Transformações Polares no Plano

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1 Transformações Polares no Plano Thiago Fassarella U F F 2 o Colóquio da Região Sudeste Janeiro de 2012

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3 Sumário Introdução v 1 Preliminares Curvas algébricas no plano afim Pontos singulares e suaves O plano projetivo Curvas algébricas no plano projetivo Multiplicidade de Interseção Pontos de inflexão Fórmulas clássicas Introdução a resolução de singularidades Explodindo um ponto do plano Coordenadas locais Funções holomorfas em duas variáveis Explodindo um ponto em uma superfície Resolução de singularidades de curvas Interseção entre germes Fórmulas Clássicas Transformação polar Grau polar Fórmulas para o grau polar Classificação Um pouco de topologia iii

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5 Introdução Estas notas são direcionadas principalmente a alunos de graduação que tenham cursado disciplinas básicas de Álgebra e Análise Complexa. Ou seja, é esperado que o leitor tenha familiaridade com os seguintes conceitos: anéis, domínios, fatoração única, anéis de polinômios e funções holomorfas em uma variável complexa. O material está dividido em três capítulos. O primeiro capítulo é constituído da linguagem básica sobre curvas planas projetivas. As curvas são sempre reduzidas. Em alguns pontos observamos que os resultados podem ser estendidos se pensamos na curva como um polinômio homogêneo não necessariamente reduzido. Após as primeiras definições, demostramos o Teorema de Bézout via resultantes e terminamos o capítulo falando sobre pontos de inflexão. No segundo capítulo, começamos com uma introdução a resolução de singularidades. Definimos a explosão em um ponto do plano e vamos até a demonstração do Teorema de Resolução de curvas analíticas em uma superfície complexa suave. Todas as contas são feitas em coordenadas locais e precisamos da linguagem de superfícies apenas para dar uma noção mais global ao processo de resolução. Terminamos esse capítulo definindo alguns invariantes locais, como o número de Milnor e o grau de singularidade. Por último apresentamos as fórmulas clássicas de Noether e de Milnor Jung. O terceiro capítulo é baseado em parte do artigo [7] em colaboração com Nivaldo Medeiros. Este capítulo é dedicado ao estudo do grau topológico da transformação polar, com o objetivo de obter a classificação das curvas planas com grau polar 3. Terminamos o capítulo enunciando um resultado de Dimca e Papadima [5], mostrando a natureza topológica do grau polar. v

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7 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Curvas algébricas no plano afim Uma curva plana afim é o subconjunto C do plano definido pelo conjunto de pontos (x, y) satisfazendo uma equação f(x, y) = 0, onde f é um polinômio não constante. Neste caso, escrevemos C = Z( f). As coordenadas x, y dos pontos e os coeficientes de f variam em um corpo k. Por exemplo quando k = R, a curva definida pelo polinômio f(x, y) = x 2 + y 2 1 é um círculo de raio 1 e centro na origem (0, 0) R 2. Por outro lado, a noção de curva acima não parece bem definida quando consideramos o polinômio f(x, y) = x 2 + y ou f(x, y) = x 2 + y 2, ainda no caso k = R. Esse tipo de patologia fica descartada quando trabalhamos sobre um corpo k algebricamente fechado. É fácil ver que quando k é algebricamente fechado (e portanto infinito) então a curva com equação f(x, y) = 0 é um conjunto infinito. De fato, para cada x 0 k fixado o conjunto dos pontos y k satisfazendo f(x 0, y) = 0 é não vazio, caso f(x 0, y) seja um polinômio não nulo em y. Se f(x 0, y) é nulo, então f(x, y) = (x x 0 )g(x, y) e nesse caso todo ponto da forma (x 0, y), y k, satisfaz a equação f(x, y) = 0. De agora em diante vamos supor k = C. É bem conhecido que o anel de polinômios em duas variáveisc[x, y] é um domínio de fatoração única 1

8 2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES (veja [10, p. 48]), ou seja, qualquer polinômio f admite uma fatoração única f = f n 1 1 f n s s, a menos de multiplicação por escalares, onde os fatores f 1,..., f s são irredutíveis e não proporcionais. Portanto a curva C = Z( f) é uma união de curvas C = C 1 C s onde C i = Z( f i ). Dizemos que cada C i é uma componente irredutível de C. No caso em que s = 1 dizemos que C é uma curva irredutível. Vamos mostrar que se C é irredutível então um polinômio irredutível f que define C está unicamente determinado, a menos de multiplicação por um escalar. Isto é uma consequência do lema seguinte. Lema 1.1. Seja C uma curva definida por um polinômio irredutível f C[x, y]. Se g C[x, y] é um polinômio qualquer tal que g(p) = 0 para todo p C, então f divide g. Demonstração. Vamos mostrar que se f não divide g então o conjunto dos pontos satisfazendo as equações f(x, y) = g(x, y) = 0 deve ser finito. O que é absurdo. Suponhamos f não divide g. Podemos pensar em f como um polinômio na variável x com coeficientes em C(y), onde x aparece com grau positivo. Caso contrário, trocamos x por y. Afirmamos que f ainda é irredutível no anelc(y)[x]. De fato, suponhamos f = f 1 f 2 emc(y)[x] onde f 1 e f 2 possuem grau positivo em x. Multiplicando a igualdade anterior por um denominador comum a(y) C[y] obtemos a(y) f = f 1 f2, com f 1, f 2 C[x, y] de grau positivo em x. O que contradiz a irredutibilidade de f em C[x, y]. Pelo mesmo motivo f não divide g em C(y)[x]. Portanto existem ũ, ṽ C(y)[x] tal que ũ f + ṽg = 1. Multiplicando essa igualdade por um denominador comum a(y) C[y] obtemos u f + vg = a em C[x, y] onde u = aũ e v = aṽ. Para cada (x 0, y 0 ) satisfazendo f(x 0, y 0 ) = g(x 0, y 0 ) = 0 obtemos que y 0 é uma raiz do polinômio não nulo a(y), portanto existem apenas uma quantidade finita de valores para a segunda coordenada. Agora para cada y 0 fixado, temos que x 0 é raiz do polinômio na variável x, f(x, y 0 ). O polinômio f(x, y 0 ) é não nulo, pois caso contrário, teríamos f(x, y) divisível por y y 0. Logo para cada y 0 existem também uma quantidade finita de valores para x 0.

9 1.2. PONTOS SINGULARES E SUAVES 3 Observação 1.2. De acordo com a prova do Lema 1.1, duas curvas sem fator comum se intersectam em uma quantidade finita de pontos. Dizemos que f C[x, y] é reduzido se é livre de quadrados. Observe que segue do lema acima que para cada curva C existe um único polinômio reduzido, a menos de multiplicação por escalar, definindo C. Exercícios 1. Dê um exemplo onde f, g R[x, y] são polinômios irredutíveis satisfazendo Z( f) = Z(g), mas f e g não são múltiplos por um escalar. 1.2 Pontos singulares e suaves Seja C uma curva definida por um polinômio reduzido f C[x, y]. Um ponto p C é dito um ponto singular (ou uma singularidade) se f x (p) = f (p) = 0. Caso contrário, dizemos que p é um ponto suave y (ou não singular). Por exemplo a curva definida pela equação f(x, y) = y 2 x 3 tem uma única singularidade em p = (0, 0). Dizemos que C é uma curva suave se todos os seus pontos são suaves. É fácil ver que a curva definida por f(x, y) = x 2 + y é suave. Lema 1.3. Seja C C 2 uma curva plana, o subconjunto de C formado por pontos singulares é finito. Demonstração. Sendo que C possui uma quantidade finita de componentes irredutíveis podemos assumir que C é irredutível. Seja f C[x, y] um polinômio reduzido definindo C. Se C possui infinitos pontos singulares, as curvas C = Z( f) e D = Z( f ) admitem infinitos pontos em comum, x então como na prova do Lema 1.1, obtemos que f divide f. Mas o segundo polinômio tem grau menor do que o primeiro, e portanto devemos x ter f f = 0. A mesma conclusão se aplica a. Isto implica que f C, o x y que é absurdo.

10 4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Definição 1.4. Se p = (x 0, y 0 ) é um ponto suave de C = Z( f) então a reta tangente a C em p é dada por T p C = { (x, y) C 2 ; f x (p)(x x 0)+ f } y (p)(y y 0) = 0. Seja p C um ponto qualquer. A menos de uma translação do plano afim, podemos supor p = (0, 0) C 2. Se f é um polinômio reduzido definindo C, podemos escrevê lo na forma f = f s + f s f s+l, s 1, l 0, onde f s é não nulo e cada f t, t = s,..., s+l, é um polinômio homogêneo de grau t, ou seja, f t = aij t xi y j, aij t C. i+j=t Definição 1.5. A multiplicidade algébrica de C no ponto p, denotamos m(c; p), é o inteiro positivo s acima, m(c, p) := s. Caso não haja possibilidade de confusão, escrevemos apenas m p. Como f s é um polinômio homogêneo em duas variáveis, podemos escrevê lo como um produto de fatores lineares f s = k i=1 (l i (x, y)) e i. Definição 1.6. Dizemos que Z(l i ) são as retas tangentes de C em p. Observação 1.7. É fácil ver que p C é um ponto suave se, e somente se, m p = 1. Suponhamos que p é um ponto de multiplicidade algébrica igual a 2. Neste caso, f = f f 2+l onde f 2 = ax 2 + bxy+cy 2 é não nulo. Portanto temos duas possibilidades: (1) f 2 é um quadrado perfeito; ou (2) f 2 é um produto de dois fatores lineares distintos. No primeiro caso dizemos que p é uma cúspide. No segundo caso dizemos que p é um nó. Exemplo 1.8. A curva dada pela equação f(x, y) = y 2 x 3 tem uma cúspide em p = (0, 0). Já a curva dada pela equação f(x, y) = y 2 x 2 x 3 tem um nó em p = (0, 0).

11 1.3. O PLANO PROJETIVO O plano projetivo Figura 1.1: Cúbicas: cuspidal e nodal. Consideremos uma relação de equivalência em C 3 \{0}. Dizemos que dois pontos p, q C 3 \{0} são equivalentes, escrevemos p q, se existe λ C tal que p = λq. A classe de equivalência de um ponto p será denotada por [p]. Definição 1.9. O plano projetivo é o espaço formado pelo quociente de C 3 \{0} pela relação. Isto é, o conjunto formado pelas classes de equivalência P 2 = {[p] ; p C 3 \{0}}. Geometricamente, o plano projetivo pode ser identificado com o conjunto de retas que passam pela origem de C 3. De fato, segue diretamente da definição que os pontos p, q são equivalentes se, e somente se, estão sobre uma mesma reta que passa pela origem. Se p = (x 0, x 1, x 2 ) C 3 \{0}, vamos denotar a classe de p por [p] = (x 0 : x 1 : x 2 ). Neste caso, temos P 2 = {(x 0 : x 1 : x 2 ) ; (x 0, x 1, x 2 ) C 3 \{0}}. Podemos verc 2 como um subconjunto dep 2 via inclusão ι : C 2 P 2 que associa a cada ponto(x, y), o ponto(x : y : 1). A imagem desta função é o conjunto C 2 2 = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P 2 ; x 2 = 0}. Claramente P 2 contém outras duas cópias naturais de C 2. Denotamos C 2 0 e C 2 1 como os subconjuntos de P2 formados por pontos com coordenadas

12 6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES x 0 = 0 e x 1 = 0, respectivamente. Todo ponto de P 2 está em pelo menos um destes subconjuntos C 2 0,C2 1 ouc2 2. O conjunto dos pontos no complementar dec 2 2, L = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P 2 ; x 2 = 0} são chamados de pontos no infinito. Também dizemos que L é a reta no infinito (veja o exercício 1). Terminamos esta seção observando que existe uma topologia natural emp 2 induzida pela topologia do plano complexo. A projeção natural π : C 3 \{0} P 2 (x 0, x 1, x 2 ) (x 0 : x 1 : x 2 ) induz uma topologia em P 2 : U P 2 é aberto se π 1 (U) é um aberto de C 3 \{0}. Sendo que esta topologia torna π contínua, segue que P 2 é um espaço topológico compacto. De fato, P 2 é a imagem da esfera S 2 C 3 \{0} de centro 0 e raio 1 (que é compacto). Observe que os subconjuntos C 2 0,C2 1 e C2 2 definidos acima são abertos de P 2. Além disso, a topologia induzida em cada um destes abertos coincide com a topologia usual de C 2. Desta forma vemos que P 2 é uma compactificação do plano afim. Como veremos na próxima seção, dada uma curva plana afim podemos torná la compacta adicionando pontos no infinito. Observação Quando trabalhamos sobre um corpo qualquer k, ainda é possível ver P 2 como um espaço topológico compacto. Neste caso, a topologia natural a ser considerada é a topologia de Zariski, onde os fechados são os conjuntos algébricos projetivos (veja [18, p. 41]). Esta topologia não é Hausdorff e é menos fina que a anterior. Apesar disso, nada se perde no estudo dos conjuntos algébricos quando consideramos a topologia de Zariski. Nestas notas, estamos trabalhando sempre sobre o corpo dos números complexos, desta maneira optamos por uma abordagem menos algébrica.

13 1.4. CURVAS ALGÉBRICAS NO PLANO PROJETIVO 7 Exercícios 1. Defina a reta projetiva P 1. Mostre que o conjunto dos pontos no infinito L pode ser identificado comp Curvas algébricas no plano projetivo Um polinômio homogêneo de grau d 0 nas variáveis x 0, x 1, x 2 é um polinômio da forma F(x 0, x 1, x 2 ) = a ijk x0 i xj 1 xk 2, a ijk C. i+j+k=d Observe que se λ C então F(λx 0, λx 1, λx 2 ) = λ d F(x 0, x 1, x 2 ). Segue que o anulamento de F no ponto (x 0, x 1, x 2 ) independe da escolha de um representante na sua classe. Portanto dizemos que F se anula em(x 0 : x 1 : x 2 ) P 2 se F(x 0, x 1, x 2 ) = 0. Definição Uma curva plana projetiva é um subconjunto C dep 2 formado pelo conjunto de zeros de um polinômio homogêneo não constante F C = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P 2 ; F(x 0, x 1, x 2 ) = 0}. Escrevemos C = Z(F) e dizemos que F define C. Uma curva algébrica afim C C 2 dada por um polinômio f(x, y) de grau d, define a curva plana projetiva C P 2 dada pelo polinômio homogêneo ( F(x 0, x 1, x 2 ) = x2 d f x0, x ) 1. x 2 x 2 Observe que intersectando a curva projetiva C com o plano afim C 2 2 obtemos a curva afim C inicial. Se começamos com uma curva projetiva C = Z(F), a curva afim correspondente será C = Z( f) onde f(x, y) = F(x, y, 1). Dizemos que C é o fecho projetivo de C. Definição O grau de uma curva plana projetiva C, escrevemos grau(c), é definido como grau(f) onde F é um polinômio homogêneo reduzido que define C.

14 8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Quando a curva projetiva não conter a reta no infinito L ela a intersecta em uma quantidade finita de pontos. De fato, apenas uma quantidade finita de pontos da forma(x 0 : x 1 : 0) satisfazem a equação F(x 0, x 1, 0) = 0. Estes são os pontos no infinito da curva afim associada. Exemplo Uma reta projetiva é uma curva plana projetiva definida por um polinômio homogêneo de grau 1, F(x 0, x 1, x 2 ) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2. Caso L = L então esta intersecta L no ponto ( a 1 : a 0 : 0). A curva plana afim associada a uma reta projetiva é uma reta afim. Observação Dada uma reta L P 2, observemos agora que a menos de uma mudança de coordenadas projetivas podemos supor que esta é a reta no infinito. Uma mudança de coordenadas projetivas é uma função T : P 2 P 2 induzida por um isomorfismo linear t : C 3 C 3, ou seja, tal que o diagrama abaixo comuta. C 3 \{0} t C 3 \{0} π π P 2 T P 2 A reta L P 2 determina um plano P = π 1 (L) {0} C 3. Podemos escolher um isomorfismo linear t que envia o plano P no plano {y 2 = 0} onde denotamos por (y 0, y 1, y 2 ) as coordenadas do contradomínio de t. Portanto a reta L é enviada por T na reta L nas novas cordenadas (y 0 : y 1 : y 2 ) P 2. Exemplo Consideremos a cúbica nodal dada por f(x, y) = y 2 x 2 x 3. A curva projetiva correspondente tem equação F(x 0, x 1, x 2 ) = x 2 x 2 1 x 2 x 2 0 x3 0. Observe que C intersecta L no ponto (0 : 1 : 0). Sendo que todo ponto de P 2 está em pelo menos um dos abertos afins C 2 0,C2 1 ou C2 2, podemos usar esta correspondência para descrever as propriedades das curvas planas projetivas em termos das curvas planas afins. É fácil ver por exemplo que p é um ponto singular da curva afim C C 2 i se, e somente se, F x 0 (p) = F x 1 (p) = F x 2 (p) = 0.

15 1.4. CURVAS ALGÉBRICAS NO PLANO PROJETIVO 9 Veja o Exercício 2 a seguir. Portanto a seguinte definição de ponto singular é compatível com a definição anterior dada no caso afim. Definição Seja C a curva projetiva definida pelo polinômio reduzido F. Dizemos que p C é um ponto singular se F (p) = F (p) = F (p) = 0. x 0 x 1 x 2 Caso contrário dizemos que p é um ponto suave. Exercícios 1. Sejam f C[x, y] e F C[x 0, x 1, x 2 ] sua homogeinização, isto é, ( F(x 0, x 1, x 2 ) = x2 d f x0, x ) 1. x 2 x 2 Mostre que f é irredutível se, e somente se, F é irredutível. 2. Sejam C a curva projetiva definida pelo polinômio reduzido F e C a curva afim correspondente. Mostre que p = (p 1, p 2 ) é ponto singular de C se, e somente se, F (p 1, p 2, 1) = F (p 1, p 2, 1) = F (p 1, p 2, 1) = 0. x 0 x 1 x 2 3. A menos de mudança de coordenadas projetivas, existe apenas uma cônica suave: x x2 1 + x A menos de mudança de coordenadas projetivas, existe apenas uma cúbica cuspidal: x1 2x 2 x0 3. Primeiro faça uma munça de coordenadas para supor que a cúspide é p = (0 : 0 : 1). Mostre que a equação fica na forma F = ax1 2x 2 bx0 3 cx2 0 x 1 dx 0 x1 2 ex3 1. Encontre mudanças de coordenadas que façam: (a) a = b = 1; (b) c = 0 (faça x 0 = x 0 (c/3)x 1 );

16 10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES (c) d = e = 0 (faça x 2 = x 2 + Dx 0 + Ex 1 ). Com um raciocínio análogo, mostre que a menos de mudança de coordenadas projetivas, existe apenas uma cúbica nodal: x 2 x 2 1 x 2x 2 0 x Multiplicidade de Interseção O Teorema de Bézout foi descoberto no século XVIII e é um dos principais resultados no estudo das curvas planas. Este nos diz qual o número de pontos de interseção entre duas curvas planas projetivas. Estes pontos devem ser contados com certas multiplicidades. Começaremos definindo a multiplicidade de interseção entre uma curva C e uma reta L. Interseção com uma reta Seja C = Z(F) P 2 uma curva projetiva de grau d 1, onde F é um polinômio reduzido. Começamos supondo que L não está contida em C. Dados dois pontos distintos [q 1 ],[q 2 ] L, q 1, q 2 C 3 \{0} e [q 2 ] / C, consideremos a seguinte parametrização de L\[q 2 ] L\[q 2 ] = {[q 1 + tq 2 ] ; t C}. O conjunto de pontos C L fica determinado pelos valores t C tais que são zeros do polinômio em uma variável g(t) = F(q 1 + tq 2 ). Portanto p = [q 1 + t p q 2 ] C L se, e somente se, t p é uma raiz de g. Definição Dado p L a multiplicidade de interseção entre C e L em p, I(C, L; p) é a ordem de t p como zero de g. Observação Observe que se p / C então I(C, L; p) = 0. No caso em que L C podemos dizer que I(C, L; p) =.

17 1.5. MULTIPLICIDADE DE INTERSEÇÃO 11 O número I(C, L; p) mede o quanto a reta L é tangente a curva C no ponto p. Vamos supor que p é um ponto suave de C. Para simplificar, colocamos p = (0, 0) C 2 P 2, C = Z( f) e L = Z(ax + by). Com o intuito de calcular I(C, L; p) tomamos a seguinte parametrização de L L = {( tb, ta) ; t C}. Fazendo a expansão em série de Taylor vemos que ( f f( tb, ta) = x (p)( b)+ f ) y (p)a t+... (1.1) onde... representa termos de ordem 2 em t. Assim obtemos I(C, L; p) 2 f x (p)( b)+ f (p)a = 0. y Portanto, neste caso em que p é um ponto suave vemos que I(C, L; p) 2 se, e somente se, L é a reta tangente a C em p. Observação No caso em que p é um ponto singular de C é fácil ver que I(C, L; p) 2 para toda reta L passando por p. Exemplo Consideremos a cúbica cuspidal C = Z(y 2 x 3 ). Seja L = Z(ax + by) uma reta passando pela origem (0, 0) C 2. Fazendo a expansão em série de Taylor como em (1.1) obtemos f( bt, ta) = t 2 (a 2 tb 3 ). Portanto I(C, L; p) = 2 se, somente se, a = 0. Além disso, I(C, L; p) = 3 quando a = 0, isto é, quando L = Z(y) é o eixo-x. Isto está de acordo com nossa intuição que a reta tangente a cúspide intersecta a curva com ordem de contato maior que as outras. Exercícios 1. A multiplicidade de interseção I(C, L; p) independe da escolha dos pontos q 1, q 2 acima.

18 12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2. Sejam C uma curva de grau d 1 e L uma reta que não está contida em C. Então I(C, L; p) = d. p L C Para quase todas as retas (defina quase todas!) temos que C L tem exatamente d pontos, isto é, I(C, L; p) = 1 para todo p C L. 3. Sejam C 1 e C 2 curvas projetivas sem componentes em comum. Mostre que C 1 C 2 é um conjunto finito. 4. Mostre que I(C, L; p) m(c, p) para toda reta L passando por p. Além disso, existe apenas um número finito de retas satisfazendo I(C, L; p) > m(c, p). Em particular, se p C é um ponto singular, então I(C, L; p) 2 para toda reta L passando por p. Dica: f = f mp + f mp +1..., onde f mp é um produto de fatores lineares. Interseção entre duas curvas Agora vamos determinar o número de pontos de interseção entre duas curvas sem componentes comuns C 1 = Z(F 1 ) e C 2 = Z(F 2 ) definidas por polinômios reduzidos F 1 e F 2 de graus m e n respectivamente. Sendo que esta quantidade é finita (Exercício 3 de 1.5), o conjunto de retas que passam por pelo menos dois destes pontos é finito, digamos L 1,..., L k. Assim podemos escolher um ponto q satisfazendo q P 2 \(C 1 C 2 L 1 L k ). A menos de uma mudança de coordenadas projetivas podemos supor q = (0 : 0 : 1) (veja a Observação 1.14). Para cada x = (x 0 : x 1 : 0) P 2 denotamos por L x a reta que passa por x e q. Pela escolha de q temos que cada reta L x passa por no máximo um ponto de C 1 C 2. Podemos usar a resultante para decidir quando um ponto de C 1 C 2 está em L x. Expandimos os polinômios F 1 e F 2 na variável x 2 F 1 (x 0, x 1, x 2 ) = a 0 x m 2 + a 1x m a m, F 2 (x 0, x 1, x 2 ) = b 0 x n 2 + b 1x n b n.

19 1.5. MULTIPLICIDADE DE INTERSEÇÃO 13 Onde a i, b j C[x 0, x 1 ] são homogêneos, grau(a i ) = i e grau(b j ) = j. Sendo q / C 1 C 2, temos que a 0 b 0 = 0. Consideremos a resultante G(x 0, x 1 ) = R F1,F 2 entre F 1, F 2 D[x 2 ], D = C[x 0, x 1 ]. Para definição e propriedades da resultante veja [10, p. 75] ou [19, p. 22]. É conhecido que se F 1 e F 2 não possuem fator comum então G é um polinômio de grau mn. Além disso, para cada (x 0, x 1 ) fixado, os polinômios f 1 (x 2 ) = F 1 (x 0, x 1, x 2 ) e f 2 (x 2 ) = F 2 (x 0, x 1, x 2 ) admitem uma raiz comum se, e somente se, G(x 0, x 1 ) = 0. Ou seja, C 1 e C 2 se intersectam em um ponto de L x se, e somente se, G(x 0, x 1 ) = 0. Mas pela escolha de q cada L x contém no máximo um ponto de C 1 C 2. Isto mostra que #C 1 C 2 mn. Para que a desigualdade acima se torne uma igualdade temos que contar os pontos de interseção com as devidas multiplicidades. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, existe uma fatoração de G da forma G(x 0, x 1 ) = (β 1 x 0 α 1 x 1 ) k1 (β s x 0 α s x 1 ) k s Neste caso dizemos que (α i, β i ) é um zero de G de ordem k i, escrevemos ord (αi,β i )G = k i. Isto motiva a seguinte definição: Definição Sejam C 1 = Z(F 1 ) e C 2 = Z(F 2 ) curvas sem componentes em comum definidas por polinômios reduzidos F 1 e F 2. De acordo com que fizemos acima, podemos supor que as curvas não passam pelo ponto q = (0 : 0 : 1) e além disso, cada reta passando por q contém no máximo um ponto de C 1 C 2. Seja G(x 0, x 1 ) a resultante entre F 1 e F 2. Dado p = (p 0 : p 1 : p 2 ) C 1 C 2 definimos a multiplicidade de interseção de C 1 e C 2 em p como a ordem de(p 0, p 1 ) como zero de G I(C 1, C 2 ; p) := ord (p0,p 1 )G. O Teorema de Bézout segue diretamente da discussão acima. Teorema (Teorema de Bézout) Sejam C 1 e C 2 curvas planas projetivas sem componentes em comum. Então p C 1 C 2 I(C 1, C 2 ; p) = grau(c 1 )grau(c 2 ).

20 14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Exemplo Vamos calcular os pontos de interseção com as devidas multiplicidades das cônicas C 1 = Z(x x2 2 + x 0x 1 ) e C 2 = Z(x x2 1 + x x 0x 1 ). É fácil ver que as cônicas se intersectam em um único ponto p = (1 : 1 : 0). De acordo com o Teorema de Bézout, devemos ter I(C 1, C 2 ; p) = 4. Escrevendo F 1 (x 0, x 1, x 2 ) = x a 2, F 2 (x 0, x 1, x 2 ) = x b 2. onde a 2 = x1 2+ x 0x 1 e b 2 = x0 2+ 2x x 0x 1 temos 1 0 a a R F1,F 2 = det b b 2 Daí segue que Portanto R F1,F 2 = (b 0 a 0 ) 2 = (x 0 + x 1 ) 4. I(C 1, C 2 ; p) = 4. Considerações sobre a multiplicidade de interseção 1. Na Definição 1.21 deveríamos mostrar que a ordem de um zero de R F1,F 2 independe de uma mudança de coordenadas projetivas. Preferimos não nos preocupar com este fato agora, pois no próximo capítulo veremos uma definição equivalente que é invariante por mudança de coordenadas locais. 2. Dados F e G polinômios homogêneos não necessariamente reduzidos, podemos definir a multiplicidade de interseção I(F, G; p) entre F e G em um ponto p P 2 exatamente como fizemos anteriormente.

21 1.5. MULTIPLICIDADE DE INTERSEÇÃO 15 A resultante tem a seguinte propriedade multiplicativa (veja [10, Corolário III.3.17.]): R F,GH = R F,G R F,H. Portanto se por exemplo G = G k 1 então I(F, G; p) = k I(F, G 1; p). Se pensarmos que uma curva projetiva é um polinômio homogêneo não constante, a menos de multiplicação por escalar não nulo, o Teorema de Bézout continua valendo nesse caso. 3. A Definição 1.21 poderia ter sido feita em um aberto afim. De fato, sejam C i = Z( f i ) C 2, i = 1, 2, e p = (0, 0) C 1 C 2. A menos de uma mudança de coordenadas projetivas podemos que C 1 e C 2 satisfazem as condições da Definição 1.21 e p = (1 : 0 : 0). A multiplicidade entre C 1 e C 2 em p é a ordem de R f1, f 2 = G(x) em x = 0: I(C 1, C 2 ; p) = ord 0 R f1, f A multiplicidade de interseção em um ponto tem o seguinte significado geométrico: se fizermos uma perturbação nos coeficientes das curvas C 1 e C 2 que se intersectam em um ponto p com multiplicidade k, e chamamos as novas curvas de C ǫ 1 e Cǫ 2 então Cǫ 1 Cǫ 2 terá k pontos distintos em uma vizinhança de p. Para que essa noção geométrica de multiplicidade ficasse mais precisa seria necessário introduzir outras ferramentas. Apesar disso, a definição via resultante torna a demonstração do Teorema de Bézout extremamente simples. Para que essa noção geométrica não fique tão vaga, podemos pensar que a resultante depende continuamente dos coeficientes dos polinômios, portanto uma perturbação nesses coeficientes faz que uma raiz de G de ordem k se torne k raízes distintas de ordem 1. Exercícios 1. A Definição 1.21 de multiplicidade de interseção entre duas curvas coincide com a Definição 1.17 no caso em que uma das curvas é uma reta.

22 16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2. Determine os pontos de interseção (com multiplicidades) das curvas C 1 = Z(x 0 x 2 2 x3 1 ) e C 2 = Z(x 0 x 2 2 x2 1 (x 1+x 0 )). 3. Uma curva irredutível de grau k tem no máximo k(k 1) pontos singulares. 1.6 Pontos de inflexão Consideremos uma curva projetiva C definida por um polinômio reduzido F e seja p C um ponto suave. Em 1.5 vimos que a reta tangente T p C intersecta C em p com multiplicidade 2. Definição Dizemos que um ponto suave p C é um ponto de inflexão se I(C, T p C; p) 3. Suponhamos que p é um ponto suave de C. Vamos analisar agora que tipo de condição é imposta sobre F para que exista uma reta L satisfazendo I(C, L; p) 3. A menos de uma translação podemos supor p = (0, 0) C 2 P 2 e C = Z( f) C 2 onde f(x, y) = F(x, y, 1). Como f se anula em p podemos escrever f(x, y) = f x (p)x+ f (p)y+h(x, y), y onde o polinômio h tem somente termos de grau 2. Seja L = Z(λy µx), λ, µ C uma reta passando por p. Fazendo o desenvolvimento de Taylor do polinômio g(t) = f(tλ, tµ) na variável t obtemos onde g(t) = f(p)+(aλ+bµ) t+ ( cλ 2 + dλµ+eµ 2) t a = f x (p), b = f y (p), c = 1 2 f 2 x 2(p), d = 2 f x y (p), e = 1 2 f 2 y2(p). (1.2)

23 1.6. PONTOS DE INFLEXÃO 17 A condição para que I(C, L; p) 3 é equivalente aos anulamentos: f(p) = aλ+ bµ = cλ 2 + dλµ+eµ 2 = 0. A primeira condição f(p) = 0 diz apenas que p C. A segunda condição aλ+bµ = 0 diz que caso p seja um ponto suave, L deve ser a reta tangente à C em p. Se consideramos a reta L = Z(ax+ by) e a cônica Q = Z(cx 2 + dxy+ey 2 ), a terceira condição cλ 2 + dλµ+eµ 2 = 0 juntamente com a segunda significa que a reta L está contida na cônica Q. De fato, Q é uma união de duas retas e estas condições implicam que L intersecta Q em pelo menos dois pontos: (0, 0) e (λ, µ). Isto mostra que cx 2 + dxy+ey 2 é divisível por ax + by e portanto que a cônica q = ax+ by+cx 2 + dxy+ey 2 é redutível. Reciprocamente, se q = ax + by + cx 2 + dxy + ey 2 é redutível então podemos escrever q(x, y) = (α 1 x+β 1 y+γ 1 )(α 2 x+β 2 y+γ 2 ). Sendo q(0, 0) = 0 devemos ter γ 1 = 0 ou γ 2 = 0. Digamos γ 2 = 0. Assim obtemos γ 1 (α 2 x+β 2 y) = ax+by e portanto q é divisível por ax+by. Isto mostra que sendo L = Z(ax + by) = Z(λy µx) a reta tangente a C em p então temos aλ+bµ = cλ 2 + dλµ+eµ 2 = 0. Ou seja, I(C, L; p) 3. Logo a condição I(C, L; p) 3 é equivalente a redutibilidade da cônica q(x, y) = ax+by+cx 2 + dxy+ey 2 onde os coeficientes estão dados por (1.2). E a redutibilidade da cônica é

24 18 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES equivalente ao anulamento do determinante det 2 f 2 f x 2(p) x y (p) f x (p) 2 f x y (p) 2 f f y 2(p) y (p) = 0. (1.3) f x (p) f y (p) 0 Sendo f(x, y) = F(x, y, 1) podemos retornar para coordenadas projetivas: f x = F, x 0 f y = F, x 1 2 f x 2 = 2 F x0 2, 2 f y 2 = 2 F x1 2, 2 f x y = 2 F. x 0 x 1 Vamos substituir essas relações em (1.3) e utilizar as seguintes identidades de Euler: F F F x 0 + x 1 + x 2 x 0 x 1 x 2 2 F 2 F + x 1 + x 2 x 0 x 1 x 0 x 2 2 F x 0 x0 2 2 F x F x 1 x 0 x 1 x1 2 + x 2 2 F x 2 x 1 = kf = (k 1) F x 0 = (k 1) F x 1 onde k é o grau de F. Multiplicando a última coluna da matriz do nosso determinante por (k 1), subtraindo x 0 vezes a primeira coluna, x 1 vezes a segunda coluna e lembrando que F(p) = 0 obtemos que (1.3) é equivalente a det 2 F (p) x F (p) x 1 x 0 F (p) x 0 2 F (p) x 0 x 1 2 F (p) x 2 1 F x 1 (p) 2 F (p) x 0 x 2 2 F (p) x 1 x 2 F (p) x 2 = 0. (1.4)

25 1.6. PONTOS DE INFLEXÃO 19 Utilizando novamente as identidades de Euler em (1.4) temos a seguinte condição equivalente: det 2 F (p) x F (p) x 1 x 0 2 F (p) x 2 x 0 2 F (p) x 0 x 1 2 F (p) x F x 2 x 1 (p) 2 F (p) x 0 x 2 2 F (p) = 0. (1.5) x 1 x 2 2 F (p) A matriz que aparece em (1.5) será chamada Matriz Hessiana de F em p e denotada por Hess F (p). Resumimos o que foi feito acima na proposição seguinte. Proposição Sejam C = Z(F) uma curva plana projetiva definida pelo polinômio reduzido F e p um ponto suave de C. Então p é ponto de inflexão se, e somente se, det(hess F (p)) = 0. x 2 2 Exercícios 1. A cúbica nodal C = Z(x 2 x1 2 x 2x0 2 x3 0 ) possui exatamente 3 pontos de inflexão. 2. A cúbica cuspidal C = Z(x 2 x1 2 x3 0 ) possui exatamente 1 ponto de inflexão. 3. Determine quantos pontos de inflexão possui a cúbica suave C = Z(x x3 1 + x3 2 ). 4. Uma curva irredutível de grau k possui no máximo 3k(k 2) pontos de inflexão.

26 20 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

27 Capítulo 2 Fórmulas clássicas 2.1 Introdução a resolução de singularidades Explodindo um ponto do plano No capítulo anterior definimos o plano projetivo P 2 como o conjunto de classes de equivalência de pontos em C 3 \{0}. Vimos que P 2 pode ser coberto por abertos afins C 2 0, C2 1 e C2 2, ou seja, cópias do plano afim C2. Isto nos permitiu fazer contas em coordenadas locais, simplificando alguns argumentos. Nesta seção vamos definir a explosão P 2 p de P2 em um ponto p P 2. Assim como no caso do plano projetivo,p 2 p pode ser coberto por abertos afins, reduzindo novamente a teoria ao caso de curvas planas afins. Vamos supor p = (0 : 0 : 1) P 2. A explosão de P 2 no ponto p é o subconjunto dep 2 P 1 definido por P 2 p = {((x : y : z),(s : t)) P 2 P 1 ; xt = ys}. Consideremos a projeção natural π : P 2 p P 2 ((x : y : z),(s : t)) (x : y : z). Observe que a pré-imagem do ponto p = (0 : 0 : 1) π 1 (p) = {(p,(s : t)) ; (s : t) P 1 } 21

28 22 CAPÍTULO 2. FÓRMULAS CLÁSSICAS pode ser identificada com a reta projetivap 1. Por outro lado, a pré-imagem de um ponto qualquer q distinto de p é um único ponto. Definição 2.1. O conjunto E = π 1 (p) será chamado curva excepcional. Desta forma, podemos dizer que o conjuntop 2 p foi obtido através dep2 trocando o ponto p por uma reta projetiva E = P 1. Observação 2.2. Geometricamente, a curva excepcional pode ser identificada como o conjunto de direções tangentes pelo ponto p. De fato, dar uma direção tangente em p é equivalente a dar uma reta passando por p. A função que associa cada reta L = Z(sx + ty) passando pela origem, ao ponto (p,(t : s)) E é uma bijeção. Veremos que π 1 (L) = E L onde L é uma curva que intersecta E no ponto(p,(t : s)) (veja o Exemplo 2.4) Coordenadas locais Denotemos porc 2 (x,t) P2 p a imagem da função injetiva P 2 p (x, t) ((x : xt : 1),(1 : t)). C 2 A reta{x = 0} emc 2 fica identificada com E menos o ponto(p,(0 : 1)). Sendo quec 2 (x,t) não cobre toda curva excepcional E, podemos considerar C 2 (s,y) P2 p a imagem da função injetiva P 2 p (s, y) ((sy : y : 1),(s : 1)). C 2 Neste caso, a reta {y = 0} em C 2 fica identificada com E menos o ponto (p,(1 : 0)). Para simplificar a notação vamos denotar um ponto dec 2 com apenas as coordenadas (x, t) via a identificação acima. E similarmente, um (x,t) ponto dec 2 (s,y) com coordenadas (s, y). Na interseçãoc 2 (x,t) C2 (s,y) temos a seguinte relação: (x, t) ((x : tx : 1),(1 : t)) = (( 1t ) (tx) : tx : 1),(1/t : 1) (1/t, tx) = (s, y)

29 2.1. INTRODUÇÃO A RESOLUÇÃO DE SINGULARIDADES 23 Finalmente, se denotamos por C 2 p = C 2 (x,t) C2 (s,y) P2 p, vimos acima quec 2 p pode ser construído tomando o quociente de duas cópias disjuntas dec 2 por uma relação de equivalência ( ) C 2 p = C 2 (x,t) C2 (s,y) / onde para cada (x, t) C 2 (x,t) com t = 0, e para cada (s, y) C2 (s,y) com s = 0 temos (x, t) (s, y) (1/t, tx) = (s, y). (2.1) O conjunto C 2 p será chamado explosão de C 2 na origem p = (0, 0). Diremos quec 2 (x,t) ec2 (s,y) são abertos afins dec2 p (ou dep 2 p). A expressão da projeção π irá depender de quais coordenadas estamos utilizando π : C 2 p C 2 (x, t) (x, tx) (s, y) (sy, y). Observe que π é de fato uma função bem definida, pois (x, t) (s, y) = (x, tx) = (sy, y). Dizemos que(x, t) e(s, y) são coordenadas locais dec 2 p. Veja a Figura 2.1. Exemplo 2.3. Vamos analisar a pré imagem da cúbica cuspidal C = Z(y 2 x 3 ) C 2 via π. Para calcular a pré imagem de C para o aberto afim de coordenadas (x, t) basta fazer y = tx em y 2 x 3 : Assim temos (tx) 2 x 3 = x 2 (t 2 x). π 1 (C) C 2 (x,t) = {x2 (t 2 x) = 0} = {x = 0} {t 2 x = 0}. Analogamente, fazendo x = sy obtemos π 1 (C) C 2 (s,y) = {y2 (1 s 3 y) = 0} = {y = 0} {1 s 3 y = 0}.

30 24 CAPÍTULO 2. FÓRMULAS CLÁSSICAS t y E={x=0} E={y=0} x u (x,t) π (1/t,xt) π (x,tx)=(x,y)=(sy,y) Figura 2.1: Coordenadas locais da explosão dec 2 na origem. Portanto concluímos que π 1 (C) = E C C 2 p onde E é a curva excepcional e C é o subconjunto de C 2 p definido em cada aberto afim pelos zeros de um polinômio. 1. no aberto afimc 2 (x,t) temos C C 2 (x,t) = {(x, t) ; t2 x = 0}; 2. e no aberto afimc 2 (s,y) por C C 2 (s,y) = {(s, y) ; 1 s3 y = 0}. Dizemos que C é a transformada estrita de C. Veja a Figura 2.2. Exemplo 2.4. A explosão separa as direções tangentes no ponto p. De fato, assim como no exemplo anterior pode se mostrar que a pré imagem de uma reta passando pela origem L (a:b) = Z(bx ay) consiste em π 1 (L (a:b) ) = E L (a:b) C 2 p

31 2.2. FUNÇÕES HOLOMORFAS EM DUAS VARIÁVEIS 25 onde a transformada estrita L (a:b) de L (a:b) é uma curva que intersecta E no ponto (p,(a : b)). Portanto, como π é uma bijeção fora de E e de p, as transformadas estritas de duas retas passando pela origem são duas curvas que não se intersectam emc 2 p... E. E.. Figura 2.2: Explosão das cúbicas singulares. 2.2 Funções holomorfas em duas variáveis Nesta seção vamos definir uma curva determinada pelos zeros de uma função holomorfa em um aberto de C 2. Para isso precisamos da noção de função holomorfa em duas variáveis complexas. Assumiremos aqui que o leitor está familiarizado com o conceito de funções holomorfas de uma variável complexa. Daqui em diante U irá denotar um aberto não vazio dec 2. Definição 2.5. Dizemos que uma função f : U C é holomorfa em um

32 26 CAPÍTULO 2. FÓRMULAS CLÁSSICAS ponto p = (x 0, y 0 ) U, se existe uma série de potências em p da forma: a ij (x x 0 ) i (y y 0 ) j i,j=0 com a ij C e tal que a série é convergente e coincide com f em uma vizinhança de p. Dizemos que f : U C é holomorfa se é holomorfa em todo ponto de U. A próxima observação permite decidir se uma função é holomorfa reduzindo ao caso de funções de uma variável complexa. Observação 2.6. É fácil ver que se f : U C é holomorfa, então para cada (x 0, y 0 ) U as funções em cada variável separada f x0 (y) = f(x 0, y) e f y0 (x) = f(x, y 0 ) são holomorfas. A recíproca é verdadeira, mas a prova não é imediata. Ao leitor interessado, indicamos [11, Teorema 2.2.8]. Dada uma função holomorfa f : U C, podemos considerar o subconjunto C U definido por C = {p U ; f(p) = 0}. Escrevemos C = Z( f) e dizemos que C é a curva determinada pelos zeros de f (estamos considerando o caso em que C pode ser o conjunto vazio). Alguns conceitos dados anteriormente para curvas algébricas planas podem ser traduzidos para este caso. Como por exemplo pontos singulares e suaves. Observe que na definição de ponto singular (Seção 1.2) foi necessário escolher um representante reduzido definindo a curva. Devemos ter esse mesmo cuidado aqui. Para isso será necessário introduzir a noção de germes de funções. Definição 2.7. Dado um ponto p C 2. Dizemos que duas funções holomorfas f : U C e g : V C, com U, V C 2 abertos contendo p, possuem o mesmo germe em p se existe um aberto W U V tal que f W = g W. O conjunto de germes de funções holomorfas em p será chamado anel local em p e denotado por O p.

33 2.2. FUNÇÕES HOLOMORFAS EM DUAS VARIÁVEIS 27 Um elemento de O p é uma classe de funções holomorfas que coincidem, duas a duas, em alguma vizinhança de p. Portanto denotaremos um elemento deo p por f onde f é um representante da classe. É fácil ver que O p é um domínio e que os elementos invertíveis de O p são os elementos da forma f com f(p) = 0 (para algum representante f da classe f ). Para a prova do próximo teorema veja [17, Teorema III.3.2]. Teorema 2.8. O anel localo p é um domínio de fatoração única. Dado um ponto p = (x 0, y 0 ) U denotaremos por f (p) como a derivada da função f y0 no ponto x 0. De maneira análoga podemos definir x f y (p). Sejam C = Z( f) U e p C. Pelo Teorema 2.8, f O p admite uma decomposição única em fatores irredutível da forma f = f 1 n1 f k n k. Sem perda de generalidade, podemos supor que todas as f i estão definidas em um mesmo aberto W contendo p. Chamaremos de f red a função definida em W por f red := f 1 f k. Definição 2.9. Dizemos que p C = Z( f) é um ponto singular se f red x (p) = f red (p) = 0. y Caso contrário, dizemos que p é um ponto suave. Além disso dizemos que C é suave se todos os seus pontos são pontos suaves. A multiplicidade algébrica de C em p C também pode ser definida similarmente ao caso de curvas planas afins, isto é, m(c, p) é o menor inteiro s tal que f red = f s + f s+1 + onde f s = 0 e cada f j é um polinômio homogêneo de grau j.

34 28 CAPÍTULO 2. FÓRMULAS CLÁSSICAS 2.3 Explodindo um ponto em uma superfície Nesta seção, faremos uma pequena introdução aos conceitos de superfícies complexas para dar uma noção mais global do processo de resolução de uma curva. Não pretendemos utilizar argumentos sofisticados da teoria de superfícies complexas. Na prática o leitor poderia se concentrar apenas nos casosc 2 ec 2 p, pois como já observamos, todos os cálculos serão feitos em coordenadas locais. Antes da definição de superfície complexa precisamos da noção de funções holomorfas definidas em um aberto U C 2 tomando valores emc 2. Dizemos que ϕ : U C 2, ϕ(x, y) = ( f 1 (x, y), f 2 (x, y)), é holomorfa se cada uma de suas funções coordenadas f 1, f 2 : U C são holomorfas. Definição Uma superfície complexa suave é um espaço topológico Hausdorff S tal que existem uma cobertura por abertos S = U α de S e homeomorfismos ϕ α : U α ϕ α (U α ), onde ϕ α (U α ) C 2 são abertos e as aplicações de transição ϕ α ϕ 1 β : ϕ β (U α U β ) ϕ α (U α U β ) são holomorfas. Dizemos que as funções ϕ α são cartas locais de S. S U α U β ϕ α ϕ β ϕ α 1 ( U α ) ϕ β ϕ α ( ) ϕ β U β Figura 2.3: Superfície complexa suave. Exemplo O plano projetivo P 2 é uma superfície complexa suave. Vimos que P 2 admite uma cobertura de abertos afins P 2 = C 2 0 C2 1 C2 2.

35 2.3. EXPLODINDO UM PONTO EM UMA SUPERFÍCIE 29 Para cada aberto temos um homeomorfismo natural ϕ 0 : C 2 0 C 2 (1 : y : z) (y, z) ϕ 1 : C 2 1 C 2 (x : 1 : z) (x, z) ϕ 2 : C 2 0 C 2 (x : y : 1) (x, y), onde as aplicações de transição são claramente holomorfas. Por exemplo ϕ 1 ϕ 1 2 : C 2 \{xy = 0} C 2 \{xy = 0} (x, y) (x/y, 1/y). Exemplo A explosão de C 2 na origem é uma superfície complexa suave. De fato, temos uma cobertura C 2 p = C 2 (x,t) C2 com bijeções (s,y) ϕ 0 : C 2 (x,t) C 2 ((x : xt : 1),(1 : t)) (x, t), ϕ 1 : C 2 (s,y) C 2 ((sy : y : 1),(s : 1)) (s, y). O que nos permite definir uma topologia natural em C 2 p induzida pelas bijeções. Além disso, as aplicações de transição são holomorfas: ϕ 1 ϕ 1 0 : ϕ 0 (C 2 (x,t) C2 (s,y) ) ϕ 1(C 2 (x,t) C2 (s,y) ) (x, t) (1/t, xt) ϕ 0 ϕ 1 1 : ϕ 1 (C 2 (x,t) C2 (s,y) ) ϕ 0(C 2 (x,t) C2 (s,y) ) (s, y) (sy, 1/s).

36 30 CAPÍTULO 2. FÓRMULAS CLÁSSICAS Dada uma superfície complexa suave S, vamos definir a explosão de S em p S. Segue imediatamente da definição que existem um aberto U S contendo p e um homeomorfismo ϕ : U ϕ(u) C 2. Podemos supor que ϕ(p) = (0, 0) C 2. Sejam π : C 2 p C 2 a projeção e W = π 1 (ϕ(u)). Sendo que ψ = (ϕ 1 π) W\E : W\E U\{p} é um homeomorfismo, podemos identificar os pontos de U\{p} com os pontos de W\E. Definição A explosão S p de S em p é a superfície definida por esta identificação, ou seja, S p = (S\{p} W)/ onde estabelece a seguinte relação de equivalência nos pontos q U\{p} e r W\E: q r q = ψ(r). Deixamos para o leitor mostrar que S p é uma superfície complexa suave. Em Topologia, o processo de definição de S p acima é usualmente chamado cirurgia. De fato, o que fizemos na prática foi recortar o aberto U de S e colar uma vizinhança W da curva excepcional no lugar de U. Definição Sejam S 1 e S 2 superfícies complexas suaves. Dizemos que φ : S 1 S 2 é holomorfa se dadas cartas locais ϕ e ψ de S 1 e S 2 respectivamente, então ψ φ ϕ 1 é holomorfa. Se φ : S 1 S 2 é holomorfa e possui uma inversa holomorfa, dizemos que φ é um biholomorfismo. Pode ser mostrado que a definição de explosão em p independe do aberto U escolhido. No sentido que se S 1 p e S 2 p são explosões em p definidas através dos abertos U 1 e U 2, respectivamente, então existe um biholomorfismo entre S 1 p e S2 p. Este fato segue essencialmente do próximo lema. Deixaremos os detalhes para o leitor. Lema Seja ϕ : U V um biholomorfismo entre abertos U, V C 2 contendo a origem p = (0, 0) com ϕ(p) = p. Existe um biholomorfismo ϕ : π 1 (U) π 1 (V) tal que ϕ π π 1 (U) = π ϕ.

37 2.3. EXPLODINDO UM PONTO EM UMA SUPERFÍCIE 31 Demonstração. Sendo que π C 2 p \E : C2 p\e C 2 \{p} é um biholomorfismo, ϕ : π 1 (U)\E π 1 (V)\E está bem definida pondo ϕ = (π C 2 p \E ) 1 ϕ π. Vamos mostrar que ϕ se estende como função holomorfa a curva excepcional E. Vamos analisar ϕ em π 1 (U) C 2 (x,t) onde C 2 (x,t) = {((x : y : 1),(1 : t)) C2 p ; y = tx}. A análise em outro aberto afim é similar. Podemos escrever ϕ(x, y) = (ϕ 1 (x, y), ϕ 2 (x, y)) onde ϕ 1 (x, y) = a 1 x+b 1 y+... ϕ 2 (x, y) = a 2 x+b 2 y+... com a 1 b 2 a 2 b 1 = 0. Fora da curva excepcional, ou seja, fora de{x = 0} a aplicação ϕ tem a seguinte expressão: ϕ(x, t) = ((ϕ 1 (x, tx) : ϕ 2 (x, tx) : 1),(ϕ 1 (x, tx) : ϕ 2 (x, tx))) = ((ϕ 1 (x, tx) : ϕ 2 (x, tx) : 1),(ψ 1 (x, t) : ψ 2 (x, t))). onde ϕ 1 (x, tx) = xψ 1 (x, t) e ϕ 2 (x, tx) = xψ 2 (x, t). Segue da regra da cadeia que ϕ 1 x (x, tx)+t ϕ 1 y (x, tx) = ψ 1(x, t)+x ψ 1 (x, t) x ϕ 2 x (x, tx)+t ϕ 2 y (x, tx) = ψ 2(x, t)+x ψ 2 (x, t). x A restrição de ϕ a curva excepcional será determinada pelas funções: ψ 1 (0, t) = a 1 + tb 1 ψ 2 (0, t) = a 2 + tb 2. Sendo a 1 b 2 a 2 b 1 = 0 vemos que ϕ se estende e induz um automorfismo entre as curvas excepcionais. Observação Temos uma projeção natural π : S p S. Além disso, segue imediatamente da construção que π 1 (p) = E = P 1 e π 1 (q) consiste em um único ponto caso q = p. Veja o Exercício 2 abaixo.

38 32 CAPÍTULO 2. FÓRMULAS CLÁSSICAS Exercícios 1. Mostre que S p é uma superfície complexa suave. 2. Mostre que π Sp \E : S p\e S\{p} é um biholomorfismo. 2.4 Resolução de singularidades de curvas Dada uma superfície complexa suave S e U S um aberto não vazio, uma função f : U C é holomorfa se para toda carta local ϕ : V S ϕ(v) com V U não vazio, tem se que f ϕ 1 é holomorfa. Definição Um subconjunto C S é uma curva analítica se existe uma cobertura por abertos S = U α de S tal que C U α = Z( f α ) = {p U α ; f α (p) = 0} onde cada f α : U α C é holomorfa. De maneira análoga como fizemos da Seção 2.2 podemos definir o anel local em p S, e posteriormente pontos singulares e pontos suaves de C. Deixaremos os detalhes para o leitor. Sejam C S uma curva analítica e p C. A pré imagem de C via π : S p S consiste na união de duas curvas analíticas π 1 (C) = E C. De fato, fora da curva excepcional E, π é um biholomorfismo (Ex. 2 da Seção 2.3). Portanto (π Sp \E) 1 (C) é uma curva analítica em S p \E. Seja C o fecho desta curva em S p. Como π 1 (p) = E o resultado segue. Faremos a conta localmente para elucidar. Digamos C = Z( f) U C 2 onde f é uma função holomorfa com f(0) = 0. Podemos escrever f = f k + f k

39 2.4. RESOLUÇÃO DE SINGULARIDADES DE CURVAS 33 onde f k = 0 e cada f j é um polinômio homogêneo nas variáveis (x, y) de grau j. Para tomar a pré imagem de C via π basta olhar nos abertos afins dec 2 p (veja o Exemplo 2.3). Fazendo y = xt obtemos π 1 (C) C 2 (x,t) = {(x, t) ; f(x, tx) = 0} = {(x, t) ; x k [ f k (1, t)+x f k+1 (1, t)+...] = 0} = (E C 2 (x,t) ) ( C C 2 (x,t) ) onde C C 2 (x,t) = {(x, t) ; f k(1, t)+x f k+1 (1, t)+... = 0}. No aberto afim C 2 (s,y) a conta é similar. Definição Dizemos que C é a transformada estrita de C. Segue do Exemplo 2.3 que a transformada estrita da cúbica cuspidal é uma curva suave. Neste caso, explodindo apenas uma vez já conseguimos resolver a singularidade. O Teorema de Resolução de Singularidades diz que sempre existe uma sequência de explosões em pontos singulares de C, e das transformadas estritas que aparecem no processo de explosões de maneira que a transformada estrita final seja suave. A quantidade de explosões vai depender de quão complicadas são as singularidades de C. Por exemplo, uma curva com uma singularidade do tipo cúspide da forma Z(y 3 x 5 ) tem como transformada estrita uma curva com singularidade ainda do tipo cúspide da forma Z(y 3 x 2 ), explodindo mais uma vez, a curva se torna suave. Já no caso da cúbica nodal Z(y 2 x 2 x 3 ), uma explosão separa as duas direções tangentes tornando a curva suave. O seguinte lema diz que a cada explosão as multiplicidades algébricas não podem aumentar. Este será útil na prova do Teorema de Resolução de Singularidades. Lema Seja C = Z( f) onde f : U C é uma função holomorfa em um aberto U C 2. Suponhamos que a transformada estrita C de C, após a explosão em um ponto p C, possui singularidades q 1,..., q k ao longo da curva excepcional E. Então k m(c, p) m( C, q i ). i=1

40 34 CAPÍTULO 2. FÓRMULAS CLÁSSICAS Demonstração. Sejam f i equação local de C em uma vizinhança de q i E e C i = Z( f i ). Observe que C i é a transformada estrita da curva C i, constituída pela união dos ramos de C que possuem uma mesma tangente em p. Podemos supor que f é um elemento reduzido em O p. Se C i = Z( f i ) então f = f 1 f k em O p. Isto implica que m( f, p) = i=1 k m(c i, p), logo basta mostrar o lema para cada curva C i. Fazendo uma mudança linear de coordenadas podemos supor que a tangente de C i em p é L = Z(y). Neste caso, temos que a equação local de C i é da forma f i = y n + a αβ x α y β α+β n+1 onde n = m(c i, p). Para obter a equação de C i na carta (x, t) basta fazer y = tx e dividir por x n f i = t n + a αβ x α+β n t β. α+β n+1 Daí segue que m( C i, q i ) n = m(c i, p). Definição Dizemos que uma função holomorfa φ : S S é uma composição de explosões se φ = π 1 π n onde cada π j : S j S j 1 é uma explosão em um ponto p j 1 S j 1 (S 0 = S e S n = S). Teorema (Resolução de Singularidades) Seja C S uma curva analítica em uma superfície complexa suave S. Existe uma superfície complexa suave S e uma função holomorfa φ : S S, tal que φ é uma composição de explosões e a transformada estrita final C S de C é uma curva suave. Demonstração. Podemos fazer o argumento para cada singularidade p C. Assim podemos supor p = (0, 0) e C U C 2 onde U é uma vizinhança suficientemente pequena da origem. Vamos mostrar que existe uma composição de explosões φ : S U tal que todas as singularidades q 1,..., q k C S satisfazem m( C, q i ) < m(c, p). (2.2)

41 2.4. RESOLUÇÃO DE SINGULARIDADES DE CURVAS 35 Podemos repetir esse processo até que todas as multiplicidades algébricas sejam iguais a 1. O que garante que a transformada estrita final é suave. Caso C tenha duas tangentes distintas em p, com apenas uma explosão teremos pelo menos duas singularidades acima de p. Segue do Lema 2.19 que todas as singularidades que aparecem na curva excepcional tem multiplicidade menor do que m(c, p). Portanto podemos supor que C tem apenas uma tangente L em p. Fazendo uma mudança linear de coordenadas vamos supor L = Z(y). Assim a equação local de C deve ser da forma f = y n + a αβ x α y β α+β n+1 onde n = m(c, p). A transformada estrita de C tem equação local na carta (x, t) da forma f = t n + a αβ x α+β n t β. α+β n+1 Vamos denotar por q E C a singularidade de C acima de p. Se m( C, q) < n = m(c, p), (2.2) está provado. Logo, pelo Lema 2.19 podemos supor m( C, q) = n. Isto implica que a αβ = 0 para α+β n < n, ou seja, para α+β < 2n. Suponhamos que C tem uma única tangente em q (o caso com duas tangentes distintas já foi resolvido!). Daí também temos a αβ = 0 para α+β = 2n. Isto mostra que em f só aparece termos em x de grau n+1. O que implica que L = Z(t) é a reta tangente de C em q. Podemos supor que y não divide f, pois caso f = y m g onde y não divide g, fazemos o argumento para g. Isto implica que a α0 = 0 para algum α 2n+1. Seja α 0 o mínimo dos valores α tal que isso acontece. Assim f tem equação da forma f = t n + a α0 0x α 0 n +... onde a α0 0x α 0 n é o monômio de menor grau somente na variável x. Repetindo esse processo, o grau deste monômio decresce em cada passo. Portanto em algum momento devemos chegar a uma das situações já resolvidas anteriormente.