ERROS E CONCLUSÕES CORRETAS NO TESTE DE HIPÓTESE

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA DEPTº DE ESTATÍSTICA DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATISTICA PROFª VERA CAMPEZATTO 1º SEMESTRE/2007 3ª Lista - Testes de Hipóteses 1. O gerente do Danvers-Hilton Resort Hotel estabeleceu que a quantia média gasta pelos hóspedes em um fim de semana é de U$ 400 ou menos. Um membro do corpo de funcionários de contabilidade do hotel notou que as despesas totais para os hóspedes de fim de semana têm aumentado nos últimos meses. O contador usará uma amostra de contas de hóspedes de fim de semana para testar a afirmação do gerente. (a) Que hipóteses devem ser usadas para testar a afirmação do gerente? Explique: H 0 : μ 400 H 0 : μ 400 H 0 : μ = 400 H 1 : μ < 400 H 1 : μ > 400 H 1 : μ 400 (b) Que conclusão é apropriada quando H 0 não pode ser rejeitada? (c) Que conclusão é apropriada quando H 0 pode ser rejeitada? 2. O gerente de uma revenda de automóveis está considerando um novo plano de bônus concebido para aumentar o volume de vendas. Atualmente, o volume de vendas é de 14 automóveis por mês. O gerente quer realizar uma pesquisa para ver se o novo plano de bônus aumentará o volume de vendas. Para coletar dados sobre o plano, uma amostra do pessoal de vendas terá permissão de realizar vendas sob o novo plano de bônus por um período de um mês. (a) Desenvolva as hipóteses nula e alternativa apropriadas para essa pesquisa. (b) Comente a conclusão quando H 0 não pode ser rejeitada. (c) Comente a conclusão quando H 0 pode ser rejeitada. 3. Uma operação de linha de produção foi programada para colocar 320 mg de detergente em pó em cada caixa de papelão. Uma amostra de caixas de papelão é periodicamente selecionada e pesada para determinar se está ocorrendo subenchimento ou sobreenchimento. Se os dados da amostra levarem à conclusão de subenchimento ou sobreenchimento, a linha de produção será paralisada e calibrada para se obter o enchimento apropriado das caixas. (a) Formule as hipóteses nula e alternativa que auxiliarão a decisão de paralisar e calibrar a linha de produção. (b) Comente a conclusão quando H 0 não pode ser rejeitada. (c) Comente a conclusão quando H 0 pode ser rejeitada. ERROS E CONCLUSÕES CORRETAS NO TESTE DE HIPÓTESE Condição da população H 0 verdadeiro H 0 falso Decisão Não rejeitar H 0 Conclusão Correta Erro do Tipo II Rejeitar H 0 Erro do tipo I Conclusão Correta 1

2 NOTAS E COMENTÁRIOS Muitas aplicações de teste de hipóteses têm um objetivo de tomada de decisão. A conclusão rejeitar H 0 fornece o suporte estatístico para concluir que H 1 é verdadeiro e tomar a decisão apropriada, seja ela qual for. A declaração não rejeitar H 0 embora não conclusiva, freqüentemente força os gerentes a se comportarem como se H 0 fosse verdadeiro. Nesse caso, os gerentes precisam estar cientes do fato de que tal comportamento pode resultar num erro do Tipo II. 4. Os americanos gastam uma média de 8,6 minutos por dia lendo jornais (USA Today, 10 de abril de 1995). Um pesquisador acredita que os indivíduos nas posições de gerência gastam mais do que o tempo médio nacional por dia lendo jornais. Uma amostra dos indivíduos em posições de gerenciamento será selecionada pelo pesquisador. Os dados sobre os tempos de leitura dos jornais serão usados para testar as seguintes hipóteses nula e alternativa. H 0 : μ 8,6 H 1 : μ > 8,6 (a) Qual é o erro do tipo I? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? (b) Qual é o erro do tipo II? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? 5. O pessoal de vendas da Carpetland tem tido vendas de US$ por semana, em média. Paulo Ferreira, o vice presidente da empresa, propôs um plano de compensação com novos incentivos de vendas. Paulo espera que os resultados de um período de vendas experimental lhe possibilite concluir que o plano de compensação aumenta as vendas médias por vendedor. (a) Desenvolva as apropriadas hipóteses nula e alternativa. Qual é o erro do tipo I nessa situação? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? (b) Qual é o erro do tipo II nessa situação? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? 6. Uma linha de produção opera com um peso médio de enchimento de 16 ml por recipiente. O sobre-enchimento e o subenchimento são problemas sérios e a linha de produção deve ser paralisada se qualquer um dos dois ocorrer. De dados passados sabe-se que σ = 0,8 ml. Um inspetor de controle de qualidade amostra 30 itens a cada duas horas e nesse momento toma a decisão de paralisar a linha de produção para calibragem ou não. (a) Com um nível de significância de 0,05, qual a regra de decisão? (b) Se uma média de amostra igual a 16,32 ml for encontrada, que atitude você recomendaria? (c) Se a média amostral obtida for de 15,82 ml, que atitude você recomendaria? (d) Qual é o valor p para os itens (b) e (c)? 2

3 7. Um fabricante de conservas anuncia que o conteúdo líquido das latas de seu produto é, em média, de gramas, com desvio padrão de 40 gramas. A fiscalização de pesos e medidas investigou uma amostra aleatória de 64 latas, verificando média de gramas. Fixado o nível de significância de 0,05, deverá o fabricante ser multado por efetuar a venda abaixo do especificado? R: z c =-2,00; Rej. H 0. ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES Resumo das etapas aplicadas a qualquer teste de hipóteses: I. Determinar as hipóteses nula e alternativa apropriadas. II. Selecionar a estatística de teste que será utilizada. III. Especificar o nível de significância α para o teste. IV. Usar o nível de significância para estabelecer uma regra de decisão que levará à rejeição ou não de H 0. V. Coletar os dados amostrais e calcular a estatística de teste. VI. Comparar o valor da estatística do teste com o(s) valor(es) crítico(s) especificado(s) na regra de decisão para determinar se H 0 deve ser rejeitado ou não; ou calcular o valor p, baseado na estatística de teste. Comparar o valor p com α, para determinar se H 0 deve ser rejeitado ou não. VII. Concluir, baseado na decisão tomada. NOTAS E COMENTÁRIOS O valor p, o nível de significância observado, é uma medida da plausibilidade dos resultados da amostra quando a hipótese nula é assumida como verdadeira. Quanto menor o valor p, menos provável é que os resultados da amostra venham de uma população onde a hipótese nula é verdadeira. A maioria dos softwares estatísticos fornece o valor p associado a um teste de hipóteses. O usuário pode então comparar o valor p ao nível de significância α e tirar conclusão do teste de hipóteses sem se referir a uma tabela estatística. 8. Uma linha de montagem de automóveis opera a um tempo médio de conclusão de 2,2 minutos. Devido ao efeito do tempo de conclusão tanto na operação de montagem precedente como na subseqüente, é importante manter o tempo médio de conclusão em 2,2 minutos. Uma amostra aleatória de 45 montagens mostra um tempo médio de conclusão de 2,39 minutos, com um desvio padrão de 0,20 minutos. Use um nível de significância de 0,02 e teste se a operação está cumprindo seu tempo médio de conclusão de 2,2 minutos. R: t c =6,37; Rej. H Admita que, em certa cidade, a variável aplicação em caderneta de população tenha média de 420 unidades monetárias, com desvio padrão de 100 unidades monetárias. Com a atual crise nacional, acredita-se que esta situação tenha se alterado. Para testar tal hipótese, tomou-se uma amostra de 100 depositantes, que acusou uma média de 415 u.m. Usando α=5%, pode-se concluir que houve alteração? R: z c =-0,5; Não rej. H 0. 3

4 10. Em média, estima-se que uma dona de casa com marido e duas crianças trabalhe 55 horas ou menos por semana em atividades relacionadas com o lar. As horas trabalhadas durante uma semana para uma amostra de 8 donas de casa são: 58, 52, 64, 63, 59, 62, 62 e 55. Use α = 0,05 para testar H 0 : μ 55 H 1 : μ > 55. Qual sua conclusão sobre o número médio de horas trabalhadas por semana? O que você pode dizer do p? One-Sample T: C1 Test of mu = 55 vs mu > 55 Variable N Mean StDev SE Mean C Variable 95.0% Lower Bound T P C A floricultura de Jane se especializou em jardinagem com projetos-padrões para as áreas residenciais. O custo de mão de obra associado a um determinada proposta de jardinagem está baseado no número de plantações de árvores, arbustos, etc, a serem usados no projeto. Para propósitos de estimativas de custos, os gerentes usam duas horas como tempo de mão de obra para se plantar uma árvore de tamanho médio e um desvio padrão de 0,5 hora. Os tempos reais de uma amostra de 10 plantações durante o mês passado são apresentados a seguir (tempos em horas). 1,9 1,7 2,8 2,4 2,6 2,5 2,8 3,2 1,6 2,5 Usando α=0,05, teste se o tempo médio de plantações de uma árvore excede 2 horas. Qual é sua conclusão e que recomendações você consideraria fazer aos gerentes? One-Sample Z: C1 Test of mu = 2 vs mu > 2 The assumed sigma = 0,5 Variable N Mean StDev SE Mean 95,0% Lower Bound Z P C1 10 2,400 0,516 0,158 2,140 2,53 0, Um fabricante de lâmpadas afirma que a duração média de seu produto é de 500 horas. Acreditando que a média seja inferior à anunciada, um comprador selecionou uma amostra de 10 lâmpadas, que acusou média de 490 horas, com desvio padrão de 12 horas. Realize o teste, com α=5%. Suponha população Normal. R: t c =-2,64; Rej. H 0. Test of mu = 500 vs < % Upper N Mean StDev SE Mean Bound T P ,000 12,000 3, ,956-2,64 0, Um projeto de investimento está sendo avaliado pelo método pay-back. Uma situação envolvendo cenários futuros forneceu os seguintes tempos de retorno do investimento ( em anos) : 2,8 4,3 3,7 6,4 3,2 4,1 4,4 4,6-5,2 3,9. Teste ao nível de 5%, a hipótese de que a média de retorno seja superior a 4 anos. R. t c =0,8; Não rej Ho. 4

5 One-Sample T: C1 Test of mu = 4 vs mu > 4 Variable N Mean StDev SE Mean 95.0% Lower Bound T P C A Filpis com o objetivo de testar a vida média de suas lâmpadas fluorescentes analisou a durabilidade de 600 lâmpadas, obtendo a seguinte distribuição de freqüências. Acreditando que suas lâmpadas apresentam uma durabilidade superior a 1000 horas, teste esta suposição adotando uma significância de 5% e admitindo a normalidade da população. R. t c = 11,29; Rej. Ho. Tempo de duração (h) Nº de lâmpadas Total A indústria ABC - S/A, fabricante de um determinado equipamento eletrônico, procedeu a substituição de certo componente importado pelo similar nacional. Um comprador da referida indústria supõe que tal substituição tenha diminuído a duração do produto que antes era anunciada como sendo, em média de 200 horas. Para julgar sua suposição, o comprador testou uma amostra de 10 unidades, verificando média de 197 horas, e desvio-padrão de 6,32 horas. Fixando o nível de significância em 0,05, e sabendo que o tempo de duração é normalmente distribuído, estabeleça a conclusão alcançada pelo comprador. R. t= - 1,51 Não Rej. Ho 16. Uma fábrica de cigarros anuncia que seu produto apresenta um conteúdo médio de nicotina de 26 mg por cigarro, com desvio padrão de 3mg. Um laboratório resolve testar esta afirmação, porque há suspeita que na realidade o conteúdo de nicotina é superior ao mencionado pela indústria. Realiza 6 análises e obtém os seguintes índices de nicotina por cigarro: Qual a conclusão obtida, adotando-se um nível de significância de 1%? One-Sample Z: C1 Test of mu = 26 vs mu > 26 The assumed sigma = 3 Variable N Mean StDev SE Mean C Variable 99.0% Lower Bound Z P C

6 17. Certa organização médica afirma que um novo medicamento é de qualidade superior ao até então existente, que é 80% eficaz na cura de determinada doença. Examinada uma amostra de 300 pessoas que sofriam da doença, constatou-se que 249 ficaram curadas com o novo medicamento. Fixado o nível de significância em 5%, teste a afirmação da organização. R. z= 1,304 Não rej. Ho Test and CI for One Proportion Test of p = 0.8 vs p > 0.8 Exact Sample X N Sample p 95.0% Lower Bound P-Value Um consumidor de certo produto denunciou seu fabricante afirmando que este coloca no mercado uma quantidade de unidades defeituosas que supera 20% da quantidade total. Uma investigação foi conduzida com uma amostra aleatória de 50 unidades, das quais 28% acusaram defeito. Você diria que a investigação fundamenta a denuncia? Use 10% de significância. R. z = 1,41 Rej. Ho 19. Os produtores de um programa de televisão acham que devem modificá-lo caso sua assistência regular seja inferior a um quarto dos possuidores de aparelhos de TV. Uma pesquisa foi feita em 400 domicílios, selecionados aleatoriamente, mostrando que em 80 o programa era assistido regularmente. Qual deve ser a decisão dos produtores, com 3% de significância? R. z = - 2,301 Rej. Ho 20. Uma agência de viagens tem um tradicional plano de férias que é oferecido a todos os possíveis clientes que procuram a agência. O índice de respostas positivas é historicamente 20%. Este ano, uma amostra aleatória de 50 potenciais clientes mostrou que 15 adquiriam o plano de férias. Teste ao nível de 6% a hipótese de que o percentual de respostas positivas tenha aumentado este ano. R. z=1.77 Rej. Ho 21. Um banco de investimento calcula que 20% dos empréstimos são concedidos a pequenas empresas. Com a finalidade de aumentar esta percentagem, o governo resolveu subsidiar os juros para este tipo de empresa. Após algum tempo de vigência desta política, o banco amostrou ao acaso 40 projetos de financiamento e verificou que 12 deles se destinavam a pequenas empresas. Teste ao nível de 1% a hipótese de que a política tenha sido bem sucedida. R: 1,58; Não rej. Ho Test and CI for One Proportion Test of p = 0,2 vs p > 0,2 99% Lower Exact Sample X N Sample p Bound P-Value , , ,088 6

7 22. Um fabricante produz dois tipos de pneus: A, cuja duração apresenta um desvio-padrão de milhas, e B, que apresenta um desvio-padrão de milhas. Um táxi testou 50 pneus do tipo A, obtendo duração média de milhas, e 40 pneus do tipo B, obtendo duração média de milhas. Testar, ao nível de 5% de significância, se existe diferença na duração média dos pneus. Admita populações normais. R. Z=-3,38; Rej. Ho 23. Uma amostra de 100 lâmpadas elétricas produzidas pela fábrica A indica uma vida média de 1190 horas, com desvio padrão de 90 horas. Uma amostra de 75 lâmpadas produzidas pela fábrica B indica uma vida média de 1230 horas, com desvio padrão de 120 h. Admitindo que as variâncias populacionais sejam equivalentes, podemos concluir que a duração média das lâmpadas da marca B supera em mais de 50 horas a duração média das lâmpadas da marca A, com α=5%? Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean ,0 90,0 9,0 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 40, % lower bound for difference: 13,7545 T-Test of difference = 50 (vs >): T-Value = -0,63 P-Value = 0,735 DF = 173 Both use Pooled StDev = 103, Uma operação de montagem em um processo de fabricação requer cerca de um mês de treino para que um empregado novo possa atingir o nível desejado de eficiência máxima. Sugeriu-se um novo método de treinamento e um teste foi realizado, visando comparar os dois métodos. Sabe-se, por experiência anterior, que as variâncias populacionais, referente à eficiência dos métodos antigo e novo são, respectivamente, 21,2 e 20,2. Dois grupos de novos empregados foram treinados durante três semanas, segundo cada método. O tempo necessário, em minutos, para que cada novo empregado conseguisse montar as peças de um dispositivo, foi anotado e está expresso logo abaixo. Verifique se o método novo é mais eficiente que o antigo, com α=5%. Mét.Antigo Mét.Novo Teste-z: duas amostras para médias Variável 1 Variável 2 Média 35, ,22222 Variância conhecida 21,2 20,2 Observações 9 9 Hipótese da dif. de média 0 z 1, P(Z<=z) uni-caudal 0, z crítico uni-caudal 1,

8 P(Z<=z) bi-caudal 0, z crítico bi-caudal 1, Uma operação de montagem em um processo de fabricação requer cerca de um mês de treino para que um empregado novo possa atingir o nível desejado de eficiência máxima. Sugeriu-se um novo método de treinamento e um teste foi realizado, visando comparar o método antigo com o novo. Dois grupos de novos empregados foram treinados durante três semanas, segundo o método novo e o antigo, respectivamente. O tempo necessário, em minutos, para que cada novo empregado conseguisse montar as peças de um dispositivo, foi anotado e corresponde aos tempos do exercício anterior. (a) Será que estes dados permitem suficiente evidência, ao nível de 5%, de que a média de rendimento do novo processo de três semanas é melhor (exige menos tempo) do que o método antigo, que levava um mês? Quais as suposições que devem ser feitas? (b) Por que neste caso seria inconveniente usar o teste para dados emparelhados? Teste-t: duas amostras em par para médias Teste-F: duas amostras para variâncias Variável 1 Variável 2 Média Variável 1 Variável 2 Variância Média Observações 9 9 Variância Corr. de Pearson Observações 9 9 Hipótese da dif. de média 0 gl 8 8 gl 8 F Stat t P(F<=f) uni-caudal P(T<=t) uni-caudal F crítico uni-caudal t crítico uni-caudal P(T<=t) bi-caudal t crítico bi-caudal Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes Teste-t: duas amostras presumindo variâncias diferentes Variável 1 Variável 2 Variável 1 Variável 2 Média Média Variância Variância Observações 9 9 Observações 9 9 Variância agrupada Hipótese da dif. de média 0 Hipótese da dif. de média 0 gl 16 gl 16 Stat t Stat t P(T<=t) uni-caudal P(T<=t) uni-caudal t crítico uni-caudal t crítico uni-caudal P(T<=t) bi-caudal P(T<=t) bi-caudal t crítico bi-caudal t crítico bi-caudal

9 26. Uma amostra de 100 lâmpadas da marca A acusou uma vida média de horas, e desvio-padrão de 90 horas. Uma amostra de 75 lâmpadas da marca B acusou uma vida média de horas e desvio-padrão de 120 horas. Fixando α=0,05, pode-se admitir que a vida média B é superior à vida média de A? Admita populações normais e variâncias populações desconhecidas mas supostamente iguais. R. t = - 2,52 Rej. Ho Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean ,0 90,0 9, Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -40, % upper bound for difference: -13,7545 T-Test of difference = 0 (vs <): T-Value = -2,52 P-Value = 0,006 DF = Uma amostra casual de 30 crianças do pré-primário montou um quebra-cabeças, gastando um tempo médio de 3,2 minutos, com desvio padrão de 30 segundos. Outras 30 crianças, também tomadas aleatoriamente, tendo a mesma situação escolar, fizeram a mesma tarefa, depois de assistir um filme de curta metragem sobre a resolução de quebra-cabeças. Gastaram, em média, 2,8 minutos, com desvio padrão de 30 segundos. O filme causa rapidez na execução da tarefa? Use α=1%. Admita populações normais com variâncias populacionais desconhecidas, equivalentes. R: 3,098, Rej. Ho Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean ,200 0,500 0, ,800 0,500 0,091 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 0, % lower bound for difference: 0, T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 3,10 P-Value = 0,001 DF = 58 Both use Pooled StDev = 0, Deseja-se determinar se há menor variabilidade no revestimento a ouro feito pela companhia 1 do que no revestimento feito pela companhia 2. Se as amostras independentes acusaram s 2 1 = 0, ( com base em n 1 = 20 ) e s 2 2 = 0, ( com base em n 2 = 18), teste hipótese nula que as variâncias populacionais são iguais contra a alternativa que são diferentes. R. F = 3,42 Rej. Ho Considerando S 2 /S 2 > 1 Test for Equal Variances 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Sample N Lower StDev Upper , ,061 0, , ,033 0, F-Test (normal distribution) Test statistic = 3,42; p-value = 0,011 9

10 Alterando a ordem do quociente das variâncias: Test for Equal Variances 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Sample N Lower StDev Upper , ,033 0, , ,061 0, F-Test (normal distribution) Test statistic = 0,29; p-value = 0, As forças em libras, necessárias para romper a adesão de dois tipos de cola são dadas abaixo. Embora as duas marcas de cola sejam bastante semelhantes, paira alguma dúvida sobre se realmente σ 1 2 = σ 2 2. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula de que as variâncias das populações correspondentes são iguais. Cola Cola ,3 26,9 Teste-F: duas amostras para variâncias 19,2 22,5 21,1 21,8 Variável 1 Variável 2 27,6 23,6 Média 22,63 22, ,9 19,8 Variância 22, , ,1 21,6 Observações ,8 18,7 gl ,9 22,2 F 3, ,2 P(F<=f) uni-caudal 0, ,2 F crítico uni-caudal 3, Test for Equal Variances: C1; C2 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N Lower StDev Upper C1 10 3, , ,45634 C2 8 1, , ,65302 F-Test (normal distribution) Test statistic = 3,62; p-value = 0, Uma fábrica de pneumáticos fez um estudo comparativo entre motoristas homens e mulheres com respeito a durabilidade dos pneumáticos por ela fabricados. Teste, usando um nível de significância de 5% e diga a conclusão que o fabricante pode tirar com base nos resultados ( em Km rodado) apresentados a seguir. Em quais as suposições que você se baseou? 10

11 Motorista homem Motorista mulher Teste-F: duas amostras para variâncias Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes Variável 1 Variável 2 Variável 1 Variável 2 Média Média Variância Variância Observações Observações gl 11 9 Variância agrupada F 1,40158 Hipótese da dif. de média 0 P(F<=f) uni-caudal 0, gl 20 F crítico uni-caudal 3, Stat t -5,93106 P(T<=t) uni-caudal 4,21E-06 t crítico uni-caudal 1, P(T<=t) bi-caudal 8,43E-06 t crítico bi-caudal 2, Teste-t: duas amostras presumindo variâncias diferentes variâncias diferentes Variável 1 Variável 2 Média Variância ,556 Observações Hipótese da diferença de média 0 gl 20 Stat t -6,02642 P(T<=t) uni-caudal 3,42E-06 t crítico uni-caudal 1, P(T<=t) bi-caudal 6,84E-06 t crítico bi-caudal 2, Uma companhia distribuidora tem por hipótese que uma chamada telefônica é mais eficiente que uma carta para acelerar s cobrança de contas atrasadas. Esta companhia fez uma experiência usando duas amostras e obteve os resultados da tabela abaixo. Analisando os resultados e sabendo-se que as variâncias populacionais são 4,6 e 4,1 respectivamente no que se refere ao número de dias de pagamento por carta e por 11

12 chamada telefônica, dê uma sugestão a respeito da tomada de decisão mais viável para a companhia, baseado nos resultados dos testes elaborados via Excel que se encontram abaixo. Justifique o teste utilizado baseado nas suposições que foram feitas. Adote α =5%.(Não esqueça de elaborar as hipóteses estatísticas) Método utilizado Nº de dias até o pagamento Carta Chamada telefônica Teste-F: duas amostras para variâncias 10 7 Variável 1 Variável Média 10, , Variância 3, , Observações gl F 0, P(F<=f) uni-caudal 0, F crítico uni-caudal 0, Teste-t: duas amostras em par para médias Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes Variável 1 Variável 2 Variável 1 Variável 2 Média 10, , Média 10, , Variância 3, , Variância 3, , Observações 7 7 Observações 7 7 Correlação de Pearson 0, Variância agrupada 3, Hipótese da dif. de média 0 Hipótese da dif. de média 0 gl 6 gl 12 Stat t 4, Stat t 4, P(T<=t) uni-caudal 0, P(T<=t) uni-caudal 0, t crítico uni-caudal 1, t crítico uni-caudal 1, P(T<=t) bi-caudal 0, P(T<=t) bi-caudal 0, t crítico bi-caudal 2, t crítico bi-caudal 2, Teste-t: duas amostras presumindo variâncias diferentes Teste-z: duas amostras para médias Variável 1 Variável 2 Variável 1 Variável 2 Média 10, , Média 10, , Variância 3, , Variância conhecida 4,6 4,1 Observações 7 7 Observações 7 7 Hipótese da dif. de média 0 Hipótese da dif. de média 0 gl 12 z 3, Stat t 4, P(Z<=z) uni-caudal 6,05E-05 P(T<=t) uni-caudal 0, z crítico uni-caudal 1, t crítico uni-caudal 1, P(Z<=z) bi-caudal 0, P(T<=t) bi-caudal 0, z crítico bi-caudal 1, t crítico bi-caudal 2, Para verificar a eficiência de um cartaz na estimulação à compra de determinado produto 7 pares de lojas foram formados, cada par tendo as mesmas características quanto à localização, ao tamanho e ao volume geral das vendas. Isso feito, o cartaz foi colocado numa das lojas do par, não o sendo em sua correspondente, tendo o processo sido repetido para os 7 pares. Abaixo aparecem as vendas semanais do produto durante 12

13 a experimentação, expressas em média de observação conduzida por dois meses. Analise os dados e conclua, a 5%, sobre o potencial do cartaz na indução à compra do produto. Admita normalidade. R. t = 3,59 Rej. Ho Par Com cartaz Sem cartaz Teste-t: duas amostras em par para médias Variável 1 Variável 2 Média 20, ,28571 Variância 32, ,90476 Observações 7 7 Hipótese da diferença de média 0 gl 6 Stat t 3, P(T<=t) uni-caudal 0, t crítico uni-caudal 1, P(T<=t) bi-caudal 0, t crítico bi-caudal 2, A distribuição abaixo representa os batimentos cardíacos de oito estudantes, escolhidos ao acaso, antes e após esforço físico programado. Teste, ao nível de significância de 5%, a probabilidade desta alteração de freqüência ocorrer ao acaso. Antes Depois Teste-t: duas amostras em par para médias Variável 1 Variável Média 76 92, Variância 64 56, Observações Correlação de Pearson 0, Hipótese da diferença de média gl 7 Stat t -11,7729 P(T<=t) uni-caudal 3,61E-06 t crítico uni-caudal 1, P(T<=t) bi-caudal 7,23E-06 t crítico bi-caudal 2, Um engarrafador de vinho tem duas máquinas funcionando e necessita que a quantidade média de vinho por garrafa que sai da máquina A seja maior do que a da máquina B.Para verificar se realmente isto está ocorrendo colheu duas amostra de 5 garrafas, uma de cada máquina e mediu a quantidade de vinho. Os resultados encontram-se na tabela abaixo. Utilizando os resultados dos testes elaborados via Excel que se encontram 13

14 abaixo, decida qual a conclusão do engarrafador utilizando um nível de significäncia de 5% Justifique o teste utilizado baseado nas suposições que foram feitas. Máquina A Máquina B Teste-F: duas amostras para variâncias A B Variável 1 Variável Média Variância Observações gl F P(F<=f) uni-caudal F crítico uni-caudal Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes Variável 1 Variável 2 Teste-t: duas amostras presumindo variâncias diferentes Média Variável 1 Variável 2 Variância Média Observações 5 5 Variância Variância agrupada Observações 5 5 Hipótese da dif. de média 0 Hipótese da dif. de média 0 gl 8 gl 6 Stat t Stat t P(T<=t) uni-caudal P(T<=t) uni-caudal t crítico uni-caudal t crítico uni-caudal P(T<=t) bi-caudal P(T<=t) bi-caudal t crítico bi-caudal t crítico bi-caudal Teste-t: duas amostras em par para médias Teste-z: duas amostras para médias Variável 1 Variável 2 Variável 1 Variável 2 Média Média Variância Variância conhecida Observações 5 5 Observações 5 5 Correlação de Pearson Hipótese da dif. de média 0 Hipótese da dif. de média 0 z gl 4 P(Z<=z) uni-caudal Stat t z crítico uni-caudal P(T<=t) uni-caudal P(Z<=z) bi-caudal t crítico uni-caudal z crítico bi-caudal P(T<=t) bi-caudal t crítico bi-caudal Duas empresas de setores diferentes apresentam historicamente variação salarial de 10 u. m. e 8 u. m., respectivamente, como desvios-padrão. Devido a antecipações salariais concedidas espontaneamente pelas empresas, os salários variam independentemente, mas acredita-se que a diferença das médias salariais destas empresas não ocorra. Verifique se está expectativa é correta ao nível de significância 14

15 de 5%, se amostras de 30 elementos de cada empresa, forneceram respectivamente os salários conforme tabela abaixo: Salários da Empresa A (u.m.) Salários da Empresa B (u.m.) Teste-z: duas amostras para médias Variável 1 Variável 2 Média 87, ,36667 Variância conhecida Observações Hipótese da diferença de média 0 z -0,76986 P(Z<=z) uni-caudal 0, z crítico uni-caudal 1, P(Z<=z) bi-caudal 0, z crítico bi-caudal 1, As amostras aleatórias seguintes, são medidas da capacidade de gerar calor (em milhões de calorias por tonelada) de amostras de carvão de duas minas. Ao nível de 5% de significância, teste se a diferença entre as médias das duas populações é significativa? Quais as suposições que você fez? Justifique-as. Mina

16 Mina Baseado nos resultados dos testes elaborados via Excel que se encontram abaixo. Justifique o teste utilizado baseado nas suposições que foram feitas. Adote α =5%.(Não esqueça de elaborar as hipóteses estatísticas) Teste-F: duas amostras para variâncias Teste-t: duas amostras presumindo variâncias diferentes Variável 1 Variável 2 Variável 1 Variável 2 Média Média Variância Variância Observações 5 5 Observações 5 5 gl 4 4 Hipótese da diferença de média 0 F 8, gl 5 P(F<=f) uni-caudal 0, Stat t 2, F crítico uni-cauda 6, P(T<=t) uni-caudal 0, t crítico uni-caudal 2, P(T<=t) bi-caudal 0, t crítico bi-caudal 2, Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes Variável 1 Variável 2 Média Variância Observações 5 5 Variância agrupada Hipótese da diferença de média 0 gl 8 Stat t 2, P(T<=t) uni-caudal 0, t crítico uni-caudal 1, P(T<=t) bi-caudal 0, t crítico bi-caudal 2, Perguntou-se a 100 eleitores paulistas e a 100 eleitores gaúchos se votariam no candidato Sr. HONESTO caso ele fosse candidato à presidência nas próximas eleições. Enquanto 40 paulistas confirmaram seu apoio ao Sr. HONESTO, apenas 30 gaúchos mostraram simpatia pôr ele. Pode-se afirmar que o apoio paulista é muito mais significativo do que o gaúcho? Use α = 0,01. Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p Estimate for p(1) - p(2): % lower bound for p(1) - p(2): Test for p(1) - p(2) = 0 (vs > 0): Z = 1.48 P-Value =

17 38. Para direcionar a propaganda de um produto, uma agência consultou 80 homens selecionados ao acaso e verificou que 28 haviam comprado o produto. Uma amostra casual de 100 mulheres mostrou que 40 haviam comprado o produto. Teste, α=5%, se não há diferença entre a proporção de homens e de mulheres que adquiriram o produto. Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p , , Estimate for p(1) - p(2): -0,05 95% CI for p(1) - p(2): (-0,191928; 0, ) Test for p(1) - p(2) = 0 (vs not = 0): Z = -0,69 P-Value = 0, Para verificar se o uso do cigarro aumenta a incidência de doenças pulmonares, foram selecionados ao acaso 150 indivíduos fumantes e verificou-se que 24 apresentaram algum tipo de doença pulmonar, em um período de 5 anos. Outro grupo, de 180 não fumantes selecionados ao acaso, apresentou, no mesmo período, 12 com algum tipo de doença pulmonar. Teste, ao nível de 5%. Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p , , Estimate for p(1) - p(2): 0, % lower bound for p(1) - p(2): 0, Test for p(1) - p(2) = 0 (vs > 0): Z = 2,71 P-Value = 0, Um assessor de um candidato a governador afirma que a proporção de votos favoráveis no interior do Estado é maior que na capital com o objetivo de direcionar melhor sua campanha pela televisão, o candidato encomendou uma pesquisa na capital e outra no interior do Estado, obtendo os dados da tabela abaixo. Teste a afirmação, com α=0,05. Número de entrevistados Número de votos favoráveis Capital Interior Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p , , Estimate for p(1) - p(2): -0,05 95% upper bound for p(1) - p(2): 0, Test for p(1) - p(2) = 0 (vs < 0): Z = -0,83 P-Value = 0, Um partido afirma que a porcentagem de votos masculinos a seu favor será de 10% a mais do que a porcentagem de votos femininos. Numa pesquisa feita entre 400 homens, 170 votariam no partido, enquanto que, entre 625 mulheres, 194 lhe seriam favoráveis. A afirmação do partido é aceitável ou não, com α=5%. R: 0,48; Não rej. Ho. 17

18 42. A tabela abaixo fornece o número de estudantes aprovados e reprovados em um exame aplicado a duas turmas. Usando 5% de significância, pode-se afirmar que existe associação entre a aprovação e a turma a que o aluno pertence? Aprovados Reprovados Turma A Turma B Chi-Square Test Expected counts are printed below observed counts C1 C2 Total ,77 20, ,23 19,77 Total Chi-Sq = 0, , , ,527 = 1,348 DF = 1, P-Value = 0, A fim de analisar a aceitação de um programa de televisão, 250 telespectadores foram entrevistados em cada uma de quatro cidades, apresentado os dados a seguir. Com 5% de significância, pode-se concluir que a opinião depende da cidade? Cidade A Cidade B Cidade C Cidade D Favorável Desfavorável Chi-Square Test Expected counts are printed below observed counts C1 C2 C3 C4 Total ,00 105,00 105,00 105, ,00 145,00 145,00 145,00 Total Chi-Sq = 2, , , , , , , ,552 = 20,525 DF = 3, P-Value = 0, Uma pesquisa foi feita entre 150 universitários de Engenharia, com o objetivo de verificar se existe associação entre as especializações oferecidas pela universidade (Engenharia Mecânica, Elétrica e Civil) e a opinião dos alunos referente à importância de certa disciplina. Usando dados a seguir, verifique se é possível concluir que haja relacionamento entre a especialidade e a opinião, com 5% de significância. Mecânica Elétrica Civil Muito importante Pouco importante

19 Chi-Square Test Expected counts are printed below observed counts C1 C2 C3 Total ,00 24,00 30, ,00 16,00 20,00 Total Chi-Sq = 1, , , , , ,250 = 4,687 DF = 2, P-Value = 0,096 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 45. Um agricultor plantou um pé de feijão no quintal de sua casa, anotando semanalmente sua altura. Idade (sem) Altura ( cm) (a) Determine o coeficiente de correlação linear de Pearson e interprete o resultado; (b) Faça os testes de significância, ao nível de 5%, a correlação e a regressão. (c) Obtido resultado significativo em b),determine a equação da reta de regressão que define o crescimento do pé de feijão; (d) a época em que o dito pé de feijão terá 60 cm de altura; R. 10,35266 (e) a altura que o pé de feijão tinha com 3,5 semanas de vida. R. 20,5972 Altura do pé de feijão Altura (cm) y = 5.75x R 2 = Idade (sem) RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo R-Quadrado Erro padrão Observações 9 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Inferior 95.0% Superior 95.0% Interseção Variável X E

20 46. A tabela a seguir apresenta o tempo médio de treino de um grupo de atletas e os respectivos pontos num teste de aptidão física. Atleta A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 Tempo Pontos (a) Represente estes dados graficamente. (b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson e interprete o resultado; (c) Determine a equação que permita estimar o número de pontos em função do tempo de treino. (d) Se julgar significativo, encontre o número de pontos para um atleta que não treine e para um que treine 8 h. (e) Faça os testes de significância, ao nível de 5%, para a correlação e regressão. (f) Verifique se podemos eliminar a possibilidade da reta teórica passar pela origem (Ho:α=0), ao nível de significância de 5%. Tempo(X) Pontos(Y) RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão 4 27 R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado ajustado 0, Erro padrão 1, Observações 11 Nº de pontos obtidos Tempo de treino x pontos no teste y = x R 2 = Tem po (horas diárias) Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 11, , ,4654 2,87E-07 9, ,63372 Variável X 1 4, , , ,67E-10 3, , Os dados abaixo relacionam as vendas e os lucros da Brazil s Ghost (milhões de dólares). Ano Vendas 24,6 27,6 37,4 46,6 68,6 73,5 83,9 73,2 90,0 88,7 91,9 98,3 Lucros 1,8 2,2 3,0 3,5 5,1 5,5 6,8 5,5 7,0 6,5 7,0 8,0 (a) Represente estes pontos num diagrama de dispersão. (b) Encontre o coeficiente de correlação entre Vendas e Lucros. R: 0, (c) Determine uma reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados para fazer o ajustamento destes pontos. (d) Ache o coeficiente de determinação. (e) Faça os testes de significância, ao nível de 5%, para a correlação e a regressão. (f) Teste se a reta de regressão passa pela origem, utilizando os resultados encontrados no Excel. Lucro Exercício 3 y = x R 2 = y = x x R 2 = Vendas 20

21 RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo R-Quadrado Erro padrão Observações 12 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção Variável X E Os comerciantes da Boca costumam ser consultados, por telefone, por clientes interessados na venda ou troca de seus veículos. Cansados de informar simplesmente que o preço só podia ser definido vistoriando o veículo, decidiram que ao menos uma estimativa devia ser dada. Por exemplo, com base na quilometragem do veículo no momento da consulta. Para tanto, tabularam a quilometragem (em 1000 km) e os preços de venda (em $1000) de 13 unidades diferentes. Obtiveram os seguintes valores: Km Preço 5,0 7,1 5,9 3,7 5,7 6,7 2,3 4,4 3,6 6,5 4,3 2,8 3,0 (a) Represente graficamente estes pontos. (b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson. (c) Ajuste os dados através de uma reta de mínimos quadrados. ( modelo linear ). (d) Ajuste os dados através de uma parábola ( modelo quadrático). (e) Determine o coeficiente de explicação para a reta. (f) Determine o coeficiente de explicação para a parábola. (g) Qual é o melhor modelo ajustante, neste caso? Preço 8 7 ($1.000) Preço de acordo com a quilometragem y = x x R 2 = y = x R 2 = Quilometragem (km) RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Inferior 95.0% Superior 95.0% R múltiplo Interseção E R-Quadrado Variável X E Erro padrão

22 Observações A administração de um banco desejava estabelecer um critério objetivo para avaliar a eficiência de seus gerentes. Para isso, levantou para cada um dos subdistritos onde possui agência, dados a respeito do depósito médio mensal ( em dólares ) por agência, e o número de estabelecimentos comerciais existentes nesses subdistritos, obtendo os seguintes dados: Subdistritos A B C D E F G H Número Depósito (a) calcule o coeficiente de correlação linear e o coeficiente de explicação; (b) ajuste uma reta de mínimos quadrados; (c) ajuste uma parábola de mínimos quadrados e determine r 2. (d) faça os testes de significância, ao nível de 1%, para a correlação e a regressão. Nº Estab. Depósito RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo R-Quadrado Erro padrão Observações 8 Depósito Exercício 5 y = x R 2 = y = x x R 2 = Nº de estabelecimentos Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Inferior 95.0% Superior 95.0% Interseção Variável X A tabela abaixo mostra o volume de vendas ( em 1000 unidades) e os gastos promocionais (em R$ ,00 ) Vendas Promoção (a) Represente graficamente estes pontos; (b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. Interprete o resultado. (c) Você acha conveniente estimar a reta de regressão, baseado no resultado obtido anteriormente? Por que? (d) Determine os coeficientes da reta de regressão e interprete-os. (e) Para gastos promocionais de R$ ,00 qual o provável volume de vendas? 22

23 (f) Para vendas de unidades qual os gastos promocionais que devem ser feitos? (g) Poderíamos, utilizando este modelo de regressão efetuar uma previsão de gastos promocionais para uma provável venda de unidades? Explique sua resposta. RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Inf. 95.0% Sup. 95.0% R múltiplo Interseção E R-Quadrado Variável X E Volum e de vendas, de acordo com prom oção 140 Vendas y = x R 2 = Prom oção Erro padrão Observações Para uma amostra de 10 tomadores de empréstimos em uma companhia financeira, o coeficiente de correlação entre a renda familiar e débitos a descoberto de curto prazo, foi calculado em r = + 0,50. Testar a hipótese de que não existe correlação entre as duas variáveis para toda a população de tomadores de empréstimos, usando um nível de significância de 5%. R. t = 1,632 Não rej Ho 52. Uma pesquisa do Ibope com os fabricantes e consumidores de Cactus-Cola procurou determinar as quantidades que seriam produzidas e consumidas a cada nível de preço. Com tais dados, apresentados na tabela a seguir, determine as equações das curvas de oferta e demanda através de funções quadráticas. Preço Demanda 0,0 3,1 4,8 5,8 6,6 7,5 8,3 8,9 9,5 Oferta 10,1 9,6 8,8 8,0 6,8 5,0 2,3 0,0 0,0 Preço Demanda Demanda 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 Preço x Demanda y = -0,1222x 2-0,0908x + 9,1885 R 2 = 0, Preço 23

24 0 9.5 Preço Oferta Oferta Preço x Oferta 15,0 10,0 5,0 0,0 y = -0,1037x2 + 2,2494x - 1,0255 R2 = 0,9737-5, Preço 53. A DesPeZa de Propaganda garantiu à Kaloy que suas vendas seriam maiores se ela promovesse melhor seus produtos. Para atestar a confiança na sua afirmativa, a DPZ sujeitou-se a um contrato de risco, segundo o qual só seria remunerada se a sua afirmativa fosse experimentalmente confirmada. Para tanto, diversas verbas foram investidas durante um ano, acompanhando as vendas correspondentes. Os dados obtidos foram os seguintes ( valores em milhares de dólares) : Mês Verba(X) Vendas (Y) Mês Verba(X) Vendas (Y) jan. 15,7 225,9 jul. 22,6 260,0 fev. 17,9 237,0 ago. 23,2 265,6 mar. 20,4 245,7 set. 24,2 266,5 abr. 20,7 250,0 out. 24,8 268,5 maio 21,0 251,5 nov. 25,1 273,0 jun. 22,0 254,5 dez. 26,5 274,0 (a) Ajuste ao dados através do modelo linear. (b) Ajuste os dados através da função potência. (c) Qual duas funções acima é a melhor função ajustante? Exercício 9 ve nd as y = 4,7321x + 151,87 R 2 = 0,982 y = 76,41x 0,3919 R 2 = 0, verba 54. Determine a melhor equação de ajustamento do consumo total (em kg) de matéria-prima (c) de uma indústria em função das quantidades produzidas (unidades) de um produto, nos tamanhos grande (g) e pequeno (p). c p g

25 Qunat.prod.tamanho (P) y = 0,7718x + 61,993 R 2 = 0,846 y = 3,0751x 0,8018 y = -0,004x 2 + 2,5556x - 129,91 R 2 R 2 = 0,9028 = 0, Consumo total de matéria prima Quantidae produzida (G) Consumo tamanho grande (kg) x quantidade produzida y = 0,7024x - 30,594 R 2 = 0,7423 y = 0,001x 2 + 0,2597x + 17,034 R 2 = 0, y = 32,387e 0,0059x R 2 = 0,7335 Consumo 55. A Kaloy vem sendo assediada pela DesPeZa para incrementar sua publicidade institucional, tanto em termos de verba quanto de meio de divulgação. Segundo a DesPeZa, isso terá significativa influência em suas vendas. Para ratificar suas afirmativas, apresentou à Kaloy os seguintes resultados obtidos por outro cliente. Ajuste os dados através de um polinômio linear. R: Y=3, ,5542X 1 + 2,9015X 2 ; r 2 =0,9983. Gastos Vendas TV Rádio Os argumentos e dados apresentados pela DesPeZa convenceram os diretores da Kaloy. Mas, dadas as características próprias dos seus consumidores, decidiram dividir a verba de publicidade pelos diversos veículos da imprensa televisada, falada e escrita. Depois de um ano, as verbas produziram os seguintes resultados, em dezenas de milhares de dólares. Ajuste os dados através de um polinômio linear. Gastos Realizados Gastos Realizados Vendas TV Rádio Revistas Vendas TV Rádio Revistas , , , , , , , , , , , ,8 25

26 Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado ajustado 0, Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 3, , , , , , Variável X 1 2, , , , , , Variável X 2 2, , , , , , Variável X 3 0, , , , , , Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado ajustado 0, Erro padrão 1, Observações 12 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 4, , , , , , Variável X 1 2, , , , , , Variável X 2 2, , , , , , A Butler Trucking Company, uma companhia de transporte do sul da Califórnia tem seus maiores negócios envolvendo entregas na região. Para desenvolver melhores hábitos de trabalho, os gerentes supõem que o modelo de regressão linear simples poderia ser usado para descrever a relação entre o tempo total de viagem (Y) e a quilometragem percorrida (X 1 ). Foi selecionada uma amostra aleatória simples de 10 tarefas de entrega, que forneceu os dados da tabela abaixo. Tarefa X 1 : Quilometragem X 2 : Número de entregas Y: Tempo de entrega , , , , , , , , , ,1 (a) Determine o grau de correlação linear entre Y e X 1. (b) Teste se o tempo de viagem está relacionado linearmente com a quilometragem percorrida, com um nível de significância de 5%. 26

27 (c) Qual o percentual da variabilidade do tempo de viagem que pode ser explicado pelo efeito linear da quilometragem percorrida? (d) Utilize o modelo de regressão linear simples para descrever a relação entre Y e X 1. (e) Interprete o coeficiente b da reta de regressão. (f) A equação linear estimada forneceu um bom ajuste? Explique. (g) Ajuste uma parábola. A equação estimada forneceu um bom ajuste? Explique. (h) Os gerentes resolveram acrescentar outra variável independente para explicar alguma variabilidade remanescente na variável dependente. Acharam que o número de entregas também poderia contribuir para o tempo de viagem. Considerando o número de entregas como X 2, determine a equação de regressão linear. (i) Interprete os coeficientes da equação obtida no item anterior. RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, Erro padrão 1, Observações 10 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 1, , , , , , Variável X 1 0, , , , , , RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, Erro padrão 0, Observações 10 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção -0, , , , , , Variável X 1 0, , , , , , Variável X 2 0, , , , , , Pretendendo estudar a relação entre o tempo necessário a um consumidor para optar(y) e o número de produtos substituídos alternativos(x) expostos a ele, foi observada uma amostra aleatória de 15 consumidores, da qual resultaram os seguintes dados: Y X (a) Estime o coeficiente de correlação linear de Pearson; R (b) Determine a equação de regressão para a amostra dada; R. Ŷ = X 27