localização multiobectivo, mas os procedimentos utilizados para os resolver parecem inadequados. Para lidar com este tipo de modelos podemos escolher uma das seguintes abordagens: - cálculo de todo o conunto de soluções eficientes (métodos geradores); - articulação a priori das preferências do decisor (de que se destacam os métodos que utilizam uma função utilidade); - articulação progressiva das preferências do decisor (métodos interactivos) na pesquisa de uma solução eficiente satisfatória. Neste tipo de problemas o número de soluções eficientes pode ser muito grande. Apresentar ao decisor todas as soluções eficientes e esperar que ele/ela sea capaz de escolher uma boa solução não é realista. Por outro lado, não acreditamos que o decisor tenha, em geral, alguma forma de definir uma função utilidade a priori para ser maximizada. Assim, pensamos que os métodos interactivos são a melhor escolha, particularmente se forem vistos como processos de aprendizagem (melhorando o conhecimento sobre o problema) e não como formas de pesquisa de uma solução óptima. Devem também ser proectados de tal forma que possam ser úteis em situações de decisão em grupo e em processos de negociação. Deve ainda ser possível fazer uma análise a posteriori na vizinhança da solução preferida por forma a escolher a melhor solução a ser implementada, como apresentado em Figueira (996) e Figueira et al. (996). Fazer uma análise a posteriori significa analisar, em detalhe, soluções qualitativamente indiferentes, em termos dos modelos multicritério previamente utilizados. Eventualmente, algumas destas soluções podem ser ligeiramente dominadas em termos do modelo matemático utilizado. Como os modelos não são a realidade mas apenas uma abstracção de parte dela, faz sentido permitir um estudo mais detalhado da região admissível na vizinhança da solução preferida. Várias abordagens multiobectivo para a localização de equipamentos indeseáveis consideram que o conunto de localizações potenciais foi previamente identificado, o que, de facto, corresponde a uma prática comum em situações reais. Estas abordagens multiobectivo, de programação matemática discreta, implicam duas grandes dificuldades: por um lado, a necessidade de lidar com várias dimensões, e por outro lado, o grande número de soluções eficientes para calcular e analisar. Como consequência é de grande importância o uso de métodos interactivos. Vamos discutir um modelo bicritério em programação linear inteira mista para localização de equipamentos com aspectos ambientais e um sistema de apoio à decisão baseado num procedimento interactivo utilizado para resolver o modelo. Além disso, a incerteza é uma questão chave em problemas de localização. Como é bem sabido, a abordagem multicritério é adequada, nestas circunstâncias, para identificar os critérios relacionados com a parte estável da estrutura de preferências do decisor, deixando a agregação dessas preferências, que, de certa forma, envolve incerteza, para o processo interactivo. Mais ainda, uma análise a posteriori detalhada de algumas soluções satisfatórias (escolhidas de acordo com o decisor usando uma abordagem multicritério) deve ser realizada em muitos casos. Os métodos discutidos neste trabalho também são comparados relativamente a esta questão específica. Discutimos diversas abordagens multicritério para localização tendo em consideração várias questões. Em particular, confrontam-se algumas abordagens conhecidas com uma de que somos co-autores. Finalmente, tentaremos estabelecer algumas direcções para a pesquisa futura nesta área. 088

4 . Algumas Abordagens à Localização de Serviços Indeseáveis Vamos restringir a nossa atenção a artigos onde são formulados problemas em Programação Matemática com Obectivos Múltiplos (modelos multiatributo, por exemplo, estão fora do âmbito deste trabalho). As abordagens multiatributo permitem um estudo mais detalhado de um pequeno número de soluções conhecidas explicitamente a priori. Contudo, são incapazes de tomar em consideração todas as soluções possíveis, definidas implicitamente através de um modelo combinatório. Assim, mais do que formas alternativas de análise, em nossa opinião, elas podem ser complementares. Desde 978 podem ser encontradas algumas abordagens onde mais do que um critério é considerado, mesmo que só seam propostos algoritmos para a optimização de uma soma ponderada dos diferentes obectivos. Noutros casos, apenas uma função obectivo é considerada e os outros critérios são incorporados no modelo como restrições. Foi durante a última década que a maior parte dos trabalhos nesta área apareceu. Podemos encontrar aplicações reais relativos à localização de hospitais, creches, ardins de infância, escolas primárias, lares para idosos, aterros sanitários, serviços que lidam com materiais poluentes e/ou perigosos, etc. Vamos mencionar brevemente algumas abordagens multiobectivo, relevantes do ponto de vista da interactividade, para a localização de serviços com implicações ambientais. Em Malczewski e Ogryczak (990), a localização de hospitais é formulada como um problema de optimização multiobectivo e a abordagem interactiva DINAS (Ogryczak et al., 989) baseada nos chamados métodos de ponto de referência (Wierzbicki, 98) é utilizada. Cinco funções obectivo são especificadas: - minimização do custo de deslocação agregado da população - F ; - maximização do nível de satisfação dos utilizadores - F ; - minimização dos custos de investimento - F 3 ; - minimização dos custos de operação - F 4 ; - minimização da poluição ambiental nos locais onde serão instalados os hospitais - F 5. Com base na análise da matriz de pay-off podemos observar: - um conflito intenso entre a acessibilidade (obectivos F e F ) por um lado, e os custos de investimento e operacionais (F 3 e F 4 ), assim como a qualidade ambiental (F 5 ); - um conflito menos intenso entre a maximização do nível de satisfação dos utilizadores e F 3, F 4 e F 5 ; - algum conflito entre a minimização dos custos de investimento e operacionais e a minimização da poluição ambiental. É apresentada uma aplicação real em Varsóvia, considerando 8 locais possíveis para a instalação de novos hospitais e assegurando que pelo menos 4 novos hospitais serão construídos, originando 63 padrões de localização alternativos, cada um dos quais gera muitos esquemas admissíveis de afectação dos pontos de procura aos hospitais construídos. Refere-se a possibilidade do sistema ser usado para apoiar um processo de decisão em grupo, tornando assim a decisão final menos subectiva. Também se observa que durante o processo interactivo os decisores foram gradualmente tomando consciência do conunto de soluções admissíveis e das consequências das decisões possíveis. E no final deste processo de aprendizagem alteraram as suas preferências e prioridades. Não é considerada qualquer tipo de análise a posteriori. Caruso et al. (993) apresentam um modelo para o planeamento de um Sistema de Gestão de Resíduos Sólidos Urbanos, considerando as últimas 3 fases de um esquema bem conhecido estruturado em 4 fases: recolha, transporte, processamento e depósito. Para a fase de processamento eles consideram as tecnologias de incineração, compostagem e reciclagem. Os aterros sanitários são considerados para a fase de depósito. Os obectivos são: - minimização do custo económico total (investimento em fábricas + despesas de gestão + custos de transporte) - F ; - minimização do desperdício de recursos (quantidade de lixo que é depositada em aterros sanitários) - F ; 089

5 - minimização do impacto ambiental - F 3. O exemplo fornecido considera apenas F e F. Técnicas heurísticas (incluídas numa aproximação de ponto de referência) são usadas para resolver o modelo e, como consequência, são obtidas soluções aproximadas de Pareto (segundo os autores). A variação do ponto de referência pode permitir obter diferentes soluções. Não é discutido qualquer tipo de análise a posteriori neste trabalho. Com base na análise dos resultados para um estudo de caso (em Itália, para a região da Lombardia) os autores referem que economicamente há uma vantagem significativa em trabalhar com equipamentos de tipo médio-grande. Como nota de ordem tecnológica, verificam a existência de uma correlação apertada entre a dimensão do equipamento e a escolha tecnológica: as incineradoras são melhores para equipamentos de tipo médio-grande, fábricas de reciclagem são melhores para equipamentos de tipo médio-pequeno e fábricas de transformação em adubo são preferidas para capacidades muito pequenas. Não existem contra-indicações para o uso de aterros sanitários em grandes dimensões: Obtém-se uma vantagem económica considerável sempre que eles são usados directamente (transporte directo das zonas de produção para os aterros); a desvantagem é o enorme crescimento do lixo dentro do sistema. Por isso a função obectivo F é crucial para este modelo. Fonseca e Captivo (996) e Captivo et al. (996) estudaram a localização de serviços semiobnóxios como um problema de localização discreta numa rede. Apresentam vários modelos bicritério considerando dois obectivos conflituosos entre si, a minimização do efeito obnóxio sobre as comunidades e a maximização da acessibilidade das comunidades ao serviço aberto mais próximo. Cada um destes obectivos pode ser considerado de duas formas diferentes, tentando optimizar o seu valor médio sobre todas as comunidades ou tentando optimizar o pior valor. O efeito obnóxio é função da distância euclidiana entre os pontos de procura e os serviços abertos, é inversamente proporcional à distância euclidiana e directamente proporcional à população em cada comunidade. Naqueles trabalhos a distância euclidiana é usada para calcular o efeito obnóxio e o custo do caminho mais curto para medir a acessibilidade. Ambos os modelos são resolvidos usando o procedimento interactivo de Ferreira et al. (994) baseado no algoritmo não-interactivo de Chalmet et al. (986) para Programação Linear Inteira Bicritério. Não é feita qualquer análise a posteriori, embora várias medidas de equidade seam calculadas para cada solução não-dominada apresentada ao decisor, por forma a aumentar a informação sobre o conunto de soluções possíveis. Finalmente, vamos introduzir, com mais detalhe, um modelo linear inteiro misto bicritério para a localização de serviços centrais salientando a utilidade do sistema de apoio à decisão desenvolvido para analisar as soluções alternativas definidas pelo modelo. Ferreira et al. (996) apresentam um modelo linear inteiro misto bicritério para a localização de serviços centrais onde os obectivos são: - minimização do custo total (F ); - minimização da poluição ambiental nos locais onde são instalados serviços (F ). Sea: I = {,,..., m} o conunto de pontos de procura J = {,,..., n} o conunto de potenciais locais para instalação dos serviços D i procura total da comunidade i I max s limite superior para a capacidade do serviço no local J h min número mínimo de serviços abertos h max número máximo de serviços abertos d i distância (custo do caminho mais curto) entre i I e J C montante total disponível para investimento em instalação de serviços E montante total disponível para gastos de funcionamento c custo unitário de investimento no local J e custo unitário de funcionamento no local J r recepção de poluentes no local J EQS standard de qualidade ambiental e considerem-se as variáveis de decisão: 090

6 y = se o serviço potencial é aberto 0 caso contrário x i quantidade transportada entre o serviço J e o ponto de procura i I s dimensão do serviço no local J O modelo de programação linear inteira mista bicritério é então: min F = d x + c s + e s () i I J J i i J J min F = r y () s. a: J i x = D i i i i I (3) x y D i I, J (4) i I J J x = s c e i s s C E J (5) r y EQS J (8) y min h (9) J J y max h (6) (7) (0) max s s J () {,} y 0, s 0 J () xi 0 i I, J (3) Foi desenvolvido um sistema de apoio à decisão (SAD), baseado no procedimento interactivo apresentado em Ferreira et al. (994), para estudar o modelo. Como em qualquer método interactivo considera-se uma fase de cálculo, uma fase de diálogo e um critério de paragem (ver Figura ). Fase de Cálculo Fase de Diálogo Critério de Paragem Não Fim Figura Diagrama geral de um procedimento interactivo Para a fase de cálculo, se queremos realmente um procedimento interactivo, devem ser escolhidos algoritmos eficientes uma vez que o tempo é muito importante. Na fase de diálogo é necessário um cuidado especial na informação solicitada ao decisor. A interface computacional com o utilizador deve ser atractiva e fácil de utilizar. Em modelos bicritério é possível fazer muito nesta área. Como critério de paragem, contrariamente ao uso de um certo número de interacções, preferimos um procedimento aberto, onde só paramos quando o decisor considera ter conhecimento suficiente do Sim 09

7 problema para ser capaz de escolher uma das soluções geradas. Não existem decisões irrevogáveis. É sempre possível voltar atrás e analisar alguma região que á tinha sido abandonada. Neste SAD é particularmente relevante uma quarta fase do processo interactivo, i.e., uma fase de sensibilização, onde as potencialidades e desvantagens do procedimento seam apresentadas e descobertas com o(s) decisor(es). Esta fase é crucial, especialmente porque o SAD propõe um ambiente de pesquisa interactiva livre. Enquanto que os métodos apresentados anteriormente se caracterizam pela definição de uma nova linha de pesquisa obtida através do diálogo com o decisor com base na informação da solução eficiente actual, neste caso tentámos utilizar a representação gráfica do espaço bi-obectivo para facilitar a tarefa do decisor relativamente à definição de zonas de pesquisa interessantes, de forma completamente livre, e tendo em linha de conta, também de forma visual, todas as soluções eficientes previamente calculadas. Claro que o processo de cálculo não é novo, no entanto o SAD propõe um ambiente novo, efectivo e interactivo. Por exemplo, Caruso et al. (993) usaram heurísticas para obter soluções aproximadamente eficientes. Utilizando este SAD, é possível calcular exactamente todas as soluções eficientes interessantes das mesmas instâncias, evitando a pesquisa exaustiva, de forma a manter uma eficiência computacional razoável. Além disso, este tipo de ambiente de comunicação, de pesquisa aberta (no sentido de Feyerabend (993)) é particularmente útil para combinar, intersectar ou adaptar os pontos de vista de vários decisores. Por outro lado, embora a versão original deste SAD não inclua análise a posteriori, é particularmente adequado a integrar este tipo de possibilidade. Numa tese de mestrado (Dias (999)), orientada pelos autores deste trabalho, foi desenvolvido um processo de cálculo para obter soluções indiferentes (não necessariamente eficientes) de acordo com as soluções eficientes satisfatórias previamente calculadas. São estabelecidos limites para definir a amplitude de variação dos valores das funções obectivo, onde as soluções são consideradas indiferentes relativamente a uma solução eficiente satisfatória seleccionada para uma análise a posteriori, e adaptou-se um algoritmo de pesquisa em árvore para obter as soluções que verificam as condições estabelecidas. O novo procedimento é eficiente e pode ser incluído neste SAD. Passo Início Passo Cálculo dos mínimos lexicográficos e do ponto ideal O ponto ideal é admissível? Não Sim FIM Não há conflicto entre os critérios Fase de Decisão O Decisor considera á ter conhecimento "suficiente" sobre o conunto de soluções nãodominadas? Não Sim FIM Passo 3 O Decisor indica uma sub-região para continuar a pesquisa de soluções nãodominadas: - Impondo limites superiores nos valores das funções obectivo - Escolhendo um par de soluções não-dominadas candidatas a serem adacentes (através dos seus índices) Passo 4 Passo 5 Determinação de soluções não-dominadas na região indicada Figura Diagram geral do procedimento interactivo de Ferreira et al. (996) 09

8 O ambiente interactivo (ver Figura ) desenvolvido para este tipo de abordagem bicritério, tem várias características, nomeadamente: i) não existem decisões irrevogáveis durante o processo; ii) o método é pouco exigente relativamente à informação requerida do utilizador em cada interacção, i.e., o utilizador pode indicar uma sub-região para continuar a pesquisa de soluções não-dominadas de duas formas diferentes muito simples: - escolhendo um par de soluções não-dominadas candidatas a serem adacentes (indicando apenas o índice dessas soluções); - indicando limites superiores para os valores F e F ; iii) o método permite ao utilizador encontrar qualquer solução não-dominada do problema nomeadamente: - as suportadas (localizadas na fronteira do envolvente convexo); - as não-suportadas (nos gaps de dualidade entre pontos que definem o envolvente convexo). iv) pelo lado operacional, um problema programação linear inteira mista (cua estrutura permanece quase inalterada, com as correspondentes vantagens computacionais) tem que ser resolvido em cada passo. Relativamente ao ponto iii) anterior, devemos notar que em modelos de Programação Linear Inteira Mista Bicritério (PLIMB), para além das soluções não-dominadas localizadas na fronteira do envolvente convexo no espaço dos obectivos (soluções não-dominadas suportadas) outras soluções não-dominadas podem existir, chamadas não-suportadas, no interior dos gaps de dualidade, dominadas por combinações convexas das suportadas. Em problemas discretos, a optimização de somas ponderadas das diferentes funções obectivo só gera parte do conunto das soluções não-dominadas. Para obter todas as soluções não-dominadas de um min λ min F F + λf modelo PLIMB, min F, é necessário resolver o problema paramétrico s. a : F α com F α s. a : x X x X λ + λ =, λ > 0, λ > 0 para diferentes valores de (α, α ) (Ross e Soland (980)). Para ilustrar esta questão, consideremos o seguinte exemplo de um caso bicritério. Suponhamos que se trata de um problema bicritério com as duas funções obectivo a minimizar, sendo as soluções nãodominadas representadas na Figura 3. F A B D C F E G Figura 3 Soluções não-dominadas, no espaço dos obectivos, de um problema PLIB As soluções C e E são soluções não-dominadas não suportadas uma vez que estão no interior de gaps de dualidade. Assim, é impossível obtê-las utilizando abordagens paramétricas em que se resolve um problema monocritério. Elas só podem ser obtidas considerando um problema paramétrico monocritério com restrições adicionais. Nestas circunstâncias, estamos a falar de uma área de pesquisa difícil relativamente a resultados teóricos e desenvolvimento de algoritmos. Do ponto de vista da aplicabilidade dos resultados, o estado da arte é ainda muito pobre na maioria das situações e, sem dúvida alguma, no caso geral. F 093

9 Claro que algumas soluções não-dominadas não suportadas podem ser as preferidas para o(s) decisor(es). Como tal, este subconunto de soluções não-dominadas deve ser considerado. 3. Exemplo Nesta secção ilustramos esta abordagem e o sistema de apoio à decisão apresentado em Ferreira et al. (996) com uma instância gerada aleatoriamente com 0 comunidades e 8 potenciais locais para instalar os serviços. A matriz das distâncias e todos os outros dados necessários são apresentados na Figura 4 e a rede considerada é a da Figura 5. m = 0; n = 8; C = 0000; E = 0000; D = 4; D = 9; D3 = 0; D4 = ; D5 = 9; D6 = 7; D7 = ; D8 = ; D9 = 0; D0 = 7; min max h = ; h = 5; EQS = 50 t / Km / ano; c = ; c = 67; c3 = 59; c4 = 59; d i = c5 = 88; c6 = 8; c7 = 88; c8 = 5; e = 74; e = 99; e3 = 56; e4 = 88; e5 = 54; e6 = 55; e7 = 79; e8 = 9; r = 50; r = 00; r3 = 00; r4 = 80; r = 00; r6 = 50; r7 = r8 = 50; max max max s = ; s = 5; s3 = 9; s4 = 3; max max max s = 8; s = 3; s = 34; s = 7; 5 max max 5 Figura 4 Matriz das distâncias e restantes dados considerados no exemplo Figura 5 Rede considerada no exemplo Com o SAD o utilizador pode facilmente introduzir todos os dados necessários usando as anelas correspondentes a cada página do sistema. A página CONSTANTS, onde se introduzem os parâmetros gerais é apresentada na Figura 6. A Figura 7 mostra a página LOCATION DATA, que permite a introdução da informação relativa a cada potencial local para instalação de serviços e cada ponto de procura. Para completar a definição da instância, é necessária a matriz de distâncias. Se esta informação estiver disponível, a página DISTANCES deve ser usada para introduzir a matriz numa grelha (Figura 8); contudo, se a única informação disponível forem as coordenadas de cada um dos pontos (pontos de procura e potenciais locais para instalação de serviços), então o utilizador deve usar a página COORDINATES (Figura 9), após o que as distâncias serão calculadas automaticamente. 094

10 Para editar qualquer informação previamente introduzida, basta seleccionar a página correspondente do sistema e fazer as alterações pretendidas. Uma vez terminada a introdução dos dados é possível começar a explorar o domínio das soluções admissíveis. Neste exemplo existe um conflito entre os dois obectivos, uma vez que o ponto ideal (que corresponde à solução que optimizaria os dois obectivos) não é admissível. Os óptimos lexicográficos () para cada uma das funções obectivo são F = (353, 380) correspondente à solução A (Figura 0) () onde a poluição ambiental atinge o seu mínimo e F = (9083, 780) correspondente à solução B (Figura ) com o valor mínimo para o custo total. Figura 6 Página CONSTANTS Figura 7 Página LOCATION DATA Figura 8 Página DISTANCES Figura 9 Página COORDINATES No espaço dos obectivos (Figura ) também podemos ver a solução ideal e os mínimos lexicográficos das funções obectivo. A afectação dos prontos de procura aos serviços abertos é ilustrada nas Figuras 0 e, e corresponde aos valores não nulos das variáveis x i. 095

11 Figura 0 Solução A Figura Solução B Vamos supor que na fase de diálogo o decisor indica uma sub-região para pesquisa de soluções nãodominadas, escolhendo limites superiores para o valor das funções obectivo F 900 e F 779. min λ F + λf O problema a resolver é então s. a : F 900, onde x X é o conunto original de restrições. A F 779 x X (3) solução óptima é a solução C, apresentada na Figura, com F = F ( C) = (955, 630). A escolha dos pesos a utilizar não é muito importante. Podemos utilizar qualquer conunto de pesos desde que as condições usuais λ + λ = e λ, λ > 0 seam verificadas. Claro que também podemos () escolher os pesos por forma a tentar obter uma solução não-dominada mais próxima de F ou de () F. Agora é possível reduzir a região do espaço dos obectivos onde ainda podem existir soluções não-dominadas, como se mostra na Figura. Vamos supor que na fase de diálogo o decisor decide indicar uma sub-região para pesquisa de soluções (3) () não-dominadas, escolhendo o par (C, A) ou ( F, F ) de soluções não-dominadas. Isto corresponde a escolher a área rectangular entre F ( 3) = C e ( ) F = A no espaço dos obectivos. O problema a resolver é min λ F + λ F ; 6 s. a : F (4), e a solução óptima, D, tem F = (9835, 480). F 69 x X Novamente é possível reduzir a região do espaço dos obectivos onde ainda vale a pena pesquisar soluções não-dominadas. A informação disponível no gráfico é muito útil para o decisor. Conhecendo as regiões á exploradas, o decisor procura as soluções não-dominadas de uma forma selectiva, evitando regiões onde elas não existem, e melhorando o seu conhecimento sobre o conunto de soluções nãodominadas de uma forma progressiva. Este tipo de ferramentas gráficas é apropriado para procurar compromissos em situações onde a decisão em grupo deve ter lugar, eventualmente na presença de relações hierárquicas, facilitando a negociação entre as diferentes partes. O processo continuará da mesma forma, até que o decisor considere ter conhecimento suficiente sobre o conunto das soluções não-dominadas. Após algumas interacções, as regiões do espaço dos obectivos á exploradas são apresentadas na Figura 3. Figura Solução alternativa C Figura 3 Espaço dos obectivos após algumas interacções Ainda existem algumas áreas não exploradas entre soluções não-dominadas á obtidas, nomeadamente, entre C e E, entre D e F e entre F e A. Existem também duas áreas não exploradas muito estreitas entre B e C e também entre D e E, mas vamos admitir que o decisor considera á ter conhecimento suficiente sobre o conunto das soluções não-dominadas e pára o processo. A versão actual deste sistema de apoio à decisão não inclui qualquer análise a posteriori, mas ela pode ser facilmente incorporada. Se o decisor pretender conhecer as soluções admissíveis (caso existam), 096

12 dominadas ou não, próximas (em termos do valor das funções obectivo) da solução não-dominada * * preferida F * = ( F, F ), o problema a resolver é novamente um problema paramétrico com restrições impondo limites superiores e inferiores nos valores das duas funções obectivo. Assim, em vez de duas F α + δ F α δ restrições adicionais, são necessárias quatro restrições e. F α + δ F α δ 4. Conclusões Deve ser salientado que mesmo para problemas bicritério (qualitativamente mais simples que o caso geral multicritério), quer os métodos geradores quer as abordagens interactivas são computacionalmente muito mais exigentes que os métodos para problemas mono-critério. O modelo bicritério é um caso particular importante em Optimização Multicritério e, por esta razão, foi considerado na literatura, sea do ponto de vista das aplicações práticas ou dos estudos teóricos (Clímaco et al., 997). Claro que este caso pode ser tratado pelos procedimentos gerais para o caso n-dimensional; no entanto, a estrutura especial do problema bicritério, particularmente a vantagem da forma fácil de obter uma representação gráfica da fronteira eficiente (Zeleny, 974), cedo deram lugar à separação desta classe de problemas (com duas funções obectivo) das restantes. Algumas tentativas para desenhar procedimentos interactivos para o mesmo tipo de problemas, mas considerando mais do que dois critérios, são apresentadas em Rodrigues et al. (997). Contudo não é óbvio que as ferramentas utilizadas permitam um apoio à decisão igualmente efectivo. Sempre que não se revela essencial a consideração explícita de mais do que duas funções obectivo, a abordagem interactiva de Ferreira et al. (994, 996), dedicada a este tipo de problemas PLIMB, apresenta muitas vantagens, quando comparada com outras abordagens. A saber: i) Qualquer solução não-dominada, incluindo as não-suportadas, pode ser determinada; ii) É potencialmente útil para modelos bicritério, onde pode existir um grande número de soluções, como sucede no caso apresentado atrás. Não existem decisões irrevogáveis; a informação requerida do decisor em cada interacção é simples e o processo pára quando o decisor considera ter informação suficiente sobre o conunto de soluções não-dominadas; iii) Não é mau do ponto de vista computacional. Em cada interacção um problema de programação linear inteira mista é resolvido, tendo a sua estrutura original sido alterada, apenas pela inclusão de duas restrições adicionais; iv) Em cada interacção obtém-se uma nova solução não-dominada (permitindo a eliminação de alguma sub-área de pesquisa para as interacções futuras) ou toda a área seleccionada para pesquisa na interacção corrente é eliminada. Esta abordagem interactiva foi utilizada em vários modelos discretos de programação matemática, nomeadamente em problemas de cobertura (Ferreira et al. (994, 997)), problemas de localizaçãoafectação (Ferreira et al. (997)), e problemas de localização-afectação-distribuição (Ferreira (997)). Programas informáticos disponibilizando algoritmos gerais foram utilizados para resolver os problemas mono-critério em cada interacção. No entanto, em muitos casos, existem algoritmos específicos desenvolvidos para cada problema, tirando partido da sua estrutura especial. Claro que, em termos de eficiência computacional, estes algoritmos funcionam muito melhor que algoritmos gerais. Contudo colocase a seguinte questão: será que são aplicáveis em cada interacção da abordagem aqui apresentada? Tentámos identificar os casos em que a introdução das duas restrições adicionais, de tipo geral, não destrói completamente a utilidade dos algoritmos especializados. Neste momento á identificámos alguns casos onde o uso de algoritmos especializados continua claramente vantaoso, e alguns casos onde parece possível desenvolver adaptações dos algoritmos especializados. Claramente, na primeira situação está, por exemplo, qualquer problema onde a programação dinâmica sea uma boa aposta. Também á conseguimos verificar que o problema de localização simples está na segunda situação. De facto, em 999, foi terminada uma tese de mestrado (Dias (999)) realizada sob nossa orientação, onde é realizada com sucesso uma adaptação de um algoritmo muito bem conhecido pela sua eficiência para o problema de localização simples, o DUALOC de Erlenkotter (978). Este trabalho foi entretanto publicado em Dias et al. (003). 097

13 Referências Captivo, M.E., M.C. Fonseca, C. Ferreira (996). Software for location of semiobnoxious facilities with capacity constraints, em resumos do IFORS 96, Vancouver, Canada. Caruso C., A. Colorni, M. Paruccini (993). The regional urban solid waste management system: A modelling approach. European Journal of Operational Research 70, Chalmet L.G., L. Lemonidis, D.J. Elzinga (986). An algorithm for the bi-criterion integer programming problem. European Journal of Operational Research 5, Clímaco, J., M.E. Captivo, C. Ferreira (997). Modelos discretos bicritério de programação matemática: nota sobre a aplicabilidade de uma aproximação interactiva. working paper 8/97, Centro de Investigação Operacional, Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa. Current, J., H. Min, D. Schilling (990). Multiobective analysis of facility location decisions. European Journal of Operational Research 49, Dias, J. (999). Localização Simples Multicritério Desenvolvimento de um algoritmo em ambiente interactivo. Tese de Mestrado em Investigação Operacional, Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa. Dias, J., M.E. Captivo, J. Clímaco (003). Na interactive procedure dedicated to a bicriteria plant location model. Computers & Operational Research 30, Erkut, E, S. Neuman (989). Analytical models for locating undesirable facilities. European Journal of Operational Research 40, Erlenkotter, D. (978). A dual based procedure for uncapacitated facility location. Operations Research 6, Ferreira C., J. Clímaco, J. Paixão (994). The location-covering problem: a bicriterion interactive approach. Investigación Operativa 4, Ferreira, C., B.S. Santos, M.E. Captivo, J. Clímaco, C.C. Silva (996). Multiobective location of unwelcome or central facilities involving environmental aspects - a prototype of a decision support system. JORBEL 36, Ferreira, C., C.C. Silva, B.S. Santos, J. Clímaco, M.E. Captivo, J.P. Paixão (997). Bicriteria covering and related problems - a prototype of a decision support system. Proceedings of the 5th Conference of CEMAPRE - Aplicações da Matemática à Economia e Gestão, Lisboa, Feyerabend, P. (993). Against Method, Verso, London. Figueira, J. (996). L Approche interactive dans le cas des problémes de flot multicritéres. Thèse de Doctorat, Université Paris-Dauphine, France. Figueira, J., H. M Silti, P. Tolla (996). Application d un algorithme de sous-gradient pour explorer le voisinage d un point satisfaisant dans le cadre des problèmes de flot multicritères. Document du LAMSADE nº 94, Université Paris-Dauphine, France. Fonseca, M.C., M.E. Captivo (996). Location of semiobnoxious facilities with capacity constraints. Proceedings of the International Symposium on Locational Decisions - ISOLDE VII, Studies in Locational Analysis 9, 5-5. Malczewski J., W. Ogryczak (990). An interactive approach to the central facility location problem: locating pediatric hospitals in Warsaw. Geographical Analysis, Ogryczak, W., K. Studzinski, K. Zorychta (989). DINAS Dynamic interactive network analysis system, in A. Lewandowski, A.P. Wierzbicki, (eds), Aspiration based decision support systems, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer-Verlag, Berlin 33, Rodrigues, J.C., J. Current, J. Clímaco, S. Ratick (997). Interactive spatial decision support system for multiobective hazmat location-routing problems. TRB record 60, 0-09, 997 Ross, G., R. Soland (980). A multicriteria approach to the location of public facilities. European Journal of Operational Research 4, Wierzbicki, A.P. (98). A Mathematical basis for satisficing decision making. Mathematical Modelling 3, Zeleny, M. (974). Linear multiobective programming. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer-Verlag,