Sistemas de Fibra Óptica com Compensação de Dispersão

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1 Sistemas de Fibra Óptica com Compensação de Dispersão Ana Filipa Fazenda Cabete Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Júri Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa Vogal: Prof. Doutor António Armando Rodrigues da Costa Julho 2013

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3 Agradecimentos Em primeiro lugar agradeço ao professor António Topa pelo seu apoio, envolvimento constante e disponibilidade ao longo da elaboração desta dissertação. Agradeço à minha família pelas boas oportunidades que me têm dado. À minha Mãe e Irmã, ficarei eternamente grata pelo apoio que sempre me deram e têm dado e por me incentivarem a continuar e a procurar sempre um lado positivo, mesmo em situações que despertam desespero. Finalmente, mas não menos importante, um muito obrigada ao meu amigo Henrique Silva por todas as conversas, incentivos e companhia dada quando tudo se tornou mais solitário. A todos, muito obrigada! i

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5 Resumo Esta dissertação pretende analisar e compreender o fenómeno da dispersão temporal asociada à propagação de impulsos numa fibra óptica e estudar técnicas eficazes no combate a este efeito degradador num sistema de comunicação óptica. O trabalho inicia-se com uma descrição breve dos vários tipos de dispersão passando de seguida para a inclusão destes na equação que rege a propagação de impulsos numa fibra monomodal em regime linear. São efectuados estudos dos efeitos dispersivos (dispersão de velocidade de grupo e dispersão de ordem superior) para vários tipos de impulsos. São estudadas as principais técnicas utilizadas na compensação dos efeitos dispersivos em regime linear. É apresentada a compensação de dispersão baseada em fibras de compensação de dispersão, descrevendo o modo de funcionamento desta técnica e se simulando para vários impulsos a compensação da dispersão de velocidade de grupo, da dispersão de ordem superior e de ambas simultâneamente. No estudo da compensação por fiber Bragg gratings, são descritos os fundamentos teóricos essenciais para compreensão das Redes de Bragg, efectuando simulações de parâmetros correspondentes a redes de Bragg uniformes e não uniformes. Por fim, as fibras ópticas são analisadas como um meio de transmissão não-linear. Tal como em regime linear, deduz-se a equação que rege a propagação de impulsos em regime não-linear. São estudados os efeitos dispersivos neste tipo de regime, nomeadamente a Dispersão de Velocidade de Grupo e a Auto- Modulação de Fase, cujo equilíbrio possibilita a propagação de impulsos do tipo solitão em fibras ópticas. São apresentadas simulações da propagação deste tipo de impulsos e é estudada uma técnica de compensação de dispersão: a utilização de fibras de dispersão decrescente. Palavras chave Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas, Dispersão de Velocidade de Grupo, Dispersão de Ordem Superior, Compensação de Dispersão, Fibra de Compensação de Dispersão, Redes de Bragg, Auto-Modelação de Fase, Solitões, Fibra de Dispersão Decrescente. iii

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7 Abstract This dissertation intends to analyze and understand the dispersion phenomenon, associated with pulse propagation in optical fibers and to study effective techniques that are able to solve this degrading effect. The work begins with a brief description of the several types of dispersion, including these into the equation that governs pulse propagation on linear regime for a single-mode fiber. Studies of dispersive effects (group velocity dispersion and higher order dispersion) are carried out for various types of pulses. The main techniques used to compensate the dispersive effects in the linear regime are analyzed. The first one is based on dispersion compensating fibers, which operation mode is described and, for several pulses, simulations are done considering the group velocity dispersion, higher order dispersion and both simultaneously. Another compensation approach is using fiber Bragg gratings. In this topic, theoretical foundations essential for understanding the Bragg gratings are described along with uniform and nonuniform Bragg gratings parameters simulations. Finally, optical fibers are analyzed as non-linear transmission media. As in the linear regime, the equation that governs the pulse propagation in the nonlinear regime is derived. Dispersive effects of this type of regime are identified, namely the group velocity dispersion and self-phase modulation, which equilibrium determines the propagation of a special type of pulses, the Soliton. Simulations for this type of pulses are presented, as well as the study of one of the most common non-linear regime dispersion compensation technique: the dispersion decreasing fibers. Keywords Pulse Propagation in Optical Fibers, Group Velocity Dispersion, Higher Order Dispersion, Dispersion Compensation, Dispersion Compensating Fibers, Fiber Bragg Gratings, Self-Phase Modulation, Solitons, Decreasing Dispersion Fibers. v

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9 Índice 1 Introdução Enquadramento Perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas Estado da arte Objectivo da dissertação Organização e estrutura da dissertação Contribuições Propagação de impulsos numa fibra óptica Dispersão em fibras ópticas monomodais Dispersão de velocidade de grupo Dispersão material, dispersão do guia e dispersão de ordem superior Propagação de impulsos em regime linear numa fibra óptica monomodal Equação de propagação de impulsos em regime linear Resolução numérica Normalização das variáveis espaço e tempo Factor de mérito Efeito da dispersão de velocidade de grupo Impulso gaussiano Impulso supergaussiano Impulso supergaussiano com efeito de chirp Efeito da dispersão de ordem superior Evolução do impulso gaussiano Evolução do impulso gaussiano em termos da função de Airy Conclusões Compensação de dispersão em regime linear Compensação de dispersão por DCF Compensação da DVG Impulso gaussiano Impulso supergaussiano Compensação de dispersão de ordem superior Impulso gaussiano Impulso supergaussiano Compensação da DVG na presença de DOS vii

10 3.2 Compensação de dispersão baseada em Redes de Bragg Princípio de funcionamento das Redes de Bragg FBG uniforme Chirped FBG (CFBG) Conclusões Compensação de dispersão em regime não-linear Efeito óptico não-linear de Kerr Equação de propagação de impulsos em regime não-linear Sistemas com solitões Solitão fundamental Solitão fundamental com perdas Solitão de segunda ordem (N = 2) Solitão de terceira ordem (N = 3) Impulso gaussiano Fibra de dispersão decrescente Conclusões Conclusão Perspectiva de trabalho futuro A Dedução da equação do coeficiente de alargamento de impulsos 81 A.1 Equação geral do alargamento de impulsos em regime linear A.2 Dedução da equação do coeficiente de alargamento de impulsos particularizada a um impulso gaussiano com efeitos dispersivos de ordem superior B Dedução da equação do solitão fundamental 89 viii

11 Lista de Figuras 1.1 Esquema básico de um sistema de comunicação óptica Dispersão total D e as suas contribuições de dispersão material e do guia, respectivamente D M e D W, numa fibra monomodal típica. [1] Diagrama de blocos representativo dos passos a seguir na resolução numérica da equação (2.90) Evolução da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala (β 2 < 0) para C = 2, C = 0 e C = Influência do parâmetro chirp C no produto B0L Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = Evolução ao longo da fibra de um impulso gaussiano no tempo para ζ [0, 10] Evolução do espectro de um impulso gaussiano para ζ [0, 10] Representação de um impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo para ζ [0, 2] Evolução do espectro de um impulso supergaussiano para ζ [0, 2] Impulso supergaussiano com chirp C = 2 à entrada e saída da fibra para ζ = Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo com C = 2 para ζ [0, 2] Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = 2 para ζ [0, 2] Impulso supergaussiano com chirp C = 2 à entrada e saída da fibra para ζ = Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo com C = 2 para ζ [0, 2] Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = 2 para ζ [0, 2] Impulso gaussiano com largura τ 0 = 3ps para diferentes comprimentos da fibra Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps para diferentes comprimentos da fibra Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps em z = 5L D para três casos distintos: impulso inicial, β 2 = 0 e L D = L D Evolução do Impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = Deterioração do impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps e β 2 = Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = Impulso gaussiano com largura τ 0 = 3ps para diferentes comprimentos da fibra Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps para diferentes comprimentos da fibra Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps em z = 5L D para três casos distintos: impulso inicial, β 2 = 0 e L D = L D ix

12 2.27 Evolução do Impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = Deterioração do impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps e β 2 = Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = Sistema de transmissão utilizando fibra de compensação de dispersão (DCF) Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = Representação de um impulso supergaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DOS Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = Representação de um impulso supergaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DOS Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG na presença de DOS Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = Representação esquemática de uma FBG (adaptado de [16]) Fenómeno de reflexão numa FBG (adaptado de [16]) FBG uniforme - espaçamento Λ constante e variação periódica do índice de refracção (adaptado de [16]) Variação do parâmetro δ com κ g, demostrando a existência de uma banda proibida Reflectividade em função de δl g para κ g L g = 2 e κ g L g = Reflectividade máxima em função do comprimento da rede L g [mm] para coeficientes de acoplamento κ g = 10cm 1, κ g = 5cm 1, κ g = 2cm 1 e κ g = 1cm Transmissividade em função de δl g para κ g L g = 2 e κ g L g = Variação da fase do coeficiente de reflexão φ g em função de δl g para κ g L g = 2 e κ g L g = Atraso de grupo τ g numa FBG uniforme com L g = 10mm e λ B = 1550nm, para κ g L g = 2 e κ g L g = Dispersão D g numa FBG uniforme com L g = 10mm e λ B = 1550nm, para κ g L g = 2 e κ g L g = Largura de banda numa FBG uniforme em função do comprimento da rede L g, para κ g = 2.84cm 1, κ g = 1.62cm 1 e κ g = 0.4cm Chirped FBG - espaçamento Λ não uniforme (adaptado de [16]) Perfil do período espacial Λ(Z) ao longo do comprimento da Chirped FBG x

13 3.30 Perfil do índice de refracção n(z) ao longo do comprimento da CFBG Reflexão das altas e baixas frequências em pontos diferentes da CFBG devido à variação no comprimento de onda de Bragg λ B [5] Reflectividade (esquerda) e atraso de grupo τ g (direita) de uma CFBG de comprimento 2.5cm e coeficiente de aperiodicidade linear de 0.8nm/cm Dispersão numa CFBG com coeficiente de aperiodicidade de 1nm/cm em função do comprimento da rede Dispersão numa CFBG com 2.5cm de comprimento em função do coeficiente de aperiodicidade C Λ Desvio de frequência num impulso gaussiano Evolução da velocidade de grupo v g em função da frequência ω Efeito da AMF no desvio de frequências de um impulso gaussiano Impulso solitão fundamental à entrada e saída da fibra óptica Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica Impulso solitão fundamental à entrada e saída da fibra óptica numa situação com perdas normalizadas de Γ = Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica numa situação com perdas normalizadas de Γ = Impulso solitão de segunda ordem à entrada e saída da fibra óptica Evolução do solitão de segunda ordem ao longo da fibra óptica Impulso solitão de terceira ordem à entrada e saída da fibra óptica Evolução do solitão de terceira ordem ao longo da fibra óptica Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = Aproximação em degrau do perfir de β 2 com 4 patamares Aproximação em degrau do perfir de β 2 com 6 patamares Aproximação em degrau do perfil de β 2 com 300 patamares Evolução do impulso solitão fundamental a propagar-se numa DDF com 4 patamares Evolução do impulso solitão fundamental a propagar-se numa DDF com 6 patamares Evolução do impulso solitão fundamental a propagar-se numa DDF com 300 patamares xi

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15 Lista de Tabelas 3.1 Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DVG Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DVG Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DOS Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DOS Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DVG na presença de DOS xiii

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17 Lista de Símbolos α β β β 0 β 1 β 2 β 3 β 21 β 22 β 31 β 32 β b β 2g γ δ ε ε ζ ζ 0 η θ i θ r Coeficiente de atenuação de potência Constante de propagação longitudinal Constante de propagação longitudinal perturbada Constante de propagação transversal Inverso da velocidade de grupo Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo Coeficiente de dispersão de ordem superior Dispersao de velocidade de grupo de uma fibra SMF Dispersão de velocidade de grupo duma DCF Dispersão de ordem superior de uma fibra SMF Dispersão de ordem superior de uma DCF Constante de propagação longitudinal para λ B Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo de uma FBG Coeficiente não-linear Factor de dissintonia Constante dieléctrica relativa Constante dieléctrica relativa perturbada Variável normalizada da distância Período de solitão em unidades normalizadas Coeficiente de alargamento Ângulo incidente Ângulo difractado k Coeficiente associado a β 3 Coeficiente de acoplamento κ g λ Comprimento de onda λ ZD λ B λ 0 v g ξ σ σ 0 σ ω σ λ Comprimento de onda de dispersão nula Comprimento de onda de Bragg Comprimento de onda central da banda Velocidade de grupo Frequência normalizada Largura efectiva do impulso Largura RMS de um impulso em regime linear à entrada da fibra Largura RMS de um impulso em regime linear ao longo da fibra Largura espectral da fonte para dado λ xv

18 τ τ g τ 0 φ g φ NL φ NLtotal ω ω 0 δω Γ Γ g β ε n ω Λ Variável normalizada do tempo Atraso de grupo Largura temporal característica do impulso Fase do coeficiente de reflexão de uma FBG Fase não-linear Fase não-linear no final da ligação Frequência angular Frequência angular da portadora Desvio de frequência Coeficiente de atenuação normalizado Coeficiente de confinamento de uma rede de Bragg Contraste dieléctrico Perturbação de β Perturbação de ε Perturbação de n Largura espectral do impulso Periodicidade espacial Ω Desvio de frequência angular em relação à portadora ω 0 a Raio da secção circular da fibra óptica A Envolvente do campo eléctrico A eff A 0 A f A b à A(0, t) b B B B Área efectiva Amplitude do impulso Amplitude espectral da onda positiva Amplitude espectral da onda negativa Transformada de Fourier de A Amplitude do impulso na entrada da fibra óptica Índice de refracção modal normalizado Variação longitudinal do campo eléctrico Débito binário Transformada de Fourier de B B(0.t) Variação longitudinal do modo LP 01 c Velocidade da luz no vazio C Parâmetro chirp C Λ D D M D W D g E E 0 Ẽ f F (x) Coeficiente de aperiodicidade Coeficiente de dispersão Dispersão material Dispersão no guia Coeficiente de dispersão de uma FBG Vector campo eléctrico Amplitude do campo eléctrico Transformada de Fourier de E Frequência Função modal do campo eléctrico xvi

19 i Imaginário I Intensidade óptica J 0 k 0 L L D L D L 1 L 2 L g L eff L NL m g M 2 n 1 n 2 ñ n g n d N j N 2 N A P P 0 P in Q q g q 0 r R R max r g S Função de Bessel Constante de propagação no vácuo Comprimento da fibra óptica Comprimento de dispersão Comprimento de dispersão de ordem superior Comprimento da fibra SMF Comprimento DCF Comprimento de uma FBG Comprimento efectivo Comprimento não-linear Ordem de difracção de Bragg Dispersão material Índice de refracção no núcleo da fibra Índice de refracção na bainha da fibra Índice de refracção modal Índice de grupo do guia Índice de modulação de profundidade Índice de grupo Índice de grupo da bainha da fibra óptica Número de secções de amplificação Potência transportada na fibra Potência de pico do impulso incidente Potência máxima do impulso à entrada da fibra Normalização da envolvente A segundo perspectiva não-linear Constante de propagação longitudinal das ondas positiva e negativa Separação entre impulsos vizinhos Raio da fibra óptica em coordenadas cilíndricas Parte linear da equação de propagação de impulos em regime não-linear Reflectividade máxima de uma FBG Coeficiente de reflexão de uma FBG Declive de dispersão S D Parâmetro de dispersão de ordem superior para S(λ ZD ) t Tempo t g T B t Coeficiente de transmissão de uma FBG Período de um bit Momento de primeira ordem t 2 Momento de segunda ordem u Constante de propagação transversal no núcleo da fibra u(ζ, τ) Amplitude normalizada de U U Envolvente normalizada de Q ν Frequência normalizada xvii

20 V Largura espectral normalizada da fonte w Constante de atenuação na bainha da fibra y 0 Admitância x, y, z Coordenadas cartesianas no espaço xviii

21 Lista de Acrónimos AMF BER CFBG DCF DDF DOS DVG EDFA FBG FFT FTTx HE IFFT IST LP NLS RLD RLND RNLD RNLND RZ SMF SSMF TAT TPC XPM WDM Auto-Modelação de Fase Bit-Error Rate Chirped Fiber Bragg Grating Decreasing Compensating Fiber Decreasing Dispersion Fiber Dispersão de Ordem Superior Dispersão de Velocidade de Grupo Erbium-Doped Fiber Amplifier Fiber Bragg Grating Fast Fourier Transform Fiber To The "x" Modos Híbridos Inverse Fast Fourier Transform Inverse Scattering Transform Linearmente Polarizados Nonlinear Schrödinger Equation Regime Linear Dispersivo Regime Linear Não Dispersivo Regime Não-Linear Dispersivo Regime Não-Linear Não Dispersivo Return Zero Single Mode Fiber Split-Step Fourier Method Transatlantic Telecommunication Cable Trans-Pacific Cable Cross Phase Modulation Wave Division Multiplexing xix

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23 1 Introdução 1

24 Este capítulo tem como objectivo descrever e fundamentar o trabalho realizado. É caracterizada a estrutura elementar de um sistema de comunicações ópticas e os avanços tecnológicos que definiram o uso e evolução das fibras ópticas nestes sistemas. São apresentadas as motivações para a realização desta dissertação, bem como os objectivos a que se propôs. Por fim, elabora-se de uma forma resumida a estrutura da dissertação e principais contribuições do trabalho realizado. 1.1 Enquadramento Um sistema de comunicação é uma linha de conexão entre dois pontos, através da qual informação é deslocada de um dos pontos ao outro. Com a generalização dos sistemas de comunicação e o crescente número de serviços de telecomunicações disponíveis, a sua respectiva adopção em massa foi possível. Desta maneira, foi necesário aumentar a capacidade dos sistemas para satisfazer o tráfego de informação existente. A utilização de fibras ópticas veio satisfazer esta procura. A sua descoberta revolucionou o ramo das telecomunicações, tornando possível estabelecer ligações de alta qualidade, alta capacidade e ao longo de distâncias muito grandes. Nas últimas três décadas, os avanços feitos neste dispositivo melhorou e redesenhou, sem qualquer dúvida, a tecnologia empregue nas fibras. Em adição à já certa aplicação em telecomunicações, as fibras ópticas são também utilizadas nos ramos em crescimento dos sensores, lasers e amplificadores de fibras [6]. Define-se um sistema de comunicação óptica aquele que tem como portadora dos sinais ondas electromagnéticas no espectro óptico. Este está contido no intervalo de frequências que vai desde a região do infravermelho longínquo ( 100µm), passando pela faixa do visível (0.39 a 0.77µm), e terminando no domínio do ultravioleta (0.05µm). Um sistema deste tipo é caracterizado por três elementos base: um transmissor óptico que converte os sinais eléctricos em sinais ópticos enviando-os para o meio físico de transmissão, que neste caso é a fibra óptica e um receptor, que converte o sinal óptico recebido num sinal eléctrico [1]. Figura 1.1: Esquema básico de um sistema de comunicação óptica. As comunicações ópticas enquadram-se nos sistemas de longa distância. A distância da ligação pode comprometer a qualidade do sinal transmitido por meio de perdas e efeitos degradadores inerentes à transmissão. Para resolver este problema, são utilizados amplificadores ópticos, geralmente a cada troço de km de fibra, que compensam as perdas e amplificam o sinal de modo a que este chegue ao destino com a maior qualidade possível. A avaliação da qualidade do sistema é feito através do parâmetro 2

25 bit-error-rate (BER), que indica a probabilidade de ocorrência de um bit errado. Assim, quanto menor for o valor deste indicador, maior será a qualidade do sistema. 1.2 Perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas A possíbilidade de controlar um raio de luz, dirigindo-o numa trajectória recta, é conhecida desde há muito tempo. Em 1820, Augustin-Jean Fresnel já conhecia as equações pelas quais se governa a captura de luz numa placa de vidro [18]. No ínicio da década de 1840, os físicos Daniel Colladon e Jacques Babinet demonstraram ser possível o confinamento e direccionamento da luz através da refracção, o que constitui o princípio fundamental da propagação de luz em fibras ópticas. Em 1854, o físico irlandês John Tyndall descobriu, através de uma experiência que consiste em focar a luz num recipiente com água e verificar que esta se propaga no fluxo de água que sai por um orifício do recipiente, que a luz pode viajar num material (água), curvando-se por reflexão interna. Em 1970 a sua descoberta foi divulgada e a partir desse princípio foram realizados uma série de estudos. Mais tarde, em 1920, John Logie Baird registou patentes que descrevem o uso de vidro para transmissão de luz com o objectivo de transmitir imagens no sistema de televisão primitivo. O grande problema, no entanto, foi que as técnicas e os materiais utilizados não permitiam um bom desempenho na transmissão de luz apresentando um baixo rendimento. Foi na segunda metade do século XX que as fibras ópticas começaram a despertar maior interesse nos investigadores, com muitas aplicações práticas a serem desenvolvidas. Por este motivo, a tecnologia das fibras ópticas sofreu uma grande evolução neste período. Em 1952, uma parceria entre Brian O Brien e Narinder Kapany conduziu à invenção da fibra óptica. Os primeiros testes aos sistemas de comunicação por meio de fibras ópticas não foram favoráveis. Existiam perdas ópticas muito elevadas na transmissão que consequentemente limitavam as distâncias das ligações. Desta maneira, numa perspectiva de melhoramento dos resultados obtidos, adicionou-se uma bainha à fibra, que permitia um maior confinamento da luz dentro do núcleo, o que reduziu consideravelmente as perdas. A necessidade de criar uma fonte capaz de gerar impulsos ópticos levou a que em 1957, se desenvolvesse a tecnologia Laser que revolucionou a utilização de fibras ópticas em sistemas de comunicação óptica. A 16 de Maio de 1960, Theodore Maiman fez a primeira demonstração do funcionamento de um laser, sendo que em 1962 foram criados os primeiros lasers semicondutores. Estes lasers funcionavam à temperatura do azoto líquido e em 1970 surgiram os primeiros lasers semicondutores que operavam à temperatura ambiente [2]. Nos anos 60 as fibras ópticas exibiam ainda perdas superiores a 1000dB/km, cuja implementação em telecomunicações era impraticável. Em 1966, Charles Kao e George Hockham divulgaram uma proposta de sistemas de comunicação óptica baseados em fibras ópticas com perdas inferiores a 20dB/km, o que representava um grande avanço em relação aos 1000dB/km. Contudo, foi só em 1970 que Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz criaram fibras ópticas com atenuações inferiores a 20dB/km (16dB/km), tornando finalmente a sua utilização em sistemas ópticos posssível [2]. Nas últimas três décadas foram desenvolvidas algumas gerações de sistemas de comunicação por fibras ópticas. A primeira geração data de 1980 e tratava-se de fibras multimodais a operar na primeira janela (0.8µm) com um débito binário de 45Mb/s e um espaçamento entre repetidores de cerca de 10km [2]. A segunda geração, por volta do ano de 1987, operava na segunda janela (1.3µm), onde a atenuação é 3

26 inferior a 1dB/km e a dispersão é mínima. Esta geração dava uso a fibras monomodais, conseguindo débitos binários da ordem dos 1.7Gb/s, com repetidores espaçados cerca de 50km. Pertencente a esta geração, em 1988 foi instalado o primeiro cabo submarino com fibra óptica (TAT-8 - Transatlantic Telecommunication Cable). Este utilizava lasers semicondutores multimodais a operar a 1.3µm com repetidores a cada 70km e atingia débitos binários de 0.28Gb/s. Em 1989, foi instalado o TPC-3 (Trans-Pacific Cable), semelhante ao TAT-8 [2]. Desde 1979 que era sabido que as fibras atingiam o mínimo absoluto de atenuação na terceira janela (0.2dB/km em 1.55µm). Contudo, havia um problema que assumia uma extrema importância: a dispersão nesta janela tinha um valor considerável, cerca de 16ps/(km.nm). Assim, combinando o uso de fibras de dispersão modificada com lasers semicondutores monomodais, surge em 1990 a terceira geração de sistemas de comunicação óptica (cabos submarinos TAT-9, TPC-4 E TAT-10/11). Esta geração opera na terceira janela (1.55µm) com débitos binários até 10Gb/s. A principal contrariedade que os sistemas de terceira geração apresentavam, era o uso de repetidores electrónicos com espaçamentos típicos entre 60 70km, conhecidos como repetidores 3R por fazerem regeneração de amplitude (rescaling), regeneração de forma (reshaping) e regeneração temporal (retiming). Foi devido ao aparecimento dos amplificadores ópticos, que amplificam directamente os sinais no domínio óptico sem necessidade de electrónica adicional, que se entrou na era da fotónica. Destes amplificadores destacam-se as fibras amplificadoras dopadas que garantem uma maior transparência dos sistemas. Em 1986, surgiram as primeiras fibras amplificadoras dopadas com Érbio ou EDFAs (Erbium-Doped Fiber Amplifiers), que operam na terceira janela, têm uma largura de banda considerável, utilizam lasers semicondutores para o bombeamento e permitem aumentar o espaçamento entre repetidores entre cerca de km [2]. A quarta geração de sistemas de comunicação óptica recorre à amplificação óptica para aumentar o espaçamento entre amplificadores e a transparência dos sistemas e faz uso da multiplexagem por comprimento de onda WDM (Wavelenght Division Multiplexing) para aumentar os débitos binários. Constitui a primeira geração inteiramente fotónica. Os primeiros cabos submarinos desta geração (TPC-5 e TAT-12/13) apareceram em 1996, utilizavam EDFAs e operavam a 1, 55µm atingindo débitos binários de 5.30Gb/s. Em 2000, o TPC-6 oferecia um débito binário de 100Gb/s. Actualmente, os sistemas ainda são de quarta geração. A utilização de técnicas de WDM permite aos sistemas de comunicação óptica atingir débitos binários muito elevados (>1T b/s) [2]. 1.3 Estado da arte O estudo da quinta geração de sistemas de comunicação óptica encontra-se ainda em desenvolvimento. Tendo em conta que o problema das perdas foi resolvido com a introdução de fibras amplificadoras, resta contornar o problema da dispersão na propagação de impulsos. Várias técnicas têm sido desenvolvidas neste âmbito, nomeadamente compensação de dispersão como forma de fazer um upgrade aos sistemas pré-instalados, gestão da dispersão como uma forma de projectar sistemas convencionais e, por fim, sistemas com solitões (sistemas RZ não-lineares), como uma forma revolucionária de conceber sistemas de comunicação óptica. Estas três soluções têm características comuns, como a utilização de EDFAs para amplificação óptica, a necessidade de inclusão da técnica WDM para aumentar o débito binário e o uso da técnica de gestão de dispersão nos sistemas WDM (sistemas convencionais ou sistemas com solitões) [2]. Como referido, a necessidade do aumento da capacidade de tráfego de informação resulta da generalização de novas tecnologias. Tendo em conta as grandes vantagens e capacidades das fibras ópticas, é possível aferir que a utilização destes dispositivos como meio de transmissão (redes FTTx) será a maneira mais 4

27 apropriada de responder a estes requisitos. 1.4 Objectivo da dissertação O trabalho desenvolvido nesta dissertação tem como base o estudo de sistemas de comunicação por fibra óptica. Pretende-se estudar o comportamento dos impulsos perante efeitos de dispersão degradadores do sistema e apresentar técnicas de compensação de dispersão que permitam idealmente anular ou minimizar estes efeitos. Para tal, primeiramente pretende-se identificar alguns conceitos fundamentais acerca da propagação de impulsos em fibras ópticas, caracterizando os efeitos dispersivos de velocidade de grupo e de ordem superior. O objectivo seguinte passa por caracterizar a propagação de ondas numa fibra óptica e obter, desta forma, a equação que rege a propagação de impulsos em regime linear. De seguida, tendo como base o resultado anterior, efectuar várias simulações para diferentes impulsos de maneira a observar os efeitos degradadores inerentes à propagação de impulsos. Estando devidamente identificados os problemas da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear, são estudados dois mecanismos para compensar os efeitos já referidos, nomeadamente as DCFs e as FBGs. Nesta parte tem-se o objectivo de descrever e compreender o funcionamento destas técnicas, analisando os resultados e respectivas potencialidades de cada uma. Por fim, o último capítulo tem como objectivo focar o estudo da propagação de fibras ópticas em regime não-linear, já que nem sempre este tipo de dispositivo se comporta como um meio linear. Para isso, é necessário identificar a equação que rege a propagação de impulsos neste tipo de regime, estudar os efeitos da DVG e AMF que não podem ser dissociados neste caso e estudar a propagação de solitões em fibras ópticas. Por fim, tal como em regime linear, pretende-se efectuar o estudo de uma técnica de compensação de dispersão em solitões, as DDFs. 1.5 Organização e estrutura da dissertação De seguida apresenta-se a estrutura utilizada nesta dissertação. No Capítulo um, procede-se a um enquadramento suscinto nas comunicações ópticas, passando para uma breve perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas, finalizando com os objectivos propostos para esta dissertação, respectiva estrutura e principais contribuições. No Capítulo dois são introduzidos os mecanismos de dispersão e os seus componentes numa fibra monomodal. Obtém-se a equação descritiva do comportamento dos impulsos que se propagam ao longo de uma fibra óptica monomodal e em regime linear. São simulados e analisados os efeitos produzidos pela DVG (alargamento temporal, que é contabilizado para um impulso gaussiano e verificada a respectiva influência no produto B 2 L e amplitude do impulso) e pela DOS (simetria do impulso e oscilações). No Capítulo três, tendo em conta os efeitos introduzidos pela DVG, DOS e DVG na presença de DOS, são apresentados dois esquemas de compensação da mesma: DCFs e a técnica FBGs. Em ambas descrevese o modo de implementação e são efectuadas simulações para vários impulsos de modo a aferir a suas principais característics, potencialidades e desvantagens. No Capítulo quatro, foca-se o estudo na análise de impulsos do tipo solitão em fibras ópticas. Começase por considerar os efeitos não-lineares, nomeadamente o efeito óptico não-linear de Kerr. Deduz-se a expressão da propagação de impulsos numa fibra óptica em regime não-linear. Verifica-se que a propagação 5

28 de solitões é possível quando existe um equilíbrio entre a DVG e a AMF, apontando as características que definem este tipo de impulso. Por fim, analisa-se a propagação de um impulso gaussiano em regime linear e estuda-se uma técnica de compensação de dispersão neste regime, por meio de DDFs. No Capítulo cinco, são expostas as considerações finais mais importantes, no que diz respeito às principais ideias a reter desta dissertação e o possível trabalho futuro a desenvolver. O Apêndice A, tem como objectivo apresentar todos os passos pertencentes à determinação da fórmula de alargamento de impulsos nas fibras ópticas em regime linear, particularizando para um impulso gaussiano. O Apêndice B descreve os passos para a obtenção da fórmula que deduz a equação de um solitão fundamental. 1.6 Contribuições As principais contribuições do trabalho desenvolvido nesta dissertação são: - Caracterização da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear, analisando o fenómeno de dispersão temporal; - Estudo do impacto da dispersão de ordem superior na propagação de impulsos em sistemas de fibra óptica; - Na compensação de dispersão em regime linear, a análise de técnicas de compensação de dispersão (DCFs e FBGs); - Em regime não-linear, a análise dos efeitos de auto-modelação de fase e de dispersão temporal; - Na compensação de dispersão em regime não-linear, o estudo da técnica de compensação de dispersão em solitões fundamentais por meio de DDFs. 6

29 2 Propagação de impulsos numa fibra óptica 7

30 2.1 Dispersão em fibras ópticas monomodais As fibras multimodo, como o próprio nome sugere, permitem a propagação de vários modos. Ao gerar um impulso neste tipo de fibras verifica-se uma ampliação dos mesmos. A justificação para este facto baseia-se na existência de vários raios luminosos que percorrem variados caminhos e na existência de vários modos em funcionamento, o que implica velocidades de grupo distintas. Existem assim, dois tipos de dispersão presentes nestas fibras: a dispersão intermodal e a dispersão de velocidade de grupo (DVG). Relativamente às fibras multimodo, as fibras monomodais apresentam uma grande vantagem que está relacionada com o facto de a dispersão intermodal ser completamente eliminada. Contudo, no seu modo fundamental (HE 11 ), o alargamento dos impulsos não desaparece totalmente e a velocidade de grupo depende da frequência devido à dispersão cromática. Como resultado, existem diferentes componentes espectrais que percorrem a fibra com velocidades de grupo diferentes o que significa que continua a existir uma grande componente de dispersão nas fibras monomodais - dispersão de velocidade de grupo. Existem dois tipos de contribuições para a DVG - dispersão material e dispersão do guia de ondas [1] Dispersão de velocidade de grupo Sendo o contraste dieléctrico, assume-se na determinação da DVG que << 1 [2]. Teoricamente, deveria ter o maior valor possível de maneira a concentrar o máximo de luz na fibra, mas este facto invalidaria as fibras na sua utilização em comunicações ópticas já que possibilitava o aparecimento de um diferente tipo de dispersão (dispersão modal) em que vários impulsos luminosos percorrem caminhos de distâncias diferentes dispersando no tempo no final da fibra, mesmo que sejam coincidentes no seu início e viagem à mesma velocidade [1]. Assim, tendo em conta que n 1 é o índice de refração no núcleo da fibra, n 2 o índice de refração na bainha e b o índíce de refracção modal normalizado, tem-se o índice de refracção modal n n = Utilizando a aproximação para x << 1 n bn2 1 n b. (2.1) então 1 + x 1 + x 2 (2.2) n = n 2 (1 + b ) (2.3) Como foi referido acima, a DVG depende da frequência, o que implica que os índices de refracção no núcleo e na bainha da fibra também dependam da frequência. Assim, estabelecem-se os índices de grupo (para j=1,2, em que N 1 representa o índice de grupo no núcleo e N 2 o da bainha) N j = n jk 0 k 0 = n j + k 0 n j k 0. (2.4) Da mesma maneira, é estabelecido o índice de grupo do guia n g = B = (k 0n) n = n + k 0. (2.5) k 0 k 0 k 0 Da equação (2.3) obtém-se a equação (2.6) na qual se despreza a variação do contraste dieléctrico em 8

31 relação à frequência (dispersão de perfil) n k 0 = (1 + b ) n 2 k 0 + n 2 k 0 b k 0. (2.6) Avançando para a substituição das equações (2.3), (2.4) e (2.6) na equação (2.5), obtém-se n g = N 2 + N 2 b + n 2 k 0 b k 0. (2.7) Sendo ν a frequência normalizada da fibra, a o raio da secção circular da fibra e k 0 = 2π λ a constante de propagação no vácuo ν = n 2 1 n2 2 k 0a = n 1 k 0 a 2 (2.8) determina-se que chegando à equação (2.10) ν k 0 = νn 2 n 2 k 0 (2.9) b = b ν = νn 2 b k 0 ν k 0 n 2 k 0 ν. (2.10) Ao substituir (2.10) em (2.7) obtém-se [ n g = N νb ], (2.11) ν tendo em conta que νb ν = b + ν b ν. (2.12) O coeficiente de dispersão D é definido, então, pela equação (2.13) D(λ) = 1 τ g L λ em que L é o comprimento da fibra e τ g é o atraso de grupo dado por (2.13) τ g = L v g, (2.14) em que corresponde à velocidade de grupo. v g = c n g (2.15) Atendendo às equações (2.5), (2.13), (2.14) e (2.15) D = 1 c n g λ = 2πc λ 2 β 2 = 2π ( λ 2 2 n ) ω + ω 2 n ω 2 = λ 2 n c λ 2 (2.16) onde β 2 = 2 β ω é o parâmetro da DVG e é responsável pelo alargamento do impulso no interior da fibra. 2 O parâmetro de dispersão D é expresso em unidades de ps/(km.nm) [1] [2]. 9

32 2.1.2 Dispersão material, dispersão do guia e dispersão de ordem superior A dispersão material resulta da variação do índice de refractividade na sílica, que constitui o material usado na fabricação de fibras, com a frequência óptica de funcionamento ω. A dispersão do guia ocorre aquando da libertação de energia para a bainha da fibra em vez de estar confinada totalmente no seu núcleo [1]. Analisando o processo de determinação da dispersão de velocidade de grupo, o cálculo da dispersão material torna-se similar [2]. Desta maneira, D M = M 2 = 1 c Utilizando as equações (2.11) e (2.16) retira-se que Tendo em conta a equação (2.9) tem-se e consequentemente D = M 2 + M 2 d(νb) dν [ ] d(νb) λ dν N 2 λ. (2.17) + N 2 c λ d(νb) dν. (2.18) ν λ = νn 2 n 2 k 0, (2.19) = d2 (νb) dν 2 ν λ = νn 2 n 2 λ Por fim, a partir das equações (2.17) e (2.18) retira-se que d 2 (νb) dν 2. (2.20) D = D M + D W (2.21) onde D W é a dispersão do guia e é dada por D W = M 2 d(νb) dν N 2 2 [ ] ν d2 (νb) n 2 λc dν 2. (2.22) Para uma fibra óptica monomodal típica, a Figura 2.1 representa as contribuições da dispersão material, dispersão do guia e a junção de ambas (dispersão total D). É de notar que que o parâmetro de dispersão total D é anulado para um comprimento de onda muito próximo de 1.31µm (2 a janela), denominado de comprimento de onda de dispersão nula λ ZD. Pode observar-se que as componentes de baixas frequências do impulso para dispersões negativas deslocam-se com uma velocidade maior que as mesmas para altas frequências e valores de dispersão positivos. Assim, é possível através do controlo das características da fibra, fazer com que a dispersão seja minimizada. Alterando o perfil do índice de refracção e diminuindo as dimensões do núcleo, é possível utilizar fibras com dispersão total nula para um comprimento de onda de 1.55µm (3 a janela), que são uma mais valia em comunicações ópticas já que operam na banda onde a atenuação da fibra é mínima. 10

33 Figura 2.1: Dispersão total D e as suas contribuições de dispersão material e do guia, respectivamente D M e D W, numa fibra monomodal típica. [1] O efeito da DVG é predominante. Contudo, quando a portadora se encontra na vizinhança do comprimento de dispersão nulo, λ = λ ZD, onde D = β 2 = 0 ou quando o sinal tem uma largura temporal muito pequena, torna-se necessária a inclusão de um termo cúbico β 3 em β(ω) (referenciada na secção 2.2.1, equação (2.64)). Este coeficiente representa o parâmetro de dispersão de ordem superior (DOS). Os efeitos de dispersão de ordem superior provocam a distorção de impulsos muito pequenos tanto em regime linear como não-linear, provocando oscilações e corte na simetria do impulso. A dispersão de ordem superior é determinada através do declive de dispersão S [2], tal que S = D λ. (2.23) A expressão seguinte relaciona a dispersão total em função do comprimento de onda [2] D(λ) = λs [ D 1 4 ( λzd λ ) 4 ] (2.24) em que S D é o parâmetro de dispersão de ordem superior para o nulo da DVG. Aplicando as equações (2.16) e (2.24) na equação (2.23), obtém-se S = 4πc λ 3 β 2 + ( 2πc λ 2 ) 2 β 3 = S [ D ( λzd λ ) 4 ], (2.25) sendo β 3 = β2 ω o já referido parâmetro de dispersão de ordem superior. Para λ = λ ZD e β 2 = 0, S é proporcional a β Propagação de impulsos em regime linear numa fibra óptica monomodal Como foi referido, a existência da dispersão da velocidade de grupo provoca um alargamento temporal em regime linear nos impulsos transmitidos na fibra, provocando interferência inter-simbólica que compro- 11

34 mete a fidelidade da transmissão. A equação que traduz a propagação de impulsos de uma fibra óptica monomodal em regime linear é deduzida em seguida [2] Equação de propagação de impulsos em regime linear Para z = 0 (correspondente à entrada da fibra óptica), considere-se um impulso A(0, t) com portadora de frequência angular ω 0. Supondo que a polarização do campo eléctrico é linear no eixo x, tem-se: E(x, y, 0, t) = ˆxE(x, y, 0, t) (2.26) com E(x, y, 0, t)) = E 0 F (x, y)b(0, t), (2.27) B(0, t) = A(0, t)exp( iω 0 t). (2.28) Sendo o regime monomodal, F (x, y) representa a variação transversal do modo fundamental LP 01. J 0 corresponde à função de Bessel e num sistema de coordenadas cilíndricas a coordenada transversal r corresponde a r = x 2 + y 2. Então, tem-se F (r) = ( r J 0 a ), u r a ( 1 a ), w r a J 0(u) k 0(w) k 0 (2.29) onde a é o raio do núcleo da fibra óptica, u uma constante de propagação transversal no núcleo e w uma constante de atenuação na bainha. Estas duas constantes são normalizadas e, portanto, adimensionais: u 2 + w 2 = ν 2, (2.30) ν = k 0 a n n2 2. (2.31) Como em F (0) = 1 e F (a) = J 0 (u), em r = 0 a amplitude do campo eléctrico é E 0. São consideradas, como foi referido no ínício da seccção 2.1.1, fibras ópticas com um contraste dieléctrico muito pequeno e por este motivo a aproximação dos modos LP é aceitável. De modo a determinar o campo eléctrico num qualquer ponto z > 0, recorre-se à transformada de Fourier do campo em z = 0. Introduzindo e as respectivas transformadas inversas Ã(z, ω) = B(z, ω) = A(z, t)exp(iωt)dt, (2.32) B(z, t)exp(iωt)dt, (2.33) A(z, t) = 1 Ã(z, ω)exp( iωt)dω, (2.34) 2π B(z, t) = 1 2π B(z, ω)exp( iωt)dω, (2.35) 12

35 retira-se das equações (2.27) e (2.28) que Ẽ(x, y, 0, ω) = E 0 F (x, y) B(0, ω), (2.36) B(0, ω) = Ã(0, ω ω 0). (2.37) Sendo β = β(ω) a constante de propagação longitudinal do modo fundamental, tem-se Ẽ(x, y, z, ω) = E 0 F (x, y) B(z, ω), (2.38) B(z, ω) = B(0, ω)exp[iβ(ω)z]. (2.39) Admitindo que na fibra óptica a polarização não é alterada, é possível escrever a equação (2.40) que representa o campo eléctrico existente num qualquer ponto da fibra z > 0 E(x, y, z, t) = ˆxE(x, y, z, t), (2.40) com E(x, y, z, t) = E 0 F (x, y)b(z, t). (2.41) Tendo em conta a equação (2.39) tem-se B(z, t) = 1 [ ] Ã(0, ω ω 0 )exp i[β(ω)z ωt] dω. (2.42) 2π Introduzindo o desvio de frequência Ω em relação à portadora Ω = ω ω 0, (2.43) vem B(z, t) = 1 [ ] 2π exp( iω 0t) Ã(0, Ω)exp i[β(ω 0 + Ω)z Ωt] dω. (2.44) A introdução de um desenvolvimento em série de Taylor para β(ω 0 + Ω) reduz a complexidade do cálculo do integral presente na equação (2.44). Assim sendo, β(ω 0 + Ω) = β 0 + Φ(Ω), (2.45) em que Φ(Ω) = m=1 β m m! Ωm, (2.46) β 0 = β(ω 0 ), (2.47) é possível escrever B(z, t) = A(z, t)exp[i(β 0 z ω 0 t)], (2.48) A(z, t) = 1 [ ] Ã(0, Ω)exp i[φ(ω)z Ωt]. 2π (2.49) Observando as duas últimas equações, verifica-se que a função A(z, t) varia mais lentamente no tempo que a função B(z, t). De uma maneira geral Ω << ω 0, logo exp( iωt) sofre oscilações com uma frequência mais baixa que exp( iω 0 t). 13

36 Os coeficientes β m instroduzidos na equação (2.46), em que m corresponde a um número inteiro (m = 1, 2, 3...), são dados por Particularizando, onde v g = ( β ω ) 1 é a velocidade de grupo. Tendo em conta as equações (2.41) e (2.49) é possível escrever β m = m β ω m. (2.50) ω=ω0 β 1 = 1 ν(ω 0 ), (2.51) β 2 = 1 v g ν 2 (ω 0 ) ω, ω=ω0 (2.52) E(x, y, z, t) = E 0 F (x, y)a(z, t)exp[i(β 0 z ω o t)]. (2.53) (2.49). Torna-se então necessário calcular a função A(z, t) partindo de A(0, t). Para tal resolve-se a equação Para m = 1, 2, 3.. em que A m (z, t) = 1 Ω m Ã(0, Ω)Q(z, t; Ω)dΩ, (2.54) 2π Q(z, t; Ω) = exp[iφ(ω)z]exp( iωt). (2.55) Assim, da equação (2.49) A z = i m=1 β m m! A m(z, t). (2.56) Considerando perdas a equação anterior (2.56) deve ser reescrita, sendo apresentada na equação seguinte onde α representa o coeficiente de atenuação de potência. A z = i m=1 β m m! A m(z, t) α A(z, t). (2.57) 2 Sabe-se que Generalizando, A t = ia 1(z, t), (2.58) 2 A t 2 = ia 2(z, t), (2.59) 3 A t 3 = ia 3(z, t), (2.60) 4 A t 4 = ia 4(z, t). (2.61) m A t m = i2 m A m (z, t). (2.62) 14

37 Assim, a partir das equações (2.57) e (2.62) obtém-se A z + m=1 i m 1 m A β m m! t m + α A = 0, (2.63) 2 que representa a equação diferencial que permite calcular A(z, t) a partir de A(0, t). De uma maneira geral, os impulsos são de banda estreita ( Ω << ω 0 ), logo é possível considerar a truncatura dada pela equação seguinte, desprezando todos os restantes termos de ordem superior Nesse caso. a equação (2.63) é dada por Φ(Ω) = β 1 Ω β 2Ω β 3Ω 3. (2.64) A z + β A 1 t + i1 2 β 2 A 2 t β 3 A 3 t 3 + α A = 0. (2.65) 2 No caso de não serem consideradas perdas (α = 0), o cálculo de A(z, t) passa pelos seguintes passos A(0, Ω) = Ã(0, t)exp(iωt)dt (2.66) Ã(z, Ω) = Ã(0, Ω)exp( iφ(ω)z) (2.67) A(z, t) = 1 2π Ã(z, Ω)exp( iωt)dω. (2.68) 2.3 Resolução numérica Tendo em conta a propagação de impulsos em regime linear, recorre-se ao uso do programa Matlab para efectuar o estudo dos diferentes tipos de impulsos numa fibra óptica monomodal. Para tal, são utilizadas como base duas funções inerentes a este programa: Fast Fourier Transform (FFT) e Inverse Fast Fourier Transform (IFFT) [2]. Os efeitos de atenuação e de dispersão de ordem superior são desprezados, ou seja, β m = 0 para m 3. Desta maneira, no domínio de Fourier apenas se considera à z = iωβ 1Ã(z, ω), (2.69) que tem como solução Assim, tem-se de onde se retira que A(z, ω) = Ã(0, ω)exp(iωβ 1z). (2.70) A(z, t) = 1 Ã(0, ω)exp( iωt β 1 z)dt (2.71) 2π A(z, t) = A(0, t β 1 z). (2.72) Ao analisar-se a equação (2.72), verifica-se que a ausência de dispersão de ordem superior resulta na 15

38 propagação do impulso sem dispersão e com velocidade de grupo v g = 1 β 1. (2.73) Contudo, o desprezo dos termos de dispersão superior não é aceitável para estudos práticos. Definindo o atraso de grupo por a equação (2.72) fica τ g = β 1 z = Define-se ainda o comprimento da dispersão por z v g (ω 0 ), (2.74) A(z, t) = A(0, t τ g ). (2.75) L D = τ 2 0 β 2 (2.76) que representa a distância a partir da qual a dispersão se faz sentir. τ 0 é um tempo característico da duração do impulso A(0, t) e β 2 é o coeficiente da DVG. Os efeitos dispersivos são desprezados numa ligação de comprimento L, quando L D > L Normalização das variáveis espaço e tempo Definem-se em seguida as variáveis adimensionais ζ e τ, respectivamente para o espaço e para o tempo [2] ζ = z L D, (2.77) τ = t β 1z τ 0. (2.78) Transformando as variáveis reais (z, t) para as variáveis normalizadas(ζ, t), tem-se A z = ζ A z ζ + τ A z τ = 1 A L D ζ β 1 A τ 0 τ (2.79) Para normalizar a equação (2.65) tem-se: 2 A t 2 = t A t = τ A t τ = 1 A τ 0 τ. (2.80) ( ) A = ( ) 1 A = 1 ( ) A = 1 τ A t t τ o τ τ 0 t τ τ 0 τ t τ = 1 2 A τ0 2 τ 2 (2.81) 3 A t 3 = t ( 2 ) A t 2 = τ Substituindo (2.81) e (2.82) na equação (2.65), vem ( τ 1 t τ0 2 2 ) A τ 2 = 1 3 A τ0 3 τ 3. (2.82) 1 A L D ζ β 1 A τ 0 τ + β 1 A 1 τ 0 τ + i1 2 β 1 2 τ 2 o 2 A τ β 1 3 τ A = 0. (2.83) τ 3 16

39 Multiplicando todos os factores por L D, obtém-se A ζ + i1 2 β L D 2 A 2 τ0 2 τ β L D 3 τo 3 3 A = 0. (2.84) τ 3 Tendo em conta (2.76) e que β 2 = sgn(β 2 ). β 2 β 2 L D τ 2 0 = sgn(β 2 ). (2.85) Na equação (2.84) k = 1 β 3 6 τ0 3 L D = 1 6 β 3 τ0 3 representa o coeficiente de dispersão de ordem superior. A forma geral da equação será, portanto τ 2 0 β 2 = β 3 6 β 2 τ 0 (2.86) A ζ + i1 2 sgn(β 2) 2 A τ 2 k 3 A = 0. (2.87) τ 3 Define-se a frequência normalizada como ξ = Ωτ 0 = (ω ω 0 )τ 0. (2.88) Tem-se, por isso, duas novas equações de Fourier Ã(ζ, ξ) = A(ζ, τ)exp(iξτ)dτ (2.89) A(ζ, τ) = 1 Ã(ζ, ξ)exp( iξτ)dξ. (2.90) 2π Assim, a equação (2.81) escreve-se no domínio da frequência da seguinte maneira [ ] Ã 1 ζ = i 2 sgn(β 2)ξ 2 kξ 3 Ã(ζ, ξ) (2.91) e tem como solução ( ) ] 1 Ã(ζ, ξ) = [i Ã(0, ξ)exp 2 sgn(β 2)ξ 2 kξ 3 ζ. (2.92) O diagrama de blocos seguinte representa o método de resolução numérica da equação (2.90). Figura 2.2: Diagrama de blocos representativo dos passos a seguir na resolução numérica da equação (2.90). 17

40 2.4 Factor de mérito O alargamento dos impulsos causado pela dispersão, falado no início deste capítulo, tem influência no nível de interferência inter-simbólica que por sua vez condiciona o débito binário. Este alargamento tem origem em vários factores, como por exemplo a largura espectral da fonte, a largura inicial dos impulsos e a dispersão (DVG e dispersão de ordem superior (DOS)) [2]. Sendo A(z, t) a envolvente do impulso a propagar, tem-se um sinal modulado E(r, z, t) = E 0 F (r)a(z, t)exp[i(β 0 z ω 0 t)], (2.93) onde ω 0 representa a frequência da portadora e β 0 = β(ω 0 ) a constante transversal de propagação. Para estudar as repercussões no débito binário, torna-se essencial determinar a largura efectiva do impulso, dada por σ(z) = t 2 t 2 (2.94) em que σ 0 corresponde à largura RMS inicial dos impulsos. A largura espectral normalizada da fonte é V = 2σ ω σ 0, (2.95) em que σ ω é a largura espectral efectiva e é dada por Tendo em conta que σ ω = 2πc λ 2 σ λ. (2.96) ω ω 2πc λ λ = λ (2.97) λ2 para impulsos gaussianos, a expressão seguinte representa o alargamento sofrido pelos impulsos ( ) 2 ( σ = 1 + C β ) 2 ( ) 2 2L σ 0 2σ0 2 + (1 + V 2 β2 L ) 2σ0 2 + (1 + C 2 + V 2 ) 2 1 ( ) 2 β3 L 2 4σ0 2 (2.98) onde C é o parâmetro de chirp do impulso e L é o comprimento da ligação. A expressão pode ser também alargada a outro tipo de impulsos para obter uma estimativa do alargamento. Desprezando a dispersão de ordem superior (β 3 = 0) e considerando V << 1, razoável para um laser monomodal com pequena largura espectral, a equação (2.98) fica reduzida a (Apêndice A) ( σ σ 0 ) 2 ( = 1 + C β ) 2 2L 2σ0 2 + que representa o factor de alargamento dos impulsos. ( ) 2 β2 L (2.99) De modo a garantir a não existência de interferência inter-simbólica é utilizado o critério 2σ 2 0 σ T B 4 = 1 4B B B 0 = 1 4σ, (2.100) onde T B é o período temporal atribuído a um bit, sendo o débito binário B = 1 coeficiente de alargamento η, em que T B. Assumindo um 18

41 6 5 Evolucao da largura dos impulsos com a distancia C = 2 C = 0 C = 2 4 η ζ = z / L D Figura 2.3: Evolução da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala (β 2 < 0) para C = 2, C = 0 e C = 2. tem-se um débito binário correspondente η = σ σ 0 (2.101) B = 1 2γ 0 σ 0 = 1 2q 0 τ 0, (2.102) em que γ 0 = 2q 0 é o critério de folga (q 0 representa a separação entre impulsos vizinhos em unidades normalizadas) e τ 0 = 2σ 0. Pela Figura 2.3 verifica-se que para qualquer valor do parâmetro de chirp existe alargamento do impulso devido à influência da DVG. Para C = 2 regista-se um coeficiente de alargamento mais elevado, uma vez que o efeito de chirp é somado ao efeito da DVG; para C = 2 pode obervar-se uma ligeira contração do impulso que contraria a DVG, alargando logo de seguida o que revela que a DVG acaba por ser dominante. Sendo x = β 2 L 2σ 2 0 resolve-se a equação (2.99) em ordem a x. Obtém-se = 2γ 2 0 β 2 (B 2 L) (2.103) (1 + C 2 )x 2 + 2sgn(β 2 )Cx + (1 + η 2 ) = 0 (2.104) Então, x = sgn(β 2)C + η 2 (1 + C 2 ) C 2. (2.105) B 2 L = C + sgn(β 2) η 2 (1 + C 2 ) 1 2γ0 2β 2(1 + C 2. (2.106) ) O produto B 2 L corresponde ao factor de mérito e é adimensional. Dadas duas ou mais ligações, este factor permite de uma maneira geral averiguar qual a melhor ligação - quanto maior o factor, melhor a ligação. É possível ajustar os valores do B 2 e do L de modo a ter a melhor ligação possível. 19

42 A figura seguinte demonstra influência do parâmetro chirp C no produto B 2 L representado pela equação acima, no regime de dispersão anómalo (β 2 < 0) e no regime de dispersão normal (β 2 > 0) x Influencia do parametro de chirp C no produto B L β 2 = 20 ps 2 /km β 2 = 20 ps 2 /km B 0 2 L C Figura 2.4: Influência do parâmetro chirp C no produto B 2 0L. 2.5 Efeito da dispersão de velocidade de grupo Neste subcapítulo pretende-se verificar os efeitos da dispersão de velocidade de grupo na propagação de impulsos, mais concretamente em impulsos gaussianos e supergaussianos com e sem chirp Impulso gaussiano Um impulso supergaussiano é descrito de uma maneira geral, pela equação [3] [ A(0, t) = exp 1 + ic ( ) 2m ] t, (2.107) 2 t 0 em que C representa o parâmetro de chirp do impulso (um impulso tem chirp quando a frequência da sua portadora varia no tempo [1]) e m a rapidez com que o o impulso atinge o seu valor máximo. Para estudar o impulso gaussiano, considera-se m = 1. Desta maneira tem-se [ A(0, t) = exp 1 ( ) 2 ] t. (2.108) 2 t 0 20

43 Para m = 1 e C = 0: Impulso gaussiano (ζ=2) Impulso inicial Impulso final Impulso gaussiano (ζ=10) Impulso inicial Impulso final Amplitude Amplitude Tempo Tempo Figura 2.5: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 2. Figura 2.6: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 10. Figura 2.7: Evolução ao longo da fibra de um impulso gaussiano no tempo para ζ [0, 10]. 21

44 Figura 2.8: Evolução do espectro de um impulso gaussiano para ζ [0, 10]. Verifica-se pela Figura 2.5 e 2.6 que as características do impulso, como a amplitude e largura, são alteradas o que é justificado pela influência da DVG. O espectro do impulso (Figura 2.8) mantém-se constante ao longo da fibra, já que a atenuação da fibra foi desprezada e consequentemente nenhuma das componentes espectrais é atenuada Impulso supergaussiano Os impulsos supergaussianos constituem uma excelente aproximação de um impulso rectangular, podendo modular transições abruptas de estado (on/off). Uma vez que o parâmetro m regula a queda do impulso, quanto maior for o seu valor mais o impulso se aproxima de um impulso rectangular [4]. Para obter um impulso supergaussiano, considera-se m = 3 e C = 0 (sem influência de chirp). O impulso a simular é, então Para ζ = 2: [ A(0, t) = exp 1 ( ) 6 ] t. (2.109) 2 t Impulso Supergaussiano Impulso inicial Impulso final Amplitude Tempo Figura 2.9: Representação de um impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 2. 22

45 Figura 2.10: Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo para ζ [0, 2]. Figura 2.11: Evolução do espectro de um impulso supergaussiano para ζ [0, 2]. Nota-se que existem diferenças entre um impulso gaussiano (Figura 2.5) e um impulso supergaussiano (Figura 2.9) que podem ser atribuídas ao estreitamento e às caudas associadas a um impulso supergaussiano. Enquanto um impulso gaussiano mantêm a sua forma ao propagar-se, o impulso supergaussiano sofre um alargamento muito mais rapidamente e apresenta oscilações. O alargamento sofrido pelo impulso supergaussiano pode ser justificado pelo facto de o seu espectro ser mais largo que o gaussiano. Como o atraso da DVG de cada componente da frequência está directamente relacionado com a sua separação da frequência central ω 0, um espectro mais largo resulta num alargamento mais rápido do impulso [3] Impulso supergaussiano com efeito de chirp Nesta secção pretende-se demonstrar o efeito do parâmetro chirp num impulso supergaussiano. Incluindo o parâmetro de chirp C na expressão de propagação do impulso, tem-se [ A(0, t) = exp 1 + Ci ( ) 6 ] t. (2.110) 2 t 0 23

46 Para C = 2: Impulso Supergaussiano com chirp (C=2) Impulso inicial Impulso final Amplitude Tempo Figura 2.12: Impulso supergaussiano com chirp C = 2 à entrada e saída da fibra para ζ = 2. Figura 2.13: Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo com C = 2 para ζ [0, 2]. 24

47 Figura 2.14: Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = 2 para ζ [0, 2]. Para C = 2: Impulso supergaussiano com chirp (C= 2) Impulso inicial Impulso final Amplitude Tempo Figura 2.15: Impulso supergaussiano com chirp C = 2 à entrada e saída da fibra para ζ = 2. 25

48 Figura 2.16: Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo com C = 2 para ζ [0, 2]. Figura 2.17: Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = 2 para ζ [0, 2]. Para as primeiras simulações apresentadas (C = 2), em que se considera β 2 < 0 (no regime de dispersão anómalo), verifica-se que o chirp introduz uma compensação da DVG na fase inicial da propagação do impulso, ou seja, próximo do local onde o impulso é lançado. Contudo, essa compensação perde efeito e a partir de dada altura a DVG torna-se dominante. Comparando o impulso supergaussiano com chirp (Figura 2.12) e sem chirp (Figura 2.9), verifica-se que existe um alargamento maior do impulso na presença de chirp, o que é indesejável. Analisando os resultados obtidos nas simulações com C = 2 (também no regime de dispersão anómalo β 2 < 0), verifica-se que os resultados são mais degradados que os obtidos na presença de chirp positivo. Existe um agravamento do fenómeno da dipersão da velocidade de grupo e de todos os problemas que este acarreta. 26

49 2.6 Efeito da dispersão de ordem superior O alargamento sofrido pelos impulsos na sua propagação é causado pela DVG associada ao termo β 2. Apesar da sua contribuição ser na maioria dos casos dominante, é necessário incluir por vezes a dispersão de ordem superior (DOS), governada por β 3 [3]. Este parâmetro não pode ser desprezado em situações em que se considerem impulsos ultra-curtos (largura característica < 5 ps [1]) em que o espectro é largo e quando se opera num comprimento de onda muito próximo do comprimento de dispersão nulo λ ZD, onde β 2 = 0 e portanto os efeitos da DVG deixam de existir. Desprezando os efeitos não lineares e tendo em conta a equação (2.65) para α = 0 que representa a propagação de um impulso, introduz-se a amplitude normalizada U [3] A(z, τ) U(z, τ) = ( P0 exp αz 2 ) (2.111) onde P 0 é a potência de pico do impulso e α as perdas na fibra. Sendo τ = T τ 0, U(z, T ) satisfaz a equação seguinte sendo a solução geral representada por i U z = 1 2 β 2 U 2 T 2 + i1 6 β 3 U 3 T 3 (2.112) U(z, T ) = 1 [ i Ũ(0, ω)exp 2π 2 β 2ω 2 z + i ] 6 β 3ω 3 z iωt dω. (2.113) Utilizando o método descrito em 2.3.1, efectuaram-se simulações em Matlab de modo a verificar a influência da dispersão de ordem superior em impulsos gaussianos. As simulações são apresentadas de seguida Evolução do impulso gaussiano Como se pretende estudar os efeitos da DOS em impulsos gaussianos é importante estabelecer a relação entre o comprimento da dispersão de ordem superior e o parâmetro β 3. Assim, tem-se L D = τ 0 β 3. (2.114) Para um impulso gaussiano com chirp C = 0, β 2 = 0 e β 3 = 0.09ps 3 /km, são apresentadas de seguida simulações com τ 0 = 3ps e τ 0 = 1ps para diferentes comprimentos da fibra. 27

50 Impulso gaussiano Impulso inicial z=200 km z=500 km Amplitude Tempo Figura 2.18: Impulso gaussiano com largura τ 0 = 3ps para diferentes comprimentos da fibra Impulso gaussiano Impulso inicial z=10 km z=50 km Amplitude Tempo Figura 2.19: Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps para diferentes comprimentos da fibra. Analisando as figuras acima verifica-se que influência de β 3 faz-se sentir para distâncias de ligação diferentes dependendo do valor da largura do impulso τ 0. Conclui-se assim que quanto menor for τ 0, mais curtas são as distâncias a partir das quais a DOS é verificada e maior é o seu grau de evidência. Estes efeitos têm um papel relevante quando L D = L D ou τ 0 β 2 /β 3 1 [3]. Para uma distância de ligação z = 5L D, C = 0, β 2 = 0 e β 3 = 0.09ps 3 /km são representados na figura 2.20 o impulso inicial e, para dois casos distintos, o impulso final. A presença da dispersão de ordem superior condiciona a forma do impulso, deformando-o. O impulso torna-se assimétrico em relação ao impulso inicial e apresenta oscilações nos seus extremos. É importante referir que quando β 3 é positivo, as oscilações surgem na parte de trás do impulso, enquanto se for negativo surgem na parte da frente. Com L D = L D, (ou seja, contando também com a influência de β 2 ) as oscilações são menores ou quase inexistentes, mas o impulso continua distorcido apresentando uma assimetria em relação ao impulso inicial. 28

51 Impulso gaussiano Impulso inicial L D =L D β 2 = Amplitude Tempo Figura 2.20: Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps em z = 5L D inicial, β 2 = 0 e L D = L D. para três casos distintos: impulso Para o caso β 2 = 0, com chirp C = 0 e τ 0 = 1ps, é representado na figura seguinte a evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra. Figura 2.21: Evolução do Impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = 0. O estudo da influência da dispersão de ordem superior num impulso gaussiano foi efectuado até agora com um parâmetro de chirp nulo. O parâmêtro β 3 é afectado de um factor C 2, portanto para valores simétricos de C a evolução de impulsos gaussianos com chirp é similar [5]. A Figura 2.22 representa um impulso gaussiano para três valores diferentes do parâmetro de chirp, considerando β 2 = 0 e τ 0 = 1ps. 29

52 Impulso gaussiano C=2 C=1 C= Amplitude Tempo Figura 2.22: Deterioração do impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps e β 2 = 0. Verifica-se quanto maior for o módulo do parâmetro C, mais significativos serâo os efeitos da dispersão de ordem superior. Na Figura 2.23 é representada a evolução de um impulso gaussiano para C = 2: o impulso apresenta inicialmente um estreitamento e ao longo da sua propagação sofre um alargamento considerável. Figura 2.23: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = Evolução do impulso gaussiano em termos da função de Airy Para um impulso gaussiano com chirp e tendo em conta [3] Ã(0, ω) = ( ) 1 [ 2πτ exp ω2 τ 2 ] 0, (2.115) 1 + ic 2(1 + ic) substitui-se a expressão (2.115) em (2.113) introduzindo a nova variável de integração x = ωp, em que 30

53 p depende das características do impulso e da fibra [3]. É definido como Desta maneira, obtém-se a expressão U(z, T ) = A 0 π p 2 = τ 0 2 ( ic iβ ) 2z τ0 2. (2.116) ( exp x 2 + ib3 x3 itp ) x dx (2.117) em que b= β3z 2p. Com uma nova tranformação x = b u i b o resultado do integral de é, em termos da função de AiryA i (x) [3] U(z, T ) = 2A ( ) ( ) 0 π 2p 3bT p bt exp b 1 3 3pb 2 A i. (2.118) p b 4 3 A relação entre o comprimento da dispersão de ordem superior e o parâmetro β 3 continua a ser dada pela expressão (2.114). Para um impulso gaussiano com chirp C = 0, β 2 = 0, β 3 = 0.09ps 3 /km e tendo em conta a mesma ordem e configuração das simulações anteriores obteve-se os seguintes resultados Impulso gaussiano Impulso inicial z=200 km z=500 km Amplitude Tempo Figura 2.24: Impulso gaussiano com largura τ 0 = 3ps para diferentes comprimentos da fibra. 31

54 Figura 2.25: Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps para diferentes comprimentos da fibra. Figura 2.26: Impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps em z = 5L D inicial, β 2 = 0 e L D = L D. para três casos distintos: impulso Figura 2.27: Evolução do Impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = 0. 32

55 Impulso gaussiano C=2 C=1 C= Amplitude Tempo Figura 2.28: Deterioração do impulso gaussiano com largura τ 0 = 1ps e β 2 = 0. Figura 2.29: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ 0 = 1ps para β 2 = 0 e chirp C = 2. A utilização da função de Airy no estudo da evolução de um impulso gaussiano impõe um método analítico. Apesar deste facto, os resultados obtidos são practicamente igualáveis aos obtidos na subsecção Conclusões As fibras monomodo têm menor dispersão que as fibras multimodais e consequentemente são as mais indicadas para fazer parte de um sistema de comunicação óptico. No regime linear, a propagação de impulsos na fibra óptica é acompanhada de fenómenos de dispersão. O valor da dispersão total numa fibra resulta da soma de duas componentes, a dispersão material e a dispersão do guia. Alterando os parâmetros das fibras é possível obter fibras com dispersão total nula. Estas operam nos comprimentos de onda λ = 1.31µm e λ = 1.55µm. No regime linear, a propagação de impulsos na fibra óptica é acompanhada de fenómenos de dispersão. 33

56 β 2 é o termo da dispersão de velocidade de grupo (DVG) e provoca deformações nos impulsos, redução da amplitude e aumento da sua largura. Todos estes efeitos contribuem para a limitação do factor de mérito na fibra, já que aumentam a interferência inter-simbólica. Verificou-se que aquando da propagação na fibra os impulsos gaussianos e supergaussianos, mesmo estando sobre os efeitos da DVG, mantêm a sua forma sofrendo apenas alterações ao nível da sua amplitude e largura característica. Para além disso, o efeito da DVG torna-se mais notável à medida que se avança na fibra, o que permite aferir que quanto maior for a distância da ligação, mais pobre será a recepção do sinal no destino. Um impulso tem chirp quando a frequência da sua portadora varia no tempo. Ao analisar um impulso gaussiano com chirp e sem chirp verifica-se que existe um alargamento maior do mesmo na presença de chirp. Assim, para além do alargamento temporal normal demonstrado nos impulsos, este parâmetro provoca um alargamento extra. Para C = 2 verifica-se que inicialmente o chirp introduz uma compensação da DVG que mais tarde se perderá já que os efeitos da dispersão da velocidade de grupo se tornam dominantes. Para C = 2 os resultados obtidos foram mais degradados que os obtidos para C = 2, concluindo-se que existe um agravamento dos fenómenos dispersivos. Sendo L D a distância de dispersão que representa a distância a partir da qual a dispersão se faz sentir e L a distância da ligação, conclui-se que para L < L D será mais favorável utilizar chirp positivo e para L > L D utilizar chirp nulo. β 2 não altera a componente espectral dos impulsos. Os efeitos de dispersão de ordem superior são regidos por β 3 e devem ser apenas considerados quando se tem impulsos ultra-curtos(< 5ps) ou quando a DVG é nula, ou seja, quando λ = λ ZD. Um impulso gaussiano sob o efeito de β 3 apresenta alterações na sua amplitude e forma, mais concretamente alargamento e simetria em relação ao impulso inicial. Para valores de C diferentes de zero, o impulso apresenta inicialmente uma ligeira contração alargando de seguida, o que permite concluir que os fenómenos de DOS são dominantes. O mesmo estudo, recorrendo a um método analítico baseado na função de Airy, permite verificar que os resultados obtidos são practicamente igualáveis. 34

57 3 Compensação de dispersão em regime linear 35

58 Como foi estudado no capítulo anterior, existem limitações no desempenho do sistema causadas pela DVG e os seus fenómenos de alargamento. Assim, existe a possibilidade de interferência inter-simbólica impondo a utilização de menores débitos binários e consequentemente a diminuição da qualidade de serviço. Por estes motivos, existe uma grande necessidade de utilização de técnicas que compensem a dispersão. A ideia por detrás destas técnicas reside em cancelar os factores β 2 e β 3 de modo a conseguir obter um sinal igual ao transmitido inicialmente. Este capítulo focar-se-á em duas das técnicas de compensação mais utilizadas, nomeadamente a compensação da dispersão por DCFs (Dispersion Compensating Fibers) e compensação por FBGs (Fiber Bragg Gratings). 3.1 Compensação de dispersão por DCF A utilização de troços DCF (Dispersion Compensating Fibers) constitui uma das técnicas mais comuns na compensação de dispersão. Este método permite a compensação total da dispersão, caso a potência média do sinal óptico seja baixa o suficiente para desprezar os efeitos não lineares no interior da fibra [1]. Um sistema que utilize esta técnica pode ser representado de acordo com a figura seguinte em que é colocado, após um troço de fibra monomodo (single mode fiber (SMF)), um troço de fibra DCF. Figura 3.1: Sistema de transmissão utilizando fibra de compensação de dispersão (DCF). Considere-se um impulso óptico que se propaga em dois segmentos de fibra óptica, sendo o segundo a DCF. No regime linear, o impulso à saída de um troço compensado é dado pela equação A(L, t) = 1 [ i A(0, ω)exp 2π 2 ω2 (β 21 L 1 + β 22 L 2 ) i ] 6 ω3 (β 31 L 1 + β 32 L 2 )iωt dω (3.1) onde L = L 1 + L 2 e β 2j β 3j são respectivamente os coeficientes da DVG e da dispersão de ordem superior para o troço de fibra com comprimento L j com j = (1, 2). Assim, escolhendo os parâmetros da DCF apropriados é possível compensar os efeitos dispersivos. A condição de compensação de dispersão perfeita é dada por β 21 L 1 + β 22 L 2 = 0 β 31 L 1 + β 32 L 2 = 0. (3.2) Para que a equação (3.2) seja cumprida, é necessário que β i1 tenha sinal contrário a β i2 (com i = 2, 3) e β 22 deve ter em módulo um valor elevado para que o comprimento da DCF seja o mais pequeno possível, tornando o sistema mais apelativo em termos económicos. O valor de β 32 deve ser ajustado de modo a obter a compensação da dispersção de ordem superior. Apesar da estratégia de compensação da dispersão por meio de DCFs ter como objectivo e vantagem recuperar o sinal transmitido inicialmente apresenta algumas desvantagens. Esta técnica tem custos altos associados ao seu fabrico, perdas na bainha α entre 0.4 e 0.6 db/km causadas pelo facto de o valor da frequência normalizada ν ser baixo, perdas de inserção elevadas ( 5dB) e uma área efectiva reduzida ( 20µm 2 ) o que incentiva o aparecimento de mais efeitos não-lineares. 36

59 As duas condições apresentadas na equação (3.2) são muito difíceis de satisfazer simultâneamente. Desta maneira, a análise da compensação por DCFs será feita em três passos: primeiramente estuda-se a compensação do coeficiente da DVG β 2 desprezando o coeficiente de dispersão de ordem superior β 3, passando para o estudo oposto em que se compensa β 3 e β 2 = 0 e por fim procede-se à análise da influência conjunta dos parâmetros Compensação da DVG Para uma fibra monomodal convencional, se o parâmetro β 2 for > 0.1ps 2 /km então o parâmetro β 3 pode ser desprezado. No regime linear, o impulso à saída de um troço compensado é dado pela equação A(L, t) = 1 [ ] i A(0, ω)exp 2π 2 ω2 (β 21 L 1 + β 22 L 2 ) iωt dω (3.3) sendo a condição de compensação perfeita dada por β 21 L 1 + β 22 L 2 = 0. (3.4) A equação (3.4) demonstra que a fibra DCF deve ter na 3 a janela um β 22 < 0, já que β 21 > 0 nas fibras comuns utilizadas em telecomunicações. A determinação do parâmetro β 22 obtém-se resolvendo a equação anterior. Tem-se β 22 = β 21L 1 L 2 (3.5) e L 2 L 2 = β 21 β 22 L 1 (3.6) em que L 2, para efeitos práticos e económicos, deverá ter o menor comprimento possível. Isto só é possível se a fibra DCF assumir um valor grande negativo de β 22. Em seguida são apresentadas as simulações efectuadas para um impulso gaussiano e supergaussiano Impulso gaussiano A equação (2.108) define o impulso gaussiano simulado. As condições de simulação são as da tabela seguinte. Parâmetros τ 0 [ps] L 1 [km] β 21 [ps 2 /km]] L 2 [km] β 22 [ps 2 /km] Valores Tabela 3.1: Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DVG. 37

60 1 0.9 entrada SMF saida SMF saida DCF Amplitude Tempo Figura 3.2: Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG. Figura 3.3: Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. Figura 3.4: Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = Impulso supergaussiano A equação (2.107) define o impulso supergaussiano simulado. As condições de simulação são as da tabela seguinte. Parâmetros τ 0 [ps] L 1 [km] β 21 [ps 2 /km]] L 2 [km] β 22 [ps 2 /km] Valores Tabela 3.2: Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DVG. 38

61 1 0.9 entrada SMF saida SMF saida DCF Amplitude Tempo Figura 3.5: Representação de um impulso supergaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG. Figura 3.6: Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. Figura 3.7: Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = 0. Para os dois casos apresentados (Figura 3.2 a 3.7), verifica-se que os impulsos recuperam a sua forma inicial. Confirma-se assim que a DCF garante uma compensação total da dispersão para situações onde as perdas e dispersão de ordem superior podem ser desprezáveis.assim, a fibra DCF é apenas dimensionada para compensar a DVG Compensação de dispersão de ordem superior Quando o ritmo binário de um monocanal excede os 100 Gb/s devem ser utilizados impulsos ultracurtos (com largura característica < 5ps [1]) em cada bit slot. O problema surge quando, para impulsos tão curtos, o espectro alarga o suficiente para ser difícil compensar a DVG em toda a largura de banda do impulso, já que β 2 depende da frequência. Sendo muito complicado compensar simultâneamente os efeitos criados por β 2 e β 3, nesta análise isola-se a compensação de dispersão de ordem superior (DOS) negligenciando os efeitos da dispersão de velocidade de grupo (β 2 = 0). Nestas condições e em regime linear, o impulso à saída de um troço compensado é dado pela equação 39

62 A(L, t) = 1 [ ] i A(0, ω)exp 2π 6 ω3 (β 31 L 1 + β 32 L 2 ) iωt dω (3.7) onde L = L 1 + L 2 e β 3j são os coeficientes da dispersão de ordem superior para o troço de fibra com comprimento L j com j = (1, 2). Assim, escolhendo os parâmetros da DCF apropriados é possível compensar os efeitos dispersivos. A condição de compensação de dispersão perfeita é dada por β 31 L 1 + β 32 L 2 = 0. (3.8) A determinação do parâmetro β 32 obtém-se resolvendo a equação anterior. Tem-se β 32 = β 31L 1 L 2 (3.9) e L 2 L 2 = β 31 β 32 L 1 (3.10) em que L 2, para efeitos práticos e económicos, deverá ter o menor comprimento possível. Em seguida são apresentadas as simulações efectuadas para um impulso gaussiano e supergaussiano Impulso gaussiano A equação (2.91) define o impulso gaussiano simulado. As condições de simulação são as da tabela seguinte. Parâmetros τ 0 [ps] L 1 [km] β 31 [ps 3 /km]] L 2 [km] β 32 [ps 3 /km] Valores Tabela 3.3: Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DOS entrada SMF saida SMF saida DCF Amplitude Tempo Figura 3.8: Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DOS. 40

63 Figura 3.9: Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. Figura 3.10: Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = Impulso supergaussiano A equação (2.92) define o impulso supergaussiano simulado. As condições de simulação são as da tabela seguinte. Parâmetros τ 0 [ps] L 1 [km] β 31 [ps 3 /km]] L 2 [km] β 32 [ps 3 /km] Valores Tabela 3.4: Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DOS entrada SMF saida SMF saida DCF Amplitude Tempo Figura 3.11: Representação de um impulso supergaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DOS. 41

64 Figura 3.12: Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. Figura 3.13: Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = 0. Para os dois casos apresentados (Figura 3.8 a 3.13), verifica-se que os impulsos recuperam a sua forma inicial. Confirma-se assim que a DCF garante uma compensação total da dispersão de ordem superior anulando os seus efeitos característicos Compensação da DVG na presença de DOS Como foi referido no subcapítulo anterior, é difícil compensar simultâneamente os efeitos criados por β 2 e por β 3. Apesar disso, os resultados obtidos são apresentados de seguida. Nota-se que, como demonstrado no subcapítulo 2.3.1, existe um factor k na equação geral normalizada (equação (2.87)) representativa do impulso que é inerente à presença simultânea de β 2 e β 3. Este factor representa o coeficiente de dispersão de ordem superior e é dado por k = 1 β 3 6 τ0 3 L D = 1 6 β 3 τ0 3 τ 2 0 β 2 = β 3 6 β 2 τ 0. (3.11) Considera-se β 2 = 20ps 2 /km e β 3 = 0.09ps 3 /km. As condições de simulação são as da tabela seguinte. Parâmetros τ 0 [ps] L 1 [km] β 21 [ps 2 /km]] L 2 [km] β 22 [ps 2 /km] Valores Tabela 3.5: Características dos troços L 1 e L 2 para a simulação de um impulso gaussiano com compensação da DVG na presença de DOS. 42

65 1 0.9 entrada SMF saida SMF saida DCF Amplitude Tempo Figura 3.14: Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG na presença de DOS. Figura 3.15: Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. Figura 3.16: Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = 0. Ao analisar os resultados obtidos verifica-se que, aquando da presença simultânea dos efeitos dispersivos da velocidade de grupo e de ordem superior, a DCF não consegue compensar completamente o impulso. O efeito degradador da DVG não é compensado, porque a presença de β 3 não o permite, impondo oscilações e assimetria características. 3.2 Compensação de dispersão baseada em Redes de Bragg Apesar dos avanços feitos no domínio da manufactura e implementação das fibras ópticas, componentes ópticos básicos como espelhos, filtros de comprimento de onda e reflectores parciais têm sido difíceis de integrar nas fibras. Contudo, recentemente todos estes estudos e mecanismos foram alterados devido ao facto de ser possível alterar o índice de refracção do núcleo da fibra através da absorção de luz UltraVioleta. Esta fotosensibilidade exibida pelas fibras ópticas permite a fabricação de estruturas de fase dentro do núcleo. Estas estruturas são obtidas mudando constantemente e consoante um período padrão o índice de refracção dentro do núcleo. Esta modulação periódica do índice de refracção opera como um espelho selectivo do comprimento de onda que satisfaz a condição de Bragg. Formam-se assim as Redes de Bragg [6] 43

66 (Fiber Bragg Gratings - FBGs). As FBGs têm variadas aplicações nas telecomunicações, sendo utilizadas nos diversos pontos constituintes de um sistema de transmissão. No emissor, funcionam como elementos reflectores em lasers semicondutores e em lasers de fibra óptica e permitem a emissão em monomodo com elevada estabilidade. Na transmissão utilizam-se em aplificadores ópticos de modo a fazer a recirculação da bombagem, igualização espectral do ganho e estabilização dos díodos de bombagem, na compensação de dispersão e filtragem. No receptor e em componentes ópticos de rede com multiplexagem no comprimento de onda, utilizam-se como filtros e desmultiplexadores [7]. Apesar da sua utilização em diferentes partes de um sistema de transmissão, este estudo forcar-se-á apenas na parte da compensação da dispersão Princípio de funcionamento das Redes de Bragg Uma FBG, como foi referido, é uma perturbação periódica de índice de refracção ao longo do comprimento da fibra cuja formação tem início na exposição do núcleo a um intenso padrão de interferência óptica [8]. É formada por um conjunto de elementos espaçados de uma dada distância Λ. Estes segmentos de fibra óptica vão reflectir certos comprimentos de onda de luz que satisfazem a condição de ressonância e transmitir todos os outros. Figura 3.17: Representação esquemática de uma FBG (adaptado de [16]). Desta maneira, é formado um espelho dieléctrico para um comprimento de onda específico, actuando assim como um filtro óptico reflector [1]. Para melhor entender o efeito de perturbação na FBG, recorre-se ao conceito de reflexão de Fresnel: a luz propaga-se entre meios com índices de refracção diferentes podendo ser reflectida ou refractada. Considerando θ i o ângulo incidente e θ r o ângulo difractado, a onda incidente pode ser descrita pela equação λ sinθ i sinθ r = m g (3.12) ñλ em que ñ representa o índice de refracção médio do núcleo da fibra, λ o comprimento de onda incidente no meio, m g a ordem de difracção de Bragg e Λ a periodicidade espacial na fibra. Para m g = 1, a condição de máximo para uma Fiber Bragg Grating é dada por λ B = 2ñΛ. (3.13) A equação acima descreve a condição de Bragg, onde λ B é o comprimento de onda de Bragg para o qual a reflectividade é máxima. Numa fibra com FBG, quando os feixes luminosos são lançados, a parte da luz com comprimento de onda coincidente com o comprimento de onda de Bragg é reflectida para trás (para 44

67 a extremidade onde foi lançado o feixe); o resto da luz e respectivos comprimentos de onda continuam a propagar-se até à outra extremidade da fibra. Este fenómeno encontra-se representado na figura seguinte. Figura 3.18: Fenómeno de reflexão numa FBG (adaptado de [16]). Assim, é expectável que exista um máximo de intensidade na direcção contrária ao sentido normal de propagação, sendo esta ressonância causada pelo facto de estas ondas se encontrarem em fase [5]. A análise das FBG tem em conta o método dos modos acoplados, em que se considera um efeito de acoplamento entre a onda que se propaga sem reflexão (sentido positivo) e aquela que é reflectida (sentido negativo). Em literatura estas ondas são chamadas de ondas forward e backward, respectivamente. Considera-se o campo eléctrico E(r, t) = 1 ] [A 2 F (x, y) f exp(iβ b z) + A b exp( iβ b z) (3.14) em que β b é a constante de propagação longitudinal para o comprimento de onda de Bragg, A f amplitude espectral da onda positiva e A b a amplitude espectral da onda negativa. a FBG uniforme fibra. Uma FBG é considerada uniforme, caso as suas propriedades espaciais sejam constantes ao longo da Figura 3.19: FBG uniforme - espaçamento Λ constante e variação periódica do índice de refracção (adaptado de [16]). Considera-se que o índice de refracção varia periodicamente segundo a equação n(z) = ñ + n g cos(2πz/λ) (3.15) onde n d é a profundidade de modulação. As equações que descrevem o modo acoplado são dadas por A f z = iδa f + iκ g A b (3.16) A b z = iδa b + iκ g A f (3.17) 45

68 em que δ é o factor de dessintonia do comprimento de onda de Bragg e κ g o coeficiente de acoplamento. São definidos por ( 1 δ = 2π 1 ) λ 0 λ B (3.18) κ g = πn dγ g λ B (3.19) onde Γ g é o coeficiente de confinamento. As soluções gerais das equações (3.16) e (3.17) são A f = A 1 exp(iq g z) + A 2 exp( iq g z) (3.20) A b = B 1 exp(iq g z) + B 2 exp( iq g z). (3.21) Aplicando (3.20) e (3.21) em (3.16) e (3.17) respectivamente, obtém-se (q g λ)a 1 = κ g B 1 (q g + λ)a 2 = κ g B 2 (3.22) (q g λ)b 2 = κ g A 2 (q g + λ)b 1 = κ g A 1 (3.23) em que A 1, A 2, B 1 e B 2 são diferentes de zero. Assim, q g é dado por q g = ± δ 2 κ 2 g. (3.24) A equação (3.24) traduz uma das principais características inerentes a uma FBG, a banda proibida. Quando δ assume valores que verificam κ g < δ < κ g, q g torna-se imaginário puro, o que significa que o grating deixa de suportar a propagação de ondas. Neste caso, a maioria do campo incidente é reflectido. A figura seguinte representa a variação de δ com κ g, onde se verifica que de facto existe uma banda proibida q g / k g δ / k g Figura 3.20: Variação do parâmetro δ com κ g, demostrando a existência de uma banda proibida. De modo a calcular o coeficiente de reflexão, resolveram-se analiticamente as equações dos modos de acoplamento (equações (3.20), (3.21), (3.22) e (3.23)). A expressão obtida do coeficiente de reflexão foi r g = A b(0) A f (0) = iκ g sin(q g L g ) q g cos(q g L g ) iδsin(q g L g ). (3.25) 46

69 A fase de r g é dada por [ ] Im(rg ) φ g = arctan. (3.26) Re(r g ) A figura seguinte representa a variação da reflectividade com o produto δl g para κ g L g = 2 e κ g L g = k g L g =2 k g L g = r g δ L g Figura 3.21: Reflectividade em função de δl g para κ g L g = 2 e κ g L g = 4. Analisando a Figura 3.21, verifica-se que na zona de banda proibida a reflectividade aproxima-se do valor unitário à medida que o valor do produto κ g L g aumenta. Apresenta, como foi anteriormente referido, uma característica de filtro. Contudo, existem máximos secundários na reflectividade que têm origem na ocorrência de reflexões nos extremos da FBG onde o índice de refracção deixa de variar. De modo a suprimir a existência destes lóbulos secundários recorre-se à técnica de apodização. Esta técnica consiste em variar o índice de refracção a partir de um certo comprimento perto dos extremos, mantendo esta mesma variação constante na região afastada dos extremos [5]. Desta maneira é possível optimizar os resultados de uma FBG uniforme, já que se mantém a banda principal e se elimina as bandas secundárias de reflexão. Para um factor de dessintonia δ = 0 e κ g L g 3, é possível considerar que a reflectividade é praticamente 100% [1]. A partir da equação (3.25), o máximo de reflectividade que ocorre no centro da banda proibida (δ = 0) pode ser expresso em função do coeficiente de acoplamento e do comprimento da rede por R max = r g (δ = 0) 2 = tanh 2 (κ g L g ). (3.27) É possível estimar o comprimento necessário da FBG para que o valor de reflexão seja elevado. Dada a definição κ g = 2πδn g λ B, (3.28) para um caso mínimo com R max = 93% correspondente a κ g L g = 2, δn g 10 4 e λ B = 1.55µm tem-se que L g deve ser superior a 5 mm. Para uma reflectividade máxima R max = 99% seria necessário ter uma FBG com 1,5 cm de comprimento. Assim, conclui-se que a reflectividade está directamente relacionada com o comprimento da FBG. Tendo em conta (3.27), a figura seguinte engloba quatro curvas que representam a reflectividade máxima R max em função do comprimento L g para diferentes valores do coeficiente de acoplamento κ g. 47

70 k g = 10 cm 1 k = 5 cm 1 g k = 2 cm 1 g k = 1 cm 1 g 0.6 R max L [mm] g Figura 3.22: Reflectividade máxima em função do comprimento da rede L g [mm] para coeficientes de acoplamento κ g = 10cm 1, κ g = 5cm 1, κ g = 2cm 1 e κ g = 1cm 1. Verifica-se que a reflectividade máxima aumenta com o comprimento da rede, dependendo também do valor do coeficiente de acoplamento. Quanto maior for o valor do produto κ g L g, maior é a reflectividade. Relativamente ao coeficiente de transmissão t g, o seu cálculo seguiu os mesmos passos utilizados no coeficiente de reflexão. Assim, t g = A b(l g ) A f (0) = q g q g cos(q g L g ) iδsin(q g L g ). (3.29) t g k g L g =2 k g L g = δ L g Figura 3.23: Transmissividade em função de δl g para κ g L g = 2 e κ g L g = 4. Observa-se pela figura que a transmissividade tem um comportamento complementar ao da reflectividade. Um aspecto importante no estudo das FBG é o facto existir dispersão (DVG) associada ao coeficiente de reflectividade. Esta dispersão tem origem na variação não linear da fase do coeficiente de relexão. Assim, tendo e conta a equação (3.26) apresenta-se a variação da fase do coeficiente de reflexão com δl g. 48

71 5 k g L g =2 k g L g =4 0 5 φ [rad] δ L g Figura 3.24: Variação da fase do coeficiente de reflexão φ g em função de δl g para κ g L g = 2 e κ g L g = 4. A partir da fase do sinal reflectido é possível deduzir a expressão do atraso de grupo τ g em que c é a velocidade da luz e λ o comprimento de onda. τ g = φ g 2πc = λ2 φ g 2πc λ, (3.30) A dispersão nas FBG uniformes, é dada pela derivada do atraso de grupo τ g em relação ao comprimento de onda λ. Tem-se que D g = τ g λ = 2πc λ 2 2 φ g ω 2 = 2πc λ 2 β 2g, (3.31) onde β 2g representa o coeficiente da dispersão de velocidade de grupo na Fiber Bragg Grating. Figura 3.25: Atraso de grupo τ g numa FBG uniforme com L g = 10mm e λ B = 1550nm, para κ g L g = 2 e κ g L g = 4. 49

72 Figura 3.26: Dispersão D g numa FBG uniforme com L g = 10mm e λ B = 1550nm, para κ g L g = 2 e κ g L g = 4. Ao analisar as figuras acima, conclui-se que na zona de banda proibida a variação de fase é praticamente linear, o que corresponde a um atraso mínimo e dispersão mínima. Tendo em conta a Figura 3.26, verifica-se que existem máximos do valor da dispersão fora da zona de banda proibida. Estes resultados justificam-se pelo elevado atraso de grupo na proximidade desta zona durante as sucessivas reflexões nas extremidades da rede. O valor da dispersão torna-se maior com o aumento do valor do produto κ g L g. Como era expectável, o valor da dispersão é nulo para o comprimento de onda onde ocorre o máximo de reflectividade (λ B ). A partir da equação (3.13) e da equação seguinte [10] obtém-se a expressão para a largura de banda, dada por λ = 2 λ B (κ g L g ) L g π 2 + (π) 2 (3.32) λ = 2λ B 2 (κ g L g ) 2ñL g π 2 + (π) 2. (3.33) A figura seguinte representa a variação da largura de banda numa FBG uniforme, em relação ao comprimento da rede L g para diferentes valores do coeficiente de acoplamento κ g. 50

73 Figura 3.27: Largura de banda numa FBG uniforme em função do comprimento da rede L g, para κ g = 2.84cm 1, κ g = 1.62cm 1 e κ g = 0.4cm 1. Verica-se pela Figura 3.27 que, mantendo o valor de κ g constante, a largura de banda proibida diminui com o aumento do comprimento de rede L g. Contudo, para diferentes valores de κ g considerados, constatase que a partir de um certo comprimento não há qualquer alteração na largura de banda proibida. É fácil notar que a uma largura de banda proibida mais alta corresponde um comprimento de rede menor, o que conduz a uma situação indesejável que consiste na diminuição da reflectividade máxima (equação(3.27)). Embora sejam utilizadas na compensação da dispersão, as FBG uniformes apresentam uma grande desvantagem que reside no facto de terem uma largura de banda proibida muito estreita, o que impede a sua utilização para ritmos binários muito elevados [1] Chirped FBG (CFBG) De modo a resolver o problema das FBG uniformes, que reside no facto da sua utilização não ser indicada para ritmos binários elevados, foram criadas as Chirped Fiber Bragg Gratings (CFBG), ou redes aperiódicas. Como o próprio nome indica, existe uma não periodicidade inerente: este tipo de dispositivo possibilita a variação da condição de Bragg ao longo do seu comprimento, ou seja, uma variação progressiva do centro da banda proibida. Fisicamente, este tipo de rede obtém-se pela variação longitudinal do índíce de refracção modal, variando o período espacial da amplitude de modulação do índice Λ(z) (equação (3.13)), ou por variação simultânea de ambas as grandezas [1]. Figura 3.28: Chirped FBG - espaçamento Λ não uniforme (adaptado de [16]). A variação do período espacial ao longo da posição longitudinal na rede apresenta uma característica linear, sendo dada pela expressão [11] Λ(z) = Λ(0) + C Λ z, (3.34) onde Λ 0 representa o período espacial da rede numa das suas extremidades e C Λ o coeficiente de aperiodicidade, expresso em nm/cm ou nm/mm. 51

74 A sua representação é apresentada de seguida. Figura 3.29: Perfil do período espacial Λ(Z) ao longo do comprimento da Chirped FBG. É então possível obter uma aperiodicidade linear, já que é provocado o aumento do comprimento de onda de Bragg. Consequentemente dá-se uma translação do centro da banda proibida para frequências cada vez mais baixas à medida que aumenta o período espacial. Desta maneira, os vários comprimentos de onda pertencentes ao sinal que coincidem com o comprimento de onda de Bragg são reflectidos em posições diferentes da CFBG: as frequências mais altas são reflectidas no início e as frequências mais baixas são reflectidas mais tardiamente. Isto significa que as componentes mais lentas do espectro são reflectidas primeiro e as componentes mais rápidas percorrem um caminho mais longo na CFBG até serem reflectidas (situação correspondente a uma DVG anómala). Para uma situação com DVG normal é necessário incidir o sinal no extremo oposto ao da CFBG [1]. Os restantes comprimentos de onda do sinal são reflectidos normalmente. O caminho que cada comprimento de onda percorre no interior do dispositivo é inversamente proporcional à velocidade de propagação do sinal na FBG. Assim, os sinais chegam à saída do dispositivo praticamente no mesmo instante sendo possível compensar a dispersão de velocidade de grupo [9]. Figura 3.30: Perfil do índice de refracção n(z) ao longo do comprimento da CFBG. Figura 3.31: Reflexão das altas e baixas frequências em pontos diferentes da CFBG devido à variação no comprimento de onda de Bragg λ B [5]. Como foi referido, os variados comprimentos de onda do sinal são reflectidos em posições diferentes. Como tal, existe um atraso de grupo associado que depende do comprimento de onda. Como a aperiodicidade é linear então o atraso de grupo também é linear, o que faz com que este tipo de redes seja 52

75 actrativo na implementação de técnicas de compensação de dispersão em sistemas de comunicação por meio de fibra óptica [12]. A CFBG possui uma largura de banda mais extensa que a largura de banda de uma FBG uniforme. Isto porque nas CFBG, a condição de Bragg verifica-se para um número maior de componentes espectrais o que faz com que a sua banda total seja formada pela sobreposição de várias minibandas [1] [11]. Considerando como referência a componente espectral reflectida numa das extremidades da rede (z = 0), observa-se que a componente espectral reflectida na extremidade oposta tem um atraso de grupo τ g dado por [1] onde c representa a velocidade da luz no vazio. τ g = 2ñL g, (3.35) c Figura 3.32: Reflectividade (esquerda) e atraso de grupo τ g (direita) de uma CFBG de comprimento 2.5cm e coeficiente de aperiodicidade linear de 0.8nm/cm. A análise da equação (3.35) indica que quanto menor for o comprimento da rede, menor atraso de grupo existirá. Pela figura acima (direita) verifica-se que o atraso de grupo das componentes, sem considerar a componente de referência, varia linearmente com o comprimento de onda. Considerando as componentes espectrais reflectidas nos extremos, a equação da dispersão na rede é dada pela expressão seguinte e resulta da derivada do atraso de grupo em relaçao ao comprimento de onda. D g = 2ñL g c λ (3.36) onde λ representa a diferença entre as componentes espectrais reflectidas nos extremos da CFBG e é dado por A dispersão obtém-se por substituição de (3.37) em (3.36): λ = 2ñC Λ L g. (3.37) D g = 1 cc Λ. (3.38) Na figura 3.33 observa-se que se a rede for suficientemente longa, a sua dispersão será independente do comprimento, variando apenas com o coeficiente de aperiodicidade (equação (3.38)). Assim, na compensa- 53

76 Figura 3.33: Dispersão numa CFBG com coeficiente de aperiodicidade de 1nm/cm em função do comprimento da rede. Figura 3.34: Dispersão numa CFBG com 2.5cm de comprimento em função do coeficiente de aperiodicidade C Λ. ção da DVG numa fibra convencional com comprimento na ordem das centenas de quilómetros, utiliza-se uma CFBG com comprimento na ordem das dezenas de centímetros. Como exemplo, D g para λ = 0.2nm. Devido a valores tão altos de D g, bastam apenas 10cm de FBG para compensar a DVG adquirida em 300km [1]. A compensação da dispersão por meio de CFBG em relação à compensação da dispersão por meio de DCF apresenta algumas vantagens, nomeadamente o facto de ter uma largura de banda mais elevada e custo muito mais reduzido (poucos centímetros compensam grandes distâncias enquanto na DCF são necessários vários troços de comprimentos mais elevados para compensar a mesma distância). Em contrapartida, ao actuarem como um filtro reflector, as CFBG necessitam de um circulador para separar o sinal reflectido do incidente [5]. 3.3 Conclusões Este capítulo focou-se no estudo de duas técnicas de compensação de dispersão em regime linear, a compensaçao da dispersão por meio de DCF e por FBG. O estudo da eficácia das DCF foi efectuado em três partes distintas: compensaçao da DVG, compensação da DOS e a compensação da DVG na presença de DOS. Verifica-se que a introdução da DCF, de comprimento L 2, faz com que o sinal original transmitido na fibra seja completamente recuperado, apesar de sofrer alargamento e perda de amplitude devido à dispersão. Contudo, aquando do estudo da compensação da DVG na presença de DOS, verifica-se que a DCF não consegue compensar totalmente o impulso transmitido na fibra: apesar dos efeitos da DVG serem compensados, a presença da dispersão de ordem superior impõe oscilações e uma assimetria no impulso transmitido. Estes tipos de fibras têm algumas desvantagens, nomeadamente custos elevados, perdas relativamente maiores do que nas fibras convencionais e contribuírem para a ocorrência de fenómenos não-lineares (têm uma densidade inferior às fibras convencionais o que conduz a um aumento da potência no seu interior). Em relação ao estudo das FBG, foram focadas primeiramente as características das FBG uniformes e realçada a sua aplicação na compensação da dispersão. Utilizou-se a reflexão de Fresnel e a teoria dos modos acoplados para uma descrição quantitativa dos fenómenos existentes na FBG, que permite obter 54

77 um conjunto de equações diferenciais para as duas ondas com sentidos de propagação contrários. Devido a esta interação forma-se uma banda proibida, onde se dá a reflexão máxima. Foi demonstrada a sua capacidade de funcionamento como filtro óptico. Concluiu-se que quanto maior o produto κ g L g, maior será a reflectividade aproximando-se do valor máximo 100%. Considerando um valor constante do coeficiente de acoplamento κ g, verifica-se que quanto menor for o comprimento da FBG, maior é a largura de banda proibida e consequentemente menor será o valor de reflectividade máxima. Na proximidade dos limites da banda proibida constatou-se que o sinal sofre elevada distorção, o que inibe a utilização desta zona para efectuar compensação de dispersão. Por este motivo, recorre-se à utilização de CFBG. Nas CFBG, através da variação do índice de refracção modal e/ou da variação da periodicidade espacial da rede, os diferentes comprimentos de onda são reflectidos em diferentes lugar na mesma. Assim, os valores da DVG são estimados com base na diferença entre percursos entre altas e baixas frequências. Verifica-se que nas CFBG, os valores da dispersão são elevados comparativamente com os valores da DCF, possibilitando a compensação da dispersão por meio de uma CFBG da ordem dos centímetros. Neste tipo de redes aperiódicas, a condição de Bragg é satisfeita para vários comprimentos de onda, o que significa que a largura de banda é superior relativamente às fibras convencionais. A utilização de CFBG implica a utilização de um circulador para separar os sinais reflectidos dos sinais incidentes, o que pode ser apontado como uma desvantagem. 55

78 56

79 4 Compensação de dispersão em regime não-linear 57

80 As análises apresentadas nos capítulos anteriores foram feitas considerando uma fibra óptica como um meio linear. Acontece que nem sempre estes dispositivos têm este tipo de comportamento. De facto, para potências muito elevadas do sinal de entrada ou para comprimentos maiores da ligação, efeitos não-lineares são sentidos. Para campos electromagnéticos com intensidades elevadas, verifica-se um aumento no índice de refracção na fibra óptica, o que reflecte um comportamento não-linear. Este efeito é dado pelo Efeito Óptico Não-Linear de Kerr, cujo estudo é feito em seguida de modo a ser possível caracterizar as limitações impostas por este tipo de regime. Neste capítulo é determinada, tendo como base o Capítulo 2, a equação de propagação de impulsos em regime não-linear, identifica-se o comportamento de um sistema com solitões e estuda-se a utilização de Fibras de Dispersão Decrescente na compensação da dispersão em regime não-linear. 4.1 Efeito óptico não-linear de Kerr Como foi referido acima, quando a fibra é exposta a intensidades elevadas de campo electromágnético, o seu índice de refracção modifica-se (efeito não-linear de Kerr). Sendo β a constante de fase de propagação linear e ñ o índice de refracção modal correspondente, tem-se [13] β = ñk 0 (4.1) em que k 0 = ω/c é a constante de propagação no vácuo e c a velocidade de propagação da luz no vácuo. No plano transversal (x, y) o índice de refracção da fibra é n = n(x, y) tal que onde ε é a constante dieléctrica relativa. Em regime linear, a equação de Helmholtz permite escrever ε(x, y) = n 2 (x, y) (4.2) t 2 F + [n 2 (x, y)k 2 0 β 2 ]F (x, y) = 0, (4.3) que, em coordenadas rectangulares é dada por t 2 F = 2 F x F y 2. (4.4) Na aproximação dos modos LP para fibras de pequeno contraste dieléctrico considera-se a expressão do campo eléctrico dada pela equação (2.40). Supondo que existe uma perturbação na constante eléctrica relativa, tem-se ε = ε(x, y) + ε. (4.5) Desta maneira, a nova constante de propagação longitudinal é dada por β = β + β, (4.6) com β = k2 0 2β ε F (x, y) 2 dxdy F (x, y) 2 dxdy. (4.7) 58

81 Tendo em conta a equação (4.2), vem que ε = 2n(x, y) n. (4.8) Admitindo a aproximação n(x, y) ñ e substituindo a equação (4.1) na equação (4.7), obtém-se a expressão β = k n F (x, y) 2 dxdy 0 F (x, y) 2 dxdy. (4.9) Numa fibra óptica de sílica, o efeito não linear de Kerr determina que n = n(x, y) + n 2 E 0 2, (4.10) onde E 0 é um campo fictício e o valor de n 2 é n 2 = m 2 /W. Considera-se E 0 2 = y 0 E 2 = I, (4.11) em que I representa a intensidade óptica e y 0 uma admitância apropriada. Assim, n = n 2 E 0 2. (4.12) Atendendo à definição do campo eléctrico e à variação longitudinal do campo representadas nas equações (2.40) e (2.48) respectivamente, tem-se E 0 2 (x, y, z, t) = y 0 F (x, y) 2 A(z, t) 2. (4.13) Substituindo as equações (4.12) e (4.13) na equação (4.9), tem-se que β = y 0 n 2k n F (x, y) 2 dxdy 0 F (x, y) 2 dxdy A(z, t) 2. (4.14) Introduzindo uma nova amplitude Q(z, t) = A(z, t) a equação (4.14) pode ser reescrita obtendo-se y 0 F (x, y) 2 dxdy, (4.15) β = γ Q(z, t) 2, (4.16) onde o coeficiente não-linear γ é dado por em que A eff é a área efectiva definida por γ = n 2k 0 A eff = 2πn 2 λa eff, (4.17) A eff = ( F (x, y) 2 dxdy) 2 F (x, y) 4 dxdy. (4.18) 59

82 Representando Q(z, t) 2 pela potência transportada P (z, t), a equação (4.16) modifica-se para β = γp (z, y). (4.19) Sendo P (z, t) = P in (t)exp( αz), (4.20) em que α é o coeficiente de atenuação e P in a potência máxima do impulso à entrada da fibra, a fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr é dada por φ NL (t) = L (β β)dz = L βdz = γ L P (z, t)dz. (4.21) Assim, φ NL = γp in (t)l eff, (4.22) onde L eff é o comprimento efectivo tal que L eff = 1 (1 exp( αl)). (4.23) α Verifica-se que existe um desvio na fase não-linear, o qual é designado de auto-modulação de fase (AMF), que dá origem a uma variação da frequência instantânea ao longo da propagação dos impulsos [13]. Se forem utilizadas secções de amplificação, a fase não-linear à saída do conjunto total das secções de amplificação é dada por onde N A corresponde ao número de secções de amplificação. φ NLtotal (t) = N A φ NL, (4.24) Tomando em consideração o efeito não-linear provocado pela AMF, obtém-se o desvio de frequência. É dado por Assim, tem-se na frente do impulso δω(t) = φ NL total t = γl eff N A P in t. (4.25) P in t > 0 δω(t) < 0, (4.26) que implica um desvio negativo de frequência (desvio para o vermelho). De forma análoga, na cauda do impulso ter-se-á provocando um desvio para o azul. P in t < 0 δω(t) > 0, (4.27) 60

83 Figura 4.1: Desvio de frequência num impulso gaussiano. O coeficiente de dispersão da velocidade de grupo β 2 é dado pela equação (2.52), logo como tem-se v g ω > 0, (4.28) Figura 4.2: Evolução da velocidade de grupo v g em função da frequência ω. Assim, verifica-se que as componentes à esquerda de ω 0 viajam a menor velocidade que as componentes à direita (Figura 4.2), verificando-se um deslocamento para o azul na frente do impulso e desvio para o vermelho na sua cauda (Figura 4.3). Figura 4.3: Efeito da AMF no desvio de frequências de um impulso gaussiano. 61

84 Esta antagonia entre os efeitos da DVG e da AMF, faz com que haja um equilíbrio que possibilita a propagação de solitões claros (solitões cuja forma é mantida ao longo da sua propagação). Evitam-se os casos em que os efeitos da DVG e da AMF não se anulam, já que o fenómeno de alargamento dos impulsos e consequente degradação do sistema seria ainda mais acentuado [13]. 4.2 Equação de propagação de impulsos em regime não-linear Devido ao efeito óptico de Kerr, a propagação de impulsos numa fibra óptica monomodal em regime não-linear dispersivo é governada, simultâneamente, pela DVG e DOS e pela AMF. Apresenta-se em seguida a dedução da equação de propagação de impulsos em regime não-linear. Nota-se que na prática os efeitos de dispersão de ordem superior (m > 3) são desprezados, bem como os efeitos de Raman, que afectam a propagação de impulsos ultra-curtos. Como foi considerado no estudo da propagação de impulsos em regime linear, a transformada de Fourier da envolvente é dada por Ã(z, Ω) = Ã(0, Ω)f(z, Ω), (4.29) com f(z, Ω) = exp(iϑ(ω)z)exp( α z), (4.30) 2 em que ϑ(ω) = m=1 β m m! Ωm, (4.31) onde α é a constante de atenuação. Como foi referido, os efeitos de dispersão de ordem superior não são considerados em permos práticos. Desta maneira, aplicando a equação (4.31) na equação (4.30) tem-se [ f(z, Ω) = exp i (β 1 Ω + 12 β 2Ω ) ] ( β 3Ω 3 z exp α2 ) z. (4.32) Em regime não-linear admite-se que a perturbação introduzida pelo efeito óptico de Kerr não afecta a função modal F (x, y). A constante de propagação longitudinal (equação (4.6)) tem uma perturbação β dada pela equação (4.16). Introduzindo, de acordo com a equação (4.15), a nova amplitude Q(z, t) tem-se Q(z, t; Ω) = Q(0, Ω)g(z, t; Ω), (4.33) com [ g(z, t; Ω) = f(z, Ω)exp i z 0 ] β(ς, t)dς. (4.34) Tendo em conta a equação (4.16), a equação acima pode ser reescrita, obtendo-se Note-se que pela regra de Leibniz se tem [ g(z, t; Ω) = f(z, Ω)exp iγ z z 0 z 0 ] β(ς, t)dς. (4.35) Q(ς, t) 2 dς = Q(z, t) 2. (4.36) Apesar de Q(z, t) variar temporalmente, essa mesma variação é muito lenta. Por este mesmo é despre- 62

85 zada. Assim, tem-se em que R(z, t) representa a parte linear da equação e é dada por Q z = R(z, t) + iγ Q 2 Q, (4.37) Q R(z, t) = β 1 t i1 2 β 2 Q 2 t β 3 Q 3 t 3 α Q. (4.38) 2 Considerando as variáveis normalizadas ζ e τ, introduzidas no regime linear respectivamente pelas equações (2.77) e (2.78), e tendo em conta a definição de comprimento de dispersão L D (equação (2.76)), infere-se que em que e Q ζ + i1 2 sgn(β 2) 2 Q τ 2 k 3 Q τ 3 iγl D Q 2 Q = Γ Q, (4.39) 2 k = β 3 6τ 0 β 2 Introduzindo uma nova amplitude normalizada U(ζ, τ), tal que (4.40) Γ = αl D. (4.41) U(ζ, τ) = Q(ζ, τ) P0, (4.42) onde P 0 é a potência de pico do impulso incidente. A equação (4.39) pode então ser reescrita, obtendo-se sendo i U ζ 1 2 sgn(β 2) 2 U τ 2 ik 3 U τ 3 + N 2 U 2 U = i Γ U, (4.43) 2 onde L NL representa o comprimento não-linear dado por N 2 = L D L NL = γl D P 0, (4.44) L NL = 1 γp 0. (4.45) De notar que o coeficiente N não é ncessáriamente um número inteiro e pode ser obtido atrvés da expressão 2πn 2 N = τ P 0 0, (4.46) λ β 2 A eff ou de acordo com a aproximação gaussiana N = τ 0 n 2 P 0 ω 0 λ β 2. (4.47) É frequente introduzir-se uma nova amplitude normalizada u(ζ, τ), tal que u(ζ, τ) = NU(ζ, τ). (4.48) Com esta amplitude, aplicada à equação (4.43), obtém-se 63

86 i u ζ 1 2 sgn(β 2) 2 u τ 2 + u 2 u = i Γ 2 u + ik 3 u τ 3. (4.49) Desprezando as perdas, Γ = 0, e a dispersão de ordem superior, k = 0, a equação (4.49) reduz-se à forma canónica da equação não-linear de Schrödinger (NLS), dada por [13] i u ζ 1 2 sgn(β 2) 2 u τ 2 + u 2 u = 0. (4.50) Consideram-se dois operadores diferenciais, ˆD e ˆN, que representam respectivamente a dispersão e perdas num meio linear e os efeitos não lineares numa situação de propagação de impulsos. As equações dos operadores diferenciais, ˆD e ˆN, a partir da equação (4.49) e desprezando os efeitos de ordem superior, são u ζ = (D ξ + N)u(ζ, τ) (4.51) D ξ = 1 2 sgn(β 2)ξ 2 (4.52) N = Γ 2 + i u 2. (4.53) O método numérico utilizado na determinação da equação de propagação em regime não-linear foi o SSFM (Split-Step Fourier Method). Este método permite ir do impulso u(τ) = u(0, τ) até ao impulso u(ζ L, τ), com ζ L = L/L D através de um processo iterativo de passo h u(ζ, τ) u(ζ + h, τ) = w(ζ, τ) ν(ζ, τ) = exp(hn)u(ζ, τ) V (ζ, ξ) = F F T [ν(ζ, τ)] W (ζ, ξ) = exp(hd ξ )V (ζ, ξ) w(ζ, τ) = IF F T [(W (ζ, ξ))] É possível caracterizar os regimes de propagação em fibras óticas através dos comprimentos L D e L NL, indicando em que condições se tornam predominantes os efeitos de dispersão, de não-linearidade, ambos os efeitos ou até nenhum dos dois [14]. Ignorando os termos de ordem superior e as perdas, a equação (4.43) pode ser reformulada, obtendo-se i U ζ 1 2L D sgn(β 2 ) 2 U τ L NL U 2 U = 0. (4.54) Admitindo que o comprimento do sistema dado por L, é possível definir quatro regimes de propagação de impulsos. Quando L << L D e L << L NL nem o efeito da dispersão nem o efeito da não-linearidade se fazem sentir, podendo ser desprezados. Este regime é chamado de regime linear não dispersivo (RLND). Assim, da equação (4.54) obtém-se U ζ = 0. (4.55) Com L >> L D e L << L NL a propagação do impulso é dominada pelos efeitos de dispersão, 64

87 observando-se alargamento temporal do impulso. (RLD). Assim, da equação (4.54) obtém-se Este regime designa-se por regime linear dispersivo i U ζ 1 sgn(β 2 ) 2 U = 0. (4.56) 2L D τ 2 Para o caso em que L << L D e L >> L NL, os efeitos de não-linearidade predominam na propagação do impulso, sendo os efeitos de dispersão desprezáveis. Verifica-se, novamente, um alargamento temporal do impulso. Este regime é denominado por regime não-linear não dispersivo (RNLND). Assim, da equação (4.54) obtém-se i U ζ + 1 L NL U 2 U = 0. (4.57) Por último, tem-se o caso L >> L D e L >> L NL onde ambos os efeitos se manifestam, sendo a propagação do impulso governada, simultaneamente, pelos efeitos de dispersão e pelos efeitos de nãolinearidade. Este regime é conhecido por regime não-linear dispersivo (RNLD), que se caracteriza por permitir a propagação de solitões. A propagação deste tipo de impulsos rege-se pela equação não-linear de Schrödinger (NLS), descrita na equação (4.50) [15]. Aplicando o método SSFM, realizaram-se simulações para analisar a propagação de solitões em fibras ópticas a operar em RNLD. 4.3 Sistemas com solitões Uma manifestação da não-linearidade da fibra ocorre através dos solitões ópticos, cuja formação tem origem na acção combinada entre os efeitos dispersivos e os efeitos não-lineares. A palavra solitão refere-se a um tipo especial de pacotes de ondas que se propagam por longas distâncias sem sofrerem distorção. Os solitões têm sido descobertos em vários ramos da física. No contexto das fibras ópticas os solitões, não só têm interesse fundamental, como têm aplicações práticas no ramo das comunicações por fibras ópticas [3]. Este tipo de onda trouxe alguns aspectos positivos aos sistemas de comunicação óptica, principalmente de longas distâncias e de elevado ritmo de transmissão, já que compensam simultâneamente os efeitos dispersivos e os não-lineares que assumem um papel importante na degradação deste tipo de sistemas. Este capítulo foca-se no estudo da propagação de solitões em fibras ópticas no regime não-linear, onde a dispersão de velocidade de grupo (DVG) e a auto-modulação de fase (AMF) são igualmente importantes e devem ser consideradas simultâneamente. Existem dois tipos de solitões, consoante a zona de dispersão onde operam. Caso seja na zona de dispersão anómala, β 2 < 0, estamos perante solitões claros ou apenas solitões [13]; caso seja na zona de dispersão normal, β 2 > 0, tem-se os chamados solitões escuros. Apenas serão abordados os solitões claros, já que são os que apresentam mais interesse em sistemas de comunicação óptica. Em fibras ópticas ideais, o estudo da propagação de solitões tem por base a equação não-linear de Schrödinger. Através do método IST (Inverse Scattering Transform) é possível provar que a equação NLS aceita soluções com a forma [17] [ µ(ζ, τ) = sech(τ)exp i ζ ]. (4.58) 2 Esta solução corresponde ao solitão fundamental (Apêndice B). Refere-se a este tipo de solitão como solitão fundamental, porque a sua forma não se altera aquando da propagação. Isto porque a sua amplitude 65

88 não depende da variável normalizada ζ, mas sim da variaável normalizada τ. Qualquer feixe incidente µ 0 (τ) = µ(ζ = 0, τ) (4.59) tem a forma µ(0, τ) = Nsech(τ), (4.60) em que N corresponde a um número inteiro, especificado nas equações (4.44) e (4.46). Os solitões descritos pela equação (4.57), correspondem a solitões de ordem N com forma secante hiperbólica. No caso do solitão fundamental, tem-se apenas um valor próprio N = 1. Para valores de N > 1, está-se perante solitões de ordem superior. De seguida, encontra-se representada a evolução dos solitões fundamentais, de segunda e terceira ordem, simulados para o intervalo 0 ζ π/ Solitão fundamental Coloca-se à entrada da fibra óptica um solitão fundamental, descrito por u 0 (τ) = sech(τ). (4.61) Observam-se os seguintes resultados Impulso inicial Impulso final Amplitude Tempo Figura 4.4: Impulso solitão fundamental à entrada e saída da fibra óptica. 66

89 Figura 4.5: Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica. Como se pode observar pelas figura acima, verifica-se que no caso do solitão fundamental, a sua forma não se altera na propagação. Não são verificadas quaisquer alterações na amplitude e largura do impulso. Isto acontece devido ao equilíbrio entre os efeitos da DVG e da AMF aquando da propagação na fibra óptica Solitão fundamental com perdas Numa situação com perdas, neste caso Γ = 0.6, efectuou-se a mesma análise para um solitão fundamental Impulso inicial Impulso final Amplitude Tempo Figura 4.6: Impulso solitão fundamental à entrada e saída da fibra óptica numa situação com perdas normalizadas de Γ =

90 Figura 4.7: Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica numa situação com perdas normalizadas de Γ = 0.6. Verifica-se pela Figura 4.6 e Figura 4.7 que o solitão fundamental, na presença de perdas, sofre uma perda de amplitude ao longo da sua propagação na fibra óptica Solitão de segunda ordem (N = 2) Coloca-se à entrada da fibra óptica um solitão de segunda ordem, descrito por u 0 (τ) = 2sech(τ). (4.62) Para um comprimento de fibra óptica correspondente a um período de solitão, observam-se os seguintes resultados Impulso inicial Impulso final Amplitude Tempo Figura 4.8: Impulso solitão de segunda ordem à entrada e saída da fibra óptica. 68

91 Figura 4.9: Evolução do solitão de segunda ordem ao longo da fibra óptica. Pela Figura 4.9, verifica-se que o solitão de segunda ordem evidencia variações na sua forma e amplitude ao longo da sua propagação na fibra óptica. Este facto é justificado pela presença da AMF e da DVG que variam consoante o troço. Existe um pico, praticamente a meio da distância percorrida pelo impulso, que confirma a o princípio de conservação de energia. É de notar também que este solitão volta à sua configuração inicial depois de percorrer a distância analisada, sendo possível aferir que essa mesma distância corresponde a um período de solitão Solitão de terceira ordem (N = 3) Coloca-se à entrada da fibra óptica um solitão de terceira ordem, descrito por u 0 (τ) = 3sech(τ). (4.63) Para um comprimento de fibra óptica correspondente a um período de solitão, observam-se os seguintes resultados. 3 Impulso inicial Impulso final Amplitude Tempo Figura 4.10: Impulso solitão de terceira ordem à entrada e saída da fibra óptica. 69

92 Figura 4.11: Evolução do solitão de terceira ordem ao longo da fibra óptica. No solitão de terceira ordem verifica-se que a sua largura contrai até um pico de valor máximo, onde os efeitos de AMF predominam sobre os da DVG. De seguida, os efeitos da dispersão predominam em relação aos da AMF, causando um alargamento de impulso e diminuição da sua amplitude, para depois se dividir em várias componentes que mais tarde se voltam a juntar. Desta maneira, a forma inicial do impulso é recuperada correspondendo a uma distância percorrida igual ao período do solitão. Comparando as ordens estudadas de solitões, é seguro aferir que o solitão fundamental tem características mais apelativas numa situação sem perdas e com perdas que o solitão de segunda e terceira ordem. Isto porque a sua forma não é alterada na propagação, o que o torna interessante na utilização em sistemas de comunicações ópticas Impulso gaussiano Coloca-se à entrada da fibra óptica um impulso gaussiano, descrito por Observam-se os seguintes resultados para dois valores de ζ distintos. ( ) τ 2 u 0 (τ) = exp. (4.64) 2 70

93 1 0.9 Impulso inicial Impulso final Impulso inicial Impulso final Amplitude Amplitude Tempo Tempo Figura 4.12: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = 6. Figura 4.13: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = 20. Figura 4.14: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = 6. Figura 4.15: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = 20. Os resultados obtidos na simulação de um impulso gaussiano em regime não-linear são claramente distintos dos obtidos em regime linear. Verifica-se que o fenómeno de alargamento e diminuição de amplitude são menos pronunciados em regime não-linear [15]. Para distâncias mais curtas (ζ = 6) as características do impulso são praticamente mantidas aquando da propagação, sofrendo apenas algum alargamento. Neste caso existe tendência a adquirir a forma do solitão fundamental quando perde energia [15]. Contudo, quando são consideradas distâncias maiores (ζ = 20), a amplitude e largura do impulso oscilam devido aos efeitos da DVG e AMF. Estas observações são justificadas pela presença simultânea dos efeitos da DVG e da AMF: inicialmente o impulso alarga e perde amplitude que é justificada pela presença mais forte da DVG e de seguida sofre um estreitamento e aumento de amplitude em que os efeitos da AMF são predominantes. 71