Modelagem de Sistemas Dinâmicos Aula 7

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1 Modelagem de Sistemas Dinâmicos Aula 7 Prof. Daniel Coutinho daniel.coutinho@ufsc.br Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.1/33

2 Sumário Modelagem de Sistemas Eletromagnéticos 1. Introdução 2. Circuitos RLC 3. Circuitos magnéticos 4. Circuitos comutados 5. Exemplos PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.2/33

3 Introdução - I Um capacitor é um elemento do tipo A (across) que armazena energia na forma de campo elétrico induzido pela presença de cargas elétricas opostas em duas placas metálicas próximas e isoladas. A capacitância é uma medida da capacidade de acumular cargas (i.e., armazenar energia). Este fenômeno pode ocorrer naturalmente onde existir dois condutores próximos (cabos coaxiais, cabos paralelos, linhas de circuito impresso) caracterizando uma capacitância distribuída. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.3/33

4 Introdução - II Um indutor (elemento do tipo T through) que armazena energia na forma de campo magnético no entorno de um condutor ou um agrupamento de condutores por onde circula corrente elétrica. Indutância é uma medida da habilidade de um indutor para armazenar energia magnética quando circula corrente pelo condutor. Da mesma forma que o capacitor, a indutância ocorre naturalmente (de forma distribuída) em qualquer cabo elétrico por onde circula uma corrente elétrica. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.4/33

5 Introdução - III Um resistor é um elemento elétrico do tipo D que dissipa energia na forma de calor. A resistência é uma medida de quanta tensão é necessária para se obter uma corrente de 1 Ampère através do resistor. Ela aparece naturalmente em todos os materiais, mas em geral ela não é desejável que o seu valor seja considerável em condutores de corrente elétrica. A seguir serão analisados circuitos com elementos RLC e também com chaves eletrônicas. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.5/33

6 Circuitos RLC - I Capacitor q(t) = CV C (t), i(t) = dq(t) dt, V C (t) = 1 C t 0 i(τ)dτ+v C (0) Energia transferida para o capacitor: E = tb 0 V C (t)i(t)dt = tb 0 V C (t)c dv C(t) dt = 1 dt 2 CV C 2 = 1 2 q 2 C Indutor λ(t) = Li(t), V L (t) = dλ(t) dt = L di(t) dt, i(t) = 1 L tb 0 V L (t)dt+i(0) PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.6/33

7 Circuitos RLC - II Energia magnética armazenada no indutor: E = tb 0 V L (t)i(t)dt = L tb 0 di(t) dt dt = 1 2 Li2 (t) Lei das malhas: i V i (t) = 0 Lei dos nós: i i i (t) = 0 PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.7/33

8 Exemplo 1 - I Considere o seguinte circuito. Suponha que a chave está conectada à bateria por um longo tempo. Então, parat = 0, a chave é comutada para o potencial do terra. Obtenha um modelo que descreva o comportamento da tensão V c (t). PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.8/33

9 Exemplo 1 - II Equação do sistema (leis das malhas): V i (t) = V L (t)+v R (t)+v C (t), V i (t) = V e para t < 0 0 para t 0 Relações constitutivas: V L (t) = L di(t) dt, V R (t) = Ri(t), i(t) = C V C(t) dt Equação do movimento: di(t) dt = C d2 V C (t) dt 2 LC d2 V C (t) +RC dv C(t) +V dt 2 C (t) = V i (t) dt PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.9/33

10 Exemplo 1 - III Condição inicial: parat < 0, supõe-se que o circuito esteja em equilíbrio dv C (t) dt 0, d2 V C (t) dt 2 0 V C (0) = V e Modelo analítico para a tensão no capacitor parat 0: d 2 V C (t) dt 2 + R L dv C (t) dt + 1 LC V C(t) = 0, V C (0) = V e PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.10/33

11 Exemplo 2 - I Considere o circuito RLC abaixo. Suponha que: (i) as fontes de tensão e 1 (t) ee 2 (t) são as entradas (fornecidas) do sistema; (ii) a tensão e o (t) é a saída; e(iii) parat < 0 o circuito está descarregado. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.11/33

12 Exemplo 2 - II Definição dos sentidos das correntes: Equação do sistema: (lei dos nós) i 2 (t)+i R2 (t)+i C (t) = 0, mas i 2 (t) = i L (t)+i R1 (t) PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.12/33

13 Exemplo 2 - III Relações constitutivas: i R1 = e o +e 2 e 1 R 1, i R2 = e o, i C = C de o R 2 dt, e L = e o +e 2 e 1 = L di L dt Equação do movimento: Modelo Analítico C de o dt + 1 R 2 e o + e o +e 2 e 1 R 1 +i L = 0 d 2 e o dt 2 + ( 1 R 1 C + 1 R 2 C ) deo dt + 1 LC e o = 1 R 1 C du dt + 1 LC u, u = e 1 e 2 PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.13/33

14 Exemplo 3 - I Considere o circuito na figura abaixo. Assuma que a chave esteve fechada por um longo período parat < 0 e que ela seja aberta para t 0. Obtenha um modelo que descreva o comportamento da corrente i L (t). PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.14/33

15 Exemplo 3 - II Equação do sistema (lei dos nós) i C (t)+i L (t) = i R (t), i R (t) = V b (t) V C (t) R para t < 0 0 para t 0 Relações constitutivas V L = L di L dt, i C = C dv C dt, V L = V C Equações do Movimento: i L (t)+c dv C dt = i R (t), V L = L di L dt PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.15/33

16 Exemplo 3 - III Condição inicial: (t < 0) i L (0) = i R (0), V C (0) = V L (0) = 0 i L (0) = V b R Modelo Analítico d 2 i L (t) + 1 dt 2 LC i L(t) = 0, i L (0) = V b R PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.16/33

17 Circuito Magnético - I Definições básicas: considere o seguinte circuito magnético PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.17/33

18 Circuito Magnético - II Assuma que: O núcleo é composto por material magnético, cuja permeabilidade é muito maior que a do ar. A C é a área da seção transversal (uniforme) e L C é o comprimento médio do núcleo. O núcleo é excitado por uma bobina que produz um campo magnético devido a passagem da correntei. A existência do campo magnético pode ser representada por linhas de fluxo magnético φ, as quais formam malhas fechadas interligadas com a bobina. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.18/33

19 Circuito Magnético - III A intensidade de campo magnético H gerado pela passagem de uma corrente elétrica i a uma distância r do condutor: H(i,r) = i 2πr [A/m] Densidade de fluxo magnético B: B = µ(h)h [Tesla = Wb/M 2 ] onde µ(h) é a permeabilidade magnética. Em geral, modela-se µ(h) µ r µ 0, µ 0 = 4π PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.19/33

20 Circuito Magnético - IV No circuito exemplo, a fonte do campo magnético é conhecida como força magnetomotriz (FMM ou F): F = Ni = Hds = HL C O fluxo magnético no núcleo: φ = BdA = BA C = µ Ni A C = F, R B = L C L C R B µa C A onde R B é a relutância magnética. Portanto: F = R B φ. L PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.20/33

21 Circuito Magnético - V Circuito Elétrico V i R V = Ri Circuito Magnético F φ R B F = R B φ Para um campo magnético variante no tempo é induzido um campo elétrico no espaço: E = N dφ(t) dt = dλ(t) dt, λ(t) = Nφ(t) onde λ é o fluxo concatenado. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.21/33

22 Circuito Magnético - VI No exemplo do circuito magnético, a tensão induzida tem polaridade tal que se os terminais da bobina fossem curto-circuitados uma corrente fluiria em oposição a mudança no fluxo concatenado. Para um circuito magnético que tenha uma permeabilidade próxima a linear, a relação entre λ e i é: L = λ i = Nφ i Para se obter uma relação aproximadamente linear parabe H adiciona-se um pequeno entre-ferro no campo magnético. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.22/33

23 Transformador Ideal Relações constitutivas: V a V b = n a n b, i a i b = n b n a, Z a Z b = ( ) 2 na n b PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.23/33

24 Circuitos Comutados - I Atualmente, a grande maioria dos dispositivos utilizados no acionamento de máquinas, sistemas eletrônicos e computadores, utiliza algum tipo de circuito eletrônico comutado de maneira a produzir tensões contínuas e alternadas (com amplitude e frequência variáveis). Existem diversos dispositivos eletrônicos que funcionam como chaves contradolas como, por exemplo, diodos, tiristores, transistores bipolares, MOSFETS, GTOs e IGBTs. A escolha do componente dependerá da potência, tensão máxima com a chave aberta e da frequencia de comutação. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.24/33

25 Circuitos Comutados - II PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.25/33

26 Circuitos Comutados - III A maioria dos conversores (CC-CC, CC-CA, CA-CC e CA-CA) utilizam uma frequencia constante de comutação utilizando a chamada modulação por largura de pulso (PWM). Conversor Buck PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.26/33

27 Circuitos Comutados - IV PWM: consiste de uma modulação entre dois sinais (tensão de referência e onda triangular) que gera pulsos de amplitude constante mas com largura variável. Como a frequencia e amplitude são constantes, a largura do pulso em relação ao período é chamada de duty cycled(t). Se utilizarmos um sinal PWM para acionar a chave CH1 no conversor Buck, o valor médio da tensão V S será: V S = D(t)V E PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.27/33

28 Circuitos Comutados - V PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.28/33

29 Modelo Médio - I Quando a frequencia de comutação é bem maior que a frequência de corte do circuito RLC, pode-se utilizar a técnica do modelo médio por variáveis de estado para representar a dinâmica do conversor. Com esta finalidade, considera-se a dinâmica de cada etapa da comutação das chaves (no caso do conversor Buck, para a CH1 fechada e aberta). Modelo por variáveis de estado para cada um dos modos de operação: ẋ = A i x+b i, i = 1,2 PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.29/33

30 Modelo Médio - II Considerando i = 1 para a chave fechada e i = 2 para a chave aberta, obtém-se o modelo médio: ẋ = ( ) ( ) D(t)A 1 +(1 D(t))A 2 x+ D(t)B1 +(1 D(t))B 2 Por exemplo, no conversor Buck com a chave ligada PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.30/33

31 Modelo Médio - III Parax 1 = i L ex 2 = v S : ẋ = 0 1/L x+ 1/C 1/RC V E/L 0, x = x 1 x 2 Conversor Buck, chave desligada PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.31/33

32 Modelo Médio - IV Modelo por variáveis de estado para chave desligada (diodo ligado): ẋ = 0 1/L x, x = 1/C 1/RC x 1 x 2 Modelo médio para o conversor Buck: ẋ = 0 1/L x+ V E/L 1/C 1/RC 0 u(t) onde u(t) = D(t) passa a ser a entrada do sistema. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.32/33

33 Exercício Considere o conversor Boost (conversor CC-CC elevador) na figura abaixo: Obter de forma similar ao conversor Buck, o modelo médio que representa a dinâmica aproximada para o conversor supondo um sinal de controle PWM. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 7 p.33/33