PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica

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1 PONTFÍCA UNVERSDADE CATÓLCA DE MNAS GERAS Programa de Pós-graduação em Egeharia Mecâica ANÁLSE DA TÉCNCA MORÉ DE SOMBRA COM DESLOCAMENTO DE FASE USANDO GENERALZAÇÃO DO ALGORTMO DE CARRÉ Pedro Américo Almeida Magalhães Júior Belo Horizote 9

2 Pedro Américo Almeida Magalhães Júior ANÁLSE DA TÉCNCA MORÉ DE SOMBRA COM DESLOCAMENTO DE FASE USANDO GENERALZAÇÃO DO ALGORTMO DE CARRÉ Tese apresetada ao Programa de Pós- Graduação em Egeharia Mecâica da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais como requisito parcial para obteção do título de Doutor em Egeharia Mecâica. Orietador: Perri Smith Neto Co-orietador: Clóvis Sperb de Barcellos Belo Horizote 9

3 FCHA CATALOGRÁFCA Elaborada pela Biblioteca da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais M88a Magalhães Júior Pedro Américo Almeida Aálise da técica Moiré de sombra com deslocameto de fase usado geeralização do algoritmo de Carré / Pedro Américo Almeida Magalhães Júior. Belo Horizote 9. 57f. : il. Orietador: Perri Smith Neto Co-Orietador: Clóvis Sperb de Barcellos Tese Doutorado - Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. Programa de Pós-Graduação em Egeharia Mecâica.. Método de Moiré.. Topografia de Moiré.. Física ótica.. Medição.. Smith Neto Perri.. Barcellos Clóvis Sperb de.. Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. Programa de Pós-Graduação em Egeharia Mecâica. V. Título. CDU:.7

4 Aos meus pais Pedro Américo e Maria das Graças pelo dedicado icetivo; a miha esposa Marta pelo amor e compreesão; aos meus filhos Aa Laura Pedro Herique e Gabriel pelo tempo furtado de covívio; e aos meus irmãos Afoso Marcos Rodrigo Rafael e Cristia pelo apoio e cariho.

5 AGRADECMENTOS A meu orietador Professor Doutor Perri Smith Neto pela miuciosa orietação que torou possível a realização deste trabalho. Ao meu co-orietador Professor Doutor Clóvis Sperb de Barcellos pela importate ajuda a costrução da tese. Aos professores Doutor Deílso Laudares Rodrigues Doutor Erai Sales Palma e Doutor Jáes Ladre Júior que além de cohecimeto e dedicação ao programa ofereceram irrestrito icetivo além de seguras e preciosas orietações técicas e cietíficas. Aos colegas e amigos pelos icetivos demostrados. E a todos que de alguma forma cotribuíram para a realização desta pesquisa cietífica e também a aqueles que de alguma maeira puderem se beeficiar desta modesta cotribuição.

6 RESUMO A aálise de formas tridimesioais é de grade importâcia para uma vasta variedade de áreas. Diversos métodos vêm sedo empregados para a determiação de perfis. As técicas utilizadas diferem de várias formas e apresetam características e marges de erro variadas. Topografia de superfície pode ser coveietemete ivestigada pela clássica Técica Moiré de Sombra. Moiré é uma técica sem cotato e ão destrutiva com um rápido processo de digitalização. Os feômeos de Frajas de Moiré são o resultado da projeção de frajas predomiates em certo objeto. Possui medição precisa comparável com a de outros sistemas e também um baio custo. O presete trabalho oferece ovos algoritmos para a avaliação de fase em medidas óticas. Vários algoritmos usado deslocameto de fase com um arbitrário mas costate passo de fase etre os quadros de itesidade capturados são propostos. Os algoritmos são similarmete derivados do etão chamado Algoritmo de Carré. A ideia é desevolver uma geeralização do Algoritmo de Carré que ão fique restrita a quatro images. Erros e ruídos aleatórios as images ão podem ser elimiados mas as icertezas devido a estes efeitos podem ser reduzidas com o aumeto do úmero de observações. Uma aálise eperimetal dos erros da técica foi realizada assim como uma aálise detalhada de erros da medição. Palavras-chave: Deslocameto de Fase - Moiré de Sombra - Algoritmo de Carré Perfilometria Métodos Eperimetais.

7 ABSTRACT The aalsis of three-dimesioal shapes is of great importace for a vast variet of areas. Several methods have bee used for the determiatio of profiles. The used techiques differ i several was ad the preset characteristics ad varied margis of error. Surface topograph ca be coveietl ivestigated b Classical Shadow Moire techique. Moire is a o cotact ad o destructive techique with a fast digitizatio process. The pheomea of Moire Friges are the result of the projectio of the predomiat friges o a certai object. This low cost techique is accurate as compared to others. The preseted work proposes ew algorithms for phase evaluatio i optics measuremets. Several phase-shiftig algorithms with a arbitrar but costat phase-shift betwee captured itesit frames are proposed. The algorithms are similarl derived as so called Carre algorithm. The idea is to develop a geeralizatio of Carre that is ot restricted to four images. Errors ad radom oise i the images caot be elimiated but the ucertait due to its effects ca be reduced b icreasig the umber of observatios. A eperimetal aalsis of the erros associated with the techique was made as well as a detailed aalsis of measuremet errors. Ke-words: Phase Shiftig - Shadow Moire - Carre Algorithm Profilometr - Eperimetal Methods.

8 LSTA DE LUSTRAÇÕES E FGURAS FGURA Classificação das técicas para aquisição da superfície de cotoro. 9 FGURA Classificação das técicas óticas para aquisição da superfície de cotoro.. 9 FGURA Frajas de Moiré produzidas pela sobreposição de dois retículos. 58 FGURA FGURA 5 FGURA Formação das frajas de Moiré pela sobreposição de retículos costituídos de lihas paralelas.. 59 Formação das frajas de Moiré pela trasmissão da luz através de dois retículos costituídos de lihas paralelas superpostos. Desempacotameto de fases. a Mapa de Fases empacotadas de um perfil; b Fases desempacotadas o mesmo perfil. FGURA 7 Formação das frajas o Moiré de Sombra FGURA 8 FGURA 9 FGURA Sistema eperimetal para Moiré de Sombra com ilumiação. a Com observador localizado a um âgulo em relação à posição ormal ao plao que cotém o retículo de referêcia; b Com observador localizado perpedicularmete ao plao que cotém o retículo de referêcia. Telas Etrada e Saída do programa em MatLab que implemeta Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase.. 7 Tela do programa comercial Risig-Su Moiré para a mesma etrada da Figura 9 do programa desevolvido em MatLab. 8 FGURA Gráfico da tagete de um arco em radiaos 99 FGURA FGURA Algoritmo para tese umérico-matemático das ovas equações do cálculo de fase. A fução Aleatorio retora um úmero real radômico aleatório etre zero e um diferete a cada chamada da fução.. Tempo gasto a eecução do Método Brach-ad-Boud para se obter uma equação do cálculo de fase usado o Modelo Matemático.9 com microcomputador Petium CPU tel Core Quad Q.GHz com GB Memória e escutado o programa em Delphi/Pascal que implemeta o método de Otimização.. FGURA Simetrias o umerador e o deomiador dos coeficietes 9 FGURA 5 FGURA FGURA 7 FGURA 8 FGURA 9 FGURA Algoritmo que completa as matrizes de coeficietes do umerador e do deomiador usado simetrias e dados do primeiro um quarto da matriz de coeficietes do umerador e a primeira metade do vetor de coeficietes do deomiador.. Algoritmo para zerar os coeficietes do umerador e do deomiador das equações do cálculo de fase 8 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é par; N é divisível por e N é também divisível por 8. Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o segudo caso ode N é par; N é divisível por mas N ão é divisível por 8.. Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o terceiro caso N é par N é divisível por e N é divisível por 8. Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o quarto caso ode N é par N é divisível por mas N ão é divisível por

9 FGURA FGURA FGURA FGURA FGURA 5 8. Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o quito caso ode N é ímpar; N- é divisível por e N- é divisível por Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o seto caso ode N é ímpar; N- é divisível por mas N- ão é divisível por 8. Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o sétimo caso ode N é ímpar; N é divisível por e N é divisível por 8. Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o oitavo caso ode N é ímpar; N é divisível por mas N ão é divisível por 8 7 Algoritmo completo para geração de equações de cálculo com úmero de images N maior que 5. 8 FGURA Motagem da Técica Moiré de Sombra para obteção das medidas de Z que é a distâcia etre o objeto e o retículo em cada piel da fotografia. 5 FGURA 7 FGURA 8 Um cojuto com images de Frajas de Moiré de um megapiel geradas o computador. [A-P]. Nas images usou-se uma resolução gráfica de um megapiel com 8 piéis a horizotal e 9 piéis a vertical. 5 À direita imagem gerada pelo computador do seio de um maequim e à esquerda fotografia digital tirada dos seios do mesmo maequim.. FGURA 9 Eemplo de ruídos e imperfeições de fotografias de Moiré. 7 FGURA Equipameto para deslocameto de fase.. 7 FGURA FGURA FGURA Fluograma do processameto da Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase.. 7 Um cojuto com fotografias de Frajas de Moiré de um megapiel. [A- P]. Fase empacotado[q]. Fotografia do cilidro real de braco [R]. Resultado em -D [S]. Semi-cilidro de um motor com diâmetro de cm e comprimeto de cm.. 85 Um cojuto com fotografias de Frajas de Moiré de um megapiel. [A- P]. Fase empacotado[q]. Globo usado como objeto a ser medido [R]. Resultado em -D [S]. Metade de uma esfera com diâmetro de cm. 89 FGURA Motagem para calibração e blocos padrões utilizados.. 9 FGURA 5 FGURA FGURA 7 FGURA 8 Um cojuto com fotografias de Frajas de Moiré de três megapiéis. [A- P]. Fase empacotado[q]. Resultado em -D [R]. Bloco Padrão icliado com altura de cm.. 9 Em [A] maequim pitado de braco fotografado. Em [B] Frajas de Moiré os seios do maequim. Em [C] malha usada para fazer as medidas físicas com paquímetro das profudidades dos seios. Em [D-G] fotografias de Frajas de Moiré defasadas dos seios. Em [H] comparação etre a fotografia e as medidas. Em [] recostrução em -D das medidas 98 Em [A] motagem para fazer as fotografias das costa do maequim. Em [B] costas do maequim a ser fotografado. Em [C] malha usada para fazer as medidas físicas com paquímetro das profudidades das costas. Em [D-E] duas fotografias de Frajas de Moiré defasadas das costas. Em [H] fase empacotada Wrapped. Em [G-] recostrução em -D das medidas.. certeza padrão combiada uφ* em radiaos em fução do valor de fase

10 FGURA 9 FGURA FGURA FGURA FGURA FGURA FGURA 5 φ também em radiaos para as ovas equações cálculo de fases desevolvidas a tese. Nota-se o maior valor da icerteza em equação com úmero de images pequeo.. certeza padrão combiada uφ* em radiaos em fução do valor de fase φ também em radiaos para as ovas equações cálculo de fases desevolvidas a tese. Nota-se claramete o meor valor da icerteza em equação com úmero de images grade. Assim para N e N5 têm-se valores altos de uφ* e para N5 e N têm-se valores mais baios 7 Gráfico em três dimesões de todas as equações do cálculo de fase desevolvidos da icerteza padrão combiada uφ* em radiaos em fução do valor de fase φ em radiaos 8 certeza padrão combiada uφ* em radiaos em fução do valor deslocameto de fase δ também em radiaos para as ovas equações cálculo de fases desevolvidas a tese. Nota-se o maior valor da icerteza em equação com úmero de images pequeo. Observa-se que para δ etre 85º e 5º o valor da icerteza em todas as equações é meor.. 9 certeza padrão combiada uφ* em radiaos em fução do valor deslocameto de fase δ também em radiaos para as ovas equações cálculo de fases desevolvidas a tese. Nota-se claramete o meor valor da icerteza em equação com úmero de images grade. Assim para N e N5 têm-se valores altos de uφ* e para N5 e N têm-se valores mais baios.. Gráfico em três dimesões de todas as equações do cálculo de fase desevolvidos da icerteza padrão combiada uφ* em radiaos em fução do valor deslocameto de fase δ em radiaos.. Gráfico da média da icerteza padrão de todas as equações do cálculo de fase testadas. Destaca-se o meor valor da icerteza em equação com úmero de images grade.. Uma implemetação em Liguagem Pascal para o cálculo dos coeficietes do umerador e do deomiador para N a faia de até 9..5 realizado o teste umérico matemático. As equações desigadas com a foram geradas por este programa 57

11 LSTA DE TABELAS TABELA TABELA TABELA TABELA TABELA 5 TABELA Epressões para o cálculo de fase com 5 images deduzidas por NOVAK. 7 Epressões proporcioais a seo e cosseo da fase φ para cada equação proposta por NOVAK 7 Matriz de coeficietes do umerador e do deomiador para N Carré e para N5 Novak. 8 Equações ecotradas resolvedo o Modelo Matemático.9 usado o Método Brach-ad-Boud para N úmero de images igual a.. 9 Equações ecotradas resolvedo o Modelo Matemático.9 usado o Método Brach-ad-Boud para N úmero de images igual a Equações ecotradas resolvedo o Modelo Matemático.9 usado o Método Brach-ad-Boud para N úmero de images igual a TABELA 7 Produto das mages 5 e.. TABELA 8 Equações com úmero de imagem N igual á e 5 7 TABELA 9 Equações com úmero de imagem N igual á 789 e 75 TABELA Equações com úmero de imagem N igual á 5 e. 7 TABELA Estrutura dos dados de uma amostra pareada.. 8 TABELA Erro médio em µm dos cojutos de images aplicadas às equações selecioadas. 8 TABELA Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas. 87 TABELA TABELA 5 TABELA TABELA 7 TABELA 8 TABELA 9 TABELA TABELA TABELA TABELA TABELA Erro médio em µm dos 9 cojutos de images aplicadas às equações selecioadas. 9 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas a esfera. 9 Erro médio em µm dos 5 cojutos de images aplicadas às equações selecioadas. 95 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas o plao icliado 9 Erro médio em µm dos cojutos de images aplicadas às equações selecioadas 99 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas aos seios.. Erro médio em µm dos cojutos de images aplicadas às equações selecioadas para as costas de um maequim Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às costas Erro médio em µm dos 5 cojutos de images aplicadas às equações selecioadas para as curvas geradas o computador. Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às curvas geradas o computador 7 Erro médio em µm dos 5 cojutos de images aplicadas às equações selecioadas para images geradas o computador com ruídos aleatórios 9

12 TABELA 5 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às images geradas o computador com ruído aleatório. TABELA Equações ecotradas para N úmero de images igual a 9 9 TABELA 7 Equações ecotradas para N úmero de images igual a. 5 TABELA 8 Equações ecotradas para N úmero de images igual a. 5 TABELA 9 Equações ecotradas para N úmero de images igual a. 5 TABELA Equações ecotradas para N úmero de images igual a.. 5 TABELA Equações ecotradas para N úmero de images igual a. 5 TABELA Equações ecotradas para N úmero de images igual a TABELA Equações ecotradas para N úmero de images igual a.. 5

13 LSTA DE SGLAS E TERMOS Média Aritmética da Amostra ξ ε precisão umérica dimesão ou ordem do erro umérico adimesioal δ Deslocameto ou mudaça de fase rad φ Mapa de fase Distribuição de fase φ [ π/] rad µ Média Aritmética da População φ* φ φ Mapa de fase Distribuição de fase φ* [-π π] rad ABNT Associação Brasileira de Normas Técicas é o órgão resposável pela ormalização técica o país forecedo a base ecessária ao desevolvimeto tecológico brasileiro ANS America Natioal Stadards stitute "stituto Nacioal Americao de Padroização" ASA America Stadards Associatio americao Associação de Padroização Americaa BPM Bureau iteratioal dês poids et mesures teratioal Bureau of Weights ad Measures bit Uidade de medida da iformação Biar digt bte Cojuto de 8 bits BiarY TErm Calibração Aferição Cojuto de operações que estabelece sob codições especificadas a relação etre os valores idicados por um istrumeto de medição ou sistema de medição ou valores represetados por uma medida materializada ou um material de referêcia e os valores correspodetes das gradezas estabelecidos por padrões. CCD Charge Coupled Device Dispositivo de Carga Acoplada de câmeras digitais d ½ r coeficiete da primeira metade do vetor do deomiador de ordem r Dem vetor de coeficietes do deomiador das equações do cálculo de fase Dem ½ primeira metade do vetor de coeficietes do deomiador da equação do cálculo de fase Deslocameto de Fase Mudaça de Fase Phase Shiftig DV div quociete da divisão iteira [ DVrs r/s ] resultado sempre meor ou igual à divisão eata em real Quociete_teirors dpi dots per ich potos por polegada d r coeficiete do vetor do deomiador de ordem r Erro Aleatório Resultado de uma medição meos a média que resultaria de um ifiito úmero de medições do mesmo mesurado efetuadas sob codições de repetitividade. Radom Error. Erro de arredodameto a difereça etre a represetação de um úmero e o seu valor matemático eato especialmete quado se usa uma quatidade fiita de dígitos para represetar úmeros reais que tem uma quatidade ifiita ou muito grade de dígitos.

14 Erro de Medição Resultado de uma medição meos o valor verdadeiro do mesurado. Measuremet Error. Erro Relativo Erro da medição dividido por um valor verdadeiro do objeto da medição. Relative Error. Erro Sistemático Média que resultaria de um ifiito úmero de medições do mesmo mesurado efetuadas sob codições de repetitividade meos o valor verdadeiro do mesurado. Sstematic Error. Estabilidade Aptidão de um istrumeto de medição em coservar costates suas características metrológicas ao logo do tempo. Stabilit. Eatidão de Medição Acurácia Grau de cocordâcia etre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mesurado. Measuremet Accurac. FFT Fast Fourier Trasform Trasformada Rápida de Fourier Frames Quadros mages tesidade de luz tesidade de luz em um piel da imagem posição a itesidade de modulação em cada poto da imagem k tesidade de luz da imagem de ordem k m itesidade lumiosa do fudo em cada poto da imagem certeza de Medição u Parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fudametadamete atribuídos a um mesurado. Ucertait of Measuremet. certeza epadida U é obtida multiplicado-se a icerteza padrão combiada por um fator de abragêcia. A fialidade pretedida é forecer um itervalo em toro do resultado de uma medição com o qual se espera abrager uma grade fração da distribuição de valores que poderiam razoavelmete ser atribuídos ao mesurado. certeza padrão u icerteza do resultado de uma medição epressa como um desvio padrão. certeza padrão combiada u c é a icerteza padrão do resultado de uma medição quado este resultado é obtido de valores de um úmero de outras gradezas. NMETRO stituto Nacioal de Metrologia Normalização e Qualidade dustrial SO teratioal Orgaizatio for Stadardizatio Orgaização teracioal de Padroização LPU Lei da Propagação da certeza M metade do úmero de images N para N par e metade do úmero de images mais um N para N ímpar [ N par > MN/ e para N ímpar > MN/ ] Medição Cojuto de operações que tem por objetivo determiar um valor de uma gradeza. measuremet. Metrologia Ciêcia da medição. metrolog.

15 MOD mod resto da divisão iteira [ MODrs r/s ] Resto_Divisãor s N úmero de images ¼ rs coeficiete do primeiro um quarto da matriz do umerador de liha r e colua s rs coeficiete da matriz do umerador de liha r e colua s Num matriz de coeficietes do umerador das equações do cálculo de fase Num ¼ primeiro um quarto da matriz de coeficietes do umerador da equação do cálculo de fase p pitch passo distâcia etre as lihas do retículo de referêcia frequêcia do retículo frequêcia espacial do retículo mm PDF Probabilit Desit Fuctio Fução de Desidade de Probabilidade fução utilizada para represetar a distribuição de probabilidade. piel Picture elemet elemeto da imagem PME Pricípio da Máima Etropia Precisão da Medição Precisão grau de cocordâcia etre idicações ou valores de quatidades medidas obtidas por repetidas medições sobre o mesmo ou objetos similares em codições especificadas. Measuremet Precisio. Precisão umérica refere-se ao quão próimo está uma represetação umérica de um úmero do seu valor verdadeiro. É estabelecido pricipalmete pela quatidade de dígitos usado a sua represetação. Número de algarismos sigificativos. Rm Retículo do Modelo Rr Retículo de Referêcia s Desvio Padrão da Amostra Sesibilidade Variação da resposta de um istrumeto de medição dividida pela correspodete variação do estímulo. Sesitivit. Teste t Teste Studet Teste T-Studet Teste Estatístico de Comparação de Duas Médias com Dados Emparelhados u icerteza de medição icerteza padrão desvio padrão U 95 icerteza epadida com itervalo de cofiaça de 95% ifiitos graus de liberdade Uwrappig Uwrapped Desempacotameto Valor verdadeiro Valor cosistete com a defiição de uma dada gradeza específica. É um valor que seria obtido por uma medição perfeita. Valor verdadeiro covecioal Valor atribuído a uma gradeza específica e aceito às vezes por coveção como tedo uma icerteza apropriada para uma dada fialidade. X posição do piel a direção horizotal da imagem mm Y posição do piel a direção vertical da imagem mm Z profudidade máima a ser medida distâcia vertical do retículo plao para o poto do objeto mm Ψ ordem de fraja multiplicada por π adimesioal

16 SUMÁRO CAPÍTULO NTRODUÇÃO.. 8. trodução do capítulo.. 8. Justificativa... Problema. Hipótese. 5.5 Objetivos gerais. Objetivos específicos. 7.7 Revisão de literatura Estado da Arte 8.7. Cometários da bibliografia cosultada..8 Metodologia. 5.9 Recursos 8. Procedimetos.. 5. Tópicos 5. Coclusão do capítulo.. 5 CAPÍTULO - TÉCNCA DE MORÉ.. 5. trodução do capítulo. 5. A Técica de Moiré. 57. Comparação de valores medidos... Coclusão do capítulo. 9 CAPÍTULO - NOVAS EQUAÇÕES DEDUZDAS. 7. trodução do capítulo. 7. O Algoritmo de Carré e o Algoritmo de Novak.. 7. Novo modelo matemático proposto esta pesquisa.. 7. Modelo matemático. 8.5 Método Brach-ad-Boud 8. Método de Programação Não-liear 89.7 Pricipais equações do cálculo de fase obtidas. 9.8 Testes das equações obtidas Teste umérico matemático das equações obtidas Testes de Moiré das equações obtidas..9 Simetria as equações do cálculo de fase 5. Matrizes esparsas as equações do cálculo de fase.. Equações do cálculo de fase para muitas images 7. Quatas images usar o cálculo de fase 9. Coclusão do capítulo.. CAPÍTULO V - TRATAMENTO DE MAGENS... trodução do capítulo.. Passagem da fase de [ π/] para [-π π].. 5

17 . Algoritmos de desempacotameto Uwrappig.. 9. Geração de images de Moiré o computador. 5.5 Acréscimos de ruídos as images. 57. Filtros iciais ates do cálculo de fase.7 Coclusão do capítulo. CAPÍTULO V - ANÁLSE DE ERROS trodução do capítulo Equipametos utilizados os eperimetos Equações de cálculo a serem testadas ferêcias a partir de amostras emparelhadas Eperiêcias com cilidros sólidos Eperiêcias com esferas sólidas de metal Eperiêcias com blocos padrão em aço Eperiêcias com seios de maequim Eperiêcias com costas de maequim.. 5. Eperiêcias com images geradas o computador Aálises de icertezas para algoritmos do cálculo de fase 5. Aálises de erros das medições.. 5. Coclusões do capítulo. CAPÍTULO V - CONCLUSÕES. 8 REFERÊNCAS APÊNDCE A - EQUAÇÕES DESENVOLVDAS COM O MODELO APÊNDCE B - EQUAÇÕES DESENVOLVDAS COM O MODELO APÊNDCE C - EQUAÇÕES DESENVOLVDAS COM O MODELO APÊNDCE D PROGRAMA DE GERAÇÃO DE EQUAÇÕES.. 57

18 8 CAPÍTULO - NTRODUÇÃO. trodução do capítulo A medição da forma de objetos tridimesioais tem recebido uma grade ateção da comuidade cietífica devido à sua ampla gama de aplicações. Como eemplo pode-se citar aplicações o cotrole de qualidade de compoetes idustriais a medição do corpo humao para aplicações de ergoomia o sesoriameto de ambietes para a robótica a idústria do ciema e muitas outras. A utilização de técicas perfilométricas é de grade importâcia para diversos segmetos da idústria e de ciêcias como a Biologia Medicia e Egeharia pricipalmete o que se refere a práticas de cotrole de qualidade modelagem matemática e diagósticos clíicos. Assim as técicas de medição da superfície de cotoro ou perfilometria têm sido utilizadas em um grade úmero de aplicações a idústria a Biologia e Medicia e a Egeharia Civil e Robótica. Na idústria represeta uma poderosa ferrameta a maufatura cotrole de qualidade egeharia reversa e a modelagem dos esforços estáticos e diâmicos a que estão submetidos os compoetes mecâicos. Em Medicia e Egeharia Biomédica são usadas em diagósticos modelagem de movimetos estudos sobre materiais utilizados em próteses e previsão de resultados cirúrgicos. Na Egeharia Civil seu uso ocorre a ispeção de grades estruturas como potes edifícios estradas e túeis. E fialmete a Robótica são utilizadas pricipalmete a implemetação da visão automática de máquia. As técicas usadas para a medição do perfil topográfico de objetos são classificadas em dois grupos: técicas de cotato e técicas sem cotato Figura.

19 9 Figura - Classificação das técicas para aquisição da superfície de cotoro. Fote: CURLESS. Já as técicas perfilométricas óticas podem ser classificadas em passivas ou ativas depededo da aplicação de luz sedo ativas as que obrigam a ilumiação especial do objeto; e passivas as que utilizam apeas a ilumiação ambiete Figura. Figura - Classificação das técicas óticas para aquisição da superfície de cotoro. Fote: CURLESS. As técicas passivas se caracterizam por utilizarem apeas a luz ambiete para ilumiar a cea. A iformação de distâcia é etraída a partir de uma ou mais images de itesidade da cea. As técicas passivas procuram etrair a iformação de distâcia a partir de uma ou mais images mooculares de

20 itesidade obtidas com uma câmara fia. De um modo geral essas técicas permitem apeas obter iformações acerca da orietação das superfícies ou da distâcia relativa etre os potos da cea ão possibilitado medir distâcias absolutas. No etato eistem técicas de medida de distâcia absoluta que usam images mooculares: o eemplo mais cohecido é o das técicas de focagem que recorrem à equação das letes para determiar a distâcia das regiões bem focadas de uma ou mais images de itesidade. Das técicas passivas a mais cohecida é a estereoscopia permitido obter iformação de distâcia a partir de duas ou mais images de itesidade da cea tomadas com uma ou mais câmaras colocadas em posições diferetes recorredo ao pricipio da triagulação. As técicas ativas de aquisição de iformação tridimesioal são caracterizadas pela projeção direta e cotrolada de eergia sobre a cea recorredo a um ou mais projetores e a um ou mais sesores. A eergia projetada geralmete sob a forma de luz ou ultra-sos é refletida pelos objetos da cea sedo detectada por sesores que de forma mais ou meos direta forecem a iformação de distâcia. Etre as técicas ativas está a Técicas de Moiré ode a iformação de distâcia é obtida a partir da iteração etre um padrão de luz projetado sobre uma cea e um padrão de referêcia. As técicas óticas têm como vatagem a rapidez e o fato de ão ter cotato físico com os objetos em estudo sedo portato idicadas para o trabalho com materiais biológicos sesíveis tais como o corpo humao. As técicas óticas podem aida ser classificadas em dois grupos: técicas com escaeameto e sem escaeameto. As técicas com escaeameto são represetadas por triagulação técicas de luz estruturadas e radar laser. As duas primeiras são baseadas em pricípios de triagulação e o radar laser é baseado a medição do tempo de viagem do pulso de laser. Esses métodos geralmete resultam em complicados sistemas computacioais e ormalmete cosomem muito tempo para cobrir toda a superfície. Uma técica sem escaeameto típica é a Técica de Moiré. A Técica de Moiré cosiste a projeção de um cojuto de lihas paralelas sobre a cea e a aquisição de uma imagem da mesma recorredo a uma câmara deslocada em relação ao projetor em frete da qual está colocado um retículo idêtico ao usado para projetar as lihas. O padrão de Moiré é um padrão de iterferêcia de baia frequêcia formado pela sobreposição de dois retículos com

21 padrões regularmete espaçados de frequêcia espacial mais elevada. O resultado é um padrão costituído por frajas alteradamete brilhates e escuras chamadas Frajas de Moiré. Eiste uma variate desta técica desigada por Moiré de Sombra Shadow Moiré que usa um úico retículo colocada em frete de toda a etesão da superfície em estudo tão próima desta quato possível. A uião das lihas do retículo com as suas sombras a superfície do objeto dão origem ao cojuto de Frajas de Moiré. Cohecido o espaçameto das lihas do retículo projetado a distâcia etre o projetor e a câmara a distâcia do projetor/câmara ao retículo e o úmero de ordem da superfície de cotoro é possível determiar a variação de distâcia etre os potos de duas frajas cosecutivas. Moiré de Sombra tem a vatagem de ser mais simples de implemetar mas ão pode ser aplicada em ceas de grades dimesões devido à ecessidade de um retículo do tamaho da cea. Outras dificuldades são a de permitir apeas obterse iformação da distâcia relativa etre as frajas e a determiação eata da liha cetral de cada fraja. Nas Técicas de Moiré tradicioais muitas iformações cotidas etre duas frajas vizihas são perdidas. Por isso a partir dos aos 7 foram desevolvidas várias técicas de medição de fase que aplicadas às Técicas de Moiré aumetam grademete sua resolução precisão e repetibilidade. A Técica Moiré de Sombra ecessita basicamete de uma fote de luz um retículo mestre e em geral uma câmera fotográfica ou de vídeo como observador. A sesibilidade em uma abordagem ordiária é da ordem do passo do padrão do retículo utilizada. Em vista disso técicas para o aumeto da precisão foram desevolvidas como a Técica Deslocameto de Fase Phase Shiftig. A Técica Deslocameto de Fase ecessita ormalmete de ou 5 images com pequeos deslocametos do retículo etre elas. Estas mudaças o retículo provocam alterações as frajas geradas deslocado assim a chamada fase etre as images. Usado estas difereças as frajas obtidas em cada imagem a técica cosegue medir a superfície de cotoro dos objetos estudados. Essa técica também pode ser aplicada a outras técicas óticas além das Técicas de Moiré. Quado se olha através de dois retículos sobrepostas ota-se a formação de padrões ou frajas que são resultado da combiação das lihas dessas telas. Esse

22 feômeo é chamado de feômeo ou efeito de Moiré. A literatura relata muitos trabalhos de sucesso usado a Técica Moiré de Sombra com ótima precisão. Trata-se de uma técica de baio custo e alta sesibilidade.. Justificativa A aálise de formas tridimesioais é de elevada importâcia para uma variedade de áreas. Na área de saúde por eemplo a avaliação de profudidade e formas tridimesioais deve ser realizada costatemete durate a avaliação e o tratameto de um grade úmero de patologias. Em Egeharia Mecâica a quatificação do desgaste de peças e mudaças de formas por vários fatores tais como temperatura ou carga tora imprescidível a preseça de uma aálise quatitativa segura. Na Egeharia Agrícola fazem-se ecessários estudos em perfis topográficos de superfícies irregulares como órgãos vegetais superfície do solo elemetos de máquias etc. A utilização de uma técica de medição sem cotato visado iterferir o míimo possível o que se deseja medir rápida e com íveis de erro baios o suficiete para a aplicação específica desejada se tora ecessária. Medições por técicas óticas são cada vez mais empregadas a Egeharia e a idústria. Detre das técicas óticas a Técica Moiré é especialmete iteressate por se tratar de um feômeo ótico utilizado em um grade úmero de processos de medição para a obteção de valores de profudidade forma deslocameto desgaste vibração etre outros. Uma das formas de se utilizar a Moiré a medição de profudidade e recostrução de formas em três dimesões é através de uma técica chamada Moiré de Sombra. As pricipais vatages da Técica Moiré de Sombra são a simplicidade o baio custo e a margem de erro pequea. A medição cotiua presete o desevolvimeto tecológico. É através da medição do desempeho de um sistema que se avalia e se realimeta o seu aperfeiçoameto. A qualidade a seguraça o cotrole de um elemeto ou processo são sempre assegurados através de uma operação de medição. Medir é uma forma de descrever o mudo. As grades descobertas cietíficas e as grades teorias clássicas foram e aida são formuladas a partir de observações eperimetais.

23 Uma boa teoria é aquela que se verifica a prática. A descrição das quatidades evolvidas em cada feômeo se dá através da medição. Do poto de vista técico a medição é empregada para moitorar cotrolar ou ivestigar um processo ou feômeo físico. Qualquer sistema de cotrole evolve um sistema de medição como elemeto sesor compodo um sistema capaz de mater uma gradeza ou processo detro de certos limites. O valor da gradeza a cotrolar é medido e comparado com o valor de referêcia estabelecido e uma ação é tomada pelo cotrolador visado aproimar a gradeza sob cotrole deste valor de referêcia. Os recursos eperimetais foram e aida são uma ferrameta idispesável com as quais diversas descobertas cietíficas toraram-se possíveis. Problemas as froteiras do cohecimeto requerem frequetemete cosideráveis estudos eperimetais em fução de ão eistir aida ehuma teoria adequada. Estudos teóricos e resultados eperimetais são complemetares e ão atagôicos. A aálise combiada de teoria e eperimetação pode levar ao cohecimeto de feômeos com muito maior profudidade e em meor tempo do que cada uma das fretes em separado. Através da eperimetação é possível por eemplo testar a validade de teorias e de suas simplificações testar relacioametos empíricos e determiar propriedades de materiais compoetes sistemas ou o seu desempeho. Em todas as áreas da atividade humaa há uma busca cotíua e iiterrupta por ovos métodos ovos procedimetos que superem ou melhorem em certo setido aqueles já eistetes. A pesquisa de ovas técicas de medições é de fudametal importâcia para a ciêcia e a Egeharia. Medições mais precisas e com erros e icertezas meores é uma costate a evolução da tecologia. Qualquer técica que teha a possibilidade de produzir melhores resultados de Metrologia deve ser ivestigada e estudada. Esta é a pricipal motivação desta pesquisa. Em esaios de Egeharia assim como em várias outras áreas o cohecimeto dessa icerteza é imprescidível visto que em muitos casos é ecessário fazer medições repetidas da mesma superfície para efeito de comparação. Com o descohecimeto da margem de icerteza fica difícil cofiar o resultado da comparação.

24 . Problema Tedo em vista as dificuldades e compleidades dos métodos covecioais para a determiação de dimesões perfil tesões deformações movimetos e posições relativas de objetos em três dimesões tora-se ecessário cocetrar esforços a pesquisa de mecaismos alterativos para a aálise eperimetal desses objetos. A vatagem de se utilizar as Técicas Moiré de Sombra é que elas dispesam equipametos e técicas sofisticadas de aquisição de images. Etretato é comum em algumas áreas pricipalmete a área da saúde as avaliações serem realizadas apeas de forma qualitativa ou aida se quatitativas ão apresetarem dados acerca da icerteza do resultado de medição. A apresetação de dados eperimetais sem estimar suas icertezas ou pior sem cohecer suas fotes de erro tora qualquer técica pouco cofiável. Toda medição está afetada por erros. Esses erros são provocados pela ação isolada ou combiada de vários fatores que iflueciam o processo de medição evolvedo o sistema de medição o procedimeto de medição a ação de gradezas de ifluêcia e o operador. A repetição da operação de medição sobre o mesmo objeto leva mais tempo e eige cálculos adicioais mas é justificável em duas situações: quado se deseja reduzir a icerteza da medição ou quado se trata de um mesurado variável. No primeiro caso a ifluêcia do erro aleatório dimiui quado são efetuadas várias medidas o que pode vir a reduzir a icerteza da medição portato a parcela de dúvida aida presete o resultado. Tratado-se de um mesurado variável devese ecessariamete efetuar várias medições visado coletar um úmero suficiete de idicações que permitam caracterizar a faia de variação do mesurado. A rigor em termos preciosistas ão eistem mesurados ivariáveis. Surgem etão questões de como repetir as medições quato estas são obtidas a partir de images fotográficas. A resposta apresetada pela Técica Deslocameto de Fase está em obter várias images fotográficas do mesmo objeto deslocado o retículo de referêcia ou dizedo de outra forma alterado sua fase e assim mudado as disposições das frajas projetadas o objeto.

25 5 A Técica Deslocameto de Fase tradicioal é etremamete depedete do valor da mudaça de fase etre as images. Qualquer erro o valor do deslocameto de fase pode acarretar falhas e erros as medições com esta técica. Uma alterativa iteressate é o Algoritmo de Carré que utiliza quatro images para realizar uma medida sem ecessidade de cohecimeto do valor do deslocameto de fases que pode ser arbitrário ecessitado apeas que o passo do deslocameto de fase seja costate etre cada imagem. Pode ser iteressate utilizar este algoritmo com mais de quatro images. Uma vez que cada fotografia é uma observação ou medida obtida eperimetalmete. O úmero de medidas pode iflueciar o erro ou a icerteza do processo de medição. Aida mais se sabedo que ormalmete as images cotêm muitos ruídos e imperfeições de origes diversas que podem alterar os valores das medições óticas.. Hipóteses Com base em revisão bibliográfica e estudo de outras pesquisas realizadas por diversos autores o presete trabalho de pesquisa cosidera as seguites hipóteses: é possível utilizar as Técicas Moiré de Sombra para determiar com a ecessária precisão dimesões perfis deslocametos e posições relativas de objetos. Ou seja a Técica de Moiré pode ser aplicada com resultados satisfatórios a geração de Modelos Digitais de Elevação ou Topográficos de superfícies irregulares; as images fotográficas cotêm ruídos e imperfeições que vão produzir erros as medidas realizadas pela Técica de Moiré. Há iúmeras fotes de erro proveietes de vibrações mecâicas variações de temperatura sombras e refleos as images pequeos deslocametos e icliações das motages eperimetais má calibração dos istrumetos de medição além de muitas outras;

26 quato maior a quatidade de medidas meor a ifluêcia do erro aleatório as medições melhorado assim a precisão do processo. Em termos estatísticos um aumeto o úmero de medições reduz a icerteza das medidas; é possível geeralizar o Algoritmo de Carré para mais de quatro images deduzido ovas equações matemáticas para estes processos e também estimar suas icertezas e suas fotes de erro para torar as técicas cofiáveis; podem-se usar métodos uméricos e estatísticos para se obter e testar as ovas equações da geeralização do Algoritmo de Carré. Um grade úmero de testes uméricos pode avaliar ou verificar essas ovas equações ou pelo meos torar míimas ou remotas a chace delas estarem erradas ou serem falsas. A fialidade da pesquisa é desevolver uma geeralização do Algoritmo de Carré para que ão fique mais restrita a quatro amostras. A razão para o fim da restrição é o pricípio de que quato maior o úmero de images obtidas para uma medição meor a ifluêcia de erros aleatórios o processo. O Algoritmo de Carré é utilizado em vários campos da Egeharia mas esta tese será aplicado a Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Na imagem fotográfica está presete certa quatidade de ruídos e imperfeições. Tais ruídos são as pricipais causas de erros as medições realizadas pela Técica de Moiré. Acredita-se que com o aumeto do úmero de observações ou images com a geeralização do Algoritmo de Carré seja possível reduzir esta falha e melhorar a precisão das medidas perfilométricas..5 Objetivo geral Esta tese tem como objetivo desevolver uma geeralização do Algoritmo de Carré para que ão fique mais restrita a quatro amostras ou images. Além disso visa comparar estes ovos algoritmos desevolvidos de forma metrológica usado a Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase.

27 7. Objetivos específicos Desevolver modelos matemáticos para se obter ovas variates do Algoritmo de Carré tedo o deslocameto do passo da fase descohecido mas costate para quatro ou mais images; utilizar métodos uméricos para a obteção dessas ovas equações da geeralização do Algoritmo de Carré alterado o efoque do problema até etão tratado como aalítico e algébrico; aalisar e testar de forma metrológica usado a Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase as ovas equações desevolvidas por meio de aálise de icerteza e de caracterização e estimação das prováveis fotes de erro; comparar as ovas equações do cálculo de fase e usado de ferêcia Estatística determiar a média qual é a mais precisa e apreseta meor icerteza as medições..7 Revisão de literatura A revisão de literatura pode ser dividida em três pricipais grupos: o primeiro sobre a Técica de Moiré; o segudo sobre a Técica Deslocameto de Fase com êfase o Algoritmo de Carré e o terceiro sobre métodos uméricos mais especificamete sobre métodos de Otimização teira Não-liear. Todos os três grupos tratam de tópicos bes abragetes com aplicação em vários campos da Egeharia. É iteressate otar que apesar da importâcia desses temas eles são em geral descohecidos pela maioria dos egeheiros o Brasil. A tese gaha relevâcia ao discutir temas como a Técica de Moiré os métodos de Otimização teira Não-liear a Técica Deslocameto de Fase e o Algoritmo de Carré.

28 8.7. Estado da Arte A Técica de Moiré gaha importâcia devido ao grade avaço ocorrido com o desevolvimeto da memória Flash que é uma memória de computador do tipo EEPROM que permite que múltiplos edereços sejam apagados ou escritos uma só operação. De maeira simplificada trata-se de um chip reescrevível que ao cotrário de uma RAM preserva o seu coteúdo sem a ecessidade de fote de alimetação. Essa memória é comumete usada em cartões de memória drives flash USB em ipod e câmeras digitais. Atualmete as câmeras digitais substituíram as atigas câmeras com filme e hoje em dia apresetam um baio custo e uma alta resolução a imagem. Além disso as câmeras digitais mais moderas parece eistir uma preocupação em reduzir o ruído e as distorções as images obtidas e aumetar a resolução em úmero de piéis. Além das câmeras digitais a Técica de Moiré é beeficiária da evolução das técicas de Processameto Digital de mages pelo surgimeto dos microcomputadores populares de alta performace e baio custo o que viabiliza o tratameto de images de alta resolução em um tempo etremamete pequeo questão de segudos. Esta melhora o tempo de processameto gerou o surgimeto de diversos filtros com a iteção de melhorar as images das fotografias tiradas ates do processameto. A ideia pricipal é deiar as images quase sem ruído e com isso obter medidas mais precisas. Uma ovidade atual é o uso de filtros direcioais autoadaptativos. Nestes filtros uma determiada direção em um bloco da imagem é priorizada a melhora das frajas. O Processameto Digital de mages é certamete uma área em crescimeto. O Processameto de mages vem a realidade do Processameto de Siais. Os siais como as images são a realidade um suporte físico que carrega o seu iterior uma determiada iformação. Esta iformação pode estar associada a uma medida este caso fala-se de um sial em associação a um feômeo físico ou pode estar associada a um ível cogitivo este caso fala-se de cohecimeto. Processar uma imagem cosiste em trasformá-la sucessivamete com o objetivo de etrair mais facilmete a iformação ou medida ela presete. Cabe este mometo fazer uma comparação etre o Processameto Digital de magem e a

29 9 área de Computação Gráfica técica ecotrada frequetemete aplicada as sequêcias aimadas a televisão ou em filmes de ciema. A Computação Gráfica parte de uma iformação precisa para obter uma imagem ou um filme. O Processameto de mages parte da imagem de uma iformação iicial que é geralmete captada por uma câmera ou de uma sequêcia de images para se obter as iformações ou medidas. Deste poto de vista o Processameto Digital de mages e a Computação Gráfica são eatamete métodos opostos mas isto ão quer dizer que as técicas evolvidas em cada caso ão possam ser as mesmas ou pelo meos complemetares. É evidete que este setido processar uma imagem como é realizado pelo sistema visual humao é etremamete compleo. Realizar as mesmas tarefas que o sistema visual humao com a ajuda de máquias eige por atecedêcia uma compreesão filosófica do mudo ou dos cohecimetos humaos. Esta característica faz com que o processameto de images seja atualmete uma disciplia com etrema depedêcia do sistema o qual ele está associado ão eistido o etato uma solução úica e abragete para todos os problemas. Daí a ão eistêcia até o mometo de sistemas de aálise de images compleos e que fucioem para todos os casos. Normalmete as técicas de Processameto Digital de mages estão baseadas em métodos matemáticos que permitem descrever quatitativamete images das mais diversas origes. Uma imagem pode de alguma forma ser descrita idepedetemete do que ela represeta e a pricípio todos os parâmetros que tem uma característica bidimesioal ou topológica são coveietes. Em cada objeto defiido em um espaço podem-se efetuar medidas de superfície perímetros comprimetos espessura posição etc. para em seguida deduzir gradezas estatísticas de uma forma automática. É importate ressaltar que a aálise automática é imprescidível quado se quiser efetuar trasformações sucessivas a imagem. Outra evolução setida recetemete está as técicas de desempacotameto uwrappig processo pelo qual o valor absoluto do âgulo de fase de uma fução cotíua que se estede além de π relativo a um poto iicial predefiido é recuperado. Esse valor absoluto é perdido quado o termo de fase é coberto por si mesmo com distâcias repetidas de π que teham atureza seoidal das fuções de oda usada as medições de propriedades físicas.

30 A determiação da fase é um problema geral e clássico fudametal para a iterpretação de todo iterferograma evolvedo a iterferêcia de duas fuções de oda seoidais. A chave para se criar um algoritmo robusto de desempacotameto de fase é se preocupar com a correta detecção dos saltos de fase. Em qualquer padrão Moiré as partes de mesma altura o objeto estão represetadas as frajas como formas de colias ou selas. O formato de sela aparece comumete os potos de itersecção de mesma altura e deve-se ter muito cuidado ao se iterpretar esta região a hora de somar ou subtrair a ordem de fraja pricipalmete em mapas de fraja que apresetem ruídos. A evolução atual está em tratar o processo de desempacotameto pelo Método das Difereças Fiitas como uma solução da equação de equilíbrio de Laplace com codições de cotoro de Newma. Com esta técica são reduzidas falhas a detecção dos saltos de fase embora seja empregada a resolução de grades sistemas lieares o que cria a ecessidade de computadores moderos e rápidos. Vive-se também um grade desevolvimeto a formática. Tato em hardware como em software os microcomputadores são providos de eorme capacidade de processameto dezeas de MPs milhões de istruções por segudo e de quatidades cada vez maiores de memória pricipal RAM com dezeas de gigabtes e secudária discos e fitas de milhares de gigabtes. sso permite a aplicação eficiete de métodos uméricos compleos que eigem eorme volume de operações matemáticas com miimização dos erros cometidos a resolução de problemas viabilizada pelo surgimeto de uma grade variedade de programas computacioais que implemetam tais métodos e facilitam sua utilização por parte de egeheiros técicos e estudates. A utilização da Estatística é cada vez mais acetuada em qualquer atividade profissioal da vida modera. Nos seus diversificados ramos de atuação as pessoas estão frequetemete epostas à Estatística utilizado-a com maior ou meor itesidade. sto se deve às múltiplas aplicações que o método proporcioa àqueles que dele ecessitam. Estatística dutiva ou ferêcia Estatística idução cosequêcia coclusão é a parte da Estatística que baseado-se em resultados obtidos da aálise de uma amostra da população procura iferir iduzir ou estimar as leis de comportameto da população da qual a amostra foi retirada. Portato a Estatística dutiva refere-se a um processo de geeralização a partir de resultados

31 particulares. Cosiste em obter e geeralizar coclusões ou seja iferir propriedades para o todo com base a parte o particular. A ferêcia Estatística implica pois um raciocíio muito mais compleo do que o restate da Estatística. Etretato bem compreedida e utilizada pode coverter-se em um istrumeto muito importate para o desevolvimeto de uma disciplia cietífica. O processo de geeralização que é característico do método idutivo está associado a uma margem de icerteza. A eistêcia da icerteza deve-se ao fato de que a coclusão que se pretede obter para o cojuto de todos os idivíduos aalisados quato a determiadas características comus baseia-se em uma parcela do total de observações. A medida da icerteza é tratada mediate técicas e métodos que se fudametam a Teoria da Probabilidade. Na Egeharia a Aálise Numérica tora-se fudametal para a cocepção desevolvimeto e aálise de equipametos e projetos uma vez que as aplicações têm de satisfazer um cojuto maior de requisitos como: baios custos alta eficiêcia e eficácia elevada cofiabilidade e melhoria da qualidade e performace. Para ateder cosumidores mais eigetes e a competitividade característica do mudo globalizado tora-se ecoomicamete iviável a Egeharia modera o uso do método de tetativa e erro. As soluções aalíticas e algébricas ficaram impossibilitadas pela ecessidade crescete de melhores equipametos e projetos aliada a uma grade compleidade geométrica efeitos tridimesioais e de feômeos físicos e químicos que devem ser cosiderados pelo egeheiro e preseça de diferetes materiais. Restam praticamete como úico recurso os métodos uméricos de alta precisão e de adequada implemetação computacioais. Numa visão simplificada o egeheiro trasforma um problema físico em um modelo matemático utilizado o cohecimeto das leis da Física e Química. Este modelo precisa passar por uma fase de resolução para se chegar à solução. Nesta fase os métodos uméricos atuam de forma predomiate uma vez que eistem grades limitações os métodos matemáticos aalíticos e algébricos. Em problemas práticos ecotrados hoje em dia que apresetam uma alta compleidade somadas a um aumeto da eigêcia e eficácia dos projetos de Egeharia moderos as soluções uméricas são as úicas alterativas dispoíveis a resolução dos modelos matemáticos.

32 .7. Cometários da bibliografia cosultada icialmete serão cometados trabalhos e dissertações atuais sobre o tema realizados o Brasil. Sobre Técica de Moiré destaca-se o Brasil trabalho de pesquisa de LNO que aplica duas técicas à Moiré de Sombra Multiplicação de Frajas e Deslocameto de Fase como metodologias para a geração de modelos digitais topográficos de superfícies irregulares. Para tato utilizou-se um modelo de uma pêra cofeccioado em parafia que foi pitado com tita láte braca fosca com a fialidade de evideciar as frajas de Moiré. Motou-se um esquema eperimetal costituído de uma câmera fotográfica digital um sistema de ilumiação um sistema maual para micro deslocametos do objeto e um retículo costituído de lihas claras e escuras com espessura de mm. Foram tomadas images do objeto com as frajas de Moiré sedo que o objeto em estudo foi deslocado afastado uma pequea distâcia do retículo de maeira que as frajas se deslocassem ¼ de fase etre cada uma delas. Utilizado-se estas images após tratameto para a remoção das lihas de Moiré gerou-se um modelo digital da superfície da pêra. Para validação estas técicas foram comparadas com o outro modelo digital gerado por um Scaer -D Laser que serviu como padrão. Os resultados mostram que as Técicas de Moiré estudadas obtiveram altas precisão e eatidão quado comparados ao padrão. Ficou comprovado que a Técica de Moiré também pode ser aplicada com resultados satisfatórios a perfilometria de objetos com superfície irregular tais como órgãos vegetais forecedo resultados cosistetes e cofiáveis. A Técica Moiré de sombra com Multiplicação de Frajas é bastate acessível a usuários com poucos recursos pois embora trabalhosa é simples de ser eecutada e utiliza programas computacioais de uso comum. A Técica de Moiré com Deslocameto de Fase é bastate rápida de ser eecutada porém eige rotias computacioais específicas. Em relação aos esaios diâmicos com a Técica de Moiré especial ateção é dada a MAZZET que usa um sistema que utiliza uma fote de luz comum para ilumiação do disco em movimeto retículos obtidos através de técicas comercialmete dispoíveis e uma câmera fotográfica digital. As images de um disco fleível em movimeto sobre um perfil que simula a ação do solo foram

33 registradas e processadas em aplicativos computacioais forecedo iformações relativas às deformações provocadas pelo movimeto e ação do perfil. A aálise dessas iformações idicou viabilidade e elevada precisão da Técica Moiré de Sombra para determiar as posições relativas de um disco giratório fleível ao acompahar um dado perfil que simule a ação do solo as operações de corte basal de platas e um ecelete desempeho de varredura do perfil pelo disco as velocidades e icliações usualmete empregadas o corte mecaizado de caade-açúcar. Em SCALDAFERR tem-se uma iteressate e iovadora proposta sobre o sistema de aquisição e processameto de images digitais obtidas a partir da Técica de Moiré. Trata-se de um dos primeiros trabalhos de pesquisa acioal voltado para a criação de um programa computacioal que implemete a Técica de Moiré sem utilizar softwares comerciais protos. Esta pesquisa ispirou o autor desta tese em desevolver rotias computacioais de simples e fácil etedimeto e mauteção para a aálise automática das frajas de fotografias de Moiré e sua trasformação em medidas cietíficas. RBERO apresetou o pricípio ótico de Moiré de Sombra abordado suas qualidades e deficiêcias. Foi realizada aida uma comparação de diversas técicas de remoção de salto de fase ode uma delas foi eleita o fial sedo a mesma utilizada em um eperimeto-eemplo. Uma aálise eperimetal dos erros da técica foi realizada assim como uma aálise detalhada de erros da medição de forma umérica e prática. Discussões detalhadas dos diversos parâmetros do sistema são apresetadas o fial complemetado aálise metrológica da Técica Moiré de Sombra. Em COSTA é realizada uma aálise de icerteza do sistema de medição do arco medial platar usado Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Os resultados de medição desse sistema são images do perfil do pé ode cada piel represeta uma profudidade específica obtedo-se uma icerteza de medição da ordem de 5% do valor medido sigificativamete meor se comparado aos sistemas mais comumete usados. Coclui-se que a técica pode ser usada para a medição do arco medial platar visto que é um método sem cotato e com ídice de icerteza adequado. Em GOMES 5 tem-se a proposta de uma metodologia para ivestigações perfilométricas usado duas técicas óticas: a iterferometria e a

34 Técica de Moiré. A perfilometria é uma técica amplamete utilizada a costrução de mapas e gráficos de relevos aplicados a uma vasta área do cohecimeto. Os esaios de Moiré foram realizados a Uiversidade Federal de Lavras UFLA e o stituto Agroômico de Campias AC em Judiaí-SP. Foram usados um disco de retículo um mouse e um coe como corpos de prova para a determiação da topografia e para as calibrações da metodologia. Uma vez realizada a calibração da cofiguração eperimetal foi promovido um mapeameto de uma lâmia elástica imposta a esaios de compressão. Os esaios de iterferometria foram realizados o Cetro de vestigações Óticas COp em La Plata Argetia utilizado-se a lâmia elástica. A metodologia proposta para a calibração da Técica de Moiré geométrico mostrou-se capaz de realizar os mapeametos com resolução máima a ordem de cetésimos de milímetros cofirmado-se que pode ser usada em aplicações com íveis de precisão iferiores a esta ordem. Os esaios com a iterferometria coseguiram resolução a ordem de 5 micrometros atededo a faias de deformações bem iferiores ao da Técica de Moiré podedo ser utilizada assim em atividades que eijam maior ível de precisão e eatidão. Em OLVERA vê-se que a aálise e recuperação de superfícies e sólidos irregulares têm se torado cada vez mais importates as mais diversas áreas cietíficas e comerciais. As Técicas de Moiré destacam-se como um método ótico ão ivasivo rápido e muito preciso de medição aplicável em diversas situações. Etretato elas apresetam deficiêcias como sesibilidade a sombras e dificuldade de recuperação de sólidos como um todo. Desta forma propõe-se com o presete trabalho uma ova abordagem das Técicas de Moiré para a recuperação de formas tridimesioais que miimizem essas deficiêcias cofirmado a importâcia de tais métodos o estudo e determiação de superfícies e volumes detro de suas iúmeras áreas de aplicação. HERTZ 5 desevolveu uma técica alterativa fidediga e de custo reduzido aos raios-x para avaliar a postura humaa e problemas posturais. O método é baseado em um tipo de Técica de Moiré que usa sombra para defiir diferetes padrões de images. Foram costruídos testados e comparados três protótipos para padroizar as variáveis importates ieretes a esta técica. Testes prelimiares realizados com os protótipos e demostraram suas limitações e coduziram ao desevolvimeto do protótipo fial que possibilitou visualizar a região torácica dorsal do idivíduo com melhor qualidade. A precisão desse terceiro

35 5 protótipo alcaçada através dos cálculos de calibração apresetou um desvio padrão de 5mm idicado uma baia variação etre as frajas. Acredita-se que este estudo motiva o uso desta técica como alterativa de baio custo para uso em diferetes avaliações relacioadas à postura humaa e doeças associadas. DEL-VECCHO desevolveu uma metodologia capaz de realizar o mapeameto topográfico tridimesioal de cotoros livres e de cotoros biomecâicos criado um sistema de medição sem partes móveis compacto com um úmero reduzido de compoetes óticos mecâicos e portato simples permitido a sua aplicação em idústrias cosultórios médicos e istituições de esio por eemplo. O sistema desevolvido foi composto por um projetor LCD displa de cristal líquido uma câmera fotográfica digital CCD dispositivo de carga acoplada e um microcomputador. A cofiguração do sistema foi tal que a uidade de projeção ilumiou a superfície em estudo cotoro livre sob um âgulo oblíquo equato a câmera fotográfica observou a mesma superfície ortogoalmete. Padrões de frajas compostos por lihas verticais bracas e pretas foram gerados digitalmete e projetados sobre o cotoro a ser medido. A Técica Deslocameto de Fase foi icorporada à Técica de Moiré de Projeção de forma a viabilizar medições automáticas ou seja sem a iterveção do usuário. Para tais medições foi desevolvido um programa dedicado de processameto de images que reúe todos os algoritmos ecessários ao cálculo do perfil tridimesioal do cotoro a partir de images bidimesioais em escala de ciza. Este trabalho apresetou os resultados obtidos pelo sistema de medição proposto para diferetes cotoros de dimesões diversas. Uma breve aálise metrológica das possíveis fotes de icerteza do sistema medição foi apresetada e a icerteza de medição do sistema proposto estimada. Os resultados de medição obtidos com o sistema de medição proposto demostram a sua aplicabilidade a idústria e a Bioegeharia. Em termos de livros publicados sobre a Técica de Moiré destacam-se as publicações abaio citadas. Uma competete revisão bibliográfica sobre a Técica de Moiré é iiciada com uma cosulta a CLOUD 998 cujo processo de pesquisa começa com um estudo sobre aálise eperimetal de tesão e uso de técicas óticas de aálise em Egeharia Mecâica. O autor cita diversos métodos óticos e etre eles a Técica Moiré de Sombra. Trata-se de um ótimo poto de partida por detalhar muitas

36 aplicações em Egeharia. Referêcia uiversal da Técica de Moiré esta pesquisa é muito usada em medições óticas. Outra pesquisa que faz uma itrodução à Técica de Moiré é a realizada por DURELL et al. 97 que aplica Moiré a aálise de tesões e deformações. Trata-se de um dos primeiros registros acadêmicos do uso dessa técica ótica costituido-se uma referêcia histórica do iício da aálise automática de frajas. É iteressate otar como o método era aplicado e como as medições eram processadas. A pesquisa de DALLY et al. 99 sobre aálise eperimetal de tesão traz também uma itrodução didática sobre a Técica de Moiré e revela a itima ligação etre medição de tesão deformação e Moiré. Depois de uma eplicação teórica o estudo mostra uma série de aplicações em Egeharia com ilustrações e detalhameto dos eperimetos. Outras técicas óticas são também citadas e comparadas. Na sequêcia atural das referêcias sobre Moiré vem PATORSK 99 que realizou um estudo que traz em detalhes a descrição de eperimetos e motages dessa técica ótica. O estudo apreseta também uma forte base teórica sobre o tema sedo sem dúvida uma referêcia de cosulta para qualquer profissioal que opte por utilizar a Técica de Moiré. Em POST et al. 99 verificam-se avaços a Técica de Moiré através de uma busca por métodos de alta sesibilidade e precisão. O estudo é todo voltado para essa técica ótica e traz descrições de resultados muito bos com erros da ordem de micrometros e aômetros. Apreseta motages com custos sofisticação e equipametos bem diferetes da realizada esta tese mas mostra a evolução que se está atigido e o estado da arte em Moiré. A pesquisa de RASTOG mostra aalogias de técicas usadas em Moiré e em iterferometria. O autor realiza também um iteressate estudo sobre erros e icertezas em medidas óticas com um forte apelo à implemetação dos métodos de medições. Em ASUND podem ser vistas implemetações completas em MatLab com código-fote da Técica de Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Esse estudo foi a base para se fazer o programa em MatLab que implemeta a Técica de Moiré. Acompaha a obra de ASUND um CDROM com as listages das rotias. Trata-se de ecelete cosulta para quem deseja usar

37 7 implemetar ou programar Moiré em MatLab. As rotias são todas documetadas e o teto mostra sua utilização e eecução apresetado além disso eemplos cometados. Cita-se aida ROBNSON et al. sobre aálise iterferométrica e técicas óticas comus a Moiré. A pesquisa detalha as técicas óticas e traz iúmeras aplicações. O autor cosidera o estado da arte em iterferometria o que faz desta obra uma cosulta obrigatória para os atuais pesquisadores da área de medições óticas. Com relação a teses e dissertações iteracioais sobre a Técica de Moiré gostaria de citar as referêcias abaio. Em WANG tem-se o estudo da tese do criador do software Risig-Su Moiré detalha a costrução do programa computacioal que foi orietado por um dos mais importates pesquisadores da área BONGTAE HAN um dos autores de POST et al. 99. Essa pesquisa de WANG detalha também os filtros direcioais. É bem possível que segudo o autor em o programa Risig-Su Moiré se tore um software livre Freeware com código-fote aberto. Outra iteressate pesquisa iteracioal é de HAN 5 que traz um importate estudo sobre erro aplicado a Moiré terferométrico que pode ser epadido para Moiré de Sombra. É iteressate otar este estudo o alto ível das pesquisas iteracioais sobre a Técica de Moiré e a liha de pesquisa seguida atualmete. A busca por precisão e sesibilidade é uma costate este trabalho. Em termos de artigos acioais sobre Moiré destacam-se esta tese os abaio citados. O estudo de SMTH et al. traz detalhes de como gerar images de Frajas de Moiré o computador e realizar medições usado as images geradas e implemetado a Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. O artigo é muito didático e costitui uma ótima referêcia para quem está se iiciado o tema. Nesta tese o referido estudo embasou a criação de images por computador. Cita-se também o estudo de RODRGUES et al. sobre a utilização de Moiré para detectar alterações posturais a colua vertebral de pacietes de fácil etedimeto e com aplicação a área de saúde. A pesquisa detalha o método usado e os resultados obtidos além de mostrar uma importate aplicação da Técica de Moiré com uso prático e imediato.

38 8 Com relação aos artigos cietíficos iteracioais sobre Moiré foram catalogados o plaejameto de pesquisa desta tese aproimadamete mais de estudos obtidos sem custo em site da teret usado-se a rede de computadores da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. Destacam-se etre eles os artigos abaio citados. CREATH 988 realizou um importate estudo sobre erro a medição ótica de images sedo o mesmo utilizado o presete trabalho de pesquisa para a formulação da aálise de erro. É iteressate otar que a autora segue escrevedo dezeas de artigos avaçado o estudo do tema. O artigo é uma referêcia cosagrada a discussão iicial sobre icerteza as medições. DRKX et al. 99 elaborou a descrição de como a Técica Deslocameto de Fase melhora a precisão da aplicação pura e simples de Moiré com uma úica imagem. No referido estudo aparece pela primeira vez a ideia de que se aumetado o úmero de images se aumeta a precisão das medidas. Vale salietar que a Técica Deslocameto de Fase é uma alteração do método padrão Moiré de Sombra com o ituito de melhorar a precisão. No método padrão de Moiré com uma úica imagem a precisão é muito depedete do espaçameto do retículo. Na elaboração desta tese o citado pesquisador colaborou getilmete com este autor elimiado por meio de correspodêcia algumas dúvidas de atureza técica. GASVK 98 foi utilizado esta tese para o apredizado e compreesão da técica. Sua pesquisa abrage o fudameto da Técica Moiré de Sombra costituido-se a base teórica para o desevolvimeto de implemetações computacioais. Trata também do uso de Processameto Digital de mages com Moiré. Costituiu-se uma importate referêcia histórico-evolutiva das medições óticas. Em LU et al. têm-se estudos e variates da Técica de Moiré a medição de objetos em três dimesões. O estudo se baseia a itesidade de fase e em sua modulação. Nota-se que eiste atualmete uma grade variedade e diversidade de Técicas de Moiré em uso e com aplicações das mais diversas o que complica até mesmo sua classificação e sistematização didática.

39 9 Costatemete observam-se ovas e diferetes formas de aplicar utilizar e medir usado Moiré. A criatividade e egehosidade demostradas são fatásticas. Com relação ao Algoritmo de Carré faz-se importate citar os pricipais artigos iteracioais utilizados a elaboração desta tese. Em CARRE 9 tem-se a descrição da criação do algoritmo e de seu uso em um microscópio fotoelétrico. É iteressate otar que o criador da técica ão tiha a ideia da importâcia e do vasto campo de aplicação que o seu algoritmo alcaçaria. O autor trabalha a aálise de quatro frequêcias defasadas etre si de um valor descohecido mas igualmete espaçados. NOVAK apreseta a epasão do Algoritmo de Carré para cico images e uma profuda aálise de erros as medidas obtidas. O autor cita iúmeras equações com cico images obtidas por meio de relações trigoométricas e teta ecotrar a melhor delas: a que apreseta o meor erro. Em ovo estudo NOVAK et al. 8 mostra a epasão do Algoritmo de Carré para seis sete e oito images fazedo uma aálise de erros as medidas. As várias equações obtidas por meio de relações trigoométricas são citadas. É iteressate otar que o autor ão segue uma regra de formação as equações testadas e que seu desevolvimeto é todo algébrico. NOVAK aplica as equações e as testa em iterferometria. CA et al. aplicou a Técica Deslocameto de Fase para fases descohecidas e desevolveu métodos uméricos para descobrir tais fases. A preocupação do autor ão é com a melhora da precisão das medidas mas aplicar a Técica Deslocameto de Fase quado se tem muitas images com os deslocametos de fase aleatórios. WANG et al. 7 também aplicou a Técica Deslocameto de Fase para fases descohecidas e desevolveram métodos uméricos para se descobrir as fases. Da mesma forma que CA et al. a preocupação do autor ão é com a melhora da precisão das medidas mas com a aplicação da Técica Deslocameto de Fase quado se tem muitas images e 5 com os deslocametos de fase aleatórios. Com relação ao algoritmo de desempacotameto uwrappig são destacadas esta pesquisa as referêcias abaio. GHGLA et al. 998 fudameta a teoria de desempacotameto apresetado um algoritmo para se realizar o processo torado-se um dos

40 precursores da aplicação prática da técica. Seu estudo é basicamete didático e traz passo a passo a implemetação do algoritmo proposto sugerido também um modelo matemático. PRTT et al. 99 traz um algoritmo de desempacotameto em duas dimesões usado um modelo matemático dos Míimos Quadrados e Trasformadas Rápidas de Fourier FFT Fast Fourier Trasform. O autor mostra detalhes de sua implemetação computacioal e eemplifica todo o processo. HUNTLEY 989 mostra como os algoritmos de desempacotameto são sesíveis a ruídos e distorções iiciado a busca por métodos que sejam imues ou o míimo meos sesíveis a ruídos as images. É iteressate citar que em todas as etapas das aplicações das Técicas de Moiré eiste uma busca costate a elimiação de ruído e falhas as images. A ideia é sempre tetar melhorar a precisão das medidas. MARROQUN et al. 995 traz um algoritmo alterativo para o desempacotameto de images em duas dimesões usado fuções quadráticas. Atualmete o que eiste é uma comparação etre os diversos algoritmos de desempacotameto para verificar qual apreseta maior imuidade a ruídos e qual é computacioalmete mais eficiete e robusto. Vários modelos matemáticos são apresetados e comparados. Com relação às publicações sobre Processameto Digital de mages optouse este estudo pelas referêcias abaio citadas. GONZALEZ et al. traz uma ótima itrodução ao Processameto Digital de mages trabalhado iclusive com filtros que são usados esta pesquisa como os filtros Passa Baio e os filtros Gaussiaos utilizado também filtros o domíio da frequêcia e trasformadas de Fourier. Trata-se sem dúvida de uma referêcia cosagrada em Processameto Digital de mages. Em GONZALEZ et al. toda a teoria discutida sobre Processameto Digital de mages é implemetada com rotias em MatLab. Tais rotias foram usadas o presete trabalho de pesquisa e podem ser obtidas pela teret. São filtros que tratam iicialmete as images ates do cálculo de fase. O uso dessas rotias é estedido à geração de images de frajas de Moiré para dar veracidade e realidade a elas. Em GOMES tem-se uma itrodução sobre Computação Gráfica de fudametal importâcia para a fácil compreesão da presete tese. Trata-se de

41 pesquisa de perfil didático sobre os pricípios da aálise de images sedo uma ecelete referêcia em lígua portuguesa. BOVK desevolveu estudo sobre o estado da arte o plao do Processameto Digital de mages apresetado uma modelagem matemática sobre ruídos e distorções as images. Modelos matemáticos e estatísticos simulam falhas em fotografias digitais. PEDRN et al. 8 apreseta os fudametos do tratameto de images digitais. Modelages matemáticas de ruídos são estudadas sedo realizado também um aprofudameto da teoria de filtros o domíio da frequêcia. A pesquisa aborda o estado da arte em termos de trasformadas de images e métricas de qualidade em fotografias digitais. Erros em images são tratados em detalhes. Com relação à Otimização e referêcia sobre o Método Brach-ad-Boud destacam-se os estudos abaio citados. HLLER et al. elaborou uma itrodução à Pesquisa Operacioal e à Otimização apresetado o Método Brach-ad-Boud para Programação teira Liear e detalhado o Método Simple de Programação Liear. Neste mesmo estudo desevolveu uma itrodução à Programação Não-liear. Trata-se de uma referêcia uiversal sobre Programação Matemática e Otimização. MAHEY 987 desevolveu pesquisa sobre Programação Não-liear trazedo algoritmos protos para sua implemetação além de fazer uma revisão didática sobre a sua matemática. Seu estudo é de fácil compreesão mas iquestioavelmete desafiate porque apreseta métodos cada vez mais sofisticados para resolver os problemas de Otimização Não-liear. GOLDBARG et al. 5 realiza uma itrodução à Otimização Discreta. Seu estudo apreseta também um histórico da evolução dos métodos de Otimização forecedo uma rica referêcia bibliográfica sobre ovos métodos de Programação Matemática. Algoritmos e pseudo-algoritmos são apresetados em detalhes. BERTSEKAS apreseta um aprofudameto das técicas de Programação Não-liear. Nesta tese sua pesquisa foi utilizada como base para a implemetação e programação de métodos de Otimização Não-liear acoplado com o Método Brach-ad-Boud que miimiza e reduz a avaliação da fução objetiva. O Método Brach-ad-Boud realiza uma pesquisa iteligete em uma estrutura de árvore a busca de soluções ótimas tedo como base o Método Simple de

42 Programação Liear ou Método dos Gradietes Cojugados de Programação Nãoliear. BAZARAA et al. 99 também realizou estudo sobre Programação Nãoliear completado a teoria sobre o tema. Algoritmos são detalhados e eplicados passo a passo. O autor se valeu de uma iteressate aproimação das derivadas por difereças fiitas e de uma etrapolação dessas objetivado uma melhor precisão dos cálculos das derivadas através de métodos uméricos. TAHA 7 fializou o estudo sobre pesquisa operacioal e otimizações. Em sua pesquisa o autor implemetou e testou várias das técicas de Programação teira Não-liear. Nota-se que os métodos de Otimização teira Não-liear detre eles o Método Brach-ad-Boud são relativamete ovos e sua programação computacioal de forma eficiete apreseta certa compleidade e dificuldade. Com relação aos métodos uméricos foram cosultadas as referêcias citadas a seguir. KHARAB et al. pesquisou os pricipais métodos uméricos de cálculo implemetados em MatLab. Seu estudo foi fudametal para a elaboração desta tese já que boa parte dos programas e rotias ela desevolvidos são em MatLab. Nele também foram colhidas rotias como a do Método de Newto-Raphso para sistemas ão lieares. De perfil didático o estudo apreseta eemplos e implemetações documetados e cometados. HOFFMAN elabora uma competete itrodução sobre as disciplias de Métodos Numéricos e Cálculo Numérico. Uma vasta teoria sobre erros precisão umérica estabilidade e covergêcia das técicas uméricas pode ser ecotrada em seu estudo altamete idicado para pesquisadores que estão se iiciado a aálise umérica e pretedem implemetar e usar métodos uméricos. CHAPRA et al. 998 por sua vez estudou os métodos uméricos usado o MatLab e o Microsoft Ecel. Sua pesquisa coquistou o prêmio de melhor obra em Aálise Numérica o esio da Egeharia. Detalhes sobre erros de arredodameto e sua propagação em operações matemáticas podem ser vistos em seu estudo. Regras e sugestões de como reduzir a propagação de erro de arredodameto também são tratados pelo autor. Como eemplo o autor eplica que: se multiplicar um úmero por um valor muito alto o erro de arredodameto do úmero é também multiplicado por este mesmo valor; logo os métodos uméricos

43 devem ser desevolvidos de forma a ão permitir multiplicações por valores grades ou divisões por valores muito pequeos. CLAUDO et al. estudou os algoritmos dos pricipais e mais comus métodos de Cálculo Numérico. Sua pesquisa foi utilizada esta tese como referêcia para implemetação das técicas de solução de sistemas lieares usadas os algoritmos de desempacotameto. O Método de Gauss com Pivotação Parcial mostrou-se muito eficiete e eficaz a solução de sistemas lieares com milhares ou até mesmo milhões de equações e icógitas ode a maior parte dos coeficietes eram zero apresetado sistemas esparsos. Como a maioria dos termos era zero e a pivotação se baseia o escaloameto de matrizes a solução de tais sistemas lieares com milhões de equações e icógitas foi realizada pelo computador de maeira bem rápida e precisa. Portato esse estudo foi de fudametal importâcia para o sucesso dos métodos implemetados esta tese. CARNAHAN et al. 99 desevolveu estudo sobre a utilização do Método das Difereças Fiitas a resolução da equação de Laplace teoria utilizada os algoritmos de desempacotameto testados esta tese. Apesar de atiga sua pesquisa é uma das melhores referêcias em termos de Cálculo Numérico e Aálise Numérica pois apreseta implemetações muito simples a Liguagem Fortra possibilitado que seja facilmete trasformada em Liguagem Pascal. A teoria e aplicação de diversos métodos uméricos podem ser estudados e pesquisados esta obra. Com relação à Estatística e ferêcia foram utilizadas esta tese as pesquisas abaio citadas. TROLA 8 apreseta uma itrodução sobre Estatística básica além de técicas que descrevem o uso do método estatístico e da iferêcia a comparação de tratametos. O livro esia como utilizar o software Miitab para cálculos e aálise de dados eperimetais teoria aplicada esta tese visado à comparação das medidas obtidas com as várias equações ovas do cálculo de fase criadas. O teto traz iformações de como usar a parte Estatística do Microsoft Ecel costituido-se uma referêcia cosagrada e mudialmete usada em Estatística e Probabilidade. Para facilitar aida mais a vida do pesquisar o estudo apreseta algoritmos e fluogramas a serem seguidos a aálise e comparação dos dados. WALPOLE et al. 7 elaborou uma itrodução sobre Estatística mas detalhado muito mais a parte matemática e umérica. Como eemplo tem-se o

44 cálculo umérico dos valores de P é a probabilidade de que a amostra podia ter sido tirada de uma população sedo testada supodo que a hipótese ula seja verdadeira; um valor de 5 por eemplo idica que eiste uma probabilidade de 5% de que a amostra que se está a testar possa ser tirada supodo que a hipótese ula é verdadeira aode se chega à resolução umérica de uma itegral. Este estudo mostra como fazer este tipo de cálculo usado quadratura umérica. O autor utiliza cohecimeto de Cálculo Diferecial e tegral o estudo da Estatística. MANN apreseta vários eemplos do teste da hipótese e da comparação de duas médias usado o Teste T-Studet. O teto traz a teoria e prática jutas através de eercícios resolvidos que auiliam a compreesão do assuto. Trata-se de uma referêcia ecelete para estudates de Estatística e Probabilidade. MONTGOMERY et al. elabora uma itrodução à Estatística voltada para a Egeharia. Medições e aplicações práticas de Egeharia são apresetadas e resolvidas. O autor se utiliza de uma matemática um pouco mais avaçada que eige o cohecimeto de cálculo diferecial e itegral complemetado o estudo de probabilidade e de distribuições cotíuas. FARAS et al. apreseta uma ótima referêcia para uma itrodução à Estatística. Com uma eplaação resumida e rápida o autor aborda os pricipais tópicos da ferêcia Estatística e do método estatístico através de eemplos iteressates como o uso do Teste T-Studet para se comprovar a teoria da evolução de Darwi. Este mesmo teste é usado este trabalho de pesquisa. Com relação à Metrologia e estudo de medidas foram utilizadas esta tese as pesquisas abaio citadas. GONÇALVES 99 apreseta a base da Metrologia além de cuidados que devem ser tomados ao se realizar medidas. Trata-se de uma itrodução às medições em Egeharia. Com uma liguagem muito simples e clara o autor aborda coceitos sobre erros as medições icertezas e a difereça etre precisão e eatidão e eplica porque se devem realizar várias medidas repetidas para chegar a um resultado melhor e mais cofiável. GUMARÃES 999 realiza um estudo da Metrologia direcioado ao campo da idústria apresetado regras práticas que devem ser seguidas para se obter uma melhor medida. Vários métodos eperimetais são descritos e detalhados e técicas eperimetais são apresetadas.

45 5 LRA 7 realiza um estudo detalhado dos métodos eperimetais. Citado ormas do NMETRO da ABNT e da SO o autor eplica como seguir as ormas e quais são a mais adequada para cada caso. Um glossário de termos técicos e defiições rigorosas em Metrologia são aeados ao estudo. Trata-se de uma referêcia idispesável para estudates e pesquisadores. CORDERO et al. 7 propõem uma metodologia para a aálise de icerteza em algoritmos do cálculo de fase. Usado de bases Estatísticas esta pesquisa aalisa e testa equações que utilizam muitas images e com deslocameto de fase cohecidos e determiados. Chega-se a importate coclusão que se utilizado equações com um elevado o úmero de images tem-se uma redução da icerteza da medição. Assim o uso de um maior úmero de images o cálculo de fase melhora a precisão das medidas quato o deslocameto de fase é cohecido. Além de todas as referêcias citadas foram cosultados mauais de software e programas computacioais referêcias históricas e evolutivas de métodos e técicas cietíficas acrescidas de tetos sobre Programação Estruturada de Computadores Orietação a Objetos Aálise de Sistemas e Egeharia de Software. A Computação e Desevolvimeto de Sistemas têm preseça marcate esta pesquisa cietífica. A formática foi parte itegrate do seu desevolvimeto cotribuido de forma crucial para a eecução de uma eorme quatidade de cálculos e tarefas..8 Metodologia No desevolvimeto deste estudo foi utilizada a bibliografia pertiete ao tema de uso comum as redes públicas e particulares de esio livros ecotrados em livrarias e bibliotecas além de vasta pesquisa a teret. Formou-se assim um grade levatameto bibliográfico sobre Técica de Moiré Algoritmo de Carré e Método de Otimização Não-liear de Brach-ad-Boud. Além disso foi realizada uma aálise dos livros trabalhos cietíficos artigos e tetos complemetares que poderiam ser usados a pesquisa. A fim de se verificar a capacidade da Técica Moiré de Sombra em determiar a topografia de objetos perfilometria com superfície irregular foi

46 realizada a motagem dos equipametos e uma série de eperimetos a medição de objetos maequim frutas peças de madeira pitadas de braco objetos cilídricos ou esféricos plaos icliados e blocos de padrões métricos e programas de computador em MatLab que implemetam o Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Também foram realizadas aálises de icerteza e erro as medidas e a comparação dos resultados com softwares comerciais que implemetam a Técica de Moiré como o Risig-Su Moiré WANG 8 e o Fra JUDGE 99. Após os testes de medição de topografia usado a técica padrão Moiré de Sombra implemetou-se o Algoritmo de Carré ode o deslocameto de fase é descohecido e o passo é costate etre cada fase utilizado quatro images. A ideia era testar o programa em MatLab com o Algoritmo de Carré. E em seguida adaptá-lo para utilizar a geeralização do Algoritmo de Carré que ão fica restrito a quatro images. Para tal desevolveu-se um programa em Delphi/Pascal para implemetar o método de Otimização teira Não-liear de Brach-ad-Boud. Com a implemetação computacioal de Brach-ad-Boud foram criadas ceteas de equações para o cálculo de fase ode o deslocameto de fase é descohecido mas o passo é costate etre cada fase utilizado-se mais de quatro images. Essas equações foram testadas matematicamete para verificar sua validade e veracidade. Usou-se também o software comercial de Otimização Ligo para cofirmar essas mesmas equações do cálculo de fase. Tato o Ligo como a implemetação de Brach-ad-Boud obtiveram sucesso o ecotro de ovas equações do cálculo de fase usado-se o modelo matemático da geeralização do Algoritmo de Carré. Trabalhado com essas ceteas de equações iéditas do cálculo de fase verificou-se que em muitas delas havia regras de formação e simetrias. Usado estas regras tetou-se chegar a um esquema algoritmo para a criação de equações do cálculo de fase sem a utilização de qualquer técica umérica. Este esquema foi testado computacioalmete com o úmero de images variado de quatro até algus milhões de frames quadros ou images usado-se muitos valores gerados aleatoriamete e cálculos uméricos. Utilizado-se as rotias dos programas feitos em MatLab que implemetam a Técica Moiré de Sombra as medidas da topografia de objetos foram realizadas com as ovas equações do cálculo de fase desevolvidas ateriormete. Usado

47 7 objetos com dimesões cohecidas ou de fácil estimação obteve-se o erro em milímetros da aplicação da Técica Moiré de Sombra com cada uma destas ovas equações. Para comparação das medidas e dos erros ecotrados as medições usou-se a ferêcia Estatística. As melhores equações obtidas foram selecioadas. Além disso foi realizado um estudo com o tratameto de images ode em vez do uso de fotografias reais de Frajas de Moiré as images foram criadas o computador. Usado-se o cohecimeto de Processameto Digital de mages ruídos e distorções foram acrescidos as images geradas a fim de torá-las o mais próimo possível do real. Utilizado-se ovamete as rotias em MatLab que implemetam a Técica de Moiré de Sombra com as ovas equações do cálculo de fase foram realizadas medições e aálises de erros com essas images geradas o computador usado objetos imagiários fuções matemáticas da superfície de uma curva. O objetivo desse trabalho foi testar e comparar as ovas equações do cálculo de fase criadas com o Método Brach-ad-Boud. A simulação ou Moiré iverso cosiste a produção de images Moiré de Sombra correspodete a um dado campo de deslocametos teórico. A utilização de Moiré iverso tem se mostrado particularmete útil a verificação da validade das ovas técicas para processameto automático de padrões Moiré de Sombra torado-se uma ferrameta idispesável a verificação dos erros computacioais diferetes dos erros eperimetais presetes em qualquer método computacioal para aálise de padrões Moiré de Sombra que utilize Processameto Digital de mages. Além disso foram desevolvidos programas em Delphi/Pascal para aalisar de forma metrológica o erro e a icerteza padrão e epadidas das ovas equações do cálculo de fase criadas a tese. Esta aálise possibilitou uma comparação etre os algoritmos de cálculo e verificar quais apresetavam melhor precisão. Ao fial da pesquisa há uma aálise comparativa das medidas eperimetais usado-se as Técicas de Moiré com as ovas equações do cálculo de fase criadas. Coclusões e aproimações foram etão costruídas com base esta Aálise Estatística e a sugestão de propostas para futuros trabalhos.

48 8.9 Recursos Todos os recursos materiais utilizados esta pesquisa pertecem ao Laboratório de Aálise Estrutural da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais e foram cedidos para que a tese pudesse ser elaborada. Do material utilizado destacam-se com especial ateção algus ites descritos a seguir. O retículo de frajas foi cofeccioada com o uso de uma trasparêcia afiada a uma placa de vidro. A placa de vidro tem mm de espessura com mm de comprimeto e mm de altura. O vidro foi cuidadosamete limpo ficado sem arrahados ou tricas. Foi utilizada uma impressora de jato de tita para a impressão do retículo a trasparêcia. O padrão de impressão utilizado foi o fotográfico com uma resolução equivalete a 8 9 dpi. A trasparêcia foi etão cortada o tamaho da placa de vidro de forma que as frajas cobrissem todo o vidro. Posteriormete a trasparêcia com o padrão de frajas foi afiada a placa de vidro evitado ao máimo a formação de bolhas de ar etre a placa e a trasparêcia. A fiação da trasparêcia a placa de vidro foi realizada com papel cotact trasparete colado as laterais da trasparêcia. Micrômetros foram motados o retículo para possibilitar o deslocameto de fase etre as várias images fotográficas de forma precisa e eata e esta estrutura foi presa a um suporte móvel. O passo pitch de um retículo de Moiré é a distâcia etre os potos correspodetes as barras ou frajas adjacetes e a frequêcia de um retículo é o úmero de barras por uidade de medida POST et al. 99 sedo o passo esta pesquisa utilizado como uidade de medida o milímetro. Para escolha da câmera foram aalisados os seguites critérios: custo resolução facilidade de cotrole e automação. A câmera utilizada foi So Digital DSC-H de 5 megapiéis. Foi usada também uma fote de luz de Fiber Optic Light Source de watts de luz braca icadescete. Para o processameto foram utilizados os microcomputadores com processador Petium da tel tipo PC com sistema operacioal Widows XP da Microsoft do Laboratório de Aálise Estrutural dado-se preferêcia a programas e softwares já utilizados pela Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. Foram usados os seguites softwares:

49 9 Risig-Su Moiré WANG 8 programa comercial que implemeta várias técicas automáticas de aálise de frajas de Moiré e se ecotra dispoível o site FRAN The Automatic Aalsis of terferometric Data b T. R. Judge outro programa comercial que implemeta a aálise automática de frajas. Seu uso pricipal é em iterferometria. formações sobre o software podem ser obtidas o site: s.pdf; DEA terferometric Data Evaluatio Algorithms programa comercial que implemeta a aálise automática de frajas. Seu uso pricipal é em iterferometria. Nesta pesquisa este software e os dois ateriores foram usados para comparação e teste da implemetação desevolvida da Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. formações o site: SURFER Golde Software NC 995 software usado para costruir e aalisar gráficos em três dimesões. Dado um arquivo teto com as coordeadas z este programa traça vários tipos de gráficos. formações e detalhes maiores sobre o software o site: MatLab.5 b The MathWorks c. programa comercial de matemática computacioal que trabalha muito bem com matrizes e images sedo que várias rotias e filtros de Processameto Digital de mages já estão protas para serem usadas. Nesta pesquisa optou-se por este software pela simplicidade e facilidade de programação e por ser o adotado os cursos de Egeharia da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. formações sobre o software estão dispoíveis o site: Ligo. Copright 8 LNDO SYSTEMS software comercial de Otimização Liear Não-liear teira e Global que implemeta o Método Brach-ad-Boud sedo usado esta pesquisa para comparar e verificar a veracidade do programa em Liguagem Pascal desevolvido que implemeta

50 5 o Método Brach-ad-Boud. formações podem ser obtidas o site: Maple 7. e 9. Maplesoft a divisio of Waterloo Maple c. 7 programa de matemática computacioal que implemeta maipulações algébricas e trigoométricas de fuções e equações adotado o Departameto de Matemática e Estatística da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. Na tese este software foi usado para verificar aaliticamete as ovas equações do cálculo de fase desevolvidas usado relações trigoométricas elemetares e procedimetos algébricos. formações e maiores detalhes sobre o software estão dispoíveis o site: Delphi/Pascal. Borlad Software Corporatio compilador da Liguagem Pascal e ambiete de desevolvimeto de aplicações Widows DE do iglês tegrated Developmet Eviromet ou Ambiete tegrado de Desevolvimeto adotado pelo stituto de formática de Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. Maiores iformações sobre o compilador são ecotradas o site: DEV-C Copright Bloodshed Software compilador gratuito das Liguages C e C com ambiete de desevolvimeto de aplicações Widows. Utiliza o padrão ANS America Natioal Stadards stitute da Liguagem de Programação C. É adotado pelo stituto de formática de Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. Maiores iformações sobre o compilador são ecotradas o site: Miitab 5. Copright 8 Miitab c. programa de Matemática Estatística para aálise e iferêcia de dados adotado pelo Departameto de Matemática e Estatística da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. formações sobre o software o site: Microsoft Ecel 8 Microsoft Corporatio programa de maipulação de plailhas eletrôicas equações matemáticas e estatísticas usado esta pesquisa para cálculos uméricos e verificação de equações desevolvidas. formações sobre o software o site:

51 5. Procedimetos Nesta pesquisa foram realizadas as seguites atividades: Revisão bibliográfica:. pesquisa bibliográfica;. revisão de literatura. Motagem dos eperimetos:. motages dos equipametos Projetor de Luz câmera suporte e retículo;. implemetação em MatLab da Técica de Moiré com Deslocameto de Fase e programação usado o Algoritmo de Carré;. aquisição de images por fase até images Maequim frutas peças de madeira objetos cilídricos esféricos e plaos icliados com blocos de padrões métricos;. calibração e medições da topografia de objetos perfilometria com superfície irregular utilizado a Técica de Moiré;.5 medições da topografia dos objetos com os programas em MatLab ;. medições da topografia dos objetos com os softwares comerciais Risig-Su e Fra ;.7 comparação dos resultados das rotias desevolvidas o MatLab com as dos softwares comerciais e trabalhos ateriores sobre a Técica de Moiré; Dedução de ovas equações para cálculo de fase:. proposta de uma ova geeralização do Algoritmo de Carré;. implemetação em Delphi/Pascal do método de Otimização de Brach-ad-Boud;. dedução das ovas equações usado o programa em Delphi/Pascal ;. implemetação em Delphi/Pascal de um programa para teste matemático e validação das ovas equações obtidas;

52 5.5 implemetação em Ligo de rotias para obter ovas equações do cálculo de fase;. comparações etre as equações obtidas o programa em Delphi/Pascal e as obtidas em Ligo ;.7 epasão e criação de regras esquemas para gerar equações para muitas images;.8 implemetação computacioal e teste matemático das regras esquemas e algoritmos para gerar equações para muitas images em Delphi/Pascal ;.9 seleção das equações que apresetaram melhores resultados o teste matemático; Teste das ovas equações do cálculo de fase:. alterações do programa em MatLab da Técica de Moiré com Deslocameto de Fase usado o Algoritmo de Carré para icorporar as ovas equações de cálculo;. aquisição de mages por Fase até images maequim frutas peças de madeira objetos cilídricos esféricos plaos icliados e blocos de padrões métricos;. calibração eecução e aplicação do programa em MatLab com as ovas equações as images adquiridas realização de medidas pela Técica de Moiré;. obteção da medição correta dos objetos por métodos mecâicos de cotato pelo uso de paquímetros;.5 levatameto do erro em milímetros das medições realizadas com o programa em MatLab com as ovas equações do cálculo de fase;. geração de images de Frajas de Moiré usado o computador em MatLab com criação de images com e sem ruídos aleatórios;.7 teste das ovas equações do cálculo de fase com as images geradas o computador;.8 desevolvimeto de programas computacioais em Delphi/Pascal para a aálise da icerteza;

53 5.9 teste das ovas equações do cálculo de fase usado a aálise de icerteza; 5 Aálise dos resultados: 5. comparação do erro etre as ovas equações do cálculo de fase e uso da ferêcia Estatística; 5. aálise dos erros e comparação dos resultados; 5. coclusões e proposta de futuros trabalhos.. Tópicos Esta tese é iiciada com um primeiro capítulo que cotém uma itrodução sobre o assuto além das justificativas problemas hipóteses objetivos do trabalho de pesquisa desevolvido e revisão de literatura. O objetivo é iformar em detalhes a temática da pesquisa e como a mesma foi plaejada e eecutada. O segudo capítulo detalha a Técica de Moiré dado êfase à Técica Deslocameto de Fase. Uma revisão bibliográfica sobre a referida técica apreseta um caráter didático. O objetivo é oferecer ao leitor uma base de cohecimeto que o permita compreeder todo o estudo. O terceiro capítulo mostra deduções das equações para o cálculo de fase quado o passo de fase é descohecido usado mais de quatro images. Trata-se de uma epasão do Algoritmo de Carré e uma complemetação do trabalho de NOVAK 8. Cosidera-se esta cotribuição como iédita e muito importate pois mostra como as ovas equações do cálculo de fase foram obtidas usado-se métodos uméricos e programas computacioais. Este capítulo forma o corpo pricipal da tese. O quarto capítulo traz uma revisão do tratameto de images abordado a etapa de desempacotameto uwrappig geração de images de frajas de Moiré o computador e acréscimo de ruídos e distorções além de uma discussão sobre filtros iiciais as fotografias de Moiré. Este capítulo complemeta uma revisão teórica sobre a Técica de Moiré iiciada o Capítulo. Além disso detalha o tratameto dado às images e fotografias utilizadas a pesquisa.

54 5 No quito capítulo são apresetados os testes e comparações das ovas equações do cálculo de fase criadas. Para tal é utilizada uma aálise de icerteza e ferêcia Estatística a comparação. O objetivo é testar o erro obtido com as rotias computacioais que implemetam a Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase quado se usa em vez da equação origial de Carré para quatro images uma das ovas equações desevolvidas com mais images. Este capítulo justifica o desevolvimeto destas ovas equações e sua aplicação prática. Por fim a tese culmia com uma coclusão ode elemetos medidas e comparações são cofrotadas. Propostas de futuros trabalhos são sugeridas.. Coclusão do capítulo Todas as técicas de medições óticas apresetam dificuldades e limitações por essa razão ão eiste uma técica que possa ser cosiderada a melhor em geral. O que vai realmete defiir a técica ideal para a medição que se pretede realizar vai depeder de uma grade quatidade de fatores tais como o preço do sistema a velocidade a automação a resolução desejada etc. Coclui-se pois que a Técica Moiré de Sombra pode ser usada em diversas áreas mostrado-se capaz de ser usada amplamete detro das áreas idustriais e automotivas por ser uma técica sem cotato com alta capacidade de automação e com ídices de erro aceitáveis. Etretato um empreedimeto pode ser realizado pricipalmete a elaboração de ovas técicas e processos que melhorem a precisão e reduzam os erros. São aida importates mais estudos testado diversas possibilidades para a Técica de Moiré a fim de refiá-la e descobrir possíveis erros os quais muitas vezes ão estão descritos claramete a literatura ou apeas são citados de forma muito superficial. A Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase e o Algoritmo de Carré pode ser usada para uma ifiidade de aplicações o que demostra a validade de se ivestir esforços para aprimorar seu uso. Destaca-se aida que esta tese só foi possível graças à formação mesmo que iformal de um grupo de pesquisa sobre Moiré o Laboratório de Aálise Estrutural da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais grupo este formado

55 55 por professores do Programa de Pós-graduação em Egeharia Mecâica aluos de mestrado e doutorado bolsista de iiciação cietifica e estudates de graduação de Egeharia Mecâica e Mecatrôica da PUC-Mias. Assim este estudo cota um pouco o trabalho desevolvido por este grupo de pesquisa e mostra a importâcia deste tipo de estrutura para o desevolvimeto de bos trabalhos cietíficos. Este capítulo apresetou a proposta desta tese de doutorado defiido de forma clara a sua relevâcia sua justificativa seu escopo seus objetivos sua metodologia e sua cotribuição. Uma vez defiido o plao de trabalho os capítulos seguites vão desevolver a proposta seguido seus objetivos e delimitado seu desevolvimeto pelo escopo do trabalho de pesquisa.

56 5 CAPÍTULO TÉCNCA DE MORÉ. trodução do capítulo Objetivado itroduzir o tema desta tese elabora-se este capitulo uma revisão da Técica de Moiré apresetado os fudametos teóricos deste trabalho de pesquisa. Atualmete os equipametos de descrição da superfície de objetos e compoetes aplicados ao cotidiao da Egeharia de modo geral aida possuem limitações. sso se deve ao fato de que em algus casos é ecessário o cotato etre o sesor e a superfície dificultado o processo de aálise de protótipos. Dessa forma o estudo de "técicas ão ivasivas" que possam vir a suprir essas deficiêcias é de suma importâcia. Para estudos de avaliações em protótipos de máquias e de outras aplicações a Egeharia a aquisição de medições das superfícies de peças e equipametos frete a diferetes situações é um dos temas mais importates a atualidade. A perfilometria é uma técica capaz de mostrar o relevo de uma superfície qualquer possibilitado seu estudo de formas variadas. Trata-se de uma liha de aplicação multidiscipliar amplamete utilizada a Medicia a Biomedicia a Egeharia Mecâica a Robótica as Ciêcias Agrárias etc. LNO defie a perfilometria como um cojuto de técicas utilizadas para a medição da superfície de cotoro. Para a costrução da perfílometria de uma superfície eistem os métodos covecioais de medição como o perfilômetro o rugosímetro além de medidores de deformação elétricos como o strai gauge. Geralmete a maioria desses sesores pricipalmete os eletrôicos está sujeita a codições físico-químicas ambietais temperatura pressão umidade ph etc. que podem iterferir a medição das variáveis além de trabalharem detro de faias limitadas de medidas. De outro lado estão as técicas óticas que possibilitam estudos da perfilometria de objetos em geral sob situação estática e mais recetemete sob situações diâmicas. Detre as mais utilizadas estão as Técicas de Moiré.

57 57 LNO levatou a hipótese de que a Técica de Moiré pode ser aplicada com resultados satisfatórios a geração de modelos digitais de elevação ou topográficos de superfícies irregulares como por eemplo os órgãos vegetais. Relata aida que as técicas óticas possuem a vatagem de serem rápidas e de ão ecessitarem um cotato físico com o objeto em estudo sedo idicadas para estudos com materiais sesíveis como por eemplo as frutas. Assim segudo POST et al. 99 as Técicas de Moiré têm se mostrado favoráveis o que diz respeito à versatilidade agilidade e facilidade de coleta e tratameto dos dados além de oferecer relativa cofiabilidade. Podedo ser desevolvido em estudos de vibrações de peças sob codição diâmica determiação de tesões e deformações portam-se como eficietes ferrametas para medições de deslocametos fora do plao rotações e deslocametos de potos de uma superfície observada em relação a uma superfície de referêcia ou aida a icliação de uma superfície observada em relação a um estado de referêcia mostrado deslocametos da ordem de até frações de micrometros µm. Numa descrição simplificada as Técicas de Moiré cosistem a comparação de dois retículos periódicos quado um segue o comportameto da superfície do objeto retículo modelo - Rm e outro ão está deformado seguido o comportameto de um plao de referêcia retículo de referêcia - Rr. A luz que passa etre os retículos se sobrepõe formado padrões de Moiré ou Frajas de Moiré que se comportam como odas seoidais ou coseoidais.. A Técica de Moiré A palavra moiré é de origem fracesa quer dizer molhado e dá ome a um tecido de seda importado da atiga Chia chamalote: tecido sedoso tipo tafetá com refleos odulates; também ome vulgar da madressilva. Esse tecido é composto de duas camadas e quado ocorre um movimeto relativo etre estas camadas aparecem padrões semelhates a odas deomiadas etão Frajas de Moiré. O feômeo de Moiré foi estudado primeiramete pelo físico iglês LORD RAYLEGH 87 que sugeriu que ele poderia ser usado para testar a perfeição de

58 58 grades de difração. Em 95 estudado o feômeo D. TOLLENAR descobriu que as Frajas de Moiré são a verdade magificadoras de movimeto e que poderiam dar uma alta sesibilidade a medições de movimetos relativos. A partir daí empregou-se o feômeo para estudar deslocameto deformação e tesão. Subsequetemete o método foi refiado e aplicado uma grade variedade de circustâcias. TAKASAK 97; 97 utilizou a sobreposição de um retículo sobre a sua própria sombra Moiré de Sombra para medir o relevo de objetos e pessoas. Neste caso as frajas de Moiré formadas são costituídas por um cojuto de potos de mesma cota semelhates às curvas de ível de mapas topográficos. As frajas ou padrões de Moiré são produzidos quado se sobrepõe duas estruturas periódicas chamadas retículos ou grades Figura. Esses retículos podem costituir-se de lihas paralelas ou radiais círculos ou elipses cocêtricas ou mesmo potos espaçados equidistatemete ou ão. Os retículos mais comumete utilizados são costituídos por lihas ou faias claras trasparetes e escuras opacas paralelas e equidistates. O cetro das faias claras ou escuras é chamado liha do retículo e a distâcia etre os cetros de lihas do retículo de duas faias escuras ou duas faias claras cotíguas é o período ou passo p do retículo e o iverso do período é a frequêcia do retículo f geralmete dado em lihas por milímetro l/mm. Quado essa superposição ocorre formado um pequeo âgulo de iterseção etre as lihas dos dois retículos pequeo deslocameto em um dos dois retículos provocará grades deslocametos as Frajas de Moiré isto é o deslocameto será magificado. Figura - Frajas de Moiré produzidas pela sobreposição de dois retículos. Fote: LNO. LNO cita o caso de dois retículos que possuem lihas equidistatemete espaçadas um deles retículo R que possui lihas paralelas ao

59 59 eio com período p é sobreposto pelo outro retículo R com lihas com período p diferete de p formado um âgulo θ etre as lihas dos dois retículos. Observa-se o aparecimeto de um terceiro retículo Frajas de Moiré formado pela iterseção das lihas dos retículos R e R Figura. Figura Formação das Frajas de Moiré pela sobreposição de retículos costituídos de lihas paralelas. Fote: CLOUD 988 p. 9. LNO cita aida um aspecto relevate sobre a formação das Frajas de Moiré é que a visualização dessas frajas se comporta a maioria das vezes como odas seoidais Figura 5. A itesidade luz observada é a verdade a média da luz trasmitida através dos retículos e e ode a luz trasmitida é máima têm-se o cetro das frajas claras e ode a luz trasmitida tede a zero tem-se o cetro das frajas escuras.

60 Figura 5 - Formação das Frajas de Moiré pela trasmissão da luz através de dois retículos costituídos de lihas paralelas superpostas. Fote: CLOUD 988 p. 5. Para todas as Técicas de Moiré são ecessários dois retículos sedo que um deles segue o cotoro do objeto e é chamado de retículo deformado ou retículo do modelo Rm e o outro permaece ideformado e serve como referêcia sedo chamado por isso de retículo ideformado ou de referêcia Rr. Esses dois retículos podem sigificar tato dois retículos fisicamete separados quato dois registros do mesmo retículo um ates e outro depois da deformação. Para a Técica Moiré de Sombra o Rr cujas faias claras são trasparetes é colocado à frete do objeto. Quado este é ilumiado por uma fote a sombra dele é projetada sobre a superfície do objeto Rm. As Frajas de Moiré são formadas pela iterferêcia dos dois retículos quado o observador olha através do Rr oferecedo como vatagem a observação istatâea das Frajas de Moiré. A sesibilidade da Técica Moiré de Sombra depede pricipalmete do período do retículo; um período meor forece uma precisão maior o que é desejável para medições de deformações o plao quado se ecessita medir deslocametos muitos pequeos. O período p mais comumete usado as aplicações de trabalhos ormais com Moiré varia de a lihas/mm porém uma maior desidade pode ser utilizada. Frajas produzidas por baias desidades de lihas podem ser observadas a olho u utilizado-se luz comum. No etato para altas desidades de lihas como o efeito de difração da luz se tora domiate é ecessário usar luz coerete luz coerete é aquela formada por odas de mesma frequêcia fase e direção.

61 O passo pitch de um retículo de Moiré é a distâcia etre os potos correspodetes as barras ou frajas adjacetes. Algumas literaturas trazem frequêcia espacial do retículo ao ivés do passo. Frequêcia é o recíproco do passo ou seja o úmero de barras por uidade de medida POST et al. 99. Frequetemete as barras dos retículos são chamadas de lihas etão o passo de um retículo p é a distâcia etre as lihas adjacetes e a frequêcia o úmero lihas por uidades de medida. ONUMA et al. 99 desevolveram um método que aplicado à iterferometria pode aumetar grademete as resoluções espacial e vertical quado comparado à iterferometria covecioal. Os autores utilizam múltiplos iterferogramas os quais as fases são mudadas ou deslocadas etre um e outro. Daí a deomiação Técica Deslocameto de Fase. DRKX et al. 988 aplicaram a Técica Deslocameto de Fase em Moiré de Sombra obtedo uma precisão a prática o míimo vezes maior que a simples medição de frajas para um dado arrajo eperimetal. Além disso o método é mais rápido e capaz de determiar automaticamete a cocavidade e a coveidade da superfície. WANG descrevedo a Técica Deslocameto de Fase aplicado à Moiré de Sombra usa images das Frajas de Moiré. Em cada uma delas o objeto é aproimado ou afastado do Retículo de Referêcia Rr de maeira a produzir deslocametos das Frajas de Moiré em /π π e /π da fase. A itesidade lumiosa em cada uma das images de resolução gráfica por é descrita pelas equações: m m m m a a cos a a cos cos cos [ φ ] [ φ π / ] [ φ π ] [ φ π / ]. ode: m itesidade lumiosa do fudo em cada poto da imagem; a itesidade de modulação em cada poto da imagem; φ é a fase a ser determiada; : compoetes das posições horizotais e verticais da imagem.

62 Resolvedo as equações simultaeamete com deslocameto de fase π/ pode-se obter o termo fase φ para cada poto da imagem: arctg φ. O cálculo da fase realizado pelo computador resulta em valores que variam de -π/ a π/ por isso a imagem resultate que é chamada de Mapa de Fases Empacotadas possui descotiuidades. Para images com deslocameto de fase de π/ tem-se: arctg φ. Para 5 images com deslocameto de fase de π/5 tem-se: 5 arctg φ. Uma técica melhorada a qual ão é ecessário cohecer o passo do deslocameto de fase para images e assim podem-se evitar erros de calibração é o Algoritmo de Carré com deslocameto de fase descohecido δ?: δ φ δ φ δ φ δ φ cos cos cos cos a m a m a m a m.5

63 δ φ arctgtg. ou φ arctg [ ][ ]... Novamete o âgulo φ resulta em valores que variam de -π/ a π/ possuido pois descotiuidades. Estas descotiuidades são removidas por um processo chamado desempacotameto de fase Phase Uwrappig. A Figura mostra o perfil de um objeto com mapa de fases empacotadas a e o mesmo perfil com as fases desempacotadas b. Figura Desempacotameto de fases. a Mapa de Fases Empacotadas de um perfil. b Fases Desempacotadas o mesmo perfil. Fote: LNO p.. DRKX et al. 988 desevolveram um método chamado Técica Deslocameto de Fase baseado em Moiré de Sombra para a recostrução de superfícies -D. Nesse arrajo eperimetal são tomadas images do objeto ou alvo com as Frajas de Moiré sedo que etre cada imagem o objeto foi aproimado ou afastado do retículo distâcias de fração do período deste retículo. Após a digitalização as images foram subtraídas e através de um programa computacioal a recostrução da superfície do objeto foi obtida. A formação das Frajas de Moiré se deve à iterferêcia ótica etre o retículo de referêcia Rr e a sua sombra o que é chamado de Retículo do Modelo [Rm] projetada sobre o compoete a aalisar. CLOUD 988 demostra a formação das Frajas de Moiré de Sombra. O Retículo do Modelo Rm acompaha a topografia do objeto e é observado através do Retículo de Referêcia Rr. Em algumas áreas

64 as lihas de Rm sob a perspectiva do observador se ecotrarem com as lihas de Rr permitido a trasmissão dos raios lumiosos refletidos pela superfície do objeto formado as frajas claras. Em outras áreas as lihas de Rm estão alihadas com as lihas de Rr ão havedo portato a trasmissão para o observador dos raios lumiosos formado etão as frajas escuras. A Figura 7 mostra um ciclo completo que vai das frajas claras para as escuras e das escuras para as claras. Figura 7 Formação das frajas o Moiré de Sombra. Fote: LNO p.. O esquema eperimetal apresetado a Figura 8 mostra a motagem usada pela Técica Moiré de Sombra com a fote de luz o observador câmera o retículo e o objeto a ser medido. Figura 8 Sistema eperimetal para Moiré de Sombra com ilumiação. a Com observador localizado a um âgulo em relação à ormal ao plao que cotém o retículo de referêcia; b Com observador localizado perpedicularmete ao plao que cotém o retículo de referêcia. Fote: LNO p..

65 5 É importate destacar que se tem como fialidade pricipal medir o deslocameto perpedicular do retículo em relação ao objeto ou o deslocameto do objeto em relação ao retículo. Um feie de luz paralela icide sobre o retículo de referêcia de passo pitch p - sedo o pitch a distâcia etre lihas adjacetes em um âgulo α etre a ormal e o plao do retículo de referêcia. O perfil a ser medido deve estar logo atrás do retículo de referêcia. As sombras geradas a peça pelo retículo de referêcia são observadas através do próprio retículo de referêcia pela câmera a um âgulo β etre a ormal e o retículo de referêcia. Tem-se como a ordem de fraja formada o objeto e com φ/π ode φ é a fase em radiaos. Em outras palavras uma ordem iteira de fraja represeta uma fase π radiaos ou o. E Z é a distâcia vertical a ser medida do retículo plaa ao objeto. PATORSK 99 mostra que: p Z.7 ta α ta β Um caso especial de iteresse é quado o observador ou câmera está ormal ao plao do retículo Figura 8 b. Neste caso β e tem-se: p Z.8 taα Estas são as equações que têm sido usadas para a maioria dos estudos de Moiré de Sombra. A suposição do observador ou câmera estar o ifiito ão é a úica prática. Etretato se a estrutura é pequea e o observador ou câmera está suficietemete distate isso pode ser cosiderado que é justamete o caso da motagem eperimetal realizada a tese. Deve-se citar que é comum uma etapa de pré-processameto as images fotográficas para elimiar ruído. Normalmete as fotografias são capturadas de forma colorida e trasformadas em 5 íveis de ciza 8bits. As fotografias quado em tos de ciza apresetam valores de piéis que variam de preto a 55 braco. A ideia de trasformar as images em tos de ciza ajuda a ecoomizar tempo de processameto sem prejudicar a qualidade do resultado de

66 medição. Um piel é o meor poto que forma uma imagem digital sedo que os cojutos de milhares de piéis formam a imagem iteira e quato maior for o úmero de piéis melhor a resolução que a imagem terá. HUANG et al. 8 desevolveu um esquema de captura de images de Moiré de Sombra que utiliza o Algoritmo de Carré o qual o deslocameto de fase pode ser arbitrário mas que permaece completamete costate etre todas as images. Dimiuido sesivelmete o erro e aumetado sigificativamete a precisão. sso mostra com o tema é atual em muitas pesquisas. A literatura relata muitos trabalhos e pesquisas de sucesso usado a Técica Moiré Sombra com precisão ótima comprovado ser a mesma uma técica de baio custo e alta aplicabilidade em Egeharia.. Comparação de valores medidos Nesta pesquisa foi criado um software computacioal em MatLab para implemetar a Técica de Moiré com Deslocameto de Fase seguido o esquema mostrado o item aterior e usado a Equação. para images a Equação. em images a Equação. com 5 images e a Equação. para images segudo o Algoritmo de Carré. O programa criado em MatLab possui o seguite algoritmo: etrada de dados e aquisição das images; trasformação das images para moocromática com piéis de 8 bits -55 tos de ciza; aplicação de filtros passa baia e Gaussiaa; cálculo de fase em cada piel de [; π/]; passagem da fase de [; π/] para [-π; π]; desempacotameto de fase uwrappig; cálculo da altura Z e cálculo das coordeadas e o plao. Nesse programa etram as images ou fotografias de Moiré para cada deslocameto de fase o valor de p em milímetros passo pitch distâcia etre as lihas do retículo de referêcia o âgulo α em graus âgulo etre a ormal e o

67 7 feie de luz e o âgulo β em graus âgulo etre a ormal e o poto de observação. Alterativamete em vez de etrar com α e β o programa permite que se etre com a distâcia d em milímetros distâcia etre a fote de luz e a câmera fotográfica e a distâcia h em milímetros distâcia perpedicular reta etre o retículo e a fote de luz. Como saída do sistema tem-se um arquivo com as alturas Z em milímetros distâcia etre o retículo e o objeto a ser medido em cada piel da imagem e um gráfico em -D destas medidas Figura 9. Cita-se aida que implemetações usado a Técica de Moiré ão são iéditas e rotias e fotes protas em MatLab podem ser ecotradas em ASUND. Optou-se este estudo em fazer uma ova implemetação em razão de testes particulares e específicos com outras equações do cálculo de fase que serão desevolvidas os capítulos seguites. Figura 9 Telas etrada e saída do programa em MatLab que implemeta Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Fote: Resultados da pesquisa. As medidas forecidas pelo programa desevolvido em MatLab são etão comparadas com os resultados de softwares comerciais que implemetam a Técica de Moiré como o Risig-Su Moiré de WANG 8 ode são colocados os mesmos dados de etrada e comparada às medidas dos arquivos de saída de cada

68 8 programa Figura. O resultado para vários eemplos foi um erro relativo meor que % dos valores medidos. Ou seja parece que a rotia em MatLab está processado corretamete as medidas das images fotográficas de Moiré. Este mesmo processo de comparação foi realizado etre o programa em MatLab e outro software comercial DEA terferometric Data Evaluatio Algorithms 5 com resultados bem semelhates. Figura Tela do programa comercial Risig-Su Moiré para a mesma etrada da Figura 9 do programa desevolvido em MatLab. Fote: Resultados da pesquisa. Nesta tese o erro relativo é calculado como o resultado de uma medição meos o valor verdadeiro do mesurado dividido por este valor verdadeiro. Uma vez que o valor verdadeiro ão pode ser determiado utiliza-se a prática um valor verdadeiro covecioal. O resultado ormalmete é epresso como uma porcetagem do valor verdadeiro. sso é realizado para cada piel da imagem com resolução gráfica M M segudo a Equação.9 abaio: Erro M M M e Z i j Z i j Z i i j i M M M e Z i j i j i e Z i Relativo %.9 e Z i ode: M é o úmero de piéis a horizotal da imagem;

69 9 M é o úmero de piéis a vertical da imagem; MM M é o úmero total de piéis da imagem; Z é o valor medido pela Técica de Moiré por meio das fotografias; Z e é o valor de referêcia tido como correto do perfil do objeto medido. Compararam-se as medidas obtidas com o programa criado em MatLab com as medidas cohecidas de objetos com geometrias simples como cilidros esferas e plaos icliados. É claro que o erro o uso da Técica de Moiré depede de uma eorme quatidade de variáveis como largura do retículo resolução gráfica da máquia fotográfica potêcia da fote de luz etc. Porém utilizado motages de Moiré os eperimetos realizados o Laboratório de Aálise Estrutural da PUC-Mias e usado o programa desevolvido obtêm-se erros da ordem de % a 9% do valor da altura do objeto medido com images usado o Algoritmo de Carré. Esse resultado é muito parecido com o de outros pesquisadores que usam a Técica de Moiré podedo ser citado: LNO RBERO DEL-VECCHO COSTA e GOMES 5. Todos estes pesquisadores trabalhado idepedetemete obtiveram erros semelhates aos obtidos o decorrer desta pesquisa. Mais detalhes dos eperimetos realizados são mostrados o Capítulo V. Nota-se que um erro relativo da ordem de % a 9% dos valores medidos é cosiderado alto em íveis metrológicos. Esforços e estudos devem ser realizados para tetar reduzi-lo torado a Técica de Moiré mais precisa e com uma maior aplicabilidade prática.. Coclusão do capítulo Neste capítulo procurou-se fazer uma revisão sucita da Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase e apresetar o Algoritmo de Carré. Essa itrodução é importate para a compreesão deste trabalho de pesquisa. Criou-se também um programa computacioal e se costruiu em laboratório uma motagem eperimetal para implemetar a medição perfilométrica de objetos usado a Técica de Moiré. O erro obtido foi bem semelhate ao ecotrado por

70 7 outros pesquisados usado essa mesma técica com motages eperimetais parecidas. A ideia foi usar a Técica de Moiré para itroduzir o Algoritmo de Carré que é utilizada em vários campos da ciêcia e da Egeharia como a terferometria e Metrologia Ótica. Nota-se aida que este trabalho de pesquisa vai-se usar a Técica de Moiré com a iteção de testar e avaliar eperimetalmete as ovas equações do cálculo de fase desevolvidas o capítulo seguite. Até este poto ão há ada de origial ou iédito esta pesquisa. Pelo cotrário uma vasta ampla e detalhada bibliografia pode ser ecotrada sobre este assuto e é citada este capítulo. Mas este estudo itrodutório é importate e forma a base para o salto que se vai dar os capítulos seguites ode este mesmo processo vai ser geeralizado para um úmero maior de images fotográficas com iteção de reduzir as icertezas da medição e melhorar a precisão da Técica de Moiré.

71 7 CAPÍTULO - NOVAS EQUAÇÕES DEDUZDAS. trodução do capítulo O feômeo Fraja de Moiré é o resultado da iterferêcia de luz pela superposição de uma rede de lihas. O padrão de regiões claras e escuras que se observa é chamado de Padrão de Moiré. Somete um estudo mais detalhado é capaz de revelar a característica mais relevate e útil do efeito de Moiré por meio do qual uma grade mudaça o padrão é obtida a partir de apeas um pequeo movimeto relativo etre as redes sobrepostas. A coclusão lógica é que o feômeo de Moiré é uma espécie de amplificador de movimeto que permite medições de alta sesibilidade de movimeto relativo. As Técicas de Moiré usam um sial ótico que pode produzir os resultados desejados de medição ótica através de algumas técicas de processameto desse sial. As técicas de processameto ormalmete evolvem a idetificação e o acompahameto de frajas em uma fotografia atribuido-lhe um correto úmero de ordem de fraja e aplicado as operações ecessárias para etrair os dados de medição. Há muitos aos o tratameto das images de Moiré é resumido a idetificação das frajas maualmete. A pricipal desvatagem do tratameto maual é que as resoluções da fraja são demasiado baias e por isso iadequadas para a medição eata. Com o desevolvimeto e dimiuição dos custos de equipameto de Processameto Digital de magem um grade esforço tem sido realizado para automatizar as técicas de medições das frajas. Um dos pricipais motivos desse esforço é o de se obter uma melhor precisão a fim de aumetar a velocidade e automatizar o processo. Há muitas técicas para o desevolvimeto de processos semi-automáticos e automáticos do processameto de sial ótico. A Técica Deslocameto de Fase é baseada a avaliação de valores de fases de diversas medições cada uma deslocado-se uma fase da outra. É ecessário realizar pelo meos três medições de itesidade de fase deslocada a fim de determiar a fase sem ambiguidade e com muita precisão em todos os potos do plao do detector. Essa técica oferece um cálculo totalmete automático o cálculo

72 7 de fase usado as itesidades lumiosas defasadas. Eistem diversos algoritmos para o cálculo da defasagem que diferem quato ao úmero de etapas de fases ao passo etre as capturas de images e a sua sesibilidade para os fatores que iflueciam a prática durate as medições.. O Algoritmo de Carré e o Algoritmo de Novak O padrão de fraja é uma fução cosseoidal que represeta a itesidade lumiosa em cada poto de images coforme POST et al. 99. Essa fução pode ser escrita a forma geral como: m a cos[ φ δ ]. ode: m : itesidade lumiosa do fudo em cada poto da imagem. a : itesidade de modulação em cada poto da imagem. φ: fase a ser determiada em cada poto da imagem. δ: deslocameto de fase com respeito à origem. : compoetes das posições horizotais e verticais da imagem. Se descohecido o deslocameto de fase são ecessárias um míimo de quatro images para se determiar a fase φ e os termos m a δ. A Técica Deslocameto de Fase é a técica preferida sempre que as codições eperimetais permaecem costates ao logo do tempo ecessário para se obter todas as images deslocadas de fases. CARRÉ 95 trabalhado em um microscópio fotoelétrico propõe uma ova técica que utiliza quatro frequêcias com o deslocameto de fase descohecido δ mas costate etre elas. Neste estudo utilizam-se quatro images moocromáticas com os padrões de Frajas de Moiré em piéis de tos ciza que variam em úmeros iteiros de

73 7 preto a 55 braco. Trata-se o deslocameto de fase δ como descohecido e as quatro images com as fases deslocadas são represetadas por: [ ] [ ] [ ] [ ] cos cos cos cos δ φ δ φ δ φ δ φ a m a m a m a m. Supodo-se que o defasameto é costate e ão muda durate as medições o motate do passo de cada fase pode ser calculado como: ta δ. e da fase em cada poto é determiada com: ta ta δ φ. ou [ ][ ] arcta φ.5 A vatagem do Algoritmo de Carré está clara pois este ão requer mecaismo de calibração do passo deslocameto de fase δ que pode ser qualquer valor; apeas deve ser costate durate a medição. NOVAK propõe uma pesquisa de geeralização do Algoritmo de Carré para cico images. Na sua proposta trabalha-se com a seguite formulação:

74 7 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] δ φ δ φ φ δ φ δ φ cos cos cos cos.cos 5 a m a m a m a m a m. NOVAK deduz oito equações aaliticamete trabalhado com relações trigoométricas elemetares. Para simplificar o estudo NOVAK defie somas e difereças de images como: k j jk k j jk b a.7 As equações deduzidas por NOVAK são mostradas a Tabela abaio: TABELA Epressões para o cálculo de fase com 5 images deduzidas por NOVAK. Fote: NOVAK p

75 75 Eistem muitas fotes de erro poteciais que podem afetar a precisão da medição. Na prática por eemplo verificam-se erros: a a alteração da fase; b os detectores ão lieares; c a discretização em tos de ciza; d o ruído da imagem; e a estabilidade da fote de eergia; f as vibrações e turbulêcia do ar; g as variações da temperatura; h o refleo e claridade da luz etc. Algumas das fotes de erro podem ser elimiadas com atecedêcia. Os pricipais elemetos ótico-eletrôicos que podem afetar a precisão do algoritmo para a avaliação da fase são os defasametos dos dispositivos e do detector da itesidade da luz. O algoritmo ideal para o cálculo da fase deve ter baia sesibilidade para a maioria dos erros de medição especialmete os erros do deslocameto de fase e erros a detecção de itesidade de luz. Segudo NOVAK o erro o cálculo da fase φ depede do âgulo deslocameto de fase δ sedo que cada equação deduzida tem um âgulo de deslocameto de fase ótimo. Após um estudo de aálise de erro estabilidade e performace computacioal cocluiu que a melhor equação para cico images é o Algoritmo A que pode ser reescrita como a Equação.8: ta a 5 5 φ.8 a b 5 5 Outro detalhe importate do trabalho de NOVAK é o de se usar o cálculo de valores proporcioais a seo e cosseo da fase φ para elimiar a ambiguidade dos valores de φ [-π/; π/] para φ * [-π; π] usado a Tabela abaio:

76 7 TABELA Epressões proporcioais a seo e cosseo da fase φ para cada equação proposta por NOVAK. Fote: NOVAK p. -8. NOVAK propõe um modelo matemático que permite aalisar a precisão e a estabilidade das Técicas Deslocameto de Fase em relação a fatores que afetam egativamete a precisão das medições das técicas iterferométricas.. Novo modelo matemático proposto esta pesquisa Quase todas as Técicas Deslocameto de Fase eistetes são baseados o pressuposto de que o deslocameto de fase δ em todos os piéis da imagem tem itesidade igual e cohecida. No etato pode ser muito difícil de alcaçar a prática esta coclusão. Técicas de medição de fase são mais ou meos sesíveis a algus tipos de erros que podem ocorrer durate as medições eperimetais. Nesta pesquisa etede-se que o deslocameto de fase δ tem um valor descohecido mas se aceita que sua alteração é costate etre as várias images do campo de iterferêcia observado. Cosiderado N o úmero de images observadas com esta característica pode-se geeralizar a distribuição de itesidade de cada imagem k segudo a Equação.9 ode k varia de até N:

77 77 N k com N k a m k.. cos δ φ.9 ode: m : itesidade lumiosa do fudo em cada poto da imagem. a : itesidade de modulação em cada poto da imagem. φ: fase a ser determiada em cada poto da imagem. δ: deslocameto de fase com respeito à origem. N: úmero de images ou quadros. : compoetes das posições horizotais e verticais da imagem. Assim para N tem-se: 5 cos 5 cos cos cos cos 5 cos 5 k se k se k se k se k se k se a m a m a m a m a m a m δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ. Assim também para N 7 tem-se: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 7 cos cos 5 cos cos cos cos cos 7 5 k se k se k se k se k se k se k se a m a m a m a m a m a m a m δ φ δ φ δ φ φ δ φ δ φ δ φ.

78 78 Comparado o Algoritmo de Carré para quatro images com o melhor Algoritmo de Novak para cico images observa-se que ambas as equações calculam a tagete da fase usado a divisão de um umerador que é a raiz quadrada da soma de costates iteiras multiplicada por duas images k pela de um deomiador que é a soma de costates iteiras multiplicadas por images k. Reescrevedo essas equações obtém-se para Carré: ta φ. ou efatizado e mostrado somete a matriz de coeficietes do umerador e do deomiador: [ ] [ ] ta Dem Num d d d d Dem Num d r r r r r s s r s r φ. Para o melhor Algoritmo de Novak tem-se: ta φ. ou efatizado e mostrado somete a matriz de coeficietes do umerador e do deomiador:

79 79 [ ] [ ] 8 ta Dem Num d d d d d Dem Num d r r r r r s s r s r φ.5 O símbolo represeta o valor absoluto uma vez que só se está iteressado em valores positivos com φ [; π/]. Sua epasão para valores de [-π π] será tratada o capítulo seguite desta tese. O uso do valor absoluto ou módulo simplifica as equações uma vez que a raiz quadrada só é defiida para úmeros positivos. Propõem-se etão uma equação geral para o cálculo da fase para qualquer valor de N Número de mages ou quadros como sedo: N r r r N r N r s s r s r d taφ. ou epadido os somatórios e colocado o umerador disposto em lihas: N N N N N N N N N N N N N N N d d d d d d taφ.7 ou efatizado e mostrado somete a matriz de coeficietes do umerador e do deomiador:

80 8 N N N N r s r s N r s r Num ta φ ode N.8 N d r r r N N Dem [ d d d d d N d N ] Trabalhado com esse formato as equações podem-se epressar as equações utilizado apeas os coeficietes do umerador e do deomiador. Assim os algoritmos de Carré e Novak podem ser represetados pela Tabela abaio: TABELA Matriz de coeficietes do umerador e do deomiador para N Carré e para N5 Novak N Num Dem - - N 5 Num Dem - - Fote: Resultado da pesquisa. É iteressate otar que as equações calculam o valor da fase φ em cada poto da imagem cada piel usado os valores da itesidade lumiosa k das diversas images da amostra aquele poto idepedete do valor do deslocameto de fase δ dos quadros.. Modelo matemático A ideia agora é como obter ou deduzir equações matemáticas semelhates à de Carré e Novak para um úmero qualquer de images N. Este estudo faz uma

81 8 iovação ao tetar isso mas ão através de maipulações algébricas e relações trigoométricas e sim por meios de métodos uméricos. A mudaça de efoque do problema de obteção de equações do cálculo de fase de um problema aalítico para uma visão umérica é uma grade iovação e quebra um paradigma até etão usado por diversos autores ateriormete. Após várias tetativas de formulação umérica do problema obtém-se o modelo matemático em.9: Míimizar N N r s r s r r ta φ Sqrt Num / Dem N N N v v v ta φ d r r r s r r r s r N r s d r s r N sujeito a s r d r s r N r s N 5 N d r N são iteiros rs 7 d r são iteiros ode para cada v : N d r úmero v.. N r.. N icluir todas as images r.. N icluir todas as images r.. N s r.. N r.. N r..ns r.. N r.. N v v v v k N v k cosφ δ k.. N m a v m [; 8] aleatório e real v a [; 7] aleatório e real v φ [ π ; π ] aleatório e real v δ [ π ; π ] aleatório e real v s de varíaveis N N.9 Os coeficietes das matrizes do umerador rs e deomiador d r devem ser iteiros com o objetivo de aumetar a performace computacioal do algoritmo uma vez que os valores da itesidade das images k são também iteiros variado de até 55. Os computadores moderos realizam cálculos matemáticos adições e multiplicações iteiros muito mais rápido do que com úmeros reais com poto flutuate. Deve-se lembrar que atualmete as câmeras fotográficas digitais comerciais já apresetam resolução gráfica acima de megapiéis e que o cálculo

82 8 de fase φ deve ser realizado piel a piel. Outra razão é o uso de memória; os valores iteiros podem ser armazeados em um úico bte equato os valores reais em potos flutuates gastam pelo meos btes ficado apeas em real com poto flutuate uma raiz quadrada do umerador a divisão pelo deomiador e o arcotagete de toda a operação. Nota-se que as variáveis r s e ν são apeas ídices usados como cotadores pelo modelo. A ideia de se obter um míimo do somatório dos valores absolutos ou módulo dos coeficietes das matrizes do umerador rs e deomiador d r vem da tetativa de forçar que estes coeficietes sejam zero para acelerar o cálculo computacioal e reduzir a memória utilizada uma vez que o zero em matrizes esparsas ão ecessita ser armazeado. É importate também que estes coeficietes ão sejam muito grades para que os valores do somatório do umerador e do deomiador ão teham valor muito alto e assim caibam em uma variável iteira. Eiste também uma razão umérica para que os coeficietes sejam em módulo o meor possível pois se multiplica um úmero por um valor muito alto o erro de arredodameto ξ a do úmero é também aumetado propagado-se e reduzido a precisão umérica. Na equação do cálculo de fase esses coeficietes vão multiplicar justamete os valores da itesidade das images k que cotém erros devido a ruídos e a sua discretização em piéis e em tos de ciza. Em CHAPRA 988 a propagação umérica do erro de arredodameto é estudada em detalhes. A restrição do Modelo.9 vem da Equação. que é elevada ao quadrado e represeta o formato da equação que está se buscado. Nota-se que o resultado da resolução do Modelo Matemático.9 são os coeficietes das matrizes do umerador rs e deomiador d r ; assim o úmero de icógitas é dado por Número de images. Para garatir que se teha um problema hiper-restrito sugere-se que o úmero de restrições seja maior ou pelo meos igual ao úmero de variáveis. As ν restrições do modelo são obtidas através da escolha aleatória de valores para m itesidade lumiosa do fudo a itesidade de modulação φfase e δdeslocameto de fase e usado a Equação.9 calculam-se os k itesidade lumiosa. Testes mostraram que mesmo para outros valores meores de ν o modelo matemático fucioa apeas a busca por solução ótima porém mais demorada. Na verdade os valores de m a φ e δ podem ser qualquer

83 8 úmero real mas para mater uma compatibilidade com o problema de Moiré de Sombra optou-se por limitar m etre e 8 e a etre e 7 para que k fique etre e 55. Limita-se também φ etre -π e π valores usado a etapa seguite de desempacotameto. Limita-se δ etre -π e π sabedo-se que ormalmete os valores do deslocameto de fase etre as images são bem meores que isso quado se usa as Técicas de Moiré. As restrições e do Modelo.9 vem da ideia que todas as images k itesidade lumiosa devem estar presetes a equação. O aumeto da quatidade de amostras deve dimiuir o ruído aleatório das images. Para isso é ecessário que todas as images da amostragem etrem a equação do cálculo de fase. sso é coseguido impodo-se que a soma dos valores absolutos dos coeficietes de cada liha ou de cada colua da matriz do umerador rs mais o módulo do coeficiete correspodete àquela imagem o deomiador d r seja maior ou igual a. Assim os coeficietes a equação do cálculo de fase para uma dada imagem k ão serão todos zeros garatido sua participação a equação. Podem ser usadas apeas uma das duas restrições ou mas para garatir a etradas de todas as amostras e simplificações de simetrias vistas mais a frete opta-se por usar as duas jutas. As restrições e 5 do Modelo.9 são usadas para acelerar a resolução desse modelo matemático. Esta limitação o valor dos coeficietes das matrizes do umerador rs e deomiador d r represeta uma sigificativa redução do uiverso de busca e pesquisa da solução do modelo de Otimização. Tal redução o uiverso de busca traz soluções mais rápidas e com meos esforço computacioal para resolver este modelo de Otimização teira Não-liear. Para grades valores de N úmero de images quado N é maior que podem-se limitar os coeficietes das matrizes do umerador rs e deomiador d r ao itervalo de [-..]. Para o caso em questão que é a busca por equações válidas para o cálculo de fase φ ão eiste a preocupação de que o modelo de Otimização atija um míimo global uma vez que um míimo local potos de míimo de uma fução em alguma vizihaça do poto cotido o domíio da fução já atede aos objetivos desejados. Até mesmo achar uma solução viável qualquer já pode satisfazer a pesquisa por ovas equações. Logo a procura se restrige a coeficietes das matrizes do umerador rs e deomiador d r que sejam iteiros e de valor

84 8 pequeo e que atedam as restrições do modelo ão ecessitado serem miimizados desejável mas ão ecessário. Uma vez ecotrada uma equação com o Modelo.9 esta pode se torar uma restrição para que usado ovamete o modelo uma ova equação diferete seja achada. sso permite que o Modelo.9 ecotre várias equações para um dado valor de Número de images torado bastate fleível e abragete o modelo matemático..5 Método Brach-ad-Boud Para resolver umericamete o Modelo Matemático.9 optou-se pelo uso do Método Brach-ad-Boud. A proposta é apresetar apeas uma revisão didática do referido método. Um detalhameto mais aprofudado pode ser ecotrado em HLLER. Este mesmo método também é usado pelo software comercial LNGO. 8 da LNDO Sstems c.. Uma vez que qualquer problema de Programação teira limitada teha somete um úmero fiito de soluções viáveis é atural que se cosidere o uso de algum tipo de procedimeto de eumeração para ecotrar uma solução ótima. felizmete este úmero fiito pode ser e ormalmete é muito grade. Por eemplo se houver somete variáveis e cada uma tiver valores viáveis etão poderão haver soluções viáveis. Apesar do fato de algus computadores digitais de hoje poderem eecutar diversos milhões de operações aritméticas elemetares adições e subtrações por segudo a eumeração eaustiva cosumiria um tempo proibitivo em problemas do tamaho deste. Por isso é imperativo que qualquer procedimeto de eumeração seja iteligetemete estruturado para que apeas uma fração muito pequea das soluções viáveis realmete precise ser eamiada. Por eemplo a Programação Matemática Diâmica forece um tipo de procedimeto como esse para muitos problemas que teham um úmero fiito de soluções viáveis embora ão seja particularmete eficiete para a maioria dos problemas de Programação teira. Outra abordagem

85 85 desse tipo é forecida pelo Método Brach-ad-Boud Ramificar-e-Limitar. Essa técica e variações dela têm sido aplicadas com algum sucesso a diversos problemas iclusive problemas de Programação teira Não-liear. A ideia básica do Método Brach-ad-Boud passa a ser descrita. Supohase para ser específico que a fução-objetivo deva ser miimizada. Supoha-se também que um limite superior ao valor ótimo da fução-objetivo esteja dispoível usualmete este é o valor da fução-objetivo para a melhor solução viável idetificada até o mometo. O primeiro passo é subdividir o cojuto de todas as soluções viáveis em diversos subcojutos e obter para cada um deles um limite iferior para o valor da fução-objetivo das soluções detro do respectivo subcojuto. Aqueles subcojutos cujos limites iferiores ecedam o limite superior correte o valor da fução-objetivo serão etão ecluídos de futuras cosiderações um subcojuto que seja ecluído por esta ou outras razões legítimas é dito ser sodado. Um dos subcojutos remaescetes diga-se aquele com o meor limite iferior será etão ovamete subdividido em diversos subcojutos. Seus limites iferiores serão obtidos um de cada vez e serão usados como ateriormete para ecluir algus desses subcojutos de futuras cosiderações. Detre todos os subcojutos remaescetes outro é selecioado para ova subdivisão e assim por diate. Esse processo é repetido seguidamete até que seja ecotrada uma solução viável tal que o valor correspodete da fução-objetivo ão seja maior que o limite iferior para qualquer subcojuto. Tal solução terá que ser ótima uma vez que ehum dos subcojutos pode coter uma solução melhor. Em resumo o Método Brach-ad-Boud segue os passos descritos abaio: Passo de iicialização Faça Z s limite superior da fução-objetivo. Comece com o cojuto completo de soluções em cosideração icluido quaisquer soluções iviáveis que ão possam ser coveietemete elimiadas como o úico subcojuto remaescete. Ates de começar as iterações regulares pelos passos abaio aplique apeas o passo de ramificação boud o passo de sodagem e a regra de parada a este subcojuto referido-se a isto como iteração

86 8 Passo de ramificação use alguma regra de ramificação para selecioar um dos subcojutos remaescetes aqueles em sodados em subdivididos e subdivida-o em dois ou mais subcojuto de soluções. Passo de limitação para cada ovo subcojuto obteha um limite iferior Z l o valor da fução-objetivo para as soluções viáveis o subcojuto. Passo de sodagem para cada ovo subcojuto eclua-o de futuras cosiderações isto é faça a sodagem se: o Teste de Sodagem: Z l Z s ou o Teste de Sodagem: descobre-se que o subcojuto ão cotém soluções viáveis; ou o Teste de Sodagem: a melhor solução viável o subcojuto foi idetificada etão Z l correspode a seu valor da fuçãoobjetivo: se isto ocorrer e Z l < Z s etão faça Z s Z l armazee esta solução como a solução icumbida e reaplique o Teste de Sodagem a todos os subcojutos remaescetes. Regra de parada pare quado ão houver ehum subcojuto remaescete isodado; a solução icumbida correte é ótima se ão houver ehuma solução icumbida isto é Z s aida for igual a etão o problema ão possuirá soluções viáveis.. Caso cotrário volte para o passo de ramificação. Se o objetivo for maimizar em vez de miimizar a fução-objetivo o procedimeto ão mudará eceto que os papéis dos limites superiores e iferiores serão iversos. Assim Z s seria substituído por Z l e vice-versa se toraria - e as direções das desigualdades seriam ivertidas. Os passos de ramificação e limitação permitem uma cosiderável fleibilidade quato ao projeto de um algoritmo especifico para o problema em questão e eles têm um efeito importate a eficiêcia computacioal do algoritmo. As duas regras de ramificação mais populares para selecioar o subcojuto a subdividir são a regra do melhor limite e a regra do limite mais ovo. A regra do melhor limite diz para selecioar o subcojuto que teha o limite mais favorável o meor limite iferior o caso de miimização porque este subcojuto pareceria ser o mais promissor para

87 87 coter uma solução ótima. A regra do limite mais ovo diz para selecioar o subcojuto mais recetemete criado que ão teha sido sodado desempatado etre subcojutos que teham sido criados ao mesmo tempo tomado-se aquele que teha o limite mais favorável. As vatages dessas regras são de ter uma mauteção de dados meos icômoda e de dar uma grade oportuidade para se obter eficietemete os limites. O método selecioado para se obter os limites deveria represetar um compromisso cuidadoso etre o aperto dos limites e o esforço computacioal. Cosidera-se agora como eemplo o problema geral de Programação Liear teira Mista ode algumas das variáveis diga-se delas estão restritas a valores iteiros porém as restates são variáveis cotíuas comus. Na forma de miimização este problema é: Miimizar sujeito aij j bi j e j seja iteiro j Z j a c para i m para j para i m. j j. quado este se tora um problema de Programação Liear Pura. Uma estrutura especial é usada para se obter um limite iferior Z l razoável e para se costruir testes de sodagem fortes com pouco esforço computacioal. Essa iformação é obtida de uma maeira razoavelmete eficiete usado-se Programação Liear o Método Simple ou Simple Dual. Para a versão desevolvida este estudo usa-se a regra do limite mais ovo para selecioar o próimo subcojuto de soluções a subdividir. O algoritmo etão subdivide este subcojuto em dois ovos subcojutos. Etretato como as variáveis podem ter muitos valores possíveis esta subdivisão é realizada dividido os valores possíveis de alguma variável em dois itervalos. Cosequetemete a mesma variável pode evetualmete ser subdividida mais de uma vez. O algoritmo começa iteração igorado a restrição de iteiro e usado o Método Simple para resolver o problema de Programação Liear correspodete. Se a solução resultate tiver valores iteiros para todos os j etão para j

88 88 ela é a solução ótima desejada. Caso cotrário o passo de ramificação a cada iteração ecotra a primeira dessas variáveis que ão tem valor iteiro diga-se j tal que k< j <k ode k é um úmero iteiro. O Método Brach-ad-Boud etão subdivide o subcojuto de soluções corretes em dois ovos subcojutos: º Soluções em que j k º Soluções em que j k ode essas soluções também têm que satisfazer todas as restrições que defiem o subcojuto correte ou seja quaisquer limites similares em cada uma das variáveis de subdivisões ateriores mais as restrições origiais do problema. O passo de limitação obtém etão o limite iferior Z l para cada um desses subcojutos igorado ovamete a restrição de iteiro e resolvedo o problema de Programação Liear resultate icluido a ova restrição limitate j para obter o valor ótimo da fução-objetivo. Etretato em lugar de resolver cada um destes problemas desde o começo o Método Brach-ad-Boud apeas usa o procedimeto de aálise de sesibilidade aplicado o Método Simple Dual começado pela solução básica que era ótima ates da itrodução da ova restrição. Note-se que a regra do limite mais ovo aumeta a oportuidade para reotimizar eficietemete dessa maeira. O passo de sodagem etão simplesmete verifica a ova solução de Programação Liear ótima obtida pelo Método Simple Dual. Em particular o ovo subcojuto será sodado se Teste de Sodagem: Z i Z s ou Teste de Sodagem: o Método Simple Dual descobre que ão eiste solução viável ou Teste de Sodagem: a solução ótima obtida tiver valores iteiros para todos os j tais que j. Se o Teste de Sodagem tiver sucesso e Z l <Z s etão refaça Z s Z l e armazee esta solução como a solução icumbida. Etretato o Teste de Sodagem ão precisa ser reaplicado aos subcojutos remaescetes até que sejam selecioados pela regra do limite mais ovo. Quado todos os subcojutos ão-subdivididos tiverem sido sodados a solução icumbida correte será ótima desejada.

89 89 Faz-se importate esclarecer que o Modelo Matemático proposto.9 é um modelo ão liear. Logo em vez de se usar o Método Simple como descrido acima deve-se usar um método para Otimização Não-liear descrito a seguir.. Método de Programação Não-liear Nesta pesquisa usa-se uma variação do Método Brach-ad-Boud com a Técica de Miimização rrestrita da Sequêcia descrida em detalhas por HLLER e por MAHEY 987 que é um método de Programação Não-liear. Acredita-se que outros algoritmos de Programação Não-liear teham também sucesso. Optou-se por este método em razão da facilidade de sua implemetação computacioal. A Técica de Miimização rrestrita da Sequêcia supõe que se teha um modelo matemático como o mostrado abaio: Miimizar g.. sujeito a hi.. para i m.. O procedimeto usado por esta técica é muito simples. Ela lida simultaeamete com a fução-objetivo e com as restrições combiado-as detro de uma úica fução: m P.. ; r g.. r. h.. i i ode r é um escalar estritamete positivo. Começado com uma solução-tetativa iicial viável a técica usa repetidamete o procedimeto de busca pelo gradiete ou Algoritmos de Gradiete Cojugado ou um método similar para miimizar P ;r com valores sucessivamete meores que r se aproimado de zero. As soluções de miimização resultates covergem para uma solução ótima para o problema origial.

90 9 A chave desta técica é que cada /h i se aproima do ifiito à medida que h i se aproima de zero decrescedo. Portato começado com uma solução-tetativa iicial tal que h i > para todo i é garatido que o procedimeto de busca pelo gradiete ecotrará uma solução de miimização de P ;r que seja viável para o problema origial. Com efeito o termo de r em. é um termo de repulsão do limite também chamado de fução de pealidade que previe o procedimeto de busca pelo gradiete de atravessar ou mesmo alcaçar os limites da região viável ode um ou mais h i. Etretato se uma solução ótima para o problema origial cair ou estiver suficietemete próima dos limites da solução viável o termo de repulsão do limite também irá preveir essa solução de ser a solução de miimização de P ;r. Esta é a razão para miimizar repetidamete P ;r para valores sucessivamete meores que r. À medida que r se aproima de zero P ;r aproima-se de g de modo que a solução de miimização de P ;r covergirá para a solução ótima desejada. Portato apeas precisarão ser obtidas soluções de miimização suficietes para permitir a etrapolação para esta solução de limite. Estão dispoíveis iformações úteis para guiar a decisão de quado esta etrapolação deverá ser realizada. Em particular quado se tem uma solução de miimização de P ;r esta é maior ou igual à solução ótima descohecida para o problema origial. Assim g ão pode eceder o valor de g a solução ótima mais que o valor do termo de repulsão. Para isso seria razoável etrapolar para a solução ótima sempre que o erro máimo resultate for cosiderado suficietemete pequeo. O procedimeto de busca pelo gradiete para problema irrestrito multivariado baseia-se em alcaçar evetualmete um poto ode todas as derivadas parciais sejam essecialmete zero. sso evolve usar o gradiete da fução-objetivo. Supoha-se X e fx a fução-objetivo uma vez que suposta ser difereciável com um gradiete deotado por fx. Em particular o gradiete um poto especifico XX é o vetor cujos elemetos são respectivas derivadas parciais avaliadas em XX de modo que

91 9 f f f f f X ' para X X '.. O sigificado do gradiete é que a mudaça ifiitesimal em X que miimiza a taa à qual fx aumeta é a mudaça que é proporcioal a fx. Para epressar essas ideias geometricamete a direção do gradiete fx é iterpretada como a direção do segmeto de liha direcioada seta da origem para o poto f/ f/ f/ ode f/ j é avaliado para j j. Por isso pode-se dizer que a taa que fx dimiuirá será maimizada se as mudaças ifiitésimas em X forem a direção iversa do gradiete fx. Como o objetivo é ecotrar a solução viável que miimize fx pareceria coveiete tetar mover o mais possível a direção cotrária a do gradiete mesma direção e setido cotrário. Como as restrições foram acrescidas à fução-objetivo o problema resultate fica sem restrições. Esta iterpretação do gradiete sugere que um procedimeto de busca eficiete deveria se mater em movimeto a direção do mesmo até que ele alcace essecialmete uma solução ótima X * ode fx *. Etretato ormalmete ão seria prático mudar X cotiuamete a direção de fx porque isso requereria a reavaliação cotiua de f/ j e a mudaça da direção do camiho. Por isso a melhor abordagem é cotiuar movedo o gradiete uma direção fia a partir da solução-tetativa atual ão parado até que fx pare de dimiuir. Este poto de parada seria a próima solução-tetativa de modo que o gradiete seria etão recalculado para determiar a ova direção para a qual deve mover. Com esta abordagem cada iteração evolve a mudaça da solução-tetativa atual X como se segue: Refaça X X t * fx ode t * é o valor positivo de t que miimiza f[x - t fx]. As iterações desse procedimeto de busca pelo gradiete cotiuariam até que fx detro de uma pequea tolerâcia de erro. A parte mais difícil desse procedimeto é ormalmete ecotrar t * o valor de t que miimize f a direção do gradiete a cada iteração. Como X e fx têm valores fios para a miimização pode ser usado para isso um método de procedimeto de busca uidimesioal como o Método da Seção Áurea ou da Aproimação Quadrática ou o Método de Newto descrito em CHAPRA 988. O resumo do procedimeto de busca pelo gradiete segue:

92 9 Passo de iicialização selecioe a precisão umérica ξ e qualquer solução-tetativa iicial X. Vá primeiramete para a Regra de Parada. Passo terativo use o procedimeto de busca uidimesioal Método da Seção Áurea para etrar tt * miimizado f[x - t fx] ode t. Passo terativo refaça X X t * fx. Etão vá para a Regra de Parada. Regra de parada avalie fx para X X. Verifique se f/ j ξ para todo j. Se a resposta é positiva pare com o X atual como a aproimação desejada da solução ótima X *. Caso cotrário vá para o Passo terativo. No caso da implemetação computacioal do Modelo.9 os valores absolutos foram substituídos pelo quadrado para simplificar a matemática em vez de se usar o módulo como a raiz quadrada do quadrado. Neste estudo também ão se preocupou se o míimo achado era local ou global..7 Pricipais equações do cálculo de fase obtidas Aplicado-se a solução descrita as seções ateriores ao Modelo.9 por meio do programa computacioal desevolvido obtiveram-se várias equações do cálculo de fase que são geeralizações do Algoritmo de Carré. Muitas dessas mesmas equações do cálculo de fase podem também ser obtidas usado-se o software comercial LNGO. 8 da LNDO Sstems c. 5 com as rotias de implemetação. Ambos os programas chegaram a resultados semelhates. Para forçar outras soluções eram impostas aos programas certas restrições. Observa-se que N é o úmero de images ou frames e que as equações do cálculo de fase seguem a Equação.8. Uma vez obtida a Equação a da Tabela o programa deve ser eecutado ovamete para que outra solução seja obtida. Como se trata de míimos locais e os valores de m a φ e δ são aleatórios e diferetes para cada eecução basta rodar o programa de ovo que possivelmete uma ova equação diferete vai ser 5

93 9 calculada. Se equações repetidas começarem a aparecer iclua alguma restrição como < ou - para que diferetes coeficietes sejam ecotrados. TABELA Equações ecotradas resolvedo o Modelo Matemático.9 usado o Método Brach-ad-Boud para N úmero de images igual a N Num a b - c Dem Num d - e f Dem Num g -9 - h - - i Dem Num j 5 - k l Dem Num m - o Dem Num p - - q Dem Fote: Resultados da pesquisa. Na Tabela acima são mostrados apeas os coeficietes do umerador e do deomiador por eemplo a Equação da Tabela a fica a verdade escrita como a Equação. abaio:

94 ta φ. TABELA 5 Equações ecotradas resolvedo o Modelo Matemático.9 usado o Método Brach-ad-Boud para N úmero de images igual a 7 N 7 Num a b c Dem Num d e f Dem Num g h i Dem Fote: Resultados da Pesquisa Novamete a Tabela 5 acima são mostrados apeas os coeficietes do umerador e do deomiador para N7. Por eemplo a Equação da Tabela 5 a fica a verdade escrita como a Equação.5 abaio: ta φ.5

95 95 TABELA Equações ecotradas resolvedo o Modelo Matemático.9 usado o Método Brach-ad-Boud para N úmero de images igual a 8 N 8 Num a - b -5 - c Dem Num d - - e - - f Dem Num g - - h i Dem Num j k l Dem Num m o Dem Num p - q r Dem Num s - - t - - u Dem Fote: Resultados da pesquisa.

96 9 De ovo a Tabela são mostrados apeas os coeficietes do umerador e do deomiador para N8. Por eemplo a Equação da Tabela a fica a verdade escrita como a Equação. abaio: ta φ Destaca-se que estas equações são importates resultados iéditos e origiais obtidos este estudo sedo geeralizações do Algoritmo de Carré. Mais à frete o Capítulo V será realizada uma aálise de icerteza sobre algumas delas. Outras equações do cálculo de fase podem ser ecotradas o Apêdice A..8 Testes das equações obtidas Uma vez obtidas as ovas equações do cálculo de fase passa-se à realização de vários testes com as mesmas com o objetivo de verificar se podem ser usadas e se ão apresetam erros ou falhas. Neste estudo são propostos quatro testes ou esaios para avaliar as equações. O primeiro teste é uma verificação umérica matemática ode são atribuídos valores aleatórios a m itesidade lumiosa do fudo em cada poto da imagem a itesidade de modulação em cada poto da imagem φ fase e δ deslocameto de fase e etão é utilizada a Equação.9 para se calcular os valores de k itesidade lumiosa ode k..n e N é o úmero de images. Uma vez obtido k usa-se as ovas equações em teste para se calcular a taφ e comparar com o valor de φ escolhido aleatoriamete.

97 97 No segudo teste são geradas o computador N images de Moiré para uma curva ou fução matemática de superfície [Zf]. A forma como as images são geradas é detalhada o Capítulo V. Usa-se um programa desevolvido em MatLab da MathWorks c. que processa essas images aplicado a Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Esse software foi desevolvido e testado usado o Algoritmo de Carré para images mas modificado para usar N images e as ovas equações desevolvidas para retorar as medidas dos objetos. Essas medidas são etão comparadas com as dimesões cohecidas e é aplicada uma tolerâcia de % verificar apeas a forma do objeto o erro relativo das mesmas assim se a altura de uma curva tem o valor de cm vai-se tolerar um erro relativo de % ou seja cm; com isso vai se admitir uma medição com itervalos etre 8 e cm este poto da imagem. A ideia é verificar se as ovas equações fucioam de forma semelhate ao Algoritmo de Carré aplicada à Moiré de Sombra. Vale otar que as images geradas têm etre a 5 megapiéis. No terceiro teste as images geradas o computador são acrescidas de erros aleatórios e ruídos que ormalmete são ecotrados em fotografias reais de Moiré. Como são geradas estas images com erros são detalhados o Capítulo V desta tese e podem ser ecotrados em GONZALEZ. O mesmo programa computacioal usado o segudo teste é usado o terceiro e a mesma tolerâcia de % os erros relativos das medidas. No quarto teste é usado o mesmo processo do segudo e terceiro testes só que ele as images são fotografias reais usado a Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Essas fotografias foram tiradas o Laboratório de Aálise Estrutural da PUC-Mias usado-se a motagem descrita o Capítulo V. A ideia desse testes ão é fazer um estudo métrico das ovas equações desevolvidas mas apeas verificar a validade fucioalidade e performace dessas ovas equações do cálculo de fase. Uma aálise de forma metrológica é realizada o Capítulo V com as melhores equações que foram selecioadas estes testes iiciais.

98 98.8. Teste umérico matemático das equações obtidas Como as ovas equações obtidas foram desevolvidas por meio de métodos uméricos de cálculo e ão de demostrações aalíticas de relações trigoométricas é ecessário verificá-las. Acredita-se que um grade úmero de testes uméricos pode verificar ou comprovar essas ovas equações ou pelo meos torar míimas ou remotas a chace delas estarem erradas ou serem falsas. O objetivo aqui é verificar se as ovas equações calculam realmete a tagete da fase [taφ]. Para isso são atribuídos valores reais aleatórios a m itesidade lumiosa do fudo em cada poto da imagem que variam de a 8 sedo também atribuídos valores reais e aleatórios a a itesidade de modulação em cada poto da imagem que variam de a 7. Assim como o cosseo varia de - até os valores da itesidade lumiosa k ficarão etre e 55 que é o itervalo de valores dos piéis obtidos em fotografias moocromáticas digitais de Moiré. É iteressate otar que as images digitais os valores são iteiros e aqui para ampliar mais os testes estes são realizados como reais. São também atribuídos valores reais aleatórios a φ fase que variam de -π a π faia comum usada os pricipais algoritmos de desempacotameto uwrapped. E são atribuídos valores reais e aleatórios a δ deslocameto de fase que variam de -π a π faia bem ampla de valores possíveis de deslocameto de fase. Usa-se etão a Equação.7 que é uma reescrita sem de cada poto da imagem da Equação.9 para se calcular os valores de k itesidade lumiosa da imagem com k variado de até N. k N k m a cos φ δ com k.. N.7 Aplicam-se etão as ovas equações com os valores de k e obtém-se a taφ que deve ser comparado com o valor da fase atribuído aleatoriamete φ. Essa comparação se dá por meio de uma precisão umérica bem pequea em razão de erros uméricos de arredodameto que podem ocorrer os cálculos diga-

99 99 se precisão umérica ξ de ou - ξ -. Logo testa-se φ - φ -. formações sobre precisão umérica e propagação umérica de erros de arredodameto podem ser obtidas em CLÁUDO. Um cuidado especial deve ser tomado pois como as equações cotêm uma raiz quadrada é calculado o valor absoluto da soma o umerador e deomiador; logo a taφ será positiva e o valor de φ estará etre e π/. Observado a Figura vê-se uma simetria e ati-simetria o gráfico da tagete de um arco em radiaos. Assim como o valor de φ está etre -π e π e o valor de φ está etre e π/ a verdade quatro testes devem ser realizados ou seja φ é comparado com φ -φ φ-π e -φπ bastado que um deles esteja correto portato se φ - φ - ou φ - -φ - ou φ - φ-π - ou φ - -φπ - para que a equação seja verificada e cosiderada correta. Figura Gráfico da tagete de um arco em radiaos. Vai-se mostrar este processo usado um eemplo: supoha que se deseje testar a Equação d da Tabela para N escrita abaio: ta φ.8

100 Escolhe-se aleatoriamete m 5; a ; φ e δ calcula-se etão 5 e usado a Equação.7 e tem-se etão: 5 m m m m m m a a a a a a 5 5 cosφ δ 5 cos 57 cosφ δ 5 cos 555 cosφ δ 5 cos 97 cosφ δ 5 cos 5 cosφ δ 5 cos 5 5 cosφ δ 5 cos 5 se se se se se se k k k k k 5 k.9 Mota-se etão uma tabela com o produto das images a Tabela 7: TABELA 7 Produto das mages 5 e Produto Fote: Cálculos da pesquisa. Substituido a Equação.8 tem-se: ta φ

101 Efetuado a soma o umerador e o deomiador chega-se em: ta φ Calculado o arcotagete de 575 obtém-se que φ é igual ao φ atribuído aleatoriamete. Esse procedimeto deve ser etão realizado milhares ou milhões de vezes para verificar as ovas equações. Em outro eemplo mostra-se esse processo de teste para valores iteiros. Supoha que se deseje testar a Equação e da Tabela 5 para N 7 escrita abaio: ta φ. Escolhe-se aleatoriamete m ; a ; φ π e δπ/ calcula-se etão 5 e 7 usado a Equação.7 e tem-se: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 7 ] / cos[ cos ] / cos[ cos 5 ] / cos[ cos ] cos[ cos ] / cos[ cos ] / cos[ cos ] / cos[ cos 7 5 k se k se k se k se k se k se k se a m a m a m a m a m a m a m π π δ φ π π δ φ π π δ φ π φ π π δ φ π π δ φ π π δ φ. Substituido a Equação. tem-se:

102 5 5 5 ta φ 5. Efetuado a soma o umerador e o deomiador chega-se em: ta φ.5 Calculado o arcotagete de obtém-se que φ mas φ π que foi atribuído aleatoriamete. Portato φ deve ser comparado com -φπ. Esse procedimeto deve ser etão realizado milhares ou milhões de vezes para verificar as ovas equações. Acredita-se que o teste aterior realizado com valores reais seja mais geral e abragete e portato será usado o restate da pesquisa. Um algoritmo para teste das ovas equações é mostrado a Figura ode se etra com N Número de mages NUM[rs] matriz de coeficietes do umerador DEM[r] vetor de coeficietes do deomiador o NTESTE úmero de testes e a precisão umérica por eemplo ξ -. Na saída tem-se o úmero de acertos e o úmero de erros. A fução aleatória retora um valor radômico real etre e.

103 Algoritmo Etre com N Etre com NUM[rs] e DEM[r] Etre com NTESTE e PRECSAO CONTADOR ACERTOS ERROS Pi Repita CONTADOR CONTADOR NUMERADOR DENOMUNADOR m 8 * Aleatorio a 7 * Aleatorio Phi' * Pi * Aleatorio - 5 Delta * Pi * 5 Aleatorio - 5 Varie r de até N DENOMNADORDENOMNADORDEM[r]* {m a * cosphi' *r-n-/ * Delta} Varie s de r até N NUMERADORNUMERADORNUM[rs]*{m a * cosphi' *r-n-/ * Delta} *{m a * cosphi' *s-n-/ * Delta} Fim Varie Fim Varie Se DENOMNADOR Etão Phi Pi / Seão Phi Arcta SqrtAbsNUMERADOR / AbsDENOMNADOR Fim Se Se AbsPhi' - Phi < PRECSAO ou AbsPhi' - -Phi < PRECSAO ou AbsPhi' - Phi-Pi < PRECSAO ou AbsPhi' - -PhiPi < PRECSAO Etão ACERTO ACERTO Seão ERRO ERRO Fim Se Até CONTADOR NTESTE Fim algoritmo Figura Algoritmo para teste umérico-matemático das ovas equações do cálculo de fase. A fução Aleatorio retora um úmero real radômico aleatório etre zero e um diferete a cada chamada da fução. Fote: Resultados da pesquisa. Nota-se que todas as equações apresetadas esta pesquisa passaram pelo teste umérico matemático acima descrito. Para isso foi criado um programa em Delphi./Pascal da Borlad Software Corporatio 7 ode cada equação foi testada pelo meos um milhão de vezes e apresetou acerto em 999% dos testes. Algus erros ocorrem em razão do valor do umerador e do deomiador serem muito pequeos gerado uma propagação do erro de arredodameto muito grade maior que a precisão umérica defiida. Com esta eorme quatidade de testes e a precisão umérica bem pequea tora-se improvável estatisticamete que as equações estejam erradas. 7

104 .8. Testes de Moiré das equações obtidas Os demais testes são realizados usado uma rotia em MatLab da MathWorks c. 8 que implemeta a Técica Moiré de Sombra descrita o Capítulo com o Algoritmo de Carré. A difereça é que se usa N images N e para o cálculo da fase utiliza-se as ovas equações deduzidas. Aplica-se aida uma tolerâcia de % o erro dos valores medidos. Ou seja dada a medida cohecida em um dado piel da imagem vai-se aceitar um erro relativo de % desse valor; assim se a altura medida de um objeto é de cm tolera-se um erro de cm o algoritmo da Técica de Moiré. A ideia é verificar se a equação fucioa para Moiré de Sombra. Três tipos de images são testados. As primeiras são images geradas pelo computador sem ruído de Frajas de Moiré. Nota-se que como os valores da itesidade da imagem são iteiros de a 55 aplicado as equações desevolvidas pode acotecer que para algus piéis o valor do deomiador seja zero. Neste caso a medida é realizada por iterpolação dos potos vizihos. Esse feômeo acotece também a equação origial de Carré e de Novak. Todas as equações do cálculo de fase mostradas a pesquisa com N foram verificadas por esse processo. Cita-se aida que o iício são geradas apeas quatro images sedo aplicada a equação origial de Carré.; em seguida é gerada mais uma imagem defasada sedo aplicada a equação origial de Novak.. Para N é gerada mais uma imagem defasada sedo que o processo cotiua para cada valor de N úmero de images ou frames. No teste seguite usam-se images geradas por Computação Gráfica só que este caso elas cotêm pequeas quatidades de erros aleatórios e ruídos. A ideia é tetar simular uma fotografia real de Frajas de Moiré. São adicioados e subtraídos pequeos valores aleatoriamete os piéis das images. O objetivo é testar a estabilidade e sesibilidade das equações do cálculo de fase a esses erros. O último teste seria o de aplicar as ovas equações em casos reais de fotografias tiradas o Laboratório de Aálise Estrutura da PUC-Mias ou em sites da teret. Destaca-se que este teste foi realizado para equação com N em razão 8

105 5 do trabalho de se obter as fotografias reais e a dificuldade prática apresetada a motagem em se mater o deslocameto de fase δ costate..9 Simetria as equações do cálculo de fase No Modelo Matemático.9 de Programação teira Não-liear observa-se que para N úmero de images tem N*N/ variáveis que são os coeficietes o umerador rs e mais N variáveis que são os coeficietes o deomiador d r. Acotece que à medida que se aumeta N o úmero de variáveis vai aumetado a ordem ao quadrado ON com N N*N/ variáveis [ou N N/ variáveis]. Para complicar o Método Brach-ad-Boud é da ordem ao cubo do úmero de variáveis o que resulta em busca de solução da ordem seta de N ou seja a busca de ovas equações do cálculo de fase de ON. Quer dizer se N dobra é de se esperar que o tempo de processameto computacioal aumete vezes. ZVAN é uma ótima referêcia para estudo da avaliação do desempeho de algoritmos. Nota-se aida que o úmero de restrições ν do Modelo Matemático.9 varia a ordem de ON e que o espaço de busca dos coeficietes também depedem de N e varia de -N até Nitervalo máimo observado em todas as equações de cálculo. O certo é que com o aumeto de N tora-se computacioalmete mais trabalhoso obter ovas equações do cálculo de fase. sso é mostrado o gráfico da Figura ode se tem o tempo gasto em miutos para se obter uma equação versus o úmero de images N.

106 M i u t o s Número de mages Tempo de Processameto Gasto em Miutos mi Figura Tempo gasto a eecução do Método Brach-ad-Boud para se obter uma equação do cálculo de fase usado o Modelo Matemático.9 com microcomputador Petium CPU tel Core Quad Q.GHz com GB Memória. Eecutado o programa em Delphi/Pascal que implemeta o método de Otimização. Fote: Resultados da pesquisa. Destaca-se que o software comercial LNGO. 8 da LNDO Sstems c. 9 utilizado pelo Departameto de Matemática e Estatística da PUC-Mias era limitado a 5 variáveis iteiras e ão lieares. O que permitiu obter equações com N 5. Para resolver essa questão de tempo de processameto e úmero de variáveis usa-se uma observação importate: a maioria das equações obtidas havia simetrias a matriz de coeficietes do umerador rs e do deomiador d r. Por eemplo para N pode-se observar a Equação h da Tabela ou a Equação. para otar as simetrias: ta φ. Para melhor visualização vão-se traçar as lihas da diagoal pricipal da diagoal secudária do eio vertical cetral e do eio horizotal cetral o 9

107 7 umerador e uma liha do eio vertical cetral o deomiador como mostrado em.7:.7 Pode-se otar iicialmete que a diagoal secudária é igual à diagoal pricipal multiplicada por meos dois a metade superior dos coeficietes do umerador como mostrado em.8: 5 ta φ.8 Pode-se otar uma ati-simetria a metade superior da matriz de coeficietes do umerador em relação ao eio vertical cetral como mostrado em.9: um um um um um um 5 ta φ.9 Pode-se também otar uma simetria em relação à diagoal secudária os coeficietes do umerador como mostrado em.:

108 ta φ. Tem-se aida uma simetria os coeficietes do deomiador em relação ao eio vertical cetral como mostrado em.: 5 ta d d d d d d φ. Assim têm-se ao todo as simetrias e ati-simetrias mostradas em.: ta d d d d d d φ. Ou seja as seguites igualdades podem ser observadas:

109 9 ; 5 ; ; 5 ; ; 5 ; ; 5 ; 55 ; 5 ; d d ; d 5 d ; ou de uma maeira mais geral d d d r d N r r.. M ad r N r r N r r r r.. M ad r N r N s N r r s r M ; s r.. M ad r N s ad s N r r N s r s r.. M ; s r.. M ad s > r ad s N s s N r r s r.. M ; s r.. M ad s > r ad s N r M Quociete _ teiro N Re sto _ Divisão N ; ; ; ; ;. lustrado esquematicamete é como se tivesse as figuras abaio as equações: o umerador têm-se quatro triâgulos retâgulos isósceles dois positivos e dois egativos de coeficietes iguais; o deomiador os coeficietes são simétricos como um espelho Figura. Figura : Simetrias o umerador e o deomiador dos coeficietes. Fote: Resultados da pesquisa. Simetrias semelhates podem ser observadas para os valores ímpares de N como em N igual a 7 e ilustrado em.:

110 ta φ d d d d d d 5 d Para todos os valores de úmeros de images N obtiveram-se equações com as simetrias descritas acima. Para essas equações com simetrias os coeficietes do umerador e do deomiador bastar saber o primeiro um quarto da matriz de coeficietes do umerador e a primeira metade do vetor do deomiador para se poder calcular o resto do umerador e do deomiador. Um algoritmo foi desevolvido para que dado o primeiro um quarto da matriz de coeficietes do umerador e a primeira metade do vetor de coeficietes do deomiador se possa obter todo o umerador e o deomiador como mostrado a Figura 5. Algoritmo Simetria Etre com N Metade Quociete_teiroN Resto_DivisãoN //N DV N MOD Varie r de até Metade Varie s de r até Metade Etre com NUM[rs] Fim Varie Fim Varie Varie r de até Metade Etre com DEM[r] Fim Varie Varie r de até Metade Se N - r > r Etão DEM[N - r] DEM[r] //Preeche seguda metade do deomiador NUM[r N - r] : - * NUM[r r] //Diagoal secudária do umerador Fim Se Varie s de r até Metade Se s > r e N - s > s Etão NUM[r N - s] : -NUM[r s] //Triagulo superior direito Fim Se //ou triagulo acima da diagoal secudária Se s > r e N - r > s Etão NUM[s N - r] : -NUM[r s] Fim Se //Triagulo abaio da diagoal secudária Se N - s > r e N - r > s Etão NUM[N - s N - r] : NUM[r s] //Último triagulo iferior Fim Se Fim Varie Fim Varie Fim algoritmo Figura 5 Algoritmo que completa as matrizes de coeficietes do umerador e do deomiador usado simetrias dado o primeiro um quarto da matriz de coeficietes do umerador e a primeira metade do vetor de coeficietes do deomiador. Fote: Resultados da pesquisa.

111 Assim podem-se represetar os coeficietes do umerador e do deomiador usado apeas o primeiro um quarto da matriz de coeficietes do umerador e a primeira metade do vetor de coeficietes do deomiador. Se a equação segue a simetria descrita acima: etão para N usado simetria basta represetar: [ ] d d d Dem Num N.5 Etão para N 7 usado simetria basta represetar: [ ] 7 d d d d Dem Num N. Assim a Equação g da Tabela ou a Equação.7 mostrada abaio: ta φ.7 poderia ser represetada usado simetria por.8: [ ] 9 5 Dem Num.8

112 Assim também a Equação c da Tabela 5 ou a Equação.9 mostrada abaio: ta φ.9 poderia ser represetada usado simetria por.5: [ ] 5 Dem Num.5 A vatagem do uso de simetrias é que o úmero de variáveis para solucioar o Modelo Matemático.9 reduz praticamete a quarta parte da quatidade origial de variáveis. sso acelera tremedamete a solução usado Brach-ad-Boud. Supoha que DVN seja o resultado da divisão iteira de N por e MODN o resto da divisão iteira de N por. Defie-se M como a soma de DVNMODN. No problema origial a matriz de coeficietes do umerador e o vetor do deomiador são da ordem N e para o problema com simetria é da ordem de M [DVNMODN]. Equato para o problema origial o úmero de variáveis é [N N*N/] para o problema com simetria a quatidade de variáveis cai para [M M*M/]. Assim o Modelo Matemático.9 pode ser alterado adicioado as restrições de simetria resultado o Modelo.5. Nota-se que para restrigir aida mais o uiverso de busca limitaram-se os valores do primeiro um quarto dos coeficietes

113 do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador etre - e torado a obteção das equações do cálculo de fase mais rápidas. Míimizar M Quociete_ teiro N Re sto _ Divisão N sujeito a ode para N ta 5 7 d N -r d Restrições r N r Triagulo r N s r s 8 Simetrias Restrições para cada N ta φ Sqrt Num / v φ r s r s r r v : N r N s r N s r d N d d rs r s N r r d r s s r r v r d d r s r N -sn r s r Restrições são iteiros são iteiros r r N Dem para para superior r s v.. r.. M s r.. M triagulo r.. M s r.. M M r.. N icluir todas as images r.. N icluir todas as images r.. M s r.. M r.. M r..ns r.. N r.. N N r > r N r > r Restrições para o último triagulo iferior N s > r -r r s r.. M s r.. M com e N r > s v v v v k N v k cosφ δ k.. N m a v m [; 8] aleatório e real v a [; 7] aleatório e real v φ [ π ; π ] aleatório e real v δ [ π ; π ] aleatório e real N r o r r r s a a v r v s seguda metade do deomiador r.. M com diagoal r.. M com úmero secudária de do umerador direito acima da diagoal secudária com varíaveis N s > s abaio da diagoal secudária com M M N r > s.5 Usado o programa que implemeta o Método Brach-ad-Boud e reduzido o úmero de variáveis com a iserção de simetrias as matrizes de

114 coeficietes do umerador e do deomiador pode-se etão ecotrar ovas equações para úmero de images N maiores como mostrado o Apêdice B.. Matrizes esparsas as equações do cálculo de fase Em muitas das equações do cálculo de fase desevolvidas o item aterior ota-se que a maior parte dos coeficietes do umerador e do deomiador é zero. E aida mais o caso do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador os termos diferetes de zero estão a diagoal pricipal e as três diagoais mais próimas desta; assim só os quatro primeiros coeficietes de cada liha são diferetes de zero. Na primeira metade dos coeficietes do deomiador apeas os quatro primeiros e o último termo são diferetes de zero. Matrizes ode a maior parte dos termos é zero são ormalmete chamadas de matrizes esparsas. Pode-se etão o Modelo Matemático.5 acrescetar a restrição de esparsividade.5 trasformado-o o Modelo Matemático.5 com simetria e esparsividade. Ode M é a parte iteira da divisão do úmero de images N por dois mais o resto da divisão do úmero de images N por dois [ M DVN MODN ]. Esparsividade d r r 5.. M.5 r s r.. M 5 s r.. M com s > r Observa-se que tato as restrições de simetrias quato as restrições de esparsividade são equações de igualdade lieares que vão dimiuir o úmero de icógitas do Modelo Matemático.9 e com isso torar a sua solução mais rápida e fácil. Restrições lieares são facilmete tratadas pelo Método Brach-ad-Boud que ormalmete icorpora o Método Simple de Programação Liear. O problema delas é que agora se está ecotrado equações meos gerais e com codições que ão são aturais do problema origial do cálculo de fase.

115 5 > > > > > > > real e leatório ] ; [ real e leatório ] ; [ real e leatório 7] [; real e leatório 8] [;.. cos : cada para ode s iferior triagulo último o para Restrições.... secudária diagoal da abaio triagulo o para Restrições.... secudária diagoal da direito acima superior Triagulo.. umerador do secudária diagoal a para Restrições.. d deomiador do metade seguda a para Restrições 8.. são iteiros.. são iteiros icluir todas as images.. icluir todas as images.... ta varíaveis de úmero Dem Num / Sqrt ta 7 5 _ Re _ -r -sn N -r N a a a a N k N k v r com M r s M r M r d Esparsividade s r N e r s N com M r s M r s r N com M r s M r s s N com M r s M r r r N com M r r r N com M r d Simetrias N r d N r..ns r M r d M r s M r N r d N r d M v d a sujeito N Divisão sto N teiro Quociete M d Míimizar v v v a v m v v v v v k s r r rs s r r N s s r s N r r r r N r r r s r r s r r N r s r s r N r s s r N r N r s v s v r s r N r v r r v N r N r r N r s s r a m π π δ π π φ δ φ φ φ.5

116 O primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador usado este coceito de matrizes esparsas estão represetados como mostrado em.5. m Quociete _ teiro N Re sto _ Divisão N Num Dem m m m m m m m m m m m m [ d d d d d ] m m m m m m m m m m m m m m m mm.5 O úmero de variáveis para este ovo modelo fica M-5M- M- pois como mostrado em.5 tem-se M- lihas com icógitas cada uma mais icógitas da liha M- mais icógitas da liha M- mais uma icógita da última liha o umerador e mais 5 icógitas o deomiador. O total de variáveis é M- uma redução cosiderável em relação ao modelo aterior. Novamete para dimiuir o uiverso de busca fazem-se os coeficietes do primeiro um quarto do umerador e os da primeira metade do deomiador variarem etre - e iclusive. De ovo usado o programa que implemeta o Método Brach-ad-Boud e reduzido o úmero de variáveis com a iserção da restrição de esparsividade as matrizes de coeficietes do umerador e do deomiador pode-se etão ecotrar ovas equações para úmero de images N maiores como mostrado o Apêdice C. Com as restrições de simetria e de espasividade o úmero de variáveis tora-se bastate reduzido e o Modelo Matemático.5 passa a ser resolvido com facilidade. Assim o tempo de processameto para se ecotrar uma equação do cálculo de fase fica muito pequeo cerca de algus miutos. Com isso pode-se usar.5 para se obter equações para grades valores de úmero de images N.

117 7 Cita-se aida que se obtém sucesso a alteração do Modelo Matemático.5 se as restrições e 5 forem mudadas para que os coeficietes do primeiro um quarto do umerador e a primeira metade do deomiador sejam restrigidos mais aida etre - e iclusive para N. Pode-se também fazer com que os valores aleatórios de m a e δ ão ecessitem ser limitados e possam assumir qualquer valor real de - a. Outra questão iteressate é que o valor de ν que dá o úmero de equações com a restrição em.5 pode também variar. Coseguiu-se obter ovas equações do cálculo de fase simplesmete variado o valor de ν etre e N dez vezes o úmero de images. O importate é que a resolução o Modelo Matemático.5 gera ovas e eficietes equações do cálculo de fase. Como a maior parte dos coeficietes tato do umerador como do deomiador são zero a aplicação destas ovas equações fica bem rápida e o volume de operações matemáticas é reduzido pois como os termos são zero ão há ecessidade de se multiplicar os valores da itesidade lumiosa k por estes coeficietes uma vez que qualquer úmero multiplicado por zero dará valor ulo zero.. Equações do cálculo de fase para muitas images Observado as equações deduzidas tetou-se obter uma regra de formação para elas ou um algoritmo que forecesse valores válidos de coeficietes do umerador e do deomiador para equações do cálculo de fase para grades quatidades de images N. Estas regras de formação foram obtidas e as equações do cálculo de fase geradas pelas regras foram testadas através do teste umérico matemático descrito o tem.8.. Este foi realizado milhares de vezes pelo meos. vezes para cada equação do cálculo de fase gerada e apresetou acerto de pelo meos 999% das vezes com uma precisão umérica de -. Com isso acredita-se que toraram míimas ou remotas as chaces delas estarem erradas ou serem falsas. Usado o coceito de simetria e esparsividade das seções ateriores buscase uma regra de formação para os quatro primeiros termos de cada liha de um

118 8 quarto dos coeficietes do umerador e para os cico termos que podem ser diferetes de zero para a metade do deomiador. A primeira coisa a fazer é zerar todos os coeficietes do umerador e do deomiador seguido o algoritmo mostrado a Figura dado o valor de N úmero de images. A matriz dos coeficietes do umerador NUM é uma matriz quadrada triagular superior de ordem N e o vetor dos coeficietes do deomiador DEM tem N elemetos. Algoritmo Zera Varie r de até N Varie s de r até N NUM[rs] Fim Varie DEM[r] Fim Varie Fim algoritmo Figura Algoritmo para zerar os coeficietes do umerador e do deomiador das equações do cálculo de fase. Fote: Resultados da pesquisa. A regra de formação criada é dividida em oito casos depededo do valor de úmero de images N: N é par N é divisível por e N é também divisível por 8; N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8; N é par N é divisível por e N é divisível por 8; N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8; 5 N é ímpar N- é divisível por e N- é divisível por 8; N é ímpar N- é divisível por mas N- ão é divisível por 8; 7 N é ímpar N é divisível por e N é divisível por 8; 8 N é ímpar N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Para cada caso tem-se uma regra de formação com mostrado a seguir. No primeiro caso ode N é par N é divisível por e N é também divisível por 8 o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apresetam a forma mostrada em.55:

119 9 Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua : [ ] 5 Metade Metade Metade Liha : Repete Repete Quarta Quarta Repete Repete Metade Metade.55 Metade A regra de formação fucioa assim: a primeira liha do umerador: os coeficietes diferetes de zero são - e ; a seguda liha os coeficietes diferetes de zero são e -; a partir da terceira liha tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a ; e a quarta liha apeas o primeiro termo da liha igual a - sedo que esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a e a liha seguite com o primeiro termo igual a - até atigir a liha de úmero N/ Quarta. A partir da liha N/ tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a - e a liha seguite o primeiro termo da liha igual a sedo que esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a - e a liha seguite com o primeiro termo igual a até atigir a liha de úmero N/. Ai a liha de úmero N/ os coeficietes diferetes de zero são o primeiro com o valor de um e o terceiro com valor de -; a liha seguite o primeiro e o segudo coeficietes são iguais a e o termo da última liha é também igual a. Na primeira metade dos coeficietes do deomiador apeas o primeiro termo é - e o terceiro termo é e todos os outros termos são iguais a zero.

120 Seja DVpq uma fução que retora o quociete da divisão iteira de p por q e MODpq uma fução que retora o resto da divisão iteira de p por q. Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é par N é divisível por e N é também divisível por 8 como mostrado a Figura 7. Algoritmo Caso N é par N é divisível por e N é também divisível por 8. Se MODN e MODN e MODN8 etão METADE DVN QUARTO DVN DEM[] - DEM[] NUM[] - NUM[] NUM[] NUM[] - Varie r de até QUARTO Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Varie Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE ] - NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE ] NUM[ METADE METADE] Fim Se Fim algoritmo Figura 7 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é par; N é divisível por e N é também divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa. No segudo caso ode N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8; o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apreseta a forma mostrada em.5:

121 Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua : [ ] 5 Metade Metade Metade Liha : Repete Repete Quarta Quarta Repete Repete Metade.5 Metade A regra de formação fucioa assim: a primeira liha do umerador os coeficietes diferetes de zero são - e ; a seguda liha os coeficietes diferetes de zero são e -; a partir da terceira liha tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a um e a quarta liha apeas o primeiro termo da liha igual a -. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a e a liha seguite com o primeiro termo igual a - até atigir a liha de úmero N/ -. A partir da liha N/ Quarta tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a - e a liha seguite o primeiro termo da liha igual a e esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a - e a liha seguite com o primeiro termo igual a até atigir a liha de úmero N/. Na liha de úmero N/ o coeficiete diferete de zero é apeas o segudo ou último termo com o valor de um sedo que o termo da última liha é também igual a um. Na primeira metade dos coeficietes do deomiador apeas o primeiro termo é - e o terceiro termo é e todos os outros termos são iguais a zero.

122 Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8 como mostrado a Figura 8. Algoritmo Caso N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Se MODN e MODN e MODN8 etão METADE DVN QUARTO DVN DEM[] - DEM[] NUM[] - NUM[] NUM[] NUM[] - Varie r de até QUARTO- Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Varie Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE ] NUM[ METADE METADE] Fim Se Fim algoritmo Figura 8 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o segudo caso ode N é par; N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa. No terceiro caso ode N é par N é divisível por e N é divisível por 8 o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apreseta a forma mostrada em.57.

123 Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua : [ ] 5 Metade Metade Metade Liha : Repete Repete Quarta Quarta Repete Repete Metade Metade Metade.57 Metade A regra de formação fucioa assim a primeira liha do umerador: os coeficietes diferetes de zero são - e ; a seguda liha os coeficietes diferetes de zero são e -; a partir da terceira liha tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a um; e a quarta liha apeas o primeiro termo da liha igual a -. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a e a liha seguite com o primeiro termo igual a - até atigir a liha de úmero N/ Quarta. A partir da liha N/ tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a - e a liha seguite o primeiro termo da liha igual a. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a - e a liha seguite com o primeiro termo igual a até atigir a liha de úmero N/. Assim a liha de úmero N/ - os coeficietes diferetes de zero são o primeiro com o valor de e o terceiro com -; a liha de úmero N/ os coeficietes diferetes de zero são o primeiro com o valor de e o terceiro com valor de -; a liha seguite o primeiro e o segudo coeficietes são iguais a e o termo da última liha é também igual a. Na primeira metade dos coeficietes do

124 deomiador apeas o primeiro termo é - e o terceiro termo é e todos os outros termos são iguais a zero. Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o terceiro caso ode N é par N é divisível por e N é divisível por 8 como mostrado a Figura 9. Algoritmo Caso N é par N é divisível por e N é divisível por 8. Se MODN e MODN e MODN8 etão METADE DVN QUARTO DVN DEM[] - DEM[] NUM[] - NUM[] NUM[] NUM[] - Varie r de até QUARTO Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Varie Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE- ] - NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE ] - NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE ] NUM[ METADE METADE] Fim Se Fim algoritmo Figura 9 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o terceiro caso ode N é par; N é divisível por e N é divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa No quarto caso ode N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8 o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apreseta a forma mostrada em.58.

125 5 Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua : [ ] 5 Metade Metade Metade Liha : Repete Repete Quarta Quarta Repete Repete Metade Metade Metade.58 Metade A regra de formação fucioa assim: a primeira liha do umerador os coeficietes diferetes de zero são - e ; a seguda liha os coeficietes diferetes de zero são e -; a partir da terceira liha tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a ; e a quarta liha apeas o primeiro termo da liha igual a -. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a e a liha seguite com o primeiro termo igual a - até atigir a liha de úmero N/ -. A partir da liha N/ Quarta tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a - e a liha seguite o primeiro termo da liha igual a. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a - e a liha seguite com o primeiro termo igual a até atigir a liha de úmero N/. Assim a liha de úmero N/ - os coeficietes diferetes de zero são o primeiro com valor de e o terceiro com -; a liha de úmero N/ o coeficiete diferete de zero é apeas o primeiro com valor de ; a liha de úmero N/ o coeficiete diferete de zero é apeas o segudo ou último termo com o valor de um sedo o termo da última liha também igual a um. Na primeira metade dos

126 coeficietes do deomiador apeas o primeiro termo é - e o terceiro termo é ; todos os outros termos são iguais a zero. Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o quarto caso ode N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8 como mostrado a Figura. Algoritmo Caso N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Se MODN e MODN e MODN8 etão METADE DVN QUARTO DVN DEM[] - DEM[] NUM[] - NUM[] NUM[] NUM[] - Varie r de até QUARTO- Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Varie Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE- ] - NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE ] NUM[ METADE METADE] Fim Se Fim algoritmo Figura Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o quarto caso ode N é par; N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa. No quito caso ode N é ímpar N- é divisível por e N- é divisível por 8 o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apreseta a forma mostrada em.59.

127 7 Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua : [ ] 5 Metade. Metade Metade Liha : Repete Repete Quarta Quarta Quarta Repete Repete Metade Metade.59 Metade A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do umerador fucioa assim: a primeira liha do umerador os coeficietes diferetes de zero são - e -; a seguda liha; o coeficiete diferete de zero é - ; a terceira liha; os coeficietes diferetes de zero são e 5 -; a partir da quarta liha tem-se apeas o quarto termo da liha igual a ; e a quita liha apeas o segudo termo da liha igual a -. Esse processo se repete com uma liha com apeas o quarto termo igual a e a liha seguite com o segudo termo igual a - até atigir a liha de úmero N-/ -. A liha de úmero N-/ Quarta tem o terceiro termo igual a e o quarto termo igual a - e todos os outros com valor zero. A liha seguite de úmero N-/ o primeiro termo é igual a o segudo é igual a - e o quarto termo igual a. A liha de úmero N-/ apeas o segudo termo da liha é igual a. A partir da liha N-/ tem-se apeas o quarto termo da liha igual a - e a liha seguite o segudo termo da liha igual a. Esse processo se repete com uma liha com apeas o quarto termo igual a - e a liha seguite com o segudo termo igual a até atigir a liha de úmero N/

128 8 ou liha de úmero [DVNMODN] -. Assim a liha de úmero N/ o coeficiete diferete de zero é o segudo com o valor de -; a liha seguite o primeiro coeficiete é igual a ; e o termo da última liha é igual a zero. Observa-se que toda a última colua do primeiro um quarto do umerador tem os coeficietes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficietes do deomiador o primeiro termo é - o segudo termo é o quarto termo é - o último termo é e todos os outros termos são iguais a zero. Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é ímpar N- é divisível por e N- é divisível por 8 como mostrado a Figura. Algoritmo Caso 5 N é ímpar N- é divisível por e N- é divisível por 8. Se MODN e MODN- e MODN-8 etão METADE DVNMODN QUARTO DVN- DEM[] - DEM[] DEM[] - DEM[ METADE ] NUM[] - NUM[] NUM[] - NUM[] - NUM[] NUM[5] - Varie r de até QUARTO - Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Varie NUM[ QUARTO QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] - NUM[ QUARTOQUARTO ] NUM[ QUARTOQUARTO ] - NUM[ QUARTOQUARTO ] NUM[ QUARTOQUARTO ] Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE- ] - NUM[ METADE- METADE- ] Fim Se Fim algoritmo Figura Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o quito caso ode N é ímpar; N- é divisível por e N- é divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa.

129 9 No seto caso ode N é ímpar N- é divisível por mas N- ão é divisível por 8 o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apreseta a forma mostrada em.. Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua : [ ] 5 Metade. Metade Metade Liha : Repete Repete Quarta Quarta Quarta Repete Repete Metade Metade. Metade A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do umerador fucioa assim: a primeira liha do umerador os coeficietes diferetes de zero são - e -; a seguda liha; o coeficiete diferete de zero é - ; a terceira liha; os coeficietes diferetes de zero são e 5 -; a quarta liha todos os coeficietes são zero; a partir da quita liha tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a ; e a seta liha apeas o primeiro termo da liha igual a -. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a e a liha seguite com o primeiro termo igual a - até atigir a liha de úmero N-/ -. A liha de úmero N-/ Quarta tem o terceiro termo igual a e o quarto termo igual a - e todos os outros com valor zero. A liha seguite de úmero N-/ o primeiro termo é igual a o segudo é igual a - e o quarto termo igual a. A liha de úmero N-/ apeas o segudo termo da liha é

130 igual a. A partir da liha N-/ tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a - e a liha seguite o primeiro termo da liha igual a. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a - e a liha seguite com o primeiro termo igual a até atigir a liha de úmero N/ ou liha de úmero [DVNMODN] -. Assim a liha de úmero N/ os coeficietes diferetes de zero são o primeiro igual a e o segudo com o valor de - ; a liha seguite o primeiro coeficiete é igual a ; e o termo da última liha é igual a zero. Observa-se que toda a última colua do primeiro um quarto do umerador tem os coeficietes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficietes do deomiador o primeiro termo é - o segudo termo é o quarto termo é - o último termo é e todos os outros termos são iguais a zero. Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é ímpar N- é divisível por mas N- ão é divisível por 8 como mostrado a Figura.

131 Algoritmo Caso N é ímpar N- é divisível por mas N- ão é divisível por 8. Se MODN e MODN- e MODN-8 etão METADE DVNMODN QUARTO DVN- DEM[] - DEM[] DEM[] - DEM[ METADE ] NUM[] - NUM[] NUM[] - NUM[] - NUM[] NUM[5] - Varie r de 5 até QUARTO - Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Varie NUM[ QUARTO QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] - NUM[ QUARTOQUARTO ] NUM[ QUARTOQUARTO ] - NUM[ QUARTOQUARTO ] NUM[ QUARTOQUARTO ] Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE- ] - NUM[ METADE- METADE- ] Fim Se Fim algoritmo Figura Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o seto caso ode N é ímpar; N- é divisível por mas N- ão é divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa. No sétimo caso ode N é ímpar N é divisível por e N é divisível por 8 o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apreseta a forma mostrada em..

132 Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua: [ ] 5 Metade Metade Metade Liha : 5 Repete Repete Quarta Quarta Quarta Repete Repete Metade Metade. Metade A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do umerador fucioa assim: a primeira liha do umerador os coeficietes diferetes de zero são NUM - NUM - e NUM ; a seguda liha os coeficietes diferetes de zero são NUM NUM e NUM -; a terceira liha tem todos os coeficietes iguais à zero; a quarta liha apeas o terceiro termo é igual a -; e a quita liha apeas o primeiro termo é igual a se aida ão atigiu a liha de ordem N/ tem-se que a partir da seta liha apeas o terceiro termo da liha igual a um e a sétima liha apeas o primeiro termo da liha igual a -. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a e a liha seguite com o primeiro termo igual a - até atigir a liha de úmero N/ -. Na liha de úmero N/ - se N/ for meor que seis o primeiro termo é igual a caso cotrário é igual a - e o terceiro coeficiete é sempre igual a. A liha de úmero N-/ Quarta tem o segudo e o terceiro termos iguais a e o quarto igual a -. A liha seguite de úmero N/ tem o primeiro termo igual a e o segudo coeficiete igual a -. A partir da liha N/ tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a - e a liha seguite o primeiro termo da liha

133 igual a. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a - e a liha seguite com o primeiro termo igual a até atigir a liha de úmero N/ ou liha de úmero [DVNMODN] -. Assim a liha de úmero N/ o coeficiete diferete de zero é o segudo com valor de um; a liha de úmero N/ o coeficiete diferete de zero é o primeiro com o valor de um e o termo da última liha é igual a zero. Observa-se que toda a última colua do primeiro um quarto do umerador tem os coeficietes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficietes do deomiador o primeiro e o segudo termos são iguais a - o terceiro coeficiete é igual a um o último termo é e todos os outros termos são iguais a zero. Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é ímpar N é divisível por e N é divisível por 8 como mostrado a Figura.

134 Algoritmo Caso 7 N é ímpar N é divisível por e N é divisível por 8. Se MODN e MODN e MODN8 etão METADE DVNMODN QUARTO DVN DEM[] - DEM[] - DEM[] DEM[ METADE ] NUM[] - NUM[] - NUM[] NUM[] NUM[] NUM[] - Varie r de até QUARTO - Se r < etão Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se seão Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Se Fim Varie NUM[ QUARTO-QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] - NUM[ QUARTOQUARTO ] NUM[ QUARTOQUARTO ] - Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE- ] NUM[ METADE- METADE- ] Fim Se Fim algoritmo Figura Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o sétimo caso ode N é ímpar N é divisível por e N é divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa. No oitavo caso ode N é ímpar N é divisível por mas N ão é divisível por 8 o primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador apreseta a forma mostrada em..

135 5 Metade Quociete_teiroN Re sto_divisãon Quarta Quociete_teiroN Num Dem Colua : [ ] 5 Metade Metade Metade Liha : Repete Repete Quarta Quarta Quarta Repete Repete Metade. Metade A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do umerador fucioa assim: a primeira liha do umerador os coeficietes diferetes de zero são - e -; a seguda liha os coeficietes diferetes de zero são e -; a terceira liha tem apeas o terceiro coeficietes iguais a -; a quarta liha apeas o primeiro termo é igual a ; se aida ão atigiu a liha de ordem N/ - tem-se que a partir da quita liha apeas o terceiro termo da liha igual a um; e a seta liha apeas o primeiro termo da liha igual a -. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a e a liha seguite com o primeiro termo igual a - até atigir a liha de úmero N/ -. Na liha de úmero N/ - se N/ for meor que cico o primeiro termo é igual a caso cotrário é igual a - e o terceiro coeficiete é sempre igual a. A liha de úmero N-/ Quarta tem o segudo e o terceiro termos iguais a e o quarto igual a -. A liha seguite de úmero N/ tem o primeiro termo igual a e o segudo coeficiete igual a -. A partir da liha N/ tem-se apeas o terceiro termo da liha igual a - e a liha seguite o primeiro termo da liha igual a. Esse processo se repete com uma liha com apeas o terceiro termo igual a -

136 e a liha seguite com o primeiro termo igual a até atigir a liha de úmero N/ ou liha de úmero [DVNMODN] -. Assim a liha de úmero N/ o coeficiete diferete de zero é o primeiro com o valor de e o termo da última liha é igual a zero. Observa-se que toda a última colua do primeiro um quarto do umerador tem os coeficietes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficietes do deomiador o primeiro e o segudo termos são iguais a - o terceiro coeficiete é igual a o último termo é e todos os outros termos são iguais a zero. Assim o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o primeiro caso ode N é ímpar N é divisível por mas N ão é divisível por 8 como mostrado a Figura.

137 7 Algoritmo Caso 8 N é ímpar N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Se MODN e MODN e MODN8 etão METADE DVNMODN QUARTO DVN DEM[] - DEM[] - DEM[] DEM[ METADE ] NUM[] - NUM[] - NUM[] NUM[] NUM[] - Varie r de até QUARTO - Se r < 5 etão Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se seão Se MODr etão NUM[rr] seão NUM[rr] - Fim Se Fim Se Fim Varie NUM[ QUARTO-QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] NUM[ QUARTO QUARTO ] - NUM[ QUARTOQUARTO ] NUM[ QUARTOQUARTO ] - Varie r de QUARTO até METADE- Se MODr etão NUM[rr] - seão NUM[rr] Fim Se Fim Varie NUM[ METADE- METADE- ] Fim Se Fim algoritmo Figura Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficietes do umerador e a primeira metade dos coeficietes do deomiador para o oitavo caso ode N é ímpar N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Fote: Resultados da pesquisa. Ao fial tem-se o algoritmo completo para geração de equações do cálculo de fase para o úmero de images N maior que 5 como mostrado a Figura 5. icialmete é eecutado o algoritmo que zera os coeficietes; em seguida cada caso é eecutado a sequêcia e o fial roda-se o algoritmo de simetria.

138 8 Algoritmo Completo para Geração de Equações do Cálculo de Fase. Algoritmo Zera Algoritmo Caso N é par N é divisível por e N é também divisível por 8; Algoritmo Caso N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8; Algoritmo Caso N é par N é divisível por e N é divisível por 8; Algoritmo Caso N é par N é divisível por mas N ão é divisível por 8; Algoritmo Caso 5 N é ímpar N- é divisível por e N- é divisível por 8; Algoritmo Caso N é ímpar N- é divisível por mas N- ão é divisível por 8; Algoritmo Caso 7 N é ímpar N é divisível por e N é divisível por 8; Algoritmo Caso 8 N é ímpar N é divisível por mas N ão é divisível por 8. Algoritmo Simetria Fim algoritmo Figura 5 Algoritmo completo para geração de equações de cálculo com úmero de images N maior que 5. Fote: Resultado da pesquisa. Foi realizado etão o teste umérico matemático descrito o item.8. usado o algoritmo completo para N variado de até milhões de images. Para cada valor de N as equações geradas foram testadas mais de. vezes com ídice de acerto superior a 999% e precisão umérica difereça etre a fase φ gerada aleatoriamete e a fase calculada usado as ovas equações de -. A ideia desse teste foi verificar o esquema de regra criado para gerar equações do cálculo de fase e torar míima ou remota as chaces destas equações geradas estarem erradas ou serem falsas. Nota-se que ão se tem um acerto de % porque pode acotecer que os valores do umerador e do deomiador fiquem muito pequeos aumetado tremedamete a propagação do erro umérico de arredodameto e este caso a difereça etre o valor de fase φ gerado aleatoriamete e o calculado com a ova equação fica maior que -. Vale citar que para N a ordem de milhões a propagação de erro de arredodameto também cresce devido ao grade úmero de operações matemáticas realizadas. Para armazear a memória matrizes de ordem tão grade utilizou-se um esquema simples de matrizes esparsas. Para o umerador foi criado um vetor de poteiros de até 9..; o ídice deste eorme vetor represeta o úmero da liha da matriz de coeficietes do umerador. Esses poteiros vão apotar um registro que armazea o úmero da colua o valor do coeficiete que deve ser diferete de zero e o poteiro para o próimo registro da liha. Nota-se que o úmero de coeficietes diferetes de zero em cada liha do umerador ão supera doze valores. Na matriz do deomiador são armazeados o úmero da colua e o

139 9 valor do coeficiete diferete de zero; ota-se etão que o úmero máimo de coeficietes diferetes de zero o deomiador é apeas 9 termos. Outros esquemas e receitas de geração de equações podem ser obtidos. O iteressate do algoritmo mostrado a Figura 5 é que ele atede o Modelo Matemático.9 e gera equações corretas para o cálculo de fase cotedo muitos termos iguais a zero o que o tora bem eficiete para a implemetação computacioal.. Quatas images usar o cálculo de fase Uma imagem de Frajas de Moiré tem geralmete milhares ou até mesmo milhões de piéis. Se imagiar agora um úico piel idividual desta imagem e se observar a Equação.9 tem-se para este piel quatro icógitas: m a φ e δ uma vez que para todas as images o deslocameto de faseδ apesar de descohecida é costate. Teoricamete para icógitas ecessita-se de quatro equações para chegar-se ao Algoritmo de Carré. O problema surge quado as images eistem ruídos e imperfeições que atrapalham o processo de medição a Técica de Moiré. Se o erro aparecer somete em uma úica imagem usado o algoritmo de Carré e de Novak poderia se determiar este ruído pois os valores calculados da fase φ dariam valores diferetes. Na realidade o que acotece é que o ruído aparece em todas as images sedo modelado como um feômeo estatístico ierete ao processo de medição. Neste caso o úmero de images deve ser aumetado epressivamete. Em qualquer decisão que se toma baseado-se em poucos dados corre-se o risco de que ela seja errada. Por eemplo quado se sai de casa carregado ou ão um guarda-chuva coletam-se certos dados: olha-se o céu lê-se a previsão do tempo do joral escuta-se a televisão. Depois de avaliar rapidamete todos estes dados dispoíveis icluido a previsão do rádio de "% de probabilidade de haver chuva" toma-se uma decisão. De qualquer modo faz-se o compromisso etre a icoveiêcia de carregar um guarda-chuva e a possibilidade de tomar uma chuva sujado-se a roupa e pegado um resfriado. Neste eemplo tomou-se uma decisão

140 baseado-se a icerteza. A icerteza ão implica falta de cohecimeto mas somete que o resultado eato ão é completamete previsível. A importâcia da icerteza da medição é que ela obscurece a habilidade de se obter a iformação que se quer: o valor verdadeiro da variável medida. Por causa dos erros a eatidão de uma medição uca é certa. A Estatística mostra que o valor verdadeiro coseguido em um cojuto de medições é dado por sua média aritmética e a icerteza este valor. Os erros aleatórios ão podem ser atecipados e evitados. O máimo que o operador pode fazer é miimizar seus efeitos fazedo um tratameto estatístico de todas as medições replicadas. Medições cofiáveis devem ser válidas precisas eatas e cosistetes por defiição e verificação. Medidas válidas são realizadas por procedimeto corretos resultado o valor que se quer medir. Medidas precisas são repetitivas e reprodutivas com pouca dispersão em toro do valor esperado. Medidas eatas estão próimas do valor verdadeiro ideal. Medidas cosistetes são aquelas cujos valores ficam cada vez mais próimos do valor verdadeiro quado se aumeta o úmero de medições replicadas. É impossível fazer uma medição sem erro ou icerteza. Na realidade o que se procura é mater os erros detro de limites toleráveis e estimar seus valores com precisão aceitável. Cada medição é iflueciada por muitas icertezas que se combiam para produzir resultados espalhados. As icertezas da medição uca podem ser completamete elimiadas pois o valor verdadeiro para qualquer quatidade é descohecido. O erro é a difereça algébrica etre a idicação e o valor verdadeiro covecioal. Erros aleatórios aparecem das variações aleatórias das observações. A cada mometo que a medição é tomada sob as mesmas codições efeitos aleatórios de várias fotes afetam o valor medido. Uma série de medições produz um espalhameto em toro de um valor médio. Um úmero de fotes pode cotribuir para a variabilidade cada vez que uma medição é tomada e sua ifluêcia pode estar cotiuamete mudado. Elas ão podem ser elimiadas mas a icerteza devido a seus efeitos pode ser reduzida aumetado o úmero de observações e aplicado Aálise Estatística. Aumetado o úmero de images N aumeta-se a quatidade de iformação e a quatidade de observação. sso pode ser uma importate solução para os erros aleatórios proveietes de ruídos as fotografias de Moiré. A Técica

141 Moiré de Sombra é prejudicada tremedamete com a degradação da qualidade da imagem pricipalmete devido à redução do campo visual em virtude de se ter um retículo de lihas a frete do objeto e devido à discretização em piéis e tos de ciza ão seguirem corretamete as lihas egras dos retículos. Assim uma liha do retículo pode estar dividida o meio de piel da imagem. Mesmo aplicado filtro e outros artifícios o efeito de ruídos é daoso para se obter medidas corretas e precisas com a Técica de Moiré. Não se vê atualmete uma utilidade prática para equações do cálculo de fase com ceteas milhares ou milhões de images pricipalmete porque o passo do deslocameto de fase δ apesar de descohecido deve ser costate o que pode ser complicado de se obter com uma grade quatidade de images. Mas como a evolução da formática é surpreedete e o Algoritmo de Carré pode ser usado em vários campos da Egeharia este trabalho de pesquisa desevolveram-se tais equações. Cita-se também a possibilidade de criação de dispositivos eletrôicos que possam projetar a ilumiação com o deslocameto de fase automática e assim captar dezeas de quatros por segudo. A Técica de Moiré tem um importate caráter de magificação do movimeto que pode ser usado a medição de objetos muito pequeos e em microscópios eletrôicos tridimesioais. É difícil prever aplicações futuras em Egeharia. Neste coteto se justifica o esforço este estudo em desevolver equações do cálculo de fase para uma grade quatidade de images N além de complemetar de maeira defiitiva a geeralização do Algoritmo de Carré.. Coclusão do capítulo Destaca-se fialmete o caráter iédito e origial das ovas equações do cálculo de fase desevolvidas este capítulo. Este é o pricipal resultado desta tese até este poto: a geeralização do Algoritmo de Carré para permitir mais de quatro images vai possibilitar um processo de medição com um maior úmero de observação e com isso espera-se uma dimiuição da icerteza e do erro aleatório o uso da Técica Moiré de Sombra e assim uma maior precisão.

142 Cita-se como importate a verificação de que o Método Brach-ad-Boud cosegue solucioar com sucesso o modelo de Programação teira Não-liear proposta esta pesquisa. É iteressate observar que ceteas de testes foram realizados eecutado-se a implemetação do método e obtiveram grade sucesso. Esta classe de problemas apreseta em geral muita dificuldade a resolução e apeas em um pequeo úmero de casos cosegue ser resolvido. O modelo proposto é um desses casos. Uma razão para o sucesso do Método Brach-ad-Boud pode ser atribuída à ideia do método umérico em obter a solução ótima com uma reduzida quatidade de avaliações das equações restrigido o uiverso de busca. Acredita-se que outros métodos uméricos também poderiam obter sucesso. As observações das ovas equações do cálculo de fase permitiram evoluir o modelo para se obter equações com um úmero muito grade de images. Foi importate a criação de teste para verificar e cofirmar a veracidade dessas equações. Efatiza-se aida que em todo esse trabalho foram utilizados métodos uméricos de cálculo. A implemetação computacioal desevolvida este projeto de pesquisa foi um dos trabalhos mais desafiates. São métodos de grade compleidade e que ecessitam de fleibilidade para alteração de restrições e evolução do modelo matemático. O uso de programação orietada a objetos classes e métodos bem defiidos foi de fudametal importâcia para o sucesso dos softwares. Destaca também que se tetou o capítulo fazer um relato histórico temporal e sequecial de como as ovas equações do cálculo de fase foram sedo desevolvidas. Como se trata de um trabalho cietifico a ideia foi de registrar como o trabalho foi sedo eecutado o mais próimo possível da realidade. A título de eemplo foram realizadas demostrações aalíticas de equações do cálculo de fase usado-se o software de matemática computacioal Maple. O trabalho aalítico é cosiderável e por isso foi utilizado um programa de computador embora mostre que as ovas equações podem ser demostradas matematicamete por relações trigoométricas apesar de ser um processo bem trabalhoso e demorado. Nota-se aida que é muito mais fácil comprovar aaliticamete a veracidade da equação do cálculo de fase uma vez que esta já foi obtida e é cohecida do que tetar deduzi-la aaliticamete por meio de relações trigoométricas e desevolvimetos algébricos.

143 A pricipal preocupação este capítulo da tese foi torar fácil o etedimeto do processo de desevolvimeto das ovas equações do cálculo de fase. Assim priorizou-se uma otação matemática mais didática e usual em ótica aplicada à Egeharia que fosse utilizada comumete por outras referêcias bibliográficas sobre o assuto.

144 CAPÍTULO V - TRATAMENTO DE MAGENS. trodução do capítulo Além do cálculo de fase usado as equações desevolvidas o capítulo aterior as images de Frajas de Moiré passam por outros processametos descritos este Capítulo V. Há que se esclarecer porém que seu coteúdo iformativo serve apeas de resumo itrodutório para a compreesão desta tese uma vez que ão se costitui o foco pricipal deste estudo. icialmete ressalta-se uma determiação da ambiguidade do âgulo de fase empacotado wrapped. Nas equações ateriores trabalhou-se com apeas o módulo dos valores das distribuições de fase; logo φ [ π/] mas os pricipais algoritmos de desempacotameto uwrapped trabalham com φ* [-π π]. A trasformação de φ em φ* é o tema de abertura. Em seguida tem-se a abordagem do processo de desempacotameto phase uwrappig que é o processo pelo qual o valor absoluto do âgulo de fase de uma fução cotíua que se estede além de π relativo a um poto iicial predefiido é recuperado. Esse valor absoluto é perdido quado o termo de fase é coberto por si mesmo com distâcias repetidas de π que teham atureza seoidal das fuções de oda usada as medições de propriedades físicas. Algus algoritmos são citados com este objetivo. A seguir é desevolvida a teoria de geração pelo computador das images de Frajas de Moiré. Com o desevolvimeto do Processameto Digital de mages podem-se criar Frajas de Moiré para uma determiada superfície. Tal método ajuda a aálise de erro e o teste do sistema computacioal para aálise automática das fotografias de Moiré. Um estudo de geração de ruídos em images também é realizado uma vez que em fotografias reais as imperfeições estão presetes. O capítulo é fializado com o estudo dos pricipais filtros utilizados iicialmete as images de Moiré ates do cálculo de fase ser aplicado. Nesta pesquisa foram utilizados propositalmete filtros muito simples como os filtros Passa Baio e Gaussiao. No processo evolutivo da teoria dos filtros a ovidade

145 5 são os filtros direcioais aplicados diretamete as fotografias para a elimiação de ruídos e imperfeições.. Passagem da fase de [ π/] para [-π π] As ovas equações do cálculo de fase desevolvidas esta pesquisa têm a forma da Equação.8. Como evolve uma raiz quadrada e valores absolutos do umerador e do deomiador o valor da taφ sempre será um úmero positivo. Quato se aplica o arcotagete para se descobrir o valor da fase φ tem-se um úmero etre e π/ ou seja φ [ π/]. O problema é que a maioria dos algoritmos de desempacotameto uwrappig trabalha com âgulos etre -π e π radiaos. Na literatura podem ser ecotradas algumas soluções para este problema que também aparece a equação origial de Carré coforme apotam CREATH 985 e NOVAK. Nesta tese optou-se por soluções alterativas e diferetes. Observado o gráfico da tagete de um âgulo em radiaos vê-se que o valor absoluto da tagete de φ é o mesmo para quatro âgulos etre -π e π; estes âgulos são: φ -φ φ-π e -φπ. Tem-se a ideia de que uma vez obtida à fase φ testa-se as quatro possibilidades para se achar φ* [-π π] e poder aplicar os algoritmos de desempacotameto uwrappig. O teste se baseia em cada piel que segudo posição das images são somados e subtraídos os valores das itesidades de luz k e usado de relações trigoométricas objetivado verificar para qual dos quatros âgulos φ -φ φ-π e -φπ as seteças ficam verdadeiras. Uma primeira tetativa foi realizada trabalhado-se com relações trigoométricas e deduzido equações como as mostradas abaio. Por eemplo para N ou úmero de images par tem-se:

146 cos cos cos cos si si si si cos * * * * δ φ δ φ δ φ δ φ δ a m a m a a N Par. Observa-se que da primeira seteça da Equação. se pode calcular o valor do deslocameto de fase δ. Com este valor testam-se os quatro âgulos φ -φ φ-π e -φπ verificado-se qual tora verdadeira ou com um erro de precisão umérica muito pequea tipo - as outras quatro seteças da Equação.. O âgulo ecotrado é o valor de φ*. Esse processo deve ser realizado para cada piel das fotografias de Moiré. Em outro eemplo para N5 ou úmero de images ímpar tem-se: ] [cos cos ] [cos cos si si si si cos 5 * * 5 * * 5 5 δ φ δ φ δ φ δ φ δ a a a a N Ímpar. Observa-se que ovamete da primeira seteça da Equação. se pode calcular o valor do deslocameto de fase δ. Com este valor testam-se os quatro âgulos φ -φ φ-π e -φπ verificado-se qual tora verdadeira ou com um erro de precisão umérica muito pequea tipo - as outras quatro seteças da Equação.. O âgulo ecotrado é o valor de φ*. Esse processo deve ser repetido para cada piel das fotografias de Moiré. A ideia esse processo é sempre somar e subtrair as images com ídices k cetrais ou do meio. Geeralizado para qualquer úmero de images N tem-se:

147 7 cos cos cos cos si si si si cos * * * * δ φ δ φ δ φ δ φ δ a m N N a m N N a N N a N N N N N N N Par. Ou [ ] [ ] cos cos cos cos si si si si cos * * 5 * * 5 5 δ φ δ φ δ φ δ φ δ a N N N a N N N a N N a N N N N N N N Ímpar. As equações. e. foram obtidas através de relações trigoométricas bem simples. Apesar de iteressate esse método apreseta dificuldades a implemetação uma vez que pode acotecer que o deomiador da primeira seteça a Equação. e. pode ser zero e este caso o método falha. Uma alterativa melhor e com formulação bem mais simples é descrita abaio. A partir da Equação.9 que pode ser reescrita como.5 para um dado piel da imagem de Fraja de Moiré: N k com N k a m k.. cos δ φ.5

148 8 Para cada uma dos quatro âgulos de teste φ -φ φ-π e -φπ mota-se um sistema ão liear com equações das N de.5. Nota-se que como se sabe o valor de φ têm-se apeas três icógitas m a e δ; assim o sistema ão liear fica: k k k m m m a a a k cosφ * k cosφ * k cosφ * N δ N δ N δ para para para k k k k k k. Aplica-se etão o Método de Newto-Raphso para resolver rapidamete o sistema ão liear ode se cohece os valores da itesidade de luz k e se deseja descobrir os valores de m a e δ em cada piel ou seja apeas icógitas e equações. As três equações acima têm derivadas simples e a covergêcia do Método de Newto-Raphso é bem rápida. Uma vez calculado m a e δ para cada um dos quatro âgulos de teste φ -φ φ-π e -φπ escolhe-se o âgulo que tiver meor erro calculado pela Equação.7. Ou seja verifica-se se os valores de m a e δ atedem todas as N equações de.5. Erro Absoluto N k N k m a cosφ * δ.7 k O âgulo ecotrado que apresetar o meor erro é o valor de φ*. Especial ateção deve ser tomada pois para um dos quatro âgulos de teste φ -φ φ-π e -φπ têm-se valores diferetes de m a e δ obtidos pelo Método de Newto-Raphso mas os valores de itesidade de luz k k..n são os mesmos. Outro detalhe é que esse processo deve ser realizado para cada piel a posição das images de frajas de Moiré. Testes práticos mostraram que esta técica ão icremeta cosideravelmete o tempo de processameto uma vez que o Método de Newto- Raphso coverge para a solução em poucas iterações. Nesta pesquisa optou-se por esta última técica para fazer a passagem da fase de [ π/] para [-π π] em razão da facilidade de implemetação computacioal

149 9 e do uso bem cohecido do Método de Newto-Raphso além da utilização a tese de grades valores de N úmero de images. O valor de φ* [-π π] obtido está proto para ser a etrada os algoritmos de desempacotameto uwrappig descrito a seguir.. Algoritmos de desempacotameto uwrappig Segudo ROBNSOM & RAD desempacotameto de fase phase uwrappig é o processo pelo qual o valor absoluto do âgulo de fase de uma fução cotíua que se estede além de π relativo a um poto iicial predefiido é recuperado. Esse valor absoluto é perdido quado o termo de fase é coberto por si mesmo com distâcias repetidas de π que teham atureza seoidal das fuções de oda usada as medições de propriedades físicas. Partido do pricípio de que o processo para determiação do âgulo de fase φ* já removeu ambiguidades agora quado uma fase é acrescetada de π a icliação da fução é positiva e o cotrário ocorre ao se dimiuir uma fase de π PATORSK 99. Em qualquer padrão Moiré as partes de mesma altura o objeto estão represetadas as frajas com formas de colias ou selas. O formato de colias ou sela aparece os potos de itersecção com a mesma altura e deve-se ter muita ateção ao se iterpretar essa região para se somar ou subtrair a ordem de fraja pricipalmete em mapas de fraja gerados de images com ruídos e imperfeições. mportate fote de erro que ocorre a fase de detecção e resolução dos saltos de fase se dá em fução da preseça de ruídos. Um aspecto desse tipo de aálise é que a fase é determiada idepedete de cada poto ou seja ão é ecessária a comparação de dados de outras partes da imagem. sso sigifica que descotiuidades que possam aparecer o padrão de frajas serão corretamete iterpretadas e ambiguidades serão resolvidas automaticamete. Uma grade vatagem ao se utilizar a Técica Deslocameto de Fase jutamete com Moiré de Sombra é que por essa técica o cohecimeto a priori do perfil medido ão se faz ecessário POST et al. 99.

150 5 A ideia cetral da técica de aálises de fraja é que se um padrão de lihas geralmete paralelas etre si se projeta sobre a superfície de um objeto e é visto de âgulo deslocado a fraja observada é distorcida a forma da superfície do objeto. A distorção da fraja padrão cotém iformações sobre a altura do objeto perpedicular ao plao da imagem. As Técicas de Moiré obtêm iformações dessa altura através da computação das difereças de fase. Desde que a fase é computada o itervalo etre -π e π uma das mais críticas etapas do método é o processo de desempacotameto ou seja o processo de elimiação das descotiuidades π. mages reais de frajas são afetadas por muitos distúrbios como a aquisição do ruído problemas de ilumiação sombras e refleos etc. A base em uma dimesão do algoritmo de desempacotameto trabalha apeas com um piel da liha da imagem de cada vez e em caso de images corrompidas ão garate um correto processo de desempacotameto. O processo de desempacotameto em -D é o problema cetral a aálise de iterferometria ótica em ressoâcia magética de uso médico em física do estado sólido e em várias outras áreas de aplicação. Por essa razão muitos algoritmos de desempacotameto têm sido propostos. Uma boa itrodução em -D é dada por GHGLA et al. 998 que é um dos pricipais algoritmos ecotrados a literatura. O pricípio básico da Remoção de Salto de Fase é itegrar a fase com descotiuidades ao logo de uma trajetória pelos dados amostrados. Em cada piel o gradiete de fase é calculado pela difereça: * φ * q φ * q φ.8 ode q é o úmero do piel. Se φ* eceder certo limiar como π por eemplo etão uma descotiuidade é idetificada. Este salto de fase é corrigido adicioado-se ou subtraido-se π de acordo com o sial de φ*. Embora a Remoção de Saltos de Fase possa ser desevolvida por circuitos aalógicos como parte de um processo de medição de fase eletrôico muitos pesquisadores empregam técicas de Processameto Digital de magem. O pricípio mais comumete utilizado é baseado o fato de que a difereça de fase etre quaisquer dois potos medidos por itegração da fase ao logo de um camiho etre estes dois potos é idepedete da trajetória escolhida se esta

151 5 trajetória ão passa através de uma descotiuidade. Assim os Métodos de Remoção do Salto de Fase podem ser divididos em métodos depedetes e idepedetes do camiho. O método mais simples de Remoção do Salto de Fase é o método depedete do camiho que evolve o escaeameto sequecial ao logo dos dados amostrados liha por liha. Ao fial de cada liha a difereça de fase etre o último piel e o piel da liha abaio é determiado e a liha posterior é escaeada a direção iversa. Esta técica é amplamete aplicável para dados de alta qualidade porém variações mais compleas são ecessárias a preseça de ruídos. Uma maeira utilizada para se evitar a propagação de erros ao logo da matriz de dados é realizar a Remoção do Salto de Fase primeiramete as regiões de piéis bos. Os piéis ruis com grades icertezas de medição têm suas descotiuidades removidas posteriormete todavia a propagação de erros fica cofiada a pequeas regiões DEL-VECCHO. O método idepedete do camiho é desevolvido a partir de uma máscara a qual as difereças de fase φ* do piel cetral e de seus quatro piéis vizihos mais próimos as direções verticais e horizotais são calculadas. Se uma das difereças é maior em valor absoluto que π π ou -π é adicioado a φ* depededo da maioria das quatro difereças ser positiva ou egativa. Quado duas difereças são positivas e duas são egativas uma decisão arbitrária é tomada para adicioar π. Quado ehuma das difereças absolutas ecede π etão φ* permaece imutável. Essas iterações se processam ao logo de toda a imagem até que repetições sequeciais ão mais resultem em alterações do valor iicial para cada matriz arra. Nesse estágio uma iteração global é realizada substituido-se cada valor de piel pela média de cada par de piéis a matriz arra correte e a matriz arra aterior. Esse algoritmo requer um processameto itesivo sedo o etato imue a ruídos e artefatos DEL-VECCHO. Uma forma de se evitar a propagação de erros a partir de vazios ao logo de toda a imagem é aplicar a Remoção de Salto de Fase Temporal. A ideia pricipal acerca deste método é que a fase em cada piel é medida como uma fução do tempo. Este método é aplicável em situações em que o deslocameto de fase ocorre ao logo do tempo por eemplo em aálise de deformações a qual o deslocameto de fase é proporcioal ao deslocameto da superfície.

152 5 As opções de algoritmos de desempacotameto são muitas e várias alterativas poderiam ser usadas iclusive técicas que dispesam a fase de passagem de [ π/] para [-π π] descrita o item aterior. Nesta pesquisa optou-se por uma implemetação coservadora bastate trabalhada e cosolidada a literatura uma vez que este ão é o foco pricipal deste estudo descrito em GHGLA et al. 99 e mostrada a seguir. A fase φ* obtida da Técica Deslocameto de Fase é uma fase empacotada wrapped phase que varia de -π até π radiaos. Uma fase empacotada tem de ser desempacotada uwrappig tal que o valor da fase é icremetado por um fator de πh. O relacioameto etre a fase empacotada φ* e a fase desempacotada Ψ é estabelecida como: Ψ W φ* W φ* φ * πh.9 ode W é a fução de desempacotameto uwrappig e h é um úmero iteiro φ* é a fase empacotada wrapped e Ψ é a fase desempacotada. Logo para toda a imagem tem-se: Ψ φ * π. h. No processo de desempacotameto vários dos valores de fase são deslocados adicioados e subtraídos por um múltiplo iteiro de π. Este processo é etão resumido com adição e subtração de π em cada descotiuidade ecotrada a distribuição de fase φ* da imagem. O procedimeto de desempacotameto cosiste em achar o correto úmero de ordem para cada fase medida. O úmero de ordem tem apeas três possibilidades em cada piel h ou h ou h-. Este método supõe que a fase da imagem é cotíua e que a amostragem é desa bastate tal que o verdadeiro valor da fase etre dois potos adjacetes ão possa difereciar mais que π. A fase empacotada também chamada de pricipal é deotada por φ* e Ψ é o valor verdadeiro da fase. As difereças das fases a direção horizotal e a direção vertical podem ser estimadas por ídice i para o

153 5 deslocameto de potos a horizotal [] e ídice j para deslocameto de potos a vertical []: j i j i j i j i j i j i W W * * * * φ φ φ φ. O quadrado do erro para uma imagem com resolução gráfica de M M é: * * * * M i M j j i j i j i M i M j j i j i j i S φ φ φ φ. Aplicado-se o critério dos míimos quadrados chega-se a: Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i C Q ode C Q * ; * mi * ; * mi. * ; * mi * ; * mi * ; * mi * ; * mi * ; * mi * ; * mi φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ. ode mirs é fução que retora o meor dos dois valores r ou s. Chega-se a um sistema liear que pode ser resolvido pelo Método de Gauss com Pivotação Parcial para se obter o valor de Ψ. Matematicamete a formulação. pode também se vista como uma solução por Difereças Fiitas da equação diferecial de Laplace com codições de cotoro do tipo de Neuma para se ter uma cotiuidade dos valores da fase Ψ. Mais detalhes podem ser ecotrados também em HUNT 979. A modulação de fase Ψ obtida o processo de desempacotameto represeta fisicamete a fração do úmero de ordem de fraja as images de Moiré multiplicada por π. A forma do objeto pode etão ser determiada e medida aplicado-se a equação abaio deduzida da Equação.7:

154 5 Ψi j p π Z i j. taα ta β ode Z ij é profudidade a ser medida que é a distâcia vertical do retículo plao para o poto do objeto em cada piel; p é o passo ou distâcia etre as lihas do retículo de referêcia ou frequêcia do retículo ou aida frequêcia espacial do retículo; α é o âgulo etre a ormal e o feie de luz ilumiação e β é o âgulo etre a ormal e o poto de observação observador. sso é mostrado a Figura abaio: Figura Motagem da Técica Moiré de Sombra para obteção das medidas de Z que é a distâcia etre o objeto e o retículo em cada piel da fotografia. Fote: Resultados da pesquisa.. Geração de images de Moiré o computador Outra proposta deste estudo para se testar a precisão das ovas equações de cálculo desevolvidas é substituir as fotografias das frajas de Moiré pela geração destas images o computador. Usado o cohecimeto de Processameto Digital de mages é possível criar dada uma fução matemática Zf várias images de Moiré uma para cada fase e testar o processo de medição através da Técica Deslocameto de Fase. O processo de geração de images é descrito a seguir. icialmete defie-se a resolução gráfica das images a serem geradas úmeros de piéis a horizotal e a vertical. Aplica-se etão a regra umérica de discretização de fuções para se calcular o icremeto de passo a horizotal h e o icremeto de passo a vertical h.

155 55 h h X f X i Y f Yi.5 ode X f é o maior valor da distâcia métrica a horizotal X i é o meor valor da distâcia métrica a horizotal Y f é o maior valor da distâcia métrica a vertical Y i é o meor valor da distâcia métrica a vertical é o úmero de piéis da imagem a horizotal e é o úmero de piéis a imagem vertical. Assim para cada piel da imagem pode-se obter sua posição métrica. Com o valor de e usado a fução matemática f calcula-se a altura Zf. A ordem de fraja pode ser obtida alterado-se a Equação. reescrita em. abaio: taα ta β Ψ π Z. p ode Z é a profudidade a ser medida que é a distâcia vertical do retículo plao para o poto do objeto em cada piel; p é o passo pitch ou distâcia etre as lihas do retículo de referêcia ou frequêcia do retículo ou aida frequêcia espacial do retículo; α é o âgulo etre a ormal e o feie de luz ilumiação; β é o âgulo etre a ormal e o poto de observação observador; e Ψ é a ordem de fraja em cada piel da imagem multiplicada por π. Para images moocromáticas preto e braco ode cada piel é armazeado usado um bte de 8 bits ode os tos de ciza variam de preto a 55braco e dado δ um deslocameto de fase arbitrária pode-se calcular os valores destes piéis pelas equações: k k N cos com k.. N πψ δ.7 ode N é o úmero de images a serem geradas uma para cada deslocameto de fase; k é a itesidade lumiosa da imagem em um dado piel que é arredodado para o valor iteiro mais próimo uma vez que cada piel é armazeado em um bte de 8 bits variado de a 55; k é a ordem da imagem gerada variado de primeira imagem até Núltima imagem.

156 5 Nota-se que as images geradas por este processo ão têm ruído e as úicas distorções são proveietes das discretizações em piéis horizotal e vertical e das discretizações em tos de ciza proveietes do arredodameto para iteiro o bte dos piéis. A Figura 7 ilustra este processo para a equação: z com A B C D E F G H J K L M N O P Figura 7 Um cojuto com images de Frajas de Moiré de um megapiel geradas o computador. [A-P]. Nas images usou-se uma resolução gráfica de um megapiel com 8 piéis a horizotal e 9 piéis a vertical. Fote: Resultados da pesquisa. Estas images geradas o computador podem agora ser usadas para testar o algoritmo de medição da Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase.

157 57 Uma vez que se cohece a altura Z em cada piel pelo valor da fução matemática f o erro e a precisão podem ser obtidos com facilidade. sso é realizado o Capítulo V deste estudo. Em outro estudo a fução f é calculada por iterpolação poliomial de potos medidos de um objeto com a geometria simples usa-se uma malha desehada em uma trasparêcia com 9 potos formado uma malha com 7 potos a horizotal e 7 potos a vertical. Essa trasparêcia é colada em um vidro trasparete e usado-se um paquímetro é medida a distâcia do objeto até o vidro os 9 potos da malha. Com os 9 potos tabelados de e z aplicam-se uma iterpolação poliomial de Lagrage bidimesioal multivariada para se obter um poliômio que passa por esses 9 potos medidos. Detalhes desse procedimeto podem ser ecotrados em HOFFMAN. O poliômio ecotrado passa a ser a fução matemática ZfP que pode ser usada para a geração das images das Frajas de Moiré descritas ateriormete este item. Malhas maiores foram cofeccioadas ode o espaçameto horizotal e vertical ão era de apeas um cetímetro mas de dois e três cetímetros. Assim foram desehadas malhas de cm cm e cm 88 que foram usadas para objetos de diversos tamahos. No próimo item as images geradas vão gahar muito mais veracidade com o acréscimo de ruído imperfeições e das sombras das lihas verticais do retículo ficado muito difícil distiguir o que é fotografia de imagem real do que é imagem criada o computador..5 Acréscimos de ruídos as images Aqui é apresetado um resumo itrodutório sobre ruídos em images digitais. A ideia é mostrar como as fotografias reais sempre cotêm erros e distorções que afetam o processo de medição usado a Técica de Moiré. Mais detalhes podem ser ecotrados em GONZALEZ et al.. O ruído é o equivalete digital dos grãos dos filmes utilizados em câmeras de filme. Outra forma de ilustrar o que é ruído é pesar ele como o equivalete ao sutil chiado que se percebe quado uma música é ouvida um volume muito alto de

158 58 voz. Para as fotografias digitais esse ruído aparece como machas aleatórias em uma superfície ormalmete lisa e compromete sigificativamete a qualidade das fotos. Apesar de o ruído ser cosiderado um defeito de uma foto ele pode ser causado propositalmete já que pode coferir às fotos um aspecto atigo que remeta aos filmes. Um pouco de ruído também pode aumetar a itidez da imagem. O ruído aumeta proporcioalmete à sesibilidade escolhida SO e tempo de eposição. A quatidade de ruído também varia muito depededo da câmera utilizada. Câmeras profissioais de alto ível costumam ter muito meos ruído que câmeras compactas comus. Algum ível de ruído sempre eiste em qualquer aparelho eletrôico que trasmite ou recebe um sial. Para as televisões esse sial são os dados da trasmissão eviados por cabo ou recebidos pela atea da TV; para as câmeras digitais o sial é a luz que atige o sesor da câmera. Mesmo sedo ievitável o ruído pode se torar tão pequeo relativamete ao sial que pode ser cosiderado ieistete. A razão etre o sial e o ruído SNR do iglês sigal to oise ratio é uma maeira útil e uiversal de comparar as quatidades relativas de sial e ruído para qualquer sistema eletrôico; razões altas terão pouco ruído visível equato o oposto vale para baias razões. O SO de uma câmera em iglês SO settig ou SO speed é um padrão que descreve a sesibilidade absoluta da luz. O SO ormalmete é apresetado em razões de como SO 5 SO SO e SO e pode ter uma grade variedade de valores. Valores mais elevados represetam maior sesibilidade e a razão etre dois valores de SO represeta a sesibilidade relativa etre elas ou seja uma foto com SO demorará a metade do tempo que uma foto com SO para atigir o mesmo ível de eposição se todos os outros parâmetros da câmera forem fiados. O SO das câmeras digitais é a mesma coisa que a ASA ecotrada os filmes para câmeras aalógicas. A difereça sem dúvida é que uma úica câmera digital pode fotografar em diferetes SO sem troca de filmes. O aumeto do SO é possível amplificado-se o sial do sesor da câmera mas isso também amplifica o ruído. Assim quato maior o SO mais ruído a imagem terá. Vários tipos de ruídos podem ser ecotrados as images digitais. Câmeras digitais produzem três tipos de ruído básicos: aleatório de padrão fio e de badas. O ruído aleatório é caracterizado por flutuações de itesidade e tom de cor em relação à imagem real. Sempre haverá alguma quatidade de ruído aleatório em

159 59 qualquer duração de eposição pois ela será muito iflueciada pelo SO. O padrão do ruído aleatório muda mesmo quado as propriedades da eposição são as mesmas é eatamete por isso que ele é chamado de aleatório. O ruído de padrão fio iclui o que se costuma chamar de hot piéis do iglês: piéis quetes que são chamados assim quado a itesidade de um piel ultrapassa muito a das flutuações de ruído aleatório. O ruído de padrão fio geralmete aparece em situações de eposições logas e é eacerbado por temperaturas altas. Uma característica importate é que ele mostra aproimadamete a mesma distribuição se as codições as quais a imagem é produzida são repetidas temperatura eposição e SO. O ruído em bada depede muito da câmera utilizada e é itroduzido pela própria câmera quado ela lê dados proveietes do sesor digital. Ele é mais visível quado são usados SO altos e as áreas de baia luz ou quado uma imagem foi editada / clareada ecessivamete. Depededo da câmera ele também pode ser aumetado em fução do balaço de braco escolhido. Apesar de parecer ser o mais itrusivo o ruído de padrão fio é ormalmete o mais fácil de ser removido em razão da sua atureza repetitiva. A eletrôica da câmera tem que simplesmete saber o padrão e subtraí-lo da imagem capturada para revelar a imagem verdadeira. O ruído de padrão fio é um problema muito meor que o ruído aleatório em câmeras de última geração apesar de pequeas quatidades serem aida mais facilmete percebidas que o ruído aleatório. O ruído aleatório é muito mais complicado de ser removido sem que a imagem seja daificada. Os algoritmos criados para isso aida lutam para coseguir discerir etre o ruído e teturas reais como as que ocorrem a terra ou folhas. Assim tetativas de remover o ruído acabam também removedo essas teturas. A mudaça do ruído ão depede somete da eposição da foto e da câmera já que pode variar detro de uma mesma imagem. Em câmeras digitais regiões mais escuras terão mais ruído que regiões mais claras e com o filme acotece o cotrário. A magitude do ruído ormalmete é descrita pelo desvio padrão que quatifica a variação típica que um piel tem de seu valor real. Aumetar o SO sempre produz mais ruído em uma câmera mas a variação de ruído a troca de SO muda muito de câmera para câmera. Quato maior a área de um piel o sesor da câmera maior será a capacidade de receber luz - produzido assim um sial mais forte. Como resultado câmeras com piéis

160 fisicamete maiores geralmete vão aparetar ter meos ruídos já que o sial é maior em relação ao ruído. É por isso que câmeras com mais megapiéis espremidos em uma mesma área ão ecessariamete produzem images melhores. Por outro lado um sial mais forte ecessariamete terá um ruído meos visível já que é a quatidade relativa de ruído e sial que determia quão ruidosa será uma imagem. mages reais frequetemete sofrem degradações durate seu processo de aquisição trasmissão ou processameto. Essa degradação é ormalmete chamada de ruído. O ruído pode ser cosiderado uma variável aleatória z caracterizada por uma fução-desidade de probabilidade pz. Os tipos de ruído mais comumete modelados são ruídos impulsivo Gaussiao uiforme Erlag epoecial Raleigh e Poisso GONZALEZ et al.. Observa-se que em todos os modelos o ruído é cosiderado como uma distribuição estatística a imagem. sso reforça a ideia de que a repetitividade e o aumeto do úmero de observações vai ateuar o ruído das images. Neste trabalho de pesquisa os modelos acima de ruído foram aplicados as fotografias com um percetual de % a % dos piéis de uma imagem ou seja cerca de um quito dos piéis de uma imagem cotém algum tipo de ruído. Para torar as images geradas mais realistas foi também aplicado elas um processo de suavização smoothig. A suavização liear é aplicada para gerar ovas images com aspecto mais suave pois calculam o ovo valor de itesidade lumiosa de um dado poto a partir de uma média liear dos valores de itesidade dos potos vizihos de acordo com o tamaho da máscara de covolução usada chama-se de covolução o processo de calcular a itesidade de um determiado piel em fução da itesidade de seus vizihos. Numa cofiguração de máscara X com todos os vizihos sedo levados em cota da mesma maeira a operação se resumiria a troca do valor do piel cetral pela média aritmética dos piéis mais próimos Filtro Passa Baia. Porém é possível adotar uma máscara que priorize ou coceda maior peso para vizihos específicos buscado um comportameto mais adequado para a aplicação GONZALEZ et al.. É iteressate otar que a maior parte dos trabalhos ecotrados a literatura se está tetado tirar o ruído e este estudo a ideia é acrescetá-lo a imagem gerada por computador para torá-la o mais real possível. Uma rotia em MatLab foi desevolvida gerado aleatoriamete ruído as diversas images

161 geradas pelo programa. Além disso foi aplicada uma suavização liear e foram também acrescidas as sombras das lihas verticais do retículo. O resultado é visto a Figura 8. Figura 8: À direita imagem gerada pelo computador do seio de um maequim e à esquerda fotografia digital tirada dos seios do mesmo maequim. Fote: Resultados da pesquisa. É difícil perceber qual é a imagem real e qual é a imagem criada o computador. Nota-se que o caso dos seios do maequim foi usada uma fução f obtida por iterpolação poliomial com base em 9 medidas realizadas com um paquímetro.. Filtros iciais ates do cálculo de fase Uma vez que se obteve a fotografia das Frajas de Moiré esta deve iicialmete ser tratada com o objetivo de remover as lihas do retículo de Moiré para ateuar os ruídos e as distorções. Neste estudo foi aplicado apeas recursivamete filtro passa baia e filtro gaussiao; mais ehum tratameto foi dado iicialmete às images digitais fotografadas. Filtragem digital é um cojuto de técicas destiadas a corrigir e realçar uma imagem. A correção é a remoção de características idesejáveis e a melhoria/realce é a acetuação de características. O cálculo é baseado em poderação isto é utilizam-se pesos diferetes para piéis vizihos diferetes. A matriz de pesos é

162 chamada de kerel úcleo da covolução. Para obter o ovo valor do piel multiplica-se o kerel pelo valor da imagem origial em toro do piel elemeto a elemeto e soma-se o produto obtedo-se o valor do piel a ova imagem. As técicas de filtragem são trasformações da imagem piel a piel que ão depedem apeas do ível de ciza de um determiado piel mas também do valor dos íveis de ciza dos piéis vizihos a imagem origial. Os filtros fucioam como jaelas ou máscaras móveis que se deslocam sobre a imagem. Por eemplo uma jaela de três por três piéis ove ao todo que percorre a imagem. icialmete ela é colocada o cato superior esquerdo da imagem sedo que o valor do piel cetral dessa jaela a imagem é dado pela soma dos valores dos 9 piéis da imagem multiplicados pelas 9 celas da jaela. Essa jaela se desloca piel a piel e essa operação é repetida atribuido-se ovos valores aos piéis. Outra opção de filtragem o processameto o domíio frequêcia é semelhate ao realizado o domíio espacial porém os operadores utilizados as tarefas de filtragem mudam sigificativamete tedo em vista que agora a busca pelas características da imagem se dá o plao da frequêcia que é a verdade uma ova estrutura de represetação das iformações da imagem origial. O que ates era aalisado o domíio espacial de f agora é aalisado em Fuv que é a represetação da imagem f o domíio da frequêcia. A ferrameta utilizada para mapear os dados de f do domíio espacial para F o domíio da frequêcia é a Trasformada Discreta de Fourier DFT. Essa ferrameta mapeia as características do sial o tempo espaço para um somatório de seos e cosseos com seus respectivos pesos de forma a traduzir perfeitamete o sial para o domíio da frequêcia. Para retorar ao domíio do tempo sem perdas de iformações basta aplicar a trasformada iversa ao sial da frequêcia. A teoria matemática por trás desta ferrameta é etesa e possui rica literatura ão fazedo parte do escopo deste estudo aprofudar-se em maiores detalhes de seu fucioameto. O processameto o domíio da frequêcia costuma ser mais custoso e demorado devido ao úmero maior de etapas de processameto a serem cumpridas e pela atureza das máscaras de covolução de frequêcias que são bem maiores do que as utilizadas o processameto espacial. O processameto de uma imagem o domíio da frequêcia segue os seguites passos GONZALEZ et al. :

163 multiplicar a imagem o domíio espacial por um fator para auiliar o cálculo posterior da DFT pois cetraliza as iformações da trasformada a imagem; calcular a DFT da imagem f propriamete dita gerado Fuv; aplicar uma fução de filtragem Huv sobre a imagem F de acordo com as características que se deseja realçar a imagem gerado uma ova imagem: Guv HuvFuv; calcular a DFT iversa do resultado da filtragem G realizada o passo trazedo a imagem de volta ao domíio espacial com as modificações da filtragem; 5 etrair apeas a parte real do resultado obtido da DFT iversa o passo ; multiplicar esta parte real ovamete por para rearrajar a imagem corretamete o domíio espacial e possibilitar a visualização dos resultados. Na tese utilizou-se somete um filtro passa baia e um filtro Gaussiao o domíio espacial aplicado diversas vezes sobre as images fotográficas. Mas uma alterativa muito usada é descrita a seguir. Para maiores referêcia cosultar COSTA. Após as fotos adquiridas já terem sido itroduzidas o computador pode-se dividir a fase de processameto em sete etapas: trasformação das fotos em tos de ciza; média das fotos de mesmo âgulo de fase ª filtragem; cálculo da compoete seoidal e cosseoidal da fase; filtragem das compoetes seoidal e cosseoidal da fase através de Fourier ª filtragem; 5 cálculo da fase com saltos π; remoção do salto de fase; 7 cálculo do perfil e visualização em -D. A difereça está as etapas e pois o restate é igual ao desevolvido este estudo ode se optou por substituir as etapas por simples filtragem Passa Baio e Gaussiao pela simplicidade e velocidade de implemetação computacioal. Mas acredita-se que esse processo alterativo descrito aqui possa

164 produzir um resultado melhor e mais preciso. Variações desta técica podem ser ecotradas em DEL-VECCHO e RBERO. Uma grade iovação esta área de filtros iiciais é citada por WANG que desevolveu uma teoria de filtros direcioais que utilizam o desvio padrão para determiar a direção das frajas e etão aplicar um filtro essa direção. Com isso é obtida uma imagem muito melhor e com meos erros. Nessa mesma pesquisa são também citados ovos filtros auto-adaptativos para images de Frajas de Moiré..7 Coclusão do capítulo Apesar do tratameto de images ão ser o foco pricipal desta pesquisa esta temática é muito importate para a compreesão e etedimeto da tese ora defedida. Vale destacar que muitas técicas e ovos algoritmos são ecotrados a literatura cietífica. Neste capítulo foi apresetado apeas um resumo itrodutório do tema sedo altamete recomedável a cosulta de outras referêcias bibliográficas também porque foi muito iteressate costatar a recete e epressiva evolução da formática e do Processameto Digital de mages. mportate observar que a opção adotada em sempre foi a mais precisa uma vez que se objetivou este estudo a simplicidade e a facilidade de implemetação computacioal em MatLab. A ideia da Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase objetivou testar verificar e comparar as ovas equações do cálculo de fase desevolvidas pela geeralização do Algoritmo de Carré que se traduz o foco pricipal da tese. A preseça de ruídos as images e erros da ordem de milímetros as medições usado a Técica de Moiré serão importates para testar verificar e comparar a utilidade das ovas equações do cálculo de fase desevolvidas. Assim sedo ão se optou por uma busca etrema de tratameto de images de alta precisão pois justamete a comparação dos erros e icertezas que são visíveis e facilmete detectáveis é que justificará o desevolvimeto de equações de cálculo usado muitas images. Essa temática será tratada o próimo capítulo.

165 5 CAPÍTULO V - ANÁLSE DE ERROS 5. trodução do capítulo Em quase todas as áreas da atividade humaa há uma busca cotíua e iiterrupta por ovos métodos ovos procedimetos que superem ou melhorem em certo setido aqueles já eistetes. Assim é que a agricultura buscam-se variedades mais adequadas e mais produtivas de cereais; o setor de trasporte procuram-se motores de maior redimeto e de meor ruído; a Medicia procuramse drogas com maior poder de cura e o míimo possível de efeitos colaterais; e a Egeharia criam-se métodos de medidas eperimetais mais precisos e sujeitos e meos erros e falhas. Em todas essas situações é preciso comparar as técicas usuais com os métodos alterativos. A comparação da eficiêcia de duas drogas de dois métodos de produção de aço de dois procedimetos de laboratório ou em geral de dois tratametos é pois uma questão importate que surge frequetemete o trabalho de pesquisa e desevolvimeto. A escolha etre dois tratametos diferetes ão é uma tarefa tão simples como a pricípio possa parecer. É ecessário realizar eperimetos coletar iformações e fazer iferêcias a partir da evidêcia eperimetal. Tome-se o caso de duas terapias alterativas. Se todos os portadores de determiada doeça se comportassem de maeira idêtica em relação aos tratametos utilizados bastaria eamiar o comportameto de um o máimo dois deles frete às alterativas eistetes já que a decisão sobre qual é o melhor deles seria óbvia. Seria lógico pois iferir que ehuma Aálise Estatística seria ecessária. Tal etretato ão é o caso. A reação a um tratameto varia de idivíduo para idivíduo e via de regra ão há um tratameto ótimo para todos. Como em geral ão se cohece a priori a reação de cada idivíduo prescreve-se o tratameto que em média dá os melhores resultados TROLA 8. O procedimeto para determiar qual de dois tratametos é em média o mais eficiete evolve a seleção de duas amostras e a comparação dos resultados obtidos. Neste capítulo discute-se como comparar a precisão média de duas

166 equações do cálculo de fase para variáveis quatitativas ou dicotômicas com os dados de forma emparelhados. Uma forma bastate eficiete de se coletar dados para a comparação de dois tratametos cosiste em medir o valor da variável de iteresse em diversos pares de amostras tomado-se cuidado para que as características das amostras que itegram um mesmo par sejam tão semelhates quato possível. O tratameto é admiistrado a somete um dos elemetos do par. A esta amostra refere-se como tratameto. A amostra que ão recebeu tratameto é deomiada cotrole. A vatagem do procedimeto é clara: as amostras o par são idêticas eceto o que se refere ao tratameto recebido TROLA 8. Neste estudo foram tiradas várias fotografias pela Técica Moiré de Sombra de um objeto com dimesões muito bem cohecidas e cada imagem apresetou uma defasagem arbitrária em relação às outras. Em vista disso aplicaram-se etão as ovas equações de cálculo para se obter o perfil do objeto. Assim para a equação com images foram usadas as quatro primeiras fotografias; para a equação com 5 images usou-se as cico primeiras fotografias as quatro ateriores mais uma; para as equações com images usaram-se as seis primeiras fotografias as cico ateriores e mais uma para as equações com 7 images usaram-se as sete primeiras fotografias as seis ateriores e mais uma e assim por diate. Para cada ova equação do cálculo de fase testada calculou-se o erro médio que é a soma das difereças etre as dimesões cohecidas do objeto e as dimesões do objeto forecido pela Técica Moiré de Sombra em cada piel. Com este resultado aplicou-se o teste estatístico de hipótese em iferêcia a partir de amostras emparelhadas. É iteressate otar que a literatura iteracioal sobre a Técica de Moiré o erro é da ordem de micrometros ou aômetros. No etato a motagem eperimetal realizada este estudo cietífico que pretede medir objetos da ordem de dez cetímetros e utiliza um retículo com espaçameto de um milímetro luz ãocoliear e placa de vidro e câmeras digitais comus o erro é da ordem de milímetros ou seja um erro visível a olho u e facilmete perceptível. Ressalta-se pois que o importate o âmbito da tese ora defedida é comparar as ovas equações de cálculo uma vez que essas ovas equações do cálculo de fase podem ser aplicadas a qualquer motagem da Técica de Moiré iclusive as de alta precisão e de elevados custo fiaceiros.

167 7 A Figura 9 abaio mostra algus eemplos de ruídos em fotografias reais de Moiré ecotradas a literatura atualmete. Notam-se a figura os mais variados tipos de defeitos imperfeições sujeiras e distorções as fotografias obtidas em ambietes etremos reais. Figura 9 Eemplo de ruídos e imperfeições de fotografias de Moiré. Fote: WALKER p. -9.

168 8 Para se obter medidas estes tipos de images deve se utilizar um grade úmero de técicas de Processameto Digital de mages para cotorar os efeitos dos ruídos. Além disso as etapas da Técica de Moiré devem apresetar imuidade aos erros a fotografia e ão deiar com que as imperfeições se propagem ou sejam aumetadas. Vale lembrar que em algus casos a Técica de Moiré é utilizada como uma alterativa de medição ode outras técicas fracassaram ou se toraram iviáveis. Por outro lado POST et al. 99 cita medidas utilizado a Técica de Moiré com erro da ordem de aômetros -9 m mas para isso uma serie de cuidados deve ser tomada. Usa retículos da ordem de. lihas por milímetros lihas/mm geradas por meio de microscópio eletrôico de varredura SEM Scaig Electro Microscope. A luz visível é substituída por poderosas fotes de raios X ou raios de êutros sedo estes de odas coeretes aquela formada por odas de mesma frequêcia fase e direção. Os objetos medidos são bem pequeos ordem de micrometros: - m e com superfícies bem comportadas sem grades icliações e cotiuamete suaves aproimadamete superfícies Lambertiaas refletem a luz em. uma úica direção. Utilização de ambietes especiais sem vibrações sem ruídos de som ou luz com ar limpo e sem poeira câmeras emerticamete fechadas. Máquias fotográficas de alta resolução acima de megapiéis acoplada a microscópios óticos. 5. Equipametos utilizados os eperimetos A escolha dos equipametos foi efetuada da forma a aproveitar o que já eiste o Laboratório de Aálise Estrutural da PUC-Mias e cocetrar os esforços a parte de processameto das iformações. A simplicidade dos equipametos também reflete a ieistêcia de projetos específicos podedo o eperimeto ser facilmete reproduzido em futuras aplicações. São seis os pricipais compoetes físicos deste eperimeto: o projetor de luz estruturada; o dispositivo de captura de images câmera digital;

169 9 o sistema de processameto e armazeameto das iformações; objetos a serem medidos devem ser bracos; o retículo com listas verticais espaçadas de mm; micrômetro preso ao retículo com uma mola para alteração da fase. Dezesseis fotografias foram tiradas com deslocameto de fase aleatório etre elas mas costate as dezesseis images. O arrajo utilizado para esse eperimeto-eemplo foi o seguite: da câmera fotográfica até o retículo de frajas a distâcia foi de mm; da câmera fotográfica até a fote de luz a distâcia foi de 5 mm. O passo pitch utilizado foi de mm e ates de cada fotografia o retículo foi cuidadosamete deslocada ou seja após ser retirada uma fotografia o retículo foi deslocada algumas frações de milímetros em direção à máquia fotográfica para a seguda foto ser tirada. Esse mesmo deslocameto foi realizado para a obteção das outras fotos o deslocameto é sempre o mesmo em cada cojuto de dezesseis fotografias. Visado uma melhora os resultados obtidos foi proposto um sistema para calibração do sistema de medição. icialmete foi pesado em se calibrar o sistema através da medição de um plao. Após a aquisição dos valores de um plao cohecido e sem deformidades uma placa de vidro pitada de braco por eemplo poder-se-ia corrigir os resultados obtidos a medição de outro objeto qualquer o caso a medição do plao icliado através de um mapa de tedêcias ecotrado a medição do plao desde que se utilizem as mesmas distâcias e passo da medição do plao. Através do plao icliado foi realizada uma correção para os erros sistemáticos ecotrados o plao reto. sso foi feito pois os resultados ecotrados ao se medir o plao icliado se apresetaram cofiáveis e as images resultates da medição por Moiré de Sombra do plao icliado tiveram melhor qualidade. Ou seja agora a imagem coseguida do plao icliado através da Técica Moiré de Sombra passa a ser o mapa de tedêcias. Após serem realizadas as devidas correções com as tedêcias ecotradas a medição do plao icliado que foi utilizado como padrão coseguiu-se uma melhora visível o resultado da medição. O retículo de frajas foi cofeccioada com o uso de uma trasparêcia afiada a uma placa de vidro. A placa de vidro tem mm de espessura com

170 7 mm de comprimeto e mm de altura. O vidro foi cuidadosamete limpo ficado sem arrahados ou tricas. Foi utilizada uma impressora de jato de tita para a impressão do retículo a trasparêcia. O padrão de impressão utilizado foi o fotográfico com uma resolução equivalete a 8 9 dpi. A trasparêcia foi etão cortada o tamaho da placa de vidro de forma que as frajas cobrissem todo o vidro. Posteriormete a trasparêcia com o padrão de frajas foi afiado a placa de vidro evitado ao máimo a formação de bolhas de ar etre a placa e a trasparêcia. A fiação da trasparêcia à placa de vidro foi feita através de papel cotact trasparete colado as laterais da trasparêcia. O passo de um retículo de Moiré é a distâcia etre os potos correspodetes as barras ou frajas adjacetes e a frequêcia de um retículo é o úmero de barras por uidade de medida POST et al. 99 sedo utilizado este caso como uidade de medida o milímetro. POST et al. 99 descreve uma relação etre a profudidade máima a ser medida o passo do retículo de Moiré e o comprimeto de oda da luz utilizada dada a Equação 5.. Através dessa equação foi calculado o passo do retículo de Moiré sedo aida realizados cálculos para diversos arrajos diferetes: p W 5%. 5. λ ode: W profudidade máima a ser medida. p passo pitch do retículo física em mm. λ comprimeto de oda da luz utilizada em mm. Utilizado uma média para o comprimeto de oda da luz braca igual a 55 mm e uma profudidade máima para o objeto de mm chegou-se a um passo de 5mm. Para facilitar a costrução do retículo foi etão escolhido um passo de mm para a realização da medição. Esse valor foi escolhido baseado em diversas medições realizadas ateriormete e com diversos padrões de frajas diferetes. Com esse valor coseguiu-se melhor qualidade das images. As barras do retículo foram orietadas de forma vertical em fução do arrajo geométrico do eperimeto que utiliza a fote de luz ao lado da câmera fotográfica.

171 7 Para escolha da câmera foram aalisados os seguites critérios: custo resolução facilidade de cotrole e automação. A câmera escolhida foi a Cber-shot DSC-H da fabricate So tedo apresetado uma boa relação custo beefício. Esta câmera apreseta vários recursos óticos como ampliação da imagem Zoom até vezes flash ajustável cartão de memória stick de 5 megabtes equilíbrio do braco fotografias moocromáticas braco/preto focagem automática e disparo de até quadros frames em itervalos de tempo iguais. A câmera apreseta uma resolução gráfica ajustável até o máimo de 5 megapiéis piéis. Na pesquisa por uma questão de tempo de processameto e memória utilizada o disco rígido Hard Disk HD ão foi usada esta resolução máima. A máquia fotográfica tem alta sesibilidade SO uidade de medida da sesibilidade que avalia a quatidade de luz que recebe um equipameto de captação de imagem com isso ela grava uma imagem clara mesmo quado filma um local escuro. Além disso a máquia tem obturador de alta velocidade assim objetos em movimetos aparecem parados a fotografia e gera arquivos de images em vários formatos Bitmap [.bmp] e em coformidade com as ormas uiversais DCF Desig rule for Camera File sstem estabelecidas pela JETA Japa Electroics ad formatio Techolog dustries Associatio. Todas estas características são vatajosas e facilitam a realização dos eperimetos. A escolha da fote de luz para aplicações da Técica de Moiré evolve três pricipais variáveis: o comprimeto de oda da luz a área da região de emissão da fote de luz e a potêcia utilizada. Foi utilizada os eperimetos deste estudo uma fote Fiber Optic da Straioptic Techologies c. de luz braca de watts de potêcia. O aparelho produz brilho de até 5 ANS lumes. Esta pesquisa só foi viabilizada graças ao equipameto desevolvido o Laboratório de Aálise Estrutural da PUC-Mias. Este equipameto cosiste de um micrômetro preso a uma mola. Com este micrômetro é possível alterar com grade precisão a fase em cada imagem deslocado o retículo algumas frações de milímetros. A Figura a seguir ilustra a motagem desevolvida:

172 7 Figura Equipameto para deslocameto de fase. Fote: Resultados da pesquisa. Na motagem o micrômetro foi desmotado a haste de medição e fiado a uma mola presa o retículo. A operação desse equipameto é bem simples uma vez batida uma fotografia ajusta-se o micrômetro de forma a se deslocar o retículo algumas frações de milímetros alterado a fase das Frajas de Moiré e em seguida uma ova fotografia é realizada. Esse equipameto apresetou grade precisão a um custo muito baio. O sistema de processameto de dados cosiste de um microcomputador do Laboratório de Aálise Estrutural com o MatLab.5. Após a aquisição das images todo o trabalho de processameto das mesmas foi realizado a partir de um software criado sob a plataforma MatLab especificamete para o propósito do trabalho. Após as fotos adquiridas já terem sido descarregadas o computador pode-se dividir o processameto em 7 etapas: trasformação das fotos em tos de ciza; filtros iiciais das images filtro Passa Baio e filtro Gaussiao; cálculos das fases usado as ovas equações desevolvidas; passagem da fase de [; π/] para [-π; π]; 5 algoritmos de desempacotameto remoção do salto de fase; cálculo do perfil profudidades em milímetros; 7 visualização em -D e armazeameto das medições. O programa computacioal em MatLab usado era sempre o mesmo apeas a etapa é que se alterava o procedimeto pois eram utilizadas várias equações do cálculo de fase diferetes que foram desevolvidas o Capítulo. As fotografias que foram capturadas de forma colorida foram agora trasformadas em 5 íveis

173 7 de ciza 8bits. As fotografias quado em tos de ciza apresetam valores de piéis que variam de preto a 55 braco. A ideia de trasformar as images em tos de ciza ajuda a ecoomizar tempo de processameto sem prejudicar a qualidade do resultado de medição. Nesse software desevolvido etra-se com as images das Frajas de Moiré com uma dada resolução gráfica úmero de piéis a horizotal e a vertical. Todas as images devem ter a mesma resolução gráfica e a difereça é apeas a fase de cada imagem. O programa retora para cada piel um valor Z que represeta a medida da profudidade em milímetros do objeto até o retículo Figura. A visualização em -D é simplesmete um gráfico ode são a resolução da imagem e Z é a profudidade obtida por meio do processameto das fotografias. Usou-se o MatLab com o ituito de fazer uma programação bem simples e didática e que pudesse ser utilizada em outros projetos. Figura Fluograma do processameto da Técica Moiré de Sombra com Deslocameto de Fase. Fote: Resultados da pesquisa. Uma vez obtidos os valores de Z para cada piel essas medidas são comparadas com um valor que se admite como sedo o valor eato do perfil do objeto Z e. Esse valor é obtido por meio de medições mecâicas usado paquímetros e iterpolado para se obter o valor eato em cada posição dos piéis das images. A pricípio os objetos têm dimesões cohecidas e formatos bem simples como cilidros esferas etc.. Uma iterpolação umérica poliomial é realizada apeas para se determiar essas dimesões a posição em cada piel da

174 7 imagem. É óbvio que algum erro vai ocorrer esse processo mas acredita-se que esse erro seja muito meor que o erro das medidas de perfil obtidas pela Técica de Moiré. Calcula-se etão o erro médio usado a Equação 5. abaio. Erro Médio M M M e e Zi j Zi j Zi Zi i j i E 5. M M M i j ode: M é o úmero de piéis a horizotal da imagem; M é o úmero de piéis a vertical da imagem; MM M é o úmero total de piéis da imagem; Z é o valor medido pela Técica de Moiré por meio das fotografias; Z e é o valor de referêcia tido como correto do perfil do objeto medido. Nota-se que a ideia é comparar as ovas equações do cálculo de fase e que para todas elas se usou o mesmo programa computacioal com os mesmos valores de Z e para cada objeto medido. Várias resoluções gráficas de images foram utilizadas dos eperimetos até o limite de 5 megapiéis da câmera digital utilizada. 5. Equações de cálculo a serem testadas Uma vez que a quatidade de equações obtidas o Capitulo é muito grade mais de equações optou-se por escolher algumas para teste e Aálise Estatística. As equações seguem o padrão da Equação.8. As seguites equações do cálculo de fase foram selecioadas Tabelas 89 e : TABELA 8 Equações com úmero de imagem N igual á e 5 N Num a - Dem - - N 5 Num - -8 a - Dem - - Fote: Resultados da pesquisa.

175 75 TABELA 9 Equações com úmero de imagem N igual á 789 e N Num a - b c - - d - - e Dem N 7 Num a b c d Dem N 8 Num a - - b - - c - d Dem N 9 Num a b c Dem N Num a - - b c Dem N Num a - - b - - c Dem N Num a - b Dem Fote: Resultados da pesquisa.

176 7 TABELA Equações com úmero de imagem N igual á 5 e N Num a b Dem N Num a - - b Dem N 5 Num N Num a a Dem Dem - - Fote: Resultados da pesquisa. Essas equações foram escolhidas por usarem uma quatidade de images N até de e pelos valores dos coeficietes serem pequeos. Uma questão iteressate é que as equações desigadas com a foram geradas pela regra do programa computacioal em Liguagem Pascal da Figura 5 do Apêdice D. Esta rotia tem como etrada com o valor de N e como saída a matriz de coeficietes do umerador Por eemplo - Num:TMATRXarra [....] of iteger e o vetor de coeficietes do deomiador Por eemplo - Dem:TVECTORarra [..] of iteger. As equações geradas por esse programa foram testadas matematicamete para N variado de até milhões de images. Para cada valor de N as equações geradas foram testadas mais de. vezes com ídice de acerto superior a 999% e precisão umérica difereça etre a fase φ gerada aleatoriamete e a fase calculada usado as ovas equações de -. Os referidos testes são descritos a Seção.8..

177 77 5. ferêcias a partir de amostras emparelhadas Faz-se importate apresetar um resumo das ferêcias Estatísticas sobre amostras emparelhadas. Mais detalhes sobre o tema podem ser ecotrados em TROLA 8. A iteção é mostrar qual teste estatístico foi realizado e como foi aplicado. No âmbito de pesquisas com muita frequêcia tem-se que tomar decisões acerca de populações baseadas em iformações de amostras. Tais decisões são deomiadas decisões estatísticas. Assim pode-se decidir com base em dados amostrais se um ovo soro é realmete eficaz a cura de uma doeça se um processo educacioal é melhor do que outro se certa moeda é viciada etc. Ao se tetar chegar a decisões é coveiete a formulação de hipóteses ou de cojecturas acerca das populações iteressadas. Essas suposições que podem ser ou ão verdadeiras são deomiadas hipóteses estatísticas e em geral são afirmações acerca das distribuições de probabilidade das populações. Em algus casos formula-se uma hipótese estatística com o úico propósito de rejeitá-la ou ivalidá-la. Admite-se uma hipótese particular como verdadeira se verificar que os resultados observados em uma amostra aleatória diferem acetuadamete dos esperados para aquela hipótese. Com base a probabilidade simples mediate a utilização da teoria da amostragem pode-se cocluir que as difereças observadas são sigificativas e ficar-se icliado a rejeitar a hipótese ou pelo meos a ão aceitá-la com base as provas obtidas. Os processos que habilitam a decidir se aceita ou se rejeita as hipóteses ou a determiar se as amostras observadas diferem de modo sigificativo dos resultados esperados são deomiados testes de hipótese ou de sigificâcia ou regras de decisão. A distribuição t de Studet é um modelo de distribuição cotíua que se assemelha à distribuição ormal padrão sedo utilizada para ferêcias Estatísticas particularmete como já foi dito quado se tem amostras com tamahos iferiores a elemetos. O ome t de Studet tem origem o seu descobridor William Gosset que era empregado da cervejaria Guiess e precisava de uma distribuição que pudesse ser utilizada com pequeas amostras. Como a cervejaria irladesa para a qual ele trabalhava ão permitia a

178 78 publicação de resultados de pesquisa Gosset publicou-os com o pseudôimo de Studet durate a primeira parte do século XX. Amostras pareadas são cosideradas em plaejametos os quais são realizadas duas medidas a mesma uidade amostral ou seja dados pareados ode a uidade é o seu próprio cotrole. Refere-se a observações pareadas também como amostras depedetes. O teste apropriado para a difereça etre médias de amostra pareadas cosiste em determiar primeiro a difereça etre cada par de valores e etão testar se as médias das difereças são iguais a zero. O úmero de graus de liberdade para um cojuto de dados correspode ao úmero de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Para as aplicações da distribuição o úmero de graus de liberdade é simplesmete o tamaho da amostra meos um graus de liberdade. A região crítica ou região de rejeição é o cojuto de todos os valores da estatística de teste que faz rejeitar a hipótese ula. O ível de sigificâcia represetado por α é a probabilidade de a estatística de teste cair a região crítica quado a hipótese ula for realmete verdadeira. Se a estatística de teste cair a região crítica rejeita-se a hipótese ula de modo que α é a probabilidade de cometer o erro de rejeitar a hipótese ula quado ela é verdadeira. Um valor crítico é qualquer valor que separa a região crítica ode se rejeita a hipótese ula dos valores da estatística de teste que ão levam à rejeição da hipótese ula. Os valores críticos depedem da atureza da hipótese ula da distribuição amostral que se aplica e do ível de sigificâcia α. O valor P ou valor p ou valor de probabilidade é a probabilidade de se obter um valor da estatística de teste que seja o míimo tão etremo quato aquele que represeta os dados amostrais supodo que a hipótese ula seja verdadeira. A hipótese ula é rejeitada se o valor P for muito pequeo tal como 5 ou meos. As caudas em uma distribuição são as regiões etremas limitadas pelos valores críticos. No teste bilateral a região crítica está as duas regiões etremas caudas sob a curva. Ao se testar uma hipótese ula chega-se à coclusão de rejeitá-la ou ão rejeitá-la. Tato a primeira quato a seguda opção pode ser às vezes correta ou às vezes errada mesmo quado se faz tudo certo. Distigue etre os dois tipos de

179 79 erro chamado-os de erros tipo e erros tipo. O erro tipo é o erro de se rejeitar a hipótese ula quado ela é de fato verdadeira. O símbolo α alfa é usado para represetar a probabilidade de um erro tipo. No erro tipo é o erro de se aceitar a hipótese ula quado ela é de fato falsa. O símbolo β beta é usado para represetar a probabilidade de um erro tipo. O poder de um teste de hipótese é a probabilidade -β de se rejeitar uma hipótese ula falsa que é calculada usado-se um ível de sigificâcia particular α e um valor particular do parâmetro populacioal que seja uma alterativa ao valor assumido a hipótese ula. sto é o poder de um teste de hipótese é a probabilidade de se apoiar uma hipótese alterativa verdadeira. Podem-se testar afirmativas sobre parâmetros populacioais usado o método do valor P através dos passos: idetifique à afirmativa ou hipótese específica a ser testada e epresse-a em forma simbólica; dê a forma simbólica que tem que ser verdadeira quado a afirmativa origial é falsa; das duas epressões simbólicas obtidas até agora faça da que ão cotém a igualdade a hipótese alterativa H de modo que H use o símbolo < ou > ou. Deie a hipótese ula H ser epressão simbólica que iguala o parâmetro ao valor fio sedo cosiderado; selecioe o ível de sigificâcia α baseado a gravidade do erro tipo. Faça α pequeo se as cosequêcias de se rejeitar uma H verdadeira forem graves. Os valores 5 e são muito comus; idetifique a estatística de teste relevate para esse teste e determie a distribuição amostral tal como T-Studet; ache a estatística de teste e o valor P. Desehe um gráfico e mostre a estatística de teste e o valor P; rejeite H se o valor de P for meor do que ou igual ao ível de sigificâcia. Deie de rejeitar H se o valor de P for maior que o ível de sigificâcia α; epresse a decisão aterior em termos simples e ão-técicos remetedo à afirmativa origial. A hipótese ula deve epressar igualdade e a hipótese alterativa ão pode icluir igualdade de modo que se tem: H :µ d versus H :µ d. Ode d j são as

180 8 difereças idividuais etre os dois valores em um úico par Tabela ; µ d é o valor médio das difereças d j para a população de todos os pares; é o úmero de pares de dados. TABELA Estrutura dos dados de uma amostra pareada UNDADE AMOSTRAL ª MEDDA ates ª MEDDA depois Difereça etre as medidas d d d Média d Desvio padrão s s s d Fote: TROLA 8 ode: j j j L j i 5. e s j i ij j 5. sedo j para a ª medida e j para a ª medida. d i d d L d 5.5 e s d d d i i 5. Cosiderado que as medidas teham distribuição ormal a difereça etre elas também terá distribuição ormal. Portato as distribuições t são apropriadas

181 8 para testar a hipótese ula de que a média das difereças é igual a zero. Os graus de liberdade são o úmero de uidades amostrais meos um e a estatística utilizada para testar a hipótese de que ão eiste difereça etre as codições ates e depois é: d d λ 5.7 s / s d d / Se λ > t α / ou λ < t α / rejeita-se a hipótese ula ou seja eiste difereça sigificativa etre as codições ates e depois. Se t / t / α λ α ão se rejeita a hipótese ula ou seja a amostra ão forece evidêcia estatística de difereça etre as codições ates e depois. Em Estatística e especificamete o campo dos testes de hipóteses o valor P ou também valor-p ou aida P-valor é a probabilidade de que a amostra podia ter sido tirada de uma população sedo testada supodo que a hipótese ula seja verdadeira. Um valor de 5 por eemplo idica que eiste uma probabilidade de 5% de que a amostra que está a testar possa ser tirada supodo que a hipótese ula é verdadeira. Valor P próimo de é um idicador de que a hipótese ula é falsa. Com o valor P próimo de ão há evidêcia suficiete para rejeitar a hipótese ula. Normalmete cosidera-se um valor P de 5 como o patamar para avaliar a hipótese ula. Se o valor P for iferior a 5 pode-se rejeitar a hipótese ula. Em caso cotrário ão se tem evidêcia que permita rejeitar a hipótese ula o que ão sigifica automaticamete que seja verdadeira. Em situações de maior eigêcia é usado um valor P iferior a 5. Em Estatística um resultado é sigificate se for improvável que teha ocorrido por acaso caso uma determiada hipótese ula seja verdadeira mas ão sedo improvável caso a hipótese base seja falsa. Mais cocretamete o teste de hipóteses com base em frequêcia estatística a sigificâcia de um teste é a probabilidade máima de rejeitar acidetalmete uma hipótese ula verdadeira uma decisão cohecida como erro de tipo. O ível de sigificâcia de um resultado é também chamado de α e ão deve ser cofudido com o valor P p-value que é igual a β e é chamado poder do teste. Por eemplo pode-se escolher um ível de sigificâcia de 5% e calcular um valor crítico de um parâmetro por eemplo a

182 8 média de modo que a probabilidade de ela eceder esse valor dada a verdade da hipótese ula ser 5%. Se o valor estatístico calculado ou seja o ível de 5% de sigificâcia ateriormete escolhido eceder o valor crítico etão é sigificate "ao ível de 5%". Se o ível de sigificâcia e: 5% ateriormete dado é meor o valor é meos provavelmete um etremo em relação ao valor crítico. Deste modo um resultado que é "sigificate ao ível de %" é mais sigificate do que um resultado que é sigificate "ao ível de 5%". No etato um teste ao ível de % é mais susceptível de padecer do erro de tipo do que um teste de 5% e por isso terá meos poder estatístico. Ao divisar um teste de hipóteses o técico deverá tetar maimizar o poder de uma dada sigificâcia mas ultimamete tem de recohecer que o melhor resultado que se pode obter é um compromisso etre sigificâcia e poder em outras palavras etre os erros de tipo e tipo. Na tese vai-se usar a comparação de duas médias com dados emparelhados. A ideia é comparar duas equações do cálculo de fase diferetes através da comparação do erro médio Equação 5. de vários cojutos de images de Frajas de Moiré tiradas de objetos com as dimesões cohecidas. O uso de dados emparelhados se deve ao fato das mesmas images serem usadas em ambas as equações do cálculo de fase e por este tipo de teste eigir uma quatidade de amostra meor. A média teórica das difereças dos erros médios dos diversos cojutos de images µ d represeta o gaho de precisão de uma equação de cálculo em relação à outra. Está iteressado em saber se µ d é ou ão igual a zero? Essa decisão é tomada através do teste das hipóteses H :µ d versus H :µ d. A hipótese ula H deve ser rejeitada para um ível de sigificâcia α5%. Ou seja se o valor P for meor que 5% deve-se rejeitar a hipótese a qual H :µ d ou H :µ µ. Com isso coclui-se que uma equação do cálculo de fase é melhor ou mais precisa que a outra. Se o valor P for maior ou igual a 5% deve-se aceitar a hipótese a qual H :µ d ou H :µ µ. Com isso coclui-se que as duas equações de cálculo têm a mesma precisão ou o mesmo erro médio a aplicação da Técica de Moiré. Como alterativa sob a suposição de simetria da distribuição dos dados pode-se utilizar o teste ão paramétrico cohecido a literatura como teste de Wilcoo. Na ausêcia da suposição de ormalidade e assumido que os dados

183 8 são proveietes de uma distribuição simétrica uma alterativa ao Teste T-Studet é o Teste de Wilcoo. Em problemas reais quado ão é razoável supor que os dados são proveietes de uma distribuição simétrica ou ormal pode-se recorrer ao Teste do Sial como alterativa aos Testes T-Studet e Wilcoo. Vale lembrar que a prática em geral é mais fácil garatir a simetria do que a ormalidade o que tora o teste de Wilcoo uma boa alterativa ão paramétrica ao Teste T- Studet. Nesta pesquisa como se trata de comparação de médias de medidas métricas a suposição de ormalidade parece bem razoável e por isso optou-se pelo Teste T-Studet. 5.5 Eperiêcias com cilidros sólidos Para testar as ovas equações do cálculo de fase foram realizados cojutos com fotografias de Frajas de Moiré com defasages arbitrárias mas costates o deslocameto de fase. O objeto usado era um semi-cilidro metálico pitado de braco com cetímetros de comprimeto e cetímetros de diâmetro. Foram tiradas fotografias de um megapiel Figura. Utilizou uma resolução de.8.8 piéis 89 uma vez que se vai fazer um estudo comparativo e com isso se obteve um tempo de processameto bem meor com meos memória utilizada. Para cada cojuto de images aplicou-se o programa em MatLab para se medir o perfil do objeto. Quato se roda o programa implemetado uma equação que utiliza images as primeiras quatro images de cada cojuto são usadas. Quado se eecuta o programa implemetado uma equação que utiliza 5 images as primeiras cico images as ateriores e mais uma de cada cojuto são usadas e assim por diate até as equações que utilizam as images do cojuto. Para cada cojuto de imagem toda a motagem era ovamete preparada com ajustes mecâicos e um ovo processo de medição era eecutado. Com isso era zerado o micrômetro e um ovo passo com deslocameto de fase era escolhido. Em seguida era ovamete acertada a verticalidade do retículo e realizadas ovas

184 8 medidas da distâcia etre a fote de luz e a câmera fotográfica e da distâcia perpedicular etre a câmera e o retículo. A motagem atrás do retículo permaecia itacta para que ão se alterasse o objeto medido e para que se pudessem usar os mesmos dados de referêcia das dimesões medidas mecaicamete com um paquímetro e iterpolada as posições de cada piel da imagem do objeto os cojutos de frames aalisados. Especial cuidado foi tomado o deslocameto de fase de modo a torar costate o passo de fase etre as images de um cojuto. O passo ser costate é de fudametal importâcia e garate a correta aplicação da Técica Moiré de Sombra com a geeralização do Algoritmo de Carré. Deve-se lembrar que o deslocameto de fase pode ser aleatório mas uma vez defiido seu valor deve ser costate as images ão devedo variar etre as fotografias tiradas. Daí a importâcia do equipameto desevolvido com o micrômetro que possibilita uma ótima precisão esse processo. Sugere-se que em futuros trabalhos este deslocameto de fase seja realizado eletroicamete em vez de mecaicamete como esta pesquisa.

185 85 A B C D E F G H J K L M N O P Q R S Figura Um cojuto com fotografias de Frajas de Moiré de um megapiel. [A-P]. Fase empacotado[q]. Fotografia do cilidro real de braco [R]. Resultado em -D [S]. Semi-cilidro com diâmetro de cm e comprimeto de cm. Fote: Resultados da pesquisa.

186 8 TABELA Erro médio em µm dos cojutos de images aplicadas às equações selecioadas. Erro Médio em µm Cojuto de mages Nú mer o de ma ge s F ór m ul as a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a a a b b b a a Fote: Dados da pesquisa. Uma vez realizadas às medições estas são comparadas com a referêcia que represeta as medidas corretas do cilidro usado-se a Equação 5. para se calcular o erro médio por meio de cada uma das ovas equações de cálculo selecioadas para o teste como mostrado a Tabela. O passo seguite é calcular o valor P dos cojutos comparado etre si cada par de diferetes equações selecioadas e mostradas a Tabela.

187 87 TABELA Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas. Valor P Númer o de mage s e Fórmul as de Cálcul o de Fase Número de mages e Fórmulas de Cálculo de Fase a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a a 5 a % a % % b % % 9% c % % % % d % % 9% 7% % e % % 8% % % 8% a % % % % % % % b % % % % % % % 75% c % % % % % % % % % d % % % % % % % 55% 7% % a % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % c % % % % % % % % % % % 57% 5% d % % % % % % % % % % % % 8% 99% a % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % c % % % % % % % % % % % % % % % 5% 8% a % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % 8% c % % % % % % % % % % % % % % % % % % 9% 59% a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5% c % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 57% 89% a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 7% a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 9% a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 7% 5 a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Fote: Dados da pesquisa. É iteressate otar a Tabela que o valor P quado comparado a equações com úmero de images diferetes é % o que faz rejeitar-se a hipótese ula de que as médias dos erros são iguais. Com isso coclui-se que as equações que utilizam mais images produzem um erro meor. Quado se compara equações com o mesmo úmero de images o valor de P é maior que 5% o que faz com que se deie de rejeitar a hipótese ula de que as médias dos erros são iguais. Com isso cocluí-se que as equações que utilizam o mesmo úmero de images têm precisão semelhate.

188 88 5. Eperiêcias com esferas sólidas de metal Novamete para testar as ovas equações do cálculo de fase foram feitos 9 cojutos com fotografias de Frajas de Moiré com defasages arbitrárias mas costates o deslocameto de fase. O objeto usado foi uma semi-esfera metálica pitada de braco com cetímetros de diâmetro Figura. Foram tiradas fotografias de.8.8 piéis 89. Apesar de se ter uma máquia fotográfica com resolução de cico megapiéis utilizou-se uma resolução meor as images uma vez que se vai fazer apeas um estudo estatístico comparativo e com isso se obteve um tempo de processameto bem meor e sem gastar muito memória do computador. Um detalhe importate é o sistema de coordeadas cartesiaas em três dimesões destro usadas a tese. Neste sistema de coordeadas o eio Z é perpedicular ao retículo e serve para medir o perfil dos objetos o eio Y é paralelo as lihas verticais pretas do retículo com o retículo desehado e o eio X é horizotal o retículo com o retículo desehado perpedicular as lihas verticais. A origem do sistema de coordeadas é um poto o cato iferior esquerdo do retículo ode se iicia as lihas verticais o plao XY é o plao que cotém o retículo e o eio Z fura perpedicularmete este plao em direção ao objeto a ser medido. As fotografias a posição do retículo com lihas paralelas verticais tiradas apresetam os piéis em duas dimesões a horizotal X e a vertical Y com a origem piel a posição e o cato iferior esquerdo. Esta coveção é utilizada em todo este trabalho de pesquisa.

189 89 A B C D E F G H J K L M N O P Q R S Figura - Um cojuto com fotografias de Frajas de Moiré de um megapiel. [A-P]. Fase empacotado[q]. Globo usado como objeto a ser medido [R]. Resultado em -D [S]. Metade de uma esfera com diâmetro de cm. Fote: Resultados da pesquisa.

190 9 TABELA Erro médio em µm dos 9 cojutos de images aplicadas às equações selecioadas. Erro Médio em µm Cojuto de mages Nú mer o de ma ge s F ór m ul as a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a a a b b b a a Fote: Dados da pesquisa. Uma vez realizadas às medições estas são comparadas com a referêcia que represeta as medidas corretas da metade da esfera usado-se a Equação 5. para se calcular o erro médio por meio de cada uma das ovas equações de cálculo selecioadas para o teste como mostrado a Tabela. O passo seguite é calcular o valor P dos 9 cojutos comparado etre si cada par de diferetes equações selecioadas e mostradas a Tabela 5.

191 9 TABELA 5 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas a esfera. Valor P Númer o de mage s e Fórmul as de Cálcul o de Fase Número de mages e Fórmulas de Cálculo de Fase a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a a 5 a % a % % b % % 9% c % % 9% % d % % 8% 7% % e % % 98% 98% % 7% a % % % % % % % b % % % % % % % 7% c % % % % % % % 95% 8% d % % % % % % % 5% 7% 7% a % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % 55% c % % % % % % % % % % % % 7% d % % % % % % % % % % % 7% 7% 9% a % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % 95% c % % % % % % % % % % % % % % % % % a % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % 9% c % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % c % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Fote: Dados da pesquisa. É iteressate otar que a Tabela 5 o valor P quado comparado a equações com úmero de images diferetes é % o que faz rejeitar a hipótese ula de que as médias dos erros são iguais. Com isso coclui-se que as equações que utilizam mais images produzem um erro meor. Quado se compara equações com o mesmo úmero de images o valor de P é maior que 5% o que faz com que se deie de rejeitar a hipótese ula de que as médias dos erros são iguais. Com isso cocluí-se que as equações que utilizam o mesmo úmero de images têm precisão semelhate.

192 9 5.7 Eperiêcias com blocos padrão em aço Após a motagem dos equipametos para os eperimetos e a calibração de todo o sistema de medição os seguites procedimetos são seguidos:. Tiram-se vários cojutos com fotografias de Moiré cada um. Para cada cojuto alteram-se o âgulo do deslocameto de fase δ a distâcia etre a fote de luz e o observador d e a distâcia etre o observador e o retículo de referêcia h. Obtém-se assim para cada cojuto arquivos bitmaps de images.bmp para cada cojuto.. Para cada cojuto de fotografias calcula-se o perfil do objeto usado o programa em MatLab que implemeta a Técica de Moiré alterado as equações do cálculo de fase a 5a a b c d e 7a 7b 7c 7d 8a 8b 8c 8d 9a 9b 9c a b c a b c a b a b a b 5a a. Usado a resolução gráfica da fotografia e as dimesões do retículo o programa gera para cada cojuto de fotografias e cada equação de calculo de fase testada uma arquivo teto com os resultados das medições [ z] para cada piel.. Usado uma pequea rotia em Liguagem Delphi/Pascal preparase um arquivo teto com as dimesões que se acredita correta e eata com as coordeadas de referêcia [ z] em cada poto dos piéis das images do objeto medido fisicamete com paquímetros.. Outra rotia em Liguagem Dephi/Pascal implemeta a Equação 5. que calcula o erro médio em milímetros usado os arquivos tetos gerados os ites e para cada cojuto de fotografias e cada equação do cálculo de fase testada. Obtém-se uma tabela do cojuto de images versus equação de cálculo testada dos erros médios mm. 5. Calcula-se o valor P aplicado o teste de comparação de médias emparelhadas t-sdudet usado o Microsoft Ecel e comparado o erro médio obtido o item etre duas equações do cálculo de fase qualquer. Obtém-se uma tabela de equação de cálculo testada versus outra equação de cálculo dos valores P do teste estatístico.

193 9 Para testar as ovas equações de cálculo de Frajas de Moiré com defasages arbitrárias mas costates o deslocameto de fase. O objeto usado foi um bloco padrão de aço para calibração de micrômetros pitado de braco e icliado sobre outro bloco com um cetímetro de altura. Foram tiradas fotografias de.5.78 piéis 85. Esta motagem foi criada para ser o mais precisa possível e bem fácil de medir mecaicamete. Este tipo de motagem é também ideal para a calibração do sistema de medição da Técica de Moiré medição de um plao icliado e evitar os erros sistemáticos os eperimetos cietíficos. A Figura ilustra a motagem e a Figura 5 as fotografias de etrada com filtros: Figura Eemplo da motagem para calibração plaos icliados e de blocos padrões utilizada. Fote: Resultados da pesquisa.

194 9 Com esta motagem coseguiram-se as melhores precisões e os meores erros. Foram utilizados esses eperimetos os blocos padrão do Laboratório de Medidas e Metrologia da Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais. A B C D E F G H J K L M N O P Q R Figura 5 Um cojuto com fotografias de Frajas de Moiré de três megapiéis. [A-P]. Fase empacotado[q]. Resultado em -D [R]. Bloco Padrão icliado com altura de cm. Medição de um plao icliado para a calibração do sistema eperimetal. Fote: Resultados da pesquisa.