ENEM EM FASCÍCULOS MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

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1 ENEM EM FSÍULOS - 0 MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS 8 Fscículo RO LUNO, necessidde de compreender o comportmento de fenômenos, descrever regulriddes, estelecer relções de interdependênci, qulificr, quntificr e generlizr conduziu, grdulmente, humnidde o moderno conceito de função. Tl conceito é um form mis precis e de mior utilidde do que noção comum de fórmul mtemátic. Neste fscículo, ordremos lgums ds principis funções mtemátics: função qudrátic, funções eponenciis, funções logrítmics e s trigonométrics. om estudo pr você! INTRODUÇÃO Olá, querido estudnte, s plicções d função qudrátic rngem situções do meio socil, relções de mercdo e cpitl, engenhri, economi, súde, trnsportes, indústris, rtes, energi, prolems de otimizção etc. O vlor de = 4c determin, portnto, o número de rízes reis de um equção do º gru e, por esse motivo, é chmdo discriminnte d equção. Interpretção do discriminnte º cso: se > 0, então hverá dus rízes reis diferentes. º cso: se = 0, então s dus rízes serão reis e iguis. 3º cso: se < 0, então não hverá rízes reis. Resumo gráfico OJETO DO ONHEIMENTO om > 0 (nesse cso, dizemos que práol possui concvidde voltd pr cim ). Função Qudrátic < 0 = 0 > 0 Tod função f: R R definid por f() = + + c, em que, e c são números reis e 0, recee o nome de função qudrátic. Pode-se interpretr função qudrátic como sendo um trnsformção do número rel no número rel + + c. Em símolos: = + + c Rízes d função qudrátic s rízes de um função são os vlores que vriável pode ssumir de modo que f() = 0. Geometricmente, s rízes de um função representm s scisss ds coordends dos pontos nos quis o gráfico d função intersect o eio-. Um função qudrátic, cujo gráfico é um práol, pode possuir té dus rízes reis, gerlmente designds por e. Seus vlores podem ser otidos trvés d fórmul de hskr. om < 0 (nesse cso, dizemos que práol possui concvidde voltd pr io ). < 0 = 0 > 0 = = ± = + = Pr o trçdo do gráfico de funções qudrátics, é útil lemrr que s coordends do vértice d práol são dds por: Vértice =, 4

2 Enem em fscículos 0 Form ftord Se os vlores e representm s rízes de um função qudrátic = + + c, então podemos reescrevê-l n form ftord: = ( ) ( ), em que é denomindo coeficiente dominnte. Ess form é especilmente útil pr determinr função qudrátic em estudo qundo possuímos s sus rízes. Determinr s relções de interdependênci entre s vriáveis é um ds hiliddes mis cords pelo Enem. compnhe no eemplo como utilizr form ftord pr oter função qudrátic desejd. Eemplo: fi gur mostr um rco prólico de ltur M = 6 cm, sore um se de 40 cm. M é o ponto médio de. º cso: > 0 ponto > 0 mínimo Nesse cso, como concvidde d práol está voltd pr cim, seu vértice V =, represent um ponto de 4 mínimo, o ponto mis io d práol. Dess form, V represent o menor vlor d função, ddo por: V = 4 º cso: < 0 ponto máimo M Tomndo o ponto como origem de um sistem crtesino, teremos figur io: (0, 6) (0, 0) M (0, 0) (40, 0) ssim, s rízes de tl função são 0 e 40. Dess form, pode-se plicr form ftord: = ( ) ( ) = ( 0) ( 40) = ( 40). omo f(0) = 6, temos: 6 = (0 40 0) 6 = 400 = 5 < 0 Nesse cso, como concvidde d práol está voltd pr io, seu vértice V =, represent um 4 ponto de máimo, o ponto mis lto d práol. Dess form, V represent o mior vlor d função, ddo por: V = 4 Oservção importnte: Interpretr corretmente o teto é essencil pr responder com sucesso à questão. ssim, oserve que sciss Logo, função procurd é: do vértice d práol, isto é, V = não represent nem = =. 8 ( 40 ) Máimos e mínimos em função qudrátic Pr função f() = + + c, temos dois csos considerr com relção o coeficiente. o máimo, nem o mínimo vlor d função. O vlor está relciondo à condição necessári pr se tingir o etremo d função (máimo ou mínimo). Isto é, V = é condição (ou circunstânci) pr termos o máimo (ou mínimo) vlor d função. compnhe o qudro-resumo io. Mtemátic e sus Tecnologis

3 Enem em fscículos 0 represent o mínimo, se > 0 V = 4 represent o máimo, se < 0 condição pr se tingir mínimo, se > 0 = o V represent condição pr se tingir o máimo, se < 0 Por fim, note que se o eercício corr o máimo (ou mínimo) vlor d função qudrátic, você deve clculr V =. Entretnto, se questão perguntr sore um 4 condição (ou circunstânci) em que se otém o máimo (ou mínimo) vlor d função qudrátic, você deve clculr V =. Em qulquer cso, práol que represent função = + + c intersect o eio- no ponto de coordends (0, c) e present um simetri em relção à ret verticl que pss por seu vértice (ou sej, ret cuj equção é = ). compnhe ilustrção seguir. (0, c) eio de simetri: = Um vez que o vlor rrecddo (receit) é um função qudrátic com concvidde voltd pr io, receit terá um vlor máimo, e o desconto necessário pr que receit sej máim é V = V = 50 ( ) = 5, isto é, se o proprietário conceder 5 centvos de desconto por litro de comustível e, consequentemente, vendê-lo R$,5, oterá mior receit possível, ou sej, tingirá o vlor máimo que é V = V = 4 V = R$ 5. 65, ( ) ( ) QUESTÃO OMENTD Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. -5 H- Pr certo produto comercilizdo, função receit e função custo estão representds seguir em um mesmo sistem de eios, onde q indic quntidde desse produto. R, 0 v usto v v Receit Eemplo: Um posto de comustível vende 0000 litros de álcool por di R$,50 cd litro. Seu proprietário perceeu que, pr cd centvo de desconto que concedi por litro, erm vendidos 00 litros mis por di. Por eemplo, no di em que o preço do álcool foi R$,48, form vendidos 000 litros. Dess form, considerndo o vlor, em centvos, do desconto ddo no preço de cd litro, o vlor V, em R$, rrecddo dirimente com vend do álcool, pode ser otido pel relção: V() = (preço do litro de comustível, em reis) (quntidde vendid dirimente) V ( ) = 50,. ( ) 00 V ( ) = om se nesss informções e considerndo que função lucro pode ser otid por L(q) = R(q) (q), ssinle lterntiv que indic ess função lucro. ) L(q) = q + 800q ) L(q) = q + 000q c) L(q) = q + 00q d) L(q) = 00q e) L(q) = 00q q Mtemátic e sus Tecnologis 3

4 Enem em fscículos 0 omentário função custo é do tipo fim, su form é: (q) = m q + n. m= omo m é t de vrição d função, podemos oter: = = 00 O vlor de n que otemos pelo gráfico é Logo, função custo é: (q) = 00 q função receit é qudrátic, sus rízes são 0 e 500, então, usndo form ftord, podemos escrever: R(q) = (q ) (q ) R(q) = (q 0) (q 500) R(q) = (q 500q) Do gráfico, vemos que R(50) = ssim, 5000 = = 5000 ( ) 6500 = Dí, função receit é: ( ) R(q) = q 500q R(q) = q +000q ssim, função lucro será: L(q) =R(q) (q) ( ) ( ) L(q) = q +000q 00q L(q) = q +800q Respost corret: -5 H-0 H- Interpretr gráfico crtesino que represente relções entre grndezs. Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. 0. Um veículo foi sumetido um teste pr verificção do consumo de comustível. O teste consisti em fzer o veículo percorrer, váris vezes, em velocidde constnte, um distânci de 00 km em estrd pln, cd vez um velocidde diferente. Oservou-se então que, pr velociddes entre 0 km/h e 0 km/h, o consumo de gsolin, em litros, er função d velocidde, conforme mostr o gráfico seguinte. 6 8 consumo (litros) velocidde (km/h) Se esse gráfico é prte de um práol, quntos litros de comustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidde de 0 km/h? ) 0 ) c) 4 d) 6 e) 8 DE OLHO NO ENEM NTENS, RDRES, FRÓIS E PRÁOLS -5 H-3 EXERÍIOS DE FIXÇÃO vlir proposts de intervenção n relidde utilizndo conhecimentos lgéricos. 0. Um técnico está editndo um vídeo trvés de 8 computdores ligdos em rede. Nesses termos, cd computdor process o vídeo um t de 9,6 M/s. ssim, velocidde totl do processo é 76,8 M/s. ontudo, o técnico pretende umentr velocidde totl de processmento do vídeo interligndo mis computdores à rede. Porém, pr cd novo computdor diciondo t de processmento de cd computdor diminui 0,4 M/s. Dess form, quntidde de computdores ligdos em rede, pr que o técnico tenh máim velocidde de processmento possível, deve ser: ) 4 ) 0 c) 6 d) e) 8 Qundo um stélite rtificil é colocdo em um órit geoestcionári, ele emite um conjunto de onds eletromgnétics que podem ser cptds por ntens ou rdres n Terr. O que tlvez você não si é que esses ojetos são construídos tendo práol como referênci, isto porque tl curv possui proprieddes geométrics etremmente úteis. N construção de ntens prólics, rdres ou fróis, propriedde mis eplord é refleiv. Qundo um feie de rios luminosos incide prlelmente o eio de simetri de um superfície proloide espelhd, su refleão ocorre de form fzer convergir os rios em um único ponto. D grnde quntidde de clor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco (em ltim focus signific fogo). omo os sinis receidos (onds de rádio ou luz) são muito frcos, é necessário cptá-los e concentrá-los em um único ponto pr que sejm nturlmente mplificdos. Portnto, superfície d nten ou do espelho deve ser tl que todos os sinis receidos de um mesm direção sejm direciondos pr um único ponto pós refleão. plic-se o mesmo princípio n construção de espelhos pr telescópios, ntens de rdr, ntens prólics e fróis. 4 Mtemátic e sus Tecnologis

5 Enem em fscículos 0 INTRODUÇÃO O prto curvo focliz s onds de rádio que chegm pr gui direcionl. gui direcionl secção de um frol de um utomóvel tem o formto de um práol ( superfície espelhd é um proloide). lâmpd situd no foco, qundo ces, emite rios luminosos que, pós incidirem sore práol, serão refletidos num mesm direção, segundo rets prlels o eio de simetri d práol. s funções eponenciis e logrítmics ocupm lugr de destque em tods s áres do conhecimento, desde estudos reltivos ts de crescimentos, nscimentos e morte de indivíduos de um populção (nimis ou plnts) té propgção de doençs em sistems epidemiológicos, todos constituem csos típicos de situções cuj modelgem é feit trvés de funções logrítmics e eponenciis. OJETO DO ONHEIMENTO Função Eponencil e Logrítmic Definição d função eponencil Frol de um utomóvel F Sup. espelhd função f: R R dd por f() = (com e > 0) é denomind função eponencil de se e definid pr todo rel. Se = 0, então = 0 =, isto é, o pr ordendo (0, ) stisfz lei =. Isso quer dizer que o gráfico de qulquer função desse tipo intersect o eio no ponto de ordend. om relção à se, há dois csos considerr: º cso: se >, então função é crescente, isto é: Secção de um frol > > NOTÇÕES Gráfico 0 f é crescente Mtemátic e sus Tecnologis 5

6 Enem em fscículos 0 º cso: 0 < <, então função é decrescente: > < Gráfico Logritmos Definição Ddos os números reis N, e, com N > 0, > 0 e, o epoente que colocmos n se pr otermos o número N é chmdo logritmo de N n se. Em símolos: log N= = N nomencltur usd é seguinte: N logritmndo ou ntilogritmo se (qundo se é omitid, diremos que se é 0) logritmo 0 Eemplos: º) log 6 = 4, pois 4 = 6 º) log 3 9 =, pois 3 = 9 3º) log 7 = 0, pois 7 0 = f é decrescente Um generlizção são s funções com form f k ( )=. Nesss funções, o coeficiente é frequentemente ssocido o vlor inicil d função, pois f 0 k f 0 0 ( )= ( )=. Por su vez, pr cd umento de k uniddes no vlor de, função é multiplicd pelo ftor. Ess compreensão dos coeficientes ds funções do tipo f k ( )= é de fundmentl importânci pr montgem rápid de modelos eponenciis. compnhe o eemplo seguir. Eemplo: Um gricultor está sofrendo com infestção de determind espécie de formig que está destruindo su plntção. pós uscr jud de um especilist, este recomend plicção de certo inseticid, eplicndo que, pós seu uso, populção desss formigs será reduzid à metde cd 5 dis. populção inicil de formigs é estimd em espécimes. prtir desss informções, podemos escrever populção P()= t de formigs em função do tempo t, medido em dis, trnscorrido pós plicção do inseticid. Ness função, temos = (populção inicil), temos tmém = t t 5 k (pois populção desss formigs é reduzid à metde = t k cd5 dis ). k = 5 Portnto, populção de formigs poderá ser estimd pel t 5 lei P(t) = Decorrêncis d definição lguns logritmos, pelo fto de que vmos encontrá-los muits vezes, devem ter seus vlores rpidmente reconhecidos. São logritmos cujos resultdos decorrem de mneir imedit d definição. onsiderds stisfeits tods s condições de eistênci, temos: ª decorrênci: log = 0 Pois qulquer que sej se elevd o epoente 0, present resultdo igul. ª decorrênci: log = Pois qulquer que sej se elevd o epoente, present resultdo igul. 3ª decorrênci: log = Pois é justmente o epoente que devemos colocr n se pr otermos o resultdo. 4ª decorrênci: log N = N Pois log N é, por forç de definição, justmente o epoente que devemos colocr n se pr otermos o resultdo N. Proprieddes prtir d definição, podemos desenvolver lgums utilizções frequentes dos logritmos e trnsformá-ls em proprieddes que pssremos estudr. onsiderndo os números reis positivos, N e M, com : P: log ( NM )= log ( N) + log ( M) N P: log log N log M M = ( ) ( ) P3: log ( N )= log N P4: log N log ( )= N 6 Mtemátic e sus Tecnologis

7 Enem em fscículos 0 P5: Mudnç de se log escolhid. M log N N =, onde é um se convenientemente log M Função Logrítmic Definição É tod função f: R * R n form f() = log, em que, + > 0 e. Pr >, tl função é crescente. compnhe o gráfico n págin seguinte. QUESTÃO OMENTD Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. -5 H- onç-pintd, tmém conhecid por jgur ou jguretê, costum ser encontrd em reservs florestis e mts cerrds, ms, tulmente, é um dos crnívoros rsileiros que corre perigo de etinção. Suponh que, em determind região, populção de onçs-pintds, P(t), dqui t nos, será estimd pel função: P(t) = 60 ( + e 0,05t ). = log ( > ) Pr 0 < <, tl função é decrescente. compnhe o gráfico io. Se mntiver esse decrescimento, dqui quntos nos será tingido o ponto em que etinção é inevitável, considerd pelos iólogos em cem indivíduos? Utilize: ln = 0,69; ln 3 =,0. = log (0 < < ) ) 7, ) 8, c) 9, d) 0, e), omentário Pr que populção sej de cem indivíduos, temos: P(t) = ( + e 0,05t ) = 00 + e 0,05t = 5 3 Logritmo nturl O logritmo nturl ou logritmo neperino é o logritmo cuj se é o número irrcionl e, que é proimdmente igul, Tl logritmo é normlmente representdo por ln. Isto é: ln é equivlente log e e 0,05t = 3 ln e 0,05t = ln 3 0,05t = ln ln 3 0,05t = 0,69,0 0,05t = 0,4 t = 8, nos Dqui 8, nos será tingido o número de cem indivíduos. Respost corret: Mtemátic e sus Tecnologis 7

8 Enem em fscículos 0-5 H-0 H- EXERÍIOS DE FIXÇÃO Interpretr gráfico crtesino que represente relções entre grndezs. Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. 03. Durnte três semns um estudnte compnhou, pelos noticiários, evolução mundil d pneumoni siátic ou síndrome respirtóri gud sever (SRS). Por curiosidde, ele construiu o gráfico io e estimou que o totl (T) de csos confirmdos té o enésimo di de oservção seri ddo por: T = 00 3 kn, em que k é um constnte positiv. onsidere que o número de rtigos que um operário recém contrtdo é cpz de produzir dirimente, pós n dis de treinmento é ddo por P(n) = ,75n. Determine qunto tempo é necessário pr que produção diári desse trlhdor sej pelo menos 5 rtigos por di. Use log 0,30 e log 3 0,48 ) proimdmente 4 dis. ) proimdmente 5 dis. c) proimdmente 6 dis. d) proimdmente 7 dis. e) proimdmente 8 dis. DE OLHO NO ENEM 700 T(totl de csos confirmdos) omo se reliz prov do crono-4 pr conhecer idde dos restos encontrdos por pleontólogos? n(dis) Depois do º di, o estudnte não compnhou mis os noticiários sore os csos dess doenç. Pel estimtiv dele, qul seri o totl de csos confirmdos té o 8º di? ) 3000 ) 3600 c) 4500 d) 5600 e) H- Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. Fósseis podem ser dtdos com o teste do crono-4 técnic do crono-4 foi descoert nos nos qurent por Willrd Li. Ele perceeu que quntidde de crono-4 dos tecidos orgânicos mortos diminui um ritmo constnte com o pssr do tempo. ssim, medição dos vlores de crono-4 em um ojeto fóssil nos dá pists muito ets dos nos decorridos desde su morte. Ess técnic é plicável à mdeir, crono, sedimentos orgânicos, ossos, conchs mrinhs ou sej todo mteril que conteve crono em lgum de sus forms. omo o eme se sei n determinção de idde trvés d quntidde de crono-4 e que est diminui com o pssr do tempo, ele só pode ser usdo pr dtr mostrs que tenhm entre 50 mil e 70 mil nos de idde. 04. O processo de quisição de conhecimento e destrez tem sido estuddo em váris perspectivs e com diferentes ojetivos. s fmoss curvs de prendizdo têm se mostrdo ferrments úteis no monitormento do desempenho de um nov tref, vlindo um progresso n medid em que lgums repetições são efetuds. Esss curvs form introduzids por Wright em 936, e, desde então, têm sido utilizds pr vlição do tempo demnddo pr conclusão de corrids de produção, estimção d redução de custos de produção e locção de trlhdores pr trefs com se em sus crcterístics de tução ou hiliddes, por eemplo. RDIOTIVIDDE DO RONO-4 Li, que er químico, utilizou em 947 um contdor Geiger pr medir rdiotividde do -4 eistente em vários ojetos. Este é um isótopo rdiotivo instável, que deci um ritmo perfeitmente mensurável prtir d morte de um orgnismo vivo. Li usou ojetos de idde conhecid (respldd por documentos históricos) e comprou est com os resultdos de su rdiodtção. Os diferentes testes relizdos demonstrrm viilidde do método té cerc de 70 mil nos. 8 Mtemátic e sus Tecnologis

9 Enem em fscículos 0 O -4 se produz pel ção dos rios cósmicos sore o nitrogênio-4 e é sorvido pels plnts. Qundo ests são ingerids pelos nimis, o -4 pss os tecidos, onde se cumul. o morrer, este processo se detém e o isótopo começ desintegrr-se pr converter-se de novo em nitrogênio-4. prtir desse momento, quntidde de -4 eistente em um tecido orgânico se dividirá pel metde cd 5730 nos. erc de 50 mil nos depois, ess quntidde começ ser pequen demis pr um dtção precis. Depois de um etrção, o ojeto dtr deve ser protegido de qulquer contminção que poss mscrr os resultdos. Feito isso, lev-se o lortório onde se contrá o número de rdições et produzids por minuto e por grm de mteril. O máimo são 5 rdições et, cifr que se dividirá por dois por cd período de 5730 nos de idde d mostr. Disponível em: INTRODUÇÃO Situções relcionds com medição de ldos e ângulos de triângulos derm início à Trigonometri, que com o pssr do tempo, trnsformou-se num genuín ferrment n resolução de um considerável número de prolems relciondos com mecânic, topogrfi, nvegção e soretudo nos cálculos stronômicos. ssim, est ordgem tem como ojetivo principl plicção de conceitos trigonométricos em situções que envolvm triângulos e eplorção de fenômenos periódicos reis, recorrendo às funções trigonométrics. Vle slientr que eficáci dest ferrment, ns plicções que iremos presentr, eigirá nturlmente um rzoável domínio lgérico e geométrico do leitor. NOTÇÕES OJETO DO ONHEIMENTO Trigonometri e sus plicções Trigonometri no triângulo retângulo onsidere um ângulo gudo = med(â). onstruindo perpendiculres o ldo prtir dos pontos,, 3 etc., os triângulos retângulos otidos,, 3 3 etc. serão semelhntes por terem o ângulo comum. 3 3 onsiderndo que é mplmente conhecid proporcionlidde dos ldos homólogos em triângulos semelhntes, então podemos escrever s seguintes proporções: 3 3 = = =... = k 3 3 = = =... = k = = =... = k3 Ests constntes k, k e k 3 dependem pens do ângulo e não dos comprimentos dos ldos envolvidos. É oportuno dr nomes esss constntes que dependem de (gudo). 3 Mtemátic e sus Tecnologis 9

10 Enem em fscículos 0 ssim, considerndo o triângulo retângulo, e findo um ângulo gudo, podemos definir: Usndo s rzões trigonométrics presentds, encontrmos: r sen = rsen + hsen = r r. ( sen) = hsen r + h hipotenus cteto oposto Logo, se tivermos s medids de h e (vlores cessíveis) e um tel de senos, podemos trnquilmente determinr o rio d Terr: c cteto djcente hsen r = sen cteto oposto seno: sen = = hipotenus cossecnte: cossec = hipotenus cteto oposto cteto djcente c cosseno: cos = = hipotenus hipotenus secnte: sec = = cteto djcente c cteto oposto tngente: tg = cteto djcente = c cotngente: cotg = cteto djcente cteto oposto = c = Os enefícios que Trigonometri propici à fcilitção ns resoluções de prolems prentemente difíceis é incontestável. Eemplo : Pr mostrr um plicção, suponh que se quer medir o rio r d Terr, que é um comprimento impossível de ser otido pelo cálculo direto. Um processo, usdo desde os gregos, é o seguinte: Soe-se um torre de ltur h e mede-se o ângulo que fz ret do horizonte de com verticl O do lugr. onsiderndo Terr esféric, temos ilustrção: Linh do horizonte r O h r Terr Torre Eemplo : Um outr situção-prolem, pr mostrr importânci d Trigonometri n resolução de prolems relciondos com ângulos e ldos de um triângulo, é questão do topógrfo que desej medir ltur de um montnh e pr tl tom como referênci o ponto P, no pico. prtir de um ponto no solo, clcul medid do ângulo que o segmento P form com horizontl locl e, fstndo-se km té o ponto, mede o ângulo θ de P com horizontl. Fzendo um desenho ilustrtivo, encontrmos: P Temos que: h h tg = = () I tg h h tgθ = + = () II + tgθ Sustituindo (I) em (II), encontrmos: h h h h + = = tg tgθ = h ( tg tgθ) tg tgθ tgθ tg tg tgθ h = tg tgθ Portnto, ltur desejd é dd por: Trigonometri num triângulo qulquer Em vist ds numeross plicções em que se considerm triângulos quisquer, vmos presentr dus leis de grnde relevânci n Trigonometri. h P 0 Mtemátic e sus Tecnologis

11 Enem em fscículos 0 Lei dos senos: Em todo triângulo, s medids dos ldos são diretmente proporcionis os senos dos ângulos opostos, onde constnte de proporcionlidde é igul o diâmetro d circunferênci circunscrit. Demonstrção: Nesse ponto, distânci do nvio o frol pode ser clculd fcilmente. Evidentemente, medid do ângulo F ˆ é igul 60º. Portnto, plicndo lei dos senos, temos: F sen45 Lei dos cossenos: o 0 0 = F = 6, 3 km o sen60 3 P Em todo triângulo, o qudrdo de um ldo é igul à som dos qudrdos dos outros dois ldos, menos o doro do produto desses dois ldos pelo cosseno do ângulo formdo por eles. O R Lei dos cossenos: ^ = + c c cos ^ = + c c cos ^ c = + cos O teorem dos senos estelece que sen( ) é constnte. c compnhe: I. Sej O o circuncentro do ; II. Prolongndo o segmento O té encontrr circunferênci, otemos o diâmetro P; III. Oserve que o triângulo P é retângulo em Ĉ, pois P é um diâmetro; IV. Os ângulos inscritos  e P são iguis (rco cpz); V. No triângulo retângulo P, temos: Eemplo: sen  = sen P = R = R sen Portnto, podemos escrever: c = = =R sen sen sen Pr mostrr um plicção, suponh que um nvio, vijndo em linh ret, vist um frol em F, 45º à direit; pós ter cminhdo 0 km, vist o mesmo frol num direção que form 75º com su trjetóri, como mostr figur. 0 km 45º 75º Oservção: Esss fórmuls são de fácil demonstrção e muito úteis n determinção dos ângulos de um triângulo, conhecendo s medids dos ldos. Eemplo: Pr eplorr o potencil turístico de um cidde, conhecid por sus els pisgens montnhoss, o governo pretende construir um teleférico, ligndo o terminl de trnsportes coletivos o pico de um morro, conforme figur seguir. 00 m m 50º N F 0º P Mtemátic e sus Tecnologis

12 Enem em fscículos 0 Pr construção do teleférico, há dus possiiliddes: o ponto de prtid ficr loclizdo no terminl de trnsportes coletivos (ponto ), com um prd intermediári (ponto ), e o ponto de chegd loclizdo no pico do morro (ponto ); o ponto de prtid ficr loclizdo no ponto e o de chegd loclizdo no ponto, sem prd intermediári. Sendo = m, = 00 m, ÂP = 0º e N ˆ = 50º, distânci entre os pontos e, pode ser fcilmente clculd prtir d lei dos cossenos. compnhe: 0º Temos: d m d 50º 00 m 50º = ( 300 3) + ( 00) cos 50 Simplificndo, otemos: d = 700 metros. Pitágors e relção fundmentl d Trigonometri trdição é unânime em triuir Pitágors (geômetr grego, nscido por volt de 57.. n ilh egei de Smos) descoert independente do teorem sore triângulos retângulos, hoje universlmente conhecido pelo seu nome que o qudrdo sore hipotenus de um triângulo retângulo é igul à som dos qudrdos sore os ctetos. É sido que esse teorem er conhecido pelos ilônios dos tempos de Hmuri, mis de um milênio ntes, ms su primeir demonstrção gerl pode ter sido dd por Pitágors. Desde os tempos de Pitágors, muits demonstrções desse teorem form presentds. Vejmos um demonstrção utilizndo s rzões trigonométrics: P N o c n cos = = c = n( I) c m sen= = = m() II Somndo (I) e (II), otemos: c + = n + m = (n + m) = =. Logo, c + = (Pitágors). Por outro ldo, tem-se: c cos. cos. = = c cos = c ( III) sen =. sen =. sen = ( IV) Somndo (III) e (IV), otemos: cos + sen = c + (cos + sen ) = Logo, cos + sen = (R. Fundmentl), gudo. Funções trigonométrics: Seno e osseno s seis rzões trigonométrics presentds té o momento vrim conforme o ângulo que se referem. São perfeitmente determinds pr cd um dos ângulos compreendidos entre 0º e 90º e cd ângulo, nesse intervlo, corresponde pens um vlor pr cd rzão. s rzões trigonométrics são, pois, funções dos ângulos que se referem e costummos nomeá-ls de funções trigonométrics. No entnto, s definições cim podem ser generlizds pr qulquer ângulo d seguinte form: mplição do domínio ds funções trigonométrics tod ret rel fz-se recorrendo à circunferênci trigonométric. El é definid por um circunferênci de rio unitário (rio = ) centrd n origem dos eios crtesinos. 80º (,0) (0,) 90º p O + (rcos positivos, sentido nti-horário) P( p, p ) 0º = 360º p (,0) θ (rcos negtivos, sentido horário) h c 70º (0, ) θ m H n Dess form, podemos definir o seno e o cosseno do ângulo pr todos os vlores de e não somente pr queles entre 0º (ou 0 rdinos) e 90º (ou rdinos). Mtemátic e sus Tecnologis

13 Enem em fscículos 0 Vejmos: = sen sen p = e cos = p ssim, s coordends do ponto P são: P( p, p ) = (cos, sen ). onsequentemente, temos: 0 0 /6 / /4 / /3 3 / / cos = 0 e sen = 0 3/ De modo semelhnte, pr o ângulo = rdinos (mei-volt n circunferênci), temos cos() = e sen() = 0, pois o ponto ( p, p ) = (0, ). Qundo = rdinos, voltmos ter o ponto (, 0), o que nos dá cos() = e sen() = 0. Prosseguindo pr outros vlores, verificmos que s funções trigonométrics se repetem cd vez que dicionmos rdinos o ângulo primitivo. D mesm form que temos vlores possíveis pr o seno e o cosseno qundo > 0, tmém é possível triuir vlores às funções trigonométrics qundo < 0. Nesses csos, temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). Portnto, s dus funções, seno e cosseno, ficm em definids pr todos os vlores de n ret rel. 0 Proprieddes D(f) = R. Im(f) = { R } = [ ; ]. f é função ímpr, pois sen( ) = sen, R. f é limitd, pois f(), R. f é periódic, de período p =. Gráfico Oservção: É possível definir função tngente do ângulo de modo semelhnte Representção geométric ds funções seno, cosseno e tngente n circunferênci trigonométric. Gráfico d função cosseno 80º (,0) 90º P II Q sen III Q eio dos senos O (0,) I Q eio ds tngentes 0º = 360º eio dos cossenos cos (,0) IV Q 70º (0, ) P T tg Pr se ter um idei do comportmento gerl de um função trigonométric, é conveniente construir o seu gráfico. princípio, seri necessário conhecer todos os pontos pr oter o gráfi co, entretnto, o conjunto de pontos notáveis discutidos nteriormente permite construir um figur stnte próim do gráfico desejdo. Gráfico d função seno Utilizndo os pontos (, ) d tel io, onde = sen, construímos o gráfico d função seno no intervlo de 0. Utilizndo os pontos (, ) d tel io, onde = cos, construímos o gráfico d função cosseno no intervlo de 0. = cos 0 /6 3 / /4 / /3 / / 0 3/ 0 Proprieddes D(f) = R. Im(f) = [ ; ]. f é função pr, pois cos( ) = cos, R. f é função limitd, pois f(), R. f é periódic, de período p =. Mtemátic e sus Tecnologis 3

14 Enem em fscículos 0 Gráfico Eemplo: Um equipe de mergulhdores, dentre eles um estudnte de iêncis Ets, oservou o fenômeno ds mrés em determindo ponto d cost rsileir e concluiu que o mesmo er periódico e podi ser proimdo pel epressão: 5 Pt () = + cos t +, 6 4 Gráfico d função tngente Utilizndo os pontos (, ) d tel seguir, onde = tg, com ( k + ), construímos o gráfico d função tngente no intervlo de 0. = tg 0 0 onde t é o tempo (em hors) decorrido pós o início d oservção (t = 0) e P(t) é profundidde d águ (em metros) no instnte t. Evidentemente, P(t) será mimizdo qundo tomrmos 5 cos t = onsequentemente, t = k 5, com k inteiro. Dí, podemos grntir que, depois de 4,5 hors (k = ), ocorreu primeir mré lt pós o início d oservção. /6 3 / 3 Proprieddes /4 /3 3 / /3 3 3/4 5/6 3 / ( k + ) D(f) = R, kez. Im(f) = R. f é função ímpr, pois tg( ) = tg, D. f não é limitd. f é periódic, de período p =. Gráfico QUESTÃO OMENTD Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. -5 H- O lcnce máimo no lnçmento olíquo de um corpo é v sen ddo pel epressão = 0 θ, onde v0 e g denotm, g respectivmente, velocidde inicil de lnçmento do corpo e celerção d grvidde. Um jogdor de golfe lnç um ol com velocidde inicil v 0 = 0 m/s otendo um lcnce máimo de cos θ metros. v 0 θ onsiderndo que θ é um ângulo do º qudrnte, e celerção d grvidde igul 0 m/s, o ângulo de lnçmento θ é: g ) ) 3 c) 4 d) e) 8 4 Mtemátic e sus Tecnologis

15 Enem em fscículos 0 omentário De cordo com o enuncido, podemos escrever epressão do lcnce d seguinte form: onsidere que hj um corte pssndo pelo eio de simetri do cone, conforme mostr Figur 3. X ( 0 ) senθ cosθ = 0,3 cm r Ddo : 3 73, Simplificndo equção trigonométric, otemos: cosθ = senθ = senθ+ cosθ X 60º Dividindo mos os memros por = senθ+ cosθ = cos senθ + sen cosθ 4 4 dição de rcos = sen + θ 4, teremos: X cm Figur 3 Em vist dos ddos presentdos, é correto firmr que o rio do nel ser produzido é igul : ) 0,8 cm ) 0, cm c) 0,5 cm d) 0,30 cm e) 0,35 cm X Pr que ocorr iguldde cim, devemos ter: θ + = + k,co mk Z θ = + k H-8 omo θ é gudo, concluímos que θ = rd. 4 Respost corret: c EXERÍIOS DE FIXÇÃO Resolver situção-prolem que envolv conhecimentos geométricos de espço e form. 05. Um indústri fric um peç, mostrd n Figur, formd pel junção de dois sólidos de revolução: um cone de rio d se cm, cuj inclinção d gertriz mede 60º, e um esfer cujo centro é o vértice do cone. ltur totl d peç é,3 cm. Por demnd dos clientes, o fricnte necessit colocr um cmento em form de um pequeno nel, de espessur desprezível, n interseção dos dois sólidos, como mostr Figur. - H-9 Utilizr conhecimentos geométricos de espço e form n seleção de rgumentos propostos como solução de prolems do cotidino. 06. onsidere s seguintes informções: De dois pontos e, loclizdos n mesm mrgem de um rio, vist-se um ponto, de difícil cesso, loclizdo n mrgem opost; Se-se que está distnte 000 metros de ; om o uílio de um teodolito (prelho usdo pr medir ângulos) form otids s seguintes medids: Â = 30 e = 80. Desej-se construir um ponte sore o rio, unindo o ponto um ponto D entre e, de modo que seu comprimento sej mínimo. Podemos firmr que o comprimento d ponte será de proimdmente: ) 048 metros ) 53 metros c) 54 metros d) 500 metros e) 477 metros Ddo: onsidere sen 80 = 0,985, sen 70 = 0,940, cos 80 = 0,74 e cos 70 = 0,340 DE OLHO NO ENEM Formulário Trigonométrico Figur Figur Fórmuls d dição sen(β + ) = sen β cos + sen cos β cos(β + ) = cos cos β sen β sen tg β+ tg tg( β+ ) = tg β tg Mtemátic e sus Tecnologis 5

16 Enem em fscículos 0 rco duplo sen() = sen cos cos() = cos sen tg tg( ) = tg Fórmuls d sutrção sen(β ) = sen β cos sen cos β onsttção: Um frol loclizdo 36 m cim do nível do mr é vistdo por um rco um distânci d se do frol, prtir de um ângulo, conforme figur: 36 m cos(β ) = cos β cos + sen β sen tg β tg tg( β ) = + tg β tg rco metde sen( / ) =± cos( / ) =± tg( / ) =± cos + cos cos + cos dmitindo-se que sen() = 3 5 e que o rco se proimou do frol e um nov oservção foi relizd, n qul o ângulo pssou etmente pr, nov distânci que o rco se encontrrá d se do frol pode ser clculd fcilmente usndo fórmul do rco duplo: Ilustrção tg tg = tg Fórmuls de Werner + β β sen + senβ = sen cos 36 m + β β cos + cosβ = cos cos sen( + β) tg + tg β = cos cos β β β sen sen β = sen cos + + β β cos cos β = sen sen sen( β) tg tg β = cos cos β Si que lguns prolems de geometri eigem utilizção de lgums desss fórmuls. 3 3 sen = tg = I 5 4 () tg tg ( ) = = 36 II tg ( ) Sustituindo (I) em (II), encontrmos: = = 0,5 m. 6 Mtemátic e sus Tecnologis

17 Enem em fscículos 0-5 H- EXERÍIOS PROPOSTOS Utilizr conhecimentos lgéricos/geométricos como recurso pr construção de rgumentção. ESTRD TORRE TORRE 50 m O TORRE TORRE 4 m 4 m ESTRD 00 m 0. Um posto de comustíveis vende dirimente um médi de 0000 litros de gsolin o preço de R$,60 por litro. Um estudo demonstrou que, pr um vrição de centvo no preço do litro, corresponde um vrição de 00 litros ns vends diáris. om se nesse estudo, o preço por litro que grnte mior receit é: ) R$,75 ) R$,65 c) R$,30 d) R$,40 e) R$,0 ) 9 m ) m c) 5 m d) 8 m e) m -5 H-0 Interpretr gráfico crtesino que represente relções entre grndezs. -5 H- Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. 0. O trnsporte éreo de pessos entre dus ciddes e é feito por um únic compnhi em um único voo diário. O vião utilizdo tem 80 lugres, e o preço pdrão d pssgem é 300 reis. erto di, empres resolve fzer um promoção, vigem será pg pens qundo o vião chegr o seu destino, e o preço d pssgem será reduzido em 75 centvos por cd pssgeiro. Dess form, se por eemplo, 0 pessos fizerem vigem, então cd pssgeiro deverá pgr ,75 = 9,50. Nesss condições, receit máim possível ness vigem é, em reis: ) ) 9900 c) 9800 d) 9700 e) H- Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos. 04. N figur io, temos os gráficos ds funções custo () e receit de vends (R) diáris de um produto de um empres, em função d quntidde produzid e vendid, em número de uniddes. Receit e usto Quntidde Podemos firmr que: ) o lucro será nulo somente se quntidde produzid e vendid for 30. ) hverá prejuízo somente qundo quntidde produzid e vendid for menor que 0. c) o prejuízo máimo será de $ 400. d) o lucro máimo é superior $ 800. e) hverá lucro qundo quntidde produzid e vendid estiver entre 0 e 30. R 03. Os cos d ponte pênsil, indicd n figur seguir, tomm form de rcos de práol do segundo gru. s torres de suporte têm 4 m de ltur e há um intervlo entre els de 00 m. O ponto mis io de cd co fic 4 m do leito d estrd. onsiderndo o plno horizontl do tuleiro d ponte contendo o eio dos e o eio de simetri d práol como sendo o eio dos, perpendiculr, determine o comprimento do elemento de sustentção, que lig verticlmente o co prólico o tuleiro d ponte, situdo 50 m do eio. Teto pr s questões 05 e 06. Um empres de trnsporte de crg estim em 0% o no t de deprecição de cd cminhão de su frot. Ou sej, cd no, o vlor de seus veículos se reduz em 0% em relção o no nterior. Pr cd cminhão, áre finnceir d empres criou um fundo pr repor deprecição. Em cd instnte t, o fundo deve ter etmente o dinheiro necessário pr completr, sore o vlor do cminhão deprecido, os R$ ,00, preço de um cminhão novo. Mtemátic e sus Tecnologis 7

18 Enem em fscículos 0-5 H-0 Interpretr gráfico crtesino que represente relções entre grndezs. d) f O gráfico que melhor represent o dinheiro disponível nesse fundo (f) o longo do tempo pr um cminhão é: ) f e) f t ) f t t H-3 vlir proposts de intervenção n relidde utilizndo conhecimentos lgéricos. c) f t 06. Pel polític d empres, qundo o vlor de um cminhão tinge 5% do vlor pelo qul foi comprdo, ele deve ser vendido, pois o custo de mnutenção pss ficr muito lto. onsiderndo proimção log = 0,30, os cminhões dess empres são vendidos em, proimdmente: ) 3 nos pós su compr. ) 4 nos pós su compr. c) 6 nos pós su compr. d) 8 nos pós su compr. e) 0 nos pós su compr H- Resolver situção-prolem cuj modelgem envolv conhecimentos lgéricos t 07. À medid que repetições são efetuds, o trlhdor demnd menos tempo pr eecução d tref, sej pel fmiliridde dquirid com os meios de produção, sej pel dptção às ferrments utilizds ou pel descoert de tlhos pr relizção d tref. WRIGHT, 936; TEPLITZ, 99; DR-EL, Mtemátic e sus Tecnologis

19 Enem em fscículos 0 Um trinee de rede de fst food, em seu primeiro di de trlho, conseguiu preprr 60 snduíches. No segundo di, preprou 90 snduíches e no terceiro di preprou 05 snduíches. O modelo utilizdo pr descrever ess prendizgem é d form: s(t) = c t. Em que, s(t) represent produção diári de snduíches pós t dis de eperiênci, constnte represent o ptmr máimo de desempenho ser tingido qundo quisição de conhecimento for integrl. om se nesss informções, o vlor desse ptmr máimo é: ) 05 ) 0 c) 5 d) 0 e) 5-5 H- Utilizr conhecimentos lgéricos/geométricos como recurso pr construção de rgumentção. 08. Em certo lgo, mss de lgs, medid em quilogrms, vri de mneir periódic conforme função t m(t) = sen 0, em que t é o tempo em dis, prtir de de dezemro de cd no. ssinle lterntiv que present mss mínim de lgs nesse lgo e o período de tempo decorrido entre o registro sucessivo de dus msss mínims. ) 450 kg e 60 dis ) 450 kg e 0 dis c) 450 kg e 80 dis d) 400 kg e 60 dis e) 400 kg e 40 dis O R θ Figur Fzendo uso desse rciocínio, com θ = 80º e O = 00 m e considerndo sen 80º 0,984, pode-se concluir que o rio d Terr vle, proimdmente: ) 580 m ) 5460 m c) 650 m d) 670 m e) 730 m - H-8 Resolver situção-prolem que envolv conhecimentos geométricos de espço e form. 0. Dus escds form encostds em um muro, conforme mostr figur. Muro 7º R Escd H - H-9 Utilizr conhecimentos geométricos de espço e form n seleção de rgumentos propostos como solução de prolems do cotidino. Escd de 4 m 65º,7 m Lojs 09. Um método utilizdo pelos gregos pr medir o rio d Terr consisti em oservr linh do horizonte, medir o ângulo θ que linh OH fzi com verticl O e medir O, conforme s figurs e. O θ Figur H Horizonte Ddos: sen 65º = 0,90 ; cos 65º = 0,4 e tg 65º =,0 sen 7º = 0,45 ; cos 7º = 0,89 e tg 7º = 0,50 ltur totl do muro é: ) 5,0 m ) 5,5 m c) 6,0 m d) 6,5 m e) 7,0 m GRITOS EXERÍIOS DE FIXÇÃO c d e e c c EXERÍIOS PROPOSTOS c d e e c d e c e Epediente Diretor-Superintendente: Tles de Sá vlcnte Diretor Pedgógic: Hild Prisco Diretor ontroller: Dse Tvres Supervisão Pedgógic: Mrcelo Pen Gerente do FEscols: Fernnd Denrdin Gerente Gráfico: ndré Menescl oordendor Gráfico: Sestião Pereir Projeto Gráfico: Joel Rodrigues e Frnklin iovnni Editorção Eletrônic: Rejne Pierre Ilustrções: Grco Revisão: Eveline unh OSG.: 695/ Mtemátic e sus Tecnologis 9