Cálculo em Coordenadas Polares

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1 Univesidade Fedeal de Santa Cataina Univesidade Vitual do Estado do Maanhão Depatamento de Matemática U.»...,...N'V"è'.^ Cuso de Especialização em Matemática na modalidade à distância Cálculo em Coodenadas Polaes Macílio Feitosa Lima Veas Oientadoa: Silvia Matini de Holanda Janesch Pedeias 11 de _ u1h de 009

2 Univesidade Fedeal de Santa Cataina Univesidade Vitual do Estado do Maanhão Depatamento de Matemática Cuso de Especialização em Matemática na modalidade a distância Calculo em Coodenadas Polaes Este taballio foi apesentado ao cuso de especialização em matemática na modalidade à distância da Univesidade Fedeal de Santa Cataina e Univesidade Vitual do Estado do Maanhão, como tabalho de conclusão de cuso, paa a obtenção do gau de especialista em Matemática. Macílio Feitosa Lima Veas Pedeias 17 de Julho de 009

3 E A I,/_;,_,_ í«' ~=~ ~=z z;z;. vz-1 f5. ;z.,. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO D1: CIENCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS Depatamento de Matemática Cuso de Especialização em Matemática-Fomação de Pofesso na modalidade a distância Cálculo em Coodenadas PoIa'es Monogafia submetida a Comissão de avaliação do Cuso de Especialização em Matemática-Fomação do pofesso em cumpimento pacial paa a obtenção do título de Especialista em ` Matemática. APROVADA PELA COMISSAO EXAMINADORA em 18/08/009 D. Silvia Matini de Holanda J anesch (CFM/UFSC - Oientadoa) D. Robeto Coea da Silva (CFM/UF SC - Examinado) D. Inde Jeet Taneja (CFM/UFSC - Examinado) l _» 0 Q Da. ~ma ø-q e..«both Cavalho Coodenadoa do Cuso de E pecialização em Matemática-.Fomação de Pofesso Floianópolis, Santa Cataina, agosto de

4 Agadecimentos Em pimeio luga gostaia de agadece a Deus. Também agadece aos meus pais, po estaem ao meu lado sempe quando pecisei, e pincipalmente nos momentos mais dificeis po me apoiaem e me incentivaem. Com muito cainho agadeço a. minha companheia. que nesta. fase final. me incentivou muito- São nas dificuldades -que conhecemos e 'econhecemos as pessoas, meu muito obigado Éyca. Te amo! Agadeço ainda a todos aqueles, amigos, colegas-de tabalho ou de aula que duante este peíodo estiveam ao meu lado me incentivando dez alguma maneia-_ E finalmente agadeço a Pof. Da Sílvia incentivo no desenola deste tabalho, muito obigado. de Holanda Janesch, -pela ajuda e 4

5 Sumáio 1. Intodução às coodenadas polaes Sistema de coodenadas polaes... _ Relação ente coodenadas catesianas e coodenadas polaes Cuvas em coodenadas polaes Equações em coodenadas polaes e suas espectivas cuvas Pontos de inteseção de cuvas em coodenadas polaesƒ Retas tangentes a cuvas polaes Compimentozde cuvas dadas na foma pola 44,1 Cuva e compimento de aco na foma paamética _ 44. Compimento de amo na foma pola 46 _ 4 3 Áea em coodenadas polaes 49 é :z'.-.'.' '«f ' i à ««.«z -.uu «una -«u z z '-i ' ' fí` -1 Conclusão 57 Refeências» Bibliogáficas - 58'- Anexo

6 ' Intodução A idéia básica da Geometia Analítica é a epesentação de pontos do plano ou do espaço po meio de conjuntos de númeos eais denominados coodenadas. Um ponto qualque do plano teá a sua posição pefeitamente deteminada po meio de um pa odenado de númeos eais que epesentam medidas das distâncias a dois eixos oientados, um deles vetical e o outo hoizontal. No século XVII, sugiam os pimeios estudos sistemáticos sobe Geometia Analítica. Os seus autoes foam Piee Femat e René Descates. Femat, etomando a idéia dos constutoes egípcios, efee-se a um ponto do plano po meio de um pa de etas pependiculaes ente si. Este sistema, apesa de te sido intoduzido po Femat, ecebeu o nome de "Sistema Catesiano" em homenagem a Descates, que assinava o seu nome em latim: Catesius. Mas, com o decoe do tempo e o avanço do Cálculo pecebeu-se que este sistema de coodenadas não ea tão eficiente na esolução de alguns poblemas. Às vezes apaeciam equações muito estanhas e complicadas. Então foam intoduzidos muitos outos sistemas de coodenadas além do catesiano, cada um paa deteminado popósito. Um deles é o que iemos estuda, intoduzido po Newton, muito utilizado no estudo das óbitas dos planetas, localização po ada de aeonaves e navios em alto ma, é o sistema pola ou sistema de coodenadas polaes. Veemos que em coodenadas polaes existem infinitas epesentações paa o mesmo ponto do plano. Faemos uma elação ente coodenadas catesianas e coodenadas polaes, iemos ve algumas técnicas que facilitam no esboço das cuvas polaes e encontaemos os pontos de inteseção odeduas ou mais cuvas. 6

7 Deduziemos a fómula de compimento de aco na foma paamética, e a pati desta, obteemos a fómula de compimento de aco na foma pola. Deduziemos também, a integal que fonece a áea de Plana delinitadapo una cuva dada na foma É de que o leito tenhaum conhecimento azoável de tigonometia, limites, deivadas e integais.. No; Anexo 1 enconta-se algumas fómulas ajudaão bastmte no entendimento de algumas questões. 7

8 n.._.._._. Capítulo 1 Intodução às Coodenadas Polaes' Iniciaemaso 0 estada das coodenadas- polaes* obsevando as váias maneias; de mpimenm um lmntn do plana. a elação ente coodenadas catesianas e coodenadas. aboçaenws. em coodenadas e abtemws etas magenta a cuvas polaes. 1.1 Sistema de. coodenadas golaes Nmmmçämmmamdm'oa ~pm$.vmmmmbmmmos o Deãúção os eixos Ox e Cb, em O (oigem do sistema). Dado um ponm- P do- plano, de.pno*eixo-ly.. c~ eatesianas (~}. desexevexpos sin weevmdo P=(a,b) ondeoaévap1'o jeç"iodevpnáo eixoxeb apojeção 1' 1 1-d--~--1à.zv( z,z ) ea Í Figua 1.1.1: Repesentação de um Ponto? em coodenadas.catesianas 8

9 Definição Em coodenadas polaes um ponto P é epesentado pelo pa odenado (,0), onde H é a distância de O (chamado oigem ou pólo) até P ea 0 é a medida do ângulo fomado pelo segmento ã e a semi-eta fixa ãi, que chamamos» de eixo pola. Pin 6) ÍPÓÍUÍ o 6 A g eixo pola Figua 1.1.: Repesentação de um ponto P em coodenadas polaes É comum chama a pimeia coodenada do ponto (,0) de aio. No sistema de coodenadas polaes devemos faze as seguintes obsevações: I - Se o ângulo AÔP fo descito no sentido anti-hoáio, então 0 > 0.. Caso contáio. 0 < 0.. Il - Se < 0,.oponto Pestaálocalizadonaextensão do lado teminal deaôp. III - O pa odenado (0, 0),. 0 qualque, o pólo.. Exemplo Repesente os seguintes pontos num sistema de coodenadas polaes; iz 1=_»[.-fz] 3] -;[4,f_) Fi O A 4,, =4 8 ez-k. =4 'o 6=í A 8 Figua : aio e ângulo positivos Figua l.l.3.: aio. positivo. e. ângulo. negativo. 9

10 ~ *I 'J-*f -al-aí) 4 fu fz z-4-1 I \» 4 J \ = o 6=í A 4 :Ã 1/ x\ f=.4// \ A O g I/ 9- _ É / /R Figua : aio negativo e ângulo positivo. Figua : aio e ângulo. negativos Obsevação A epesentação de um ponto é única no sistema. de coodenadas. de coodenadas polaes um ponto pode se epesentado de infinitas maneias. No sistema. =z-` pa o l`o=í ~I=(zê As I «Figua 1.1.4: o ponto P epesentado de váiasmaneias É fácil ve que o ponto P pode se epesentado pelos paes odenados da foma (,%+ 1zzz),k eo Z ou (~,4? +1zzz),k e Z. 1. Relação ente coodenadas catesianas e. coodenadas polaes Em muitos casos é bastante complimdo tabalha com uma cuva onde sua eguação é dada em coodenadas. catesianas.. Quando mudamos paa as. coodenadas, polaes; não esta difieuidade. Nesta seção estudaemos como convete pontos dados em coodenadas paafoma pola e vice-vesa.. 10

11 ~ ( _I-nuuupnn Paa que possamos elaciona ambos os sistemas de coodenadas devemos faze; (I) A oigem do sistema de coodenadas catesianas coincidi com o pólo do sistema de coodenadas. polaes, e (Il) O eixo positivo x (abscissa) coincidi com o eixo pola; y t tgzff Ó Ã X Figua 1..1: Sistemas de coodenadas catesianas e polaes com mesma oigem Seja P(x, y) um ponto em coodenadas. catesianas e (,0)_ em coodenadas. polaes; (i) Se P está no 1 quadante: Y yp da ' P 0 'Ff >O Figua 1...1: P no 1 quadante com aio positivo GOS temos øzí E Sen azl, x = cosä e y = sen0 l 1

12 _1_II nnnungnn. -x -x x.x Ú R vê. [q_y <O y `. P xx Figua 1...: P no 1 quadante com aio negativo =- cos(0- -x 1:) = -- :> oosäcosfz +sent9'sem :-cos0=--:>cos0=- x =1 sen(9 - = :X :D sem? cosf - senfzsenói :>-sen0=;y:>senb=~ í I' Í' (ii) Se P está no quadante: P H 1 cosa=;x:>cos(1-0)=-:jí:> ' I' I' cn L sena =-:sen(1-0) =-:: 9 I >O Figua 1...3: P no quadante com aio positivo P. >' Y V < O --.- Figua 1...4: P no quadante com aio uegativo X -x cos.7cos0+semsen0 =-- :> -cos0=-::> cos19=- -x, y y semcosâ-senâcos = X :> senâ =X cosa. = 5:.-> cos(fl: -0) = -x- :> X COSazí cos x 7: cos=9 + sen7zsen9 = - :> sena = i:> sen(1-0) = 1 :> sen7 cos 0 - sem9cos = :X :> 1 -sen0 = 3 senh =Z

13 (iii) Se P está no 3 quadante: R YH (0 P y > O + >< Figua 1...5: P no 3 quadante com aio positivo cosa =.;x:cos(0-:)=;x _ -x cos 00057: + senäsenz = :> x x -cos9=_:> cos0= =1 sena = :Z => sen(6^-1:); senâcosn' -sencosâ = - K ::> -sen0=1:>sen9=-j-í T I' Y y -_..._._ >! na i F > *S ços0=-v x e sen0=l, temos, x=cos6 e» y= sen0 P ya < O Figua 1...6: P no 3 quadante com aio negativo

14 -fu-naun!- x=c0s0 (iv) Se P está no 4 quadante: y cosai=í: cos(nf-0)=í:> 9 x cos cos6+sen1z'sen6 = - x => ix ><.F x cosâ =- _y V q_ 'P >0 Figua 1...7: P no 4 quadante com aio positivo 'J' "Y sena=:-:: sen(:-9)=-i-_-:> sen7z'cos9 - senâ cos 7: = 1 :> -)' "sena = :> sena =_ Y >' Y V 'Ê 1 8 R >< X cosa=íê:: cos(-0)=:-)í:> -x _ oosfcosâ + semzsenâ = :> x x -cos6=--:cos6=- -y P < 0 Figua 1...8: P no 4 quadante com aio negativo sena =-=>sen(1z-9)=z ::> senfcosâ-sen0cos = l:> senä =Z As equações e y=sen0 são válidas paa todos os valoes de e 0. Pemitem enconta as coodenadas catesianas de um ponto quando as coodenadas polaes são conhecidas, e vice-vesa.. Das equações acima, podemos esceve xz + yz = ( cos 0) +(sen0) = z cosz 0 +sen9 = z (cosz 0 + senzâ) = z,

15 ou seja, xz + yz = z. Esta elação apaece com feqüência EXEMPLO 1..1 Repesente o ponto com coodenadas catesianas (-1,1) em coodenadas polaes- Noteque x=-1 e y=l.logo x+y= =(-l)+l :>=i /Í. Vamos considea = \/5. x=cos0:>-l=~/ícos9:>cos6"=-iä «37 30:?» y = senâ :>1= Jšsenâ ::> senâ = O ponto em coodenadas polaes é. EXEMPLO 1.. Enconta as coodenadas catesianas do ponto Í-Iüfišv) dado em coodenadas polaes x = cosâ :> x = -l0cos>3+7p x =-10.0: 0 Temosque-=-10 ea 9:-3á.Assim 3 _ 71' y = sen0` = y = -l0sen.-- : y = (_-I 0v)(-1) = 1 Logo, o ponto em coodenadas catesianas é (0, 1). 1 5

16 EXEMPLO 1..3 Enconte a equação catesiana paa a cuva, z = 5sen0 descita na foma pola. Sabemos que x + y =, cos9=í,sen0=l eque sen0= sen0cos0, assim t J/ x 1 l í =5sen0:> =5.senHcosl6:> =l0-.-d =--l0xy:( ) =l0xy=> z ~ - :>(x + y ) =l0xy eaequaçao catesiana. EXEMPLÚ 1..4 Tansfome a equação catesiana ixz + y -x = 0 paa -coodenadas polaes, Note que xl +y -x= 0:> X +y =x. Como x +y = ex=cos0 temos z = cos0. Logo, = cos49 é a equação pola pocuada. 1.3 Cuvas em coodenadas polaes Nesta seção esboçaemos cuvas fomadas po todos os pontos cujas coodenadas satisfazem aequação F(,0)=0. Alguns pocedimentos podem nos ajuda no esboço da cuva: (i) calcula os. pontos máximos e/ou mínimos; (ii) detemina 0 paa o qual a. cuva passa pelo pólo; (iii) veifica simetias; 16

17 1: 0* - ~ Quando substituímos po - na equação, esta não se altea, existe simetia em elação à oigem (ou seja, a cuva não se altea se a giamos l80 em tomo da oigem); - Quando substituímos 0 po -0 na equação, esta não se altea, existe simetia em elação ao eixo pola (eixo dos x); - Quando substituímos 0 po fz -0 na equação, esta não se altea, existe simetia em elação ao eixo 0 = š (eixo dos y); Exemplo Esboça a cuva = 1+ c0s 0. Note que a equação não se altea se substituimos 0 po - 0 na equação dada. De fato: =l+cos0 =l+cos(-0) Logo, existe simetia em elação ao eixo pola. Assim basta enconta paa 0 S 0 5 f i6 Tabela 1.3.1: alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva 0 0 ~ 7: 1:» a 1: 37: cos0 0 Jš 1 0 ~-1 * 51: 1: =l+cos0~ 3 1+\/š. ~+`/5. l z i1 /E -I JF fi o 'o. a sã? l D aê» i ~ _ 1 'f i É Í í ' ` 3 É i '; à% t fi ú Figua Figua

18 _ 16.px çt' _ 4 H ø_«% m_a 16 *gw h.k.`wd. na _6 ~ hâg. gi.. 16 _ *A h_.%šfl. Yšü 3 _ú

19 ~..-,,._. Nšã' -- 3;:. ~Q x 3 3 *,IU 'Â ~ 3 _ x Â; 1 4 }à ~ \~.,/V 'ivfâ Figua Figua l.3.l.l0: po simetia obtemos o estante da cuva Exemplo Esboça a cuva = 3cos 0. Analisando em coodenadas catesianas = f (0) ; Tabela 1.3.: aiguns ângulos necessáios paa esbom a cuva E ffífíã 4 4 E ÊZ5 4 E 4 cos 0 O 1 0 I 0.= 3cos O 0 fl 3 1 "` 3x hà ---Ó em N *I Podemos veifica que a função: Figua 1.3.: gáfico de em coodenadas catesianas

20 _ H ` A A M :A I 1:3: (Í) tem máximo em 0, 1: en,mínímoemí e -~; e Z-75; (ii) passa pelo pólo em Í:-, (iii) a equação é simética em elação ao eixo pola pois: = 3 cos(-49) = 3 cos 0 A equação é simética em elação ao eixo Z; pois: = 3 cos[(1z - 0)] = 3 cos(1-0) = 3(cos 1 cos 0 + sen7sen0) = 3 cos 0 Í zzl í- 3:,Fz à \.Q.f E na bn 3.f :V _; i MP4 ii ú 1.. I E Ê!-l 4 1 _f,_,,_, i _ 1 ` 0* Tx 4 ` :J 'É A Ê L I Si: T z E 4 Ê A.y-I 3:: Figua M..,, ÉÍ A+ â Í.F Xl. x â á Figua i~1 4 É E f.fl A zzflzfifâ \ *Y ä V.,V 4 3 7J;, É. 1, 7,. /' V 0 fz : 4 Si: É?~' ' ij \ E 4 Figua Figua

21 ' o 5!? 71: Í ` 3!! 4 5* zig =* I 4 âí ag PI' 1? 4 JI, _,,,_,f_,,,f._w_._..f _,,,_ K l ` A JL I: Í É z a 3: T fm Sa T 71 T T T 38 `3 Figua Figua E 1 É JT á gi ua 9 T 'Ff 4 /â E f SK 1 \ \ 4 ' É 1.w E I 37 É zz ^ ~ ~~~ 7ÍÍff~~`?A ÍÂÍÃÍÍ «ii z z z Í LW * _;"'1 '~\ _1 É A Ú L f A 77 Í ` _'-' _ 4 'in 4 T Figua Figua Exemplo Esboça a cuva = sen0; Analisando em coodenadas catesianas = f (0) ; Tabela 1.3.3: alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva E Z T 77: 7: sen6 l 0-1 o~1 ao = sen0 E 31, T' " o - 0 O. o 1

22 x 4.1..;--- --ag.--v-. šz" += šš' HL o àfiü NN z-if.z._ Podemos veifica que a função: (i)~ temmáximoemíe. Figua 1.3.4: gáfico de em coodenadas cateslanas emínimoem... 3 (11) passa pelo pelo em 0; Ê, f, -ší e 1:; -3-7!-de -7_ Não conseguimos O S 0 S 7:. 31 vz 4 obseva simetia. Desta foma vamos locahza os pontos paa U A E 4 Figua Fngua l 3 5.

23 7:. x í 4 E z giz É 4 z U Í II A Ê! 4 8' ii. Figua í 7: 4 x. 4 ff ,; 4. Figua E z _ ll' _ \_f_ 4 J 5 4 gil. Figua E a 4 Zi 4 Á \/ Figua » 1 A., 3: 'I ii E 4 fl 'lx 4 sz z T T Figua Figua

24 e~ Exemplo Esboça a cuva = 3cos0 Note que a equaç ao nao se altea quando substituímos 0 po -9 Logo ha snnetna em elação ao elxo pola Entao basta faze 0 vaia de 0 a f; Tabela alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva cos0 JiT 1 =3cos0 DJ ~ä Z 4 Et 3 1:; 3\ LI 1 t J, ~e 3 1 às 3' W 41 #15 «li #53 U! II; Fg al.36l FI I 4 Ç ' 1 S Figua "\ XL'.i V4* F gua l Figua

25 _` ` h_3m_..0 >A ~ 1; 34 J my; ` Ê_. V 16 G" _ M_`. ` `«MÂ. E6 _3 8 É M D M_: " %.% m«. Ê _" Ã6 *A 'N "ga V Ê is É A 1 _ M 6 W ZmdmMM 1 Z é W3 WW O 00 O U 00 + k_ k E QV ) WW Wgw m W Im 'W Im e m m _m mb O _ 9

26 \ l (b) senâ = a é uma eta paalela aoeixo pola. 8 X lí x - ol \ a>0 3 a<0 Figua l.4.1..l Figua Ja 1.t 5 na (c) cosâ = b é uma eta paalela ao eixo šg b>0 b<0 À» Figua l.4.l.3.l Figua l.4.l Cicunfeências (a) = c,c e R em coodenadas polaes é a equação de uma ccunfeência centada no pólo e aio c ; If 9,_ 0* A Figua

27 (0,01 I 8. Ab' Pcfflâ O - (aí) ` 0 l f (b) = acos 0,a e R, é uma cicunfeência com cento no eixo pola e tangente ao eixo š ' ' -Sea>0,ogáficoestáadieitadopólo; -S V e a <, o gafico estaa esqueda do pólo; gl - P(f.6) 1»P z.õ 8 O A 0 * A V a > [I Figua l.4...l a < O Figua l A.. 75 (c) = bsenâ e uma cicunfeencla centada no eixo - tan e gente ao eixo pola. -Seb>0, o gá fi coe sta 'acimadopólo; -Se b<0 ogáfico stá b Í l E, _,_, A ' cf.»- / 0 l l HYÊ `, e a aixo do eixo pola; Limaçons b > EI Figua l.4..3.l b < U Figua l = aibcosâ ou = a+bsem9 _ com b R, a, e sao equações em coodenadas polaes cujas cuvas são chamadas de limaçons; As cuvas das limaçons = a+bcos0 _ e - a_ +b senô possuem simetia em elação ao eixo pola e ao eixo š, espectivamente: 7

28 _ - - _-E» (a) Quando b > a a cuva possui um laço. Sendo assim ela é chamada limaçon. com laço; E Í A ou - A =a+~bcos8 =a-bcosâ Figua l.4.3.l.l X Figua l.4.3.l. J Ã A. 6) sã =a+àsen6',.=.-,5,, 9 A Figua l.4.3.l.3 Figua l.4.3.l.4 (b) Se b = a a cuva é chamada cadíóide, po te o fomato de um coação; 8' _ Í A A =a'+ams6=a(i+cos6) Figua l.4.3..l 8 7= "a 5â=4(1" 95) Figua l.4.3..

29 `, 1 - d. Í.-._ À _ If 5 1 A =a+asen6=a(l+sen6) Y=0- Mfl6= (l-sgyi5) A Figua l Figua l (c) Se b < a a cuva não tem laço e nem o fomato de coação sendo chamada apenas de limaçon; X x. Ê' A }=a*bcos0 =,,-,ms9 Figua l l Figua l X É =a*+b sen9 _ =a-bsafi Figua Figua

30 \ i Rosáceas Equações do tipo =acos(nh) ou =asen(n0) em coodenadas polaes, com iv a e R e n e N sao chamadas osáceas, pois lembam o desenho de uma flo com váias pétalas, todas com mesmo compimento e áea. (a) Se n fo pa, a osácea teá exatamente Zn pétalas; Suponha n =, logo a osácea teá 4 pétalas; a ~ u y= 5g;z(, ) =tacos (nã) Figua l.4.4.l.l Figua l.4.4.l. (b) Se n fo ímpa, a osácea teá exatamente n pétalas; Vejamos como é o gáfico paa n = 5; Y = meu (na) / \ = aeusfnä).( K 11.. ~ * Figua l.4.4..l 30 Figua l.4.4..

31 ~ 4 H _ zzl ai W..,..., A, Lemniscatas Assim são chamadas as cuvas que epesentam as equaçoes z = iaz cos(0) ou z = ia sen(0), coma e R ; (a) Nas equações z =a cos(0) e z =-acos(0) as lemniscatas tem simetia em _.. f. elaçao ao elxo pola e ao exo 5, espectvamente; J' -í 3 3:5' É T X 4 H V' 33 4 F OI D- A A.z : =a`: 9053 * =-af cosâ Figua l.4.s.l.l Figua l.4.s.l. (b) Nas equações z =asen(0) e =-asen(0) as lemniscatas tem simetia em elação a 0 =% e 6 = 3%, espectivamente; X1 às - _ F- 35' 31 l li' 4 N P9 s 4 0 A 0 A 1"' = flsenfi Figua l.4.5..l 7: = _a} Figua l.4.s.. 31

32 g ':;`:! Esplals Equaçoes de algum as esplals e seus gaficos (a) 0=a,a> O (E sp ia! Hlpebohca) 'E ta-) 1 _* -_-_.zm.-..,_-..- É ' O l o za (a>0 Figua Fngua = a0, a > 0 (Esplal de Aqmmedes) E =a8,6?_0 f= zz< a<o Fngua l Flgua (c) = e (Espial Logantnnca)

33 Í ' l 7? EE Í vi; ;.' A =e fi Figua (d) z = 0 (Espial Paabólica) c..-ze ;%l:q to cw E f= f Figua l Figua Pontos de inteseção de cuvas em coodenadas polaes Enconta pontos de inteseção de cuvas em coodenadas polaes não é feito da maneia que estamos acostumados em coodenadas catesianas. Ou seja, esolve m~ paa inteseção é esboça os gáficos das equações. simultaneamente as equações de duas ou mais cuvas podem não identifica todos os pontos de inteseção. Pois, como já sabemos, em coodenadas polaes podemos te váias um mesmo ponto. A maneia mais segua de enconta todos os pontos de Exemplo Enconta os pontos de inteseção das cuvas = 1+ cosâ e = 1-cos0 ; 33

34 Tata-se de duas cadióides, como as equações não se alteam se 6 fo substituido po -H, basta faze 0 vaia de O a f: Tabela 1.5.1: alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva ' 71" É =1e+cos0 -=I+I= =I+~0=1 fl=1~i=0 =l-cos0 =I-l=0 =I-0=1 =1~(-I)= _fl ~ _ L -3 (0, I; Í Ab Figua 1.5.1: duas eadióides opostas e siméticas em elação ao eixo pola = 1 0 = 1 -cos 0 Resolvendo o» sistema: + cos :> cos9 = 0, ou seja, 0 = -7 + k1,k e Z. Vamos. considea 0 S 9 < 7:, temos então 0=% e 0 = 3% ; Substituindo esses valoes nas equações obtemos os pontos {l,.-é-ê) e Obsevando a figua 1.5.1, note que temos tês pontos de inteseção e não apenas dois como sugeia o sistema, ou seja, as cuvas também se encontam no pólo (0, 0). Logo os pontos de inteseção são (0;.0)~, (Lã) e. {l,êí). 34

35 0 i Obsevação Como foi visto na Seção 1.1, em coodenadas polaes os pontos (I,-7;) e (l,:%) podem se epesentados. de váias maneias.: í-l,.%)e {-Lã); (-1,-3'-gi-) ez (1,%);. 1,-Í) e (-LE); etc. Exemplo Enconta os pontos de inteseção ente cuvas = cosâ e = 1- cosâ _ Note que as equações se efeem a uma cicunfeência centada no eixo pola e. f.,. tangente ao eixo -- e uma cadiolde. As equações não se alteam se 0 fo substituido po -0, basta faze 49 vaia de 0 a f: Tabela 1.5.: alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva 0 = ou =cos0 I ~ =1- z s0_ 1_1=o* 1-0:1 1-(.1)= - _ _ E na (3 8=_ x 3 (0, AE -1 :fi 3 Figua 1.5.: Uma cadióide e uma cicunfeência siméticas em elação ao eixo pola 35

36 Resolvendoosistema: { l9=-7; ou 0=5?, paa0e[0,7]. =cos0 =l-cos0 ::cos0=l-cos0:cos0=l:>cos0=- Substituindo 0:? e 0=5T nas equações temosos pontos e Obsevando o gáfico temos que os pontos de inteseção são (0,0), Exemplo Enconte o ponto de inteseção ente as cuvas =l e = sen0 Tata-se de uma cicunfeência de aio = 1 centada no pólo e uma lemniscata Tabela 1.5.: alguns ângulos necessaios paa esboça a cuva _ z = sen E 1, E läâ 4 W âl. L 1 117; 5: '1 ' 11_~37" 1 Figua 1.5.3: Cicunfeência centada no pólo e uma Iemniscata 36

37 Resolvendo o sistema: =1 = 1=. en0= se»a=l.l0g0 0=í,0=Í'í, 0=l3_ e0=17_. z =sen Assim os pontos de inteseção ente as cuvas são: (l,%),(l,í%),(l,ll377) e {l,l;7t ) _ inteseção. Note que neste caso, esolvendo o sistema encontamos todos os pontos de 1.6 Retas tangentes a cuvas polaes Dada Luna cuva pola = f (0) tome H como um paâmeto e esceva as equações paaméticas como x = cos0 = f(9)cos0 e y = sen0 = f(0)sen0. Sabemos que a inclinação de uma eta é dada po É i(sent9) ísen0+cos0 _ dy de _ do _ da dx d0 _(cos0) d0 _cos0-senâ dâ '" " dz ` d " df ' (1) Paa enconta tangentes hoizontais, basta faze id; = 0, com gã- O... dx dy Paa enconta tangentes vet1ca1s, basta faze E = 0, com É 0. Obsevação Se consideamos as etas tangentes no pólo, teemos = 0. Logo a equação ficaá -sen0+eos0 d -sen0+0 d m=dy= Íí = ;f =sen0=tg0,comg:- 0. dx ãcosä-sen0 -cãcosä-o msg da 37

38 Exemplo Calcule a inclinação da eta tangente à cuva pola = l+cos0 em 0 =16-.,, a?.. Temos, = l+cos0. Entao ía = -sen0, substituindo em (1) temos d dy _ ãsenóncosâ _ (-sen0)sen0+(l+cos0)cos0 _ -sen0+oos0+cos 0 _ dx 11 cos 6,_sem9 (-sen0) cos0-(l+cos 0)sen0 -sen0cos0-sen0-sen0cos0 d0 _ -(1-cosz 0)+cos0+cos 0 _ -l+cos 0+cos0 _(-1-cos0)(l-cos0) -sen0-sen0cos0 sen0(-l-cos 0) sen0(-l-cos 0) Substituindo 0 po % temos:.z(-1»z Sâz. ú1»zzzsâ waíleza1 a 1~«š z dz 1 (..,. )(-1-.05%) %(_, ší) (-1-fi) š ~à 5-3 _+í. l ~à ä l\j _ 5(1+«/5) l 61 ; + `; + ~; ~«' 11 I 1 6 ll M A =-1 É I Figua 1.6.1: Cadióide simética ao eixo pola 38

39 Exemplo Calcule a inclinação da eta tangente à cuva pola = 3cos0 em 6 =. š d. Temos = E 3cos0 e =-3sen6, assim d dy _ "0+' S _ (-3se z0)szzz9+(3ws0)z s0 _ -3szn0+3z sô dz ` %c0s0_,sen6 ` (-ssenø)-(3ws0)szn0 _ -3.-ezzøwsø-ssefzewsa _ -3sen0 + 3(l - sen0) _ -3sen sen0 _ 3-6senl9 _ 1 - sen0-6sen6cos0-6sem9cos0-6sen0 cosâ -sen 9cos 9 _ 1 _ sen0 _ -l _ sen0 _ -1 +t -zsznøwso -zsznowsa 0 zszzzewsø zsznawsa zsezzôwsø g = -1 +tg = _ +«/ =;l+ 3=;+ 3=L. oos 3 ~`e._ sen- - ' J ía 1; 1 c IQ 1 m_=i.ff _ 3 p.. A 1.' `I 7!' Figua 1.6.: Cicunfeência simética ao eixo pola e tangente ao eixo -5- Exemplo Enconte os pontos na cuva = 3cos0 onde a eta tangente é hoizontal ou vetical. Temos que x = cos0 e y = senä. Assim, 39

40 dyd dxd _=_sen0+cos0 e _=_cos6-sen0. d0 dó? dó? dó? Paa enconta as tangentes hoizontais devemos te %=0, isto é, isen0+cos0=0 :>l-sen0=0 : senl9=l:>sen0=iq:> 0: ou 0:31. dó? 4 4 Potanto, os pontos que admitem tangentes hoizontais são e _.. dx. Paa enconta as tangentes veticais faemos ã=0, ou seja, šãcosâ-sen0=0 -sen0cosl9=0:>sen0cos0=0=> sen0=0 ou cos0=0:: 0:0 ou 0=. Potanto, existem tangentes veticais nos pontos (3,0) e (lã). Vamos constui a cuva e as tangentes. A cuva é uma cicunfeência centada no eixo pola. Como há simetia em elação eixo pola, basta faze 0 vaia de 0 ou f e já obtemos a ciclmfeência. Tabela 1.63: alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva ff 4 4 zszzosø i 3.1=3 \/5 3.o=o `/5 3.(-1)=

41 , 4 É [ QTÉ1 _ ;-) (3, 9)» Í. I 0 (šg) A Í-39%) Figua 1.6.3: Cicunfeência e as etas tangentes hoizontais e veticais Exemplo Enconte os pontos na cuva = 1+ cos 0 onde a eta tangente é hoizontal ou vetical. Temos que x = cos 9 e y = sen0. Assim dyâ dxâf --=_sem9+cos9 e -=--cosó'-senâ. d0 d0 d0 dó? Paa enconta as tangentes hoizontais faemos :0. dâ Então, ou seja, Isto ocoe quando Ou seja, isen0+cos0 = 0 d0 (-l-cos0)(l - cos0) = 0. (-1 -cosâ) = 0 ou (1-cos 9)= O, 41

42 cos0=-l ou cos0=š. 5 Segue,paa 0e[0,1],que 0:? ou 0=%. Potanto, existem tangentes hoizontais nos pontos e Paa enconta as tangentes veticais faemos % = 0. Então, ou seja, sen0(-1-cos0) = 0. Isto ocoe quando ou seja, senâ = 0 ou -l-cos9 = O, sen49=0ou cos9=%1. É-icosä-sen0 = 0 d0 7: 47: Segue,paa 0e[0,7],que 0:0, 0=1, 0=T ou0=?. _. _ 1 :1 l 47: Potantmexnstemtangentcsvetcalsnospontos 5,-É e 5,? Como Q=0e =0 quando 0:1: temos d0 d0 lim dy : lim (-1-cos9)(l-cos0)= lim (l-cos0) = HM' dx 0- ' sen0(-1-cos0) 0- ' (-I-cos0) : um (-1-cos0) : 3_ um (-I-cos0) :+oo. 0- ` sen0 0~ ' sen0 4

43 Damesmafoma,usandosimetiatemos }im%=-oo. Então existe uma eta tangente hoizontal no pólo. Vamos constui o gáfico da cuva e das tangentes. A cuva é uma cadióide. Como há simetia em elação eixo pola, basta faze 0 vaia de O ou I. Tabela 1.6.3: alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva E ff if: =l+cos0 l+l= l 3 l+0=l 1 l 1-l=0 l l l l+-=- l--=- l--=- l+-=- 3 : É 1 1 I 3 É ÍÊÊ), (o,z / (U3) T líël 3 1 5; 3 Figua 1.6.4: Cadióíde e as etas tangentes hoizontais e veticais 43

44 Capítulo Compimento de cuvas dadas na foma pola Neste capítulo deduzíemos a fómula que fonece o compimento de aco de uma cunilaj noƒànnpo&,pøiiwolelüzimivsaƒómmladewmpfimenmdeoco deunmcuvadodonofomupammâialfidcfómudoconsislexnuuaäegol definida..1 Cuva e compimento de aco na foma paamética SejaCumacuvanafomapaamé1:ica,istoé, t e[a,b] onde x, y são funções deiváveis com x' e y' contínuas. Queemos enconta 0 compimento do aco da cuva C, do ponto A até B (ve figua). Seja P = {a =to <t, <...<t,,_, <t,, =b} uma patição de [a,b] em n subintevalos de compimentos iguais, A" = I, -t,._,. Sejam A = A0,A,,A,...,A,,_,,A,, = B os pontos sobe a cuva C. Unindo os pontos Ao, A,, A,..., A" temos uma poligonal cujo compimento fonece umaapoximaçäo do acodacuva, dca atéb. 44

45 . + ".Éh E ntz. I Í:b f _ âêââfl nm- J'(fz) A A, f` tl f, Í' Âz _ '- A* ou = f. no = z zm * " zo 4 zm, ' A b Figua.1 O compimento da poligonal, denotado po sn, é dado po: S.. =d(ao Az)+d(Az Az)+---+d(-4n-. A.) zâh/[z(f,)-z(z,_,)]+[,z(zi)-y(f,_,)]. () como ao funções x z y Sâo doúvàvoio om [zz,b], podemos ooiiozf o Toooma do valo Médio em cada subintevalo [t,._,, t,.], i = 1,..., n e assim podemos esceve x(,.) -x(t,._,) = x'(c,)(1, -:,_,), onde c, e (t,._,,,) (3) y(,.)- y(,._,) = y'(d,.)(,. -,_,), onde d, e (,_,,,.). (4) Substituindo (3) e (4) em () temos Sn z [x~(z,)(z, -z,_,)] +[y-(à )(z,e -f,._,)] z [z~(z )]* +[y-(â,)]*.(z -i). Fazendo n - ~H temos o compimento s da cuva C de A até B, isto é, S = '(cf)] + :y'(df)] ( i "ti-i) (5) A soma (5) se paece com uma soma de Riemann paa a função 45

46 (f) = J [ '(f)] +[y'(f)] mas não é, pois c, nao é necessaiamente igual a d, paa todo i. Como x' e y' são contínuas, pode se mostado que o linite (5) é igual ao limite obtido quando c, = d,, ou seja, ~ = J[ ' f 1+[y~ f 1 ff- õ. Compimento de aco na foma pola 0, temos Se uma cuva C é dada em coodenadas polaes po (,0), como é uma função de (fl) = (f(6') 9)- Em coodenadas catesianas temos que a cuva C é dada po Logo, (x, y) = ( cos 0, sen0) = ((0) cos 0, (0)sen0) _ C_ {z(âã=(0)z s 9 ` y(â =f(â)szzzâ é uma paametização da cuva C com paâmeto 0. Da fómula (6) temos que o compimento de aco da cuva C quando 0 e [a,b] é fj[ ' f T +[y' f 1* ff = f Ji %T+(%)âa. 46

47 QJQLAJN Temos, É = -liicosâ-sen0 dó? dâ %=:;;sen0+cos6 então, d (%)+(%1=(%wS@- se "GT + -sent?-cosâ (dz, W Vl df (10 (19 (10 (10 = - cosz 9 - -senâcosâ + zsenzól + - sen0+ isen9cos6+ z cosz9 = (sen0+cos 0) +(sen0+cos 0) =.I +.l = +. (10 d0 (10 Potanto, o compimento da cuva C dada em coodenadas polaes b 'da um intevalo [a,b] é 3~da. S = hi-'ãí +z1a ou S = il, l,o t1 quando 6 pecoe Exemplo..1. Enconta ocompimentodeacodacuva =e, ente 0=0e0=% É U (LU) Figua..1 47

48 b Sabemos que s = L/'(0) + (6)d0 Emâo S = É»/z +z â0 =fjz dâ=é././z z10 =./5 fƒàø =J'z š = O = \/Í(eš -e ) = \/ (eš -11u.c. Exemplo... Enconta 0 compimento de aco da cuva = 1+ cos 0. b Sabemos que s = I,/'(0) + (49)d6. Obseve no gáñco que existe simetia em elação ao eixo pola. Então basta enconta o compimento de 0 vaiando de 0 a f e multiplica po. 1 J U :P 1 Figua..: cadióide simética ao eixo pola S =. f,/(-sz»ø)* +(1+ < s0)â0 =. L' Jsezfâ +1 + z s0 + wsz aaa =.fj1+1+ s0d0 =.fj+ z s0â0 =.«/5 f./1+ s0dâ =../5 L' Jzwslgdo =../ f /íwsãdâ =.Jí\/5 fwsgâa =4.sen6 =8(sen-Ii-sen)=8(l-0)=8 u.c. N 48

49 Capítulo 3 Áea em coodenadas polaes Neste capítulo calculaemos áeas das egíõa planas delimitadas po cuvas dadas na fannapolaz Pimeiamente deduziemos aƒónnula queƒoaece a áea. Veemos que estaƒómula consisteemunnaíntegalddinída. 3.1 Cálculo da ám de uma cuva pola Vamos deduzi a fómula que etas 0=a,0=fl epelacuva =f(0). enconta a áea A da figum delimitada pelas =ø /=a f=ƒ(1-9) Figua Considee f uma função contínua e não-negativa em [a,,6]. E seja P uma patição de [a,,b1 demodoque a=0,,<0 <0<...<4_, <6,. <...<6,,=,6,ta1que 9,-0,._, ='6%a. 6'=Ô'...9=f"' =â_, 6=6, /_,â=e, < a=a, Figua

50 A áea do seto cicula de aio f(p,) e ângulo AH,., onde 9,._, <p,. <0,. eal9,. =6-6,._,, l ;[f z. ]* M.«6= 8=ô 6=_.a Í /I 6:6-I. "'Õ'=c: Figua Uma apoximação paa a áea A é Fazendo n - oo temos a áeaa. A.= [f(»z)]a = [f(zz)](õz-..)- 1 A soma (7) é uma soma de Riemann paa a função f = [f T~ Potanto,aáeadaegião limitadapelacuva =f(0) epelasetas 0=a e 0=fl é " 1. A= z,,z5[f zz T. -._. i=l 11* =5[[f(0)] âó. 50

51 Exemplo 3 l 1 Calcula a aea hmtada pela cuva dada = 9sen 9. Tabela 3 l l alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva E 4 E. l 0 = i«/9sen0 i3 O Figua 3 l l Lemmscata A cuva e uma lemmscata, obseve que basta faze 0 vaia de 0 a É e usa slmetna A = zn0dø = 9 4 sznzadô =-íwszâl = -9[z s{.-9-ws( 0)] = 0 =- cos--cos =-9(0-l)=9 ua Exemplo 3 1. Calcula a aea lmntada pela cm'va dada po = cos 36. Obseveatabela3 1

52 Tabela 3.1.: alguns ângulos necessáios paa esboça a cuva 0 0 Í E 6 3 = cos O 1 1 â I//' Figua 3.1.: osácea de tês pétalas Temos lmla osácea de tês pétalas. Podemos calcula a áea da metade de uma petala e multiplica po 6: Azól [fmzseda=3f s3øz1ø=3f(l+lwsó0)âo=3 lø+-1-szzzóo 6 = 1 za l.í+l. zzzó.í- l.o+lsz zó.o) =3 l+i.o-o-i.o)=3.í=ízzz ó 1 ó I E 1 31 E ' '~ ' 1 ~ - - xempo..3. ncontaaaeadaeglaomtenaacuvadadapelaequaçao- cos0 Pelaequaçãopecebe-se quesetatadeumalimaçonsem laçoequeamesmatemslmetna em elaçãoaoeixo pola. Logo,paaencomaaáeabastafaze 0vaiade0a; edepols multiplicapo. 5

53 - Tabela 3.1.3: alguns ângulos ecessiios paa esboça a cuvo H O f cos l =-me -1=1 -o= -(-1)=3 Ê I f J: Figua 3.1.3: Limaçon sem laço A = % f(-wsafâa = [(4-4 sa+ z z ayzøz [(4-4 se+%+%wsa)z1â = (40-4sen lsen0 = 41:- 4sen1 +-1-f +lsenz -(4.0-4sen0 +l.0 +lsen.0) =41:-4.0+l+l =47+l1 =1 u.a. 4 4 Exemplo Enconta a áea de inteseção ente = 4cos0 e = 4sem9 =4 0 Resolvendoosistema { :4cos0=4sen0:>oos0=sen0:0=%,eanalisandoo = se gáfico 53

54 X (, _\ f Figua 3.1.4: duas cicunfeências ua simétiea ao eixo pola e outa ao eixo E,. f..,. temos que as cuvas se encontam no polo e no eixo que divide a aea desejada É em duas egiões iguais. Assim basta considea a cuva = 4cos9 e faze 0 vaia de ä a -É e multiplica po. fl Sabemos que A =š H f (0)] d0 _ Logo š š š 1,,, 4. É É É 4 A =.1 I(4ws0)d0 = jlówzzoââ =1ó ](l+lz sa}1a =1ó{-1-o+l. en0 =l6 l. +lsen(. ) - l. +lsen(. ) =l6 :-7-I-+lsen7-Í-lsen =1ó í+l.o-í-1 =1ó[í'--l]=zz-4 zm Exemplo Enconta a áea inteio ao cículo = ócosâ e exteio a = + cos0 _ Note que pelas equações se tata de uma cicunfeência centada no eixo pola e uma cadióide. Ambas possuem simetia em elação ao eixo pola. Resolvendo o sistema 54

55 ' zó '59 = óws0=+ws0=>ws0=l=>a=z z sl= 0=íz0= -'í. =+ s0 3 3,-É (3-Ú) Figua 3.1.5: cicunfeência e cadióide siméticas ao eixo pola,. f 51:.., _ Temos que as cuvas se encontam no polo e nos elxos 3- e -3- que dlvldem a aea desqada em duas egiões iguais. Obseve também que 6cos0 > +cos0 quando 0 vaia de 0 a -5. Assim: É A = % [[(ó sø) -(+ s0)]z10 =]`[3óz s 9-(4+sz s0+4 m 0)]da 0 0 š É Ê É z ](3z s10-acusa-4)aa= [[3G+%z sa)-swsa-4)z10=]`(1ó+lózosza-szosø-4)dâ O O O I =(1ø+1Ê. z zø-ssznalí =1.%+ssa?-sszzzš-1.0-ssz z.o+sszno Jš\/5 =41+8._ l6.0=4f u.a. Exemplo Calcule a áea intema ao laço da Ijmaçon = 1- sen0. Obseve o gáfico: 55

56 o~n\. ~v4 x À, í 1 l - - ó A Figua 3.1.6: Iimaçon com laço Sabemos que esta limaçon é simética em elação ao eixo Logo basta calcula a áea de metade do laço e depois multiplica po. Note que o laço começa a se fomado em 8 =%, quando chegamos em 0=š, obtemos metade do laço. De (3.l) temos: Z' l A _.5 _[(1-zszna) da- 1 6 =3í+4 > sí-sznzí' >0sí+senz-'5=Í+.o-0-í-4 ó ó ó = 71.' -T 3«/5 u.a. 7! (1-4sen0+4sen0 i0= I-4sefl+4(l-loos0) sen0 ; 5 = K1-4sen0 + -cos9)d0 = (30-4(-cosãl)--í--I = (3Ú+4U0S9"~'>` "9)lÍ x ' É K 6 ~e 56

57 Q Conclusao Com o estudo ealizado, pecebemos que em alguns casos o sistema de coodenadas polaes apesenta algumas vantagens em elação ao sistema de coodenadas etangulaes (ou eatesianas), destacando aqui, a simplicidade paa a constução gáfica de algumas cuvas. Vale lemba aimpotíulciadatigonometiapaaaepesentaçãodemnpontonafoma polanpoisomesmoéidentifimdopeladistânciaesuainclinação áheinelaçãoaopóloe ao eixo pola, espectivamente. Vimos que existem váias maneias difeentes de se epmsentamnpontoempolaes.0q1mexigeuma~atençãopaficulaquando estamosmteessadmemmmntmpomosdemwmeçãodeduasoumais:cmvas pois,às vezegosponmsohfidosmesoluâodemnsistemadeequaçõesfioemespondem exatamente aos pocuados, tendoqueecoeaconstuçãodascuvasenvolvidas. Naeonsnuçãodasemvaspolaespocmmmsesbowí-lasdemaneiabemclaa. Constuindo inicialmente umatabela com os poee nentopassoap@o~eusandommpezssime1iasq1mdotpossível. todo o Deflmmnosmmbémaknpotâmiadamtegaldefimdmpmaocálcñodeeomphnenw demoeámdemaemvafimmososdadiseimde Tópicos de Cálculo paa obte as que apaeceam nos 57

58 Refeências Bibliog E' sw il 'êšl li âä [1] BUENO, Silveia. Miníõixzionáxío âía š"tâ`3 editoa. São iiauio, 0130 [] FLEMMING, Diva Maília e GONÇALVES, Miian Buss. Cálculo A: fimções, limite, deivação e integação. 6 ed. Pwson editoa. São Paulo, 006. [3] KUELKAMP, Nilo. Cálculo 1. Editoa da UFSC. Floianópolis, 004. [4} STEWART, Jmies. Cálculo, Voi. ll, Pioneia Thonson Lafining, São Paulo, 005. [5] THOMAS, Geoge B. Cálculo, Vol.. Peason editoa. São Paulo,

59 Anexo 1 TABELA - Deivadas, Integais e Identidades Tigonométicas Al.1 Identidades Tigonométicas ~ 1. senx+cosx=l. 3. l+cotgx==cosecx. 5. cosx:1+cosx 7. Zsenxcosy=sen(x-y)+sen(x+y). 8. senxseny=cos(x-y)-cos(x+y).. 1+tgx=secx. 1-oosx senx=-š_-. sen x = seu x cos x 9. Zcosxcosy=cos(x-y)+cos(x+y) isenx=1icos~(Í;--x). Al. Deivadas: Sejam u e v fimções deivâveis de. x e n constante. 1. y=u" Z y=uv 1 y=e v 4. y=a 5. y=e" 6. y = loga u 7. y=h1u 8. y=u" 9. y=senu 10. y=cosu ll.y=tgu l.y=cotgu l3.y=secu 14. y=cosecu :>yv=nun-lua. ~ :y'=u'v+v'u., u'v-v'u :>y :: y' = a (lna) uf, (a > 0, a âfi 1). :>y'=e"u'. ' I, :>y =-logue. u u. 1. :>y =-u. u :> y' =vu"' u'+u"(lnu) : y'=u'cosu. =: y'=-u'senu. :>y'=u'secu. :;> y'=-u'coseczu. :>y'=u'secutgu. :> y' = -u'c0sec. u. cotg u 59 VI

60 15.y=acsenu 16.y=accosu l7.y=actgu ::>y'=-by--. «JI-uz =>y'=;-u-'--. x/l-uz =>y'=äf. :i _.u` l8.y=accotgu l+u 19. y=acsecu, u l :y =~, u >l 0. y =ac cosec u, ul 1 y'.=-1'--, u > 1. u \Íu -l Al.3.l Integais 1. 'fdu=u+c.. 3. ƒdí =m z íe"du = e" +c ícosudu=senu+c _Ícotgudu=h1 sen u +c. 10, ll. _fcosecudu=ln cosecu-cotg u +c _Ícosecucotgudu==-cosecu+c fcoseczu du. = -cotg u + c ]-_- I =-1-1n ` +, u>zz. 18. uz-az a' u+a du I u fu, u_a um-szz {+z 1 du u f. I'--5'-É-=0fCSCIl--+6, Il <a. Ú 19.. =_ z Ja -u _ zo. n+l _Íu"du=-lí-+c, me-1. ll +1 au ~a du=ín--+c, a>0,a l. (1 J senudu=-cosu+c. :tg u du = lnlsec u +c..secudu=h1 secu+tgu]+c. *secutgudu=secu+c. sec u du d 1 =tgu+c..í"-í-e7:- aí'cígy-+0. ll +11 Ú Ú =ln1u+\/uz +a +c Ju +a du..í {u_a = ln u'+~./uz -a I+c 60

61 d d,,_ A1.3. Fómulas de Recoências 1 z sen"'iau cos au n -1 _ sen au du = -----_-- + _- sen Zau du. 1 an (df I I I cos"audu=---'-í+ sznzzzzíäs"-'au (zz;1)i -_ cos.z daudu. Q- - n- tg"au du = dtg"'au du. a(n -Y 1) J _ n-i cotg au,,_ cotg"au du = -7(n-_-Í; - [cotg au du n- Isac" au du = ~ E- + _fsec"` au du. a(n - I) n - n- cosec aucotg au d n J -1'-( cosec"au du = - a(n - I) n -1 ) au du 61