Programa de Pós-graduação em Engenharia Biomédica Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento - Univap. Matemática Biológica. Prof. Rodrigo Sávio Pessoa

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1 Programa de Pós-graduação em Engenharia Biomédica Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento - Univap Matemática Biológica Prof. Rodrigo Sávio Pessoa São José dos Campos 2014

2 Sumário Pag. Tópico 1 Grandezas Físicas e Teoria de Erros em Medidas Experimentais Introdução Grandezas físicas Conversão de unidades Notação Científica Teoria de Erros 13 Tópico 2 Conjuntos e Função Matemática Revisão de conceitos elementares Funções 26 Tópico 3 Principais Funções Elementares Função constante Função polinomial do 1º grau Função polinomial do 2º grau Função exponencial Função logarítmica 40 Tópico 4 Cálculo Diferencial e Integral: Limite e Continuidade de uma função Limite Continuidade de uma função 50 Tópico 5 Cálculo Diferencial e Integral: Derivadas A reta tangente A derivada de uma função num ponto Regras de derivação Derivada das funções elementares Derivadas sucessivas Aplicação de derivada 60 Tópico 6 Cálculo Diferencial e Integral: Integral Integral indefinida Propriedades da integral indefinida Integral definida Teorema fundamental do cálculo 71 Tópico 7 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Introdução O método de separação de variáveis Aplicações 77 Tópico 8 Aplicações de Equações Diferenciais nas Ciências Biológicas Biologia populacional Crescimento de uma célula Absorção de drogas Reações químicas 84 2

3 Tópico 1. Grandezas Físicas e Teoria de Erros em Medidas Experimentais 1.1 Introdução Qual é a função da Matemática aplicada à Biologia? A função da Matemática aplicada à Biologia é explorar a relação natural que existe entre Biologia e Matemática. Biologia gera problemas complexos e a Matemática cria caminhos para interpretá-los. Em contrapartida, modelos matemáticos propiciam novas questões que podem ser somente testadas em sistemas biológicos reais. Para uma verdadeira compreensão de Matemática aplicada à Biologia se fez necessário, inicialmente, compreender Biologia e Matemática, para evitar o uso incorreto de conceitos e ideias dessas áreas. Biologia faz parte do cotidiano, independentemente de especialidades profissionais. Como um simples exemplo, basta abrir os jornais para ler notícias sobre Biologia. Por que o HIV aumenta muito rapidamente em certas populações? Como substâncias tóxicas agem em nosso organismo? Biólogos, tradicionalmente, têm tentado responder estes tipos de questões, mas profissionais com outras formações podem contribuir na busca de respostas para estas questões. Modelagem matemática Quando se começa a aplicar Matemática à Biologia o problema é posto em palavras, não há fórmulas. O profissional fala o que está querendo investigar, quais tipos de respostas está buscando, quais procedimentos experimentais/técnicas utiliza e quais são os ingredientes relevantes para o problema. Isto significa fazer/escolher as hipóteses. Observe que mesmo o problema sendo biológico, na maioria das vezes haverá ingredientes físicos, químicos, etc. O matemático deve então fazer o papel de um tradutor simultâneo. Ele colocará o problema da linguagem coloquial para a linguagem matemática e vice-versa. Esta tarefa não é fácil, mas é de grande importância. Portanto, para iniciar um estudo quantitativo de um problema biológico é importante o conhecimento de alguns conteúdos da matemática e da física. Neste tópico inicial, discutiremos sobre grandezas físicas e a forma correta de representa-las tanto na forma teórica, quanto na forma experimental. 1.2 Grandezas físicas Grandeza física: é tudo aquilo que pode ser medido. São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa, velocidade, aceleração, temperatura, força, corrente elétrica, etc. É de extrema importância em engenharia, ciências físicas e biológicas que saibamos obedecer a coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação deve sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com maçã, 3

4 por exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma unidade. Por isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos Coerência Dimensional Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme (MRU): x = x 0 +v.t (1) onde x representa a posição de qualquer objeto no eixo x, x0 representa a posição inicial, v é a velocidade do móvel e t o tempo. No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros, etc. Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e v.t. Para que ocorra a soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma dimensão, ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada. Portanto, somente é possível somar grandezas físicas que tenham a mesma dimensão. Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea! Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação devem ser iguais as dimensões do outro membro. Seria completamente errada a expressão: 80 quilogramas = 30 metros + x metros Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os seguintes símbolos: Comprimento Massa Tempo [L] [M] [T] Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos: x posição = [ L ] t tempo = [ T ] posicao v = [L] tempo [T] x = x 0 + vt => [L] = [L] + [L] [T] => [L] = [L] + [L] [T] Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de unidades. Na área da física chamada mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como grandezas fundamentais. 4

5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão dimensionalmente incorretas, onde: v0 é a velocidade inicial do objeto; a é a aceleração do corpo; x0 é a posição inicial do objeto; Δx = x x0 é o deslocamento; g é a aceleração da gravidade; r é o raio de uma circunferência; v é a velocidade; t é o tempo; W é o trabalho realizado. a) x = x0+v0.t+1/2.a.t 2 b) v = v0+a.t 2 c) v = v a.Δx d) t = (v0.sen θ) / g e) a = v / r f) W = F.Δx.cosθ Coerência de Unidades O Sistema Internacional de Unidades SI Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico) As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, etc. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si. Os sistemas de unidades utilizados na antiguidade e atualmente são os sistemas imperial e métrico decimal. (I) Sistema imperial (unidade inglesa): baseado em medidas estabelecidas pelos reis ingleses, sendo algumas delas com base em medições no corpo dos reis (polegada, pé, jarda, etc.). Os únicos países do mundo que adotam esse sistema são a Libéria, Birmânia e Estados Unidos. (II) Sistema métrico decimal: é um sistema de medição decimalizado. Adotado pela primeira vez em 1789, numa tentativa de resolver o problema de sistemas de medida como o imperial, a França pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à 5

6 "Convenção do Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma. Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e sofisticado, adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional. Basicamente o SI pode ser divido em MKS (metro, quilograma, segundo) e CGS (centímetro, grama, segundo). As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de símbolos. Exemplos: Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa nome: metro nome: segundo nome: quilograma símbolo: m símbolo: s símbolo: kg Observações: Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos: quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e "grau Celsius". O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto. Certo Errado segundo s s. ou seg. metro m m. ou mtr. kilograma kg kg. ou kgr. hora h h. ou hr. O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s". Certo Errado cinco metros 5 m 5 ms dois kilogramas 2 kg 2 kgs oito horas 8 h 8 hs Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo. Certo quilometro por hora km/h metro por segundo m/s Errado quilometro/h km/hora metro/s m/segundo 6

7 O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto, não pode ser usado sozinho. Certo quilograma; kg Errado quilo; k Use o prefixo quilo da maneira correta. Certo quilômetro quilograma quilolitro Errado kilômetro kilograma kilolitro O SI é baseado em sete Unidades Padrões Fundamentais: Grandeza Nome Plural Símbolo comprimento metro metros m tempo segundo segundos s massa quilograma quilogramas kg corrente elétrica ampère ampères A temperatura kelvins kelvin termodinâmica K quantidade de substância mol mols mol Intensidade luminosa candela candelas cd As unidades de outras grandezas como velocidade, força e energia são derivadas das sete grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas: Grandeza Nome Plural Símbolo área metro quadrado metros quadrados m² volume metro cúbico metros cúbicos m³ ângulo plano radiano radianos rad velocidade metro por segundo metros por segundo m/s aceleração metro por segundo metros por segundo m/s² massa específica quilograma por quilogramas por metro cúbico metro cúbico kg/m³ vazão metro cúbico por metros cúbicos por segundo segundo m³/s força newton newtons N pressão pascal pascals Pa trabalho, energia, quantidade de calor joule joules J potência, fluxo de energia watt watts W 7

8 1.3 Conversão de unidades Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas: Nesta seção veremos como converter as unidades de uma dada grandeza física, representar o valor numérico medido na forma de notação científica, bem como utilizar métodos de arredondamento em número com mais de uma casa decimal após a vírgula. Fatores de Conversão de Comprimento Tabela 1. Fatores de conversão de unidades de comprimento. Exemplos de conversão de unidades: Converter as seguintes medidas de áreas para unidade de km 2 : a) 100 m 2 1 m = 0,001 km, então 1 m 2 = (0,001 km) 2 1 m 2 = 0, km 2 Logo: 100 m 2 = 100 x 0, km m 2 = 0,0001 km 2 b) 150 hm 2 1 hm = 0,1 km, então 1 hm 2 = (0,1 km) 2 1 hm 2 = 0,01 km 2 Logo: 150 hm 2 = 150 x 0,01 km hm 2 = 1,5 km 2 c) dm 2 1 dm = 0,0001 km, então 1 dm 2 = (0,0001 km) 2 8

9 1 dm 2 = 0, km 2 Logo: dm 2 = x 0, km dm 2 = 0,001 km 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 2) Converta as seguintes medidas de comprimento para cm: a) 2,5 m b) 1,3 km c) 200 dam d) mm 3) Converta as seguintes medidas de áreas para m 2 : a) 1 km 2 b) 5 dam 2 c) 2,5 mm 2 d) 3 cm 2 4) Converta as seguintes medidas de volume para m 3 a) 1,85 cm 3 b) 11,5 mm 3 c) 3,2 dam 3 d) 0,1 km 3 Fatores de Conversão de Tempo Tabela 2. Fatores de conversão de unidades de tempo. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 5) Converta as seguintes medidas de tempo em segundos: a) 1h 10min b) 1 semana c) 48h d) 2h 26min 6) Converta: a) 300 dias em segundos b) segundos em dia, hora, minutos e segundos 9

10 Fatores de Conversão de Unidades Derivadas Tabela 3. Fatores de conversão de unidades de velocidade. Converter de Para Multiplicar por metros por segundo (m/s) pés por minuto (ft/min) 196,8 metros por segundo (m/s) milhas por hora (mi/h) 2,2369 metros por segundo (m/s) quilômetros por hora (km/h) 3,60 quilômetros por hora (km/h) metros por segundo (m/s) 0,2778 quilômetros por hora (km/h) milhas por hora (mi/h) 0,6214 Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a conversão de unidades, conforme segue no exemplo: Converter de km/h para m/s: 10 km h 1000m 1km 1h 60min 1min = = 2,77 m/s 60seg Tabela 4. Alguns outros exemplos de conversão de unidades. 10

11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 7) Converta: a) 35 km/h em m/s b) 100 m/s em km/h c) 600W em HP d) 35 HP em cv e) 3,5 cv em J/s f) 500 mmhg em kgf/cm 2 g) 1000 pol em km h) 3500 ml em galões Fatores de Conversão de Temperatura Tabela 5. Fatores/relações de conversão de unidades de temperatura. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 8) Converta: a) 109ºF em K b) -50ºC em K c) 300 K em ºC 1.4 Notação Científica Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório ou até mesmo de simulação exige que se utilize números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio de números muito pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade do uso de números com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar. A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas: 1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula; 2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove). 11

12 3. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10 n onde, a potência n é o número de casas em que se andou com a vírgula até ficar apenas um número a esquerda da vírgula. Exemplos: 3563,2 m = 3, m 0, mm = 1, mm 0,02m 0,13m = 2, m 1, m = 2,0 1, = 2, m (6, m) 3 = (6,31) 3 (10 5 ) 3 m 3 = 251, m 3 = 2, m 3 Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas recomendou os seguintes prefixos: Tabela 6. Prefixos utilizados no SI. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 9) Escreva em notação científica as seguintes medidas: a) 0,00005 b) 300,2 c) 0, d) ,2 1.5 Teoria de Erros A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir conceitos importantes sobre erros de medidas. 12

13 1.5.1 Erros de uma medida Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. Matematicamente: erro = valor medido valor real A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da medição. Portanto, o erro verdadeiro de uma medida é sempre impossível de ser conhecido, sendo possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta seção irar-se-á dar uma pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro aleatório provável, dado pelo cálculo do desvio padrão. Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, há três principais que são: 1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de medida. 2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro sistemático é possível de ser minimizado ou até mesmo sanado; 3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los Valor mais provável de uma grandeza Sejam x1, x2, x3,..., xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X. O valor médio desta grandeza denotado por x é definido pela média aritmética dos valores medidos, ou seja, x = (x 1+x 2 +x 3 + +x n ) n = 1 n x n i=1 i (1) Deste modo, x representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se realizar várias medidas, os valores obtidos tendem a estarem mais próximos deste valor. O valor médio é o que melhor representa o valor real da grandeza Desvio das medidas No entanto, não se pode afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Assim, representando-se uma medida qualquer da grandeza X por Xi, não se pode dizer que a diferença (Xi - X = δx) seja o erro da medida Xi. Neste caso quando se 13

14 conhece o valor mais provável, não se fala em erro, mas sim em Desvio ou Discrepância da medida (ou Incerteza). Desvio de uma medida, δx, é a diferença entre um valor medido e o valor adotado que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio). Matematicamente: incerteza = valor medido valor médio É interessante saber de quanto as medidas individuais Xi se afastam do valor médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A esse fato denominamos dispersão. Para medir a dispersão são utilizadas algumas propriedades da série de medidas, tais como a Variância e o Desvio Padrão: Variância (s 2 ): A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza dividida pelo número de medidas menos uma. A variância é representada por s 2, sendo calculada pela fórmula: s 2 = (x 1 x ) 2 +(x 2 x ) 2 + +(x n x ) 2 n 1 = n i=1 (x i x ) 2 n 1 (2) O denominador n 1 da variância é determinado pelos graus de liberdade. O principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando um conjunto de n observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n 1 observações, o valor da última observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os n graus de liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade porque numa estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na determinação da variância. Desvio padrão (σ x ): O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e, portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida (kg, cm, atm, etc.): σ x = (x 1 x ) 2 +(x 2 x ) 2 + +(x n x ) 2 n 1 = n i=1 (x i x ) 2 n 1 (3) Para um conjunto com n medições, o desvio padrão experimental representa uma estimativa da dispersão de Xi em torno do valor médio x. Isso significa que se os resultados forem bastante próximos uns dos outros, então o desvio padrão será "pequeno", e se os resultados forem dispersos, o desvio padrão será "grande" Desvio padrão final Até agora, ainda não informamos como deve ser relatado o valor de uma grandeza submetida a medições. Já sabemos, a princípio, que a grandeza pode ser representada, de modo satisfatório pelo seu valor médio. Porém, quando efetuamos um conjunto de 14

15 medições devemos ser capazes de informar com qual qualidade a média pode ser uma estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre informar uma incerteza associada à média encontrada. Poderíamos pensar, num primeiro nível, que a incerteza possa ser estimada pelo desvio padrão da média. Porém, devemos atentar que o cálculo do desvio padrão da média leva em conta somente as contribuições dos erros aleatórios, e não considera os erros sistemáticos. Existe, pois, uma incerteza residual que ainda não foi considerada. Essa incerteza residual (σ r ), no caso de instrumentos de medida, costuma vir indicada pelo fabricante. Quando não é indicada, podemos adotar, pelo bom senso, que se trata da metade da menor divisão da escala. Assim, o resultado de um conjunto de medições é: x = x ± σ f em que σ f é o desvio (ou incerteza) padrão final e pode ser calculada por: σ f = σ f 2 + σ r 2 Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o seu valor mais provável (média) e o seu desvio padrão. Tabela 7. Valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer. Note que aqui não é necessário usar o desvio residual pois não foi fornecido. Medida Comprimento (m) 1 1,42 2 1,40 3 1,38 4 1,41 5 1,43 6 1,42 7 1,39 8 1,40 Assim, o valor mais provável da medida, X, é dado por: X = 1 11,25 (1,42 + 1,40 + 1,38 + 1,41 + 1,43 + 1,42 + 1,39 + 1,40) = = 1,40 625m 8 8 X = 1,41 m O desvio padrão será dado por σ X = (1,42 1,41)2 + (1,40 1,41) 2 + (1,38 1,41) 2 + (1,41 1,41) 2 + (1,43 1,41) 2 + (1,42 1,41) 2 + (1,39 1,41) 2 + (1,40 1,41) σ X = 0, , , , , , ,

16 σ X = 0,01 732m σ X = 0,02m Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu respectivo erro é o seguinte: (1,41 ± 0,02)m Note que o número de casas após a vírgula para ambos os valores tem que ser compatível. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 10) Sete homens foram pesados e os resultados em kg foram: 57,0; 62,9; 63,5; 64,1; 66,1; 67,1; 73,6 Determine o valor médio, a variância e o desvio padrão das medidas. 11) Foram feitas cinco observações de um comprimento com uma régua milimetrada, cujos valores (em milímetros) foram: 12,3 ; 12,5 ; 12,6 ; 12,2 ; 12,7. Determine o valor médio das medidas e o respectivo desvio padrão. Referências Bibliográficas 1. Paulo Fernando de Arruda Mancera, Matemática para Ciências Biológicas, Notas de Aula, Piacentini, J. J.; Grandi, B. C. S.; Hofmann, M. P.; Lima, F. R. R.; Zimmermann, E., Introdução ao Laboratório de Física, 2ª Edição, Editora da UFSC, Florianópolis, Halliday, David; Resnick, Robert; Merrill, John. Fundamentos de Física I. São Paulo. Livros Técnicos e Científicos, Carvalho, Alex Moreno, Eleni; Bonatto, Francisco Rogerio; Silva, Ivone Pereira, Aprendendo metodologia científica: Uma orientação para os alunos de graduação, 125 p., 2 ed., São Paulo, Serway, Raymond A., Física I Mecânica e gravitação, v.1, 3.ed., 394 p. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos, Serway, Raymond A., Princípios de Física: mecânica clássica v.1, São Paulo, Thomson, 403 p.,

17 Tópico 2. Conjuntos e Função Matemática 2.1 Revisão de conceitos elementares Propriedades básicas dos números OPERAÇÕES COM FRAÇÕES O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum: a c + = b d bd bd a b d bd c = da bc bd Ex. 1) = = = 21 Ex. 2) = = = 35 Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo. a c e + + b d f = bd f b bd f a d bd bd c f f f e = ( d f ) a ( b f ) c ( bd) e bd f Ex. 3) + - = = = =

18 DIVISÃO COM FRAÇÕES a c É só inverter a 2ª fração e multiplicar b d a c a d ad = = b d b c bc Ex. 1) = = = Ex. 2) = = Ex. 3) = = = = OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS Ex. 1) 2 + ( 3) 2 3 = 5 Ex. 2) +5 ( 8) = 11 Ex. 3) ( 2) ( 3) = 6 Ex. 4) ( 3) 5 = 15 Ex. 5) ( 2) 2 = ( 2) ( 2) = 4 Ex. 6) ( 3) 3 = ( 3) 2 ( 3) = 9 ( 3) = 27 Resolver: a) ( 14) = b) 13 + ( 9) 3 = c) 7 ( 8) = d) 14 ( 12) 24 = e) ( 3) ( 8) + 25 = f) 9 ( 2) ( 3) = g) ( 5) 2 = h) ( 2) 5 = RADICAIS n n m A A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando. m A = A m/n (fórmula geral) 18

19 Ex. 1) 4 = = 2 2/2 = 2 1 = 2 Ex. 2) 3 27 = = 3 Ex. 3) = = 2 10/5 = 2 2 = 4 Ex. 4) 2 x = x x = 2 x = x OPERAÇÕES COM RADICAIS Ex. 1) x x = Ex. 2) x y = x y Ex. 3) 3 8 = = 2 Ex. 4) n x Ex. 5) n 2 x = = Ex. 6) 16 = 2 x = x 2/2 = x = 8 9 n ( n 2) x = 4 2 = 2 = x = x 4 / 2 2 = 2 EXPONENCIAIS A x A é a base e x é o expoente. P1) A x A y = A x+y P2) A x / A y = A x-y P3) (A x ) y = A x.y P4) (A. B) x = A x B x P5) 1 A x A x e x A B x A = x = A x. B -x B Ex. 1) 2 7 = = = 8 16 = 128 Ex. 2) (2 2 ) 3 = 2 6 = = = 8 8 = 64 Ex. 3) (2 3) 3 = = = = Ex. 4) 20 5 = = 5 3 = = 25 5 = 125 Resolver: 4 7 a) 2 10 b) 2 7 c) d) PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 1) A (B + C) = A B + A C 2) (A B)(C + D) = A(C + D) B(C + D) 19

20 Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x Ex. 2) (3 x)(x 2) = 3(x 2) x(x 2) = 3x 6 x 2 + 2x = -x 2 + 5x 6 Resolver: a) (x - 7 )(x + 7 ) b) (a + b)(a + b) c) (2 + 3 )(2-3 ) d) (2 + x )(3 + 2 x ) PRODUTOS NOTÁVEIS (A+B) 2 Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir: (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = (A B)(A B) = A 2 2AB + B 2 Ex. 1) (x 2) 2 = x 2 4x + 4 Resolver: a) (x 3) 2 b) (a + 2) 2 c) (x + y) 2 DIFERENÇA DE QUADRADOS x 2 a 2 = (x a)(x + a) Ex. 1) x 2 4 = (x 2)(x + 2) Ex. 2) x 2 3 = (x - 3 )(x + 3 ) Ex. 3) x 2 A = (x - A )(x + A ) Resolver: a) ( 3-2)( 3 + 2) = b) x 2 16 = c) x 2 7 = d) (2 + 3 )(2-3 ) = BINÔMIO AO CUBO (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) FATORAÇÃO (TIRAR UM FATOR COMUM PARA FORA DO PARÊNTESES) Ex. 1) 2x 2 + 4x = 2x(x + 2) Ex. 2) x x + x 2 = x( x + x) Ex. 3) 5x( x 3) 2 4x x( x 3)( x 2) 2 ( x 3) = x( x x 3) 5 x 3 x 3 x 2 4x = 5x 15 4x x 2 = 9x 15 x 2 20

21 Resolver: a) 8 x 2 4x 2x 1 a b c) a b 3 x x 1 2 x 1 = b) 3 x x 4 = d) x 2 = = RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS Consiste em tirar uma raiz do denominador. Ex. 1) Ex. 2) Ex. 3) n 1 A n n A A n 1 n 1 1 = n 9 = 3 1 A 2 2 = 9 n n A 1 = n n A 9 n n 1 A A Resolver: 3 a) 3 b) c) d) RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferença de quadrados. x x x x x ( x x ) x ( x x ) x x Ex.1) 2 x x ( x x) ( x x ) x x x( x 1) x (2 3 ) 3(2 3 ) Ex. 2) 3(2 3) (2 3) (2 3 ) Resolver : 1 a) d) 3 7 b) e) 1 1 x 1 a b f) c) 2 x

22 2.1.2 Conjuntos Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas, etc. Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras: Por extensão: Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A ={1,3,5}. Por compreensão: Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos. Ex.: B = {x x é número ímpar menor que sete}. Pelo diagrama de Venn: Ex.: PRINCIPAIS SÍMBOLOS pertence (elemento do conjunto) não pertence (elemento do conjunto) tal que está contido (conjunto de elementos) não está contido (conjunto de elementos) existe ao menos um! existe um único não existe para todo ou qualquer implicação equivalência união intersecção Exemplo: Sendo P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine, por extensão, os seguintes conjuntos: A = {x P x = 3k, k P} = {0, 3, 6, 9} B = {x P x = 2 k, k P} = {1, 2, 4, 8} Observações Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por ou { }. Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3,...}. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Ex.: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A B ou A é subconjunto de B. Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.: Se A = {1, 2, 3, 8} e B = {2, 8, 9} então A B = {2, 8}. 22

23 Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A B = {1, 2, 3, 8, 9} Principais conjuntos numéricos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Q Q = {x x = b a, com a Z, b Z e b 0} Observações a Z Q, pois se a Z, a Q. 1 Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois casos: 1) a representação decimal é finita: 7 3 1,75 ; 0, ) a representação decimal é infinita periódica: , , CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS I Considere os números 2, 3 e, suas representações decimais são: 2 = 1, = 1, = 3, e = 2, (número de Euler) Observe que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma b a. Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS R = Q U I = { x x é racional ou x é irracional} 23

24 Portanto, são números reais: os números naturais; os números inteiros; os números racionais; os números irracionais. Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real: PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do ponto Alguns conceitos importantes MÓDULO DE UM NÚMERO Assim: O módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero. a, se a 0 a a, se a 0 Exemplo: Se a 3 então a 3 ou a 3 Se a 3 então 3 a 3 Se a 3 então a 3 ou a 3 PAR ORDENADO E PLANO CARTESIANO Se a e b são números reais, então (a, b) é um par ordenado de números reais, onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b. Representação Gráfica no Plano Cartesiano: 24

25 P é o ponto de coordenadas a e b. O número a é chamado abscissa de P. O número b é chamado ordenada de P. A origem do sistema é o ponto O(0,0). Exemplo: Represente os pontos: M(2,3), N(-1,4), P(-2,-1), Q(3,-2), R(4,0), S(-3,0), T(0,1) e V(0,-3). y 3 M(2, 3) 2 x Exercícios 1) Complete usando os símbolos ou : 9 a) 7 N b) 2 Q c) ½ I d) Q 4 e) 0, Q f) 64 R g) 3,232 Q h) 3 27 Z 2) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos: a) {x N / 1 x 4} b) {x Z / -3 < x 3} c) {x Z / 0 x < 5} d) {x N / x -3} e) {x Z / x > 4} Intervalos Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: intervalo aberto ]a, b[ = { x R a < x < b } intervalo fechado 25

26 [a, b] = { x R a x b } intervalo semi-aberto à direita ]a, b] = { x R a < x b } intervalo semi-aberto à esquerda [a, b[ = { x R a x < b } intervalos infinitos ]a, + [ = {x R x > a} [a, + [ = {x R x a} ], a[ = {x R x < a} ], a] = {x R x a} Observação: ], + [ = R Exemplo: Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos: a) [6, 10] = { x R 6 x 10 } b) ]-1, 5] = { x R -1 < x b } c) ]-, 3[ = { x R x < 3 } Operações com intervalos Intersecção ( ) A B = { x U x A e x B } União ( ) A B = { x U x A ou x B } Diferença ( ) A B = { x U x A e x B } Exercício: a) Se A = {x R 2 x < 5} e B = {x R 3 x < 8}, determine A B, A B, e A B. b) Se A = {x R -2 x 0} e B = {x R 2 x < 3}, determine A B, A B, e A B. 2.2 Funções As funções desempenham um papel importante na ciência. A observação mostra que há certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico, desde que as condições iniciais sejam as mesmas. A busca de uma função que representa uma determinada situação é chamada modelagem matemática. 26

27 Suponhamos, por exemplo, que queremos estudar uma variação de espaço e tempo no fenômeno da queda de corpos no vácuo. Procuramos a regularidade do fenômeno (a lei). Quanto menores forem os intervalos de tempo em que fizermos as medições, melhor se conhecerá a variação. Suponhamos que se fizeram as medições de segundo em segundo e que encontramos: Tempos (em segundos) Distâncias (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5... Esta tabela dá a primeira ideia da lei: d = ½ gt 2. Se t é a variável do conjunto dos tempos e d a variável do conjunto das distâncias, a lei é a correspondência entre t e d. Dizemos que d é função da variável t e escrevemos simbolicamente d = f(t), onde t é a variável independente e d a variável dependente. Dizemos que uma variável y é função de uma variável x, se e somente se, a cada valor de x (variável independente) corresponde um único valor de y = f(x) (variável dependente). Outros exemplos 1) Se uma torneira despeja 30 de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta: Após 1 minuto será de 30 ; Após 2 minutos será de 2 30 = 60 ; Após 5 minutos será de 5 30 = 150 ; Após 40 minutos será de = 1200 Indicando o tempo por x e o volume por y, temos y=30x. A cada valor de x tem um único valor para y. Dizemos que y é função de x. 2) A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados, ou seja, para cada número de quilômetros rodados equivale um único valor a ser pago. 3) A cota de contribuição do imposto de renda é função do rendimento do indivíduo. 4) A receita total é função da quantidade vendida. 5) O custo total depende da quantidade produzida. A maioria das funções pode ser expressa através de uma relação (ou lei) matemática, como os exemplos anteriores. Entretanto, existem funções que não podem ser expressas por uma lei matemática. Neste caso a relação entre as variáveis é feita através de tabelas, conjunto de pares ordenados, etc. Exemplo: a temperatura máxima no mês de fevereiro de 2002, de certa cidade, é função da data, pois cada dia tem uma única temperatura máxima Definição Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Diz-se neste caso que a função f está definida em A com valores em B. Indica-se que é uma função de A em B pela notação: f : A B (lê-se: função f de A em B) x y (lê-se: a cada valor de x A associa-se um só valor y de B) 27

28 O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável independente x. Indica-se por Dom f ou D(f ), assim, Dom = A; Chamamos o conjunto B de contradomínio da função. Indica-se por C( ), logo, C( )=B; Chamamos o elemento y de B, associado ao elemento x de A de imagem de x pela função. Indica-se y = (x); Chamamos de Conjunto Imagem o conjunto dos elementos y de B que são imagens dos elementos x de A. Indica-se por Im ou Im( ). Observação: Im( ). Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os reais. Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será de todos os reais x para os quais y = f(x) tem significado nos reais. Exercícios 1) Expresse por meio de uma fórmula matemática a função f : R R que a cada real x associa: a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três 2) Se A = { -2, -1, 0, 1 } e f : A Z definida por f(x) = x 2 1 calcule Im(f). 3) Dada a função f : R R, definida por f(x)=2x-7 pede-se: 1 3 a) f(-2) b) f c) f d) f ) Dada a função f : R R definida por f(x)=x 2-9x+14, determina: a) f(-3) b) f(0) c) f(7) 5) Na função f : R R definida por 3 1 f ( x) x, determina x para que f(x) = ) Determina o domínio das seguintes funções de variável real: a) f ( x) 2x 5 2x 3 b) f ( x) x 2 c) f ( x) x 2 x 4 d) f ( x) 3x 2 x 4 e) f ( x) 3x 2 f) f ( x) x 2 3x g) f ( x) x 4 1 5x 3 h) f ( x) x 2 x Estudo do gráfico no Plano Cartesiano Analise os gráficos a seguir e identifique quais representam e quais não representam funções. Em seguida, determine o domínio e a imagem das funções: 28

29 Observações O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x). A imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y) Estudo do sinal de uma Função Os valores de x para os quais f(x)=0 chamam-se zeros ou raízes da função. Geometricamente os zeros de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo x. f é positiva para um elemento x, x Dom f se, e somente se f(x) > 0; f é negativa para um elemento x, x Dom f se, e somente se f(x) < 0. Exemplo: Observando o gráfico acima, temos: f(1) = 0 e f(5) = 0, logo, os números 1 e 5 são os zeros da função; f é positiva quando x ( ; 1) ou x (5; + ); f é negativa quando x (1; 5). 29

30 Observação: nota que o sinal da função para um elemento x, x Dom f é o sinal de f(x) e não o sinal de x Crescimento e Decrescimento de uma Função Observamos que: De forma geral: no intervalo A, aumentando o valor de x, aumenta também o valor de y. Dizemos então que a função é crescente no intervalo A. no intervalo B, aumentando o valor de x, o valor y diminui. Dizemos então que a função é decrescente no intervalo B. Sendo x 1 e x2 elementos de um conjunto A Dom f, com x1 x2, diz-se que a função é crescente em A se f x ) f ( ) e decrescente se f ( x1) f ( x2 ). ( 1 x2 Exercício: Dada a função representada pelo gráfico abaixo, determine: a) os zeros da função; b) o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e o(s) intervalo(s) onde ela é decrescente; c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva e o intervalo onde ela é negativa. 30

31 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 1) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos: 2 a) x / 2 x 4 c) x / 7 x 3 e) x / x x 12 0 * * 2 b) x / 1 x 3 d) x / 3x 2 10 f) x / y ) Os conjuntos A = x / x e 2 x 4 e B = x / x 5x 6 0 são iguais? Justifica. 3) Dados A=(-4,3], B=[-5,5] e E=(-,1), calcula: a) A E b) E c) ( 4) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, então qual é o conjunto P = C) (C B) C). 5) Qual é a intersecção dos conjuntos Q e Q? 6) Sendo f : uma função definida por f(x)=x 2-3x-10, calcula: a) f(-2) b) f(-1) c) f(0) d) f(1/2) 7) Dada a função f : definida por f(x) = x 2 5x + 6, calcula os valores reais de x para que se tenha: a) f(x)=0 b) f(x)=12 c) f(x)=6 8) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x b. Calcula o valor de a e b de modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3. 9) Dada a função f : definida por f(x) = x 2 x 12, determina k para que f(k + 1) = )Dada a função f ( x), x 2 x 3 a) qual o valor de f(-1) e 3f(0)? b) Encontra m de modo que m f ( 1) f (0) 3 c) Calcula x para que f(x)=. 2 11)Calcule o domínio das funções: a) ( x 1 1 x 1 f x) x 1 x 2 g) f ( x) 3 9 x b) f ( x) 2x 1 h) f ( x) 3x c) f ( x) x 1 x 2 i) f ( x) x 2 3x d) y x 5 3x 2 j) y 4 x 3 e) y 5x 3 3 k) y x 2x x 4 31

32 f) 2 y x l) 4 x 2x -1 y 4 x x - 3 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 12) (PUC/Campinas-SP) Em certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, qual foi o total de quilômetros percorridos? 13) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções. Respostas 1) a){0,1,2,3,4}; b){1,2,3}; c){}; d){4}; e){-3,4}; f){ 2 2, 2 2 } 2) Sim. A = B = {2,3} 3) a) (-4,1); b) (,5]; c)[-5,1) 4) {a,b,c,e} 5) 6) a) 0; b) -6; c) -10; d) -45/4 7) a){2,3}; b){-1,6}, c){0,5} 8) a =3 e b =2 9) k =-4 ou k =3 10) a) -7/12, -5/2; b) - 7/3; c) {4, 7/3} 11) a) { x / x 3 e x 1 e x 3} ou IR {-3, 1, 3}; b) [½ ; + ); c) (2; + ); d) ; e) ; f) ; g) [1; + ); h) ; i ) ; j ) { x / x 3 / 4} ou IR {¾} ; k) ; l ) { x / x 4 e x 3 } ou IR {3, 4} 12) 21; Dom f [ 2,3) Dom f ( 2,4) 13) a) b) Im f [ 2,2) Im f ( 2,3) 32

33 Dom f [0,5] c) Im f [0,2] Dom f [ 3,4] {1} e) Im f ( 2,3] Dom f ( 3,3) d) Im f [ 1,3] Dom f ( 3,3) {1} f) Im f ( 1,3) 33

34 Tópico 3. Principais funções elementares 3.1 Função constante f(x) = k. Dado um número real k, chama-se função constante a função f :, definida por Exemplos a) f(x) = 1 b) f(x) = -3 c) f(x) = 2 d) f(x) = 3 5 Gráfico da função constante O gráfico da função constante f(x) = k é uma reta paralela ao eixo x passando pelos pontos de ordenada y = k. Nos exemplos (a) e (b) acima temos: 3.2 Função polinomial do 1º grau Dados os números reais a e b, com a 0, chama-se função do 1º grau a função f :, definida por y = ax + b ou f(x) = ax + b. O número a é chamado coeficiente angular e o número b é chamado coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y). 34

35 Exemplos: a) f(x)=5x-2 coeficiente angular: coeficiente linear: b) y = x + 3 coeficiente angular: coeficiente linear: c) g(x)= x coeficiente angular: coeficiente linear: 2 Observação: f ( x) x é chamada Função Identidade. Gráfico da função polinomial do 1ºgrau O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem também é o conjunto dos números reais. Ou seja, Dom f= e Im f =. Exemplos: 1) Construa o gráfico das seguintes funções: a) Y = 2x+3 b) y = -2x+3 2) Escreva a função correspondente ao gráfico: 3.3 Função polinomial do 2º grau Dados os números reais a e b, com a 0, chama-se função polinomial de 2º grau ou função quadrática a função f :, definida por y = ax 2 + bx + c ou f(x) = ax 2 + bx + c. 35

36 Exemplos: a) f(x) = x 2 4x 3 a = b = c = b) y = x 2 9 a = b = c = c) g(x) = 4x 2 + 2x 3 a = b = c = d) h(x) = x 2 + 7x a = b = c = Exercício: Sendo f(x) = (m + 5)x 2 + 2x 4, determine m de modo que: a) f(x) seja do 2º grau b) f(x) seja do 1º grau Gráfico da função quadrática O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja, Dom f= e Im f. Exemplos: Construa o gráfico das seguintes funções: b) f(x) = x 2 b) g(x) = x 2 Concavidade O sinal de a (coeficiente de x 2 ) determina a concavidade da parábola. Assim: Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima: Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo: Podemos verificar isto nos exemplos anteriores, onde f(x) tem concavidade voltada para cima, pois a = 1 e g(x) tem concavidade voltada para baixo, pois a = 1. Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau 36

37 Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde x é a variável e a, b, c com a 0. Observação: c é a ordenada do ponto (0, c), onde a parábola corta o eixo y. Exemplos: a) 2x 2 3x + 1 = 0 a = 2; b = -3; c = 1 b) x 2 4 = 0 a = 1; b = 0; c = -4 c) y 2 + 3y = 0 a = 1; b = 3; c = 0 d) 5x 2 = 0 a = 5; b = 0; c = 0 Resolução de Equações do 2º Grau Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução (ou conjunto verdade) dessa equação. Para a resolução das equações do 2º grau, utilizamos a Fórmula Resolutiva ou Fórmula de Báskara dada abaixo: Se ax 2 + bx + c = 0 e a 0, então b x, onde b 2 4ac 2a Se 0 a equação tem raízes reais 0 0 Se 0 a equação não tem raízes reais. Exemplos: Dada a função f, calcular os zeros desta função. a) f(x) = 2x 2 3x + 1 b) h(x) = x 2 4 c) g(x) = x 2 + 3x d) y = 5x 2 e) g(x) = x 2 5x + 7 f) y = x 2 6x + 9 Vértice da Parábola Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde 37

38 x v b 2a e y v 4a Assim: b a V 2, 4a Exemplos 1) Determine as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função 2 f ( x) x 3x 2 2) Determine a e b de modo que o gráfico da função definida por y 2 ax bx 9 tenha o vértice no ponto (4,-25). Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau Examinando os gráficos abaixo, observa-se que: Se a > 0, y v é o valor 4a Se a < 0, y v é o valor 4a mínimo da função. máximo da função. Exemplo: 1) A função f(x) = x 2 x 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 38

39 3.4 Função exponencial Dado um número real a, tal que a 1 e a > 0, é dado o nome de função exponencial de base a à função f : definida por y = a x ou f(x) = a x. Exemplos: a) f(x) = 2 x b) f(x) = x 2 c) f(x) = (0,4) x 1 d) f(x) = 3 e) f(x)= e x x Gráfico da função exponencial O gráfico de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades: o gráfico nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros (raízes); o gráfico corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto (0,1); os valores de y são sempre positivos. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais positivos. Ou seja, Dom f = e * Im f = = [0; + [. Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: Base maior que um (a > 1) f (x) = a x ( a > 1 ) A função é crescente. Dom f =. Sua imagem são os reais positivos, Im = = [0; + [. Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 > y 1. * 39

40 Base entre zero e um (0 < a < 1) f (x) = a x ( 0 < a < 1 ) A função é decrescente. Dom f =. Sua imagem são os reais positivos, Im = = [0; + [. Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 < y 1. * As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2, , número irracional chamado número de Euler. Assim, a função exponencial de base e, f (x) = e x e a função exponencial de base 1/e, (x) = (1/e) x = e -x têm os seguintes gráficos: f 3.5 Função logaritmica Dado um número real a, tal que a 1 e a > 0, é dado o nome de função logarítmica de base * a à função f : definida por y = log ax ou f(x) = log ax. Exemplos a) ( x) log x f 2 b) f ( x) log 1 x c) f ( x) log e x ln x 2 40

41 Algumas observações quanto aos logaritmos y Definição de logaritmo: log a x y a x, a > 0. Só existe logaritmo de um número positivo, já que a base é positiva (a > 0) e o resultado de qualquer potência positiva é um número positivo. Quando a base não estiver escrita, subentendemos que é a base 10, ou seja, log 10 x log x. Quando a base for o número de Euler, a constante e, chamamos de logaritmo natural e usamos a notação ln, ou seja, log e x ln x. Gráfico da função logarítmica O gráfico de uma função logarítmica é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades: o gráfico nunca corta o eixo das ordenadas (Oy); o gráfico corta o eixo das abscissas (Ox) no ponto (1,0), ou seja, 1 é a raiz ou zero da função; os valores de x são sempre positivos. Seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto dos números reais. Ou seja, Dom f = * e Im f =. Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: Base maior que um (a > 1) f (x) = logax ( a > 1 ) A função é crescente. * Dom f =. Sua imagem são os reais positivos (Im = ). Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 > y 1. 41

42 Base entre zero e um (0 < a < 1) f (x) = logax ( 0 < a < 1 ) A função é decrescente. Dom f = *. Sua imagem são os reais positivos (Im = ). Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 < y 1. Da mesma forma que na função exponencial, a base mais comumente usada é o número de Euler e chamamos este logaritmo de logaritmo natural : log e x ln x. Exercício: Fazer o esboço do gráfico e determina o domínio e a imagem para cada função abaixo definida: 1) f(x) = 8 x 2) g(x) = 8 x + 1 3) y = 3 4) h(x) = ln x 5) y log 1 x 6) p(x) = 2 ln x 5 x

43 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 1) Dada a função f(x) = 4x 2, pede-se: a) o valor de x para o qual se tenha f(x)=0. b) o valor de x que tem imagem 1. 2) Sendo f(x+3) = 2x + 4, pede-se: a) f(0) b) f(5) 3) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando domínio, imagem, zero da função e sinal da função. a) y = x b) f(x)= 2 c) f(x) =5-3x d) f(x)=0 4) Dada a função linear y = ax + b, sabendo-se que f(1) = 6 e f(2) = 11. Encontre a e b. 5) Encontre a lei da função determinada pelo gráfico abaixo: 6) Dada a função f, calcule os zeros desta função e represente graficamente, sendo: 2 a) f ( x) x 7x 6 2 b) f ( x) x 2x 6 2 c) f ( x) x 2x 1 d) f ( x) x 2 3 e) f ( x) x 2 36 f) g) f ( x) ( x 2 4) f ( x) ( x 9) 2 7) Sendo f ( x) 2 3 x 3x 3 calcule: a) f(3) f (3) f ( 3) b) 3 3 8) Dadas as funções reais f(x) = x 2 1 e g(x) = x 2, calcule o valor de f( 1).g( 2). 9) Sendo f(x) = x 2 + 2x 1 e g(x) = x 2, determine os valores de x para os quais f(x) = g(x). 43

44 10) Determine k, de modo que f(x) = (k 3)x 2 4 não possua raízes reais. 11) Dada à função representada pelo gráfico abaixo determine: a) Dom f b) Im f c) os zeros da função; d) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente; e) os intervalos onde f é positiva e onde é negativa. 12) A parábola que representa graficamente a função y = 2x 2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, k). Determina o valor de k. 44

45 Tópico 4. Cálculo Diferencial e Integral: Limite e Continuidade de uma função 4.1 Limite Definição O conceito de limite de uma função é fundamental para o estudo e compreensão do cálculo. Aproveitaremos a ideia intuitiva de limite de se aproximar o máximo possível de um ponto e, mesmo assim, nunca alcançá-lo. Antes, porém, é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x tende a a, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto a, pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto desejamos do ponto a, porém não coincidente com a, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto a. Consideremos a função definida por. Vamos estudar o limite de f(x) quando x tende a 2, ou seja,. Observemos que para x = 2, a função não é definida, ou seja, não existe o f(2). Entretanto, lembrando que 4x 2-16 = (2x + 4) (2x - 4), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = 2x + 4. Mesmo não existindo f(2), o limite de f(x) quando x tende a 2 existe e pode ser calculado da seguinte forma: Estudaremos a função f quando x assume valores próximos de 2, porém, diferente de 2. Atribuindo a x valores próximos de 2, porém menores que 2, temos: Se atribuirmos a x valores próximos de 2, porém maiores que 2, temos: Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 8. Definição: Se os valores da função f(x) se aproximarem cada vez mais do número L, enquanto x se aproximar cada vez mais do número a, diz-se que L é o limite de f(x), quando x tende a a, e escreve-se lim f(x) = L x a 45

46 Propriedades dos limites 46

47 Observação: Enfatizamos que a propriedade 3 de limites é válida apenas quando o limite da função, que aparece no denominador, não é igual a zero no ponto em questão. Caso o denominador seja igual a zero, podemos simplificar a expressão, solucionando assim nosso problema, conforme exemplo seguinte:, resulta numa indeterminação com o denominador igual a zero. Logo, não podemos aplicar imediatamente a propriedade 3, temos que primeiro contornar essa indeterminação, simplificando as expressões: Indeterminações Matemáticas: As indeterminações matemáticas são normalmente apresentadas da seguinte forma: Exemplos práticos: (1) Um carro em movimento progressivo e passa pela origem da trajetória em t = 0s, com uma velocidade escalar constante de 6 m/s. A tabela 01 demonstra as posições do objeto ao longo do tempo. Plotando os dados em um gráfico (Figura 01) posição (x) em função do tempo (t), é possível explorar limites da função. 47

48 O que acontece com os valores de posição, quando o tempo se aproxima de 4 s? ou O que acontece com os valores de posição quando o tempo se aproxima de zero? Para a primeira pergunta, os valores de posição para tempos próximos de 4 s são próximos de 24 m. Assim, quanto mais próximo de 4 s for o tempo, mais próximo ele estará da posição 24 m. Logo, é possível escrever a função de limite: Para a segunda pergunta, para valores de tempo próximos a 0 s, a posição do objeto tende a também a 0 m. Diferente do que ocorreu no primeiro questionamento, neste caso só é possível ter valores de tempo acima de zero. Com isso, é possível ter a noção de limite pela esquerda e pela direita. Assim, é possível escrever as funções de limite da função. Para valores de tempo que se aproximam de zero pela direita, a posição tende a zero (Eq. 2). Mas não existem valores de tempo que se aproximam de zero pela esquerda (Eq. 3) (1) (2) (3) (2) Tendo um tanque cheio de água, ao abrir uma tampa no fundo do reservatório, a água iniciará a escoar. Supondo que sua taxa inicial de vazão seja de 4,0 L/s, o que acontece com esta vazão ao longo do tempo? Observa-se que a vazão da água diminui, isto porque a vazão depende diretamente da pressão exercida pela altura da coluna de água do tanque e com o escoamento da água, esta coluna diminui sua altura. Ilustrando essa situação em um gráfico (Figura 02), observa-se que a taxa de vazão (V, em L/s) diminui em função do tempo (t, em s) até que todo o líquido contido no tanque se tenha esvaído. 48

49 Figura 2. Vazão de água em função do tempo. O gráfico anterior serviu para trabalhar limites para o eixo do x tendendo ao infinito. Para a presente função, para valores de tempo muito grandes (infinitos) os valores de vazão se aproximam de zero. Assim, pode-se escrever a Eq. 4. (4) (3) Supõe-se, agora, que uma torneira seja acoplada neste tanque. Tem-se uma entrada e uma saída de fluido (Figura 03). Em um momento inicial, a vazão de entrada, supõe-se aqui constante, é maior que a vazão de saída. Com isso, gera-se um acúmulo de fluido no interior de um taque. Com o passar do tempo, a altura h da coluna de líquido aumenta, elevando a pressão e, por consequência, aumentando a vazão de saída. Supondo um tanque grande o bastante para não transbordar, esse aumento vai ocorrer até que, em determinado instante, a vazão de entrada se igualará a vazão de saída. Pode-se realizar, então, um estudo do comportamento da altura h da coluna no tanque. Simulando valores em um gráfico, inicialmente a altura da coluna sobe rapidamente, visto que a vazão de saída é baixa. Com o tempo, a altura da coluna aumenta 49

50 gradativamente em valores cada vez menores para um mesmo intervalo de tempo, até que se estabeleça um equilíbrio entre vazão de entrada e saída. A partir desse momento, a altura da coluna não se altera mais. Figura 4. Altura da coluna no tanque em função do tempo. Com essas informações, é possível escrever o limite da função quando o tempo se estende ao infinito. Ao contrário do gráfico anterior onde a vazão tendia a zero, neste caso a altura do tanque tende a 2 m. Assim, a nova equação de limite será A Eq. 5 mostra que nem sempre os limites de uma função, cuja variável independente tenda ao infinito, terá como resposta zero. (5) 50

51 4.2 Continuidade de uma função Intuitivamente, uma função é dita ser contínua se seu gráfico não tem quebras, tal como buracos, saltos. Quando uma função tem uma quebra no ponto a diz-se que a função é descontínua neste ponto. Exemplos geométricos de funções descontínuas são apresentados na Figura 6. Figuras 6. Gráficos de funções descontínuas. Definição: Uma função y = f(x) é contínua num ponto a se. Se uma função for contínua para todos os pontos de seu domínio diz-se simplesmente que a função é contínua. Exemplos de funções contínuas: Exemplos de funções descontínuas: 51

52 EXERCÍCIOS Limites 1. Calcule os seguintes limites: Continuidade de funções 52

53 Tópico 5. Cálculo Diferencial e Integral: Derivadas 5.1. A reta tangente ponto. Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferência (fig. 4). Elas cortam, penetram as curvas. 53

54 Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja y = f (x) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P( x o, y o), sendo y o = f(x o), um ponto fixo e Q(x, y) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg(β) se aproximaráda tg( α). Usando a notação de limites, é fácil perceber que 54

55 5.2. A derivada de uma função num ponto 55

56 Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. Exemplo: Dada a função f (x) = x 2 x + 1, determine f ' (2) Regras de derivação Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer a definição. 1. Derivada de uma função constante Se f (x) = c, c é uma constante real, então f (x) = 0. Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo: a) f(x) = 5 f (x) = 0 b) f(x) = ½ f (x) = 0 2. Derivada da função potência 56

57 Exemplo. Calcule as derivadas das funções abaixo: 3. Derivada do produto de uma constante por uma função Exemplo: 4. Derivada de uma soma de funções Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)+ g(x) tem derivada dada por (x) = f ' (x)+ g' (x). h' Exemplo: Se f (x) = 4x 3 + 3x 2 x + 5 então f ' (x) = 12x x Derivada de um produto de funções Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x) g(x) tem derivada dada por (x) = f ' (x) g(x)+ f (x) g' (x). h' Exemplo: Se f (x) = (x 3 x)(2 x) então f ' (x) = (3x 2 1)(2 x)+ (x 3 x)(0 1) = 4x x 2 + 2x Derivada de um quociente de funções 57

58 Exercícios: 5.4 Derivada das funções elementares Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas (As duas últimas não serão abordadas neste curso). 1. Derivada da função exponencial 2. Derivada da função logaritmica 58

59 5.5 Derivadas sucessivas Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função y = f (x) for derivável, isto é, existe f (x), podemos pensar na derivada de f (x) e assim sucessivamente. Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função y = f (x) de acordo com a tabela abaixo: Exemplo: 59

60 Exercício: Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. a) y = 3x 4 2x 9, n = 4. b) y = ax 3 + bx 2 + cx+d, n = Aplicação de derivada Exemplo Suponha que um óleo derramado através da ruptura do tanque de um navio se espalhe em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2m/h. Com que velocidade a área do derramamento está crescendo no instante em que o raio atingir 60m? 60

61 Exercícios de aplicação Referências 1. Apostila Limites e Derivadas, site: Calculo-Diferencial-e-Integral-1-Engenharia-Civil, acessado em 01/05/

62 Tópico 6. Cálculo Diferencial e Integral: Integral No estudo da derivada, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra, a que chamamos de derivada Integral indefinida Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas ideias. Assim, nesta seção, será introduzida a ideia de integral, mostrando sua relação com a derivada. 62

63 Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir. Exemplo: 6.2. Propriedades da integral indefinida 63

64 Algumas integrais imediatas Daremos a seguir algumas fórmulas de integrais simples e imediatas. 64

65 Exercício: Calcular as integrais Integral definida No tópico 5, tratamos da derivada e suas aplicações. A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo. Outro conceito também muito importante é o de integral. Existem dois problemas fundamentais em cálculo: o primeiro é encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob uma curva. Você viu, no tópico 5, que o conceito de derivada está ligado ao problema de traçar à tangente a uma curva. Agora você verá que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Assim, a derivada e a integral são duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o cálculo Conceito de área Talvez o primeiro contato que você tenha com o conceito de área, seja através da fórmula A=b x h, que dá a área A de um retângulo como o produto da base b pela altura h. 65

66 Logo a seguir, você tem a área de um triângulo que é igual à metade do produto da base pela altura. Isto decorre do fato de que qualquer triângulo pode ser decomposto em dois triângulos retângulos, e todo triângulo equivale exatamente a meio retângulo, conforme figura abaixo. Os problemas para o cálculo de área, não apresentam grande dificuldade se a figura plana for um triângulo, um paralelogramo ou um retângulo. 66

67 67

68 6.3.2 Integral A integral está associada ao limite apresentado acima. Nesta seção daremos a definição de integral, que nasceu com a formulação de problemas de áreas, e citaremos as suas propriedades. Já sabemos que a integral e a derivada, estudadas no tópico 5, são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o Cálculo. Conforme terminologia introduzida anteriormente, temos a seguinte definição. 68

69 Destacando: Chamamos a sua atenção, para o fato de que a integral não significa necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas, como: volume, quantidade de bactérias presentes em certo instante, trabalho realizado por uma força, etc. A definição de integral pode ser ampliada, de modo a incluir o caso em que o limite inferior seja maior do o limite superior, e o caso em que os limites inferior e superior são iguais, senão vejamos, 69

70 curso. A seguir, algumas propriedades fundamentais da integral definida que usaremos no Propriedades da integral definida 70

71 6.4. Teorema fundamental do cálculo Esta subseção contém um dos mais importantes teoremas do cálculo. Este teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva da mesma, e por isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo uma função primitiva de uma função f (x) integrável no intervalo fechado [a,b], podemos calcular a sua integral. Teorema fundamental do cálculo: se a função f (x) é integrável no intervalo fechado [a,b] e se F(x) é uma função de f (x) neste intervalo, então Exemplos: 1. Determinar 71

72 Exercícios: Calcular: a) b) 72

73 Referências: 73