UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Faculdade de Ciências da Economia e da Empresa Mestrado em Matemática. As espirais

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1 UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Fculdde de Ciêncis d Economi e d Empres Mestrdo em Mtemátic As espiris Relizdo por: Rquel d Conceição Mi Mrtins Orientdo por: Profª Doutor Mrgrid Moreir Brros Constituição do Júri: Presidente: Orientdor: Arguente: Prof Doutor Eng Dimntino Freits Gomes Durão Profª Doutor Mrgrid Moreir Brros Prof Doutor António Mnuel Reis de Bivr Weinholtz Dissertção provd em: de Junho de Lisbo

2 Universidde Lusíd de Lisbo As Espiris Rquel d Conceição Mi Mrtins Dissertção pr obtenção do gru de Mestre Professor Orientdor: Doutor Mrgrid Brros Lisbo I

3 Agrdecimentos As minhs primeirs plvrs de grdecimento têm de ir, forçosmente, pr os meus pis Com o mor, crinho e todo o poio que sempre me demonstrrm foi possível, não só este trblho, ms tod minh formção Pr com os meus pis, tenho um dívid de grtidão etern Ao Pulo, meu mrido, pel pciênci, estímulo e poio incondicionl desde primeir hor, sem os quis não teri sido possível chegr o fim Ao Vsco, por ser um filho dorável, espero que o empenho que ponho neste trblho lhe poss servir de estímulo pr vir ser um bom luno Finlmente, um grdecimento muito especil à minh orientdor, Professor Doutor Mrgrid Brros, pel competênci científic, poio bibliográfico, bem como pel disponibilidde de tempo que generosmente me dedicou o longo destes meses II

4 Ìndice Resumo 4 Abstrt 5 I PARTE- Conceitos e resultdos geris sobre curvs 6 Definição de Curv 6 Coordends polres 8 Ângulo entre o rio vector e tngente 8 Comprimentos d tngente, d norml, subtngente e d subnorml polr Áre entre um curv e dois rios vectores 4 Comprimento de um rco 5 Curvtur 6 Rio de Curvtur 5 Coordends Crtesins Curvtur Centro de grvidde 4 Integris elípticos II Prte- As espiris Espirl de Arquimedes Espirl de Glileu Espirl de Fermt 4 Espirl Prbólic 5 Espirl Hiperbólic 6 Lituus 7 Espirl Logrítmic 8 Espirl de Poinsot 9 Espirl Trctriz Clocleóide Clotóide III

5 Resumo Est tese consiste no estudo de um certo tipo de curvs plns, mis precismente ns espiris, bsedo no Trtdo ds curvs Especiis Notáveis de Frncisco Gomes Teixeir O trblho está dividido em dus prtes N primeir prte será feit um síntese de conceitos e resultdos de cálculo diferencil e integrl que são necessários pr estudr ests curvs plns e que vão ser utilizdos nos cpítulos seguintes Prte-se do princípio que os conceitos básicos de cálculo infinitesíml, nomedmente, derivção, coordends polres e integrção, são conhecidos, ssim como s noções básics de Geometri Diferencil de curvs As curvs são estudds n segund prte Est é compost por onze cpítulos, cd um dedicdo o estudo de um espirl específic Por diverss vezes os cálculos efectudos não são concordntes com os encontrdos n obr referid Sempre que tl contece indic-se em not de rodpé o resultdo obtido por Gomes Teixeir Pr construção de figurs form usdos os softwres: GSP, Winplot e o Mthemtic IV

6 Abstrt This thesis is to study certin type of plne curves, more precisely on the spirls, bsed on the Trety of curves Specil Noteworthy Frncisco Gomes Teixeir This essy is divided into two min prts The first prt will be synthesis of concepts nd results of clcultion nd integrl differentil tht re needed to study these smooth curves nd tht will be used in lter chpters It strts from the principle tht the bsic concepts of clculus, nmely derivtion, integrtion nd coordintion polr s known s well s the bsics of differentil geometry of curves The curves re studied in the second prt This consists of eleven chpters, ech devoted to the study of specil spirl Severl times the clcultions re not consistent with those found in the work cited When this hppens it is stted in footnote the result obtined by Gomes Teixeir For the construction of the figures were used softwre: GSP, Winplot nd Mthemtic V

7 I PARTE- Conceitos e resultdos geris sobre curvs Definição de Curv Vmos começr por introduzir um definição de curv pln O conceito de curv é muito vriável e quele que vi ser presentdo não é certmente o mis comum e simples Tem, no entnto, vntgem de ser bstnte brngente e incluir tods s espiris estudds nest tese I Um rco plno é um função diferenciável ( C, onde I é um intervlo de, t f t, g t tl que: Se s e t são pontos interiores de I, ' ' Se s é interior f s e g O trço do rco é I ou pelo menos f t, g t f s, g s s não são simultnemente nuls C ), se e só se t s; 6 (I)=trço de I Figur - -4 Se I, b, o rco tem como ponto inicil -6e ponto finl b VI

8 t,t t,t t, t 4 Figur Note-se que condição excluí uto interseções do trço Um curv prmetrizd é compost por vários rcos, sendo o ponto inicil de um rco coincidente com o ponto finl de outro Mis precismente, um curv é o gráfico de um função : I t f t, g t tl que o intervlo I dmite um divisão num número finito ou numerável de subintervlos de limites ti ti tl que restrição cd subintervlo, t t é um rco É comum definir curvs como o gráfico de um equção f x, y ou g,, conforme s coordends são crtesins ou polres Or o gráfico dests equções (onde f e g são C ) é, em gerl, um curv prmetrizável De fcto, se num ponto x, y o s derivds prciis não são simultnemente nuls, o teorem d função implícit grnte existênci de um função r r x ou y tl que f x x, ou f y, y, conforme f ou f Um prmetrizção locl é x x, x ou y y y, y x VII

9 Coordends polres Ângulo entre o rio vector e tngente Sej, em coordends polres, ponto d mesm f equção de um curv e P, um Teorem: Se v é o ângulo compreendido entre o rio vector OP e tngente em P, então d tg v, onde d 8 A 6 T Q 4 R P -5 O B Figur -6-8 VIII

10 Demonstrção: Por P e um ponto, Q d curv, próximo de P, trcemos rect AB Trcemos tmbém perpendiculr PR OQ, sendo R o ponto de intersecção ds dus rects Observndo figur, podemos inferir s igulddes seguintes: OQ, ângulo POQ, PR sen, OR cos, PR PR sen tg PQR RQ OQ OR cos Fzendo tender pr zero, o ponto Q tende pr P, secnte AB gir em torno de P e tende pr tngente PT e o ângulo PQR tende pr v Logo sen sen sen tg v lim lim lim o cos o cos o sen Dividindo o numerdor e o denomindor por tg v que lim o sen, e como sen sen, obtêm-se: sen sen lim lim, bem result tg v No texto que se segue usremos notção AB pr designr um rect AB, o segmento de extremos A e B ou o comprimento do mesmo, sendo clro no contexto IX

11 Comprimentos d tngente, d norml, subtngente e d subnorml polr Por um ponto P d curv, trcemos tngente e norml Considere-se rect que pss n origem e é perpendiculr o rio vector do ponto P Sej T e N respectivmente s intersecções dest últim com tngente e norml Diz-se que comprimento d tngente polr é TP, o comprimento d norml polr é PN, OT comprimento d subtngente polr e ON comprimento d subnorml polr, d curv em P OT d No triângulo OPT, tgv, logo OT tgv conclui-se que comprimento d d subtngente polr St é d St d sen v ON ON cos v ON No triângulo OPN, tg v senv cos v ON tgv tgv concluí-se que comprimento d subnorml polr Sn é ON d Sn d De notr que, qundo o comprimento d subtngente ou d subnorml num ponto é conhecido, tngente e norml podem ser construíds fcilmente, pois cd um dels é hipotenus de um triângulo rectângulo 6 T 4 PT= comprimento d tngente P OT=comprimento d subtngente - -5 O 5 5 PN=comprimento d norml ON=comprimento d subnorml - N -4 Figur 4 X -6

12 Áre entre um curv e dois rios vectores Sej f equção de um curv, OP e ângulos que os rios vectores formm com o eixo polr OP n dois rios vectores e e os OP n OP OP,, Figur 5 Pr clculr áre limitd pel curv e os dois rios vectores consider-se ess áre como o limite d som de sectores circulres como os d figur e se,,, são os ângulos cêntricos dos sucessivos vectores e,,, os rios, som ds áres dos sectores é n n n i i, pois áre de um sector circulr é igul o produto d metde do rio pelo rco e o rco é o produto do rio pelo ângulo do sector Aplicndo o teorem fundmentl do cálculo vem, i n lim i i d n i Portnto áre descrit pelo rio vector d curv o mover-se d posição OP pr posição OP n é dd pel fórmul: Áre d, onde, expresso em termos de, provém d equção d curv XI

13 4 Comprimento de um rco Sej A um ponto fixo d curv e P outro ponto Vmos seguidmente clculr o comprimento s do rco compreendido entre A e P Se Q é um ponto d curv próximo de P, o créscimo s do rco PQ, stisfz iguldde cord PQ lim QP rco PQ y P r O A s x Q A y x Figur 6 É fácil concluir, observndo figur que cord PQ x y Multiplicndo e dividindo por s o primeiro membro e dividindo mbos os membros por x, obtemos cord PQ s y ds dy s x x dx dx Se extrirmos riz qudrd e multiplicrmos mbos os membros por dx, obtemos dy ds dx dx Anlogmente, multiplicndo mbos os membros de ds dx dy por dx dx, obtemos XII

14 ds dx dy que multiplicndo e dividindo o segundo membro por dy, result tmbém Usndo s relções obtemos dx ds dy dy x cos e y sen entre coordends rectngulres e polres, dx cos d sen d e dy sen d cos d Substituindo ests expressões em ds dx dy, result ds d d, ou escrito de outro modo, d ds d d Assim obtivemos fórmul pr o comprimento do rco, d s d, d onde e figurm em termos de e provêm d equção d curv dd No cso d curv ser dd n form d d, então d d d Substituindo est últim em d d, result d d d Logo, se e são os correspondentes limites d vriável independente, obtemos fórmul pr o comprimento do rco onde d s d, d d em termos de deve ser obtido d equção d curv dd d XIII

15 5 Curvtur A concvidde de um curv depende d velocidde de mudnç de direcção d curv Est velocidde, qundo clculd num ddo ponto, chm-se Curvtur K d curv no ponto N figur Q é um ponto d curv próxim do ponto P, onde vmos clculr K Qundo P descreve o rco PQ s, tngente PT vri, tomndo posição QR qundo P está sobre Q Portnto o ângulo r que tngente PT fz com OX recebe um créscimo r Por definição curvtur médi do rco PQ é e curvtur em P é o limite d curvtur médi qundo Q tende pr P ( movendo-se sobre curv), isto é, K r s r dr lim s s ds Q P T R Figur 7-8 XIV

16 Teorem: Qundo equção de um curv é dd em coordends polres curvtur é dd por K Demonstrção: Se v é o ângulo formdo pel tngente e o rio vector, então dr dv r v, logo d d E pelo teorem d secção, v rctg Derivndo est últim iguldde em ordem, obtemos dv d Consequentemente, dividindo obtém-se isto é, dr d ds d ds d d d por dr d dr ds ds d,, K 6 Rio de Curvtur O rio de curvtur R num ponto de um curv é igul o inverso d curvtur nesse ponto Logo, pelo teorem nterior, R K XV

17 Coordends Crtesins Curvtur Sej : I um curv prmetrizd e sej t I um ponto fixo Pr cd t I, define-se s t t ' t dt, onde ' t x ' t y ' t ' é o comprimento do vector t t Este novo prâmetro s é o comprimentp do trço entre t e t Se usrmos o prâmetro s em vez de t, isto é, se curv for prmetrizd pelo comprimento do rco, é fácil ver que ' ' t, bstndo pr tl derivr mbos os membros de s A curvtur é mis fácil de obter com este prmetro, ou sej onde K é curvtur s '' K, s s ds em ordem s Vejmos de seguid que, de fcto,, em coordends polres s '' K, onde K d D secção 4 sbemos que s d d, logo ds ' d Como cos, sen obtemos ' ' cos s en, ' sen cos '' '' ' '' ' cos s en cos, sen cos sen Simples cálculos permitem obter os seguintes vlores ' ' ; ' '' ' ' '' ; '' '' '' '' ' 4 e XVI

18 Por definição d d d d ' d d ' K ' ds ds ds ds ds ds '' ' d d ' ' d ds '' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' '' '' ' ' '' ' '' ' ' ' ' '' '' ' ' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' '' O módulo de ' '' ' ' ' '' é igul à riz qudrd do produto interno de por ele próprio Feitos os cálculos dá ' '' ' ' ' '' ' ' ' '' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' '' ' ' XVII

19 ' ' '' '' ' ' '' ' ' '' ' ' Como ' ', fic ' ' '' '' ' ' '' ' ' '', '' '' '' '' ' e como 4, vem ' ' '' '' ' ' ' '' ' ' '' 4 ' 4 ' ' 4 '' '' ' '' ' '' ' '' ' '' Ms como 4 4 4, vem ' Centro de grvidde Se tivermos um curv homogêne e m for mss por unidde de comprimento (densidde) divide-se curv em n pedços de comprimento s e tom-se x, y em cd pedço A curv é semelhnte um sistem de n pontos x, y em que cd x, y i i i i i i tem mss m s O centro de grvidde é x xims xims, ms mcomprimentototl y yims yims ms mcomprimentototl s s x s mds s s y s mds Qundo n, x, y m comprimento totl m comprimento totl Então s coordends X e Y do centro de grvidde são XY, onde s s s X x s ds e s s Y y sds s s s XVIII

20 4 Integris elípticos A integrção de funções irrcionis não pode ser sempre efectud por meio de funções elementres É o cso dos chmdos integris elípticos que vão precer no cálculo de comprimentos ds curvs que são estudds neste trblho Frncisco Gomes Teixeir, n obr Curso de Anlyse Infinetesiml-Cálculo Integrl, chm elíptico o integrl f x, y dx, onde y é função inteir de x de terceiro ou qurto gru e f x, y é um função rcionl de x e y N mesm obr estes integris são divididos em três ctegoris, sber: dx Os integris, y xdx,, y x n dx, sendo n um número impr, dizem-se integris y elípticos de primeir espécie n x dx Os de segund espécie são d form, y x n dx, onde n é impr y Aos integris d form dx x y dá-se o nome de integris elípticos de terceir espécie XIX

21 II Prte- As espiris Espirl de Arquimedes A espirl de Arquimedes é curv gerd por um ponto móvel, com movimento uniforme, o longo de um linh rect, enqunto que est gir, tmbém com movimento uniforme, em torno de um ponto fixo, no cso deste ponto coincidir com o primeiro n su posição inicil Est foi bem estudd já por Arquimedes dí su designção no Trtdo que o consgrou A equção d espirl em coordends polres é Figur 8- Espirl de Arquimedes XX

22 N figur encontrm-se representdos os dois rmos d curv, zul o rmo que corresponde vlores positivos de, vermelho vlores negtivos de D equção deduz-se, imeditmente, que o ponto gerdor d curv prte d origem ds coordends e descreve depois um número infinito de volts ou revoluções em torno do ponto inicil, fstndo-se dele constntemente num sentido ou noutro, segundo o sentido inicil do movimento O ângulo v d tngente à curv com o rio vector é ddo por tgv A equ-, ção dá-nos d d, logo O comprimento d subnorml é Sn tgv d d tgv d Sn d d d O comprimento d subtngente polr é St Substituindo o vlor encontrdo ntes tgv De novo substituindo tgv, d d St d d, que conjugndo com equção d curv, lev à form St O comprimento d norml polr é N Sn N, ou sej, N O rio de curvtur em coordends polres é ddo por R ' ' '' que, conjugndo com s equções d d e d, permite obter o rio de curvtur d d espirl de Arquimedes XXI

23 R N N θ, é A áre A percorrid pelo rio vector d espirl considerd, qundo θ vri desde θ té d d d 6 6 A 6 E, como,vem, Sej, i, Sbe-se que i A 6 6 A 6 A i áre do sector circulr que contem o mesmo ângulo θ θ e tem rio A i i como i, A i i Segundo Gomes Teixeir, Arquimedes obteve s seguintes igulddes A 6 A, e XXII

24 D fórmul A, n e representndo por A A 6 A A 6 6 deduz-se tmbém, fzendo n n A volt de ordem n, iguldde o vlor d áre percorrid pelo rio vector, qundo este descreve espirl n n A n n, ou ind 6 4 n A n n Dest últim, deduzem-se outrs igulddes, tmbém obtids por Arquimedes, ds quis Gomes Teixeir destcou s seguintes: A 4 XXIII

25 4 8 A A A 8 n n 4 4 A A n n n n n n n n n n n n 8 A A n A A A 6 n n A A n A A O comprimento s do rco d espirl de Arquimedes, compreendido entre os pontos e,,, é ddo pel fórmul s d d I d e, como d d, vem, s d d s d I No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir s d d d XXIV

26 Espirl de Glileu A espirl com equção b preceu qundo do estudo d curv descrit por um ponto pesdo cindo sobre terr, que entretnto, pode rodr sobre si e tomndo como referencil própri terr, segundo lei de Glileu, dí su designção A Figur 9- Espirl de Glileu e b XXV

27 A form dest espirl é fácil de obter Com e b positivos, qundo vri desde té, descresce desde té ; e qundo depois vri desde b b té, o rio vector é negtivo e cresce em vlor bsoluto desde té O ponto gerdor d curv prte de A (onde se tem OA ) e proxim-se de té encontrá-lo, descrevendo o rco, representdo n figur, vermelho e depois fst-se indefinidmente deste ponto, dndo um número infinito de volts em torno do mesmo Aos vlores negtivos de corresponde o outro rmo d curv, representd n figur cor zul simétrico o primeiro rmo reltivmente o eixo Ox O ângulo formdo pel tngente com o rio vector do ponto é tgv, d Como b d result qundo Logo d d b d b b, d b d b d tgv b Est fórmul mostr que no ponto A tngente é perpendiculr o eixo de bcisss Substituindo s derivds clculds nteriormente n fórmul do rio de curvtur obtemos ' b b b 4b R ' '' 4b b que expressão do rio de curvtur d curv, no ponto, é 4b4b 8b 6b pelo XXVI

28 Fzendo substituição b, o denomindor não pode ser nulo, ou sej, existe em todos os pontos rio de curvtur, pelo que se conclui então que curv não tem nenhum ponto de inflexão Pr determinr os pontos duplos existentes no rmo d curv pr os vlores positivos de, bst tender que estes pontos devem evidentemente corresponder vlores de, seprdos um do outro pelo rco n, sendo n um número inteiro e positivo, e, lém disso, os vlores de devem ser iguis e de sinl contrário, conforme indicm ts expressões seguintes: b b n b n n b n b n b Somndo membro membro b vem, b b n b n b e, multiplicndo por b n b n b Aplicndo fórmul resolvente d equção do segundo gru, obtemos, vem n b 4 n b 4b n b b n b 4 n b 8 n b 6b 4b n b 4 n b 6b 4b n b 4 n b 4b 4b n b n b 4b 4b XXVII

29 n b n b 4b b Os vlores de podem ser imginários, negtivos ou positivos Aos imginários não correspondem pontos d curv; e os negtivos tmbém não corresponde nenhum ponto do rmo considerdo, bst, pois, considerr os vlores positivos de Pr que sej rel, é necessário que se verifique condição 4b b n 4 b n E pr que sej positivo necessit tmbém que stisfç seguinte condição: 4b b n n b 4b b n n b b n b n 4b b n 4b 4b b n b n A condição únic pr que o vlor de sej rel e positivo reduz-se, então à seguinte b n, d qul se deduzem os vlores de n que correspondem os de, ddos pel iguldde A pertencentes os pontos de contcto procurdos Fzendo, ns fórmuls nteriores, n, conclui-se que somente existirão pontos de contcto qundo se tem b n e n, ou sej, b b II II No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir n b n b 4b b XXVIII

30 b Ms, pr lém dos pontos duplos cbdos de determinr, curv possui ind os pontos existentes no rmo d curv que corresponde os vlores negtivos de, simétricos os nteriores reltivmente o eixo Ox, e os pontos pertencentes este eixo, onde os rmos d curv se intersectm A áre descrit pelo rio vector, qundo vri desde, é dd pel fórmul A d b d A b b 4 d b b 5 5 O comprimento d curv obtém-se com uxílio dos integris elípticos de primeir e segund espécie, conforme se pss demonstrr Sbe-se que e que, portnto, no cso dest espirl, d ds d d ds b b d 4 ds b b 4b b d 4 ds b b 4b 4b 4b d 4 ds b 4b b d 4 ds b b b d ds b 4 b b d XXIX

31 Fzendo substituição d vriável e diferencindo vem, Substituindo em ds vem ds dz d dz d z z b z b b z dz b z b b z Z b z b b z ds z b z b b z Est expressão pode ser escrit de outr form, sber: tomndo ds ' F z b b z Vejmos que prtir dest expressão em De fcto, dz dz, 6 Fz z b z b b z F z III F z se obtém nterior ' F z b z 4b z bz b z 4b z bz z b z 4b 4b b b z 8 4 ' F z b z b b z Assim sendo ' F z b b z é igul b z 8b 4b z b b z b z 8b z 4bz 4b z bz III No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir z b z b b z F z XXX

32 8b 4b 4b bz b z b z b 6b z,ou sej, b bz b z 6 do que está no numerdor de Fic ssim provdo que e são iguis Sendo ssim ' F z b b z ds dz 6 F z que é equivlente b b z ds d F z dz, 6 Fz b b z ds d F z dz 6 Fz e b b z ds d F z dz Fz Pr conseguir desprezr o termo do segundo gru em Fzendo substituição em z v h e Fz, vem b h b F z b z b b z z IV Fz, dmitmos que F z b v h b b v h v h 4 F z b v b hv b hv b h h b v b h v b v 8b hv 4b h bv 4bhv bh v h IV No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir b b z ds df z dz Fz XXXI

33 b E como h, b F z b v hb b b v h b b h bh v h b 4b h bh h b b F z b v b 4b b v h b 8b h 4bh v h b 4b h bh h F z b v 4b b 4b b v h b 8b h 4bh v h b 4b h bh h F z b v v h b b h bh v h b b h bh h 4 F z b v h b hb b v h b b b h h b b b b F z b v h b b h v h b b h h 6 F z b v h b b h v b h b h h Substituindo, gor F z em ds vem b b v h ds d b v b h v b h h dv b v b h v b h h b 4 h b b v b bh ds d 4v h 4 v 8h dv b b b 4 h 4v h 4 v 8h b b b 4 h bb vdv ds d v h v h b b b 4 h 4v h 4 v 8h b b b bh dv b 4 h 4v h 4 v 8h b b XXXII

34 b 4 h b vdv ds d v h v h b b 4 h 4v h 4 v 8h b b b bh dv 4 h b 4v h 4 v 8h b b Logo fzendo g 4 e b h g 4h 8h V b b 4v g v g b 4v g v g ds d 4v gv g b vdv b b h dv VI De mneir que, com efeito, s depende de dois integris elípticos, um de primeir e outro de segund espécie, reduzidos à form doptd por WEIERSTRASS VII E, lém disso, note-se, em conclusão, que um dos integris desprece qundo b h b V No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir g VI No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir ds d 4v gv g b vdv b dv 4v g v g b 4v g v g u VII No cpitulo IX, d obr Curso de Anlyse Infinetesiml-Cálculo Integrl, Gomes Teixeir refere que função z dx 4x g x g importnte n teori ds funções elíptics foi estudd por WEIERSTRASS, e represent um ppel XXXIII

35 Espirl de Fermt A chmd espirl de FERMAT, estudd pelo grnde geómetr de Toulouse, tem por equção, D Figur -Espirl de Fermt Qundo vri de té, os vlores correspondentes de, umentm tmbém de té O ponto gerdor d curv dá um número infinito de volts em torno d origem ds coordends, descrevendo curv representd cor vermelh n figur, fstndo-se cd vez mis d origem, onde curv é tngente o eixo ds bcisss Aos vlores negtivos de corresponde o rmo representdo zul d curv, igul à primeir e tmbém tngente no ponto O o eixo ds bcisss Os dois rmos reunidos formm um curv contínu, d qul origem é um ponto de inflexão e um centro de simetri XXXIV

36 por, O ângulo v, formdo pel tngente com o rio vector do ponto de contcto é ddo tgv ' Pr obter ' deriv-se implicitmente equção d curv Assim, Substituindo em tgv temos d d d d tgv tgv Como subnorml é dd por: vem Sn tgv, A subtngente por ser Sn St tg v, vem St Pr obter o rio de curvtur precismos encontrr d elo que obtemos d d 4 d d d d 4 d 4 ' Substituindo n expressão R ' '', fic R XXXV

37 A áre descrit pelo rio vector qundo vri desde té é A d d A 4 A prtir deste resultdo deduz-se que s áres vrids pelo rio vector em cd volt complet, isto é, qundo vri de,,4, e são dds por 4 A 4 4 A A Ests permitem concluir que por se ter OD o círculo de centro O que contem D tem áre que é o dobro d áre A ; diferenç dos números sucessivos d série A, A, A, é constnte, o umento d áre em cd revolução é igul à áre do círculo com o mesmo rio expressão: A A A A 5 O comprimento do rco, compreendido entre o ponto O e o ponto, tem por d d s d d d d 4 4 d d 4 XXXVI

38 4 d 4 Este integrl é composto por um integrl elíptico e outro resolúvel como veremos seguidmente 4 4 s d d d Integrndo por prtes o integrl 4 4 d obtém-se 4 d d d d d 8 d VIII d d De notr que o penúltimo integrl é igul o inicil 4 4 d, portnto 4 4 d d 4 d VIII No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir d XXXVII

39 Resolvendo equção em ordem 4 4 d 4 d 4 d d d 4 4 d 4 4 d 4 4 d 4 que substituindo n expressão de s, fic 4 4 s 4 d d s 4 4 d s 4 4 d cujo vlor depende exclusivmente de um integrl elíptico de primeir espécie 4 Espirl Prbólic A curv pertence um grupo de curvs estudds por JACOBO BERNOULLI e às quis quele notável geômetr deu o nome de espiris prbólics Ests curvs têm seguinte equção gerl: p Note-se que o sinl que, evidentemente, o sinl de é o mesmo que o produto entre s constntes e p As espiris prbólics são composts por dois rmos XXXVIII

40 O A Figur - Espirl Prbólic e p O rmo representdo vermelho corresponde à equção: p Prte do ponto A, onde e OA, e dá um número infinito de volts em torno de O, fstndo-se indefinidmente deste ponto O segundo rmo, zul n figur, corresponde à equção p, prte do mesmo ponto A e proxim-se cd vez mis de O, encontrndo-o qundo p p p XXXIX

41 p e depois fst-se indefinidmente do mesmo ponto Note-se que tngente à curv no ponto O, form um ângulo igul p com o eixo ds bcisss Nos restntes pontos s tngentes podem ser determinds prtir de tgv ' Derivndo equção d curv em ordem vem logo A subtngente é d p d p d d tgv p p St tgv p p pontos A curv tem pontos de contcto duplo Pr determiná-los é necessário encontrr, e, n d curv, sendo n um número inteiro e positivo Como são pontos d curv, dvêm d intersecção de mbos os rmos, ou de intersectr um dos rmos em si mesmo, verific-se que: p e p n Anlisndo cso cso, vem: se p, se p, rest ssim dois csos possíveis: p não pode ser p n ; não pode ser p n e p n p ; e p n XL

42 Por eliminção de, somndo membro membro cd pr obtemos p n p e elevndo mbos os membros o qudrdo, p n p 4 p n p 4p n 4 p n p 4p n 4 p n 4p n 4 p n 4p n Qudrndo, de novo mbos os membros vem e portnto, 4 p n 44p n p n 4 p 4 4 n n 6 p 6 p n 6 p 6 p n 4 6 p 6 p n 6 p 6 p n 4p n que dividindo por 4 p 6 6 p n 4p n 6 6 p n 4 p n p 4, vem 4 4 4p n p n 8p pn 8p, ou ind XLI

43 Fórmul n qul n represent qulquer número inteiro positivo, e que serve pr determinr os vlores de que correspondem pontos de contcto duplo d curv Pr determinr os pontos de inflexão d espirl utiliz-se expressão d curvtur ' '' K, pois pr hver inflexão curvtur tem de se nulr Os pontos de ' inflexão devem, pois, stisfzer d d, note-se que d d ' Como d d p e p p d p d d p p d A equção que nul curvtur é equivlente p p, ou p p Dest equção combind com d curv, deduz-se os vlores de e, correspondentes os pontos de inflexão procurdos, mesm equção mostr tmbém que curv há de ter, pelo menos, um ponto de inflexão rel Além disso, com, tods s prcels d últim equção serim positivos, logo não teri solução, o que permite concluir que os pontos de inflexão reis d curv se situm no interior d circunferênci com centro n origem d coordends, e cujo rio é igul por Tomndo como posição inicil do rio OA, áre descrit pelo rio vector é dd A d p d p p d XLII

44 A p p p p p p Dqui se deduz que áre A compreendid entre rco OA e su cord é dd por A p p p Note-se que o rco corresponde à prte zul d figur, logo o sinl correspondente no integrl é menos A p p p p p 4 p 6 8 A p p 4 p p p p p A p 4 p Pr clculr o comprimento do rco d espirl considerd, contndo os rcos prtir do ponto A como, s d d d, d d p, vem p, que substituindo, d d p s d d p p s p d p fórmul trnsformável em integris elípticos XLIII

45 5 Espirl Hiperbólic Com o nome de espirl hiperbólic design-se curv de equção m em que m represent um constnte Como diminui e tende pr, conforme ument e tende pr, vê-se que curv dá um número infinito de volts em torno d origem ds coordends, d qul se proxim indefinidmente, e que por tl motivo constitui um ponto simptótico d mesm curv Figur - Espirl Hipérbólic m Representndo por x e y s coordends crtesins d curv, tem-se que msen y sen De mneir que y tende pr m, conforme se proxim de zero Logo rect y ssimptot d curv m é XLIV

46 por, O ângulo v, formdo pel tngente com o rio vector do ponto de contcto é ddo m d m tgv ssim como,, logo, vem d ' tgv m m e como, m m tgv m m tgv m m A subtngente por ser dd por St tgv vem m St m A subnorml em coordends polres obtém-se Sn tgv m m O comprimento d norml polr é ddo pel fórmul logo N Sn, 4 4 m N N N m m m N m m O comprimento d tngente polr é ddo pel fórmul T St T m T m XLV

47 Pr determinr o rio de curvtur, clculmos d m m e d m m d m m que conjugndo com equção d curv vem 4 d d m d m m Substituindo n expressão R ' ' '' result 4 4 m m m m R 4 4 m m m m m m m m m R m m R m D qul se mostr que curv não tem pontos de inflexão, visto que m É imedit verificção que m N m R m m N N R mst SnSt IX N N R mst SnSt IX No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir XLVI

48 A áre descrit pelo rio vector qundo este se move desde posição correspondente o ângulo té o correspondente determin-se pel fórmul m A d d m m logo, A m que é igul à áre de um triângulo de fácil construção O comprimento do rco d curv compreendido entre os pontos é determindo pel fórmul: e,, s d d d d m E, como, vem d m m m 4 s d d d m d Vmos começr por resolver m mtgt Como d msec tdt, o integrl fic n form d, fzendo substituição mtgt m m tg t msec tdt cos t sec msect msec tdt m t dt m cos t dt m dt msent sent sent cos t sent XLVII

49 Agor fz-se nov substituição, sber, t tg z Como se n t cos t z z z t t cos t z cos cos D equção sen t cos t, result que, 4 z z z 4z 4 sen t sen t sen t z z z z z e que sent z Derivndo est últim vem, z z z z dz cos tdt z z dz costdt, e como cost z z z z z z, vem, dz dt z z z z dt dz dt dz z Podemos gor efectivr substituição referid, ficndo o integrl n form z m dz m dz z z z z z z z z A decomposição b c d e z z z z z z z z z, onde, b e c, d e e devem stisfzer XLVIII

50 4 z z bz z z c z z z z dz z z z ou sej, o sistem ez z z z z 4, c d d c b c d e b c e d c b b c d e b e b e c b c d e b c e e c e d e c e e Voltndo o último integrl, ele fic n form Como t tg m ln dz m z z z z z z c z, é igul t m ln tg c t t tg tg Antes de fzer últim substituição, note-se que tg t sen t cost e dí que cos t t cos últim expressão do integrl se pode escrever n form seguinte cost m ln cos t cost cos t cos t cos t A substituição finl é tgt, pelo que m cos t m m tg t cos t cost m cos t m m m Note-se que n substituição tgt, t, m, onde o cosseno é positivo XLIX

51 O integrl finl é m m m ln m m m m m m m m m m m m m m ln m m m m m m m m m m m m m m m m m m ln m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ln m m m m m m m m m m m m m ln m m m m m m L

52 m m m ln m m m m m m m m m ln m m m m m m m Todo este cálculo foi pr obter s, que é então, m m m m m log m m m m m m log m, representndo por T e T o comprimento ds tngentes à curv nos pontos considerdos m s T T log Tm T m T mt m 6 LITUUS O lituus é um curv espirl que tem por equção, em coordends polres, que se segue: Um primeir propriedde fácil de verificr é seguinte: o vrir de posição o ponto P, áre do sector circulr que tem por centro origem O ds coordends e que se encontr compreendid entre o eixo polr Ox e o rio vector O, permnece constnte Figur LI

53 A equção ilustr que, no rmo onde é positivo, qundo ument, o ponto gerdor d curv descreve um número infinito de volts em torno de O, proximndo-se indefinidmente dele, sem nunc o lcnçr Qundo, pelo contrário, tende pr, o ponto gerdor fst-se indefinidmente do eixo ds ordends, proximndo-se o mesmo tempo do eixo ds bcisss, que é ssimptot d curv Nos pontos A, B, C, D, E,, onde é sucessivmente igul 5,,,,,, dquire estes outros vlores, correspon- dentes os de : OA, OB, OC, A B C Figur 4: Lituus LII

54 O ângulo v d tngente à curv com o rio vector é tgv Derivndo equção d curv vem d, d, que conjugndo com d d fic d que substituindo, d tgv tgv A subtngente d curv no ponto, é St tgv, St St Pr determinr o rio de curvtur derivd-se, em ordem, Substituindo em d d d 5 d d d d 4 d 4 4 R ' ' '' dá R R R que vem, Os pontos de inflexão d curv encontrm-se medinte nálise d iguldde 4 4 4, visto hver inflexão qundo o rio de curvtur se nul, LIII

55 4 4 4, curv possui um ponto de inflexão em cd rmo d curv defi- nidos pels coordends e Note-se que logo, A áre A, descrit pelo rio vector qundo vri desde té, é express por A d d log log log A log O comprimento do rco é d s d d d d 4 d d d Este integrl não é resolúvel por meio de funções elementres Reduzindo o integrl nterior à form d d 4 d d d d Tendo presente iguldde, que pssremos demonstrr 4 4 d 4 d d, 4 LIV

56 Integrndo por prtes, fic d d 4 4 d 4 d 4 4 Deduz-se, em conclusão, que 4 4 s 4 d 4 d 4 4 X 4 4 s 4 d 4 Portnto, s depende de um integrl elíptico de segund espécie, reduzido à form doptd por WEIERSTRASS 7 Espirl Logrítmic A denomind espirl logrítmic é curv, secnte tods tods s semi-rects plns que prtem de um certo ponto ou origem, formndo com els um ângulo constnte Tomndo como origem ds coordends o ponto origem ds semi-rects e representndo por v, o ângulo formdo pelo rio vector que pss por um ponto d curv com tngente à curv no mesmo ponto, sbe-se d tgv tgv tgv ' d d d X No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir 4 4 d d LV

57 A equção diferencil ds curvs às quis corresponde um vlor constnte de v é, pois d, onde c é um constnte não nul d c A equção de vriáveis sepráveis, isto é, pode ser escrit n form d d cd d c Integrndo- vem, kc k c c k ln e e e, então equção gerl d espirl é c Ke, K Por meio dest equção vê-se que prte d curv que corresponde os vlores positivos de (de té ), prte do ponto A, K e dá um número indetermindo de volts em torno d origem, desvindo-se cd vez mis dest; e que corresponde os vlores negtivos de (de té ), prte do mesmo ponto, e descreve tmbém um infinito número de volts em torno d origem, proximndo-se dest continumente sem nunc lcnçr A Figur 5-Espirl Logrítmic c e K LVI

58 A subnorml é dd por Sn c d d c Kce Kce d d, logo, tgv, que substituindo Kce c A d subtngente é St tgv c Sn Kce c Derivndo equção d espirl obtêm-se c Kce tgv, que substituindo de novo, St c Kce c c O comprimento d norml é N Sn N c, ou sej, N c c O rio de curvtur em coordends polres é ddo por R d que, conjugndo com s equções d curvtur d espirl ' ' '' d c Kce e d c Kc e, permite obter o rio de c Kce K c e c c R c c c c Kce Kc e K c e Kc e c c c c N c De slientr que Sn, St, N e R são proporcionis Trçndo, pois, norml à curv no ponto P,, e prolongndo- té intersectr em N rect ON perpendiculr OP, obtêm-se o centro de curvtur N, correspondente o ponto P LVII

59 È ssim fácil obter o vlor ds coordends e do ponto N Temos, com efeito, por ON ser subnorml, Figur 6 c ON c cke, e NOX XI Eliminndo dests equções, tem-se que c c ln c ln c c c cke Ke Ke e Ke K, fzendo gor K K K ', vem ' c Ke Logo evolut XII d espirl logrítmic é outr espirl logrítmic XI No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir NOX XII Evolut- lugr dos centros de curvtur de um dd curv LVIII

60 Se representrmos por n qulquer número inteiro, espirl considerd coincidirá com própri curv ln c n evolut d c Se OS represent perpendiculr, trçd desde origem té PT, tngente à espirl no ponto P, o lugr geométrico de S, conforme P vri, será curv pedl XIII d curv reltivmente o ponto O tem-se Representndo por v o ângulo formdo pelo o rio vector no ponto P com PS OS senv OS OPsenv e tgv e como OP c cos tg senv v sen v c c result que OS c O ângulo POS é igul OPN (ângulos lternos internos num sistem de dus prlelos cortds por um secnte), e, portnto é igul v, logo constnte, e pode designr-se por As coordends de S são s c e s XIV pedl Equções que combinds com d curv origin seguinte equção pr curv s K e c c s, conclui-se ssim que curv pedl d espirl logrítmic é outr espirl logrítmic XIII Curv pedl-lugr geométrico dos pés ds perpendiculres bixds de um ponto fixo sobre s XIV tngentes um curv No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir s LIX

61 tem expressão A áre descrit pelo vector d espirl logrítmic, qundo vri desde tá K c A d Ke d e d c c K e 4c 4c c O comprimento do rco é d c c d K c c s d K e d d c c c c 8 Espirl de Poinsot Dá-se o nome d espirl de Poinsot à curv de equção definid pel equção e m Note-se que, neste cso tem-se, qundo e, qundo Além disso, como e d me me m e e d e e e e m m m m m m m m m, e est por ser negtiv qundo é positivo e diferente de zero vê-se que prte, representd zul n figur, é gerd por um ponto que, prtindo de A, dá um número infinito de volts em torno d origem, no sentido positivo, proximndo-se indefinidmente deste ponto E como equção d curv não se lter qundo se mud pr, conclui-se que outr prte d curv, representd vermelho, é simétric à primeir reltivmente o eixo OA LX

62 A Figur 7-Espirl de Poinsot e m é tgv O ângulo v, formdo pel tngente à curv com o rio vector no ponto de contcto,, substituindo d, já clculdo vem d ' m m m m e e e e tgv m e e m e e m e e e m m m m m m m e m Podemos concluir que tngente à curv no ponto A é perpendiculr OA, visto que neste ponto tgv A subnorml é dd por Sn tgv Sn, que substituindo tgv, fic m m m e e O comprimento d norml é N Sn, que conjugndo com s equções d curv e de Sn, fic LXI

63 N m m m m m e e m e e 4 4 m 4 m m m m m m m e e e e e e 4 m m m m e e e e Então m m m m m m m m e e e e m e e m e e m m m m m m m m m m m e e e e m m m m m e e m e e e e e e e e 4 m 4 m m m m m m e e e e m m m m m N m m Pr determinr expressão do rio de curvtur d espirl de Poinsot é necessário determinr d d m m e m e m e m e 4m m e m e m e e m e m e m, m m 4 d d e e m m m m m m m m m m m m e e 4m e e m e e e e e e m m m m m m e e e e e e m e e e e 4m e e 4m e e m m m m m m m m m 8m m m m 4 LXII

64 Substituindo em R ' ' ', vem R m m m e e m m e e m m m e e m m m m e e m m m e e 4 4 m m e e m m 8 m e e 4 m m 4 m m e e m m e e m m e e m m m e e e e m e e m m m m m m m 4 m e e m m m m m m m m e e e e e e m m m m m m m m m m e e m e e e e m e e m e e 4 4 m m m m 4 m m m 4 m m m m m m m 4 m m m m m m LXIII

65 A prtir d últim expressão, é fácil verificr que curv não tem pontos de inflexão, visto curvtur não se nulr No ponto A, por se ter o rio de curvtur é m m m m R m m 4 m m té A áre percorrid pelo rio vector d espirl considerd qundo vri desde d d A d m m m m e e e e m 4 e m m m m m e e e m d d e e d e m m m me e d e m m m m e XV Pr determinr o comprimento d s d d do rco d espirl, compreendid entre o ponto A e o ponto,, substitui-se n últim o resultdo de d d, e fic s m m 4 m e e m m m m e e e e m m m m 4 m m e e 4 e e 4 m e e d d m e m XV No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir LXIV

66 m m m m m e e e e m e m e m e m m e m d m m e e Fzendo substituição m m m e e m d m m e e e m dz z, e derivndo, d, vem m me dz m z m m m m me e e z m dz zz z dz m z m z z m z z m m z m m z m z m dz m z z m z m z m Supondo gor que z m z m z m F z obtêm-se identidde: z F z z m z m z m z z z z z F z z m z z m z m z z F z z z, m z z 4m z 4m z z z z z F z m z z 4m z 4m z m z z z z z Fz m 4m z z z z, LXV

67 d qul se infere que o integrl m z m z m dz m fic d z z m z m z m form m dz 4m dz 4m dz m F z z F z z F z Nest expressão vmos empregr dz F z dz m z dz, z F z 4m z z F z 8m F z que pssremos demonstrr Com efeito, pr verificr iguldde, bst verificr que z ' z F z F z z F z F z m z 4m z 8m ' ' F 4m z 4m F z F z m z ' Fz como F z z z m m vem z 4m z z F z 8m F z z F z F z z z z m m F z z 8m z F z z F z F z z m z 8m F z z F z z z z m m F z 8m z m z 8 m z F z 8m 8 m z F z Pr que fique provd iguldde, bst verificr que o numerdor é igul F z z Or 8m z z z m m F z 8m z 8m z z z m z m z m z m LXVI

68 F z z m z z m z z m z z m z F z 8m z z z m z m z m z m z m F z m z z z m z 7 m m z F z z z m z z m z m z m z z z m z 7m m z z m z z m z z m z 8m, como querímos provr Substituindo gor em m dz 4m dz 4m dz m F z z F z z F z iguldde que cbmos de provr, fic, dz dz m F z z F z m 4m dz 4m z z F z 8m F z F z m z dz 4m Fz z m m zdz m dz dz m F z F z F z Fz z F z dz m F z m m m zdz Fz m dz m zdz m z F z F z Podemos então concluir que o comprimento do rco depende de integris elípticos, um de primeir espécie e outro de segund espécie Pr que os integris elípticos que figurm neste último integrl dquirm form usd por WEIERSTRASS, vmos fzer z v h e m h m LXVII

69 Substituindo em F z vem m v h m v h m v h m vh m h m v m h m v m v h m vh m h m v 4 4 h m h h m h h m h m v h m h m v h m h h m h m v m v h m 4h m m v h m h m m h conseguimos ssim que despreç o termo do segundo gru de F z,, m m v h m 4h m m v m m m h m h m m h m v h m 4h m m v h m h m m h m v h m 6h m m v h m h m m h m v h m m v h m m h m v h v h h Substituindo no gor no integrl vem v 4 h v 4h h m dv m v h v h v h h v hdv m m 4v 4 h v 4h h LXVIII

70 m 4v gv g dv v h dv m v h 4v gv g 4v gv g m 4v gv g m dv vdv m v h m 4v gv g 4v gv g m 4v gv g m 5 dv vdv m v h m 4v g v g 4v g v g onde g 4h e g 4hh, 9 Espirl Trctriz Com o nome de espirl trctriz design-se um curv cuj tngente, em coordends polres, tem comprimento constnte Como o comprimento d tngente, T St, é constnte digmos, deduzse que T St Pr determinr equção d curv comecemos por determinr subtngente que é dd d por St tgv Como tgv ' d, fic d St d Substituindo em T St e qudrndo obtém-se T 4 d, ou sej d 4 d 4 d d d d d d 4 d d d d d d 4 d d d d Pr determinr equção d curv, pssmos integrr est equção de vriáveis seprds LXIX

71 d d d Pr resolver o primeiro integrl do segundo membro d equção nterior, fzemos substituição senu e d cosudu, u, Assim d cos udu sen u sen u cosu cosu sen u u sen u sen u sen u cos du du du Pr voltr, à vriável inicil, note-se que cosec udu cot gu senu e cos u cosu Entãoo cosu cot gu senu Portnto equção d curv é rc cos, n qul pode ser positivo ou negtivo, não figurndo nel constnte de integrção, por ter sido elimind pel condição, qundo Pel equção d curv e d su diferencil verific-se que, qundo vri desde té, os vlores de crescem desde té, e o ponto gerdor d curv descreve um rco que prte do ponto A, e descreve um número infinito de volts em torno d origem Aos vlores negtivos de corresponde outro rmo igul o nterior e simétrico em relção o eixoox LXX

72 Pssndo pr coordends crtesins d d dx cos sen e dy sen cos, sendo portnto, d d d sen cos sen cos sen cos dy d dx d cos sen d cos sen cos sen x cos, vemos que y sen Dest iguldde, vê-se que os dois rmos d curv são tngentes o eixoox qundo, onde em consequênci curv possui um ponto de retrocesso A mesm equção permite concluir que os pontos onde y pss por um vlor máximo ou por um vlor mínimo são definidos pels condições sen cos cos sen e fzendo sen tg, cos x cos e y sen, tem-se equção y x x y y x y x x y 4 4 y x x y x y x x y x x, o que permite concluir que os pontos onde y pss por um máximo ou mínimo estão sobre circunferêncis, cujos centros estão sobre o eixo Ox, e um distânci d origem Do mesmo modo se concluí que os pontos onde x pss por um máximo ou mínimo estão sobre s circunferêncis y x y em R Pr determinr expressão do rio de curvtur d espirl trctriz substituiu-se ' ' '', d e d d, que pssmos clculr d LXXI

73 que substituindo obtêm-se d d d d d d , R Pr determinr os pontos de inflexão d curv vmos resolver seguinte equção e rccos rccos 4, logo s coordends destes pontos são, 4 Representndo por o ângulo d norml num ponto qulquer com o rio vector do Sn mesmo, deduz-se que tg ( ver figur 4), e como Sn tgv, vem ' LXXII

74 tg tg tg Logo cot g ou como cos ou tg, vem cos sen, est iguldde permite escrever o rio de curvtur n seguinte form sen sen sen R sen sen sen sen cos sen cos cos cos R sen sen cos sen cos sen Designndo por s, como hbitulmente, o comprimento do rco d curv, vem d 4 ds d ds d ds d ds d d Tomndo pr origem dos rcos o ponto A, s d ln ln ln ln ln sen Note-se que vi se usou ds d pr que ln sen sej positivo A áre A descrit pelo rio vector d espirl trctriz, qundo este vri desde té um vlor qulquer é dd por A d Comecemos por fzer seguinte substituição, que diferencindo mudndo os limites de integrção e substituindo vem A d d LXXIII

75 Fzendo gor nov substituição d vriável, sber, sent, d cos tdt, t rcsen e t rcsen t obtêm-se rcsen rcsen cos t cos tdt tdt t sent 4 rcsen rcsen sen rcsen sen 4 Por se ter sent sent cost, que no ponto rcsen se trduz em sen rcsen cos rcsen sen rcsen, substituindo vem 4 rcsen 4 4 rcsen 8 Coleóide sen A curv que tem por equção chm-se cocleóide D nálise d equção, podemos perceber qul form d curv Qundo vri desde té o seu ponto gerdor descreve o rco representdo vermelho n figur tngente o eixo polr Qundo vri de, obtêm-se um série de rcos fechdos todos tngentes o eixo polr no ponto O Aos vlores negtivos de, obtêm-se outro rmo d curv, representd zul n figur, simétrico o nterior em relção o eixo polr LXXIV

76 A Figur 8-Clocleóide Clculndo d cos sen cos e como d sen sen, d cos cos d, trvés d qul podemos firmr que d sen sen sen d, qundo e tmbém qundo cos Logo circunferênci de rio igul OA, e cujo centro coincide com o ponto médio de OA, intersect curv nos pontos onde pss por um vlor máximo ou mínimo Sendo xy, s coordends crtesins e, s coordends polres do mesmo ponto, então d x cos e y sen, que derivndo vem e dx cos sen e d d dy sen cos sendo, portnto, d LXXV

77 como, vem se n d sen sen cos sen cos dy d cos dx d sen cos sen cos sen d cos cossen sen dy cos sen cos sen dx sen cos sen cos cos cos sen sen sen sen dy sen sen sen, dx cos cos cos cos sen sen sen sen sen sen cos cos sen cos cos sen cos sen sen Utilizndo regr de Lópitl, dus vezes, podemos concluir que tngente à curv no ponto A é perpendiculr o eixo ds bcisss A derivd dy só é infinit nos pontos que verifiquem dx cos sen cos sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen cos cos sen cos Mudndo est equção pr coordends crtesins, ou sej, fzendo x cos e y sen, x y x x y x x y x y x, verific-se que LXXVI

78 logo todos os pontos em que tngente é perpendiculr o eixo ds bcisss pertencem à cúbic representd por est equção, ou sej, um estrofóide Pr nlisr os pontos onde tngente é prlel o eixo ds bcisss resolvemos dy equção dx, ou sej, sen sen sen cos sen, sen que conjugndo com equção d curv vem sen sen cos sen sen cos cos Est iguldde permite concluir que os pontos procurdos pertencem um circunferênci de rio igul e centro em A A equção, em coordends polres, ds tngentes à coleóide é sen sen sen sen cos cos cos sen sen sen cos cos sen sen sen sen cos sen cos sen cos sen sen sen sen cos sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen sen sen sen sen cos sen sen sen cos cos sen sen sen sen cos sen cos sen sen sen cos cos sen sen sen sen cos sen cos sen sen sen sen sen sen sen sen sen LXXVII

79 sen sen sen sen O rio de curvtur d curv determin-se por R ' XVI Clculndo ' '' d d, vem d d cos sen sen cos cos d d d d sen cos cos sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos cos cos sen cos cos sen cos cos cos sen cos sen cos, que substituindo vem sen sen R cos sen cos cos sen sen 4 cos cos sen cos 4 cos cos sen sen sen cos cos 4 sen sen cos 4 cos cos sen XVI No Trtdo ds Curvs Especiis Notáveis de Gomes Teixeir sen sen sen LXXVIII

80 4 sen cos cos 4 4 sen cos sen cos 4 4 sen cos cos cos cos cos cos cos A Clotóide A Clotóide é espirl de equção s, sendo o rio de curvtur d curv num ponto qulquer, s o comprimento do rco compreendido entre esse ponto e um ponto fixo e um constnte Pr obter equção d curv em coordends crtesins, vmos recorrer o cálculo integrl Conjugndo s equções ' t x ' t y ' t '' e s K s, e tendo em cont que o rio de curvtur é o inverso d curvtur, deduz-se que '' '' x y ' ' Por se ter x y ' ' '' '' '' x '' x x yy y x, e subs- ' y tituindo em, derivndo vem ' x ' ' y x ' y '' '' '' '' '' x y x x x LXXIX

81 x '' ' y ' ' x y ', e por x t '' ' '' ' x y x y Anlogmente se deduz y ' y t '' ' x vem Ds equções diferenciis deduzids infere-se d x ds dy ds e d y ds dx, ds ds quis se deduz tmbém s seguintes d x s dy ds ds e d y ds s dx () ds Vmos integrr, fzendo substituição que derivndo vem dx t ds e dy z ds d x ds dt e ds Conjugndo ests últims com s equções () vem E como equção substituindo vem dt s dy dt s z ds ds ds d y ds dz ds dz s dx dz s dx ds ds ds ds e ds dx dy equivle dt ds s ds dx dy ds ds ds t z t e dz ds s z Resolvendo equção diferencil de vriáveis sepráveis t, obtêm- se podendo ser escrit n form dt ds s t, dt ds s LXXX

82 Integrndo vem dt t sds e como dx t dt t sds s s rcsent c c c t sen c ds, vem, dx s sen ds c De form nálog se deduz equção dy s cos ds c Pr determinr os vlores de x e y dispomos ds equções: x sen c ds c s s e y cos c ds c s s, s quis podem ser simplificds, doptndo pr origem ds coordends o ponto origem dos rcos, (onde s ) e pr eixo ds ordends tngente à curv no mesmo ponto Um vez que neste cso, tem-se que c, c e c, e portnto, x sen ds s s e y cos s s ds () D equção s, pode-se inferir form d clotóide, ou sej, somente dquire o vlor, qundo s, e só será igul zero, qundo s é Logo, curv tem um ponto de inflexão n origem Tendo em cont que o rio de curvtur é o inverso d curvtur, podemos tmbém concluir que curvtur ument constntemente com s LXXXI

83 Figur 9-Clotoide dy s cos D relção ds dy s cot g dx, conclui-se tmbém que s tngentes à curv, prlels o eixo ds bcisss correspondem os vlores dx s sen ds de s 5 7,,,, E os pontos onde s tngentes são prlels o eixo ds s bcisss correspondem os vlores de,,,, Ns equções (), vmos fzer seguinte substituição e tomndo como limite de s o, vem s v senv lim x senv dv lim x dv s v v s Anlogmente, cos v lim y dv s v Os integris que figurm nests equções são conhecidos d Análise pelo nome de integris de Fresnel e representm o número constnte LXXXII

84 Portnto lim x e lim y s s Logo curv proxim-se indefinidmente de s se proxim, tmbém indefinidmente, de Fzendo s,, conforme s, x e y mudm de sinl, logo curv possui outro rmo igul o considerdo, disposto nos eixos ds coordends negtivs, como o primeiro está nos eixos positivos A clotóide tem dus proprieddes interessntes que se referem os centros de grvidde dos seus rcos, que pssmos enuncir e demonstrr: O centro de grvidde de qulquer rco d clotóide pertence à rect que une os centros de curvtur dos extremos do mesmo rco Sejm s e s os vlores de s contr d origem ds coordends, té às extremiddes de um rco d clotóide; x y e,, x y s coordends destes pontos e XY, s coordends do centro de grvidde do rco Sbemos que s s s X x s ds e s s Y y sds, s conforme foi dito no primeiro cpítulo deste trblho Conjugndo ests equções com s d curv vem s s s s s s X x s ds sen ds que integrndo por prtes obtêm-se s s s s, s s s s s s s s s s s s sen ds ssen ds s sen ds s sen ssen ds s s s s s s s s s s sen ds s sen ds ssen ds s LXXXIII

85 Logo s s s s s s s s X s sen ds s sen ds cos cos De form nálog, podemos obter s s s s s s s s Y s cos ds s cos sen sen Pr determinr o centro de curvtur,, dds por f t f g g ' '' '' ' f g f g ' e g t f g f ' '' '' ' f g f g ', sendo s s e f sen ds s s ds vem g cos s s sen s s s sen cos cos s ds s s s s s s sen sen cos cos s cos s s s s s sen ds sen ds cos s s, s s s sen cos sen s cos ds s s s s s s sen sen cos cos Representndo por s sen s s s s s cos ds cos ds sen s s e,, extremiddes do rco considerdo, podemos ver que s coordends dos centros de curvtur ns LXXXIV

86 s s s s s s cos cos s s s sen ds s sen igul s s X,, ou sej s s s s s s cos cos s s s s ds sen s en igul s s Y Então ou sej e s s X s s s s Y s s Considerndo o determinnte X Y ou s s X s s Y s s s s s s s s, verific-se por meio ds igulddes nteriores que o determinnte é igul zero, logo o centro de grvidde de um rco e os centros de curvtur ds extremiddes do mesmo rco são colineres, logo pertencem à mesm rect As coordends do centro de grvidde do rco OP, sendo P um ponto d clotóide, está situdo n intersecção do círculo osculdor em P com perpendiculr à tngente em O, trçd pelo ponto, Ns expressões já determinds LXXXV