FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS DE SÃO PAULO

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1 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS DE SÃO PAULO Euldes Pedrozo Jr. ESTIMAÇÃO DAS ELASTICIDADES DA DEMANDA POR ENERGIA ELÉTRICA E ALIMENTOS NO BRASIL: Uma aálse a artr do Modelo Flórda SÃO PAULO 2004

2 ESTIMAÇÃO DAS ELASTICIDADES DA DEMANDA POR ENERGIA ELÉTRICA E ALIMENTOS NO BRASIL: Uma aálse a artr do Modelo Flórda Baa examadora: Profa. Dr.. Ferado de Holada Barbosa Prof. Dr. Paulo Furqum Prof. Dr. Ferado Gara (oretador)

3 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS DE SÃO PAULO Euldes Pedrozo Jr. ESTIMAÇÃO DAS ELASTICIDADES DA DEMANDA POR ENERGIA ELÉTRICA E ALIMENTOS NO BRASIL: Uma aálse a artr do Modelo Flórda Dssertação aresetada ao Curso de Pós- Graduação da FGV/EAESP, omo requsto ara a obteção do título de mestre em Eooma de Emresas Área de Coetração: Eooma Oretador: Prof. Ferado Gara SÃO PAULO 2004

4 Agrademetos Quero agradeer a todos os rofessores do urso de Mestrado em Eooma de Emresas elos esametos: Arthur Barrouevo Flho, Fraso Humberto Vgol, Geser José de Olvera Flho, Jolada Batsta, Luz Atôo de Olvera Lma, Maros Ferades G. da Slva, Mara Carola da S. Leme e Verôa Iês Feradez Orellao. Aos olegas e amgos de trabalho que me etvaram e aoaram o deorrer do mestrado e a elaboração da dssertação: Adré Mhel, Aa Mara Castelo, José Rardo Sataa, Jorge Olvera Pres, Líga Mara de Vasoellos, Mara Atoeta Del Tedeso Ls, Rogéro César de Souza, Sérgo Goldbaum, Sérgo Badera e todos os fuoáros da GVCosult. Aos olegas de doutorado e mestrado, om quem o ovívo, estímulo, amzade e dsussões foram semre bastate rodutvos: Alexadre Messa, Ferada Brollo e Luz Rogéro de Camargos. Ao CNPq, rovedor de reursos ara esse roeto. Um reohemeto eseal eu devo ao oretador desta tese, rofessor Ferado Gara, que desde quado o ohe, em 996, me etva os amhos suosos do mudo aadêmo e me vem me rooroado todos os atrbutos ara earar esses desafos. Por fm, agradeço aos meus as, Euldes Pedrozo e Aareda Cezaro Pedrozo ela aêa, auda, orações e etvo que me assaram (e otuarão assado, aosto) durate todos esses meses de trabalho árduo de oseução do mestrado.

5 Sumáro Aresetação Caítulo. Fudametos da Teora do Cosumdor. Fudametos Eoômos da Teora da Demada 3.. As Hóteses da Preferêa do Cosumdor O Problema da Esolha do Cosumdor Fução de Utldade Idreta, Fução de Gasto e Dualdade Os Efetos Reda e Substtução Restrções da Fução de Demada 4.2 Orçameto em Dos Estágos e Searabldade 8.3 Sstema de Equações de Demada 2.3. Fatores de Exlação do Cosumo das Famílas O Modelo de Workg A Esolha do Modelo de Demada 24 Caítulo 2. A Abordagem Dfereal da Demada e O Modelo Flórda A Abordagem Dfereal da Teora do Cosumdor Lhas Geras da Abordagem Dfereal A Equação Matral Fudametal de Barte A Forma Geral do Sstema de Demada Dfereal Os Coefetes de Slutsky A Hótese de Preferêa Ideedete O Modelo Workg-PI ou Modelo Flórda Partação Margal e Elastdade-Reda o Modelo de Workg O Modelo de Workg om Preços Esefação Eoométra e Elastdades o Modelo Flórda Esefação Eoométra e Elastdades o Modelo Flórda 45 Caítulo 3. Estmação do Cosumo a Partr de Dados Agregados Os Dados de Cosumo da Matrz Isumo-Produto Defções das varáves A Idetfação das Varáves A Estmação do Modelo Flórda ara os 3 Gruos de Produtos Estmatvas de Máxma Verossmlhaça Nota sobre a Sgfâa dos Parâmetros Estmados As Elastdades o Modelo Agregado s A Demada de Eerga Elétra o Brasl 7 3

6 Caítulo 4. Alação do Modelo Flórda aos Dados da POF 995/ A Pesqusa de Orçametos Famlares Aálse das Desesas Relatvas em Almetos Motagem da Sub-Amostra e Aálse dos Mometos dos Preços Os Modelos de Demada Codoal e Iodoal Resultados A Demada or Almetos o Brasl As Elastdades do Modelo Agregado As Elastdades dos Produtos Almetares Básos 96 Colusão 05 Aexos 06 Bblografa 08

7 Lsta de Tabelas Caítulo 3 3. Volume de osumo das famílas (em R$ mlhões), artação orçametára e reços relatvos de 3 gruos de bes ( ) 3.2 Estmadores de MV do modelo Flórda ara 3 bes de osumo Smulação de resultados do modelo Flórda ara 3 bes de osumo Estmatvas de elastdades-reda e reço ara 3 bes de osumo, 996 e Elastdades-reda e reço do modelo Flórda ross-outry, Brasl, Elastdades-reço ruzada de 3 bes de osumo, Cresmeto médo aual do osumo de eerga elétra e do PIB (em % a.a.) Demada de Eerga Elétra o Brasl, modelo Flórda, 994 a Caítulo 4 4. Pardade do Poder de Comra da Almetação PPCRA/set-96 e desesa mesal er ata om almetação o domílo Produtos básos osumdos elos domílos, or Regão Metrooltaa Número de observações e artação a amostra, or Regão Metrooltaa Mometos da dstrbução dos gastos domlares mesas a sub-amostra (em R$) Preços médos dos 20 rodutos básos a sub-amostra (R$/udade) Desesa méda om os 20 rodutos básos a sub-amostra (em R$) Estmatvas de MV de 2 tes almetíos, ara a RM do Ro de Jaero Estmatvas de MV dos oefetes de Slutsky do modelo Flórda-Slutsky, ara a RM do Ro de Jaero 4.9 Estmatvas de MV do modelo Flórda Codoal, ara todas as RM, exetuado o Ro de Jaero 4.0 Demada de Almetos atura o Brasl, modelo Flórda, 994 a Gasto domlar mesal om almetação a artr da sub-amostra, 995/ Elastdade-reda ara város estratos de reda, RM do Ro de Jaero, 995/ Elastdade-reço ara város estratos de reda, RM do Ro de Jaero, 995/ Elastdades-ruzada do Modelo Flórda Codoal, ara a RM do Ro de Jaero, 995/ Elastdade-reda ara ível de gasto médo das Regões Metrooltaas, 995/ Elastdade-reço de Courot ara ível de gasto médo das Regões Metrooltaas, 995/

8 Lsta de Fguras e Quadros Fguras. Curvas de dfereça lustrado as roredades de quas-oavdade, dfereabldade e essealdade dos bes.2 Modelo de orçameto em dos estágos Desesas om Almetos atura e reda das famílas ( ) Desesas om Eerga Elétra e reda das famílas ( ) Dagrama de dsersão dos resíduos da estmação or MV Dstrbução de freqüêa da artação dos gastos om almetação Partação dos gastos om almetação o domílo e desesas totas Quadros Elastdade-reda de 2 rodutos básos ara a RM do Ro de Jaero, modelos Flórda odoal e Flórda-Slutsky Elastdade-reço de 2 rodutos básos ara a RM do Ro de Jaero, modelos Flórda odoal e Flórda-Slutsky. Sítese das fuções de demada a Teora do Cosumdor Comarações de elastdades-reço e reda da demada de Eerga Elétra ara o Brasl 73

9 Aresetação O adrão de gastos das famílas brasleras tem sdo afetado, durate déadas, or dversos evetos sooeoômos, tas omo alterações a reda e os reços relatvos dos tes de osumo, trasformações a estrutura demográfa da oulação e varações as referêas dos dvíduos. É de se eserar que, om o desevolvmeto eoômo-soal, as famílas reformulem o eso dos dversos tes de osumo em relação à desesa total. Os asos mas roemetes de reomosção orçametára a soedade braslera dzem reseto aos gastos om almetação e eerga elétra, fatos que dreoam estudos que busam redzer os movmetos da demada. O etedmeto dos adrões que defem o omortameto do osumdor é de mortâa rual ara oretar as desões das autordades goverametas e das emresas. A artr de dados de esqusas de orçameto famlar, or exemlo, é ossível estmar a eessdade futura de determados tes de osumo, medr a obreza a artr de seu gresso o osumo, ou delear meddas de olíta soal e de defesa da oorrêa. Nesse tuto, a lteratura eoôma desevolveu úmeras formas de mesurar os sstemas de demada. Nas últmas déadas, tomou força a utlzação dos modelos dtos flexíves tas omo o modelo de Rotterdam, os modelos Traslog, o modelo AIDs e o modelo de Workg om referêa deedete. Por sua vez, a teora do omortameto do osumdor tem um ael rmordal a aálse eoôma, uma vez que rovem uma estrutura e uma lguagem oerete ara a formulação dos modelos de demada e aálse de seus dados. A defção do sstema adequado ara os dversos tóos da aálse da demada é muto mortate. Igualmete mortate é a dsussão das hóteses ertetes quato às referêas dos osumdores e aos rtéros de agregação. Mas, ada, há um desafo a ser efretado a adatação do modelo teóro às téas eoométras de estmação. O obetvo ral desse estudo é estmar as elastdades da demada ara uma sére de bes o Brasl. Parte-se de um modelo de demada om desão em dos estágos, em que o osumdor rmero dede quato à aloação de reda ara determados tes agregados de o-

10 sumo e deos, defe em que rodutos esse orçameto será gasto. No rmero estágo, assumese que as referêas são deedetes etre os gruos de bes de osumo agregado e, o segudo estágo, osderam-se as hóteses de referêa deedete ou de searabldade fraa das referêas. Essa dssertação é omosta or quatro aítulos. No Caítulo são aresetados os lares da teora da demada, utlzado a abordagem da dualdade. Também são dsutdos os oetos de efeto substtução e de efeto reda, os quas têm grade mortâa a aálse emíra das referêas do osumdor. A mortâa desse aítulo também deve ser ressaltada devdo ao exame que se roura fazer das questões lgadas aos estágos de desão orçametára e searabldade das referêas, que ossuem otável fluêa o desevolvmeto dos sstemas de demada. O Caítulo 2 é destado ao estudo da abordagem dfereal da demada, a qual é baseada a déa de dfereas totas da demada om reseto à varações de reda e reços. Mas esefamete, essa abordagem da teora mroeoôma será alada ao modelo de Workg, ara ele lur a varação de reços relatvos, além da reda. O roduto fal dessa alação é o modelo de Workg om referêas deedetes, também hamado de modelo Flórda, o qual é utlzado a arte emíra desta dssertação. No terero aítulo, são emregados os dados de osumo das famílas do Sstema de Cotas Naoas do Brasl, do eríodo , ara aalsar o omortameto da demada agregada das famílas ara 3 grades gruos de osumo. A artr desses dados, são aluladas as elastdades reda, reço e reço-ruzada da demada, de modo a avalar as dferetes questões relaoadas ao osumo de ada ategora. Também é efetuada uma aálse eseífa quato ao omortameto das famílas o que se refere à demada de eerga elétra. O quarto é últmo aítulo é reservado ara a dsussão do segudo estágo de desão orçametára. A artr dos dados da Pesqusa de Orçametos Famlares, do IBGE, de 995/96, são obtdas formações de reços e gastos de 2 rodutos almetares, ara os quas são aluladas as elastdades-reço e reda, utlzado-se o Modelo Flórda. Essas meddas de sesbldade da demada são de mortâa ara a dsussão dos adrões de osumo de almetos o Brasl. 2

11 Caítulo Fudametos da Teora do Cosumdor O resete aítulo roõe-se a reatular as ras defções da teora do osumdor, o setdo de dar embasameto ara a aresetação da metodologa desevolvda os aítulos segutes, em que serão emregadas alações eoométras à aálse de omortameto do osumdor. A seção. oetra-se os fudametos eoômos da teora da demada, bem omo as roredades da fução de demada, destaado a questão da dualdade e dos efetos reda e substtução a aálse da demada. A seção.2 trata da esolha dos modelos de demada, hamado a ateção ara os fatores que determam o osumo das famílas, as araterístas da estmação da Curva de Egel e os roblemas eoométros eotrados esses modelos. Por fm, a seção.3, será dsutda brevemete a questão da searabldade e da agregação de bes. Os trabalhos que foram utlzados omo referêa bása esse aítulo são os de Gree (97), Deato e Muellbauer (980), Barbosa (985), Deato (986) e Jehle e Rey (2000).. Fudametos Eoômos da Teora da Demada Essa dssertação tem omo foo a aálse da demada. Desse modo, uma revsão da estrutura fudametal da aálse do omortameto do osumdor faz-se eessára, ara atgr om rofuddade os obetvos do trabalho emíro. Nas róxmas seções e subseções serão efetuadas breves desrções sobre o omortameto do osumdor detro da vsão eolássa da teora da demada, ressaltado as questões teóras oeretes às artulardades desses modelos quado se tem em mete sua avalação emíra... As Hóteses da Preferêa do Cosumdor O omortameto do osumdor é embasado a Teora da Esolha Raoal, a qual se basea o oeto de referêas. A hótese ral que tradoalmete ermea a teora do omortameto do osumdor é a de que os osumdores são raoas, ou sea, os dvíduos

12 aloam raoalmete seus gastos de aordo om sua restrção orçametára. Por esse aseto, o agete osome somete aquele bem (ou esta de bes) que lhe dá o máxmo de satsfação, observado-se: ) o reço e a dsobldade desses bes; ) o reço dos demas bes; ) a reda dsoível ara sua aqusção; e v) seus hábtos e gostos artulares. Formalmete, o omortameto raoal é tratado de aordo om uma sstematzação de um outo de referêas. Mas esefamete, osdera-se um outo de alteratvas elas quas o osumdor faz suas esolhas, de tal modo que ossa satsfazer seus deseos. 2 Assm, as quatdades adqurdas de ada bem, em determado eríodo de temo, rooroam um grau de satsfação ao osumdor deomado utldade. É atural que o osumdor se defrote om um grade úmero de bes (ou estas de osumo) a esolher. Nesse aso, as quatdades osumdas de ada bem são determadas a artr de uma relação de referêas do osumdor. O oeto rmáro dessa teora é a relação ser ao meos tão bom quato, deotada or f. Assume-se que essa relação é reflexva, omleta, trastva e otíua. Logo, ela ode ser reresetada or uma fução utldade otíua, U, defda ara um vetor = ( q, q, 2, ) adqurr desses bes: q otedo as quatdades que o osumdor se dsõe a K ( ) = u( q, q, 2 ) q q U = u q, (.) K Deve-se otar que esse vetor q ossu a roredade de que A q e B A B q é equvalete à u( ) u( q ) A B q f q q, sgfado dzer que f é ovexa., ara dos vetores quasquer Dadas as hótese de omletude, trastvdade e otudade de f ode-se afrmar que u ( q) é estrtamete resete em q. Alada à hótese de ovexdade de f, osderado que, A B B, µ q + ( µ ) q q tem-se, de medato, que a fução utldade ( q) ara 0 µ u é quaseôava, ou sea: Deve-se tratar um osumdor, essa dsussão, ão eessaramete omo um dvíduo, mas também omo uma famíla ou um domílo. 2 Esse outo de referêas é fruto da hótese, assumdo a exstêa de lvre merado, de que o osumo de um bem é essealmete deedete dos reços e da dsobldade dos rodutos. 4

13 u A B ( ) u( q ) B B ( q ) u( q ) A q u q + ( µ ) µ (.2) Pode-se dzer, dessa forma, que o osumdor age o setdo de maxmzar uma fução utldade resete, otíua e quase-ôava. É omum, também, assumr as hóteses de quaseoavdade estrta da fução utldade (logo, deve-se admtr que 0 < a < ), de dfereabldade e de que todos os bes são esseas (ou sea, todos os bes, em qualquer rustâa, são adquríves). A Fgura, obtda de Deato (986,. 770) areseta três urvas de dfereça assoadas à dsttas fuções-utldade, lustrado ada uma dessas roredades e a stuação em que ada uma delas se equadra. Na Fgura. aeas a urva de dfereça A está assoada às roredades da dfereabldade e quase-oavdade estrta. Essa urva rereseta a stuação em que q 2 é um bem esseal e q ão é. Como q 2 tede a zero, seu valor margal relatvo à q tede ao fto ao logo da urva de dfereça, sgfado dzer que q 2 é semre adqurda em quatdades ostvas. As urvas B e C ossuem segmetos quebrados que exluem a roredade de quas-oavdade estrta. Esses segmetos de reta, etretato, são mortates a aálse emíra, os reresetam substtutos erfetos: or exemlo, etre os otos S e T a urva B - stuação esta omum quado se trata de duas varedades do mesmo bem - o osumdor ão faz dfereça a uma ombação de q e q 2. q 2 C B A S C T B Fgura. Curvas de dfereça lustrado as roredades de quas-oavdade, dfereabldade e essealdade dos bes A q 5

14 A ão-dfereabldade oorre as quebras das urvas B e C. Dada uma restrção orçametára lear, uma quebra mla que ara determada faxa de reços relatvos, dos ou mas bes são omrados em roorções fxas. A fução utldade orresodete à urva C - fução utldade de Leotef - traduz a stuação em que os oefetes de troa são fxos, ou sea: ( ) = { α q, α q,, α } u q m 2 2 K q (.3) A relação ama é artularmete mortate quado se quer avalar relações fxas etre bes omlemetares e ode ser, mutas vezes, oveete a estratéga de modelagem (Deato, 986,. 77)...2 O Problema da Esolha do Cosumdor A aálse eolássa da teora da demada assume que a demada do osumdor é dervada a artr da maxmzação da utldade. A remssa bása desse roblema é a de que o osumdor raoal semre esolhe a alteratva de osumo assoada ao maor ível de bem-estar, de a- ordo om a reda e a relação de referêas do osumdor, reresetada ela fução utldade. Cosderado que o osumdor em questão oera detro das regras de uma eooma de merado, deve-se suor que: ) há um merado ara ada bem ; ) há um reço,, que revalee ara ada bem, ode > 0 ( =, K, ); ) o osumdor ão terfere em ada merado, de tal modo que o vetor de reços de merado, > 0, é dado do oto de vsta do osumdor; e v) o osumdor é dotado de uma reda omal y 0. Os valores de y e, ortato, defem o outo orçametáro do osumdor. Essas regras requerem, desse modo, que o gasto total, ão exeda a reda do dvíduo, ou sea, que: q, = q y, ( =, K, ). forma: 3 Assumdo que o río de ão-saedade é garatdo, essa restrção ode ser esrta a 3 Por smldade de otação suõe-se que é um vetor-lha e q é um vetor olua, de modo que q é o roduto esalar que rereseta o gasto total. 6

15 q = y (.4) Assm, o roblema do osumdor ode ser traduzdo omo a maxmzação da fuçãoutldade (.) sueta à restrção orçametára (.4), ou sea: ( q) maxu = u s.a. q = y (.5) Dadas as roredades de quas-ovexdade estrta e dfereabldade de u ( q) e que o outo orçametáro do osumdor é ovexo, a solução ara o roblema de maxmzação ama exste e é úa. 4 Reesrevedo-se a restrção orçametára a forma y q = 0, a solução deste roblema ode ser obtda a artr da exressão de Lagrage (L): L ( q λ) = u( q) + λ( y q), (.6) em que λ é o multlador de Lagrage. A odção de rmera ordem ara um máxmo de L é obtda dfereado-se (.6) om reseto a q, ara =, K,, e y, e gualado a zero, resultado as segutes odções de equlíbro do osumdor: L q u = q ( q) = λ ( =, K, ) (.7) L λ = y q = 0 (.8) Resolvedo as equações (.7) e (.8) om reseto à q obtem-se a solução do roblema: ( y) q = q = q, (.9) 4 A exstêa de solução deorre de que a restrção orçametára é um outo ão-vazo, se y > 0, fehado e lmtado (ortato omato) se > 0 e de que u(q) é otíua. A udade, or sua vez, deorre da hótese de ovexdade das relações de referêas (Jehle e Rey, 2000, ). 7

16 A fução (, y) q é oheda omo fução de demada ão-omesada, ou marshallaa, e exressa a quatdade demadada de ada bem omo uma fução dos reços e da reda total. 5 Uma oseqüêa mortate dessa solução advém da ombação de (.7) om (.8). Dvddo ambos os lados de (.7) or, resulta que: u ( q) q u( q) = ( q ) = λ (.0) O valor de λ o oto em que a máxma utldade é atgda, dada a restrção orçametára, é ohedo omo utldade margal da reda. Em outras alavras, quado (.7) é ombada om a restrção orçametára, obtem-se a taxa de resmeto da utldade, medda em udades de λ, dado que o osumdor reebe uma udade moetára adoal de reda e a gasta a aqusção de quasquer dos bes. Város sstemas de equações de demada têm sdo dervados das odções de rmeraordem exressas or (.7) e (.8). Thel (980, Ca. 2) e Deato e Muellbauer (980, Ca. 3) aotam algumas formas fuoas eseífas a artr de hóteses relaoadas à fução utldade. Em geral, o que se busa a aálse emíra são os efetos de mudaças de e y as quatdades osumdas. Nas róxmas duas subseções são dsutdas as formas usuas de avalação desses efetos a artr do estudo da utldade dreta e das roredades da demada...3 Fução de Utldade Idreta, Fução de Gasto e Dualdade Na subseção ateror, o roblema do osumdor fo desrto omo a maxmzação da fução-utldade ara um dado ível de reda. Este roblema, também deomado rmal, ode ser reesrto substtudo-se a equação (.9) o roblema (.5), resultado em: v ( y) ( q) maxu = v, = (.) s.a. q = y 5 O termo ão-omesada refere-se à resosta das quatdades osumdas q quado alterações os reços ão são omesados or uma alteração a reda omal, equato que a reda real ermaee ostate. 8

17 A fução v (, y) é oheda omo fução utldade dreta e exressa a máxma utldade aessível elo osumdor raoal, dados os reços e a reda y, ou sea: U U ( q q,, q ) = v( q (, y), q (, y),, q (, y) ) = v( y) = v K K (.2), 2 2, Quado u ( q) é otíua, v (, y) é bem defda. E, se o roblema de maxmzação tem solução úa, sto é, quado a fução de demada marshallaa (, y) dreta também ode se reresetada da segute forma: q exste, a fução utldade (, y) = u( q( y) ) U = v, (.3) No etato, é ossível reformular esse roblema, dzedo que a esolha do osumdor ode ser uma quatdade de bes que mmza o gasto moetáro eessáro ara atgr o ível de satsfação e ( u) U. Esse roblema é ohedo omo dual e ode ser reresetado da segute forma: m y = q, = (.4) s.a. v( q) = U Chamado de φ o multlador de Lagrage e utlzado o mesmo roedmeto de resolução do roblema rmal, o roblema (.4) overte-se em: L ( q φ) = q + φ( U v( q) ), (.5) uas odções de rmera ordem resultam em: q u = q ( q) L = φ ( =, K, ) (.6) L φ = u( q) = U (.7) Este outo de odções rooroam a resolução do roblema dual ara q a forma: q ( U ) h q = q, = (.8) 9

18 h em que (, U ) q é a fução de demada omesada ou hksaa, em otraste à demada marshallaa (, y) q. 6 Dvddo (.6) or obtem-se: u( q) q u( q) = = ( q ) φ (.9) em que φ ode ser terretado omo o verso da utldade margal da reda. Se o roblema de mmzação tem solução úa, sto é, se a fução de demada hksaa (ou omesada) (, U ) h q exste, a resolução do roblema ode ser esrta a forma: e h (, U ) q (, u) = (.20) A fução e (,U ), oheda omo fução gasto, é a solução do roblema dual em que o osumdor defrota-se om mímo usto ara atgr U, dado o vetor de reços. Uma roredade mortate dervada da fução gasto, também oheda omo Lema de Shehard, mostra que, se e (,U ) é dfereável em, etão: (, u) e q h (, u) = q (.2) Este lema mla que a dfereação fução gasto om reseto aos reços roduz um sstema de equações de demada que exressa as quatdades em termos da utldade e dos reços. Uma vez que a maxmzação da utldade e a mmzação do usto devem mlar a mesma esolha, o río da dualdade garate, dessa forma, que o gasto o roblema rmal deve ser o mesmo que a mmzação de ustos o roblema dual. Em ambos os asos, ortato, os valores ótmos de q são assíves de serem eotrados: o roblema rmal a solução é a fução de demada marshallaa q (, y) (, U ) ; o roblema dual a solução é a fução de demada hksaa h q. Os resultados obtdos até aqu odem ser stetzados através do Quadro.. 6 O termo omesada deve-se ao fato de que as quatdades demadas q são flueadas elos reços, matdo o ível de utldade U ostate. 0

19 Quadro. Sítese das fuções de demada a Teora do Cosumdor Fuções de Problema Caraterístas Demada Não-omesada max U = v( q) q = q(, y) Prmal Observável s.a. q y (marshallaa) Homogêea de grau zero em (, y) Dual h m q q = q (, U ) s.a. v( q) U (hksaa) Comesada Não observável Homogêea de grau zero em Como a fução utldade dreta e a fução gasto estão tmamete relaoadas, e uma vez que u ( q) é otíua e estrtamete resete, etão: (, v(, y) ) y e = (.22) ( e(, u) ) U v, = (.23) A relação (.22) dz que se v (, y) é a maor utldade que ode ser atgda dados os reços e a reda y, etão y é o mímo que se eessta gastar ara atgr tal utldade ao ível de reços. Em (.23), or sua vez, se e (,U ) é o mímo que eessáro ara atgr a utldade U, etão a maor utldade que se ode atgr ao ível de reços, dado que se dsõe de e (,U ), é U. É ossível otar também que se u ( q) é otíua, estrtamete resete e estrtamete quaseôava, etão ara >> 0, y 0 e u U : q q h (, y) q (, v( y) ) = (.24), (, y) q (, e( u) ) = (.25) h, A relação (.24) mostra que a demada marshallaa ao ível de reços e reda y é gual à demada hksaa ao íves de reços e utldade U a qual é a máxma que ode ser atgda a ível de reços e reda y. Em (.25), a demada hksaa, ao reço e ível de utldade U, é a mesma que a demada marshallaa, dados estes reços e um ível de reda (que dever ser gual ao mímo gasto eessáro ara atgr este ível de utldade).

20 2..4 Os Efetos Reda e Substtução Uma mortate questão a aálse do omortameto do osumdor refere-se às resostas que se deve eserar, em relação às quatdades demadadas, quado os reços varam. Ao se osderar ostates tato os reços das meradoras, omo a reda, as quatdades osumdas que rooroam a satsfação máxma do osumdor são defdas a osção de equlíbro, que exste e é úa elas odções exostas ama. Caso haa alguma varação a reda ou os reços ou em ambas as varáves, a osção de equlíbro do osumdor é alterada. A deomosção dos efetos dessa alteração ode ser observada fazedo om que todas as varáves mudem smultaeamete. 7 Dessa forma, realzado a dfereação total de (.7) e (.8), ara todos os bes,, K =, obtem-se o segute sstema lear: ( ) ( ) = + + = + + = + + = q y q q q u q u q u q u d d d d d d d - d d d d - d K M λ λ λ λ (.26) em que q U u =. Por oveêa, (.26) ode ser reesrto a forma matral, substtudose,, K or λ λ u,u, K, ou sea: = =?? q dy q q u u u u u u u u d d d d d d 0 M M K M O M M K K λ λ λ λ λ (.27) O hessao orlado do lado esquerdo de (.27), deomado de U, é ão-sgular e egatvo sem-defdo, dado o río da utldade margal deresete. 8 Dessa forma, ode-se resolver (.27) ara qualquer dos q d ela regra de Cramer. A solução ara dq é dada or: 7 Este eáro, utamete om as hóteses de taxa margal de substtução deresete e utldade margal deresete, fo retratado om alto rgor matemáto or Slutsky (95). 8 A odção de ão-sgulardade ode ser verfada uma vez que o determate de U é ão-ulo. A odção de egatvdade sem-defda, or sua vez, é obtda a artr da odção sufete de seguda ordem ara um máxmo

21 3 u u u u u u u u u u u u u q y dq K M O M M K K K M O M M K K 0 d d d d 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ = (.28) Na exasão do determate, o oefete de q y d d, o umerador de (.28), é o ofator U do elemeto u o hessao orlado U defdo em (.27), om todos os elemetos da rmera olua dvddos or λ. O oefete de d λ é o ofator de U do elemeto ( ) u u = de U, om ada elemeto da rmera lha e da rmera olua dvddo or λ. Com sso, temse: ( )( ) ( ) ( ) U U q y U U? U U q y U q d d d d d d d = + = λ λ λ λ λ (.29) Se aeas a reda y vara, segue-se de (.29) que: U U y q λ = (.30) Se aeas vara, utlzado (.30), resulta: y q q U U U U q U U q = = λ λ λ (.3) Geeramete, ode-se reresetar (.3) omo sedo: Y S T y q q q q =,,,, K = (.32) de L(q,λ) em (.6), em que os meores ras orlados de U devem se alterar de sal, sedo o sal de U o mesmo de ( ) (Gree, 97, ).

22 que é a equação de Slutsky 9. Pela equação (.32), o efeto-total (T) da varação de reço de um bem, suodo que os demas reços e a reda ermaeçam ostates, ode ser deomosto em duas artes: o efeto-substtução (ES) e o efeto-reda (ER). O rmero termo do lado dreto de (.32) é o efeto-substtução. Assm, se, or exemlo, o reço de um bem dmu, este bem se tora relatvamete mas barato quado omarado aos outros bes. Como todos os bes são a río deseáves, deve-se eserar que o osumdor troque o bem relatvamete mas aro elo bem relatvamete mas barato. Ou sea, uma varação a quatdade demadada do bem, dada uma varação o reço do bem, leva a um desloameto ao logo da urva de dfereça, matda a reda real ostate. O efeto-substtução ode ser egatvo, o aso de bes omlemetares, ou ostvo, o de bes substtutos. O segudo termo do lado dreto de (.32) refere-se ao efeto-reda. Nesse aso, dada uma redução o reço do bem, haverá uma alteração a reda real do osumdor, ermtdo a este alterar as quatdades osumdas de todos os bes, ou sea, haverá um desloameto à dreta da reta orçametára, o que da uma alteração o oder aqustvo do osumdor. Se o efetoreda for ostvo, tem-se um bem ormal; se for egatvo, um bem feror...5 Restrções da Fução de Demada As roredades das fuções de demada hksaa e marshallaa osttuem teoremas sgfatvos do oto de vsta eoômo, o setdo de assalar as araterístas e mlações do roesso de otmzação do osumdor dvdual em um otexto de tomada de reços. No etato, mutas dessas araterístas odem ser terretadas omo restrções que a teora mõe à esefação emíra das fuções de demada de bes de osumo. A hótese rual da teora da demada é a de que os dvíduos semre esolhem uma esta de osumo sobre a reta orçametára. Dessa hótese advem a roredade de orçameto equlbrado, ou adtvdade (addg-u), em que o osumdor exaure seus reursos a aqusção de bes e servços, ou sea: 9 A equação de Slutsky também é oheda omo a Equação Fudametal da Teora da Demada (f. Jehle e Rey, 2000,. 5). 4

23 (, y) = q ( y) y q, = (.33) Como a teora vsta até o mometo vsa um suorte ao trabalho eoométro, é mortate assalar as roredades que devem, em qualquer aso, ser verfadas a estmação de sstemas de demada. Serão aresetadas, a seqüêa, o restrções que são obtdas do estudo do roesso de otmzação. () Codção de agregação de Egel Posto que a restrção de orçameto equlbrado deve ser satsfeta, a varação de reda deve ser absorvda totalmete ela varação as quatdades demadadas de equlíbro. Dessa forma, dfereado (.33) om reseto à reda: = q y (, y) q (, y) dy = dy = y = (.34) Multlado e dvddo os elemetos do somatóro em (.34) or q y, e hamado w = q y, obtem-se: = q y q y y q = wη = (.35) = em que η é a elastdade-reda da demada do bem e w sua artação orçametára. () Codção de agregação de Courot O umrmeto da restrção de orçameto equlbrado mla que uma varação o reço de um bem deve ser absorvda totalmete ela varação as quatdades demadadas dos outros bes, de tal sorte que o gasto de aqusção otue sedo o mesmo. Assm, dfereado ambos os lados de (.33) om reseto à : = q (, y) d + q d = 0 (.36) 5

24 Multlado e dvddo os elemetos do somatóro em (.36) or q y e reordeado os termos obtem-se: = q y q q + y q = 0 = w e + w = 0 (, =, K, ) (.37) sedo e a elastdade-reço ruzada da demada do bem om reseto à ; e w e w as artações orçametáras dos bes e. () Codção de homogeedade que: Dado que as fuções de demada q(, y) ( K,, y) = f (?,,?, y) q = são homogêeas de grau zero em (, y), tem-se q = f, K? (.38) Alado o teorema de Euler a (.38): q q q + K + + y = 0 (.39) y e dvddo (.39) or q, roduz: q q q q y + K + + = 0 e + η = 0 (, =, K, ) (.40) q y q = Logo, a restrção de homogeedade mla que uma alteração rooroal a reda e os reços de todos os bes materá o osumo de qualquer bem alterado. (v) Codção de Smetra h Para uma dada fução de demada hksaa q (, u) smétros ara todo bem (smetra de Slutsky), ou sea:, os efetos-substtução ruzados são 6

25 h (, u) q ( u) h q, = ε = ε ( ) (.4) e,u = e, u 2 2 Como, elo Teorema de Youg, tem-se que ( ) ( ), a smetra exressa a equação (.4) ode ser rovada ombado-se esse resultado om o Lema de Shehard, de tal sorte que: h ( q (, u) ) h 2 (, u) q (, u) e( u) e, = = (.42) A restrção de smetra ermte, basamete, que o osumdor ossa esolher etre bes substtutos e omlemetares, omarado a quatdade demada de bem qualquer em relação ao reço de um bem. (v) Codção de egatvdade A odção de egatvdade advém da hótese de ovexdade da fução utldade. Assm, a matrz de efetos-substtução é semre egatva, ou sea, ara qualquer quatdade osumda q q S 0 (.43) Isso sgfa dzer que o efeto substtução move-se semre em setdo oosto ao movmeto de reços. Como oseqüêa dreta das odções (v) e (v), tem-se que (.43), a hamada matrz de Slutsky, é smétra e egatva semdefda: resolvedo ara o (,)-ésmo termo da equação de Slutsky aresetada em (.32) tem-se que: q S q = T q + q y Y (.44) Dada a odção (.43) é ossível deotar matralmete (.44) da segute forma: 7

26 q q q q + q K + q y y q s (, y) = M O M 0 ε (.45) = = q q q q + + q K q y y mlado dzer que todos os elemetos da dagoal ral são egatvos e de gual valor. As odções de adtvdade, homogeedade, smetra e egatvdade reresetam as restrções básas mostas a todas fuções de demada. É ossível, etretato, estmar as elastdades-reda e reço sem utlzar equações de demada dervadas da maxmzação da utldade ou mmzação do gasto, o que ermte a alação da eoometra usual a dados de sére de temo ou ross-seto..2 Orçameto em Dos Estágos e Searabldade Um osumdor ou uma famíla ode aloar sua reda em dversas etaas, ou estágos. Por exemlo, em um aso smles de dos estágos, o osumdor ode dedr, o rmero estágo, aloar a desesa total em grades gruos de roduto, tas omo bes duráves, ão-duráves, servços et. Nessa etaa, as úas formações eessáras são a reda e os reços defdos ara ada lasse de roduto. No segudo estágo, a desesa total, or exemlo, om os rodutos ãoduráves determados o rmero estágo, ode ser aloado em váras outras lasses de roduto erteetes a esse gruo, tas omo almetos, vestuáro, trasortes, habtação et. O gasto om lasses dvduas de meradoras de um gruo é exresso omo fução do gasto aloado em todo o gruo, defdo o rmero estágo, e dos reços detro do gruo. Desta maera, a demada de qualquer bem erteete a um gruo A ode ser desrta omo: A A A A ( E ) q = q, (.46) em que A A A ( q ) A é o vetor de reços dos bes detro do gruo A e E é o gasto total om o gruo A E =. No setdo de satsfazer a essa odção, ertas hóteses devem ser fetas. Uma 8

27 odção eessára e sufete ara o segudo estágo do modelo de aloação orçametára é a hótese de searabldade. 0 O oeto báso de searabldade é que o vetor q de bes ode ser artoado em N gruos ( q, q, K, q ). Logo, as referêas detro de um mesmo gruo odem ser desrtas A B N deedetemete das quatdades osumdas os outros gruos. Desse modo, a fução utldade ode ser exressa omo: A B ( v ( q ), v ( q ), K v ( q )) u = v, (.47) A B N N Sem erda de geeraldade, A q é dta fraamete searável se a fução utldade dreta toma a forma de: A A ( v ( q ) q ) u = v, (.48) A A oem que ( ) A q v é uma sub-fução utldade assoada à A q. Esta questão é equvalete à exstêa de um ordeameto das referêas em A q, sedo que as esolhas das estas referete à A q são deedetes do vetor A q. Logo, se a taxa margal de substtução etre quasquer dos bes detro do mesmo gruo é deedete do osumo de qualquer bem detro dos outros gruos, etão osdera-se esta omo sedo a searabldade fraa das referêas. Em otraste, se a taxa margal de substtução etre qualquer dos bes detro de dos dferetes gruos é deedete do osumo de qualquer bem detro de um terero gruo, dz-se que esta é a searabldade forte das referêas. A fução de utldade sob essa hótese é dada or: [ g ( q ) + g ( q ) + g ( q ) + ( )] u = f K+ g q m m (.49) que ode ser smlfada da segute forma: 0 A questão da searabldade das referêas e a déa do orçameto em dos estágos estão tmamete relaoadas uma a outra (Deato e Muellbauer, 980, Ca. 5). 9

28 R u = f v R ( q ) (.50) R Logo, se ada um dos gruos R q otém um úo bem, as referêas são dtas adtvas, ou que elas são deedetes. A Fgura.2, adatada de Seale, Regm e Berste (2003,. 6), e- xemlfa o roedmeto de um modelo de orçameto em dos estágos, retratado a questão da searabldade das referêas. Prmero Estágo Almetos Vestuáro Eduação Saúde Habtação Rereação Trasortes Cereas Cares Pexes Frutas/ Vegetas Óleos Latíos Bebdas/ fumo Segudo Estágo Fgura.2 Modelo de orçameto em dos estágos Paree razoável suor que os gastos om as grades ategoras de osumo o rmero estágo odem ser deedetes us dos outros. Dessa forma, a estmação do osumo, esse estágo, assume a hótese de referêas deedetes. Etretato, a demada de bes detro de ada ategora ode ão ser deedete. Por exemlo, mutos rodutos almetares são substtutos ou omlemetares e ossuem efetos ruzados mortates. Logo, quado se estma o se- 20

29 gudo estágo do modelo, a referêa deedete é substtuída ela hótese de searabldade fraa..3 Sstema de Equações de Demada Mutos esforços têm sdo fetos ara modelar as formas fuoas das equações de demada de aordo om as restrções da teora. Os sstemas de equações de demada utlzados os estudos emíros são desevolvdos, em geral, a artr da esefação da fução utldade, dreta ou dreta, ou através da aroxmação de um sstema de equações em termos dfereas. Em geral, os sstemas de demada são estmados observado-se as araterístas das famílas, traduzdas ela fução gasto, bem omo elas araterístas sóo-demográfas que afetam os adrões de osumo. Esse método vem aumulado uma extesa lteratura desde E. Egel em 857 o oero esse to de metodologa assado elos trabalhos de Workg (943), Pras e Houthaker (955), Leser (963), Barte (964), Thel (965), Dewert (97), Chrstese, Jorgeso e Lau (975) e Deato e Muellbauer (980), até os trabalhos mas reetes omo o de Thel, Chug e Seale (989). A estmação de um sstema de demada a artr do desevolvmeto da Teora do Cosumdor fo almete desevolvda or Stoe (954) e, a artr de etão, úmeras esqusas têm sdo realzadas om o roósto de eotrar estmatvas de formas fuoas e esefações alteratvas. Etre os modelos mas utlzados tam-se: ) o Sstema de Desesas Leares (LES) 2, estmado almete elo róro Stoe (954), baseado a esefação de uma fução de demada marshallaa, e largamete emregado ara dados eseífos de um aís; 2) o modelo de Rotterdam, roosto almete or Barte (964) e desevolvdo or Thel (965, 975), que utlza tato a fução de demada hksaa quato a marshallaa; 3) os modelos Traslog de Chrstese, Jorgeso e Lau (975) e Adlog Idreto, troduzdo or Houthaker (960), ambos baseados a trasformação de uma fução-utldade dreta; e 4) o modelo AIDS Outra forma de se modelar a fução de demada a artr da ororação de araterístas das famílas, sera através de esalas de equvalêa, que avalam o bem-estar etre famílas de dversos tamahos, através das araterístas demográfas, eduaoas e ouaoas (Deato e Muellbauer, 980,. 9-92). 2 A sgla LES vem de Lear Exedture System. Esse modelo é dervado da fução-utldade Kle-Rub que, às vezes, também é referda omo fução-utldade Stoe-Geary (Thel, 980,. 9-0). 2

30 (Almost Ideal Demad System), desevolvdo or Deato e Muellbauer (980), a artr de fução de demada hksaa. Os modelos de demada de Rotterdam, Traslog e AIDs também são ohedos omo flexíves, os são dervados de uma fução utldade (ou gasto) que é gerada a artr de uma aroxmação de seguda ordem da fução orgal (Dewert, 97). Na seqüêa desta seção, roura-se mostrar os fatores que exlam a desão de osumo das famílas, além da trodução do modelo de Workg, que fo a rmera exerêa bem suedda de alação da restrção de adtvdade a um sstema de demada. Por fm, são aalsadas algumas questões relaoadas à esolha do sstema de demada adequado às restrções teóras estabeledas elos modelos..3. Fatores de Exlação do Cosumo das Famílas Um dos otos de artda a esolha do sstema de demada a ser utlzado advém das les relatvas ao omortameto do osumdor. Algumas dessas les foram ostuladas or E. Egel ara lassfar os bes em eessáros, ferores e de luxo. Barbosa (985,.85) ta as segutes roosções: ) a almetação osttu o tem mas mortate do orçameto domésto; ) à medda de que a reda aumeta, a artação dos gastos om bes de luxo aumeta, equato as artações dos gastos om morada e vestuáro ermaeem aroxmadamete ostates. 3 É verdade, oforme aota Barbosa (985,. 85), que essas les sofrem a fluêa do temo e do desevolvmeto dos aíses. No etato, a utlzação de orçametos famlares ada rereseta uma fote mortate ara o estudo do omortameto do osumdor. 4 Em geral, as esqusas de orçametos famlares aresetam uma equea varabldade os reços dos bes e servços, deededo, todava, do eríodo elo qual a esqusa se estede. A- eas o setdo de ratdade, admte-se que os reços seam guas ara todos os osumdores. Desse modo, de aordo om a teora do osumdor, a equação de demada elo -ésmo bem ode ser exressa omo: ( y ) q = q, =, K, (.5) 3 Outros fatores, que ão a reda, odem evetualmete afetar o osumo dos dversos bes e servços, omo, or exemlo, a lasse soal do osumdor, omosção da famíla, ouação, ível de esolardade et. (Barbosa, 985,. 86). 4 Detalhes sobre outros asetos das esqusas de orçametos famlares serão aresetados o Caítulo 4 desse estudo. 22

31 em que ( y ) q da que os reços são ostates. A equação (.5) é a reresetação da hamada urva de Egel, que também ode ser aresetada omo uma relação etre a desesa om uma determada meradora e a reda, ou sea: y = q, =, K, (.52) A úa restrção que se ala às urvas de Egel, segudo a teora do osumdor, refere-se à equação orçametára. Nesse aso, a soma das desesas a aqusção dos dversos bes de osumo deve ser gual à reda do osumdor. Logo: q = = = y = E (.53) em que E é a varável roxy ara a reda que defe o total de gastos da famíla..3.2 O Modelo de Workg A teora eoôma ão da uma forma fuoal eseífa ara as urvas de Egel aresetadas em (.52). Pras e Houthaker (955), em seu estudo lásso sobre o assuto, exermetaram dversas formas fuoas, tas omo, a lear, a dulo-log, a sem-log, a herbóla e a log-reíroa. Cada uma dessas fórmulas otha uma araterísta sueror a outra, deededo do to de bem e da faxa de reda dos osumdores, e em todas são osstetes om a restrção de adtvdade, o que torou as estmatvas baseadas esse modelo ouo embasadas do oto de vsta teóro. No etato, um modelo extremate útl, e osstete om a adtvdade, fo estmado or Workg (943) e Leser (963) ara uma forma fuoal da Curva de Egel estmada ara a demada de almetos. 5 Esse modelo, relaoa learmete a artação orçametára do bem, w, defda or: q w = (.54) E 5 Esse modelo também é hamado Workg-Leser, ou smlesmete modelo de Workg. Pras e Houthakker (955) também o deomam omo modelo sem-log. 23

32 om o logartmo da reda (ou desesa total) E, ou sea: w = α + β log E (.55) em que α e desde que: β são os arâmetros estmados. A adtvdade requer que w =, que é satsfeta = α = e β = 0 (.56) = Na verdade, se (.54) é estmada equação or equação através de mímos quadrados ordáros, os arâmetros αˆ e βˆ satsfarão automatamete à exressão (.56). Ademas, o modelo ermte lassfar os bes em eessáros ( β < 0 ) ou suerores ( β > 0 ). O modelo de Workg retrata uma das mas mressoates regulardades emíras da Le de Egel, em que a artação orçametára om almetos a om o aumeto da reda. Deato e Muellbauer (980) e Thel, Chug e Seale (989) têm eotrado fortes evdêas em favor do modelo de Workg ara outros asetos das roosções de Egel. As extesões dos sstemas de demada formuladas or esses autores a artr do modelo de Workg, além de estarem de aordo om as restrções adtvdade e homogeedade, ermtem alações emíras da teora a um ível mas geral, ralmete elo fato de a equação (.55) ser adatada ara lur mudaças os reços relatvos..3.3 A Esolha do Modelo de Demada Fo vsto a subseção..5 que as fuções de demada marshallaa e hksaa devem satsfazer às restrções mostas ela teora da demada. O modelo LES, or exemlo, admte as restrções de homogeedade, adtvdade, smetra e egatvdade, sem erder a leardade da fução (Deato, 980,. 66), embora essas odções teham que ser mostas algebramete detro do modelo. No etato, o formato eular da fução utldade Kle-Rub mõe severas restrções à aálse do omortameto do osumdor, tas omo, a mossbldade se averguar a omarabldade etre bes e a exlusão de bes ferores, devdo ao fato de que as arta- 24

33 ções orçametáras margas obtdas da estmação são ostates om a varação da reda (Barbosa, 985, e Seale, Regm e Berste, 2003). No modelo de Rotterdam, or outro lado, as restrções odem ser mostas dretamete o modelo e odem ser estatstamete testadas. Ademas, esse modelo ermte a avalação de bes substtutos e omlemetares, além da alação da roredade de searabldade das referêas. Desse modo, a desesa total ode ser artoada em gruos de bes, ermtdo a aálse das referêas de um gruo deedetemete das quatdades de outros gruos. No etato, o modelo de Rotterdam tem a desvatagem, omo o modelo LES, de roduzr artações orçametáras margas ostates, levado a resultados otratutvos em termos de varação a reda (Seale, Regm e Berste, 2003). Outra desvatagem deve-se à flexbldade do modelo, que mla um úmero bastate alto de arâmetros a serem estmados (Barbosa, 985,. 82). 6 O roblema de artação orçametára margal ostate é evtado o modelo AIDS, em que um sstema de demada ode ser gerado ara grades gruos de meradoras. Com sso, varações o ível de gasto das famílas assaram a gerar alterações as elastdades-reda. No etato, o modelo AIDS areseta graves desvatages: ) os arâmetros do modelo são ãoleares e oorrem em grade úmero, o que dfulta a estmação, ) a odção de egatvdade ão é satsfeta; e ) a searabldade das referêas ão é determada or uma esefação geral (Seale, Regm e Berste, 2003). Etretato, Thel, Chug e Seale (989) rouraram soluoar os roblemas ama exostos ombado o oeto etral do modelo AIDS, que é o modelo de Workg, om a abordagem dfereal da demada e os atrbutos da searabldade do modelo de Rotterdam. Na seqüêa desta dssertação, o desevolvmeto desse modelo será aalsado mas substaalmete (Caítulo 2), bem omo as deorretes alações emíras e extesões (Caítulos 3 e 4). 6 Equato o modelo LES ossu 2 arâmetros, o modelo de Rotterdam ossu ( + ) arâmetros (Barbosa, 985,. 82). 25

34 Caítulo 2 A Abordagem Dfereal da Demada e O Modelo Flórda No atulo reedete, a teora da demada fo fudametada sobre a Teora da Esolha do osumdor. O oeto de utldade fo utlzado ara defr o ível de satsfação ou bem-estar que ermtra uma aloação eseífa da reda etre dferetes rodutos. A base da aálse da demada fo o roblema de omo maxmzar a utldade om reseto a um dado ível de reda (restrção orçametára). Alteratvamete, esse roblema oda ser exresso omo a mmzação da desesa ou gasto sueta a um determado ível de utldade, ua resolução levava a um outo de equações de demada que exressa quatdade demadada de ada bem omo uma fução do reço desses bes e da reda total. A fução de demada baseada a maxmzação da utldade fo hamada de demada marshallaa, ou fução de demada ão omesada, ao asso que a fução de demada obtda da mmzação, fo hamada de demada hksaa, ou fução de demada omesada. Todas as fuções de demada estavam suetas a quatro restrções básas, adtvdade, homogeedade, smetra e egatvdade. Logo, a estmação de elastdades-reda e reço através de sstemas de equações de demada devera resetar tas restrções. Etretato, em todos os sstemas de demada são osstetes om a teora eoôma aresetada. Thel, Chug e Seale (989) rouraram ostrur um sstema de demada que eglobasse tas restrções e que refletsse aroradamete o omortameto do osumdor. Esse modelo emrega, basamete, o roesso de aloação orçametára de dos estágos dsutdo o aítulo ateror e a abordagem dfereal da demada. O resete aítulo tem, omo obetvo, desevolver os lares da abordagem dfereal da teora da demada abordado or Thel (975, 980) e que rereseta a base teóra do modelo de Rotterdam e do sstema desevolvdo or Thel e omaheros da Uversdade da Flórda. Toda a téa da abordagem dfereal é aresetada a seção 2., a artr das obras de Thel (980) e de Thel, Chug e Seale (989). Essa seção também trata da ustfatva da hótese de refe-

35 rêas deedetes a ostrução do modelo. A seção 2.2 dsute esefamete a alação da abordagem dfereal ao modelo de Workg om reços, que motva a ração do modelo Workg-PI, também hamado de Modelo Flórda. A seção 2.3 dsorre sobre a esefação eoométra do ovo sstema de demada e o álulo das elastdades-reda e reço a artr dele. A seção 2.4 eerra o aítulo om a dsussão sobre o método eoométro de estmação desse modelo. 2. A Abordagem Dfereal da Teora do Cosumdor 2.. Lhas Geras da Abordagem Dfereal Sea o vetor =,, os reços de bes de osumo e E uma determada reda (des- K esa) total dsoível. O roblema do osumdor é seleoar o vetor de quatdades q que maxmza a fução utldade ( q ) = q, K,q u sueta à restrção orçametára T q = E : 7 maxu s.a. ( q) T q = E (2.) O resultado é um sstema de equações de demada, ada uma desrevedo alguma quatdade q omo uma fução de + varáves deedetes, ou sea, E,, K,, ou sea: ( E ) q = q, (2.2) O método de dervação desse sstema, dsutdo o Caítulo, deorra da esefação de uma forma algébra da fução utldade ou da fução de utldade dreta do osumdor ou de sua fução gasto. A abordagem dfereal, etretato, ão requer uma esefação algébra al de uma fução, aarretado em grade flexbldade a estmação. Outra vatagem desse método é a ossbldade de dstgur o efeto-substtução deorrete de varações os reços (Thel, 980,. ). Essa abordagem é baseada a déa geral de se tomar o dfereal total das equações de demada om reseto às varações de reço e reda, o que evolve o uso de ídes de reço e 7 A reresetação da restrção orçametára é dretamete omarável om a equação (.4) do Caítulo, ode T é a trasosta do vetor-lha de reços. 27

36 quatdade de Dvsa. 8 Esses ídes são obtdos tomado-se o dfereal total da restrção orçametára E = q + K+ q (2.3) om relação aos reços e quatdades, obtedo-se = d E = q d + dq (2.4) = Dvddo ambos os lados de (2.4) or E e usado a defção de artação orçametára dada em (.53), roduz: ( log E) = w d( log ) + w d( logq ) = = d (2.5) Fazedo: ( log P) = d( log ) d w (2.6) = ( logq) = d( log ) d w q (2.7) = ode-se reesrever (2.5) omo a deomosção de Dvsa: ( log E) d( log P) d( logq) d = + (2.8) em que d ( log P) é o íde de reços de Dvsa a forma dfereal e ( logq) d é o orresodete íde de quatdades de Dvsa. Thel, Chug e Seale (989,. 50) observam que w em (2.6) e (2.7) ão são ostates, os são devdos aos íves de reda E do vetor de reços. Já as exressões ( log ) d e 8 Os ídes de Dvsa são examados em detalhe em Thel (980). 28

37 d ( log q ) ão odem ser tratadas omo íves, os são as médas dos logartmos de reços (ou quatdades) oderadas em relação à w A Equação Matral Fudametal de Barte No Caítulo mostrou-se que a maxmzação da fução utldade (.) odoada ela restrção orçametára (.4), resultava a odção de equlíbro u q = λ. É ossível, o etato, deotar du dq ara o vetor de dervadas de rmera-ordem da fução utldade (a utldade margal dos bes), assumdo que essa dervadas seam todas ostvas (río de ãosaedade). Assm, resolvedo o roblema do osumdor em (2.) obtem-se o segute lagrageao: T ( ) ( E) L = u q µ q (2.9) em que µ é o multlador de Lagrage. Dfereado (2.9) om reseto a q, vem: du dq = µ (2.0) A equação (2.0) rereseta a famlar rooroaldade etre as utldades margas e os reços. A rooroaldade e a restrção orçametára osttuem a odção de rmera ordem ara o máxmo odoado da fução utldade. A -ésma equação de rooroaldade (2.0) atesta que a utldade margal do bem é gual a or µ. Dvddo ambos os lados dessa equação, obtem-se a utldade margal de uma udade moetára gasta om o bem gual a µ. Logo, um aumeto de uma udade moetára a reda ausa um aumeto a utldade gual a µ, quado este aumeto é utlzado o gasto de qualquer um dos bes. Por esse motvo, µ é ohedo omo a utldade margal da reda. Combado (2.0) om a restrção orçametára T q = E, obtem-se + equações de + ógtas (µ e o vetor de quatdades q). O róxmo asso é a dfereação destas + equa- 29

38 ções om reseto às + varáves deedetes (reda E e o vetor de reços ). Barte (964) mostra que o resultado ode ser esrto através da segute matrz artoada: 9 T U dq de dq d 0 µ I = T T 0 dµ de dµ d q T (2.) ode U = 2 u q q é o hessao orlado da fução utldade; dq de e d T q d são as matrzes de dervadas de rmera ordem do sstema de demada (2.); e dµ de e d T µ d são as dervadas da utldade margal da reda. Assume-se que U é smétra egatva defda, odção sufete ara um máxmo odoado da utldade. 20 A rmera matrz à esquerda em (2.), que é quadrada de ordem +, é o hessao orlado da fução utldade. A matrz medatamete à esquerda do sal de gual também quadrada e de ordem + otém as dervadas de todas as varáves deedetes (q e µ) om reseto a todas as varáves deedetes ( e E). 2 Resolvedo a equação matral (2.) ara as dervadas dq de e dq d T, ode-se deduzr, omo resultado ral, que d T q d assa a ser reresetado omo uma soma de três termos (Thel, Chug e Seale,. 5): dq T d = dq dq de de dq de T T µ U φe q (2.2) ode φ é a flexbldade de reda, sto é, o reíroo da utldade margal da reda: 22 dµ E = (2.3) φ de µ 9 Brow e Deato (972) hamou a equação (2.) de equação matral fudametal da teora do osumdor em termos de varações ftesmas. 20 Pode-se osderar também a hótese de que U é egatva semdefda. No etato, a hótese forte de defção estrta é mortate, os assegura a sua versbldade de U (Thel, 980,. 5). 2 A solução dessa equação matral, bem omo a dervação de seus resultados, odem ser eotrados em Thel (965). A dervação de (2.) e a solução asso a asso ara dq /de é obtda em Thel, Chug e Seale (989, ). 22 Esse resultado também fo assegurado o Caítulo, equação (.9), a artr da odção de rmera ordem do roblema de mmzação da fução gasto. 30