A MEDIDA NA FORMAÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO

Transcrição

1 A MEDIDA NA FORMAÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO Marisa da Silva Dias Faculdade de Ciências UNESP Fundunesp Resumo Este texto tem como referência uma pesquisa realizada em relação à formação de conceitos matemáticos sob princípios metodológicos da pesquisa-ação cujo problema social se configurou no campo do ensino e da aprendizagem da matemática. O objetivo nesse texto é apresentar a investigação do movimento dialético entre apropriação e objetivação do conceito de medida e suas relações com o campo numérico. Para isso, foi desenvolvida uma atividade orientadora de ensino com professores de matemática do Ensino Fundamental e Médio do Estado de São Paulo (Brasil), em um curso de formação contínua. As soluções construídas a partir da proposição de uma situaçãoproblema caracterizaram uma atividade matemática focalizada no movimento lógicohistórico da produção de instrumentos de medida, particularmente da régua, organizada por meio das questões porque, o que e como medir. Os aportes teóricos do materialismo histórico e dialético e da psicologia histórico-cultural, fundamentalmente da teoria da atividade, contribuíram para análise do desenvolvimento do conceito de número pelos sujeitos referentes à quantificação de grandezas. A síntese por meio das questões por que, o que e como medir pôde auxiliar na organização do pensamento teórico que reuniu o lógico do histórico no desenvolvimento do conceito; a necessidade humana, a grandeza contínua e o processo de numeralização. Palavras-chave: educação matemática, atividade, instrumento, pensamento teórico, medida. Aspectos teórico-metodológicos na formação de conceito Este texto refere-se a parte de uma investigação mais ampla sobre a formação de conceitos matemáticos no sistema de escolar, sobretudo da apropriação e objetivação na formação do pensamento numérico, abordando a formação do sistema numérico, números naturais, racionais, reais e complexos. Os procedimentos metodológicos fundamentaram-se nas contribuições da pesquisa-ação (Thiollent, 2003) cujo problema social se configurou no campo do ensino e da aprendizagem da matemática. Os sujeitos constituíram-se em aproximadamente oitenta professores que lecionavam matemática e os dados foram obtidos em um curso de formação contínua de professores (Dias, 2007). XXII SIEM

2 Dentre as atividades desenvolvidas nessa investigação, uma delas tratou do pensamento numérico envolvendo o processo de medição na relação com o número fracionário a qual se refere este texto. A organização do referido curso baseou-se na atividade orientadora de ensino (Moura, 1996) cujo papel na investigação articulou princípios metodológicos, para organização do ensino, e teóricos, como a teoria da atividade, a psicologia histórico-cultural e o materialismo histórico e dialético. A teoria da Atividade desenvolvida, sobretudo, por Leontiev (1983) considera a necessidade humana como origem da atividade, o ponto de partida, geradora do motivo que impulsiona ações direcionadas à apropriação do objeto. A atividade orientadora de ensino propõe, para o ensino escolar, orientações para a organização do ensino com a finalidade de apropriação do conhecimento e de desenvolver as funções psíquicas superiores. Moura (2001) nomeia a atividade como orientadora porque define os elementos essenciais da ação educativa e respeita a dinâmica das interações que nem sempre chegam a resultados esperados pelo professor (p. 155). Por esse motivo, o professor avalia as ações sintetizando em motivos para novos planos de ação. As ações a serem realizadas na e para interação entre os sujeitos são planejadas e objetivadas no plano de ação. Este é baseado em intenções de aprendizagem e considera as condições objetivas, a fim de que se desenvolvam as atividades de estudo e de aprendizagem (Dias, 2007). No caso do ensino e da aprendizagem escolar, a atividade de estudo do professor não é a mesma do estudante, por se tratar de motivos e objetos distintos. O professor estuda para organizar seu ensino visando a aprendizagem do estudante, o estudante, por sua vez, estuda para se apropriar do conhecimento ensinado pelo professor. Considera-se que na educação escolar, um dos objetivos é promover, por meio do ensino sistematizado, a apropriação do conhecimento desenvolvido pelas gerações precedentes. Neste trabalho trata-se da relação entre objetos materiais elaborados pela humanidade para medir, os instrumentos de medida, e o conhecimento neles incorporado. O objeto da apropriação, material ou ideal, possui a atividade humana acumulada nele, o trabalho. Trabalho entendido aqui sob os pressupostos do materialismo histórico e dialético (Kopnin, 1978, Cheptulin, 1982), ou seja, como processo de ação do homem na natureza que, ao mesmo tempo em que cria instrumentos, modifica-se, cria e desenvolve capacidades cognitivas. 2 XXII SIEM 2011

3 Na base de todo o conhecimento humano, o homem leva em consideração não somente as propriedades externas dos objetos como também as conexões internas, sua essência. São essas conexões que permitem ao ser humano a transformação dos objetos, produzindo seus instrumentos. O instrumento não é um objeto material simplesmente, é um objeto social que cristaliza a atividade humana, ou seja, a necessidade, a intencionalidade, as ações intelectual e física, nas condições objetivas para atender a uma finalidade. É na atividade produtiva de instrumentos, materiais ou ideais, que o homem desenvolve o pensamento teórico (Davidov, 1988), como o científico, que se diferencia do pensamento empírico. A divisão em empírico e teórico é para evidenciar os níveis de pensamento. Isso não quer dizer que devamos abandonar as relações sensitivas que permitem desenvolver o pensamento empírico, pois são elas que possibilitam a forma primeira do pensamento. Mas é no pensamento teórico que aparecem as inter-relações, nas mediações, no sistema de sua formação; que reúne o diverso, os multifacetados essenciais para a formação do conceito (Davidov, 1988). As contribuições da atividade orientadora de ensino e do pensamento teórico orientaram a elaboração da situação-problema e as discussões das soluções dos sujeitos com o objetivo de desenvolver o pensamento teórico, por meio da reprodução dos traços essenciais da produção de instrumentos de medida. A reprodução de que se trata nessa perspectiva não é mecânica. Como nos orienta Rubinstein (1976), no processo de reprodução do reproduzido, o reproduzido se forma na mente, O pensar está contido na reprodução, capta o conteúdo de uma forma mais exata, generaliza-o, sistematiza-o, aperfeiçoa-o e reconstrói-o (p. 47). Outro aspecto considerado na elaboração da situação-problema foi o movimento lógicohistórico do conceito (Kopnin, 1978). O histórico do lógico-histórico caracteriza-se pelas etapas de surgimento e desenvolvimento do objeto de conhecimento e, o lógico, como o meio pelo qual o pensamento realiza a reprodução do processo histórico. Não no sentido de guiar o pensamento, impondo-lhe a história do objeto, mas permitindo que a formação das idéias componha a lógica do pensamento na busca da essência do movimento do objeto, sua criação e seu desenvolvimento (Kopnin, 1978, Dias, 2007). O aspecto histórico considerado foi a necessidade humana de controlar a variação quantitativa de grandezas contínuas e, o lógico, a correlação do pensamento numérico, XXII SIEM

4 na articulação entre contagem de grandezas discretas, com um conhecimento novo, a quantificação de grandezas contínuas. Com isso, a atividade focalizou os nexos conceituais (movimento lógico-histórico) acumulados na elaboração de instrumentos de medida, envolvendo o conceito de grandeza, a criação da unidade e seu fracionamento, objetivado na fração numérica. A atividade de apropriação e objetivação Objetivação e apropriação são processos que expressam a dinâmica de autoconstrução do ser humano ao longo da história. O homem apropria-se da natureza objetivando-se nela para inseri-la em sua atividade social. Sem apropriação da natureza não haveria a criação da realidade humana, não haveria a objetivação do homem (Duarte, 1993). A análise das objetivações dos sujeitos em relação ao conceito de medida e o campo numérico, bem como as inferências a respeito da apropriação deles, realizou-se a partir de uma situação-problema. Inserida na perspectiva da atividade orientadora de ensino, a situação-problema apresentada aos professores foi chamada de Laboratório de Medida cuja intenção foi mobilizar o pensamento no sentido dos nexos conceituais do conceito de medida. Tais nexos compreendem a resposta às questões do porque, o que e como medimos. O porquê está relacionado ao aspecto constituído historicamente na necessidade humana. O o que vai ao encontro das qualidades dos objetos ou fenômenos, na grandeza, e o como no procedimento que articula o método com a numeralização. O nome laboratório de medidas foi escolhido por ser uma representação social que elabora métodos de medição e busca precisão, como o INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial). Para isso, um kit contendo os mesmos objetos, previamente selecionados (um retalho de tecido, um pedaço de fio de barbante, um dado, um copo com água, uma tesoura, dois tubos de guardar filme de máquina fotográfica um contendo areia e outro pedras), foram entregues a cada grupo (no total de sete grupos) de professores. A escolha dos objetos buscou uma variabilidade nas qualidades como rigidez, espessura, cor, tamanho, forma, etc. algumas quantificáveis nas condições objetivas e outras não. Uma parte da situação-problema solicitava o relato de todas as grandezas naqueles objetos que pudessem ser mensuradas e, outra parte, a realização de medições, àquelas possíveis nas condições objetivas, sem utilização de instrumentos convencionais de 4 XXII SIEM 2011

5 medida. As respostas foram entregues por escrito e posteriormente discutidas em plenária (Dias, 2007). O fato de medir sem régua (sem balança, paquímetro, termômetro, etc.), ou seja, sem instrumentos de medida convencionais, possibilitou uma situação criadora. Para um dos grupos tudo poderia ser medido desde que se estabelecesse uma unidade padrão de medida, para outro, tal padrão deveria ser dado previamente, pois sem ele seria impossível a medida. As discussões indicaram uma contradição dialética na forma de pensamento dos sujeitos, possibilidade-impossibilidade, pois ao mesmo tempo em que seu conteúdo evidencia um conhecimento, a necessidade de um padrão de medida ou uma unidade de medida, a impossibilidade é caracterizada pela falta do instrumento socialmente conhecido que possui a unidade de medida. A partir do dilema entre o conhecido medir com instrumentos convencionais e o desconhecido medir sem eles, estabeleceu-se a problematização. Caraça (1989) diz da passagem pelo dilema que orienta a formulação de caminhos no desenvolvimento do conceito diante de uma dificuldade. No dilema, o que está em jogo é o ponto nevrálgico ou ponto fraco no qual reside uma negação de tal estágio do conceito. A negação a que Caraça se refere está fundamentada no materialismo histórico e dialético, a negação como indicativa da necessidade de superação. A negação nãodialética é destruição de um determinismo qualitativo, enquanto a negação dialética desempenha o papel de elo de ligação entre o inferior e o superior (Cheptulin, 1982, p. 315). Na investigação o ponto fraco se caracterizou em como medir sem régua. Nesse movimento do pensamento, surgiu a necessidade de negar o conhecido. Negar o processo de medir com instrumento não significa ignorar, abandonar tal conhecimento, mas sim mobilizar, na atividade mental, uma ligação possível entre o processo conhecido e a nova situação. A negação dessa negação, ou seja, negar a impossibilidade de se medir na ausência da régua, descortinou um campo de possibilidades para o pensamento, a superação, o desenvolvimento de um conhecimento novo para si. Exigiu que o indivíduo entrasse em atividade interna e externa (Leontiev, 1983) cujo motivo direcionou suas ações externas e internas para o desenvolvimento de uma solução ao problema. A situação particular de medir os objetos exigiu dos participantes a mobilização de conceitos, procedimentos e relações que transformaram aquele problema particular num XXII SIEM

6 problema geral, ou seja, como criar um instrumento de medida, como recriar a régua, ou ainda, como se criam os instrumentos de medida. A organização da proposta permitiu a passagem das singularidades do processo de quantificar grandezas, por meio particular dos objetos expostos, a um grau de generalidade. O retorno ao particular a partir daí foi objetivar as elaborações internas, a criação da régua no pensamento. Com isso, a relação dos sujeitos com os instrumentos, apresentados socialmente, apresentou outra qualidade no pensamento. A apropriação, elaborada no pensamento, permitiu desenvolver o conceito, que não é só lógico, mas histórico, relacionados à produção e à necessidade humana. O processo de criação da unidade artificial de medida não ocorreu de forma tranquila e imediata, ao contrário, foi turbulenta e mediada. A unidade artificial foi assim denominada a fim de diferenciá-la da unidade natural, de contagem, que se encontra naturalmente separada uma da outra (Lima & Moisés, 1998). Entre as elaborações sobre a medida de grandezas, como a de comprimento, de superfície, de volume e de massa, destacaremos neste trabalho a medida de comprimento. Na criação da unidade artificial de comprimento foram utilizados, pelos sujeitos, principalmente, o fio e a mão. Em relação ao fio houve dois tipos de procedimentos para caracterização da unidade de medida. Um deles considerando o comprimento total do fio e outro uma subdivisão dele. O grupo de sujeitos que utilizou o comprimento total do fio estabeleceu-o como padrão para todas as medidas lineares dos objetos. Com isso, os sujeitos puderam articular, na relação entre medida e número, a unidade de medida e o número 1, a quantidade de vezes que a unidade de medida se reproduz na grandeza a ser medida com o número inteiro, o fracionamento da unidade de medida com o número fracionário. Já o grupo que primeiramente estabeleceu como unidade a oitava parte do comprimento total do fio não a manteve como padrão. A cada objeto diferente era estabelecida uma nova unidade para medir suas grandezas lineares. Porém, o procedimento era o mesmo, dividir o comprimento total do fio em partes iguais, convenientemente escolhidas, para que a medida resultasse em um número inteiro. Observa-se, nesse procedimento, a correlação entre a fração proveniente da relação parte-todo, subjacente no procedimento da escolha de cada unidade particular, com a regularidade do processo de partição do fio. 6 XXII SIEM 2011

7 Dentre as elaborações com a mão, para criação da unidade de medida de comprimento, foram usados o dedo polegar, tanto seu comprimento como sua largura, a união dos dedos (dedos juntos uns nos outros), o palmo (distância ente a ponta do dedo polegar e o mínimo com a mão aberta) e a polegada. A história dos nossos antepassados evidencia o poderoso instrumento que foi nosso corpo, em particular mãos e dedos. Na história da matemática observa-se a utilização dos dedos e do corpo para contagem e cálculos, o braço para medida, etc. (Ifrah, 1998). A recuperação desses procedimentos no ensino e na aprendizagem da matemática permitiu discutir a articulação da produção de processos de medição, apresentados pelas histórias, e a apropriação das formas de produção de conhecimento. Outra forma de medida de comprimento utilizada pelos sujeitos foi com pedras, associando o enfileiramento delas com um segmento, estabelecendo assim o comprimento total como unidade, porém sua subdivisão foi questionada a fim de observar a não equivalência com uma das dimensões da pedra. Embora a natureza das pedras seja discreta, observou-se indícios de um movimento do pensamento na busca da continuidade. Essa idéia está dialeticamente ligada ao contrário da criação da medida. na qual está presente o pensamento de discretização da grandeza contínua ao efetuar o processo de contagem, ou seja, quantas vezes a unidade cabe no tamanho do que se quer medir. Outro encaminhamento de solução foi por meio de estimativas. O conceito de estimativa tem sido incentivado atualmente tanto pelos livros didáticos como pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ministério da Educação e Cultura do Brasil [MEC] (1998, 2000). Concluiu-se que o uso da estimativa nessa atividade impediu a elaboração dos nexos conceituais sintetizados nos instrumentos de medida. Ao utilizar um objeto para servir de instrumento de medida, observou-se a ausência da medida das grandezas desse objeto. Para medir suas grandezas foi utilizado outro objeto como instrumento, com outra elaboração de unidade de medida. Tais procedimentos refletiram a não criação de uma unidade padrão como também a não reflexividade da operação. A retomada da discussão da necessidade de um padrão de medida, apontada pelos sujeitos no início do dilema, permitiu uma nova compreensão no desenvolvimento do pensamento devido a atividade desenvolvida. Além do aspecto social relacionado à padronização de medidas, para a comunicação, cálculo de impostos na propriedade privada, embalar os diversos objetos que compramos, marcar o horário XXII SIEM

8 um encontro, etc. Houve a discussão que permitiu esclarecer a diferença do significado de unidade de medida e de sua padronização. A relação da medida com a fração ocorreu inicialmente de forma diferenciada. Houve a utilização de estimativa, como também o uso dos materiais mais flexíveis para dobrar em partes iguais. Mas, o fato de medir a sobra pelo fracionamento da unidade não anulou outro, o de evitar a subunidade. Quando a unidade não cabia um número inteiro de vezes no comprimento a ser medido, alterava-se a unidade, substituindo-a pela própria subunidade, evitando a fração, ou mesmo por outra unidade conveniente. Esse fato foi discutido juntamente com o anterior, pois envolve a questão social da padronização, ou seja, se o ser humano fizesse sempre esse processo não conseguiria padronizar uma unidade de medida. Quanto ao aspecto lógico, no processo de pensamento, a discussão foi encaminhada para a idéia de quantas unidades de medida teríamos se a cada medição estabelecêssemos novas unidades para a mesma grandeza. O final da atividade contemplou uma síntese articulando as três questões, por que, o que e como medir, com as soluções apresentadas e discutidas, com base no lógico-histórico do conceito e nas pesquisas na área a fim de orientá-los na organização didática. Conhecer as qualidades dos objetos, saber quais possuem variação quantitativa não é suficiente para criação da unidade, pois a unidade de medida não está dada, é um processo do pensamento que entre outros momentos requer apreender qualidades para além da imagem sensível. A comparação de grandezas de mesma natureza foi realizada na prática, mas a necessidade de sintetizar esse conhecimento como nexo conceitual da medida, no processo dedutivo do pensamento teórico, não havia sido explicitado até o momento da discussão final, no compartilhamento das soluções desenvolvidas pelos grupos. Considerações As primeiras manifestações direcionadas à solução da situação-problema eram provenientes do como fazer, medir com instrumentos pré-definidos, que compõe a prática dentro e fora da escola e mobilizam o pensamento empírico. O dilema entre conhecimento-desconhecimento, desencadeado pela ausência do instrumento de medida, proporcionou a mobilização do pensamento teórico. A negação (dialética) do conhecimento existente, sintetizada na problemática: como construir uma régua, revelou o movimento do pensamento no sentido dos nexos conceituais dos instrumentos 8 XXII SIEM 2011

9 de medida. Este reúne um modo de numeralizar grandezas contínuas. O conceito numérico relacionado à contagem de grandezas discretas pôde ser reformulado, agregando outra função social aos mesmos números já conhecidos, a numeralização de grandezas contínuas. E, com isso, perceberam outro movimento numérico necessário para quantificar essas grandezas, a fração. Com isso, buscou-se permitir a apropriação do conceito de fração, para que os sujeitos pudessem diferenciá-lo, posteriormente, das do conceito de razão e número racional. Pois embora tenham a mesma representação numérica, historicamente surgiram de necessidades diferenciadas. Tomar o problema para si é sempre uma escolha que depende da esfera motivacional (Leontiev, 1983; Martins, 2004) individual e coletiva. Aqueles que o fizeram puderam entrar por meio do processo criativo no pensamento teórico constituinte do significado da medição e da numeralização de grandezas na dinâmica dialética entre apropriação e objetivação do pensamento. A mobilização do pensamento teórico, no processo dialético de apropriação e objetivação, foi possível por meio de ligações realizadas, constituintes de um sistema que reuniu o diverso: criação de unidade e seu fracionamento, grandezas discretas e contínuas, um processo específico de comparação, o número inteiro e o fracionário. Aliado ao lógico, encontrou-se o histórico que propiciou a apropriação cultural relacionada às necessidades do ser humano e ao desenvolvimento das aptidões acumuladas no instrumento de medida. Referências bibliográficas Ministério da Educação e Cultura do Brasil. (1998). PCN de 5ª a 8ª série. Acesso em 23 de março, 2006, Ministério da Educação e Cultura do Brasil. (2000). PCNEM. Acesso em 23 de março, 2006, Caraça, B. J. (1989). Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Tipografia Matemática Ltda. Cheptulin, A. (1982). A dialética materialista: categorias e leis da dialética. São Paulo: Alfaomega. Davidov, V. (1988). La enseñanza escolar y el Progresso. desarrollo psiquico. Havana: Editorial Dias, M. S. (2007). Formação da imagem conceitual da reta real: um estudo do desenvolvimento do conceito na perspectiva lógico-histórica. Tese de Doutorado, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo. XXII SIEM

10 Duarte, N. (1993). A individualidade para si Contribuição a uma teoria histórico-social da formação do indivíduo (Coleção educação contemporânea). Campinas, SP: Autores Associados. Ifrah, G. (1998). Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo. Kopnin, P. V. (1978). A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira. Leontiev, A. (1983). Atividad, conciencia, personalidad. Habana: Editorial Pueblo y Educación. Lima, L. & Moisés, R. P. (1998). Número real: à procura do infinitamente pequeno. São Paulo: CEVEC. Martins, L. M. (2004). A natureza histórico-social da personalidade. Cadernos Cedes, 62 (24), Moura, M. O. (1996). A atividade de ensino como unidade formadora. Bolema, 12, Moura, M. O. (2001). A atividade de ensino como ação formadora. In: A. D. Castro & A. M. P. de Carvalho (orgs.) Ensinar a ensinar (pp ). São Paulo: Pioneira Thomson Learning Ltda. Rubinstein, S. L. (1976). Princípios de psicologia geral. Lisboa: Estampa Ltda. Thiollent, M. (2003). Metodologia da pesquisa-ação. Cortez: São Paulo. 10 XXII SIEM 2011