MODELOS DE PREVISÃO PARA ÍNDICES CRIMINAIS EM TRÊS CIDADES DO SUL DE MINAS GERAIS JOSIANE MAGALHÃES TEIXEIRA

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1 MODELOS DE PREVISÃO PARA ÍNDICES CRIMINAIS EM TRÊS CIDADES DO SUL DE MINAS GERAIS JOSIANE MAGALHÃES TEIXEIRA 006

2 JOSIANE MAGALHÃES TEIXEIRA MODELOS DE PREVISÃO PARA ÍNDICES CRIMINAIS EM TRÊS CIDADES DO SUL DE MINAS GERAIS Disseração apresena à Universidade Federal de Lavras, como pare das exigências do Curso de Mesrado em Esaísica e Experimenação Agropecuária, para obenção do íulo de Mesre. Orienadora Profª. Drª. Thelma Sáfadi LAVRAS MINAS GERAIS BRASIL 006

3 JOSIANE MAGALHÃES TEIXEIRA MODELOS DE PREVISÃO PARA ÍNDICES CRIMINAIS EM TRÊS CIDADES DO SUL DE MINAS GERAIS Disseração apresena à Universidade Federal de Lavras, como pare das exigências do Curso de Mesrado em Esaísica e Experimenação Agropecuária, para obenção do íulo de Mesre. APROVADA em de fevereiro de 006 Prof. Daniel Furado Ferreira Prof. Marcelo Silva de Oliveira Prof. Luiz Gonzaga de Casro Júnior UFLA UFLA UFLA Profª. Drª. Thelma Sáfadi UFLA (Orienadora) LAVRAS MINAS GERAIS BRASIL

4 Dedico esa conquisa: Aos meus pais, Vanderley e Leuda: por serem os responsáveis por udo que sou, por nunca erem desisido frene às dificuldades e por serem exemplos a serem seguidos. A meu irmão Douglas, por às vezes mesmo sem se dar cona, er sido peça fundamenal para a conclusão de mais esa eapa.

5 AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar a Deus, por er me iluminado e me guiado por caminhos nem sempre fáceis. A Thelma Sáfadi, o meu sincero agradecimeno, por er sido mais do que professora e orienadora. À minha família por er sido o supore, firme e seguro, nos momenos difíceis e por erem sempre me dado condições de realizar meus sonhos. Aos professores do Deparameno de Ciências Exaas, da Universidade Federal de Lavras, pelos ensinamenos nas disciplinas e fora desas, pelo apoio e dedicação a nosso consane crescimeno. Aos funcionários do DEX. A Polícia Miliar de Minas Gerais por er cedido os dados uilizados nese rabalho. A meus amigos e colegas do curso de pós-graduação, em especial a Graziela, Verônica, Vanêssa, Rejane, Claudiney, Elias, Eusáquio, Parícia Mendes e Parícia Paranaíba, por comparilharem dos momenos alegres e das dificuldades. A meus amigos Valéria, Geovanne, Luciane, Luciana, Adriano e Régis por fazerem pare da minha vida. Ao Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico (CNPQ) pelo auxílio financeiro. E, aos demais, que direa e indireamene, conribuíram para a realização dese rabalho.

6 SUMÁRIO RESUMO... i ABSTRACT... ii INTRODUÇÃO.... Aspecos Gerais.....Objeivos..... Geral..... Específicos... 3 REFERENCIAL TEÓRICO Criminalidade Evolução do Esudo sobre as causas da criminalidade Sisema de Classificação e Codificação de Ocorrências da PM Índices de Criminalidade 9..4 Perfil Municipal Lavras, Alfenas e Varginha.... Séries Temporais Aspecos Gerais Modelos de Decomposição Modelos de Box e Jenkins Modelos Esacionários Modelos Não-Esacionários Função de Auocorrelação Função de Auocorrelação Parcial Teses para as Componenes Escolha do Modelo Análise de Inervenção... 38

7 .3. Aspecos Gerais Modelo para Inervenção Efeios da Inervenção Função de Transferência Aplicação da Análise de Inervenção MATERIAL E MÉTODOS Maerial Meodologia RESULTADOS E DISCUSSÃO Lavras Crimes Conra a Pessoa Crimes Conra o Parimônio Alfenas Crimes Conra a Pessoa Crimes Conra o Parimônio Varginha Crimes Conra a Pessoa Crimes Conra o Parimônio CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS... 96

8 RESUMO TEIXEIRA, Josiane Magalhães. Modelos de Previsão para índices criminais em rês cidades do Sul de Minas Gerais. Lavras: UFLA, p. Disseração (Mesrado em Agronomia/Esaísica e Experimenação Agropecuária). Universidade Federal de Lavras, Lavras, MG.* O presene rabalho eve como objeivo principal analisar o comporameno dos índices de criminalidade por 000 habianes, em rês cidades do Sul de Minas Gerais: Lavras, Alfenas e Varginha. Foram consideradas duas classes de crimes, Conra a Pessoa e Conra o Parimônio. Para cada uma das cidades consideradas, duas séries foram analisadas. As séries são consiuídas por dados mensais omados de Janeiro de 99 a Junho de 005. Os parâmeros foram esimados pelos modelos de Box e Jenkins acrescenando-se parâmeros para as inervenções. A verificação da adequabilidade dos modelos foi realizada aravés do ese de Box e Pierce. Para cada uma das séries foram proposos mais de um modelo, sendo a escolha do mais adequado realizada aravés do criério de Akaike. Na análise, as seis úlimas observações de cada série foram desconsideradas para serem uilizadas na comparação com os valores de previsão proposos por cada modelo. Os resulados demonsram que as previsões obidas com os modelos com inervenção são mais próximas dos valores reais observados. Palavras-chave: índices de criminalidade, série emporal, análise de inervenção, endência, sazonalidade. *Comiê Orienador: Thelma Sáfadi UFLA (Orienadora) i

9 ABSTRACT TEIXEIRA, Josiane Magalhães. Models of forecas for criminal indices in hree ciies of he Souh of Minas Gerais. Lavras: UFLA, p. Disseraion (Máser in Agronomy/Saisics and Agriculural Experimenaion). Federal Universiy of Lavras, Lavras, MG.* The presen work aimed chiefly o analyse o behavior of he índices of crime for 000 inhabians in hree ciies of he Souh of Minas Gerais: Lavras, Alfenas e Vareginha. Two classes of crimes were considered: agains he person and he parimony. For each one of he considered ciies, wo series had been analyzed. The series are consiued by moh averages from January of 99 o June of 005. Box and Jenkins models were fied, wih addiions parameers o accoun for inervenion. Reasonabiliy of fied models was evaluaed by Box and Pierce es. Amongs reasonable models for each series, one was chosen according o Akaike crierion. From he analusis he las 6 observaion of each series were disregarded o be compared wih he forecased values of each model. The resuls demonsrae ha he forecass goen wih he models wih inervenion are nex o he observed real values. Key-words: indices of crime, ime series, analysis of inervenion, rend, sazonalidade. *Guidance Commiee: Thelma Sáfadi UFLA (Adviser) ii i

10 INTRODUÇÃO. Aspecos Gerais As écnicas de análise de séries emporais vem sendo amplamene uilizadas em diversas áreas de pesquisa ais como a economia, ciências sociais, meio ambiene e ouras. Uma série emporal pode ser definida como um conjuno de observações de uma dada variável, disposa ordenadamene no empo, exisindo séries emporais discreas e conínuas. As séries conínuas podem ser ransformadas na primeira por uma simples ransformação. A análise de séries emporais rabalha com o comporameno dos dados no passado e presene, para que eses forneçam a idéia, juno com possíveis variações, dos dados no fuuro. Um dos principais objeivos do uso de séries emporais é a previsão e o méodo mais uilizado é o de Box e Jenkins, com o modelo ARIMA (auo-regressivo inegrado médias móveis) e suas variações. Para se ajusar os modelos de Box e Jenkins, é necessário que a série seja esacionária, livre de endência e sazonalidade. A meodologia proposa por Box e Jenkins se baseia em um ciclo ieraivo formado por eapas (idenificação da esruura do processo gerador da série emporal, esimação dos modelos proposos e previsão de valores fuuros), o qual consrói o modelo com base nos dados. Em algumas séries, evenos exernos a esas, ocorridos em insanes de empo geralmene conhecidos, chamados de inervenção, podem vir a alerar o comporameno da série emporal. Assim, o esudo dos índices de criminalidade é um campo no qual é apropriado o emprego de écnicas de séries emporais, viso que os dados

11 observados (índices de criminalidade) são omados de forma seqüencial no empo. O esudo da criminalidade possui uma longa radição nas ciências sociais, e uma grande imporância quando se analisa os benefícios que podem ser obidos com o emprego de meodologias adequadas. A imporância de se dispor de um méodo esaísico para a previsão de dados fuuros, relacionados a incidência criminal, esá na omada de decisões nas políicas de prevenção e combae a criminalidade. Uma das quesões de ineresse que surge quando se analisa o comporameno criminal de deerminada localidade, é descobrir se algum faor exerno (inervenção) é o causador de um aumeno nos índices criminais enconrados. Consiui ambém em faor de grande imporância o planejameno que pode ser realizado caso se consiga enender o mecanismo gerador de ais índices.. Objeivos.. Geral Idenificar modelos de previsão para a incidência de Crimes Conra a Pessoa (CCPE) e Conra o Parimônio (CCPA) nas cidades de Lavras, Alfenas e Varginha no Sul do Esado de Minas Gerais, por meio da análise de séries emporais, com o inuio de auxiliar, desa forma, o planejameno e a omada de decisão por pare da Polícia Miliar do Esado de Minas Gerais (PMMG).

12 .. Específicos - Idenificar e analisar o comporameno das séries em esudo, verificando, aravés de eses específicos, a presença das componenes endência e sazonalidade; - Observar a presença e efeios de possíveis inervenções sobre as séries emporais de Crimes Conra a Pessoa (CCPE) e Crimes Conra o Parimônio (CCPA) nas respecivas cidades; - Pesquisar e avaliar possíveis modelos de previsão para as séries, levando em consideração modelos com e sem inervenção (quando possível); - Fazer previsões para as séries emporais analisadas considerando os modelos aneriormene ajusados para cada uma desas. 3

13 REFERENCIAL TEÓRICO De acordo com Araújo e Fajnzylber (000), os aumenos nas axas de crimes, os elevados cusos a elas associados e a crescene imporância dada ao assuno em pesquisas de opinião êm levado os governos e a sociedade civil a encarar o problema da criminalidade como um dos mais sérios obsáculos ao desenvolvimeno econômico e social. O desafio é o de formular e implemenar políicas que permiam prevenir e reduzir o crime e a violência. Para ano, é de fundamenal imporância o desenvolvimeno de pesquisas que permiam avanços na compreensão das causas desses fenômenos, assim como a geração de bases de dados que permiam moniorar e melhorar o nosso enendimeno das endências espaciais e emporais da criminalidade.. Criminalidade A violência e a criminalidade esão enre os problemas sociais auais que vêm proporcionando grande preocupação, ano no Brasil como em ouras pares do Mundo. Segundo a DIAO (997), crime é fao ípico e ani-jurídico. Típico, porque, para que haja crime, é necessário que o fao eseja descrio em lei, iso é, que haja uma norma penal incriminadora, conforme exigência do princípio consiucional da anerioridade: Não há crime sem lei anerior que o defina, nem pena sem prévia cominação legal (Consiuição R.F. do Brasil, ar. 5º, inciso XXXIX). Ani-jurídico, porque o fao, para ser crime, além de ípico, deve ambém ser ilício, conrário ao Direio, ofensivo à vida social. Direriz Auxiliar das Operações: conceiuação, classificação e codificação das ocorrências na PMMG. 4

14 Segundo Lobo e Fernandez (003), a sociedade brasileira em reconhecido que o Esado em falhado no cumprimeno de uma de suas funções primordiais: proeger seus cidadãos conra os criminosos. O que se verifica na sociedade é um senimeno generalizado de insegurança e impunidade, a pono de fazer com que cidadãos de bem recorram às grades para buscar reclusão e segurança, e ao isolameno social, ornando-se reféns do próprio medo. Além diso, o crescene avanço da criminalidade gera um cuso para a sociedade, ao impedir o desenvolvimeno normal das aividades econômicas legais. Não é apenas o volume de recursos econômicos roubados ou gasos em segurança pública e privada o responsável por ese cuso social. Também se fazem responsáveis os recursos que deixam de ser uilizados no seor legal da economia, com ganhos para oda a sociedade, e são uilizados no combae da criminalidade (viauras, armameno, pessoal, reinameno, ec...). Segundo Beao e Reis (999), o Brasil, assim como ambém o resane da América Laina, apresena um grande défici social com enorme desigualdade, elevados índices de analfabeismo e alas axas de moralidade infanil. Apesar de, ainda se apresenarem em paamares elevados, ais índices vêm melhorando gradualmene. Ao conrário da melhoria deses indicadores a criminalidade avançou em proporções noáveis e preocupanes nos úlimos empos, ano em grandes cenros urbanos como em municípios menores. Araújo e Fajnzylber (000), argumenam que os aumenos nas axas de crimes, os elevados cusos a elas associados e a crescene imporância dada ao assuno em pesquisas de opinião, êm levado os governos e a sociedade civil a encarar o problema da criminalidade como um dos mais sérios obsáculos ao desenvolvimeno econômico e social. Para Lobo e Fernandez (003), exise um cero clamor por pare da sociedade no senido de que o Esado brasileiro deveria priorizar a reforma de 5

15 seu código penal e processual penal, oalmene ulrapassados, reesruurar o poder judiciário, para orná-lo mais ágil e eficiene; ao empo em que deveria repensar o papel e a forma de auação das insiuições policiais, reunificando-as, de modo a aender os anseios da sociedade. O fao é que a sociedade em clamado por penas mais duras para os criminosos, procedimenos processuais mais racionais e práicas adminisraivas que agilizem a jusiça, para punir mais rápida e eficienemene os infraores... Evolução do esudo sobre as causas da criminalidade Segundo Cerqueira e Lobão (003), o esudo sobre as causa da criminalidade em se desenvolvido em duas direções, no que diz respeio às moivações individuais e aos processos que levariam as pessoas a ornarem-se criminosas. Por ouro lado, êm-se esudado as relações enre as axas de crimes em face das variações nas culuras e nas organizações sociais. Uma das mais conhecidas abordagens colocava como deerminanes da criminalidade as paologias individuais. Tais ênfases biológicas das causas do crime, conudo, foram abandonadas após a ª Guerra Mundial, em virude do seu coneúdo racisa, que condenava as pessoas com deerminadas caracerísicas físicas a serem poradoras conínuas da doença da criminalidade. De acordo com Cohen e Felson (979), uma eoria que explique o comporameno social, em paricular o comporameno criminoso, deveria levar em cona pelo menos dois aspecos: a) a compreensão dos moivos e do comporameno individual; b) a epidemiologia associada, ou como ais comporamenos se disribuem e se deslocam espacial e emporalmene. Conforme Cano e Soares (00) aponaram, é possível classificar as diversas abordagens sobre as causas do crime em cinco grupos: 6

16 a) eorias que enam explicar o crime em ermos de paologias individuais; b) eorias cenradas no crime como aividade racional de maximização dos lucros; c) eorias que consideram o crime como subproduo de um sisema social perverso ou deficiene; d) eorias que enendem o crime como uma conseqüência da perda de conrole e da desorganização social na sociedade moderna; e) correnes que defendem explicações do crime em função de faores siuacionais ou de oporunidades. Mais dealhes a respeio dessas diversas abordagens podem ser visos em Cerqueira e Lobão (003). Diversos rabalhos êm sido desenvolvidos com o inuio de esclarecer e auxiliar as omadas de decisões por pare do Esado, Poder Público e Polícias Miliar e Civil. Pacheco e Andrade (004) procuraram idenificar faores sócioeconômicos associados aos furos e roubos em residências e de veículos nos municípios caarinenses uilizando a écnica de análise de regressão. Para ano, uilizaram dados obidos juno a Secrearia de Segurança Pública e Defesa do Cidadão de Sana Caarina e o conjuno de possíveis faores associados foi obido de Órgãos Oficiais de Pesquisa. Foram consruídas axas de criminalidade associadas aos ipos de crimes escolhidos, sendo esas usadas como variáveis dependenes. Os possíveis faores levanados esão relacionados à composição da família, migração, educação, infra-esruura de moradia e renda. Com o esudo, concluíram que a axa de furos e roubos em residências esaria associada aos faores migração, composição da família, renda e infra-esruura e a axa de furos e roubos de veículos, associada aos faores migração, renda e infra-esruura. 7

17 Araújo e Fajnzylber (000) apresenam as endências longiudinais e espaciais das axas de crimes em Minas Gerais, sendo realizada ambém uma esimação economérica dos deerminanes das axas de criminalidade nas microrregiões do Esado. Foram consideradas variáveis represenaivas os níveis educacionais médios, a desigualdade na disribuição de renda, o grau de urbanização, o grau de desorganização social e a paricipação de jovens na população. Denre os principais resulados, desacou-se o fao de que maiores níveis educacionais implicam em menores axas de crimes conra a pessoa e maiores axas de crimes conra o parimônio, a desigualdade de renda enconrase associada a maiores axas de homicídio (consumado e enado) e que uma maior proporção de jovens na população implica maiores axas de crimes, paricularmene aqueles conra a pessoa. Beao e al. (998) descrevem as endências da criminalidade violena em Minas Gerias por regiões adminisraivas e para algumas cidades uilizando os regisros da Polícia Miliar de Minas Gerais (PMMG) para o período de 986 a 997. Eles idenificam correlação fore enre as séries de ocorrências de crimes violenos em Belo Horizone e as séries dos municípios vizinhos e uma correlação fore enre os crimes violenos da Região Meropoliana de Belo Horizone (RMBH) 3, de Uberlândia e Uberaba (Triângulo Mineiro), Mones Claros e Governador Valadares. Beao (998), discue algumas abordagens que raam da disribuição espacial da criminalidade e analisa a incidência da criminalidade em 756 municípios de Minas Gerais, para o ano de 99, baseado nos dados da PMMG. Enenda-se por crimes violenos ocorrências classificadas como Homicídio, Homicídio Tenado, Esupro, Roubo e Roubo a Mão Armada. 3 A RMBH é composa pelos municípios de Baldim, Belo Horizone, Beim, Brumadinho, Caeé, Capim Branco, Confins, Conagem, Esmeraldas, Floresal, Ibirié, Iaguara, Iaiaiuçu, Jaboicaubas, Nova União, Juauva, Lagoa Sana, Mário Campos, Maeus Leme, Maozinhos, Nova Lima, Pedro Leopoldo, Raposos, Ribeirão das Neves, Rio Acima, Rio Manso, Sabará, Sana Luzia, São Joaquim de Bicas, São José da Lapa, Sarzedo, Taquaraçu de Minas, Vespasiano. 8

18 Uiliza esimadores de Bayes para corrigir as axas bruas de criminalidade dos municípios com o inuio de reduzir a insabilidade dos dados a fim deerminar correlações com os indicadores socioeconômicos. Denre os resulados obidos pelo esudo esá o fao de que pouco ou quase nenhuma variação da criminalidade violena parece esar associada às medidas de desigualdade, delios criminais são basane concenrados espacial e emporalmene já que enre as dez cidades com o maior número de crimes violenos quaro são da RMBH, duas esão no Triângulo Mineiro e as ouras são imporanes cenros urbanos de suas regiões. A incidência de homicídios é maior em municípios com menor grau de desenvolvimeno, al como medido pelo Índice de Desenvolvimeno Humano calculado pela Fundação João Pinheiro (FJP)... Sisema de Classificação e Codificação de Ocorrências da PM De acordo com a DIAO (997), o sisema de classificação e codificação de ocorrências esá esruurado em caegorias, grupos, classes e subclasses, sendo os grupos designados por leras do alfabeo (A, B,...), as classes definidas por dígios numéricos (0, 0,...) e as subclasses por 3 dígios (00,00,...). Nese rabalho uilizou-se grupos de ocorrências (A e B), esando suas classes e subclasses descrias no Anexo B...3 Índice de Criminalidade Beao e al (998), relaam que um dos problemas mais comuns em pesquisas sobre criminalidade é a comparação da ocorrência criminal enre diferenes populações ou em uma mesma população em diferenes momenos do 9

19 empo. Se as populações em quesão fossem idênicas em relação aos faores associados e geradores das ocorrências criminais, não exisiriam problemas em se comparar direamene o número de casos ocorridos em cada uma das populações. No enano, esas acabam por diferir em diversos aspecos que afeam o número absoluo de ocorrências, mas não o risco associado ao qual os cidadãos esão submeidos. O amanho da população é um dos aspecos fundamenais viso que, espera-se que, se uma população é o dobro da oura, sob o mesmo risco de sofrer violência criminal e udo mais, espera-se duas vezes mais ocorrências na primeira. Assim, esa idéia leva à padronização pelo amanho da população, usando-se, ao invés dos números absoluos, axas que são definidas como a razão enre do número de casos e a população. Segundo a Direriz da Polícia Miliar de Minas Gerais (00), o índice de criminalidade é um dos índices de segurança pública, junamene com: - índice de criminalidade violena - índice de conravenções - índice de assisência Conforme normas inernacionais, ais índices são calculados levando-se em cona uma população de habianes da seguine forma padrão: nº de ocorrencias ˆ x populaçao Os índices para o Esado de Minas Gerais são calculados considerandose.000 habianes, diferenemene do que é uilizado na fórmula padrão, em 0

20 decorrência do Esado possuir diversas cidades com menos de.000 habianes, o que evia discrepância nos índices calculados. Sendo assim, para as cidades a serem consideradas, nese esudo, o índice de criminalidade será calculado por: nº de ocorrencias ˆ x.000 populaçao A consrução de ais índices, que se enconram no Anexo A, de forma padronizada, permie a comparação enre diferenes cidades, bem como o acompanhameno da evolução da série emporal...4 Perfil Municipal Lavras, Alfenas e Varginha Os perfis municipais apresenados a seguir são pare dos resulados obidos aravés do sofware Alas do Desenvolvimeno Humano no Brasil, disponível no sie da Fundação João Pinheiro ( a) Lavras A cidade de Lavras foi fundada no ano de 83 possuindo uma área de 566, km, apresenando no ano de 000, densidade demográfica de 39, hab/km. No período de , sua população apresenou uma axa média de crescimeno anual de,08%. A Tabela apresena a População por Siuação de Domicílio para os referidos anos e a Taxa de Urbanização, a qual apresenou uma variação de,34 ponos percenuais.

21 TABELA População por Siuação de Domicílio e Taxa de Urbanização para o município de Lavras/MG, nos anos de 99 e População Toal Urbana Rural Taxa de Urbanização 9,6% 94,3% Fone: Alas do Desenvolvimeno Humano no Brasil No período de , a esperança de vida ao nascer cresceu 4,88 anos, passando de 67,53 anos em 99 para 7,4 anos em 000. A axa de analfabeismo enre os jovens (8 4 anos) caiu de,4 para,7 no referido período, e a média de anos de esudo da população adula (5 anos ou mais) subiu de 5,9 para 6,7. A renda per capia média do município cresceu 5,8%, passando de R$8,08 em 99 para R$347,09 em 000. A pobreza 4 diminuiu 4,50%, passando de 7,9% em 99 para 6,3% em 000. A desigualdade, medida pelo Índice de Gini 5, cresceu, passando de 0,55 em 99 para 0,57 em 000. A Tabela apresena os resulados do Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH). Segundo Beao (998) al índice foi criado pela ONU (Organização das Nações Unidas), no início da década de 90 e é composo de rês índices, aos quais são aribuídos pesos iguais: longevidade, educação e renda. O IDH varia enre 0 e, sendo que quano maior o índice, maior o desenvolvimeno humano da região. 4 Medida pela proporção de pessoas com renda domiciliar per capia inferior a R$75,50, equivalene à meade do salário mínimo vigene em agoso de Medida que quanifica a desigualdade exisene

22 TABELA Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) para o município de Lavras/MG, nos anos de 99 e Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) 0,743 0,89 Educação (IDHE) 0,840 0,97 Longevidade (IDHL) 0,709 0,790 Renda (IDHR) 0,679 0,749 Fone: Alas do Desenvolvimeno Humano no Brasil Em relação ao Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) de Lavras, verifica-se um crescimeno de 0,3% no período de A dimensão que mais conribuiu para ese crescimeno foi a Longevidade, com 35,5%, seguida pela Educação, com 33,8% e pela Renda, com 30,7%. Em 000, o IDH de Lavras coloca o município enre as regiões consideradas de alo desenvolvimeno humano 6. Em relação aos ouros municípios do Brasil, ocupa a 34ª posição, sendo que 33 municípios (4,%) esão em siuação melhor e 573 municípios (95,8%) esão em siuação pior ou igual. Em relação ao Esado, ocupa a 4ª posição, sendo que 3 municípios (,5%) esão em siuação melhor e 839 municípios (98,5%) esão em siuação pior ou igual. b) Alfenas O município, criado em 860, possui uma área de 849,km e uma densidade demográfica, no ano de 000, de 78,6hab/km. Sua população cresceu a uma axa média anual de,80% no período de A axa de urbanização passou de 89,80% em 99 para 9,8% em Região com baixo desenvolvimeno humano (IDH aé 0,5); região com médio desenvolvimeno humano (IDH enre 0,5 e 0,8) e regiões com alo desenvolvimeno humano (IDH acima de 0,8) 3

23 A Tabela 3 apresena a composição da população para o referido período e ambém as axas de urbanização. TABELA 3 População por Siuação de Domicílio e Taxa de Urbanização para o município de Alfenas/MG, nos anos de 99 e População Toal Urbana Rural Taxa de Urbanização 89,80% 9,8% Fone: Alas do Desenvolvimeno Humano no Brasil No ano de 99 a esperança de vida ao nascer era de 7,4 anos, passando para 76,8 em 000. Enre a população jovem (8 a 4 anos), a axa de analfabeismo apresenou queda: era de 4,6 em 99 e em 000 apresenava-se em,. A média de anos de esudo da população adula (5 anos ou mais), no mesmo período, passou de 5,4 para 6,. A renda per capia média de Alfenas cresceu 43,47% no período de , passando de R$48,89 para R$357,09. A pobreza apresenou uma diminuição de 44,05%, passando de 4,% em 99 para 3,5% em 000. A desigualdade apresenou um crescimeno de 0,0, passando de 0,56 para 0,58 no mesmo período. No período , o Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) de Alfenas cresceu 9,37%, passando de 0,758 em 99 para 0,89 em 000. Tal índice classifica o município como de alo desenvolvimeno humano e o coloca, em relação aos ouros municípios do Brasil, na 36ª posição, sendo que 35 municípios esão em siuação melhor e 537 municípios em siuação pior ou igual. Quando se oma o Esado, ocupa a 8ª posição sendo que apenas see municípios possuem siuação melhor que esa. A Tabela 4 apresena os resulados dos IDH para os referidos anos. 4

24 TABELA 4 Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) para o município de Alfenas/MG, nos anos de 99 e Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) 0,758 0,89 Educação (IDHE) 0,805 0,869 Longevidade (IDHL) 0,774 0,864 Renda (IDHR) 0,694 0,754 Fone: Alas do Desenvolvimeno Humano no Brasil c) Varginha O município de Varginha foi fundado em 88, possuindo uma área de 396,6km com densidade demográfica de 73 hab/km, segundo dados referenes ao úlimo censo demográfico (000). A caracerização de sua população, para os anos de 99 e 000, enconra-se na Tabela 5. No período de , a axa média de crescimeno anual da população foi de,50%, enquano que a axa de urbanização cresceu,8 ponos percenuais, passando de 93,43% para 95,57%, em 000. TABELA 5 População por Siuação de Domicílio e Taxa de Urbanização para o município de Varginha/MG, nos anos de 99 e População Toal Urbana Rural Taxa de Urbanização 93,43% 95,57% Fone: Alas do Desenvolvimeno Humano no Brasil A esperança de vida ao nascer em anos, passou de 70,, no ano de 99, para 74,0, em 000. A axa de analfabeismo enre jovens de 8 a 4 anos apresenou uma queda acenuada: em 99, era de 3 ponos percenuais, 5

25 passando para,, em 000. Enre a população adula (5 anos ou mais) a média de anos de esudo que era de 6, anos, em 99, cresceu 0,7 anos e em 000 era de 6,9 anos. A renda per capia média do município cresceu 9,47%, passando de R$95,6 em 99 para R$38,7 em 000. A pobreza diminuiu 48,4%, passando de 3,% para,9% no mesmo período. A desigualdade diminuiu: o Índice de Gini passou de 0,60 em 99 para 0,57 em 000. No período de , o Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) cresceu 6,74%, passando de 0,77 em 99 para 0,84 em 000. A Tabela 6 apresena os resulados para os demais índices. TABELA 6 Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) para o município de Varginha/MG, nos anos de 99 e Índice de Desenvolvimeno Humano (IDH) 0,77 0,84 Educação (IDHE) 0,84 0,889 Longevidade (IDHL) 0,75 0,87 Renda (IDHR) 0,7 0,765 Fone: Alas do Desenvolvimeno Humano no Brasil O IDH omado no ano de 000 coloca Varginha enre as regiões consideradas de alo desenvolvimeno humano, esando na 89ª posição em relação as ouros municípios do Brasil, sendo que 88 municípios (3,4%) esão em siuação melhor e 538 municípios (96,6%) esão em siuação pior ou igual. Em relação aos ouros municípios do Esado, ocupa a ª posição.. Séries Temporais Segundo Box, Jenkins e Reinsel (994), uma série emporal pode ser definida como qualquer conjuno de observações omadas seqüencialmene no empo, podendo ser discreas ou conínuas. Muios são os exemplos que podem 6

26 ser dados desas observações, ais como: valores mensais da emperaura média de deerminada localidade, valores da precipiação, número mensal de ocorrência de deerminado ipo de crime e ouros... Aspecos Gerais Quando os dados são omados seqüencialmene no empo há de se esperar que exisa uma correlação enre as observações no insane e em um empo subseqüene + h. Baseado nese fao as meodologias esaísicas clássicas não podem ser aplicadas, pois nesas, algumas pressuposições devem ser saisfeias ais como a independência dos dados. Sendo assim, a melhor abordagem a ser uilizada são as écnicas de séries emporais. Na análise de séries emporais, usam-se, basicamene, dois enfoques. Segundo Morein e Toloi (004), em ambos, sendo a análise feia no domínio emporal ou no domínio de freqüências, o propósio é consruir modelos para as séries. Quando a análise é feia no domínio do empo, os modelos proposos são paraméricos. Já no segundo enfoque, quando a análise é feia no domínio da freqüência, os modelos proposos são os modelos não paraméricos. Uma classe geral de modelos no domínio do empo é a dos modelos denominados auoregressivos inegrados médias móveis, ARIMA(p,d,q), sendo p a ordem da pare auo-regressiva do modelo, d o número de diferenças para ornar a série esacionária e q a ordem da pare de média móveis.. Nese rabalho o primeiro enfoque será considerado. Com base em propósios deerminados, o objeivo da análise de séries emporais é consruir modelos para as séries em esudo. Pode-se esar ineressado em apenas descrever o comporameno da série, invesigar o mecanismo gerador desa, procurar periodicidades e fazer previsões. No enano, 7

27 objeiva-se, que os modelos consruídos sejam o mais simples possível e com o menor número de parâmeros... Modelos de Decomposição Um modelo clássico de séries emporais supõe que a série emporal Z, =,,..., N, possa ser escria como a soma (modelo adiivo) ou muliplicação (modelo muliplicaivo) de rês componenes: uma endência, T, que pode ser enendida como um aumeno ou diminuição gradual das observações ao longo do empo; uma componene sazonal, S, indicando possíveis fluuações ocorridas em períodos menores que meses, e um ermo aleaório, a, mosrando as oscilações aleaórias, como pode ser viso nos modelos a seguir. O modelo () é o chamado modelo adiivo, no qual a sazonalidade varia de maneira independene da componene endência, ou seja, S não depende de T. No modelo (), o modelo muliplicaivo, ais componenes são dependenes e sua variância não é consane. Ese modelo pode ser ransformado em um modelo adiivo mediane aplicação de logarimo. Z = T + S + a =,,..., N () Z = T * S * a =,,..., N () cíclica que meses. Alguns auores consideram ainda em ais modelos uma componene C a qual represena periodicidades muio longas, geralmene maiores 8

28 Ao se reirar as componenes endência e sazonalidade, o que resa é a (erro aleaório). Segundo Morein e Toloi (004), exisindo uma seqüência { a, T} de variáveis i.i.d., com média zero e variância consane, ais variáveis são chamadas choques aleaórios e a seqüência é denominada ruído branco...3 Modelos de Box e Jenkins Em 970, George E. P. Box e Gwiym M. Jenkins publicaram o livro Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, apresenando uma meodologia para a análise de séries emporais e, em 976, uma versão revisada dese livro foi lançada. fundamenais: Os modelos de Box e Jenkins se caracerizam por dois aspecos - os modelos devem coner o menor número possível de parâmeros a serem esimados; - o modelo é consruído a parir dos próprios dados. A análise de séries emporais, segundo a meodologia de Box e Jenkins (976), em como principal objeivo a realização de previsão. Uma das caracerísicas fundamenais de al meodologia é inerprear uma dada série emporal como sendo uma realização de um processo esocásico. Um processo esocásico pode ser definido como o conjuno de odas as possíveis séries emporais de um processo físico observável que se possa er. Formalmene é definido, conforme Morein e Toloi (004), como uma família Z = { Z( ), T} de um conjuno arbirário T, al que, para cada T, Z( ) é uma variável aleaória. 9

29 Box e Jenkins (976) formalizaram a eoria da uilização de componenes auo-regressivos e de médias móveis na modelagem de séries emporais, uilizando-se das duas idéias básicas, já ciadas, na criação de sua meodologia para consrução de modelos. Segundo Morein e Toloi (004), al consrução esa baseada em um ciclo ieraivo no qual há a especificação de uma classe geral de modelos, a idenificação com base na função de auocorrelação (fac), função de auocorrelação parcial (facp) e ouros criérios de um modelo, a esimação de seus parâmeros e a verificação da adequação dese. O ciclo ieraivo uilizado para a análise de uma série emporal aravés da meodologia de Box e Jenkins, segundo Box, Jenkins e Reinsel (994), esa represenado na Figura. Classe Geral de Modelos Idenificação de um modelo Esimação dos Parâmeros Diagnósico do Modelo INADEQUADO ADEQUADO Uilizar o modelo para previsão e/ou conrole FIGURA Ciclo ieraivo da meodologia de Box e Jenkins 0

30 Na fase de idenificação é pesquisada qual classe de modelos é adequada ao esudo por meio de um exame dealhado da série, onde é verificada a condição de esacionariedade, reconhecidas as esruuras comporamenais como endência, sazonalidade, periodicidade, e ainda observadas quesões referenes a auocorrelação. Nesa fase, com base nas funções de auocorrelação (seção..6), função de auocorrelação parcial (seção..7) e ouros criérios, ocorre a idenificação de um modelo, ou de vários, viso que muias vezes o procedimeno mais uilizado, a fim de oimizar o processo, é idenificar não apenas um mas vários modelos que serão enão esimados e verificados. Na esimação é verificada a adequabilidade do modelo considerado, a parir de parâmeros esimados, após a idenificação das caracerísicas da série, opando-se pelo processo apropriado àqueles dados. Na fase de diagnósico, é feia a conferência do ajuse do modelo por meio da análise de resíduos, eses esaísicos e criérios de seleção de modelos. De forma geral, opa-se pelos modelos mais parcimoniosos (menor número de parâmeros) cujas previsões sejam mais próximas dos valores reais. Operadores Alguns operadores são amplamene uilizados no desenvolvimeno dos modelos de Box e Jenkins. São eles: B operador de reardo, defasagem ou ranslação para o passado, o qual ocasiona uma defasagem de um período de empo m para rás a cada vez que é uilizado. É definido por B m Z = Z m

31 F operador de ranslação para o fuuro, responsável por uma defasagem de um período de empo m para frene a cada vez que é uilizado. Definido por m F Z = Z + m logo logo operador de diferença. Definido por = Z Z = Z BZ = ( Z B) Z = B S operador soma, sendo o inverso do operador diferença. Definido por SZ = Z = Z + Z + Z +... j j= 0 SZ = Z + BZ + B Z +... SZ B B Z B Z B SZ = ( ) = ( ) se < = Z S =...4 Modelos esacionários Uma das suposições que são inroduzidas ao se uilizar modelos de Box e Jenkins para descrever séries emporais de maneira a simplificar a análise é a condição de esacionariedade. Pode-se er processos esacionários ou não esacionários, de acordo com a independência ou não relaiva à origem dos empos.

32 Z( ) é um processo esacionário caso se desenvolva no empo de modo que a origem dese não é imporane. As caracerísicas de Z( + τ ), para odo τ, são as mesmas de Z( ). Basicamene, êm-se processos esocásicos esriamene esacionários e fracamene esacionários (ou esacionário de segunda ordem). Esa classe de processos é a que será chamada simplesmene de processo esacionário. Formalmene é definida, de acordo com Morein e Toloi (004), da seguine forma: um processo esocásico Z = { Z( ), T} diz-se fracamene esacionário ou esacionário de segunda ordem se, e somene se, E{ Z( )} = µ ( ) = µ é consane, para odo T ; E{ Z ( )} <, para odo T ; γ (, ) = cov{ Z( ), Z( )} é uma função de. Diversos são os ipos de não-esacionariedade. Nese rabalho, raar-se-á de processos não-esacionários homogêneos, iso é, processos cujo nível e/ou inclinação mudam com o decorrer do empo, os quais podem ornar-se esacionários pela aplicação de diferenças sucessivas. Processo linear geral Os modelos esocásicos a serem uilizados são baseados na idéia de que a série emporal, Z, é gerada aravés de um filro linear cuja enrada é ruído branco, a. Tal processo é mosrado na Figura. a ψ(b) Filro Linear Z FIGURA Processo Linear Geral 3

33 A operação de filro linear consise, simplesmene, de uma soma ponderada de ruídos aneriores. Desa forma, Z pode ser escria como, Z = µ + a + ψ a + ψ a +... = µ + ψ ( B) a na qual ψ ( B) = + ψ B + ψ B +... é denominada função de ransferência do filro, µ é um parâmero deerminando o nível da série e linear discreo que saisfaz E( a ) = 0, Var a ( ) σ a, E( a a ) = 0, s s =. a é um processo Modelos Auo-regressivos AR(p) Um modelo auo-regressivo de ordem p, AR(p), é descrio apenas por seus valores passados e pelo ruído branco a, sendo denoado por Z = φ Z + φ Z φp Z p + a, (3) no qual Z = Z µ, φ, φ,..., φp são parâmeros auo-regressivos e a é o ruído branco. Segundo Morein e Toloi (004), pode-se definir o operador auoregressivo esacionário de ordem p por φ φ φ φ p ( B) = B B... pb. Sendo assim, a expressão (3) pode ser reescria como ~ φ ( B) Z = a 4

34 pois como Z φ Z φ Z φ Z a... p p = Z m m = B Z em-se que Z φ BZ φ B Z... φ B Z = a p p Z B B B a p ( φ φ... φp = φ( B) Z = a No processo auo-regressivo de ordem p, a média independe do empo, se e somene se, o processo for esacionário. Assim, em-se que [ ] [ ] E Z = E Z =... = E Z p = µ, sendo enão a média do processo uma consane. Uma condição necessária para que o processo AR(p) seja esacionário é que sua média seja finia e deerminada, devendo ocorrer, φ + φ φ p <.. Modelos de Médias Móveis MA(q) O modelo de médias móveis resula da combinação linear dos ruídos brancos ocorridos no período correne e nos períodos passados, podendo ser escrio por Z a a a a = θ θ... θq q ou Z B B B a B a (... q = θ θ θq ) = θ ( ) sendo θ ( B) o operador de médias móveis esacionário de ordem q. 5

35 A média do processo médias móveis de ordem q, MA(q), é independene do empo. Cada independene do empo, com a é gerado por um mesmo processo de ruído branco, E( a ) = 0 E( a ) = σ a E( a, a ) = 0 k A condição de inveribilidade para um modelo MA(q) é que odas as raízes da equação caracerísica θ ( B) = 0 enham módulo maior que, ou seja, esejam fora do círculo uniário.. Modelo Auo-regressivos e médias móveis ARMA(p,q) Ao se combinar o modelo auo-regressivo (AR) e o modelo médias móveis (MA), obém-se o modelo auo-regressivo médias móveis (ARMA). Considerando a série emporal Z, com =,..., N o modelo ARMA de ordem (p,q), sendo p a ordem da pare auo-regressiva e q a ordem da pare médias móveis, é escrio da seguine forma ~ ~ ~ Z = φ Z φ Z + a θ a... θ a p p q q ou como sendo φ( B) Z = θ ( B) a a o resíduo do modelo ARMA, Z = Z µ, φ φ φ φ p ( B) = B B... pb e θ θ θ θ q ( B) = B B... qb. A equação anerior definirá um processo esacionário se as raízes de φ ( B) = 0 esiverem fora do círculo uniário, e definirá um processo inverível se 6

36 as raízes da função caracerísica, θ ( B) = 0, esivem fora da região do círculo uniário. Segundo Morein e Toloi (004), um modelo freqüenemene usado é o ARMA(,), no qual p = q = φ( B) = φ B θ ( B) = θ B. Assim, o modelo pode ser escrio como, Z = φ Z + a θ a (4) Subsiuindo-se seqüencialmene Z, Z, em (Z), obém-se Z escrio na forma de um processo linear, Z =ψ ( B) a no qual j ψ = φ ( φ θ ) com j. Assim, o processo será esacionário se j j ψ j = ( φ θ ) φ <, ou seja, ambém ser escrio na forma, π ( B) Z = a com modo que, o processo será inverível se φ <. O modelo ARMA(,) pode j π = θ ( φ θ ), j, de π j <, ou seja, θ <. Desa forma, a condição de esacionariedade para um processo ARMA(,) é a mesma que para um processo AR() e a condição de inveribilidade é a mesma que para um processo MA(). j..5 Modelos Não-Esacionários A maioria das séries emporais apresena algum ipo de não esacionariedade. Como a maioria dos procedimenos de séries emporais supõe que esas sejam esacionárias, é necessário ransformar os dados originais no caso de não esacionariedade. A ransformação mais comumene aplicada 7

37 consise em omar diferenças sucessivas na série original aé se ober uma série esacionária. O número de diferenças necessário para ornar uma série esacionaria é denominada ordem de inegração. De acordo com Morein e Toloi (004), se aravés de um número finio de diferenças, d, a série Z orna-se esacionária, em-se o caso de séries não esacionárias homogêneas. Dois são os casos mais ineressanes e mais comuns dese ipo de não esacionariedade: - séries não esacionárias quano ao nível, as quais oscilam ao redor de um nível médio durane algum empo e depois salam para ouro nível emporário. Nese caso, para orná-las esacionárias uma diferença é suficiene; - séries não esacionárias quano à inclinação, as quais oscilam numa direção por algum empo e depois mudam, emporariamene, para oura direção, sendo necessário omar a segunda diferença. Modelo Auo-regressivo inegrado médias móveis ARIMA(p,d,q) De modo geral, a d-ésima diferença de Z é d d Z = [ Z ]. Se W d = Z for uma série esacionária, pode-se represena-la por um modelo ARMA(p,q), ou seja, Se inegral de φ( B) W = θ ( B) a W é uma diferença da série original W. Assim, em-se que Z, enão esa é dia ser uma Z segue um modelo auo-regressivo inegrado médias móveis, ou, modelo ARIMA(p,d,q). Tal modelo pode ser escrio como d φ( B)( B) Z = θ ( B) a 8

38 sendo p φ( B) = φ B φb... φ p B o polinômio auo-regressivo de ordem p; q θ ( B) = θb θ B... θ q B o polinômio de médias móveis de ordem q; j B o operador de reardo, al que B Z Z j = ; d o número de diferenças necessárias para que a endência seja reirada da série ornando-a esacionária. Tal modelo supõe que a d-ésima diferença da série Z possa ser represenado por um modelo ARMA, o qual é esacionário e inverível. Geralmene, uma ou duas diferenças são suficienes. Modelo sazonal auo-regressivo inegrado médias móveis SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) Sazonalidade Deerminísica Se a série emporal { Z } exibe um comporameno sazonal deerminísico com período, pode-se escrevê-la como Z = µ + N (5) na qual µ é função deerminísica periódica al que µ µ = 0. Aplicandose o operador de reardo B para se ober µ em-se que µ B µ = 0 µ ( B ) = 0 9

39 N é um processo esacionário o qual pode ser modelado por um ARMA(p,q). Assim, N saisfaz: φ( B) N = θ ( B) a (6) no qual a é ruído branco e com µ, α e j µ em solução dada por 6 ( π j) sen( π j) µ = µ + α j cos + β j j= β j, para j =,...,6 consanes desconhecidas. Considerando o modelo (5) e aplicando a diferença sazonal ese modelo, em-se: ( ) ( ) µ ( ) B Z = B + B N. ( B ) a Mas como ( B ) µ 0 =, ( ) ( ) Como de acordo com (6) em-se N reescria como, φ B Z = B N (7) ( B)( B ) Z θ ( B)( B ) a Fazendo ω = ( B ) Z. em-se: =. φ ω = θ. ( B) ( B)( B ) a θ ( B) a =, a expressão (7) pode ser φ( B) Sazonalidade Esocásica Segundo Morein e Toloi (004), se a série possui sazonalidade esocásica pode-se aplicar o modelo SARIMA. Inicialmene, calcula-se 30

40 diferenças com lag e com lag s, omando-se d diferenças simples e D diferenças sazonais na série Assim, em-se: Z, com o inuio de produzir esacionariedade. d D s D d ω = Z = ( B ) ( B) Z. s Após omar as diferenças observa-se as fac e facp amosrais da série ω, nos lags,,... para ober os valores de p e q e nos lags s, s,... para ober os valores de P e Q, selecionando um modelo SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)...6 Função de Auocorrelação Z + K Define-se a auocovariância de lag k, γ K, como a covariância enre Z e, sendo esa uma medida de dependência enre as duas observações separadas por k inervalos de empo. Assim, γ = cov[ Z, Z ] = E[( Z µ )( Z µ )] (8) K + K + K Pela expressão (8), em-se que a auocovariância enre dois ponos quaisquer é a esperança do produo do desvio de cada pono em relação a média µ do processo. Segundo Morein e Toloi (004) para um processo esacionário real discreo, de média zero e função de auocovariância (facv), = E{ Z Z }, as seguines propriedades são válidas: γ > 0 0 γ K = γ K γ 0 γ K γ K + K 3

41 γ k é não negaiva definida, iso é, n n j= i= a a γ j k k j ki 0 para quaisquer números reais a,..., a n e k,..., k n de Z. No inuio de se comparar diferenes séries, uma medida padronizada do coeficiene de auocovariância é uilizada. Tal medida, a auocorrelação de lag k, é definida como a razão enre a auocovariância de lag k e a auocovariância de lag 0. Desa forma, Porano, ρ γ K K =. γ 0 E[( Z µ )( Z µ )] E[( Z µ )( Z µ ) ρk = =. E[( Z ) [( ) ] + k + k µ E Z σ µ Z Como na práica os verdadeiros valores das auocorrelações são desconhecidos, pois o que se em são apenas amosras das observações, as esimaivas se fazem necessárias. que Sendo a esimaiva da auocovariância, ( γ k ), dadas por ( c k ), em-se ^ k + k γ k = c = ( Z Z)( Z Z), k = 0,,,..., N. N Assim, as esimaivas das auocorrelações são dadas por ^ ck ρ k = rk =, k = 0,,,..., N. c 0 A função de auocorrelação (fac), associa cada valor de k com seu respecivo coeficiene de auocorrelação. A sua represenação gráfica é denominada correlograma, sendo obida dispondo-se em um gráfico os valores de ρ k em função dos lag k. 3

42 Segundo Morein e Toloi (004), a função de auocorrelação possui caracerísicas especiais de acordo com o ipo de modelo considerado. Para um processo AR(p) decai de acordo com exponenciais e/ou senóides amorecidas, infinias em exensão. É finia se consideramos um processo MA(q), apresenando um core após o lag q. Se o processo é ARMA(p,q), a fac e infinia em exensão, decaindo de acordo com exponenciais e/ou senóides amorecidas após o lag q p. A fac é imporane para verificar se a série é esacionária. Ao se consruir o correlograma, se o coeficiene de auocorrelação diminuir rapidamene para zero à medida que k cresce, a série é esacionária. Caso conrário esar-se-á na presença de uma série emporal não-esacionária. O correlograma ambém é úil para idenificar a presença da componene sazonal. Se picos regulares são observados, iso pode indicar a presença de al componene...7 Função de Auocorrelação Parcial Com o inuio de faciliar o procedimeno de idenificação do modelo, Box, Jenkins e Reinsel (994) propuseram a uilização da função de auocorrelação parcial para ese propósio. Seja φ kj o j-ésimo coeficiene de um modelo auo-regressivo de ordem k, AR(k), al que seu úlimo coeficiene seja φ kk. Segundo Box, Jenkins e Reinsel (994), sabe-se que a função de auocorrelação pode ser escria por ρ = φ ρ φ ρ + φ ρ j=,,...,k (9) j k j k ( k ) j k kk j k A parir da equação 9, obém-se as equações de Yule-Walker que podem ser escrias como: 33

43 e em geral: ρ ρ ρk φk ρ ρ ρ ρ K φ K ρ = ρk ρk ρk 3 φkk ρk Resolvendo esas equações para k =,,3,..., sucessivamene, em-se φ = ρ, ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ = = φ ρ ρ ρ 3 33 =, ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ KK ρ ρ * ρk =, ρ * no qual ρ k se refere à mariz de auocorrelação de ordem k, e ρ k à mariz ρ k, rocando-se a úlima coluna pelo veor de auocorrelações. O valor φkk será a função de auocorrelação parcial enre dados os valores inermediários Z e Z k +. k, Z e Z k,..8 Teses para as Componenes Como já ressalado uma série emporal pode ser decomposa em componenes endência, sazonalidade e resíduo. A presença de ais componene 34

44 na série pode ser verificada por meio da aplicação de eses esaísicos, específicos para cada caso. Teses para endência Segundo Morein e Toloi (004), a fim de se verificar a exisência de endência na série emporal, além da inspeção gráfica, que irá revelar caracerísicas imporanes da série, eses de hipóeses esaísicos podem ser uilizados ano anes da esimação da componene T como após se ober uma esimaiva desa. Todavia, aconselha-se esabelecer se exise a componene de endência na série anes de se aplicar qualquer procedimeno para sua esimação. Vários eses, como o ese de seqüências (Wald-Wolfowiz), ese do sinal (Cox-Suar) e ese baseado no coeficiene de correlação de Spearman podem ser aplicados. Aqui, irá ser considerado apenas o ese de Cox-Suar, o qual agrupa as observações em pares ( Z, Z ),( Z, Z ),...,( Z, Z ) qual N c =, se N for par e + c + c N c N no N + c = se N for impar. A cada par ( Zi, Z i + c ) será associado o sinal + se Zi < Z i + c e o sinal se Zi > Z i + c. Os empaes são eliminados. O ese é bilaeral e deseja-se esar se H : P( Z < Z ) = P( Z > Z ), i 0 H : P( Z < Z ) P( Z > Z ), i i i+ c i i+ c i i+ c i i+ c Desa forma, se a probabilidade de sinais + for igual a probabilidade de sinais -, não exise endência, caso conrário a presença de al componene é confirmada. 35

45 Na aplicação do ese, usa-se a esaísica T que equivale ao número de sinais + enconrados, e n cujo resulado é a soma dos sinais + com os sinais -. Rejeia-se H 0 se T n, sendo obido aravés da disribuição binomial, com parâmeros Para n > 0 pode-se usar aproximação normal. p = e n, com um dado nível de significância α. Teses para Sazonalidade O ese para sazonalidade, proposo por Fisher é descrio a seguir, conforme em Morein e Toloi (004). Para se esar a hipóese de nulidade ( H 0 ), a qual conempla a não exisência de sazonalidade, usa-se a esaísica max I g = = ( N ) () j I N N ( N ) ( N ) I j I j j= j= na qual I se refere ao valor do periodograma. nula, no qual O ese de Fisher consise em deerminar um z α, al que, sob a hipóese z α ( n ) α = + n N n = e α é o nível de significância do ese. Calcula-se a esaísica z para um α fixado e compara-se o valor desa com o valor da esaísica g. Se g > z rejeia-se a hipóese de nulidade (logo, há sazonalidade no período analisado). 36