Capitulo 1- Introdução

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1 Capitulo - Introdução Praticamente em todas as áreas do conhecimentos o uso da estatística em especial das técnicas de planejamento de experimentos são imprecendiveis para as tomadas de decisão visando a avaliação de novos procedimentos ou a otimização de processos e produtos. Segundo Montegomer(00), um experimento planejado é um teste, ou série de testes, no qual são feitas mudanças propositais nas variáveis de entrada de um processo, de modo a podermos observar e identificar mudanças correspondentes na resposta de saída. Figura.: Modelo geral de um processo O processo, como mostra a Figura, pode ser visualizado como uma combinação de máquinas, métodos e pessoas, que transforma um material de entrada em um produto de saída. ste produto de saída pode ter uma ou mais características da qualidade observáveis ou respostas. Algumas das variáveis do processo x, x,, x p são controláveis, enquanto outras, z, z,, zq são não-controláveis(embora possam ser controláveis para efeito de teste). Algumas vezes, esses fatores não-controláveis são chamados fatores de ruído. Os objetivos do experimento podem incluir. Determinação de quais variáveis são mais influentes na resposta.. Determinação do valor a ser atribuído aos x s influentes de modo que esteja perto da exigência nominal. 3. Determinação do valor a ser atribuído aos x s influentes de modo que a variabilidade em seja pequena. 4. Determinação do valor a ser atribuído aos x s influentes de modo que os efeitos das variáveis não-controláveis sejam minimizados. Assim, métodos de planejamento experimental podem ser usados tanto no desenvolvimento do processo quanto na solução de problemas do processo, para melhorar o seu desempenho ou obter um processo que seja robusto ou não-sensível a fontes externas de variabilidade.

2 Aplicação dos Planejamentos xperimentais na Industria são fundamentais para desenvolvimento de novos produtos e para o controle de processos. Nesta área é comum aparecer problemas em que se precisa estudar várias propriedades ao mesmo tempo e estas, por sua vez, são afetadas por um grande número de fatores experimentais. È papel de técnicas de planejamento de experimentos, auxiliar na fabricação de produtos com melhores características, na diminuição do seu tempo de desenvolvimento, aumentar a produtividade de processos e minimizar a sensibilidade a fatores externos (NTO et al., 00). A análise de dados para os modelos de planejamento de experimentos fica praticamente inviabilizada sem o uso de softwares específicos. Neste material é apresentado as possíbilidades de análise de dados para modelos de planejamento pelo software R. O software R, que é uma linguagem e ambiente para computação estatística e gráfica de domínio público (VNABLS e SMITH, 00), atualmente muito difundido nos grandes centros, contudo pouco conhecido em Goiás. ste software pode ser uma ótima alternativa para o trabalho com Análise de xperimentos, pois, tem apresentado igual ou superior eficiência para análise de dados, além de haver material disponível na internet e listas de discussão que servem como guia de suporte e aprendizagem. Nesta apostila serão apresentados um resumo dos principais modelos de planejamento de experimentos, dentre os quais destacamos: Planejamento completamente aleatorizado com único fator, Planejamento completamente aleatorizado com blocos, Planejamento Fatoriais e Planejamentos Hierarquicos e para cada modelo apresentou-se a sequencia de comandos em R para a análise estatística dos modelos, que geram os resultados finais como o Quadro da ANOVA, as Comparações Multiplas e a Análise de Resíduos.

3 Capítulo - lementos Básicos da xperimentação Segundo Werkema & Aguiar (996), para se realizar de forma eficiente um experimento, deve-se ser utilizada uma abordagem científica para o planejamento. sta abordagem é identificada por meio do termo planejamento estatístico de experimentos, que se refere ao procedimento de planejar um experimento de forma que os dados apropriados sejam coletados em tempo e custo mínimos. A análise destes dados por meio de técnicas estatísticas resultará em conclusões confiáveis. Portanto existem dois aspectos fundamentais em qualquer estudo experimental: o planejamento do experimento e a análise estatística dos dados. stes dois aspectos devem ser bem avaliados, já que a técnica de análise depende diretamente do planejamento utilizado. Um dos grande problemas dos estudos experimentais é a coleta de dados. Se os dados forem coletados de forma inadequada, não há técnica estatística de análise de dados que concerte o problema e todo o experimento fica comprometido.. Princípios Básicos Para que seja possível planejar de modo adequado a coleta de dados, princípios básicos do planejamento de experimentos como a réplica, a aleatorização e a formação de blocos devem ser entendidos...- Réplicas As réplicas são repetições do experimento feitas sob as mesmas condições experimentais. O termo sob as mesmas condições experimentais se refere ao fato de que os demais fatores que possam influenciar a variável resposta de interesse sejam controlados de modo a não sofrerem variações de uma experimentação para outra. m um experimento, a realização de réplicas é importante pelos seguintes motivos: As réplicas permitem a obtenção de uma estimativa da variabilidade devida ao erro experimental. A partir desta estimativa é possível avaliar se a variabilidade presente nos dados é devida somente ao erro experimental ou se existe influência das diferentes condições avaliadas pelo pesquisador. Se estas condições forem influentes, o responsável pela pesquisa poderá determinar qual é a condição mais favoravel para conduzir o experimento. Por meio da escolha adequada do número de réplicas é possível detectar, com precisão desejada, quaisquer efeitos produzidos pelas diferentes condições experimentais que sejam considerados significantes do ponto de vista prático...- Aleatorização A expressão aleatorização se refere ao fato de que tanto a alocação do material experimental às diversas condições de experimentação, quanto a ordem segundo a qual os ensaios individuais do experimento serão realizados, são determinados ao acaso. A aleatorização torna possível a plicação dos métodos estatísticos para a análise dos 3

4 dados. A maioria dos modelos subjacentes e estes métodos estatísticos exigem que os componentes do erro experimental sejam variáveis aleatórias independentes e a aleatorização geralmente torna válida esta exigência. A aleatorização permite ainda que os efeitos de fatores não-controlados, que afetam a variável resposta e que podem estar presentes durante a realização do experimento, sejam balanceados entre todas as possíveis medidas. ste balanceamento evita possíveis confundimentos na avaliação dos resultados devido à atuação destes fatores...3- Formação de Blocos m muitas situações experimentais é necessário planejar o experimento de forma que a variabilidade resultante de fatores externos conhecidos, sobre os quais não existe interesse, possa ser sistematicamente controlada e avaliada. Se estes fatores externos não forem controlados, mesmo usando a aleatorização, o erro experimental irá refletir tanto o erro aleatório inerente ao experimento, quanto a variabilidade existente em função desses fatores. Nesta situação, deve-se formar blocos para os varios fatores externos de influência, e realizar repetições completas do experimento em cada bloco, dessa forma em cada bloco poderão ser observadas as diferenças existentes devido ao fator de interesse, minimizando assim o efeito dos fatores pertubadores no resultado final do experimento. Aqui cada bloco corresponde a um corpo de prova. Note que o objetivo principal do experimento não é medir o efeito destes fatores pertubadores, mas sim avaliar com maior eficiência os efeitos dos fatores de interesse. Assim de forma genérica podemos definir que blocos são conjuntos homogêneos de unidades experimentais...4- Terminologia Básica Na terminologia básica para um planejamento de experimentos, destaca-se: Unidade experimental: É a unidade básica para a qual será feita a medida da resposta. Fatores: São as variáveis cuja influência sobre a variável resposta está sendo estudada no experimento. Niveis de um Fator: Os diferentes modos de presença de um fator no estudo considerado são denominados níveis do fator. Tratamento: As combinações específicas dos níveis de diferentes fatores são denominadas tratamentos. Quando há apenas um fator, os níveis deste fator correspondem aos tratamentos. nsaio: Cada realização do experimento em uma determinada condição de interesse(tratamento) é denominada ensaio, isto é, um ensaio corresponde a aplicação de um tratamento a uma unidade experimental. Variável Resposta: O resultado de interesse registrado após a realização de um ensaio é denominado variável resposta. 4

5 Vamos considerar um exemplo apresentado em Werkema & Aguiar (996) para ilustrar melhor os princípios básicos do planejamento de experimentos: xemplo.- Suponha que um engenheiro esteja interessado em estudar o efeito produzido por três diferentes banhos(meios) de têmpera: têmpera em água, em óleo e em solução aqüosa de cloreto de sódio (água salgada) na dureza de um determinado tipo de aço. Aqui o propósito era determinar qual banho de têmpera produziria a dureza máxima do aço. Com este objetivo ele decidiu submeter um determinado número de amostras da liga, que denominaremos corpos de prova, a cada meio de têmpera e a seguir mediu a dureza da liga. Vamos ilustrar a aplicação dos princípios do planejamento neste problema. Réplica: Neste caso uma réplica do experimento completo consiste em medir a dureza de um corpo de prova submetido à têmpera em água, de um segundo corpo de prova submetido à têmpera em óleo e de um terceiro temperado em solução de cloreto de sódio.isto é, realizar uma réplica do experimento completo significa coletar uma observação da variável resposta em cada condição experimental considerada no estudo. Portanto, se seis corpos de prova são temperados em cada banho (água, óleo e água salgada), sendo feita a seguir a medida da dureza de cada um destes corpos de prova, dizemos que foram realizadas seis réplicas do experimento(sendo realizados dessa forma 6x3=8 ensaios). Aleatorização: Neste experimento a aleatorização deve-se fazer presente pela distribuição ao acaso dos corpos de prova entre os banhos de têmpera. ste procedimento atenua por exemplo situações onde a espessura dos corpos de prova são ligeiramente diferentes, assim de todas as amostras com espessura maior foram submetidas a um mesmo banho de têmpera este provavelmente estará em situação vantajosa e os resultados do experimento estarão tendenciosos. Blocos: Supor que os corpos de prova são provenientes de corridas diferentes ( ou matérias primas diferentes), se planejarmos um experimento onde estes corpos de prova sejam distribuídos ao acaso entre os diferentes banhos de têmpera, as diferenças entre os corpos de prova irão acrescentar uma variabilidade adicional às medidas de dureza, o que poderá mascarar os efeitos devidos ao fator de interesse (banho de têmpera). Para eliminar do erro experimental a variabilidade devida ao fato de os corpos de prova terem sido produzidos em corridas diferentes, deve-se realizar o experimento da seguinte maneira: cada corpo de prova será dividido em três partes iguais, sendo cada parte submetida a um diferente banho de têmpera. Deste modo, dentro de cada terno formado pelas três partes de um mesmo corpo de prova, a influência devida às características particulares de cada corpo de prova deverá ocorrer de forma aproximadamente igual para cada um dos banhos de têmpera. Dentro da terminologia básica temos que: Unidade xperimental: Corpo de prova do aço utilizado no estudo. Fatores: Banhos de têmpera. Níveis do Fator: água, água salgada e óleo 5

6 nsaio: Cada ensaio consiste em tratar um corpo de prova em um determinado banho de têmpera. Variável Resposta: É a dureza do corpo de prova medida após a realização da têmpera...5- Roteiro para a Realização de um Bom xperimento. Para usar a abordagem estatística no planejamento e na análise de um experimento é necessário que as pessoas envolvidas na experimentação tenham, antecipadamente, uma idéia clara do que será estudado e da forma como os dados serão coletados. Também é recomendado que se tenha uma idéia qualitativa de como os dados serão analisados. Um roteiro para a realização de um bom experimento é apresentado a seguir:. Reconhecimento e relato do problema. Na prática, geralmente é difícil perceber que existe um problema que exige experimentos planejados formais, de maneira que não pode ser fácil obter-se um relato claro de problema que é aceito por todos. No entanto é de primordial importância desenvolver todas as idéias do problema e definir de forma clara os objetivos específicos do experimento.. scolha dos fatores e dos níveis. Devem ser escolhidos os fatores que devem variar, os intervalos sobre os quais esses fatores variarão e os níveis específicos nos quais cada rodada será feita. xige-se conhecimento do processo para fazer isso, esse conhecimento em geral é uma combinação de experiência prática e conhecimento teórico. É importante a investigação de todos os fatores que possam ser importantes e evitar ser excessivamente influenciado pela experiência passada. 3. scolha da variável resposta: Na escolha da variável resposta, o experimentador deve ter certeza de que aquela variável realmente fornece informação útil sobre o processo em estudo e a capacidade de medida dessa variável. Se a capacidade do medidor é baixa, então apenas grandes efeitos dos fatores serão detectados pelo experimento, ou será necessário muitas réplicas. 4. scolha do planejamento experimental. A escolha do planejamento envolve consideração sobre o tamanho da amostra(número de replicações), seleção de uma ordem adequada de rodadas para as tentativas experimentais, ou se a formação de blocos ou outras restrições de aleatorização estão envolvidas. 5. Realização do experimento. Quanto da realização do experimento, é de vital importância monitorar o processo, para garantir que tudo esteja sendo feito de acordo com o planejamento. rros no procedimento experimental nessa etapa, em geral comprometem a validade do experimento. 6. Análise dos dados. Métodos estatísticos devem ser usados para analisar os dados, de modo que os resultados e conclusões sejam objetivos e não de opinião. Se o experimento foi planejado corretamente o método estatístico para análise não será um problema. A análise de resíduos e a verificação da validade do modelo são importantes e devem ser feitas. 7. Conclusões e recomendações. Uma vez analisados os dados, o experimento deve acarretar conclusões práticas sobre os resultados e recomendar um curso de ação. Deve-se auxiliar de métodos gráficos, particularmente na apresentação dos resultados para outras pessoas. Seqüências de acompanhamento e testes de 6

7 confirmação devem ser também realizados para validar as conclusões do experimento.. xercícios do Capítulo. Planeje um experimento para comparar quatro drogas no alívio de cefaléias, supondo que você dispõe de um conjunto de pacientes similares.. Planeje um experimento para comparar três fórmulas de adubação no crescimento de Pinus, supondo que você dispõe de um terreno heterogêneo que deve ser dividido em cinco blocos e que em cada bloco podem ser alocadas nove parcelas. 3. Planeje um experimento para comparar dois testes de inteligência tomando cada criança como um bloco. 4. Planeje um experimento para comparar o desempenho(tempo de realização da tarefa) de três máquinas empacotadeiras, dispondo de 5 operadores. 7

8 Capítulo 3 - Planejamento Completamente Aleatorizado com Único Fator. Para a comparação de dois tratamentos( duas populações) vindos de populações normais, utiliza-se em o teste t-student, desde que as suposições sejam válidas. Para comparação de mais de dois tratamentos não é muito recomendado sua utilização, visto que serão necessárias várias comparações, o que acaretará um aumento no erro tipo I. ssa situação é ilutrada em Montegomer (00). O problema para a comparação de k tratamentos por meio de ensaios realizados em ordem aleatória é descrito abaixo. Consideremos que existem k diferentes níveis (tratamentos de um único fator) que queremos comparar. A resposta para cada um dos k tratamentos é uma variável aleatória. A ilustração da disposição dos dados é ilustrado na Tabela abaixo: Tabela 3.: squema da disposição de dados para xperimento Aleatorizado com Fator Único. Tratamento Observações Totais Médias n.. n.. k k k kn k. k..... Aqui ij representa a j ª - ésima observação feita sob o i ª-ésimo tratamento. Neste caso estamos considerando a situação em que há um número igual de observações, n, em cada tratamento. 3. Modelo statístico Cada observação estatístico linear, ij na Tabela 3., pode ser descrita pelo seguinte modelo ij = µ + τi + εij, (3.) com i =,,..., k e j =,,..., n. Aqui, ij : é uma v.a. denotando a (ij)ª obeservação; µ : é a média geral, comum a todos os tratamentos; 8

9 τi : é o efeito do i-ésimo tratamento; ε ij : é a componente do erro aleatório. Supondo que εij ~ N(0; σ ), ou seja, os erros são independentes e normalmente distribuidos com média zero e variância σ. Dessa forma, cada tratamento pode ser pensado como uma população normal com média µ i = µ + τ i e variância σ, ou seja, ij ~ N( µ i ; σ ). Assim, vamos apresentar o procedimento para testar a igualdade das k médias populacionais. sse modelo de análise de variância é chamado de efeitos fixos. Os efeitos dos tratamentos τ i são definidos, em geral, como desvios da média geral µ, de modo que k = τ = i i 0 Representando, i., o total das observações sob o i-ésimo tratamento e por i. a média das observações sob o i-ésimo tratamento, analogamente,.. o total geral e.. a média geral, n i. = ij i= i. i. =, i =,,..., k. n.. = k n ij i= j=.... =, N = kn Número total de observações N stamos interessados em testar a igualdade das médias µ, µ,..., µ k dos k tratamentos. Pela equação 3., este procedimento é equivalente a testar as hipóteses: H H o : τ = τ =... = τ = 0 : τ 0 para pelo menos i k um i. (3.) Dessa forma se H o é verdadeira, cada observação consiste de uma média geral µ mais uma realização da componente do erro aleatório ε ij. Assim se H o é verdadeira a mudança dos níveis do fator (tratamentos) não tem qualquer efeito sobre a resposta média. A análise de variância particiona a variabilidade total na amostra de dados em duas partes então o teste proposto em (3.) é baseado na comparação de duas estimativas independentes da variância populacional. A variabilidade total dos dados é dada a partir da soma de quadrados totais T = k n ( ij ) i= j=.. (3.3) Mas pode-se particionar T de forma que: 9

10 k n k k n ( ij.. ) = n ( i... ) + ( ij i. ) i= j= i= i= j= (3.4) Demonstração: Ver Montogomer 00. A relação em (3.4), mostra que a variabilidade total nos dados, medida pela soma de quadrados total, pode ser particionada em uma soma de quadrados das diferenças entre as médias dos tratamentos e a média geral, e na soma de quadrados das diferenças entre as observações dentro de cada tratamento e a média do respectivo tratamento. Diferenças entre médias de tratamentos observadas e a média geral quantificam diferenças entre tratamentos, enquanto diferenças das observações dentro de um tratamento e a média do tratamento podem ser devidas apenas a um erro aleatório. Dessa forma, reescrevemos (3.4) como + T = Trat, onde: T = k n ( ij ) i= j=.. : Soma dos quadrados total. Trat = n k ( i.. ) i=. : Soma dos quadrados devido aos tratamentos. = k n ( ij i ) i= j=. : Soma dos quadrados dos erros. Calculando os valores esperados de Trat e tem-se : ( ) = ( k ) σ + n τ (3.5) Trat Demonstração: Ver Montgomer (00) k i= i Sob H o verdadeira, temos que ( k ) Trat =σ Se H é verdadeira, então k n i = + = Trat σ τ i ( k ) k Trat A razão Trat = é chamada média quadrática dos tratamentos. Logo, se H o é k verdadeira, Trat é um estimador não-viciado de σ, enquanto que, se H é 0

11 verdadeira, Trat estima σ mais um termo positivo que incorpora a variação devida à diferença entre as médias dos tratamentos. Da mesma forma, tem-se que ( ) = k( n ) σ (3.6) ntão a média quadrática dos erros = é um estimador não-viciado de k ( n ) σ, independente de H o ser ou não verdadeira. Analisaremos também a partição dos graus de liberdade. T : tem N = kn graus de liberdade Trat : tem k graus de liberdade : tem k ( n ) graus de liberdade Supondo que cada uma das k populações possa ser modelada com uma distribuição normal. Com essa suposição pode-se mostrar que, sob H o, então: Se H o é verdadeira H é falsa então ( ) o Trat Trat F = k o = ~ F( k, k ( n ) ) (3.7) k( n ) Trat e são estimadores não viciados de σ, mas se será maior que ), assim sob a hipótese Trat ( alternativa, F o será grande. Dessa forma um teste de hipótese é construído. Devemos rejeitar H o se o valor da estatística é grande, isso implica em uma região crítica unilateral superior. ntão rejeita-se H o se Fo > Fα,( k ), k ( n ). No geral utiliza-se o seguinte quadro para ANOVA. Tabela 3. - Quadro da Anova Fonte de Variação G. L ntre Tratamentos k Dentro dos Tratamentos (rro) Trat k( n ) Trat F o F o = Trat Total T kn stimativas dos efeitos dos tratamentos: ˆ τ =, i =,,..., k i i...

12 3. Análise de Resíduos. O modelo matemático de um planejamento completamente aleatorizado, considera que as observações sejam distribuidas de forma normal, com mesma variância. ssas suposições podem ser verificadas através da análise de resíduos. Um resíduo é a diferença entre uma observação ij e seu valor estimado (ou ajustado) a partir do modelo estatístico que esta sendo utilizado, denotado por ŷ ij. Para o modelo específico temos que ˆij = i., com cada resíduo sendo ε ij = ij i., ou seja, a diferença entre uma observação e a média correspondente observada do tratamento. Para identificar se as suposições estão sendo violadas utilizamos básicamente três tipos de gráficos: Resíduos X Ordem de Coleta, Resíduos X Tratamentos (médias i. ) e Gráfico de probabilidade normal dos Resíduos. O gráfico de Resíduos X Ordem de Coleta busca identificar algum tipo de associação dos resíduos com a ordem de coleta das observações. A identificação de algum tipo de associação viola a suposição de indepêndencia entre os dados, portanto espera-se em uma análise de resíduos que não haja associoação entre resíduos e ordem de coleta. O gráfico deve apresentar uma configuração aleatória entre resíduos e ordem de coleta. Figura 3.: Gráfico Resíduo X Ordem Na Figura 3., tem-se uma típica configuração aleatória entre ordem X resíduos, validando a suposição de independência entre as observações. O gráfico de Resíduos X Tratamento, busca identificar algum tipo de alteração na dispersão dos resíduos para cada tratamento. Se houver dispersões muito diferentes entre tratamentos pode significar que a variação não é constante, e uma importante suposição do modelo estará violada. O gráfico deve apresentar uma configuração de dispersão semelhante para todos os tratamentos.

13 Figura 3.: Resíduo X Média dos Tratamentos Na Figura 3., verifica-se um caso típico de não violação da suposição de igualdade da variância. O gráfico de probabilidade normal dos resíduos identifica se os dados apresentam uma distribuição normal. Os resíduos plotados contra os quantils de uma distribuição normal devem ficar de forma aproximada ao longo de uma reta. Neste caso pode-se usar um teste estatístico baseado no coeficiente de correlação para identificar uma possível lineariedade. Figura 3.3: Gráfico de Probabilidade Normal para os Resíduos. m situações como na Figura 3.3, percebemos que pontos centrais estavam localizados, de forma aproximada, ao longo de uma reta, o que indica que os componentes do erro do modelo seguiam uma distribuição normal. No entanto para confirmar essa hipótese sugere-se utilizar um teste para normalidade. 3.3 Comparações Multiplas 3

14 A análise de variância nós indica que há uma diferença entre as médias, mas ela não diz qual média que difere.xistem procedimentos específicos chamados de procedimentos de comparação múltipla, para testar as diferenças entre as médias específicas seguindo uma análise de variância. Dentre os testes mais conhecidos destacamos o teste Tuke (Montgomer,00) Teste de Tuke O teste de Tuke, está baseado na amplitude total estudentizada e pode ser usado para comparar todos os pares de contrastes que envolvem diferenças de médias. O teste é exato de nível α quando o número de repetições é o mesmo para todos tratamentos e aproximado quando o número de repetições é diferente para os tratamentos. ste teste pode ainda ser usado para a construção de intervalos de confiança para a difernça entre as médias dos tratamentos. O procedimento está baseado na distribuição de amplitude total estudentizada (studentized range statistic) dada por: max min q = (3.8) n onde max e min são as maiores e menores médias amostrais respectivamente, calculadas para um grupo de p amostras. A distribuição de q α ( p, f ), com α sendo o percentil superior de pontos de q com f graus de liberdade, associado ao estimador é calculada computacionalmente. Para um número igual de repetições, o teste Tuke detecta diferenças significativas entre pares de duas médias se o valor absoluto da diferenças das médias amostrais execeder T α = q α ( k, f ) n De forma equivalente, constrói-se intervalos de 00 ( α)% de confiança para todos os pares de médias dada por: i. j. Tα µ i µ j i. j. + Tα, j i. Para tamanhos amostrais diferentes (diferente n de repetições), temos: e T α q = α ( k, f ) ni + n j i. j. Tα µ i µ j i. j. + Tα, j i respectivamente Análise statística de um Planejamento Completamente Aleatorizado com o uso do Software R. 4

15 Neste tópico vamos ilustrar a utilização do software R na análise de dados para o modelo de planejamento de experimento completamente aleatorizado Descrição do Programa O software R, que é uma linguagem e ambiente para computação estatística e gráfica de domínio público (VNABLS e SMITH, 00), atualmente muito difundido nos grandes centros. A linguagem R é derivada da linguagem do Software S-plus. Sua sintaxe é semelhante com a linguagem C, e sua estrutura é de linguagem funcional. A tela inicial do programa está ilustrada na figura abaixo: Figura 3.4 : Tela Inicial do Software R. O simbolo > indica a linha de comando ( prompt ) na qual serão digitados os comandos para a execusão das análises. O R tem um sistema de ajuda on-line que permite que a documentação seja exibida em um browser (explorer,mozilla,ou similar). Para iniciar este sistema on-line clique em help depois html help. Para uma consulta rápida, quando já se sabe o nome da função, basta digitar help(nome_da_função). Para conhecer ou lembrar os parâmetros ou argumentos da função utilize o comando args(nome_da_função). 5

16 Quando se quer listar todas as funções que possuem um determinado termo utiliza-se o comando apropos(termo). Por xemplo: > apropos(vector) [] ". C vector" "as.data.frame.vector" "as.vector" [4] "as.vector.factor" "is.vector" "vector" Por ser gratuito, o R não possui suporte oficial. xiste uma lista de discussão através do endereço que se tem mostrado um suporte interativo bastante eficiente Aplicação do Software R na analise de dados para o planejamento de experimentos completamente aleatorizado com único fator. Para ilustrarmos a aplicação desse modelo, utilizamos o problema proposto em Werkema & Aguiar (996) descrito abaixo: Os técnicos de uma indústria metalúrgica, desejam avaliar a dureza de peças de aço após diferentes banhos de têmpera. O experimento consistiu em submeter nove peças de aço a cada tipo de banho de têmpera (água, óleo A e óleo B), a seguir medir a dureza no centro das peças temperadas e comparar as durezas médias obtidas, com o objetivo de identificar o meio de têmpera mais adequado. ste é um exemplo de um experimento com um único fator (banho de têmpera) com k = 3 níveis (água, óleo A e óleo B) e n = 9 réplicas. Neste experimento, os 7 ensaios ou testes foram realizados em ordem aleatória. Na Tabela 9, apresenta-se os resultados do experimento. Tabela 3.3 : Dados do experimento com a ordem dos ensaios. Ordem Água Ordem Óleo A Ordem Óleo B 4 36, ,3 38,9 6 36, ,7 9 35,3 5 34,3 38,8 3 36,8 7 35,7 37,6 36,9 0 35, 8 37, 8 37,5 3 34, 3 38,8 35,3 5 36, ,8 7 37, 9 35,7 7 35,5 Neste caso a matriz de planejamento de experimento pode ser montada com a seguinte seqüência de comandos para entrar com os dados do experimento: Montando as colunas resposta e ordem: ><- scan() : Depois do comando o próximo passo é digitar os valores da resposta seguidos de enter e para encerrar digite enter duas vezes. >or<- scan() : Depois do comando o próximo passo é entrar com os dados da ordem do ensaio da mesma forma anterior. 6

17 Montando a variável tratamento: >x<-rep(:3,each=9) : no caso temos 3 tratamentos com 9 repetições, ou, >x<-factor(rep(:3,each=9),labels=c("agua","oleoa","oleob")) Montando o data.frame ( matriz de dados e fatores) bt<-data.frame(resp=, ordem=or, trat=x) Assim, a matriz de planejamento terá a seguinte forma: resp ordem trat agua 38.9 agua * * * oleob oleob Para a análise descritiva o primeiro passo é indicar o caminho das variáveis no data.frame, isso é feito com o comando attach(bt). O comando tappl, possibilita a manipulação de dados no data.frame. Para um resumo descritivo usamos a seqüência: tappl(resp,trat,summar) $água Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $óleoa Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $óleob Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max O comando resultou em um resumo descritivo das respostas por tratamento. Uma inspeção gráfica pode ser obtida pelo Gráfico de Box-Cox. >plot(resp~trat,xlab="banho de Têmpera",lab="Dureza", col ="red") 7

18 Figura 3.5: Box-Plot para os Valores de Dureza Obtidos em cada Banho de Têmpera. Pela Figura 3.5 e medidas descritivas acima, pode-se observar que parece haver uma diferença entre os banhos de óleo e o de água, sendo que a maior dureza média foi observada no banho de água. O problema agora é verificar se essas diferenças de fato são significativas ou podem ser de origem aleatória. Para constatarmos se de fato as diferenças são significativas utilizaremos à análise de variância. Para a Análise de Variância temos a seguinte seqüência de comandos: aov(formula, data = NULL, projections = FALS, qr = TRU, contrasts = NULL,...) ste comando efetua e guarda todos os resultados da ANOVA do modelo (formula) av<-aov(resp~trat) : O comando names(av) lista todos os vetores de resultados gerados pela ANOVA como por exemplo o vetor de resíduos. > names(av) [] "coefficients" "residuals" "effects" "rank" "fitted.values" "assign" "qr" [8] "df.residual" "contrasts" "xlevels" "call" "terms" "model" Para utilizar esses vetores deve-se referenciar como por exemplo av$res ou av$fitt, aqui será listado o vetor de resíduos e o vetor de valores ajustados pelo modelo proposto. Agora utiliza-se o comando summar(av) ou anova(av), que geram a Tabela da ANOVA abaixo: Analsis of Variance Table Response: resp Df SumSq Mean Sq F value Pr(>F) trat e-07 *** Residuals

19 --- Signif. codes: 0 `***' 0.00 `**' 0.0 `*' 0.05 `.' 0. ` ' Assim, como F o = é um valor bem maior que, temos evidências significativas para concluir que pelo menos um tratamento difere dos demais. ssa evidência é mais facilmente verificado pelo p-value que neste caso é dado por Pr(>F)=4.73e-07, ou seja, a diferença é significativa a um nível de abaixo de Dessa forma verifica-se que as médias diferem, isto é, que o tipo de banho utilizado afeta a dureza das peças temperadas. Detectado a diferença entre tratamentos o próximo passo e identificar de fato qual dos tratamentos esta diferindo do outro. Nesta etapa vamos utilizar o teste de Tuke. O comando para o teste de Tuke é: >TukeHSD(av) Tuke multiple comparisons of means 95% famil-wise confidence level Fit: aov(formula = resp ~ trat) $trat diff lwr upr oleoa-agua oleob-agua oleob-oleoa Percebe-se, através do teste paras diferenças entre tratamentos e o intervalo de confiança para as diferenças, que todos os tratamentos são diferentes entre si e a ordem é dada por: Água > Óleo A > Óleo B 9

20 Figura 3.6: Comparações Múltiplas. O resultado pode ser melhor ilustrado pela Figura 3.6, que é gerado através do comado: > plot(tukehsd(av)) O modelo de análise de variância assume que as observações são independentes, com distribuição normal de mesma variância em cada tratamento. Dessa forma devemos analisar o comportamento dos resíduos através dos seguintes gráficos: Gráfico de resíduos contra ordem de coleta das observações (tempo) Gráfico de resíduos contra Valores Ajustados Gráfico de probabilidade normal. Para o Gráfico de resíduos contra ordem de coleta das observações (tempo), utiliza-se o comando: >plot (ordem,av$res,xlab="ordem",lab="resíduos",col="red") Aqui ordem é o vetor associado a ordem de realização do experimento, av$res é o vetor relacionado com os resíduos gerados pelo modelo, xlab é o nome da coordenada x, lab é o nome da coordenada e col é a cor desejada. Da mesma forma para Resíduos X Valores Ajustados temos: Figura 3.7 Gráficos: Resíduos X Ordem e Resíduos X Valores Ajustados >plot(av$fit,av$res, xlab="valores Ajustados",lab="Resíduos",col="blue") Para o Gráfico Normal tem-se a seqüência de comando: >qqnorm(av$res,xlab="quantil da Normal",lab="Resíduos") 0

21 ste comando plot os quantis da distribuição normal contra os valores dos resíduos ordenados >qqline(av.$res) ste comando ajusta a reta entre os pontos. Neste caso espera-se que os dados se alinhem em torno da reta ajustada. Figura 3.8 Gráfico Normal de Probabilidade dos Resíduos Considerando o gráfico dos Resíduos X ordem, não se identifica nenhum relação existente, validando dessa forma a suposição de independência entre os resíduos. Para o gráfico de resíduos X valores ajustados (médias) a suposição testada era a de variação igual para ambos os tratamentos, neste caso também parece não haver ocorrido violação da suposição. No gráfico normal de probabilidade (QQ-Plot) os dados também parecem não terem violado de forma comprometedora a suposição de normalidade. Abaixo apresenta-se os testes de Bartlett para homogeneidade de variâncias nos tratamentos e Shapiro-Wilk para normalidade dos resíduos. O Teste de Bartlett é usado através do comando: >bartlett.test(av$res,trat) Bartlett test of homogeneit of variances data: resp and trat Bartlett's K-squared = 0.99, df =, p-value =

22 Como visto não se rejeita a hipótese de igualdade de variâncias, portanto essa suposição não foi violada. O teste de normalidade de Shapiro-Wilk é usado através do comando: >shapiro.test(av$res) Shapiro-Wilk normalit test data: av$res W = 0.963, p-value = Da mesma forma, não se rejeita a hipótese de normalidade dos resíduos, portanto a suposição de normalidade não foi violada. Conclusão Final: Todos os tratamentos (água, óleo A e óleo B) diferem entre si. A ordem da durabilidade para o tipo de tratamento é: Água > Óleo A > Óleo B. O modelo utilizado para a análise foi adequado, não violando nenhuma suposição inicial xercícios do Capítulo. Considere um experimento para determinar o efeito da vazão de C F 6 sobre a uniformidade do ataque químico em uma pastilha de silicone usada na fabricação de um circuito integrado. Três vazões são usadas no experimento e a uniformidade (%) resultante, para seis replicatas, é mostrado a seguir. Faça um estudo descritivo, visando comparar os níveis do fator (tabela decritiva e Box-Plot). Faça um análise de variância completa usando α = 0. e verifique quais as vazões de gás que produzem diferentes uniformidades médias de ataque químico.. Um experimento foi feito para determinar se quatro temperaturas específicas de queima afetam a densidade de um certo tipo de tijolo. O experimento conduziu aos seguintes dados.

23 Faça um estudo descritivo, visando comparar os níveis do fator (tabela decritiva e Box-Plot). Faça um análise de variância completa usando α = e verifique quais níveis de temperatura que produzem diferentes densidades nos tijolos. 3. A resistência à compressão do concreto está sendo estudada e quatro técnicas diferentes de mistura estão sendo investigadas. Os seguintes dados foram coletados. Faça um estudo descritivo, visando comparar os níveis do fator (tabela decritiva e Box-Plot). Faça um análise de variância completa usando α = e verifique se as misturas afetam a resistência do concreto. 4. Um engenheiro eletrônico está interessado no efeito, na condutividade do tubo, de cinco tipos diferentes de recobrimento de tubos de raios catódicos em uma tela de um sistema de telecomunicações. Os seguintes dados de condutividade são obtidos. Se α = 0. 05, você pode isolar qualquer diferença na condutividade média devido ao tipo de recobrimento? Capítulo 4- Planejamento de xperimentos em Blocos Completamente Aleatorizados. 4. Introdução 3

24 m muitas situações experimentais, a presença de fontes externas perturbadoras conhecidas pode provocar variabilidade extra e alterar os efeitos dos fatores de interesse, confundindo dessa forma a análise final do planejamento experimental. Os planejamentos de experimentos com blocos completamente aleatorizados são planejamentos experimentais nos quais parte dessa variabilidade devida a fatores externos conhecidos é controlada. Um exemplo desse estudo pode ser ilustrado em uma situação onde se deseja testar a eficiência de diferentes processos de produção para a mesma finalidade sabendo que a matéria-prima, que é vinda de diferentes fornecedores pode influenciar no resultado. Aqui não se tem interesse em testar a matéria prima e sim os processos, no entanto a matéria-prima que não vem de forma padronizada pode confundir o desempenho dos processos. Nesta situação, os diferentes lotes de matéria-prima devem ser tratados como blocos. Dentro do bloco devem ser realizados todos os ensaios correspondentes aos possíveis tratamentos (ou níveis do fator de interesse). Ainda dentro do bloco, a associação dos tratamentos ás unidades experimentais e a ordem de realização dos ensaios devem ser determinadas ao acaso. 4. Formulação Teórica Para este modelo, vamos considerar em geral, que existem k tratamentos que serão avaliados em b blocos. A disposição dos dados é ilustrada na Tabela abaixo: Blocos Trat... b Totais... b.... b. k k k... kb k. Totais b.. Nesta situação será coletada apenas uma observação para cada tratamento (nível do fator), em cada bloco. A maneira como os tratamentos serão alocados às unidades experimentais e a ordem de realização dos ensaios, dentro de cada bloco, serão determinadas de modo aleatório. m função da primeira aleatorização dos tratamentos com os blocos, dizemos que os blocos representam uma restrição a aleatorização. O modelo estatístico para esse experimento é onde ij = µ + τi + β j + εij, i =,,, k e j =,,, b. (4.) ij : observações coletadas sob o i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco. µ : média geral. 4

25 τ i : efeito do i-ésimo tratamento. β j : efeito do j-ésimo bloco. ε ij : erro aleatório associado à observação ij. Aqui será feita a suposição de que os erros aleatórios são independentes e distribuídos de forma normal com média zero e variância σ, ou seja, εij ~ N(0, σ ). Os tratamentos e blocos serão considerados, inicialmente, como fatores fixos. Temos ainda que os efeitos dos tratamentos e dos blocos são definidos como k desvios da média global, de modo que = τ = 0 e = β = 0. Considerando também que os tratamentos e os blocos não interagem. i i b j j é: Assim, estamos interessados em testar a igualdade dos efeitos do tratamento. Isto H H 0 : τ = τ = 0 : τ 0, para no mínimo i = = τ k um i (4.) Dessa forma a análise de variância pode ser estendida ao planejamento em blocos completamente aleatorizados. O procedimento usa a soma de quadrados total, T, que representa uma partição da variabilidade total das observações em relação à variabilidade explicada pelo tratamento, pelos blocos e pelo acaso. T = k b k b k b ( ij ) = b ( i... ) + k (. j.. ) +.. ( ij. j i. +.. ) i= j= i= j= i= j= (4.3) Aqui: i. : soma da observações no i-ésimo tratamento. j : soma da observações no j-ésimo bloco.. : soma total i. : média das observações no i-ésimo tratamento. j : média das observações no j-ésimo bloco.. : média geral de todas as observações. N = kb : Total de observações. A demonstração da partição de T pode ser vista em Montegomer, 00. A identidade da soma quadrática pode ser representada simbolicamente por onde, T + = Trat + Bloco (4.4) T = Trat k b i= j= = b k i= ( ij.. ) : Soma de quadrados total. ( i... ) : Soma de quadrados devido aos tratamentos. 5

26 b Blo cos = k. j.. ) j= = k b i= j= ( : Soma de quadrados devido aos blocos. ( ij. j i. +.. ) : Soma do quadrado dos resíduos. O desmembramento do grau de liberdade correspondente a essas somas quadráticas é dado da seguinte forma. Para N observações, T terá N graus de liberdade, para k tratamentos e b blocos, Trat e Blo cos terão k e b graus de liberdade respectivamente. Para temos ( k )( b ) graus de liberdade por subtração. A idéia do teste é a mesma do planejamento completamente aleatorizado, procurando trabalhar com os quadrados médios. Para este modelo os quadrados médios são: Trat Trat = : Quadrado Médio dos Tratamentos k Blo cos Blo = b cos : Quadrado Médio dos Blocos. = : Quadrado Médio dos Resíduos. ( k )( b ) Pode ser demonstrado (ver Montgomer, 00) que os valores esperados dessas médias quadráticas são: ( ) Trat ( ) Blo cos = σ = σ + k b τ i= + k k ( ) = σ b j= i β b j (4.7) (4.5) (4.6) Dessa forma, se a hipótese nula H 0 for verdadeira de modo que todos os efeitos do tratamento τ i = 0, então Trat será um estimador não tendencioso de σ, enquanto se H o for falsa, estimará σ mais um termo quadrático positivo. O quadrado médio dos resíduos será sempre um estimador não tendencioso de σ. Dessa forma para testar a hipótese nula de que os efeitos dos tratamentos sejam iguais a zero, utilizamos a estatística F = 0 Trat que, sob H o, terá uma distribuição F, com ( k ), ( k )( b ) graus de liberdade. Assim, rejeita-se a hipótese nula H o, com um nível de significância α, se 6

27 F o = F, b α [( k ),( k )( ) ] O quadro da ANOVA será dado por: Tabela 4. Quadro da Anova Fonte de GL Fo Variação Tratamentos Trat k Trat Blocos Blo cos b Blo cos Blo rros ( k )( b ) Total T N = kb Trat cos A estatística F Blo cos =, aparece como teste para o efeito dos blocos. A validade dessa razão como uma estatística de teste para a hipótese nula de nenhum efeito do bloco é duvidosa, uma vez que os blocos representam uma restrição à aleatoriedade, ou seja, usamos a aleatoridade apenas dentro dos blocos. Podemos considerar, se os blocos forem realizados em uma ordem aleatória, que um valor grande para F dá indicativos para efeitos significativos dos blocos, mas não podemos afirmar esses resultados como para o teste do efeito dos tratamentos. 4.3-Análise de Resíduos (Verificação da Adequação do Modelo) Da mesma forma, no caso dos planejamentos em blocos completamente aleatorizados deve ser verificada a validade das suposições de normalidade dos erros, igualdade de variância das observações nos tratamentos, nos blocos e ausência da interação tratamento-bloco. A análise de resíduo é a principal ferramenta utilizada para esta verificação. Para os planejamentos em blocos completamente aleatorizados os resíduos são definidos por ε ˆ ij = ij ij = ij i.. j +.. (4.8) As verificações serão feitas por meio do estudo dos gráficos de resíduos como: Gráficos de resíduos X Valores Ajustados; Gráficos de Resíduos x Tratamentos; Resíduos x Blocos e Gráfico de probabilidade Normal. Aqui pode-se também usar o teste de Barllets para testar a igualdade de variâncias e o teste de ShapiroWilk para Normalidade dos resíduos Comparações Múltiplas. Da mesma forma pode-se utilizar o teste de Tuke, considerando agora uma pequena alteração no grau de liberdade do, que agora possui ( k )( b ) graus de liberdade e substituir o número n de réplicas pelo número de blocos b. 7

28 4.5 Aplicação do Software R na analise de dados para o planejamento de experimento aleatorizado em blocos completos. Para ilustrarmos a aplicação desse modelo, utilizamos outro problema proposto em Werkema & Aguiar, (996) descrito abaixo: Com o objetivo de reduzir o tempo de reação de um processo químico, uma indústria resolve realizar um experimento com quatro tipos de catalisadores (A,B,C e D). No entanto os técnicos perceberam que a matéria-prima utilizada na reação não era totalmente homogênea e representava uma fonte de variabilidade que afetava o desempenho do processo. Uma maneira de contornar este problema consistia em selecionar vários lotes de matéria-prima e comparar os quatro catalisadores nas condições relativamente homogêneas dentro de cada lote. Dessa forma, a equipe decidiu usar cinco lotes disponíveis no estoque da industria e para cada lote extrair quatro porções de matéria-prima, de modo que cada porção fosse suficiente para fabricar uma batelada de produto, e alocar aleatoriamente a cada uma destas porções um dos catalisadores considerados no estudo. stabeleceu-se a aleatorização da ordem de realização dos ensaios. Neste caso, cada ensaio corresponde à produção de uma batelada da substância química utilizando uma das combinações porção de matériaprima/catalisador. Portanto estamos diante de um experimento aleatorizado em blocos completos. Cada bloco corresponde a um lote de matéria prima e os tratamentos ou níveis do fator correspondem aos tipos de catalisador. Dentro de um bloco, a associação dos tratamentos às unidades experimentais e a ordem de realização dos ensaios são determinadas ao acaso. Os dados desse experimento estão ilustrados abaixo: Tabela 4.: Dados do experimento com Catalisadores Lotes Catalisador A B C D ntrada de dados e análise descritiva usando o Software R. Aqui a matriz de planejamento será montada da seguinte forma: Repostas: <- scan() : Depois do comando o próximo passo é entrar com os dados da resposta. Montando a variável Bloco e Tratamento: b<-rep(:5,each=4) : no caso temos 5 blocos com 4 repetições. tr<-rep(:5,4) : no caso temos 4 tratamentos com 5 repetições. 8

29 Uma opção mais completa pode ser definida por: b<-factor(rep(:5,each=4),labels=c("lote","lote","lote3","lote4","lote5")) tr<- factor(rep(:4,5),labels=c("a","b","c","d")) Montando o Data.frame decab<-data.frame(resp=,trat=tr,bloco=b) > decab resp trat bloco 4 A Lote 43 B Lote * * * 9 38 C Lote D Lote5 Da mesma forma utilizando o comando attach() e tappl(), a um resumo descritivo considerando os fatores. attach(decab) > tappl(resp,trat,summar) $A Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $B Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $C Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $D Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max > tappl(resp,bloco,summar) $Lote Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $Lote Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $Lote3 Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $Lote4 Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 9

30 $Lote5 Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Uma inspeção gráfica, pode ser obtida pelos comandos: par(mfrow=c(,)) plot(trat,resp,xlab="tratamento",lab="respostas") plot(bloco,resp,xlab="bloco",lab="respostas") Figura 4.: Box-Plot para os tempos de reação segundo tratamento (catalisador) e bloco (lotes de matéria-prima). Pela Figura 4. e medidas descritivas acima, pode-se observar que parece haver uma diferença entre os tempos, sendo que o menor tempo de reação parece estar associado ao catalisador A. > coplot(resp~trat bloco,panel=panel.smooth,rows=,xlab=c("medidas por Catalisador", paste("bloco")),lab="tempo de Reação") 30

31 O problema agora é verificar se essas diferenças de fato são significativas ou podem ser de origem aleatória. Para constatarmos se de fato as diferenças são significativas utilizaremos à análise de variância. > eb.av<-aov(resp~trat+bloco) > anova(eb.av) Analsis of Variance Table Response: resp Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat *** bloco e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' 0. ' ' 3

32 Pelo quadro da anova acima, verifica-se que existe diferença entre tratamentos, com relação aos blocos tem-se uma indicação de que apresentaram efeito significativo, sendo dessa forma seu uso indispensável neste experimento. Detectado a diferença entre tratamentos o próximo passo e identificar de fato qual dos tratamentos esta diferindo do outro. Nesta etapa vamos utilizar o teste de Tuke. Comando: >TukeHSD(eb.av) Tuke multiple comparisons of means 95% famil-wise confidence level Fit: aov(formula = resp ~ trat + bloco) $trat diff lwr upr B-A C-A D-A C-B D-B D-C $bloco diff lwr upr Lote-Lote Lote3-Lote Lote4-Lote Lote5-Lote Lote3-Lote Lote4-Lote Lote5-Lote Lote4-Lote Lote5-Lote Lote5-Lote Percebe-se, através do teste paras diferenças entre tratamentos e o intervalo de confiança para as diferenças, que o catalisador A proporciona menor tempo de reação comparado com todos os tratamentos. Para este modelo devem-se construir os gráficos de resíduos contra valores ajustados; gráfico de resíduos contra tratamentos; gráfico de resíduos contra blocos e gráfico de 3

33 probabilidade normal. Da mesma forma, podem-se utilizar alguns testes para verificar as hipóteses de variância constante e normalidade dos dados. Na Figura abaixo contém os gráficos descritos acima, para a análise de resíduos. Figura 4.: Gráficos para Análise de Resíduo do modelo de planejamento de experimentos em blocos completos. A seqüência dos comandos para a análise de resíduos da Figura 4., é descrita abaixo: > par(mfrow=c(,)) > plot(eb.av$fit,eb.av$res,xlab="valores Ajustados",lab="Resíduos",col="blue") > plot(trat,eb.av$res,xlab="tratamentos",lab="resíduos",col="blue") > plot(bloco,eb.av$res,xlab="blocos",lab="resíduos",col="blue") > qqnorm(eb.av$res,xlab="quantil da Normal",lab="Resíduos",col="blue") > qqline(eb.av$res) Pela Figura 4., parece não existir nenhuma violação grave na suposição do modelo. Aplicando os testes de normalidade e homogeneidade de variâncias tem-se os seguintes resultados: Para o teste da Normalidade dos Resíduos temos: > shapiro.test(eb.av$res) Shapiro-Wilk normalit test 33

34 data: eb.av$res W = 0.97, p-value = Para testar a homogeneidade das variâncias temos: > bartlett.test(eb.av$res,trat) Bartlett test of homogeneit of variances data: eb.av$res and trat Bartlett's K-squared = , df = 3, p-value = >bartlett.test(eb.av$res,bloco) Bartlett test of homogeneit of variances data: eb.av$res and bloco Bartlett's K-squared = 0.59, df = 4, p-value = Como a suposições de normalidade e nem de variância constante foram rejeitadas, pode-se considerar o modelo como válido e a análise encerrada Conclusões Finais xiste diferença entre o tempo médio de reação entre os tratamentos, sendo que o Catalisador A apresenta menor tempo de reação. O modelo utilizado na análise se mostrou apropriado, sem apresentar violações. Dessa forma recomenda-se a utilização do Catalisador A na produção, pois irá aumentar a produtividade do processo xercícios do Capítulo - Um experimento foi conduzido a fim de investigar o escapamento de corrente elétrica em um aparelho SOS MOSFTS. A finalidade do experimento foi investigar como o escapamento de corrente varia com o comprimento do canal. Quatro comprimentos diferentes foram selecionados. Para cada comprimento do canal, cinco larguras diferentes foram também usadas. A largura deve ser considerada como fator pertubador. is os dados. Largura Comprimento do Canal ,7 0,8 0,8 0,9 0,8 0,8 0,9 0,9 3 0,9,7 4 4, No artigo intitulado O efeito do projeto do bocal na estabilidade e desempenho de jatos turbulentos de água, na revista Fire Safet Journal,Vol.4,agosto de 98,C.Theobald descreve um experimento em que uma medida da forma foi Velocidade do Jato de Saída (m/s) Tipo de Bocal,73 4,37 6,59 0,43 3,46 8,74 0,78 0,8 0,8 0,75 0,77 0,78 0,85 0,85 0,9 0,86 0,8 0,83 3 0,93 0,9 0,95 0,89 0,89 0,83 4,4 0,97 0,98 0,88 0,86 0,83 5 0,97 0,86 0,78 0,76 0,76 0,75 34

35 determinada para vários tipos diferentes de bocais, com níveis diferentes de velocidade do jato de saída. O interesse nesse experimento está principalmente no tipo de bocal, sendo a velocidade um fator que provoca distúrbio. Os dados são apresentados a seguir. O tipo de bocal afeta a medida da forma? Compare os bocais, usando os diagramas de caixa e a análise de variância. Compare as diferenças entre os bocais utilizando o gráfico box-plot. Faça a análise de resíduos para o modelo. 3- Um experimento foi realizado para determinar o efeito de quatro tipos diferentes de ponteiras em um teste de dureza de uma liga metálica. Quatro corpos de prova da liga foram obtidos e cada ponteira foi testada uma vez em cada corpo de prova, produzindo os seguintes dados: Corpo de Prova Tipo de Ponteira 3 4 9,3 9,4 9,6 0 9,4 9,3 9,8 9,9 3 9, 9,4 9,5 9,7 4 9,7 9,6 0 0, Faça uma análise de variância completa para checar se existe diferença nas medidas de dureza entre as ponteiras. Capítulo 5 Planejamentos Fatorias m muitas situações práticas podemos ter interesse em estudar o efeito de dois ou mais fatores, nestas situações um experimento fatorial deve ser utilizado. Nos experimentos fatorias, os fatores variam de forma simultânea, especificamente, queremos dizer que em cada tentativa completa ou replicação do experimento, são investigadas todas as combinações dos níveis dos fatores. Por exemplo, se há dois fatores A e B, com a níveis para o fator A e b níveis para o fator B, então cada replicação contém todas as ab combinações possíveis. O efeito de um fator é definido como a mudança na resposta produzida por uma mudança no nível do fator. Isso é chamado efeito principal, porque se refere aos fatores principais no estudo. Se a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis dos outros fatores, então esse efeito é chamado de interação. Abaixo apresentamos 5 0 exemplos gráficos de planejamentos 5 B(+) com dois fatores com e sem interação. B(+) 5 B(-) 0 B(-) Fator A Fator A 35

36 Figura 5.: Sem Interação Figura 5.: Presença de Interação 5.- Planejamento Fatorial com dois fatores. Vamos considerar neste caso o planejamento com dois fatores. Aqui consideramos A e B, com a e b níveis respectivamente. Se o experimento é replicado n vezes, a disposição dos dados pode ser ilustrada na tabela abaixo: Tabela 5.: Disposição dos dados para um experimento fatorial com dois fatores Fator B Fator A b,,,, b,..., n..., n..., bn,,,, b,...,...,..., n n a, a, a, a, ab, ab, a...,...,..., an an m geral, a observação na ij-ésima cela na k-ésima repetição é ijk. Aqui, na coleta de dados, as abn observações devem ser feitas em ordem aleatória. O planejamento fatorial com dois fatores é um planejamento completamente aleatorizado. Vamos supor, inicialmente, que ambos os fatores tenham efeitos fixos. O modelo matemático para observações de um experimento fatorial com dois fatores é dado por bn abn b b,, ijk = µ + τ + β + ) + i j ( τ β ij εijk ; i =,,..., a j =,,..., b k =,,..., n (5.) onde: µ : é o efeito médio geral τ i : é o efeito do i-ésimo nível do fator A. 36

37 β j : é o efeito do j-ésimo nível do fator B. ) ij (τβ : é o efeito da interação entre A e B. ε : é o erro aleatório. Da mesma forma, vamos considerar que ε ~ N(0; σ ). ijk ijk Ambos os fatores são considerados fixos, e o efeito dos tratamentos são definidos como desvios da média geral, dessa forma = τ = 0 e = β = 0. a i Similarmente os efeitos da interação são considerados fixos e são definidos de forma a b que ( τ = = = i iβ j ) ( τ j= iβ j ) 0. Como existirão n réplicas no experimento, temse um total de abn observações. i No experimento fatorial com dois fatores, tem-se interesse em testar o efeito dos dois fatores. specificamente, estamos interessados em testes de hipóteses sobre a igualdade do efeito do tratamento das linhas (Fator A) b j j H H 0 : τ = τ =... = τ = 0 : τ 0, para pelo menos i a um i (5.) a igualdade de efeito do tratamento das colunas (Fator B). H H 0 : β = β =... = β = 0 : β 0; para pelo menos j b um j. (5.3) Também, tem-se interesse em se testar o efeito da interação entre linhas e colunas, ou seja, H H 0 : ( τβ) : ( τβ) ij ij = 0, para 0, para todo pelo i, j. menos um para ( i, j). (5.4) 5..- Análise statística para o modelo de efeitos fixos. Sejam i.. o total das observações no i-ésimo nível do fator A,. j. o total das observações no j-ésimo nível do fator B, ij. o total das observações na ij-ésima cela da Tabela, e i..,. j., ij. e... como as correspondentes médias de linha, coluna, cela e total. Isto é, n k i = b.. j= = ijk i.. i.. = ; i =,,..., a bn. j. = a n i= k = ijk. j.. j. = ; j =,,..., b an 37

38 n = k = ij. ijk ij. ij. = ; n i = j =,,.. a.,,,.. b.,... b n j k = a i= = = ijk... =... abn A análise de variância decompõe a soma de quadrados total T = a b n i= j= k= ( (5.5) ijk... ) Da seguinte forma: a b n a b... (. j.... ) i= j= k = i= j= ( ijk ) = bn ( i..... ) + an + n + a b i= j= a b i= j= k= ( ij. i... j ) n ( ijk ij.). Ou, simbolicamente, = (5.6) T A B AB A decomposição dos graus de liberdade é ilustrada na tabela abaixo: Tabela 5. Decomposição dos graus de liberdade. feito Graus de Liberdade A a B b Interação AB ( a )( b ) rro ab ( n ) Total abn 38

39 Cada soma de quadrados dividido pelos respectivos graus de liberdade formam os quadrados médios. Assim A A = : Quadrado médio do tratamento A. a B B = : Quadrado médio do tratamento B. b AB AB = : Quadrado médio da Interação. ( a )( b ) = : Quadrado médio dos rros. ab ( n ) Os valores esperados dos quadrados médios são: ( ( ( AB B A bn ) = = + = τ A i i σ (5.7) a a an β B j j ) = = σ + (5.8) b b a b = a n ( ) = τ β i j ij AB ) = = σ + (5.9) ( a )( b ) ( a= )( b ) b ( ) = = σ (5.0) ab( n ) Note que se as hipóteses nulas sobre o efeito das linhas A, efeitos das colunas B e da interação AB são verdadeiras então A, B, AB e são todos estimativas de σ. Dessa forma, se existe diferenças entre os efeitos dos tratamentos em A, então A será maior que. Similarmente, se existe diferenças nos efeitos dos tratamentos em B, ou na interação AB, então a correspondente média quadrática será maior que. Portanto o teste de significância de ambos os efeitos e interações, é simplesmente usar a razão entre as médias quadráticas e o quadrado médio dos resíduos. 39

40 Se for assumido que o modelo da equação 5. é adequado e que os ε ij k são independentes e identicamente distribuídos de forma normal com variância constante A B AB σ, então cada razão de quadrados médios, e é distribuído como uma F com ( a ), ( b ) e ( a )( b ) graus de liberdade do numerador respectivamente e ab ( n ) graus de liberdade do denominador. A região critica para um teste com nível de significânciaα, será valores da razão de quadrados que exceder o quantil da F com um nível α e respectivos graus de liberdade. O procedimento é resumido na tabela de Análise de Variância abaixo: Tabela 5.3 Quadro da ANOVA Fonte de Variação A B Interação rro Total Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio A a A = A a B b B = B b ( a AB )( b ) AB = AB ( a )( b ) ab ( n ) = ab ( n ) abn T F 0 A B AB 5..- Análise de Resíduo para o Modelo Fatorial com fatores fixos. Do mesmo modo que nos experimentos com um fator, discutidos anteriormente, os resíduos de um experimento fatorial desempenham papel importante na garantia de adequação do modelo. Os resíduos de um experimento fatorial de dois fatores são ε ˆ ijk = ijk ijk = ijk ij. (5.) Isto é, os resíduos são, simplesmente, a diferença entre as observações e as médias das celas correspondentes (ver Montgomer, 00). Da mesma forma a utilização de gráficos e testes para checar a adequação das suposições serão de grande importância. Para o modelo fatorial de dois fatores A e B, destacamos os seguintes gráficos e testes.. Gráfico da probabilidade normal. Usado com os resíduos, checa se os mesmos seguem uma distribuição normal. Aqui também utiliza-se o teste de normalidade como por exemplo Shapiro-Wilk. 40

41 . Gráfico de resíduos X níveis do fator A. Checa a homogeneidade da variância nos níveis de A. 3. Gráfico de resíduos X níveis do fator B. Checa a homogeneidade da variância nos níveis de B. 4. Gráfico de resíduos X valores preditos ŷ ijk. Checa a homogeneidade da variância de forma geral. Para testar a homogeneidade da variância pode-se usar o teste de Barte. 5. Gráfico de resíduos X Ordem de coleta. Checa a suposição de independência entre as observações. Se forem observadas evidências de fortes violações na suposição do modelo, esse deve ser invalidado ou deve-se proceder a transformações dos dados originais (ver Montgomer, 00) Comparações Múltiplas Identificado o efeito significativo nos níveis dos fatores, deve-se utilizar um teste de comparações múltiplas, para a identificação das diferenças específicas. Novamente será utilizado nesta fase o teste de comparações múltiplas de Tuke. Vale ressaltar que quando a interação é significativa, a comparação entre médias de um mesmo fator pode ser mascarada pelo efeito da interação. Uma alternativa para essa situação é por exemplo fixar o fator B em um nível específico e aplicar o teste Tuke para as médias do fator A neste nível fixado. 5.- O Modelo de Planejamento Fatorial Geral Os resultados do experimento fatorial com dois fatores podem ser facilmente estendidos para o caso geral onde existem a níveis do fator A, b níveis do fator B, c níveis do fator C, e assim por diante. No geral, existirão abc... n observações totais para n réplicas completas do experimento. Aqui, deve-se ter no mínimo duas réplicas ( n ) para determinar as somas de quadrados envolvidas no modelo. Se todos os fatores no experimento são fixos, pode-se facilmente formular e testar hipóteses sobre os efeitos principais e interações. Neste caso, testes estatísticos para cada efeito principal e interação podem ser construídos pela divisão da correspondente média de quadrados dos efeitos ou interação pela média quadrática dos erros. Todos são testes F, unilaterais a direita. O número de graus de liberdade para os efeitos principais é o número de níveis do fator menos um e o número de graus de liberdade para interação é o produto do número de graus de liberdade associado com os componentes individuais da interação. Por exemplo, considerando o modelo com três fatores temos: 4

42 ijkl (5.) = µ + τ + β + γ + ) + i j k ( τ β) ij + ( τ ) γ ik + ( β γ) jk + ( τ β γijk εijkl, com i =,,..., a j =,,..., b k =,,..., c l =,,..., n Assumindo que A,B e C são fixados, a tabela resumo da análise de variância, incluindo a esperança dos quadrados médios é dada abaixo. Tabela 5.4 Quadro da Anova (Modelo Fatorial com Três Fatores) Fonte de Variação A B C AB AC BC ABC rro Total Soma de Graus de Quadrados Liberdade A a b B c C ( a )( b ) AB ( a )( c ) AC ( b )( c ) BC ( a )( b )( c ) ABC abc( n ) abcn T Quadrado Médio A B C AB AC BC ABC sperança da Média Quadrática bcn τ i σ + a acn β σ + b + abn γ k σ c cn ( τ β) ij σ + ( a )( b ) ( ) + bn τ γ ik σ ( a )( c ) σ + an ( β γ) ( b )( c ) jk ( ) + n τ βγ ijk σ ( a )( b )( c ) σ F o A B C AB AC BC ABC A soma de quadrados total é encontrada da mesma forma anterior, sendo dada por T = a b c i= j= k= l= n ijkl... abcn (5.3) As somas de quadrados dos efeitos principais são encontradas a partir dos totais dos fatores A ( i... ), B (. j.. ) e C (..k.) como segue 4

43 A = bcn a i = i abcn (5.4) B = acn b j =. j..... abcn (5.5) C = abn c k =.. k. abcn (5.6) A soma de quadrados dos efeitos das interações, com dois fatores, é dada para cada par como: AB AC BC = cn = bn = an b... = = i j ij.. A a a abcn c... = = i k i k.. A b abcn c... = = j k jk.. B abcn B C C (5.7) (5.8) (5.9) A soma de quadrados da interação de três fatores A, B e C é dada por: ABC (5.0) n a b c = i = j= k = ijk.... abcn A B C AB AC BC Por fim a soma de quadrados dos erros é obtida da seguinte forma: n a b c = T i= j= k= ijk.... abcn (5.) O procedimento de análise é semelhante aos modelos anteriores, comparando a estatística F 0 com a distribuição F tabela com os respectivos graus de liberdade. 5.3 Aplicação do Software R na analise de dados para o Planejamento de xperimentos Fatoriais. Novamente, para ilustrarmos a aplicação desse modelo, utilizamos outro problema proposto em Werkema & Aguiar, (996) descrito abaixo: 43

44 m uma indústria fabricante de equipamentos eletrônicos uma furadeira é utilizada para furar as placas de circuito impresso produzidas. Com o objetivo de reduzir a variabilidade do processo de furação, a equipe do controle de qualidade, decidiu planejar um experimento para identificar os fatores responsáveis pela elevada variabilidade. Foi decidido estudar dois fatores potencialmente influentes sobre a variabilidade do processo: velocidade de rotação (Fator A) e diâmetro (Fator B) da broca utilizada na furadeira. Foram escolhidos três níveis para cada fator: 6, e polegadas para o diâmetro e 40, 60 e 80 rpm para a velocidade de rotação da broca. 8 Aqui foi decidido realizar um experimento fatorial com quatro réplicas. Como era muito difícil medir diretamente a variação no diâmetro dos furos, foi decidido medi-la indiretamente pela vibração que ocorria na placa que esta correlacionada com a variação. Dessa forma, em trinta e seis placas de teste foram instalados acelerômetros que permitiam medir a vibração nos eixos coordenados (X,Y,Z) das placas. Deve-se salientar que a placa utilizada em cada ensaio foi escolhida ao acaso e a ordem de realização dos ensaios também foi determinada aleatoriamente. Os dados do xperimento estão ilustrados na tabela abaixo: Tabela 5.5: Dados do xperimento Velocidade X Diâmetro da Broca ntrada de dados e análise descritiva usando o Software R. Aqui a matriz de planejamento será montada da seguinte forma: <- scan() : Depois do comando o próximo passo é entrar com os dados da resposta. Montando os Fatores: d<-factor(rep(:3,each=),labels=c("d","d","d3")) : Vetor que caracteriza os diâmetros. 44

45 v<-factor(rep(rep(:3,each=4),3),labels=c("v","v","v3")) caracteriza as velocidades. Dessa forma o data.frame será: : Vetor que defca<-data.frame(resp=, diam=d,vel=v) > debca resp diam vel 0.6 D V 6.8 D V * * * D3 V D3 V3 Da mesma forma utilizando o comando attach() e tappl(), a um resumo descritivo considerando respectivamente:média por velocidade, Média por Diâmetro e Média por Velocidade X Diâmetro > tappl(resp,vel,mean) V V V > tappl(resp,diam,mean) D D D > tappl(resp,list(vel,diam),mean) D D D3 V V V Pelas descrições apresentadas acima, parece haver diferenças entre níveis de velocidade, níveis de diâmetro e também diferenças entre as interações. Para confirmar tal indicação procede-se a análise de variância Análise de Variância, Comparações Múltiplas e Análise de Resíduos. Os comandos para análise de variância do modelo fatorial são dados por: > avdefca<-aov(resp~vel*diam) > anova(avdefca) Analsis of Variance Table Response: resp Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) vel e-08 *** diam e- *** 45

46 vel:diam *** Residuals Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' 0. ' ' Por meio dos resultados no quadro da anova foi possível concluir que a velocidade, o diâmetro da broca e também a interação entre estes dois fatores afetavam a vibração da superfície das placas durante o processo de furação.para auxiliar a interpretação de como os fatores exercem seus efeitos sugerimos uma inspeção gráfica ilustrando as médias por fatores e os gráficos de interação. A seqüência de comandos para se realizar uma inspeção gráfica é descrita abaixo: par(mfrow=c(,)) plot(diam,resp,xlab="diâmetro",lab="vibração",col="blue") plot(vel,resp,xlab="velocidade",lab="vibração",col="blue") interaction.plot(vel,diam,resp,trace.label=("diâmetro"),xlab="velocidade",lab= "Vibração Média",col="blue") interaction.plot(diam,vel,resp,trace.label=("velocidade"),xlab="diâmetro",lab= "Vibração Média",col="blue") Figura 5.3: Box-Plot para a vibração segundo os fatores Diâmetro e Velocidade e os Gráficos de Interação entre os Fatores. Pela Figura 5.3, constata-se o fato de que a interação era significativa, indicado pela ausência de paralelismo entre as linhas. A partir da análise desta figura, é possível obter uma indicação de que a vibração foi baixa para a broca D (/6) em qualquer velocidade de rotação e para a broca D (/), na velocidade de 40 rpm. Sabe-se que quanto menores fossem o diâmetro e a velocidade de rotação, mais baixo era a taxa de produção da furadeira e ainda que a taxa de produção era mais afetada pelas variações de velocidade do que pelas variações no diâmetro da broca. Portanto para manter uma taxa de produção satisfatória, a melhor condição de operação do processo parece ser utilizar a broca D (/6) com velocidade de rotação igual a 80 rpm. 46

47 Para confirmar os resultados acima procedemos a comparações múltiplas. >TukeHSD(avdefca) ste comando gera todas as possíveis comparações múltiplas, no entanto como o efeito das interações foi significativo, tem-se um interesse maior por estas comparações. Assim >TukeHSD(avdefca,"vel:diam",ordered=T) ste comando vai gerar todas as combinações para as interações, selecionando as interações que de interesse tem-se: $"vel:diam" diff lwr upr V:D-V:D V3:D-V:D V3:D-V:D Podemos ver que o não existe diferença significativa entre os níveis de velocidade e o nível do diâmetro em D. Podemos confirmar, através do desdobramento da análise de variância da interação que a interação no nível D não é significativa. Vamos desdobrar os efeitos da velocidade em cada nível do diâmetro utilizando o comando de efeito alinhado ( / ). O comando é ilustrado abaixo. > avf<-aov(resp~diam/vel) > summar(avf,split=list("diam:vel"=list(d=,d=,d3=3))) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) diam e- *** diam:vel e-08 *** diam:vel: D diam:vel: D ** diam:vel: D Residuals Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' 0. ' ' Para este modelo deve-se construir para a análise de resíduos os gráficos de resíduos contra ordem, gráfico de resíduos contra valores ajustados, gráfico de resíduos contra fator velocidade, gráfico de resíduos contra fator diâmetro e gráfico de probabilidade normal. Da mesma forma, pode-se utilizar alguns testes para verificar as hipóteses de independência, variância constante e normalidade dos dados. A seqüência dos comandos para geração dos gráficos é dada por: par(mfrow=c(3,)) plot(ordem,avf$res,xlab="ordem",lab="resíduos",col="blue") plot(avf$fit,avf$res,xlab="valores Ajustados",lab="Resíduos",col="blue") plot(vel,avf$res,xlab="velocidade",lab="resíduos",col="blue") 47

48 plot(diam,avf$res,xlab="diâmetro",lab="resíduos",col="blue") qqnorm(avf$res,xlab="quantil da Normal",lab="Resíduos",col="blue") qqline(avf$res) Figura 5.4: Gráficos para Análise de Resíduo do modelo de Planejamento Fatorial. Para o teste da Normalidade dos Resíduos temos: > shapiro.test(avf$res) Shapiro-Wilk normalit test data: avf$res W = , p-value = Para testar a homogeneidade das variâncias temos: 48

49 > bartlett.test(avf$res,vel) Bartlett test of homogeneit of variances data: avf$res and vel Bartlett's K-squared = , df =, p-value = > bartlett.test(avf$res,diam) Bartlett test of homogeneit of variances data: avf$res and diam Bartlett's K-squared = , df =, p-value = Como a suposições de normalidade e nem de variância constante foram rejeitadas, pode-se considerar o modelo como válido e a análise encerrada Conclusões Finais Os efeitos da velocidade, broca e a interação broca X velocidade são significativos; A vibração foi baixa para a broca D (/6) em qualquer velocidade de rotação; A melhor condição de funcionamento, considerando alto índice de produção e baixa vibração é a combinação: broca D e velocidade de rotação igual a 80 rpm. Todas as suposições foram testadas e nenhuma foi violada xercícios do Capítulo - Um experimento envolve uma bateria usada no mecanismo de lançamento de um míssil. Dois tipos de materiais podem ser usados para fazer as placas da bateria. O objetivo é projetar uma que não seja relativamente afetada pela temperatura ambiente. A resposta da saída da bateria é a vida efetiva em horas. Dois níveis de temperatura são selecionados e um experimento fatorial com quatro réplicas é corrido. Os dados são mostrados a seguir. 49

50 - Um experimento foi utilizado para avaliar a adesão de tintas zarções para aviões. xistem dois métodos de aplicação: imerção e aspersão, e três tipos de zarção. Três corpos de prova foram pintados com cada zarção usando um dos métodos de aplicação.os dados dos experimentos estão mostrados na tabela abaixo. Identifique, atravêz da analise fatorial o melhor método e tipo de tinta para melhorar a adesão da tinta. 3- Um experimento foi realizado para estudar o efeito do tipo do vidro e do tipo do fósforo sobre o brilho de um tubo de televisão. A resposta media é a corrente necessária (em microamps) para se obter determinado nível de brilho. Os dados são mostrados abaixo. Analise-os e tire conclusões. Capítulo 6 Planejamento Hierarquico Nos planejamentos experimentais, quando existe a presença de dois ou mais fatores a forma como os fatores estão relacionados interfere na análise. Quando o relacionamento é cruzado, ou seja, os níveis de um fator são identicos em todos os níveis do outro fator a análise é realizada como nas formas descritas anteriormente. No entanto, quando o relacionamento é hierárquico, ou seja, cada nível de um fator está associado a um diferente conjunto de níveis do segundo fator, procedese aos experimentos hierárquicos. A A A 3 B B B B B B 50

51 Figura 6.- strutura de um xperimento com Dois Fatores Cruzados A A A 3 B B B 3 B 4 B 5 B 6 Figura 6.- strutura de um xperimento com Fatores Hierárquicos 6.- O modelo statístico O modelo estatístico para o planejamento hierárquico com dois fatores fixos pode ser dado por: onde ijk µ + τi + β j ( i) + ε( ij ) k = com i =,,..., a j =,,..., b k =,,..., n (6.) µ : média global comum a todos os tratamentos. τ i : efeito do i-ésimo nível do fator A. β j(i) : efeito do j-ésimo nível do fator B aninhado sob o i-ésimo nível do fator A. ε : componente do erro aleatório, onde ε ~ N(0, ) (ij )k ( ij ) k σ Neste modelo existem a níveis para o fator A, b níveis para o fator B aninhados sob cada nível de A e n réplicas. O índice j (i) indica que o j-ésimo nível do fator B está aninhado sob o i-ésimo nível do fator A. 5

52 É importante destacar que não pode existir interação entre os fatores A e B em um experimento hierárquico, já que cada nível do fator A está associado a um diferente conjunto de níveis do fator B. Nos planejamentos hierárquicos estaremos interessados em testar as seguintes hipóteses: Ausência de efeitos do fator A: H0 : τ = τ =... = τ a = 0 H : τ i 0 para pelo menos um i. (6.) Ausência de efeitos do fator B dentro de cada nível do fator A. H0 : β ( i) = β( i) =... = βb ( i) = 0, para todo i. H : β j( i) 0, para pelo menos uma combinação j (i). (6.3) Da mesma forma, o procedimento utilizado para testar as hipóteses acima consiste em decompor a variabilidade total dos dados em parcelas de variabilidade devidas aos efeitos do fator A, do fator B aninhado em A e do erro aleatório. É possível mostrar que a soma de quadrados total, T, que é uma medida da variabilidade total das observações, pode ser expressa por: a b n a a b a b n... ( ijk ij. ) i= j= k= i= i= j= i= j= k= ( ijk ) = bn ( i..... ) + n ( ij. i.. ) + (6.4) A equação (6.4) pode ser expressa simbolicamente por: T = A + B ( A) + R (6.5) onde A = bn a i= ( i : soma de quadrados devida ao fator A. a..... ) b B ( A) = n ( ij. i.. ) : soma de quadrados devida ao fator B sob os níveis de A. i= j= R = a b n i= j= k = ( ijk ij.) : soma de quadrados residual. O quadro geral da anova para o modelo hierárquico é descrito abaixo: 5

53 Fonte de Variação Fator A Tabela 6.- Quadro da ANOVA GL Fo a A Fator B(A) a( b ) B( A) rros ab ( n ) Total T abn A A = a B( A) B( A) = a ( b ) = ab ( n ) Trat Blo cos O procedimento de análise é semelhante aos modelos anteriores, comparando a estatística F 0 com a distribuição F tabela com os respectivos graus de liberdade. 6. Análise de resíduo e comparações múltiplas. Os resíduos de um experimento hierárquico com dois fatores são definidos por ε ˆ ijk = ijk ijk = ijk ij. (6.6) Aqui os gráficos utilizados aqui são: Gráfico da probabilidade normal, Gráfico de resíduos X níveis do fator A, Gráfico de resíduos X valores preditos ŷ ijk e Gráfico de resíduos X Ordem de coleta. Buscando checar as suposições de normalidade, variação constante e suposição de independência dos resíduos. Se forem observadas evidências de fortes violações na suposição do modelo, esse deve ser invalidado ou deve-se proceder a transformações dos dados originais (ver Montgomer, 00). Aqui o teste Tuke também é utilizado para comparações múltiplas. 6.3 Aplicação do Software R na analise de dados para o Planejamento Hierárquico. Novamente, para ilustrarmos a aplicação desse modelo, utilizamos outro problema proposto em Werkema & Aguiar, (996) descrito abaixo: Considere uma indústria de autopeças que produz um determinado tipo de peça empregando quatro máquinas de marcas diferentes, sendo cada máquina controlada por dois diferentes operadores em sistema de rodízio. A principal característica de qualidade das peças fabricadas é o seu diâmetro, que deve satisfazer à especificação 30,83±0,6. O processo de produção vinha apresentando uma elevada variabilidade e, conseqüentemente, não vinha sendo capaz de atender as especificações (Montgomer, 53

54 004). A equipe técnica responsável pelo processo suspeitava que a variabilidade no diâmetro das peças pudesse estar sendo provocada, principalmente por diferenças entre as máquinas. Para avaliar essa suspeita, a equipe decidiu realizar um experimento onde foram medidos os diâmetros de três peças produzidas por cada operador de cada uma das máquinas. Os dados do experimento foram coletados em ordem aleatória e estão ilustrados na Tabela abaixo: Os dados do xperimento estão ilustrados na Tabela abaixo: Tabela 6. : Dados do xperimento Maquina X Operador. Operador Máquina Ordem* Ordem* 30, , , ,8 6 30, , , , ,75 30,95 30,8 8 3, ,76 3 3,0 30, , ,69 30,77 0 3, ,69 7 3, ,7 9 30,89 7 * Ordem de Coleta ntrada de dados e análise descritiva usando o Software R. Aqui a matriz de planejamento será montada da seguinte forma: Repostas: <- scan() : Depois do comando o próximo passo é entrar com os dados da resposta. oh<scan(): vetor ordem de realização dos ensaios. Montando os Fatores > m<-factor(rep(:4,each=6),labels=c("m","m","m3","m4")) : vetor associado as máquinas. > o<-factor(rep(rep(:,each=3),4),labels=c("o","o")) : vetor associado aos operadores. Montando o data.frame > dh<-data.frame(resp=,maq=m,op=o) Assim, a disposição dos dados fica da forma: resp maq op M O 54

55 30.78 M O * * * M4 O Da mesma forma para a descrição dos dados, temos: > attach(dh) > tappl(resp,maq,summar) Resumo por Máquina $M Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $M Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $M3 Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $M4 Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Resumo descritivo por operador > tappl(resp,op,summar) $O Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max $O Min. st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max

56 Figura Média por Máquina e por Operadores Como nesse planejamento o efeito é hieráquico, não devemos analisar a diferença entre operadores somente em dois níveis, pois o que ocorre na verdade é que são duplas diferentes de operadores para cada máquina Análise de Variância, Comparações Múltiplas e Análise de Resíduos. > dh.av<-aov(resp~maq/op,data=dh) > anova(dh.av) Analsis of Variance Table Response: resp Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) maq maq:op e-06 *** Residuals Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' 0. ' ' Pelos resultados no quadro da anova acima, é possível concluir que as máquina não exercem um efeito significativo sobre o diâmetro das peças, no entanto para cada máquina, os diâmetros das peças produzidas pelos dois operadores diferiam de modo significativo. Para evidenciar os resultados acima, procede-se a comparações múltiplas. > TukeHSD(dh.av,ordered=T) Tuke multiple comparisons of means 95% famil-wise confidence level factor levels have been ordered Fit: aov(formula = resp ~ maq/op, data = dh) $maq diff lwr upr M3-M M-M M4-M M-M M4-M M4-M

57 $"maq:op" diff lwr upr M4:O-M3:O M:O-M3:O M:O-M3:O M:O-M3:O M:O-M3:O M3:O-M3:O M4:O-M3:O M:O-M4:O M:O-M4:O M:O-M4:O M:O-M4:O M3:O-M4:O M4:O-M4:O M:O-M:O M:O-M:O M:O-M:O M3:O-M:O M4:O-M:O M:O-M:O M:O-M:O M3:O-M:O M4:O-M:O M:O-M:O M3:O-M:O M4:O-M:O M3:O-M:O M4:O-M:O M4:O-M3:O Pelo quadro acima, verifica-se que as máquinas não exercem efeitos significativos e que operadores nas máquinas diferem quanto aos diâmetros produzidos (negrito). Um estudo descritivo pode nós auxiliar, apontandos as principais diferenças ocorridas. > tappl(resp,list(maq,op),mean) O O M M M M Ordenando essa matriz, percebe-se dois grupos de trabalhadores operando de maneiras distintas (M3O) (MO) (M4O) (MO) (MO) (M3O) (MO) (M4O)

58 O primeiro grupo, três primeiros, trabalhando muito próximos do limite inferior e os três ultimos muito próximos do limite superior. De posse dessa informações recomendase instituir uma programa de treinamento e padronização de procedimentos. Para a análise de resíduos temos a seguinte seqüência de comandos: >g<-tappl(resp,list(maquina:operador),mean) >sort(g) Maq3:Op Maq4:Op Maq:Op Maq:Op Maq:Op Maq:Op Maq3:Op Maq4:Op >barplot(sort(g),lim=c(30.70,3.0)) > par(mfrow=c(,)) > plot(oh,dh.av$res,xlab="ordem",lab="resíduos",col="blue") >plot(dh.av$fit,dh.av$res,xlab="valores Ajustados",lab="Resíduos",col="blue") > plot(maq,dh.av$res,xlab="máquina",lab="resíduos",col="blue") > qqnorm(dh.av$res,xlab="quantil da Normal",lab="Resíduos",col="blue") > qqline(dh.av$res) 58